FIZIKA
Počasna celična konvekcija 2. del
Razlaga pojavov v posodici s tekočim milom
nU sU vU
Jože Rakovec
-> V prejšnji številki Preseka smo pokazali nekaj slik pojava, ko se v dveh milih, ki sta v začetku eno pod drugim, začnejo počasi pojavljati dokaj nenavadni prsti belega mila navzgor skozi prozorno milo. Da osvežimo spomin, prikažimo še eno sliko tudi v tem drugem delu prispevka o počasni celični konvekčiji.
Konvekcija zaradi različnih gostot
Prvi je o urejenih oblikah v tekočini s konvekcijo poročal E. H. Weber (1855), ki je opazil celice spuščanja v mešanici alkohola in vode. Trideset let kasneje je James Thomson (1882) opazoval mozaicne strukture v topli milnici v cebru na dvorišcu neke gostilne. Zares se je pojava lotil Henri Benard,1 ki je 1900 in 1901 o tem objavil vec clankov in po katerem se imenujejo tudi »Benardove celice«. Vidimo jih lahko v ponvi, v kateri segrejemo tanko plast olja. V sredini teh celic se olje dviga, na njihovih robovih pa se olje za izravnavo spušca. Za Benardom se je pojava lotil lord Rayleigh (1916), ki je dolocil kriterij za to, kdaj se konvekcija sproži. Ker jo pospešuje razlika med vzgonom in težo (cemur se vcasih rece tudi »cisti vzgon«), zavira pa trenje, nastopata oba ta vzroka v njegovem kriteriju za proženje konvekcije.
V našem primeru se stebri belega mila pocasi, v nekako dveh dneh, dvignejo skoraj do vrha tekocine, kar pomeni, da je vzgon zelo majhen - da se gostota dvigajocega se mila le zelo malo razlikuje od gostote mila, ki se spušca. Merjenje zelo majhnih razlik gostot pa utegne biti z obicajnimi tehtnicami zelo težko. Nam je obe gostoti uspelo izmeriti s pi-knometrom.2 Piknometer je steklena bucka s stož-castim steklenim zamaškom s podaljškom s prevr-
SLIKA1.
Prsti belega mila navzgor skozi prozorno milo
1Pri Benardu je iz konvekcije v Parizu leta 1939 doktoriral tudi Dušan Avsec (za podrobnosti glej COBISS).
2Zahvaljujem se prof. Igorju Poberaju, ki je v kemijskem laboratoriju FMF izmeril obe gostoti. Pri tem je bilo treba počakati dovolj dolgo (pri prvem merjenju dan ali dva, pri drugem še vec dni), da so iz obeh mil izšli vsi mehurčki zraka, ki so nastali v milih ob natakanju v piknometer (primerjaj sliko 6 v prvem delu tega prispevka v prejšnjem Preseku).

13	PRESEK 42 (2014/2015) 4

FIZIKA

tano kapilaro (slika 2). V piknometer nalijemo tekočino skoraj do vrha in potisnemo v vrat zamašek. Del tekočine se dvigne skozi zamašek in skozi kapilaro. Tisto, ki izteče na vrhu kapilare, obrišemo s krpo. Tako imamo pri vsakem natakanju v piknome-tru točno enak volumen tekočine.
Uporabili smo piknometer za 25 ml tekočine, torej za okrog 25 g mila. Po skrbni pripravi obeh vzorcev se je pri prvem tehtanju pokazalo, da je gostota belega mila večja.3 To pa je zelo čudno - saj se vendar beli deli dvigajo, prozorni pa tonejo in na konču se na dnu posode nabere prozorno milo. Torej mora biti vseeno prozorno milo nekoliko gostejše! Ali je kje ostal ujet kak mehurček zraka? Meritve smo ponovili in čakali še dlje za morebitno izločanje mehurčkov zraka. Poskrbeli smo tudi za kolikor le mogoče enake temperaturne razmere pri obeh tehtanjih. Pri drugem tehtanju je bil rezultat za belo in za prozorno milo skoraj enak - povprečje gostote za belo milo je 1,03563 g/ml, gostote prozornega mila pa - 1,02771 g/ml.
Zakaj se dviga belo milo, ki je gostejše?
Ce je res belo milo gostejše in se začne dvigati, prozorno pa spuščati, se je moralo nekaj dogoditi z obema gostotama potem, ko sta bili obe mili že nekaj časa (pol dneva ali en dan) v posodiči za milo. Da torej belo milo postane redkejše, prozorno milo pa postane gostejše - kaj bi to lahko bilo?
