m Ds FRANT. RYT. MOČNIKA Aritmetika i Algebra PRO VYŠŠI TRIDY ŠKOL STREDNICH. Dle 14. vydanf preložil a dodatky s p i s o v a t e 1 o v y m i opatfil F. A. HORA, prof. na vySšim realnem gymnasin v Plzni. (Se šesti obrazci.) Y PRAZE 1875. Ndkladem B. T e m p s k e h o. /f (s J M 3 -f o> X t> 1'iskem Jindf, Mercv-ho v Praze. Predmluva. Učebne knihy dra. Frant. ryt. Močnika teši se všim pravem ueobyčejne prizni v kruzich učite!skycb, eož mne po- hnulo, abyeh preložil jeho algebru, ktera se dočkala již vydani etrnacteho. Pri teto priležitosti vyslovuji povinne diky slo- vatnemu panu spisovateli, jenž z vlastniho popudu laskave mi propujčil sve opravy, uchystane pro prišli vvdani nčmeckč, jakož i e. k. univ. prof. p. dru. F. J. Studničkovi za vzacnč pozuamkv, jimiž platne prispel ku zdokonaleni meho rukopisu. V PLZNI, v červnu 1875. F. A. Hora, O b s a h Stranka £lvo b, v kterčmžto pfipade za- jiste take b < a, čili b jest menši než a. Vyrazy tvaru a>b, aneb b < a slovou nerovnosti. Znači-li a a, b jakakoli dvč čisla (aneb veličiny), musi bud a > b, aneb a = b, aneb a < b, což pišeme take takto: a == b. §. 5. Určime-li z danych čisel pfedepsanym jich spojenim čislo nezname — počitame. čislo takto určene slove vy- sledek početny. Klademe-li ve spojeni čisel misto obecnjch čisel (pismen) zvlaštni hodnoty čiselne, a provederne-li jimi počet pfedepsany — dosazuj eme. Čitani jest nejjednodušši zpusob početny; možna z nčho odvoditi všecky ostatni vykony početne. Seči ta ti jest, v prirozene radč čisel od dančho čisla po- kračovati o dan^ počet jednosti; vykon opačny nazyva se od¬ čitanim. Sečitani sobč rovnych činitelfl slove nasobeni, 3 apačny vykon pak delen 1. Nasobenl sobš rovnych čisel privadi na čisla vyššlho fadu; počet, jlmž tato vyhledame, jmenuje se umocfiovanl, z jehož obracenl vychazl dobyvanl kofene a logarithmova.nl. Jest pak pfednl ulohou arithmetiky, vyšetfovati zakony vykonu zde naznačenych. Nauka, ktera se zanašl použlvanlm techto zakoni! k rešeni uloh tim zpusobem, aby vztaby znamfch a neznamych čisel vyjadfily se rovnicemi, z nich pak vyhledaly se bodnoty čisel neznamych, slove algebra. (P o z n. Obe tyto časti mathematiky jmenuji se často co celek: vše- obecna arithmetika.) §. 6. Nauky mathematicke zakladajl se na jistych včtacb, kterčž jsou patrny tak, že nevyžadujl žadneho oduvodnenl. Ta- kovčto zakladni včty slovou zasady samozrejme (axiomata). Včty, kterež samy o sobe nejsou zrejmy, jichžto pravdivosf teprv z jinych včt za pravd uznanych musl se vyvoditi, nazyvajl se poučkami; tyto musejl b^ti dokazany. Veta, jejlž pravdivosf vysvlta prlmo z vysvčtlenl pojmu aneb z vetv dokazane, slove vysledek. §. 7. Všeobecne zasady mathematicke: 1) Každa veličina jest sobč rovna; u pf. a = a. 2) Jsou-li dve veličiny rovny veličine treti, jsou i sobč rovny. Je-li u pf. a = c a b = c, jest i a = b. 3) Rovne veličiny stejne zmenčny dajl rovne veličiny. 4) Celek rovna se všem sv^m častem. 5) Celek jest vštšl nežli jeho časf. 6) Je-li jakasi veličina rovna druhe, ale tato vštšl (menšl) nežli treti, jest i prvnl vštšl (menšl) nežli tfetl; u. pf. a = b a = b b > c b < c tedy a > c; a < c. 7) Je-li jakasi veličina vštšl (menšl) nežli druha, a tato opšt vštšl (menšl) nežli tfetl, jest prvnl veličina tim vštšl (menšl) nežli tfetl; u pf. je-li a > b, a < b, b > c, b < c, jest i a > c; a < c. Čast prvnl. Sečitam a odčitani. I. Sečitdni prostych čisel celistvych. §. 8. 1) K čislu a pripočisti čislo b znamena hledati čislo e, ktere ma tolik jednosti jako a a h dohromady. Pišeme pak a + b = c, a čislflm a a, b fikame sčitanci, a + b součet; c jest hodno ta součtu, kteraž take se vyznačuje uzavorkovanym vyrazera (a + b). Chceme-li pr o ves ti sečitani dvou čisel a a, b, kračime v prirozene rade čisel, počinajice čislem a, o tolik jednosti ku predu, kolik jich obsahuje 5; čislo, k nemuž takto dospčjeme, jest hledany součet. Upr. 5+ 3 = 5 + 1 + 1 + 1 = V^sledek. Je-li jeden sčitanec nulla, součet rovna se sčitanci druhemu; u. pr. 0 + a = a; a + 0 = a; 0 + 0 = 0 . 2) Součet nčkolika čisel obdržime, pripočteme-li k součtu prvnich dvou čisel treti čislo, k novčmu součtu čislo čtvrte a t. d. Protož a + b + c = (a + b) + c, a + b + c + d = [(a + b) + c] + d. §. 9. Klademe-li obecne čislo nekolikrate co sčitance, naznačime součet zkracene tak, že napišeme obecne čislo jen jednou, pred nč pak postavime čislo, kterež ukazuje, kolikrate obecne čislo co sčitanec bylo kladeno; u pr. a + a + a + a + a = 5a. Vevyrazu 5a slove a veličina hlavni a 5 součinitel. I obecne čislo muže byti součinitelem; u pf. ma = a + a + a + a+ . . . (mkrat). Vyrazy se stejnymi veličinami hlavnimi jmenuji se stejno- j me n n e, u pf. 5a a 6a, 3x a x, vyrazy s ruznymi veličinami hlavnimi slovou rfiznojmenne, u. pf. 3a a 7b, 5x a 5y. 5 §. 10. Sčltanci, v kteremkoli pofadku sečltani, davajl tentyž součet. a -f- b — b -j- a. a -f- b -f- c — a -f- c -f- b — b -f- a -f- c — b -j- c -f- a — . . . . D u k a z. Množstvl jednostl obsaženych ve sčltanclch zfistane totež, nechf jdou po sobč v kteremkoli pofadku; proto take bodnota součtu musl tataž zftstati. §. 11. 1) K součtu se pripočte čislo, pripočteme-li je k nekteremu sčltanci. U pf. (a + b) + c = (a + c) + b = a + (b + c). 2) K čislu se pfipočte součet, pfipočteme-li k nčmu po jednom všecky sčltance. U pf. a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) -f b. 3) Dvasoučtysečltame, pfipočteme-li pofadem každčho sčltance drubeho součtu ku kterčmukoli sčltanci součtu prvnlho. U pf. (a + b) -j- (c d) = (a -|- c) -f- (b -f- d) = (a -j- d) + (b + c). Pravdivosf tčchto tfl včt vysvlta pflmo z §. 10. (Zobrazte pfedcbazejici tri všty na primce čiselnš [§. 2] pro určitd hodnoty veličin a, b, e a d.) §. 12. Mame-li sečltati stejnojmennč vyrazy, se- čteme jejich součinitele a naplšeme tento součet pfed společnou veličinu blavnl. ma + na = (m -f- n) a. Dukaz. ma = a + a + a+. . . (mkrat) na = a -}- a -f - a + • • • (nkrat), protož ma + na = a + a+a-f- . . . (m + n)krat = (m + n) a. U pf. 3a + 4a = (3 + 4) a = 7a. §.13. 1) Kovne krovnemu pfipočtčno dava r o v n e. a = b c — d; _ a + c = b + d, což vysvita pflmo z §. 7., 3). 2) Rovnč pfipočtčno k nerovnemu dava ne- rovne s tymž znamčnkem nerovnosti. a > b, _ c — d; _ a + c > b + d. 6 Dukaz. Je-li v čislo, kterež musi byti pfipočtčno k b, abychom obdrželi a, tedy a = b + v, protož dle 1): a + c = b + v + d. Ale b + v + d>b + d (dle §. 7., 5), tedy take a + c > b + d. 3) Nerovne pfipočtčno k nerovnemu s tymž znamčnkem nerovnosti dava nerovne se znamčnkem nerovnosti taktčž položenym. a > b, c > d; _ a + c > b + d. Dukaz. Budiž c = d + v, tedy dle 2) a -f- c > b + d + v. Ale b-j-d-fv>b-j-d (§. 7., 5), protož take a -J- c > b -f- d. (§• 7., 7). II. Odčitani prostych čisel celistvych. §. 14. Od čisla a odčitati čislo b znamena, z a jakožto součtu dvou čisel a z b jakožto jednoho sčitance hledati druhčho sčitance c. Pišeme pak a — b = c, nazyvajice a menšencem, b menšitelem, a — b rozdilem či zbytkem. čislo c aneb uzavorkovany vyraz (a — b) slove h o dno ta rozdilu. Rozdil vyjadčuje tedy čislo, kterčž pfipočtčno k menšiteli davd menšence, t. j. (a — b) + b = a. Chceme-li provesti odčitani dvou čisel a & b, kračime v pfirozenč fadč čisel, počinajice menšencem a, o tolik jednosti nazpet, kolik jich obsahuje menšitel J; čislo, k nčmuž takto dospejeme, jest hledany rozdil. U pr. 7-3 = 7 — 1-1 — 1 = 4. Odčitani muze jen tehdy byti provedeno v pfirozenč fade čisel, neni-li menšitel vetši nežli menšenec, jinak bychom od menšence nemohli o tolik jednosti kračeti nazpčt, kolik jich obsahuje menšitel, pončvadž pfirozena, rada čisel nullou pfestava. U nasledujicich včt zatim tedy budeme predpokladati, že menšitele uvedenych rozdilu nejsou včtši nežli jejich menšenci. 7 §. 15. Z pojmu odčitani plynou nasledujici Vysledky: 1) Pripo6teme-li menšitele k rozdilu dvou čisel, obdržime menšence. (a — b) + b = a,' b + (a — b) = a. 2) Odečteme-li od součtu dvou čisel jednoho sčitance, dostaneme sčitance druheho. (a + b) — a = b, (a + b) — b = a. 3) čislo se nemčni, jestliže k nšmu jakčkoli čislo pripočteme a zaroveii totež čislo od nčho odečteme. U pr. a = (a + b) — b, a = (a — b) + b. Sečitani a odčitani jsou tedy vykony protivne; toto jest obraceny vykon onoho. 4) J e -1 i menšitel roven menšenci, rozdil rovna se nuli e. a — a = 0. 5) Je-li menšitel nulla, rozdil rovna se menšenci. a — 0 = a, 0 — 0 = 0. §. 16. Mame-li čislo odečisti od součtu, odčitame je od nčkterčho sčitance. (a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c). Zde se pfedpoklada dle §. 14., že a > c a b > c. Pravdivost včty teto plyne primo z pojmfl sečitani a od¬ čitani. Kračime-li totiž v pfirozene radš čisel od a nejprve o b jednosti v pred a odtud o c jednosti nazpčt, dospčjeme z a. celkem o b — c jednosti v pfed, tedy k čislu a + (b — c); k tčmuž čislu a + (b — c) dospčjeme však tčž, kračime-li od a nejprv o c jednosti nazpet, potom však o b jednosti v pfed, pončvadž tim zpusobem z a takč celkem dospčjeme v pfed o b — c jednosti. (Tyto, .jakož i nasledujici vety zobrazte na primce ciselne pro určite hodnoty veličin a, b, c.) Vysledek. Ma-li se k čislu pfipočisti jinč čislo a od nčho odečisti tfeti, zustane vysledek tentyž, nechf sečitame a odčitame v kteremkoli pofiidku. §. 17. Čislo se pfipočte k rozdilu, pfipočteme-li je k menšenci, aneb odečteme-li je od menšitele. (a — b) + c = (a + c) — b = a — (b — c), kde pfedpokladame, že b > c. 8 Dflkaz podoba se pfedešlčmu v §. 16. §. 18. čislo se odečte od rozdilu, odčitame-li je od menšence anebo pfipočteme-li je k menšiteli. (a — b) — c = (a — c) — b = a — (b -j- c). Pravdivosf všty teto plyne jako v §. 16. pfimo z pojmu odčitam, použijeme-li zaroven §. 10. Vysledek. Ma-li se od čisla odčitati dve čisel, odčitejme je budi jednotlivč v kteremkoli pofadku, aueb možna ihned součet obou odečisti. §. 19. 1) Součet odečte se od čisla, odčltame-li jednotlivč sčitance. (Obraceni §. 18.) a — (b -f c) = (a — b) — c = (a — c) —- b. 2) K čislu se pfipočterozdil, pfipočteme-li menšence a odečteme-li menšitele. (Obraceni §. 16.) a + (b — c) = (a + b) — c = (a — c) + b. 3) Od čisla odčita se rozdil, odečteme-li menšence a pfipočteme-li menšitele. (Obraceni §. 17.) a — (b — c) = (a — b) -j- c = (a + c) — b. §. 20. 1) K rozdilu pfipočte se rozdil, odečteme-li od součtu menšencu součet menšitelu. (a — b) -}- (c — d) = (a + c) — (b + d). 2) Ma-li se rozdil odečisti od rozdilu, odečteme rozdil menšitelu od rozdilu menšencfl, anebo pfipočteme k men- šenci a menšiteli prvniho rozdilu vztažne menšitele a menšence drukeho rozdilu a od prvniho součtu odečteme druh^. (a — b) — (c — d) = (a — c) — (b — d) = (a + d) — (b + c). Pravdivosf tčchto dvou včt dokažeme opčtnym použitim §§. 16. - 19. §. 21. 1) Součet se nemšni, pfipočteme-li jakčsi čislo k jednomu sčitanci, a odečteme-li totčž čislo od sčitance druhčho. Jest totiž a+b = a+Kb-c) + c| (§.15.,3) = (a + c) + (b-c) (§.11., 2); a+b = a+|(b + c)-c|(§.15. J 3) = (a-c) + (b + c) (§. 19., 2) 2) Rozdil se nemčni, pakli k menšenci a men¬ šiteli totčž čislo pfipočteme aneb od obou totež čislo odečteme. Jest totiž a—b = a-|(b + c) —c|(§.15.,3) = (a-fc) — (b + c) (§. 19., 3); a — b = a — *(b—c) + c| (§. 15., 3) = (a—c) — (b—c) (§. 19., 1). 9 §. 22. Mame-li odčitati stejnojmenč vyrazy, odčltame součinitele a rozdll tento naplšeme pred společnou hlavnl veličinu. ma — na = (m — n) a. Dfikaz. ma = a+a+a-t- ■ • • (mkrat), __na = a+a+a+ • • • (nkrat); protož ma—na = a+a+a-j-. • . (m—n)krat=(m—nja. U pr. 5a — 2a = (5 — 2) a = 3a. Sečltanl a odčitani mnohočlenfi. §. 23. Majl-li ve spojeni čisel, pfedepsanem znamenky + a—, takto naznačene vykony provesti se v pofadku, v nemž tato čisla se svymi znamčnky jdou po sobč od leve ruky ku prave, mužeme vynechati zavorky, aniž bychom určitosf porušili. Dle toho možna psati u pr. [(a + b) + c] + d = a -j~ b + c + d, [(a — b) + e] — d = a — b + c — d, [(a — b) — c] — d = a — b — c — d^ Vyraz, v nemž naznačeno jest nebolikero sečltanl a odčitani čisel, nazyva se mnohočlenem (polynom). Čisla, ktera se maji sečltati, jmenujl se s četne, a ktera se maji odčitati, od-: četne členy v^razu. Člen, pfed nlmž nenl znamenka, ma se za sčetny. Vyraz o dvou členech slove dvoučlen (binom), o trech členech tfIČlen (trinom), o jedinem členu jednočlen (monom). Vysledky. 1) V mnohočlenu mohou sčetne a od- četne členy jlti po sobč v kteremkoli pofadku. Yysvlta z §. 10., §. 16. vysl. a §. 18. vysl. 2) Každy mnobočlen lze promčniti v rozdll, jehož menšencem jest součet všech členu sčetnych, men- šitelem pak součet všech členu odčetnych. a + b — c + d— e~ a+b+d — c — e — (a b -j- d) — (c -j- e), dle §. 18. vysl. §. 24. 1) K čislu pfipočte se mnohočlen, pakli členy jeho jednotlivš k čislu pfipočteme aneb od nčho odečteme, jsou-li jednak sčetnč, jinak odčetne. a + (b — c — d + e — f) = a-f-b — c — d + e~l. 10 Dukaz. a + (b — c — d + e — f) = a + [(b + e) — (c + d 4- f)] dle §. 23., vysl. 2. = [a + (b + e)] - (c + d + f) dle §. 19., 2. = a + b + e —c-d-f (§. 11., 2. a§. 19., 1), = a + b — c — d + e — f (§. 23., vysl. 1). 2) Od čisla odečte se mnohočlen, pakli členy jeho jednotlivč od čisla odečteme aneb k nemu pfipočteme, jsou-li jednak sčetne, jinak odčetne. a — (b—c — d-fe-f) = a- b + c-fd-e + f. Ddkaz podoba se pfedešlčmu. Vysledky. 1. Každy uzavorkovany vyraz mužeme psati bez zavorek; je-li pred zavorkou znamenko 4, zustane pak cely vyraz beze,zmčny, je-li však pfed zavorkou znamenko —, pro- mčni se znamenka všech uzavorkovanych členu v opačna. 7ykonu tomu fikame: vypustiti zavorky. U pf. a — [5b — f(3a + 2c) — 2b| + (2a — 4c)] = a — 5b + {(3a -f 2c) — 2b| — (2a — 4c) = a — 5b + (3a -f- 2c) — 2b — 2a + 4c = a — 5b + 3a + 2c — 2b — 2a + 4c. 2) Naopak možna v každem mnobočlenu nčkolik členfi uzdvorkovatiklademe-li zavorku za znamenko +, zflstanou znamenka uzavorkovanych členu beze zmčny, klademe-li ji za , musime znamenka všech uzavorkovanych členu promeniti v opačna. 3) Mnohočlen se stejnojmennymi členy mužeme sni matij sečteme všecky stejnojmenne členy sčetne, pak odčetne, a tento součet odčltame od onoho. U pf. 6a — 5a — 3a + 8a — 2a = (6a + 8a) — (5a 4 3a 4 2a) = 14a — lOa = 4a. §. 25. 1) Rovne od rovnčho odečtčno dava rovne. a = b, e = d; tedy a — c = b — d, což plyne pfimo z §. 7., 3). 2) Rovne od nerovnčho odečtčno dava nerovnč s tymž znamčnkem nerovnosti. Je-li a > b, _ c — d; _ a — c > b — d. tedy 11 D uk a z. Nebylo-li by a — c > b — d, muselo by a — c < b — d, ale pak by_tež (a — ' c) + c d, _ bude a — c < b — d. D d k a z. Kdyby a — c "> b — d, muselo by v obou pfipadech (a — c) + c > (b — d) -f- d dle §. 13., 2) a 3), protož a > b (§. 15., 1), což se neshoduje s podminkou. 4) Nerovne od nerovnčho odečtčno pri pro- tivnych znamčnkach nerovnosti dava nerovne se znamenkem nerovnosti, kterčž jest v menšenci. Je-li a > b, c b — d. D ukaz. Kdyby a — c < b — d, muselo by v obou pfipadech (a — c) + c < (b — d) + d dle §. 13., 2) a 3), protož a < b (§. 15., 1.), což odporuje podmince. III. Pojem čisla rozširen odčitanim. 1. Čisla zaporni. §. 26. Posud jsme (§. 14.) u všech rozdild pfedpokladali, že menšitel jest menši nežli menšenec, pončvadž jen v tomto pfipadč Ize provesti odčitani v rade čisel prirozenych. Maji-li tedy pravidla vyvinuta o odčitani nabyti platnosti pro kterekoli hodnoty menšence a menšitele, musime všeobecny pojem odčitani, dany rovnici (a — b) + b = a, rozširiti takč na rozdil a — b, kde b > a, z čehož jde, že pak všech včt, dokazanych o rozdilu a zakladajicich se vesmčs v onč rovnici, použiti Ize i pri tomto poslednim rozdilu. Je-li tedy v rozdilu a — b čislo b > a, tak sice, že b = a -f- n, a použijeme-li zde včty §. 