Učenje in poučevanje geometrije z uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije v osnovni šoli Knjižnica Ludus ·  · ISSN - Urednica zbirke · Silva Bratož Inovativne in prožne oblike poučevanja in učenja v pedagoških študijskih programih. Operacijo delno financira Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada ter Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport. Operacija se izvaja v okviru Operativnega programa za izvajanje evropske kohezijske politike v obdobju –, prednostna os: . Znanje, spretnosti in vseživljenjsko učenje za boljšo zaposljivost; prednostna naložba: . Izboljšanje enakega dostopa do vseživljenjskega učenja za vse starostne skupine pri formalnih, neformalnih in priložnostnih oblikah učenja, posodobitev znanja, spretnosti in kompetenc delovne sile ter spodbujanje prožnih oblik učenja, tudi s poklicnim svetovanjem in potrjevanjem pridobljenih kompetenc; specifični cilj: .. Spodbujanje prožnih oblik učenja ter podpora kakovostni karierni orientaciji za šolajočo se mladino na vseh ravneh izobraževalnega sistema. Publikacija je brezplačna. Učenje in poučevanje geometrije z uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije v osnovni šoli Andreja Klančar Mara Cotič Amalija Žakelj Učenje in poučevanje geometrije z uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije v osnovni šoli Andreja Klančar, Mara Cotič in Amalija Žakelj Recenzenta · Darjo Felda in Sanja M. Maričić Oblikovanje naslovnice · Tina Cotič Lektoriranje · Davorin Dukić Risbe, oblikovanje in tehnična ureditev · Alen Ježovnik Knjižnica Ludus ·  · ISSN - Urednica zbirke · Silva Bratož Izdala in založila · Založba Univerze na Primorskem Titov trg ,  Koper www.hippocampus.si Glavni urednik · Jonatan Vinkler Vodja založbe · Alen Ježovnik Koper ·  Digitalna izdaja ©  Univerza na Primorskem http://www.hippocampus.si/ISBN/----.pdf http://www.hippocampus.si/ISBN/----/index.html https://doi.org/./---- Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID= ISBN ---- (pdf ) ISBN ---- (html) Kazalo Seznam slik ·  Seznam preglednic ·   Uvod ·   Didaktika matematike v osnovni šoli ·  Teorije učenja in poučevanja ·  Reprezentacije ·  Metode poučevanja matematike ·  Didaktična sredstva pri pouku matematike ·   Informacijsko-komunikacijska tehnologija ·  Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju ·  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije pri poučevanju in učenju ·  Vključevanje izobraževalne tehnologije v pouku matematike ·   Pouk geometrije v osnovni šoli ·  Geometrija ·  Cilji in vsebine pouka geometrije v . triletju osnovne šole ·  Didaktična sredstva in vizualizacija osnovnih geometrijskih pojmov ·  Geometrijski problemi v osnovni šoli ·   Model problemskega pouka geometrije z IKT ·  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije z uporabo IKT za vsebino o obsegih in ploščinah trikotnikov in štirikotnikov v . razredu osnovne šole ·   Sklepne ugotovitve ·  Literatura ·  Imensko kazalo ·  Stvarno kazalo ·   Seznam slik . Didaktični trikotnik ·  . Trikotniško pravilo ·  . Primer grafične reprezentacije – vsota notranjih kotov trikotnika ·  . Prehod s slikovne na simbolno raven ·  . Transformacija ·  . Primer dejavnosti za razvoj osnovnih znanj ·  . Primer dejavnosti za razvoj konceptualnega znanja ·  . Primer naloge, ki preverja rutinska proceduralna znanja ·  . Primer naloge, ki preverja kompleksna proceduralna znanja ·  . Primer naloge, ki preverja problemska znanja ·  . Predvidena učna pot ·  . Posnetek spletne učilnice z e-gradivi ·  . Diferenciacija nalog ·  . . postulat ·  . . postulat ·  . . postulat ·  . Krožnica ·  . Simetrala daljice ·  . Vzporednici k dani premici ·  . Simetrala kota ·  . Krožnica, ki poteka skozi tri dane nekolinearne točke ·  . Konstrukcija štirikotnika s pomožnim likom ·  . Konstrukcija trikotnika z dvema rešitvama ·  . Primer problemske naloge ·  . Primer zaprtega geometrijskega problema: površina kocke ·  . Primer zaprtega geometrijskega problema: ploščina štirikotnika ·  . Primer zaprtega geometrijskega problema: življenjska situacija ·  . Predvidena učna pot ·  . Iskanje vsiljivca ·  . Dolžina ograje ·  . Obsegi trikotnikov in štirikotnikov ·  . Računanje obsega štirikotnika ·  . Računanje neznane stranice štirikotnika ·  . Pašnik – problemska naloga z vizualno oporo ·  . Indirektna naloga brez slikovne opore  ·  . Indirektna naloga brez vizualne opore  ·  . Interaktivna naloga Merjenje ploščine s tlakovanjem ·   Seznam slik . Določanje ploščine lika, narisanega na kvadratni mreži ·  . Računanje ploščine pravokotnika ·  . Ponovitev obrazca za ploščino kvadrata ·  . Problemska naloga o zaporedju ·  . Preoblikovanje paralelograma ·  . Zapis obrazca za ploščino paralelograma ·  . Naloga o ploščini paralelograma s slikovno podporo ·  . Ploščinsko enaki paralelogrami ·  . Ploščina romba ·  . Računanje obsega in ploščine paralelograma ·  . Računanje ploščine romba ·  . Geometrijski izziv ·  . Preoblikovanje trapeza v pravokotnik ·  . Preoblikovanje trapeza v paralelogram ·  . Računanje ploščine trapeza ·  . Računanje ploščine trapeza ·  . Računanje osnovnice in obsega trapeza ·  . Trapez v koordinatni mreži ·  . Ploščina deltoida – uvodni izziv ·  . Raziskovanje ploščine deltoida s pomočjo predstavitve Power Point ·  . Raziskovanje ploščine deltoida s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku ·  . Ploščina trikotnika – uvodna aktivnost ·  . Raziskovanje ploščine trikotnika ·  . Raziskovanje ploščine pravokotnega trikotnika s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku ·   Seznam preglednic . Poglavitne značilnosti konstruktivističnega učenja ·  . Most od konkretnega proti abstraktnemu ·  . Kako je znanje skonstruirano ·  . Reprezentacije ·  . Elementi problemskega znanja ·  . Opisni kriteriji spremljanja problemskih znanj ·  . Opisni kriteriji znanja pri reševanju problemov glede na raven doseženega znanja ·  . Primerjava med tradicionalnimi in novimi učnimi okolji ·  . Primerjava modela pouka z uporabo IKT s tradicionalnim poukom ·   Uvod  Geometrija, ena najstarejših znanosti, je pomembno področje šolske mate- matike. Pouk geometrije v osnovni šoli temelji na ustreznem uvajanju geo- metrijskih pojmov, ki so osnova za gradnjo prostorskih predstav. Poudarjena je uporaba konstruktivističnega pristopa, ki izpostavlja aktivno vlogo učen- cev pri konstrukciji znanja v procesu odkrivanja in raziskovanja. Vključevanje informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT) v pouk geo- metrije pomeni dopolnitev in obogatitev učnega procesa, saj nam omogo- ča večjo nazornost, natančnost in dinamičnost pri predstavljanju predme- tov, pojavov in procesov. Osrednjega pomena je vizualizacija matematičnih pojmov, saj so grafične ponazoritve geometrijskih pojmov z uporabo IKT, v primerjavi s klasičnimi geometrijskimi konstrukcijami, veliko reprezentativ- nejše. Uporaba učne tehnologije sama po sebi še ne zagotavlja večje kakovosti v izobraževanju, vendar omogoča nove pristope ter z njihovo uporabo tudi učinkovito usvajanje različnih vrst znanj. Kljub temu, da so digitalne tehnologije že del vsakdanjega življenja in de- la, Evropska unija (EU) ocenjuje, da v sistemih izobraževanja in usposabljanja po Evropi še niso v celoti izkoriščene. V slovenskih šolah je raba IKT pri po- uku povprečna glede na države EU oziroma od povprečja nekoliko odstopa navzdol (MIZŠ, ). Kljub priporočilom in široki dostopnosti IKT so razlike med priporočili in dejansko uporabo informacijsko-komunikacijska tehnolo- gija (IKT)pri pouku, in učenju matematike nasploh, še naprej velike. Prav tako v Sloveniji ni konkretnih , ki bi dokazovale vpliv IKT na aktivne oblike in us- pešnost učenja matematike. V slovenskem prostoru se pojavljata pretežno dva modela pouka: tradici- onalni, transmisijsko usmerjen, ter kognitivno-konstruktivistični ali transfor- macijski model. Pri tradicionalnem modelu pouka je učiteljeva vloga usmer- jena v podajanje znanja, učenje pa je naravnano k usvajanju konkretnih vse- bin in predvsem proceduralnih znanj. Kognitivno-konstruktivistični model pouka zahteva problemsko naravnane metode in pristope, kjer je učitelj po- zoren ne samo na »kvantiteto«, temveč tudi na »kvaliteto« učenčevega pred- znanja. Učitelj načrtno izvablja učenčeve izkušnje, stališča in poglede, jih soo- ča z nepopolnostjo in s konfliktnostjo ter jim s prilagojeno didaktično podpo- ro pomaga pri rekonstrukciji znanja. Pri tem so poudarjeni pomen učenčeve  Uvod aktivnosti v vseh učnih etapah, sodelovanje in izmenjava izkušenj ter pogle- dov med učenci in načrtno pridobivanje spretnosti učenja. Pri takem pouku učenec postopoma prevzema vse večji del odgovornosti za proces pridobi- vanja znanja in osebnega razvoja ter se usposablja za vseživljenjsko učenje (Valenčič Zuljan, ). V pričujoči monografiji v teoretičnem delu predstavljamo širši pregled področja didaktike matematike s poudarkom na problemskem pouku ter vključevanju IKT v pouk geometrije. Predstavljamo in utemeljujemo model problemskega pouka geometrije z uporabo IKT, ki v ospredje postavlja vi- zualizacijo geometrijskih pojmov preko različnih reprezentacij ter razvija- nje sposobnosti prehajanja med njimi, kar je ključno za razvoj problemskih znanj. Model problemskega pouka geometrije z uporabo IKT, ki smo ga preizku- sili v šolski praksi, smo oblikovali tako, da učenci skozi različne aktivnosti z uporabo IKT usvojijo osnovne geometrijske pojme, h geometriji pristopajo problemsko ter tako razvijajo znanja in strategije za uspešno reševanje raz- ličnih matematičnih (geometrijskih) problemov in problemov iz vsakdanje- ga življenja. Pri tem so poudarjeni pomembna vloga rabe IKT pri spodbuja- nju individualizacije učnega procesa, njen vpliv na enostavnejšo vizualizacijo osnovnih geometrijskih pojmov ter reševanje in raziskovanje geometrijskih problemov. Pričujoča monografija pomembno prispeva k razvoju metod in oblik uče- nja in poučevanja matematike ter tako predstavlja kakovosten prispevek na področju splošne didaktike kot tudi specialne didaktike matematike.  Didaktika matematike v osnovni šoli  Tehnološki napredek, razvoj informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT) ter izsledki nevroznanosti vplivajo na spremembe izobraževalnih praks in po- sledično na spremembe v razvoju didaktike. Če so bile v preteklosti izobra- ževalne ustanove eden glavnih »virov znanja«, temu danes ni več tako, saj so informacije posamezniku dostopne tako rekoč na vsakem koraku. Otroci se s tehnologijo in poplavo informacij srečujejo že v zgodnjem otroštvu in s seboj v šolski prostor prinašajo drugačne izkušnje in znanja, kot so jih ge- neracije pred desetletji. Živimo v dobi, kjer ni težava pridobivanje informacij, temveč njihovi smiselna selekcija in smotrna uporaba. Z razvojem IKT se tako zmanjšuje pomen faktografskega znanja in proceduralnih znanj, saj so nam pri izvajanju procedur v pomoč različna orodja in aplikacije na naših elek- tronskih napravah. Vendar razvoja omenjenih znanj ne moremo preprosto zapostaviti, saj sta razvoj miselnih predstav ter razumevanje matematičnih pojmov in dejstev ključna za konstrukcijo znanja in hkrati tudi pogoj za nje- gov transfer. Žakelj () navaja, da je za razvoj kognitivne strukture in kako- vost nadaljnjega učenja pomembno tako deklarativno kot tudi proceduralno in metakognitivno znanje. Z razvojem in uporabo IKT se je torej zmanjšal pomen proceduralnih znanj, povečala se je potreba po problemskih znanjih oziroma kompleksnem zna- nju, ki vključuje vse od temeljnih spretnosti branja, računanja do razume- vanja kompleksnih problemov in načinov njihovega reševanja. Govorimo o spremembi pojmovanja znanja od enoznačnega in nespremenljivega h kom- pleksnemu in dinamičnemu znanju (Žakelj, ). Prav tako se spreminjajo tudi pristopi učenja in poučevanja. Sodobni pri- stopi učenja in poučevanja temeljijo na aktivni vključenosti učenca v proce- su učenja. Cilj poučevanja matematike ni samo prenos matematičnih znanj, temveč proces, skozi katerega učenci matematiko odkrivajo, raziskujejo pro- bleme in s tem gradijo svoje znanje. Usvajanje konkretnih vsebin se dopol- njuje s konceptualnimi in procesnimi znanji oziroma z znanji, naravnanimi k iskanju poti in strategij reševanja problemov. Tako pridobljeno oziroma iz- grajeno znanje je trajnejše ter prenosljivo na druga predmetna področja in v konkretne življenjske situacije. Preko različnih dejavnosti ter ob premišljenih oblikah motivacije so učenci aktivno vključeni v proces učenja. Pri tem razvi- jajo mišljenje in se učijo produktivno uporabljati svoje znanje. Učenci morajo  Didaktika matematike v osnovni šoli namreč začutiti pomen in smiselnost vsebin in znanja, ki se ga učijo, da lahko znanje ponotranjijo. Učni načrt za matematiko je zasnovan v obliki spiralnega kurikuluma, ki temelji na večkratnem vračanju k temeljnim vsebinam in postopnem nad- grajevanju ter dopolnjevanju znanja. Pri uvajanju pojmov je potrebno upo- števati kognitivni razvoj otroka in obravnavo novih vsebin preko življenjskih situacij smiselno navezati na že usvojene vsebine ter postopno vključevati prenos znanja na druga področja (Žakelj, ). De Corte (, str. ) izpostavlja, da so »končni cilj učenja in poučevanja izgradnja ›prilagodljive kompetence‹, to je zmožnosti, da naučeno in osmi- šljeno znanje ter razvite veščine uporabljamo v različnih situacijah na prožen in ustvarjalen način«. Za doseganje omenjenega cilja je potrebno dobro poznavanje učenja, ra- zvoja mišljenja ter samega poteka izgradnje matematičnega znanja. Potreb- no je poiskati odgovor na temeljna vprašanja uspešnega poučevanja: »Kaj je učenje? Kako organizirati proces učenja, da bo učenec pri tem uspešen? Kaj je bistvo učenja? Kaj se učiti? Kako zasnovati proces učenja, da bodo učen- ci napredovali v miselnem razvoju ter dosegli kakovostno znanje in razvili veščine za njegovo uporabo v različnih situacijah?« Odgovori na omenjena vprašanja se skrivajo v različnih teorijah učenja. Poznavanje teh teorij učitelju omogoča razumevanje procesa učenja, uporabo različnih pristopov ter mož- nost razvijanja različnih modelov pouka z namenom, da učencem omogoči kakovostno izgradnjo znanja. Teorije učenja in poučevanja Zanimanje za učenje in vplivanje nanj sega že v antično Grčijo, vendar se je znanstveno preučevanje učenja na najtehtnejši način začelo na začetku . stoletja. Znanstveno raziskovanje je krepilo visoka pričakovanja glede poten- ciala, ki ga je imelo za izboljšanje izobraževalnih praks, vendar razmerje med raziskovanjem in prakso v . stoletju ni bilo najproduktivnejše (De Corte, ). V tem času so številni psihologi, ki so se ukvarjali z učenjem, razvili več kot  teorij učenja (De Corte, ; Marentič-Požarnik, ). Poznavanje in razumevanje teorij učenja učitelju omogoča uporabo učin- kovitih pristopov poučevanja, kjer s pomočjo različnih metod in oblik pouče- vanja, skozi različne dejavnosti ter ob uporabi različnih didaktičnih sredstev učencem omogoča uspešno izgrajevanje (matematičnega) znanja. Vsaka te- orija ima tudi pomanjkljivosti, vendar te niso razlog, da bi jih zavrnili v celoti, saj so imele posamezne teorije pomemben vpliv pri razvoju izobraževalnih praks. Žakelj () meni, da je poznavanje teorij učenja, njihovih zakonito-  Teorije učenja in poučevanja sti in pristopov pomembno zato, da se učitelj zaveda različnih vidikov in vrst znanj, da zna presoditi, katerim dati prednost v različnih situacijah, da ve, na kakšen način jih razvijati (Žakelj, ), ter da v razredu ustvari take situacije, v katerih se učenci učijo, razumejo in si zapomnijo (Woolfolk, ). Pojmovanje učenja se je skozi leta raziskovanja spreminjalo. Unescova ura- dna definicija učenja pravi (Marentič-Požarnik, , str. ), da je »učenje vsaka sprememba v vedenju, informiranosti, znanju, razumevanju, stališčih, spretnostih ali zmožnostih, ki je trajna in ki je ne moremo pripisati fizični rasti ali razvoju podedovanih vedenjskih vzorcev«. V nadaljevanju bomo predsta- vili nekaj glavnih konceptov in teorij učenja, ki so se razvili v tem stoletju na Zahodu in so pomembno vplivali tudi na učenje in poučevanje matematike (De Corte, ; Walling, ): – behaviorizem, ki temelji na preučevanju na zunaj opaznega vedenja (učenje je oblikovanje, ojačanje in prilagajanje asociativnih povezav); – kognitivizem, ki poudarja pomen človekovih notranjih mentalnih, pred- vsem spoznavnih procesov pri učenju, ter doseganje globljega razu- mevanja; – konstruktivizem, ki temelji na ideji, da znanje ni prenosljivo, temveč ga zgradimo (konstruiramo) z lastno miselno aktivnostjo v procesu osmi- šljanja svojih izkušenj; – konektivizem, ki temelji na Downesovi domnevi o porazdeljeni kogni- ciji oziroma na tezi, da je znanje porazdeljeno po človeških, družbenih in tehnoloških omrežjih. Pomembno je poudariti, da ravno izbira izhodiščnega teoretskega modela določa pogled na to, kako se ljudje učijo, kako poučujejo učitelji in tudi, kako se uporablja tehnologija za poučevanje. V nadaljevanju bomo omenjene teorije učenja predstavili podrobneje. Behaviorizem Behaviorizem se je v zgodnjih letih . stoletja začel razvijati v Združenih dr- žavah Amerike, kjer je tudi prevladoval do preloma stoletja. Osredotoča se na preučevanje na zunaj opaznega vedenja. Mentalni procesi, kot so npr. mišlje- nje, predstave, cilji in pričakovanja, radikalnih behavioristov ne zanimajo, saj menijo, da ne morejo biti predmet znanosti, ker niso dostopni objektivnemu raziskovanju (De Corte, ; Marentič-Požarnik, ; Woolfolk, ). Temeljna ideja behavioristične teorije je, da učenje izhaja iz sprememb v vedenju, do katerih pride zaradi usvajanja, krepitve in uporabe asociacij (vezi)  Didaktika matematike v osnovni šoli med dražljaji iz okolja in opaznimi odzivi posameznika (reakcijami) nanje ali kot kompleksnejša povezava med mrežno povezanimi elementi (Jaušovec, ). Ta vidik predstavlja temelj vseh behaviorističnih teorij, ki se razlikujejo predvsem po mehanizmih, ki vplivajo na določanje vezi med dražljajem in reakcijo (De Corte, ; Marentič-Požarnik, ). Behavioristi v ospredje postavljajo zunanjo motivacijo, ki temelji na pogo- jevanju – Skinnerjeva teorija podkrepitve. Na osnovi te teorije se je kasneje razvilo programirano učenje (v katerem pravilno zaporedje delnih vedenj, ki se jih učimo, določa podrobna analiza nalog) (De Corte, ), v novejšem ča- su pa inteligentni računalniški tutorski sistemi, ki delujejo na načelu pozitivne podkrepitve (Jaušovec, ; Marentič-Požarnik, ). Vpliv behaviorizma na pouk (tudi pouk matematike) se kaže predvsem v strukturiranosti pouka (splošni in operativni cilji), sekvenčnem posredovanju enot, ki temelji na povečevanju kompleksnosti (elementarno znanje je torej osnova za bolj sestavljeno). Učenje temelji na pomnjenju dejstev in trenira- nju matematičnih procedur (»dril«), saj to po mnenju behavioristov krepi vezi med dražljajem in reakcijo (Kennedy, Tipps in Johnson, ). V skladu z behavioristično teorijo so učiteljeve naloge organizacija pouka in priprava ustreznega gradiva, nadzorovanje procesa učenja, dajanje takoj- šnje povratne informacije in nagrajevanje ustreznega vedenja. Značilni so jasni, specifični, dobro vidni in merljivi cilji, njihovo premišlje- no veriženje ter potreba po nenehnem preverjanju in ocenjevanju znanja, kjer gre za dosledno sprotno pogojevanje z namenom vzdrževanja znanja (Lipovec, Kobal in Repolusk, ). Behavioristi so uvedli tudi najobjektivnej- šo obliko preverjanja in ocenjevanja znanja – izdelali so test znanja (Jaušovec, ; Orton, ). V skladu z behavioristično teorijo učenje poteka tako, da učenci sledijo uči- teljevim navodilom, ponujenemu gradivu in rešujejo naloge po prikazanem postopku (Orton, ). Rešujejo jih individualno ali pa so razdeljeni v sku- pine. Teži se k učenju brez napak z veliko vaje (»dril«) in utrjevanju teorije z nalogami (Jaušovec, ). Behavioristični pristopi, ki temeljijo na opredeljevanju učnih ciljev, tehni- kah učenja spretnosti in sistemih vodenja razreda, so po mnenju Woolfolkove () še vedno uporabni, in sicer, kadar je učiteljev cilj, da si učenci zapomni- jo določene informacije, se naučijo določenih spretnosti (smiselno je učenje iz gradiv, ki so logična in sestavljena iz dejstev) ali kadar je cilj sprememba določenega vedenja. Slabosti behavioristične teorije se kažejo predvsem v dejstvu, da slednja ne spodbuja razvoja kompleksnega konceptualnega znanja in razvoja miselnih  Teorije učenja in poučevanja veščin ter ne upošteva socialnih in čustvenih dejavnikov, ki vplivajo na uče- nje (De Corte, ). Učenci v učni situaciji zavzamejo le pasivno vlogo – so zgolj prejemniki znanja (Woolfolk, ). Behavioristična teorij ne upošteva notranje motivacije za učenje, ki vpliva na trajnost pridobljenega znanja, saj naravnanost na izid ne prinaša trajnega znanja, ker slednje ni ponotranjeno (Marentič-Požarnik, ; Orton, ). Kognitivizem Nezadovoljstvo z zmožnostjo behaviorističnih teorij, da razložijo kompleksne pojave, računalniška revolucija in preobrati pri razumevanju jezikovnega ra- zvoja so bili vzroki za oživitev kognitivnega raziskovanja in začetek »kognitiv- ne revolucije«. Dokazi so nakazovali, da gre pri ljudeh za nekaj več kot le odzi- vanje na dražljaje, saj ljudje svoje odzive npr. načrtujemo, uporabljamo stra- tegije za lažjo zapomnitev, učno gradivo organiziramo na sebi lasten način itd. (Woolfolk, ). Kognitivna psihologija tako učenja ne razume več kot odzivanje na dražljaje, temveč kot predelovanje informacij (De Corte, ) oziroma kot aktiven miselni proces, ki ga ne moremo opazovati neposredno (Marentič-Požarnik, ). Kognitivizem poudarja pomen človekovih notranjih mentalnih, predvsem spoznavnih procesov pri učenju (npr. vpliv predznanja, ciljev, pričakovanj itd.) ter doseganje globljega razumevanja (Marentič-Požarnik, ). Cilj kognitivne teorije je čim uspešnejši in učinkovitejši prenos znanja na učence. Kognitivisti so se pri raziskovanju osredotočili predvsem na spozna- vanje in razumevanje notranjih mentalnih procesov (mišljenje, učenje, reše- vanje problemov), ukvarjali so se s strategijami (npr. uporaba učinkovitih stra- tegij pri reševanju matematičnih problemov) in s pojasnjevanjem konceptu- alnih struktur, ki jih danes razumemo kot osnovo za razvijanje kompetenc (De Corte, ). Kompleksni kognitivni procesi namreč vodijo do razume- vanja, to je primernega transformiranja in uporabe znanja, spretnosti in idej (Woolfolk, ). Pri učenju gre torej za aktiven proces spreminjanja miselnih struktur, ki temelji na procesiranju informacij. Učenec informacije sprejme, nato na njih izvaja kognitivne operacije, jih shrani v spominu in nato uporab- lja. Ker učenje temelji predvsem na predelovanju informacij (kjer je učitelj posredovalec znanja, učenec pa pogosto pasivni prejemnik), usvajanje zna- nja poteka na precej pasivne načine – najprimernejši metodi poučevanja sta namreč predavanje in branje iz učbenikov (De Corte, ). Učenje torej ni več pojmovano kot krepitev odzivov (metafora behaviori- stične teorije), temveč kot usvajanje znanja (metafora kognitivne teorije) (De Corte, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli Vpliv kognitivne teorije na izobraževanje se kaže v razvoju in uporabi ra- znih organizatorjev, mnemoničnih tehnik, metafor, deljenja celote na manjše dele, organizacije učnih materialov od enostavnejših do kompleksnih in dru- gih pripomočkov, ki pomagajo učencu pri zapomnitvi. Konstruktivizem in socialni konstruktivizem Konstruktivisti se še podrobneje posvečajo preučevanju notranjih miselnih procesov. Konstruktivistična teorija temelji na ideji, da učenci niso le pasivni prejemniki informacij, temveč aktivno gradijo svoje znanje in veščine skozi interakcije z okoljem in z reorganizacijo lastnih miselnih struktur. Govorimo torej o konstrukciji znanja, kjer je učni proces usmerjen na učenca (učenec prevzame aktivno vlogo v procesu učenja), učitelj (ki je imel v preteklosti predvsem nalogo posredovalca znanja) pa ga pri učenju usmerja in spod- buja (De Corte, ). Pomembno je, da učitelj strategije poučevanja sproti prilagaja odzivom učencev ter slednje spodbuja k analizi in interpretaciji in- formacij. Socialni konstruktivisti se oddaljujejo od razumevanja, da učenje in kogni- cija potekata v izoliranem umu ter da je znanje neodvisno od situacij, znotraj katerih nastaja. Učenje in kognicijo razumejo kot interaktivno dejavnost med posameznikom in situacijo (De Corte, ). Kognitivne sposobnosti se torej razvijajo tudi v socialni interakciji. Konstruktivistični pristop podpira sodelo- valno učenje in socialno interakcijo med učenci ter med učenci in učiteljem. Sodelovanje omogoča soočanje različnih stališč in vpogled v drugačno raz- mišljanje, ki lahko povzroči destabilizacijo prvotnega razumevanja. Omenja- no lahko dosežemo z uporabo oblik dela, kot so skupinsko delo, sodeloval- no učenje, delo v parih, skupinske razprave, pogovor, posvetovanje v skupini (Žakelj, ). Konstruktivisti poudarjajo, da naj bo učenec aktivno vključen v sooblikovanje učnega procesa (Dougiamas, ). Mentalni procesi (kognicije) se, kljub temu, da jih ne moremo opazovati, kažejo v visokem individualnem odzivu na učenje – posameznik se uči tako, da ustvari lastno unikatno razumevanje, ki izhaja iz njegove lastne izkušnje (Kennedy idr., ). Pojmovne strukture so torej proizvod miselne dejavno- sti posameznika, ki oblikuje svoje mišljenje tako, da je usklajeno z izkušenj- skim svetom. Konstruktivisti ljudi obravnavajo kot aktivne učence, ki tvorijo izkušnje, iščejo informacije za reševanje problemov in reorganizirajo to, kar že vedo, da bi dosegli nov vpogled (Woolfolk, ). Za razliko od behavioristov, ki učenje vidijo kot temelječe na zunanji moti- vaciji, je pri konstruktivistih v ospredju spodbujanje notranje motivacije. Uči- telj lahko na notranjo motivacijo učencev vpliva z uporabo primernih didak-  Teorije učenja in poučevanja Preglednica . Poglavitne značilnosti konstruktivističnega učenja Aktiven proces Potrebna miselna aktivnost učenca Konstruktiven proces Neko informacijo povezujemo z drugimi, da bi jo lažje razumeli Kumulativen proces Novo znanje gradimo na predznanju K cilju usmerjen proces Učenec se mora zavedati ciljev in gojiti ustrezna pričakovanja Diagnostično Diagnosticiranje lastnega učenja Reflektivno Ponoven razmislek o procesu učenja Opombe Povzeto po Šteh (, str. ). tičnih pristopov. V procesu učenja lahko to doseže s kognitivnim konfliktom, ki ga sproži s smiselno postavljenimi vprašanji, izzivi ali problemskimi situaci- jami. Prek kognitivnega konflikta učenci začutijo potrebo po razširitvi znanja in tako novo znanje povežejo v mrežo obstoječega znanja (proces asimilaci- je) oziroma prilagodijo ali spremenijo lastno kognitivno strukturo, ko začutijo motnjo ali napetost v obstoječih miselnih strukturah (proces akomodacije). Učenci se učijo tako, da sodelujejo v diskusijah, oblikujejo vprašanja, se učijo reševati probleme ter razvijajo metakognitivne strategije. Za poučevanje pa slednje pomeni spodbujanje razumevanja in lastnega odkrivanja zakonito- sti, pojmov itd. (Labinowicz, ; Žakelj, ). Namesto pomnjenja podat- kov, ponavljanja in memoriranja dejstev ter postopkov so v procesu učenja v ospredju analiziranje, raziskovanje, sodelovanje in združevanje (sinteza) že znanih stvari (Dougiamas, ). Konstruktivistično učenje se osredotoča na proces za doseganje cilja in ne toliko na sam cilj oziroma rezultat. Konstruktivisti zagovarjajo odpravo klasične oblike ocenjevanja in testov. Poudarjajo pomen sprotnega preverjanja znanja v procesu učenja in aktivne udeležbe učencev v procesu spremljanja in ocenjevanja lastnega napredka. Poudarek dajejo avtentičnim oblikam ocenjevanja znanja, kot je npr. ocenje- vanje projektnega dela, seminarskih nalog, predstavitve portfelja itd. Učitelj je pri tem postavljen pred zahtevno nalogo oblikovanja kriterijev in objektiv- nega ocenjevanja izdelkov, predstavitev in drugih dejavnosti. Opredelitev poglavitnih značilnosti konstruktivističnega učenja (Šteh, ) je predstavljena v preglednici .. Avtorica poudarja, da je konstruktivistično učenje usmerjeno k odkrivanju, povezano z vsakdanjim življenjem, problemsko usmerjeno, osnovano na primerih, intristično motivirano ter socialno. Tudi posamezne konstruktivistične teorije se razlikujejo med seboj in pou- darjajo različne vidike učenja. Posledično so imele različen vpliv oziroma pri- spevek k poučevanju matematike. Razvoj logično-matematičnih sposobno- sti je opisal švicarski psiholog Jean Piaget, ki je avtor razvojne teorije. Menil je, da je učenje podrejeno zakonitostim razvoja. Razvoj mišljenja po Piagetu  Didaktika matematike v osnovni šoli poteka preko štirih faz: senzomotorične (od rojstva do dveh let), predopera- tivne (od drugega do sedmega leta), konkretno operativne (od sedmega do enajstega leta) in formalno operativne (od enajstega do štirinajstega oz. pet- najstega leta) (Kennedy idr., ). Učenec je sposoben mišljenja zunaj kon- kretne stvarnosti šele na stopnji formalnih operacij. Takrat je sposoben raz- mišljati o lastnem mišljenju ter razumeti in upoštevati simbolične abstrakcije v algebri (Žakelj, ). Pri vpeljavi matematičnih vsebin je torej potrebno upoštevati otrokovo ra- zvojno stopnjo mišljenja. Učencem je potrebno ponuditi okolje, ki omogo- ča raziskovanje in oblikovanje novega znanja (učenje z odkrivanjem). Učitelj lahko spodbuja aktivno učenje, ne more pa nadzirati procesa učenja v učencu (Jaušovec, ). Pri tem si lahko pomaga z Dienesovimi načeli, med katerimi izpostavljamo predvsem načelo variacije ponazarjanja, ki poudarja pomen uporabe več različnih reprezentacij pri izgradnji matematičnega pojma. Po- dobno kot Dienes tudi Bruner zagovarja učenje z raziskovanjem in pomen različnih reprezentacij pojmov. Bruner trdi, da je pomembno vsebino prila- goditi tako, da jo otrok lahko sprejme. S tem se oddalji od Piagetove razvoj- ne teorije, ki pravi, da je potrebno poučevanje in vsebine prilagoditi razvojni stopnji otroka (ko je učenec pripravljen, da bi ga poučevali določeno vsebi- no). Izgradnja pojma po Brunerju poteka skozi tri faze: enaktivno (reševanje problemov na osnovi manipulacije s konkretnimi objekti), ikonično (slikovne ali grafične ponazoritve pojma) ter simbolično (uporaba besed, števil in dru- gih simbolov za ponazoritev idej, objektov in odnosov) (Kennedy idr., ; Marentič-Požarnik, ). Predpogoja za uspešno obravnavo matematičnih vsebin nista torej le učenčeva zrelost in predznanje, temveč tudi raznolike reprezentacije pojma ter prehajanje med njimi. Pomemben vidik konstruktivističnega učenja predstavlja tudi samoregu- lacija učenja. Učenci, ki obvladajo samoregulacijo, so vešči učinkovite orga- nizacije časa za učenje in postavljanja ciljev (postavljajo si višje neposredne cilje kot drugi, natančneje in pogosteje jih nadzorujejo in niso prehitro zado- voljni s svojim standardom), kar se odraža v večji učinkovitosti in vztrajnosti. Zimmerman in Risemberg () poudarjata, da je samoregulcija močno po- vezana z dosežki na različnih področjih. Obstajajo pa tudi kritike konstruktivistične teorije. Nekateri avtorji, ki pri- poročajo vrnitev k direktnemu poučevanju, trdijo, »da se pristopi, ki temeljijo na konstruktivizmu, pretirano zanašajo na raziskovalno učenje in učencem ne nudijo dovolj vodenja, s čimer ignorirajo strukturo človeške kognitivne arhitekture in posledično kognitivno preobremenitev delovnega spomina« (De Corte, , str. ).  Teorije učenja in poučevanja Medsebojni odnosi Učitelj Učenec Didaktična komunikacija Učna vsebina Didaktična sredstva Cilji Slika . Didaktični trikotnik (povzeto po Kramar, , str. ) S sodobnimi pristopi poučevanja se je spremenilo tudi pojmovanje pouče- vanja, kjer ne gre več le za učiteljevo posredovanje učne vsebine učencem, temveč za izobraževalni proces, v katerem so učitelji in učenci enakoprav- ni subjekti, med katerimi se stalno razvijajo medsebojni odnosi, didaktična komunikacija in socialna interakcija (Kramar, ). Slednje je na sliki . prikazano v obliki didaktičnega trikotnika. Konektivizem Konektivizem temelji na Downesovi domnevi o porazdeljeni kogniciji (Downes, ) oziroma na tezi, da je znanje porazdeljeno po človeških, družbenih in tehnoloških omrežjih. Učenje je pojmovano kot proces povezovanja, nara- ščanja in uporabljanja teh omrežij (Radovan, ). Gre za nov način pojmo- vanja učenja – govorimo o omrežnem učenju (angl. networked learning) na treh ločenih ravneh: – ravni živčevja, ki temelji na možganski aktivnosti; – konceptualni ravni, ki temelji na mrežno povezanih konceptih in znan- stvenih disciplinah; – zunanji ravni, ki temelji na vpetosti novih tehnologij. Vsem trem omrežjem so skupna vozlišča, ki se na vsaki od navedenih ravni prikazujejo drugače. Na ravni možganske aktivnosti so to nevroni, na kon- ceptualni ravni je to zamisel oziroma ideja, na zunanji ravni pa oseba ali in- formacijski vir (Bregar, Zagmajster in Radovan, ). Siemens () izpostavlja naslednja temeljna načela konektivizma:  Didaktika matematike v osnovni šoli – učenje in znanje se manifestirata z različnostjo pogledov in mnenj; – učenje je proces povezovanja specializiranih informacijskih virov; – znanje lahko obstaja zunaj človeka; – odločilna je sposobnost vedeti več; – za posodabljanje znanja je odločilno vzdrževanje povezav; – temeljna sposobnost je sposobnost prepoznavanja povezav med po- dročji, zamislimi in koncepti; – temeljno načelo učenja je pridobivanje najaktualnejšega znanja. Novost konektivizma, v primerjavi s t. i. tradicionalnimi teorijami učenja, je izpostavljanje tehnologije kot vira znanja. Vloga učitelja je v konekcionistični teoriji spremenjena – po Fisherju ni več posredovalec znanja, ne usmerjevalec, temveč prevzema vlogo »administra- torja mreže«, to je upravljavca, ki učence usmerja k virom oziroma priložno- stim učenja, in skrbnika, ki vodi in spodbuja učenčevo raziskovanje (Siemens, ). Kritiki konektivizma poudarjajo, da dejansko ne gre za novo teorijo učenja, saj načela konektivizma vključujejo t. i. tradicionalne teorije učenja. Konekti- vizem se lahko uporabi kot vodilo oziroma teorija za razvoj obstoječih teorij poučevanja v globaliziranem in povezanem svetu, ne pa kot samostojna te- orija (Ally, ). Vendar kljub omenjenemu Duke, Harper in Johnston () poudarjajo, da je konektivizem pomembna miselna šola, ki jo lahko aplicira- mo na današnjo uporabo tehnologije pri pouku. Nobena od omenjenih teorij učenja ne zajema vseh vidikov učenja, vendar lahko iz vsake izberemo elemente, ki so pomembni pri poučevanju matema- tike in ki pripomorejo k uspešni izgradnji znanja učencev. Prav tako imajo teorije učenja pomemben vpliv na poučevanje z uporabo IKT ter na proces ustvarjanja e-gradiv. Najboljše teorije torej ni. Bistveno je, da učitelj pozna različne teorije in pri- stope, njihove prednosti in pomanjkljivosti ter možnosti za vpeljavo. Izhodi- šče za učitelje je učni načrt in v njem predvideni pristopi z namenom dosega- nja učnih ciljev, ki jih učni načrt predpisuje. Ti učitelja usmerjajo k prilagoditvi poučevanja konstruktivističnim vrednotam (Mergel, ). Raziskovanje učenja se je v zadnjih dveh desetletjih preselilo v učilnice in s tem veliko prispevalo k razumevanju učenja različnih predmetov ter razu- mevanju metod poučevanja, ki spodbujajo produktivno učenje. Nastale so smernice, ki pomagajo pri oblikovanju inovativnih učnih okolij za reševanje problemov in razvijanju instrumentov za nadzorovanje učenja in poučeva- nja, vendar je še vedno prisoten velik razkorak med raziskovanjem in prakso  Teorije učenja in poučevanja (De Corte, ). Načini poučevanja so kljub vsem izsledkom močno ustaljeni, njihovo spreminjanje pa velik izziv. Za zmanjšanje razkoraka med raziskovanjem in prakso je potrebno zago- toviti ter spodbujati kontinuirano izobraževanje in usposabljanje učiteljev ter jih seznanjati z novostmi in načini uporabe novih dognanj v praksi. Tako lah- ko vplivamo na spreminjanje prevladujočih pogledov na učenje in prepričanj o njegovi naravi ter učitelje v skladu s tem spodbujamo k ustvarjanju inova- tivnih učnih okolij in gradiv (De Corte, ). Razvoj matematičnih pojmov Osrednja naloga pouka osnovnošolske matematike je gradnja pojmov in po- vezav ter razvoj številskih in prostorskih predstav. Razvoj številskih predstav vključuje razumevanje številskih simbolov ter znakov za različne operacije, razumevanje pojma količina, razumevanje številskih operacij, sposobnost za branje in pisanje matematičnih simbolov ter razumevanje številskih odnosov (Žakelj, ). Prostorska predstavljivost pomeni razumevanje geometrijskih pojmov in prostorskih odnosov ter sposobnost orientacije v ravnini in pro- storu (Žakelj, ). Nemški didaktik Aebli je prišel do pomembnih ugotovitev o učenju in pou- čevanju pojmov. Trdi, da je za vsakogar, ki se ukvarja s poučevanjem, nadvse pomembno razumeti potek učenja pojmov ter uravnavanje tega procesa pri otrocih različnih starosti in tudi pri odraslih (Marentič-Požarnik, ). Za usvajanje matematičnih pojmov so ključne reprezentacije pojmov. Cha- pman poudarja, da reprezentacije učencem omogočajo, da komunicirajo na matematičen način, da modelirajo in interpretirajo realen, socialen in ma- tematičen kontekst ter da raziskujejo in interpretirajo pomene matematič- nih pojmov, relacij in procedur (Hodnik Čadež, ). Bruner je z zaporedjem uporabe reprezentacij pri obravnavi matematičnih pojmov (najprej enaktiv- na, nato ikonična in nazadnje simbolična) opredelil tudi potek razvoja ma- tematičnih pojmov pri učencu. Raziskave kažejo, da so bolj kot zaporedje reprezentacij pomembne relacije med reprezentacijami določenega mate- matičnega pojma (Hodnik Čadež, ) oziroma fleksibilno prehajanje med različnimi reprezentacijami (Žakelj, ). Pouk geometrije v osnovni šoli se začne z opazovanjem konkretnih pred- metov in razvijanjem sposobnosti orientacije v prostoru. Geometrijske poj- me učenci spoznavajo skozi dejavnosti didaktične igre, ki temeljijo na opa- zovanju, opisovanju odnosov, razlikovanju, risanju, prepogibanju, barvanju itd. Gagne () poudarja, da je pomemben predpogoj za učenje pojmov uče-  Didaktika matematike v osnovni šoli nje razlikovanja. Če vzamemo za primer učenje geometrijskih likov, npr. kva- drata, pravokotnika, trikotnika, je potrebno znati razlikovati predvsem oblike. Oblikovanje pojmov pomeni spoznavanje, razlikovanje, primerjanje in ugo- tavljanje skupnih značilnosti stvari ali pojavov. Če pojem obvladamo, ga zmo- remo tudi prepoznati ali poiskati nove primere tega pojma in jih razlikovati od primerov, ki pojma ne predstavljajo. Predvsem na nižji stopnji definicija ni nujna sestavina obvladovanja pojma. Na primer: če obvladamo pojem triko- tnik, prepoznamo različne vrste trikotnikov, poznamo glavne lastnosti triko- tnikov in jih ločimo od štirikotnikov ter drugih večkotnikov in likov. Nekatere pojme, kot je na primer pojem trikotnik, je zelo enostavno razumeti, saj so konkretni in jih z lahkoto vizualiziramo. Na težave naletimo pri učenju poj- mov, ki ne označujejo ničesar stvarnega in jih ne moremo vizualizirati (npr. pojem neskončnosti). Omenili smo, da so za usvajanje pojmov ključne reprezentacije pojmov. Reprezentirati pojem pomeni generirati primere, predstavo. Simbolična re- prezentacija je zunanje napisana ali izgovorjena, mentalna pa se nanaša na interne sheme. Kot primer lahko vzamemo Pitagorov izrek. Ko omenimo Pita- gorov izrek, nekomu pride na misel pravokotni trikotnik, drugemu algebraič- no zapisan izrek. Žakelj (, str. ) poudarja, da »biti uspešen v matematiki pomeni med drugim imeti tudi bogato mentalno reprezentacijo pojma«. Za isti pojem imamo lahko zgrajenih več mentalnih reprezentacijo. Za fleksibil- no rabo pojma je pomembno fleksibilno prehajanje med reprezentacijami. Učence navajamo k rabi več reprezentacij in poudarjamo prehod med njimi, uvajamo vizualizacijo, predpostavljanje, domnevanje, odkrivanje, translaci- jo (proces prehajanja med reprezentacijami), sintetiziranje, modeliranje, pre- verjanje itd. (Žakelj, ). Razvoj in razumevanje pojmov sta namreč osnova za posploševanje in zahtevnejše miselne operacije (Marentič-Požarnik, ). V skladu z razvojem teorij učenja se pri obravnavi matematičnih pojmov pojavljajo različni pristopi: behavioristični, kognitivni ter konstruktivistični. Behavioristični pristop lahko razložimo kot programirano učenje, ki pote- ka počasi in zanesljivo preko številnih povezav v obliki vprašanj in odgovorov nanje. Omogoča usvajanje pojmov in dejstev ter razvoj proceduralnih znanj. Velik pomen se pripisuje povratni informaciji in njenemu vplivu na motivaci- jo za nadaljnje učenje (Hodnik Čadež, ). Slabost tega pristopa je v tem, da nimamo pregleda, kako učenec razume matematični pojem. Njegovo ra- zumevanje je predvsem odvisno od kakovosti njegove lastne refleksije reše- vanja matematičnih nalog (Hodnik Čadež, ). Kognitivni kognitivni temelji na tem, da učenca dejansko postavimo v spodbudno učno okolje, v katerem odkriva in na sebi lasten način gradi  Teorije učenja in poučevanja razumevanje nekega matematičnega pojma. Piaget je podrobno preuče- val razvoj pojmov na posameznih stopnjah kognitivnega razvoja. Konkretni pojmi se začnejo razvijati na stopnji konkretnih operacij, abstraktni pojmi pa, ko učenec doseže stopnjo formalnologičnega mišljenja (Marentič-Požarnik, ). Kognitivni kognitivni se od behaviorističnega razlikuje po tem, da bolj upošteva učenčevo predznanje in zrelost oziroma pripravljenost za učenje določenega pojma (Hodnik Čadež, ). Za oblikovanje matematičnih pojmov je pomembna tudi Dienesova teori- ja, ki temelji na štirih načelih (Marentič-Požarnik, ): – načelu dinamike; – načelu konstrukcije; – načelu matematične spremenljivosti; – načelu zaznavne spremenljivosti. Prvo načelo, načelo dinamike, izhaja iz Piagetovih spoznanj, da se učen- ci učijo veliko počasneje, kot si predstavljamo. Za usvajanje matematičnega pojma potrebujejo veliko časa. Dienes pravi, da je učenje aktiven proces, v katerem so učenci aktivno udeleženi. Oblikoval je tri stopnje, ki so pomemb- ne pri oblikovanju matematičnih pojmov: stopnja igre, stopnja strukture in stopnja vaje (Hodnik Čadež, ). Kot smo že omenili, je tri stopnje pri učenju matematičnih pojmov opre- delil tudi Bruner (), ki razlikuje med enaktivno, ikonično in simbolično stopnjo. Stopnje po Brunerju pri usvajanju matematičnih pojmov apliciramo hierarhično, od enaktivne, ikonične do simbolične, ali kot tri različne pristo- pe pri usvajanju matematičnih pojmov. Primernost posameznega pristopa je odvisna od starosti učenca in narave matematičnega pojma. Ne Bruner ne Dienes zaporednosti stopenj nista predvidela kot pogoja za uspešno učenje matematičnih pojmov (Hodnik Čadež, ). Bruner je sprva sicer domneval, da lahko pri starejših učencih v procesu poučevanja izpuščamo prvi dve sto- pnji brez škode za razumevaje in se osredotočimo le na simbolično, vendar je na podlagi izkušenj in raziskav to stališče spremenil. Vrnimo se k Dienesovim načelom. Drugo njegovo načelo, načelo konstruk- cije, temelji na tem, da je matematika za učence konstruktivna in ne analitič- na dejavnost. Učenci v procesu učenja izgradijo lastno matematično znanje. Načelo matematične spremenljivosti poudarja pomembnost, da so učenci udeleženi v raznolikih konkretnih dejavnostih, ki obravnavajo dani pojem, npr. učenci trikotnik spoznajo v različnih legah, z različnimi velikostmi kotov in različnimi dolžinami stranic.  