i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 10 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
STEFANOVA NALOGA
STANISLAV JUŽNIČ
Univerza v Oklahomi
Ključne besede: Stefanova naloga (Stefanov problem), Koller, zgodovina matematične fi-
zike
Stefan se je povzpel na Parnas svetovne znanosti s podporo svojega mentorja Bohinjca
Mariana Kollerja. Opisan je razvoj raziskovanja Stefanove naloge.
STEFAN PROBLEM
Stefan climbed the Parnassus of World Science with the support of his mentor, the
Bohinj native Marian Koller. The development of research on Stefan Problem is described.
Uvod
Pol stoletja po Kollerjevem obisku Pariza je Kollerjev varovanec Jožef Stefan
nadgradil raziskavo Charlesa Cagniarda de la Toura o faznih prehodih iz
trdnine v tekočino v svojih šestih razpravah med letoma 1889 in 1891; te
so se nanašale na širši kontekst njegovega in Boltzmannovega zanimanja za
transportne pojave, zlasti spremembe faze iz tekočega v plinasto [14]. V
počastitev Stefanovega raziskovanja meje med trdnino in kapljevino, ki se s
časom prosto premika na polarnih ledenih kapah, se dandanes v raziskavah
večfaznih sistemov pogosto uporabljata koncepta Stefanov problem (naloga)
in brezdimenzijsko Stefanovo število [15].
Stefanova naloga ponazarja dinamiko nestalne meje med različnima fa-
zama. Stefanovega raziskovanja toplotne prevodnosti niso več spodbujali
Laméjevi problemi hlajenja Zemlje in Sonca, temveč težave s poledenelim
oceanom, ki je delal preglavice habsburškemu iskanju severnih prehodov k
Ameriki in Kitajski. Z nenadno Stefanovo smrtjo je rojevajoča se panoga
raziskovanja zamrla, še preden so njegovi učenci množično začeli razisko-
vati ta novi Stefanov problem, saj so Stefanovemu poglavitnemu učencu
Boltzmannu bolj dǐsala abstraktneǰsa znanstvena iskanja v termodinamiki.
Kmalu je za nameček sledila usodna bolezen celotne habsburške monar-
hije. Zato Stefanov problem dolgo ni mogel razviti pomembnega področja
raziskav, severovzhodni prehod pa nikoli ni postal zelo uporaben, razen so-
dobnega transporta ruskega plina in nafte. To je bil razlog za naslednja štiri
10 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 11 — #2 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
desetletja zanemarjanja Stefanovega problema, ki je znova postal priljubljen
komaj med sodobnimi raziskovalci, zaposlenimi v sovjetski naftni industriji
in metalurgiji.
Stefanovi dosežki
Med letoma 1889–1891 je Stefan predstavil svoje ideje, ki jih danes ime-
nujemo Stefanov problem. Sedem zaporednih publikacij mu je natisnila
dunajska akademija, nekatere so bile ponatisnjene v Annalen der Physik,
uvodno raziskavo o izhlapevanju in raztapljanju kot pojavih difuzije pa je
urno povzel Philosophical Magazine že januarja 1890. V nasprotju s Ste-
fanovim zakonom sta bila vsaj dva zgodnja Stefanova članka o Stefanovem
problemu hitro objavljena v Philosophical Magazine in v Parizu.
Leta 1831 sta Lamé in Clapeyron objavila prvi evropski poskus splošne
rešitve uganke, pozneje imenovane Stefanov problem [8]. Marcel Brillouin
je v Parizu leta 1929 ob Clapeyronovih dosežkih razpravljal o Stefanu [1]
in skoval naziv Stefanov problem [2]. Akademik s Collège de France Marcel
Brillouin je resno obravnaval Stefanov problem kot prvi po Stefanu. Njegov
sin je bil vodilni kvantni mehanik Léon Brillouin.
Danes priljubljeni naziv Stefanov problem je Lev Isakovich Rubinstein
(1914–2009 Jeruzalem) po prestajanju kazni v gulagu Vorkuta leta 1947
ponovno uveljavil v sovjetski naftni industriji [9, 10, 11].
To je bil drugi znova slovanski domet Stefanovega problema: od zamr-
zovanja ledu, preko naftne industrije, pa vse do metalurgije. Kot nekakšna
dialektika teze-antiteze-sinteze.
