OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO 
Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije 
Ljubljana, JANUAR 2014, letnik 61, številka 1, strani 1–40 

Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, 
cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇ
c (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´
c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ
cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ
cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge 
cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
clane in študente pa 12 EUR. NaroˇPosamezna številka za ˇ
clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je vˇclanjeno v Evropsko matematiˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇcisto in 
uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇcnosti z Ameriškim matematiˇc­nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno 
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ
cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje domaˇcnih publikacij. 
cih znanstvenih periodiˇ©c2014 DMFA Slovenije – 1931 Poštnina plaˇcana pri pošti 1102 Ljubljana 
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 
Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ
clanke iz mate­matike, .zike in astronomije, vˇcasih tudi kak prevod. Poleg ˇclankov objavlja prikaze novih knjig s teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti 
cij, poroˇ
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) 
cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇin citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇcene, morajo imeti dovolj izˇcrpen opis, da jih lahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ
cinoma razumemo tudi loˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ
cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ
crk 
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇ
clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇcno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ
cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ
cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇcic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo ˇ
clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. 
ZNAˇCKE TRIKOTNIKA KOT FUNKCIJE 
CILNE TOˇ
BOJAN HVALA 
Fakulteta za naravoslovje in matematiko 
Univerza v Mariboru 

Math.Subj.Class.(2010): 51M05; 51A20 
Kimberlingovaenciklopedijaznaˇcilnih toˇck trikotnika vsebujeˇzeveˇckot5600 toˇck.V ˇclankude.niramopojemznaˇcilnetoˇcketrikotnika,kotjetostorilKimberling,inspoznamo nekaj z njimi povezanih zanimivosti. 
TRIANGLE CENTERS AS FUNCTIONS 
Clark Kimberling’s Encyclopedia of triangle centers contains well over 5600 centers. In the article we explain Kimberling’s de.nition of a triangle center and present some related curiosities. 
Uvod 
Kimberlingovo Enciklopedijo znaˇcilnih toˇck trikotnika [4] uvaja naslednji zapis: 
Preddavnimiˇcasije nekdo narisal trikotnikinˇcezenj potegnil tridaljice. Vsaka od njih seje zaˇcela v ogliˇsˇcu trikotnikain sekonˇcala na sredi nasprotne stranice. Daljice so se sekale v skupni toˇcki. Bilje navduˇseninjeponovilposkus,tokrat natrikotnikudrugaˇcne oblike. Daljice so se spet sekale. Narisal je ˇse tretji trikotnik, tokrat zelo natanˇcno, z enakim rezultatom. Povedalje svojimprijateljem. Na njihovopreseneˇcenjein navduˇsenje jedoistegapojavapriˇslotudipri njih. Vest o tem seje razˇsirilainˇcarobnosttrehdaljic sopripisalidelovanju viˇsjih sil. Stoletjasominila,innekdoje dokazal, da se teˇziˇsˇcnice v trikotnikuressekajovtoˇcki, kijosedaj imenujemo teˇsˇZe v starem veku so naˇsli ˇse 
ziˇce.ˇdrugetoˇcke, kijihdanesimenujemo srediˇsˇce vˇcrtane kroˇznice, srediˇsˇce oˇcrtane kroˇznice in viˇsinska toˇcka. Spet so minila stoletja, odkrili smo nove in nove tovrstne toˇcke, in pojavila sejede.nicija znaˇcilne toˇcke trikotnika. Tako kot pri de.niciji zvezne funkcije tuditej de.niciji zadoˇsˇca neskonˇcno mnogo objektov, odkaterihjihbolekonˇcno mnogo kadarkoli naˇslo svoje mesto v literaturi. 
Tekst nasje od zaˇcetkov civilizacije vhitremlokupripeljaldokonca20. stoletjaindoglavnetemenaˇsegaˇclanka –de.nicijeznaˇcilne toˇcke trikotnika. Ker smo po tem loku zdrveli nekoliko prehitro, zapis osvetlimo s ˇse nekaj dodatnimi informacijami. 
Najstarejˇse starogrˇske znaˇcilne toˇcke trikotnikaimajo nekaterepreproste geometrijske znaˇcilnosti. Srediˇsˇceoˇcrtanekroˇznice O je enako oddaljeno od vseh treh ogliˇsˇc trikotnika, srediˇsˇce vˇcrtanekroˇznice I paje enako oddaljeno od vseh treh stranic. Ce teˇˇziˇsˇce G poveˇzemo z ogliˇsˇci trikotnika, trikotnik razreˇzemo na triploˇsˇcinsko enakedele. Najverjetnejeje najstarejˇsa znaˇcilna toˇckatrikotnika,kije stariGrkiˇse nisopoznali,takoimenovana Fermatova toˇcka Fe (Pierre de Fermat, 1601–1665). Tudi ta ima lepo geometrijsko zna­ˇcilnost: njene zveznice z ogliˇsˇci trikotnika razreˇzejo polni kot pri toˇcki Fe na tri skladne kote po 120. . 
Skoraj 2000letpoEvklidujebilatorej na seznamˇstirih znaˇcilnihtoˇck trikotnika dodana peta toˇcka. 18. stoletje sicer ni prineslo novih toˇck, je pa Euler ugotovil marsikako zanimivost, povezano z ˇze obstojeˇcimi – med drugimto,datri od njihleˇzijo napremici,kijodanesimenujemo Euler­jeva premica. Nove znaˇcilne toˇcke trikotnika so se zaˇcele pojavljati spet v zaˇcetku 19. stoletja. Tako smo v naslednjih desetletjih dobili znaˇcilne toˇcke trikotnika, ki so svoja imena dobile po matematikih, kot so Joseph Diaz Gergonne (1771–1859), Jakob Steiner (1796–1863), Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), Emile Lemoine (1840–1912), Frank Morley (1860–1937) itd.,pa tudipo nematematikih,kotje to vprimeru prve in druge Napole­onove toˇcke. Seznam sejez zmernimtempomveˇcalnekakodoleta1980, kojepojavprogramov zadinamiˇcnogeometrijo rojevanje novih znaˇcilnih toˇck izrazito pospeˇsil. V razmerah desetin in stotin novih znaˇcilnih toˇck trikotnikasejepojavilapotrebapopreciznejˇsemkonceptuin sistematiˇcnej­ˇsem pristopu. Zanj se moramo zahvaliti ameriˇskemu matematiku Clarku Kimberlingu. 
Tajepojem znaˇcilne toˇcke trikotnika (v angleˇsˇcini triangle center)de.­niral vˇclanku[9]izleta1993in natoidejo razvijal vˇclanku[7]. Leta1998je izdalknjigo[8],kjerjepreglednopredstavil seznam400 znaˇcilnih toˇck triko­tnikainjih zaporedoma oznaˇcil z X(n). Kasnejeje seznampreselil na splet in nastalajeKimberlingova Enciklopedija znaˇcilnih toˇck trikotnika (ETC) [4],kijoavtorurejaˇsedanes. ˇck seveˇzezdavnajjepreseglo 
Stevilotoˇca(ˇ5600),prav takopa tudikoliˇcina z njimipovezanihpodatkov. Spletna stran meddrugimponujatudi uˇcinkovitsistem, skaterimpreverimo,alijemorda toˇcka, na katero smo naleteli sami, ˇze uvrˇsˇcena na seznam. Ob enciklope­dijijeClarkKimberling tudi avtorˇstevilnihdrugihtehtnihpublikacij otej tematiki. 
Vtem sestavkubomo spoznaliglavnoidejoKimberlingovede.nicije zna­ˇcilne toˇcke trikotnika kot funkcije ter nekaj iz nje izhajajoˇcih dejstev. Ob koncu bomo predstavljena spoznanja komentirali, razmiˇsljanja pa zaˇcinili z nekaterimi iskrivimi premisleki ameriˇskega matematika Douglasa Hofstad­terjaiz uvoda vKimberlingovoknjigo[8]. 
cilne toˇ
Nekaj tehniˇcne predpriprave 

Naj bo vseskozi ABC pozitivno orientiran trikotnik. Dolˇzine njegovih stra­nicbomokot obiˇcajno oznaˇcevali z a,b,c, velikosti notranjihkotov z A,B,C, ploˇsˇcino pa s S. V nadaljevanju bomo potrebovali trilinearne in baricen­triˇcne koordinate v ravnini glede na referenˇcni trikotnik ABC. Prve so bile v Obzorniku ˇze predstavljene, in sicer v ˇclanku [10], druge pa so prvim precej podobne in zanje veljajo tudi podobni rezultati. Zato ponovimo le najnujnejˇse. 
Pri danem trikotniku ABC poljubni toˇcki P v ravninipriredimotrojico ˇstevil .d,ßd,.d, ki so predznaˇcene razdalje toˇcke P do nosilk stranic a,b in c. Natanˇcneje: ˇstevilo .d je enako razdalji toˇcke P do nosilke stranice a s predznakom +, ˇce toˇcka leˇzi na istem bregu te nosilke kot ogliˇsˇce A, ter s predznakom - sicer. Drugi dve ˇstevili sta de.nirani analogno. Tro­jici (.d,ßd,.d) reˇcemo dejanske trilinearne koordinate toˇcke P. Toˇcka P natankodoloˇcasvojedejansketrilinearnekoordinateinobratno: trojicade­janskihtrilinearnih koordinat natanko doloˇca toˇcko P. Pravzapravjetoˇcka P doloˇcena ˇze z dvema dejanskima koordinatama: ˇce poznamo npr. .d in ßd, toˇcko P dobimo kot preseˇciˇsˇce dveh vzporednic stranicama a in b na ustrezni razdaljiin na ustreznembregu. Zatojejasno,dadvedejanski trilinearni koordinati doloˇcata tretjo. Za toˇcko P znotraj trikotnika ABC je ploˇsˇcina trikotnika ABC enaka vsoti ploˇsˇcin trikotnikov ABP,BCP in APC, od koder sledi: 
a.d + bßd + c.d =2S. (1) 
Niteˇzko videti,data zveza veljatudi zatoˇcke zunaj trikotnika. Zdajje jasno,kakodvedejanskikoordinatidoloˇcata tretjo. Ta ugotovitev nam omo­goˇca, da lahko namesto z dejanskimi trilinearnimi koordinatami delamo z njihovimi veˇckratniki. Trojico(.,ß,.)imenujemohomogene trilinearne ko­ordinate (alikartrilinearnekoordinate)toˇcke P,ˇce obstaja neniˇcelno realno ˇstevilo k,da velja(.,ß,.)= k(.d,ßd,.d). Zaraditede.nicijehomogene tri­linearne koordinate oznaˇcujemo takole: . : ß : .. Iz homogenih trilinearnih koordinat zlahka dobimo dejanske koordinate: te so homogene koordinate, deljene z nekim faktorjem k,kigaizraˇcunamoiz zveze(1). 
ˇ
Ce toˇcki P namesto trojice(.d,ßd,.d) predznaˇcenih razdalj do nosilk stranicpriredimo trojicopredznaˇcenihploˇsˇcin trikotnikov((BCP),(CAP), (ABP)), dobimodejanske baricentriˇcne koordinate toˇcke P,kijih obiˇcajno oznaˇcujemo (xd,yd,zd). Zveza z dejanskimi trilinearnimi koordinatami je 
1
preprosta: xd = 2a.d, podobno za preostali koordinati. Enakost (1) to­krat nadomesti ˇse preprostejˇsa zveza xd + yd + zd = S. Analogno potem de.niramo tudi (homogene) baricentriˇcne koordinate x : y : z. Omenimo 

Slika 1. Trilinearne in baricentriˇcne koordinate. 
ˇse, da iz zveze (1) sledi, da za trilinearne koordinate toˇck v ravnini velja a.+ bß + c. 0, analogno za baricentriˇ+ z 0.
= cne koordinate x + y= 
Dilema, ali uporabljati trilinearne ali baricentriˇcne koordinate, je ena od vsakokratnih odloˇcitev pri delu na tem podroˇcju matematike. Vˇcasih sobistvenougodnejˇseene,drugiˇcspetdruge. Tokratnaodloˇcitevjekom­binacija obeh. Nekatere sklepe je namreˇc laˇze izpeljati, ˇce razmiˇsljamo o razdaljah in ne o ploˇsˇcinah; zato bomo v zaˇcetku uporabljali trilinearne koordinate. Baricentriˇcne koordinate pa tudi imajo svoje prednosti. Ena najveˇcjihjepreprostodelozvektorji. ˇc x : y : z baricentriˇ
Ce so namreˇcne koordinate toˇcke P in so A
,AC,Ack A,B,C in P, po-
B,AP radij vektorji toˇx Ay Az A
tem velja: PA= A + B + C. Od todjejasno,dajepri 
x+y+zx+y+zx+y+z 
delu z vektorji ugodno,ˇcepri raˇcunih uporabljamo normiranebaricentriˇcne koordinate, torejtake, za katere velja x + y + z =1. 
Pojem znaˇcilne toˇcke trikotnika 
Znaˇcilnatoˇckatrikotnikajepredpis,ki vsakemutrikotniku.priredi toˇcko P. v ravnini. Toˇcka P. je seveda odvisna od lege trikotnika ., zato njeno lego najlaˇze opiˇsemo zdejanskimi trilinearnimikoordinatami tetoˇckeglede na trikotnik ., torej P. =(.P,ßP,.P). S trojico (a,b,c) dolˇzin stranic trikotnika . je oblika trikotnika doloˇcena. Ker je smiselno predpostaviti, da je relativna lega toˇcke P. glede na trikotnik . odvisna le od oblike trikotnika, nepa odnjegovelege,lahkodejanske trilinearnekoordinate toˇcke P. zapiˇsemo v obliki(fd(a,b,c),gd(a,b,c),hd(a,b,c)). Iz tega vidimo, da lahko znaˇcilno toˇcko trikotnika razumemo kot preslikavo 
(a,b,c) › (fd(a,b,c),gd(a,b,c),hd(a,b,c)), 
kitrojicidolˇzin stranic trikotnikapriredidejanske(zatoindeks d)trilinearne koordinate prirejene toˇcke. 
cilne toˇ