V jezerih je velikokrat topla samo vrhnja plast vode in če plavamo, hitro začutimo, da je spodaj voda hladnejša. Toplejša voda je na vrhu, ker je njena gostota zaradi temperaturne razteznosti manjša. Pri slani vodi pa na gostoto vpliva tudi primes soli. Zato velikokrat sladka voda (npr. po padavinah) plava na slani, pa čeprav je morda tudi hladnejša.
Pojav »prstov slane vode«, ki je v naravi menda najizrazitejši v Karibskem morju (glej http://en. wi ki pedi a .org/wi ki /Sal t_fi ngeri ng), pa je drugačen. Gre za toplo slano in za hladno sladko vodo. Cuden je ta pojav zato, ker je na vrhu topla slana voda, pod njo pa hladna sladka voda. Topla slana
3Povprečne vrednosti: masa piknometra 24,4258 g, masa pi-knometra, napolnjenega s prozornim milom 50,8004 g, napolnjenega z belim milom pa 51,0072 g. Volumen piknometra je 25,667 ml.

1 / £
<<
SLIKA 2.
Piknometer
voda se v obliki »prstov« spušča navzdol skozi mrzlo sladko vodo. Da je slana voda gostejša od sladke vode, pri tem pojavu prevlada nad razlikami zaradi temperature. S tem pa nenavadnosti še ni koneč. Ker je izguba toplote z difuzijo hitrejša od difuzije soli v okoličo, se slana voda hitro hladi, postaja vse gostejša in se še naprej spušča. Sladka voda, ki je bila v začetku hladna, pa dobiva toploto od slane, zato se greje in temperaturno razteza - pri tem pa dobiva le malo soli (kar bi ji povečevalo gostoto) in
14
PRESEK 42 (2014/2015) 4
FIZIKA
SLIKA 3.
Spuščajoči se »prsti« slane vode. http://www.ualberta.ca/ ~bsuther/eif1/teaching/sa1tfingers/image2.jpg. Avtor poskusa s slanimi prsti je Paul F. Choboter, sept. 98, slika pa je povzeta s strani prof. Brucea R. Sutherlanda z Univerze v Alberti.
zato postaja vse redkejša. Ta »čudni« pojav je 1960 razložil prof. Melvin Stern s Floridske državne univerze (1960). Glavni vzrok za ta nenavadni pojav je, da je izguba toplote hitrejša od izgube soli: koeficient molekularne temperaturne difuzivnosti v vodi je 1,5 x 10-7 m2/s, za sol v vodi pa (pri običajni slanost morske vode) za dva velikostna reda manjši: 1,3 x 10-9 m2/s (Stern, 1960). Pojav je dokaj hiter: prvi »prsti« se lahko pojavijo že po nekaj deset sekundah ali v kaki minuti ali dveh (odvisno od razlik temperatur in slanosti). Kako se naredi ta poskus v laboratoriju, si lahko ogledamo npr. na http:// www.ualberta.ca/~bsuther/ei fl/teachi ng/sal tfingers/image2.jpg, odličen je tudi filmček BBC na http://www.bbc.co.uk/nature/1583 5017.
V našem primeru sta temperaturi obeh mil izenačeni. Torej se morda gostoti spreminjata drugače - npr. tako, da iz enega mila gostejša snov difundira v drugo milo in neka redkejša snov iz drugega mila v prvo.4 Naredili so prečej poskusov te vrste, med drugim tudi s sladko in slano vodo (glej npr. v Yoshida in Nagasmima, 2003). Molska masa soli
4Prof. Alojz Kodre me je še pred tehtanjem obeh mil opozoril na možnost, da so razlike v gostotah obeh mil posledica osmoze in difuzije različnih sestavin v milih.
NaCl je 58 g/mol, sladkorja (saharoze) C12H22O11 pa je skoraj šestkrat večja: 342,30 g/mol. Difuzivnost majhnih ionov Na+ in Cl- v vodi je okrog 30-krat večja od difuzivnosti velikih molekul sladkorja v vodi (odvisno od koncentracij in od temperature). Se pa pojavi še osmoza: voda difundira tja, kjer je koncentracija topljenca vecja. Zato so tudi pri plasteh slane in sladke vode opazili »prste«: »vlogo temperature« po Sternovi razlagi tu opravlja koncentracija soli, »vlogo soli« pa koncentracija sladkorja (glej npr. Sorkin in sod., 2002).
