Dimenzioniranje meniska tokom kontinuiranog livenja čelika Ice B. Risteski, Institut za rudarstvo i metalurgija, 16-ta Makedonska brigada 18, 91000 Skopje, Makedonija U predloženom radu dokazane su matematičke jednačine pomoču kojih se može izvršiti dimenzioniranje meniska, na osnovu uticajnih parametara procesa kontinuiranog livenja čelika. In the given paper the validity of mathematical equations being applied for dimensioning meniscus was proved by influential parameters of continuous casting of steel. Dimensioning of meniscus is the main condition for mathematical model of lubrification betvveen the surface of slab and the mould wall. The obtained quadrature expressions are suitable for direct preparation of softvvare of the model. They correspond to the conditions of actual process of continuous casting of steel. 1 Uvod Za dinamičku analizu procesa lubrifikacije rastopljenim praškom, u rascepu izmed u očvrsnute kore slaba i zida kristalizatora u okolini meniska, neophodno je egzaktno dimenzioniranje meniska. Koliko je poznano autoru ovog rada, do sada u literaturi nisu objavljeni nikakvi matematički podaci o dimenzioniranju meniska, sem aproksimativne nu-meričke vrednosti za linearan menisk. U istraživanju1, prvi put su predložene jednačine dimenzioniranja meniska, ali bez njihovog dokaza, što u ovom radu neče biti slučaj. 2 Dimenzioniranje meniska Kretanje rastopljenog praška u rascepu izmed u očvrsnute kore slaba i zida kristalizatoru, u okolini meniska je modelirano prema ilustraciji na si. 1. Kako se vidi na si. 1, j--osa je postavljena u pravcu nivoa tečnog čelika u kristalizatoru, dok je y-osa postavljena po dužini slaba. Lubrifikacija rastopljenim filmom praška u prostoru izmed u očvrsnute kore slaba i zida kristalizatora, pretstavljena je kao hidrodinamičko podmazivanje viskoznim fluidom izmed u dve neparalelne površine. Promena maksimalne oscilatome brzine meniska u pravcu x-ose iznosti 1 dT> 2;r fx = — ■ —. pp dx Pomoču integrala diferencijalne jednačine (1) e, V j hr fx clx = J dr/ PP' dobija se jednačina = f 2 pr (D (2) (3) Č'l = *fPr 1/2 (4) Kristalizator Kora slaba Slika 1. Model filma rastopljenog praška izmedu očvrsnute kore slaba i zida kristalizatora u okolini meniska1. Figure 1. Model of film of molten flux betvveen the solidified shell of slab and the mould wall in the surrounding of meniscus1. Na kraju I regiona (0 < y < h2), ubrzanje rastopljenog praška u x -pravcu če biti d2Vv iz koje se vidi, da rastojanje od početka krivoliniskog dela meniska do zida kristalizatora je P P dx2 sa graničnim uslovima Vp(0) = 27t f A cos 2tt ft + 5 = 0, (5) Vp(e2) = Vs. (6) Posle dvojne integracije jednačine (5) sa uzimanjem u obzir graničnih uslova (6) dobija se brzina kretanja praška vp = Pp9 2 , f V, -2nf A cos2tt ftc ppg 2 v/ \ e2 2r/ +2nfA cos 2nftc. (7) Potrošnja praška odreduje se pontoču formule i e? P^ = 2Pp(a + b) J J