Stefanov problem zunaj zamrzovanja
Sovjetski uspeh pri reševanju Stefanovih problemov je spodbudil raziskave v
sovjetskih satelitskih državah, vključno z Bolgarijo, ki je po srečnih naklju-
čjih razvila tesne predvojne znanstvene vezi s Parižani, podobno kot njim
sosednji pravoslavni Srbi s Pavlom Savićem. Louis de Broglie je imel na
Sorbonni bolgarskega doktorskega študenta Schrödingerjeve enačbe, ki je
doktoriral junija 1938. To je bil sloviti Asen Borisov Datsev (1911–1994),
ki je pozneje raziskoval klasični problem toplotne prevodnosti. To ga je
privedlo do drugega problema v teoriji toplotne prevodnosti, ki se imenuje
problem zamrzovanja ali Stefanov problem. V številnih svojih delih je Dat-
sev poleg temeljne kvantne mehanike razvil metodo za reševanje Stefanovega
problema v različnih situacijah – pri različnem številu faz, pri različnih rob-
nih pogojih. Proučeval je nastajanje ali izginotje faze. Leta 1963 je z de
Brogliejevim predgovorom Datsev v parǐskih Mémoires de science physiques
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 11
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 12 — #3 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
objavil monografijo Linearni Stefanov problem. Datsev je obdelal spremi-
njanje temperature v prostoru, ki sta ga zasedli dve fazi določene snovi, obi-
čajno trdna in tekoča faza, na primer voda in led. Funkcije, ki predstavljajo
območja različnih faz, ustrezajo relevantnim enačbam toplote, pri čemer je
neznana ločevalna površina faz pri konstantni temperaturi, kar je povezano
s kalorimetričnim pogojem. Stefanov problem vodi do reševanja sistemov
(paraboličnih) parcialnih diferencialnih enačb z robnimi pogoji, od katerih
so nekateri spremenljivi in jih je treba v vsakem posameznem primeru do-
ločiti sproti. Stefanov problem ima različna pomembna praktična področja
uporabe, na primer hidrodinamiko, letalstvo, raketarstvo, zamrzovanje in
odtajanje ledu, notranja gibanja v Zemlji, rast kristalov ali taljenje kovin.
Datseva parǐska knjiga vsebuje rezultate njegovih raziskav o linearnem Ste-
fanovem problemu, objavljenih v Bolgariji in ZSSR predvsem med letoma
1947–1956, kot jih je izpostavil med več predavanji na Matematičnem inšti-
tutu firenške univerze maja 1967, kjer je Datsev spoznal raziskovalno ekipo
Giorgia Sestinija [3].
V prvem delu svoje knjige je Datsev obravnaval različne primere enodi-
menzionalnega Stefanovega problema, začenši z dvema neomejenima fazama
in prehajajoč zaporedoma do primerov omejenih faz, spremenljivih faz in
različnih mejnih pogojev. V drugem in tretjem delu knjige je posplošil
rezultate za dvodimenzionalne in tridimenzionalne primere, vključno z ani-
zotropnimi telesi. Ključ Datsevega pristopa je bila metoda zlepkov. Datsev
je objavljal pri Sovjetski akademiji znanosti v Leningradu ter v Parizu in
Firencah na obeh straneh železne zavese, kar pomeni, da se je popolnoma
zavedal Rubinsteinovih zaslug, prav tako pa dela de Brogliejevega kolega
Louisa Marcela Brillouina [4], čeprav Datsev ni omenil, da je bil Stefan slo-
vanskega izvora kot on sam. Princ de Broglie in Leon Brillouin sta med
prvo svetovno vojno sodelovala pri vzpostavljanju brezžičnih komunikacij s
podmornicami. Med letoma 1919–1922 se je de Broglie seznanil z deli Lo-
uisa Marcela Brillouina o Stefanovem najljubšem hidrodinamičnem modelu
atoma, ki ga je de Broglie poskušal povezati z rezultati teorije vodikovega
atoma N. Bohra. Leta 1967 je Datsev prevedel delo Alberta Einsteina in
Leopolda Infelda Evolucija fizike iz francoščine v bolgarščino. Spodbujal je
raziskave in konference o vakuumu, kvantni mehaniki in Einsteinovi relativ-
nosti v Bolgariji.
