i
i
“1-2-Oblak-Nekaj” — 2010/5/5 — 11:51 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 1 (1973/1974)
Številka 2
Strani 77–80
Franci Oblak:
NEKAJ O ŠTEVILSKIH SESTAVIH
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/1/1-2-Oblak-sestavi.pdf
c© 1973 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NEKAJ O ŠTEVILSKIH SESTAVIH
Franci Oblak
S številkami zapisujemo števila. Dobro poznamo desetiške šte-
vilke, n.pr. številka 23078 pomeni število, ki ga sestavljata 2
desettisočici, 3 tisočice, O stotic, 7 desetic in 8 enic, to je:
2.10000 + 3.1000 + 0.100 + 7.10 + 8, ali če uporabimo zapis s
potencami števila 10: 2.10 4 + 3.10 3 + 0.10 2 + 7.101 + 8. Osnova
desetiškega sestava j~ število deset. Številke zapisujemo z zna-
ki, ki jih imenujemo cifre. V desetiškem sestavu je deset cifer:
O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Kaj pomeni številka 3000020? Zapiši tel
Osnovo deset uporabljamo predvsem zato, ker je to število
prstov na obeh rokah. Lahko pa bi vzeli za osnovo poljubno dru-
go naravno število, ki ni l. Pravimo, da imamo opraviti z nede-
setiškimi sestavi. Če vzamemo za osnovo 5, bo to petiški sestav.
In številke bodo petiške številke. Poskusimo: katero število
predstavlja petiška številka 342l? To je število 3.5 3 + 4.5. 2 +
+ 2.51 + l. Da ločimo zapis števila v petiškem sestavu od zapi-
sa v desetiškem sestavu, zapišemo osnovo sestava v oklepaju de-
sno spodaj poleg številke. IJ.pr. 216(8) je številka vosmiškem
sestavu. Število, ki ga predstavlja, pa je: 2.82 + 1.81 + 6.
številke v drugih sestavih beremo glasno tako, da zaporedoma
preberemo cifre in da povemo osnovo: n.pr.: 314(5) preberemo:
tri ena štiri v petiškem sestavu.
Koliko različnih cifer lahko uporabimo v sestavu z osnovo n?
*Očitno samo n • N.pr. v trojiškem sestavu so lahko samo cifre
O, 1, 2. Število 3 je namreč že 10(3) = 1.3 + O.
Kako pridemo iz nedesetiškega sestava v desetiški? Število
3772 (9) bi radi zapisali v dese t i.šken, sestavu. Ker je 3772 (9)
= 3.9 3 + 7.9 2 + 7.9 + 2, je treba samo izračunati zapisano vso-
to produktov. 9 3 = 729, 9 2 = 81, torej 3.9 3 + 7.9 2 + 7.9 + 2 =
= 3.729 + 7 .81 + 7.9 + 2 = 2187 + 567 + 63 + 2 = 2819(10)' zapi-
sali smo v desetiškem sestavu. Vendar se dogovorimo, da deseti-
*Dokaze poišči v: F.Križanič: Aritmetika, algebra in analiza
I.del, stran 36 in dalje.
77
ški sestav ne označimo posebej , ke r g a sta lno upora b l j amo .
Poskusimo še nekaj primer ov prepisati v desetiški sestav!
1234( 5) 1.5 3 + 2.5 2 + 3.5 + 4 = 1.125 + 2.25 + 3.5 + 4 =
125 + 50 + 15 + 4 194
1.2 4 + 0 .2 3 + 0.2
2 + 1.2+ 1 1.16 + 2 + 1 = 19
1.3 4 + 2.3 3 + 0 .3
2 + 2. 3 + 1 81 + 2.27 + 6 + 1 142
1. 42 f- 2.4 + 3 = 16 + 8 + 3 27
10011 (2) =
12021 (3) =
123 (4 )
1046(7) 1.73 + 0.7 2 + 4.7 + 6 343 + 28 + 6 = 377 .
Seveda je osnova sestava lahko tudi večja od 10, n .pr . 11.
Sedaj p a s i moramo zamisliti novo cifro za 10, n.pr. a.
21a8(11) = 1.11 + 10.11 + 8 = 121 + 110 + 8 = 239
( č i taj : ena a osem v sestavu enajst )
poskusimo poiskati algoritem, s kat e r i m bomo l ahko hitreje
pre vedli številko iz nedesetiškega sestava v desetišk i se~tav.
Vzemimo primer: 2 31 40 2 (5 ) = 2 .5 5 + 3 .5 4 + 1 . 53 + 4 .5 2 + 0. 5 +
+ 2. To lahko izračunamo takole: «« 2.5+3) .5+1).5+4).5+0).5+
+2 = «(13 .5+1) .5+4)5+0).5+2 = « 66.5+4).5+0). 5+2 = (3 34.5+0) •
• 5+ 2 = 1670 .5+2 = 8350 + 2 = 835 2.
rezultat
- I 2 $1 3 ,c, 1 e. 1""", 4 O 2
osnova 10 65 330 1670 835 0
I""''' 5 I 2 13 6 6 334 1670 I 835 21
Hi t r e je p a p r i dem o po isti poti do r ezultata s t ako le shemo
(Hornerj ev algorite m!):
V prvi v rsti so zapi-
sane p o vrst i c i fre š t e
v i lke , v tretj i v r s ti
l e vo je o snova siste-
ma . V drugi vrsti do-
biQO š tevilo, če os-
novo množ imo s tret-
j o vrsto i n rezu l t a te
vpisujemo v okenček de s-
no navzgor. Tr e t j o vrs to dobimo z navp~cn~m seštevanjem, razen
prve š tevi lke , ki jo dobi~o s p r e p isova n j em .
Poskus imo še en prim er: 32 4560 1 (7)
I 3 2 4 5 6 O 1
21 161 1155 8120 56882 39 8174,. ., '
I 7 I 3 23 165 1160 8126 5,6 88 2 1, 39 815 I
'r o r e j j e: 32 4 560 1 (7)
78
39 817 5 .
Kako preidemo iz desetiškega sestava v nedesetiški? Število
325 bi radi zapisali v šestiškem sestavu. Pripravimo si zapored-
ne potence števila 6: 6, 36, 216, 1296, •••
3 2
325 = 1.2:6+109 = 1.216+3 .36+1 = 1.6 +3.6 +0.6+1 = 1301(6)'
Vsak ostanek je treba zaporedoma deliti z naslednjo manjšo
potenco števila 6. Lažje 'gre po taki shemi:
6 325
325 ostanki
54 1
9 O
54
1 3 325=1301 (6)
9
O 1 1
2
6.54+1 = 6 (6. (6. (6 .0+1) +3) +0)+1
0.6
4+1 · 63+1 · 62+Q. 6+1 = 1301(6)
.0,
6.9+0
6.1+3
6.0+1
Primera: 9 87 6 9876 = 10011010010100(2)
4938 O Preskus: 10011010010100 = 1 .2
1 3+
24"9 O +1.210+1.29+1.27+1.24+1.22 =
1234 1 8192 + 1024 + 512 + 128 + 16 +
617 O + 4 = 9876.
308 1
15 4 O
Preveri š e s Hornerjevo shemo!
77 O
1
4
38 4444
1 9 O 1111 O
9 1 277 3
4 1 69 1 4444 1011130 (4)2 O 17 1
1 O 4 1
O 1 1 O
O 1
Preskus ·
I 1 O 1 j 1 1 3 O
4 16 68 276 . 1108 4444
r 4.,A.. l 4 n 69 f,77 1111 14 444 1
79