Didaktika matematike v osnovni šoli Zadnje Dienesovo načelo, načelo zaznavne spremenljivosti, poudarja po- men upoštevanja individualnih razlik učencev. Zato avtor predlaga organi- zacijo učenja v manjših skupinah, delo z učnimi listi in uporabo raznolikih reprezentacij pojma (Hodnik Čadež, ). Dienesova teorija o učenju matematike, ki temelji na delu Piageta in Bru- nerja, predstavlja temeljno idejo o matematičnem učenju današnjega časa – lastni konstrukciji in neprenosljivosti znanja, ki sta temeljni ideji konstrukti- vizma (Hodnik Čadež, ). Učenje matematike z razumevanjem pa je preučeval tudi Ausubel (), ki je postavil splošno teorijo o učenju z razumevanjem. Z razliko od Brunerja, ki se je zavzemal za to, da bi morali učenci pri pouku samostojno odkrivati, je Ausubel poudarjal prednost sistematičnega učenja, ki temelji na vzpostavlja- nju povezav z obstoječo posameznikovo strukturo znanja in rezultira v siste- matičnejšem znanju. V našem šolskem prostoru se vedno bolj nagibamo k Brunerjevi teoriji, vendar veliko pomembnost pripisujemo tudi Ausubelovim idejam (Hodnik Čadež, ). Pri učenju pojmov Marentič-Požarnikova () izpostavlja dve poti: – pridobivanje obstoječih pojmov od odraslih, predvsem na osnovi be- sedilnih razlag (transmisijski pristop), in – samostojno oblikovanje (odkrivanje) pojmov (konstruktivistični pri- stop). Transmisijski transmisijski: Marentič-Požarnikova () transmisijski tran- smisijski pojmuje kot prenašanje gotovega znanja, ki je velikokrat ločeno od izkušenj učencev in od konkretnih življenjskih okoliščin. Pri tem pristopu je učenje usmerjeno k rezultatom, razvoj strategij reševanja, predstavitev rezul- tatov ali izmenjava mnenj so manj pomembni. Konstruktivistični transmisijski: strokovnjaki si prizadevajo za povečanje kakovosti in trajnosti znanja, za spodbujanje široke palete znanja, procesov in veščin ter samostojnega, ustvarjalnega in kritičnega mišljenja ter presojanja, kar naj bi se odrazilo v usposobljenosti za dovolj samozavestno spopadanje in reševanje življenjskih problemov (Sentočnik in Rutar Ilc, ). Tako se v sodobnih edukacijskih vedah vse bolj uveljavlja konstruktivistični pristop, ki poudarja aktivno vlogo učenca v konstrukciji znanja in hkrati predstavlja te- melj oblikovanju znanja z razumevanjem. Pri poučevanju ne gre več le za prenos znanja, temveč za ustvarjanje si- tuacij za odkrivanje in izgrajevanje znanja, kjer učitelj predvsem usmerja in spodbuja delo učencev. Konstruktivisti so mnenja, da posameznik svojega  Teorije učenja in poučevanja znanja v gotovi obliki ne more posredovati drugemu oziroma ga od nekoga prejeti, temveč ga mora ponovno izgraditi z lastno miselno aktivnostjo. Pou- darjajo, da učenje pojmov ne bo uspešno, če učenec ne bo aktivno vključen v proces izgrajevanja pojma. Pod vplivom konstruktivizma se vse bolj poudarja pomen kognitivne struk- ture – sistemsko mrežno urejenega predznanja za kakovost nadaljnjega uče- nja. Učenci so v današnji informacijski dobi že tako preveč obremenjeni s šte- vilnimi podatki in novimi informacijami, ki hitro zastarajo. Zato se šola usmer- ja k temu, da učenci spoznavajo znanje preko lastnih izkušenj. Navaja jih na samostojno iskanje novih informacij, razvijanje in uporabo strategij za reše- vanje problemov, s katerimi se bodo srečali v konkretnih življenjskih okoli- ščinah (Plut-Pregelj, ). Učence spodbuja k zaznavanju problemov, njiho- vem opredeljevanju, iskanju poti za reševanje problemov, k presojanju, ana- liziranju, povezovanju itd. Govorimo torej o spoznavnem procesu, kjer ni več poudarka le na storilnosti, temveč na ustvarjanju, raziskovanju in sodelova- nju. Pri tem vsebinske cilje nadgrajujemo in povezujemo s procesnimi cilji. Ločimo torej vsebinska in procesna znanja. Vsebinska znanja so specifična za določeno predmetno področje na določeni stopnji izobraževanja, procesna znanja pa so skupna vsem predmetnim področjem in stopnjam izobraževa- nja. S procesnimi znanji učenci pridobivajo in izgrajujejo vsebinska znanja, jih izpopolnjujejo, razširjajo in uporabljajo tako, da postanejo pomembna za življenje – vseživljenjska znanja (Sentočnik in Rutar Ilc, ). Proces pridobivanja pojmov Razvoj pojmovnih predstav je dolgotrajen proces. V naši kognitivni struktu- ri obstajata dve celici: definicija pojma in pojmovna predstava. Pridobivanje pojmov pomeni oblikovanje pojmovnih predstav in pridobivanje besednega izraza oz. poimenovanja. Učenec si zgradi pojmovno predstavo npr. o štiriko- tnikih na podlagi izkušenj, ta predstava pa je lahko nepopolna ali napačna. Paralelogram si npr. predstavlja kot »nagnjen pravokotnik«, ki ima sosednji stranici različno dolgi, nasprotni stranici pa sta vzporedni in skladni. Njego- va celica pojmovne predstave je polna, celica definicije pa prazna. Kasneje pri pouku v osnovni šoli sliši definicijo paralelograma: »Paralelogrami so šti- rikotniki z dvema paroma vzporednih in skladnih stranic.« Če v tej situaciji pri učencu nastopi kognitivni konflikt in učenec ni zadovoljen s pojmovno predstavo, ki jo ima, lahko nastopi sprememba, dopolnitev pojmovne pred- stave. Ni pa nujno. Lahko napolni celico z definicijo, pri uporabi pa še vedno misli na paralelogram kot samo na »nagnjen pravokotnik« (in ne razume, da v skupino paralelogramov spadajo tudi rombi in kvadrati), saj sta celica poj-  Didaktika matematike v osnovni šoli movne predstave in celica definicije ločeni. Tvorba pojmovne predstave je zelo pomembna, kajti pri reševanju problemov pogosteje kot definicijo upo- rabljamo pojmovno predstavo. Pojmovna predstava je lahko precej drugač- na od definicije. Učitelji pričakujejo, da se celica pojmovne predstave napolni kasneje in popolnoma kontrolirano tako, da je ekvivalentna z definicijo. Ven- dar se to ne zgodi vedno. Učenec se lahko definicijo nauči na pamet, celica pojmovne predstave pa ostane prazna ali napolnjena z napačnimi predsta- vami. Zato znati definicijo na pamet še ne pomeni razumeti pojem. Učenje pojmov brez prave priložnosti, da obstoječe napačne pojmovne predstave popravimo oz. dopolnimo, vodi v učenje brez razumevanja. Rezultat take- ga učenja so praviloma izolirani koščki znanja, brez pravih povezav. Učitelj, ki pozna procese pridobivanja pojmov, kognitivni razvoj učenca ter njegove miselne sposobnosti, ki so potrebne za razumevanje pojmov, in to upošteva pri izbiri dejavnosti, lahko pomembno prispeva k učenju pojmov z razume- vanjem (Piciga, ; Marentič-Požarnik, ; Žakelj, ). Razvoj matematičnega mišljenja – faze razvoja po Brunerju Jerome Bruner je bil eden najvplivnejših ameriških pedagoških psihologov . stoletja. Odgovoren je za premik od behaviorizma h kognitivni psihologi- ji, ki se je zgodil v ZDA. Na osnovi raziskav je skupaj s skupino znanstvenikov dokazal, da človekove dejavnosti (npr. zaznave) ne moremo razložiti samo z biološkimi, nevrofiziološkimi omejitvami človekovega organizma, z zunanji- mi dražljaji in reakcijami nanje, ampak s človekovim mišljenjem in z njegovi- mi nameni. Bil je Piagetov učenec, kar je delno vplivalo tudi na njegovo delo. Bruner je trdil, da ima otrok v vsakem obdobju razvoja za to obdobje značilen način videnja in razlaganja sveta. Sklepal in trdil je, da »vsakega otroka katere koli starosti lahko učimo česar koli, če to storimo na njemu primeren način« (Bruner, , str. IX). Bruner je razlikoval med tremi načini mišljenja: enaktivnim, ikoničnim in simbolnim, na čemer temelji tudi reševanje matematičnih problemov. Otrok najprej rešuje probleme na osnovi akcije (manipulacije s konkretnimi objekti, skozi različne dejavnosti). Na tej stopnji pridobi proceduralno znanje, saj se učinkovitega izvajanja številnih dejavnosti nauči s posnemanjem in z vajo. Učenje teh npr. samo na slikovni in simbolni ravni ni uspešno. Za razumeva- nje izbrane dejavnosti je pomembna uporaba vseh treh reprezentacij. Drugi način predstavljanja sveta je slikovni. Določajo ga čutne, npr. vidne zazna- ve in pravila njihove organizacije, ki so osnova za simbolni način predstavi- tve sveta. Bruner je velik pomen pripisoval slikovnim in grafičnim reprezen- tacijam. Najvišji nivo predstavlja simbolna stopnja oziroma simbolni način  Teorije učenja in poučevanja predstavitve sveta, ki za reprezentacijo idej, objektov in odnosov uporablja besede, števila ter druge dogovorjene simbolne sisteme in pravila. Ta način predstavlja središče intelektualnega razvoja, v okviru katerega je jeziku po- svečena posebna pozornost (Plut-Pregelj, ). Sprva je Bruner prevzemal Piagetovo pojmovanje, da otrokov kognitivni razvoj poteka progresivno in da vsaka razvitejša stopnja nadomesti manj raz- vito. Tako naj bi kognitivni razvoj po Brunerju potekal od konkretne, enak- tivne, preko slikovne do simbolne, abstraktne ravni. Domneval je, da lahko pri starejših učencih v procesu poučevanja prvi dve reprezentaciji izpušča- mo brez škode za razumevaje in se osredotočimo le na simbolno, vendar je na podlagi izkušenj in raziskav to stališče spremenil. Vse tri reprezentaci- je soobstajajo tako pri otrocih kot pri odraslih in so dostopne na vsaki točki razvoja, prevladujejo pa na posamezni stopnji. Omenjeno razumevanje ra- zvoja mišljenja je pomembno vplivalo tako na vsebino kot tudi na metode poučevanja, saj je nujno, da znotraj učnega procesa zagotavljamo možnosti za razvijanje vseh načinov predstavljivosti, ne le simbolnega. Njegov pogled na znanje kot na konstruirano celoto in njegovo spodbuja- nje raziskovalnega učenja sta prispevala k nastanku konstruktivizma. Bruner se je zavzemal, da bi v pouk vključevali čim več samostojnega od- krivanja. Slednje je utemeljil s trditvijo, da je tako pridobljeno znanje traj- nejše in uporabnejše v novih situacijah, učenci so bolj motivirani, razvijeta se samostojnost in kritičnost, učenci se naučijo metod reševanja problemov (Marentič-Požarnik, ). Raziskovalno učenje s samostojnim odkrivanjem, ki ga spodbuja Bruner, temelji na petih načelih (Pappas, ): . Reševanje problemov – vloga učitelja je motiviranje in usmerjanje učencev k iskanju rešitev s povezovanjem novih informacij, obstoje- čega znanja in raziskovanja. Tako učenci zavzemajo aktivno vlogo v procesu učenja. Preko različnih aktivnosti razvijajo strategije za reševa- nje problemov in s tem razvijajo različne spretnosti. . Organizacija učenja – pomembno je, da učitelji učencem prepustijo iz- biro med samostojnim delom ali delom v dvojicah oziroma delom v skupini, s čimer zagotovijo, da učenje poteka v učenčevem lastnem rit- mu. Fleksibilnost učenja z raziskovanjem je ravno nasprotje statični vse- binski razdelitvi učne snovi in aktivnosti. Učenci niso izpostavljeni ne- potrebnemu stresu in se lahko vživijo v proces učenja. . Vključevanje in povezovanje – učiteljeva naloga je učiti in spodbuja- ti učence k povezovanju novih znanj s predhodno pridobljenimi zna-  Didaktika matematike v osnovni šoli nji ter njihov prenos in uporabo v življenjskih situacijah. Tako izgrajeno znanje postane temelj za nove informacije, ki se v procesu učenja inte- grirajo v obstoječo mentalno mrežo posameznika, pri čemer se vzpo- stavljajo vzročno-posledične zveze med že znanim in novim. Tako na- staja mentalni oziroma reprezentacijski model, ki vsebuje številne po- vezave med dejstvi, procesi in koncepti ter predstavlja nabor možnosti za njihovo uporabo. Skozi izkušnjo učenja se model razvija skozi vse življenje. . Analiziranje in interpretacija informacij – učenje z raziskovanjem je pro- cesno (in ne vsebinsko) naravnano. Temelji na predpostavki, da učenje ni le pomnjenje podatkov oziroma dejstev. Učenci se učijo analizirati in interpretirati pridobljene informacije in ne zgolj pomniti pravilne od- govore. . Povratna informacija in učenje na napakah – Bruner izpostavlja, da se učenje ne zaključi oziroma nastane, ko poiščemo pravi odgovor oziro- ma rezultat. Učimo se tudi preko napak. Učenje z raziskovanjem se ne osredotoča na iskanje pravega končnega rezultata, ampak na novosti, ki jih odkrijemo v samem procesu raziskovanja. Tu ima učitelj pomemb- no vlogo – slediti procesu učenja učenca in ga usmerjati, spodbujati in voditi z dajanjem smiselne in premišljene sprotne povratne infor- macije. Brunerjevo idejo zasleduje tudi učni načrt za matematiko, kjer je med pri- poročili zapisano, da naj učenci matematiko spoznavajo najprej prek izkustva materialnega sveta, nato prek govornega jezika, ki generalizira to izkustvo, v naslednji fazi prek slike in prikazov ter šele nazadnje na simbolni in abstrak- tni ravni. Ena izmed pomembnejših nalog učenja in poučevanja matematike v osnovni šoli je tudi razvoj sposobnosti učencev za nadaljnje delo in izobra- ževanje (Žakelj idr., ). Reprezentacije Kar slišim, pozabim, kar vidim, si zapomnim, kar naredim, razumem in znam. Kitajski rek Pouk matematike je namenjen graditvi pojmov in povezav, spoznavanju ter učenju postopkov, ki posamezniku omogočajo vključitev v sistem (matema- tičnih) idej in posledično v kulturo, v kateri živimo. Osnovnošolski pouk mate- matike obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme,  Reprezentacije in to na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, s sposob- nostmi, z osebnostnimi značilnostmi in njegovim življenjskim okoljem (Ža- kelj idr., ). Pri pouku matematike spodbujamo različne oblike mišljenja, ustvarjalnost, formalna znanja in spretnosti ter učencem omogočamo, da spoznajo prak- tično uporabnost in smiselnost učenja matematike. Pri tem se ne ukvarjamo samo s kognitivnim področjem učenčeve osebnosti, ampak tudi z afektivnim in s psihomotoričnim, saj je bistveni razlog za poučevanje in učenje matema- tike njena pomembnost pri razvoju celovite osebnosti učenca. Izbira dejavnosti pri pouku je odvisna od razvojne stopnje učenca, struktu- re obstoječega znanja in seveda od namenov učenja. V procesu učenja mate- matike ni najpomembnejše, da učenec čim hitreje reši zadano nalogo, tem- več da med različnimi strategijami reševanja določene naloge izbere naju- streznejšo, upoštevajoč vrsto naloge in matematični pojem, ki je v njej obrav- navan (Verschaffel, Greer in DeCorte, ). Način reševanja je seveda odvi- sen predvsem od učenčevega znanja, razumevanja matematičnih pojmov, pri čemer pa ne gre zanemariti vloge učitelja, ki z nenehnim spodbujanjem k izbiri ustreznih strategij za reševanje določenih nalog učence spodbuja k tovrstnemu razmisleku pri reševanju nalog (Hodnik Čadež, ). V osnovnošolskem izobraževanju pojme uvajamo najprej na konkretni in slikovni ravni, kasneje tudi na simbolni in abstraktni ravni. Uporabljamo kon- kretna ponazorila, različne didaktične pripomočke, v današnjem času tudi sodobna gradiva in informacijsko-komunikacijsko tehnologijo. Ti omogoča- jo dodatno motivacijo, boljše razumevanje ter povezovanje abstraktnih kon- ceptov z učenčevim obstoječim znanjem (Žakelj idr., ). Vigotsky vidi re- prezentacije kot pot do znanja in izpostavlja njihovo ključno vlogo v otro- kovem razvoju (MacDonald, ). Reprezentacije oziroma načini učenčeve- ga ravnanja z njimi omogočajo tudi spremljanje in ocenjevanje učenčevega napredovanja v matematičnem znanju. Novejše raziskave kažejo, da so bolj kot zaporedje reprezentacij pomembne relacije med reprezentacijami do- ločenega matematičnega pojma (Chapman, ) ter prehajanje med posa- meznimi reprezentacijami istega matematičnega pojma (Heinze, Star in Ver- schaffel, ). Na podlagi slednjega naj bi učni proces vseboval štiri faze: uporabo ene reprezentacije, uporabo več reprezentacij sočasno, izgradnjo povezav med posameznimi reprezentacijami, integracijo reprezentacij in fle- ksibilno prehajanje med njimi (Žakelj, ). Žakelj () poudarja, da biti uspešen v matematiki pomeni imeti bogato reprezentacijo koncepta. Pri pouku matematike je za učenčevo uspešno in produktivno interakcijo z različnimi reprezentacijami pomembno, da (De Jong idr., ):  Didaktika matematike v osnovni šoli . tekoče rokuje z različnimi reprezentacijami in med njimi tudi prehaja (npr. zna s konkretnim materialom izračunati dani račun in računanje »prevesti« v simbolni zapis); . izmed ponujenih izbere ustrezno reprezentacijo za reprezentiranje do- ločenega pojma (reprezentiranje seštevanja trimestnih števil z deseti- škimi enotami je primernejša reprezentacija kot reprezentiranje raču- nanja v obsegu do . z nestrukturiranim materialom); . poleg omenjenega uporabi različne reprezentacije matematičnih poj- mov, učitelj pa zadovolji potrebe učečih se z različnimi učnimi stili (Mal- let, ). Reprezentacije pri matematiki so različne. Lahko vključujejo slike, diagra- me, simbole, konkreten material, jezik in realne situacije iz življenja (Van de Walle, Karp in Bay-Williams, ). Eisner () poudarja pomen različnega reprezentiranja pri ustvarjanju razumevanja, ki se nadgradi v ustvarjanje no- vega/drugačnega razumevanja izbranega matematičnega pojma. Razlikujemo med notranjimi reprezentacijami (miselne predstave) in zu- nanjimi reprezentacijami (okolje). Zunanje reprezentacije so sestavljene iz strukturiranih simbolnih elementov, katerih vloga je »zunanja« predstavitev določene matematične »realnosti«. Hodnik Čadež () tako govori o kon- kretnih reprezentacijah, grafičnih reprezentacijah, reprezentacijah z mate- matičnimi simboli ter IKT-reprezentacijah. Kot ključni dejavnik pri učenju ma- tematike izpostavi povezovanje reprezentacij, ki ga ponazorimo z modelom reprezentacijskih preslikav. V okviru tega modela definira dva koncepta, ra- zumevanje in pomenjanje, pri čemer učenčevo razumevanje matematičnega pojma razumemo kot njegovo sposobnost prehajanja med različnimi zuna- njimi reprezentacijami, pomenjanje pa kot sposobnost upravljanja z določe- no zunanjo reprezentacijo. Vendar nekateri matematični pojmi zaradi svoje narave ne omogočajo prehajanja med vsemi, ampak le med nekaterimi re- prezentacijami (Hodnik Čadež, ). Izbira reprezentacije ni odvisna le od matematičnega konteksta, ampak tudi od posameznika, ki rešuje določeno matematično nalogo ali problem (Acevedo Nistal, Van Dooren, Clarebout, Elen in Verschaffel, ). V raziska- vi K. N. Bieda in Nathana () se je izkazalo, da je tekoča uporaba repre- zentacij – spretno rokovanje s posamezno reprezentacijo in prehajanje med reprezentacijami, ko je to potrebno – učinkovitejša kot osredotočanje na re- prezentacijo, ki ne temelji na relaciji z matematičnim pojmom. Prehajanje med zunanjimi reprezentacijami je torej ključno, saj so te v tesni korelaciji z notranjimi reprezentacijami, ki jih opredelimo kot miselne pred-  Reprezentacije stave oziroma miselne prezentacije (ne reprezentacije): nekaj, kar nima origi- nala, notranji svet izkušnje. Notranje reprezentacije, poznamo jih tudi pod iz- razom kognitivne reprezentacije (Palmer, ), razumemo kot miselne pred- stave, ki ustrezajo našim notranjim formulacijam »realnosti«. Kognitivni ra- zvoj temelji na dinamičnem procesu prepletanja miselnih predstav in okolja (Karmiloff-Smith, ). To pomeni, da je uspešno učenje aktivno oblikovanje znanja v procesu interakcijo med zunanjimi in notranjimi reprezentacijami. Večkrat se zgodi, da učitelji začetniki ne izhajajo iz svojega matematične- ga znanja, ampak iz učbeniških gradiv in drugih materialov (Brown in Borko, ), ki so lahko problematični z vidika reprezentiranja matematičnih poj- mov, zato je zelo pomembno problematiziranje šolske matematike na način, da učiteljem pomagamo ponovno premisliti o njihovem matematičnem zna- nju in o okvirih, na katerih temelji njihovo poučevanje (Llinares in Krainer, ; Herbel-Eisenmann in Philips, ; Feiman-Nemser in Buchman, ). Učiteljeva refleksija dela v razredu je nujna komponenta učenja in pouče- vanja, ki vodi do kakovostnih sprememb stališč in znanja o poučevanju in učenju (Llinares in Krainer, ), ki temelji na smiselni uporabi in kreiranju matematičnih reprezentacij. V nadaljevanju bomo predstavili zunanje reprezentacije. Pri pouku mate- matike v glavnem ločimo tri vrste zunanjih reprezentacij: konkreten oziroma didaktičen material, grafične, vizualne ponazoritve in matematične simbole (Hodnik Čadež, ). Enaktivne reprezentacije, manipulacija s konkretnim materialom Didaktičen material bomo opredelili kot material, ki ga učenci in učitelji upo- rabljajo pri pridobivanju znanja. Didaktičen material pri pouku matematike je konkreten material, s katerim poskušamo učencem na različne načine pribli- žati abstraktne matematične ideje (Hodnik Čadež, ). Najprimernejši ozi- roma najustreznejši didaktični material je konkreten material, s katerim ak- tiviramo različne učenčeve senzorne kanale. Tako pri učencu preko fizične aktivnosti spodbudimo miselno aktivnost (Heddens, ). Uporaba didaktičnega materiala ima pomembno vlogo pri oblikovanju matematičnih pojmov, saj učencem pomaga razumeti matematične pojme, procedure, algoritme in simbole. Seveda pa didaktičen material ne reprezen- tira sam po sebi. Ključno vlogo pri slednjem ima učenec, ki da reprezentaciji pomen. Didaktičen material se med seboj razlikuje po kompleksnosti in ga delimo na strukturiranega in nestrukturiranega. Osnovno vprašanje pri ro- kovanju z didaktičnim materialom je zagotovo to, kako sta povezana fizično manipuliranje z materialom in miselni procesi, ki ob tem nastajajo, oziroma  Didaktika matematike v osnovni šoli kako rokovanje z materialom pomaga pri razvijanju izbranega matematič- nega pojma oziroma pri reševanju matematičnih problemov (Hodnik Čadež, ). Manipuliranje z materialom naj bi se odražalo v miselni aktivnosti, ki je po- trebna za razumevanje abstraktnega matematičnega pojma. Če didaktičen material ne zagotavlja določenega miselnega napora, je po besedah Markov- ca () didaktično neustrezen. Markovac () predlaga, naj učenci didak- tičen material uporabljajo toliko časa, dokler ne znajo rešiti naloge brez upo- rabe tega materiala. Ko to dosežejo, določen material za učence ni več potre- ben. Učenci se običajno sami ne odločijo za opustitev določenega materiala, zato je vloga učitelja, da spodbuja k reševanju nalog brez njegove uporabe in s tem preverja učenčevo zrelost za njegovo opustitev. Ni pa prav, da mo- ra učenec material opustiti, če za to opustitev ni zrel oziroma mu uporaba materiala omogoča rokovanje z izbranim matematičnim pojmom, s proce- duro, z algoritmom. Didaktičen material ima vlogo mediatorja med učnimi cilji, ki vodijo pouk matematike, in rezultati tega procesa – matematično iz- obraženimi učenci (Gellert, ). Ob tem se kar samo ponuja vprašanje, če se učenci zavedajo didaktične vrednosti materiala, ali ga uporabljajo na na- čin, ki se od njih pričakuje, oziroma če material resnično vodi k uresničevanju izbranih matematičnih ciljev. Tudi če učitelj presodi, da izbran didaktičen ma- terial učencem pomaga pri napredovanju v matematičnem znanju oziroma spodbuja določeno miselno aktivnost, še ne pomeni, da se bo to v praksi tu- di zgodilo. Ni namreč nujno, da učenci v materialu prepoznajo matematične odnose, material lahko npr. zaznajo kot fizične objekte. Material kot tak sam po sebi ne zagotavlja uspešnega učenja. Učenje je namreč kompleksen pro- ces, katerega sestavni del je rokovanje s konkretnim materialom. Rokovanje s konkretnim materialom, ki ni osmišljeno z natančno refleksijo procesa ro- kovanja in ni obravnavano v relaciji z drugimi reprezentacijami v matematiki, ne more voditi k uspešnemu učenju matematičnih pojmov. Narava matema- tičnega pojma, način uporabe didaktičnega materiala in material sam so de- javniki, ki vplivajo na proces učenja in poučevanja (Hodnik Čadež, ). Markovac () pri rokovanju z didaktičnim materialom izpostavi tudi vlo- go jezika, ki predstavlja most med fizično in miselno aktivnostjo. Ko rokujemo z didaktičnim materialom, fizična manipulacija ni bistvena, bistven je miselni proces, ki se odvija v ozadju. Ta miselni proces pa postane transparentnej- ši, ko je dejavnost podkrepljena z verbaliziranjem, saj je s tem fizična aktiv- nost transformirana v miselni proces in tako ponotranjena. S tem je okreplje- no učenčevo razmišljanje (če mora učenec rokovanje z materialom glasno pojasnjevati, njegovo rokovanje z materialom postane bolj osredotočeno na  Reprezentacije Spreminjaj dolžini daljic a in b. Razišči, v katerih primerih lahko sestaviš triko- tnik in v katerih primerih trikotnika ne moreš sestaviti. Preveri pravilnost trdi- tev. Če z zapisanimi dolžinami stranic lah- ko sestaviš trikotnik, vpiši D. Če trikot- nika ne moreš sestaviti, vpiši N. a b c =  cm, a =  cm, b =  cm c =  cm, a =  cm, b =  cm c =  cm, a =  cm, b =  cm c Slika . Trikotniško pravilo (povzeto po Tratar idr., , str. ) matematični pojem). Po Markovcu () je uporaba didaktičnega materiala brez verbaliziranja nesmiselna, saj učencev ne vodi do višjih miselnih pro- cesov, kar je bistveni razlog uporabe didaktičnega materiala pri poučevanju matematike (Hodnik Čadež, ). Pokažimo primer reprezentacije z virtualnimi objekti z uporabo simulacije v i-učbeniku. Na sliki . je predstavljen primer enaktivne reprezentacije, ki ustreza konkretni ravni. Dejavnost spodbuja razvoj osnovnih znanj. Gre za proces spoznavanja oziroma raziskovanja trikotniškega pravila. Grafične reprezentacije Grafične reprezentacije so v matematiki na razredni stopnji najbolj zastopa- ne pri ponazarjanju matematičnih idej. Matematični učbeniki, delovni zvezki ter drugo matematično gradivo so polni grafičnih reprezentacij, ki se med seboj razlikujejo po domiselnosti, izvirnosti ter korektnosti. Nekatere so celo matematično vprašljive in didaktično neustrezne (Hodnik Čadež, ). Grafične reprezentacije vsebujejo slikovne ponazoritve. Pomembno je, da učitelj tudi pri oblikovanju e-gradiv načrtuje dejavnosti, pri katerih učen- ci opazujejo grafične ponazoritve ter dejavnosti, kjer grafične ponazoritve ustvarjajo sami. Na sliki . je predstavljen primer grafične reprezentacije. Ključen je razmislek o tem, kaj slika prikazuje. Ali prikazuje tisto, kar vidim (npr. pravi kot v trikotniku), ali je to lahko kateri koli kot. V katerem primeru lahko sliki popolnoma verjamem, v katerem primeru mi slika služi le kot pod- pora za nekaj, česar na njej neposredno ni mogoče razbrati? Pomembno je sprejeti oziroma določiti pravila grafičnega ponazarjanja matematičnih idej glede na matematično vsebino in spodbujati diskusijo pri učencih, ko pride do različnih interpretacija (Hodnik Čadež, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli C γ = ° b a α′ ° ° α = ° β = ° c A B Slika . Primer grafične reprezentacije – vsota notranjih kotov trikotnika (povzeto po Tratar idr., , str. ) Preglednica . Most od konkretnega proti abstraktnemu Konkretna Grafična reprezentacija Reprezentacija z reprezentacija matematičnimi simboli Semikonkretna Semiabstraktna Ploščino paralelogra- Ploščino paralelogra- Ob splošni skici para- Obrazec za ploščino ma določimo tako, da ma z danimi dimen- lelograma brez danih paralelograma zapi- model paralelograma zijami, ki je narisan dimenzij ozavestimo šemo z matematični- (fizično) preoblikuje- v koordinatni mreži, postopek računanja mi simboli. mo v model pravoko- določimo tako, da ga ploščine paralelogra- tnika, ki je posebna grafično preoblikuje- ma. oblika paralelogra- mo v ploščinsko enak ma, ki mu določimo pravokotnik. ploščino. Opombe Povzeto po Heddens (). Grafične reprezentacije predstavljajo nekakšen most med konkretnimi re- prezentacijami in reprezentacijami z matematičnimi simboli. Heddens () je most, ki vodi od konkretnega proti abstraktnemu, predstavil kot most gra- fičnih reprezentacij, ki so bodisi polkonkretne bodisi polabstraktne. Slednje bomo predstavili na primeru obravnave pojma ploščine paralelograma (pre- glednica .). Pri učenju matematike se torej srečujemo z različnimi grafičnimi reprezentacijami, ki za učenca niso nujno enostavnejše od konkretnih. Izbiro grafične reprezentacije določata narava matematičnega pojma in uporaba konkretnega materiala pri obravnavi tega pojma. Ključno je sprotno vzpo- stavljanje povezav med različnimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, ). Matematični simboli V procesu zgodnjega učenja matematike je rokovanje s simboli tesno pove- zano s konkretnimi in z grafičnimi reprezentacijami, v tretji triadi učenci pre-  Reprezentacije D C D C Va Va A a B A a B Slika . Prehod s slikovne na simbolno raven hajajo med vsemi tremi reprezentacijami. Nemalokrat učenci s simboli upra- vljajo mehanično, brez razumevanja (Hodnik Čadež, ). Specifični simboli so simboli v geometriji, s katerimi se prav tako učenci srečajo že v prvih dveh vzgojno-izobraževalnih obdobjih osnovne šole. Ne- kateri simboli so v tesni povezavi z matematično idejo, ki jo predstavljajo (so si podobni), npr. simbole za vzporednost, pravokotnost, kot, nekateri drugi pa te neposredne povezave z referenco oziroma grafičnim prikazom pojma nimajo. Mednje sodijo oznake za presečišča, oglišča, poimenovanje daljic, poltrakov itd. (Hodnik Čadež, ). Slika . prikazuje prehod s slikovne na simbolno raven razumevanja. Relacije med različnimi reprezentacijami Poznamo veliko različnih razlag pojmov razumevanje in pomenjanje. Hodnik Čadež () pomenjanje definira kot proces, tesno povezan s specifično re- prezentacijo, razumevanje pa kot učenčevo sposobnost prehajanja (prevaja- nja) med različnimi reprezentacijami. S pomenjanjem opredeli učenčevo sposobnost dati določeni reprezenta- ciji pomen oziroma izvesti predvideno transformacijo v okviru določene re- prezentacije. Če učenec lahko izvede neko operacijo s konkretnim materia- lom, to pomeni, da tej reprezentaciji da določen pomen. Učenec, ki lahko re- prezentacijo s konkretnim materialom prevede (spremeni) v grafično repre- zentacijo ali v reprezentacijo z matematičnimi simboli, pa to operacijo tudi razume. Pouk matematike, ki temelji na raziskovanju različnih reprezentacij dolo- čenega matematičnega pojma in spodbuja učence, da tekoče in fleksibilno prehajajo med različnimi reprezentacijami, je učinkovitejši in učencem omo- goča boljše razumevanje matematičnih pojmov kot pouk, ki tega ne omogo- ča (Duval, ; Griffin in Case, ; Kaput, ; Skemp, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli Kognitivni vidiki učenja Schneider in Stern () pridobivanje znanja umeščata v samo središče uč- nega procesa in poudarjata, da je kakovost znanja enako potrebna kot ko- ličina in da moramo »znanje« razumeti mnogo širše kot poznavanje dejstev (ki jih seveda zajema). Kognitivni pogled na učenje strneta v ugotovitvah, da (je) učenje: – izvaja predvsem učenec; – mora upoštevati učenčevo predznanje; – terja povezovanje struktur znanja; – skrbi za ravnovesje med usvajanjem konceptov, veščin in metakogni- tivnih kompetenc; – s hierarhičnim organiziranjem temeljnih koščkov znanja gradi komple- ksne strukture znanja; – lahko s pridom uporablja strukture zunanjega sveta pri organiziranju struktur znanja v umu; – omejeno z zmožnostmi ljudi za procesiranje informacij; – učinek dinamičnega prepletanja čustev, motivacije in kognitivnih pro- cesov; – gradi prenosljive strukture znanja; – terja čas in napor (Schneider in Stern, ). Kognitivni vidiki učenja matematike Učenje izvaja predvsem učenec. Učenje je vedno v domeni učenca, načrtova- nje, priprava učnih ur, gradiv ter poučevanje pa v veliki meri v domeni učitelja. Učitelj, ki pozna, kako učenec konstruira znanje, ki ima kakovostno vsebinsko pedagoško znanje, pripravlja dejavnosti, ki gradijo na predznanju učencev, na povezovanju znanja ter pojme in vsebine uvaja postopoma. Zato učitelj ne potrebuje samo dobrega metodičnega ter vsebinskega znanja o temah, ki jih poučuje, temveč tudi vsebinsko pedagoško znanje, to je zavest o tem, kako učenci konstruirajo znanje o posameznih vsebinah (Shulman, ). Uči- teljevo vsebinsko pedagoško znanje zajema vpogled v težave, ki jih imajo učenci pogosto na posameznih področjih, in v strategije, kako težave prema- govati. Učitelji z dobrim vsebinskim pedagoškim znanjem metode poučeva- nja uporabljajo tako, da pri učencih spodbujajo procese aktivnega učenja. Po Marentič-Požarnikovi () je aktivno učenje tisto, ki učenca celostno, misel- no in čustveno aktivira. Žakelj () je v raziskavi, ki jo je izvedla z učenci zadnje triade osnovne šole, pokazala, da izkustveno učenje (modeliranje, samostojno iskanje virov,  Reprezentacije iskanje podobnosti in povezav, iskanje primerov in protiprimerov . . .), dialog ter različne oblike sodelovanja (vpliv socialnih interakcijo) pomembno pri- spevajo k razvoju matematičnih pojmov in usvajanju matematičnega znanja nasploh. Kakovostno učenje gradi na predznanju. Učitelj, ki ima kakovostno vsebinsko pedagoško znanje, pri poučevanju poskrbi za pravi vrstni red učenja vsebin oz. pojmov. Kognitivno pojmovanje poudarja učenje, pri katerem ne gre za dodajanje novega staremu (kopičenje podatkov), temveč za novo samostoj- no oblikovanje znanja, ki se povezuje z že znanimi pojmi, podatki, pravili. Če določeni pojmi, ki so pomembni za usvajanje novega znanja, še ne obsta- jajo v zavesti učenca, potem še ni čas za uvajanje novih pojmov, v naspro- tnem primeru je zelo majhna verjetnost, da bi se učenec lahko učil z razume- vanjem. Taber () opozarja na situacije, ko imajo učenci v svojih glavah napačne predstave, učitelji pa jim ponujajo pravilne, ne da bi jih povezali z njihovim predznanjem, ko imajo lahko učenci v glavah obenem pravilne in napačne predstave, ne da bi opazili kontradikcijo. Katero bo učenec upora- bil, je odvisno od situacije, v kateri se bo znašel. Npr., osnovnošolci na začet- ku šolanja spoznajo štirikotnike in med njimi tudi kvadrat. Lahko se zgodi, da je pojmovna predstava učenca, da so vsi štirikotniki kvadrati. Ko jim uči- telj razlaga, da pravokotnik ni kvadrat, je ta informacija v sporu s tem, kar že vedo. Ko skuša povezati novo informacijo z novim znanjem, lahko pride do kognitivnega konflikta in učenec spremeni pojmovno predstavo, ni pa nujno. Lahko si ustvari tudi popolnoma novo predstavo o štirikotnikih (ne nujno povsem napačno, lahko le nepopolno). Katero bo uporabil, je odvisno od situacije. Učitelj, ki bi se neposredno navezal na obstoječe znanje učen- cev in pokazal, kako se povezuje z novim znanjem, bi se takim problemom ognil. Raziskave, narejene z adolescenti in odraslimi ljudmi, so odkrile, da je vse- binsko specifično predznanje ena najpomembnejših določilnic nadaljnjega učenja (Schneider in Stern, ). Na podlagi takega znanja lahko celo bolje napovemo prihodnje kompetence ljudi kot s pomočjo testov inteligentnosti (Stern, ). Pomen predznanja pa ni omejen le na specifične vsebine. Tudi Grabner, Stern in Neubauer () navajajo, da je učenje matematike močno odvi- sno od predznanja. Študije so potrdile povezavo med predznanjem učencev in učnimi procesi tudi v drugih akademskih disciplinah, vključno s fiziko, z astronomijo, biologijo, evolucijsko teorijo, medicino in zgodovino (Vosnia- dou, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli Kakovostno učenje povezuje strukture znanja. Obstaja znanje o abstraktnih konceptih, o učinkovitem reševanju rutinskih problemov, znanje o tem, kako obvladovati kompleksne in dinamične problemske situacije, znanje o učnih strategijah, znanje o tem, kako obvladovati lastna čustva in podobno. Vse naštete plasti so medsebojno povezane in tvorijo kompetence posamezni- kov. Plasti, ki jih imenujejo tudi »delčki znanja« (diSessa, ), imajo različne funkcionalne značilnosti. Lahko so izolirane ali pa medsebojno prepletene, odvisne ali neodvisne od kontekstov, abstraktne ali konkretne, implicitne ali ozaveščene, neaktivne ali dostopne do določene mere. Moderna kognitiv- na znanost dokazuje, da naštete kompetence izvirajo iz dobro organiziranih temeljnih struktur znanja (Taatgen, ). diSessa () opozarja, da učenci pogosto ne prepoznajo abstraktnih od- nosov med koščki znanja, ki so jih usvojili v na videz različnih situacijah. Po- memben cilj poučevanja je pomoč učencem, da bi lahko povezovali koščke znanja. Sposobnost povezovanja znanja, povezovanja pojmov, integracija (iskanje podobnosti, razlik, odnosov), je po Gagneju del konceptualnega znanja. Do- bro pripravljen učitelj že med razpravo v razredu prepozna probleme in se nanje neposredno odzove že med učenjem. Npr., učenci pri matematiki izka- zujejo sposobnost povezovanja različnih matematičnih vsebin, ko predložijo dokaze, prepoznajo in ustvarjajo primere ter protiprimere; uporabljajo med- sebojno povezane modele, diagrame, manipulativne in raznolike predstavi- tve konceptov; primerjajo, prepoznajo, razlagajo, uporabljajo znake, simbole in izraze, ki se uporabljajo za predstavitev pojmov. Oglejmo si primere. Primer . Učenec, ki ima konceptualno razumevanje, je na vprašanje, ali je , × , = ,, sposoben brez rutinske izvedbe procedure množenja pojasniti, da , ne more biti pravilen rezultat, ker je prvi faktor večji od  in manjši kot , drugi pa večji od  in manjši od , kar pomeni, da je produkt lahko le med med  in . Primer . Zmožnost povezovanja znanja znotraj matematike izkazuje tudi učenec, ki lahko pri vprašanju »Koliko je    od ?« poleg upo- rabe rutinskega postopka , ×  =  razmišlja tudi z uporabo delov celote: »   od  je enako kot / od  in / od  je .«. Primer . »Je krog večkotnik?