Datsevov firenški sodelavec pri raziskovanju Stefanovega problema je
bil firenški doktorski študent Giovannija Sansoneja (1888–1979), Giorgio
Sestini (1908–1991). Sestini je bil profesor racionalne mehanike v Parmi od
novembra 1949 do leta 1956, nato pa je poučeval v Firencah. V svojem
zadnjem obdobju v Parmi je k študiju Stefanovega problema pristopil z
učinkovitim prikazom procesa strjevanja ali utekočinjanja, ki ga je uspešno
12 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 13 — #4 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
razvil po svoji vrnitvi v domače Firence. V Parmi je Sestini organiziral
matematični inštitut v sodelovanju s prijateljem Antoniom Mambrianijem.
Bil je tajnik in skrbnik časopisa Matematika Univerze v Parmi (Rivista di
matematica dell’Università di Parma) od prve številke, ki je izšla leta 1950,
do leta 1956. Tam je objavljal tudi o Stefanovem problemu. Sredi dvajsetega
stoletja je začel raziskovati probleme, rešljive s paraboličnimi enačbami.
Leta 1957 je objavil svoje prve rešitve problemov faznih sprememb: O izreku
o enoličnosti pri enodimenzionalnih problemih, analognih Stefanovim [12].
V decembru 1960 je v svojem prispevku, posvečenem 70. rojstnemu dnevu
mentorja Sansoneja, že citiral Laméja, Clapeyrona, Neumanna, Stefana,
Brillouina in Datsevo reševanje dvodimenzionalnega in tridimenzionalnega
Stefanovega Problema [13].
Sestini je pri svojem pristopu k Stefanovemu problemu reševal parcialne
diferencialne enačbe na domenah, katerih meja je delno neznana: na primer
med strjevanjem tekočine vmesna plast s strjenim delom spreminja svojo
lego, torej ni znana vnaprej. Da bi realno opisali postopek strjevanja, je
treba na tej vmesni plasti preveriti nekatere ravnovesne pogoje med nezve-
znimi notranjimi vplivi snovi na vmesno strjeno plast med faznim prehodom
tekočina-trdna snov. Ravno ti pogoji nosijo Stefanovo ime. Pri transpor-
tnih problemih, proučevanih med faznimi prehodi, denimo pri zaledenitvi
vode, mora biti hitrost naraščanja vmesne plasti odvisna od nezveznega to-
plotnega toka. Sestini se je prvi v Italiji spopadel s to veliko in plodno
skupino Stefanovih problemov. Nanjo je opozoril italijansko in evropsko
matematično skupnost. Njegove raziskave Stefanovega problema so odprle
novo področje, ki je še danes aktivno, tudi za pomembne industrijske na-
mene. Sestinijeve ideje so bile osnova za nadaljnji razvoj, ki so ga omogočila
proučevanja njegovih učencev. V teh smereh se je razvijala njegova firenška
šola, ki se je mednarodno uveljavila na področju matematične fizike.
Stefanov problem iz Vorkute v Novi svet: ZDA
Bolgarski in italijanski privrženci Rubinsteinovega dela so kmalu dobili svoje
tekmece in posnemovalce v prekomorski tujini. Stefanov problem so začeli
raziskovati v Novem svetu takoj po amerǐski objavi angleškega prevoda Ru-
binsteinovega dela. Za zgodnji odmev sta poskrbela George William Evans
II (1922–1972) in Eugene Isaacson (1919–2008), ki sta sledila svojemu bol-
nemu mentorju Jamesu Keeneu Lorneju MacDonaldu (1905–1950) na Uni-
verzi v New Yorku. George W. Evans II se je kasneje pridružil Raziskoval-
nemu inštitutu Univerze Stanford.
Leta 1928 je MacDonald doktoriral na Univerzi McGill v kanadskem
Montrealu, kjer je Ernest Rutherford delal v letih 1898–1907. 14. oktobra
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 13
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 14 — #5 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
1949 so Evans, Isaacson in MacDonald z Univerze v New Yorku poslali v
objavo svojo študijo nalog, podobnih Stefanovemu problemu, ob citiranju
Rubinsteina in Datseva [6].