19., 1), bude a — b = a — (a + n) = (a —*a) — n = O — n. 12 Bozdll O — n dle dosavadnlho pojmu čisla nema smyslu; vede nas k novemu tv aru čisla, jemuž flkame čislo za¬ por n č a jež označujeme — n. Z O — n = — n plyne pak (— n) + n = 0. Zaporne čislo — n znamena tedy čislo, k nčmuž muslme pripočlsti n, abychom obdrželi 0. Dosavadnl čisla pfirozene fady čisel co opak čisel zapornych slovou klad na a označuj! se znamčnkem +. Chceme-li v fade čisel znazorniti vztah čisel zapornych ku kladn^m, muslme puvodnl fadu čisel, pokračujlcl od 0 ku pfedu až do nekonečna, dle tehož zakona rozšlfiti take nazpčt, a člslflm utvoren^m pod nullou dati znamenko —, načež puvodnl čisla obdrži znamenko +. Tlmto rozšlfenlm vznikne dvojstranna rada čisel - • • • — 3, — 2, — li 0, -f- 1, -j- 2, -f- 3,. . . . , v nlžto čisla zaporna dle stejneho zakona sestrojovaclho radi se ku kladnym. -f n znamena tedy n jednostl čltanych od 0 ku pfedu, — n značl n jednostl od O nazpžt čltanych. Žadu čisel takto rozšlfenou lze zcela jednoduše zobraziti na pflmce člselnč. -5_4 —3—2 —1 0+1 +2+3 +4 +5 y 0 x Chceme-li od čisla 5 odečlsti čislo 3, kračlme v pravo v rade čisel z mlsta 5 nazpčt o 3 jednosti, až dojdeme na mlsto x; jest pak x = 5 — 3 = 2. A naopak: mame-li od čisla 3 odečlsti vštšl čislo 5, musejl v levo od 0, abychom mohli provčsti odčitani, nalezati se ještč body, k nimž bychom došli pokračovanlm nazpčt Prodloužlme-li tedy prlmku člselnou z krajneho bodu 0 ve smšru opačnera, a nanesše i zde stejne delky kračlme-li z mlsta 3 o 5 jednostl nazpčt, dojdeme na mlsto y, tak že y = 3 — 5. Ale tam bychom takč pfišli, kdybychom z 3 kračeli nazpet nejprvč o 3, a pak ještč o 2 jednosti; proto take y = 3— 3 — 2 = 0 — 2, což naznačlme tež — 2; bude tedy 3 — 5 = — 2. Stejnym zavčrkem se pfesvčdčlme, že vždy dvč a dvč mlsta pflmky člselne, od nulloveho bodu stejnč vzdalena, tymž člslem jsou označena, že však čisla, položena na stranč, kter&ž jest naproti smeru puvodnlmu, maji stale znamčnko —. Čisla 13 v puvodnim smšru pfimky čiselne musfme pak naznačiti zna- mčnkem +; nebof kračime-li od 0 v pfivodnim smčru o 2 jednosti ku pfedu, dojdeme na misto 0 + 2 = 2. §. 27. Čisla opatrena znamenky slovou vztažna (rela¬ tivna) čili algebraicka; čisla beze znamčnek jmenuji se prosta (absolutna). Každe algebraicke čislo se sklada ze znamenka a z hodnoty proste. Znamenko udava, že čislo se naleza v fadš čisel na kladne aneb zaporne stranč; prosta hodnota však udava, ktere misto algebraicke čislo zaujima v čade čisel kladn^ch aneb zapornych. (Obou znamenek nemlisi se vždy uživati; obyčejn§ vynecbavame zna- menko +, kde tim ani smysl ani souvislost poetu se neporusi.) Dve algebraicka čisla, majici tutež prostou hodnotu ale znamčnka rozlična, jmenuji se pr o ti v n a. Veličiny jako: pohyb na sever a na jih, stoupani a klesani, jmčni a dlub, vyška nad a pod hladinou mofskou, roky pred Kristem a po jeho narozeni a t. d., kterčž mužeme čitati ve smyslu jednom aneb druhčm jemu proti vnem tak, že stejne množstvi z obeho čitani dava 0, slovou veličiny protivne. V mathematice označuj eme jednu z veličin protivnych, kteroukoli sice, ale dusledne, znamenkem -j-, druhou znamenkem —. Mčli bychom u. pr. z nasledujiciho udani vypočitati, kdy se udal dej C: a roku po Kristu stal se pribeh A, o b rokfl po-zdšji pribeh it, a o c rokfl drive než B pribeh C; tedy hle- dana doba x = a -f b — c. Dosadime-li hodnoty za a, b, c a bude-li vysledek — n, možno rici, že džj C se udfll n roku pred Kristem. Vfibec: zaporna hodnota —n hledanč veličiny sc vždy znamena, že veličina se meri n jednostmi, ale ve smyslu, jenž jest protivou pflvodniho v počet uvedeneho. 2. Sečitani a odčitani algebraickyeh čisel celistvych. §. 28. Nasledkem pojmu čisel, rozšifeneho zavedenim čisel zapornych, musime pfimčfenč rozšifiti take pojmy vykomi, aby poučky, jichžto platnosf dokazana byla predevšim pro čisla prosta, mokly se vztahovati take na čisla algebraicka. 14 Dvč algebraicka čisla sečitati jest, hledati čislo, kterčž obsahuje tolik kladnych a tolik zapornych jednosti, kolik oba sčitanci dohromady. Abychom podlč tohoto vysvštleni ob- drželi součet dvou čisel algebraickych, musime v čadš čisel od prvniho sčitance o počet jednosti druhčho (§. 8., 1) pokračovati tak, jak udava druh^ sčitanec svym znamčnkem, t. j. musime kračeti ku pfedu, je-li druhy sčitanec kladny, tudiž nazpšt, je-li zaponrf. Vysledky. 1) Sečitani kladnčho čisla jest se¬ čitani jeho prostč hodnoty; sečitani zaporneho čisla jest odčitani jeho proste hodnoty. Je-li b čislo proste, tedy a -f- (-j- b) = a -f b, a (— b) = a — b. 2) Mame-li sečitati dvč čisla se stejnymi zna¬ ni enky, sečteme jejich prostč hodnoty a pfed tento součet na- pišeme společne znamenko. (+ a) + (+ b) = + (a + b), (- a) + (- b) = - (a + b). 3) Dvč čisla s rflzn^mi znamenky sečitame, jestliže menši prostou hodnotu odečteme od vetši a pfed rozdil napišeme znamenko vetši prostč hodnoty. (+ a) + (— b) = + (a — b), aneb = — (b — a), (— a) + (+ b) = — (a — b), aneb = + (b — a). 4) Součet dvou protivnych čisel rovna se nulle. (Dvš protivna čisla se ruši.) (+ a ) + (—■&) = 0. (— a) + (+ a) = 0. §. 29. O odčitani algebraickych čisel plati beze zmčny, co v §. 14. všeobecnč bylo vysvetleno. Chceme-li zde obdržeti rozdil čitanim, musime dle §. 14. v rade čisel od men- šence pokračovati o počet jednosti menšitele tak, jak udava menšitel svym znamenkem, t. j. kračeti nazpčt^ je-li menšitel kladny, a ku pfedu, je-li menšitel zaporny. Vysledky. 1) Odčitani kladneho čisla jest od¬ čitani prostč jeho hodnoty; odčitani čisla zapor¬ neho jest sečitani jeho prostč hodnoty. Je-li b čislo proste, tedy a — (+ b) = a — b, a — (— b) = a + b. 2) Dvč algebraicka čisla sečitame, jestliže k ne- zmčnčnemu menšenci pfipočteme menšitele s opačnym zna¬ mčnkem. 15 (+ a) — (+ b) = (+ a) — b = (+ a) -f (— b) dle §. 28. vysl. 1), (+*)'- (- b) = (+ a) + b = (+ a) + (+ b), (-a)-(+b) = (-a)-b = (-a) + (-b), (- a) - (- b) = (- a) + b = (- a) + (+, b). §. 30. Součet, jehožto sčitanci jsou čisla algebraicka, na- zyvame součtem algebraickym. U pf. (+ a) + (- b) + (- c) + (+ d) + (- f). Rozdil dvou čisel algebraickych mužeme psati jakožto součet algebraicky (§. 29. v^sl. 2). 1) Každy mnohočlen promenime v algebraicky součet, jestliže považujeme znamenka početna za znamenka jakosti a čisla, ktera takto obdržime, klademe co sčitance. a _ b - c + d = (+ a) + (- b) + (— c) + (+ d). Vysvita z §. 28. vysl. 1). 2) Každy algebraicky součet promčnime v mnohočlen, vypustime-li zavorky a znamenka sečitani, a považujeme-li pak znamenka jakosti za znamenka početna, (+ a ) + (— b) + (— c) + (-j- d) = a — b —- c + d. Plyne z 1). 3) V algebraickem součtu mohou sčitanci jlti po sobe v kterčmkoli pofadku. Vysvita z 1) a 2) a zaroveii z §. 23. vysl. 1). §. 31. V algebraickych součtech všeobecne vynechavaji se zavorky, jakož i znamenka sečitani. V tomto tvaru součet alge- braicky lisi se od mnohočlenu jen tim, že početna znamčnka -j- a — v mnohočlenu musime v algebraickem součtu považovati za znamenka jakosti, t. j. sčetnč a odčetne členy mnohočlenu v algebraickem součtu vztažne za sčitance kladnč a zaporne. Na hodnotu obou tento rozličny vyznam znamenek nema vlivu, jakož vysvita z §. 28. vysl. 1). Z toho jde vzhledem k §. 24., 1) a 2): 1) K čislu se pfipočte součet algebraicky, pfi- počteme-li k nemu j ednotlive sčitance v kterčmkoli pofadku s jejich znamčnky jakosti. 2) Od čisla odečteme součet algebra.icky, jestliže k nemu pfipočteme jednotlive sčitance v kterčmkoli pofadku s opačnymi znamenky jakosti. §. 32. Všecky včty o součtech a rozdilech odvozenč pro čisla prosta lze konečnš svčsti na poučku o vymčnč sčitancu 16 (§. 10). Ale tato poučka jest platna (dle §. BO., 3) i pro čisla algebraicka; protož všecky vety dokazane posud o prost^ch čtslech celistvych vztahuji se takč k ce- listvym čislum algebraickym. Dodatky. 1) Tim jest zarovefi zrušeno omezeni, vyslo- vene o rozdilech v zavčrečnčm odstavci §. 14. 2) Nerovnosf dvou čisel (§. 4.) dlužno nyni vysvčtliti zpflsobem tim, že ono čislo jest menši, k nšmuž musime pfi- počisti čislo ki a dne, abychom obdrželi čislo druhe. Je-li m > n, musi — m < — n. Mimo to jest vubec + m > o, — m d, tedy ac > bd. Dfikaz. Budiž c = d -f- v, tedy dle 1) ac = b (d + v), čili ac = bd + bv. Ale bd -j- bv > bd (§. 7., 5), tedv take ac > bd. 3) Nerovne nasobeno nerovnjm pfi temže zna- menku nerovnosti dava nerovne s tymž znamenkem nerovnosti. Je-li a > b, _c j> d^ tedy ac > bd. D ukaz dle 2) a §. 39., 1) podoba se pfedešlemu. 23 II. Delen! prostych čisel čelist vycli, §. 44. Čislo a džliti čislem b znamena, ze součinu a dvou čisel a z b jakožto jednoho z tčchto činitelfi hledati či- nitele druheho. Dan^ součin a slove dčlenec, dany činitel b d šiit el, a činitel, ktereho hledame, podil: Tohoto označujeme a : b aneb -r-. b Podil je tedy vjraz čisla, jehož součin s dčlitelem rovna se dčlenci, t. j. (Je-li dan nasobitel co delite], dčleni c o do pojmu podstatnč se lisi od dčleni, kdy nasobenec dan jest co dčlitel. V prvnim pripade jest sku¬ te čnč deleni, pri nemž lileda se dil, jenž tolikrat položen, kolik udava dšlitel, da delence; delitel v tom pripadč jest čislo bezejmenne, dčlenec muže miti jmeno, jež podrži pak i podil. U pr. 15 zl. : 3 = 5 zl. V dru- bčm pripadč dčleni jest porovnani čili mčreni, pri čem se vyšetrnje, kolikrat jest dčlitel obsažen v dčlenci; je-li zde dčlenec pojmenovan, musi dčlitel byti stejnojmenny, podil jest čislo bezejmenne. U pr. 15 zl.: 3 zl. = 5. Podil co pouhč čislo musi vsak pri stejnem dčlenci a dčliteli v obou pripadech byti tentyž (§. 35.); pri odvozovani pravidel o dčleni neni tedy treba tyto dva druhy dčleni zvlaštč rozeznavati.) Chceme-li provesti dčleni, hledame bud 1 v fadč čisel ono čislo, jež tolikrat položeno, kolik udava dčlitel, da dšlence, aneb odčitame dčlitele nejprve od delence, pak pokažde od zbytku, kolikrat vubec možna; čislo, kterež uddva, kolikrat jsme odči¬ tali, jest podil. Dčleni dvou čisel možna jen • teh,dy provesti v pfirozene rade čisel, je-li dčlenec nasobkem dčlitele (§. 33., 1). V nasledujicich včtach budeme tedy prozatim pfedpokla- dati, že dčlenci pfichazejicich podild jsou nasobky svych dčlitelu. §. 45. Vysledky. 1) Podil dvou čisel nasoben dč¬ litelem dava dčlence. (a : b) . b = a; b . (a : b) = a. 2) Součin dvou čisel dčlen jednim činitelem d&va druhčbo činitele. ab : a = b; ab : b = a. 3) čislo se nemčni, nasobime-li a dčlime-li je tymž čislem. a = (ab) : b; a = (a : b) . b. 24 Nasobeni a dčleni jsou tedy vykony protivne; toto jest obracen^ vykon onoho. 4) Každe čislo dčleno sebou samym dava 1 za podil. a : a = 1; nebof 1 . a = a. 5) Každe čislo dčleno 1 davd sebe samo za podil. a : 1 = a; 1:1 = 1. 6) Nulla dčlena čislem, ktere se lisi od nully, dava za podil nullu. 0 : a = 0; nebof O . a = 0. 7) Nulla dčlena nullou dava za podil čislo kte¬ rekoli. 0 : 0 = a, kde a jest čislo kterekoli; nebof a . O = 0. Vyraz je tedy v^znak neurčitosti. 8) Čislo (konečne), ktere se liši od nully, dčleno nullou dava podil nekonečnč veliky, t. j. čislo včtši nežli každe čislo možne či stanovitelne. Nekonečnč velike čislo označujeme oo. Je-li a : b = c, tedy cb = a, a ubyva-li dčlitele b pri temže delenci, bude c toutež mčrou rftsti; je-li pak dčlitel b = O, bude c včtši nežli kterekoli čislo stanovitelne, t. j. nekonečnč velike, protož a : O = oo. 9) Čislo (konečne), kterč se liši od nully, dčleno nekonečnč velikym čislem dava za podil nullu. a : oo = 0. §. 46. Součin se dčli čislem, dčlime-li jim ktereho- koli činitele. ab _ a jj _ a c “ c ~ * c D fi k az. 1) ab = i(a :c) ; c i^ b (§. 45., 3) = 36., 1) c c c = (a:c) . b (dle §. 45., 2). 2 ) T = T = T- a(dlel * ) = a 'T- V^sledek. Ma-li se čislo nasobiti jakymsi či¬ slem a opčt jinym čislem dčliti, nezaleži na tom, v kterčm pofadu nasobime a delime. 25 §. 47. Podil se nasobi čislem, nasobime-li jim delence aneb dčlime-li jim dčlitele. §. 48. Podil se dčli čislem, dčlime-li jim dčlence aneb nasobime-li jim dčlitele. E E. C E - . e _ b — ^ • Dflkaz. a) ~ :c = . b}-: b (§. 45.,3) = (a: c) : b (dle §§. 47. a 45., 1). < :c = rS : c).bc|:bc(§.45.,3)=r|f^:c). c}.b]:bc (dle §. 36., 2) = a : bc (§. 45., 2) a 1). V^sledek. Mame-li čislo dčliti dvčma čisly, ne- zaleži na tom, v kterem poradku jimi dčlime. §. 49. 1) Čislo dčli se součinem, dčlime-li je jednim z činitelfi, podil pak druhym činitelem. (Obraceni §. 48.). 2) Čislo se nasobi podilem, pakli je nasobime dčlen- cem a součin ten dčlime dčlitelem. (Obraceni §. 46.) b _ ab _ a ^ a ‘ c ~ c ~ c 3) čislo se d61 i podilem, pakli je dčlime dčlencem a podil tento nasobime dčlitelem. (Obraceni §. 47.) §. 50. 1) Podil se nasobi podilem, jestliže součin dč- lencu dčlime součinem deliteld. a ac a b ’ c b b:c‘ D d k a z. a) ~.c = -~, což plyne z §. 46. b a a ; - = r- . c b a c _ ac b • d ~ bd‘ 26 Dfikaz. ~ . : d(§. 49., 2) ac bd (§• 48.). 2) Podil se deli podilem, dčlime-li podil dčlencfl po- dilem delitelfi, aneb nasobime-li dčlence podilu prvniho dčlitelem druhčho a součin tento dčlime součinem dčlitele podilu prvniho a dčlence podilu druhelio. a c _ a : c _ ml b ' d ~ b : d — bc' Dflkaz. a) b d a : c a: c b) a c TT : T = ^p.d(§.49„ 8)=^(§. 47.) = ^:c(§. 49., 3) = g (§. 48.). §. 51. 1) Součin se nemčni, jestliže jednoko či- nitele jakymsi čislem nasobime a druhčho činitele tymž čislem dčlime. ab = ac . (b : c) = (a : c) . bc. Dfikaz. ab = a.{(b:c)-c} (§• 45., 3) = ac.(b : c) (§. 36., 2) ab = a. {(b . c): c} (§. 45., 3) = (a: c). bc (§. 49., 2). 2) Podil se nemčni, pakli dčlence i dčlitele t y m ž čislem n fi s o b i m e aneb dčlime. a _ ac _ a : c b — bc — b: c' Dfikaz. f = (§. 45, 3) = ^ (§.49, 3); a __ a b ~ bc : c F = (bT^(§- 45 - 3 ) = K^ 49 '’ 1 )- bc a : c (Pfedešle vStv o dšlitelnosti §§. 46.—51. jsou podobny vStam o sečl- tftni §§. 16.-21.). §. 52. Dčlime-li mocniny tehož mocnčnce, podil rovna se společnčmu mocnčnci povyšenčmu na mocninu, kterou udfiva rozdil mocnitele v dčlenci a dčliteli. a m : a n = a m ~ n . Dflkaz. Zde musime pfedpokladati, že n neni včtši nežli m, abychom dle §. 44. molili provčsti dčleni. Položme tedy m = n + v, čili m — n = v, kde mflže tčž v = 0; bude pak a m : a” = a n+T : a 11 = a n . a T : a n (§. 36.) = a v (§. 45., 2) = a m - n . U pf. a* : a 8 = a 5 ; a 4 : a = a 3 . 27 Dodatek. Dle tčto včty jest a m : a m = a m_m = a°. Z §. 45., 4) vysvita však, že a m : a m = 1, protož take a® = 1, t. j. každa konečna veličina, ktera se lisi od nully, povyšena na nulltou mocninu rovna se 1. §. 53. 1) Součet se d čl f čislem, dčlime-li jim každeho sčitance a sečteme-li čžstečnč podily. a+J> _ a . b c ~ c ‘ c ' Dfikaz. (a + b):c = (|-c,+ -^-.c) : c (§. 45., 3) = [(-f + c )- C ] :c(§ ’ S 8 -- 1 )^ 31 ) = c +T (§ ' 45 ” 2) - Vysledek. Dva podfly o stejnem dčlifceli se se¬ či taji, dčlime-li součet jejich dčlencfl společnym dčlitelem. a . b a -f- b - -j- - — -• C c c 2) Rozdil dčli se čislem, jestliže jim dčlime menšence i menšitele a druhy podil odčitame od prvniho. a — b __ a _b^ c ~ c c ‘ D ukaz je tentyž jako v pripadč 1). V^sledek. Dva podily o stejnčm dčliteli se od¬ čitaj!, pakli rozdil jejich dčlencu dčlime společnym dčlitelem. a_b _ a — b c c ~ c Kterak se sečitaji aneb odčitaji podily o rfiznych dčlitelich, bude vysvčtleno pozdčji (§. 97. a 99.). §. 54. Mnohočlen dčlime čislem, pakli jim dčlime každy člen mnohočlenu a častečnym podildm dame početna zna- mčnka jednotlivych členil dčlence. a—b—c+d—e a b c . d e f ~ T f f + T f' Pravdivost včty teto vysvita z opčtneho použiti §. 53., 1) a 2). A §. 55. Mčli byckom vyvinouti podil -g-, kde A a B jsou mnohočleny spofadane tymž zpusobem. Pončvadž dčlenec A jest součin dčlitele B a podilu, musi dle §. 41., 3) prvni člen delence 28 A rovnati se součinu prvniho členu v dehteli B a prvniho členu v podilu. Protož určlme prvni člen q podilu, dčlime-li prvni člen dčlence prvnim členem dšlitele, tudiž A B = q + x, kde x znamena ostatnl časf podilu. Tuto pak určime na- sledovne: A _ A Bq _ A — Bq " B ~ B ~ A = q- X = B B A - Bq (vysl. §. 