Slika 2. Cikliˇcna zamenjava stranic. 
Funkcije fd,gd in hd so funkcije treh spremenljivk. Natanˇcneje, njihovo de.nicijsko obmoˇcjeje mnoˇzica trojic(a,b,c),kiso stranicetrikotnika, torej: 
T = {(a,b,c). R3;0<a<b + c, 0 <b <a + c, 0 <c<a + b}. 
Za nekatere znaˇcilne toˇcke trikotnika je to de.nicijsko obmoˇcje preveliko. Take sodenimo znaˇcilnetoˇcketrikotnika,ki nisode.nirane,kadarjetriko­tnik enakostraniˇcen. Zanje de.nicijsko obmoˇcje paˇc ustrezno zmanjˇsamo. 
V nadaljevanju bomo spoznali naravne zahteve, ki jim morajo zado­ˇsˇcati nastopajoˇce funkcije, da bo predpis (a,b,c) › (fd(a,b,c),gd(a,b,c), hd(a,b,c))res prinaˇsal to, kar od pojma znaˇcilna toˇcka trikotnika priˇcaku­jemo. 
Prvazahtevaje,dapredpisspoˇstujecikliˇCesmo 
cno zamenjavo stranic. ˇtrikotniku s trojicodolˇzin stranic(a,b,c)priredili toˇcko(.0,ß0,.0), bomo (skladnemu)trikotniku strojico(b,c,a)priredilitoˇcko(ß0,.0,.0)(slika 2), trikotniku strojico(c,a,b)patoˇcko(.0,.0,ß0). Izhajalismoizpriˇcakovanja, da se morajo tedaj, ko srednji in desni trikotnik na sliki 2 izreˇzemo in ga poloˇzimo nalevega,tudiprirejenetoˇckeprekriti. Izte zahteveizhaja,daje gd(a,b,c)= fd(b,c,a) in hd(a,b,c)= fd(c,a,b). Znaˇcilno toˇcko trikotnika torej doloˇca ena sama funkcija fd treh spremenljivk. 
Druga zahteva se nanaˇsa na zamenjavodveh stranic(a,b,c)› (a,c,b). Ustrezna trikotnika sta tudi tokrat skladna. Zato lahko enega od njiju iz­reˇzemo, dvignemo in poloˇzimo na drugega. Zahteva, da se morata pri­rejeni toˇcki tudi zdaj prekriti, tokrat pomeni, da se morata v trojicah (fd(a,b,c),fd(b,c,a),fd(c,a,b))in(fd(a,c,b),fd(c,b,a),fd(b,a,c))prvikom­ponenti ujemati, preostali dve pa se morata zamenjati. Zlahka vidimo, da je potreben in zadosten pogoj za to lastnost fd(a,b,c)= fd(a,c,b) za vse (a,b,c). T. 
Tretjazahtevapasenanaˇsanaraztegeravnine. Naravnojezahtevati, dabodo v trikotniku(.a,.b,.c),kigaiz trikotnika(a,b,c)dobimo z raz­tegom s koe.cientom ., tudi dejanske trilinearne koordinate znaˇcilne toˇcke pomnoˇzene z istim koe.cientom. Od tod dobimo zahtevo fd(.a,.b,.c)= .fd(a,b,c). Funkcija fd je torejhomogena stopnje 1. 
Tojevse: znaˇcilnatoˇckatrikotnikajetorej preslikava 
(a,b,c)› (fd(a,b,c),fd(b,c,a),fd(c,a,b)), 
ki trikotniku . z dolˇzinami stranic a,b,c priredi toˇcko P. z dejanskimi trilinearnimi koordinatami(fd(a,b,c),fd(b,c,a),fd(c,a,b)), pri ˇcemerje fd homogena funkcija stopnje 1 z lastnostjo fd(a,b,c)= fd(a,c,b) za vse (a,b,c). T. 
Izdoloˇcenihpraktiˇcnih razlogovpabomo namesto sfunkcijo fd v nada­ljevanju raje delali z neko drugo, z njo tesno povezano funkcijo F. Ker so (fd(a,b,c),fd(b,c,a),fd(c,a,b)) dejanske trilinearne koordinate neke toˇcke v ravnini, velja: 
afd(a,b,c)+bfd(b,c,a)+cfd(c,a,b)=2S. 
De.nirajmo 
afd(a,b,c)
F(a,b,c)= . 
2S Zanjo velja: 
(i) je homogena funkcija stopnje 0; 
(ii) F(a,b,c)+F(b,c,a)+F(c,a,b)=1 za vse(a,b,c). T in 
(iii) F(a,b,c)= F(a,c,b)za vse(a,b,c). T. 
ˇ
Ceje bila fd(a,b,c) prva od dejanskih trilinearnih koordinat prirejene 
afd(a,b,c)
toˇcke,je 2 prva od dejanskih baricentriˇcnih koordinat, F(a,b,c) pa (zaradi(ii))prva od normiranihbaricentriˇcnihkoordinat. 
Vsaka funkcija F,ki zadoˇsˇca zahtevam(i)–(iii),doloˇcapreslikavotriko­tnika(a,b,c)v toˇcko z normiranimibaricentriˇcnimikoordinatami F(a,b,c): F(b,c,a): F(c,a,b). Ta ustreza zgoraj predstavljenim zahtevaminje zato znaˇcilna toˇcka trikotnika. Funkciji F bomo rekli trikotniˇska funkcija ustre­zne znaˇcilne toˇcke. 
Znaˇcilnetoˇcketrikotnikasotorejpreslikave,ki slikajotrikotnike vtoˇcke ravnine injih de.niramo prek trikotniˇskih funkcij, tj. funkcij treh spremen­ljivk,ki zadoˇsˇcajo zahtevam(i),(ii) in(iii). 
cilne toˇ
Posebej preprosto lahko trikotniˇsko funkcijo F(a,b,c) de.niramo ta­kole. Naj bo p(a,b,c)homogeni polinom stopnje n z lastnostjo p(a,b,c)= ˇ
p(a,c,b) za vse a,b,c . R. Ce p(a,b,c)+ p(b,c,a)+ p(c,a,b) ni niˇcelni polinom, lahko de.niramo 
p(a,b,c)
F(a,b,c)= . 
p(a,b,c)+p(b,c,a)+p(c,a,b) 
Tojetrikotniˇskafunkcija, saj zadoˇsˇca zahtevam(i)–(iii). Kerjede.nirana s pomoˇcjo polinoma, znaˇcilni toˇcki trikotnika, ki pripada tovrstni trikotni­ˇski funkciji, reˇcemo polinomska znaˇcilna toˇcka trikotnika. Omenimo,daje imenovalec tovrstne trikotniˇske funkcije simetriˇcen polinom treh spremen­ljivk. ˇcelno vrednost, funkcija F ni 
Ceimata zakakotrojico(a,b,c). T niˇde.nirana na celi mnoˇzici T,kar vpraksipomeni,da za nekateretrikotnike ustrezna polinomska znaˇcilna toˇcka trikotnika ne obstaja. 
Nekatere znane znaˇcilne toˇcke 
Oglejmo si najprejˇstiriklasiˇcne antiˇcne znaˇcilnetoˇcketrikotnika,ki sotudi v Kimberlingovi enciklopediji umeˇsˇcene ˇcisto na zaˇcetek. Srediˇsˇce vˇcrtane kroˇznice I nosi Kimberlingovo oznako X(1). Dejanske trilinearnekoordinatetetoˇcke so(r,r,r), kjerjer radij trikotniku vˇcrtane 
ar 
kroˇznice. Zatoje fd(a,b,c)= r, trikotniˇska funkcija pa F(a,b,c)= 2S = 
a 
. V zadnjienakosti smoupoˇstevali,daje S = rs, kjerje s polovica 
a+b+c 
obsega trikotnika. Srediˇsˇce vˇcrtanega kroga je torej polinomska znaˇcilna toˇcka trikotnika, pripadajoˇca polinomu p(a,b,c)= a. Nadaljujmo s teˇziˇsˇcem G trikotnika s Kimberlingovo oznako X(2). Ker daljice AG,BG,CG razreˇzejo trikotnik na tri ploˇsˇcinsko enake dele, za de-
bß
G c.
G
janske trilinearnekoordinate(.G,ßG,.G)toˇcke G velja a.
G = = = 
222 
S 2S 1 
3. Od tod dobimo fd(a,b,c)= 3a 
in F(a,b,c)= 3. Tudi tokrat imamopo­linomsko znaˇcilnotoˇckotrikotnika spripadajoˇcimpolinomom p(a,b,c)=1. 
Srediˇsˇce trikotniku oˇcrtanekroˇznice O imaKimberlingovo oznako X(3). 

ˇ
Radij kroˇznice oznaˇcimo z R. Ce upoˇstevamo zvezo med srediˇsˇcnim in obodnim kotom, zlahka izraˇcunamo dejanske trilinearne koordinate toˇcke O,ki so(RcosA,RcosB,RcosC). Vrednost R dobimo iz znane zveze S = 
abc 
4R, cosA pa izrazimo iz kosinusnega izreka. Tako dobimo fd(a,b,c)= 
2
a(b2 +c-a2 ) in 8S 
a2(b2 + c2 -a2) a2(b2 + c2 -a2)
F(a,b,c)= = . 
16S2 (a + b+ c)(-a + b+ c)(a -b+ c)(a + b-c) Tudi tokratgre zapolinomsko znaˇcilno toˇcko trikotnika,de.nirano spolino­mom p(a,b,c)= a2(b2+c2-a2). Ob temje trebapreveritiˇse, alije zapisani imenovalec enak p(a,b,c)+ p(b,c,a)+p(c,a,b). Funkcijo F smo de.nirali s pomoˇcjo dejanskih trilinearnih koordinat in s tem zagotovili, da zadoˇsˇca lastnosti(ii). Kerjeimenovalec vseh trehˇclenov vtej enakosti enak, vsoto lahko damo na skupni imenovalec, in enakost takoj sledi. To se zgodi pri vsaki racionalni funkciji F zlastnostjo(ii),katereimenovalecje simetriˇcen polinom danih treh spremenljivk. 
Podobnobi ugotovili,dajetudi viˇsinskatoˇcka H = X(4) polinomska znaˇcilna toˇcka trikotnika s pripadajoˇcim polinomom p(a,b,c)=(a2 -b2 + 2
c2)(a+ b2 -c2). ˇ
Ce je bila preprostost polinomov pri toˇckah X(1) in X(2) v skladu z naˇsimi priˇcakovanji, bi pri toˇckah X(3)in X(4)morda priˇcakovali prepro­stejˇse polinome. V tem kontekstu naj omenimo debato o najpomembnejˇsih znaˇcilnih toˇckah trikotnika, h kateri se bomo vrnili v zadnjem razdelku. V tovrstnem tehtanju nekateri matematiki toˇckama H in O »zamerijo«,da v topokotnih trikotnikih zapustita trikotnik. Glede na topomanjkljivost torej niti nista tako zelo »lepi«. V tej luˇci tudi niso presenetljivi faktorji oblike (b2 + c2 -a2), kinastopajo v njunih polinomskih funkcijah. 
Omenimoˇse,da so vdodatkuˇclanka[2]predstavljenepolinomskefunk­cije vseh polinomskih znaˇcilnih toˇck trikotnika X(n)za vrednosti n . 100. Takihjekar92. Kratekizboriztega seznamajepredstavljen vtabeli1. 
Morda bi bilo zanimivo spoznati ˇse kako znaˇcilno toˇcko trikotnika, ki nipolinomska. Takaje npr.Fermatovatoˇcka X(13). Na podlagi zgornjega raˇcuna za toˇce zaslutiti, kaj se lahko zgodi. ˇc v 
cko X(3)je mogoˇCe namreˇraˇcunu nastopi ploˇsˇcina S na sodopotenco,je ob upoˇstevanjuHeronovega ˇ
obrazcatopolinom spremenljivk a,b,c. Cepa biploˇsˇcina S nastopila z liho potenco, to nebibil veˇcpolinom. Toˇcno to se zgodiFermatovi toˇcki,kiima 
. 
4
trikotniˇskofunkcijo sˇstevcem a+ a2(b2 + c2 +4 3S)-2(b2 -c2)2 . 
Polinomske znaˇcilne toˇcke s polinomi prve in druge stopnje 
ˇ
Zaˇcnimo s homogenim polinomom prve stopnje. Ce naj zadoˇsˇca lastnosti p(a,b,c)= p(a,c,b), mora biti oblike pu,v(a,b,c)= ua + v(b + c) za neka realna parametra u in v. Trikotniˇskafunkcijaje torej oblike Fu,v(a,b,c)= 
ua+v(b+c) v
Oznaˇcimo t = in dobimo druˇzino trikotniˇskih funkcij 
(u+2v)(a+b+c). u+2v (1-2t)a+t(b+c) (1-3t)a+t(a+b+c)
Ft(a,b,c) = = . Takoj opazimo, da gre pri 
a+b+ca+b+c 1
t =0 za srediˇsˇce vˇcrtanega kroga I in pri t = 3 
za teˇziˇsˇce G. Vdrugem razdelku smo omenili,dajeprednostdela zbaricentriˇcnimi koordinatami moˇznost prehoda na delo z vektorji: ˇA, AC oznaˇcimo 
ce z AB, A
cilne toˇ
Xn  ime  p(a,b, c)  
X1  I  srediˇsˇce vˇcrtane kroˇznice  a  
X2  G  teˇziˇsˇce  1  
X3  O  srediˇsˇce oˇcrtane kroˇznice  a 2 (b2 + c 2 - a 2 )  
X4  H  viˇsinska toˇcka  (a 2 + b2 - c 2 )(a 2 - b2 + c 2 )  
X5  O9  srediˇsˇce kroˇznice K9  a 2 (b2 + c 2 )- (b2 - c 2 )2  
X6  K  Lemoineova toˇcka  a 2  
X7  Ge  Gergonnova toˇcka  (a + b - c)(a - b + c)  
X8  Na  Nagelova toˇcka  b + c - a  
X9  M  Mittenpunkt  a(b + c - a)  
X10  Sp  Spiekerjeva toˇcka  b + c  
X11  Feuerbachova toˇcka  (b - c)2 (b + c - a)  
X20  de Longchampsova toˇcka  3a 4 - 2a 2 (b2 + c 2 )- (b2 - c 2 )2  
X21  Schi.erjeva toˇcka  a(a + b)(a + c)(b + c - a)  
X23  toˇcka daleˇc zunaj  a 2 (-a 4 + b4 + c 4 - b2 c 2 )  
X39  Brocardovo razpoloviˇsˇce  a 2 (b2 + c 2 )  
X115  srediˇsˇce Kiepertove hiperbole  (b2 - c 2 )2  

Tabela 1. Izbor polinomskih znaˇcilnih toˇck trikotnika. 
radij vektorje do ogliˇsˇc trikotnika in so x : y : z normirane baricentriˇcne koordinate toˇcke T,potemje radij vektor toˇcke T preprosto TA= xAA+yBA+ zCA. Naj bo Tt znaˇcilna toˇcka trikotnika,pripadajoˇca trikotniˇski funkciji Ft. Ker so Ft(a,b,c): Ft(b,c,a): Ft(c,a,b)normirane baricentriˇcne koordinate, je radijvektor te toˇcke 
TAt = Ft(a,b,c)AA+ Ft(b,c,a)BA+ Ft(c,a,b)CA
  