Nekaj podobnega se morda dogaja tudi v našem primeru, ko se gostota sprva težjega belega mila zmanjšuje in se zato zacne dvigati, gostota lažjega prozornega mila pa povečuje in zato to zacne toniti proti dnu. Specifikaciji obeh mil na vreckah sta sicer brez podrobnih navedb deležev posameznih sestavin, toda obe mili imata vecino sestavin enakih. Že te snovi ob razlicnih koncentracijah lahko difundirajo iz enega mila v drugo. Prozorno milo pa vsebuje še tekoci glicerol za pospeševanje miljenja in natrijev laktat, ki kožo vlaži. Belo milo pa vsebuje nekatere druge tekoce sestavine: npr. za dezinfekcijski uci-nek mu je dodan tekoci fenol-metanol.5 Molekule teh sestavin so razlicno velike, imajo razlicne mol-ske mase in njihove difuzivnosti v vodi so tudi nekoliko razlicne: za natrijev laktat, fenol in metanol6 okrog 1 x 10-9 m2/s (odvisno od koncentracije, pa tudi temperature), za glicerol pa lahko tudi do desetkrat manj7 (spet odvisno od koncentracije in temperature). To bi lahko pomenilo, da nekatere snovi difundirajo hitreje, druge pa pocasneje. Seli se pa tudi voda - tja, kjer je topljencev vec; temu recemo osmoza. Na ta nacin bi se lahko gostoti pocasi toliko spreminjali, da bi sprva »težje« milo postalo »lažje« in se pricelo dvigati; sprva »lažje« pa gostejše in bi pricelo toniti proti dnu posode.
5S šibko vodikovo vezjo se v raztopini povežeta obe sestavini preko obeh OH - tistega iz metanola CH3OH in tistega na aromatskem fenolnem obroču C6H5OH.
6http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/j p1107075,
www.researchgate.net/...sodi um_lactate...
/00b7d52a71fd5847a3000000, pdf/10.1021/j100270a039
http://pubs.acs.org/doi/
7http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/je049917u
18
m__
> ¡=
.cd ra
T3 U1
ca in

PRESEK 42 (2014/2015) 4
15
FIZIKA
-> 15
(D
"cz
ro
>
Kakšna je hitrost dviganja prstov belega mila skozi prozorno milo in kakšne so razlike gostot?
Oceno za hitrost dviganja prstov dobimo kar iz casa trajanja pojava. Najprej kak dan traja, da difuzija povzroči spremembe gostote obeh mil. Potem se belo milo za h « 5 cm dvigne, prozorno pa spusti v nekako dveh dneh, kar je t « 2 x 105 s. Tako ocenimo velikosti obeh hitrosti kot v i« v I« v « h/T « 3 x 10-7 m/s - zelo, zelo počasi.
Hitrost pa bi lahko ocenili tudi iz ravnovesja sil. Privzamemo, da so pri zelo pocasnem in zato enakomernem gibanju vse sile uravnotežene. Teža »prsta« belega mila je mg, na enoto volumna torej pg. Za vzgon je že Arhimed ugotovil, da je enak teži oko-lišnje tekocine, ki jo iz volumna V izpodrine telo -»prst« belega mila. Torej je vzgon na enoto volumna, ki deluje na prst pokg. Trenje ob premikanju skozi tekocino je odvisno od tega, kako velike hitrostne razlike Av na kako majhni razdalji l se pojavijo pri tem premikanju: to približno izrazimo kot A v /l. Pri tem bi bila l razdalja med sredino dvigajocega se belega prsta in obmocjem okolišnjega prozornega mila, v našem primeru okrog l « 1 cm, Av pa velikost razlike med hitrostima gor in dol; glej skico -slika 4.
Trenje je seveda mocnejše v bolj viskoznih teko-cinah, zato v izrazu za silo trenja nastopa tudi viskoznost n tekocine in tako bi trenje na volumsko enoto približno izrazili kot nAv/l2. (Podrobna razlaga in opis trenja sta bolj zapletena in presegata nivo, ki je v navadi v Preseku.) Z miloma sem šel v Praktikum 1 na FMF in izmeril viskoznosti preko hitrosti vrtenja kovinskega valjastega obroca, potopljenega v mili ob razlicnih navorih na ta obroc. Za razlicna mila in za razlicne navore sem sicer dobil razlicne ocene za viskoznost, povprecna viskoznost pa je približno n « 1.5 kg/ms = 1,5 Pa-s. Za primerjavo: viskoznost vode je okrog 0,001 kg/ms, motornih olj od 0,05 do 0,75 kg/ms, repicnega jedilnega olja okrog 0,16 kg/ms, medu pa okrog 2 kg/ms.
Ce so sile na volumsko enoto: vzgona pokg, teže p g in in trenja nAv/l2 izenacene, velja:
■ pokg = p g + nAv/l2
Enacbo delimo z p in potem na levi strani enacbe dobimo razmerje gostot, na desni pa nastopa viskoznost deljena z gostoto (v našem primeru n/p «
SLIKA 4.
Pri dviganju belega belega mila in kompenzacijskem spuščanju okolišnjega prozornega mila se pojavi striženje hitrosti Av na karakteristični razdalji l.
0,0015 m2 s-1):
- ^g = g + nAv/l2 pp
Odtod ocenimo A v:
(pok A l2 Ap l2
. Av = ^ - 1 g— = g — .