Evansova dela je pohvalil Jim Douglas jr. v svojem izreku o rešitvi Ste-
fanovega problema. Douglas je menil, da sta Datsev in Sestini dokazala
obstoj rešitve Stefanovega problema; vendar nista predložila nobenega za-
dovoljivega dokaza enoličnosti. Le-tega je predlagal Evans, vendar ga je
komaj Douglas končno dokazal po predlogu za poenostavitev svojega ko-
lega na Univerzi Duke Thomasa Muira Galliea Jr. (1925–2019). Kasneje se
je Gallie izkazal kot profesor matematike in računalnǐstva; ob ustanovitvi
oddelka za računalnǐstvo je izprosil nepovratna sredstva za nakup prvega
računalnika na Univerzi Duke. Douglas ni omenil Brillouina ali Rubinste-
ina: morda njunih del ni pobliže poznal. Douglas je izjavil, da je Stefanov
problem reševanje parabolične diferencialne enačbe, ki je podrejena robnim
pogojem na gibljivi meji, katere lega ni podana vnaprej, temveč je določena
kot del problema. Številni problemi v fiziki zahtevajo takšne robne pogoje,
vključno s prevodnostjo toplote, ki vključuje fazno spremembo ob taljenju
ali zamrzovanju ledu, izhlapevanju ali kondenzaciji, oziroma prekristaliza-
cija kovin kot uporaben postopek čǐsčenja snovi. Drugi vključujejo različne
postopke izpodrivanja v inženirstvu rezervoarjev kot veji naftnega inženir-
stva, pri katerih ena tekočina delno izpodrine drugo (prvotno rezidenčno)
tekočino, ki teče skozi porozno snov, vključno z nafto. To je bilo izjemno
pomembno za delodajalca Douglasa v Houstonu, Humble Oil and Refining
Co. [5]. Douglas je hkrati delal kot vodja projektov na Inštitutu Rice na
Univerzi Duke v uradu za znanstvene raziskave letalskih sil ZDA.
Evans, Isaacson in MacDonald so kmalu dobili svoje naslednike na Uni-
verzi v New Yorku, ki so nadaljevali njihova prizadevanja pri raziskavah
Stefanovega problema, začeta leta 1950. Konec petdesetih in šestdesetih let
je študent Richarda Couranta (1888–1972), Joseph B. Keller (1923–2016),
organiziral raziskavo Stefanovega problema na Courant Institute Univerze
v New Yorku. Med njegovimi podoktorskimi študenti je bil Walter Thomas
Kyner (1926–1999), ki je doktoriral na Univerzi Berkeleyju v Kaliforniji in
preživel dve podoktorski leti na Inštitutu Courant Univerze v New Yorku.
Leta 1959, ko je že prebival v Kaliforniji, je objavil svoje podoktorske razi-
skave o nelinearnem Stefanovem problemu, opravljene na Inštitutu Courant.
Hkrati je bil Kellerjev doktorski študent na Inštitutu Courant v New Yorku
Willard L. Miranker (1932–2011), ki je tam doktoriral leta 1956. O Stefa-
novem problemu sta skupaj objavljala leta 1960.
Velik del raziskav Stefanovega problema je pripadal amerǐskim podje-
tjem celo zunaj univerz. William F. Trench (1931–2016) je bil med letoma
1957–1959 vǐsji inženir in inženirski specialist v podjetju Philco Corporation,
14 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 15 — #6 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
Philadelphia, PA. Junija 1959 je objavil eksplicitno metodo za reševanje Ste-
fanovega problema kot skraǰsano disertacijo iz matematike, opravljeno na
Univerzi v Pensilvaniji, ki jo je kot izredni študent ob delu zagovarjal leta
1958 z navedbami Evansa, Isaacsona, MacDonalda, Rubinsteina in Sesti-
nija. Skliceval se je na delo študenta Lawrencea Bragga iz Manchestra, ki je
postal strokovnjak za difuzijo na Univerzi Brunel v Actonu. To je bil John
Crank (1916–2006). Trench je pohvalil tudi članek Landaua, objavljen leta
1950. Hyman Garshin Landau (1909–1966) se je rodil v Ruskem imperiju,
tako kot pet let pozneje njegov judovski kolega raziskovalec Stefanovega pro-
blema Lev Rubinstein. Landau je imel smolo med preganjanjem levičarjev v
ZDA. Leta 1946 je doktoriral iz statistike v Pittsburghu in se pridružil Bal-
listic Research Laboratories, Aberdeen Proving Ground. Od tam je poslal v
objavo svojo raziskavo prevodnosti toplote v taljeni trdni snovi, povezano s
Stefanovim problemom [16]. Po letu 1950 se je Landau pridružil oddelku za
matematično biologijo Univerze v Chicagu, ki ga je moral zapustiti po muč-
nih zaslǐsevanjih zaradi obtožb odbora za protiamerǐske dejavnosti. Leta
1952 je tako Landau postal žrtev obdobja Josepha McCarthyja. Podobno
kot so Rubinsteina pestile težave v Sovjetski zvezi, je bil tudi Landau za-
slǐsan zaradi domnevnega subverzivnega vpliva v izobraževalnem procesu.