ab c 
=(1-3t)AA+ BA+ CA+ 
a + b+ ca + b+ ca + b+ c 
  
111
AA
A
+3t
A+ B + 
C
333 
=(1-3t)IA+3tGA= IA+3t(GA-IA). 
Toˇcke Tt,t . R, torej leˇzijo na premici skozi toˇcki G in I,kiji reˇcemo tudi Nagelova premica, saj na njej leˇzi Nagelova toˇcka X(8)= T1. 
ˇ
Ce trikotnik ni enakostraniˇcen (G = I), polinomske znaˇcilne toˇcke s polinomskimi funkcijami prve stopnje tvorijo Nagelovo premico. Ta seka ˇ
Eulerjevo premico trikotnika ABC v teˇziˇsˇcu G. Ce ima ˇse kaka toˇcka z Eulerjeve premice polinomsko funkcijo prve stopnje, Nagelova in Eulerjeva premica sovpadata. Tedajtoˇcka I leˇzi naEulerjevipremici, torejje trikotnik enakokrak. Tako vidimo,da v raznostraniˇcnemtrikotniku zizjemoteˇziˇsˇca G nobena znaˇcilna toˇcka zEulerjevepremice nipolinomska toˇcka spolinomsko funkcijo prve stopnje. 
Posvetimo se zdaj homogenim polinomom druge stopnje. ˇ
Ce naj tak polinom zadoˇsˇca dodatni zahtevi p(a,b,c)= p(a,c,b),je oblikep(a,b,c)= sa+ t(b2 + c2)+ubc + va(b+ c). Ustreznatrikotniˇskafunkcijajetedaj: 
2
sa+ t(b2 + c2)+ubc + va(b+ c)
F(a,b,c)= . 
(s +2t)(a2 + b2 + c2)+(u +2v)(ab + ac + bc) 
Gre za ˇstiriparametriˇcno druˇzino. Naˇs nadaljnji naˇcrt je naslednji: .ksi­rajmo parametra v imenovalcu, recimo s +2t =1,u +2v =2in stem namestoˇstiriparametriˇcnedruˇzinedobimodvoparametriˇcnodruˇzino znaˇcil­nihtoˇck trikotnika. Vkonkretno navedenemprimerujeto 
2
(1-2t)a+ t(b2 + c2)+va(b+ c)+2(1-v)bc 
Ft,v(a,b,c)= . 
(a + b+ c)2 
Naj bo(a,b,c)poljuben raznostraniˇcni trikotnik in P poljubna toˇcka v ravnini z normiranimi baricentriˇcnimi koordinatami x : y : z. Premislimo, ali je toˇcka P lahko znaˇcilna toˇcka trikotnika (a,b,c), doloˇcena z eno od funkcij iz zgornjedvoparametriˇcnedruˇzine. Toje res,ˇceje reˇsljiv sistem enaˇcb: 
Ft,v(a,b,c)= x, Ft,v(b,c,a)= y, Ft,v(c,a,b)= z. 
Ker velja x + y + z =1injetudivsotalevih stranienaˇcbenaka1, zado­ˇsˇcbi. ˇcno. 
cataprvidveenaˇCestaizpolnjeni ti,jetretjaizpolnjenaavtomatiˇUpoˇstevajmo de.nicijo funkcije Ft,v in dobimo sistem dveh linearnih enaˇcb za spremenljivki t in v: 
t(b2 + c 2 -2a 2)+v(ab + ac -2bc)= x(a + b+ c)2 -a 2 -2bc 2
t(c + a 2 -2b2)+v(bc + ba -2ca)= y(a + b+ c)2 -b2 -2ca 
z determinanto 
2
(b2 + c 2 -2a 2)(bc + ba -2ca)-(ab + ac -2bc)(c + a 2 -2b2)= = -3(a -b)(b-c)(c -a)(a + b+ c). 
Kerdeterminanta ni enaka niˇc,je sistem enoliˇcno reˇsljiv. 
Pri.ksnemraznostraniˇcnemtrikotnikutorejˇzesamoslikeznaˇcilnih toˇck iz naˇse dvoparametriˇcne druˇzine pokrijejo celotno ravnino. Vsaka toˇcka v ravninije torej »znaˇcilna toˇcka« tega trikotnika glede na eno od funkcij iz 
cilne toˇ
te dvoparametriˇcne druˇzine. To pa seveda ni edina dvoparametriˇcna dru­ˇzinapolinomovdruge stopnje,kijolahko sestavimo. Spomnimo se,da smo zaˇceli s ˇstiriparametriˇcno druˇzino in potem dva koe.cienta v imenovalcu preprostodoloˇcili. ˇcilidrugaˇcno 
Cebijudoloˇce,bidobili novodvoparametriˇdruˇzino,katereslikepri .ksnemtrikotnikubi spetpokrileceloravnino. To­vrstnih disjunktnih druˇzin polinomov druge stopnje pa imamo ogromno. Pri izbranem raznostraniˇcnem trikotniku in izbrani toˇcki v ravnini ˇze samo medpolinomskimi znaˇcilnimi toˇckami trikotnika spolinomom stopnje2 naj­demo neskonˇcno takih,kikonkretni trikotnikpreslikajo vizbrano toˇcko. Da 
o polinomih viˇsjih stopenj sploh ne govorimo. 
Napodlagi teh ugotovitev nehotedobimo obˇcutek,dajede.nicija zna­ˇcilnetoˇcketrikotnika zeloˇsiroka, mordapreˇsiroka. Pojavi se obˇcutek,dabi predstavljenimpogojem,kijim morazadoˇsˇcati znaˇcilni toˇcki trikotnikapri­padajoˇcatrikotniˇskafunkcija,lahkododaliˇsekakpogoj,pabi muˇse vedno zadoˇsˇcala glavnina toˇck iz Kimberlingove enciklopedije. 
VkorespondencisClarkomKimberlingom sempreveril, ali mordapozna kak tovrsten poskus, ki bi bil sploˇsneje sprejet. Zdi se, da tvorec de.nicije znaˇcilne toˇcke trikotnikapotrebepobolj restriktivnide.niciji neˇcuti. Mne­njaje,dagrepaˇc zadruˇzinofunkcij in setorej nitrebapreveˇc ozirati na mnoˇzico slik enega elementa de.nicijskega obmoˇcja, torej enega trikotnika, z vsemifunkcijamiizdruˇzine. Podobno,kot sepri realnihfunkcijah ni smi­selno ustavljati pri .ksnem realnem ˇstevilu (recimo .) in negodovati nad 
4
tem, da ga npr. veˇc trigonometriˇcnih funkcij preslika enako in da mnoˇzica slik te toˇcke s funkcijami iz druˇzine vseh trigonometriˇcnih funkcij tvori ce­lotno realno os. 
Avidetije,da vsi matematiki nisopovsem njegovega mnenjainje razmi­ˇsljanje ododatnihpogojihin alternativnihde.nicijah v zraku. Takoje npr. japonski matematikYoshioAgaoka vˇclanku[2] predstavilpojem stopnje polinomske znaˇcilne toˇcke trikotnika in ugotovil,dajeta za veliko veˇcino zaˇcetnih znaˇcilnih toˇck trikotnikaizKimberlingove enciklopedije racionalno ˇstevilo iz mnoˇzice {(-2)k,k . Z}.{.}. Pri tem imajo stopnjo . tiste polinomske znaˇcilne toˇcke trikotnika, ki za enakostraniˇcni trikotnik niso de­.nirane. Dejansko mijedoslej znana ena samapolinomska znaˇcilna toˇcka trikotnika,katere stopnja neleˇzi v zgornji mnoˇzici, toje X(944) s stopnjo -20. Vsekakorizdodatkak omenjenemuˇclankuizhaja,daimajo stopnjo v tej mnoˇzici prav vse polinomske toˇcke X(n)za n . 100. 
Morda obstaja kak geometrijski argument, da bi de.nirana stopnja mo­rala leˇzati prav v tej mnoˇzici in bi to dejstvo kot pogoj vgradili v izpopol­njeno verzijo de.nicije znaˇcilne toˇcke trikotnika. Tovrstni dodatni pogoj bi mordaizloˇcilkako znaˇcilnotoˇckoizKimberlingovega seznama,bipapome­nil ˇzeleno zoˇzitev presploˇsne de.nicije. 
Idejo za kako alternativno in bolj restriktivno de.nicijo znaˇcilne toˇcke trikotnika bi lahko iskali v teoriji mnoˇzic, kjer so znani paradoksi nakazali potrebo po skrbnejˇsem pristopu k izgradnji mnoˇzic. Tako bi tudi v naˇsem primeru mnoˇzico znaˇcilnih toˇck trikotnika lahko gradili postopoma, induk­tivno, pri ˇcemer bi zaˇceli npr. z dvema toˇckama (npr. G in I), nadaljnje pa iz predhodnih induktivno pridobivali na podlagi v ta namen izbranih postopkov. Agaoka[2] predlagadvapostopka: transformacijo ravnine(ki znaˇcilni toˇcki priredi novo znaˇcilno toˇcko) in dvomestno operacijo, ki novo znaˇcilno toˇcko priredi paru (P,Q) znaˇcilnih toˇck. Konkretno gre za izo­gonalno transformacijo(de.nirano v[10]) in za P-Cevovo transformacijo toˇcke Q. Agaokajeidejoposkusilpovezati sprej omenjenoteorijo stopenj polinomskih znaˇcilnihtoˇck. Deloje nadaljeval vˇclanku[3], akljub obse­ˇznosti narejenega zlahka opazimo,dajeteorijaˇseprecej vpovojih: hipotez je veliko, konˇcnih odgovorov pa malo. Z zanimanjem lahko priˇcakujemo nadaljnji razvoj dogodkov. 
Sklepni komentar 
O znaˇcilnih toˇckah trikotnikaje v uvoduhKimberlingoviknjigi[8] zanimivo razmiˇsljanjepredstaviltudi slavni ameriˇski znanstvenikDouglasR.Hofstad­ter. Tajejavnosti najbolj znankotpisec odmevnein nagrajevaneknjige G¨cilnosti predvsem so-
odel,Escher,Bach [5],vkateriraziskujeskupneznaˇ– rodnemiselnezanke –vdelih treh velikih ustvarjalcev: matematika,slikarja inglasbenika. Hofstadterjepo osnovniizobrazbimatematik(mimogrede, po njem so poimenovane tri znaˇcilne toˇcke trikotnika, X(359),X(360)inˇze omenjena X(944)). Poleg matematike in .zike se ukvarja tudi z ozadji ˇclo­veˇskega uma,torej sproblemiinteligence,jaza, umetneinteligence, zavesti, analogij, vzorcevitd., skratkazvpraˇsanji,ki sodijov multidisciplinarnopo­droˇcje, imenovano kognitivna znanost.V slovenskemprevoduimamoknjigo [6],katere sourednikin soavtorjein vkaterisoizpodperes razliˇcnih avtorjev predstavljeni nekateri vidiki naˇstetih tematik. 
Vrnimo se k znaˇcilnim toˇckam trikotnika in nekaterim Hofstadterjevim razmiˇsljanjem na to temo. 
Rdeˇca nit njegovega razmiˇsljanjaje(naprvipogled morda naivno) vpra­ˇsanje: Kateraje najpomembnejˇsa znaˇcilna toˇcka trikotnika? Odgovora na to vpraˇsanje avtor ne poda, zato pa predstavi tri zanimive vzporednice. Prvaje sorodno vpraˇsanje o najpomembnejˇsihˇcloveˇskih organihin o orga­nih, ki so najtesneje povezani z naˇsim jazom. Tu po avtorjevem mnenju lahko reˇcemo vsaj to, da v oˇzji izbor ne morejo priti organi, brez katerih lahko preˇzivimo, recimo lasje, uhlji ali prsti. Tako tudi v trikotniku prven­stva ne moremo zlahkapodeliti,lahkopadoloˇcene znaˇcilne toˇckeiz nateˇcaja 
cilne toˇ

Slika 3. Znaˇcilne toˇcke trikotnika (zaradi preglednosti so namesto z X(n) oznaˇcene z Xn). 
izloˇcimo. Razlog zatobipo avtorjevem mnenjulahkobilˇzeta,da vkakem trikotniku znaˇcilna toˇcka ni znotraj trikotnika. 
Druga vzporednicaje uteˇzeni volilni sistem. Hofstadter najprej sprese­neˇcenjem opazi,daje vsaj pri zaˇcetnih znaˇcilnihtoˇckahtrikotnikaizKim­berlingovegaseznamamnogotoˇckkolinearnih. ˇck vsploˇ
Cebivzeli100 toˇsni legi,bitedoloˇcale4950 razliˇCevzamemoprvih100toˇ
cnihpremic. ˇck sKim­berlingovega seznama, te doloˇcajo le kakih 100 tako imenovanih centralnih premic. Od tod ideja, da bi pomembnost toˇcke sodili po tem, na koliko pomembnih centralnih premicah se ta nahaja. Seveda pa se tu ujamemo v zanko: pomembne centralnepremice so najbrˇz tiste,ki vsebujejopomembne znaˇcilne toˇcke trikotnika. In smo pri uteˇzenem volilnem sistemu: ko glasu­jemo o nekitemi,bibilo trebaglasove uteˇzitiglede na to,kolikˇsna avtoriteta je vpraˇsani na doloˇcenem podroˇcju. Da pa bi to avtoriteto izmerili, bi bilo treba povpraˇsati ljudi s tega podroˇcja, pri ˇcemer bi kompetentnejˇsi vpra­ˇsanci spet morali imeti veˇcjo teˇzo . . . 
Tretjiˇc pa Hofstadter ob debati o najpomembnejˇsi znaˇcilni toˇcki triko­tnika potegne vzporednico s problemom izbora najpomembnejˇse matema­tiˇcnekonstante. Obtem opazi,da seje v zgodovini naˇse civilizacije vsaj eden resnihkandidatov zaprvenstvo,ˇstevilo e, pojavilo sorazmerno pozno, ˇsele vˇcasuEulerja. Zatodopuˇsˇca moˇznost,da so sedanjikandidati za najpo­membnejˇso znaˇcilno toˇcko trikotnika, ne glede na obseˇznost Kimberlingove enciklopedije,ˇsele na nivoju oˇcitnihkonstant1in0inbomo morebiti toˇcki na nivoju konstant . in e ˇsele odkrili. Tovrstno upanje pomeni tudi veliko vzpodbudo za nadaljnje raziskovanje. 
Konˇcajmo s ˇse eno analogijo, o kateri v predgovoru govori tudi Hof­stadter, a je nanjo pred tem opozoril ˇze Kimberling. Gre za primerjavo raziskovanja znaˇcilnih toˇck trikotnika in opazovanja zvezd. Grki so poznali ˇstiri znaˇcilne toˇcke trikotnika, podobno kot prosto oko na veˇcernem nebu opazi le najsvetlejˇse zvezde. Temnejˇsa je noˇc in bolje kot se pripravimo k opazovanju, veˇc zvezd, tudi manj svetlih, utegnemo opaziti. Vˇcasih se lahko zgodi, da se – gledano iz nekega poloˇzaja – dve zvezdi prekrivata. Tudi pri znaˇcilnih toˇckah trikotnika se to pri kakem posebnem trikotniku lahkozgodi. Cepaseiztegapoloˇˇzajalemalopremaknemo(ˇcetrikotnik le malo spremenimo), seizkaˇze,da sta zvezdidejanskodve(da se znaˇcilni toˇcki trikotnika neprekrivata veˇc). Pogledna zvezdno nebo se tako od toˇcke dotoˇcke v vesolju spreminja, nekaterekonstelacijepa vendarle ostajajo ne­spremenjene. Podobno konstelacije znaˇcilnih toˇck trikotnika pri razliˇcnih oblikah trikotnikov ohranjajo nekatere osnovne znaˇcilnosti. 
Tudi vsmisluteprimerjaveugotovitevizprejˇsnjegarazdelkanismopre­veˇc veseli. Preneseno na zvezde bi ta spoznanja pomenila, da na noˇcnem nebu ob pozornejˇsem opazovanju ni samo veˇc in veˇc zvezd, paˇc pa, da de­jansko svetiˇcisto vsakatoˇcka na nebu. Zgoraj omenjenapotrebapo zoˇzitvi de.nicije znaˇcilnetoˇcketrikotnikatakodobiˇsedodaten argument. 
LITERATURA 
[1] S. Abu-Saymeh in M. Hajja, Coincidence of centers for scalene triangles, Forum Geom. 7 (2007), 137–146. 
[2] Y.Agaoka,Degree of triangle centers and a generalization of the Euler line, Beitr¨
age Algebra Geom. 51 (2010), 63–89. 
[3] Y. Agaoka, Triangle centers de.ned by quadratic polynomials, Math. J. Okayama Univ. 53 (2011), 185–216. 
[4] Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na http://faculty.evansville.edu/ ck6/encyclopedia/ETC.html, povzeto dne 7. 1. 2013 
[5] D.R.Hofstadter,G¨
odel, Escher, Bach: an eternal golden braid,Hassocks: Harvester Press, cop. 1979. 
[6] D. R. Hofstadter in D. C. Denett, Oko duha: fantazije in re.eksije o jazu in duˇsi, Zaloˇzba Mladinska knjiga, Ljubljana, 1990. 
[7] C. Kimberling, Central points and central lines in the plane of a triangle, Math. Magazine 67 (1994), 163–187. 
[8] C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129, 1998. 
[9] C. Kimberling, Triangle centers as functions, Rocky Mountain J. Math. 23 (1993), 1269–1286. 
[10] T. Veber,Kubiˇcne krivulje trikotnika, Obzornik mat. .z. 59 (2012), 50–62. 
VRNITEV BOHROVEGA MODELA 
JANEZ STRNAD 
Fakulteta za matematiko in .ziko 
Univerza v Ljubljani 

