Razredni pouk 1/2013 5 Uvod Vzorci se redno pojavljajo v matematiki, ki jo vča- sih imenujemo tudi »znanost vzorcev in reda« (Resnik, 1981). Vzorce najdemo v konkretnih fizič- nih ali geometrijskih situacijah, pa tudi v aritme- tiki. V okolju lahko isti vzorec najdemo v različnih pojavnih oblikah (slika 1). Izmenjavanje dneva in noči je matematično gledano enako kot izmenja- vanje rdeče in bele barve na železniški zapornici. Slika 1: Vzorci v okolju. Razvoj razumevanja algebrskih struktur posto- poma vpeljujemo z oblikovanjem in prepozna- vanjem pravil v vzorcih (geometrijski vzorci) in z oblikovanjem številskih zaporedij (prepoznavanje in oblikovanje pravil v številskih zaporedjih, ki jih obravnavamo pri sklopu naravna števila) (Van de Walle, 2004). Ponavljajoče se vzorce otroci začne- jo raziskovati že v vrtcu (Nudl, Brezočnik, Lipovec in Antolin, 2012). Preprost primer naraščajočega vzorca, ki je uporaben za mlajše šolarje, so »šoto- ri« iz vžigalic: Ʌ ɅɅ ɅɅɅɅ. Otrokom bo pomagal pri odkrivanju relacije »podvojitve«, druge mož- nosti za »pomnoži z dve«. Ponavljajoči se vzorci Uporabljali bomo naslednje izraze, ki so pona- zorjeni tudi na sliki 2. Gradnik vzorca je tisti del vzorca, ki se ponavlja. Sestavljen je iz najmanj dveh elementov. Primer: krog-kvadrat-trikotnik (gradnik), krog-kvadrat-trikotnik (gradnik), krog (element), kvadrat (element), trikotnik (element). Za lažje in hitrejše branje vzorcev lahko elemente nadomestimo s črkami. Tako bi zgoraj navedeni primer zapisali takole: ABC, ABC, ABC ... Za- pis ABC bomo imenovali shema vzorca. Izrazov gradnik, element in shema vzorca ne uporabljamo pred otroki in jih od otrok ne zahtevamo. Namesto gradnik bomo rekli nekaj, kar se ponavlja, ali del, ki se ponavlja, namesto element pa bomo poime- novali konkretni predmet, zvok, gib, sliko, simbol .... Shemo poimenujemo npr. zapis s črkami. Kurikularni kotiček Vzorci Povzetek: Predstavljena je vertikala razvoja pojma vzorec od vrtca do zadnjega triletja osnovne šole. Učna trajektorija vrst vzorcev, ki jih vpletamo v učne situacije, se razteza od ponavljajočih se vzorcev v prvem triletju, rastočih vzorcev, ki se pričnejo pojavljati v drugem triletju, do zaporedij in funkcij. Navedena je pričakovana terminologija in različni primeri aktivnosti. V šolskih situacijah vzorce pre- poznavamo, nadaljujemo in na njih izpeljujemo posplošitve na verbalnem ali simbolnem nivoju. Vzorci se pojavljajo v matematiki, pa tudi v vsakdanjem življenju. Ključne besede: vzorci, gradnik, shema, algebra, zaporedje, funkcija. Abstract: The article is about the development of the notion of a pattern starting in the kindergarten and finishing at the end of the third cycle of the primary school. There is a great variety of patterns involved in different learning situations; repeated in the first cycle, growing in the second cycle and sequences and functions in the third cycle. The author deals with terminology and different activities. In school situation one can recognize patterns and make generalizations at verbal and symbolic level. The patterns occur in Mathematics and in everyday life as well. Key words: pat- terns, scheme, algebra, sequence, function Dr. Alenka Lipovec, Darja Antolin Pedagoška fakulteta Maribor 6 Razredni pouk 1/2013 Slika 2: Primer predlog ponavljajočih se vzorcev narisanih na karton; vsak gradnik se ponovi v celoti vsaj dvakrat, pri čemer se niz ne prelomi na sredi gradnika. Kot material uporabimo gumbe, ploščice za vzorčke, sponke … Kadar je le možno, naj aktivnosti z vzorci vklju- čujejo konkretni material, kajti s tem otrokom omogočamo varno okolje za nadaljevanje vzorca in eksperimentiranje. Slika 