« Učenec, ki odgovori v stilu »Ne, ker so kva- drati večkotniki in krogi niso kvadrati«, ima omejeno razumevanje več- kotnikov, čeprav je razlaga sicer resnična. Učenec bi izkazal razumeva- nje definicije oz. razumevanje pojma večkotnik, če bi pri utemeljevanju definicijo večkotnika uporabil v najsplošnejši obliki in ne le na primeru  Reprezentacije Preglednica . Kako je znanje skonstruirano Vrsta Predpostavke o učenju znanja Primeri teorij Zunanja Znanje je pridobljeno s konstruiranjem reprezentacij zuna- Procesiranje usmerjenost njega sveta. Neposredno poučevanje, povratne informacije informacij in razlage vplivajo na učenje. Znanje je pravilno glede na to, kako odraža stvari, kakršne so v resnici v zunanjem svetu. Notranja Znanje je skonstruirano s transformiranjem, organiziranjem Piaget usmerjenost in reorganiziranjem že obstoječega znanja. Znanje ni zrcalo zunanjega sveta, čeprav izkušnje vplivajo na mišljenje in mi- šljenje vpliva na izkušnje. Raziskovanje in odkrivanje sta po- membnejša kot poučevanje. Konstruiranje znanja temelji na socialnih interakcijah. Zna- Vigotski Zunanja in nje odraža zunanji svet, prečiščen in pod vplivom kulture, je- notranja zika, prepričanj, interakcijah z drugimi, neposrednim pouče- motivacija vanjem in modeliranjem. Vodeno odkrivanje, poučevanje, modeli in vodenje vplivajo na učenje, prav tako tudi posa- meznikovo predznanje, prepričanje in mišljenje. Opombe Povzeto po Moshman (). kvadrata. Formalna definicija zagotavlja utemeljitev, ki utemeljuje vse večkotnike, ne le kvadratov. Učenje uporablja strukture zunanjega in notranjega sveta Vedno znova se zastavlja vprašanje, kako zasnovati proces učenja, da bodo učenci napredovali v miselnem razvoju ter dosegali kakovostno znanje. Zu- nanji in notranji dejavniki usmerjajo konstruiranje znanja. Znanje nastaja z interakcijo notranjih (kognitivnih) in zunanjih (okoliških in socioloških) de- javnikov. Preglednica . povzema tri splošne razlage načina konstruiranja znanja. Večina konstruktivistov je prepričanih, da ljudje ne moremo neposredno zaznavati sveta, ampak ga moramo prefiltrirati skozi svoje razumevanje. Ven- dar pa nekatere teorije, kot je procesiranje informacij, predpostavljajo, da je svet dostopen. Posameznik lahko dojame objektivno realnost, čeprav je kon- struiranje znanja osebno in lahko vključuje zmotne predstave o delovanju sveta. Npr., učenci lahko sami skonstruirajo postopek seštevanja, ki je pov- sem napačen. Drugi konstruktivisti, vključno s Piagetom in Vigotskim, pa ne govorijo o pravilnih zaznavah, ampak o logičnih, smiselnih interpretacijah. Kljub temu pa so prepričani, da lahko poznamo svet, ker je konstrukcija znanja raciona- len proces, nekatere konstrukcije pa so boljše kot druge – bolj logične, ve- ljavne in opravičljive (Woolfolk, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli Učenje je procesiranje informacij Spoznavni procesi zajemajo delovni spomin, s katerim aktivno procesiramo informacije, in dolgoročni spomin, kamor jih shranjujemo. Delovni spomin ima omejene zmožnosti, informacije, shranjene v njem, pa se izgubijo že po nekaj sekundah, če jih ne nadgradimo. Nasprotno pa ima dolgoročni spo- min skoraj neomejene zmogljivosti in lahko informacije zadrži več dni ali celo let. Od zmogljivosti kratkoročnega spomina ali t. i. delovnega spomina je od- visno tudi reševanje problemov. Po Schoenfieldu imajo dobri reševalci mate- matičnih problemov boljše sposobnosti pri uporabi kratkoročnega spomina, ker so njihove enote večje in bolje organizirane, imajo bolj razširjene zmoglji- vosti delovnega spomina (predstavitev problema, določitev ciljev raziskova- nja, konceptualno razumevanje, strategije pri reševanju in učenje veščin) vsaj v odnosu do simbolov in operacij (Žakelj, ). Na (ne)uspešnost reševanja problemov vpliva tudi obremenjenost kratko- ročnega spomina z neavtomatiziranimi pravili (Zentall, ). Učenec, ki ima že sicer večje težave s kratkoročnim spominom in uporablja še neavtomati- zirana pravila, ima premalo kognitivne zmogljivosti za reševanje in razume- vanje problema samega (Sweller, ). Ne le neavtomatizirana pravila, tudi branje besedila matematičnega pro- blema lahko bolj ali manj obremenjuje delovni spomin. Za branje matema- tičnih besedil pogosto velja, da ni linearni proces, lahko poteka od leve pro- ti desni, od desne proti levi, od vrha navzdol ali celo po diagonali; integrira branje teksta, pregled vključenih diagramov, tabel, slika, simbolnih izrazov in predstavitev ter tekoče sprehajanje in gibanje med vsemi reprezentacija- mi (Noonan, ; Adams, ). Vse to zahteva visoko raven koncentracije ob sprotnem ustvarjanju predstave problema v mislih. Delovni spomin lahko razbremenimo (Mayer in Moreno, ) nepotreb- nih vsebin tudi tako, da koščke informacij, ki jih lahko razumemo le, če so povezane, tudi predstavimo skupaj. Tako lahko npr. koordinatni sistem s šte- vilnimi grafi lažje razumemo, če je vsak graf neposredno označen, namesto da je informacija o njem podana v legendi pod koordinatnim sistemom. Če je informacija v legendi, mora učenec preskakovati z legende na koordinatni sistem in nazaj, kar po nepotrebnem obremenjuje njegov delovni spomin. Iz istega razloga naj bodo v knjigi novi simboli formule pojasnjeni neposredno poleg formule, ne pa kje drugje. Enako velja za jezik: bolj ko bomo zaplete- ne odnose pojasnjevali s preprostim jezikom, bolje in hitreje jih bodo učenci razumeli (Schneider in Stern, ).  Reprezentacije x y z Slika . Transformacija Primer: Transformacija (povzeto po Japelj Pavešić, ). Kateri od naslednjih transformacij, v navedenem vrstnem redu, lahko uporabimo, da slika x po- stane slika y in nato slika z (slika .). A zrcaljenje in nato premik B zrcaljenje in nato / obrata v smeri urinega kazalca C / obrata in nato premik D / obrata v smeri, nasprotni urnemu kazalcu, in nato zrcaljenje Za rešitev naloge je potrebno ne le branje od leve proti desni, temveč tudi od vrha navzdol in obratno. Pri vsakem odgovoru posebej se moramo vrniti k sliki in razmisliti, kaj se zgodi z likom po opisani transformaciji. Učenje je učinek prepletanja motivacije in kognitivnih procesov Želja po učenju je seveda odvisna od mnogih dejavnikov. Učenčeva motiva- cija za učenje lahko izhaja iz njegove želje, da pokaže sebi in drugim, da lahko doseže uspeh, iz zadovoljstva z učnimi materiali, iz spodbud in podpore, ki jih dobiva od drugih, ali iz želje po učenju. V literaturi zasledimo delitev na notranjo in zunanjo motivacijo. McMeniman () poudarja, da je notranja motivacija povezana z željo po učenju, spodbuja pojmovno učenje in vodi k ustvarjalnemu mišljenju. Pri zunanji motivaciji pa se posameznik uči zara- di zunanjega vzroka (Race, ). To so lahko ocene, pritiski staršev, nagrada ob koncu šolskega leta. Govorimo o situacijah, kadar učencu snov ali tema ni zanimiva, ko gre za učno snov ali tematiko, ki se je stežka nauči, vendar pe- lje k drugi zanimivejši temi, ob kateri se mora izkazati sposobnega na nekem področju, preden sam ugotovi, ali ga to področje zanima in ali bi se želel o njem česa naučiti, ko doživlja pritisk od drugih, nima pa želje po učenju, ali ko se mora učiti zaradi ocen. Rezultati študije (Watkins in Akande, ) kažejo, da motivacija pomembno vpliva na izbiro učenčevih učnih strategij. Povezanost med učno motivacijo in učnimi strategijami se kaže v treh obli-  Didaktika matematike v osnovni šoli kah pristopov k učenju: v obliki površinskega pristopa k učenju, ki se nanaša na pomnjenje in reprodukcijo znanja; v obliki poglobljenega pristopa k uče- nju, ki se nanaša predvsem na zanimanje za učno snov in razumevanje; ter v obliki stališč do uspeha, ta pristop pa se nanaša na motivacijo za najvišje možne dosežke, tako v zvezi z učenjem kot v zvezi z akademsko samopo- dobo. Med površinske pristope štejemo atomistični in intuitivno-holistični (celostni) pristop. Pri atomističnem pristopu je učenčevo znanje sestavljeno iz manjših enot, ki jim manjka bistveni člen – integrirano poznavanje snovi. Njegovo znanje je lahko obsežno, vendar učenec ne ve, kam to znanje so- di. Predmeta, ki se ga uči, ne razume kot celoto, temveč ga dojema po delih. Struktura tako pridobljenega znanja je pomanjkljiva, zato nastanejo težave pri pomnjenju in prenosu znanj. Pri intuitivno-holističnem (celostnem) pri- stopu k učenju in reševanju problemov se učenec ne uči po delih, temveč se uči celoto. Pri takšnem učenju žal zanemari podrobnosti. Učenec se uči snov predvsem na podlagi slutenj. Seveda njegove slutnje niso logično utemelje- ne in empirično preverjene, zato je njegovo znanje pomanjkljivo. Poglobljeni pristop k učenju z razumevanjem pa pomeni učenje na znanstveno sistema- tičen način. To je pristop, ki ga mora spodbujati sleherni učitelj. Zajema tako učenje podrobnosti kot učenje celote, vendar pa ne gre za njuno vsoto. Uči- telj učenca spodbuja k združevanju delov učne snovi v celoto in obratno – k razgraditvi učne snovi na njene sestavne dele. Učenje temelji na logičnem sklepanju in empiričnem preverjanju. Pri tem je bistveno, da učenec razume formalne povezave med pojavi, ki se jih uči. Prepletanje motivacije in kognitivnih procesov se zgodi, ko učenec poveže spoznavne procese učenja z zadovoljstvom, z veseljem, ki ga pri tem občuti. Ko učence razume in uvidi smisel učenja, ko se zaveda pomena in smisel- nosti vsebin, ki se jih uči, je njegova motivacija za učenje večja. K učenčevi motivaciji za učenje lahko prispeva tudi učitelj z izbiro dejavnosti, ki tovrstne interakcije omogočajo. Npr., pri pouku matematike se o ploščini pravokotni- ka učimo zato, da bi poznali in znali uporabljati tako formalne postopke, for- mule kot tudi, da bi razumeli pojem ploščine in znanje znali uporabiti tako v šolskih kot avtentičnih situacijah. Zato je pri pouku potrebno delati oboje, tako računske postopke kot se spoprijemati z izzivi raziskovanja. Naloge, ki so usmerjene v računske postopke, v uporabo obrazcev, uresničujejo cilje uče- nja proceduralnih znanj, ne pa učenja koncepta ploščine. Izzivi, ki zahtevajo razmišljanje o konceptu, njegovi uporabi, pustijo odprta vrata za raziskova- nje in samostojno iskanje učnih poti. Npr., problem »Razišči dimenzije plošč, s katerimi bi lahko tlakoval domače dvorišče«, izziva učenca v razumevanju ploščine pa tudi v razvijanje samostojnosti in ustvarjalnosti. Problem je od-  Reprezentacije prt, omogoča več različnih rešitev in poti reševanja, kar pri učencih spodbu- di prvi korak v samostojno iskanje poti. Tovrstne aktivnosti lahko motivirajo predvsem učence, ki radi raziskujejo. Pomen kognitivnih ravni znanj za učenje Pri iskanju odgovora, na kakšnem znanju je težišče pri pouku in s tem tudi pri ocenjevanju in preverjanju znanja ter pri interpretaciji dosežkov učencev, nam lahko pomagajo taksonomije učnih ciljev za spoznavno področje. Zna- nih je več taksonomij oz. raziskave kognitivnih znanj (Bloomova in Marzano- va taksonomija, Gagnejeva, TIMSS-ova, ova klasifikacija znanj idr.). V raziskavi PISA (PISA, ) so npr. miselne (kognitivne) aktivnosti, ki obsegajo različne vrste zmožnosti in sposobnosti, razdeljene v tri večje kompetenčne razrede: – razred reproduciranja (prepoznavanje, navajanje znanega, izvajanje ru- tinskih operacij), – razred povezovanja (sinteza, povezovanje in razširjanje znanega in va- denega), – razred reflektiranja (zahtevnejše sklepanje, utemeljevanje, izločanje manj pomembnega (abstrakcija), posploševanje, modeliranje v novih kontekstih). Vsak razred vključuje osem različnih kompetenc, katerih opis temelji na delu Nissa (): razmišljanje in razumevanje, utemeljevanje, komunikaci- jo, modeliranje, postavljanje in reševanje problemov, prikazovanje, uporabo simbolnega, formalnega in tehničnega jezika ter operacij, uporabo orodij in pripomočkov. Vse taksonomije oz. klasifikacije kognitivnih znanj niso enako uporabne za vsa predmetna področja. Tako npr. pri matematiki uporabljamo prirejeno Gagnejevo klasifikacijo znanj, ki smo jo v slovenskem šolskem prostoru za- čeli uporabljati šele v zadnjih letih. Pri preverjanju matematičnega znanja jo uporabljajo tudi v večini evropskih držav. Prav tako sestavljalci nacionalnih preizkusov iz matematike pri nas in sestavljalci preizkusov v mednarodni pri- merjalni raziskavi TIMSS uporabljajo po Gagneju prirejeno klasifikacijo znanj. Po Gagneju prirejena klasifikacija znanj matematično znanje razdeli na na- slednje tipe matematičnih znanj (Žakelj, ): . taksonomska raven: osnovno in konceptualno znanje: – osnovna znanja in vedenja (poznavanje) – razumevanje pojmov in dejstev  Didaktika matematike v osnovni šoli D C Premikaj oblišči C in D. Opazuj b b δ′ = ° δ = ° γ′ = ° γ = ° kote trikotnika. izračunaj: (a) vsoto velikosti notranjih kotov štirikotnika, (b) vsoto velikosti zunanjih kotov štirikotnika, (c) vsoto velikosti notranjega in njemu priležnega kota α′ = ° α b = ° β′ = ° β b = ° štirikotnika. A B Slika . Primer dejavnosti za razvoj osnovnih znanj (povzeto po Tratar idr., , str. ) . taksonomska raven: proceduralno znanje: – rutinska proceduralna znanja (izvajanje rutinskih postopkov) – kompleksna proceduralna znanja (izvajanje kompleksnih postopkov) . taksonomska raven: problemsko znanje: – reševanje in raziskovanje problemov: – strategije za reševanje problemov – aplikativna znanja – uporaba specifičnega znanja Osnovna znanja in vedenja obsegajo poznavanje pojmov in dejstev ter pri- klic znanja: – poznavanje posameznosti: reproduktivno znanje, znanje izoliranih in- formacij in faktografije; – poznavanje specifičnih dejstev: znanje definicija, formul, aksiomov, iz- rekov, odnosov, osnovnih lastnosti (Pitagorov izrek, p = a × b, lastnosti likov . . .); – poznavanje terminologije: seznanjenost z osnovnimi simboli in ter- minologijo (vzporednost, pravokotnost, +, –, ; pravokotnik, funkcija, enačba, kilogram); – poznavanje klasifikacij in kategorij: prepoznavanje in klasifikacija raz- ličnih matematičnih objektov, npr. funkcije, enačbe, množice. Na sliki . je prikazan primer dejavnosti za razvoj osnovnih znanj, kjer uče- nec preiskuje lastnosti notranjih in zunanjih kotov štirikotnika. Konceptualno znanje je razumevanje pojmov in dejstev. Obsega oblikova- nje pojmov, strukturiranje pojmov in poznavanje relevantnih dejstev:  Reprezentacije Katere izjave veljajo za trikotnike, p če sta premici p in r vzporedni? (a) Vsi trikotniki imajo enako višino. (b) Vsi trikotniki so skladni med seboj. (c) Vsi trikotniki imajo enak obseg. (č) Vsi trikotniki imajo enako ploščino. r Slika . Primer dejavnosti za razvoj konceptualnega znanja Preglednica . Reprezentacije Reprezentacije Dejavnosti Konkretna reprezentacija Prepoznati geometrijski vzorec in ga nadaljevati Grafična reprezentacija Prepoznati slikovni vzorec iz geometrijskih teles in ga nadaljevati Simbolna reprezentacija Prepznati shemo vzorca (simbolni zapis) ter oblikovati geometrijski vzorec Abstraktna reprezentacija Predstaviti vse tri nivoje – prepoznavanje pojmov: na modelih, na sliki, v besedilu (npr. v množici likov prepoznati paralelogram, prepoznati enačbo krožnice . . .); – predstava o pojmih (npr., dva skladna pravokotna trikotnika sestavljata pravokotnik, mreža kocke je sestavljena iz šestih kvadratov); – prepoznavanje terminologije in simbolike v dani situaciji (stranici a, b, višina, para vzporednih stranic . . .); – priklic definicija in njihova uporaba (npr. poznavanje in uporaba pravila o vsoti kotov v trikotniku, Pitagorov izrek . . .); – povezovanje pojmov: integracija (iskanje podobnosti, razlik, odnosov). Na sliki . je prikazan primer dejavnosti za razvoj konceptualnega znanja, kjer učenec prepozna lastnosti trikotnikov na sliki in le-te uporabi v problem- ski situaciji na sliki (razumevanje pojmov višina trikotnika, ploščina trikotni- ka). Razumevanje pojmov in dejstev pomeni sposobnost fleksibilnega preha- janja med različnimi reprezentacijami – konkretno, grafično, simbolno, ab- straktno (preglednica .). Oblikovanje pojmov je dolgotrajen proces. Učenci si morajo pojem prido- biti, ne pa se ga naučiti. Pri tem lahko pomaga tudi učitelj. Pomembno je, da (se) učitelj:  Didaktika matematike v osnovni šoli – pravilno presodi, kdaj v učnem procesu uvede nove pojme in koncepte, – pozna, kako učenec konstruira svoje znanje, ter – zaveda, da struktura že obstoječega znanja bistveno vpliva na vrstni red učenja in poučevanja (Orton in Wain, ). Možni vzroki za težave pri usvajanju pojmovnih predstav so naslednji: – verbalizem (enačenje učenja pojmov z učenjem besed ali zgolj obnova definicija); – prezahtevnost nekaterih pojmov glede na razvojno stopnjo – npr., otrok na razvojni stopnji konkretnih operacij težko popolnoma obvla- duje pojme, vezane na simbolno raven; – premajhna medsebojna povezanost pojmov ter zanemarjanje obrav- nave mrežnih povezav, odnosov med njimi (pri poučevanju velikokrat premalo upoštevamo dejstvo, da so pojmi v kognitivni strukturi razvr- ščeni v pojmovne mreže, saj jih skoraj vedno povezujemo s sorodnimi pojmi). Proceduralno znanje obsega poznavanje in učinkovito obvladovanje al- goritmov in procedur. Delimo ga na rutinsko in kompleksno proceduralno znanje. Pri rutinskem proceduralnem znanju gre za izvajanje rutinskih po- stopkov, uporabo pravil in obrazcev, standardni računski postopek, reševa- nje preprostih nesestavljenih nalog z malo podatki itd. Pri kompleksnem pro- ceduralnem znanju gre za uporabo kompleksnih postopkov: poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur (metod, postopkov), izbiro in izvedbo algoritmov in procedur, uporabo pravil, zakonov, postopkov ter reševanje sestavljenih nalog z več podatki (Žakelj, ). Učenje procedural- nih znanj z razumevanjem temelji na razumevanju pojmov. Idealno bi bilo, če bi se postopkov in različnih algoritmov učili takrat, ko so usvojeni temeljni pojmi, ki so za izvajanje temeljnih procedur potrebni, kar pa ni vedno mo- goče. Zato je pomembno stalno preverjanje razumevanja pojmov in pravo- časno odkrivanje nevralgičnih točk (Žakelj, ). Proceduralno znanje se nanaša na zmožnost povezovanja matematič- nih postopkov z danimi problemskimi situacijami in izvedbo postopkov pri obravnavi problemske situacije. To znanje obsega: – izbiro in pravilno uporaba postopkov; – preverjanje in utemeljevanje postopka na konkretnih primerih ali v splošnosti (npr. z algebrskimi simboli);  Reprezentacije D C b b Izračunaj obseg in ploščino Va =  cm b = , cm paralelograma na prikazu. S premikanjem oglišča C dobiš nove primere. b b a =  cm A B Slika . Primer naloge, ki preverja rutinska proceduralna znanja (povzeto po Tratar idr., , str. )  cm  cm Izračunaj ploščino okvirja slike. Okvir je sestavljen iz štirih enakokrakih trapezov.  cm Nasprotna enakokraka trapeza sta skladna.  cm Slika . Primer naloge, ki preverja kompleksna proceduralna znanja (povzeto po Tratar idr., , str. ) – učinkovito uporabo raznih številskih algoritmov, razbiranje in izdelova- nje preglednic in diagramov, izvajanje geometrijskih konstrukcij, zao- krožanje števil pri računanju itd. (Žakelj, , str. –). Na slikah sta prikazana primera nalog, ki preverjata rutinsko (slika .) in kompleksno proceduralno znanje (slika .). Problemsko znanje združuje strategije in aplikativna znanja. Pri njem gre za uporabo obstoječega znanja v novih situacijah, uporabo kombinacij več pra- vil in pojmov pri soočenju z novo situacijo ter sposobnost uporabe koncep- tualnega in proceduralnegaznanja. Vključuje načrtovanje strategij za reševa- nje problemov (uporaba nabora procesov) ter aplikativna znanja. Problem- sko znanje je deloma splošno (splošne strategije itd.), deloma pa se veže na konkretne vsebine in zahteva trdno konceptualno ter proceduralno znanje, celo razumevanje procedur. Z njim sta povezana pojma odkrivanje in razi- skovanje. Naloge, pri katerih vemo, katero proceduro moramo uporabiti, še ne preverjajo problemskega znanja (Žakelj, ). O reševanju oziroma raziskovanju problema govorimo, ko (Žakelj, ):  Didaktika matematike v osnovni šoli Preglednica . Elementi problemskega znanja Postavitev problema Prepoznava problema in njegova formulacija; postavitev smiselnih vprašanj. Preveritev podatkov Zadostnost, konsistentnost. Strategije reševanja Uporaba znanja Transfer Miselne veščine Analiza, sinteza, indukcija, dedukcija, interpretacija – proces reševanja teče samostojno; – je rešitev nova za reševalca, ki zna potem uspešneje reševati nove pro- bleme; – se pojavi transfer znanja oziroma prenos metode reševanja, ki je tudi dokaz, da je problem rešljiv z miselno aktivnostjo. V preglednici . so predstavljeni elementi problemskega znanja. Posamezne elemente problemskega znanja natančneje opisujejo procesi učenja: . postavitev problema (prepoznavanje problema, formulacija problema, postavljanje vprašanj in ciljev raziskovanja . . .), . preveritev podatkov (zadostnost, konsistentnost podatkov, preveč po- datkov . . .), . strategije pri reševanju oziroma uporaba procesov (Frobisher, ): – komunikacijskih (pojasnjevanje, strinjanje, spraševanje), – operacijskih (zbiranje, urejanje, razvrščanje, spreminjanje), – miselnih (razčiščevanje, analiziranje, razumevanje), – procesov zapisovanja (risanje, pisanje, izdelovanje različnih diagra- mov, itd.), – uporaba znanja oziroma transfer znanja (razlikujemo tri primere transferja (Franchi, ): šolski primer transferja (učenec usvojeni matematični koncept uporabi v drugem kontekstu, lahko tudi pri drugem predmetu), zunajšolski primer transferja (učenec matema- tične koncepte uporablja v vsakdanjem življenju) in analogni trans- fer (učenec usvojene pojme prenaša v podobne situacije; značilni izraz te sposobnosti je učenčev medklic: ». . . ah, to smo že počeli pri . . .« )), . miselne veščine, kot so analiza, sinteza, indukcija, dedukcija, interpre- tacija,  Reprezentacije Deltoid z dolžino diagonale e =  cm in deltoid z dolžino diagonale e =  cm imata enaki ploščini. Zapiši dolžini diagonal f obeh deltoidov. Mersko število dolžine obeh diagonal naj bo celo število, zapisano v centimetrih. Zapiši vse možnosti. Slika . Primer naloge, ki preverja problemska znanja (povzeto po Tratar idr., , str. ) . metakognitivne zmožnosti (Učenec presodi, ali smo matematični kon- cept pravilno uporabili v določenem kontekstu. Utemelji svoja stališča ter s tem dokaže, da je presegel kognitivn i konflikt. Ta učenčeva spo- sobnost se zelo jasno odraža v pogovoru, v manjših ali večjih skupinah). Vsebinsko in didaktično problemske naloge osmišljajo matematično vse- bino (funkcionalnost znanja), omogočajo reflektiranje matematičnih znanj, razvijajo procesna znanja oziroma različne strategije pri reševanju proble- mov ter razvijajo samostojno postavljanje in oblikovanje problemov (Žakelj, , str. ). Na sliki . je prikazan primer naloge, ki preverja problemsko znanje. Če povzamemo: kognitivne ravni znanja so nam v pomoč tako pri načr- tovanju dejavnosti za pouk kot pri preverjanju in ocenjevanju znanja ter pri interpretaciji dosežkov učencev. Ključnega pomena je, da načrtujemo in iz- vajamo različne dejavnosti na vseh kognitivnih ravneh: pomnjenje podatkov, definicija; razumevanje snovi; rabo usvojenega znanja v novih primerih; kri- tično razmišljanje, utemeljevanje, dokazovanje; povezovanje znanja z drugi- mi predmeti; navajanje novih primerov o obravnavani snovi idr. Prav tako velja poudariti, da so znanja povezana, pri uporabi se med seboj prepletajo, zato je nemogoče dati enim tipom znanj večji pomen kot dru- gim. Slednje je odvisno predvsem od zunanjih okoliščin, namena šolanja ter subjektivne presoje učitelja (Žakelj, , str. ). Konceptualno znanje je do neke mere pogoj za proceduralno znanje (po- stopek lahko izvajamo tudi, če ga ne razumemo, navadno pa moramo vsaj delno razumeti objekt, s katerim operiramo). Problemsko znanje je deloma splošno (splošne strategije ipd.), delno pa se veže na konkretne vsebine in zahteva trdno konceptualno ter proceduralno znanje, celo razumevanje po- stopkov. Spremljanje in vrednotenje učenčevega znanja Vrednotenje ali evalvacija pomeni sistematično zbiranje podatkov o kakovo- sti nekega procesa ali produkta, običajno z namenom, da sprejmemo odlo- čitve, ki vodijo k njegovemu izboljšanju. V šoli, npr., vrednotimo učenčevo  Didaktika matematike v osnovni šoli znanje. Sestavini vrednotenja znanja oz. učnih rezultatov v šolskem sistemu oz. procesu pouka sta preverjanje in ocenjevanje znanja (Žakelj, ). Preverjanje znanja je sistematično, načrtno zbiranje podatkov o tem, v ko- likšni meri učenec v fazi učenja dosega učne cilje in pričakovane rezultate oz. standarde znanj. Učitelj znanje učenca preverja pred obravnavo novih učnih vsebin, med njo in ob njenem koncu. Ocenjevanje znanja je presojanje in vrednotenje izkazanega znanja posa- meznih učencev po končanem obdobju učenja in formalizacija te presoje v ocenah, ki so formalno dogovorjene (opisne, številčne, besedne) in imajo po- membne posledice. Pri ocenjevanju gre za merjenje, s katerim skušamo do- ločiti, koliko se je posamezni učenec približal postavljenim učnim ciljem oz. pričakovanim rezultatom/standardom znanj. Merimo tako količino kot kako- vost znanja. Znanje učitelj oceni, ko je bila učna snov posredovana v celo- ti in so bile v učnem procesu realizirane vse etape učnega procesa (uvaja- nje, obravnava, urjenje/vadenje, ponavljanje in preverjanje) (Žakelj, ). Ne glede na to, ali govorimo o končnem, sprotnem, sumativnem ocenjevanju ali o ocenjevanju za učenje in ocenjevanju učenja itd., je vsako ocenjevanje hkrati tudi učenje, torej temeljni izziv stroke. Pomenljiva je misel raziskovalca Williama (Ežen, ): »Naj bo ocenjevanje še tako veljavno in zanesljivo, če učencu sporoča le to, da je neuspešen, ima na učenje zaviralen učinek.« Razvijanje in vrednotenje znanja je temeljno poslanstvo šole, uspešnost učencev pri doseganju pričakovanih dosežkov in standardov znanja pa je te- sno povezana z veljavnim kurikulom ter njegovo izvedbo. Pomembno vlogo pri tem imajo učiteljeva ravnanja pri poučevanju, še posebno pri preverjanju in ocenjevanju znanja. V zadnjih nekaj desetletjih so izjemno močna priza- devanja usmerjena k iskanju različnih oblik in načinov vrednotenja znanja, ki naj bi spodbujali in vodili učence k učenju učenja ter samostojnosti. Sodob- ni pristopi učenja in poučevanja učence vedno pogosteje vključujejo tako v procese preverjanja znanja kakor tudi v proces ocenjevanja svojih dosežkov. Izpostavlja se kolegialna podpora v obliki kritičnega prijateljevanja. Z ena- kopravnimi odnosi in vključitvijo učencev v proces preverjanja ter ocenjeva- nja znanja učenci postanejo soustvarjalci vzgojno-izobraževalnega procesa in njegovih rezultatov, kar jih motivira za delo in opremi s spretnostmi in iz- kušnjami, ki jih lahko ponesejo s seboj v življenje. Učenčevo znanje se med izobraževanjem spreminja, zato ga mora učitelj med poučevanjem nenehno preverjati in diagnosticirati, prepoznavati napa- ke, ki jih delajo učenci in jih uporabljati pri diagnosticiranju procesov izgra- jevanja znanja (Stigler in Hiebert, ). Pedagoški raziskovalci so razvili več orodij in tehnik za preverjanje učenčevega znanja med samim poučevanjem  Reprezentacije (t. i. »formativno preverjanje« (Stigler in Hiebert, ). Komljanc () for- mativno spremljanje procesa učenja opredeli kot pedagoški dialog za sogla- sno skupno učiteljevo in učenčevo spremljanje, kontroliranje in usmerjanje razvoja učenja posameznika, da bi izboljšali učni učinek v procesu učenja in da bi bila sodba o vrednosti naučenega ob koncu učenja čim korektnejša. Uporabljajo ga v mnogih evropskih in tudi drugih državah; v Sloveniji forma- tivno spremljanje intenzivneje uporabljamo in izvajamo zadnjih nekaj let. Formativno spremljanje procesa učenja je namenjeno individualni podpo- ri učencu pri uresničevanju individualnega vzgojno-izobraževalnega načrta. Velik delež formativnega spremljanja zajema diagnostika, pri čemer se peda- gogika usmerja v močna znanja učencev. Šibkosti ne zanemarja, a učni pro- ces gradi na močnih znanjih in interesu, ker se v njih nahaja človekova volja, želja početi, odkrivati, raziskati, premisliti, oblikovati, se pognati v akcijo, pri- merjati in ugotavljati. V neposrednem pedagoškem procesu v kontekstu formativnega spremlja- nja znanja igrajo ključno vlogo trije dejavniki: predznanje, cilji in dosežki. Predznanje je namenjeno ugotavljanju izhodiščnega stanja in opredelitvi močnih področij učenca tako na kognitivnem kot tudi na psihomotoričnem in socialnem področju ter opredelitvi učnih potreb, tj. področij, ki jih je po- trebno nadgraditi oz. izpopolniti. Cilji so namenjeni natančni opredelitvi vse- bin učenja ter pričakovanih dosežkov in opredelitvi procesa učenja, vključno z učenčevo refleksijo, ki prispeva k sprotni povratni informaciji in uravnavi procesa učenja. Opredelitev obojega, tj. vsebin in procesa učenja, mora upo- števati učenčeva močna področja in učne potrebe. Dosežki so namenjeni predstavitvi učnih dosežkov, pri čemer predstavlja delovna zbirka učnih do- sežkov zbir vsega, kar je v nekem določenem obdobju učenec ustvaril, pred- stavitvena zbirka pa izbor učnih dosežkov glede na individualni načrt oz. cilje, ki vsebujejo tako skupni oz. splošni del (standardi znanja v učnem na- črtu) kot tudi individualne cilje. Na podlagi slednjega je možno načrtovanje naslednjega koraka, kjer se predstavljene stopnje formativnega spremljanja ponovijo in uskladijo z aktualno izkazano ravnjo znanja (predstavitvena zbir- ka dosežkov) in evidentiranimi nadaljnjimi učnimi potrebami (Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport, ). Posamezne elemente formativnega spremljanja v pouk vključujemo na različne načine: preko projektnega učnega dela, s pomočjo konstruktivistič- nega načina poučevanja, z avtentičnimi in alternativnimi nalogami, v za- dnjem času pa tudi z vključevanjem informacijsko-komunikacijske tehno- logije in e-vsebin v pouk. Zaradi različnih sposobnosti in potencialov se po potrebi poslužujemo tudi  Didaktika matematike v osnovni šoli diferenciacije in individualizacije. Učenci so pri pouku bolj motivirani, če so aktivni, če lahko tudi izbirajo in predlagajo, če učenje gradimo na njihovih sposobnostih in predznanju. Opisni kriteriji spremljanja znanj Opisni kriteriji opredeljujejo lastnost oz. kakovost znanja. Koristijo nam lahko pri učenju in poučevanju, oblikovanju ciljev, ki jih spremljamo, na drugi strani pa nam lahko pomagajo pri oblikovanju ocene. Pri izdelavi ocene so nam se- veda lahko v pomoč in orientacijo tudi standardi znanja, zapisani v učnem na- črtu. V nadaljevanju navajamo primer opisnih kriterijev za problemska znanja (preglednica .). Opisni kriteriji spremljanja problemskih znanj Pri iskanju odgovora na raziskovalni problem, povezan s kontekstom, učitelj ugotavlja učenčeve: – zastavitev problema (postavitev vprašanja, hipoteze), – pristop pri iskanju odgovora (izbira ustrezne metode), – ustreznost rešitve (predstavitev dokazov), – interpretacijo ugotovitev (strukturiranje znanja). Opisni kriteriji so učitelju lahko v pomoč pri poučevanju, oblikovanju ciljev, ki jih spremlja, na drugi strani pa mu lahko pomagajo pri oblikovanju ocene. Opisne kriteriji znanja pri reševanju problemov glede na raven doseženega znanja prikazuje preglednica .. Navedeni opisni kriteriji so učitelju lahko v pomoč pri oblikovanju povratne informacije učencu o vrsti in kvaliteti dose- ženega znanja. Teorije učenja in uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije Za . stoletje so značilni procesi globalizacije, gospodarsko in kulturno sobi- vanje v t. i. globalni vasi in, posledično, soodvisnost, ki prinaša nove priložno- sti in izzive za družbo tretjega tisočletja. Globalizacija, naraščajoča mobilnost prebivalstva in tehnološke inovacije pospešeno proizvajajo vse več informa- cij in potencialna »nova znanja«, ki se s pomočjo interneta še hitreje razpršijo – pogosto, še preden jih zaznamo ali zmoremo sprejeti. Novosti na področju znanosti in tehnologije, zlasti na področju informa- cijsko-komunikacijske tehnologije, ne spreminjajo le našega vsakdanjega ži- vljenja, ampak tudi vlogo, pomen in prioritete, ki so povezani z znanjem, vre- dnotami in odnosi v izobraževanju. Ena od osrednjih tem mednarodnih razis-  Reprezentacije Preglednica . Opisni kriteriji spremljanja problemskih znanj Zastavitev Učenec: problema – jasno in nedvoumno izpostavi problem oz. vprašanje, – postavi hipotezo. Pristop pri Zbiranje, urejanje podatkov. Učenec: iskanju – zbere smiselne podatke, odgovora – naredi potrebne tabele in preglednice, – sistematično beleži in dokumentira podatke, – podatke uredi v tabele, skupine in kategorije ter jih prikaže z grafi idr., – zbrane podatke (če je potrebno) uporabi pri razlagi. Analiziranje podatkov. Učenec: – povezuje in analizira podatke, – povezuje matematično in nematematično znanje, – povezuje faze reševanja, – išče aplikacije, – ustrezno in smiselno preračuna in prikaže podatke, – napoveduje (delne) rezultate in zaključke, – posplošuje, – abstraktno razmišlja, – izbere ustrezne metode/tehnike obdelave podatkov. Uvajanje strategije reševanja matematičnega problema. Učenec: – poišče morebitne aplikacije, ki mu pomagajo pri rešitvi, – nariše sliko ali naredi model, – izpiše, razčleni, poišče potrebne podatke, – načrtuje posamezne faze naloge, – v dani situaciji uporabi že pridobljeno znanje, – poišče in izračuna potrebne podatke, – ugiba, zapisuje in izboljšuje (delne) rezultate, – logično razmišlja, – oblikuje zaključke. Nadaljevanje na naslednji strani kave na področju izobraževanja je zato ustvarjanje učnega okolja za »učence novega tisočletja« (Eržen, ). Informacijsko-komunikacijska tehnologija ter z njo povezani digitalni me- diji so za sodoben pouk izziv in priložnost hkrati. Izziv predstavljajo spremem- be obstoječega, pretežno statičnega učnega okolja v dinamično, kar hkrati predstavlja tudi priložnost za drugačno učenje, dinamičnejši pouk, ki učencu omogoča oblikovanje njemu primernega učnega okolja (Dumont in Istance, ). Prisotnost IKT v vsakdanjem življenju je posledica tehnološke revolucije ob koncu . stoletja. V zgodnjih šestdesetih in sedemdesetih letih prejšnjega stoletja so raziskovalci (npr. Skinner, Papert) računalnik videli kot obljubo za boljše izobraževanje. Danes je popolnoma jasno, da psihološke, izobraževal-  Didaktika matematike v osnovni šoli Preglednica . Nadaljevanje s prejšnje strani Ustreznost Učenec: rešitve – svoje trditve utemeljuje/argumentira, – preveri, ali je našel vse rešitve oz. ali je odgovoril na zastavljeno vprašanje, – preveri oz. testira rešitve, – preveri hipoteze, – ponovno pregleda vse faze reševanja, – posplošuje in napoveduje. Predstavitev Učenec: in interpre- – jasno in natančno oblikuje odgovore ter jih utemelji, tacija – uporablja matematični jezik in terminologijo, – objektivno interpretira, – na zastavljeno vprašanje tudi odgovori, – pri interpretaciji zna svoje trditve argumentirati, – izdela poročilo o preiskavi in ga predstavi. Opombe Povzeto po Žakelj (). Preglednica . Opisni kriteriji znanja pri reševanju problemov glede na raven doseženega znanja Kategorija Raven doseženega znanja A B C Č Razumevanje Učenec pokaže Učenec ne poka- Učenec ne poka- Učenec ne poka- problema razumevanje pro- že popolnega ra- že razumevanja že razumevanja (videnje blemske situacije, zumevanja pro- problema (vpra- problemske situ- problema, tako da postavlja blemske situacije. šanja, ki jih posta- acije niti z bese- postavitev smiselna in izvir- Vprašanja so (de- vi, ne sledijo nuj- dami niti s sliko. smiselnih na vprašanja ter loma) primerna. no iz problemske Vprašanj ne po- vprašanj) predstavi idejo in Nakaže idejo ter situacije). Nima stavi ali pa so ne- pristop pri reše- metodo reševa- prave ideje za re- smiselna. vanju. nja. ševanje, uporab- lja npr. strategi- jo poskušanja, ki ne vodi nujno do pravilne rešitve. Nadaljevanje na naslednji strani ne in druge teorije skupaj z računalniško znanostjo omogočajo učinkovitejše učenje in poučevanje, saj ravno izbira izhodiščnega teoretskega modela do- loča pogled na to, kako se ljudje učijo, kako poučujejo učitelji in tudi, kako se tehnologija uporablja za poučevanje. Uporaba IKT je pogoj za uspešno delovanje v svetu. Otroci so vzgojeni v svetu, ki jim omogoča takojšnji dostop do informacij. Navajeni so na okolje, v katerem kontrolirajo pretok in dostop do informacij preko različnih vrst IKT, ki so danes za učenje zelo pomembne. Številne študije so preučevale posku-  Reprezentacije Preglednica . Nadaljevanje s prejšnje strani Kategorija Raven doseženega znanja A B C Č Reševanje Učenec pri reše- Učenec pri reše- Učenec začetek Učenec začetek vanju izloči vse vanju izpostavi reševanja naka- reševanja nakaže, pomembne ele- najpomembnej- že, toda rešitev ni toda do rešitev mente problema, še elemente pro- popolna. Dela ra- ne pride ali pa so določi faze reše- blema, določi fa- čunske napake, nepravilne. Mate- vanja, ne dela ra- ze reševanja pro- napačno ali po- matični zapisi, če čunskih napak, blema. Uporablja manjkljivo upo- so, so nejasni ali pravilno uporab- primerne mate- rablja termino- pa nepravilni, od- lja matematične matične zapise z logijo, odgovori govori nakazujejo zapise. Iz predsta- manjšimi napaka- nakazujejo nedo- nedoločeno stra- vitve je mogoče mi. Strategije re- ločeno strategijo tegijo reševanja videti strategijo ševanja so lahko reševanja proble- problema. reševanja. Reši- tudi poskušanje, ma. Pri reševanju tve izpelje jasno, opazovanje, ugi- naredi veliko na- povezano, z logič- banje, ne nujno pak. nimi odgovori in strogo »matema- razlago. tične«. Rešitve so pravilne, z razla- go. Ugotovitve Učene vse rešitve Učenec predsta- Učenec ne pred- Učenec v odgo- in rešitve (ali predstavi celovi- vi glavne rešitve, stavi vseh rešitev, voru naredi večje učenec pri- to, pravilno, z ja- z manjšimi po- razlaga ni popol- število napak. Re- de do reši- snimi, povezani- manjkljivostmi na. Odgovor je šitev je napačna. tev) mi in logično iz- (npr. v zapisu ne blizu pravilnega, peljanimi odgo- upošteva izjem a ne v celoti pra- vori in jasno raz- ali posebnosti v vilen. lago. Odgovori se odgovoru). Od- nanašajo na po- govori se nanaša- stavljena vpraša- jo na postavljena nja. vprašanja. Utemeljitev Učenec predstavi Učenec predsta- Učenec predstavi Učenec ne poda in argumen- jasne argumen- vi primerne argu- argumente, ki ni- argumentov niti ti (ali učenec te in utemelji od- mente in utemelji so popolni, razla- utemeljitve. rešitve tudi govore. Pravilno odgovore. Mate- ga in utemeljitev utemelji in uporablja mate- matični jezik upo- sta pomanjkljivi. argumenti- matični jezik. rablja z manjšimi Matematični jezik ra) napakami. uporablja z veliko napakami. Opombe Povzeto po Žakelj (). se implementacije IKT v šolske sisteme, analizirale njeno uporabo ter učinke na poučevanje in učenje. Kljub temu v splošnem še ni bil dokazan pozitiven vpliv tehnologije kot take. Pozitivni učinki uporabe tehnologije so povezani z  Didaktika matematike v osnovni šoli uporabo učinkovitih pristopov in metod dela, kjer je IKT vključena v različne faze učnega procesa (Trucano, ). Uporaba IKT nam omogoča reprezenta- cijo abstraktnega znanja v konkretni obliki, razvijanje znanja in reflektiranje v vizualni in slušni obliki ter uporabo in obnavljanje znanja. Uporaba interneta je spodbudila povezovanje učencev in jim s tem omogočila razvijanje zna- nja v skupini, ki vpliva na razumevanje ter spodbuja kolaborativno učenje (Sawyer, ). Spletne učne vsebine spodbujajo kognitivno aktivnost zara- di interaktivne zasnovanosti (uporaba različnih interaktivnih večpredstavnih elementov, kot so npr. simulacije, animacije, interaktivne naloge in igre ter videoelementi). V preteklosti je bila težava predvsem usmeritev v »v tehnologijo usmerjen« pristop poučevanja namesto v sodoben, »v učenca oz. učenje usmerjen« pri- stop. Pri prvem je težava predvsem v tem, da sam pristop ni osmišljen, teh- nologija je sama sebi namen, predvsem ker ne upošteva potreb učenca in ciljev izobraževanja, medtem ko se pri drugem v prvi vrsti osredotočimo na to, kako se učenci učijo, tehnologijo pa uporabljamo le kot pomoč oziroma orodje (Aberšek, Flogie in Šverc, ). Raziskovalci so prišli do spoznanj, ki predstavljajo pomemben prispevek k teoriji o tem, kako se lahko ljudje učimo s pomočjo tehnologije. Izpostavimo tri, po mnenju Aberška, Flogieja in Šverčeve () pomembna spoznanja: – obstoj dvojnih kanalov (ljudje zvočne in vizualne podobe obdelamo ločeno); – omejene zmožnosti (ljudje lahko sočasno obdelamo le majhno količino zvokov ali podob) ter – aktivno procesiranje (smiselnost učenja je odvisna od ustreznega ko- gnitivnega procesiranja). Pri učenju s tehnologijo se moramo zavzemati za pristop, usmerjen v uče- nje ter učenca, in učenčeve izkušnje postaviti v središče izobraževalnega pro- cesa. Govorimo o v učenca oziroma v učenje usmerjenem pristopu poučeva- nja s tehnologijo, pri katerem se v prvi vrsti osredotočimo na to, kako se učen- ci učijo, tehnologijo pa uporabimo le kot pomoč oziroma orodje pri učenju. Zato mora učitelj pred uporabo IKT pri pouku skrbno načrtovati njeno vključevanje: – izbrati ustrezno orodje oziroma gradivo za doseganje izbranih ciljev; – dopolniti oziroma spremeniti obstoječa učna gradiva oziroma ustvariti nova učna okolja, ki bodo spodbujala v učenca usmerjeno učenje, pri  Reprezentacije čemer je potrebno imeti v mislih različne skupine učencev v oddelku (učenci s posebnimi potrebami, nadarjeni, migranti itd.). Teorije učenja in poučevanja so osnova tudi za rabo IKT pri učenju in po- učevanju. Raba in namen IKT v poučevanju se spreminjata, slednje se od- raža tudi v teoretičnih pristopih k poučevanju. Po mnenju Ertmerja in Ne- wbyja (Anderson in Elloumi, ) lahko pri načrtovanju učenja z uporabo IKT upoštevamo vse tri osrednje teorije učenja – behaviorizem, kognitivi- zem in konstruktivizem. Načela behaviorizma lahko uporabimo za učenje dejstev (»Kaj?