PACS: 31.15.xg 
Pred stoletije modelNielsaBohra opisal vodikov atom z enim elektronom. Atomov z veˇc elektroniin molekul ni opisal tako uspeˇsno. Novejˇsa raziskovanjapa sopokazala,da je mogoˇce z modelom opisati tudi nekatere lastnosti veˇcelektronskih atomov in molekul. 
ˇ
Clanek pojasni dimenzijsko lestviˇcenje, ki je vrnilo zaupanje v stari model, in navede nekaj rezultatov za energijo vodikove molekule. Novi prijem spodbuja preproste nazorne predstave o gibanju elektronov v atomih in molekulah. 
THE RETURN OF THE BOHR MODEL 
A hundred years ago Niels Bohr’s model described the hydrogen atom with one elec­tron. It did not as well describe atoms with many electrons and molecules. Current research has, however, shown that some characteristics of many-electron atoms and mole­cules can be described with it. In the article dynamical scaling is explained that returned con.dence to the old model and some results are quoted for the energy of the hydrogen molecule. The new approach stimulates simple ideas about the motion of electrons in atoms and molecules. 
NielsBohrjeleta1913 vtridelnemˇclanku o zgradbi atomovin molekul privzel,da v vodikovem atomu elektronkroˇzi okolijedra. Po zgleduMaxa Planckapri svetlobijedodal zahtevo,da sefrekvencakroˇzenja spreminja v skokih. Pojasnilje stanja vodikovega atomain sprehodi med njimi vodikov spekter[2]. Bohrov opis atomov z veˇc elektroniin molekulpajebilprecej manj uspeˇsen. 
V zadnjemˇcasu sejepokazalo,da maloprilagojeniBohrov model nima tepomanjkljivosti. Novipogledjemogoˇceutemeljiti z dinamiˇcnim lestvi­ˇcenjem. 1 Vzamejo, da se ˇstevilo dimenzij N spreminja in naredijo prehod N ›.. Rezultat lahko izboljˇsajo tako, da raˇcunajo z vrsto po potencah 1/N in upoˇstevajo ˇse nekaj ˇclenov.2 Na kratko opiˇsimo pot do vezavne energije vodikove molekule in novi polklasiˇcni pogled. 
1 Za angleˇski »scaling« nimamo ustaljenega domaˇcega izraza. Besede lestviˇcenje ni v Slovarju slovenskegaknjiˇznegajezika, vsebujepajo spletna razliˇcica angleˇsko-slovenskega slovarja. Pravzaprav bi bilo bolje reˇci »lestviˇcenje ˇstevila dimenzij«. Ob »lestviˇcenju dimenzij« (velikosti) lahko pomislimo na davno Galileijevo spoznanje, da bi se velikan sesedel pod lastno teˇzo, ˇce bi bil zgrajen v enakem razmerju kot obiˇcajni ˇclovek in iz enakih snovi. 
2 Dosleden raˇcun v tem okviru pripelje do vezavne energije elektrona v vodikovem atomu |W1 |(4/N 2 )(1 + 2/N +3/N2 + ... ). Trije ˇcleni z N = 3 dajo 8 Prava 
9 |W1 |. vrednostpaje vtemprimeru |W1 |4/(N - 1)2 [7]. 
Obzornik mat. .z. 61 (2014) 1 15 
Dimenzijsko lestviˇcenje 

Polno energijo vodikovega atoma sestavljata kinetiˇcna energija elektrona z maso m in nabojem -e0 in potencialna energija elektrona in jedra, za katerega vzamemo, da miruje v izhodiˇsˇcu: 
1 q2 
W = p 2 - 
. (1) 
2mr 
Pri tem je p gibalna koliˇcina elektrona, r razdalja od izhodiˇsˇca in q2 = 22
e0 /(4..0 ). Ali bi bilo mogoˇce qobravnavati kot spremenljiv parameter? Potembipotencialno energijolahkoimeli za majhno motnjokinetiˇcne ener­gijeprostega elektronainbinjoindrugekoliˇcine razvili v vrstopopotencah majhne motnje. To ni mogoˇce, ker ima q2 nespremenljivo vrednost[7]. 
Pri obravnavanju kritiˇcnih pojavov, povezanih s kritiˇcnimi toˇckami pri faznih spremembah, sta Kenneth Wilson in Michael Fisher tak spremenljivi parametervpeljalanasilo[7]. Vodikovatomjemogoˇcestrogoreˇsitiinte rezultate primerjati z rezultati lestviˇcenja. Drugaˇcno vlogo ima lestviˇcenje v teoriji kritiˇcnih pojavov in v kvantni kromodinamiki, ko rezultatov ni mogoˇce dobiti po drugi poti. 
Kvadratgibalnekoliˇcine v(1) nadomestimo zdelom operatorjakvadrata 
2
gibalne koliˇcine, ki ne vsebuje odvisnosti od kotov: p^= -.2 (d2 /dr2 +
r 
(2/r)d /dr)[3]. Zanimamo se torejle zakrogelno simetriˇcne valovnefunkcije .(r)v osnovnem stanju. Prikliˇcemo si v spomin: 
ˇstevilo dimenzij operator ^p2 
r 
3 -(.2 /2m)(d2 /dr2 +(2/r)d /dr) 2 -(.2 /2m)(d2 /dr2 +(1/r)d /dr) 1 -(.2 /2m)d2 /dr2 
2
Sklepamo, da ima operator v N dimenzijah obliko ^p= -(.2 /2m)· 
r 
(d2 /dr2 +((N -1)/r)d /dr). V N dimenzijah se tedaj radialna Schr¨
odin­gerjeva enaˇcba glasi: 
2
.2 d2 .N -1d. q
- 
+ 
- 
. = W .. (2) 2m dr2 rdr r 
Znovo valovnofunkcijo . = r-(N -1)/2 . enaˇcbapodeljenju z r(N -1)/2 preide 
v: 
.2 d2 . 2
(N -3)(N -1) q
- 
- . - 
. = W .. (3) 
2m dr2 4r2 r 1
Vstavimoˇse r = (N -1)2 R in W =4E/(N -1)2 :
4 .2 d2 . .22
N -3 q
- + . - 
. = E.. (4) 
1
2(m4 (N -1)2 )dR2 2mR2 N -1 R Po prehodu N ›. si zaradi velike mase 1 (N - 1)2 m lahko mislimo, da 
4 
delec miruje in njegova energija ustreza minimumu: 
.22
q
V = - 
. (5) 
2mR2 R 
Iz dV/dR = -.2 /(mR3 )+ q2 /R2 = 0 sledi R0 = .2 /(mq2 ) in V0 = -mq4 /(2.2 ). Za primer N = 3je 1 (N - 1)2 =1in se r ne razlikuje 
4 
od R ter . od . in W od E. Zato V0 postavimo enako lastni energiji vodikovega atoma v osnovnem stanju W1 = -1 mq4 /.2 in R0 Bohrovemu 
2 
polmeru rB = .2 /(mq2 ). Zaupanje v nekdanji Bohrov model se povrne, ko v enaˇcbi (1) v okviru tega modela za osnovno stanje upoˇstevamo vrtilno koliˇcino elektrona pr = .. Takodobimo W = .2 /(2mr2 )-q2 /r, to se ujema z minimumom energije(5). 

Slika 1. Modelpreprostih molekuliz Bohrovega Manchestrskega memoranduma. Bohrje Rutherfordupisal: »Model,predlagan zaH2 , se zdi edina mogoˇca ravnovesna razporeditev dvehjederindveh elektronov(ˇce ne upoˇstevamodvehloˇcenih atomov),prikaterijedri mirujeta.« 
Enaˇcba(1)imapreprostobrezenotsko obliko,ˇce energijo merimo v atom­skih enotah energije mq4 /.2 =2|W1 |in razdaljo v atomskihenotah razdalje, v Bohrovih polmerih .2 /(mq2 ): 
11 
W = 
2 . (6) 
- 
2rr 
Molekula vodika 
ˇ
Ze leta 1912 je Bohr v pismu, znanem kot Manchesterski memorandum, Ernestu Rutherfordu na njegovo vpraˇsanje orisal svoj pogled na zgradbo preprostih molekul. Bohr sijepredstavljal,da v molekuli vodikajedri mi­rujeta vdani razdalji, elektronapa segibljetapokrogu v simetrijski ravnini tako,da sta vedno na nasprotnih straneh osi(slika1). ArnoldSommerfeldje spoˇcetka sprejel ta opis,leta1923paje zapisal,da »ˇse nepoznamopravega modela molekule H2 . Najbrˇz ne bo tako simetriˇcen kot na sliki.« 
Upoˇstevajmo manj simetriˇcne razporeditve elektronov, kakor je nami­gnil Sommerfeld. Vzamemo, da elektrona ne kroˇzita v simetrijski ravnini 

(a) 1 2 
3 

Slika 2. Shematiˇcne risbeBohrovega simetriˇcnegapredloga za zgradbo vodikove molekule 1indveh sodobnihpredlogov2in3[1](a). Podrobnejˇsaslika zgradbe(2)(venaˇcbi za r12 je znak +)inpreglednad razdaljami medjedromain elektronoma vtemprimeru(b) [1]. 
(1 na sliki 2a), ampak v dveh vzporednih ravninah, simetriˇcnih glede na teˇziˇsˇcemolekule, medjedroma(2) ali zunajjeder(3)[4-7]. Privzamemo,da elektrona kroˇzita v enaki smeri z enako velikima hitrostma, tako da sta v ravnini osi z ali na isti strani te osi ali na nasprotnih straneh. Za ta primer enaˇcbo(5) razˇsirimo v: 
11 111111 
W = 
+ V z V = - 
- - - 
+ 
. (7) 2.2 +2.2 ra1 rb1 ra2 rb2 r12 + R
12 
Do te enaˇcbe pripelje tudi dinamiˇcno lestviˇcenje za primer dveh jeder in dveh elektronov[1]. Pri tem sta zi (i =1,i = 2) razdalji ravnin kroˇzenja prvega in drugega elektrona od teˇziˇsˇca po osi z, na kateri leˇzita jedri v razdalji R. Razdalji prvega in drugega elektrona od osi z sta .i. Elektrona sta oddaljena za r12 drug od drugega, rai paje razdaljaprvega alidrugega elektrona odjedraAter rbi razdaljaprvega alidrugega elektrona odjedraB. Razdalje se ne spreminjajo s ˇcasom: 
JJ
ra1 = .2 +(1 R -z1 )2 ,rb2 = .2 +(1 R -z2 )2 ,
12 22 
JJ
ra2 = .2 +(1 R + z2 )2 ,rb1 = .2 +(1 R + z1 )2 ,
22 12 

Slika 3. Energija molekule vodika za razporeditve elektronov 1, 2 in 3 v odvisnosti od razdalje med jedroma R. Sklenjene krivulje s toˇckami kaˇzejo rezultate numeriˇcnih raˇcunov na podlagi izmerjenih vrednosti. Novi model 2 za ravnovesni razmik jeder v osnovnem stanju napove 1,1rB , kar se ne razlikuje znatno od izmerjenega podatka 1,4rB . KvantnomehaniˇcnanapovedWalterjaHeitlerjainFritzaLondonaizleta1927, kije »zaˇcela kvantno kemijo«, je bila 1,51rB . Napoved za energijo molekule je nekoliko slabˇsa, 0,1 atomskih enot,kar ustreza2,72 eV(upoˇstevatije trebalastni energijidveh atomov vodika, toje 2W1 ). Izmerjena vrednost je 4,75 eV, medtem ko sta Heitler in London navedla 3,14 eV[1]. 
r12 =(z1 + z2 )2 +(.1 + .2 )2 . 
Z enaˇcbama .W/..i =0, .W/.zi =0 obdani razdalji medjedroma R zahtevamo,daimaenergijaekstrem. Zaˇstiritakereˇsitveje z1 = z2 in .1 = ±.2 . Znak + ustreza elektronoma na nasprotnih straneh osi z, znak - pa elektronoma na isti strani osi (slika 2b). Tako so dobili odvisnost energije W od razdaljejeder R (slika3). Prave vrednosti,kijihdakvantno­mehaniˇcni raˇcun napodlagiizmerjenihpodatkov,kaˇzejo toˇcke na sklenjenih krivuljah. Krivulja1 ustrezaBohrovemu simetriˇcnemuprvotnemupredlogu in da zgreˇseno odvisnost energije. Krivulja 2, ki ustreza nesimetriˇcnemu osnovnemu stanju molekul, se ujema z izmerjenimi podatki pri majhnih in velikih razdaljah medjedroma. Krivulja3,ki ustrezaprvemu vzbujenemu stanju molekule, se ujema z izmerjenimi podatki na vsem obmoˇcju. 
Presenetljivo ujemanjeje vzbudilo novo zanimanje zaBohrov model. V 
ˇstevilnih revijah so sepojavili vzpodbudni zapisi. NaturePhysicsje o »po­ˇ
novno rojenem Bohru« leta 2005 zapisala: »Cepravje mogoˇce z modelom [sodobnim kvantnomehaniˇcnim] zelo natanˇcno opisati elektronsko zgradbo molekul, tak numeriˇcni naˇcin daje malo vpogleda v delovanje elektronov na elektrone. Anatolij Svidzinsky in sodelavca so se odpravili na zanimiv izlet po poti spominov in odkrili prijem, ki spodbuja razumevanje kemijske vezi v molekulah in hkrati postavi ›staro kvantno teorijo‹, ki jo je razvil Niels Bohr leta 1913, v sveˇzo perspektivo.« OˇzivljeniBohrov modeljepo­stal »vez med predkvantnim in pokvantnim opisom kemijske vezi« [1]. »Ne glede na uspeh sodobne raˇcunalniˇskekemije obstajapotreba,dabi zgradbo elektronov razumeli na razmeroma preprost in intuitiven naˇcin.« 
Na nakazani naˇcin se je mogoˇce lotiti helijevega atoma z dvema elek­tronoma, molekule HeH s tremi elektroni, molekule He2 s ˇstirimi elektroni in drugih molekul z veˇc elektroni. Rezultati bolj zapletenih raˇcunov se v vseh primerih presenetljivo dobro ujemajo z merjenji. Za ogljikov atom na primer dobijo v osnovnem stanju energijo, ki se samo za 0,08 % razlikuje odizmerjene[1]. Zdinamiˇcnimlestviˇcenjemje mogoˇce zajeti tudi vzbujena stanja,ˇcefunkcijo(6) vbliˇzini R0 opiˇsemo v kvadratnem pribliˇzku [1]. 
LITERATURA 
[1] D. R. Herschbach, M. O. Scully in A. Svidzinsky, Bohrs comeback, Physik Journal 12 (2013), 37–41.3 
[2] J. Strnad,Atomski model Nielsa Bohra, Obzornik mat. .z. 33 (1986), 109–117;Bo­hrova dediˇsˇcina, Presek 40 (2012/2013), 9–12(4). 
[3] J. Strnad,Fizika, 3. del, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana 2009, str. 187. 
[4] A. Svidzinsky, M. O. Scully in D. R. Herschbach,Bohr’s 1913 model revisited, Pro­ceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 102 (2005),11985–11988;Bohr’s molecular model a century later,Phys.Today 67 (2014), 33-39(1). 
[5] A. Svidzinsky, S. A. Chin in M. O. Scully,Model of molecular bonding based on the Bohr-Sommerfeld picture of atoms, Phys. Lett. A. 355 (2006), 373–377. 
[6] A. Svidzinsky, M. O. Scully in D. R. Herschbach, Simple and surprisingly accurate approach to the chemical bond obtained from dimensional scaling, Phys. Rev. Lett. 95 (2005), 080401, 1–4. 
[7] E. Witten,Quarks, atoms, and the 1/N expansion, Physics Today 33 (1980), 38–43 (7). 
3 DudleyR.Herschbachje upokojeniprofesor zakemijo naharvardski univerzi.Leta 1986jedobil tretjinoNobelove nagrade zakemijo zadelo o molekulskidinamikipreprostih kemijskih reakcij.Marlan O.Scullyjeprofesorza .zikoinkemijonateksaˇskiuniverziA& 
M.Ukvarjases kvantnooptikoinjedobil veˇcpomembnih nagrad.Anatolij A.Svidzinsky je v Moskvi v skupini Vitalija Ginzburga raziskoval superprevodnost. Po prehodu na stanfordskouniverzojedrugiˇcdoktoriralinseukvarjas kvantnooptiko. 
ˇ


SOLA 
PETDESET LET »FEYNMANOVIH PREDAVANJ« 
JANEZ STRNAD 
Fakulteta za matematiko in .ziko 
Univerza v Ljubljani 