3 prikazuje nekate- re najbolj tipične materiale, ki jih uporabljamo za izdelovanje vzorcev. Prikazane so ploščice za vzorčke (ang. pattern blocks) in perlice, ki jih lahko nizamo na palice ali vrvice. Materiali imajo običajno tudi predloge, ki učiteljem pomagajo pri oblikovanju aktivnosti. Slika 3: Perlice in ploščice za vzorčke Za izdelovanje vzorcev lahko uporabimo tudi ma- terial, ki ga najdemo v vsaki igralnici ali učilnici in je običajno namenjen klasifikacijskim aktivnos- tim. Pozorni moramo biti na to, da imamo dovolj enakih elementov, da je otrokom omogočeno večkratno ponavljanje gradnika kot je prikazano na sliki 4. Slika 4: Vzorci, izdelani iz klasifikacijskega materiala. Nekatera gradiva za vrtec ali nižje razrede osnov- ne šole ponujajo slikovne ponazoritve vzorcev kot npr. niz pobarvanih krožcev. Naloga običajno zahteva, da otrok nadaljuje barvanje. Obstajata dve bistveni razliki med tako podano nalogo in aktivnostjo, ki vključuje konkretni material (npr. nizanje barvnih perlic). Prva in najpomembnej- ša razlika je v tem, da pri slikovni predstavitvi aktivnost v ozadju skriva idejo »prav« in »napak«. Če otrok barva »napačno«, je sprememba barve (radiranje) dokaj težavna in lahko pri otroku vzbudi občutke nesposobnosti. Konkretni material po drugi strani otroku omogoča metodo posku- sa in napake. Druga slabost slikovne predloge je omejenost s prostorom, kajti otroci vzorca ne morejo nadaljevati prek vnaprej predvidenega prostora. Večina otrok uživa v uporabi konkretnih materialov, kot so npr. barvice, gumbi ali ploščice. Večkrat jih tako lahko opazujemo, kako nizanje nadaljujejo zelo dolgo, pri čemer nastanejo vzorci, ki se raztezajo čez cele učilnice. Koncept ponavljajočih se vzorcev in način, kako vzorec nadaljujemo, lahko celotnemu razredu predstavimo na več različnih načinov. Vzorce lah- ko oblikujemo vnaprej (npr. razne simbole pritr- dimo v niz na tablo, na vrvico obesimo predmete, ki oblikujejo vzorec …). Glasbeni vzorci, kot je npr. do-mi-mi; do-mi-mi, so namenjeni temu, da se Razredni pouk 1/2013 7 celotni razred pridruži nadaljevanju. Gibalni vzorci kot npr. gor-dol v igri Dan in noč ali pa gibanje treh elementov pri gibanju rok v nizu gor-stran- -stran-dol, gor-stran-stran-dol so lahko dobro- došel uvod. Ko je osnovna ideja ponavljajočega se vzorca jasna, učenci začnejo delo v manjših skupinah, ki bo osnova bolj učinkovitemu učen- ju koncepta. V skupinah naj nadaljujejo vzorce, oblikovane iz preprostih materialov. Za vsako skupino materialov učitelj na papirnati trak (cca. 5 cm x 30 cm) nariše nekaj ponovitev gradni- ka. Otroci morajo uporabiti konkretni material, ponoviti že narisan niz in ga nadaljevati. Za vsako skupino materialov potrebujemo 10 do 15 predlog; za celoten razred zadošča 6 do 8 takih skupin oz. materialov. Na predloge lahko nastavimo konkre- ten material (slika 5), ali pa pripravimo slikovne predloge. Slika 5: Predloge za nadaljevanje vzorca Začetni cilj učenja ponavljajočih se vzorcev je pravzaprav prepoznati gradnik, ki se ponavlja. Gradnik, včasih imenovan tudi jedro, je najkrajši niz elementov, ki se ponavlja. Ponovno opozorimo na to, da je v nižjih razredih pomembno, da se gradnik ponovi v celoti in da se prikazani niz ne prelomi sredi gradnika. Če je gradnik npr. oo, lah- ko na traku prikažemo npr. oo-oo (ponovitev grad- nika), da se izognemo dvoumnemu podajanju na- loge, pa raje ne narišemo oo-oo- ali oo-. Ko otroci dosežejo stopnjo prepoznavanja gradnika, lahko sestavljajo tudi svoje vzorce. Verjetno se bo treba pogovoriti o tem, ali je sestavljena struktura sploh »vzorec«, kajti beseda ima v naravnem jeziku drug pomen. Če otrok