V p ) n/p p n/p
Ker pa sta gostoti mil ravno »obrnjeni« - belo milo, ki se sicer dviga, se je namrec pri tehtanjih izkazalo za gostejše - seveda ne bi bilo prav, da bi v enacbo vstavili s piknometrom izmerjeni gostoti.
Zato lahko vprašanje obrnemo: ce smo iz trajanja pojava dveh do treh dni približno ocenili cas t «
2	x 105 sekund in s tem hitrost dviganja v = h/T «
3	x 10-7 m/s - ali lahko ocenimo kolikšna je razlika gostot, ki se pojavi potem, ko difuzija že prenese ene
18
PRESEK 42 (2014/2015)4
FIZIKA
in druge snovi iz enega mila v drugo? Enačbo »obrnemo«:
Ap Avri/p
p gi2
Izračun (ob upoštevanju Av « 2v) da rezultat Ap/p « 9 x 10-7. Tako majhne razlike gostot pa s piknometrom ne bi mogli izmeriti!
Naj čisto na koncu povemo še to, da so podrobni matematično-fizikalni opisi takih in podobnih pojavov precej zapleteni in močno presegajo nivo, ki je običajen za Presek. Kogar pa bi to vseeno zanimalo, naj si ogleda npr. objave Boronske, Pringla ali Sor-kina z njihovimi sodelavči (navedene so med viri).
Literatura
[1]	H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Revue Générale des Sčienčes 11, 1261-1271, 1309-1328, 1900.
[2]	H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Méthodes optiques d'observation et d'enregistrement, J. Phys. Theor. Appl. 10 254-266, 1901. Dostopno na http://hal. archives-ouvertes.fr/docs/00/24/05/02/ PDF/aj p-j phystap_1901_10_254_0.pdf.
[3]	M. K. Boronska, Motifs tridimensionnels dans la convection de Rayleigh-Bénard cylindrique, Dočtorat, Mécanique des fluides, Universite Paris 7 - Denis Diderot UFR de physique, 2005. Dostopno na http://tel.archives-ouvertes. fr/docs/00/33/78/40/PDF/thesis.pdf.
[4]	K. Boronska in L. S. Tučkerman, Extreme multiplicity in cylindrical Rayleigh-Bénard convection: I. Time-dependence and oscillation, Phys. Rev. E, 81 DOI: 10.1103/PhysRevE.81.036320, 2010. Dostopno na http://arxiv.org/pdf/ 0908.4343.pdf.
[5]	C. C. T. Pringle, Y. Duguet in R. R. Ker-swell, Highly symmetric travelling waves in pipe flow, Phil. Trans. R. Soč. A. 367 457-472, doi:10.1098/rsta.2008.0236, 2009. Dostopno na http://rsta.royalsoci etypublishing. org/content/367/1888.toc.
[6]	Lord Rayleigh, On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side, Phil. Mag., Ser. 6, 32 529-546, 1916. Dostopno na http://gi bbs.if.usp.br/~marchett/ flui dos/convection_raylei gh-1916.pdf.
[7]	A. Sorkin, V. Sorkin in I. Leizerson, Salt fingers in double-diffusive systems, Physica A, 303 13-26, 2002. Dostopno na http://phycomp. techni on.ac.il/~phsorki n/science.pdf.
[8]	M. E. Stern, The »salt-fountain« and thermohaline convection, Tellus, 12 172-175, 1960. Dostopno na http://onlinelibrary. wiley.com/doi/10.1111/j.2153-3490. 1960.tb01295.x/pdf.
[9]	J. Thompson, On a changing tesselated structure in certin fluids, Proc. Glasg. Phil. Soc. 13 464-468, 1882. Dostopno nahttp: //www.tandfonli ne.com/doi/abs/10.1080/ 1478644160863 5602#.VAb5HmNadDQ.
[10]	E. H. Weber, Mikroskopische Beobachtungen sehr gesetzmäßiger Bewegungen, welche die Bildung von Niederschlägen harziger Körper aus Weingeist begleiten Ann. Phys. (Po-ggendorf) 94 447-459, 1855. Dostopno na http://onli nelibrary.wiley.com/doi/10. 1002/andp.18551700310/abstract.
[11]	J. Yoshida in H. Nagashima, Numerical experiments on salt-finger convection, Progress in oceanography, 56 435-459, 2003. Dostopno na http://www.phys.ocean. dal.ca/programs/doubdiff/final_pdfs/ salt-finger_numerical .pdf.
Drugi uporabljeni internetni viri so navedeni med tekstom - vsi ogledi med 30. avgustom in 3. septembrom 2014.
_XXX
www.dmfa.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.presek.si
5	PRESEK 42 (2014/2015) 4