Landau je imel srečo, saj je nato le našel delo na Univerzi Columbia. Vendar
zanimanje Landaua za tako imenovane turnirje (teorije grafov) ni izhajalo
iz njegovega proučevanja športnih tekmovanj. Kot se to pogosto dogaja v
matematiki, je bil Landauov interes nekaj povsem drugega. Zanimalo ga je
namreč vedenje živali, še posebej hierarhija v kljuvanju pri pǐsčancih, kot
so jo predhodno raziskali nacisti Konrad Lorenz (1903–1989) in Lorenzov
prijatelj SS nacistični princ Alfred Auersperg (1899–1968). Landau je bil
stareǰsi brat umorjenega televizijskega režiserja Jacka Landaua (1922–1967),
kar je prav tako lahko vplivalo na njegove politične težave v ZDA.
Stefanov problem je kmalu postal zanimiv tudi za letalstvo in razvoj
raket. Arthur Louis Ruoff (1930–) je doktoriral na Univerzi v Utahu leta
1955. Nato je kot strokovnjak za visoke tlake delal na oddelku za inženirsko
mehaniko in snovi Univerze Cornell, leta 1958 tudi v Wright-Pattersonu na
Letalski bazi v Ohiu. Leta 1958 je objavil nadomestno rešitev Stefanovega
problema.
Stefanov problem v Novem svetu: Kanada
Proučevanju Stefanovega problema so se poleg ZDA pridružili tudi Kanad-
čani. Julija 1966 je Norvežan James R. Gunderson kot Lockov podiplomski
študent na magistrskem študiju v Alberti uporabil izraza Stefanov problem
in Neumann-Stefanov problem. Skliceval se je na Evansa, Redozubova in
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 15
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 16 — #7 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Leonarda Rose Ingersolla (1880–1958). Ingersoll je zaslovel kot profesor fi-
zike na Univerzi Wisconsin-Madison, kjer je ustanovil Muzej fizike kot prvi
muzej v ZDA, ki se osredotoča izključno na fiziko. Gunderson je navedel
tudi raziskavo strjevanja jekla, ki jo je leta 1929 in 1930 objavil Nicholas
Morpeth Hutchinson Lightfoot (1902–1962) s kolidža Heriot-Watt v Edin-
burgu [7]. Izraz Stefanovo število je bil torej na drugi strani železne zavese
skovan veliko prej, kot so doslej opazili mnogi, ki navajajo Lockove pionirske
zasluge. Gundersonov profesor strojnǐstva na Univerzi Alberta v Edmon-
tonu v Kanadi je bil Gerald Seymour Hunter Lock (1935–), ki je leta 1969,
dve desetletji po prevajanju Rubinsteinovega dela v ZDA, raziskoval Stefa-
novo število brez sklicevanja na Brillouinove razprave.
Zaključek
Po doktoratu in habilitaciji v Parizu v letih 1979 in 1991 se je Domingo
Alberto Tarzia (1950–) pridružil Universidad Austral v Buenos Airesu v
Argentini, hkrati pa je deloval kot direktor raziskav Stefanovih premikajo-
čih se meja faznih prehodov na Univerzi Nevada v mestu Reno. Njegovo
delo dopolnjuje Slovenec Šarler, kar daje Stefanovemu problemu dodaten
slovenski pridih.
Stefanov problem gibljive meje ostaja živa inovativna veja znanosti tudi
pri nas.
LITERATURA
[1] M. Brillouin, Sur quelques problèmes non résolus de la Physique Mathématique classi-
que: Propagation de la fusion, Annales de l’Institut Henri Poincaré 1 (1930), 285–308;
ponatis: Pariz, 1931, str. 287, 280, 294, 296, 301.