Leta 1964 so izˇsla Feynmanova predavanja o .ziki (The Feynman Lectu­res on Physics) Richarda P. Feynmana, Roberta B. Leightona in Matthewa Sandsa [4]. Nekateri jih imajo za najznamenitejˇso .zikalno knjigo [1], drugi navajajo, da je izˇsla v najveˇcjem ˇstevilu izvodov [2]. V angleˇsˇcini jih je izˇslo veˇc kot poldrugi milijon. Prevedli so jo v vsaj 12 jezikov in samo v ruˇsˇcini je izˇslo veˇc kot milijon izvodov. Posvetimo uˇcbeniku nekaj pozornosti. 
Edini ˇse ˇziveˇci pisec M. Sands je opisal, kako je priˇslo do knjige [2]. Konec petdesetih let prejˇsnjega stoletja ni bil zadovoljen z uvodnim pre­
ˇ
davanjem .zike na Kalifornijski tehniˇski univerzi Caltech. Studenti so se pritoˇzevali, da se v prvih letnikih ne sreˇcajo s sodobno .ziko. Predstojnik oddelka Robert Bacher sprva nad predlogi za spremembe ni bil navduˇsen. Sands pa je zanje pridobil R. Feynmana. Dobro ga je poznal, odkar sta leta 1944 skupaj delala v Los Alamosu pri naˇcrtu Manhattan. Mnenje so podprli ˇse drugi ˇclani oddelka in Bacher je popustil. Fordova ustanova je naˇcrtu namenila dober milijon dolarjev.1 Izvajanje naˇcrta je nadzoroval odbor s predsednikom Leightonom in ˇclanoma H. Victorjem Neherjem in Sandsom. Neher je kot uspeˇsen eksperimentalist imel na skrbi izdelavo no­vih poskusov. Leighton je z uˇcbenikom Principles of Modern Physics leta 1959 ˇstudentom pribliˇzal sodobno .ziko. Glede sprememb programa pa je bil zadrˇzan. Sestanki so pokazali, da on in Sands ne bosta mogla zbliˇzati staliˇsˇc. 
ˇ
Ze po izstrelitvi Sputnika leta 1957 so osnovali odbor PSSC (Physical Science Study Committe), ki naj bi prenovil ameriˇsko srednjeˇsolsko .ziko. Odbor je sproˇzil tudi pobudo za izboljˇsanje uvodnega pouˇcevanja .zike na visokih ˇsolah in v ta namen imenoval Komisijo za .ziko na kolidˇzih (Com­mission on College Physics). Sands je bil ˇclan komisije in ji je med letoma 1964 in 1966 predsedoval. 
Sandsu se je zdelo, da zadeve teˇcejo prepoˇcasi. Pomislil je, da bi ˇslo hitreje, ˇce bi bil pripravljen prevzeti uvodno predavanje Feynman, ki je bil znan kot uspeˇsen raziskovalec in izreden predavatelj. Sprva so se pojavili ugovori, da ˇse nikoli ni predaval novincem in da je nepogreˇsljiv na podiplom­skem ˇstudiju. Postopno se je Feynman navduˇsil nad predlogom, da lahko uvodno predavanje oblikuje po svoje. Postavil pa je pogoj, da predava samo 
1Ustanovila sta jo leta 1936 Edsel Ford in Henry Ford z namenom, da deluje v dobro ˇcloveˇstva. Nekaj ˇcasa je bila najbolj cenjena ustanova svoje vrste na svetu. Med drugim je podpirala tudi razvoj pouˇcevanja. 
enkrat. Naposled so ugovore utiˇsali z mislijo, da ne kaˇze nasprotovati, ˇce si Feynman ˇzeli predavati. Veˇcji del dodeljenih sredstev so porabili za izdelavo novih naprav in za plaˇcilo kolegov, ki so prevzeli prejˇsnje delo sodelavcev novega predavanja. 
Po polletni pripravi je Feynman jeseni 1961 zaˇcel z uvodnim predava­
ˇ
njem. Na teden je predaval dvakrat po uro. Studenti so imeli ˇse uro vaj, ki so jih vodili podiplomski ˇstudenti ali ˇclani oddelka, in tri ure laborato­rija pod Neherjevim nadzorom. Predavanja so snemali z magnetofonom in fotogra.rali popisano tablo. Strojepiska je sproti pretipkala besedilo s tra­kov. Leighton je kljub zaˇcetni zadrˇzanosti zavzeto sodeloval in ob Sandsovi pomoˇci sproti urejal zapise, ki jih je nazadnje pregledal Feynman. Tako so ˇstudenti kmalu po predavanju dobili v roke zapiske predavanj. 
Na drugih univerzah so zvedeli za predavanja in poizvedeli, ali bi bilo mogoˇce dobiti zapise. Oglasili so se tudi zaloˇzniki. To je pripeljalo do odloˇcitve o uˇcbeniku. Najboljˇso ponudbo je dala zaloˇzba Addison-Wesley, ki je lahko knjigo izdelala od zaˇcetka do konca. Obljubila je dostopno ceno, ker ni bilo avtorskih honorarjev [2]. V knjigi je besedilo teklo na notranji polovici strani, slike in preglednice so priˇsle na zunanjo polovico strani. Tako stolpcev besedila ni bilo treba posebej lomiti. Na predlog za naslov Fizika ena s tremi avtorji se je Feynman odzval uˇzaljeno, ˇceˇs da sta imela Leighton in Sands zgolj »vlogo stenografov«. Pristal pa je na naslov Feynmanova predavanja o .ziki. 
Leta 1962 so se nadaljevala predavanja v drugem letniku. Leighton je tedaj ponovil predavanje v prvem letniku in prepustil urejevanje zapiskov Sandsu. Odloˇcili so se tudi, da bo poseben, tretji del namenjen kvantni mehaniki. Nekaj predavanj za ta del je Feynman dodal na koncu leta 1963. Delo se je nekoliko zavleklo, ker je Sands tega leta prevzel mesto pomoˇcnika direktorja Stanfordskega centra za izgradnjo velikega elektronskega linear­nega pospeˇsevalnika (SLAC). Kljub temu se je vse konˇcalo po naˇcrtu. 
Uˇcbenik je doˇzivel veliko ponatisov in posebnih izdaj. Leta 1964 je Feynman imel izredno predavanje Gibanje planetov okoli Sonca, ki so ga izgubili. Ko so ga naˇsli, sta David L. Goodstein in Judith R. Goodstein uredila Feynman’s Lost Lecture. Leto po Feynmanovi smrti 1988 sta David Goodstein in Gerry Neugebauer pripravila Commemorative Issue. Skrajˇsani razliˇcici Six Easy Pieces leta 1994 in Six Not-So-Easy Pieces leta 1998 sta vsebovali samo po ˇsest poglavij. Sledili sta New Millenium Edition v uredni­ˇstvu Michaela A. Gottlieba in Rudolfa Pfeiferja in De.nitive and Extended Edition. Gottlieb in Ralph Leighton (sin Roberta in Feynmanov prijatelj, ki je z njim bobnal) sta leta 2005 pripravila Feynman’s Tips on Physics. Exer­cises for the Feynman Lectures on Physics. Knjiga je zajela ˇstiri poglavja, ki so jih v prejˇsnjih izdajah spustili, med njimi tri poglavja o reˇsevanju nalog, ter Sandsove spomine [2]. Naloge je spoˇcetka pripravljal Robert Leighton v sodelovanju z Rochusom Vogtom. 
Izˇslo je veˇc broˇsiranih izdaj ter zvoˇcnih in video posnetkov, samostojnih ali dodanih knjigam. Teˇzko je dobiti pregled nad vsemi izdajami, uredniki, zaloˇzbami in lastniki zaloˇzniˇskih pravic. Osnovna Feynmanova predavanja so od konca lanskega leta prosto dostopna na spletu vsaj v dveh razliˇcicah, Caltechovi in na spletni strani Predavanj [4]. 
Leighton in Sands sta Feynmanu izroˇcila svoji zasnovi programa, a pro­gram predavanj je oblikoval Feynman sam. Kolikor je bilo mogoˇce, so v besedilu ohranili njegov neposredni slog. Zaradi Feynmanove odsotnosti je 
ˇ
peto in ˇsesto predavanje prevzel Sands. Predavanji Cas in oddaljenost in Verjetnost pa nista posegli v osnovno Feynmanovo zamisel. Prvi del je bil v glavnem namenjen mehaniki, sevanju in toploti, drugi elektrodinamiki in tretji kvantni mehaniki. Feynman pa se ni drˇzal ustaljenega reda. Pogosto je posegel naprej in tudi vpletel veliko snovi, ki je sicer uvodna predavanja ne vsebujejo, na primer Odnos .zike do drugih znanosti, Linearni sistemi in pregled, Simetrije v .zikalnih zakonih itd. Na nekaterih mestih je namignil na svoje raziskovalno delo, na primer pri elektromagnetni masi ali naˇcelu najkrajˇsega ˇcasa in naˇcelu najmanjˇse akcije. Theodore Welton, ki je s Fe­ynmanom ˇstudiral na Massachusettski tehniˇski univerzi MIT, je omenil, da »ˇstevilna poglavja izvirajo neposredno iz gradiva, s katerim smo se sreˇcali 
– 
dodam naj, da z zadovoljstvom – v teh letih« [3]. 

Feynman je v svojem predgovoru menil, da je »bila vsa stvar v bistvu poizkus. [. . . ] Vpraˇsanje je seveda, kako dobro je poizkus uspel. Moj pogled 

– 
zdi se pa, da ga veˇcina ljudi, ki je delala s ˇstudenti, ne deli – je pesimistiˇcen. 


ˇ
Ne mislim, da sem opravil zelo dobro za ˇstudente. Ce pomislim, kako je veˇcina ˇstudentov reˇsevala naloge na izpitih, mislim, da je sistem neuspeh.« Po mnenju Goodsteina in Neugebauerja je bilo novincev na predavanjih vse manj, vse veˇc pa podiplomskih ˇstudentov in ˇclanov fakultete. Sands je bil drugaˇcnega mnenja. Obˇzaloval je tudi, da je predlagal predgovor. V naglici ga je Feynman posnel na magnetofon ˇse pod vtisom Sandsovega obvestila o 65-odstotnem uspehu ˇstudentov. A kaˇze, da je Feynman svoje mnenje pozneje spremenil. Enemu od ˇzivljenjepiscev je namreˇc izjavil, da so Predavanja ena od najboljˇsih stvari, ki jih je naredil. V odzivih v Fizikalnem forumu na spletu naletimo na mnenje, da so Predavanja »krasne knjige, ki vas bodo nauˇcile pogleda na .ziko od daleˇc. Navdihnila vas bodo in imeli boste obˇcutek, da prviˇc v ˇzivljenju zares razumete. Nikakor pa vas ne bodo nauˇcila reˇsevanja .zikalnih problemov ali vas pripeljala do boljˇse ocene«. 
ˇ
Stevilni ˇstudenti se s tem strinjajo. Veˇcina .zikov pa ima predavanja za prvovrsten doseˇzek. »ˇ
Feynman je v epilogu zapisal: Zelel sem vam dati nekaj obˇcudovanja ˇcudovitega sveta in .zikov pogled nanj, za kar verjamem, da je velik del prave kulture modernega ˇcasa.« 
LITERATURA 
[1] 	T. Phillips, The Feynman Lectures on Physics, Nature 504 (2013), 30–31. 
[2] 	M. Sands, Capturing the wisdom of Feynman, Phys. Today 58 (2005), 4, 49–53. 
[3] 	T. A. Welton, Memories of Feynman, Phys. Today 60 (2007), 2, 46–52. 
[4] 	The Feynman Lectures on Physics, www.feynmanlectures.caltech.edu, ogled 31. 1. 2014. 

NOVE KNJIGE 

John A. Adam, prevod Damjana Kokol Bukovˇsek, Matematiˇcni sprehodi v naravo, Knjiˇznica Sigma 94, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Lju­bljana 2012, 265 str. 
To je prevod knjige [1], ki je leta 2009 izˇsla pri Princeton University Press. Avtor knjige, po rodu An­gleˇz, ima doktorat iz teoretiˇcne 
ˇ
astro.zike. Ze dolgo pouˇcuje ma­tematiko na univerzi Old Domini­on v Virginiji v ZDA. Kot sam pra­vi, ga od mladih nog privlaˇcijo skrivnosti narave. Zelo rad se spre­haja v naravi in tudi obiskuje na­ravne parke. Ukvarja se z upo­rabno matematiko in matematiˇc­nim modeliranjem. Napisal je knji­go Mathematics in Nature: Mo­delling Patterns in the Natural World. Ukvarja se tudi z modeli­ranjem rasti tumorjev in modelira­njem dinamike imunskega sistema. 
Knjiga je namenjena ˇsirˇsi pu­bliki. Nekatere teme zahtevajo le osnovno raˇcunsko znanje, druge nekaj trigonometrije in algebre. Znanje odvoda, integrala in najpreprostejˇsih di­ferencialnih enaˇcb pa, kar se tiˇce matematike, pravzaprav zadoˇsˇca za skoraj vso snov knjige. Nekaj podobnega bi lahko rekli tudi za potrebno znanje .zike. Vendar avtor, brˇz ko .zika postane bolj zapletena, ne izgublja ˇcasa z izpeljavami .zikalnih formul, ampak jih kar navede. V tem smislu je obravnava v knjigi bliˇze bolj matematiˇcno usmerjenim bralcem in veˇcinoma izpolnjuje priˇcakovanja, ki jih vzbuja naslov. 
ˇ
Stevilo tem v knjigi je veliko, kot bomo kmalu videli. Besedilo je pre­cej strnjeno. Knjiga ima tudi obseˇzen seznam literature, tako da je prava zakladnica informacij s tega podroˇcja. 
Na primeru taljenja sneˇzne kepe spoznamo matematiˇcno modeliranje in omejitve takih modelov. Zanimivi so tudi inverzni problemi: Kaj lahko iz 