53., 2); protož B ” H 1 B ' Ostatni čast podilu tedy obdržime, pakli dehtele nasobime prvnim členem podilu, součin odečteme od dčlence a zbytek de- lime delitelem. Na opetnem použiti vzorce A_ B q + A — Bq B spočiva tu¬ diž nasledujici zpusob dčleni dvou mnohočlenfl: Je-li dčlenec i delitel stejne sporadan, dčlme prvni člen dčlence prvnim členem dčlitele, čim obdržime prvni člen podilu; timto častečnym podilem nasobme celčho dčlitele a součin ode- čtčme od celčho dčlence. Se zbytkem naložime tak jako s pu- vodnim dčlencem, abychom obdrželi druhy člen podilu a t. d. U pr. (3a s - 4ab -4b s ) : (3a + 2b) = a - 2b 3a s H- 2ab — 6ab — 4b- — 6ab — 4b* + + o; Zvlaštni podily jsou: 1) (a 2 -b 2 ):(a + b) = a — b; a* + ab — ab — b 2 — ab - b s + + O 2) (a 2 —b 2 ):(a—b) = a + b; a* — ab — + + ab - b 2 + ab—b 2 - + O t. j. rozdil čtvercfi dvou čisel dčlen součtem (rozdilem) tčchto čisel dava za podil rozdil (součet) tychž čisel. 29 §. 56. Dle predešlych vet mdžeme k určeni podilu dvou člend kterychkoli vyrazu sestaviti nasledujici pravidla: 1) Co do znamčnka jest nam klasti podil dvou člend sčetnč aneb odeetne, jak totiž tyto členy maji stejna nebo rozlična znamčnka početna. (Plyne z §. 41. a §. 45., 2). 2) Součinitel podilu dvou členu rovna se podilu souči- nitelu tčchto člend. 3) Hlavni veličinu v podilu dvou člend obdržime, jestliže v hlavnich veličinach tčchto člend vynechame stejny počet společ- nych činiteld, tudiž pri mocninach o stejnvch mocnčncich povy- šime tohoto mocnčnce v podilu na mocninu, kterou udava rozdil mocniteld tohoto společnčho mocnčnce. tedy §. 57. 1) Rovne dčleno rovnym dava rovne. Je-li a = b, c = d, a _ b c ~ d ’ což plyne pfimo z §. 7., 3). 2) Nerovne dčleno rovnym dava nerovne s tymž znamčnkem nerovnosti. Je-li a > b, e — d, . j a b bude T > 'T- Ddkaz. Kdyby nebylo * > -p muselo by “ < -p; pak by vztažnč take — . c <; . d (§. 43., 1) a 2), protož a < b C CL (dle §. 45., 1), což se neshoduje s podminkou. 3) Rovne dčleno nerovnvm davanerovnč s opač- nym znamčnkem nerovnosti. Je-li a = b, c > d, bude JL <- A c ^ d Ddkaz. Kdyby > A d ’ muselo by v obou pripadech 30 — . c > -4- • d (§. 43., 2) a 3), protož a > b (§. 45., 1), což c ci se neshoduje s podminkou. 4. Nerovnč dčleno nerovnym s opačnym zna- mčnkem nerovnosti dava nerovne s prvotnim zna- meukemnerovnosti. Je-li a > b, c < d, _ Jj D ukaz. Kdyby — muselo by v obou pfipadech C u — . c < . d (§. 43., 2) a 3), tudiž a < b (§. 45., 1), což C u jest proti podmince. III. Ndsobcni a deleni celistvych čisel algebraickjch. §. 58. Pojem nasobeni, ustanoveny pro čisla prosta (§. 33.), musi byt rozširen pro čisla kladna a zaporna z ohledu k jejich protivč, tak sice, že zde musline podlč kladneho aneb zapornčho nasobitele nasobence položiti v temž nebo v protivnem smyslu, t. j. s nezmčnčnym nebo protivnym znamenkem tolikrat co sčitance, kolik jednosti obsahuje nasobitel. Dva činitelč se stejn^mi znamenky davaji sou- čin kladny, dva činitele se znamenky opačnymi da¬ vaji součin z aporny. (+ a) • (+ b) = + ab, (— a) . (— b) = + ab, (+ a ) • (— b) = + ab, (— a) . (+ b) = — ab, D u k a z. (+ a) . (+ b) znamena, že mame nasobence + a položiti škrate co sčitance, čim dle §. 28. vysl. 2) obdržime součin kladny. (— a) . (— b) udava, že mame nasobence — a se zna- menkem opačnym, tedy + a položiti Škrate co sčitance, čim opčt obdržime kladny vysledek. Y tretim a čtvrtčm pfipadč vedeme dukazy podobne. 31 Vysledky. 1) Součiu dvou čisel algebraickych se nemeni, vymčnimeli nasobence za nasobitele. Součia (+a).(+ b) = +ab,a(+b) . (±a)=+ba=±ab (§.35.); protož (+ a). (4-b) = (+ b). (+ a). Taktež (± a) • (- b) = (- b) . (± a). 2) Součin nčkolika kladuych čisel jest kladny° 3) Součin zaporn^ch čisel jest kladny aneb za¬ porni, buct že počet činitelfl jest sudy a neb lichy (§. 76. dodatek 2). §. 59. SouČet dvou algebr aickycli čisel nasobi s e čislem algebraickym, pakli jim nasobime každeho sči- tance a sečteme častečne součiny. Dukaz. Jsou-li čisla b a c čisla prosta, tedy 1) (a + b). (+ c) = ( a±b) + (a + b) + (’a+b) + - •• (§• 58.) ckrat — a+a+a+ • • ~j-Crirb)—f—Č^Hb)—}—(H^b) - .. ckrat ckrat (§. 30., 3) = a . (+ c) -f (+ b) . (+ c) die §. 58. 2) (a+ b) . (— c) = — a—(±b)—a—(+b)—a—(±b)—.. ckrat (§. 58.) = -a—a- a—... -(±b)—(+b)—(±b)~... ckrat ckrat (§. 30., 3) = a . (—c) + (±b) . (—c) dle §. 58. §. 60. Pojem dčleni, ustanoveny v §. 44. pro čisla prosta, ma platnost i pro čisla algebraicka. Podil dvou čisel algebr aickych jest kladny aneb zaporny, bud že maji obč čisla stejna aneb opačna znamenka. (+ a) : (+ b) = + q, (— a) : (— b) = + q, (+ a) : (— b) = — q, (— a) : (+ b) = - q, znači-li q prostou hodnotu podilu. Dukaz. Je-li dčlenec (součin) kladny, museji dle §. 58. dčlitel i podil (oba činitele) miti stejna znamenka; tudiž (+ a) : (+ b) = + q, a (+ a) : (— b) = — q. 32 Je-li delenec zaporni, museji dčlitel a podil miti rflzna znamenka; protož (— a): (+ b) = — q, a (— a): (— b) = + q. §. 61. Všecka pravidla dokazana o součinech a podilech celistvych čisel možna pouhym pfetvorenim odvoditi z pouček a + b = b + a (§. 10.), ab = b . a (§. 35.), a (a + b) . c = a . c + b . c (§. 38.), kde a, b, c znači prosta čisla celistva. Pončvadž pak tyto tfi poučky jsou platny tež pro čisla algebraicka (§. 30., 3), §. 58. vysl. 1) a §. 59.), vztahuji se všecky včty o součinech a podilech, dokazane pro celistva čisla prosta, tčž na celistva čisla algebraicka. Zvlašte jsou včty o nasobeni a dčleni mnohočlenfi (§§. 41., 42., 54.-56.) platny tež pro součty algebraicke; jen že zde sčetne a odčetnč členy (ohledem k §. 31.) musime považovati za kladnč a zapornš sčitance. Co se tyče včt o spojeni rovnosti a nerovnosti (§. 43. a 57.), ma platnosf poznamka učinčna v §. 32. dodatek 2). IY. DekadicM čisla celistvd. 1. Soustavy čiselne. Soustavy čiselne vftbec. §. 62. Pfehlednč spofadani všech zvlaštnich čisel k tomu čili, abychom nčkolika čiselnymi vyrazy predstavili každč čislo jakkoli velike, nazvva se soustavou čiselnou. Mame-li utvoriti soustavu čiselnou, čitame v pfirozene rade čisel jen až k určitčmu, 1 vsak prevyšujicimu čislu b, kterež ještč bezprostredne chceme pojmouti, a jemuž fikame zaklad soustavy čiselne. Považujeme-li toto čislo za novoujednosf, a pfijdeme-li dalšim čitanim na čislo, kterež obsahuje tuto novou jednosf tolikrate, kolik udava zaklad, tedy na čislo b . b = b*, považujeme opčt toto čislo za novou jednosf, čili za jednosf n e j bliže vyššiho radu. Dospšjeme-li dalšim čitanim k čislu, kterež obsahuje vyšši jednosf b 2 tolikrat, kolik b udava, tedy k čislu b 2 . b = b 3 , považujeme toto čislo za jednosf fadu ještč vyššiho. Pokračujeme-li v tomto čitani, mužeme utvo¬ riti nove jednosti fadu vždy vyššich. 33 Jednosti po sobč jdouci b, b 2 , b 3 . . . jevi se eo mocniny zakladu b, a slovou dle mocnitelu jednosti fadu prvniho, druheho, tfetiho . . . Pfivodni jednosf lze take nazvati jednosti fadu nuli tč h o proto, že 1 = b° (§. 52. dod.). Každe čislo mflžeme pfedstaviti co součetčasti, z nichžto každa obsahuje jednosf určiteho fadu se součinitelem, kteryž jest menši zakladu. D u k a z. Je-li b" nejvyšši jednosf, pfichazejici v celistvem čisle N, mužeme položiti N = a n b n + N,, kde musi byti a, < b a N, < b n . Bovnež možna dale položiti: N, = a n _i b n-1 + N 2 , kde a„_i < b, N s < b”- 1 ; N 2 = a n _ 3 b n-2 + N„ kde a n _ 2 < b, N 3 < b”- 2 ; N n -2 — a 2 b 2 •+• N n _i, kde a, < b, N n _i < b 2 ; N„_i = a, b + a 0 , kde a, < b, a 0 < b. Dosadime-li znenahla hodnoty N,, N 2 .N n _ 2 , N n -i do N, obdržime N = a„ b n + a n _i b”- 1 + a n - 2 b“- 2 + ... + a 2 b 2 + a, b + a 0 , v čem ostatnč nektefi aneb Veškefi součinitele a n -i, a n - 2 • • • a,, a 0 mohou rovnati se nulle. Tento vyraz je tedy všeobecny tvar kterehokoli ce- listveho čisla v čiselnč soustavč, jejiž zakladem jest b. Mame-li v teto soustavč pojmenovati všecka čisla libo- volna, postači, jestliže pouze čislum menšim nežli b, jakož i po sobe jdoucim mocninam čisla b pridame zvlaštni jmena. Chceme-li v tčto soustavč všecka čisla libovolna pisemnč pfedstaviti, mame potfebu zvlaštnich znamenek (čislic) jen pro čisla menši nežli b a znamčnka 0, kde neni určite mocniny b, tedy celkem tolika čislic, mnoholi udava zaklad b. Mfižeme zbudovati nesčislnč množstvi soustav čiselufch proto, že lze položiti za zaklad každe celistve čislo, kterčž jest včtši nežli 1. Nejmenč znamenek požaduje dyadicka soustava čiselna, jejiž zaklad jest 2, pončvadž tu každe čislo lze pfed¬ staviti znaipenky 0 a 1; ale pfece soustava tato jest nepo- hodlna proto, že i mala čisla museji byti psana mnoha čislicemi Močnik-Hora, Algebra. 3 34 Dekadicka (desetinna) soustava čiselna. §. 63. Všeobecnč uživa se dekadickč soustavy čiselnč, jejižto zaklad jest deset. V soustave teto vyjadfujeme prvnich devet čisel (j e d n os ti) znamymi čislovkami jedna, dvč, tfi, čtyry, pčt, šest, sedm, osm, devčt, a jmenujeme jednosf fadu prvniho, druheho, tfetiho, čtvr- teho.vztažnč desitky, sta, tisice, desettisice, statisice. . . . . Spojime-li s čislovkami pfedešlymi jmena po sobe jdoucich radii jednosti, mužeme tim pojmenovati čislo kterekoli velikosti. K pisemnemu naznačeni čisel dekadickych stači čislice pro prvnich devčt čisel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, k nimž pfipojime 0. Označime-li pismeny a, b, c, . . . . p, q, r nčkterč z čisel O, 1, 2,. . . . 8, 9, jest vyraz r . 10» + q . 10»-! + p . 10»- 2 + .. . + c . 10 s + b . 10 + a všeobecny tvar celistveho čisla dekadickčho. Ale tento tvar kra- time tak, že vynechavajice mocniny čisla 10 pišeme jen souči- nitele (čislice) a každe čislici davame desateronasobnou hodnotu, postavime-li ji o jedno misto v levo. V tom smyslu jest u pf. 35684 = 3 . 10 4 + 5 . 10 3 + 6 . 10* + 8 . 10 + 4, čili = 30000 + 5000 + 600 + 80 + 4. Žad každč jednotlive čislice určime mocnitelem one moc- niny desitky, za jejihož součinitele musime čislici považovati J tohoto mocnitele desitky možna tedy nazvati čadnym mocni¬ telem. U pf. v čisle 35684 ma čislice 6 fadneho mocnitele 2, nejvyšši čislice 3 fadneho mocnitele 4. Vysledky. 1) V každem dekadickem čisle jest fadn^ mocnitel nejvyššiho mista o 1 menši nežli počet cifer. 2) Hodnota každeho čisla dekadickčho jest menši nežli jednost vyššiho mista jeji nejvyšši čislici bezprostfednč pfed- chazejici. Nebof kdyby i každa čislice tohoto čisla mčla nejvčtši možnou hodnotu 9, museli bychom pfece jednu jednosf pfipo- čisti, abychom obdrželi jednu jednosf onoho vyššiho mista. 3) Každe mciferne čislo jest > 10 m_1 , ale < 10 m , což plyne z 1) a 2). 35 2. Počit&ni čisly dekadickymi. Sečitani čisel dekadickych. §. 64. Počitani celistvymi čisly dekadickymi spočiva na pravidlech, odvozen^ch pro počitani mnohočleny sporadanymi dle mocnin tčhož mocnšnce; ale z pričiny jednoduššiho predsta¬ ven: čisel dekadickych čislicemi vedle sebe psanymi musime ohled miti k čadu jednotlivycli teeh čislic. Je-li M = d . 10 3 + c . 10® + b . 10 + a, a N = r . 10® + q . 10 + P> tedy M + N = d . 10 3 + (c + r) . 10® + (b + q) . 10 + (a + p). Pfi sečitani dekadickych čisel kladou se tedy či- slice tčhož fadnčho mista pod sebe, pod ne pak poradem součet čislic pod sebou stojicich. Je-li tento součet čislic dvouciferny, u pč. b + 4 = 1 • 10+m, podržime na tomto miste jenom nižši čislici m, vyšši pak pfi- počteme k čislicim tohoto vyššiho mista fadnčho. Hofejši součet by v tom pfipadč nabyl tvaru: M + N = d . 10 3 + (c + r + 1) . 10® + m . 10 + (a + p). §. 65. Součet dvou čisel ma, bud! tolik čislic ko¬ lik včtši sčitanec aneb o jednu čislici menč. Ma-li M m a N n čislic, a je-li M > N, tedy M > 10 111 " 1 ale < 10 m , taktež N > 10 n "\ ale < 10" ; protož M + N > 10 m_1 + 10 1 *- 1 , ale < 10 m + 10“ , tedy M + N > 10” 1 - 1 , ale < 2.10 m . Součet M + N ma tedy nejmenč m, a nejvyš m + 1 čislici. Odčitani čisel dekadickych. §. 66. Je-li M = d . 10 3 + c . 10® + b . 10 + a, a N = r . 10® + q . 10 + p, tedy M - N = d . 10 3 + (c — r) . 10* + (b — q) . 10 + (a — p). Pri odčitani dekadickych čisel kladou se čislice tehož fadnčho mista opčt pod sebe a pod nč rozdily čislic pod sebou stojicich. Je-li čislice v menšiteli na nčkterčm fadnem mistč včtši nežli čislice v menšenci, zvčtšime tuto o 10, abychom mohli od¬ čitati ; ale pak takč menšitele zvčtšime o 10 jednosti tčhož čadu 3* 36 aneb o 1 jednosf na nejbliže vyššim miste fadnem, aby rozdil zustal beze zmšny (§. 21., 2). Je-li u pr. q > b, predešly rozdil nabude tvaru nasledujiciho: M-N=d . 10*+ [c—(r+1)] . 10* + [(b+10) — q] . 10+(a-p). §. 67. Roz di 1 dvou dekadickych čisel ma nejvyš tolik čislic kolik menšenec, mfiže j i c h však take miti neurčitč menč. Je-li M čislo mciferne, N však ncifernč, M — N = D, a M = N + D, tudiž (dle §. 65.) M ma tolik čislic kolik včtši z obou sčitancu N a D, aneb o jednu vice. Proto D nemfiže miti tolik čislic, kolik jich ma M, ovšem pak neurčitč menč, poku d N > D. Nasobeni čisel dekadickych. §. 68. 1) Je-li M = e . 10 4 + d . 10 3 + c . 10= + b . 10* + a, bude M . p = ep . 10 4 + dp . 10 3 + cp . 10 2 + bp . 10 + ap. Mnohociferne čislo se ndsobi jednocifernym, nasobime-li jednosti, desitky, sta ... . nasobence nasobitelem, a napišeme-li jednotlivč součiny pod nasobene čislice. Je-li nčktery tento součin dvouciferuy, u pf. cp = r . 10 + s, podržme na tomto mistč jenom nižši čislici s, vyšši r pak pfipočteme k součinu na tomto fadnem mistč vyššim. 2) Je-li M jakekoli čislo mnohociferne, a N = p . 10* + q . 10 2 + r . 10 + s, tedy M . N = Mp . 10 3 + Mq . 10 2 + Mr , 10 + Ms. M&me-li tedy nasobiti dvč čisla mnohociferna, na- sobme nasobence každou čislici nasobitele, nejvyšši počinajice; častečne součiny pofadem pak nasobme sestupnymi mocninami desitky, což se stane, pošineme-li každy nasledujici součin o jedno misto v pravo, konečnč sečitejme pod sebou stojici čislice ča- stečnych součinu. U pf. 7318 473 2927200 512260 21954 aneb 7318 473 29272 51226 21954 3461414 3461414 37 Dodatek. Položime-li nasobitele pod nasobence tak, aby jeho nejvyšši čislice prišla pod jednosti nasobence, a naplšeme-li nejnižši čislici prvniho častečneho součinu pod nejnižši čislici nasobence: jsou jednotlivč čislice v součinu tehož fadu jako pfimo nad nimi Stojiči čislice v nasobiteli. §. 69. Součin dvou dekadickych čisel ma bud tolik čislic kolik oba činitele dohromady, aneb o jednu čislici menč. Budiž M čislo mciferne a N nciferne, tedy M > 10 m ~ \ ale < 10 m , taktež N > 10"- 1 , ale < 10 n ; protož MN _> 10 m ale < 10 m t n . Součin MN ma tedy nejmčnš m + n — la nejvyš m + n čislic. Džleni čisel dekadickych % §. 70. Dčlencem budiž součin M=cr. 10 4 -f(br+cq). 10 3 +(ar+bq+cp). 10 2 -Ha N a M : N = Q, tudiž M = N . Q, ma (dle §. 69.) M tolik člslic, kolik činitele N a Q dohromady, aneb o jednu člslici mene. Proto musl Q miti bud! tolik člslic, kolik jich ma M vice nežli N, aneb ješte o jednu vice. V. Dčlitelnost’ čisel. §. 72. Dčllme-li čislo a člslem b, a podli jest čislo celistve, rlkame, že a jest dčlitelno člslem b. Delenec a slove v tom pflpadč nasobek (§. 33., 1) čisla b, a b jest mira čili d čl it e 1 čisla a. • 39 Čislo, kterež jest dčlitelno jenom jedničkou a samo sebou, jmenuje se prvočislo na prosto (absolutni), takč pouze prvočislo; každč jine čislo naziva se člslem složenym. Čislo, jimž nčkolik jinych čisel jest dčlitelno, slove jejich společna mira. čisla, nemajici mimo jedničku žadneho spo- lečneho delitele, jmenuji se prvočisla vespolek (relativna). Čislo, jež dvčma nebo nekolika jinymi čisly jest dčlitelno, slove jejich společny nasobek. Neni-li čislo a dčlitelno čislem b, jmenuje se čislo r, kterež obdržime, odečteme-li od dčlence a nejvčtši nasobek čisla l, jenž v nčm se naleza, u pf. bq, zbytek pfi dčleni. Tudiž r = a — bq, z čehož a = bq + r. 1. Vety všeobecne. §. 73. 1) Je-li nčkolik čisel dčlitelno jakymsi čislem, jest jim dčlitelny i jich součet. Dflkaz. Budiž m mčrou čisel a, b, c, a a : m = a, b : m — /3, c : m — y, kde a, /3, y znamenaji čisla celistva, tedy a = ma, b = m/3, c = m y, a a + b + c = ma + m/S + my = (« + /3 + y)m; proto (a-fb + c):m = a + ^+ y = čislu celistvemu. 2) Jsou-li dvč čisla dčlitelnatfetim čislem, jest jim i jich rozdil dčlitelny. Dftkaz. Budiž a : m = a, ab:m = /3, tedy a = ma, b = m/3, a a — b = ma — mjS = (a — /3)m; protož (a — b): m — cc — /3 = čislu celistvemu. §. 