«), načela kognitivizma za učenje procesnih znanj (»Kako?«), na- čela konstruktivizma pa za razvijanje višjih nivojev mišljenja, ustvarjanje la- stnega unikatnega razumevanja, ki izhaja iz otrokove osebne izkušnje (»Za- kaj?«). Ideja behavioristične teorije predvideva, da morajo biti učni cilji razdelje- ni na manjše enote oziroma manjše naloge. Spoznanja behaviorizma lahko uporabimo pri učenju z uporabo IKT na naslednje načine (Anderson in Ello- umi, ): – Učencem jasno predstavimo cilje in pričakovane dosežke oziroma re- zultate izobraževanja tako, da lahko sami preverjajo stopnjo usvojeno- sti teh ciljev. – Sproti preverjamo znanje učencev in jim posredujemo ustrezne povra- tne informacije o njihovem dosežku. Poskrbeti je potrebno za sprotne teste znanja in druge načine preverjanja. – Učno gradivo mora biti organizirano po smiselnih učnih korakih tako, da spodbuja učenje in upošteva načelo postopnosti. – Učencem posredujemo ustrezne povratne informacije, da lahko spre- mljajo svoje delo in po potrebi odpravijo pomanjkljivosti. Kognitivisti učenje razumejo kot aktiven miselni proces, ki ga ne moremo opazovati neposredno. Poudarjajo pomen človekovih notranjih mentalnih, predvsem spoznavnih, procesov pri učenju ter doseganje globljega razume- vanja. Spoznanja kognitivistične šole glede povezovanja oziroma navezova- nja novih znanj na obstoječo mrežo znanja lahko uporabimo pri učenju z uporabo IKT (Anderson in Elloumi, ): – Učenje z uporabo IKT naj temelji na uporabi strategij, ki omogočajo sprejemanje informacij preko različnih čutil. Dejavnosti naj bodo zasta- vljene na način, da učencem zagotavljajo dovolj časa za zadržanje pri strategijah, tako da jih lahko prenesejo v delovni spomin. Pozornost je  Didaktika matematike v osnovni šoli potrebno usmeriti v smiselno oblikovanje gradiv in v smiselno izbiro načina podajanja informacij (slika, zvok, video, animacija). Pomembno je, da informacije organiziramo v smiselno strukturo tako, da z njimi pri- dobimo pozornost učenca. Zahtevnost mora biti usklajena s kognitiv- nim nivojem učenca. – Zaradi omejenosti delovnega spomina pa količina prejetih informacij in dražljajev ne sme biti preobsežna, saj lahko to na učenje vpliva ne- gativno oz. zaviralno. Zato je potrebno iz gradiva izločiti vse nebistvene informacije. – Učenje z uporabo IKT naj omogoči uporabo strategij, ki bodo pomaga- le pri prenosu informacij iz kratkotrajnega v dolgotrajni spomin: osmi- šljanje informacij in navezovanje novega znanja na že obstoječe zna- nje. Uporabi naj se gradiva, ki vsebujejo organizatorje znanja, ki bodo pomagali priklicati obstoječe kognitivne strukture (povezave z ostalimi predhodno usvojenimi vsebinami) ter gradiva, ki vsebujejo konceptu- alne modele, s katerimi si učenci pomagajo priklicati že znane koncep- te ali jim je omogočeno učinkovito shranjevanje novih. Učence je po- trebno z vprašanji spodbuditi k premisleku o njihovem predznanju ali k iskanju dodatnih virov, ki bodo pripomogli k doseganju ciljev izobra- ževanja. – Spletna učna gradiva naj vključujejo aktivnosti, ki so prilagojene različ- nim učnim stilom učencev. Poleg tega jim je potrebno nuditi tudi ustre- zno podporo, ki ustreza posameznemu učnemu stilu. – Motivacija ima velik vpliv na učenje. Gradiva naj spodbujajo notranjo motivacijo, vendar je potrebno vključevati tudi elemente zunanje mo- tivacije. – V gradiva je potrebno vključevati primere uporabe znanja v različnih kontekstih, s čimer se omogoči večji transfer znanja in učencem poma- ga učenje osmisliti. Konstruktivistična šola gleda na znanje kot na rezultat učenčeve individu- alne interpretacije in obdelave tega, kar zaznava in sprejema preko čutil. Kon- struktivistične poglede pri učenju z uporabo IKT je moč opisati na naslednje načine (Anderson in Elloumi, ): – Učenje je aktiven proces, zato naj učenci informacije uporabljajo v prak- tičnih situacijah ter izsledke interpretirajo. Aktivnosti naj bodo osmi- šljene. – Učenje z uporabo IKT spodbuja tako interakcijo z gradivi kot tudi med  Metode poučevanja matematike učenci in med učencem in učiteljem. Tako učenci samo aktivno sodelu- jejo pri izgradnji znanja preko samostojnega odkrivanja, povezovanja ter osmišljanja novih spoznanj. – Učenje z uporabo IKT naj spodbuja sodelovalno učenje, saj to omogo- ča doživetje realne življenjske izkušnje dela v skupini, spodbuja razvoj metakognitivnega mišljenja, hkrati pa se učenci učijo drug od drugega tistih znanj in zmožnosti, kjer so posamezniki močni. – Učencem je potrebno omogočiti aktiven nadzor in usmerjanje procesa učenja, kar dosežemo z vodenim odkrivanjem, omogočanjem odloča- nja in individualno izbiro nekaterih učnih ciljev ob minimalni podpori učitelja. – Naloge in vprašanja v e-učnih gradivih naj učence spodbujajo k reflek- tiranju znanja. – Aktivnosti naj bodo zastavljene tako, da učencem omogočajo dovolj priložnosti in časa za premislek. – Primeri v e-učnih gradivih naj izhajajo iz vsakdanjih situacij, ki so učen- cem blizu in se jim bodo tako zdeli čim smiselnejši. – Učenje naj poteka čim bolj interaktivno, saj učenci na ta način najučin- koviteje pridobivajo nova znanja in razvijajo druge zmožnosti ter od- nos do obravnavane vsebine. Interaktivnost je pomembna tudi z vidika razvijanja smisla za skupnost in sodelovanje med udeleženci. Pred vsakim načrtovanjem učenja z uporabo IKT pa je potrebno premisliti o teoretičnih in praktičnih izhodiščih, na katerih bo temeljil izbrani pristop, katerega namen je uspešna izgradnja znanja. Metode poučevanja matematike Kubale () metodo opredeli kot način dela ali načrtni postopek za dosega- nje postavljenih ciljev pri realizaciji vzgojno-izobraževalnih ciljev pri pouku, kjer gre za premišljene organizirane postopke, uporabljene v procesu pouka, ki omogočajo učinkovito usvajanje znanj, spretnosti in delovnih navad učen- cev ter optimalni razvoj njihovih sposobnosti in interesov. Danes razlikujemo več vrst učnih metod, ki se pri pouku dopolnjujejo in iz- menjujejo. Didaktiki tako različno določajo njihovo število in vrstni red, ven- dar imajo vse te razvrstitve veliko skupnega. Poudariti je potrebno, da na ka- kovost vzgojno-izobraževalnega dela vpliva smiselna uporaba različnih me- tod (Kubale, ), pri čemer učitelj osmišljeno vključuje tudi rabo IKT, ki omogoča večsenzorno sprejemanje informacij in zagotavlja personalizacijo učnega procesa.  Didaktika matematike v osnovni šoli Kubale () izpostavlja naslednje učne metode: – metoda razgovora (dialoška metoda): – metoda razlage (monološka metoda): – metoda demonstracije ali prikazovanja; – metoda pisnih in grafičnih del; – metoda reševanja problemov; – metoda praktičnih del (tudi laboratorijskih). Pri tradicionalnem pouku matematike se je pouk pogosto začel z razgovo- rom in razlago, ki so jo dopolnjevali prikazovanje, grafično oblikovanje, reše- vanje problemov in tudi praktično delo učencev. Tradicionalni način učenja ne zadostuje potrebam današnjega sveta, saj z učenjem, ki temelji predvsem na prenosu znanja v obliki končnih dejstev, učenec ne more razviti kompe- tenc, pomembnih za uresničevanje osebnega zadovoljstva, aktivnega drža- vljanstva, socialne vključenosti in zaposljivosti v družbi znanja . stoletja. Učenec naj matematiko spoznava v nastajanju in se skozi proces uči matema- tičnega razmišljanja in raziskovanja, matematičnega argumentiranja in ko- municiranja, modeliranja, reševanja problemov, uporabe formalnega in sim- bolnega jezika, saj s tem razvija mišljenje in se ga uči produktivno uporab- ljati. Oglejmo si uporabo IKT pri tradicionalnih metodah: – Pri metodi razlaganja je pri podajanju učne snovi pomembno, da uči- telj pouk popestri z različnimi avdio-videoposnetki, slikami, simulacija- mi in drugimi multisenzornimi gradniki ter s tem učencem omogoči, da izberejo sebi najustreznejši način sprejemanja informacij. Če se poda- janje učne snovi s pomočjo IKT ne razlikuje od branja nove učne snovi v učbeniku (ki ne vsebuje interaktivnih multimedijskih gradnikov) ali poslušanja učitelja v razredu, se uporaba IKT lahko razvrednoti. – Pri metodi pogovora lahko uporabimo različne tehnike in oblike komu- niciranja na daljavo, kot so forumi, klepetalnice, socialna omrežja itd., ki so učencem v pomoč pri razvijanju socialne pripadnosti v skupini in spodbujajo komunikacijo med vrstniki. – Pri metodi dela s tekstom je IKT smiselno uporabiti predvsem zaradi prilagajanja pisave, velikosti itd., česar nam klasični učbeniki ne omo- gočajo. – Pri metodi reševanja problemov je uporaba IKT smiselna predvsem pri zagotavljanju gradiv in sredstev, ki so učencu v pomoč pri reševanju  Metode poučevanja matematike problema. S tem pri učencu spodbujamo samoregulacijo učenja, so- delovalno delo ter kritično mišljenje (Nelson, Sadler in Surtees, ). Na izbiro metod vpliva veliko dejavnikov, kot so število učencev, opremlje- nost z didaktičnimi pripomočki in tehnologijo, čas, ki ga imamo na razpolago, pedagoška in strokovna usposobljenost učitelja, predvsem pa moramo biti pri izbiri metod pozorni na upoštevanje razvojne stopnje učencev. Kot smo povzeli že v poglavju o teorijah učenja (poglavje ), so znanstveni- ki, ki so preučevali učenje, spodbujali različne metode učenja in poučevanja. Bruner je poudarjal pomen samostojnega odkrivanja v procesu učenja, ki ga je utemeljeval s trajnostjo znanja in z uporabnostjo v novih situacijah, saj se učenci poleg vsebine naučijo tudi reševanja problemov. Ausubel () je poudarjal pomembnost sistematičnega učenja. Učenci pri tem pridejo do znanja hitreje, to pa je sistematičnejše. Poudarjal je, da je ta metoda primerna tudi za manj uspešne učence in učence, ki so obremenjeni s strahom pred neuspehom, saj se učijo v stilu, v katerem najbolj razvijejo svoje sposobnosti in izrazijo svoje dosežke. Kot razlaga Ausbel, je omenjena metoda tudi manj zahtevna za učitelje. Gagne se je zavzemal za vodeno odkrivanje, kjer učitelj stopnjo vodenja prilagodi glede na situacijo v razredu. Njeno pomembnost je poudaril pred- vsem pri formulaciji koncepta (Žakelj, ). Vse tri omenjene metode učenja in poučevanja stremijo k temu, da učenci matematiko usvajajo skozi proces in ne le kot končna dejstva, vendar so pri nekaterih načinih bolj samostojni, pri drugih bolj vodeni (Žakelj, ). Simons, Van Der Linden in Duffy poudarjajo (De Corte, ), da je za za- gotovitev večje uspešnosti učenja potrebno preiti od direktnega poučeva- nja k izkustvenemu učenju. Izkušnje imajo pri učenju in človekovem razvoju osrednjo vlogo (Kolb, ). Izkustveno učenje je metoda učenja, ki neposre- dno izkušnjo (doživljaj), opazovanje (percepcijo), spoznavanje (kognicijo) in ravnanje (akcijo) pomaga povezati v neločljivo celoto. Ne omejuje se zgolj na posredovanje simbolov (abstraktno znanje pojmov in zakonitosti), tem- več v učenje stalno vpleta izkušnje učencev (Marentič-Požarnik, Magajna in Peklaj, ). Da bo učenec lahko res ponotranjil novousvojene pojme in z nji- mi nadomestil intuitivne predstave, mu je treba zagotoviti različne situacije, v katerih bi to novo znanje lahko uporabil in ga potrjeval. Izkustveno učenje mu lahko pomaga pri postopnem usvajanju in izgrajevanju pojmov in pred- stav – od konkretnih izkušenj do abstraktnega pojma. Ima pomembno vlogo zlasti za učence, katerih izhodišče spoznavanja je prek čutil, z zbiranjem, mer- jenjem in opazovanjem (Žakelj, ).  Didaktika matematike v osnovni šoli »Izkustveno učenje zahteva raziskovalno, kontekstualno, družbeno in no- tranje motivirano učenje, ki je usmerjeno k ciljem in problemom ter temelji na konkretnih problemih« (Simons idr., , v De Corte, , str. ). Koo () kot dober primer z IKT podprtega izkustvenega učenja navaja spletne igre, ki so za učence privlačne. Z njimi učenci razvijajo socialno pripadnost, radovednost ter koncentracijo. Pri procesno-didaktičnem pristopu poučevanja in učenja matematike pre- vladujeta strukturirano/vodeno učenje in vodeno odkrivanje. Strukturirano/vodeno učenje je namenjeno učencem, ki rešujejo proble- me na podlagi celostnega vtisa in težko ločijo del od celote. Potrebujejo vo- deno učenje in poučevanje, ki je strukturirano in vključuje jasno organizaci- jo informacij ter jasno zaporedje korakov. Njihov pristop k učenju je pasiven (manj zapisujejo, izpisujejo, podčrtujejo), imajo manjšo sposobnost organi- zacije in strukturiranja učnega gradiva, težje izločijo pomembne podatke iz besedila, pogosto delajo z metodo poskus – napaka, težave imajo s prevaja- njem besedilnih problemov v matematične formule. Tudi te učence je potre- bo spodbujati k aktivnemu učenju. Pri njih je pomembno izkustveno učenje in delo s konkretnim materialom. Tempo dela je potrebno prilagoditi njiho- vim sposobnostim (Žakelj, ). Vodeno odkrivanje oziroma samostojno učenje je primerno za učence, ki so sami sposobni izluščiti posamezne dele iz celote in jih organizirati. Njihov pristop k učenju je aktiven (več zapisujejo, izpisujejo, podčrtujejo), imajo več- jo sposobnost organizacije in strukturiranja učnega gradiva, lažje izločijo po- membne podatke iz besedila, sistematično rešujejo probleme, imajo manj te- žav s prevajanjem besedilnih problemov v matematične formule. Tem učen- cem je potrebno omogočiti samostojno učenje oz. vodeno odkrivanje, saj so sposobni sami organizirati informacije, načrtovati korake v procesu reševanja problema. S tem spodbujamo njihovo ustvarjalnost, izražanje idej, inovativ- nost in motivacijo za učenje. Učitelj ni več podajalec znanja, temveč usmer- jevalec, ki vodi komunikacijo, pogovor, razpravo (Žakelj, ). Od učencev ne moremo pričakovati, da bodo sami odkrili matematične re- snice (Žakelj, ). Mayer () poudarja, da vodeno odkrivanje daje boljše rezultate pri učenju in pomnjenju ter enake rezultate pri transferju znanja kot samostojno odkrivanje. S pristopom vodenega odkrivanja učencem damo priložnost, da o novem pojmu razmišljajo, povezujejo že obstoječe znanje in tako novo znanje ak- tivneje, s svojim razmišljanjem, vključijo v obstoječo mrežo svojega znanja. Sposobnost povezovanja znanja oziroma navezovanja na obstoječo mrežo znanja je ključ do trajnejšega znanja (Žakelj, ).  Didaktična sredstva pri pouku matematike Didaktična sredstva pri pouku matematike Učni proces lahko izboljšujemo s primerno izbranimi oblikami in metoda- mi. »Rezultati socioloških, psiholoških in didaktičnih raziskave dokazujejo, da imajo pri tem pomemben delež tudi učila in učni pripomočki« (Kubale, , str. ), saj pomembno vplivajo na motivacijo in razumevanje abstraktnih konceptov. Po načinu spoznavanja didaktiki razlikujejo: – učila (predmet, ob katerem učenec neposredno pridobiva znanje, npr. učbeniki, priročniki, učni listi, modeli, računalniški programi itd.) in – učne pripomočke (pribor za risanje in pisanje, drugo orodje, tabla, ra- čunalnik, projektor itd.) (Kubale, ). Tu moramo opozoriti na terminološke razlike. Poleg terminov učila in uč- ni pripomočki se pogosto uporabljajo tudi drugi termini, in sicer učna sred- stva, didaktična sredstva, didaktični pripomočki, ponazorila, didaktični mate- rial itd. Kubale () in drugi poudarjajo, da gre za pomensko razlikovanje, saj učila in učni pripomočki nimajo enake funkcije znotraj učnega procesa. Kubale () in Andoljšek () po izvoru razlikujeta dve vrsti učil: naravne predmete ali izvirno stvarnost in učila ali nadomestke za izvirno stvarnost. Ker naravnih predmetov ali pojavov ne moremo vedno opazovati, uporabljamo učila, ki nadomeščajo izvirno stvarnost. Andoljšek () tako učilo definira kot predmet, ob katerem učenec pridobiva znanje neposredno, Podhostnik () pa učila opredeli kot učna sredstva, ki so vir novih informacij – pre- učujejo jih učenci pod učiteljevim vodstvom ali pa tudi samostojno. Tu sta opredelitvi podobni. Vendar si pri slednjem niso vsi enotni. Šilih () učila in ponazorila obravnava skupaj, ker po njegovem mnenju med njimi ni jasne meje. V nadaljevanju bomo pojem didaktična sredstva uporabljali kot nadpo- menko za učila in učne pripomočke. Glede na čutila, ki sodelujejo pri zaznavanju didaktičnih sredstev, ta delimo na (Blažič, Ivanuš-Grmek, Kramar in Strmčnik, ): – vizualna: z njimi ustvarjamo različne vidne prikaze (zapisi, slike, modeli, fotografije, skice, sheme in projekcije); – avditivna: z njimi ustvarjamo slušno prikazovanje in zaznavanje (govor, ustvarjanje različnih glasov in zvokov); – avdiovizualna: z njimi ustvarjamo vidne in slušne dražljaje (eksperi- mentalno in praktično delo, zvočni filmi, oddaje, dramatizacije);  Didaktika matematike v osnovni šoli – multimedijska: omogočajo ustvarjanje navidezne resničnosti (virtual- na učilnica) in podpirajo različne aktivnosti učiteljev in učencev (npr. uporaba računalnika ali tablice, ki omogoča vizualno, avditivno in av- diovizualno prikazovanje, hkrati pa še izvajanje drugih aktivnosti). Glede na dimenzionalnost jih tako Poljak () kot tudi Kubale () in Podhostnik () delijo na dvodimenzionalna in tridimenzionalna, glede na osnovno funkcijo pa na dinamična in statična. Sodobna didaktika preučevanju didaktičnih sredstev posveča veliko po- zornosti, zlasti pri učnih načelih oz. v okviru le-teh načelu nazornosti. Didak- tična sredstva se z razvojem spreminjajo. Hiter razvoj izobraževalne tehno- logije, ki preučuje uporabo tehničnih sredstev pri poučevanju, vnaša spre- membe tudi na polje didaktike matematike. Po mnenju Kubaleta () naj bi didaktična sredstva pospešila izobraževanje in olajšala delo učitelju ter spre- menila njegovo vlogo v procesu poučevanja in učenja. Vendar učitelja ne mo- rejo nadomestiti, saj ne morejo nadomestiti neposrednega stika med njim in učencem ter številnih stvari, ki se odvijejo v tej interakciji. Ne glede na napredek IKT, spremenjeno vlogo učitelja v procesu poučeva- nja in druge vplive, ki se posledično odražajo na področju didaktike matema- tike, izbira didaktičnih sredstev temelji na preučitvi naslednjih dejavnikov: – kako bomo najuspešneje uresničili cilje in naloge pouka; – katera didaktična sredstva spodbujajo motivacijo učencev pri pouku matematike; – kako bomo dosegli lažje in hitrejše usvajanje matematičnih znanj ter njihovo trajnost; – v katero fazo pouka bomo vključili izbrana didaktična sredstva. Kubale () pri tem poudarja, da mora vsako didaktično sredstvo, ki ga vključimo v učni proces, prispevati k učinkovitosti vzgojno-izobraževalnega procesa in ne sme biti samo sebi namen. Uporaba didaktičnih sredstev pri pouku spodbuja kognitivni konflikt, vpli- va na aktivnost učencev, služi kot demonstracijsko sredstvo ter omogoča laž- ji prehod s konkretne na abstraktno raven. Pri tem se moramo zavedati, da upravljanje s konkretnim materialom, ki ni osmišljeno z natančno refleksijo procesa rokovanja, ne more voditi k uspešnemu učenju matematičnih poj- mov (Hodnik Čadež, ). Učni načrt za matematiko (Žakelj idr., ) predvideva holistični procesno- didaktičnem učenja in poučevanja matematike. To naj bo podprto z razisko-  Didaktična sredstva pri pouku matematike valno dejavnostjo, reševanjem problemov iz vsakdanjega življenja, z izzivi in primeri, ki osmišljajo matematične vsebine, z vključevanjem aktualnih vse- bin, sodobnih gradiv in tehnologij. Učitelji matematike v tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju geometri- jo velikokrat poučujejo zelo formalno, zato ima veliko učencev težave z njeno predstavljivostjo. Iz tega razloga je pomembno, da didaktične pripomočke ponudimo tudi učencem v zadnjem vzgojno-izobraževalnem obdobju, saj jim s tem omogočamo lažje usvajanje novih dejstev. Kot smo že omenili, je Bruner () potek razvoja matematičnih pojmov pri učencu opredelil z zaporedjem uporabe reprezentacij pri obravnavi le-teh (najprej enaktivna, nato ikonična in nazadnje simbolična). Začetek rabe matematičnih didaktičnih sredstev sega v čas raziskovanja prostorske geometrije. Njihova uporaba učencem omogoča, da zgradijo la- stni kognitivni model abstraktnih matematičnih pojmov in procedur, hkrati pa zagotavlja skupen jezik za razpravo o danih modelih. Ko je v Evropi IKT prodrla na področje izobraževanja, je prinesla izboljša- vo tradicionalnih poučevalnih metod v smer večje učinkovitosti pa tudi ra- zvoj povsem novih metod. Učitelji so se jih posluževali oz. so oblikovali nove glede na cilje izobraževanja, vsebino in uporabnike (Rebolj, ). Pogoste- je so se začela uporabljati elektronska sredstva. Rebolj () poudarja, da z njimi učenci nekatere cilje dosežejo hitreje, kakovostneje in z večjim zado- voljstvom, vendar Clark in Mayer () opozarjata, da so za učenje ključnega pomena metode in ne Matematični učbeniki sam. Cope () pojasnjuje, da je v Ameriki v zadnjih  letih tendenca upora- be matematičnih didaktičnih sredstev z namenom modeliranja/predstavitve različnih reprezentacij določenega matematičnega koncepta. Avtor izposta- vlja, da analize raziskave kažejo pozitivne učinke dolgotrajne rabe didaktič- nih sredstev na dosežke učencev, saj njihova uporaba učencem omogoča, da preko opazovanja modelov oblikujejo lasten kognitivni model in pono- tranjijo abstraktne pojme. Tako je uporaba konkretnih, slikovnih in virtualnih didaktičnih sredstev nujna za izboljšanje dosežkov učencev, saj spodbuja ra- zvoj njihovih matematičnih sposobnosti.  Informacijsko-komunikacijska  tehnologija Digitalne tehnologije so postale del vsakdanjega življenja in dela ter imajo v današnjem svetu vseprisoten vpliv. Generacijam mladih, ki so rojeni po na- stanku interneta, pravimo iGeneracija, milenijci, generacija aplikacij (Gold, ), digitalna generacija ali digitalni domorodci. To so generacije otrok, ki so se rodili v svet digitalne tehnologije, kjer je tehnologija sestavni del njiho- vega vsakdana, življenja. Slednje spreminja tudi način njihovega delovanja v družbi ter njihove potrebe. Za uspešno delovanje v družbi so poleg temeljnih zmožnosti s področja pi- smenosti pomembne tudi druge, kot so informacijska, digitalna in matema- tična pismenost itd., ki postopoma dobivajo pomembno vlogo tudi v šolskih kurikulih (Žakelj, ). O informacijski pismenosti govorimo takrat, ko je posameznik sposoben kritično misliti o informacijah, ugotavljati in argumentirati, ko bere, interpre- tira in evalvira informacije (Žakelj, ). Informacijska pismenosti temelji na uspešni uporabi informacijsko-komu- nikacijske tehnologije, ki postaja tudi vse bolj integriran del poučevanja in učenja v sodobni šoli. Blurton () IKT opredeli kot sklop raznolikih teh- noloških orodij in virov, ki se uporabljajo za komuniciranje, ustvarjanje, dise- miniranje, shranjevanje in upravljanje informacij. Te tehnologije vključujejo računalnike, interneta, naprave za oddajanje (radio, televizija) in telefonijo. Didaktično osmišljena raba IKT-sredstev in pripomočkov (e-gradiv, i-tabel, spletnih učilnic, didaktičnih iger, animacije in simulacija itd.) pripomore k učinkovitejšemu sprožanju učenčevih miselnih procesov, omogoča individu- alizacijo in s tem olajša spoznavni proces. V sklopu danes že precej razširjenega e-izobraževanja se pojavlja tudi izraz m-izobraževanje (m-learning) oziroma mobilno učenje, ki temelji na uporabi naprednejših mobilnih tehnologij, to je mobilnih naprav, kot so mobilni te- lefoni, dlančniki, tablični in prenosni računalniki. Uporabnikom so dosegljive na vsakem koraku, omogočajo jim komunikacijo z drugimi uporabniki, do- stop do svetovnega spleta in hitro iskanje virov, izdelovanje in ogledovanje slike ter videoposnetkov, omogočajo uporabo najrazličnejših storitev in apli- kacij. So enostavne za uporabo, kar bo zagotovo vplivalo na prihodnost izo-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija braževanja, saj tablični računalniki in mobilni telefoni že postajajo del šolskih praks. Raba IKT pri pouku torej ni več vezana le na uporabo računalnika in in- terneta, temveč vključuje tudi druge tehnologije, kot so mobilne naprave, digitalni fotoaparat in druga tehnološka učna sredstva. Računalnik je zaradi svoje uporabnosti danes prisoten praktično v vsakem razredu, pogosto pa so učilnice opremljene tudi z interaktivnimi tablami, ve- dno pogosteje tudi s tabličnimi računalniki, kar je gotovo povezano tudi z načrtnim vključevanjem IKT v slovenski šolski prostor, ki poteka tudi v sklo- pu različnih projektov (npr. pilotni projekt testiranja tabličnih računalnikov), ter s prodorom interaktivnih elektronskih učbenikov (i-učbenikov). IKT je v slovenske šole vstopila v sedemdesetih oziroma osemdesetih le- tih prejšnjega stoletja. Najprej je bila uvedena v srednje, nato še v osnovne šole (Mori, ). Na uporabo računalnika v izobraževanju so bila takrat veza- na visoka pričakovanja, in sicer naj bi ta odigral vlogo popolnega domačega učitelja, ki bi posamezniku glede na njegove zmožnosti, potrebe in želje za- gotavljal individualizirane usluge med podajanjem najsodobnejšega znanja (Gerlič, ). Informatizacija slovenskega šolstva se je začela pospešeno iz- vajati od leta  dalje, ko se je začelo sistematično uvajanje uporabe IKT v slovensko šolstvo, in sicer leta  najprej s projektom RO – Računalni- ško opismenjevanje. Namen projekta je bil zagotoviti slovenskim vzgojno- izobraževalnim zavodom strojno in programsko (sistemsko in didaktično) ra- čunalniško opremo ter usposobiti učitelje za uporabo IKT pri poučevanju ter razvojno-raziskovalnih projektih v zvezi z novimi pristopi uporabe. Vzposta- vljeno je bilo slovensko izobraževalno omrežje (SIO) (MIZŠ, ). Usposabljanje vzgojiteljev, učiteljev in ravnateljev ter opremljanje sloven- skih VIZ-zavodov z IKT ter druge dejavnosti tako brez večjih presledkov po- tekajo od leta  pa do danes (MIZŠ, ). Enega večjih sistemskih prebojev je na podlagi nadgrajenega Akcijskega načrta informatizacije slovenskega šolstva od leta  naprej s projektom e-šolstvo zagotovilo takratno Ministrstvo za šolstvo in šport. V okviru »e- šolstva« se je poleg razvoja in implementacije svetovanja, didaktične pod- pore in tehnične pomoči šolam izvedel tudi poskus razvoja in implemen- tacije standarda »e-kompetentni učitelj in ravnatelj«. Predlog standarda e- kompetentni učitelj, ki vsebuje šest temeljnih e-kompetenc, se formalno ni vpeljal (MIZŠ, ). Omenjene e-kompetence so naslednje (Kreuh, ): . poznavanje in zmožnost kritične uporabe IKT; . zmožnost komunikacije in sodelovanja na daljavo (učitelji, vzgojitelji in drugi strokovni delavci v VIZ, starši, učenci);  Informacijsko-komunikacijska tehnologija . zmožnosti iskanja, zbiranja, obdelovanja, vrednotenja (kritične preso- je) podatkov, informacij in konceptov; . poznavanje varne rabe in upoštevanje pravnih ter etičnih načel upora- be in objave informacij; . izdelava, ustvarjanje, posodabljanje, objava izdelkov (gradiv); . zmožnosti načrtovanja, izvedbe in pouka (učenja in poučevanja) z upo- rabo IKT. Velik poudarek projekta je bil na predstavitvi, didaktični vrednosti, ustvar- janju in osmišljeni rabi e-gradiv ter razvoju in uporabi e-gradiv za i-table. Vplivi informatizacije slovenskega šolstva kažejo rezultate na različnih področjih. Leta  je Slovenija sodelovala v mednarodni študiji o računal- niški in informacijski pismenosti ICILS , kjer se je uvrstila na .–. mesto med  državami. Rezultati omenjene študije so pokazali, da so slovenski učenci v uporabi interaktivnih tabel močno nad evropskim povprečjem (Slo- venija je zasedla . mesto). Menimo, da je na slednje pomembno vplivalo tudi dejstvo, da je ministrstvo za šolstvo poleg usposabljanj v okviru pro- jekta e-šolstvo poskrbelo tudi za opremljanje šol z interaktivnimi tablami in drugo IKT. Na šolah so prodajalci izvedli kratke delavnice o tehničnih vidikih uporabe i-table, učitelji pa so se lahko udeležili tudi seminarjev in delavnic za delo z i-tablo v okviru prej omenjenega projekta (MIZŠ, ). Kljub načrtnemu vlaganju v infrastrukturo raziskava ICILS  kaže, da slo- venski osnovnošolci in srednješolci opremo in orodja uporabljajo manj po- gosto kot ostali učenci v Evropi. V letih – je bilo poleg omenjenega projekta »e-šolstvo« s sofinan- ciranjem iz Evropskega socialnega sklada – izvedenih še nekaj dru- gih projektov s področja uvajanja IKT: E-kompetence učiteljev v dvojezičnih šolah, Izdelava multimedijskih in interaktivnih e-gradiv, I-učbeniki, Projekt e- šolska torba, Projekt IR-optika itd. (MIZŠ, ). Narejen je bil velik premik v smeri uporabe IKT pri poučevanju in učenju. Danes IKT ni več le pripomoček, ki ga uporabljamo v procesu poučevanja. Omogoča nove pedagoške pristope ter spreminja proces poučevanja in uče- nja (MIZŠ, ). Vendar kljub temu, da so digitalne tehnologije že del vsakda- njega življenja in dela, EU ocenjuje, da v sistemih izobraževanja in usposab- ljanja po Evropi še niso v celoti izkoriščene. Raziskava TALIS  je pokazala, da se uporaba IKT v osnovnih šolah po posameznih državah močno razliku- je. Dokumenti EU opozarjajo tudi na razdrobljenost pristopov pri uvajanju in uveljavljanju IKT v vzgoji in izobraževanju, kar vse prispeva k povečevanju digitalnega razkoraka v EU med tistimi, ki imajo dostop do inovativnega, na  Informacijsko-komunikacijska tehnologija tehnologiji temelječega izobraževanja, in tistimi, ki dostopa do takega izo- braževanja nimajo (MIZŠ, ). Po analizi rezultatov mednarodnih raziskave (ICILS , TALIS , vpliv programa eTwinning, ICT in Education) in nacionalnih projektov (RO, e- šolstvo . . .), ki so predstavljali steber informatizacije slovenskega šolstva, je ministrstvo za šolstvo prišlo do pomembnih ugotovitev, in sicer: v sloven- skih šolah je raba IKT pri pouku povprečna glede na države EU oziroma od povprečja nekoliko odstopa navzdol (MIZŠ, ). Slovensko šolstvo je na področju usposabljanja za uporabo IKT med učitelji že izšlo iz razvojne faze »osnovnega usposabljanja«, tako da je potrebna usmeritev v usposabljanja s področja pedagoške rabe IKT. Januarja  je Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport sprejelo Strateške usmeritve nadaljnjega uvajanja IKT v slovenske VIZ do leta  kot podlago za nadaljnje aktivnosti MIZŠ na tem področju. Namen dokumenta je umestitev aktualnih pobud, usmeritev in dokumentov v Sloveniji, Evrop- ski uniji in tudi širše. Da bi lahko z vizijo posameznikom zagotovili možnost izobraževanja v odprtem, ustvarjalnem in trajnostno vzdržnem učnem oko- lju, podprtem z inovativno uporabo informacijsko-komunikacijske tehnolo- gije, kar bo na učinkovit in kakovosten način omogočilo pridobitev znanja in spretnosti, ključnih kompetenc . stoletja, potrebnih za uspešno vključe- vanje v družbo, s čimer bo zagotovljen tudi dvig konkurenčnosti znanja in kompetenc naših učencev, dijakov in študentov, da bodo lahko prispevali k inovativnosti in konkurenčnosti domačega trga in bodo bolj opolnomočeni za uspešen vstop na trg dela (vključno z EU), je bilo v dokumentu opredelje- nih  ciljev. Med njimi je tudi cilj: zagotoviti višjo raven digitalne usposoblje- nosti in izkoriščenosti IKT znotraj celotnega vzgojno-izobraževalnega siste- ma in s tem bistveno prispevati k dvigu ključnih kompetenc ter kompetenc za . stoletje učencev, dijakov, študentov ter udeležencev v izobraževanju odraslih. Slednje predpostavlja zagotavljanje celovitega razvoja kompetenc vzgojiteljev, učiteljev, koordinatorjev IKT, ravnateljev, visokošolskih učiteljev in strokovnih sodelavcev (formalno izobraževanje in nadaljnje usposablja- nje) z učinkovitimi oblikami usposabljanja (v živo in na daljavo), s krepitvi- jo profesionalnih skupnosti, z aktivno izmenjavo dobrih praks oz. vzajemnim učenjem in zagotavljanjem kakovostnih storitev (svetovanje, pomoč) v živo in na daljavo (MIZŠ, ). Vlada Republike Slovenije je . marca  sprejela strateški dokument Di- gitalna Slovenija  – Strategija razvoja informacijske družbe do leta , ki govori o digitalizaciji Slovenije z intenzivno in inovativno uporabo IKT ter interneta v vseh segmentih družbe. V njem je izpostavljeno, da je treba for-  Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju malni in neformalni šolski prostor odpreti novim idejam ter prilagoditi novim generacija in, potrebam izobraževanja za nova digitalna delovna mesta ter da je potrebno enakopravno vključevanje vseh generacij v evropsko digital- no družbo (MIZŠ, ). Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju Informacijsko-komunikacijska tehnologija omogoča nove pedagoške pristo- pe in spreminja proces poučevanja in učenja. Kakovosten pouk predstavlja temeljni dejavnik optimalnega razvoja učencev. Za zagotavljanje tega je po- trebno izhajati iz otrokovega predznanja, predstav in idej. Didaktično osmišljena raba IKT-sredstev in pripomočkov (e-gradiv, i-table, spletnih učilnic, didaktičnih iger, animacije in simulacija itd.) pripomore k učinkovitejšemu sprožanju učenčevih miselnih procesov, omogoča individu- alizacijo in s tem olajša spoznavni proces. Interaktivni pouk z uporabo IKT omogoča udejanjanje kognitivno-kon- struktivističnega modela pouka, pri katerem učenec ob različnih aktivnih metodah in dejavnostih gradi svoje znanje in ga uporabi v novih situaci- jah. Interaktivni pouk k aktivnim metodam poučevanja dodaja razsežnosti informacijsko-komunikacijske tehnologije ter izrablja njene prednosti z na- menom kakovostnejše izgradnje znanja. Za vsak učni proces, klasični ali spletni, je pomembno načrtovanje pouka, pri tem pa imamo v mislih postavljanje učnih ciljev, izbor in organizacijo vse- bine ter pripravo virov znanja. Najpomembnejši vsebinski element so torej učni cilji, ki morajo biti jasni, razumljivi in preverljivi. Kot smo že večkrat omenili, smiselnost znanja učenec spoznava prek iz- kušnje, za to pa potrebuje številna srečanja s fizičnimi ali z virtualnimi situa- cijami. Tako kot v klasičnem učnem okolju moramo tudi v spletnem oz. virtu- alnem učnem okolju (e-okolju) upoštevati zakonitosti učenčeve percepcije. Učno okolje je potrebno načrtovati celostno in daljnovidno naravnano (Re- bolj, ). Učitelji lahko sami izbirajo, kako bodo IKT vključili v pouk, vendar samo vključevanje IKT v pouk ni dovolj. Potrebno je razmisliti o načinu, kako to sto- riti, da bo njena uporaba učinkovita, hkrati pa se je treba nanjo pripraviti in, kar je najpomembnejše, se dodatno izobraževati, usvojeno znanje nadgraje- vati ter slediti sodobnemu času, v katerem je uporaba tehnologije neizogib- na. IKT nam pomaga upravljati z vse večjim pretokom informacij, ki omogo- ča vzpostavitev avtonomnejših učnih okolij z bogatejšo učno vsebino (Gerlič, ).  Informacijsko-komunikacijska tehnologija Pri tradicionalnem pouku ob stalno prisotnem učitelju cilje in vsebino pri- pravljamo okvirno, kar še posebej velja za organizacijo vsebine in poti do uč- nih ciljev. Stalno prisotni učitelj ima možnost usmerjanja učencev, dodajanja pomoči, dodatkov za hitrejše učence in celo za odpravo pomanjkljivosti pri načrtovanju. Pri izobraževanju, ki vključuje uporabo spletnega učnega okolja, pa je po- trebno poleg priprave vsebine pripraviti tudi spletno okolje. Priprava slednje- ga naj bo premišljena, didaktično osmišljena in strokovno pretehtana. Le ta- ko učno okolje bo na učence vplivalo motivacijsko in jih spodbujalo k samo- stojnem raziskovanju izbrane matematične vsebine. Pomembno je, da učitelj vnaprej kar se da natančno predvidi, kako bo potekalo učenje. Zagotovljeni morata biti personalizacija učnega okolja in individualizacija učenja (vsebin- ska in organizacijska), saj učencu omogočata, da sam soustvarja učno okolje, si tako krepi čut odgovornosti, občutek za red, ustvarja si nabor potrebnih informacij ter izpili občutek za smotrno razumevanje informacij, ki jih je smi- selno pomniti. IKT učiteljem omogoča, da se prilagodijo potrebam otrok in jim s tem omogočijo lažje in hitrejše napredovanje. Pri tem so jim v pomoč različni računalniški programi, orodja, podporne tehnologije ter računalniško podprta učna okolja, ki otrokom omogočajo lažje in hitrejše napredovanje. Tako so Mioduser, Tur-Kaspa in Leitner () dokazali, da so učenci, ki so pri učenju uporabili IKT, bolj učno napredovali kot tisti, ki so se učili le s tradicio- nalnimi učnimi metodami. Učitelj lahko organizira tudi kombinirano učenje, kjer učenci dele učne poti prehodijo klasično, druge dele pa v spletnem uč- nem okolju (Rebolj, ). Učitelj potrebuje dobre izkušnje s klasičnim izobraževanjem, saj mora učni proces poznati, da ga lahko predvideva. Učenec prepoznava in logično skle- pa v skladu z določenimi zakonitostmi, zato je potrebno med elementi zago- toviti ravnovesje in enotnost. S tem se lahko v največji možni meri prepreči napačne prepoznave in sklepe, ki bi v odsotnosti učitelja lahko učenca za- vedli k napačnemu spoznavanju. Preprostost, jasnost in logičnost učne poti učencu omogočajo osredotočanje na vsebino (Rebolj, ). Lahko rečemo, da so zamišljene učne situacije in predvidena učna pot, ki jo načrtuje učitelj, hipotetične, zato morajo biti e-gradiva pripravljena fleksibil- no, da učencu omogočajo razvijanje lastne učne poti in doseganje zastavlje- nih ciljev. Razlike med učnimi potmi so lahko ugodne za učence, ki se medse- bojno razlikujejo. Čeprav učno gradivo omogoča precejšnjo učenčevo izbiro, pa ta ni brezmejna. V formalnem izobraževanju mora učenec doseči predpi- sane učne cilje, kar omejuje tako izbiro vsebine kot izbiro zahtevnosti, delno pa tudi tempo učenja, saj je doseganje učnih ciljev tudi časovno omejeno.  Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju Obsegi in ploščine trikotnikov in šririkotnikov Obseg likov Paralelogrami Trapezi Deltoidi Trikotniki Aktivnost z modeli Aktivnost z uporabo IKT Izpeljava obrazca za ploščino E-gradiva Konceptualna znanja Proceduralna znanja Problemska znanja Uporaba znanja Slika . Predvidena učna pot Učno okolje, učna vsebina, učna pot in gradiva Pri načrtovanju spletnega učnega okolja (e-okolja) in učne poti moramo upo- števati kognitivne, psihološke, socialne in čustvene potrebe učenca na dolo- čeni razvojni stopnji. Učno okolje naj omogoča raznovrstne učne izkušnje, kjer ima učenec možnost samostojnega razvoja učnih strategij, kar podpira njegovo zorenje k večji avtonomiji in odgovornosti za učne rezultate. Učna pot, ki jo načrtuje učitelj kot organizator učnega okolja in gradiv, je hipotetična, saj je dejansko stanje v učnem procesu nemogoče popolnoma predvideti. Kažipot učne poti so učni cilji, ki jih moramo utemeljiti na stan- dardih znanja. Učna pot je dinamična, učenec na njej napreduje. Učenec naj bi strukturo učne celote med učenjem pomnil in s tem dojemal posamezne teme v učni celoti, kar je znotraj spletnega učnega okolja tudi vizualno pod- prto. Primer strukture učne poti je predstavljen na sliki .. Učno gradivo je bistveni element učne poti, ni pa edini. Učna pot in učno gradivo morata biti usklajena (slika .).  