Matematiˇ

opazovanj naravnega pojava sklepamo o vzrokih za njegov nastanek (tudi kvantitativno)? 
Avtor nato zastavi bralcu nekaj testnih vpraˇsanj, denimo: 1. Opazujeˇs enojno pisano mavrico (primarni lok). Katera barva je na vrhu oboka? . . . 9. Oceni premer vodne kapljice v (i) hudem nalivu in (ii) v megli. . . . 11. Kako dolg je povpreˇcen zvoˇcni val pri ˇcloveˇskem govoru? . . . 14. Kako daleˇc je obzorje, ˇce stojiˇs na plaˇzi in gledaˇs na morje? Ta vpraˇsanja dobijo odgovor v nadaljevanju. 
Sledijo nekatera ˇcisto raˇcunska vpraˇsanja, kot: 17. Kako dolgo bi s pe­skom polnili Grand Canyon v ZDA? ipd. Vpraˇsanje 21: Zakaj King Kong ne bi mogel obstajati? (V .lmih je K. K. = K2 prikazan kot gorila, linearno poveˇcana na velikost kakih deset metrov.) Tu avtor argumentira takole: »Moˇc objekta, ˇse posebej K2, je sorazmerna z velikostjo preseka njegovih kosti, ki so potrebne, da nosijo njegovo teˇzo. Ta presek pa je sorazmeren njegovi povrˇsini. Ker imamo opravka z geometrijsko podobnimi objekti, je njegova povrˇsina sorazmerna s kvadratom njegove velikosti.« Ta argu­ment se mi zdi po nepotrebnem zakompliciran – ne vem, zakaj je treba na dan vleˇci povrˇsino gorile – ploˇsˇcina preseka kosti je sorazmerna kvadratu velikosti. Sicer pa na to zgodbo nimam pripomb. 
Zanimiva je tudi obravnava samovˇziga velike kopice sena. Pri vpraˇsanju 
27: Zakaj so kapljice na pajkovi mreˇzi tako enakomerno razporejene? pa avtor pokaˇze svoje znanje netrivialne .zike. Bolj na kratko so obravnavana Fibonaccijeva ˇstevila in ustrezni spiralni vzorci v rastlinskem svetu. Vpra­ˇsanje 32: Ali lahko oceniˇs teˇzo buˇce samo s pogledom? me je spomnilo na soseda, ki je gojil buˇce velikanke; enkrat je v ta namen napeljal poganjke celo na streho hiˇse in jo praktiˇcno v celoti prekril z listjem. Vpraˇsanje 35: Ali moja senca pospeˇsuje? ima negativen odgovor. Vpraˇsanje 41: Kako do­bro se svetloba zvezd odbija od mirne vodne gladine? pove vrsto zanimivosti o odboju. Avtor med drugim spraˇsuje tudi, kaj se zgodi, ˇce svetlobo odbija tudi dno tolmuna: (ii) Obravnavaj dno tolmuna, kot da odbije 20 odstot­kov svetlobe (mogoˇce je na dnu kos stekla ali druge odbojne snovi)? Tole s steklom je morda potegavˇsˇcina. Kdor je kdaj plaval z masko, je verjetno opazil, da steklo v vodi odbija bistveno manj svetlobe kot na suhem in ga je teˇze opaziti. Vzrok je v tem, da je lomni koliˇcnik steklo/voda enak pribliˇzno n =3/2:4/3=9/8. Po formuli, ki jo navaja knjiga na isti strani, je deleˇz odbite svetlobe pri pravokotnem vpadu na prvo povrˇsino stekla 
  2 
n - 1 
R =. 
n +1
Celotni deleˇz svetlobe, odbite na obeh povrˇsinah ravnega stekla, je 2R 
1+R , kar je v tem primeru manj kot en odstotek. (Mimogrede, prve antire.eksne prevleke na optiˇcnih elementih so slonele prav na podobnem fenomenu, ko so steklo prevlekli s snovjo, ki ima lomni koliˇcnik manjˇsi od lomnega koliˇcnika stekla.) Bel pesek na dnu tolmuna s ˇcisto vodo pa morda lahko odbija tolikˇsno koliˇcino svetlobe. Na zraku ravno steklo pri pravokotnem vpadu odbija kakih 8 odstotkov svetlobe, pri poˇsevnem vpadu pa seveda ˇse veˇc. To lepo vidimo ob sonˇcnem zahodu. Vpraˇsanje 44: Kako daleˇc se zdi migotanje zraka nad cesto med pri­peko? in 45: Zakaj je nebo modro? spet pokaˇzeta avtorjevo znanje .zike; pri zadnjem je tudi nekaj dimenzijskih in podobnih argumentov, ki se jih matematik verjetno ne bi spomnil. Fizik, ki pozna rezultat, pa s tem nima problemov. Vpraˇsanje 48: Zakaj se oblak kovinsko sveti? se mi je zdelo zelo zanimivo, saj iridescenco na oblakih okrog sonca pogosto vidimo. V za­dnjem odstavku na strani 98 se avtor nekako ne more odloˇciti, ali bi napisal formulo za jakost uklonjene svetlobe ali ne; govorjenje o uporabi Besselove funkcije je zato ˇse manj jasno, posebno za tistega, ki o tem niˇc ne ve. V naslednjih vpraˇsanjih avtor zelo izˇcrpno obdela mavrice, halo (obroˇc) okrog sonca in svetlobni (sonˇcni) steber. To so teme, o katerih sta pisala tudi OMF in Presek. Knjiga ima v sredini barvno prilogo z lepimi fotogra.jami teh in drugih pojavov. Avtor sam rad prispeva tovrstne slike za spletno stran Earth Science Picture of the Day (EPOD) [3]. Sledi opis sosonca 
Matematiˇ
(parhelija), zenitnega loka in glorije. (Mimogrede, ˇse danes obˇzalujem, da sem pred leti zadnji dan potovanja porabil poslednji .lm, na poletu nazaj pa zato nisem mogel slikati krasne glorije okrog sence naˇsega letala na oblaku.) 
Posebno poglavje je posveˇceno modeliranju oblike ptiˇcjega jajca. Ob­delani so razni naˇcini. Eden od njih je podoben tistemu, ki ga je uporabil Tine Goleˇz v [2]. 
Poglavje V (ALI NA) VODI obsega pribliˇzno trideset strani. Obravnava migljajoˇce odseve sonca na vodni gladini in vse mogoˇce o valovih: v plitvi in v globoki vodi, o energiji valov itd. Poglavje se konˇca z vpraˇsanjem 
72: Kako lahko iz ladijske brazde sklepamo, da je zemlja okrogla? (in celo ocenimo njen polmer). 
Naslednje poglavje nosi naslov V GOZDU. Vpraˇsanje 79: Kako visoko lahko zrastejo drevesa? ima razlago, ki sem ji teˇzko sledil. Laˇze je razumeti vpraˇsanje 80: Koliko sence daje sloj listov sloju pod njim?, pa zgodbo o neprosojnosti gozda in o rasti bul na drevesu. 
Poglavje V NARODNEM PARKU prinaˇsa mnogo informacij o reˇcnih meandrih, tudi podatke raznih meritev teh reˇcnih oblik. Poglavje NA NO ˇ
C­NEM NEBU vsebuje med drugim razlago magnitude zvezd, preprost model zvezde in zelo zanimivo modeliranje sonˇcnega mrka . . . Na koncu imamo ˇstudijo hoje. 
Zaustavimo se ˇse pri obravnavi starega hrasta kot fraktalnega objekta. Tu avtor privzame, da se vsaka veja s polmerom r razcepi v dve veji s polmeroma r1 in r2. Iz rokava privleˇce (brez pojasnila), da je 
3 33 
r = r1 + r2. (1) 
Takoj nato privzame, da je r1 = r2, torej r1 =2-
1 
3
r. Predpostavi, da ima 

deblo premer 1 m, najtanjˇsa veja pa 1 mm. Torej je razmerje polmerov 

. 210
103 
= 

(2 

1 
3
)30, kar pomeni, da je razvejitev pribliˇzno 30. 
(Iz meni 

nerazumljivih razlogov avtor v raˇcunih operira z 0,794 namesto z 2-
1 
3
). 

Ta model nato uspeˇsno uporabi na ˇzivalskem oˇzilju. Kot pravi, je tipiˇcni premer najtanjˇse ˇzile – kapilare – 5 mikronov. Pri psu ima najdebelejˇsa ˇzila morda premer 5 mm. Spet je razmerje polmerov 103 in imamo tako pribliˇzno trideset ”generacij” razvejitev na dve ˇzili. Imamo torej (pribliˇzno) 230 = (210)3 . (103)3 = 109 kapilar, ˇce zaˇcnemo z eno samo najdebelejˇso ˇzilo. Ker imamo pri vsaki razvejitvi podvojitev, je skupno ˇstevilo ˇzil pribliˇzno enako 
30
2n =231 - 1 . 2 · 109 . n=0 
To se dobro ujema s podatkom 1,2·109 ˇzil iz (starejˇse) literature. Sumim, da je avtor ta raˇcun najprej naredil za ˇzilni sistem in ˇsele nato preˇsel na hrast – ker paˇc drevo bolj ustreza naslovu te knjige. Nato se vrne k hrastu in naredi ˇse eno predpostavko. Obstaja naj ˇstevilo 0 <.< 1, tako da se 
ˇ
vsaka veja z dolˇzino L razcepi na dve veji z dolˇzino .L. Ce je dolˇzina debla L0, je torej dolˇzina vseh vej plus dolˇzina debla 
30
. 	(2.)31 - 1 (2.)nL0 = L0. 
2. - 1 
n=1 
Pri . = 2 in L0 =3 m dobi tako skupno dolˇzino vej 67 km. Pri . = 7 pa 
3	8 
kar 100 000 km. To je ˇze na prvi pogled nerealno in spominja na potega­vˇsˇcino. Pogoj (1) me je nekako navajal na misel, da bi pri vsaki podvojitvi, ˇce bi razdeljeni veji bili kot prostorska objekta podobni zaˇcetni, vsota pro­stornin obeh razdeljenih vej bila enaka prostornini zaˇcetne veje. Avtor sicer privzame nekaj malce drugaˇcnega. Pa sledimo avtorjevi predpostavki in si ˇse mi privoˇsˇcimo manjˇso poenostavitev, in sicer, da je vsaka veja valjaste 
oblike, s polmerom r in dolˇzino L. Razcepi se na veji s polmerom r1 =2-
1 
3
r 

in dolˇzino .L. Vsota prostornin teh dveh vej je 

2 

1 
3
.L.r2 
, 

1 
3
.. Pri . 

= 

7 
8
kar je prostornina zaˇcetne veje, pomnoˇzena s k =2 

je 

k . 1,10243 ... > 1 in bi torej vsaka nadaljnja generacija vej imela veˇcjo prostornino in torej po vsej verjetnosti tehtala veˇc kot prejˇsnja, kar je ˇze samo po sebi rdeˇci alarm. Skupna prostornina vseh vej bi torej bila veˇc kot tridesetkratna prostornina debla, natanˇcneje bi prostornina lesenih delov bila 
30
. k31 - 1 V0 kn = V0 . 191 · V0 . 450 m3 ,
k - 1 
n=0 
saj je prostornina debla V0 = 3. m3 . To je le nekoliko pretirano – ˇceprav 
4 
so v debelih drevesih lahko precejˇsnje koliˇcine lesa, kot bomo videli. Vse skupaj je dobra ilustracija avtorjeve zaˇcetne ugotovitve, da imajo modeli omejitve in da jih moramo primerjati s stvarnostjo. 
ˇ
Se primer iz slovenske stvarnosti. V vasi Malence v bliˇzini Kostanje­vice na Krki, na robu zaˇsˇcitenega Krakovskega gozda, stoji na Cvelbarjevi domaˇciji drugi najveˇcji hrast dob v Sloveniji. Star je kakih 350 let, obseg debla je 7 m. Premer debla (v viˇsini prsi) je torej veˇc kot dva metra. Pred 
Matematiˇ
tremi desetletji je vihar odlomil eno od najveˇcjih vej. Gospodar domaˇcije je povedal, da je bilo v odpadli veji okrog ˇstiri kubike uporabnega lesa. Na­ˇsel sem kratek video o tem drevesu [4]. (Mimogrede: Ta hrast ima sreˇco, da stoji v vasi. Precej drugih debelih hrastov na tem zaˇsˇcitenem podroˇcju je bilo zadnje leto ilegalno posekanih. Lesni tatovi oˇcitno dobro ocenju­jejo prostornine dreves. Dobili so krila, saj v podobnem primeru pred leti kljub odkritim storilcem in trdnim dokazom z DNK nihˇce ni bil obsojen. Poplavni Krakovski gozd je ˇcudovit, ko zacveti spomladi – v drugi polovici aprila. Vendar vzemite ˇskornje in ostajajte na oznaˇcenih poteh. Ena od njih se imenuje po izumitelju ladijskega vijaka inˇzenirju Resslu, ki je bil gozdar na tem podroˇcju in je dal izkopati veˇc kanalov v gozdu. Poleti in v zgodnji jeseni pa boste le beˇzali pred komarji.) 
Vrnimo se h knjigi. Imamo ˇse Kratek slovar matematiˇcnih pojmov in funkcij. Avtor namesto rotacijski elipsoid uporablja besedo sferoid. Z opi­som Besselove funkcije J1 se avtor ni ravno potrudil, povrhu pa je uporabil sliko, na kateri so ˇse druge (nepotrebne) funkcije. 
ˇ
Ce strnem svoje ugotovitve: Avtor je napol .zik, napol matematik. To ima mnoge dobre strani, saj bi zelo teˇzko naˇsli matematika, ki bi toliko vedel o .zikalnem ozadju pojavov v naravi. Po drugi strani avtor razume matematiˇcni naˇcin razmiˇsljanja in se mu veˇcinoma dobro prilagodi. Zgoraj sem navedel paˇc vse (po mojem) vpraˇsljive stvari v knjigi. Kot sami vidite, za tako obseˇzno knjigo tega res ni veliko. To je tudi zasluga prevajalke, ki je v soglasju z avtorjem popravila nekaj stvari iz originala. Veliko je vreden tudi obˇsiren seznam literature. Predvsem pa bralca pritegne avtor­jevo navduˇseno preuˇcevanje raznih, nevajenemu oˇcesu tudi komaj opaznih stvari in pojavov v naravi. Tisti z manj znanja matematike ali .zike bodo morali kaj preskoˇciti. Vsak, ki bo prebral vsaj nekaj te knjige, pa bo prihodnjiˇc na izletu ali sprehodu verjetno pozoren na nove stvari in bo tako od doˇzivetja narave imel veˇc. 
LITERATURA 
[1] 	John A. Adam, A Mathematical Nature Walk, Princeton University Press, Princeton 2009, 246 str. 
[2] 	T. Goleˇz, Prizemljitev in.nitezimalnega raˇcuna, Zavod sv. Stanislava, Ljubljana 2012, 64 str. 
[3] 	Earth Science Picture of the Day (EPOD) http://epod.usra.edu/, ogled 5. 12. 2013. 
[4] 	Malence http://www.youtube.com/watch?v=Kcy0kq_DCnE, ogled 5. 12. 2013. 
Peter Legiˇsa 
Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The Secrets of Trian­gles: A Mathematical Journey, Prometheus Books, Amherst, New York, 2012, 387 strani. 
ˇ
Ceprav bi morda kdo mislil, da tako preprost matematiˇcen objekt, kot je trikotnik, ne pre-more kakˇsnih posebnih skrivno­sti, pa je vendarle res, da so ˇste­vilne ˇcudovite in osupljive rela­cije med razliˇcnimi njegovimi elementi (razliˇcnimi znameniti­mi toˇckami in daljicami, pa tudi koti in ploˇsˇcinami v njem) zna­ne le redkim. Tudi matematiki veˇcinoma ne poznajo dobro tega podroˇcja, razen tistih, ki se po­sveˇcajo geometriji bodisi kot pe­dagogi bodisi pri svojem razi­skovalnem in znanstvenem delu. 
ˇ
Ce malce parafraziramo Preˇser­novo pesem Pevcu, lahko to si­tuacijo lepo ilustriramo takole: 