74. 1) Je-li nčktere čislo dčlitelno jinym,jest i každ^ jeho nasobek timto čislem dčlitelny. D uka z. Budiž a : m = a, tedy a = ma, a ap = mpa, z čehož ap : m = pa = čislu celistvemu. 2) Je-li čislo jakčsi dčlitelno složenym čislem, jest i dčlitelno všemi jeho činiteli. D h k a z. Budiž a dčlitelno čislem m, a m = pqr; polo- žime-li a : m = a, tedy a = ma, čili a = pqra, z čehož a : p = qra, a : q =r pra, a : r = pqa. 3) Je-li jakesi čislo dčlitelno dvčma relativnimi prvočisly, jest i dčlitelno jich součinem. D ft k a z. Budiž a dčlitelno relativnimi prvočisly m a n. Pončvadž tato čisla nemaji žadnčho společneho činitele, a však 40 musi obsahovati všecky činitele čisel m a n, rausf a obsahovati všecky činitele součinu mn, tedy musi byti a dčlitelno sou- Činem mn. 4) Je-li součin dvou činitelu dčlitelne čislem, kterež jest relativnem prvočislem s ohledem k jed- nomu z činitelfi, je druhy činitel timto čislem dč¬ litelne. D u k a z. Budiž součin ab dčlitelne m , a čisla m a a budtež prvočisla vespolek. Pončvadž a a m nemaji společneho činitele, museji s ohledem k §. 46. veškeri činitelč čisla m byti obsaženi v b, aby totiž dle podminky součin ab byl dčlitelne m , t. j. b musi byti dčlitelno čislem m. 5) čislo, jež s dvčma aneb nčkolika čisly jest prvočislem relativnym, jest jim take k ji c h součinu. D ukaz. Je-li m prvočislem relativnem k a , b a c, t. j. nema-li žadnč z tčchto čisel činitele, jenž by tčž v m byl ob- sažen, nemfiže i součin abc , jenž dle §. 36. obsahuje pouze či¬ nitele čisel a, b a c, miti činitele čisla m. 6) Mocniny dvou relativnech prvočisel jsou tčž prvočisla vespolek. D ti k a z. Jsou-li a a, b prvočisla vespolek, museji dle pfe- dešlč včty take a a bb, pak aa a bb a t. d., vubec a m a b n beti prvočisla vespolek. §. 75. 1) Je-li dčlenec a d el i te 1 jakemsi čislem dčlitelne, jest i zbytek pfi dčleni temž čislem de- 1 i t el n e» Dukaz. Ma-li a a b společnou miru m, a da-li a dčleno b za podil q se zbytkem r, bude r = a — bq (§. 72.). Pončvadž jest a dčlitelno m, taktčž b , tudiž i jeho nasobek bq, musi i roz- dil a — bq, jenž rovna se r, beti dčlitelny m. Vesledek. Každa společna mira dčlence a dč 1 i- tele jest i společnou mčrou dčlitele a zbytku. 2) Každa mira dčlitele a zbytku pfi dčleni jest i mčrou dčlence. D tika z. Da-li a dčleno b za podil q se zbytkem r, načež a = bq -j- r (§. 72.), a je-li m společnou mčrou bar, bude i nasobek bq dčlitelne m, tudiž take součet bq + r, jenž se rovna dčlenci a, dčlitelne čislem m. 41 Vysledek. Každa společna mira dšlitele a zbytku pf id členi jesti společnou mšrou dšlence a dšlitele. 2. Znamky delitelnosti čisel dekadickych. §. 76. Dekadicke čislo jest dšlitelno dvšma anebo pšti,je-linejnižšijehočislicedšlitelna vztažnš dvšma anebo pšti. D uka z. Znači-li v dekadickem čisle N pismena a, b, c, d, e.poradem čislice na mistš jednotek, desitek, set, tisfc, desititisic., bude N = . . . lOOOOe + lOOOd + lOOc + lOb + a, protož N : 2 = . . . 5000e + 500d + 50c + 5b + ~, a N : 5 = . . . 2000e + 200d + 20c + 2b + | . Je-li tedy a dšlitelno dvšma nebo pšti, bude take N dšli- telno tšmi čisly. Dodatky. 1) Dekadicke čislo je dšlitelno desiti, je-li nejnižši jeho čislice 0. 2) Čisla, majici na mistš jednotek O, 2, 4, 6 aneb 8, t. j. čisla dšlitelna dvšma, slovou s uda. čislo sudš, jakožto nasobek 2, znači se vubec 2m, kde m predstavuje kterekoli čislo celistvš. 3) Čisla, majici na mistš jednotek 1, 3, 5, 7 aneb 9, t. j. čisla, ktera nejsou dšlitelna dvšma, slovou lic h a. Ponšvadž lichš čislo jest o 1 vštši nebo menši nežli sude, jest 2m + 1 aneb 2m — 1 všeobecny tvar čisel lichych. Vysledky. 1) Součet a rozdil dvou čisel sudych aneb li- chych jest čislo sude. 2) Součet aneb rozdil čisla sudšho a licheho jest čislo liche. 3) Součin dvou sudych čisel jest sudy, součin dvou lickych čisel jest licby; 4) Součin čisla sudšho a lichšho jest sudy. §. 77. Dekadickš čislo jest dšlitelno čtyrmi aneb 25ti, jsou-li jeho nejnižši dvš čislice, za čislo pova- žovany, dšlitelny vztažnš čtyrmi aneb 25ti. 42 Dfikaz. N = . . . lOOOd + lOOc + lOb + a, tudiž N : 4 = . . . 250d + 25c + , a N : 25 = . . . 40d + 4c + 10b 2 ^" a . Dodatek. Dekadickč čislo jest delitelno ste m, jsou-li jeho nejnižši dve čislice nully. §. 78. Dekadicke čislo jest delitelno osmi aneb 125ti, jsou-li jeho nejnižši tri čislice, za čislo pova- žovany, dčlitelny vztažnč osmi aneb 125ti. Ddkaz. N = N : 8 = N : 125 = .. lOOOOe -f lOOOd + lOOc -f- lOb + a, protož iorn i t lOOc + lOb + a . . 1250e -f 125d -f- -g-—, a 80e + 8d • lOOc + lOb -f a 125 Dodatek. Dekadicke čislo jest dčlitelno tisicem, jsou-li jeho nejnižši tri čislice nully. §. 79. Dekadicke čislo jest dčlitelno tremi aneb deviti, je-li součet jeho čisli c dčlitelny tfemi aneb deviti. D fikaz. N=... lOOOd -j- lOOc -f- lOb a, = ... 999d + d + 99c + c + 9b +b + a, =... 999d -f 99c + 9b +.. + d -{- c -f b + a, tudiž N:3-..+333d + 33c + 3b + + N:9 = ..+llld + llc+ b + - +d+ Q + b + ^ . Dodatek. Čislo dčlitelne dvčma a tfemi, jest i dčlitelno šesti (§. 74., 3). §. [80. Dekadicke čislo jest dčlitelno jedenacti, je-li rozdil součtu čislic na mistech lichych a součtu čislic na mistech sudych bud O, budi dčliteln^ je¬ denacti. 43 Dfikaz. N=...100000f+10000e+1000d+100c+10b+a, =...100001f—f-f9999e+e-f lOOld—d+99c+ c + llb—b+a, =...100001 f+9999e+1001d+99c+llb+(....e+c +a)-(...f+d+b), protož N:ll=...9091f+909e+91d-f9c+b+ (...e +c+a,)—(...f+d+ b) 11 3. 0 prvočislech zvlašt. §. 81. Čislo n jest prvočislo, je-li menši nežli čtverec čisla a, a neni-li mimo jedničkou dčlitelno žadnym jinym čislem menšlm nežli a. Dfikaz. Dejme tomu, že n by bylo dčlitelno jakymsi čfslem p, tedy by muselo p a. Budiž pak n : p = x, čili n = px, kde x znamena čislo celistve; pak by tež n : x = p, čili n by bylo dčlitelno x. Z n < a* a p > a plyne však, že n: p < a, čili x < a. Bylo by tedy n dčlitelno čislem x < a, což se ne- shoduje s podminkou v poučce vyslovenou; protož n musi byti prvočislo. §. 82. Čloha. Maji se určiti všecka prvočisla až do vytknute meze. Utvorme čtverce pčirozenych čisel, až posledni čtverec pfe- kroči mez: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . Prvočisla jsou pak všecka čisla v mezich 1 a 4, ktera mimo jedničkou nejsou dčlitelna žadnym čislem menšfm nežli 2, tedy 1, 2 a 3; dale všecka čisla mezi 4 a 9, ktera mimo jedničkou nejsou dčlitelna žadnym čislem menšim nežli 3, t. j. 5 a 7, a t. d. což vysvita z §. 81. §. 83. Každe konečne složene čislo lze rozvčsti na same prvočinitele. Každč složene čislo možna rozvčsti aspon na dva činitele; jsou-li to čisla složena, lze je opčt rozvčsti na činitele, kterižto jsou bud již prvočisla aneb opčt čisla složena; pokračujeme-li v poslednim pripade v rozvadčni, musime poslez obdržeti pouhe prvočinitele. Kdyby bylo jinak, muselo by danč čislo se skla¬ dati z nekonečneho množstvi činitelu vesmčs včtšich nežli 1, 44 muselo by tedy samo byti nekonečnč, což se neshoduje s pod- minkou. §. 84. Složene čislo mase rozvčsti na prvočinitele. Dčlme dane čislo nejmenšim prvočislem, jimž jest dčlitelno, 1 vyjimajice; podil dčlme opčt nejmenšim prvočislem, kterym je dčlitelny, ani pfedešlč prvočislo co dčlitele nevyjimajice, a tak pokračujme, až co posledni podil objevi se prvočislo. Jednotlivi dčlitelč takto nalezeni a posledni podil jsou pak prvočinitelč daneho čisla. Mame-li u pf. čislo 630 rozvčsti na prvočinitele, bude 630 : 2 = 315 čili 630 315 : 3 = 105 315 105 : 3 = 35 105 35 : 5 = 7 35 7 2 3 3 5 7 protož 630 = 2.315 = 2.3.105 = 2.3.3.35 = 2.3.3.5.7. Dodatek. Chceme-li určiti všecky činitele daneho Čisla, rozvedme toto čislo na prvočinitele, nasobme drubym prvo- činitelem prvniho, tfetim pak oba pfedchazejici prvočinitele a složenčho činitele, a tak nasobme každym nasledujicim prvo- činitelem všecky pfedchazejici prvočinitele i složene činitele. U pf. 210 105 35 7 2 3, 6 5, 10, 15, 30 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210. §. 85. Uloha. Obecne čislo ma se rozvčsti na či¬ nitele. 1) U jednočlenu pfedstavuji jednotliva pismena prvo¬ činitele; jsou-li v nčm obsaženy mocniny, položime mocnčnce tolikrat co činitele, kolik jednosti ma mocnitel. U pf. abc = a . b . c; ab-m 3 = a.b.b.m.m.m; 21a 2 mx* = 3.7.a.a.m.x.x. 2) Pro rozvadčni mnohočlenh na činitele neni obecnych pravidel; zde budtež tedy uvedeny jen zvlaštni pfipady castčji pfichazejici: 45 a) Mnohočlen, jehožto všecky členy maji společnou miru, rozvede se na činitele dle §. 38., jestliže vysadime společnou miru co jednoho činitele, co druheho činitele pak položime podil, jejž určime delenim mnohočlenu společnou mžrou. U pf. 1) 3ax — 4bx = x(3a — 4b); 2) 20x 4 — 16x 3 -f 12x 2 = 4x=(5x- — 4x + 3). b) Zvlašte pak plvne z §. 40., dod.: 1) a* + 2ab + b 2 = (a + ti) (a + b); 2) a 2 — 2ab + b 2 = (a — b) (a - b); 3) a* — b 2 = (a + b) (a - b). c) Tfičlen tvaru x 2 + mxy + ny 2 často Ize rozvesti na čini¬ tele tim zpflsobem, že součinitele m druheho členu, jak totiž n jest kladne aneb zaporne, vyjadrime co součet aneb rozdil dvou čisel, jichžto součin rovn& se n, načež vysadime společne čini¬ tele. U pf. 1) x*—5xy-j-by 2 =x !! —(3-f-2)xy-f-by 2 —x 2 — 3xy—2xy + by 2 =x (x—3y)—2y (x — 3y)=fx—3y) (x—2y). 2) a* -f- 3a —-10 = a 2 + (5—2) a—10 = a s + 5a — 2a —10 = a (a + 5) — 2 (a + 5) = (a + 5) (a—2). 4. Nejvetši společna mira. §. 86. Nejvčtši společna mira nekolika čisel jest nej- včtši čislo, jimž tato čisla jsou delitelna. tJloha. Ma se vyhledati nejvetši společna mira dvou čisel. Žešeni. 1) Rozvedme dana čisla na prvočinitele; součin všech prvočinitelu, společnych občma čislflm, dava hledanou nej¬ vetši miru společnou. D flkaz. Součin takto utvofeny jest zajiste společnou mčrou obou čisel proto, že všickni jeho činitele jsou v nich obsaženi; jest však takč nejvetši jejich mčrou, nebof kdybychom s nim spojili ještč jednoho činitele, obe čisla nebyla by již timto sou- činem dčlitelna. U pf. Mame-li vyhledati nejv. sp. miru čisel 300 a 420, tedy 300 = 2.2.3.5.5, 420 = 2.2.3.5.7; tudiž nejv. sp. mira = 2.2.3 . 5 = 60. 46 2) Rešeni. (Bez rozvadčni na prvočinitele.) Delme včtši dane čislo menšim, delitele pak zbytkem pfi dčleni, novčho dč- litele opet novym zbytkem a t. d., až konečnč zbytek se rovna nulle; posledni dčlitel jest nejvčtši společnou mšrou dan^ch dvou čisel. Ddkaz. Jsou-li a a & obe dana čisla, a > b, a r,, r s , r 3 , Nejprv jest patrno, že pri takovemto deleni nčktery zbytek musi se rovnati nulle, ponevadž jest zbytek pokažde čislo ce- listve a nejmene o 1 menši nežli dčlitel, jenž byl zbytkem pfe- dešl^m. Budiž u pf. r 4 = 0. Pak jest zajistč r 3 společnou mčrou čisel a s, b. Z posled- niho dčleni plyne, že r 3 jest společnou mčrou čisel r 2 a r 3 ; ale r 2 a r 3 prichazeji v pfedešlem deleni co dčlitel a zbytek, protož (§. 75., 2) vysl.) jest r 3 takč společnou mčrou dčlence r, a dč- litele r», tudiž opet dle pfedchazejiciho dčleni, v nčmž r L a r s jsou vztažnč dčlitelem a zbytkem, r 3 jest spol. mčrou čisel bar,, konečnč dle prvniho deleni r 3 take spol. mčrou danych čisel a a 5. Ale r 3 jest take nejvčtši společnou mčrou a a &. Dejme tomu, že by tato čisla mčla ještč včtši společnou miru m > r 3 , muselo by (dle §. 75., 1) vysl.) v prvnim dčleni, kde jest a dč- lencem a b dčlitelem, m byti mčrou dčlitele b a zbytku r,, tedy dle druheho dčleni takč m mčrou r, a r 2 , konečnč dle tfetiho dčleni by dčlitel r 2 a zbytek r 3 musel byti dčlitelny mčrou m, což se však neshoduje s podminkou m > r 8 . Tudiž jest r 3 nejv. sp. mčrou čisel a a b. Pfiklady. 1) Mame-li vyhledati nejv. sp. miru čisel 1134 a 3654, tedy 3654 : 1134 = 3 se zbytkem 252 aneb 1134 1134 : 252 = 4 „ „ 126 126 252 : 126 = 2 „ „ O Nejv. sp. mira = 126. 3654 252 O 3 4 2 47 377 1 2) Nejv. sp. mira čisel 377 a 848. 448 94 O 2 4 94 Zde jest nejv. sp. mira = 1, dana čisla jsou tedy prvočisla vespolek. 3) Podobnč určime nejv. sp. miru dvou mnohočlenfi, u pr. 3a 3 — 2a 3 - 3ab 3 + a + 2b 3 + b a a 3 — b 3 . (3a 3 — 2a 3 - 3ab 3 + a + 2b 3 + b) : (a* - b 3 ) = 3a - 2 3a 3 — 3ab 3 21 _ + — 2a 3 + a + 2b 3 -f- b - 2a 3 + 2b 3 + — _ + a + b zbytek (a 3 — b 3 ): (a -f- b) = a — b. Nejv. sp. mira jest posledni dčlitel a + b. U obecnych vyrazu musime mnohdy, abyehom mohli pro- včsti dčleni, nasobiti dčlence čislem, kterčž neni činitelem dčli- tele, aneb dčlitele dčliti čislem, jež neni činitelem dčlence. Tim se nikterak nemčni nejv. sp. mira obou vyrazii, což plynepnm» z pojmu nejvčtši společne miry dvou čisel. Pfiklad. Mame-li vyhledati nejv. sp. miru mnohočlend 10x 3 + 14x - 12 a 7x 3 + 22x + 16, nasobme prvni mnohočlen čislem 7, kterež neni mčrou druhčho vyrazu, abychom mohli provesti dčleni v celistvych čislech, totiž (70x 3 + 98x - 84) : (7x 3 + 22x + 16) = 10 70x 3 + 220x + 160 — 122x — 244 zbytek, delen (— 122)ti, da x -f 2. (7x 3 + 22x + 16) : (x + 2) = 7x + 8 7x 3 + 14x -j- 8x -f- 16 + 8x + 16 Nejv. sp. mira jest x + 2. O §. 87. S timto zpusobem určovani nejvčtši společnč miry bez rozvadčni dan^ch čisel na prvočinitele souhlasi take postup pri vyhledavani nejv. spol. miry kterychkoli dvou veličin s tej noro d^c h (u pf. dvou pfimek). Odnimame totiž menši 48 veličinu od včtši tolikrate, pokud možna, pak od menši veličiny zbytek, od toho opčt novy zbytek a t. d. Neni-li zbytku pri nčkterem tom odnimani, jest posledni zbytek, jenž nezmizi, nejv. sp. merou obou danych veličin. Zde však nepfichazi, jako u čisel celistv^ch, vždy zbytek = 0, pončvadž jsou zbytky sice vždy menši a menši, ale nestava meze sebe menši, již by tyto zbytky nemohly dosabnouti. Ne- pfichšzi-li tedy pri tomto určovani nejv. sp. miry nikdy zbytek = O, obe veličiny nemaji spol. miry. Dvš veličiny, majici společnou miru, slovou smčfitelne, nemaji-li však společne miry, jmenuji se nesmčritelnš. §. 88. Ma se vyhledati nejvčtši společna mira nč- kolika čisel. Žešeni. 1) Itozvedme dana čisla na prvočinitele; součin prvočinitelfi, společnych všem danym čisldm, jest hledand nej- včtši společna mira. (§. 86., feš. 1). U pr. Mame-li určiti nejv. společnou miru čisel 320, 400 a 680, tedy 320 = 2.2.2.2.2.2.5, 400 = 2.2.2.2.5.5, 680 = 2.2.2.5 . 17, a nejv. sp. mira = 2.2.2.5 = 40. Že še ni 2) (bez rozvadšni na prvočinitele). Mame-li určiti nejv. sp. miru čisel a, b, c a d, vyhledejme ji nejprve k čislum a a 6; je-li tato m, urči se nejv. sp. mira k čislum ma«,a je-li tato n, vyhledejme ji k n a d, tato budiž p; tedy bude p nejv. sp. merou čisel a, b, c & d. Postup tento lze znazorniti nasledovnč: a_ b c d m _ j 1 P Dle podminky obsahuje m všecky společnč činitele čisel a a b\ n obsahuje všecky společne činitele čisel m a c, tedy takč čisel a, b a c\ p konečnč obsahuje všecky společnč činitele čisel n a d, tedy takč čisel a, b, c a d, protož jest p nejv. sp. mčrou všech dan^ch čisel a, b, c a, d. 49 Pfiklady. 1) Hledame-li nejv. sp. miru čisel 1554, 3552 2) Ma se určiti nejv. sp. mira mnohočlenfi: 3x’ — 2xy — 5y s , 2x~ + 9xy + 7y 3 a 2x* — 2y 3 . Nejvčtši společna mira mnohočlenu 3x 3 — 2xy — 5y- a 2x s -j- 9xy + 7y s jest x -f y. U dvoučlend x -j- y a 2x 2 — 2y 2 jest nejv. sp. mira x -j- y, kteraž jest tedy zarovefi nejv. sp. merou danych tfi mnohočlenu. 5. Nejmenši spoleen^ nasobek. §. 89. Nejmenši společny nasobek nčkolika čisel jest nejmenši čislo, kterež tčmito všemi čisly jest dčlitelno. tjloha. Ma se vyhledati nejmenši společny na¬ sobek nčkolika čisel. Rešeni 1. Rozvedme všecka dana čisla na prvočinitele, z tčch pak vezmeme všeeky rozličnč činitele, a sice každčho s nejvčtšim mocnitelem, ktereho ma v danych čislech. Součin tčchto činiteia da nejmenši společny nasobek. Dflkaz. Součin takto utvoreny je zajiste nejm. sp. na¬ sobek, pončvadž obsahuje všecky činitele každčho daneho čisla; jest to však i nejm. sp. nasobek proto, že by vynechanim jed- noho z ončch činitelfl součin pfestal byti delitelnym všemi da¬ nimi čisly. U pr. Mčli bychom určiti nejm. sp. nasobek čisel 60 108 a 1050. 60 = 2.2 . 3.5, 108 = 2.2.3.3 . 3, 1050 = 2 . 3.5.5 . 