na paličico naniza kvader, kocko in stožec ter trdi, da je zgradil vzorček, mu je treba pojasniti, da ni naredil ponavljajočega se vzorca (ker pač ni ničesar, kar se ponavlja). Otroci radi sami določajo pravila, medtem ko oblikujejo gradnik, še posebej takrat, ko se to igro igrajo s sošolcem, ki mora odkriti pravilo, po katerem je vzorec sestavljen. Pomemben korak v razvoju koncepta je, da otroci zaznajo, da sta dva vzorca, ki sta zgrajena iz raz- ličnega materiala, pravzaprav isti vzorec. Otroci naj bi zaznali neodvisnost strukture od upora- bljenega materiala. Za ta namen jim lahko damo trak, ki npr. prikazuje vzorec s sponkami, in drugi material (npr. gumbe). Slika 6 prikazuje podlago s sponkami v shemi AAB in predstavitev tega istega vzorca z zamaški in link kockami. Slika 6: Predloga s sponkami za vzorec AAB ter pred- stavitev vzorca z zamaški in link kockami Lahko pa izvedemo tudi klasifikacijsko aktivnost, kjer učenci iščejo trakove, ki prikazujejo vzorce z enako strukturo, a različnim materialom (slika 7). Kot preverjanje, ali so klasificirali pravilno, lahko uporabimo branje vzorca s črkami. Otroci naj bi torej ugotovili, da je vzorec »modra-rdeča-rdeča, modra-rdeča-rdeča« enak kot vzorec »sedi-stoj- -stoj, sedi-stoj-stoj«. S tem pridobimo osnovo za ugotovitev, da lahko imajo zelo različne situacije podobne matematične lastnosti. Otrokom lahko pri teh ugotovitvah pomagamo z vpeljevanjem shem oz. simbolnih zapisov vzorcev z npr. črkami (seveda bi lahko uporabili katerekoli druge dogo- vorjene simbole, npr. številke). Vzorce npr. lahko beremo AB AB AB …, ABB ABB …, ABC ABC ABC ABC …; tretji vzorec na sliki 2 je torej »enak« kot vzorca, navedena prej. 8 Razredni pouk 1/2013 Slika 7: Klasifikacija vzorcev Učitelj lahko za vpeljavo shem uporabi npr. prikaz šestih do sedmih vzorcev, ki jih najprej z uporabo črk preberejo (slika 8). Polovica razreda nato zapre oči, med tem ko druga polovica prebere vzorec, ki ga pokaže učitelj. Nato odpro oči in po- skušajo ugotoviti, kateri vzorec je bil prebran. Če imata dva vzorca med prikazanimi enako struk- turo, se med učenci lahko razvije zelo učinkovita razprava. Slika 8: Vzorci za prepoznavanje shem Kot končni korak na tej etapi, ki naj bi se skle- nila po prvem triletju, od otrok pričakujemo, da predvidijo, kateri element se bo pojavil npr. na 15. mestu. Od njih pričakujemo tudi utemeljitev svoje odločitve, npr. pri gumbih bi lahko bila utemelji- tev drugošolca »kvadraten bo, ker je vsak drug kvadraten in začne se s kvadratnim«, utemeljitev četrtošolca pa bi že vključevala »kvadraten bo, ker je 15 liho število«. Aktivnosti napovedovanja so verjetno prevelik izziv za prvi razred, zato jih uvajamo v drugem razredu. Vedno pa smo pozorni na to, da lahko svojo napoved preverijo s tem, da nizajo do zahtevanega mesta. Po več aktivnostih bodo otroci ugotovili, da dolžina gradnika igra pomembno vlogo, in povezali vsebino z večkratni- ki, ki so jim v 3. razredu pri napovedovanju lahko v veliko pomoč. Če na primer pri vzorcu, ki je predstavljen na sliki 9, vprašamo po 34. elementu, lahko razmišljajo takole: »dolžina ponavljanja je 4, štejem 1-2-3-4, 5-6-7-8, 9-10-11-12, štejem torej po 4; prvi je vedno za ena več, kot so večkratniki števila 4, drugi za 2 več, tretji za 3 več, četrti pa je natanko večkratnik števila 4; ker je 34 za 2 več, kot je večkratnik števila 4, bom prišel na drug element; 34. element bo torej rdeč krog.