GEOMETRU 
Kdo zna dokazat’, kar pravi Fermat, da se da? (»Spojnice vrhov enako­straniˇcnih trikotnikov nad stranicami trikotnika in njim nasprotnih ogliˇsˇc se sekajo v isti, t. i. Fermatovi, toˇcki.«) 
Kdo ve, kaj nam ˇcke L, M, N na strani-
Cevov izrek pove? (»Za poljubne toˇcah BC, CA in AB trikotnika ABC se daljice AL, BM, CN sekajo v isti 
BN CL 
toˇcki natanˇcno takrat, ko je AM ·· = 1.«)
MC NA LB 
Kdo uˇci, kako se neenakosti v trikotniku dobi? (Na primer, da je skupna 
The Secrets of Triangles: A Mathematical Journey 
dolˇzina teˇziˇsˇcnic manjˇsa od vsote stranic: ta + tb + tc <a + b + c.) 
Kako bit’ hoˇceˇs geometer, pa ti preteˇzko je v rokah drˇzat’ al’ ravnilo al’ ˇsestilo? (in npr. konstruirati trikotnik, ˇce poznaˇs a, b in viˇsino na a). 
Stanu se svoj’ga spomni, geogebraj (uporabljaj program GeoGebra) brez miru! 
Pa ˇsalo na stran! Knjiga, ki ne zahteva drugega predznanja kot pozna­vanje srednjeˇsolske matematike, prinaˇsa jagodni izbor izrekov o trikotnikih, predstavljenih na kar se da privlaˇcen naˇcin ter z obilico preglednih slik. Do bralca skuˇsa biti kar se da prijazna tudi v smislu oznak in mu priˇcarati kolikor mogoˇce kraljevsko, nenaporno pot v matematiko. Dosledno izogiba­joˇc se pastem pretirano stroge evklidske aksiomatske metode (ki bi vzorno oˇstevilˇcene trditve in formule dokazovala postopoma in kar se da ekono­miˇcno v slogu nekaterih uˇcbenikov geometrije: »sklicujoˇc se na trditev 1.5.8 in upoˇstevaje de.nicijo 2.4., vidimo, da velja izrek 3.12«) zaniha v drugo skrajnost: trditve in formule niza drugo za drugo, vˇcasih tudi brez dokazov (res pa je, da v teh primerih veˇcinoma navaja reference, kjer jih lahko bralec sam poiˇsˇce), namesto tega pa se vzhiˇceno navduˇsuje nad njihovo presene­tljivostjo in lepoto (tako npr. Miquelovo odkritje, da »preseˇciˇsˇca oˇcrtanih krogov trikotnih delov poljubnega pentagrama leˇzijo na istem krogu« pred­
ˇ
stavi le s sliko)! Ceprav bralcu zastavlja tudi matematiˇcno-logiˇcne izzive v obliki nalog (npr. doloˇcene relacije lahko poskusi dokazati sam, preden prebere reˇsitev, spodbuja pa ga tudi h konstruiranju trikotnikov, pri ˇcemer si lahko pri izboru naloge pomaga s tabelo najrazliˇcnejˇsih moˇznih trojic podatkov), pa poskuˇsa zbuditi predvsem njegovo ustvarjalno domiˇsljijo s tem, ko pogosto opozarja, na kakˇsne naˇcine in v kakˇsnih smereh bi bilo mo­goˇce navedene izreke in relacije izkoristiti kot odskoˇcne deske za nadaljnje raziskovanje (pri tem je lahko v veliko pomoˇc tudi GeoGebra!). 
Knjiga obravnava naslednja tematska podroˇcja: daljice v trikotniku, ki se sekajo v isti toˇcki, znamenite toˇcke trikotnika in krogi, ki jih vsebujejo, posebne premice v trikotniku (npr. Eulerjeva, na kateri leˇzijo viˇsinska toˇcka, teˇziˇsˇce in srediˇsˇce trikotniku oˇcrtanega kroga), koristni izreki o trikotniku (npr. Routhov izrek (1896), ki izraˇza razmerje ploˇsˇcine trikotnika XY Z, katerega ogliˇsˇca so preseˇciˇsˇca treh daljic AD, BE in CF iz ogliˇsˇc trikotnika ABC do nasprotnih stranic in ploˇsˇcine trikotnika ABC s pomoˇcjo razmerij 
AFBD CE .XY Z (rst-1)2 
== 
FB r, DC = s in EA t, s formulo .ABC = (rs+r+1)(rt+t+1)(st+s+1) in iz katerega se da izpeljati ˇ
Cevov izrek kot poseben primer), formule za ploˇsˇcino trikotnika in njegovih delov, neenakosti v trikotniku (npr. s po­moˇcjo trikotnika lahko pokaˇzemo, da veljajo med aritmetiˇcno, geometrijsko in harmoniˇcno sredino ˇstevil a in b relacije AM . GM . HM, kjer je 
. 
a+b 2ab
AM =, GM = ab, HM = ), zlate trikotnike, konstrukcije pravil­
2 a+b 
nih n-kotnikov, itd. Posebno poglavje, ki nekoliko ˇstrli iz sicer enotne za­snove knjige, je posveˇceno trikotnikom in fraktalom; tu sreˇcamo npr. prese­netljivo povezavo med Pascalovim trikotnikom in trikotnikom Sierpinskega, razloˇzen je tudi pojem fraktalne dimenzije, omenjena je Kochova sneˇzinka, pa tudi krivulje, ki zapolnijo bodisi navaden trikotnik bodisi trikotnik Sier­pinskega. 
V knjigi, iz katere se lahko nauˇcimo veliko koristnih pojmov v zvezi s tri­kotniki (npr. »Cevova daljicaˇ« je daljica od ogliˇsˇca trikotnika do katerekoli toˇcke nasprotne stranice) najdemo tudi kar nekaj podatkov o znamenitih matematikih, ki so se ukvarjali s trikotniki. Prav tako je v njej veliko po­membnih formul, s pomoˇcjo katerih lahko reˇsimo mnoge naloge v zvezi s 
2
trikotniki. Tako nam npr. Stewartov izrek: b2m + cn = a(d2 + mn), kjer je AD = d, m = BD, n = cunati dolˇCe-
DC, pomaga izraˇzino poljubne ˇvove daljice AD (npr. teˇziˇsˇcnice, viˇsine, simetrale kota, itd.). Pomemben je tudi Simsonov izrek: »Preseˇciˇsˇca stranic a, b, c trikotnika in pravokotnic TA.,TB.,TC. nanje, narisanih iz katerekoli toˇcke T trikotniku oˇcrtanega kroga, so kolinearne.« 
V knjigi, namenjeni popularizaciji geometrije, seveda ni smel manjkati tudi Napoleonov izrek (»Srediˇsˇca enakostraniˇcnih trikotnikov nad strani­cami poljubnega trikotnika so ogliˇsˇca enakostraniˇcnega trikotnika.«), ki ga je sicer prvi objavil Dr. W. Rutherford leta 1825, ˇstiri leta po Napoleonovi smrti. Avtorja pravita, da ˇse do danaˇsnjega dne ni jasno, ali je Napoleon sploh poznal to trditev, ki mu jo pripisujejo. Med posebnimi dragulji, obrav­navanimi v tej knjigi, je ˇse zlasti vreden omembe »ˇcudeˇzni« Morleyev izrek 
The Secrets of Triangles: A Mathematical Journey 
iz leta 1900, ki pravi: »Preseˇciˇsˇca sosednjih trisektorjev (daljic, ki delijo kot na tri enake dele) v trikotniku oblikujejo enakostraniˇcni trikotnik«;v dodatku knjige najdemo kar tri njegove dokaze. Prav tako je ˇcastno mesto dodeljeno slavnemu Feuerbachovemu izreku (1822), ki pravi: »Krog, ki gre skozi srediˇsˇca viˇsin trikotnika, se dotika vseh ˇstirih krogov, ki so tangentni na tri stranice trikotnika.« 
Poglavitna odlika knjige Skrivnosti trikotnikov je v tem, da bralcu zelo hitro odstre lepoto, ki se skriva v resnicah o trikotniku, posreduje pa tudi mnoge koristne formule in ˇcudovite dokaze najpomembnejˇsih izrekov. Toda bodite previdni, ko jo prebirate: to podroˇcje vas namreˇc lahko tako oˇcara, da boste posegli po kakˇsni ˇse bolj sistematiˇcni knjigi o trikotnikih, in geo­metrija bo ostala vaˇsa strast za vse ˇzivljenje! Bralcem Obzornika, ki radi reˇsujejo geometrijske naloge, pa zastavljam naslednji problem, ki se mi je porodil ob branju te knjige: Dokaˇzi ali ovrzi naslednjo hipotezo (ˇce bi bila resniˇcna, bi ˇslo za posploˇsitev Napoleonovega izreka): »Za poljuben n . 3 so srediˇsˇca pravilnih n-kotnikov nad stranicami poljubnega trikotnika ogliˇsˇca enakostraniˇcnega trikotnika.« 
Odgovor: Slika, narisana s pomoˇcjo programa GeoGebra, »jasno kaˇze«, da za n = 5 hipoteza ne velja. Ali znate to tudi dokazati, npr. z vektorji? 

Jurij Koviˇc 


PISMA BRALCEV 

OPRAVI ˇCILO 
V mojem predlogu ˇclanom DMFA v Pismih bralcev v lanski tretji ˇstevilki Obzornika, da bi poiskali nedvoumen naˇcin sporoˇcanja ˇstevilˇcnih podatkov in primerjav v pogovornem jeziku, npr. pri »enkratenju« (enkrat veˇc), sem uporabil besedo »spakovanje«. Oznaka je povsem neprimerna in mi je ˇzal, da sem jo zapisal. Mnogi govorci »enkratijo« zato, ker so prepriˇcani, da je tako prav. 
V peti ˇstevilki Obzornika je prof. Swansonova enkratenje slovniˇcno pre­priˇcljivo razlagala in ga predstavila kot edino moˇzno reˇsitev. Prof. Hribar pa opozarja, da »je jezik zelo gibek in ga lahko uporabimo na razliˇcne na­ˇcine«, v ˇsoli »ˇcim bliˇzje vsakdanji govorici« . . . Radoveden sem, kakˇsen bi bil rezultat ankete, ki bi jo napravili med (nepripravljenimi!) »vsakdanjimi« anketiranci: 
Obkroˇzite pravilni odgovor: 
• 	
30 je devetkrat veˇc kot 3. 

• 
30 je desetkrat veˇc kot 3. ˇ


Ce bi bilo enkratovanje res edina prava, svetovno priznana reˇsitev – no prav (ˇsolarje pa pripravimo na dvoumnosti, ki jih ˇcakajo)! Vendar se mi zdijo v enkratovanju – sicer pravilne – izjave vˇcasih malce ˇcudne, prav niˇc vsakdanje: 
• 	
Tristo je dvakrat veˇc kot sto. 

• 	
Janez je dobil tisoˇc evrov, banˇcni direktor je dobil 999-krat veˇc . . . 
ˇ


• 	
Ce se temperatura poveˇca enkrat, se energija poveˇca petnajstkrat. 

• 	
Teta ima tretjinokrat veˇc (denarja) kot jaz. 

• 	
ˇse od sto, je negativno. 

Stevilo, ki je dvakrat manjˇ

• 	
Enkrat manj kot sto je . . . (npr. ». . . marca je bil dohodek enkrat manjˇsi« = ». . . niso dobili plaˇce«?) 

• 	
Na cesti je/ni niˇckrat manj ljudi . . . 


Seveda se zadregam lahko izognemo z malce spremenjenim govorjenjem ali pisanjem. Pri najpogostejˇsi uporabi v vsakdanji govorici je dvojna raˇcun­ska operacija (dodajanje produkta, npr. 300 = 100+2×100) teˇzje dojemljiva od enkratnega mnoˇzenja (300 = 3 × 100), in v tem je tudi izvirni greh »en­kratne« izbire! Poleg tega enkratenje ne zmore obratne primerjave, ki jo pa vsakdanja govorica zmore: ˇce je Janez (160 cm) dvakrat veˇcji od bratca (80 cm) – potem je bratec dvakrat manjˇsi od Janeza! (Pri tem bratec – reveˇz negativni – sploh ne ve, da dejansko meri polkrat toliko kot Janez; ker ˇse ne pozna ulomkov, ga ne moremo potolaˇziti niti z dejstvom, da ima mnoˇzenje s polovico enak uˇcinek kot deljenje z dva!) 
Vsakdanja govorica (npr. z dodatkom ˇca tudi dodajanje 
SE) pa omogoˇin enkratenje: . . . (ˇse) enkrat veˇc . . . , ˇse dvakrat veˇc . . . , ˇce ˇze hoˇcemo po vsej sili enkratiti in dodajati. 
Peter Prelog 

VESTI 
GOSPOD DAVORIN TOMAˇC
ZIˇ
V novembru se je v enaindevetdesetem letu starosti poslovil gospod Darine Tomaˇziˇc. V ˇsestdesetih letih prejˇsnjega stoletja je bilo na Oddelku za .ziko Univerze v Ljubljani pomembnih nekaj profesorjev in gospod To­maˇziˇc, ki je bil med profesorji znan kot Da­rine. Profesorji so skrbeli vsak za svoj pred­met, Darine pa, bi lahko rekli, za skoraj vse drugo. Zaˇcetki pouˇcevanja .zike na Uni­verzi v Ljubljani so tesno povezani z di­daktiˇcno zbirko eksperimentov iz .zike, ki sta jo zasnovala profesorja Kuˇsˇcer in Moljk, a tudi Darine Tomaˇziˇc, saj je bila njegova 

roˇcna spretnost, poˇzrtvovalnost, predanost in organizacijska sposobnost ne­precenljiva za uspeh tega podjetja. Darine je organiziral in vodil delav­nice (mehaniˇcno, mizarsko, steklopihaˇsko) na oddelku za .ziko, upravljal zgradbe, pomembno sodeloval pri graditvi stavbe na Jadranski 19, razpo­rejal in opravljal delo tehniˇcnih sodelavcev. V predraˇcunalniˇski dobi je bil nepogreˇsljiv pri pisanju ˇclankov, saj je le on znal risati grafe s tuˇsem na pro­zoren papir, kakor so zahtevale tedanje revije. Razporejal je tudi delo pri tipkanju ˇcistopisov ˇclankov na »ta boljˇsi« pisalni stroj. Samo prof. Kuˇsˇcerju je tako pomagal urediti devet knjig. Poleg tega nas je dolga leta pri pred­metu Laboratorijske veˇsˇcine uˇcil raznih spretnosti od spajkanja, piljenja, ˇzaganja, povezovanja elektriˇcnih napeljav, . . . in nazadnje do pihanja stekla. 
Pri tem predmetu smo se morda nauˇcili nekaj skromnosti, ko smo spoznali, da veˇsˇcine niso kar tako in zahtevajo podoben napor za obvladovanje kakor ˇstudij. Pihanje stekla je ˇse danes za mnoge med nami ˇcarovnija, ki jo je Darine izvajal, mi pa je nismo znali nikoli ponoviti. Darinetu smo vedno rekli gospod, ˇceprav to takrat ni bilo v navadi, ker je bil do vseh, profesorjev in ˇstudentov, enako spoˇstljiv in vedno zvest svoji besedi. Tisti, ki smo ga poznali, ga bomo hranili v spoˇstljivem spominu. 
Andrej ˇz
Cadeˇ
Davorin Tomaˇziˇc (rojen 10. 9. 1923 v ljubljanskih Mostah, po izo­brazbi elektrotehnik) je neloˇcljivo povezan z zgodovino Oddelka za .ziko Univerze v Ljubljani in DMFA. 
Takoj po drugi svetovni vojni so bili na ljubljanski univerzi .ziki za­posleni na dveh fakultetah. Tako sta bila recimo Anton Peterlin in Ivan Kuˇsˇcer na Prirodoslovno-matematiˇcno-.lozofski fakulteti (kjer so na leto imeli kako diplomo ali dve iz pedagoˇske .zike). V okviru Oddelka za kemijo na Tehniˇski fakulteti pa takrat najdemo med drugim Antona Moljka, Sne­guljko Detoni in Davorina Tomaˇziˇca, ki so tesno sodelovali s .ziki z druge fakultete. Leta 1952 so na Tehniˇski fakulteti odprli ˇstudij tehniˇcne .zike. Nanj se je prva leta vpisovalo po 20–30, kasneje tudi veˇc ˇstudentov. Kot piˇse Sneguljka Detoni [2]: . . . Moljkova ideja je bila, da novi ˇstudij temelji na eksperimentalni .ziki, z odliˇcnimi predavanji in poskusi, v celoti enako­vreden drugim velikim univerzam . . . Posebna zasluga dr. Moljka za .ziko je bila, da je odkril Davorina Tomaˇziˇca (Darineta) in ga povabil na .ziko, kjer je ostal do upokojitve (1983). Darine je bil izredno sposoben sodelavec na .ziki, vodja delavnice, upravnik stavb. Velik je njegov deleˇz pri izgradnji eksperimentalne .zike . . . 
Del .zike je sprva domoval skupaj z matematiki v osrednji zgradbi Uni­verze, na Kongresnem trgu. Pod vodstvom Antona Peterlina so ob gradnji Fizikalnega inˇstituta Akademije (ki se je preimenoval v Inˇstitut Joˇzef Ste­fan) na Jadranski ulici zaˇceli tudi gradnjo Velike .zikalne predavalnice (zdaj imenovane Peterlinov paviljon). Profesor Peterlin je ˇzelel, da bi bila dvorana podobna sodobnim predavalnicam v ˇ
Svici, zato je poslal Davorina Toma­ˇziˇurich. Predavalnica je bila odprta novembra 1953 
ca na ogled v Basel in Z¨[1]. Postala je srediˇsˇce pouka .zike in je svojo vlogo dobro opravljala vse do leta 2009, ko je doˇzivela prenovo, ne da bi bil prvotni koncept bistveno spremenjen. V akademskem letu 1968/69 sem v njej posluˇsal Fiziko I. Iz­vrstna predavanja Janeza Strnada, skupna za .zike, kemike in matematike v nabito polni dvorani s 350 sedeˇzi, so bila podprta z dobro premiˇsljenimi poskusi, pri katerih je pomagal Davorin Tomaˇziˇc. Dobro se ˇse spomnim, kako je pri ilustraciji ohranjanja vrtilne koliˇcine zavrtel profesorja Strnada na stolu. Seveda pa smo videli tudi bolj zapletene poskuse, za katere je bilo treba veliko iznajdljivosti, dela in eksperimentiranja v delavnicah. 
Konec petdesetih let se je v Jugoslaviji okrepila ideja, da potrebujemo tudi centre, ki ne bodo primarno usmerjeni v jedrsko .ziko, ampak bi se osre­dinili na .ziko trdne snovi. Tako sta nastala dva nova .zikalna inˇstituta v Zagrebu in Beogradu. V Ljubljani je Univerza leta 1960 ustanovila Inˇstitut za matematiko, .ziko in mehaniko (IMFM) [3]. (Isto leto je bila ustano­vljena tudi Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo (FNT), ki je postala center ˇstudija .zike.) V drugi polovici ˇsestdesetih let je nastal velikopote­zen naˇcrt gradnje dveh petnadstropnih stavb s povezovalnim traktom na Jadranski ulici. Zagotovljena so bila tudi sredstva, za opremo po zaslugi 
ˇ
Antona Moljka celo iz zveznih fondov takratne drˇzave. Zal je priˇslo do za­pleta z arhitektom, ki je narisal modernistiˇcno .ksno stekleno fasado, in predstavnikoma IMFM Kuˇsˇcerjem in Moljkom, ki sta ˇzelela stavbo, v kateri lahko normalno odpiraˇs okna. Arhitekt se ni strinjal z ˇzeljami naroˇcnika in je na koncu raje odstopil, kot da bi spreminjal naˇcrt. Tako je priˇslo do ve­like zamude. Zaradi in.acije je precejˇsen del denarja skopnel, in tako je bila leta 1969 zgrajena le stavba na Jadranski 19 in temelji stavbe na Jadranski 21 (na pilotih). Novi projektanti so bili bolj dostopni za dialog. Davorin Tomaˇziˇc je pomagal izboljˇsati konstrukcijo in opremo. Narisal je mnogo modi.kacij originalnih naˇcrtov in nadziral izvedbo. 
Za brezhibnost stavb in opreme Oddelka za .ziko in Oddelka za mate­matiko je Davorin Tomaˇziˇc skrbel enako ali morda ˇse bolj zavzeto kot za ˇ
urejenost lastnega (gostoljubnega) stanovanja. Ce je bilo treba, je bil na Jadranski tudi v nedeljo. Bil je vljuden in prijazen, a za tiste, ki jih je vodil, nesporna avtoriteta. Odliˇcno se je spoznal na tehniˇcne zadeve in bil uˇcinkovit ter zanesljiv. Imel je »dve desni roki«. Pomagal je pri obˇcnih zborih DMFA in sindikalnih sreˇcanjih. Vodil je tehniˇcna dela pri prvi ob­novi Plemljeve hiˇse na Bledu, ki jo je naˇse Druˇstvo dobilo v slabem stanju. Precej teh del so opravili on in zaposleni v delavnicah Oddelka za .ziko. Na predlog DMFA je v letu 1974 prejel drˇzavno odlikovanje red dela s srebrnim vencem. 
LITERATURA 
[1] 	J. Bonˇca, Ob odprtju prenovljenega Peterlinovega paviljona, Obzornik mat. .z. 56, (2009), 148–150. 
[2] 	S. Detoni, Prispevek k zgodovini .zike v Ljubljani (2007), pregledal ter dopolnil Ro­bert Blinc. 
[3] 	Predstavitev Inˇstituta za matematiko, .ziko in mehaniko, ur. S. Klavˇzar in J. Mrˇcun, IMFM, Ljubljana, 2008, 64 str. 
Peter Legiˇsa 
PROF. DR. PETER ˇ
SEMRL NOVI PREDSEDNIK ILAS 
ˇ
Peter Semrl je bil izvoljen za predsednika International Linear Algebra Society (ILAS) za obdo­bje od 1. marca 2014 do 1. marca 2017. Tako nadaljuje delo ugle­dnih predsednikov tega druˇstva. 
Navedimo jih: Hans Schneider (1987–1996), Richard A. Brualdi (1996–2002), Daniel Hershkowitz (2002–2008) in Stephen Kirkland (2008–2014). 
Ob tem ˇse povejmo, da je Bo­jan Kuzma z Univerze na Primor­skem eden od urednikov Image, glasila tega druˇstva. V zadnji 51. ˇstevilki te revije je intervju s Tho­masom J. La.eyem, ki ga je nare­dila Helena ˇ
Smigoc, profesorica na University College v Dublinu. Slovenske matematiˇcarke in ma­