o o Vpdtdx. (8) ^>eksp (9) - O n Ur _1_ M ( Ppg 3 , V, + 2xfA COS 27Tftc = 2Ppt(a + 6) +-2-£2 1 • Posle sredivanja jednačina (9) dobija oblik 3 6r](Vs+2nfAcoS27rftc) 6 ;;Pceksp e2 +-—:-e2--—--— = 0, Pp9 plgt(a + b) ili gde je (10) e\ + pe2 + q = 0, (11) 6ij(V, + fA cos 2nftc) q = Pr9 6 r;Pceksp (12) (13) e2 = (ct + (c\ + cf)1/2) + (n - (c2 + cf)1/2) 1/J , (14) gde je 1/3 3rjPcksp 2 + p _ 2i](\'s +2irAcos2nftc) 3 pPg (15) (16) dobija oblik C 2 = 2?; V', PP9 (17) V m _ e, Vs ~ e3' (18) tako da je njihov modulni zapis |Knl |ei| IV, | |e3| pa prema tome sledi da je v; e3 = —ei, v m. t-j- e3 V.C1 Ako se u jednačini (8) zameni jednačina (7), a nakon dvojnog integrisanja se dobija potrošnja praška (20) (21) (22) (23) 2 itfA Pošto čvrsti sloj filma prelazi put yk = Acos2wftc, onda če slab prelaziti put Vs = V,t, dok če debljina praška iznad nivoa tečnog čelika biti hi =Vk+y,= a cos 27Tftc + v,t. (24) Diferenciranjem jednačine (24) u odnosu na vreme, dobija se = -2vfAsm2vfte + V,. (25) Iz uslova stacionarnosti sledi dhi dt = o, t-j- Na osnovu Cardano-vih formula2, realno rešenje jednačine (11) je - 2n f A sin 2vftc + V, = 0. Iz si. 2 i jednačine (27) dobija se 1 v; 11 = ~—^ arcstn ———, 2Tr/ 2tt fA to = 2/ 1 i . v; ---arcsin-. 2/ 2tr/ 2tTfA (26) (27) (28) (29) pri čemu jednačina (16) za tc = 1, (n = 1,2,...) Na formu meniska u početku I regiona (0 < y < h-,) najuticajnija je maksimalna brzina kristalizatora Vm = 2nfA, a na kraju II regiona (/i2 < y < h 3) največi uti-caj ima brzina izvlačenja slaba V,, pošto se tada pojavljuje gasni zazor izmed u površine slaba i zida kristalizatora. Ako se brzine Vm i V, pretstave kao vektorske veličine, onda se može postaviti sledeči vektorski odnos v 2 it f A sin2 irft c /—V / T 7 S /1 t\ / 1 1 \ / 1 \ 0 h h \ 1/2f / 1/f Slika 2. Geometrijska interpretacija jednačine (2/). Figure 2. Geometrical interpretation of the equation (27). Za jednačine (28) i (29), jednačina (24) dobija oblik hi = j4(cos2irft\ - cos2ttft2) + V,(ti - t2). (30) Neka je a = 2trftu (31) t.j. posle zamene jednačine (28) u jednačinu (31) dobija se q = arcsin (32) Adekvatno, neka je p = 27t//2, (33) ili posle zamene jednačine (29) u jednačinu (33) sledi P — ir — a. Iz trigonometrijske relacije , o • a + P . a-0 cos q — cos p = —2 sin —-— sin —-—, sa uzimanjem u obzir jednačine (34), dobija se cos a — cos p = 2 sin ( — ( 1 (34) (35) (36) Ako se iz jednačine (28) oduzme jednačina (29) sledi 1 U-U = 2/ 1 2 ■ V> 1--arcsin-— 7r 2wfA (37) Zamenom jednačina (37), (36) i (32) u jednačinu (30), dobija se hi Neka je 2,4 sin - 1 - V, v; 27T/.4 --j ( 1--arcsin V5 2trfA v i 2 ' V» A =1--arcsin-—, ?r 2trfA' (38) (39) onda sa uzimanjem u obzir jednačine (39), jednačina (38) dobija oblik /j i = 2.4 sin 7TiV V.N 2/ ' (40) Ako se na a'-osi projektuju sile koje deluju na rnenisk, dobija se cTs_p cos 0 d9 = {p, - pp)gy dy. Ako se jednačina (41) integriše, sledi 0 0