7, tedy nejm. sp. nasobek = 2.2.3.3.3.5.5.7 = 18900. Rešeni 2. (bez rozvadčni na činitele). a) Mame-li určiti nejm. sp. nasobek dvou čisel, vyhledejme nejprvč jejich nejv. Močmk-Hora, Algebra. 4 50 sp. miru, touto delme jedno z danych čisel a podilem nasobme čislo druhe. D u k a z. Nemaji-li dana čisla a a 6 společne miry, bude součin ah zaroven jejicli nejm. sp. nasobek. Nejsou-li však a a h prvočisla vespolek, budiž m jejicli nejv. sp. mčrou, a a : m = a, b : m = /5, tak sice, že « a /S nemaji žadneho sp. čini- tele. Bude pak a = ma, b = m/3. Každy nasobek čisla a musi tedy obsahovati činitele m a a, každy nasobek čisla b však činitele m a /S, protož každy společny nasobek čisel a a & bude obsahovati činitele, m, a a /S. Tudiž součin, obsahujici jen tyto tfi činitele, bude zajiste nejm. sp. nasobek čisel a & b. Tent© nejm. sp. nas. možna take nasledovnč vyjadriti: mafi — m« . /S = a(b : m) — m|S . k — b(a : m). Pf ikladj. 648 a 972. 1) Ma se určiti nejm. společny nasobek čisel 648 972 648 972 1 O 324 2 324 = 2; 972.2 = 324 = 3; 648.3 = 324 jest nejv. sp. mira. 1944, aneb 1944; tudiž nejm. sp. nasob. = 1944. 2) Ma se vyhledati nejm. sp. nasobek mnohočlenft 9a 4 x 2 — 4b*y 4 a 9a 4 x s — 12a*bxy- + 4b'-y 4 . Nejv. sp. mira obou vyrazu jest 3a s x — 2by 2 , tudiž (9a 4 x s — 12a s bxy* -f 4b 2 y 4 ): (3a s x — 2by-) = 3a 2 x — 2by\ a (9a 4 x a — 12a s bxy* + 4b*y 4 ) (3a s x — 2by *) = 27 nV — 18a 4 bx*y s — 12a*b 5 xy 4 + 8b 3 y 6 nejm. sp. nasob. b) Je-li dano vice než dve čisel, vyhledejme nejprve nejm. sp. nasobek dvou čisel, pak nejm. sp. nasobek pravč urče- neho nasobku a tretiho čisla, a pokračujme tim zpusobem až k poslednimu čislu danemu. Nejm. sp. nasobek posledne určenf jest pak zaroveii nejm. sp. nasobek všech danych čisel. Dfikaz vede se podobnč jako v §. 88., češ. 2). §. 90. Ma-li dvč aneb nčkolik danych čisel společnou miru, mužeme bez porušeni nejm. sp. nasobku misto tčehto čisel po¬ ložiti jejich společnou miru jen jednou a zaroven podily, kterčž obdržime dčlenim tčch čisel společnou mčrou (dftkaz k a) češ. 2) v §. 89.). Je-li jedno z danych čisel mčrou druheho vetšiho 51 čisla, nemusime k menšimu čislu nikterak prihližeti, aniž bycliom tira nejm. sp. nasobek porušili. Nejm. sp. nasobek nekolika čisel vyhledame tudiž nasledu- jicim praktickym zpusobem: 1) Napišme dana čisla vzestupne vedle sebe a vyneehme menši čisla, ktera jsou ve vetšfch beze zbytku obsažena. 2) Ma-Ii zbyvajicich dve nebo vice čisel společnčho prvo- činitele, vysacfme jej v pravo co společnou miru, a delme všecka čisla jim delitelna; podxly, jakož i čisla, ktera nejsou dčlitelna tim prvočinitelem, pišme v nove fadč vedle sebe. 3) V te'to rade počiname si jako v puvodni, a tak pokra- čujeme, až konečnč obdržime fadu, v niž jsou pouze prvočisla vespolek. 4) Součin všech tčchto prvočisel a vysazenych v pravo (lelitelu jest nejm. sp. nasobek danych čisel. Pfiklad. Ma se vyhledati nejm. sp. nasobek čisel 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45 a 50. 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 8, 12, 16, 45, 25 6, 8, 45, 25 3, 4, 45, 25 4, 9, 5 Nejm. sp. nasobek = 4.9 . 5 . 2.2 . 2 2 2 5 2 . 5 = 7200. TI. Pojem čisla rozširen delenim. Čisla lomena. §. 91. Posud jsme (§. 44.) u všech podilfl pfedpokladali, že dčlenec jest nasobkem dčlitele, pončvadž jen v tomto pfi- padš bylo možna provesti dčleni v^fadš čisel celistvych. Abychom pak zrušili toto omezeni a pravidla odvozena pro d členi aby na- byla platnosti pro kterekoli hodnoty delence a dčlitele, musline . a všeobecny pojem dčleni, jenž dan jest v rovnici ■ . b = a, roz- širiti take na podil j* , kde a neni nasobkem dčlitele b, čim pak včty o podilech nabudou platnosti tež pro tento podil, pončvadž plynou vesmčs z rovnice horejši. 4 * 52 Použijeme-li u podilu a včty z §. 46., obdržime a 1 . a 1 b “ b ~ b ‘ a ' 1 a 1 Ale , tedy takč ^•= ^ .a dle dosavadnlho pojmu čisla nema smyslu, ponevadz b nenl činitelem čisla a; aby tudiž podil tento nabvl v\^znamu i v tom pflpadč, nenl-li a nasobkem čisla b, muslme vyraz = y - a co novy tvar čisla uvčsti do aritlunetiky. V tomto všeobecnem smyslu, kdy a nenl nasobkem čisla b, podil ^ naproti všem dosavadnlm člslftm celistvym nazy- v lim n člslem lomenym čili zlomkem; a slove čitatel, b jmenovatei zlomku. Nynl muslme takč lomenym člslum v rade Čisel vykazati naležitč mlsto. Dle všeobecnčho pojmu podilu znamena -i- čislo, kterež nasobeno b, dava za součin 1. Rozdellme-li tedy jednosf na b stejnych časti, pfedstavuje každa takova čast čislo;.3-, po- nevadž Škrat položena co sčltanec dava opet jednosf. Abychom tedy v fadč čisel znazornili čisla tohoto noveho druhu, tfeba fadu celistvycb čisel samu v sobč rozšlfiti zpusobem tim, že Od- lehlosf vždy dvou po sobe jdouclch čisel teto fady, t. j. každou puvodnl jednosf vloženim novych čisel rozdčllme na tolik stej- nych časti, kolik udava jmenovatei b, a takovou čast považujeme za novou jednosf k čltanl; obdržime pak fadu čisel 5 4 3 b’ b’ b’ 2 b’ 3 ,4 b’ + b ’ + 5 b ’ " kterouž nazyvame fadou Stin (u pr. tfetin, petin a t. d.). Zlomek znamena v teto rade ate čislo ve smeru čisel kladnych, pak ate čislo ve smšru čisel zapornych. Zlomky jsou tedy čisla, jicbžto jednosf vyslovnč jest udana co čast pUvodnl jednosti. Jmenovatei ukazuje, na kolik 53 stejnych časti puvodni jednosf ma byti rozdčlena, aby takova časf dala novou jednosf zlomku; čitatel udava, kolikrate zlo¬ mek obsahuje jednosf udanou jmenovatelem. Žada čisel vyplnšna vloženim zlomku nazyva se radou čisel lomenych pro určitčho jmenovatele. I takoveto fady lze zndzorniti pfimkami čiselnymi. Tak u pr. pro radu tretin bude -2 —1 0 +1 +2 . X __6 _ 5 _4 3 3 3 3 o+i+l+l+H-l+H-i Zlomek, kter£ jest menši nežli jednosf, jehož čitatel jest tedy menši nežli jmenovatel, slove pravy, každy jiny zlomek jmenuje se nepravy. Zlomek, jehož čitatel jest čislo celistve dekadickč, a jehož jmenovatel jest mocnina desitkv, slove desetinnv, každy jiny zlomek jmenuje se obyčejny. Zvlaštni druh zlomkfi obyčejnych tvori zlomky fetčzovč, o nichž pozdčji bude pojednano. 1. Zlomky obyčejni. Včty všeobecne. §. 92. Z pojmu zlomku plyne: 1) Nasobime-li zlomek jeho jmenovatelem, ob- držime za součin jeho čitatele. 2) Maji-li dva zlomky stejne jmenovatele, jest včtši ten, jenž ma vetšiho čitatele. 3) Pri stejn^ch čitatelich jest včtši zlomek ten, jenž ma menši ho j menovatele. Dodatek. Každy všeobecny zlomek, jehož čitatelem jest jednočlen, jmenovatelem však mnohočlen, možna vyjadfiti neko- nečnou radou členfi, mnohdy dle jisteho zakonu utvorenou, de- lime-li totiž čitatele jmenovatelem dle pravidel o dčleni platnfch (§• b5.). 54 a 1 — 1 U pf. j _ x = a : (1 — x) = a -f a — ax - + _ + ax -j- ax — ax 2 - + + ax 2 Položime-li zde x = 1, bude a + a + a + a + . . . ax -f- ax 2 ... do nekonečna. do nekonečna, čili oo, což jest novym dfikazem včtv v §. 45., vysl. 8. §. 93. 1) Každ^ nepravy zlomek lzc uvesti na součet celistvčho čisla a praveho zlomku. s r Je-li a > b, bude ^ = a : b = q + kde qjest nej- vetši eelistve čislo, pfichazejici v podilu a : b; r pak jest zbytek r pri dčleni, tudiž pravy zlomek proto, že musi byti r < b. Vyraz, jehož tYar jest q -f- slove čislo smišene. 2) Každe eelistve čislo lze promčniti ve zlomek s dan^m jmenovatelem, pakli jmenovatelem tim se nasobi a součin se klade co čitatel. Jest totiž a = a “ (§. 45., 3). Zlomek, jehož čitatel jest nasobek jmenovatele, t. j. rovnd-li se zlomek celislvemu čislu, slove nevlastnf. 3) Hodnota zlomku se nemeni, nasobime-li nebo dčlime-Ii čitatele i jmenovatele tymž čislem. a _ an _ a : n g., b ~ bn ~ b: n ’’ '' §. 94. Ul o h y. 1) Dany zlomek ma se promčniti v j i ny teže hodnoty s danym jmenovatelem, jenž jest nasobek jmenovatele pfivodniho. Dčlme noveho jmenovatele puvodnim, a podilem nasobme čitatele danehn zlomku; součin jest hledany čitatel. 55 Spravnosf rešeni' vysvita z §. 93. 3). Si Ma-li se u pr. zlomku -r- dati jmenovatel bm, bude bm : b = m; a . m = am; tudiž -v- = a _ am b ~ bm' 2) Dvč nebo vice zlomku ma se uvčsti na nej- menšiho společneho jmenovatele. Vyhledejme nejm. sp. nasobek jmenovatelfi damfch zlomkfi, jenž bude zaroven nejmenšim spoleenym jmenovatelem, a uvečfme dane zlomky (dle feš. 1.) na tohoto novčho jmenovatele. Pri klad. Zlomky ^ maji se uvesti na nejm. sp. jmenovatele. Nejm. sp. nasobek všech jmenovatelfi, tudiž nejm. sp. jme- aovatel jest 4bc 2 d. Bude pak n ,, . v a 2ac 2 d 2ac*d, 4bc*d : 2b = 2e 2 d, 4bc s d : 4bc = cd, 4bc s d : c 2 d = 4b, §. 95. Dloha. 2c 2 d . a cd . 3m = 3cdm, 4b . 4n = 16bn, protož = 4bc 2 d ’ 3m _ 3cdm. 4bč — 4bc*d’ 4n _ 16bn c*d ~ 4bc 2 d' Zlomek, jehož čitatel i jmenovatel ma společnou miru, zkratiti, t. j. bez porušeni jeho hodnoty vvjadfiti menšimi čisly. Delme čitatele i jmenovatele jieh společnou merou. U pf v 4am 6bn 2am _ 3bn ’ 12a 2 bx 2 15acx 3 4ab 5cx ’ O zlomku, jehož čitatel a jmenovatel jsou prvočisla, jenž tudiž nemuže b^ti vyjadfen menšimi čisly, rikame, že jest psan nejmenšimi čisly. Dodatek. Zkracenim všeobecnych zlomku vyhneme se často neurčitosti, ktera se v nich vyskytuje pri zvlaštnim dosa- ^2 .. . ^ 0 ženi. Tak u pf. zlomek 2 X —2a~ na *D’ Vi ^ ne “rčite hodnosti () , dosadime-li x = a. Zkracenim však obdržime x 2 — a 2 _ (x + a)(x —a) _ x-f a 2x— 2a ~ 2(x — a) ~ 2 ’ 2a kteryžto zlomek pro x = a nabyva určite hodnoty -^ = a. 56 Yubec je-li čitatel i jmenovatel zlomku mnohočlen dle x sporadany, a dosazenim určite hodnoty za x, u pf. x = a, zlomek nabyva neurčiteho tvaru jest to znamka, že čitatel i jmeno¬ vatel ma, společnčho činitele x — a, jenž pro x = a mčni se v nullu, a jimž tedy zlomek se ma zkratiti. Ma-li zlomek takto zkraceny pri x = a ješte tvar opakujeme kraceni činitelem x — a. Počitani obyčejn^mi zlomky. §. 96. Rozširivše obor čisel zavedenim lomenych čisel, mu- sime take dosavadni pojmy početnych vykonfi rozširiti tak, abychom jich mohli použiti tčž u čisel noveho tvaru. Pončvadž dle §. 93., 2) každe celistve čislo lze promšniti ve zlomek s kterymkoli jmenovatelem, a dle §. 94., 2) vždv dve zlomkfl lze uvesti na společnčho jmenovatele, postači s ohledem na sečitani a odčitani, abychom pfi rozšifeni pojmu meli na zfe- teli zlomky teže rady čisel lomenych. g 1 ) 8. 97. Ku zlomku — pfipočisti zlomek — znamena 3 m m (§§. 8. a 28.), v fadš lomenych čisel, a sice mtin od prvniho sčitance — kračeti ve smčru kladnem aneb zdpornem, jak totiž druhy sčitanec jest kladny nebo zaporov, o tolik »ntin, kolik jich obsahuje druhy sčitanec —zlomek, k nemuž takto dospčjeme, jest hledany součet. Yysledek. Součet zlomkfi o stejnych jmenova- t e lic h rovna se součtu jejich čitatelu, lomenemu společnym jmenovatelem. a b _ a + b m ‘ m ~ m Dodatek. Mame-li sečitati zlomky o ruznych jmc- novatelich, aneb celistve čislo a zlomek, pfivedeme sčitance na společnčho jmenovatele a sečitame dle pfedešleho pravidla. 57 Upr. Ir 5 - I 4 ‘ 6 12 12 12 ~ 1 12 , m _ an . m _ an -f m 5 I — r j “ —— • n n 1 n n §. 98. Součet dvou zlomkfi se nemčnl, sečitame-li je v kteremkoli poradku. Jl + A = 4.^ - an + bm g7 m ~ n mn ‘mn mn u- mn mn ‘ mn (§• 97.) + ■£-'(§• 93 , 3 ). §. 99. Od zlomku a o de čisti zlomek ^ (§§. 14. a 29.) d m n ' SL znamena, v radš mtin od menšence kračeti ve smčru klad- m nčm aneb zapornem, jak totiž menšitel jest zaporny nebo kladny, o tolik »ntin, kolik jich obsahuje menšitel —; zlomek, k nčmuž tim zpusobem dospšjeme, jest hledany rozdil. Vysledky. 1) Odčitani zlomku jest sečitani zlomku protivnčho (§. 97.). 2) Rozdil dvou zlomku o stejnych jmenovatelich rovna se rozdilu čitatelu, lomenemu společn^m jmenovatelem. a b _ a — b m m ~ m Dodatky. 1) Mame-li odčitati zlomky o ruznfch jmenovatelich aneb celistvč čislo a zlomek, pfivedeme obč čisla na společneho jmenovatele a odčitame dle pravidla prede- šlčho. U pf. 7 _ 3 _ 7 6 _ i 8 4 — 8 8 ~ 8 ' 58 2) Zvlaštč pak jest a + b a —b . .,„a + b , a —b a-= -g—, a taktez -b = —g- f ji "j' 1 * b ~— naleza, se tedy uprostred čisel a a b, od nichžto se liši tymž rozdilem; v^raz ten slove arithmeticky prflmžr čisel a sl b. §. 100. 1) Zlomek nasobime celistvym čislem, bud aasobime-li jim čitatele aneb dčlime-li jim jmenovatele. am _ a b ~ b: m (§■ 47.). Dodatek. Druhy zpusob nasobeni zlomku celistvym čislem jest prakticky jen v tom pfipadč, je-li jmenovatel zlomku če¬ listom čislem dčlitelmf. 2) Zlomek dčlime celistvym čislem, bud dčlime-li jim čitatele aneb nasobime-li jim jmenovatele. a b m =• a: m = b ^ ( M 8 .). Dodatek. Prvniho zpusobu dčleni použivame jen tehdy, je-li čitatel dčlitelny čislem celistvym. V. JU §. 101. Čislo anasobiti zlomkem — znamend (§§.33. a 58.), nasobence a s tymž anebo protivnym znamčnkem, jak totiž nasobitel jest kladny nebo zaporny, rozdčliti na tolik stejnych časti, kolik udava jmenovatel n, a jednu takovou čast položiti tolikrate co sčitance, kolik jednosti obsahuje čitatel m. Vysledky. 1) Čislo se nasobi zlomkem, dčlime-li je jmenovatelem a nasobime-li podil čitatelem. a am n (§.100., 1). 2) Zlomek nasobi se zlomkem, jestliže součin čitatelfl lomime součinem jmenovatelu. T ' T = (t. : “ ) • “ = H • “ » im - 2> = ET «' 10 °’ b Dodatek. Nasobime-li čislo pravym nebo nepravym zlom¬ kem, obdržime součin vztažnč menši aneb včtši nežli nasobenec- 59 je-li Je-li m < n, tedy “ < 1, bude a . “ < a. 1, čili a. “ < a; však m > n, tedy > 1, bude a. - > a. 1, tudiž a. - > a. n n n 3) Součin dvou zlomkfi se nemčni, nasobime-li je v kterčmkoli poradku. a b m _ am ma . n - bn=Tb (§ - 35 - ) = m n (dle 2). 4) Součet se nasobi zlomkem, nasobime-li jim kaž- deho sčitance a sečteme-li častečne součiny. (a + b). m ‘P . m = 55L+J2 (j. 38.) = “■ + >55 (§ . 53 .) = a . — + b . — (dle 1). m §. 102. Rovna-li se součin dvou čisel 1, každe z obou čisel jest pfevratni hodnota druheho. Tak u pf. a . —- = 1, ~ = 1, protožjest — prevratni el H IH Bi bodnota čisla a, — pfevratna hodnota zlomku —. ’ m n §. 103. Ze všeobecnčho pojmu dčleni, vysvčtlenčho v §. 44. p!ynou nasledujici pravidla o dčleni zlomkem: 1) Každe čislo dčli se zlomkem, dčlime-li je čita- telem a nasobime-li podil tento jmenovatelem, aneb nasobime-li dčlenee zlomkem obracenym. Dflkaz. a : — = . n (§. 49., 3) n m = — = a . — (§. 101., 1). m m ' Dodatek. Pončvadž 1 : = 1 . ^ mužeme vše- obecne pfevratnou liodnotu čisla a naznačiti 1 : a čili —. 2) Zlomek se dčli zlomkem, nasobime-li jej obracenym dčlitelem, aneb lomime-li podil čitatelu podilem jmenovatelu. 60 Dle 1) jest | m _ c a m n a b m čili : “ = (-- : m) . n (dle 1) = a p . n (§. 100., 2) a : m b : n (§• 100 ., 1 ). Posledniho pravidla uživame zvlaštč pfi dčleni dvou zlomka o stejnych jmenovatelich. U pr. 27 . _9_ _ 3 _ • _a b _ 100 : 100 - 1 ” d; m : m “ a : b ' Dodatek. Delime-li čislo zlomkem pravem anebo nepra¬ vem, podil je vztažne včtši nebo menši nežli dčlenec. Je-li m < n, tedv ™ < 1, bude a: — > a: 1, protož a : m > a; J n n r n je-li však m > n, tedy ™ > 1, bude a: ™ < a: 1, protož a : ™ < a. §. 104. Zlomek, jehož čitatel aneb jmenovatel, aneb oba zarovež joou opčt zlomky, slove složity. Takovyto zlomek jest vlastnš jen naznačene dčleni zlomku; promenime jej tedy ve zlomek jednoduchy, provedeme-li dčleni. U pf. ji m _ a ^ _ a a _ m _ an b ~ m — bm’jn ~ ' n ~~ m ' a n m _ a . b _ an b ~ m ’ n — bm' n §. 105. Všecky dosavadni poučky, dokazanč pro čisla celistva, vztahuji se takč k čislum lomenvm. Nebot všecky tyto poučky spočivaji na vštach a + b = b + c, a . b = b . c, a (a + b). m = a.m + b.m; tyto tfi včty vztahuji se však tčž ku zlomkfim, jakož v §. 98, a §. 101., 3) a 4) bylo dokazano. Dodatek. Tim je take zrušeno omezeni vyslovene o po- dilech v §. 44. 61 2. Zlomki/ deselinni. §. 106. VšeObecny tvar desetinneho zlomku (§. 91.) A jest , kde A a m znači kterakoli celistva čisla dekadicka. Zlomky desetinne slovou take čisla desetinna. Desetinne zlomky pišeme bez jmenovateld; treba jest však v čltateli od prave ruky k leve tolik čislic oddčliti tečkou desetinnou, kolik jednosti obsahuje mocnitel desitky ve jme- novateli, aneb, což je totež, kolik nuli prichazi ve jmenovateli; kdyby nebylo dosti čislic, abycbom je mohli oddčliti, vyplnime nedostavajici se čislice v levo nullami. 