tematiki tudi sicer prispevajo viden deleˇz raziskav na podroˇcju Linearne algebre. K temu je z izredno obseˇznim, kakovostnim in odmevnim razisko­valnim delom ter mentorstvi veliko prispeval prav Peter ˇ
Semrl. 
Matematik novi direktor ERC (European Research Council) 
V glasilu Evropskega matematiˇcnega druˇstva EMS Newsletter [1] je bil ob­javljen zanimiv intervju z Jean-Pierrom Bourguignonom, dolgoletnim direktorjem znanega francoskega inˇstituta IH´ 
ES. Zdaj je postal direktor ERC (European Research Council). Njegov portret je na naslovnici revije. 
Kot pravi, sta ga v matematiˇcno kariero usmerila dva gimnazijska pro­fesorja. Prvi je dobro razlagal in od njega zahteval, da pomaga soˇsolcem, zaradi ˇcesar se je moral poglobiti v snov. Drugi profesor je bil dober ma­tematik, navduˇsen za znanost, a slab predavatelj, ki je presegal uˇcni naˇcrt in bil izredno zahteven. Prva ocena, ki jo je dobil pri njem, je bila 0,5 (na lestvici do 20). Bourguignon se je moral zelo truditi, a je z zadovoljstvom opazil, da se to splaˇca, saj so se njegove matematiˇcne sposobnosti moˇcno 
Matematiˇ
cne novice 
poveˇcale. Vendar zgodbe s tem ni bilo konec. Isti profesor je po maturi vodil priprave na sprejemne izpite na elitnih ˇsolah. Pravi, da je bilo zadnje leto priprav peklensko, saj je profesor za isto oceno od nadarjenih dijakov zahteval mnogo veˇc kot od povpreˇcnih. Kljub trudu ni dobival dobrih ocen. (Opomba: Priganjanje posameznikov in ˇse posebej nadarjenih, da trdo de­lajo in izkoristijo veˇcino svojih zmoˇznosti, je edino pametno. Ampak pri nas je to obiˇcajno in sprejemljivo le pri ˇsportnih treningih zunaj ˇsole. Pri mate­matiki, .ziki . . . bi taka obremenitev dijakov zdaj po mojih izkuˇsnjah hitro pripeljala do prijav ˇsolski inˇspekciji. Skopost pri ocenah pred pol stoletja in veˇc je bila kar pogosta – »da se otroci in mladostniki ne bi razvadili in navzeli napuha« – a se je meni zdela kriviˇcna in zgreˇsena. Dobro opravljeno delo zasluˇzi ustrezno plaˇcilo, ˇce ˇze ne pohvale.) 
´ 
Bourguignon je bil sprejet na slavno Ecole Polytechnique, a bil razoˇca­ran, saj so nekatere predmete slabo pouˇcevali diplomanti iste ˇsole, ki so bili povrhu tega brez znanstvenih referenc. Tako je s kolegi organiziral lastne dodatne kurze mehanike in verjetnosti. (Opomba: Kaj takega bi bilo pri nas teˇzko izvesti, saj manjka kritiˇcna masa izredno nadarjenih in ambicioznih ˇstudentov.) Pouk .zike je bil dober – kar mu je kasneje zelo koristilo. Mate­matika pa je bila sploh odliˇcna, saj so na ˇsolo prihajali zunanji predavatelji, kot Gustave Choquet in Laurent Schwartz. 
Kmalu je Bourguignon dobil stalno raziskovalno mesto na CNRS (Nacio­nalni center za znanstvene raziskave). Ni le odliˇcen raziskovalec na podroˇcju med matematiko in mehaniko, ampak se je ˇze mlad izkazal tudi kot vrhunski voditelj in upravljavec (z diplomatskim stilom in tipiˇcno francosko kulturo). Zanimivo je, da intervjuvanec na prvem mestu navaja, da je ponosen na spo­sobno administracijo, ki jo je najel in ustvaril na inˇstitutu. Opisuje, kako je s pomoˇcjo prijatelja iz ameriˇske podruˇznice francoske banke dal izˇsolat veˇc svojih usluˇzbencev za zbiranje donacij in v treh letih za IH ´ 
ES tako dobil 13 milijonov evrov. Vsega skupaj so zbrali 38 milijonov evrov in trenutno ima Inˇstitut 30 milijonov evrov rezerve. Zdi se, da precej ali veˇcina denarja – za francoski inˇstitut! – izvira iz ZDA. Nekateri donatorji ponujajo denar s pogoji kot: dam vsoto A, ˇce dobite iz drugih virov enako vsoto (angleˇsko se temu pravi: matching funds). Tako mora prejemnik prepriˇcati ˇse druge donatorje in je manj moˇznosti, da bi bil denar neustrezno porabljen. Pa ˇse uˇcinek donacije je podvojen. Pravi, da mora inˇstitut tako zdaj najti dva milijona evrov k ˇze ponujeni enaki vsoti. (Mimogrede, ˇceprav to ne sodi na podroˇcje znanosti: Goljufanje donatorjev pri odpravljanju posledic vojne v naˇsi neposredni soseˇsˇcini z desetkrat preplaˇcanimi storitvami je ˇzalostno dejstvo. Pa tudi pri nas bi se naˇsel primer, ko iz doniranih sredstev ni nastalo skoraj niˇc od obljubljenega.) 
Leta 1995 je Bourguignon postal predsednik EMS in iz malo opazne organizacije hitro naredil pomembno druˇstvo – ki se tudi po njegovem ˇsti­riletnem mandatu uspeˇsno razvija. 
Kot pravi, se evropski denar za raziskave pogosto koncentrira v nekaj srediˇsˇcih, kar se mu ne zdi prav. Srednja in vzhodna Evropa dobita premalo sredstev glede na kakovost raziskovalcev. Prav tako je kritiˇcen do tako imenovanega »zlatega standarda«, prostega objavljanja, pri katerem morajo avtorji sami priskrbeti denar za objavo. Lobisti komercialnih zaloˇznikov in britanska vlada so skoraj prepriˇcali EU o podpori temu standardu (le za koga je zlat?), ki bi lahko moˇcno poveˇcal stroˇske znanstvenega raziskovanja. Na sreˇco celo nedavno poroˇcilo britanskega parlamenta ugotavlja, da »zlati standard« dolgoroˇcno morda ni v interesu drˇzave. Vsa matematiˇcna druˇstva v Evropi imajo teˇzave s .nanciranjem matematiˇcnih publikacij (izjema je London Mathematical Society). Bourguignon meni, da bi morali zdruˇziti napore vseh teh malih zaloˇznikov pod nekakˇsnim evropskim deˇznikom, saj se ˇcas izteka. Zdi se tudi, da mu je bolj pri srcu »zeleni standard« objavljanja, ko po krajˇsem ˇcasovnem intervalu besedila postanejo prosto dostopna. 
Mimogrede, v isti ˇstevilki glasila EMS je vredno prebrati na straneh 34–38 ˇse besedilo In the Mirror of Mathematics, ki ga je napisal romunski matematik Preda Mih˘ailescu z Univerze v G¨
ottingenu. Je strokovnjak za uporabno matematiko in kriptogra.jo, ki se je vrnil v ˇcisto matematiko – teorijo ˇstevil – in leta 2002 dokazal Catalanovo domnevo. Ta pravi, da ima enaˇcba 
p n - q m =1 
v naravnih ˇstevilih edino reˇsitev p = m =3,n = q = 2. Zanimivo je njegovo opaˇzanje, da v kon.iktih matematik pogosto laˇze razjasni interese nasprotnih strani kot vpleteni. 
Teˇzave z izpiti 
Anketa med kanadskimi ˇstudenti [2] je pokazala, da manj goljufajo na iz­pitih, ˇce profesor ocenjuje skrbno, nepristransko in so pogoji za vse enaki. (Meni se je kar obneslo, da sem za vsak teoretiˇcni test pred popravljanjem pripravil podroben toˇckovnik in ga dal ˇstudentom na ogledu. Na ustnih izpitih pa si zapisujem posamezna vpraˇsanja in ocene odgovorov nanje, kar zmanjˇsuje moˇznost napak, ˇse posebej proti koncu delovnega dneva, ko po-
Matematiˇ
cne novice 
zornost popusti.) ˇ	ce imajo le nekateri med njimi 
Studenti posebno zamerijo, ˇdostop do starih izpitov in testov, ki se skoraj nespremenjeni uporabljajo ˇse naprej. V tem primeru je goljufanja neprimerno veˇc 
Tudi ˇce naredimo vse prav, problemov ni konec. Ko sem zaˇcel pri pouˇce­vanju na drugih fakultetah objavljati besedila preteklih teoretiˇcnih testov, je to sprva imelo dober uˇcinek, saj so vsi ˇstudenti videli, kaj lahko priˇca­kujejo. Ker pa se na takih testih mnoga vpraˇsanja nujno ponavljajo, sem kmalu zaplenil natisnjen seznam odgovorov na vpraˇsanja s prejˇsnjih izpitov. Problem je bil v tem, da so bili nekateri odgovori v tem seznamu napaˇcni ali deloma napaˇcni. Nevroznanost nam pove, da je napaˇcno nauˇceno zelo teˇzko nadomestiti s pravim, saj moramo najprej »razgraditi« napaˇcne po­vezave v moˇzganih. (Pri ˇsportu je veˇcini jasno, da se napaˇcno nauˇcenih gibov, udarcev z loparjem . . . teˇzko odvadiˇs. Pri intelektualnem znanju ni niˇc drugaˇce!) Naslednja teˇzava je bila, da so se nekateri ˇstudenti oˇcitno uˇcili le odgovore na stare teste. Vse to se mi je zgodilo dvakrat zaporedoma – na razliˇcnih fakultetah in pri dveh razliˇcnih predmetih. Na sreˇco sem zmeraj v teoretiˇcne teste dodajal kratke raˇcunske naloge, ki se niso ponavljale in so dobro pokazale operativno znanje. Kasneje besedil teoretiˇcnih testov ni­sem veˇc objavljal, sem pa na spletni uˇcilnici obdrˇzal nekaj primerov izpitnih vpraˇsanj. 
Najbolj bizaren in tudi ilustrativen primer je bila oseba, ki je po veˇc neu­spelih poskusih priˇsla na ustni izpit z »dvojnim znanjem«: s prej omenjenimi pomanjkljivimi odgovori na stare teste in z (verjetno kasneje pridobljenim) fotografskim spominom o zapiskih – ne da bi zmogla ali vsaj poskusila prvo povezati in popraviti z drugim. 
ˇ
Studenti ˇzelijo tudi vnaprej vedeti reˇzim pri predmetu. Zato sem na spletni uˇcilnici to preciziral. Bliˇsˇc in bedo interneta kaˇze naslednja zgodba. Bodoˇci naravoslovec je nekaj iz tega besedila skuˇsal zvedeti tako, da je na ˇstudentskem forumu objavil vpraˇsanje: »Naj mi kdo pove ..., saj se mi ne da brati teh litanij.« 
»Litanije« so bile dolge stran in pol v ekstra velikih ˇcrkah. 
LITERATURA 
[1] 	M. Herzlich, Interview with Jean-Pierre Bourguignon: »Mathematicians must move up a gear«, EMS Newsletter 90, Dec. 2013, 29–33, http://www.ems-ph.org/ journals/newsletter/pdf/2013-12-90.pdf, ogled 6. 2. 2014. 
[2] 	Why student cheating is rampant, http://www.cbc.ca/news/technology/ why-student-cheating-is-rampant-1.1858067, ogled 6. 2. 2014. 
Peter Legiˇsa 
Obzornik mat. .z. 61 (2014) 1 
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO 
LJUBLJANA, JANUAR 2014 
Letnik 61, številka 1 

ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 
VSEBINA  
ˇClanki  Strani  
Znaˇcilne toˇcke trikotnika kot funkcije (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1–14  
Vrnitev Bohrovega modela (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  15–20  
Šola  
Petdeset let »Feynmanovih predavanj« (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . .  21–23  
Nove knjige  
John A. Adam, prevod Damjana Kokol Bukovšek,  
Matematiˇcni sprehodi v naravo (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  24–29  
Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The Secrets of  
Triangles (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  30–33  
Pisma bralcev  
Opraviˇcilo (Peter Prelog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34–35  
Vesti  
Gospod Davorin Tomažiˇc (Andrej ˇCadež, Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . .  35–37  
Prof. dr. Peter Šemrl novi predsednik ILAS (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . .  38–III  
CONTENTS  
ˇClanki  Strani  
Triangle centers as functions (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  1–14  
The return of the Bohr model (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  15–20  
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21–23  
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  24–33  
Letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34–35  
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  35–III  

Na naslovnici je razvoj modela atoma: Thomsonov model pudinga z rozinami, Rutherfordov planetarni model, Bohrov model in kvantni model. V Bohrovem mo­delu elektroni krožijo okoli jedra po krogih z izbranim radijem, tako da je veˇ
ckratnik njihove Brogliejeve valovne dolžine enak obsegu.