« Slika 9: Kaj bo na 34. mestu? Naraščajoči vzorci V četrtem razredu učenci pričnejo raziskovati tudi vzorce, ki iz koraka v korak naraščajo (večkrat gre za naraščajoča aritmetična zaporedja). Pravza- prav take vzorce že poznajo, saj že od 1. razreda ob spoznavanju števil štejejo »s korakom« in tako gradijo naraščajoče vzorce kot npr. 1, 3, 5, 7 ..., ki je prikazan z zelenimi krožci (slika 10). Slika 10: Naraščajoči vzorci Te vzorce naj bi učenci ne le nadaljevali, ampak težišče prenesemo na posplošitve oz. algebrajske relacije, ki bodo učencem povedale, kakšni bodo vzorci v nadaljevanju niza. Ti vzorci nakazujejo koncept funkcije in so lahko uporabljeni kot vstop- na točka za to izjemno pomembno matematično idejo. Še vedno vzorce gradimo iz konkretnih materialov in smo posebej pozorni na to, da se učenci Razredni pouk 1/2013 9 počutijo varne ob tem, ko gradijo vzorce in govorijo o tem, kako jih lahko logično nadaljuje- mo. Vključujemo tudi slikovne ponazoritve, kjer lahko uspešno uporabljamo slike na karo papir- ju. Učenci naj poskušajo določiti, kako se vsak naslednji korak v nizu razlikuje od predhodnega. Pri rumenih krožcih npr. vedno dodamo še eno vrstico, za razliko od spodnjega modrega vzorca, ki pomeni širjenje. Najprej bodo učenci zaznali rekurzivno pravilo tipa »je za tri več« (slika 11). Slika 11: Primer naraščajočega vzorca, kjer se število trikotnikov v vsakem koraku poveča za 3 V tej fazi lahko pričnemo vzorce tabelirati in usmerimo pozornost v število elementov, ki na- stopajo v vsakem izmed členov zaporedja. Znova se vprašamo, kako ugotoviti, koliko elementov je potrebnih za npr. petindvajseti člen zaporedja. Skupaj ugotovimo, da rekurzivno pravilo ne daje odgovora, zato iščemo »splošno pravilo«. Nara- ščajoči vzorci namreč vključujejo tudi numerič- no komponento oz. število elementov v vsakem koraku. Slika 12 prikazuje možnost tabeliranja. Ena izmed vrstic v tabeli je vedno oznaka število korakov, druga pa koliko objektov potrebujemo za izgradnjo v tem koraku. Slika 12: Tabela in dve različni relaciji v slikovnem naraščajočem vzorcu korak Število krožcev 1 2 34 56 ?2 0 2 6 12 20 30 ? ?? +4 +6 +8 +10 “Prejšnji korak in še nekaj” “Kvadrat in še en stolpec” Pogosto vzorci naraščajo tako hitro, da je smi- selno izgraditi oz. narisati le prvih pet do šest korakov. Naloga učencev je zato predvidevanje števila objektov, potrebnih v 20. koraku. Izziv je seveda v tem, da ugotovimo, ali je to možno, ne da izpolnimo prejšnjih 19 stolpcev tabele. Učenčeva predvidevanja morajo biti seveda podkrepljena z argumenti. Gre za naravno nadaljevanje aktivnosti predvidevanja iz ponavljajočih se vzorcev. Iskan- je dvajsetega ali celo stotega vnosa predstavlja vstopno točko v iskanje relacij, ki jih bodo učenci kasneje razumeli kot primere funkcij. Ko učenci naredijo tabelo, sta pred njimi dve reprezentaciji vzorca: tista, ki so jo ustvarili z risanjem ali z materiali in numerična verzija s tabelo. Pri iskanju relacij se bodo nekateri učenci osredotočili na tabelo, nekateri pa na vizualni vzorec. Pomembno je, da se učenci zavedo, da relacija, ki jo bodo našli, mora obstajati v obeh reprezentacijah. Če torej najdejo relacijo v tabeli, jih spodbudimo, da pogledajo, kakšno vlogo igra v slikovni verziji. Večina učencev bo najprej našla relacijo med sosednjima korakoma. To relacijo lahko zapišemo pod tabelo, tako kot vidimo na sliki 12. V tem pri- meru lahko število v naslednjem koraku določimo tako, da dodamo sodo število številu objektov v prejšnjem koraku. Opis relacije, ki govori o odnosu med dvema sosednjima korakoma, bomo imenovali rekurzivni opis. Vsakič, ko imamo zapis s tabelo, je zelo pomembno, da relacijo najdemo tudi v vizualni obliki. Na sliki 12 lahko opazimo, kako sta dve možni interpretaciji relacije »prištej sodo število« prikazani s pomočjo uokvirjanja. Rekurzivni opis relacije iz koraka v korak bo skoraj zagotovo