“410-Vukman-OPerfektnih” — 2010/3/23 — 9:03 — page 1 — #1
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 1
Strani 4–6
Joso Vukman:
O PERFEKTNIH ŠTEVILIH
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/410-Vukman.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA101 _
o PERFEKTNI HšTEVILIH
Obstaja jo matematični problemi, ki so po svoji formulaciji ze-
lo pr eprosti i n lahko razum ljivi , njihove r eš i t ve pa so tako
zahtevne, da jim pogosto največji matematiki niso kos . Na to-
vrstne probleme naletimo pogos to v teoriji štev il , veji matem2
tik e, ki p reu čuje l astno sti nara vnih š t evi l . V t em sestav ku s i
bomo ogledali neka t e r e probleme, ki se nanašajo na ta ko imeno-
vana p e rfek t n a št e v i la .
l e stari Grki so opaz ili , da obstajajo naravna š t ev i l a , ki so
ena ka vsoti vseh sv ojih de liteljev, manj ših od števila samega .
Stevila s t o lastnost jo so imenovali perfe ktna. Perfe ktni š t e -
vili sta na primer 6 in 28 .
1+2+3 =6 , 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Gr ki so najprej poznali le š t i r i per fe ktna števila, poleg 6 in
28 še 496 in 8128, t oda že Evklid (3. st . pred n . š t.) je doka
za l t o l e zanimivo trditev:
Naj bo p narav no število. Če je 2P - 1 pr a štev i l o , potem j e
š t e v i l o 2P- 1 (2P - 1) perfektno .
Eule r (1707 - 1783) je Evkl i dov rezultat dopol nil s tem, da je
dokazal ve l javno s t tr d i tve v nasp rotn i smeri:
Vs a k o sodo per fe ktno š t ev ilo la hko z api š emo v ob lik i
2P-
1(2P - 1 ) , p r i e e me r j e 2P - 1 praštevilo .
Obe trditv i skupaj bomo Ev kl id u in Eulerju na čast imenovali
Evkli d-E ulerje v i zr e k. Dokaz tega izreka je prezahteven in ga
ne bomo navajali.
4
Z Evklid-Eulerjevim izrekom smo zvedel i ne kaj o sodih perfe kt-
ni h š t ev il i h . Kako pa je zlihimi per fektni mi števili? S tem
vpra šanjem smo že pri problemu , ki ga doslej še nihče ni rešil.
Vsa doslej znana perfektna števila so n amreč soda. Ni znano ,
če liha perfe ktna štev ila sploh obstajajo, vendar je matemati -
kom usp elo do kazati naslednje: če obstaja kakšno liho pe rfe kt-
no š tevilo, potem je to število zel o ve liko . Pa tudi s sodimi
perfek tnimi š t evi li so še vedno te žave . Res , da jih danes poz-
namo več, kot so jih poznal i Gr ki, t oda še vedno ni znano, č e
je sodih pe r fektni h š t evi l ne skonč no ali ko n č n o mnogo. Oglejmo
si probl em k o n č n o s t i oz i ro ma nes končnos ~i š t evi l a sodih per -
fekt ni h števil ne kol i ko podr obn e j e .
Pr aš te vi l a obli ke 2P - imen uj emo po ma t ema t i ku Me r s ennu
(1 588 - 1648) Mer sen nova pra š t ev i la . Evklid-Eul erjev izrek nam
š t ud i j sodih perfe ktnih š te v i l prevede na š t udi j Mersennovih
pr aštevil . če bi . torej mogli dokazati, da je Me rs ennovih pra-
števil neskončno mnogo, bi s t em dokaza li, da je tudi sodih
perf e ktnih š te vi l neskonč no mnogo. Za Merse nnova praštevila
lah ko doka žemo naslednjo trdite v:
Če j e pP - 1 p r a šte viLo , potem j e tudi p praš t e v i Lo.
Pi šimo p v obli ki p = mn , kje r je n pra število . Trditev bo
dokaz ana , če do kaže mo, da je m = 1 . Oglejmo s i vsoto
1 + 2m + 2 2m + oo . + 2( n -l) m . To j e v bistvu vsota prvih n
č l e n o v geo me trijs kega zapore dja . Prv i člen tega zaporedja je
1, kvocient zaporedja pa 2m. Po znan i formuli je
1 + 2m + 2 2m + . oo + 2 ( n - l)m (( 2m )n - .1) /(2 m - 1) . če upo-
š te vam o mn = lJ , dobimo 2P - 1 = (2 m - 1)(1 + 2m + Z'i.m + oo ,
(n-l )m) ·· . p
. . . + 2 . števllo 2 - 1 s mo t or e j zapis al i v obli ki
produk ta dveh naravnih števil . Ker je 2P - 1 pr a š t evi l o in
j e dru gi fa ktor v eč j i od 1, mor a bit i prvi fa kto r 1, to pa po-
men i, da je m = 1 .
Doka zal i smo to rej, da j e p praštevi lo, če je 2P - 1 prašte-
vilo. Samo po seb i se vsilju j e nasled nje vprašanje: ali ve l ja
ta t rditev tudi v nasprotni smeri? Ali je 2P - 1 vedno pra-
5
Ztev41o. Ee j e  p p r a s t e v l l o l  Vemo, da  Je vssh praStev37 neskoq 
Eno BnOgOr rato  bf  b i l  trdilen odgovor na v p r a f a n j ~ ,  ki smo s f  
ga zastavitf, hkrrtti t u d i  dokat,  da j e  Marsennovqh praStevf1 
neskonEno mnogo. Toda Ie Mersenne 3e vede l ,  da 2p - 1 n i  veg 
no p r a l t e v i l o ,  Ee j e  p pra5tevfla .  Poznal de nanret prfmer 
2" - f = 2047 = 23.89 fn Se mnogo drugfh. 
t i t e r a t l r r a  
M, Kosrnajac: 0 saarifeqbw b~ojrsdmu, M a t .  f i r .  lqst 3 (1963 - 
19641, Ib l  - 103.