Informacijsko-komunikacijska tehnologija Slika . Posnetek spletne učilnice z e-gradivi, ki se nanaša na predvideno učno pot s slike . Domača naloga – ploščina paralelograma Enostavnejše: Zahtevnejše: • e-učbenik str. /, ,  • e-učbenik str. / • e-učbenik str. / • e-učbenik str. /, ,  Slika . Diferenciacija nalog Prava izbira zahtevnosti glede na razvojno stopnjo učenca je pri učenju v spletnem učnem okolju zelo pomembna. Učenje terja napor, a ta naj bo le tolikšen, da ga učenec zmore. Zaradi učne raznolikosti v skupini je potrebno zagotoviti diferenciacijo nalog po zahtevnosti (slika .). Učno pot in učno gradivo je potrebno povezati tudi s predznanjem učne skupine, podpirati pa mora tudi nadaljevanje učenja in nadgrajevanje znanja v prihodnosti. Pri načrtovanju spletne učne poti je pomembno, da jo na za- četku večkrat prehodimo sami, vsakič pa smo pozorni na eno sestavino učne poti (npr. razumljivost, zanimivost, logičnost) in jo tako izboljšujemo. Vendar nam šele preizkušanje v praksi da realno povratno informacijo, s pomočjo ka- tere lahko uvidimo in uvedemo izboljšave. Misliti je potrebno na učenca in si čim bolj živo predstavljati, kaj bo doživljal in kako razumel, ko bo sam na učni poti. Učitelj je tisti, ki pri strukturiranju učne poti razmisli in določi, kaj bo izve- deno klasično in kaj spletno. Kljub strukturirani učni poti nam spletno učno okolje omogoča tudi manj linearno, hierarhično ali sistematično napredova- nje. Ker lahko e-učenje poteka v relativni svobodi izbire poti do znanja, to ustreza mnogim učnim stilom, predvsem t. i. neodvisnim učencem (angl. in- dependent learners) (Rebolj, ). Običajno v urejeni učni celoti obstaja izhodišče, iz katerega učenec izhaja  Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju in se nanj vrača. Za učenčevo orientiranje so pomembne informacije o učni vsebini in njeni razgradnji na učni poti, ki jih učenec dobi pred učenjem. Ta- ko mora biti učna pot (slika .) predstavljena, še preden učenec stopi nanjo. Koristni so tudi pisni ali neposredni učiteljevi napotki za učenje, s pomočjo katerih se učenec seznani z optimalno učno potjo, ki ga z najmanj napora vodi k zanesljivemu uspehu. Učenčeva učna pot se začne, ko se učenec pripravlja na učenje, in konča, ko preveri svoje znanje in je z doseženim uspehom zadovoljen. Na tej poti k učnim ciljem pa ne dela le z učnim gradivom, ampak tudi komunicira, išče po virih, prehaja na druge spletne strani, sodeluje s sošolci in tudi sam ustvarja. V teoriji srečamo domneve, da je dobro e-gradivo dovolj fleksibilno, da si lahko vsak učenec najde zase najprimernejšo pot (Rebolj, ). Učno pot je treba načrtovati tudi časovno, kar pomeni, da moramo preteh- tati, koliko časa naj za učenje dnevno in tedensko porabi povprečni učenec na določeni razvojni stopnji. Upoštevamo spoznanja o pomnjenju, utrujeno- sti pri učenju, zasičenosti, trajanju pozornosti itd. (Rebolj, ). Pod pojmom e-gradivo pojmujemo pripravljeno učno vsebino, ki je jedro in rdeča nit učne poti. Okvir vsebine pripravimo na ravni učne celote in na ravni učnih enot. Tako gradivo deluje urejeno in ima mnogo prednosti. E- gradiva bi težko imenovali samo vir znanja, kot je tiskani učbenik, saj znanja ne posreduje zgolj prek pisane besede in statične slike, ampak prek multi- medijskih elementov tako, da od učenca terja aktivnost. Dodatne možnosti omogočajo »odzivni« interaktivni elementi. Tudi sodobni tiskani učbeniki do neke mere že izpolnjujejo to nalogo, učbeniki na spletu pa imajo v tem smislu precej večji potencial. Ta se kaže predvsem v interaktivnosti, to je v odziva- nju na učenčevo dejavnost. Prevladujoča učenčeva dejavnost ni branje, kot pri tiskanih gradivih, saj so razgrajeni vsebini dodani interaktivni multime- dijski gradniki, didaktične igre in motivacijski elementi, ki od učenca terjajo aktivno odzivanje. E-gradivo je sestavljeno iz aktivnosti. Vse naloge in aktivnosti morajo biti smiselno vpete v proces doseganja ciljev, učna vsebina pa podana tekoče, logično in pregledno. V veliko podporo pomnjenju je razmejitev gradiva na vsebinske enote, posledično pa tudi učne poti na etape, med katerimi so od- mori. Zagotavljanje aktivne vloge učenca med e-izobraževanjem je ena od pred- nostnih nalog pri pripravi gradiv. Z vsebino se mora učenec ukvarjati. Tako jo bo bolje in hitreje razumel, ukvarjanje pa ga pripravlja tudi na uporabo znanja. S tem pa znanje kot splošna dobrina in tudi za učenca osebno dobi smisel. Osmišljene vsebine so tudi privlačnejše. Dobro metodično pripravlje-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija na e-gradiva skrajšajo čas učenja. Druge prednosti, ki jih študije pripisujejo multimediji, so predvsem večja gospodarnost, dostopnost ter prihranek na času učiteljev in učencev (Rebolj, ). Pedagoški pomen multimedijskih gradnikov Uporaba medija vpliva na delovanje možganov tako, da spodbuja delovanje določenih delov. Procesi pri učenju besedilnega gradiva so drugačni, kot če je gradivo posredovano na multimedijski način. Pri verbalnih nalogah so v večji meri vpleteni procesi pomnjenja, pri multimedijskem pa slikovne predstave oziroma vizualizacija, kar pa je zelo pomembno pri razvoju ustvarjalnosti ter pri reševanju problemov (Gerlič in Jaušovec, ). Poučevanje z raznovrstnimi mediji povezuje procese percepcije, čustvo- vanja in mišljenja, kar skupno povečuje učenčeve izkušnje. Tako znanje pa je komplementarno teoretičnemu ali abstraktnemu znanju. Verjetno držijo ocene pedagogov, da je tega, glede na delež izkustvenega znanja, v današnji šoli preveč. Več raziskovalcev poudarja, da so rezultati učenja z e-gradivom dobri le, če se multimedijski gradniki med seboj podpirajo, če so usklajeni z besedilom. Uporabo multimedije lahko vežemo tako na učno vsebino kot na učne cilje. Pomembno je tudi, da multimedija omogoča bližnjice do zna- nja, da se z njimi ohranja optimalna pot k učnim ciljem. Izbor multimedijskih gradnikov mora biti skrben, količina pravšnja, umestitev v besedilo ustrezna. Včasih je en gradnik dovolj za eno informacijo. Izjema je, kadar želimo ne- kaj prikazati večstransko. Če pa učenec lahko neko informacijo prebere ter jo hkrati vidi na grafu in sliši, bo verjetnost pomnjenja znatno večja. Prav to pa lahko uresničimo z e-gradivom. Zelo pomembno je, da multimedija učenca miselno aktivira, hkrati pa moramo paziti, da ne pride do prenasičenja oziro- ma do preobremenitve delovnega spomina. Raziskave Mayerja in Morenove () namreč opozarjajo na nasičenost z informacijami različnih modalitet, kar ima negativne učinke na učenje. Preveč informacij preobremeni delovni spomin. Zato naj bi bile različne informacije podane na različne načine, ne pa ista informacija v različnih čutnih modalitetah (Krnel, ). Slika sodi med najstarejše multimedijske gradnike, ki so pravzaprav sta- ri toliko kot organizirano izobraževanje. S sliko podana informacija je razu- mljivejša in jo lažje pomnimo. Kot kažejo raziskavee, je zvočno posredova- na informacija približno enako učinkovita kot slika. Po daljšem času pa bolje pomnimo slikovne informacije. Ne glede na dejstvo, da je vključevanje zvo- ka kot gradnika e-gradiva precej občutljivo, pa je informacija, ki jo podamo hkrati z besedilom in zvokom ali s slika in z zvokom, prodornejša in se bo po vsej verjetnosti bolje usidrala v dolgotrajni spomin (Rebolj, ). Pomemben multimedijski gradnik so tudi animacije. To so gibljive dvodi-  Sodobna izobraževalna in informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju menzionalne in tridimenzionalne slike ali grafi, ki so v e-gradivu namenjeni učenju, prikazu delovnih navodil ali pa estetskim ter psihološkim učinkom. Didaktična funkcija animacije je lahko zelo preprosta, npr. vzbujanje pozor- nosti (eye-catching). Igra pa lahko tudi bistveno vlogo kot didaktična nosilka e-učenja. Glavni pedagoški pomen animacije je oblikovanje predstav. Anima- cija je učinkovito sredstvo za izboljšanje predstav o težko razložljivih šolskih vsebinah. Pri njej lahko učenec proces sproži in nato opazuje, pri bolj izpo- polnjenih pa parametre tudi spreminja. Prizadevamo si, da bi učenca zadržali na določenih postajah učne poti in da bi tam aktivno spoznaval učno vsebino. Pri tem imajo izjemno moč tudi didaktične igre (kot npr. Pastir, glej Vidmar, ). Čeprav didaktično igro v literaturi pojmujejo tudi drugače, jo bomo tokrat opredelili kot učno animacijo, ki omogoča tekmovanje: – učenca z računalnikom; – več učencev na isti strani računalnika ali – več učencev, povezanih prek spleta. V ta namen je potrebno dosežke točkovati, učenec pa si prizadeva za pra- vilno aktivnost in je pri tem časovno omejen (Rebolj, ). Pomembno pri didaktični igri kot animaciji je, da se situacija spremeni, če učenec igro pono- vi. Omogočena je izbira več zahtevnostnih stopenj. Igre na računalniku so za današnje otroke in mladostnike zelo privlačne, hkrati pa so lahko tudi didak- tične. Animacija je močnejša kot statično podana vsebina, saj se oči vedno usmerijo vanjo. Priporočena je kratkotrajna animacija, le nekaj sekund zno- traj odzivnega časa učenca, da ta ne bo imela dekoncentracijskega učinka. Posebna vrsta učne animacije je učna simulacija. To je abstrahirani posne- tek realnosti, v kateri smo odstranili vse nebistveno za učno temo (Rebolj, ). Pomemben element e-gradiva je sprotna povratna informacija. Ta deluje na nadaljnjo dejavnost učenca. Tehnologija omogoča hitro povratno infor- macijo, ki je nepristranska in neosebna. To lahko opogumlja učence, da sami predvidevajo in razvijajo svoje ideje, jih testirajo in spreminjajo ter popravlja- jo oziroma izboljšujejo (Kmetič, ). Ko uvajamo izobraževanje v spletnem učnem okolju, se spreminja tudi te- žišče učiteljeve vloge. Poleg tega pa se del njegovih nalog premika v čas, pre- den se učenec uči, to je v pripravo učenja. Vloga učitelja se ni spremenila sa- mo zaradi tehnologije, ampak zaradi nove paradigme za oblikovanje znanja, ki temelji na konstruktivistični teoriji, konstrukciji vedenja v socialnih okoli- ščinah in na uporabi kulturno posredovanih orodij. Po tej paradigmi znanja  Informacijsko-komunikacijska tehnologija ne pridobivamo od zunaj, ampak nastaja v učencu kot rezultat njegovega miselnega procesa. Socialno okolje, ki spodbuja višje miselne procese, daje boljše učne rezultate. Učitelj ima pri interaktivnem pouku z uporabo IKT različne vloge. Vedno bolj postaja svetovalec, opazovalec, usmerjevalec, ki potrebuje zelo dobro pripravo, težišče neposrednega dela v razredu pa se prenese na učenca. Po učenju prevzame vlogo evalvatorja. Učiteljeva vloga postaja zaradi uporabe tehnologije kompleksnejša in zahtevnejša (Gerlič, ). Naloge pri pripravi učne poti, aktivnosti v e-okolju in pri izdelavi e-gradiva so predvsem: – izbor ciljev; – izbor in organizacija vsebine; – izbor in priprava e-gradiv; – izdelava/izbor instrumentov za evalvacijo in samoevalvacijo doseganja učnih ciljev; – določitev učne poti. Načrtovanje učne poti zahteva tudi načrtovanje evalvacije. Preverjati mo- ramo doseganje učnih ciljev in počutje učečih. Posredno tako preverjamo kakovost e-gradiv. Evalviramo lahko lastno delo (samoevalvacija), učni pro- ces, doseganje ciljev ali učna gradiva, kot so npr. e-gradiva ali kompleksnejši multimedijski gradniki, npr. simulacije. Procesna evalvacija lahko traja krajše obdobje, šolsko leto ali več let. Enotnega koncepta evalviranja nimamo. Ker je učenec izrazito v ospredju, je največji delež spremenljivk vezan na njegovo perspektivo e-izobraževanja: lahkotnost uporabe vsebine, razumljivost, navi- gacijo, možnost komuniciranja itd. Raba IKT v procesu učenja in poučevanja ni sama sebi namen, temveč je smiselna, kadar učenca pripelje do ciljev, zastavljenih s kurikulom, in prispe- va k opolnomočenju učencev, dijakov, študentov za rabo kompetenc . sto- letja ter k izboljšanju učnih dosežkov (bralna, matematična, naravoslovna in druge vrste pismenosti). Smiselnost rabe IKT v procesu učenja in poučevanja pa je mogoče doseči ob upoštevanju kompleksnosti dimenzij in dejavnikov, ki vplivajo na učinkovito rabo IKT v izobraževanju (MIZŠ, ). Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije pri poučevanju in učenju Digitalna revolucija v vzgoji in izobraževanju prinaša priložnost za večjo učin- kovitost in enake možnosti:  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije – posamezniki lahko enostavno poiščejo in pridobijo znanje iz različnih virov; – dosežemo lahko nove skupine učencev, saj učenje ni več omejeno na posebne urnike samo v učilnicah; – izobraževanje je v večji meri možno prilagoditi posameznikom; – učitelji lažje izmenjujejo primere dobre prakse; – učitelji in učenci lahko dostopajo do večjega izbora učnih virov, saj od- prte tehnologije omogočajo učenje vsem posameznikom kjer koli, ka- dar koli, s katero koli napravo, s pomočjo kogar koli (MIZŠ, ). Gerlič () pri tem navaja različne vplive IKT na področju izobraževanja: – omogoča sodobnejši in kakovostnejši pouk in poučevanje; – omogoča uspešnejšo individualizacijo in diferenciacijo; – omogoča prehod od pouka, ki temelji na pomnjenju obilice podatkov, k reševanju problemov, ki zahtevajo kreativno mišljenje in kot rezultat tudi takšno znanje. Širša uporaba novih tehnologij in prosto dostopnih učnih virov poveču- je dostopnost izobraževanja. Vendar ta pozitiven vpliv na enakost zahteva stalna vlaganja v izobraževalne infrastrukture in človeške vire (MIZŠ, ). Ob tem se pojavi vprašanje, ali se pozitivni vplivi uporabe IKT pri učenju in poučevanju kažejo v večji učinkovitosti in uspešnosti le-tega. V literaturi sta zastopani dve nasprotujoči si stališči. Zagovorniki uporabe IKT v izobraže- vanju izpostavljajo pozitiven vpliv uporabe IKT na učenje in poučevanje ter zagovarjajo dejstvo, da ta uporaba vpliva na višje dosežke učencev ter zni- žuje stroške izobraževanja. Poleg tega vidijo prednosti v večji fleksibilnosti in avtonomiji učencev pri učenju ter izboljšanju njihovih učnih izkušenj in sta- lišč do učenja. Kritiki uporabe IKT v izobraževanju s sklicevanjem na študije opozarjajo, da je lahko pogostejša raba IKT v procesu učenja in poučevanja negativna, posebno v primeru, ko učitelj in učenci nimajo ustrezno razvitih znanj in veščin za njeno uporabo (Van Braak, ). Bocconi, Kampylis in Punie () poudarjajo, da prinaša IKT na področju večje fleksibilnosti, individualizacije ter personalizacije učenja in poučevanja velike prednosti, ki jih je treba izkoristiti. Potenciali IKT so veliki, od učiteljev pa je odvisna presoja o smiselni rabi določene tehnologije ter kritično mi- šljenje pri njeni rabi, kar omogoča, da tehnologija ni le sama sebi namen ter da se pozornost od pouka, usmerjenega v tehnologijo, preusmerja k pouku, usmerjenemu v učenca (Bocconi idr., ). Uvajanje računalnika v vzgojno-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija izobraževalno delo daje možnost prehoda od pouka, ki temelji na pomnjenju obilice podatkov, k reševanju problemov, ki zahtevajo ustvarjalno mišljenje (Mori, ). Učinkovito učenje v . stoletju naj bi temeljilo na štirih ključnih značilno- stih. Bilo naj bi konstruktivno (učenci aktivno gradijo svoje znanje), samo- regulirano (učenci za učenje aktivno uporabljajo različne strategije učenja), umeščeno (življenjske učne vsebine in ne vsebine, ločene od okolja) in sode- lovalno (v aktivnostih sodeluje več učencev) (De Corte, ). Nasprotniki tega menijo, da ne smemo hiteti k prevelikemu samostojnemu raziskovanju učencev, da mora imeti učitelj še vedno vodilno vlogo pri pou- čevanju, zato je dobro izmenjevati različne strategije, torej kombinirati aktiv- no učenje učencev s predavanji in učenjem iz učbenikov (De Corte, ). Pri tem velja poudariti, da tehnologija učencem omogoča, da se osredo- točijo le na bistveno procesiranje informacij, in jih s tem razbremeni proce- siranja nepomembnih informacij. Sam pouk pa mora biti še vedno usmerjen v učenca in ne v tehnologijo. Tehnologija je torej pri pouku le pripomoček in ne cilj (Mayer, ). Rugelj () navaja pet glavnih prednosti uporabe IKT, in sicer: motivacijski učinek, izboljšanje dostopa do informacij, izboljša- nje IKT-pismenosti, podporo sodobnim pedagoškim pristopom ter poveča- nje storilnosti učiteljev. V preglednici . predstavljamo primerjavo med tradicionalnimi in novimi učnimi okolji. Uporaba sodobne informacijsko-komunikacijske tehnologije v osnovi ne spreminja načina učenja, temveč način poučevanja. Sodobna tehnologija in tehnologije svetovnega spleta namreč omogočajo oblikova- nje učnega prostora za učinkovito in uspešno, k učečemu usmerjeno učenje ter pomagajo učiteljem podpirati posameznike v procesu izobraževanja. Ko v šole vključujemo IKT, moramo zasledovati predvsem dva cilja (Rebolj, ): – povečati učinkovitost učenja in dvigniti nivo znanja; – učence usposobiti za nadaljnje izobraževanje. Raziskave PISA , SITES  in TIMSS  kažejo, da se učni dosežek učencev zaradi uporabe IKT ne spremeni (izboljša) bistveno, prednosti so vi- dne predvsem v povečani motivaciji in samostojnejšem učenju (PISA ; Brečko in Rožman, ; Japelj Pavešić, Svetlik, Rožman in Kozina, ). Ra- ziskave na tem področju so v Sloveniji redke. Nekatere so empirično že po- trdile pozitiven učinek e-učnega medija na odnos učencev do matematike (npr. Antolin, ).  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije Preglednica . Primerjava med tradicionalnimi in novimi učnimi okolji Tradicionalna učna okolja Nova učna okolja – Poučevanje je osredotočeno na učitelja. – Poučevanje je osredotočeno na učenca. – Omogočajo napredovanje po eni poti. – Omogočajo napredovanje po več poteh. – Spodbujajo uporabo enega medija. – Spodbujajo uporabo več medijev. – Spodbujajo izolirano delo. – Spodbujajo sodelovalno delo. – Temeljijo na podajanju informacij. – Omogočajo izmenjavo informacij. – Omogočajo pasivno učenje. – Omogočajo aktivno, raziskovalno učenje. – Faktografsko, na znanju temelječe učenje. – Omogočajo kritično mišljenje in odločanje – Reakcijski odziv. na osnovi informacij. – Izolirani, umetni konteksti. – Zagotavljajo pogoje za proakcijski odziv. – Omogočajo umeščenost v avtentične, ži- vljenjske kontekste. Povzeto po Brečko (). Mangan in Ecalle () sta poudarila, da je za uspešno vključitev računal- nika v učni proces potrebna motivacija učencev in učiteljev, ki morajo verjeti, da bodo s pomočjo IKT izboljšali kognitivne sposobnosti učencev. Motivacija je pomembno povezana z učnim procesom in dosežki (Järvelä, ; Pintrich in Schunk, ). Za razumevanje učenčevega vedenja so pomembni tako kognitivni dejavniki, kamor sodijo znanje, spretnosti in sposobnosti, kot tu- di motivacijski. Selvi () je v svoji študiji ugotovila, da uporaba IKT učence motivira, če je učni proces kakovosten, če ima učitelj razvite IKT-kompetence, če se učenci pouka udeležujejo redno, če je učno okolje primerno in če je dobro načrtovana časovna razporeditev dela. Pomembnost vpliva učiteljeve usposobljenosti na učenčevo zadovoljstvo so v svoji raziskavi ugotovili tudi Paechter, Maier in Macher (), ki poleg tega ugotavljajo, da na višje uč- ne dosežke vplivajo tudi samostojnost pri načrtovanju ter skupinsko učenje. Uporaba tehnologije pri učenju ima torej veliko motivacijsko vlogo, kar na področju učenja matematike ugotavljajo tudi Bakar, Ayub, Luan in Tarmizi (). Poročilo Becta  povzema rezultate nekaterih študij, v katerih je ugo- tovljeno, da učinkovita raba IKT pozitivno vpliva na učence, njihovo moti- vacijo, zavzetost in koncentracijo pri učenju ter tudi na delo domačih nalog (Condie, Munro, Muir in Collins, ; Ofsted, ; Passey, Rogers, Machell in McHugh, ; Valentine, Marsh in Pattie, ). Eno najpomembnejših študij o vplivu IKT na motivacijo učencev je izvedel tudi Passey s sodelavci (). Ugotovili so, da je delo z IKT v razredu pozitivno vplivalo na visoko raven motivacije učencev za učenje (zagotavljanje personaliziranega učenja ter pridobivanje takojšnje pozitivne povratne informacije o lastnem napred-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija ku). Valentine idr. () so v svoji kvalitativni študiji ugotovili, da učenci in starši delijo prepričanje, da pogostejša in osmišljena raba IKT v šolah pove- ča učenčevo motivacijo in zaupanje, kot tudi, da je šolsko delo prijetnejše za učence. Do podobnih ugotovitev o pozitivnih učinkih rabe IKT so v svojih štu- dijah prišli tudi Hennessy, Deaney in Ruthven () ter Oblinger (). Tudi številne manjše študije (Burrill, ; Clark-Wilson, ; Roschelle idr., ) so odkrile pozitiven vpliv uporabe IKT na motivacijo učencev za učenje. Pri integraciji tehnologije v dnevno izobraževalno prakso je pomemb- no usposabljanje učiteljev ter redno dopolnjevanje njihovega IKT-znanja in spretnosti (Japelj in Čuček, ). Srečamo se torej s problemom, da imamo po eni strani veliko možnosti za vključevanje IKT v pouk, po drugi strani pa sta prisotna strah učiteljev pri uporabi nove tehnologije ter premalo časa za uvajanje novih vsebin. Pogosti so primeri, kjer so šole z vidika IKT dobro opremljene, vendar učitelji tehnologije ne uporabljajo oziroma ne izrabljajo njenih možnosti (MIZŠ, ). Učitelji ne poznajo metod dela, ki jih omogoča IKT, kako lahko z IKT ustvarjamo učeča se okolja, s katerimi ugodimo potre- bam učečih se posameznikov (Rebolj, ). Izziv predstavlja tudi dostopnost do ogromne količine e-gradiv, ki niso nujno kakovostna ali v skladu z učnimi načrti. Zato je pomembno, da učitelj pozna možnosti, ki jih ponuja uporaba IKT, in da pri tem smiselno izrabi njene prednosti. Učitelj mora biti sposoben evalvacije e-gradiv, ki jih najde na spletu, saj bo tako lahko gradiva spremenil in priredil izbranim ciljem. Kot smo že prehodno omenili, so prednosti, ki jih prinaša uporaba IKT pri poučevanju, naslednje: – računalnik omogoča hitro in ustrezno povratno informacijo, ki je nepri- stranska in neosebna (Kmetič, ; Žakelj idr., ); – računalniški programi omogočajo dobro vizualizacijo celo v tridimen- zionalnem prostoru in modeliranje ter simuliranje realnih pojavov in problemov (Kmetič, ); – omogoča razvijanje algoritmičnega mišljenja (Kmetič, ); – IKT lahko kompenzira različne primanjkljaje učencev (učne, motorične itd.) (Seo in Bryant, ; Räsänen, Salminen, Wilson, Aunio in Dehaene, ; Muir-Herzig, ). Mori () poudari, da so raziskave o uporabi IKT na področju poučevanja močno poudarile pozitivne učinke rabe IKT pri učenju in poučevanju mlajših učencev pri:  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije – socialnem in čustvenem razvoju; – kognitivnem razvoju (uporaba računalnika močno prispeva k uspešne- mu delu učencev na motivacijskem in intelektualnem področju); – ustvarjalnosti. Požar () našteva naslednje prednosti uporabe računalnika: – racionalizacija pouka; – didaktična pestrost; – individualizacija in diferenciacija; – večje pomnjenje; – razumevanje; – predstavljivost; – spoznavanje nečesa, kar bi bilo v naravi nevarno ali težko izvedljivo; – samostojnost učencev pri učenju; – povečana motivacija za učenje; – takojšnja povratna informacija; – povečano zanimanje za področje; – uresničevanje ciljev različnih področij; – uporaba novih metod, oblik, tehnik učenja in poučevanja; – učiteljeva uspešnost in ustvarjalnost; – olajšano preverjanje in ocenjevanje znanja; – prilagojena hitrost učenja; – spremljanje napredovanja; – možnost aktualizacije in simulacije; – barve in grafika. Poleg omenjenega izpostavimo še možnost vizualizacije in podajanja in- formacij v različnih senzoričnih oblikah. Pomembno vlogo pri uporabi IKT v procesu učenja ima tudi dostopnost e-gradiv. Pomembno je, da so učna gradiva dostopna vsem učencem, da so prilagojena njihovim potrebam, saj jim s tem zagotovimo enake možnosti za učni napredek (Gabrielli, Mirabella, Kimani in Catarci, ). Natančno upo- števanje potreb vseh učencev ima za posledico dostopnejše in kakovostnej- še učne vire, ki ustrezajo potrebam vseh učencev (MacCann, ). Tako je posamezne MacCannove () napotke za izdelavo računalniško podprtih gradiv za učence s posebnimi potrebami smiselno uporabiti tudi v klasičnih heterogenih oddelkih. Napotki so naslednji: – Učno gradivo naj bo dostopno s pomočjo računalnika, primerno, da ga  Informacijsko-komunikacijska tehnologija natisnejo v večjem formatu ali si ga preoblikujejo in prilagodijo svojim potrebam, preden ga natisnejo ali preberejo. Učenci z učnimi težavami velikokrat lažje sprejemajo gradivo v elektronski obliki. – Uporaba primerne oblike pisave, ki je lažje berljiva (npr. Arial). – Predstavitev gradiva v različnih oblikah (besedilo, diagrami, pregledni- ce, slike itd.), ki naj bo primerna tako za učence, ki imajo težave z veliko količino gradiva, tiste, ki imajo težave z branjem grafičnih težav, in dru- ge. – Učna snov naj bo razložena na več načinov, poenostavljena, podkre- pljena s praktičnimi primeri in večkrat ponovljena. Učenci naj imajo na voljo povzetke, učitelj pa naj redno preverja njihovo znanje. Kakovostno izobraževanje temelji na dinamičnosti in interaktivnosti, kar omogoča IKT, ki učencem ponuja, da aktivno gradijo svoje perspektive (Aksal, ). Pomemben je tudi vpliv IKT pri problemskem učenju. Pregled raziska- ve je pokazal pozitivne učinke problemskega pouka (Dochy, Segers, Van den Bossche in Gijbels, ). Namen slednjega ni učence naučiti vsega, kar mora- jo vedeti, ampak jim priskrbeti sredstva, da se lahko učijo in odkrivajo (Nelson idr., ), s čimer se spodbuja njihovo samostojnost pri učenju, ki je bistvo problemskega učenja. Zanimivi so izsledki raziskav Gerliča () o reševanju problemov. Gerlič pravi, da učenci probleme rešujejo dokaj šablonsko, nemotivirano, pri čemer je njihova kreativnost minimalna. Takoj, ko problemi niso več v okviru nepo- srednih vzorcev, so učenci izgubljeni, pa tudi nemotivirani za nadaljnje delo. Tako postaja IKT vse pogostejši učni pripomoček, ki pa seveda od učiteljev zahteva določene spremembe metod in oblik dela z namenom, da pouk pri- lagodimo individualnim potrebam in spoznavnim zmožnostim učencev ter da preidemo od pouka, ki temelji na pomnjenju obilice podatkov, k reševanju problemov, ki zahtevajo kreativno mišljenje. To področje še ni dovolj raziska- no, da bi lahko trdili, katere metode in oblike dela ter katera dodatna znanja pri učiteljih terja uporaba računalnikov oz. IKT pri pouku, da bi z njimi zares miselno in motivacijsko razgibali učence in se izognili morebitnim negativ- nim spremljevalnim učinkom. Pomembno vlogo IKT izpostavi tudi Rebolj (), ki pravi, da nekatere ci- lje z IKT-sredstvi dosežemo hitreje in kakovostneje ob večjem zadovoljstvu učencev. Učitelji praktiki kot prednosti poučevanja in učenja z IKT navajajo poziti- ven vpliv na utrjevanje in ponavljanje znanja ter na uporabo naučenega in povezovanje učne snovi z drugimi predmeti, kakovostnejše delo z nadarje-  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije nimi učenci, hiter dostop do učnih gradiv ter možnost priprave raznovrstnih dejavnosti za idr. (Gerlič, ). IKT lahko kompenzira tudi različne primanjkljaje učencev: učne, grafomo- torične itd. Slednje sta v svoji študiji dokazala tudi Seo in Woo (), saj so učenci z učnimi težavami ob uporabi računalniškega programa Math Explo- rer dosegli boljše učne rezultate, kot če bi bile uporabljene le tradicionalne učne metode. Beacham in Alty () sta se ukvarjala s prispevkom upora- be IKT pri učencih z disleksijo. Ugotovila sta, da sta pri učencih z disleksijo učinkovita kombinacija besedila in grafov ter podajanje učne snovi s pomoč- jo zvoka in diagramov na računalniku. Avtorja priporočata uporabo različnih medijev, a brez prevelike raznolikosti, saj lahko ta pri učencih z disleksijo pov- zroči težave v kratkoročnem kognitivnem spominu. Poleg tega avtorja izpo- stavljata, da učencem, kljub vsem omenjenim pozitivnim učinkom tehnolo- gije, najvišji kognitivni razvoj omogoča prisotnost besedila. Pesek () izpostavlja ključne prednosti e-gradiv pred običajnimi gradivi: – večpredstavnost (besedilo, slike, zvok, video, simulacije) pritegne po- zorost in nagovarja učenca, hkrati pa ustreza različnim zaznavnim ti- pom učencev; – interaktivnost spodbuja večje sodelovanje in aktivnost učencev v pro- cesu izgradnje znanja; – dostopnost e-gradiv omogoča učencu, da kadar koli in od koder koli dostopa do e-gradiv; – ažurnost, saj lahko e-gradiva pri ugotovljeni napaki hitro popravimo. Repolusk (; ) prednosti uporabe e-učnih gradiv predstavi z različ- nih vidikov: – zaznavno-izkustveni vidik: oblikovna všečnost e-gradiv pripomore k trajnejši in celovitejši učni izkušnji, zaradi večpredstavnosti pa je pri učenju vključenih več učenčevih čutil; – funkcionalni vidik: časovna in fizično enostavna dostopnost, cenovna ugodnost in sorazmerno hitro posodabljanje e-učnih gradiv; – pedagoško-kognitivni vidik: globlja interakcija med učencem in vse- bino, ki jo s primernimi gradniki zagotavljajo e-učna gradiva in s tem omogočajo, da je učenec zavesteje soudeležen v procesu izgradnje znanja, posledično pa omogočajo učinkoviteše učenje posameznika. Če dopolnimo eno od prednosti, ki jo navaja Pesek (), je ena izmed po- membnih lastnosti e-gradiv tudi to, da učencem omogočajo dostop do snovi  Informacijsko-komunikacijska tehnologija iz prejšnjih razredov, saj je celotna vsebina zbrana na enem mestu in lahko učenec do nje dostopa kadar koli. Klasični učbeniki in sistem učbeniških skla- dov slednjega ne omogočata. Rebolj () poudarja, da dobro metodično pripravljena e-gradiva skraj- šajo čas učenja. Izpostavimo še pomembnost prilagajanja e-gradiv glede na predznanje učencev (Krnel, ): – učenci z manj znanja potrebujejo bolj strukturirano vodenje, da bi se s tem izognili prenasičenju z novimi informacijami zaradi pomanjkanja znanja; – učenci z boljšim predznanjem so pri učenju lahko samostojnejši; – preveč strukturirane enote so moteče za zahtevnejše učence; – učno šibkejši učenci porabijo precej svojih miselnih kapacitet za samo organizacijo, iskanje strategij in druga procesna znanja ter zato manj za samo razumevanje in usvajanje določenih pojmov; – dovolj odprto raziskovalno učenje z uporabo e-gradiv in konstruktivi- stični pristop sta primerna le za učence z dobrim znanjem o naravoslov- nih postopkih (temeljih naravoslovja) in razvitimi računalniškimi spre- tnostmi; nasprotno pa preveč zaprta gradiva, ki točno določajo učno pot, omejujejo sposobnejše učence; pojavi se nasprotni učinek kot pri manj sposobnih, ki jim tovrstna pomoč dviguje učne uspehe. Pomemben je tudi pozitiven vpliv IKT na delo učiteljev, saj rezultati raziskav kažejo na povečano sodelovanje med učitelji, več je skupnega načrtovanja, izmenjave primerov dobre prakse. Pri učinkih IKT na pedagoško prakso v po- ročilu je ugotovljen razmah projektnega dela. Mnoge informacije so zaradi uporabe iskalnikov dostopnejše. Zaradi preproste izmenjave e-gradiv med učitelji je pouk pestrejši, več učiteljev preizkuša drugačne pristope, zato so tudi učenci pri pouku aktivnejši (Krnel, ). V splošnem učitelji ne uporab- ljajo vseh razsežnosti, ki jih ponuja IKT za poučevanje, posledici sta manjša aktivnost učencev in pasivna uporaba IKT (Krnel, ; MIZŠ, ). Vendar kljub pozitivnim vplivom raba IKT pri poučevanju še ni izkorišče- na v celoti (MIZŠ, ). Nekatere tehnologije, kot so spletne učilnice in izo- braževalni portali, so že dobro znane in uveljavljene. Kreativni učitelji bodi- si izdelujejo svoja elektronska učna gradiva bodisi prilagajajo tuja. Priprava elektronskih učnih gradiv od učitelja terja veliko truda in je pogosto, poseb- no v začetnih fazah priprave, časovno zelo potratna, a omogoča večkratno uporabo in enostavnejše posodabljanje samega gradiva. S hitrim razvojem  Prednosti in pomanjkljivosti vključevanja informacijsko-komunikacijske tehnologije računalniških tehnologij pa prihaja tudi do težav pri posodabljanjih gradiv zaradi neskladnosti posameznih tehnologij, kar ima za posledice nedelujoča gradiva, torej neuporabno pripravljeno digitalno vsebino. Med pogostimi razlogi učiteljev za manj pogosto uporabo IKT, ki jih najde- mo v literaturi, so naslednji (Krnel, ; Vehovar, ): – strokovna neusposobljenost in manjše samozaupanje učiteljev za rabo sodobne IKT; – neustrezna tehnična oprema v učilnicah; – tehnične težave, ki onemogočajo izpeljavo zastavljene dejavnosti; – omejen dostop in pomanjkanje kakovostnih e-gradiv; – velike časovne zahteve v fazi priprave gradiv; – strah pred upadom razvoja klasičnih veščin branja in pisanja; – zadržki glede slabosti, ki jih prinaša pretirana raba tehnologije. Repolusk (, ) poleg omenjenih slabosti izpostavi tudi branje z za- slona, ki je glede na raziskave za polovico bolj obremenjujoče od branja tiska- nih knjig, ter prav tako poudari zahtevnost načrtovanja in izdelave e-gradiv. Dostopnost je vsekakor glavni pogoj za uvajanje IKT v izobraževanje, ven- dar to ni zagotovilo za njeno učinkovito rabo. Za učinkovito rabo IKT potre- bujemo motiviranega in usposobljenega, torej digitalno pismenega učitelja, saj uporaba tehnologije zahteva veliko znanja in spretnosti ter priprav, še po- sebej, če jo želimo aktivno vključiti v pouk. Pri slednjem pa je pomembna tudi dobra organizacija učnega procesa in spremljava le-tega (Krnel, ; Eurydi- ce, ). Tehnologija sama kot taka pri poučevanju nima posebne uporabne vre- dnosti. Učinkovita postane šele takrat, ko je uporabljena v skladu z učnimi cilji in vsebinami. Računalnik kot tak tudi ne more nadomestiti odnosa med učiteljem in učencem, ki omogoča celostno komunikacijo, saj ni sposoben empatije in odzivanja ter prilagajanja učni situaciji v razredu. Košir in Ranfl () izpostavljata, da se z uporabo računalnika in interne- ta zatopimo v nerealen svet in s tem izgubljamo ter pozabljamo na pristne socialne stike, ki so nujni za dobre medsebojne človeške odnose. Uporaba računalnika otroke izolira od komunikacij z ljudmi, kar posledično pomeni manj razvijanja socialnih in telesnih spretnosti. Izsledki raziskav Kirschnerja in Karpinskega () kažejo, da uporaba so- cialnih omrežij zmanjšuje učni uspeh, saj učenci uporabijo čas, ki bi ga sicer namenili učenju, za socialne spletne strani. V ta namen mora učitelj dobro presoditi, ali je uporaba IKT v šoli najustreznejši pripomoček, in ga uporabi-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija ti za doseganje točno določenih ciljev. Poleg tega morajo učitelji spodbujati osebne odnose med učenci v resničnem (ne virtualnem) svetu in jih vzgajati za časovno in vsebinsko kakovostno uporabo. Aktualno in zanimivo je tudi preučevanje vpliva uporabe IKT na učne do- sežke učencev (Skryabin, Zhang, Liu in Zhang, ; Woesman in Fuchs, ; Brečko, ). Ugotovitve so tudi na tem področju deljene. Omenjene študije običajno analizirajo podatke, pridobljene v mednarodnih raziskavah, kot sta TIMSS in PISA, ter preučujejo različne povezave. Pozitivni ali negativni učinki niso izključno vezani le na samo uporabo IKT, temveč so povezani tudi z dru- gimi dejavniki, kot je npr. socialno-ekonomski status učenca. Brečko in Ve- hovar () sta v svoji študiji ocenila povezanost med uporabo IKT in učen- čevimi dosežki. Izpostavljata, da je po mnenju učiteljev največji vpliv upora- be IKT v učni motivaciji, v povečanih sposobnostih ravnanja z IKT ter večjih sposobnostih za samostojno učenje. Med pogostostjo uporabe računalnika na posameznem predmetnem področju in dosežki učencev na teh področjih pa se pozitivna povezanost pokaže pri zahtevnejšem delu z računalnikom in pri uporabi izobraževalnih programov, sicer je povezanost med pogostostjo rabe in dosežki negativna. Kot smo že omenili, so pozitivni učinki uporabe tehnologije povezani s splošnimi in z IKT-kompetencami učitelja ter z uporabo učinkovitih pristo- pov in metod dela, kjer je IKT vključena v različne faze učnega procesa (Tru- cano, ). IKT je za slovenski izobraževalni sistem izrednega pomena, ven- dar primanjkuje konkretnih raziskave, ki bi dejansko pokazale, v kolikšni meri je možno doseči kakovostnejši pouk, česa z uporabo IKT ni mogoče doseči, katere didaktične oblike in metode dela ter dodatna znanja pri učencih in učiteljih terja uporaba IKT pri pouku ter kako bi se lahko izognili morebitnim negativnim spremljevalnim učinkom (Gerlič, ). Vključevanje izobraževalne tehnologije v pouku matematike Začetki vključevanja IKT v pouk matematike so sovpadali z informatizacijo slovenskega šolstva. Na področju poučevanja matematike je bilo aktualno uvajanje novih možnosti poučevanja geometrije, in sicer s pomočjo progra- ma Cabri Geometre. Potreben je bil miselni preskok oz. zavedanje, da je teh- nologijo pri pouku matematike smiselno uporabljati. Pri tem sta pomembna njen namen in način uporabe, torej povečanje kakovosti poučevanja in uče- nja matematike. Učitelji matematike vse pogosteje vključujejo IKT v proces poučevanja, in sicer z namenom kakovostnejšega pouka, motivacije učencev in spodbuja- nja njihove aktivne vloge v procesu učenja ter prehoda od osredotočenosti  Vključevanje izobraževalne tehnologije v pouku matematike na proceduralno znanje k razvoju problemskih znanj, ki vključujejo višje ni- voje mišljenja, kar je izpostavljeno tudi kot priporočilo v učnem načrtu za matematiko. IKT odpira veliko možnosti za učinkovitejši razvoj matematičnega znanja učencev. Odpira in omogoča različne pristope k poučevanju in učenju, npr. modeliranje, simuliranje, eksperimentiranje in raziskovanje ter reševanje ma- tematičnih in avtentičnih problemov. Možnosti za uporabo IKT so torej razno- like. IKT je lahko (Kmetič, ): – sredstvo za razvoj matematičnih pojmov; – sredstvo za ustvarjanje, simuliranje in modeliranje realnih in učnih si- tuacij; – samo učni pripomoček; – metoda dela; – komunikacijsko sredstvo; – sredstvo za spremljanje in preverjanje znanja. Učni načrt pri nekaterih vsebinah predvideva uporabo tehnologije, pri dru- gih je odločitev prepuščena učitelju. Osnovne vrste tehnologije pri matema- tiki so numerična računala, grafična in simbolna računala, programi, name- njeni razvoju matematičnih pojmov, programi in e-gradiva, namenjena avto- matiziranju in preverjanju znanja, e-gradiva, podatki in informacije, dostopni preko spleta, orodja za zapis in prikazovanje podatkov, rezultatov in postop- kov ter predstavitve (Kmetič, ). Pri pouku geometrije je priporočena uporaba programov dinamične geo- metrije, saj lahko ti dopolnijo razumevanje geometrije in predvsem geome- trijske konstrukcije. Dinamičnost geometrijske slike učencem odpira vpogled v povezave med matematičnimi pojmi (Žakelj idr., ). Dobro organizirane učne situacije z uporabo programov dinamične geo- metrije tako učencem pomagajo: – pri razvoju geometrijskih pojmov; – razumeti odvisne in neodvisne pojme; – razvijati sposobnost odkrivanja novih pojmov in povezav med pojmi, ki jih učenec že pozna; – razumeti, kaj je konstruiran lik, razlikovati sliko ali skico od konstrukcije; – povezati evklidsko geometrijo s transformacijsko in z analitično (Kme- tič, ). Računalniški programi omogočajo dobro vizualizacijo celo v tridimenzio-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija nalnem prostoru in modeliranje ter simuliranje realnih pojavov in problemov (Kmetič, ), kar pomembno vpliva na razvoj prostorskih predstav. Interaktivna geometrijska programska oprema učencem predstavlja oko- lje, v katerem lahko raziskujejo geometrijske objekte in koncepte ter preu- čujejo odnose med njimi. Abstraktne ideje tako postanejo realnejše. S tem učencem zagotovimo dobro osnovo za razvoj matematičnega mišljenja in dokazovanja. Svetovni splet ponuja vrste programske opreme za nazorno učenje in razumevanje lastnosti transformacij ter simetrije, saj slednja posta- ja vedno pomembnejše področje matematike, ki je pogosto uvrščeno med standarde znanja v učnih načrtih za matematiko. Malo manj možnosti za upo- rabo IKT je pri merjenju, vendar lahko še vedno izbiramo med programi (npr. za merjenje z nestandardnimi enotami), ki učence z zanimivimi izzivi in nalo- gami uvajajo v to področje (Roblyer, ). Raba numeričnih računal je v učnem načrtu predvidena kot pomoč pri uče- nju drugih vsebin (npr. pri stereometrijskih izračunih, drugih učnih situacijah, kjer učencem omogoča osredotočenje na cilje višjih taksonomskih stopenj). Po presoji se računalo lahko uporablja tudi kot kognitivno sredstvo (npr. izra- čunati/določati kvadratne korene števil brez tipke za kvadratni koren) (Žakelj idr., ). Veliko študij izpostavlja pomembnost vključevanja tehnologije v pouk ma- tematike (Borwein in Bailey, ; Cuban, Kirkpatrick in Peck, ; Kokol- Voljč, ; Lee in Hollebrands, ; Zbiek, Heid, Blume in Dick, ). Zbi- ek () poudarja pomembnost uporabe računalnika v procesu učenja in poučevanja matematike, saj ta omogoča razvoj matematične intuicije, razu- mevanje matematičnih konceptov, raziskovanje odnosov, natančno grafično ponazarjanje in raziskovanje, potrjevanje domnev, uporabo različnih strate- gij reševanja problemov, poskušanje in formalno dokazovanje itd. V Sloveniji je pri pouku matematike pasivna uporaba IKT z vidika učenca pogostejša kot aktivna (v smislu samostojnega ukvarjanja učencev s proble- mi z uporabo računalnika) (Kmetič, ; Brečko in Vehovar, ; Brečko, ). Računalnik je pogosto le pripomoček za pridobivanje in izmenjavo in- formacij, služi za učiteljevo pripravo na pouk, pripravo delovnih listov in dru- gih učnih pripomočkov, pri pouku je najpogosteje uporabljen kot demon- stracijsko sredstvo. Kljub sodobni opremi šol z IKT-opremo ta ni v celoti izko- riščena. Primer je pogosta uporaba interaktivne table zgolj za namen prika- zovanja (ima le vlogo projekcijskega platna). Tudi v primeru, da je IKT pri pouku matematike uporabljena v funkciji de- monstracije, se lahko s pridom izkoriščajo njene prednosti (Suban Ambrož, ):  Vključevanje izobraževalne tehnologije v pouku matematike – potencialen prihranek pri času in možnost za obravnavo nalog višjih taksonomskih stopenj (npr. tabeliranje funkcije, risanje grafa funkcije, izračunavanje večjega števila podobnih izračunov); – nazornost, preglednost, vizualizacija; – dinamičnost slike (npr. programi dinamične geometrije); – možnost večkratne ponovitve poskusa (učenje iz napak); – v fazi ugotavljanja in ocenjevanja znanja so njene prednosti takojšnja povratna informacija, preverjanje velikega števila uporabnikov, mož- nost neosebne povratne informacije in s tem razbremenitev učenca v primeru neizkazovanja znanja ter razbremenitev učitelja pri evidenti- ranju odgovorov in vrednotenju rezultatov. Cencič, Cotič in Medved-Udovič () izpostavljajo, da je bilo v dveh de- setletjih narejenih veliko raziskave o uporabi novih tehnologij pri pouku ma- tematike na vseh stopnjah šolanja, ki so pokazale zelo pozitiven vpliv upora- be IKT na razvoj matematičnega znanja. Pri tem izpostavljajo, da vsaka raba tehnologije kot didaktičnega sredstva od učitelja zahteva didaktično premi- šljeno umestitev v pouk matematike. Rebolj () poudarja, da naj bo cilj uporabe IKT v procesu poučevanja dodana vrednost k že doseženi stopnji učinkovitosti učenja. Za zagotavlja- nje slednjega pa mora biti učitelj opremljen tako z vsebinskimi kot tudi di- daktičnimi znanji, razumevanjem procesa učenja ter razvoja matematičnih pojmov in konceptov pri učencih, da lahko uspešno in osmišljeno vključuje tehnologijo v pouk matematike (Kokol-Voljč, ). Z uporabo IKT lahko pri matematiki veliko učnih vsebin predstavimo na razumljivejši in zanimivejši način. Pri tem se moramo zavedati, da z vidika di- daktike in pedagogike vsak pouk, ki vključuje uporabo tehnologije, ni nujno učinkovitejši (Antolin in Lipovec, ). Cencič idr. () izpostavljajo, da vsa- ka raba tehnologije kot didaktičnega sredstva od učitelja zahteva didaktično premišljeno umestitev tehnologije pri pouku matematike. Kutzler () pra- vi, da je računalnik učinkovito didaktično orodje pri razvoju matematičnih pojmov predvsem glede naslednjih vidikov tega procesa: trivializacije, eks- perimentiranja, vizualizacije in koncentracije. Pustavrhova () kot pred- nost uporabe IKT pri pouku matematike navaja, da postanejo učenci aktivni udeleženci izobraževanja, kar izboljša njihovo motivacijo in pozitivno vpliva na razvijanje procesnih znanj. Hkrati pa opozarja, da mora biti pouk usmerjen v učenca, ne v tehnologijo, ki naj bo pri pouku le didaktični pripomoček. Eurydice () navaja, da raziskave o uporabi IKT pri pouku matematike niso dale prepričljivih dokazov o prednostih njene uporabe. Slavin () ce-  Informacijsko-komunikacijska tehnologija lo ugotavlja, da o pozitivnem učinku IKT priča le malo dokazov. Kyriacou in Goulding () pa sta v nasprotju s Slavinom () ugotovila, da lahko upo- raba IKT pozitivno učinkuje na izboljšanje motivacije, vendar je pomembno, da je motivacijski učinek uporabljen tako, da okrepi poglobljeno razumeva- nje matematike. Specifične prednosti uporabe IKT pri poučevanju in učenju se razlikujejo glede na predmetno področje in pripravljenost učiteljev za inovacije (Van Braak, ; Sangrà in González-Sanmamed, ). Pozitivni učinki uporabe IKT pri poučevanju in učenju matematike se kažejo pri razvijanju spretnosti učencev za reševanje problemov, razvoju številskih predstav ter raziskovanju vzorcev in odnosov. Npr., vizualizacija zahtevnih, zapletenih konceptov omo- goča in hkrati spodbuja učence k razmišljanju in razumevanju ter grafični re- prezentaciji problema in s tem zmanjša možnosti razvoja napačnih predstav.  