prva stvar, ki jo bodo učenci opazili. Pri iskanju objektov, potrebnih v stotem koraku, učencem ta opis pomaga le, če izpolnijo vseh devetindevetdeset prejšnjih korakov. Kmalu postane jasno, da bi bila povezava med zaporedno številko koraka in številom objektov v njem bolj uporabna. Tak opis relacije bomo imenovali funk- cijski opis. Kot pomoč pri iskanju tega prepisa ne moremo navesti nobene učinkovite metode. Neka- teri učenci bodo morda doživeli iluminacijsko fazo s tem, da se bodo preprosto poigravali s števili in se spraševali »Kaj naj storim s številom 5, da do- bim število 30? Ali uporaba tega pravila na številu 4 da število 20?« Večini učencev pomaga opazo- vanje pravilnosti v konkretnem prikazu vzorca. 10 Razredni pouk 1/2013 Slika 13 prikazuje uokvirjen kvadrat, pri čemer ima vsak naslednji kvadrat stranico za ena daljšo od predhodnega. Lahko se vprašamo po funkcij- skem opisu odnosa, ki določa tole podmnožico vzorca. V danem primeru je dolžina kvadrata enaka kot število, ki določa korak. Prav tako je število objektov v stolpcu desno enako številu, ki določa korak. Na tej točki je lahko zapisovanje številskih izrazov, ki opisujejo posamične korake, učinkovita aktivnost. Prve štiri korake (slika 12) lahko npr. opišemo kot 1²+1, 2²+2, 3²+3 in 4²+4. Kar precej eksperimentiranja je potrebnega, da učenci v skupinah najdejo opise, ki so povezani s številom, ki določa korak. Učitelj ne sme postati vznemirjen in izgubiti vere v sposobnosti svojih učencev. Iskanje relacij je treba spodbujati, četudi traja dlje kot predvideno eno šolsko uro, kajti gre za temeljno idejo. Ko učenci odkrijejo številski izraz, ki funkcijsko opisuje relacijo, jim učitelj lahko pomaga pri prehodu na klasičen funkcijski zapis z uporabo posebnega simbola (npr. oglatih oklepajev) pri zapisu števila, ki opisuje korak (slika 13). Slika 13: Iskanje funkcijskega opisa v vzorcu Ob opazovanju takega zapisa vidimo, da se število v oglatih oklepajih spreminja, vse drugo pa ostaja enako. Zato lahko število v oglatem oklepaju na- domestimo s črko oz. oznako za spremenljivko ter tako pridobimo splošno formulo. Sklep Prepoznavanje in nadaljevanje vzorca je pomem- ben proces predalgebrskega razmišljanja in kot tak pomeni osnovo novih pristopov k algebri, ki se pojavlja v učnih načrtih za matematiko v večini držav (Orton, 2001). Isti vzorec (npr. ABAB) se lahko pojavi v mnogih različnih oblikah. Učenci naj bi ugotovili, da npr. barvni vzorec »rdeče-modro- -modro-rdeče-modro-modro« predstavlja vzorec z enakim »pravilom« kot glasovni vzorec »i-ha- -ha-i-ha-ha«. S tem postavljajo temelje ugotovi- tvi, da imajo lahko zelo različne situacije enake matematične lastnosti. Ugotovitev, da lahko prej omenjena vzorca opišemo v obliki »AABAAB«, je za učence prvi uvod v algebro. S samostojnim oblikovanjem različnih vzorcev učenci razvija- jo kreativnost in ustvarjalnost; z opazovanjem, ugotavljanjem pravilnosti, zakonitosti, pa se učijo posploševanja, zapisovanja algebrskih izrazov. Viri in literatura: 1. Golob, A. (2007). Celostni pristop pri matematiki – vzorci skozi glasbo. Diplomsko delo. Maribor. Univerza v Mariboru, Pedago- ška fakulteta. 2. Nudl, A., Brezočnik, D., Lipovec, A. in Antolin, D. (2012). Struk- tura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih. Matematika v šoli, 18 (1/2), 5–14. 3. Orton, J. (2001). Algebra, vzorci in motivacija. Matematika v šoli, 9 (1–2), 14–26. 4. Resnik, M. D. (1981). Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference In Philosophy of Mathematics, Nous, 15 (4), 529–550. 5. Van de Walle, J. (2004). Elementary and middle school mathe- matics. Teaching Developmentally. NY: Pearson.