78317 _ 78317 ' 10 * ~ 1000 5483 5483 0'5483, U pr. = 78-317, 10 4 37 10 * 10000 37 100000 0-00037. Čislice v pravo za tečkou jmenuji se desetinne; predstavuje tedy desetinny zlomek s m desetinnymi čisliceini. Abychom poznali vyznam čislic desetinneho zlomku, budiž A dan zlomek jenž ma 4 čislice desetinne; čislo pred dese¬ tinnou tečkou budiž m, čislice desetinne pak pofadem od leve ruky ku prave naznačme pismeny a, b, c, d, tedy bude A = m . 10 4 + a . 10 3 + b . 10 2 + c . 10 + d, z čehož A 10 4 m . 10 4 + a . 10 3 + b . 10* + c . 10 + d = m + a + b + ~ 11 c- ‘ d 10 4 JL _i-. 10 1 10 2 1 10 3 T 10 4 Čislo pred tečkou desetinnou znamena tedy čislo ce- listvč; prvni čislice desetinna znamena desetiny, druha se- tiny, treti tisiciny, čtvrta desititisiciny a t. d. 34781 34000 + 700 + 80 + 1 1000 “ 1000 = 34+ 7 ' 8 ■ 1 U pr. 34-781 = 10 + 100 + 1000 ' 62 Zlomek desetinny se vyslovi, jestliže nejprve vyslovlme celč pred tečkou desetinnou, potom každou čislici desetinnou o sobč s pflslušnym jmenovatelem. Pri tom mužeme jmenova- tele jednotlivych desetinnych mlst i vynechati; pak vy slovim e pofadem všecky člslice desetinne, ani nullu nevyjlmajlce. Čisla desetinna jsou rozšlfenl dekadicke soustavj čl- selne (§. 63.) v tom zpusobu, že rada člselnych fadfi. tiske, sta, desltky, jednotky, nepfestava jednotkami, nybrž dle tčhož zakonu jest rozšlfena tak, že každa nižšl jednosf bčfe se co desata čast jednosti nejbllže vyššlho fadu, čim obdržlme desetiny, setiny, tislciny .... Desetinna tečka oddčluje pak pflvodnl fadu člselnych fadu od tohoto pokračovanl. Dle toho jest . . . c . 10 3 + b . 10* + a . 10 + J -f ~ ^ + - • všeobecny tvar čisla v dekadicke soustavš, kde J, a, b, c . . . značl člslice jednoteb, desltek, set, tislcfi, . . . . a, /S, y, . . člslice desetin, setin, tislcin .... V^sledky. 1) Hodnota desetinneho zlomku se nemčni, pfiplšeme-li v pravo za platnymi člslicemi nekolik nuli; u pr. 0-23 = 0-230 = 0.2300 = 0-23000. 2) Hodnota každeho čisla desetinneho jest menšl nežii jednosf vyššlho mlsta, pfedchazejlcl pflmo pred jejl nejvyššl platnou člslicl; upr. 0-00783 < ^ Nebof kdyby i každa čls¬ lice desetinneho čisla mčla nejvštšl možnou hodnotu 9, museli bychom jest6 jednu jednosf nejnižšlho mlsta k nemu pripočlsti abychom obdrželi jednosf onoho mlsta vyššlho. Promčnov&ni objčejneho zlomku v desetiiray a naopak. §. 107. IJloha. Obyčejny zlomek ma se promčniti v desetinn^. Dčlme čltatele jmenovatelem a v podllu napišme desetinnou tečku za celymi, na jichž mlsto klademe nullu, ma-li se pravy zlomek promčniti v desetinny. Ku zbytku pfipišme nullu, dčlme opčt, a vyhledanou člslici podllu postavme za tečku desetinnou; ku každčmu nasledujlclmu zbytbu pfipišme zase nullu, a tak pokračujme v dčlenl, až konečnč zbytek nčktery se 63 rovna nulle, aneb nestane-li se tak, až obdržime žadany počet čislic deseturnih. nt1 a a . 10 m a . 10 m : b Ddkaz. ¥ = - :f(5nr (§.93.,3.)== 1Qm - - (§. 49., 1). U pf. -j- = 30 : 4 = 0-75 20 O 329 125 = 329 : 125 = 2-632 790 400 250 O Dodatky. 1) Ma-li desetinny zlomek 6plnš se rovnati obyčejnčmu zlomku -g-, musi b^ti konečny, tudiž a . 10“ dč~ litelno jmenovatelem b. Jsou-li a a b prvočisla vespolek, bude to však možno jen tehdy (§. 74., 4), je-li 10 m dčlitelno b, t. j. neobsahuje-li b mimo 2 a 5 žadneho jineho činitele. Kdykoli jmenovatel b se sklada mimo z 2 a 5 ještš z jinych činitelfl, nemuže obyčejny zlomek -g- , psany nejmenšimi čislv. nikdy uplnč bjli vyjadfen zlomkem desetinnym. Približnč však možna vždy vyvinouti desetinny zlomek, jenž od obyčejneho zlomku o prevelmi malo se liši. Nebof neni-li součin a . 10 m dšlitelny jmenovatelem b, podil možna považovati za smišem' čislo. Budiž tedy a . I0 n p + T , kde r < b, tudiž a ¥ ■JL + r - 10 m ■ b . 10” z čehož a p _ r ¥ 10“~ “ b . 10 m ‘ r r 1 Ponevadž pak r < b, tedy -g- < 1, musi h - < 1( - )IQ - Rozdil zlomku obyčejneho a desetinnčho je tudiž menši nežli t. j. menši nežli jedna jednost posledniho desetinneho mista ještč vyvinutčho; čim vetši bereme m, tira menši bude 1( | m , 64 tim menši take bude onen rozdil, až konečnč mužeme jej učiniti menšim nežli kterekoli sebe menši čislo stanovitelne. U pf. g = 23-0 : 78 = 0-29487 .... Vyvineme-li 5 čislic desetinnych, dopustime se chyby, kteraž jest menši nežli ' . 2) Jestliže obyčejny zlomek, jejž nelze dokonale vyjadfiti zlomkem desetinnym, pfibližnč promčnime ve zlomek desetinny, museji se pri tom nčktere čislice desetinne v temže pofadku opakovati. Nebof pri dčleni jest zbytek vždy menši nežli delitel; obdržime tedy jen tolik rfiznych zbytkfl, kolik jest celistvych čisel menšich nežli dčlitel, tak sice, že v nejnepfiznivčjšim pri- padč z tolika zbytku, kolik jednosti obsahuje dčlitel, objevi se opet nšktery predešly zbytek, od nčhož pak opakuji se tyt6ž čislice v podilu a tytež zbytky jako drive. U pf. ,1 = 7-0 : 15 = 0-46666 . .. 10 100 100 100 10 18 37 = 18-0 : 37 = 0-486 486 .. . 3 20 240 180 ' 320 240 18 Desetinne zlomky, v nichžto určite množstvi čislic v temž pofadku se opakuje, slovou obči s ln e (periodickš); fada čisel stale se opakujicich jmenuje se ob čisli (perioda). Občisli pi- šeme obyčejnč jen jednou, označujeme je však tim, že nad prvni a posledni jeji čislici klademe tečku; tak u pf. L = 0-46; g = 0-486. §. 108. Desetinny zlomek ma se promčniti v obyčejny. 1) Konečnv zlomek desetinnypromčnimevoby- čejny, pišeme-li jej na zpusob zlomku obyčejnčho, jejž co možna zkratime. U pf. 0-75 = = T ; 31-325 = 31^ = 31i|. 65 2) Desetinny zlomek naprosto občislny, t. j. ta- kov^, v nčmž hned po tečce desetinne opakuje se bud jedna nebo nčkolik čislic desetinnych, promčni se ve zlomek oby- čej ny, klademe-li co čftatele čislice periody, co jmenovatele pak čislo psane tolika devitkami, kolik čislic pfichazi v občfslf. Dukaz. Znamena-li b periodu, n pak počet čislic jejich, bude naprosto občislny zlomek desetinny x _A , b , A_ 10 n ~ 10 2n ~ 10 3 ” Nasobime-li tento vfraz 10“ , obdržime X • 1°“ ~ b + + jQ3n + • • • a odečteme-li drivčjši vyraz od tohoto, bude x . 10“ — x = b, čili (10“ — 1) . x = b, z čehož x = ^ 10“ — 1’ TT v n .A 6 2 U pr. 0-6 = g = -g ; 45 0 45 ~ 99 ~ 11’ 2.301' 15Š5i = 15||{ = 15&. 3) Desetinny zlomek smišenč občislny, t. j. ta- kovy, v nčmž po desetinne tečce pred periodou pfichazeji ještč jinč čislice desetinnč, promčni se ve zlomek oby[čejny, jestliže považujeme čislice pfed periodou i s periodou za čislo, od nčho odečteme čislice pred periodou rovnčž co čislo, a rozdil ten lomime čislem, kterčž psano jest tolika devitkami, kolik čislic pfichazi v občisli, s tolika nullami v pravo pfipsamfmi, kolik čislic stoji pfed občislim. Dflkaz. Znamena-li b periodu, n počet jejich čislic, a čislo pfed periodou a m počet jeho čislic, bude vzorec smišenč ob- čislneho zlomku desetinnčho X = 10» + b , b . b , }Qm-;-n I yQm+2]i * }(jm|3n 1 kter^žto vyraz, nasoben nejprvč 10 m+n , pak 10», d h dva v^razy: b . b x .lO™^ x . 10 ra = a a . 10“ + b -f jo* b . b + 102» + • + 10 “ + j _b— J1J2» “ 10 s » ‘ Mocnik-Hora, Algebra. 66 Odečteme-ii tento vyraz od pfedesleho, obdržime x . 10 mt " — x . 10” = a . 10 n + b — a, aneb x . 10“ (10" — 1) = (a . 10 n + b) — a, z čehož _ (a . 10" -f b) — a X ~ (10" — 1) . 10” ‘ U pr. 02i5 3-31708 215 - 2 _ 213 _ 71 ' 990 ~ 990 ~ 330’ 93 1_7__0_8 —3 I 03 1 6 T 7 u 99900 — “99S00 — H 0 5 5 9. 3 3 3 00 Počitani uplnymi zlomkj- dOsetinnymi. §. 109. Počitani desetinnvmi zlomky, spočivajic na tychže zakladech jako počitani čisly celistvymi, požaduje jen zvlaštni obled na fad jednotlivycli čislic, t. j. na položeni tečkv desetinne. Mame-li desetinnč zlomky sečitati aneb odčitati, pišeme jejichstejnojmenna mista, tudiž i tečky desetinnč spravne pod sebe, a sečitame aneb odčitame je pak od prave ruky k leve jako čisla celistva. Nedostavajici se mista desetinna mdžeme si vyplniti nullami. 35-312 0-5678 215-3456 39-2 91-45923 součet T5D798 rozdil 123-88637' §. 110. 1) Desetinny zlomek nasobisemocninou desitky, pomkneme-li desetinnou tečku o tolik mist. v pravo, kolik nuli raa nasobitel. -J— 10 D — _ 3 — a 10 ” 10 ”: 10 " 10 ”-" 2) Zlomky desetinne nasobime bez ohledu na dese¬ tinnou tečku jako čisla celistva (§. 68.), v součinu však od prave k levč oddelime tečkou desetinnou tolik mist, kolik jich maji činitele dohromady. _a b _ ab 10“ * 10" ~ lO” -1 ” ■ Dle tehož pravidla nasobime desetinny zlomek čislem ce- Iistvym. Neni-li v součinu tolik čislic, kolik jicli tfeba oddeliti, vy- plnime nedostavajici se mista v levo nullami. Dodatek. Napišeme-li nasobence, nasobitele a jednotlive častečnč součiny pod sebe zpusobem naznačenem v dodatku §. 68., 67 pozna se rad každe čislice v součinu primo z jejiho mistniho postavem', jelikož pak desetinna tečka v součinu bude se nalezati pod desetinnou tečkou nšsobitele. U pf. 8-0 56 X 53-1 5 3-j 402 80 2 4168 8056 42 7-7736 13-7934 X 0-00156 0-001 56 13 7934 6 89670 827604 O 021 517704 §, 111. 1) Desetinn^ zlomek d člf se mocninou de- sitky, pomkneme-li desetinnou tečku o tolik mist v levo, kolik nuli ma dšlitel. a 10 “ : 10 “ a lOmfii- 2) Zlomky desetinnš se dšli, zjedname-li dšlenci a dšliteli pfipsanim nuli stejny počet mist desetinnych a dčlime-li pak bez ohledu na tečku desetinnou jako čisla celistva (§§- 70. a 107.). a _ b _ a : b _ 10“ : l(j m _ 10 m : 10“ - a : b - Dle tehož pravidla dčlime take, je-li dčlenec nebo dšlitel čislo celistve. Prakticky počitame dle nasledujicich jednoducbych pravidel, jiehžto pravdivosf jest patrna: 1) Desetinny zlomek dšli se čislem celistvym, dšlime-li jej jako čislo celistve; v podilu klademe desetinnou tečku, jakmile k ni pči dšleni v dšlenci prijdeme. U pf. 487-75 : 25 = 19-51 237 127 25 O 2) Čislo se dšli zlomkem desetinnym, nasobime li dšlence i dšlitele takovou mocninou desitky, aby dšlitel se pro- mšnil v čislo celistve, a dšlime-li pak dle pravidla 1). U pf. 0-05496 : 36-84 = 5-496 : 3684 = . . . 34461 : 0-63 = 3446100 : 63 = . . . Dodatek. Napišeme-li dšlence, dšlitele a podil pod sebe zpftsobem naznačenem v dodatku §. 70., pozna se fad jednotlivych 5* 68 čfslic v podflu prfmo z jejich mfstniho postavenf, jelikož pak de- setinna tečka v podflu bude se nalezati pod desetinnou tečkou dčlence. U pf. 0-5 25632 : 3'056 87 6-5 : 18-95 3 056 18-9 5 0-1 72 4 6-25 .. 2 2003 11 850 6112 4800 O 11100 1625 Počitfini zkrieenymi zlomkjr desetinuvmi. §. 112. Desetinny zlomek, jenž nčjakou čfselnou hodnotu, vzniklou z provedenčho počtu aneb mšfenf, nepfedstavuje z c el a určitš, nybrž prfbližnč, slove zkracenv či neuplnv, a naopak desetinny zlomek jest uplny, pakli onu hodnotu ur¬ čitš vyjadruje. Neuplny zlomek desetinny naznačuje se pfipojenvmi tečkarni, u pf. 3-14 .... Dostači-li ku zvlaštnfmu nškterčmu učelu menšf určitosf, mflžeme upln^ desetmny zlomek zkratiti, t. j. mužeme jednu nebo nekolik jeho čfslic desetinnych vynechati. Poznačime-li m prvnfch desetinnych čfslic desetinnčho zlomku a pismenem p , nasledujfcf pak q, r . . . , bude a . _ P_|_ 9 + JL 10 m ' 10 m + l ' io m t2 + . . . Pončvadž dle §. 106., vysl. 2) desetinne čfslo - ~ - ~ t + r 10 m+2 bude a . . 1 10 ” ' P m < a < P + 1 10 m ' . tedv všzf v mezech j2_ a jichžto rozdfl jest Z toho jde: 1) Položfme-li mfsto a . . . desetinny zlomek , dopu 69 stime se «hyby menši nežli 1( J m . Vynechame-li tedy v desetin¬ am čisle všecky desetinne čisliee, nasledujici za m misty, chyba bude menši nežli jednosf mteho mista desetinneho. 2) Je-li q < 5, bude a . . . u , P . bliže nežli u P ^ 1 , "I "I protož a ... — < j . Je-li tedy prvni vynechana čisliee menši nežli k chyba bude menši nežli ^ jednosti po- sledniho ponechaneho laista. 3) Je-li q 5, bube a . . . bliže u nežli u j—; protož - (a. . - — < 2 ' IG” - Je ' H tedy prVni vynechana čisliee 5 aneb včtši nežli 5, zvštšime (opravime) posledni ponechane misto o 1, aby i zde chyba byla menši nežli 2 jednosti mista tohoto. Zkraceny desetinn^ zlomek a . . . mflžeme tedy vždy pfed- staviti uplnym mmfstnjm zlomkem desetlnn^m a tak určitč, aby chyba byla menši nežli polovice jednosti mtčho mista; proto možna položiti a . . . = a + «, kde « < .! . , ostatne inuže a byti kladne nebo zaporne. Pri počitani zkracenymi zlomky desetinnjmi treba jest ve- dčti, s jakou spolehlivosti v každčm pripadž lze určiti vysledek, z čehož naopak možna souditi, jak pčesnš, museji byti dand čisla, abychom obdrželi vysledek až do jistčho mista desetinneho spo- lehlivy. Ye včtach, kterčž o tom vyslovime, budeme vesmes predpokladati u desetinnych zlomkfi zkracenych takovou pfesnosf, že chyba jest menši nežli polovice jednosti jejieh posledniho mista. §. 113. 1) Ckyba v součtu nčkolika desetinnych zlomku zkracenych na stejny počet mist jest menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik jest sčitancu. 2) Chyba v rozdilu dvou desetinnych zlomku zkra- cenych na stejny počet mist jest menši nežli jednost po¬ sledniho mista. 70 Spravnosf tčchto včt jest patrna. Vysledky. 1)Y součtu nčkolika zkracenych ziomkft de- setinnych jest v nejnepfiznivšjšim pripadč tolik aižšich mist nejistych, kolik čfslic ma polovičny počet sčitancu, u pr. jed no misto, je-li menč nežli 20 sčitancd. 2) V rozdilu dvou zkracenych zlomkfl desetinnyck jest v nejnepriznivčjšim pfipadč jedno misto nespolehlive. §. 114. 1) Chyba v součinu dvou desetinnycb zlomkfi zkracen^ck na stejny počet mist jest menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik udava součet obou činitelfi. Jsou-li desetinne zlomky a . . . a b . . . zkraceny na m desetinnych mist, tedy a . . . = a + a, a b • • • = b + 0, kde k a /J jsou menši nežli tudiž a . . . X b . . . = ab + a/3 + ha + a/3, aneb vynechame-li člen aS iakožto pfevelmi maly naproti ostatnim, a . . . X b . • . = ab + a/3 + b«. Chyba v uplnč vyvicutčm součinu ab jest a/3 + ha, tudiž menši nežli (a + b) ./y . Jsou-li u pr. 7-846 ... a 3-142 . . . zkracene zlomky desetinnč, bude 7-846 X 3142 = 24-652132; chyba jest menši nežli (7-846 + 3-142) . t. j. menši nežli 0’005494. Součin spravni ve dvou mistech je tudiž 24-65. 2) Nasobime-li zkraceny desetinny zlomek upl- nym, chyba jest menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik udava činitel uplny. Ma-li a . . . drivčjši hodnotu, a je-li b uplny zlomek desetinn^, bude a . . . X b = ab + ba, tudiž chyba b« < b . y U pč. Součin 8-0256 .... X 17-8 lze vyvinouti na 3 spravna desetinna mista proto, že chyba jest menši nežli 17-8 . , t. menši nežli 0-00089. 71 §. 115. Chceme-li v součinu dvou čisel vyvinouti jen mista spolehliva, vabeč jen určity počet mist desetinnych, a vyhnouti se zbytečnemu počitani, nasobime zkracenč takto: 1) Napišeme (§. 68. dodatek a §. 110. dod.) nasobitele pod nasobence tak, aby nejvyšši platna čislice onoho pfišia pod jed- notky toboto; ponechame v nasobiteli tolik mist desetinnych, kolik jich v součinu chceme miti, a v nasobenci taktčž jen de- setinna mista nad zkracenym nasobitelem. 2) Nasobme nejvyšši čislici v nasobiteli zkraceneho naso- bence a prvni čislici častečnčho součinu napišroe pod nejnižši misto zkraceneho nasobence. Aby však tato prvni čislice byla spravna, nasobme dfive prvni čislici vynechanou v nasobenci. a desitky toboto součinu pripočitejme co nahradu či opravu k prvni čislici součinu častečneho. 3) Taktež nasobme druhou, treti, . . . čislici v nasobiteli, pči Čem však pokaždč vynechame nejnižši čislici dfivšjšiho na¬ sobence, a tudiž takč nepišeme častečne součiny vždy o jedno misto v pravo, n^brž prvni jejich čislice klademe pod sebe. Ko- nečnč nasobme take prvni čislici v nasobiteli vynechanou a na- pišme desitky tohoto součinu jakožto posledni součin Častečny. 4) Sečitejme všecky častečne součiny, a v součtu dejme desetinnou tečku pfimo pod desetinnou tečku nasobitele. Pri klad. Ma se vypočitati součin neiiplnych zlomkfi de- setinn^ch 7 - 4281 . . a 09822 . . Pončvadž cbyba v součinu uplne vyvinutem bude menši nežli (7-4281 + 0-9822) . t. j. menši nežli 0-00042, možna vypočitati součin spravne až na 3 desetinna mista: a) uplnč: b) zkracene na 3 des. mista: (Pro ne zcela spolehlive nahrady byva pri zkracenem nasobeni po¬ sledni čislice nejista; chceme-li tedy v součinu obdržeti určity počet spo- lehlivych čislic desetinnych, vyvineme zkracenym nasobenim o jedno desetmne misto vice nežli žadano, a vysledek zkratime o jednu čislici.) 