Pouk geometrije v osnovni šoli  Geometrija Geometrija, ena najstarejših znanosti, je pomembno področje šolske mate- matike in hkrati tudi pomemben del našega vsakdana. Najdemo jo v umetno- sti, arhitekturi, notranjem dizajnu, modnem oblikovanju, avtomobilski indu- striji, animacijah in številnih drugih poklicnih ter prostočasnih dejavnostih. Usiskin je opisal štiri dimenzije geometrije (Clements in Battista, ): – ukvarja se z vizualizacijo, risanjem in s konstruiranjem figur; – omogoča raziskovanje prostorskih vidikov fizičnega sveta (povezuje matematiko z realnim fizičnim svetom); – omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami po sebi niso vi- zualni in – je sama po sebi primer matematičnega sistema. Za razumevanje geometrije je potrebno imeti dobro razvito prostorsko predstavo, saj je nujna pri vizualizaciji, načrtovanju in konstrukciji oblik, ge- ometrijskem pogledu na fizični svet ter uporabi znakov za prikaz nevizual- nih matematičnih konceptov in odnosov (Mešinović, ). Geometrije se pravzaprav ne moremo učiti, ne da bi imeli prostorske zmožnosti. Prostor- ska predstava je ključnega pomena pri opravljanju vsakodnevnih aktivnosti (za orientacijo v prostoru, v okolici, za načrtovanje dnevnih aktivnosti in po- tovanj, za opremljanje stanovanja, merjenje razdalj in površin itd.), hkrati pa eden ključnih elementov matematične sposobnosti. Ključnega pomena je pri vizualizaciji, načrtovanju in konstruiranju. Prve otrokove geometrijske izkušnje so, glede na Piageta, topološke izkuš- nje. Otrok gleda na stvari, predmete, s svoje – personalne perspektive. Z giba- njem po prostoru in lociranjem predmetov gradi mentalno predstavo in be- sedišče glede položaja objektov (blizu/daleč, pod/nad, pred/za, prvi/zadnji). Pouk geometrije v prvem triletju temelji na načelu od telesa k točki. Začne se s konkretnim spoznavanjem geometrijskih teles, sledi prehod na like in črte ter šele nato na točko. Smernice za poučevanje geometrije v prvem triletju temeljijo na aktivnosti učenca in s tem na njegovem sooblikovanju lastnega učenja (Cotič, Felda in Hodnik Čadež, ), kjer ima pomembno vlogo uči- telj, saj mora učencem ponuditi okolje, v katerem bodo lahko raziskovali. Na  Pouk geometrije v osnovni šoli A B Slika . . postulat: od katere koli točke do katere koli druge točke se lahko nariše ravna črta (daljica) tej stopnji je pomembna predvsem konkretna raven, šele nato sledi prehod na slikovno in simbolno raven. Na predmetni stopnji osnovne šole je poudarek na nazornosti in uporab- nih vidikih geometrije. Dokazovanja tako rekoč ni. Večjo spremembo pri obravnavi geometrijskih vsebin je prinesla vpeljava programov dinamične geometrije, ki omogoča eksperimentiranje – hipotetiziranje in preverjanje hipotez. Vendar je uporaba programov dinamične geometrije pri pouku po- gosto namenjena demonstraciji s strani učitelja in redkeje aktivnemu razi- skovanju s strani učencev. Glede slednjega učitelji pogosto navajajo razlog nezadostne usposobljenosti za uporabo programov dinamične geometrije in časovno stisko, saj je uporaba pristopov, ki spodbuja aktivno raziskova- nje učencev, časovno »potratnejša« od tradicionalnega poučevanja oziroma klasičnega podajanja učne snovi. Evklidska geometrija Šolska geometrija temelji na evklidski geometriji, ki obravnava prostor, nje- gove značilnosti in odnose med objekti v njem. Kot takšna je lahko vir mno- gih zanimivih izzivov, nalog raziskovanja in s tem priložnosti za razvoj pro- blemskih znanj ter logičnega sklepanja. Evklidska geometrija temelji na na- čelih, ki jih je Evklid predstavil v svojem delu Elementi (prevajano tudi kot Osnove), v katerem je zbral in sistematiziral vse do tedaj znano gradivo, pove- zano z geometrijo. Evklidov prispevek je logična ureditev elementov, zasno- vana na sistemu aksiomov oziroma postulatov, tj. izjav, ki jih ne dokazujemo (Anglin, ). S tem je postala geometrija, prva izmed matematičnih teorij, ki temeljijo na sistemu aksiomov, in tako postala vzor za strogo matematič- no dokazovanje. Elementi obsegajo  trditev in njim pripadajočih dokazov. Prva knjiga predstavlja osnove ravninske geometrije in se začne s  definici- jami osnovnih geometrijskih pojmov (točka, premica, ploskev, ravnina, krog), sledijo jim postulati. Prve tri, na katerih temeljijo evklidske konstrukcije, na- vajamo kot zgled. Geometrijske konstrukcije Konstruiranje v geometriji pomeni postopek načrtovanja geometrijskih objek- tov z uporabo več različnih pripomočkov: ravnila, šestila, geotrikotnika, risal-  Geometrija A B Slika . . postulat: vsako ravno črto lahko neomejeno podaljšujemo na obe strani (premica) S r Slika . . postulat: s katero koli točko, ki predstavlja središče, in polmerom se lahko opiše krožnica nega trikotnika. Pri evklidskih konstrukcijah je raba orodja omejena le na ravno deščico (ravnilo), ki omogoča risanje daljic (postulat P – slika .) oziroma podaljševanje obstoječih daljic v premice (postulat P – slika .), in šestilo, ki omogoča risanje krogov pri dani točki kot središče kroga ter dano dolžino polmera kroga (postulat P – slika .). To so tri osnovne konstrukcije, s pomočjo katerih izvedemo vse ostale. Elementarne konstrukcije so konstrukcije, ki so sestavljene iz nekaj osnov- nih konstrukcij. Primeri teh konstrukcij so simetrale daljic, simetrale kotov, pravokotnice, vzporednice, skladen kot danemu kotu, skladna daljica dani daljici, komplementaren kot danemu kotu, suplementaren kot danemu ko- tu, konstrukcije trikotnikov iz podanih stranic in kotov (tri stranice (s–s–s), dve stranici in kot, ki ga oklepata (s–k–s), dve stranici in kot nasproti daljši stra- nici (s–s–k), stranica in njej priležna kota (k–s–k)). Zahtevnejše konstrukcije sestavlja zaporedje končnega števila elementarnih konstrukcij. Po pravilih evklidskih konstrukcij z nobenim od dovoljenih orodij ni dovo- ljeno prenašati dolžin. Točko lahko konstruiramo le na sledeče načine: – kot presečišče dveh premic; – kot presečišče premice in kroga; – kot presečišče dveh krogov. Pregled Elementov ponuja veliko konstrukcij, ki jih lahko izvedemo le z rav- nilom in šestilom, vendar obstajajo trije problemi, ki jih s pomočjo teh dveh orodij ni mogoče rešiti. To so: – trisekcija kota; – kvadratura kroga; – podvojitev kocke.  Pouk geometrije v osnovni šoli Po »šolskih« pravilih konstruiranja je dovoljeno risanje premic skozi dve točki z ravnilom ter risanje krožnic z običajnim šestilom. Merjenje in raču- nanje je prepovedano (Modic, ). Razdalje lahko prenašamo s šestilom. Izkaže se, da je vse konstrukcije, ki so izvedljive s tem orodjem, možno izvesti (na bolj kompliciran način) po pravilih evklidskih konstrukcij. Danes se v šolah uporablja šestilo in geotrikotnik, ki učencem omogoča- ta enostavno risanje vzporednic in pravokotnic kot tudi risanje in merjenje kotov. Cilji in vsebine pouka geometrije v . triletju osnovne šole Vsako vzgojno-izobraževalno obdobje v učnem načrtu za matematiko (Ža- kelj idr., ) vsebuje tri glavne matematične teme, in sicer geometrijo in merjenje, aritmetiko in algebro ter druge vsebine. Vse teme so razdeljene na vsebinske sklope, sklopi pa še na posamezne vsebine. Globalni cilji so zapi- sani kot cilji triletja za določene teme. Pri temi geometrija in merjenje naj bi učenci v tretjem vzgojno-izobraže- valnem obdobju: – utrdili pretvarjanje merskih enot in jih povezali z reševanjem geome- trijskih nalog; – razvili geometrijske predstave v ravnini in prostoru; – razvili uporabo geometrijskega orodja pri načrtovalnih geometrijskih nalogah; – razvili strategije geometrijskih konstrukcij z uporabo geometrijskega orodja; – znali opisati postopek geometrijske konstrukcije; – razvijali natančnost in spretnost pri računanju neznanih količin pri likih in telesih. Snovalci učnega načrta v tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju pripo- ročajo, da se v razredu izvajajo različne aktivnosti v povezavi s pridobivanjem ravninskih in prostorskih predstav. Pri obravnavi geometrijskih oblik priporo- čajo izhajanje iz različnih modelov (npr.: kreda, radirka, svinčnik, žica, zvezek, miza, tabla, modeli iz papirja, žice idr.). Za boljše razumevanje in predstavlji- vost učence navajamo na risanje skico. Razvijanje veščine risanja skico dolo- čajo cilji, tako pri računskih kot tudi pri konstrukcijskih nalogah. Večji pouda- rek se namenja tudi uporabi geometrijskega orodja. Obvezna je uporaba raznovrstnih modelov, ki naj bodo dostopni vsakemu učencu. Modele lahko izdelajo tudi učenci sami.  Didaktična sredstva in vizualizacija osnovnih geometrijskih pojmov Didaktična sredstva in vizualizacija osnovnih geometrijskih pojmov Vizualizacija matematičnih konceptov je razvijajoče se raziskovalno področje (Presmeg, ). Izzivi, ki se porajajo na tem področju, so vezani na različne vidike, predvsem na individualne razlike med učenci ter vlogo IKT pri vizua- lizaciji. V literaturi zasledimo različna pojmovanja termina vizualizacija, zato je smotrno slednjega najprej opredeliti. Definicijo povzemimo po Kosslynu (), ki vizualizacijo opredeli kot kreiranje mentalne slike danega koncepta. Vizualizacija v matematiki pomeni proces oblikovanja slike (bodisi mental- ne, skice, narisane na papir, ali virtualne slike) in njihovo uspešno uporabo pri matematičnem raziskovanju in razumevanju matematičnih problemov (Atanasova-Pachemska, Gunova, Koceva Lazarova in Pachemska, ). Spodbujanje uporabe vizualizacije pri matematiki na vseh stopnjah šola- nja je pomembna, saj sposobnost vizualizacije ni prirojena, temveč se je uči- mo oziroma jo razvijamo (Hoffmann, ; Whiteley, ). Pogosto vidimo, da učenci nimajo razvite sposobnosti za oblikovanje ustrezne vizualne reprezentacije in posledično pri reševanju problemov ne morejo priti do ustrezne rešitve (Arcavi, ; Bishop, ; Hershkowitz, ). Vizualizacija matematičnih konceptov je učinkovita učna in . Pri pouku ma- tematike je najprisotnejša na t. i. slikovnem nivoju, ko je koncept predstavljen z grafično reprezentacijo (Antolin Drešar in Lipovec, ). V osnovnošolskem izobraževanju se prvi matematični procesi in simboli ponazarjajo s pomočjo slike. Vizualne reprezentacije matematičnih pojmov so bogato raziskovalno področje. Kljub širokemu naboru raziskave so rezul- tati še vedno nejasni. Nekateri avtorji zagovarjajo, da je vizualizacija dobra metodična rešitev pri pouku matematike (Güler in Çiltaş, ). Drugi, kot je Presmegova (), pa svarijo, da konkretna slikovna miselna predstava reše- valce matematičnih problemov odvrne od bistvenih odnosov, ki jih je treba ozavestiti za uspešno rešitev problema. Hegarty in Kozhevnikov () vizualne reprezentacije delita na shemat- ske in slikovne. Kot shematske opredelita tiste vizualne reprezentacije, ki pri- kazujejo bistvene (prostorske) odnose problema, slikovne reprezentacije pa karakterizira konkretna vizualizacija objektov, ki nastopajo v problemu. Shematska vizualna reprezentacija koncepta je za učence večkrat zahtev- nejša kot sam proceduralni del. Kot smo omenili v razdelku o razvoju mate- matičnega mišljenja ter v razdelku o reprezentacijah, pouk matematike po- teka od konkretnega preko slikovnega do simbolnega nivoja reprezentacije.  Pouk geometrije v osnovni šoli Vizualne reprezentacije bi lahko delili tudi glede na namen, in sicer moti- vacijski oziroma konceptualni. Reprezentacija je lahko prepoznana oziroma uporabljena kot slikovna reprezentacija. Iz slednjega izhaja tudi težava, da iz slikovne reprezentacije ni mogoče razbrati informacije. Vizualizacija geometrijskih konceptov z uporabo didaktičnih sredstev pri pouku učencem omogoča, da geometrijske koncepte usvojijo temeljiteje in bolj poglobljeno (Raphael in Wahlstrom, ). Fuys idr. pravijo, da učenci, ki težje verbalno predstavijo razlage, svoje »razlage« prikažejo s konkretnimi objekti (Clements in Battista, ). Za razvoj geometrijskih predstav je vizualizacija zelo pomembna. Geome- trijske pojme lahko vizualiziramo na različne načine: s konkretnimi fizičnimi modeli, s slikami ter skicami in s konstruiranimi oz. z načrtanimi modeli, ki jih lahko izdelamo ali z ravnilom in s šestilom, z geotrikotnikom in s šestilom ali z računalniškim programom (Kmetič, Miholič in Zobec, ). Atanasova- Pachemska idr. () izpostavljajo pomembnost uporabe IKT-sredstev v pro- cesu reševanja kompleksnih problemov, ki temelji na možnosti razvijanja sposobnosti vizualizacije pri učencih. Učenje s programom dinamične geo- metrije lahko služi kot dodana dinamična faza v razvoju pojma. Kokol-Voljč () omenjeni proces imenuje dinamična shematizacija. Bistvo uporabe programov dinamične geometrije je v možnostih raziskovanja z uporabo možnosti vlečenja in/ali merjenja, s čimer lahko učenci razlagajo in preverja- jo svoje hipoteze (Arzarello, Olivero, Paola in Robutti, ). Dinamična slika lahko namreč razvije odnose med elementi ter pokaže, kaj je enako in kaj se lahko spremeni po izvajanju dejavnosti. V primeru uporabe apleta pa Kmetič idr. () izpostavljajo, da so učenci le opazovalci dogodka, ki ga lahko opi- šejo tudi, če vzrokov za dinamične učinke ne razumejo. Avtorji sklepajo, da je statična slika za razvoj kakovostnejšega znanja ustreznejša, ker spodbuja učenca k miselnim procesom na poti do rešitve. Teh miselnih »manipulacij« nekateri učenci niso sposobni izpeljati, pri čemer jim lahko pomaga dinamič- na slika, za vzročno-posledično povezavo pa morajo biti izpeljani nadaljnji miselni koraki. Možnost vključevanja dinamične shematizacije predstavlja veliko pedagoško vrednost, saj omogoča, da tudi šibkejši učenci sodelujejo pri novih »odkritjih« (Kmetič idr., ). S tehnologijo podprto učno okolje omogoča raznovrstne reprezentacije pojma, kar učencu omogoča kakovostnejše oblikovanje konceptualnih pred- stav, pri čemer je pomemben didaktični vidik uporabe IKT – aktivna udeležba učenca v procesu izgradnje znanja. Izgradnja znanja poteka preko eksperi- mentiranja, opazovanja idej, sklepanja, postavljanja hipotez in oblikovanja izrekov ter njihovega dokazovanja. V tem primeru tehnologija ni več upora-  Geometrijski problemi v osnovni šoli bljena le kot sredstvo za demonstracijo, temveč kot učni pripomoček v učni situaciji. Vključevanje IKT v pouk matematike je proces, ki kakovostne rezultate po- kaže šele po določenem času smiselne aktivne uporabe IKT. Pomembno je, da učitelj v tem procesu vztraja ter ga spremlja z dobro merljivimi vsebinski- mi in procesnimi cilji. Geometrijski problemi v osnovni šoli Učenec, ki ima razvito bogato geometrijsko predstavo, ima zgrajen temelj za uspešno reševanje problemov in razvoj sposobnosti sklepanja. Slednje se sklada z namenom poučevanja geometrije, ki temelji na dejstvu, da preko razvijanja geometrijskega mišljenja razvijamo sposobnost kritičnega mišlje- nja, reševanja problemov in boljše razumevanje ostalih matematičnih podro- čij (Şahin, ). Geometrijski problem definirajmo kot matematični problem ali problem iz življenjske situacije s področja geometrije in merjenja. V osnovni šoli se učenci srečajo z reševanjem geometrijskih problemov, ki posegajo na področja vsaj štirih različnih geometrijskih sistemov: – topološke geometrije; – evklidske geometrije; – geometrijskih transformacij in – analitične (koordinatne) geometrije. Na reševanje problemov vplivajo številni dejavniki. Ključno tudi pri reševa- nju geometrijskih problemov je, da znamo prevesti realen problem v mate- matični jezik ter poiskati ustrezno strategijo njegovega reševanja (Ajdoğdu in Keşan, ). Strategija se razlikuje od problema do problema. Pomemb- no je, da geometrijski probleme jemljemo iz življenja otrok, saj tako otroci matematična dejstva in zakonitosti gradijo na temelju svojih izkušenj. Grki so geometrijske probleme razvrstili na ravninske, na probleme pro- storskih teles ali na linearne, glede na to, ali njihova rešitev zahteva premice in krožnice oziroma kompleksnejše krivulje (Gaukroger, ). V monografiji se bomo omejili na reševanje geometrijskih problemov iz ravninske in prostorske geometrije, ki smo jih za potrebe raziskave glede na vsebino delili na: – konstrukcijske geometrijske probleme; – geometrijske probleme, pri čemer se bomo v nadaljevanju posvetili  Pouk geometrije v osnovni šoli predvsem predstavitvi geometrijskih problemov, povezanih z računa- njem obsegov in ploščin. Geometrijski problemi ne spadajo vedno le v eno od naštetih skupin, tem- več se elementi ene in druge skupine pogosto prepletajo. Uspešnost njiho- vega reševanja temelji na dobrem poznavanju odnosov med geometrijskimi elementi v ravnini ter poznavanju lastnosti geometrijskih likov. V razdelku o geometrijskih problemih bomo raziskali temeljna načela in definirali ključne korake reševanja geometrijskih problemov. Veliko je litera- ture, ki preučuje različne strategije in načela reševanja problemov, ki jih lahko uspešno apliciramo tudi na področje matematike, vendar le redko zasledimo strategije reševanja geometrijskih problemov. Geometrijski konstrukcijski problemi Učenci pretežni del znanja o geometrijskih konstrukcijah v osnovni šoli pri- dobijo v . razredu. Za uspešno izvajanje konstrukcij, ki temeljijo na šolskih pravilih načrtovanja, torej z uporabo ravnila in šestila, mora imeti učenec usvojeno temeljno znanje o osnovnih geometrijskih elementih v ravnini in odnosih med njimi, ki ga v skladu z obstoječim učnim načrtom (Žakelj idr., ) usvoji v drugem triletju. Osnov načrtovanja se naučijo že v nižjih razre- dih. V drugem triletju učenci pri načrtovalnih nalogah pridobivajo spretno- sti pri uporabi geometrijskega orodja. Uporabljajo naslednje geometrijsko orodje: ravnilo s šablono, geotrikotnik, šestilo. Prav tako uporabljajo dogo- vorjeno matematično simboliko za označevanje točk, daljic, krajišč, poltra- kov, premic, kotov idr. Posebna pozornost je namenjena obravnavi pojmov, ki vključujejo idejo neskončnosti (premica, ravnina). V . razredu učenci pri ri- sanju pravokotnika in kvadrata uporabljajo šablono, pri risanju kroga in kro- žnice pa najprej vrvico in priročne toge predmete, šele za tem tudi šestilo. Skladne daljice lahko rišejo najprej s pomočjo prozornega papirja ali mreže, kasneje uporabljajo šestilo oziroma geometrijsko orodje. Pri geometrijskih konstrukcijskih problemih si je možno postaviti različna »pravila igre«. Strožja so pravila igre, več znanja slednja zahteva. Kot smo že omenili, je pri šolskih pravilih konstruiranja dovoljeno risanje premic skozi dve točki z ravnilom ter risanje krožnic z običajnim šestilom. Merjenje in ra- čunanje je prepovedano (Modic, ). Razdalje lahko prenašamo s šestilom. Izkaže se, da je vse konstrukcije, ki so izvedljive s tem orodjem, možno izve- sti (na bolj kompliciran način) po pravilih evklidskih konstrukcij. Kot smo že omenili, so elementarne konstrukcije sestavljene iz nekaj osnovnih konstruk-  Geometrijski problemi v osnovni šoli cij (Evklidovi postulati). Zahtevnejše konstrukcije sestavlja zaporedje konč- nega števila elementarnih konstrukcij. Danes se v šolah uporabljata šestilo in geotrikotnik, ki učencem omogo- čata enostavno risanje vzporednic in pravokotnic kot tudi risanje in merjenje kotov. V učnem načrtu za matematiko iz leta  je bil zapisan tudi cilj načr- tovanja kotov °, °, °, °, ° in ° s šestilom, načrtovanje kotov °, °, ° in ° pa je bilo opredeljeno kot minimalni standard znanja; v obsto- ječem učnem načrtu (Žakelj idr., ) je cilj posplošen – predvideva uporabo različnih strategij načrtovanja kotov s šestilom in ravnilom, kar do določene mere poenostavlja konstrukcije. S konstrukcijami, ki temeljijo na evklidski geometriji, se spoznajo v . ra- zredu. V didaktičnih priporočilih je poudarjeno, da z namenom boljšega ra- zumevanja in predstavljivosti učence navajamo na risanje skicami tako pri konstrukcijskih kot tudi pri računskih nalogah ter na zapis konstrukcijskih ko- rakov. Davis () pravi, da lahko večino konstrukcijskih problemov rešimo tako, da razberemo lastnosti oziroma zakonitosti, katerim mora rešitev problema zadostiti, ter uporabimo kombinacijo elementarnih konstrukcij. Davis () še navaja, da je konstrukcijske probleme težko kategorizirati, vendar je pri njihovem reševanju smotrno slediti naslednji osnovni strategiji: . risanje skice, . analiza podatkov in odnosov med njimi, . oblikovanje strategije reševanja problema, . konstrukcija, . preverjanje ustreznosti rešitve/rešitev. Risanje skice pomeni »risanje hipotetične slike, v kateri predpostavljamo, da so pogoji problema izpolnjeni v vseh njegovih podrobnostih« (Polya, , str. ). Ko narišemo skico, predpostavimo, da rešitev obstaja. Reševanje konstrukcijskega problema se odvija v smeri od rešitve do problema. Pustavrhova () poda naslednje smernice risanja skico: – Skica ne sme zavajati. – Rišemo dovolj veliko skico. – Skico ustrezno označimo. – Na skici obkrožimo dane podatke. – Na skici označimo neznane količine. – Vzporednice, pravokotnice, simetrale itd. rišemo čim natančneje.  Pouk geometrije v osnovni šoli – Označimo prave kote. – Na skici dorišemo daljice, poltrake, krožnice itd. – Po potrebi uvedemo dodatne oznake. Ob skici analiziramo podatke in odnose med njimi ter razmislimo o vključe- vanju pojmov ravninske geometrije. Oblikujemo strategijo rešitve problema. S sintezo vseh ugotovitev poiščemo pot do rešitve problema. Pustavrhova () dodaja, da nam risanje skice omogoča razmislek o neobstoju rešitve ali obstoju več rešitev v posebnih situacijah (npr. število presečišč krožnice s premico/poltrakom/daljico). Vendar ne smemo sklepati le na osnovi skice (če na skici vidimo vzporednice ali pravokotnice, to še ne pomeni, da je la- stnost takšna tudi v obravnavanem problemu). Lastnost je potrebno uteme- ljiti z aksiomi in izreki. Korake reševanja problema zapišemo v obliki postopka reševanja oziroma zapisa konstrukcijskih korakov. Wickelgren () vidi smiselnost v delitvi problema na manjše probleme oziroma t. i. mikroakcije, kjer pri analizi podatkov ob skici razmislimo, katere osnovne konstrukcije so potrebne za rešitev problema. Gre za idejo izdelave podrobne strategije reševanja problema. Pri reševanju konstrukcijskih problemov v osnovni šoli se najpogosteje po- služujemo dveh metod konstruiranja: – metode geometrijskih mest točk in – metode konstruiranja s pomožnim likom. Metoda geometrijskih mest točk Metodo geometrijskih mest točk uporabljamo samo ali v kombinaciji s ka- ko drugo konstrukcijsko metodo. Bistvo je v načinu določanja ključnih točk, ki ustrezajo zahtevi konstrukcijskega problema in so dobljene kot presečišča premic ter krožnic. Pri tej metodi nastajajoče premice oziroma krožnice do- ločimo na osnovi podanih lastnosti, torej kot množice točk z dano lastnostjo (geometrijsko mesto točk). V slikah .–. je najprej navedenih nekaj pomembnih geometrijskih mest točk, ki se najpogosteje uporabljajo pri konstrukcijskih nalogah v osnovni šoli. Sledi zgled uporabe geometrijskih mest točk pri konstrukcijah – načr- tovanje krožnice, ki poteka skozi tri nekolinearne točke A, B, C (slika .). Pri navedenem primeru je potrebno najprej poiskati središče (S) te krožni- ce, ki je enako oddaljeno od vseh treh točk A, B in C. Geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točk A in B, je simetrala daljice AB. Geome- trijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točk B in C, je simetrala daljice  Geometrijski problemi v osnovni šoli k S r A Slika . Krožnica: geometrijsko mesto točk, ki so od dane točke S enako oddaljene kot dana točka A, je krožnica k s središčem S in polmerom SA sAB A B Slika . Simetrala daljice: geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od krajišč daljice AB, je simetrala daljice AB s d A B p d Slika . Vzporednici k dani premici: geometrijsko t mesto točk, ki so od dane premice p oddaljene za dano razdaljo d, sta dve premici s in t, ki sta k dani premici p vzporedni  Pouk geometrije v osnovni šoli s α Slika . α Simetrala kota: simetrala kota je b geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od krakov danega kota B sAB sBC A C b S Slika . Krožnica, ki poteka skozi tri dane nekolinearne točke BC. Podobno velja tudi za geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točk A in C. Središče krožnice S bo torej presečišče teh simetral daljic. Metoda konstruiranja s pomožnim likom Ob skici analiziramo podatke in njihove odnose ter razmislimo, konstrukcijo katerega lika nam omogočajo dani podatki. Sledi ugotavljanje povezave med konstruiranim in želenim likom. Zgled . Načrtaj splošni štirikotnik z danimi podatki: a =  cm, c =  cm, d =  cm, f =  cm, γ = °. Iz skice (slika .) razberemo, da bo potrebno najprej konstruirati zelen trikotnik, nato modrega, sicer konstrukcije ne bi mogli dokončati. Razmišljanja o pomembnosti začetka konstrukcije se učenci začnejo učiti pri načrtovanju trikotnika s podanima stranicama in kotom, ki leži daljši stranici nasproti. Po- tek načrtovanja:  Geometrijski problemi v osnovni šoli D c d f C γ A b a B Slika . Konstrukcija štirikotnika s pomožnim likom . Načrtamo trikotnik BCD: – Načrtamo stranico c, označimo oglišči C in D. – V oglišču C načrtamo kot ° (krak kota, ki ga dobimo, je nosilec stranice b). – Iz oglišča D s šestilom odmerimo diagonalo f (presečišče krožnega loka in nosilke stranice b je oglišče B), označimo oglišče B. – Povežemo oglišča B, C in D v trikotnik BCD. . Iz oglišča D s šestilom odmerimo stranico d in iz oglišča B stranico a. . V presečišču obeh krožnih lokov označimo oglišče A. . Povežemo oglišča A, B, C in D. Oglejmo si zgled, kjer ima konstrukcijski problem dve možni rešitvi. Zgled . Načrtaj trikotnik ABC s podatki: b =  cm, vb = , cm in a =  cm. Ob skici (slika .) razmislimo o poteku načrtovanja (b, vb in vzporednica k b na dani višini). Ker bo oglišče B presečišče vzporednice k stranici b in krožnega loka, lahko dobimo dve možni rešitvi (presečišče krožnice in premice). Potek načrtovanja: . Načrtamo stranico b, označimo oglišči A in C. . Načrtamo pravokotnico na stranico b ter na njej odmerimo višino vb. . V presečišču loka in pravokotnice narišemo vzporednico k stranici b.  Pouk geometrije v osnovni šoli A b b C c a c vb a B B Slika . Konstrukcija trikotnika z dvema rešitvama . Iz oglišča C s šestilom odmerimo stranico a. V presečišču krožnega loka in vzporednice k stranici b dobimo oglišče B. Ker je r < a imata krožnica in premica dve presečišči. Torej bo imela naloga  rešitvi. . Narišemo oba trikotnika in ju ustrezno označimo. Učenci se pri reševanju konstrukcijskih problemov pogosto zatekajo k uporabi naučenih strategij. V primeru, da učenec nima usvojene strategije za rešitev problema, se reševanja loti naključno. Ključnega pomena za uspešno reševanje konstrukcijskih problemov je natančno risanje skici, ki nam omo- goča analiziranje danih podatkov in odnosov med njimi, pri čemer s sintezo vseh ugotovitev poiščemo pot do rešitve problema (pomembnost zapisa konstrukcijskih korakov). Risanje skice nam omogoča razmislek o neobstoju rešitve ali obstoju več rešitev v posebnih situacijah (npr. število presečišč kro- žnice s premico/poltrakom/daljico). Vendar ne smemo sklepati le na osnovi skice, temveč je potrebno lastnosti utemeljiti z aksiomi in izreki. Poglejmo si še primer problemske naloge, ki jo po Frobisherju () lahko uvrstimo med naloge z odprto potjo in zaprtim ciljem (Državni izpitni center, ). . Dopolni sliko . tako, da bo načrtan enakokraki trikotnik ABC in bo oglišče C ležalo na narisanem poltraku. . Petra in Marko sta oba pravilno rešila gornjo nalogo, a sta vendar načr- tala neskladna trikotnika. Razloži, kako je to mogoče. Pot v omenjenem problemu je odprta, saj mora učenec sam poiskati stra- tegijo reševanja. V prvem delu naloge lahko privzame, da je daljica AB eden od krakov trikotnika. Pri tem sta možni dve rešitvi – ali na danem poltraku leži  Geometrijski problemi v osnovni šoli Slika . A B Primer problemske naloge eden od krakov ali na danem poltraku leži osnovnica. Tretjo rešitev dobimo, če privzamemo, da je daljica AB osnovnica. V učencu lahko kognitivni konflikt sproži že prvi del naloge, saj v besedilu ni podano, ali je daljica AB osnovnica ali krak trikotnika, lahko pa ta nastopi ob izzivu v drugem delu naloge. V prvem delu se učenci pogosto zatečejo k uporabi naučenih strategij, v primeru, da učenec nima usvojene strategije za rešitev problema, pa se loti reševanja naključno. Geometrijski problemi o računanju obsegov, ploščin in površine Pri reševanju geometrijskih problemov pri učencih razvijamo uporabo ma- tematike v različnih kontekstih in v primerih iz realnega življenja ter učence navajamo na uporabo osnovnih strategij (izdelava skice, modela, analiza od- nosov, vključevanje pojmov iz ravninske geometrije in geometrije teles itd.). Temelj uspešnega reševanja geometrijskih problemov sta dobro razvita pro- storska predstava ter dobro poznavanje in razumevanje osnovnih geometrij- skih pojmov ter konceptov. V nadaljevanju si oglejmo primere reševanja odprtih in zaprtih geometrij- skih problemov. Primer odprtega geometrijskega problema, ki sodi v matematični kontekst »Razišči štirikotnike s ploščino  cm, katerih dolžine stranic v cm se izražajo z naravnimi števili« (povzeto po Žakelj, ). Razmislimo o dani problemski situaciji in izluščimo bistvo. Dana sta dva pogoja: ploščina in lastnosti stranic štirikotnika. Npr.: pravokotnika s strani- cama  cm in  cm ter  cm in  cm zadoščata pogojem naloge. V povezavi z izzivom si postavimo eno ali več vprašanj. – Koliko je takih pravokotnikov, ki zadoščajo pogojem izziva? – Pravokotniki so ploščinsko enaki. Ali so tudi skladni med seboj?  Pouk geometrije v osnovni šoli – Ali se s spreminjanjem dolžin stranic pravokotnika spreminjajo tudi ob- segi pravokotnikov? Odločimo se o načinu preiskovanja dane situacije. Lahko se odločimo za induktivni pristop. Izkustveno učenje, induktivno učenje, opazovanje prime- rov, delo s konkretnim materialom je zlasti primerno za učence, ki probleme rešujejo na podlagi celostnega vtisa (Žakelj, ). Ne glede na metode uče- nja in poučevanja si pri pouku prizadevamo za dejavno učenje, ki vodi do interakcije med konkretno in miselno dejavnostjo. Glede na dano situacijo podatke smiselno uredimo v preglednico, opazu- jemo vrednosti stranic in obsegov ter sklepamo. stranica a [cm] stranica b [cm] ploščina p [cm] obseg o [cm] Ugotovitve predstavimo, interpretiramo, opišemo z besedami in uporabo matematičnih pojmov. Na koncu razmislimo, ali smo odgovorili na postavlje- na vprašanja. Primeri zaprtih geometrijskih problemov, ki sodijo v matematični kontekst Primer . »Slika . predstavlja mrežo kocke, ki meri  cm; izračunaj prostornino kocke« (povzeto po Žakelj, ). Reprezentacija: slikovna, deloma sim- bolna. Taksonomska raven: razumevanje. Učenec lahko nalogo reši na različ- ne načine. V pomoč mu je vizualna opora. . način: reševanje s sklepanjem. Učenec uvidi, da je ploščina  skladnih kva- dratov enaka  cm in nato sklepa na enoto, torej je ploščina enega kvadrata enaka  cm. Iz tega sledi, da je stranica enaka  cm (v pomoč mu je lahko po- dana slikovna opora). S pomočjo dobljene dolžine stranice kvadrata izraču- na prostornino kocke kot produkt njene dolžine, širine in višine. Prostornina kocke meri  cm. . način: reševanje z uporabo obrazca za računanje površine kocke. Učenec s sli- ke in iz podatka razbere, da površina kocke meri  cm, izračuna ploščino ene mejne ploskve – kvadrata in nato dolžino njegove stranice. Sledi računanje prostornine kocke. Za večino učencev je . način prezahteven, saj še niso vešči reševanja na simbolni ravni. Vendar je pomembno, da učitelj ob primernih dejavnostih spodbuja tudi slednje.  Geometrijski problemi v osnovni šoli Slika . Primer zaprtega geometrijskega problema: površina kocke  cm  cm Slika . Primer zaprtega geometrijskega  cm problema: ploščina štirikotnika Poglejmo si še nadgradnjo oziroma stopnjevanje predstavljene naloge po zahtevnosti. Primer . »Površina kocke meri  cm; izračunaj prostornino kocke« (povzeto po Žakelj, ). V tem primeru je reprezentacija simbolna, abstraktna. Naloga nima po- dane vizualne opore, vendar je smiselno, da jo učenec nariše sam in s tem dani problem vizualizira. Za slednje mora imeti usvojena pojma površina in prostornina kocke. Učenci, ki so zmožni razreševanja problema le s pomočjo mentalne reprezentacije, so redki. Primer . »Koliko kvadratnih centimetrov meri ploščina temnega dela na sli- ki?« (slika .; povzeto po TIMSS , M ). Reprezentacija: slikovna, deloma simbolna. Taksonomska raven: razume- vanje, rutinsko proceduralno znanje. Tudi to nalogo lahko učenci rešujejo na različne načine. Na sliki lahko pre- poznajo zeleno obarvan trapez in izračunajo njegovo ploščino po obrazcu oziroma s pomočjo preoblikovanja trapeza v pravokotnik ali pa od ploščine pravokotnika odštejejo ploščino pravokotnega trikotnika. Primer zaprtega geometrijskega problema, ki izhaja iz življenjske situacije. »Po travniku pravokotne oblike (glej sliko .) z dolžino  m in širino  m sta speljani dve ravni cesti. Prva poteka pravokotno glede na dolžino travnika, druga pa v poševni smeri. Širina ceste meri / dolžine travnika.  Pouk geometrije v osnovni šoli Slika . Primer zaprtega geometrijskega problema: življenjska situacija . Koliko arov meri travnik? . Katera cesta zavzema večji del površine travnika? . Kolikšen del travnika izgubi lastnik zaradi obeh cest?« Razmislimo o dani problemski situaciji in izluščimo bistvo. Dani pogoji so naslednji: lastnosti stranic pravokotnika, širini obeh pasov. Podana je tudi vi- zualna opora. Primer  zahteva uporabo rutinskih proceduralnih znanj. Za rešitev imamo dovolj podanih podatkov. Vprašanje  zahteva razumevanje ploščine paralelogramov z enako strani- co in njej pripadajočo višino. Za uspešno razrešitev izziva  je potrebno izvesti kompleksno proceduro – računanje širine posamezne poti ter njene površine, računanje površine ce- lotnega travnika (z obema potema) ter izračun razlike med celotno površino in površinama obeh poti. Za rešitev imamo dovolj podanih podatkov. Ugotovitve predstavimo, opišemo z besedami in uporabo matematičnih pojmov ter zapišemo s simboli. Na koncu razmislimo, ali smo odgovorili na postavljena vprašanja. Kot smo že omenili, je temelj uspešnega reševanja geometrijskih proble- mov dobro razvita prostorska predstava ter dobro poznavanje in razumeva- nje osnovnih geometrijskih pojmov in konceptov. Ne glede na kontekst pro- blema je pomembno, da učence navajamo na uporabo osnovnih strategij (izdelava skice, modela, analiza odnosov, vključevanje pojmov iz ravninske geometrije in geometrije teles itd.). Razumevanje osnovnih pojmov in kon- ceptov ter usvojene osnovne strategije reševanja problemov so temelj upo- rabe znanja v novih situacijah, pri reševanju tako matematičnih kot tudi rea- lističnih problemov.  Model problemskega pouka  geometrije z IKT Teoretična zasnova modela problemskega pouka geometrije z uporabo IKT temelji na problemskem pristopu učenja in poučevanja geometrije z aktivo uporabo IKT (samostojno raziskovanje z uporabo e-gradiv, ki so zasnovana na konkretni, slikovni in simbolni ravni, uporaba i-učbenika, različnih didak- tičnih iger in simulacijami). Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije z uporabo IKT pomeni, da učenci skozi različne aktivnosti z uporabo IKT (samostojno razi- skovanje z uporabo e-gradiv, ki vodijo učenca od konkretne preko slikovne do simbolne ravni, z uporabo i-učbenika, različnih didaktičnih iger in simu- lacijami) usvajajo osnovne geometrijske pojme, h geometriji pristopajo pro- blemsko ter tako razvijajo znanja in strategije za uspešno reševanje različnih geometrijskih problemov ter problemov iz vsakdanjega življenja. Pri tem sta poudarjena vloga rabe IKT pri spodbujanju individualizacije učnega procesa in njen vpliv na enostavnejšo vizualizacijo osnovnih geometrijskih pojmov ter reševanje in raziskovanje geometrijskih problemov. Cilj izobraževanja v . stoletju ni le obvladovanje vsebinskega znanja ali uporaba novih tehnologij, temveč tudi samostojno obvladovanje učnega procesa in s tem priprava na vseživljenjsko učenje. Slednje v oblikovanem modelu pouka geometrije z IKT omogočamo z zagotavljanjem različnih re- prezentacij, raznovrstnih načinov za delovanje in izražanje ter raznovrstnih načinov za aktivno vključevanje učencev v proces učenja. Prednosti oblikova- nega modela pouka z uporabo IKT oziroma primerjava oblikovanega modela pouka s tradicionalnim poukom je predstavljena v preglednici .. Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije z uporabo IKT za vsebino o obsegih in ploščinah trikotnikov in štirikotnikov v . razredu osnovne šole Za obravnavo vsebin o obsegih in ploščinah trikotnikov ter štirikotnikov je predvidenih  ur pouka. Obravnava omenjenih vsebin je razdeljena v tri sklope, pri čemer upoštevamo Brunerjevo teorijo razvoja matematičnih poj- mov (prehajanje od enaktivne preko slikovne na simbolno stopnjo), smer- nice predmetne komisije za matematiko pri nacionalnem preverjanju zna- nja ter smernice, zapisane v analizah mednarodnih raziskave. Za posamezen  Model problemskega pouka geometrije z IKT Preglednica . Primerjava modela pouka z uporabo IKT s tradicionalnim poukom Model pouka z uporabo IKT Tradicionalni pouk brez uporabe IKT – poučevanje osredotočeno na učenca – poučevanje osredotočeno na učitelja – omogoča izmenjavo informacij – temelji na podajanju informacij – omogoča kritično mišljenje in odločanje – faktografsko, na znanju temelječe učenje na osnovi informacij – temelji na problemskem učenju – temelji na pomnjenju podatkov, urjenju procedur – omogoča aktivno, raziskovalno učenje, iz- – omogoča pasivno učenje kušenjsko učenje – spletno učno okolje z multimedijskimi – učenje iz učbenikov, ki vsebujejo pretežno gradniki, interaktivnimi nalogami: (a) besedilno gradivo in statične slike omogoča različne reprezentacije in preha- janje med njimi – učenec gradi geometrij- ske predstave na konkretnem nivoju, ob slikovni podpori sledi prehod na simbolni nivo, (b) uporaba animacijah omogoča, da učenec proces sproži in opazuje, po potre- bi ponovi – omogoča številna srečanja z različnimi fi- – omogoča večkratno reševanje podobnih zičnimi in virtualnimi situacijami nalog po modelu – omogoča manj linearno, hierarhično ali – linearno napredovanje po predpisani učni sistematično napredovanje, vsebuje pri- poti poročila za nadaljnje delo Nadaljevanje na naslednji strani sklop je predvideno le okvirno število ur, učiteljem pa je prepuščena prilago- ditev števila ur za posamezen sklop glede na potrebe in posebnosti v oddel- kih. Vsak modul vsebuje uvodno aktivnost, vodene aktivnosti, preko katerih učenci spoznavajo izbrane vsebine, ter naloge, ki so namenjene preverjanju razumevanja in urjenju. Obravnavane so naslednje vsebine iz geometrije: – sklop : Obsegi geometrijskih likov (– ure), – sklop : Ploščine štirikotnikov (– ur), – sklop : Ploščine trikotnikov (– ure). Predvidena učna pot je učencem predstavljena na vodenem učnem listu. Shematsko je prikazana na sliki . ter podprta s povezavami in z gradivi v spletni učilnici. Kljub strukturirani učni poti nam spletno učno okolje omo- goča tudi manj linearno, hierarhično ali sistematično napredovanje. Učna pot tako ni strogo zavezujoča, saj je odvisna od dinamike v skupini in predvsem  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Preglednica . Nadaljevanje s prejšnje strani – spodbuja sodelovalno delo, diskusijo – spodbuja izolirano delo – spodbuja uporabo več medijev – spodbuja uporabo enega medija – spodbuja razvoj sposobnosti vizualizacije, – manj možnosti za razvoj sposobnosti vizu- omogoča veliko različnih gradiv s slikovno alizacije, tiskani učbeniki ne zagotavljajo oporo tako velikega nabora različnih nalog s sli- kovno oporo – omogoča napredovanje po več učnih po- – omogoča napredovanje po eni učni poti teh – omogoča soustvarjanje učne poti – učno pot izbere učitelj – zagotavlja možnost izbire – možnost izbire je majhna ali je ni – omogoča umeščenost v avtentične, ži- – izolirani, pogosto umetno oblikovani kon- vljenjske kontekste, omogoča simuliranje teksti realnih pojavov in problemov – omogoča sprotno povratno informacijo, ki – takojšnja povratna informacija odvisna od je nepristranska in neosebna razpoložljivosti učitelja, predpriprave gra- diva – omogoča prilagajanje gradiva potrebam – tiskano gradivo težje prilagajamo potre- posameznega učenca bam posameznikov – ažurnost, saj lahko e-gradiva pri ugoto- – za popravo napake potreben ponoven tisk vljeni napaki hitro popravimo, hitro poso- tiskanega gradiva, posodabljanje vezano dabljanje na ponoven tisk gradiva – omogoča uspešnejše prilagajanje glede – omogoča prilagajanje glede na predzna- na predznanje posameznega učenca nje večine učencev od aktivnosti posameznega učenca. Učitelj ima vlogo usmerjevalca. Preko razgovora s posameznim učencem ali celotno skupino osmisli zastavljeno pot in pomaga pri načrtovanju nadaljnjega raziskovanja oziroma dela. Poleg konceptualnega razumevanja geometrije omenjeni pristop učencem omo- goča, da se urijo v samostojnem načrtovanju lastnih aktivnosti s ciljem čim večje učinkovitosti na poti doseganja zastavljenega cilja. Aktivnosti v posameznem sklopu so oblikovane tako, da učenci osnovne geometrijske pojme vizualizirajo s pomočjo multimedijskih gradnikov in z njihovo pomočjo gradijo razumevanje geometrijskih konceptov. Nato izpe- ljejo obrazce za računanje ploščine likov, ki jih kasneje uporabijo pri reševa- nju nalog. Večina interaktivnih nalog v gradivu nudi učencu sprotno povratno infor- macijo. V primeru nerazumevanja lahko učenec dejavnost ponovi, pri čemer se situacija delno spremeni, kar pomeni odmik od učenja na pamet in omo- goča pot k razumevanju preko različnih primerov. Didaktične igre, ki so vklju- čene v posameznih aktivnostih, učencu omogočajo možnost izbire več zah-  Model problemskega pouka geometrije z IKT Obsegi in ploščine trikotnikov in šririkotnikov Obseg likov Paralelogrami Trapezi Deltoidi Trikotniki Aktivnost z modeli Aktivnost z uporabo IKT Izpeljava obrazca za ploščino E-gradiva Konceptualna znanja Proceduralna znanja Problemska znanja Uporaba znanja Slika . Predvidena učna pot tevnostnih stopenj in s tem soustvarjanje učne poti ter napredek po lastnem tempu in v nivoju zahtevnosti. Učenci vsebine raziskujejo samostojno, s pomočjo »kažipota« na vodenem učnem listu in v spletni učilnici (slika .), kjer se nahajajo povezave do pre-dlaganih gradiv. Na vodenih učnih listih so navedene priporočene dejavnosti, prostor za zapis pomembnih ugotovitev in drugih zabeležk ter pripravljene priloge za preoblikovanje likov. Učenci, ki želijo izvedeti več, lahko poiščejo dodatno gradivo, s pomočjo katerega predelajo izbrano vsebino. Učenci so aktivni ustvarjalci v procesu učenja, učitelj pa njihovo delo spremlja, po potrebi (v primeru nerazumeva- nja) usmerja, jih spodbuja ter nudi dodatne povratne informacije. Učitelj se tako lahko posveti posameznikom, ki potrebujejo njegovo pomoč in jim po- maga na njihovi učni poti. Po vsakem sklopu učenci rešujejo vrsto nalog iz vsebin, ki so jih predelali v posameznem sklopu.  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Slika . Iskanje vsiljivca Sklop  Primarni namen prvega sklopa je ponoviti in poglobiti znanje sedmošolcev o lastnostih in obsegu likov, ki so ga pridobili v nižjih razredih šolanja. Uvodna aktivnost je namenjena preverjanju predznanja in ponovitvi, pri čemer je bila učiteljeva pozornost usmerjena v formalni in neformalni matematični jezik. Preko tega pri učencih prepoznava morebitne nejasnosti pri že oblikovanih geometrijskih konceptih, ki so podlaga za oblikovanje novih. Aktivnosti . sklopa: . Uvodna aktivnost . Obsegi trikotnikov in štirikotnikov . Računanje obsega likov . Zaključna aktivnost Aktivnost  – uvodna aktivnost – Poišči vsiljivca na sliki ., ki ne spada med trikotnike in štirikotnike. To je ____________________. Opiši ali nariši, kako bi ga lahko preoblikoval, da ne bi bil več vsiljivec in bi spadal v eno od skupin. – Ali obstaja le en način? – Koliko si jih našel ti? Učenci poimenujejo lik, ki ne spada med trikotnike in štirikotnike ter ga z risanjem razdelijo na trikotnike oziroma štirikotnike. Vprašanja pri nalogi na- kazujejo, da obstaja več kot ena možnost. Učitelj spremlja način razmišljanja in raziskovanja učencev, pozoren je na njihovo rabo ustrezne terminologije. Uvodni izziv – problemska naloga iz vsakdanjega življenja Izbran je primer življenjske situacije (slika .), ki je podprt s slikovno oporo, ob kateri učenec dobi realno predstavo o primeru. Naloga terja premislek o manjkajočih podatkih, ki so pot do rešitve danega problema. Naloga nudi  Model problemskega pouka geometrije z IKT Maja in Marko sta opazovala ograjo ob kolovozni poti. Opazila sta, da ograja obdaja pašnik ter varuje drobnico in krave. Zanimalo ju je, kako dolga je ograja, ki ograjuje pašnik. Pašnik je preobsežen, da bi izmerila dolžino ograje. Premisli, katere podatke potrebujeta Maja in Marko, da izračunata dolžino ograje. Kako bi računanje dolžine ograje povezal z matematičnim znanjem? Slika . Dolžina ograje (povzeto po Tratar idr., , str. ) Pravokotnik Kvadrat Splošni štirikotnik Trapez Paralelogram Romb Enakokraki trapez Raznostranični trikotnik Enakokraki trikotnik Enakostranični trikotnik Deltoid Slika . Obsegi trikotnikov in štirikotnikov povratno informacijo, v kateri je realistični problem najprej preveden v mate- matični jezik, nato je pojasnjena rešitev. Učenec primerja svojo rešitev z dano rešitvijo, o njej se lahko pogovori s sošolci. Učitelj spremlja delo učencev, nji- hove razgovore ter nudi pomoč učencem, ki primera niso razumeli oziroma uspeli poiskati ustrezne poti do rešitve. Naloga učencem postreže tudi z za- nimivostjo o sirarstvu na Bohinjskem. Po razrešitvi danega problema učenci na učne liste zapišejo ugotovitev, da je obseg lika enak vsoti dolžin vseh nje- govih stranic. Aktivnost  – obsegi trikotnikov in štirikotnikov Trikotnike in štirikotnike na sliki ustrezno označi (oglišča in stranice) ter za vsakega zapiši obrazec za obseg. Kvadratu in pravokotniku znaš izračunati tudi ploščino. Zapiši obrazca. Na sliki . so narisani in poimenovani trikotniki in štirikotniki. Namen nalo-ge je ponovitev označevanja danih likov, katerih lastnosti so učenci obravna-  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Izračunaj obseg štirikotnika z dolžinami stranic: a = , cm; b = cm; c = , cm in d = , cm. Slika . Računanje obsega štirikotnika (povzeto po Tratar idr., , str. ) D C Premikaj oglišče C v štirikotniku d = , cm ABCD. Zapisan je obseg štirikotnika b = , cm (o = , cm) in dolžine treh stranic. A Izračunaj dolžino neznane stranice a = , cm štirikotnika. B Slika . Računanje neznane stranice štirikotnika (povzeto po Tratar idr., , str. ) vali pred vsebino o obsegih in ploščinah. Učenci ob sliki zapišejo obrazec za računanje obsega danega lika. Vir povratne informacije pri dani nalogi je uči- telj, ki spremlja delo učencev, preverja ustreznost oznak in zapisa obrazcev. Po potrebi usmerja učence. Aktivnost  – računanje obsega likov Učenci z uporabo interaktivnih nalog iz i-učbenika in didaktičnih iger pono- vijo in poglobijo znanje o obsegu likov. Povratna informacija se nahaja ob nalogah. Učitelj spremlja in usmerja delo učencev, preverja ustreznost zapi- sov ter nudi dodatno pomoč učencem, ki to potrebujejo. . Podana je direktna naloga o računanju obsega štirikotnika s podanimi dolžinami stranic (slika .). Učenec vadi risanje skice (vizualna opora ni dana), izpis podatkov ter sistematičen zapis reševanja naloge. V i- učbeniku je ob nalogi zagotovljena povratna informacija. . Sledi indirektna naloga o obsegu štirikotnikov (slika .), v kateri je podan obseg lika, učenec pa mora s slike razbrati dolžine treh stranic ter s pomočjo vseh danih podatkov izračunati dolžino četrte stranice. Nalo- ga vsebuje multimedijske gradnike, ki omogočajo premikanje oglišča C in s tem spreminjanje dolžin dveh stranic. S tem lahko učenec generi- ra nove primere in ob njih razmisli o odvisnosti dolžin stranic in obsega danega lika. . Ob didaktični igri Pastir učenci na zabaven način utrjujejo računanje obsegov likov. Didaktična igra omogoča sprotno povratno informaci- jo in informacijo o napredku. Pred začetkom igranja si učenec izbere  Model problemskega pouka geometrije z IKT , m , m  m Družina Novak želi okoli pašnika postaviti ograjo. Ograja ima povsod enako višino. Koliko ograje potrebujejo? Koliko bodo plačali za ograjo, če je cena metra ograje v dolžino  ? , m Slika . Pašnik – problemska naloga z vizualno oporo (povzeto po Tratar idr., , str. ) Obseg štirikotnika je , cm. Stranica a je dolga , cm, stranica c je dolga , cm. Izračunaj dolžini stranic b in d, če veš, da sta enako dolgi. Slika . Indirektna naloga brez slikovne opore  (povzeto po Tratar idr., , str. ) Obseg deltoida je  cm. Stranica a je za  cm daljša od stranice c. Izračunaj dolžini obeh stranic. Slika . Indirektna naloga brez vizualne opore  (povzeto po Tratar idr., , str. ) število nalog in težavnost, kar mu omogoča napredovanje po lastnem tempu in glede na lastne zmožnosti. Pri reševanju si lahko pomaga tudi z uporabo priloženega računala. Didaktična igra je v angleškem jeziku, vendar so priložena navodila v slovenskem jeziku. . Naloga Pašnik (slika .) je problemska naloga z realno življenjsko situa- cijo. Učenec mora besedilo problema z vizualno oporo pretvoriti v ma- tematični jezik, s slike prebrati ustrezne podatke ter oblikovati ustrezno strategijo za rešitev problema. . Sledita indirektni nalogi brez vizualne opore (sliki . in .), kjer mora učenec dodatno upoštevati lastnosti likov. Podani so obseg ter dolžine določenih stranic, učenec mora ob dodanih pogojih izračunati dolži- no neznane stranice. Pomembna pri reševanju je natančno narisana in ustrezno označena skica. Stremimo k temu, da učenec tudi sistematič- no zapiše potek reševanja naloge. Obe nalogi ponujata možnost po- novnega reševanja danega primera ali izbiro novega primera. Zagoto- vljena je povratna informacija.  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Ob zaključku prvega sklopa učenci evalvirajo svoje delo in pridobljeno znanje ter ga povzamejo v obliki miselnega vzorca, opornih točk ali kot sku- pni zapis na interaktivni tabli. V spletni učilnici in na vodenem učnem listu najdejo priporočila za domače delo, poglabljanje znanja in nadaljnje učenje. Sklop  Namen drugega sklopa je usvajanje znanja o ploščinah štirikotnikov – parale- lograma, trapeza in deltoida ter ostalih štirikotnikov s pravokotnima diagona- lama. Učenci preoblikujejo dane štirikotnike v ploščinsko enake like, katerih ploščino znajo izračunati (pravokotnik, kvadrat, kasneje tudi paralelogram). Ob tem oblikujejo obrazec za izračun ploščine posameznega štirikotnika. V nadaljevanju rešujejo vrsto nalog iz vsebin, ki so jih predelali v drugem sklo- pu. Aktivnosti . sklopa: . Uvodna aktivnost . Ploščina paralelograma . Ploščina trapeza . Ploščina deltoida Aktivnost  – uvodna aktivnost Uvodna aktivnost je namenjena ponovitvi merjenja ploščine s tlakovanjem, določanju ploščine likov, narisanih na kvadratni mreži, ter računanju ploščine pravokotnika in ponovitvi obrazca za izračun ploščine kvadrata. . Merjenje ploščine s tlakovanjem. Učenci v i-učbeniku rešijo nalogo (sli- ka .), kjer ploščino merijo s tlakovanjem z nestandardnima enotama. Na dano nalogo se nanašajo podnaloge in vprašanja na vodenem uč- nem listu. Ta spodbujajo razmislek o tem, ali imata ploščinsko enaka lika, ki nista skladna, tudi enaka obsega: – Skiciraj obe enoti (enoto A in enoto B). – Kakšna sta po obliki enota A in enota B? – Kaj lahko poveš o njuni ploščini? – Ali lahko isto trdimo tudi o njunih obsegih? Cilj je, da učenci s prekrivanjem, ki ga omogoča multimedijski gradnik, pridejo do ugotovitve, da sta dana lika ploščinsko enaka ter da ploščin- sko enaka lika nimata nujno enakega obsega.  Model problemskega pouka geometrije z IKT B Z izbranima enotama izmeri A ploščino štirikotnika. Enote polagaj na štirikotnik. Slika . Interaktivna naloga Merjenje ploščine s tlakovanjem (povzeto po Tratar idr., , str. )  cm Določi ploščino štirikotnika. Pomagaj si s prikazom. Slika . Določanje ploščine lika, narisanega na kvadratni mreži (povzeto po Tratar idr., , str. ) Izračunaj ploščino pravokotnika z dolžino stranic , cm in , cm. Slika . Računanje ploščine pravokotnika (povzeto po Tratar idr., , str. ) . Določanje ploščine likov, narisanih na kvadratni mreži. Učenci rešijo na- logo v i-učbeniku (slika .) ter odgovorijo na vprašanje na vodenem učnem listu, ki se nanaša na dano nalogo. Animacija v nalogi prikazu- je postopek preoblikovanja trapeza v pravokotnik na kvadratni mreži. Učenec ploščino trapeza po preoblikovanju v pravokotnik določi s pre- števanjem enotskih kvadratkov na kvadratni mreži. Animacija omogo- ča, da učenec sproži in nato opazuje proces preoblikovanja trapeza v pravokotnik ter ob tem spoznava učno vsebino. Naloga služi tudi kot predpriprava na obravnavo ploščine trapeza. Vprašanje na vodenem učnem listu: v animaciji je trapez v drugem zgle- du preoblikovan. V kateri lik smo ga preoblikovali, da smo lahko natanč- no določili njegovo ploščino?  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Vpiši P za pravilno trditev in N za nepravilno trditev. Ploščino kvadrata izračunamo: p = a × a p =  × a p = a Slika . Ponovitev obrazca za ploščino kvadrata (povzeto po Tratar idr., , str. ) Opazuj, kako se spreminja štirikotnik. Štirikotnik na prvem mestu predstavlja enoto za merjenje ploščine vseh štirikotnikov. Odgovori na vprašanja. (a) Kolikšna je ploščina tretjega štirikotnika? (b) Za koliko bo ploščina petega štirikotnika večja od ploščine četrtega štirikotnika? Slika . Problemska naloga o zaporedju (povzeto po Tratar idr., , str. ) . Ponovitev računanja ploščine pravokotnika (naloga brez vizualne opo- re). Učenec reši nalogo o ploščini pravokotnika iz i-učbenika (slika .), pri kateri vizualna opora ni dana. Gre za urjenje proceduralnih znanj. Učenca ob tem učitelj usmerja k sistematičnemu zapisu postopka re- ševanja. Učno okolje nudi učencu povratno informacijo, možnost po- novnega reševanja istega primera ali izbiro novega primera. . Ponovitev obrazca za izračun ploščine kvadrata. Učenec med danimi obrazci (slika .) izbere obrazce za računanje ploščine kvadrata. Svojo rešitev lahko preveri. . Problemska naloga o zaporedju. Posamezni učenci se lotijo tudi reše- vanja problemske naloge o zaporedju (slika .), ki je povezana s plo- ščino štirikotnika – paralelograma. V prvem delu naloge učenec določa ploščino štirikotnika v danem členu zaporedja, pri čemer ima podano slikovno podporo. V nadaljevanju mora izračunati razliko med plošči- nama . in . štirikotnika, pri čemer nima več podane slikovne opore. Lahko si sam skicira . in . sliko ali pa sklepa na podlagi lastnosti dane- ga zaporedja. Naloga ne predvideva prehoda na abstraktni nivo, torej simbolnega za- pisa pravila nadaljevanja zaporedja, čeprav so nekateri učenci ob dolo- čeni podpori zmožni tudi slednjega.  Model problemskega pouka geometrije z IKT Slika . Preoblikovanje paralelograma Pri izpeljavi obrazca za računanje ploščine paralelograma smo paralelogram preoblikovali v drug lik. Kateri? Ploščino paralelograma lahko izračunamo na dva načina. Zapiši oba obrazca. Slika . Zapis obrazca za ploščino paralelograma Aktivnost  – ploščina paralelograma . Preoblikovanje paralelograma. Paralelogram na dva različna načina preoblikuj tako, da mu boš znal izračunati ploščino. Pomagaš si lah- ko z rezanjem likov iz priloge na zadnji strani gradiva. Preoblikovanje paralelograma (slika .) je prva izmed aktivnosti pre- oblikovanja trikotnikov in štirikotnikov v pravokotnik (in kasneje lahko tudi paralelogram) z namenom izpeljave obrazca za računanje ploščine izbranega štirikotnika oziroma trikotnika. Na povezavi v spletni učilnici se nahajajo elektronske prosojnice Raču- nanje ploščine paralelograma – razlaga, ki učenca vodijo skozi proces preoblikovanja paralelograma v pravokotnik. Učenec na konkretni rav- ni samostojno preoblikuje paralelogram v pravokotnik. S tem gradi ge- ometrijske predstave na konkretnem nivoju, ob slikovni podpori sledi prehod na raven abstrakcije – simbolni zapis obrazca za ploščino para- lelograma, ki ga zapiše tudi na voden učni list (slika .). . Ploščinsko enaki paralelogrami. Sledi aktivnost (slika .), kjer preko interaktivne naloge učenec spozna, da so paralelogrami z enako dolžino stranice in njej pripadajočo višino ploščinsko enaki. Ugotovitev si zapi- še kot povzetek na učni list (slika .). . Ploščina romba. V naslednji aktivnosti učenec raziskuje o obsegu in plo- ščini romba s podano stranico. Interaktivna naloga (slika .) omogo- ča, da s pomočjo premikanja oglišča C spreminjamo notranje kote v rombu (dolžina stranice se pri tem ne spreminja) in ob tem raziskujemo njegov obseg ter ploščino. Učence usmerja k ugotovitvi, da ima največ- jo ploščino med danimi rombi kvadrat.  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije D C Preberi podatke s prikaza in izra- čunaj ploščino va =  cm paralelograma. S premikanjem oglišča C dobiš nove primere. Kaj ugotoviš? A a =  cm B Slika . Naloga o ploščini paralelograma s slikovno podporo (povzeto po Tratar idr., , str. ) Zapiši ugotovitev, ki velja za paralelograme, ki se ujemajo v dolžini stranice in njej pripadajoče višine! Slika . Ploščinsko enaki paralelogrami D C Izračunaj ob- seg in ploščino romba. Podat- ke preberi s pri- kaza. S premi- v kanjem oglišča a = , cm C dobiš nove primere. Kateri romb ima naj- večjo ploščino? A a =  cm B Slika . Ploščina romba (povzeto po Tratar idr., , str. ) . Računanje ploščine paralelograma. Sledi direktna naloga o računanju ploščine in obsega paralelograma brez slikovne opore. Vsi podatki, ki so potrebni za izračun, so dani. Učenec dobi takojšnjo povratno infor- macijo, ima možnost ponovnega reševanja primera ali izbiro novega (slika .). . Računanje obsega romba s podano ploščino. Gre za indirektno nalogo o računanju dolžine stranice romba in njegovega obsega pri dani plo- ščini ter višini (slika .). Naloga je brez slikovne opore. Učenec najprej  Model problemskega pouka geometrije z IKT Izračunaj obseg in ploščino paralelograma s podatki a =  cm, b =  cm in va = cm. o = cm p = cm Slika . Računanje obsega in ploščine paralelograma (povzeto po Tratar idr., , str. ) Izračunaj obseg romba s podatki v =  cm in p = , cm. Obseg romba je cm. Slika . Računanje ploščine romba (povzeto po Tratar idr., , str. ) D A C B Izračunaj ploščino kvadrata ABCD. a =  cm Slika . Geometrijski izziv (povzeto po Tratar idr., , str. ) izračuna dolžino stranice, nato še obseg romba. Učitelj učenca usmeri k natančnemu risanju skice in sistematičnemu zapisu postopka reševa- nja. Spletno učno okolje učencu omogoča takojšnjo povratno informa- cijo in možnost ponovnega reševanja primera ali izbiro novega. . Geometrijski izziv. Sledi problemska naloga o določanju ploščine kva- drata (slika .). Dana je slikovna opora, pri čemer je učencu lahko v pomoč tudi mreža, na kateri so narisani kvadrati. Naloga je zahtevna. Učenec mora vztrajati v procesu sklepanja, da pride do ugotovitve ozi- roma rešitve. Naloga učencu nudi povratno informacijo. Aktivnost  – ploščina trapeza Učenci imajo pred seboj izziv preoblikovanja trapeza v štirikotnik, katerega ploščino znajo izračunati. Pomagajo si lahko z dvema animacijama, ki prika- zujeta dve različni preoblikovanji trapeza – v prvi je prikazano preoblikovanje trapeza v pravokotnik, v drugi v paralelogram. Odprta je tudi tretja možnost, ki jo učenec lahko poišče sam. Ugotovitve zapiše na voden učni list.  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije  cm Določi ploščino šti- rikotnika. Pomagaj si s prikazom. Slika . Preoblikovanje trapeza v pravokotnik (povzeto po Tratar idr., , str. ) D c = , cm C Izračunaj ploščino trapeza s podatki a = , cm, b = , cm, c = , cm, d = cm in v = cm. Naj- prej poglej preobli- va =  cm d = , cm kovanje trapeza na d =  cm naslednjem prika- zu. Opiši preobliko- vanje in postopek računanja ploščine trapeza. A a = , cm B Slika . Preoblikovanje trapeza v paralelogram (povzeto po Tratar idr., , str. ) . Preoblikovanje trapeza v pravokotnik. Dano animacijo (slika .) je učenec že spoznal pri določanju ploščine likov na kvadratni mreži. Ra- ziskave dokazujejo (Güler in Çiltaş, ), da si bolje zapomnimo vse- bino, če je ta obogatena z vizualno oporo. Tako predvidevamo, da se bo lahko učenec hitreje osredotočil na podrobnosti animacije, ki so bistvene za zapis obrazca za računanje ploščine trapeza. Gre za zapis kompleksnega obrazca. Pomembno je, da je dejavnost osmišljena z natančno refleksijo. . Preoblikovanje trapeza v paralelogram. Druga možnost preoblikovanja trapeza je preoblikovanje v paralelogram. Učenec s pomočjo animacije spozna postopek preoblikovanja, preko katerega bo oblikoval obrazec za računanje ploščine trapeza. Tretja možnost je preoblikovanje trape- za v paralelogram, in sicer tako, da prvotnemu trapezu dodamo še en skladen trapez, ki ga zasukamo za °. . Računanje ploščine trapeza. Učenec reši direktno nalogo o ploščini tra- peza (slika .). Podatke pridobi s slike. Vadi uporabo obrazca, pozor-  Model problemskega pouka geometrije z IKT D c =  cm C Preberi podatke s prikaza in izračunaj ploščino trapeza. S va =  cm premikanjem oglišča C dobiš nove primere. Oblikuj tudi enakokrake trapeze. A a =  cm B Slika . Računanje ploščine trapeza (povzeto po Tratar idr., , str. ) Ploščina enakokrakega trapeza z dolžino osnovnice  cm, dolžino kraka  cm in višino  cm je  cm. Izračunaj dolžino druge osnovnice in obseg tega trapeza. Slika . Računanje ploščine trapeza (povzeto po Tratar idr., , str. ) nost usmerja tudi v sistematičen zapis poteka reševanja. Naloga nudi povratno informacijo, možnost ponovnega reševanja ali pa spreminja- nja vhodnih parametrov s premikanjem oglišča C. V nadaljevanju lahko učenec izbira med nalogami v i-učbeniku ali nalo- gami v drugem spletnem okolju, preko katerih razvija in utrjuje znanje o ploščini trapeza. Povezave učenec najde v spletni učilnici. Računanje ploščine trapeza lahko utrjujemo tudi v učnem okolju That Quiz¹ Z izbiro različnih parametrov lahko učenec izbira med direktnimi in indirektnimi nalogami ter izbira njihovo težavnost. Vsaka naloga vse- buje vizualno oporo, ob kateri učenec vadi tako branje podatkov s slike kot računanje ploščine trapeza. Pri tem si lahko pomaga tudi z zapisom v zvezek. Gre za razvoj in urjenje proceduralnih znanj, kjer ni poudarka na sistematičnem zapisu postopka. Veliko vlogo ima vizualizacija. Ti- skani učbeniki namreč ne zagotavljajo tako velikega nabora podobnih nalog s slikovno oporo. Sledi reševanje indirektne naloge v i-učbeniku brez slikovne opore (sli- ka .). Podane so ploščina enakokrakega trapeza, dolžina osnovnice in dolžina kraka. Izračunati je potrebno dolžino druge osnovnice in ob- seg trapeza. Sledi reševanje indirektne naloge brez slikovne opore (slika .). Poda- ni sta ploščina trapeza ter njegova višina. Izračunati je potrebno dolžino druge osnovnice in obseg trapeza. Naslednja naloga je problemska naloga (slika .), kjer učenec v koor- ¹ Glej https://www.thatquiz.org/sl-/?-jo-la-pt.  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Izračunaj dolžini osnovnic trapeza s ploščino  cm in višino  cm. Dolžini osnovnic naj bosta v celih centimetrih. Zapiši vse možnosti. Slika . Računanje osnovnice in obsega trapeza (povzeto po Tratar idr., , str. ) 5 4 V koordinatno mrežo nariši točki (,) in (,), 3 ki sta oglišči osnovnice enakokrakega trapeza. Nariši še točko (,), 2 ki je oglišče druge osnovnice. Nariši četrto 1 oglišče in enakokraki trapez. Trapezu izračunaj ploščino. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Slika . Trapez v koordinatni mreži (povzeto po Tratar idr., , str. ) dinatno mrežo nariše dane točke ter glede na lastnosti trapeza poišče četrto oglišče. Sledi računanje ploščine danega trapeza. Učenci imajo na vodenih učnih listih narisano koordinatno mrežo, ki je namenjena zabeležkam o zapisu oziroma risanju točk v koordinatno mrežo. Aktivnost  – ploščina deltoida Učenci pri raziskovanju o ploščini deltoida samostojno izbirajo učno pot – po- tek raziskovanja. Po uvodnem primeru (slika .) lahko izbirajo med predsta- vitvijo (slika .), ki jih vodi skozi proces preoblikovanja deltoida v pravokotnik, kjer lahko deltoid iz papirja preoblikujejo tudi sami. Učenci se za konkre- tno aktivnost niso odločali, zadoščala jim je slikovna ponazoritev v predstavi- tvi. Druga možnost je bila obravnava ploščine deltoida s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku (slika .). Po zaključku obravnave je sledilo (podobno kot v prejšnjih aktivnostih) re- ševanje različnih nalog o ploščini deltoida. . Uvodni primer (slika .). . Ploščina deltoida (slika .).  Model problemskega pouka geometrije z IKT  dm Jure se je odločil, da bo z očetovo pomočjo izdelal zmaja.  dm  dm Narisala sta načrt in izdelala ogrodje zmaja. Na voljo imata , m barvnega papirja za  dm izdelavo zmaja. Pomagaj jima izračunati, če bosta imela dovolj papirja. Slika . Ploščina deltoida – uvodni izziv (povzeto po Tratar idr., , str. ) Te slike ne pozabi. V spomin ti bo priklicala formulo: Gradivo je povzeto po gradivu Ra unanje ploš ine deltoida - razlaga Vir: http://www2.arnes.si/~osljjk6/matematika/ploscina/ploscina_stirikotnika.htm Slika . Raziskovanje ploščine deltoida s pomočjo predstavitve Power Point Prikaži razrez deltoida po diagonalah. Nato preoblikuj deltoid v štirikotnik, ki mu znaš izračunati ploščino. Postopek opiši. Kaj lahko poveš o ploščini deltoida? Slika . Raziskovanje ploščine deltoida s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku (povzeto po Tratar idr., , str. ) Sklop  Namen tretjega sklopa je usvajanje znanja o ploščinah trikotnikov ter zaključ- ni ponovitvi o ploščinah likov. Učenci preoblikujejo dane trikotnike v ploščin-  Praktična izpeljava modela problemskega pouka geometrije Mark in njegova družina so se odločili prepleskati fasado družinske hiše. Koliko posod barve potrebujejo, če ena posoda zadostuje za  m površine? Katere podatke potrebujejo za izračun potrebne količine barve? Slika . Ploščina trikotnika – uvodna aktivnost (povzeto po Tratar idr., , str. ) sko enake like, katerih ploščino znajo izračunati. Ob tem oblikujejo obrazec za izračun ploščine posameznega trikotnika. Sledi reševanje različnih nalog o ploščini trikotnika. Aktivnosti . sklopa: . uvodna aktivnost, . ploščina trikotnika, . ploščina pravokotnega trikotnika, . utrjevanje računanja ploščin likov. Aktivnost  – uvodna aktivnost Uvodna aktivnost je problemska naloga iz življenjske situacije (slika .). Učenca usmeri v razmišljanje, kako izračunati ploščino sestavljenemu liku. Aktivnost  – ploščina trikotnika Učenci pri raziskovanju o ploščini trikotnika samostojno izbirajo učno pot – potek raziskovanja. Po uvodnem primeru lahko o ploščini trikotnika razisku- jejo s pomočjo predstavitve Power Point v spletnem učnem okolju That Quiz,² ki jih vodi skozi proces preoblikovanja trikotnika v pravokotnik, kjer lahko tri- kotnik iz papirja preoblikujejo tudi sami. Učenci se za konkretno aktivnost ni- so odločali, zadoščala jim je slikovna ponazoritev v predstavitvi. Druga mož- nost je bila obravnava ploščine trikotnika s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku (slika .). Aktivnost  – ploščina pravokotnega trikotnika Podobno kot pri raziskovanju o ploščini trikotnika tudi pri raziskovanju plo- ščine pravokotnega trikotnika učenci samostojno izbirajo učno pot. O plošči- ni pravokotnega trikotnika lahko raziskujejo s pomočjo spletnega kviza That Quiz³ ali s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku (slika .). Sledi reševanje različ- nih nalog o ploščinah trikotnikov. ² Glej https://www.thatquiz.org/sl/practicetest?ylnfxbu. ³ Glej https://www.thatquiz.org/sl/practicetest?wlngyqc.  Model problemskega pouka geometrije z IKT C Nariši trikotnik ABC s podatki: a =  cm, b =  cm in c =  cm. Kaj lahko poveš o ploščini trikotnika ABC? Zdaj preoblikuj en trikotnik v pravokotnik. Pomagaj si s spodnjim prikazom. Opiši postopek. A B Slika . Raziskovanje ploščine trikotnika (povzeto po Tratar idr., , str. ) Izreži pravokotnik z dolžino  cm in širino  cm. Pravokotnik prereži po eni izmed diagonal na dva lika. Katera lika nastaneta? Izračunaj njuni ploščini. Slika . Raziskovanje ploščine pravokotnega trikotnika s pomočjo aktivnosti v i-učbeniku (povzeto po Tratar idr., , str. ) Aktivnost  – utrjevanje računanja ploščin likov Ob zaključku obravnave snovi o ploščinah trikotnikov in štirikotnikov učen- ci, ob različnih interaktivnih nalogah, didaktičnih igrah ali aktivnostih v i- učbeniku, utrdijo snov o računanju ploščine trikotnikov in štirikotnikov. Didaktična igra Travnik⁴ in spletni kviz Izračunaj ploščino⁵ sta namenjena razvoju proceduralnih znanj o ploščinah trikotnikov in štirikotnikov. Sledi re- ševanje problemskih nalog iz spletnega učnega okolja in i-učbenika. ⁴ Glej http://www.arnes.si/∼osljjk/matematika/ploscina/ploscina_likov.html. ⁵ Glej https://www.thatquiz.org/sl/practicetest?ylnhzbca.  Sklepne ugotovitve  Hiter tehnološki razvoj ima velik vpliv na vsa področja družbe, tudi na po- dročje izobraževanja. Tradicionalni pristopi pri poučevanju niso več učinkovi- ti, saj so za učinkovito učenje potrebni aktivnost učencev, motivacija in zmo- žnost povezovanja obstoječega znanja z novimi informacijami ter prenos in uporaba znanja v novih situacijah. Motivacijo učencev lahko dosežemo na različne načine – z uporabo ustreznega pristopa, ki spodbuja aktivno vlogo učenca v procesu učenja, s pripravo oz. z izbiro didaktično pestrega učne- ga okolja, ki omogoča individualizacijo in personalizacijo učenja, kjer učenec soustvarja učno pot in cilje dosega na njemu ustrezen način (zagotavljanje različnih reprezentacij), z izbiro učnih sredstev, ki so del vsakdana otrok (upo- raba (tabličnega) računalnika je učencem bližja kot reševanje nalog tipa pa- pir – svinčnik), z individualiziranim pristopom k otroku, kjer virtualna učna okolja učitelju omogočajo širše možnosti prilagajanja raznolikim skupinam učencev itd. Eden od namenov pričujoče monografije je učiteljem matematike pribli- žati kognitivno-konstruktivističen način poučevanja matematike z uporabo IKT. Pri tem smo želeli, da bi uvideli nujnost spremembe načina poučevanja – od transmisijskega k transformacijskemu – ter vanj vnesli sodobnejše me- tode učenja in poučevanja ter s tem zagotovili aktivno udeležbo učencev v procesu izgrajevanja znanja. Zaradi naštetih razlogov in izsledkov nacionalnih ter mednarodnih raziska- ve smo razvili in v praksi preizkusili model problemskega pouka geometrije z uporabo IKT v . razredu osnovne šole. V oblikovanem modelu problemske- ga pouka učenci osnovne geometrijske pojme usvajajo z uporabo IKT (sa- mostojno raziskovanje z uporabo e-gradiv, z uporabo i-učbenika, z didaktič- nimi igrami in s simulacijami idr.), h geometriji pristopajo problemsko ter ta- ko razvijajo znanja in strategije za uspešno reševanje različnih geometrijskih problemov ter problemov iz vsakdanjega življenja. Pri tem so poudarjeni po- membna vloga rabe IKT pri spodbujanju individualizacije učnega procesa, njen vpliv na enostavnejšo vizualizacijo osnovnih geometrijskih pojmov ter raziskovanje in reševanje geometrijskih problemov. Dejavnosti temeljijo na raziskovanju, spodbujajo sodelovanje med učenci ter izmenjavo mnenj. Ta- ko učenci sooblikujejo pouk ter sprejemajo smiselne odločitve, povezane z njihovimi lastnimi izkušnjami iz vsakdanjega življenja.  Sklepne ugotovitve Model pouka, ki temelji na problemskem učenju, spodbuja aktivno vlogo učenca in omogoča raziskovalno učenje. Učencem je zagotovljena možnost izbire, saj mu spletno učno okolje omogoča srečanje z različnimi fizičnimi in virtualnimi situacijami. S tem učenec (so)ustvarja lastno učno pot, omogo- čeno mu je tudi manj linearno, hierarhično ali sistematično napredovanje, ki vsebuje priporočila za nadaljnje delo. Spletno učno okolje z multimedijskimi gradniki, interaktivnimi nalogami učencem omogoča različne reprezentacije in prehajanje med njimi, kar pomembno vpliva na razvoj sposobnosti vizua- lizacije – učenec gradi geometrijske predstave na konkretnem nivoju, ob sli- kovni podpori sledi prehod na simbolni nivo –, uporaba animacije mu omo- goča, da učenec proces sproži in opazuje ter po potrebi ponovi. Pomemb- no vlogo ima sprotna povratna informacija, ki je neosebna in nepristranska. Aktivnosti so usmerjene v reševanje in raziskovanje različnih geometrijskih problemov. Reševanje problemov razvija divergentno in konvergentno mi- šljenje, ustvarjalnost, sposobnost argumentiranja in odločanja ter zmožnost interdisciplinarnih povezav. Uporaba IKT pri pouku geometrije predstavlja dodano vrednost, prispeva k učinkovitemu učenju in poučevanju, spodbujanju aktivne udeležbe učencev v procesu učenja in posledično h kakovostnejši izgradnji znanja.  Literatura Aberšek, B., Flogie, A., in Šverc, A. (). Sodobno kognitivno izobraževanje in transdi- sciplinarni modeli učenja: pedagoška strategija. Maribor: Fakulteta za naravoslov- je in matematiko. Acevedo Nistal, A., Van Dooren, W., Clarebout, G., Elen, J., in Verschaffel, L. (). Con- ceptualising, investigating and stimulating representational flexibility in ma- thematical problem solving and learning: A critical review. ZDM – The Internati- onal Journal of Mathematics Education, (), –. Adams, T. L. (). Reading mathematics: More than words can say. The Reading Te- acher, (), –. Ajdoğdu, M. Z., in Keşan, C. (). A research on geometry problem solving strategies used by elementary teachers candidates. Journal of Educational and Instructio- nal Studies in the World, (), –. Aksal, F. A. (). Developing evaluvative tool for online learning and teaching. The Turkish Online Journal of Educational Technology, (), –. Ally, M. (). Foundations for educational theory for online learning. V T. Anderson (ur.), The theory and practice of online learning (str. –). Edmonton: Athabasca University Press. Anderson, T., in Elloumi, F. (ur.) (). Theory and practice of online learning. Athaba- sca: Athabasca University Press. Andoljšek, I. (). Osnove didaktike. Ljubljana: Zavod za šolstvo. Anglin, W. S. (). Mathematics: A concise history and philosophy. New York, NY: Springer. Antolin, D. (). Kombinirano (e-)izobraževanje pri pouku matematike. Matematika v šoli, (/), –. Antolin, D., in Lipovec, A. (). Uporaba e-učnih gradiv pri obravnavi osnovnih geo- metrijskih pojmov. V A. Lenarčič, M. Kosta in K. Blagus (ur.), Mednarodna konfe- renca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT SIRIKT  (str. –). Ljubljana: Miška. Antolin Drešar, D., in Lipovec, U. (). Shematske vizualne reprezentacije potence. Revija za elementarno izobraževanje, (), –. Arcavi, A. (). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, (), –. Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., in Robutti, O. (). A cognitive analysis of dragging practises in Cabri environments. ZDM – The International Journal of Mathematics Education, (), –.  Literatura Atanasova-Pachemska, T., Gunova, V., Koceva Lazarova, L., in Pachemska, S. (). Visualization of the geometry problems in primary math education: Needs and Changes. Istraživanje matematičkog obrazovanja, (), –. Ausubel, D. P. (). Educational psychology: A cognitive view. New York, NY: Holt, Ri- nehart & Winston. Bakar, K. A., Ayub, A. F. M., Luan, W. S., in Tarmizi, R. A. (). Exploring secondary school students’ motivation using technologies in teaching and learning ma- thematics. Procedia: Social and Behavioral Sciences, (), –. Beacham, N. A., in Alty, J. L. (). An investigation into the effects that digital media can have on the learning outcomes of individuals who have dyslexia. Computers & Education, (), –. Becta. . The impact of ICT in schools – A landscape review. Pridobljeno s http:// webarchive.nationalarchives.gov.uk// Bieda, K. N., in Nathan, M. J. (). Representational disfluency in algebra: Evidence from student gestures and speech. ZDM – The International Journal of Mathema- tics Education, (), –. Bishop, A. (). Review of research in visualization in mathematics education. Focus on Learning Problems in Mathematics, (–), –. Blažič, M., Ivanuš-Grmek, M., Kramar, M., in Strmčnik, F. (). Didaktika. Novo mesto: Visokošolsko središče. Blurton, C. (). New directions of ICT-Use in education. V C. Blurton (ur.), UNESCO’s World Communication and Information Report  (str. –). Pariz: UNESCO. Bocconi, S., Kampylis, P. G., in Punie, Y. (). Inovating learning: Key elements for de- veloping creative classrooms in Europe. Pridobljeno s http://ftp.jrc.es/EURdoc/ JRC.pdf Borwein, J. M., in Bailey, D. H. (). Mathematics by experiment: Plausible reasoning in the st century. Natick, MA: AK Peters. Brečko, B. (). Metodološki pristop k merjenju učinkov rabe informacijsko-komunika- cijske tehologije v izobraževanju (neobjavljena doktorska disertacija). Univerza v Ljubljani, Ljubljana. Brečko, B. N., in Rožman, M. (). Nacionalno poročilo SITES : druga mednarodna raziskava o uporabi informacijskih in komunikacijskih tehnologij v izobraževanju. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Brečko, B. N., in Vehovar, V. (). Informacijsko-komunikacijska tehnologija pri pou- čevanju in učenju v slovenskih šolah. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Bregar, L., Zagmajster, M., in Radovan, M. (). Osnove e-izobraževanja: priročnik. Ljubljana: Andragoški center Slovenije. Brown, C. A., in Borko, H. (). Becoming a mathematics teacher. V D. A. Grouws (ur.), Handbook on research on mathematics teaching and learning (str. –). New York, NY: MacMillan. Bruner, J. (). Toward a theory of instruction. Cambridge, MA: The Belknap Press of Harvard University Press.  