[2] M. Brillouin, 1931, str. 300.
[3] A. Datsev, О трехмерной проблеме Стефана (O trirazsežnem Stefanovem problemu),
Doklady Akad. Nauk. SSSR, 101 (1955), 629–632; A. Datsev, Sur le problème linéaire
de Stefan, Mémoires de sciences physiques 69, Gauthier-Villars, Paris, 1970, str. 3, 4,
5.
[4] A. Datsev 1970, str. 2, 3.
[5] J. Douglas, A Uniqueness Theorem for the Solution of a Stefan Problem, Proc. Amer.
Math. Soc. 8 (1957), 402–408; G. Evans, A Note on the Existence of a Solution to
a Problem of Stefan, Quart. Appl. Math. 9 (1951), 185–193; G. Sestini, Esistenza di
una soluzione in problemi analoghi a quello di Stefan, Rivista di Matematica della
Universita di Parma 3 (1952), 3–23; G. Sestini, Esistenza ed unicità del problema di
Stefan relativo a campi dotati di simmetria, Rivista di Matematica della Universita di
Parma 3 (1952), 103–113; A. Datsev, 1950.
16 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 17 — #8 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
[6] G. Evans, E. Isaacson in J. MacDonald, Stefan-like problems, Quart. Appl. Math. 8
(1950), 312–319.
[7] J. R. Gunderson, A study of heat conduction with phase change, magistrska naloga,
University of Alberta, Edmonton, 1966, str. 1, 3.
[8] L. Rubinstein, The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, AMS,
Providence, 1971, 4–5.
[9] L. Rubinstein, On the Dynamics of Evaporation of Polycomponent Solutions in a
Nonvolatile Solvent, U.S. Atomic Energy Commission, Technical Information Service,
Oak Ridge, 1953.
[10] L. Rubinstein, Об определении положения границы раздела фаз в одномерной за-
даче Стефана (Stefanov problem). Докл. АН СССР (Doklady Akademii Nauk SSSR)
serija A 58 (1947), 217–220; L. Rubinstein, К вопросу о численном решении инте-
гральных уравнений задачи Стефана (K vprašanju numerične rešitve integralske
enačbe Stefanovega problema), Изв. вузов. Матем. (Известия высших учебных за-
ведений. Математика, Reports of Higher Schools of Mathematics) 4 (1958), 202–214;
L. Rubinstein in I. Rubinstein, Partial differential equations in classical mathematical
physics, Cambridge University Press, New York, 1995.
[11] L. Rubinstein, The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, AMS,
Providence, 1971, str. 4; A. N. Tikhonov, Functional equations of Volterra type and
their applications to certain problems of mathematical physics, Bulletin of Lomonosov
University in Moscow 1 (1938), 1–25; L. S. Leibenzon, Rukovodstvo po nefte-
promyslovo mehanike, Moskva, 1931; L. S. Leibenzon, K voprosu o zatver-
devanii zemnogo xara iz pervonaqal~nogo rasplavlennogo sostoni.
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geograf. i Geofiz. 6 (1939), 625–660.
[12] G. Sestini, Sopra un teorema di unicità in problemi unidimensionali analoghi a quello
di Stefan, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana Serie 3 12 (1957), 516–519.
[13] G. Sestini, Sul problema unidimensionale non lineare di Stefan in uno strato piano
indefinito, Annali di Matematica Pura ed Applicata 51 (1960), 203–204; Datsev 1955.
[14] B. Šarler, O Stefanovih raziskavah večfaznih sistemov, Predavanje na Institutu Jožef
Stefan, 14. december 2011, neobjavljeno, str. 21, 87.
[15] B. Šarler, Stefan’s work on solid-liquid phase changes, Engineering analysis with bo-
undary elements 16 (1995), 83–92; J. Stefan, Über die Theorie der Eisbildung, insbe-
sondere über die Eisbildung im Eismeere, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie
der Wissenschaften in Wien 98 II a (1889), str. 965; B. Šarler, O Stefanovih razi-
skavah večfaznih sistemov, Predavanje na Institutu Jožef Stefan, 14. december 2011,
neobjavljeno, str. 10.
[16] W. F. Trench, On an explicit method for the solution of a Stefan problem, J. Soc.
Indust. Appl. Math. 7 (1959), 184–204. 1959, 7/2, 181–182.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 17