72 §. 116. 1) Chyba v podilu dvou desetinnych zlomki! zkracen^ch na stejny počet mist jest menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik udava součet dčlence a dčlitele, dčlenv čtvercem dšlitele. Znamenaji-li a . . . a b . . . totež co v §. 114,, 1), bude a . . . _ a . —a/3 + b u b . . . ~ ¥ + b(b + /3) • V nejnepfiznivčjšim pfipadč maji a a /3 protivna znamenka; 3/5 - 1 \)CC pak jest chyba ^ aneb y ypustime-li /3 jakožto pfevelmi male naproti b, chyba se rovna , jest tedy menši nežli a + b 1 1 b * • 2 ‘ 10”' Mame-li u pf. vypočitati 5-134 . . . chyba menši nežli 5-134 + 3-862 0-001 „ 8-996 0-001 3-862" • 2 < 3-8- ‘ 2 3-862 . . . , bude = 0-00062 . . . V podilu danych dvou desetinnych zlomkfl lze tedy vyvi- noud tfi spolehlive čislice desetinne, totiž 5-134 . . . : 3-862 . . . = 1;329 . . . 2) Delime-li zkraceny zlomek desetinny uplnym, chyba bude menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik udava prevratna hodnota dčlitele. Ma-li a . . . drivčjši hodnotu, a je-li b uplny zlomek de- setinn^, bude Chyba je zde a . . . _ a .a b ~ ¥ + b ' cc 1 tedy menši nežli y 1 1 2 ‘ 10 “' U pf. V podilu 0-314 . . . : 6-34 mflžeme vyvinouti čtyry spravna mista desetinna proto, že chyba v podilu bude menši nežli 1 0-001 6-34 ' 2 0-000078. 3) Dčlime-li uplny zlomek desetinny zkracenym, chyba bude menši nežli tolik polovic jednosti posledniho mista, kolik udava dčlenec dčleny čtvercem dčlitele. 73 Ma-li b . . . hodnotu jako v §. 114., 1), a je-li a uplny zlomek desetinny, obdržime & _ a _ a/S^ b . . . ~ b b(b + /3)' Vypustime-li ve jmenovateli /3 jakožto prevelmi male na¬ proti 5, bude chyba tudiž menši nežli ^ y U pr. V podllu 3-9108 : 3-5628 . . . jest chyba menši nežli 3-9108 0-0001 3-9108 0-0001 nAAn ni« 3 * 5628 * • 2 . < W ■ 2 = 0 0015016 ; ' ' ; v podilu Ize tedy vvvinouti 4 spravna mista desetinna. §. 117. Chceme-li v podilu dvou čisel vyvinouti jen určity počet mist spravn^ch a vyhnouti se zbytečnčmu počitani, dč- lime zkracenč takto: 1) Napi šeme (§. 70. dodatek a §. 111. dod.) dčlitele pod prvniko častečneho dčlence a prvni čisliei podilu pod čfslici na mfstč jednotek v dčliteli; pak jest prvni čislice podilu s čisliei dčlence primo nad ni Stojiči tčhož radu. Z fadu teto čislice a z počtu desetinnveh mist hledanyck v podilu bude takč znamo, kolik platnych čislic v podilu celkem mame určiti. V dčliteli vezmeme pak tolik nejvyššich čislic, kolik jich ma podil obsaho- vati, co prvniho dčlitele a čast dčlence, nad nim Stojiči, co prv- niho dčlence. 2) Pfi každčm nasledujicim deleni nepfipišeme ku zbytku novou čisliei z dčlence aneb nullu, n^brž vynechame v dčliteli v pravo čisliei, nasobime však každou novou čisliei v podilu nej- prve čisliei vyneehanou v dčliteli a nahradu z toho pfipočitame k součinu zkraceneho dčlitele a naležitč čislice v podilu. 3) Tak pokračujeme, až poslez delime prvni čisliei dčlitele, čimž počet se ukonči. Desetinna tečka v podilu se klade pod desetinnou tečku dčlence. Pfiklad. Ma se vypočitati podil 96-371 . . .: 4’058 . . . Ponevadž 96-371 4- 4-058 0 001 4-058* ’ 2 < 100-429 4* 0 001 2 Q'003 . . . , obdržime v podilu jen dvč spravna mista desetinna; prvni čislice bude miti hodnotu desitek, musime tudiž vyvinouti celkem 4 platne čislice. 74 a) objčejnš deleni des. zlomku, b) zkracene delen! na 2 ruista ktere považujeme za liplne : desetinna : 3. Zlomki/ reUzove. §. 118. Zlomek, jehož jmenovatel se sklada z celistveho čisla a zlomku, jenž ma jmenovatele tčhož tvaru, neni-li po- slednim, slove zlomek fetčzovy. Všeobecne vyznaeujeme retčzove zlomky rfrazem a -aneb zkracenč: . p b + b + d + d + f + .. f+.. Zlomky -p -p slovou člen v zlomku retčzovčho. Ma-li zlomek retčzovy určity počet členil, jmenuje se konečny (ukončeny); postupuje-li však do nekonečna, slove nekoneeny- Zvlašte dfiležite jsou fetšzove zlomky, jejichžto členy maji vesmčs 1 co čitatele a kladne čislo co jmenovatele; všeobecnf jich tvar jest J. a"+ b + c + Jen o takovychto zlomcich fetčzovych bude zde pojednano. Promenovfini zlomku obyčejneho ve zlomek fetezovj' a naopak. §. 119. tJloha. Obyčejn^ zlomek pravy ma se pro- mčniti v četezovy. Dčlme jmenovatele čitatelem, predešleho delitele zbytkem, noveho dčlitele novym zbytkem a t. d., až pri nčkterem deleni zbytek jest nulla; jednotlivč podily jsou jmenovatele po sobž jdoucich členil zlomku fetčzoveho. 75 Dflkaz. Je-li y zlomek pravy, tedy a b, bude a b 1 b: a 1 q ' a: r. 1 = - 1 1 Ql + ^ 1 1 1,1 + q,~ q, + q 3 + q 3 + r.> a t. d., da-li a za podil q, se zbytkem r, b ® » » 4 J » • r* « » ^3 » « ^3 & t. d. Pri tomto dčleni musi konečnč zbytek nčkter^ = O, po- nčvadž zbytky jsou čisla celistva a každy nasledujici zbvtek musi byti nejmčnč o 1 menši nežli pfedešly. Kdyby u pf. v pri- padč hofejšim vubee r 3 = O, obdrželi bychom konečny zlomek Petčzovy a _ 1 b 1 q > + i + 1 ■ “ q 3 Obyčejny zlomek jejž jsme promčnili v retčzovy, naziva se zlomkem pflvodnim (tvoricim). 69 Mame-li u pf. ^ promčniti ve zlomek fetezovy, poči— tame takto: protož 69 151 S + 5 L + 1 3 + Dodatek. Mame-li nepravi zlomek promčniti v fetč- zovy, uveclme jej na čislo smišenč, promčnme pak privčseny 76 pravy zlomek v fetšzovv, a k tomu pfipišme na začatku čislo celistve prve vyhledane. Retčzovy zlomek ma v tomto prlpadč podobu 1
  • Qi 'b +n _I_ 1 _ k + q 3 -f x 3 — ] - , čili | L > a q, +x,’ N, b ' Taktež q„ < q, + x "t protož --- > — v tudiž take q 2 q„ -f- x, ( L + ~ > q, + r-jTT’ z čehož 42 42 i X 2 1 q. + - < i . Z ^ , a aneb 4- < . N. b q 2 + q 2 + Rovnčž q 3 < q, + x 3> tedy 1 q. + { > * + * + ^ i 1 <- - -, q, -k - 1 < q. + q 2 -f proto 1 q 3 +; 1 4- x 3 q 2 + i q 3 9 2 + : 1 q 3 + x 3 i i > aneb q ' + q 2 + 1 2 q 3 qi +, q* + i n 3 > b • q 3 Všeobecnč jest tedy Zn a N7 < b ’ jak totiž n jest čislo liche aneb sudč. Vysledek. tJplna hodnota retčzovčho zlomku leži vždy mezi hodnotami dvou po sobč jdoucich zlomkfl sbližnych. §. 124. 1) Jestliže od součinu čitatele sbližnčho zlomkuajmenovatelenasledujicihoodečtemesoučin 80 čltatele tohoto a jmenovatele onoho zlomku, rozdil se rovna + 1 aneb — 1, jak totiž prvšl zlomek sbližny obsahuje lichf nebo sudy počet členil. Jest totiž Z,N 2 — Z 2 N, = 1 . (q,q, + 1) ■— q, • q, = + 1, Z 2 N 3 — Z,N 2 = Z 2 (N 2 q 3 + N,) - (Z 5 q 3 + Z,)N S = z 2 n, - z,n 2 = — 1. Je-li tedy všeobecnč Z n _]ISr n — Z n N n _i — + 1, plyne z toho, že ZnNn-;.t Zn^-lNu — Z n (Nnqn-’-l “t -N n—l) (Znqn-M 1 Zn—l)Nn — Z n N a —l — Zn_lNn — + 1, čim jest všeobecna platnost hofejšl včty dokazana. 2) Rozdil dvou po sobč jdouclcb zlomkfi sbliž- nych r o v n a se + 1 dčlene součinem jmenov.atelu. Všeobecnč jest Z n —l Z B Z n —iNn Z n N n —l it 1 N n _', “ N7 “ U ~ Nn_lN n ‘ 3) Prosty rozdil zlomku sbližnčho a pfivodnlho jest menšl nežli 1 dčlena čtvercem jmenovatele zlomku sbližneho. Ddkaz. Pončvadž uplna hodnota fetčzoveho zlomku vždy leži mezi hodnotami dvou prlmo po sobe jdouclch zlomkfi sbližnych, jest absolutnj' rozdil -j* menšl nežli rozdil Zn _ Zn-j-i Nn N n +1 ’ tudiž Zn _ a 1 Nn" b ' NnNn +1 ’ Ale pončvadž N„+i > N u , tedy N„N n+ i > NV, a ^ 2 , tedy zajistč Zn a 1 Nn b ^ Nn“' Dodatek. Jelikož N, 2 < N 2 2 c N 3 2 < N 4 2 < . .., tedv 1 _ 1 ^ 1 . 1 _ N, 5 > N 2 2 > N 3 2 > N 4 2 > • ‘ *’ z čehož p]yne, že každy nasledujlcl zlomek sbližny od uplne hodnotv četčzovčho zlomku lišl se mčnč nežli pfedešbf, že tedy 81 sbližne zlomky po sobč jdoud k teto hodnotč čim dale tim vice se bliži, až konečnč posledni, je-li vflbec ktery, ji se vyrovna. §. 125. Čitatel a jmenovatel každeho zlomku sbližneho j s o u prvočisla vespolek. U sbližnych zlomku a - jest (§. 124.) prostvrozdil ■Nn—1 -Nn Z n -lNn - Z„N n _, = 1. Kdyby tedy Z n a N n mčly společnou miru m, bylo by m take mčrou rozdilu Z n _iN n — Z„N n _i (§. 74., 1) a 73., 2), tudiž i mčrou jedničky, což neni možna. §. 126. Mezi dva po sobč jdouci zlomky sbližnč nelze vložiti zlomek, jehož jmenovatel nenivčtši nežli včtši jmenovatel obou zlomka sbližnych. Dejme tomu, že by obyčejny zlomek Z • vr n ‘ 1 , tedy by bez ohledu na znamenka JNn+l — ležel mezi 3 1 - 4 N n a W - ~ < W -v H , »neb Nn 4 Nn Nn-fi Nn 4 N n N n « protož Zn4 — N n p „ 1 4 ^ Nn« což jen tehdy možna, je-li jmenovatel q > N n+ i, pončvadž roždil Z a q — N u p ma byti čislo celistve, kterč se liši od nully, tedy > 1. V^sledek. Každy sbližn^ zlomek udava uplnou hodnotu fetčzovčho zlomku lepe nežli každy jin£ zlomek s m en Šim jmenovatelem. Dodatek. Tato vlastnosf zlomku sbližnych jest v ohledu praktickem velmi duležita. Chceme-li totiž podil (pomčr) dvou velk^ch čisel co možna nejurčiteji vyjadriti čisly menšimi, pro- mčnime jej ve zlomek retčzovy a vyhledame sbližne zlomkv; každy z nich pak udava hledany podil určitčji nežli všecky možne obyčejnč zlomky, jejichžto jmenovatele nejsou včtši nežli jmenovatel zlomku sbližnčho. P r i k 1 a d y. 1) Zlomek 3-1415926, t. j. čislo udavajici pomčr obvodu kruhu k prfimeru, ma se co možna nejurčitčji vyjadfiti menšimi čisly. Močnik-Hora, Algebra. 82 3-1415926 = 31415926 10000000 = 3 + + 15+ z čehož sbližne zlomky: 243 + 2) Videnška stopa = 0-316081 metru; maji se vyhledati sbližne zlomky. 0-316081 = 316081 _ 1 1 1000000 “ 3 + -i- tedy sbližne zlomky: _1_ 9 + 1 2 + 1 , m 541’ 1_ 1 + 9 , 1655 5236’ 1 9 + Pfibližnč pak 3 vid. st. = 1 metru, 19 „ „ = 6 metrfim, 174 „ n ~~ 55 » 367 „ , = 116 541 „ , = 171 5236 „ B = 1655 „ a t. d. Til. Pom6ry a srovnalosti. 1. Pomery. §. 127. Džleni co rozdčlovani uvadi n4s na zlomky; dčleni co mšfeni čisla jakehosi čislem jinym vede na pojem pomčru. Pomčrem dvou čisel (veličin) a a b mini se vyraz, jenž udava, kolikrate a jest vetši nežli b, aneb kolikrate b jest v a obsaženo. Pomčr veličin a a b označujeme znamenkem dčleni mezi nč kla- denym, tedy a : b aneb což se čte: a ma se k b, aneb zkratka: a k b. Dčlitel a dčlenec slovou členy pomčru, a sice dčlenec je člen prvni či pfedni a dčlitel druhy či zadni. Je-li a : b = q, nepojmenovane čislo q slove podil aneb uda- vatel pomčru a : b. 83 Pomčr se nazyva čiseln^m, jsou-li jeho členy čisla beze- jmenna. Smenime-li v pomčru a : b prvni člen za druhy, pomčr b : a jmenuje se obraceny čili prevratni Velikosf pomčru zavisi na jeho udavateli; čim včtši uda- vatel, tim vetši jest pomčr. Maji-li pomery tehož udavatele, jsou sobe rovny. A naopak, jsou-li pomčry sobč rovny, maji tčhož udavatele. §. 128. Pomčr dvou (stejnorodych) veličin, u pr. dvou čar, ploeh, . . . ma tentyž v^znam jako pomčr dvou nepojmenova- nych čisel, ktera vyjadfuji, kolikrat společna mira obou veličin jako jednosf v obou čislech jest obsažena. 1) Udavatel pomčru dvou veličin smčritelnych (§. 87.) jest bud čislo celistve nebo lomene. Jsou-li veličiny A a B smčfitelne, a jejich společna mira v A obsažena »»krat, v B pak »»krat, tedy ~ kde pro pfipad, že by bud n = 1 aneb vflbec m bylo dčlitelno n, pfed- stavuje čislo celistve, jinak lomene. 2) Udavatel pomčru dvou veličin nesmčfitel- nych nemuže a) byti ani čislo celistvč ani lomene; mužerne jej však b) udanim dvou mezi, v nichžto leži, pfibližnč určiti tak spravne, jak toho po- tfeba kaže. a) Jsou-li A a B veličiny nesmčfitelne, nemflže ani g = m, A m aniž g = ~; nebof v prvnfm pflpadč by bylo B, v druhem pak společnou mčrou A a B, což jest proti podmince. b) Bozdčlime-li B na n rovn^ch časti, a odejmeme-li jednu B takovou čast - od A »»krat, t. j. kolikrat vfibec možno, po- n B B zfistane z A zbytek menši nežli -; tudiž musi A > m . —, ale A < (m -j- 1) . protož jest dle §. 57., 2) m A ^ m + 1 n < B < n ' 6 * 84 Udavatel pomčru g leži tedy v mezech ^ a —jichž rozdll jest Položlme-li g = ™ aneb dopustlme se jednou v kladnčm, po druhč v zapornem smyslu chyby, kteraž p bude menšl nežli - . Pončvadž pak mužeme vziti n jakkoli ve- 1 A lik6, čili zlomek jakkoli maly, lze take g určiti tak spravnč, jak toho jen potreba kaže. Dodatek. Mame-li vyjadfiti pomčr dvou nesmččitelnych veličin, muslme v obor čisel uvesti člselny tvar, jenž sice nepfi- chazl v dosavadnl rade čisel celistvych a lomenych, ale tčmito člsly pflbližnč sebe spravnčji se mfiže určiti. Pončvadž nas vsak na tento novy tvar člselny, jejž jmenujeme čislo neracio¬ nalne, pozdčji (§. 178.) povede i pozorovanl čisel dosavadnlch, bude o nčm tam teprv pojednano. V nasledujlclck vetach zatlm predpokladejme, že členy po- mčru jsou smčritelnč. §. 129. Poučky. 1) Prvnl člen každeho pomšru rovna se druhčmu členu nasobenčmu udavatelem. 2) Druhy člen každelio pomčru rovna se prv¬ nl mu členu džlenemu udavatelem. ,Te-li a : b = q, musl 1) a = bq; 2) b = a : q. Pravdivosf tčchto včt plyne pflmo z §. 44. 3) Hodnota pomčru se nemčnl, nasoblme-li nebo dčllme-li oba jeho členy tymž člslem. Plyne z §, 51., 2). Dodatek. Použijeme-li včty teto, mužeme a) každy pomer, jehožto členy jsou zlomky, vyjadriti člsly celistvjuni, b) každy pomer, jehožto č!eny maji společnou miru, touto zkratiti. 4) Jsou-li dva pomčry rovnv tfetlmu, jsou i sobe rovny. Plyne z §. 7., 2). §. 130. Nasoblme-li prednl a zadnl členy dvou nebo nč- kolika pomčru, součiny tvori novy pomčr, jejž naproti danym jednoduchfm pomčrfim nazyvame složitym. 85 Jsou-li u pf. a : b c : d e : f p omerv jednoduchč, bude ace : bdf pomer složity. Dodatek. Nasobfme-li aneb dčlfme-li nčktery pfednf a zadnf člen v jednoduchych pomčrech tymž čfslem, bude pfednf a zadnf člen pomčru složitčho tymž čfslem nasoben anebo delen, tudiž hodnota složiteho pomčru zustava neporušena. 2. Srovnalosti. §. 131. Srovnanf dvou rovnyeh pomerfl slove srovnalosf. Je-li a : b = q a c : d = q, musf tčž a : b = c : d. Vyraz tento jest srovnalosf a čte se: a se ma k b, jako c se ma k d, aneb zkratka: a k b, jako c k d. Prvnfmu členu a, pak čtvr- tčmu d ffkame vnejšf, druhčmu b a tfetfmu c vnitfnf členy; a a c slovou take predni, b a, d zadnf členy srovnalosti. Čtvrty člen zvlaštč jmenuje se čtvrta mčficky srovnalostna. Srovnalosf, v nfžto vnitfnf členy jsou sobe rovny, slove spojita (nepfetržita), u pf. a : b = b : c. Vnitfnf člen b se jmenuje stfednf meficky srovnalostna (čili mčficky prd- mčr člend a a c), vnčjšf člen c slove tfetf spojite srovna¬ lostna. Jsou-li veličiny dvou rodu na sobč zavisle tak, že »nasobne veličinč jednoho rodu pfinaležf »»nasobna veličina rodu druheho, ffkame, že obč veličiny jsou pffmo srovnalč, čili jed n a s druhou že jest v pomčru pffmem; u pf. zbožf a cena jeho, jistina a uroky a t. d. Pfinaležf-li však /unasobne veličinč jednoho rodu jen mta čast veličiny rodu druheho, obč veličiny jsou obracenč srovnalč čili jedna jest s druhou v pomčru obracenem; u pf. počet dčlnikfi a doba pracovnf pfi teže prači, jistina a čas pfi rovnych urocfch a t. d. Ve srovnalosti mohou členy jednoho pomčru byti jineho rodu nežli členy druheho pomčru. Jsou-li členy srovnalosti vesračs čisla nepojmenovana, srovnalosf slove čfselna, jinak se jmenuje veli čin n a, čili srovnalosf s čfsly pojmenovan^mi. V nasledujfcfch vetach o srovnalostech prozatfm pfedpokla- dame, že členy každeho pomčru jsou čisla smčfitelna. 86 §. 132. Poučky. 1) Je-li ve srovnalosti prvni člen včtšl, roven druhemu aneb menši nežli druhy, musl takč tfetl člen byti vztažne včtšl, roven čtvr- ternu aneb menši nežli čtvrty. Ve srovnalosti a : b = c : d budiž q udavatelem obou po- mčrfl; tudiž a = bq a c = dq. Je-li a = b, musl q ^ 1, proto take c = d. 2) Je-li ve srovnalosti stejnorod^ck aneb ne- pojmenovanych čisel prvni člen včtšl, roven tfetlmu aneb menši nežli tfetl, musl take druh^ člen vztažne byti včtšl, roven čtvrtemu aneb menši nežli čtvrtv'. Nebof je-li a = c, bude bq = dq, tudiž b ^ d. 3) Ku tfem veličinam a, b, c jest možna jedinct čtvrta mčficky srovnalostna. Kdyby mimo d take d ' byla čtvrta meficky srovnalostna k veličinam a, b, c , tedy by a : b = c : d a a : b = c : d', pak by však tčž c : d = c : d', tudiž dle 2) d = d'. 