Literatura Bruner, J. (). The process of education. Cambridge, MA: Harward University Press. Burrill, G. (). Handheld graphing technology in secondary mathematics: Research findings and implications for classroom practice. Michigan, US: Michigan State University. Cencič, M., Cotič, M., in Medved-Udovič, V. (). Spremembe pouka in kompeten- ce učiteljev za uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije. Pedagoška obzorja, (), –. Chapman, J. O. (). Teachers’ self-representations in teaching mathematics. Ma- thematics Teacher Education, (), –. Clark, R. C., in Mayer, R. E. (). E-Learning and the science of instruction: Proveb gui- delines and designers of multimedia learning (. izd.). San Francisco, CA: Pfeiffer. Clark-Wilson, A. (). Evaluating TI-NspireTM in secondary mathematics classrooms (poročilo). University of Chichester, Chichester. Clements, D. H., in Battista, M. T. (). Geometry and spatial reasoning. V D. A. Gro- uws (ur.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (str. – ). New York, NY: MacMillan. Condie, R., Munro, B., Muir, D., in Collins, R. (). The impact of ICT initiatives in Scot- tish schools: Phase . Edinburgh: SEED. Cope, L. (). Math manipulatives: Making the abstract tangible. Delta Journal of Education, (), –. Cotič, M., Felda, D., in Hodnik Čadež, T. (). Igraje in zares v svet matematičnih čudes: kako poučevati matematiko v . razredu devetletne osnovne šole. Ljubljana: DZS. Cuban, L., Kirkpatrick, H., in Peck, C. (). High access and low use of technologies in high school classrooms: Explaining an apparent paradox. American Educational Research Journal, (), –. Davis, T. (). Geometry with computers: Computer-based techniques to learn and te- ach euclidean geometry. Pridobljeno s http://www.geometer.org/geometer/ Geometry.pdf De Corte, E. (). Zgodovinski razvoj razumevanja učenja. V H. Dumont, D. Istance in F. Benavides (ur.), O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. De Jong, T., Ainsworth, S., Dobson, M., Van der Hulst, A., Levonen, J., in Reinmann, P. (). Acquiring knowledge in science and math: The use of multiple repre- sentations in technoogy based learning environments. V M. W. van Someren, P. Reimann, H. P. A. Boshuizen in T. de Jong (ur.), Learning with multiple representa- tions (str. –). Amsterdam: Pergamon. diSessa, A. A. (). Knowledge in pieces. V G. Forman in P. B. Pufall (ur.), Constructivi- sm in the computer age (str. –). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Dochy, F., Segers, M., Van den Bossche, P., in Gijbels, D. (). Effects of problem- based learning: A meta-analysis. Learning and Instruction, (), –. Dougiamas, M. (). A journey into constructivism. Pridobljeno s https://dougiamas .com/archives/a-journey-into-constructivism  Literatura Downes, S. (). E-learning .. Pridobljeno s http://elearnmag.acm.org/featured .cfm?aid= Duke, B., Harper, G., in Johnston, M. (). Connectivism. The International HELT Re- view (Special issue), –. Dumont, H., in Istance D. (). Analiziranje in oblikovanje učnih okolij za . stoletje. V H. Dumont, D. Istance in F. Benavides (ur.), O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Duval, R. (). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for research in Mathematics Education, (), –. Eisner, E. (). Preparing for today and tomorrow. Educational Leadership, (), – . Eržen, V. (). Ocenjevanje in učenje: splošni trendi. V A. Žakelj in M. Borstner (ur.), Razvijanje in vrednotenje znanja (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slove- nije za šolstvo. Eurydice. (). Pomembni podatki o učenju in inovacijah z IKT po šolah v Evropi . Ljubljana: Ministrstvo za izobraževanje, znanost, kulturo in šport. Feiman-Nemser, S., in Buchman, M. (). Pitfals of experience in teacher preparati- on. Teachers College Record, (), –. Franchi, E. (). La matematica nella scuola elementare. Brescia: La Scuola. Frobisher, L. (). Problems, investigations and an investigative approach. V A. Or- ton in G. T. Wain (ur.), Issues in teaching mathematics (str. –). London; New York: Cassell. Gabrielli, S., Mirabella, V., Kimani, S., in Catarci, T. (). A boosting approach to econ- tent development for learners with special needs. Educational Technology & So- ciety, (), –. Gagne, R. M. (). The conditions of learning and theory of instruction. New York, NY: Holt, Rinehart & Winston. Gaukroger, S. (). Narava abstraktnega mišljenja: filozofski vidiki Descartesovega dela v algebri. Filozofski vestnik, (), –. Gellert, U. (). Didactic material confronted with the concept of mathematical li- teracy. Educational Studies in Mathematics, (–), –. Gerlič, I. (). Sodobna informacijska tehnologija v izobraževanju. Ljubljana: DZS. Gerlič, I. (). Stanje in trendi uporabe informacijsko komunikacijske tehnologije (IKT) v slovenskih osnovnih šolah (poročilo o raziskovalni nalogi za leto ). Univerza v Mariboru, Maribor. Gerlič, I. (). Stanje in trendi uporabe informacijsko komunikacijske tehnologije (IKT) v slovenskih osnovnih šolah (poročilo o raziskovalni nalogi za leto ). Univerza v Mariboru, Maribor. Gerlič, I. (). Informacijsko komunikacijske tehnologije v slovenskih osnovnih šolah: stanje in možnosti. Maribor: Fakulteta za naravoslovje in matematiko; Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport.  Literatura Gerlič, I., in Jaušovec, N. (). Spoznavni procesi prisotni pri multimedijsko posre- dovanem gradivu. Sodobna pedagogika, (), –. Gold, J. (). Vzgoja v digitalni dobi: priročnik za spodbujanje zdravega odnosa do teh- nologije od rojstva do najstniških let. Radovljica: Didakta. Grabner, R. H., Stern, E., in Neubauer A. C. (). Individual differences in chess exper- tise: A psychometric investigation. Acta Psychologica, (), –. Griffin, S., in Case, R. (). Re-thinking the primary school math curriculum: An approach based on cognitive science. Issues in Education, (), –. Güler, G., in Çiltaş, A. (). The visual representation usage levels of mathematics teachers and students in solving verbal problems. International Journal of Hu- manities and Social Science, (), –. Heddens, J. W. (). Bridging the gap between the concrete and the abstract. Ari- thmetic Teacher, (), –. Heddens, J. W. (). Improving mathematics teaching by using manipulatives. Prido- bljeno s https://www.scribd.com/document//Improving -Mathematics-Teaching-by-Using-Manipulatives-docx Hegarty, M., in Kozhevnikov, M. (). Types of visual-spatial representations and mathematical problem solving. Journal of Educational Psychology, (), – . Heinze, A., Star, J. R., in Verschaffel, L. (). Flexible and adaptive use of strategies and representations in mathematics education. ZDM – The International Journal on Mathematics Education, (), –. Hennessy, S., Deaney, R., in Ruthven, K. (). Emerging teacher strategies for suppor- ting subject teaching and learning with ICT. Cambridge: University of Cambridge. Herbel-Eisenmann, B., in Phillips, E. D. (). Analyzing students’ work: A context for connecting and extending algebraic knowledge for teaching. V C. E. Greenes in R. Rubenstein (ur.), Algebra and algebraic thinking in school mathematics: Seven- tieth yearbook (str. –). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathe- matics. Hershkowitz, R. (). Visualization in geometry – Two sides of the coin. Focus on Learning Problems in Mathematics, (), –. Hodnik Čadež, T. (). Pomen modela reprezentacijskih preslikav za učenje račun- skih algoritmov. Pedagoška obzorja, (), –. Hodnik Čadež, T. (). Vloga konstruktivizma pri oblikovanju matematičnih pojmov na razredni stopnji. V B. Marentič-Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobra- ževanje učiteljev (str. –). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Fi- lozofske fakultete. Hodnik Čadež, T. (). Reprezentiranje matematičnih pojmov pri pouku matemati- ke na razredni stopnji. V A. Žakelj (ur.), Učne težave pri matematiki in slovenščini – izziv za učitelje in učence (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Hoffmann, D. (). Visual intelligence: How we create what we see. New York, NY: W. W. Norton.  Literatura Japelj, B., in Čuček, M. (). SITES: druga mednarodna raziskava uporabe informacij- skih in komunikacijskih tehnologij v izobraževanju. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Japelj Pavešić, B. (). Matematična in naravoslovna pismenost: interpretacija nalog in ideje za povečanje pismenosti pri pouku. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Japelj Pavešić, B., Svetlik, K., Rožman, M., in Kozina, A. (). Matematični dosežki Slo- venije v raziskavi TIMSS : mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Järvelä, S. () Shifting research on motivation and cognition to an integrated apro- ach on learning and motivation context. V S. Volet in S. Järvelä (ur.), Motivation in learning contexts: Theoretical advances and methological implications (str. – ). Amsterdam: Pargamon. Jaušovec, N. (). E-učenje. V A. Vovk Korže, N. Vihar in A. Nekrep (ur.), Partnerstvo fakultet in šol kot spodbuda profesionalnemu razvoju učiteljev (str. –). Mari- bor: Pedagoška fakulteta. Kaput, J. J. (). Linking representations in the symbol system of algebra. V S. Wa- gner in C. Kieran (ur.), Research issues in the learning and teaching of algebra (str. –). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Karmiloff-Smith, A. (). Beyond modularity: A developmental perspective on cogniti- ve science. Cambridge, MA: The MIT Press. Kennedy, L. M., Tipps, S., in Johnson, A. (). Guiding children’s learning of mathema- tics. Belmont, CA: Thomson Wadsworth. Kirschner, P. A., in Karpinski, A. C. (). Facebook® and academic performance. Com- puters in Human Behavior, (), –. Kmetič, S. (). Vloga računalniške tehnologije pri pouku matematike. Vzgoja in iz- obraževanje, (), –. Kmetič, S., Miholič, T., in Zobec, V. (). Do višine trikotnika po več poteh. V S. Kme- tič, J. Bone, S. Rajh, A. Sambolić Beganović, M. Sirnik in M. Suban (ur.), . medna- rodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM  (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Kokol-Voljč, V. (). Razvoj osnovnih matematičnih pojmov z uporabo programov za dinamično geometrijo – dinamična ponazoritev. Pedagoška obzorja, (), – . Kolb, D. A. (). Experiental learning experience as the source of learning and develop- ment. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. Komljanc, N. (). Vloga povratne informacije v učnem procesu. Sodobna pedago- gika, (), –. Koo, D. (). The moderating role of locus of control on the links between experien- tial motives and intention to play online games. Computers in Human Behavior, (), –. Kosslyn, S., (). Image and brain: The resolution of the imagery debate. Cambridge, MA; London: The MIT Press. Košir, M., in Ranfl, R. (). Vzgoja za medije. Ljubljana: DZS.  Literatura Kramar, M. (). Konstruktivizem in učiteljeva vloga v izobraževalnem procesu. V B. Marentič-Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev (str. – ). Ljubljana: Filozofska fakulteta. Kreuh, N. (). Skupaj do cilja. Bilten e-šolstvo, št. , -. Krnel, D. (). Uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT) pri pouku v nižjih razredih osnovne šole. Naravoslovna solnica: za učitelje, vzgojitelje in starše, (), –. Kubale, V. (). Didaktika matematike. Celje: samozaložba. Kyriacou, C., in Goulding, M. (). Mathematics education: A systematic review of stra- tegies to raise pupils’ motivational effort in key stage  mathematics. London: Uni- versity of London. Labinowicz, E. (). Izvirni Piaget: mišljenje, učenje, poučevanje. Ljubljana: DZS. Lee, H., in Hollebrands, K. (). Preparing to teach mathematics with technology. Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, (), –. Lipovec, A., Kobal, D., in Repolusk, S. (). Načela didaktike in zdrava pamet pri e- učenju. V M. Vreča in U. Bohte (ur.), Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT: SIRIKT  (str. –). Ljubljana: Arnes. Llinares, S., in Krainer, K. (). Mathematics (student) teachers and teacher edu- cators as learners. V A. Gutiérrez in P. Boero (ur.), Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future (str. –). Rot- terdam: Sense Publishers. MacCann, A. (). Designing accessible learning materials for learners with disabi- lities and learning difficulties. Australian Journal of Educational Technology, (), –. MacDonald, A. (). Using children’s representations to investigate meaning-making in mathematics. Australasian Journal of Early Childhood, (), –. Mallet, D. G. (). Multiple representations for system of linear equations via the computer algebra system Maple. International Electronic Journal of Mathematics Education, (), –. Mangan, A., in Ecalle, J. (). Audio-visual training in children with reading disabi- lities. Computers & Education, (), –. Marentič-Požarnik, B. (). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Marentič-Požarnik, B., Magajna, L., in Peklaj, C. (). Izziv raznolikosti: stili spoznava- nja, učenja, mišljenja. Nova Gorica: Educa. Markovac, J. (). Metodika početne nastave matematike. Zagreb: Školska knjiga. Mayer, R. E. (). Should there be a three-strikes rule against pure discovery learing. American Psychologist, (), –. Mayer, R. E. (). Učenje s tehnologijo. V H. Dumont, D. Istance in F. Benavides (ur.), O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.  Literatura Mayer, R. E., in Moreno, R. (). Aids to computer based multimedia learning. Lear- ning and Instruction, (), –. Mayer, R. E., in Moreno, R. (). Nine ways to reduce cognitive load in multimedia learning. Educational Psychologist, (), –. McMeniman, M. (). Motivation to learn. V P. Langford (ur.), Educational psycholo- gy: An australian perspective (str. –). South Melbourne: Longman Cheshire. Mergel, B. (). Instructional design and learning theory. Saskatoon: University of Sa- skatchewan. Mešinović, S. (). Vizualizacija geometrijskih pojmov z uporabo geoplošče v osnovni šoli (neobjavljena doktorska disertacija). Univerza na Primorskem, Koper. Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport. (). Obrazec za formativno sprem- ljanje učenja. Pridobljeno s https://www.zrss.si/BP/files/Obrazec-za -formativno-spremljanje-ucenja.pdf Mioduser, D., Tur-Kaspa, H., in Leitner, I. (). The learning value of computer-based instruction of early reading skills. Journal of Computer Assisted Learning, (), – . MIZŠ. (). Strateške usmeritve nadaljnjega uvajanja IKT v slovenske VIZ do leta . Pridobljeno s http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/pageuploads/ StrateskeUsmeritveNadaljnjegaUvajanjaIKT_.pdf Modic, D. (). Trikotniki. Ljubljana: Math. Mori, I. (). Učenje in poučevanje z računalnikom v prvem triletju osnovne šole. Ljub- ljana: Zavod RS za šolstvo. Moshman, D. (). Exogenous, endogenous, and dialectical constructivism. Deve- lepmental Review, (), –. Muir-Herzig, R. G. (). Technology and its impact in the classroom. Computers & Education, (), –. Nelson, L., Sadler, L., in Surtees, G. (). Bringing problem based learning to life using virtual reality. Nurse Education in Practice, (), –. Niss, M. (). Aspects of the nature and state of research in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, (), –. Noonan, J. (). Readability problems presented by mathematics text. Early Child Development and Care, (), –. Državni izpitni center. (). Matematika: preizkus znanja; torek, . maja. Pridobljeno s http://www.ric.si/mma/N-MAT--// Oblinger, D. G. (). The next generation of educational engagement. Journal of Interactive Media in Education, , –. Ofsted. (). Report: ICT in schools – The impact of government initiatives: Primary schools. London: avtor. Orton, A. (). Learning mathematics: Issues, theory and classroom practice (. izdaja). London: Continuum. Orton, A., in Wain G. (ur.) (). Issues in teaching mathematics. London: Cassell.  Literatura Paechter, M., Maier, B., in Macher, D. () Student’s expectations of, and experiences in e-learning: Their relation to learning achievements and course satisfaction. Computer & Education, (), –. Palmer, S. E. (). Fundamental aspects of cognitive representation. V E. Rosch, B. B. Lloyd (ur.), Cognition and categorization (str. –). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Pappas, C. (). Instructional design models and theories: The discovery learning model. Pridobljeno s https://elearningindustry.com/discovery-learning-model Passey, D., Rogers, C., Machell, J., in McHugh, G. (). The motivational effect of ICT on pupils (Research Report No. ). Nottingham: DfES. Pesek, I. (). Kaj je e-gradivo. Bilten e-šolstva, št. , . Piciga, D. (). Od razvojne psihologije k drugačnemu učenju in poučevanju. Nova Gorica: Educa. Pintrich, P. R., in Schunk, D. H. (). Motivation in education: Theory, research & appli- cations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. PISA. (). Naravoslovni, bralni in matematični dosežki slovenskih učencev: nacional- no poročilo. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Plut-Pregelj, L. (). Analitično-logično in pripovedno mišljenje: nujni sestavini izobraževalno-vzgojne dejavnosti. Sodobna pedagogika, (), –. Plut-Pregelj, L. (). Sodobna šola ostaja šola: kaj pa se je spremenilo? Sodobna pe- dagogika, (), –. Podhostnik, K. (). Didaktika. Ljubljana: Pedagoška akademija. Poljak, V. (). Didaktika za pedagoške akademije. Zagreb: Školska knjiga. Polya, G. (). Kako rešujemo matematične probleme. Ljubljana: DMFA. Požar, M. (). Uporaba računalnika na razredni stopnji. V M. Blažič (ur.), Mediji v izo- braževanju: zbornik mednarodnega znanstvenega simpozija (str. –). Novo mesto: Visokošolsko središče. Presmeg, N. C. (). Prototypes, metaphors, metonymies and imaginative rationa- lity in high school mathematics. Educational Studies in Mathematics, (), – . Presmeg, N. C. (). Contemplating visualization as an epistemological learning tool in mathematics. ZDM – The International Journal on Mathematics Educati- on, (), –. Pustavrh, S. (). Od zelene table do tabličnih računalnikov. V S. Kmetič, J. Bone, S. Rajh, A. Sambolić Beganović, M. Sirnik in M. Suban (ur.), . mednarodna Konferen- ca o učenju in poučevanju matematike KUPM  (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Pustavrh, S. (). Risanje skic pri geometriji. V M. Suban, J. Bone, S. Rajh in M. Sirnik, (ur.), . mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM  (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.  Literatura Race, P. (). Teaching: Creating a thirst for learning? V S. Brown (ur.), Motivating students (str. –). London: Kogan Page. Radovan, M. (). Psihološko-didaktični vidiki tutorske podpore v e-izobraževanju. Andragoška spoznanja, (), –. Räsänen, P., Salminen, J., Wilson, A. J., Aunio, P., in Dehaene, S. (). Computer- assisted intervention for children with low numeracy skills. Cognitive Develop- ment, (), –. Rebolj, V. (). E-izobraževanje: skozi očala pedagogike in didaktike. Radovljica: Di- dakta. Repolusk, S. (). E-učna gradiva pri pouku matematike (neobjavljeno magistrsko delo). Univerza v Mariboru, Maribor. Repolusk, S. (). Značilnosti učnega pogovora pri učenju matematike z apleti (neo- bjavljena doktorska disertacija). Univerza v Mariboru, Maribor. Roblyer, M. D. (). Integrating educational technology into teaching (rd edition). Columbus, OH: Prenctice-Hall. Roschelle, J., Shechtman, N., Tatar, D., Hegedus, S., Hopkins, B., Empson, S., . . . in Galla- gher, L. P. (). Integration of technology, curriculum, and professional deve- lopment for advancing middle school mathematics: Three large-scale studies. American Educational Research Journal, (), –. Rugelj, J. (). Nove strategije pri uvajanju IKT v izobraževanje. V M. Vreča in U. Boh- te (ur.), Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT: SIRIKT  (str. –). Ljubljana: Arnes. Sangrà, A., in González-Sanmamed, M. (). The role of information and commu- nication technologies in improving teaching and learning processes in primary and secondary schools. Research in Learning Technology, (), –. Şahin, O. (). In- & pre- service elementary school teachers? Van Hiele reasoning sta- ges (neobjavljena magistrska naloga). Kocatepe University, Afyon. Sawyer, R. K. (). Educating for innovation. Thinking skills and Creativity, (), –. Schneider, M., in Stern, E. (). Kognitivni pogled na učenje: deset temeljnih ugo- tovitev. V H. Dumont, D. Istance in F. Benavides (ur.), O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Selvi, K. (). Motivating factors in online courses. Procedia: Social and Behavioral Sciences, (), –. Sentočnik, S., in Rutar Ilc, Z. (). Koncepti znanja, učenje za razumevanje. V A. Zu- pan in M. Turk Škraba (ur.), Modeli poučevanja in učenja: zbornik prispevkov  (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Seo, Y. J., in Bryant, D. P. (). Analysis of studies of the effects of computer-assisted instruction on the mathematics performance of students with learning disabi- lities. Computers & Education, (), –. Seo, Y. J., in Woo, H. (). The identification, implementation, and evaluation of cri- tical user interface design features of computer-assisted instruction programs  Literatura in mathematics for students with learning disabilities. Computers & Education, (), –. Shulman, L. (). Knowledge and teaching: Foundations of a new reform. Harvard Educational Review, (), –. Siemens, G. (). Categories of elearning. Pridobljeno s http://www.uh.cu/static/ documents/AL/elearningcategories.pdf Siemens, G. (). Learning and knowing in networks: Changing roles for educators and designers. Pridobljeno s http://www.ingedewaard.net/papers/connectivism/ _siemens_Learning_Knowing_in_Networks _changingRolesForEducatorsAndDesigners.pdf Skemp, R. R. (). The psychology of learning mathematics. London: Penguin Books. Skryabin, M., Zhang, J., Liu, L., in Zhang, D. (). How the ICT Development level and usage influence student achievement in reading, mathematics and science. Computers & Education, , –. Slavin, R. (). What works in teaching maths? Pridobljeno s http://www .bestevidence.org.uk/assets/What_works_in_teaching_maths_(primary_and _secondary).pdf Stigler, J. W., in Hiebert J. (). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York, NY: The Free Press. Suban Ambrož, M. (). Razumevanje matematike z uporabo IKT. V N. Kreuh, B. Tr- stenjak, K. Blagus, M. Kosta, A. Lenarčič in A. Stopar (ur.), Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT: SIRIKT  (str. –). Ljubljana: Mi- ška. Sweller, J. (). Cognitive technology: Some procedures for facilitating learning and problem solving in mathematics and science. Journal of Educational Psychology, (), –. Šilih, G. (). Očrt splošne didaktike. Ljubljana: Državna založba Slovenije. Šteh, B. (). Koncept aktivnega in konstruktivnega učenja. V B. Marentič-Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev (str. –). Ljubljana: Filo- zofska fakulteta. Taatgen, N. (). Modeling parallelization and flexibility improvements in skill acquisition: From dual tasks to complex dynamic skills. Cognitive Science, (), –. Taber, K. S. (). Shifting sands: A case study of conceptual development as com- petition between alternative conceptions. International Journal of Science Edu- cation, (), –. TIMSS. . Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja TIMSS . Pridobljeno s https://www.pei.si/wp-content/uploads///Izhodisca- raziskave-TIMSS-.pdf Tratar, J., Mahnič, B., Lešnik, V., Štaher, A., Pev, M., Miklavčič-Jenič, A., . . . in Tadina Ben-ce, V. (). Matematika : i-učbenik za matematiko v . razredu osnovne šole. Pri- dobljeno s http://eucbeniki.sio.si/matematika  Literatura Trucano, M. (). Knowledge maps: ICT in education. Washington, DC: World Bank. Valenčič Zuljan, M. (). Kognitivno-konstruktivistični model pouka in nadarjeni učenci. Pedagoška obzorja, (–), –. Valentine, G., Marsh, J., in Pattie, C. (). Children and young people’s home use of ICT for educational purposes. London: DfES. Van Braak, J. (). Factors influencing the use of computer mediated communicati- on by teachers in secondary schools. Computers & Education, (), –. Van de Walle, J. A., Karp, K. S., in Bay-Williams J. M. (). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. Boston, MA: Pearson. Vehovar, V. (). Elearning in Slovenia. Ljubljana: Faculty of Social Sciences. Verschaffel, L., Greer, B., in De Corte, E. (). Whole number concepts and operati- ons. V F. Lester (ur.), Handbook of research in mathematics teaching and learning (str. –). Charlotte, NC: Information Age Publising. Vidmar, D. (). Interaktivne vaje: matematika. Pridobljeno http://www.arnes.si/ ∼osljjk/matematika/ploscina/ploscina_mesano.htm Vosniadou, S. (ur.) (). International handbook of research on conceptual change. London: Routledge. Walling, D. R. (). Designing learning for tablet classrooms: Innovations in instruction. Cham: Springer. Watkins, D., in Akande, A. (). Approaches to learning of Nigerian secondary school children: Emic and etic perspectives. International Journal of Psyhcho- logy, (), –. Whiteley, W. (). Visualization in mathematics: Claims and questions towards a rese- arch program. Pridobljeno s http://www.math.yorku.ca/∼whiteley/ Visualization.pdf Wickelgren, W. A. (). How to solve mathematical problems. New York, NY: Dover. Woolfolk, A. (). Pedagoška psihologija. Ljubljana: Educy. Zbiek, R. M. (). Using technology to foster mathematical meaning through pro- blem solving. V H. L. Schoen in R. I. Charles (ur.), Teaching mathematics through problem solving (str. –). Reston: The National Council of Teachers of Mathe- matics, Inc. Zbiek, R. M., Heid, M. K., Blume, G. W., in Dick, T. P. (). Research on technology in mathematics education. V F. K. Lester (ur.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (str. –). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Zentall, S. S. (). Fact-retrieval automatization and math problem solving by lear- ning disabled, attention-disordered, and normal adolescents. Journal of Educa- tional Psychology, (), –. Žakelj, A. (). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova di- daktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žakelj, A. (). Didaktični vidiki problemskih situacij pri pouku matematike. V B.  Literatura Marentič-Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev (str. – ). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete. Žakelj, A. (). Data processing and statistics in the Slovenian curriculum. V Data and context in statistics education: towards an evidence-based society: Abstract book (str. –). Voorburg: International Association for Statistical Education. Žakelj, A. (). Od preverjanja do ocenjevanja znanja. V A. Žakelj in M. Borstner (ur.), Razvijanje in vrednotenje znanja (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Sloveni- je za šolstvo. Žakelj, A. (). Problemske naloge. V M. Suban in S. Kmetič (ur.), Posodobitve pou- ka v osnovnošolski praksi: Matematika (str. –). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žakelj, A. (). Procesi učenja z vidika učnih težav učencev pri matematiki. Revija za elementarno izobraževanje, (), –. Žakelj, A., Prinčič Röhler, A. Perat, Z., Lipovec A., Vršič, V., Repovž, B., . . . in Bregar Umek, Z. (). Učni načrt: program osnovna šola; matematika. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport.  Imensko kazalo Aberšek,  Buchman,  Acevedo Nistal,  Burrill,  Adams,  Case,  Ajdoğdu,  Catarci,  Akande,  Cencič,  Aksal,  Chapman,  Ally,  Çiltaş, ,  Alty,  Clarebout,  Anderson, ,  Clark,  Andoljšek,  Clark-Wilson,  Anglin,  Clements, ,  Antolin, ,  Collins,  Antolin Drešar,  Condie,  Arcavi,  Cope,  Arzarello,  Cotič, ,  Atanasova-Pachemska, ,  Cuban,  Aunio,  Čuček,  Ausubel, ,  Davis,  Ayub,  De Corte, –, , , , ,  Bailey,  De Jong,  Bakar,  Deaney,  Battista, ,  DeCorte,  Bay-Williams,  Dehaene,  Beacham,  Dick,  Bieda,  diSessa,  Bishop,  Dochy,  Blažič,  Dougiamas, ,  Bloom,  Downes,  Blume,  Duffy,  Blurton,  Duke,  Bocconi,  Dumont,  Borko,  Duval,  Borwein,  Ecalle,  Brečko, , , ,  Eisner,  Bregar,  Elen,  Brown,  Elloumi, ,  Bruner, , ,  Eržen, ,  Bryant,  Eurydice,   Imensko kazalo Feiman-Nemser,  Karp,  Felda,  Karpinski,  Flogie,  Kennedy, , ,  Franchi,  Keşan,  Frobisher, ,  Kimani,  Fuchs,  Kirkpatrick,  Gabrielli,  Kirschner,  Gagne, ,  Kmetič, , , , ,  Gaukroger,  Kobal,  Gellert,  Koceva Lazarova,  Gerlič, , , , , , , ,  Kokol-Voljč, , ,  Gijbels,  Kolb,  Gold,  Komljanc,  González-Sanmamed,  Koo,  Goulding,  Kosslyn,  Grabner,  Košir,  Greer,  Kozhevnikov,  Griffin,  Kozina,  Güler, ,  Krainer,  Gunova,  Kramar, ,  Harper,  Kreuh,  Heddens, ,  Krnel, , ,  Hegarty,  Kubale, , , ,  Heid,  Kutzler,  Heinze,  Kyriacou,  Hennessy,  Labinowicz,  Herbel-Eisenmann,  Lee,  Hershkowitz,  Leitner,  Hiebert, ,  Lipovec, , ,  Hodnik Čadež, –, –, ,  Liu,  Hoffmann,  Llinares,  Hollebrands,  Luan,  Istance,  MacCann,  Ivanuš-Grmek,  MacDonald,  Japelj,  Machell,  Japelj Pavešić, ,  Macher,  Järvelä,  Magajna,  Jaušovec, , ,  Maier,  Johnson,  Mallet,  Johnston,  Mangan,  Kampylis,  Marentič-Požarnik, –, , –, , Kaput,  , ,  Karmiloff-Smith,  Markovac,   Imensko kazalo Marsh,  Polya,  Marzan,  Požar,  Mayer, , , , ,  Presmeg,  McHugh,  Punie,  McMeniman,  Pustavrh, , ,  Medved-Udovič,  Race,  Mergel,  Radovan,  Mešinović,  Ranfl,  Miholič,  Raphael,  Mioduser,  Räsänen,  Mirabella,  Rebolj, , , , –, , , , , Modic, ,   Moreno, ,  Repolusk, , ,  Mori, , ,  Risemberg,  Moshman,  Roblyer,  Muir,  Robutti,  Muir-Herzig,  Rogers,  Munro,  Roschelle,  Nathan,  Rožman,  Nelson, ,  Rugelj,  Neubauer,  Rutar Ilc, ,  Niss,  Ruthven,  Noonan,  Sadler,  Oblinger,  Şahin,  Olivero,  Salminen,  Orton, , ,  Sangrà,  Pachemska,  Sawyer,  Paechter,  Schneider, , ,  Palmer,  Schunk,  Paola,  Segers,  Papert,  Selvi,  Pappas,  Sentočnik, ,  Passey,  Seo, ,  Pattie,  Shulman,  Peck,  Siemens, ,  Peklaj,  Simons, ,  Pesek,  Skemp,  Philips,  Skinner,  Piciga,  Skryabin,  Pintrich,  Slavin, ,  Plut-Pregelj, ,  Star,  Podhostnik, ,  Stern, , ,  Poljak,  Stigler, ,   Imensko kazalo Strmčnik,  Zobec,  Suban Ambrož,  Žakelj, –, –, , , , , , , Surtees,  , , , , , , , , , , Svetlik,  , , , , , , , , Sweller,  – Šilih,  Šteh,  Šverc,  Taatgen,  Taber,  Tarmizi,  Tipps,  Tratar, , , , , , –, , , – Trucano, ,  Tur-Kaspa,  Valentine, ,  Valenčič Zuljan,  Van Braak, ,  Van de Walle,  Van den Bossche,  Van Der Linden,  Van Dooren,  Vehovar, , ,  Verschaffel, ,  Vidmar,  Vosniadou,  Wahlstrom,  Wain,  Walling,  Watkins,  Whiteley,  Wickelgren,  William,  Wilson,  Woesman,  Woo,  Woolfolk, –,  Zagmajster,  Zbiek,  Zentall,  Zhang,  Zimmerman,   Stvarno kazalo abstrakten koncept, , ,  digitalni medij,  abstrakten odnos,  dinamičen pouk,  abstrakten pojem, , , ,  dinamična shematizacija,  abstraktna raven, –, ,  dinamičnost, ,  akomodacija,  diskusija, , ,  aktivna metoda,  dosežek, , , , –, , , , aktivna oblika,  –,  aktivno raziskovanje,  e-gradivo, , , , , , , –, algoritem, , , ,  , , –, , , ,  algoritmično mišljenje,  e-izobraževanje, , ,  animacija, , , , , , , , , e-kompetence, ,  , ,  e-okolje, , ,  animacije,  e-učenje, ,  aplet,  e-učni medij,  aplikativno znanje, ,  e-učno gradivo, ,  asimilacija,  e-vsebine,  avtentična situacija,  eksperimentiranje, , , ,  behaviorizem, –, , , ,  elektronski učbeniki,  cilji elementarne konstrukcije, , ,  individualni, ,  etapa, , ,  procesni, ,  evalvacija, , , ,  vsebinski, ,  faza človeški viri,  enaktivna, , , , , , ,  definicija, , , , , , –,  didaktika, , , ,  formalno operativna,  didaktična igra, , , , , , , ikonična, , , , , ,   konkretno operativna,  didaktična sredstva predoperativna,  avdiovizualna,  senzomotorična,  avditivna,  simbolična, , , , , ,  multimedijska,  fleksibilnost,  virtualna,  formalno dokazovanje,  vizualna,  formativno spremljanje,  didaktični material, –,  geometrija didaktično sredstvo, , –, , , analitična, ,   evklidska, , , ,  diferenciacija, , ,  topološka,  digitalna tehnologija, , ,  transformacijska, ,   Stvarno kazalo geometrijska konstrukcija, , , , , kognitivne sposobnosti,  ,  kognitivni konflikt, , , , , ,  geometrijski objekt, ,  kognitivni razvoj, , , , , , ,  geometrijski problem, , , , kognitivno sredstvo,  –, ,  kompetence . stoletja, ,  konstrukcijski, –, ,  kompetenčni razredi linearni,  razred povezovanja,  problem prostorskih teles,  razred reflektiranja,  ravninski,  razred reproduciranja,  grafična reprezentacija, , , , , , kompleksna struktura,  –, , ,  koncentracija, , , ,  i-učbenik, , , , , , –, konceptualni model,  – konektivizem, , ,  individualizacija, , , , , , , , konstruiranje, , , , , ,  ,  konstrukcija znanja, , , ,  informacijsko-komunikacijska konstrukcijska metoda tehnologija (IKT), , –, , , metoda geometrijskih mest točk,  –, , , , –, –, metoda konstruiranja s pomožnim –, , ,  likom,  informatizacija, –,  konstrukcijska naloga, ,  integracija, ,  konstruktivizem, , , , , , ,  interakcija, , , , , , , , , konstruktivno učenje,  ,  kreativnost,  interaktivna naloga, , , , , , kritično mišljenje, , , , , ,  ,  kritično prijateljevanje,  interaktivna tabla, , , ,  m-izobraževanje,  interaktivni element, ,  matematična ideja, , , ,  interaktivnost, , ,  matematične sposobnosti, , ,  internet, , , , , ,  matematične vsebine, , , , , , interpretacija, , , , , , , , ,  ,  matematični jezik, , , , , , intuitivna predstava,   izkustveno učenje, , ,  matematični koncept, , , , , , izobraževalni portal,  ,  klasifikacija znanj,  matematični kontekst, , ,  ključne kompetence,  matematični pojem, , , , –, kognicija, , , ,  –, , , , , , , ,  kognitivna aktivnost, ,  matematični problem, , , , , , kognitivna psihologija,  , , , , ,  kognitivna raven, , ,  matematični simbol, , , , , ,  kognitivna revolucija,  matematični učbenik,  kognitivna struktura, , , , ,  matematično dejstvo,  kognitivna znanost,  matematično razmišljanje, , , ,   Stvarno kazalo medij, , , , ,  osnovni geometrijski pojmi, , , , mentalna slika,  , , ,  mentalni model,  pasivna raba IKT, ,  metakognitivne kompetence, ,  percepcija, , ,  metakognitivne strategije,  personalizacija, , , ,  metakognitivno mišljenje,  pismenost mišljenje, –, –, , , , , , bralna,  , , ,  digitalna,  mobilna tehnologija,  IKT-,  mobilnost,  informacijska, ,  model problemskega pouka matematična, ,  geometrije z IKT,  naravoslovna,  motivacija, , , , , , , –, pojmovna predstava, , , ,  –, , , ,  pomanjkljivost, , , , , ,  intristična,  pomnjenje, , , , , , , , , notranja, , , , ,  , , , ,  zunanja, , , , ,  ponazorilo, ,  multimedija,  postopek multimedijski gradnik, , , , , računski, ,  , , , ,  pouk, , , , , , , , , –, multisenzorni gradnik,  , , , , , –, , , , načela , , –, –, –, , , načelo dinamike,  , –, , , ,  načelo konstrukcije,  geometrije, , , , , , ,  načelo matematične interaktivni,  spremenljivosti,  kognitivno-konstruktivistični,  načelo nazornosti,  problemski, , , ,  načelo postopnosti,  sodoben,  načelo pozitivne podkrepitve,  tradicionalni, , , ,  načelo variacije ponazarjanja,  transformacijski,  načelo zaznavne spremenljivosti, , transmisijski,   poučevanje, , –, –, , , –, nevizualni matematični koncept,  –, –, , –, –, , nevralgična točka,  , , , –, , –, –, nevroznanost,  –, , , , , ,  oblika poučevanja, , , ,  povratna informacija, , , , , , ocenjevanje, , , , , , , ,  , , , , –, , , , odkrivanje, , , , , , , , ,  –, , , , ,  opisni kriterij,  predznanje, , , , , , , , , organizacija pouka,  , , , , , , ,  organizacija učenja,  preverjanje predznanja,  orientacija v prostoru, ,  pristop orodje, , , , , , , , , ,  atomistični,   Stvarno kazalo behavioristični, ,  abstraktna, ,  didaktični,  enaktivna, ,  holistični,  IKT,  intuitivno-holistični,  kognitivna,  kognitivni, ,  konkretna, , ,  konstruktivistični, , , , ,  mentalna, ,  poglobljeni,  notranja, ,  površinski,  simbolna, , ,  problemski, ,  zunanja, ,  procesno-didaktični,  reprezentacijska preslikava,  transmisijski,  reprezentacijski model,  v tehnologijo usmerjen,  rutinski problem,  v učenca/učenje usmerjen,  samopreverjanje znanja,  problem iz življenjske situacije, , , samoregulacija učenja, ,  , ,  samoregulirano problemska situacija, , , , , , učenje,   samostojno odkrivanje, , , , ,  dinamična,  senzorična oblika,  kompleksna,  simbol, , , , , , , , , , procedura, , , , , , , , , ,  , ,  simulacija, , , , , , , , , procesiranje informacij, , , , ,  ,  profesionalna skupnost,  skica, , , , –, , , program dinamične geometrije, , , –, , , ,  ,  slika, , , , , , , , , , , projektno učno delo,  , , , –, , , , , , prostorska geometrija, ,  , , , , , –, , prostorska predstava, , , , , , ,  ,  slikovna reprezentacija, , , , , raziskava, , , , , , , , , , ,  , , , , , , , , ,  slovensko izobraževalno omrežje (SIO), raziskovalno učenje, , , , , ,   socialno omrežje, , ,  raziskovanje, , , , , , , , , sodoben pouk,  , , , , , , , , , , spletna igra,  , , , , , , , –, , spletna učilnica, , , , , , , , , , , , , ,  , ,  razumevanje, –, –, –, , , spomin,  , , , , –, –, , , delovni, , , , ,  , , , , , , –, , , dolgoročni, , ,  , , –, ,  kratkoročni, ,  relacije med reprezentacijami, , ,  spoznavna zmožnost,  reprezentacija spoznavni proces, , , , , , ,   Stvarno kazalo stališče, , , , , , , , ,  učna metoda, –, , , ,  standard, ,  učna pot, , –, , , , –, standard znanja, –, , ,  , , ,  strategija učna potreba,  poučevalna,  učna situacija, , , , , ,  reševanja problemov, , ,  učna tehnologija,  učna, , ,  učna vsebina, , , , , , –, , strukturirano vodenje,  ,  številska predstava, ,  učni načrt, , , , , , , , , štirikotnik, , , , , , , , , , ,  , , , –, , , , učni pripomoček, , , , , ,   učni proces, , , , –, , , , taksonomska raven, ,  , , , , , , –, , , tehnologija, , , , , , –, , , , ,  , , , –, –, –, klasični,  ,  spletni,  tehnološka inovacija,  učni stil, , ,  tehnološka revolucija,  učni vir, ,  teoretski model, ,  učno gradivo, , , , , , –, teorija učenja, , , , , ,  , , –, , , , ,  test, , , ,  učno načelo,  tipi matematičnih znanj,  učno okolje, , , , –, , , , trajnost znanja, , , ,  ,  transfer znanja, , , ,  avtonomno,  transformacija, , ,  inovativno, ,  trivializacija,  spletno, –, , , , , , učenci s posebnimi potrebami, ,  ,  učenje tradicionalno,  aktivno, , , , , ,  virtualno, ,  kolaborativno,  usposabljanje, , , , ,  kombinirano,  ustvarjalno mišljenje, , , , ,  mobilno,  večkotnik, , ,  na napakah,  večsenzorno sprejemanje,  omrežno,  verbaliziranje, ,  problemsko, , ,  virtualna učilnica,  produktivno,  virtualni objekti,  programirano, ,  vizualizacija, , , , , , , , sistematično, ,  –, , , , , , ,  sodelovalno, , ,  vizualna reprezentacija, ,  z okdrivanjem,  shematska,  z razumevanjem, , ,  slikovna, , ,  učila,  vodeno odkrivanje, , , ,  učna enota,  vrednotenje, , , ,   Stvarno kazalo vseživljenjsko učenje, , ,  znanje abstraktno, , ,  deklarativno,  dinamično,  faktografsko,  kompleksno, , ,  kompleksno proceduralno, , ,  konceptualno, , , , , , ,  matematično, , , , , , , , , , , , , ,  metakognitivno,  metodično,  osnovno, , ,  problemsko, , , , –, , , ,  proceduralno, , , , , , , , , , , , ,  procesno, , , , , ,  rutinsko proceduralno, , , , ,  vsebinsko, , ,  vseživljenjsko,  življenjska situacija, , , , , , , , ,   Document Outline Učenje in poučevanje geometrije Kazalo Seznam slik Seznam preglednic Uvod Didaktika matematike v osnovni šoli Teorije ucenja in pojem]poucevanjepoucevanja Reprezentacije Metode pojem]poucevanjepoucevanja matematike pojem]didakticno sredstvoDidakticna sredstva pri poukupojem]pouk matematike Informacijsko-komunikacijska tehnologija Sodobna izobraževalna in pojem]informacijsko-komunikacijska tehnologija (IKT)informacijsko-komunikacijska tehnologija pri pojem]poucevanjepoucevanju Prednosti in pojem]pomanjkljivostpomanjkljivosti vkljucevanja pojem]informacijsko-komunikacijska tehnologija (IKT)informacijsko-komunikacijske tehnologije pri pojem]poucevanjepoucevanju in ucenju Vkljucevanje izobraževalne tehnologije v pojem]poukpouku matematike Pouk geometrije v osnovni šoli Geometrija Cilji in vsebine pojem]pouk!geometrijepouka geometrije v 3. triletju osnovne šole pojem]didakticno sredstvoDidakticna sredstva in pojem]vizualizacijavizualizacija pojem]osnovni geometrijski pojmiosnovnih geometrijskih pojmov Geometrijski problemipojem]geometrijski problem v osnovni šoli Model problemskega pouka geometrije z IKT Prakticna izpeljava modela problemskega pojem]pouk!problemskipouka geometrije z uporabo IKT za vsebino o obsegih in plošcinah trikotnikov in pojem]szztirikotnik@štirikotnikštirikotnikov v 7. razredu osnovne šole Sklepne ugotovitve Literatura Imensko kazalo Stvarno kazalo Literatura Imensko kazalo Stvarno kazalo