4) Stfednl mčficka srovnalostna dvou čisel leži vždy mezi občma. Budiž dana srovnalost a : b = b : c; je-li a ^ b, musl dle 1) vztažnč take b ^ c. §. 133. Součin vnčjšlch členu každč člselne srov¬ nalosti rovna se součinu členil vnitfnlch. Ve srovnalosti a : b = c : d jest a = bq a c = dq; nasoblme-li d — d a b = b, bude ad = bdq a bc = bdq, tudiž ad = bc. Tato včta vztahuje se i ku každe srovnalosti, v nlž jen jedin^ pomčr jest člselny. Vysledky. 1) Čtverec stfednl mčricky srovna- lostnč ve spojite srovnalosti člselnč rovna se sou¬ činu obou členil ostatnlch. Ze srovnalosti a : b = b : c obdržlme b* = ac. 87 2) Každy vnšjši člen čiselnš srovnalosti rovna se součinu obou členil vnitfnich, dšlenšmu druh^m členem vnšjšim, a každ^ vnitfnl člen se rovna sou¬ činu obou členu vnšjšich, dšlenšmu druhym členem vnitrnim. Ve srovnalosti a a = b = d jest ad j bc d = T’ ad T' = bc, z čehož c = b = c bc d’ ad c ’ §. 134. Ze dvou rovn^ch součinfi lze srovnalosf, rozložlme-li každy součin na tele, a postavime-li činitele jednoho součinu co členy vnšjši, činitele součinu druhčho pak co členy vnitfni. Budiž ad = bc; dšlime-li oba rovne vyrazy součinem bd, obdržime ad : bd = bc : bd, čili a : b = c : d. sestavi ti dva čini- §. 135. Srovnalosf fešiti slove, ze tfi dan^ch členu vy- hledati čtvrty neznanrf. a) Srovnalosf se reši, určime-li udavatele znamško pomšru a vyhledame-li jim pak dle §. 129. neznamy člen dru- heho pornčru. b) Čiselna srovnalosf se reši nejlepe dle §. 133., vysled. 2). Ze srovnalosti x : 2 = 15 : 3 obdržime a) 15 : 3 = 5, protož x = 2.5 = 10; aneb b) x = —= 10, tudiž iiplna srovnalosf 10 : 2 = 15 : 3. §. 136. 1) Každa srovnalosf zustava pravou, smčnime-li vnšjši členy za vnitfni. Ve srovnalosti a : b = c : d jest a = bq, c = dq, z čehož 1 ^ q’ tudiž takš b : a = d : c. 2) Srovnalosf čisel stejnorodych aneb nepo- jmenovanych zflstava pravou, smčnime-li bud a) vnitrni, nebo b ) vnšjši členy. 88 Je-li dana srovnalosf a : b = c : d, tedy a = bq, c = dq, z čehož a) a : c = bq : dq, čili a : c = b : d (§. 129., 3); V) d : b = dq : bq (§. 129., 3), čili d : b = c : a. 3) Sro vnalosf z tis tava pravou, jestliže j eden vnčjši a jeden vnitfni člen tymž čislem nasobime aneb dčlime. Ze srovnalosti a : b = c : Z §. 129., 3) pak plyne, že am : bm = c : d, a : b = cm : dm Mimo to am = bq . m' = b . qm, cm = dq . m = d . qm, protož am : b = cm : d, Rovnčž pak a : bm = c : dm, Dodatek. Včty teto použijeme, abychom a) srovnalosf, v nižto prichazeji zlomky, vyjadfili celistvymi čisly; b) srovna¬ losf, v nižto jeden vnčjši a vnitfni člen ma tutež miru, zkratili čili vyjadfili menšimi čisly. §. 137. 1) V každe srovnalosti ma se součet aneb rozdil členu prvniho a druheho ku členu prvnimu nebo druhčmu, jako součet nebo rozdil členu tre- tiho a čtvrtčho ku členu tretimu nebo čtvrtemu. Ve srovnalosti a : b = c : d jest a = bq, c — dq, tudiž (a _+ b) : a = (bq + b) : bq = (q ± 1) : q, (c + d) : c = (dq ± d) : dq = (q + 1) : q; protož (a ± b) : a = (c + d) : c. Podobne obdržime (a + b) : b = (c + d) : d. d jest opčt a = bq, c 1 j - = c : d. = dq. a a m n a a : b c m _d m ' m m 89 2) V každe srovnalosti ma se součet členu prv- niho a druheho k jich rozdilu, jako součet členu tfetiho a čtvrteho k jich rozdilu. Jest totiž (a + b) : (a — b) = (bq + b) : (bq — b) = (q + 1): (q — 1), (c + d) : (c — d) = (dq + d): (dq — d) = (q + 1): (q — 1); protož (a + b) : (a — b) = (c + d) : (c — d). 3) V každe srovnalosti stejnorodych aneb ne- pojmenovanych čisel ma se součet nebo rozdil členu prvniho a tfetiho k součtu nebo rozdilu členu dru- bčho a čtvrtčho, jako prvni člen k druhemu, nebo treti ku čtvrtemu. Je-li dana srovnalosf a : b = c : d, bude (a ± c) : (b + d) = a : b = c : d. Plyne z 1) s použitim §. 136., 2) a). Dodatek. Pri nčkolika r o v n y c h pomčrecb stejnorodych aneb nep ojmeno vanych čisel ma se součet členfi pfednich k součtu členu zadnich jako každ^ pfedni člen ku svemu členu z a dni mu. Madi sea:b = c:d = f:g, tedy (a -j- c -{- f) : (b -j- d —(- g) — a i b = c : d = f •• g- §. 138. 1) Jsou-li vedvou sr o vnalostech pfedni nebo zadni členy v temž pofadku sobe rovny, jsou vztažne zadni nebo pfedni členy v pfimem pomčru: a:b = c:d a:b = c:d a : jn = c:n m:b=n:d b : m = d : n a : m = c : n. Pravdivosf vety teto bude patrna, dokažeme-li rovnosf uda- vatelfl v poslednich srovnalostech. 2) Jsou-li ve dvou srovnalostech vnčjši nebo vnitfni členy v temž pofadku sobč rovny, jsou vztažnč vnitfni aneb vnčjši členy v obracenčm pomčru. a:b = c:d a : b = c : d a : m = n : d m: b = c : n b:m=n:c a : m = n : d. Dukaz spočiva na rovnosti udavateld. 90 §. 139. Jsou-li dany srovnalosti a : b = m : n, b : c = n : p, c : d = p : q, a t. d. mužeme je spojiti nasledovnč: a : b : c :d . . . = m : n : p : q . . kterežto srovnalosti fikame nepretržita. Jsou-li dany srovnalosti a : b = m : n, b : c = p : r, c : d = s : t, mfižeme z nich vždycky sestaviti srovnalosf nepfetržitou. Nebof a : b = m . ps : n . ps, b : c = p . ns : r . ns, c : d = s . nr : t . nr; protož a : b : c : d = mps : nps : nrs : nrt. §.140. 1) Nasobime-li ve dvou nebo nčkolika čiselnych srovnalostech členy na stejnych mistech součiny tvofi opet srovnalosf. Ma-li se a : b = c : d, tedy a = bq, c = dq; f : g = h : k, „ f = gq\ b = kq'; m : n = p : r, „ m — nq", p = rq “ ; _ z čehož afm = bgn . qq'q“, chp = dkr. qq'q" protož afm : bgn = chp : dkr. Tato srovnalosf se jmenuje složena (složita). Horejši veta jest platna i v tom pfipadč, prichazeji-li v j e d n 6 z danych srovnalosti veličiny pojmenovane. Dodatek. Ma-li se a : b = m : n, b : c = p : r, c : d = s : t, obdržime nasobenim členu na stejnych mistech a : c = mp : nr, b : d = ps : rt, a : d = mps : nrt. 2) Delime-li ve dvou čiselnych srovnalostech členy na stejnych mistech, podily daji opčt srovnalosf. Ma-li se a : b = c : d, tedy a = bq, c = dq; f : g = h : k, „ f = gq', h = kq'; a T z čehož b _ c g “ h d^ k' _c_ h d k q protož 91 Srovnalosti harmonickč a protiharmonickč. §. 141. Tfi veličiny a, b, c tvori harmonickou srovna- losf, ma-li se (a — b) : (b — c) = a : c; veličina b slove stredni harmonicka srovnalostna (harmonicky prumčr veličin a a c). tfloha. Ku dvema danym veličinam ma se vy- hledati treti harmonicky srovnalostna. Ze srovnalosti (a — b) : (b — c) = a : c plyne 1) a 2) c 3) b a + c Rovniee treti zni: Harmonicky prumčr dvou veličin rovna se dvojnasobnemujicksoučinu, dčlenčmujick součtem. §. 142. Tri veličiny a, b, c tvori protiharmonickou srovnalosf, ma-li se (b — c) : (a — b) = a : c; veličina b se jmenuje stredni protiharmonicka srovnalostna (proti- harmonicky prfiimer veličin a a c). Protiharmonicky prumčr dvou čisel rovna se součtu jich čtvercfi, dčlenemu součtem obou čisel. Ze srovnalosti (b — c) : (a — b) = a : c plyne b = sL±a’ a 4- c (Porovnani prumeru arithmetickeho (§. 99., dod. 2), geometrickeho (§§. 131. a 133., v^sl. 1), harmonickeho a protiharmonickeho.) 3. Použiti srovnalosti. §. 143. Sešeni uloh, jejichžto veličiny jsou spolu v pomčrech jednoduchych,použitimsrovnalosti, t. j. jednoduche pravidlo tričlenove, zaklada se na nasledujicich dvou včtach: 1) Jsou-li čisla dvou rodil primo srovnala, po- mčr vždy dvou a dvou čisel jednoho rodu se rovna v ternž pofadku sestavenemu pomčru pfislušnyeli čisel rodu druhelio. 92 Budtež A a, a dvč čisla rodu jednoho, B a b prislušna čisla rodu drubeho a čisla obou roda primo srovnala. Je-li tedy A = ma, musi dle pojmu primeho pomčru tež B == mb, protož A : a = m a B : b = m; tudiž A : a = B : b. 2) Jsou-ii čisla dvou roda obracenč srovnala, pomčr vždy dvou a dvou čiseljednohoroduserovna v obracenem pofadku sestavenemu pomčru pfisluš- nych čisel rodu drubeho; proto takč čisla k sobč naležejici davaji tyž součin. Budtež A & a dvč čisla rodu jednoho, B a b pfislušna čisla rodu druheho a čisla obou roda obracenč srovnala. Je-li tedv A = ma, musi B = —-, Čili b = mB, tudiž A : a = m, m b : B = m, z čehož A : a = b : B, a AB = ab. Pfiklady. 1) Stoji-li 7 metru sukna 30 zl., zač bude 42 metru tčhož sukna? čisla obou roda jsou zde primo srovnala, pročež 7 metra 30 zl. x : 30 = 42 : 7, tedy 42 metry x „ x = 180 zl. 2) 16 delnika vykona prači v 6 dnech; kolik dčlniku musime najmouti, aby tato prače byla vykonana ve 4 dnech? Čisla obou roda jsou obracenč srovnala, protož 16 dčln. 6 du. x : 16 = 6 : 4 x „ 4 „ x = 24 dčln. §. 144. Čislo, vztahujici se ku 100, nazyva se pr ocen te m. V počtu procentovem počitame bud z e sta, aneb na sto, aneb ve stu, jak totiž množstvi, jebož procenta hledame, je stejnorodč se zakladnem čislem 100, aneb se 100 zvyšenym aneb zmenšenym o procento. Znamena-li p procento, b jistou čast množstvi m, obdržime nMedujici srovnalosti: a) v počtu zestab:p = m: 100, tedy b = ; b) * na sto b : p = m :(100-j-p), „ b = c) „ ve stu b : p = m : (100 —p), „ b = 93 §. 145. fiesenf uloh, jejichžto veličiny jsou spolu v pomčreck složenych, t. j. složene pravidlo tflčlenove, zakldda se na včtč nasledujlcl: Je-li j eden rod čisel z a vi sl y na nčkolikajinyck rodech tak, že s nimi jednotlivč jest v pomčru jed- nak primem jinak obracenem, pomčr vždy dvou a dvou čisel prvnlhorodu serovnapomčru složenemu z jednoduchych pomerd pflslušn^ch čisel každčho jinčho rodu; čisla tato klademe v temž aneb obra¬ cenem pofadku, jak totiž jsou s č 1 s 1 y rodu prvnlho v pomčru primem aneb obracenčm. Budiž čislo A zavisle na člslech B, C tak, jako jest » » n n 5, C, kde čisla, označena stejnč znčjlclmi plsmeny, naležejl k temuž rodu, a čisla prvnlho rodu budtež s člsly druheho rodu v pomčru pflmem, s člsly tfetlho rodu však v pomčru obracenčm. Zna- mena-li pak a čislo prvnlho rodu, kterčž naležl k b a C, mame nasledujlcl rady čisel pfislušnych: A, B, C; a, b, C; a, b, c. Pfirovname-li prvnl dvč fady, shledame, že čislo « vznikne z A, zmčnl-li s e A vi; pončvadž pak čisla rodu prvnlho a dru¬ heho jsou prlmo srovnala, obdržlme A : « = B : b. Pfirovname-li taktčž fadu druhou a treti, shledame, že a vznikne z a, zmčnl-li se O v c, a pončvadž čisla rodu prvnlho a tfetlho jsou v pomčru obracenem, ma se « : a = c : C. Nasoblme-li členy na stejnych mlstech, obdržlme z tčchto dvou srovnalostl Aa : a« = Bc : bC, aneb A : a = Bc : bC, v kterčžto srovnalosti hofejšl veta jest obsažena. Pro lepši pfehled plšeme tuto srovnalosf take nasledovnč: A : a = B : b, c : C, pfi čemž musline pamatovati na to, že je treba nasobiti čisla pod sebou stojlcl. 94 U pf. 20 dčlnikd zhotovi hraz 375 metru dlouhou za 5 nedčl, pracuji-li dennš 12 hodin; za kolik nedčl 12 dčlniku zhotovi takou hraz 600 metrfi dlouhou, pracuji-li dennč 10 hodin? x = 16 ned. §. 146. Znači-li U jednoduche uroky, kterež jistina J na P procent vynaši za R rokfl, bude složeny počet tričlenovy: 100 zl. jist. za 1 rok P zl. ur. 3 „ „ „ R rokfl U „ „ U : P = J : 100 R : 1 tudiž U : P = JR : 100 a 100 U = JPR. Dčlime-li posledni dva rovne v^razy nejprv 100, pak PR, potom JR, konečnč JP, obdržfme: TT _ JPR T _100U D _ 100U T) _ 100U ~ 100 ’ J “ PR ’ JR ’ ” JP ’ kter^chžto vzorcu se uživa v jednoduchčm počtu uro* kovčm. Počet spolkovy. §. 147. Počet, jimžto se dčli dane čislo na nčkolik časti, ktere s jinymi danymi čisly jsou srovnale, slove počet spol- kovy. čisla, udavajici pomčr tčchto časti, jmenuji se čisla po- mčrna. Je-li dana jen jedna fada čisel pomčrnych, počet spolkovy slove jednoduchy; složity však, je-li dano nčkolik fad čisel pomčrnych. Ma-li jednoduchym počtem spolkovym čislo s roz- dčliti se na časti posud nezname u, «, y a z, kterež by byly v pomčru danych čisel a, b, c a d, musi u:x = a:b, x:y = b:c, y:z = c:d, aneb u:x:y:z = a:b:c:d. 95 Smenime-li v pfedešlych srovualostech vnitfm' členv, ma se u : a =• x : b, x : b = y : c, y : c = z : d, tudiž u:a = x:b = y:c = z:d, a dle §. 137. dod., (u + x + y + z):(a-f-b + c + d) = u:a = x : b = y : c = z : d. Pončvadž pak u-f-x-j-y-f-z = s, obdržime z posledniho vyrazu __s_ _ _ s __ , U— a + b + e + d' a,X — a + b + c + d’ ’ _ _ _s_ _ __s_. ^ ~ a + b + c + d' 0 ’ z " a + b + c •)■ d ' Pri jednoduchem počtu spolkovem dčlime tedv čislo, kterež rozdčliti se md, součtem čisel pomčr- n^ch, a podil nasobime každym čislem pomernym; součinv rovaaji se hledan^m častem. Jsou-li pomSrna čisla zlomky, nasobime je nejmenšim společnym na- sobkem jmenovatelu, abycbom je vyjadfili celistvymi čisly. Maji-li všecka pomšrna čisla společnou miru, zkratime je. U pr. 2155 zl. ma se rozdeliti trem osobam v pomčru čisel o, 3 a 2. 5 2155 : 10 = 215 ’ 3 2 _ 10 215i . 5 = 10771 2151.3 = 6461 2151.2 = 431 “ 2155. §. 148. Složit^ počet spolkovy svede se na jednoduchy takto: Čislo s ma se s ohledem na nčkolik okolnosti rozdčliti u pr. na tri časti, kterčž v jednom ohledu maji se k sobč jako a : b : c, v druhem obledu jako d : e : f, a v tretim ohledu jako g : h : k. Jsou-li x, y, z hledane časti, musi se miti x : y nejen jako a : b, nybrž i jako d : e a jako g : h; pomčr x : y musi se tedy rovnati pomčru složenemu z a : b, d : e, g : h, tedy pomčru adg : bek. Rovnčž musi y : z = beh : cfk, proto časti x, y, z museji se určiti tak, aby se vyhovčlo podmince x : y : z = adg : beh : cfk, což jest ulohou jednoduchčho počtu spolkovčho. 96 Pri složitčm poetu spolkovem nasobime tedv pomčrna čisla, ktera k teže časti se vztabuji, a sou- činy tyto považujeme co pomčrna čisla jednodu- chčliopočtuspolkoveho, jimž pak dale ulohu rešim e. U pf. K společnemu podniku da osoba A 8000 zl. na 5 me- siefl, B 4000 zl. na 6 mesicu, C 2000 zl. na 8 mčsicu. V podniku ziskaji 460 zl.; mnoho-li zisku obdrži každa osoba V Počet fetčzovy. §. 149. Počtu fetčzovčho uživame, neni-libezprostfednč znam vztah dvou veličin, nybrž musime-li jej teprv hledati sou- vislym postavenim znanrfch vztahfi prostredkujicich. Kdybychom meli rešiti ulohu: Mnoho-li (x) jednosti druhu M čini a jednosti druhu A, jestliže a » „ A „ b H „ B, b » » B „ c „ B C, c' B C „ m » M, tedy mužeme kratšim zpflsobem psati tuto ulohu takto: xM = aA, j jestliže a'A = bB, j b'B = cC, c'C ~ mM, J kde x, a, a', b, b', c, c', m predstavuji čisla bezejmenna, A, B, C, M pak jejich druhy čili pojmenovani. Abychom vyhledali vysledek, promenime dane jednosti a rodu A v jednosti (y) druhu B, vyhledane jednosti rodu B v jed¬ nosti (z) druhu C, tyto konečne v jednosti (x) druhu M. Dle danych podminek obdržime pfi tom nasledujici srovnalosti: 1 ) y z X X b = y = a : c : z — m_ b = acm _ abem X ~ a'b'c' a', b', c 1 , z čehož dle §. 140., 1) a'b'c', a . . . 2 ) 97 Z 1) a 2) plyne tudiž nasledujici praktickč pravidlo o počtu retšzovdm: 1) Na levd strane svisld primky napišeme x s pfislušnym jmenem a v pravo znamou veličinu, jejiž hodnotu, rovnou hodnotd x, hledame. Pod to pišeme všecky znamd vztahy prost redkujici, počinajice pokažde v levo veličinou, kteraž jest s predckazejici' v pravo rovnšho druhu; v pravo klademe pak veličinu, ktera s čislem v levo stojidm ma rovnou hodnotu, a tak pokračujerae, až se retez uzavre veličinou s x stejnojmennou. 2) Dčlime součin všech v pravo stojicfch čisel bezejmennych součinem všech čisel stojicich v levo pod x; podil dava hledanou hodnotu x. U pr. V Anglicku stoji 1 kvarter pšenice 56 šilinkft; kolik zlatych r. č. stoji 1 hektolitr? (76 kvarteru = 221 HI., 20 ši- linkft = 1 libfe šterlinkft, 10 liber šterlinku = 108 zl. r. č.) x zl. r. č. 221 HI. 1 kvart. 20 šil. 10 lib. šterl. 1 HL 76 kvart. 56 šil. 1 lib. šterl. 108 zl. r. č. 76.56 . 108 ~ 221.20 . 10 = 10-399 zl. r. č. = 10 zl. 40 kr. r. č. Mocriik-Hora, Algebra. 7 čast tčeti. Mocninv, veličiny korenove, logarithmy. I. Mocninj s kladnymi celistvymi mocniteli. §. 150. Čislo a povyšiti nantou mocninu zna¬ ni en a, a položiti m krat co činitele (§. 34). a se jmenuje mocnžnec čili zaklad, n mocnitel, a hledany součin p slove nta mocnina čisla a. Pišeme pak a n = p. Mocnina je tudiž součin rovnych činiteM. Vysledky. 1) a 1 = a. 2) 1” =.l. 3) 0“ = 0. 4) 0° jest čislo neurčite (§. 45., 7). Nebof 0° = ()'— = ~ (§. 52.) = §. 151. 1) nta mocnina kladneho čisla jest kladna, nechf jest n jakekoli čislo celistve. (+ a) n = (+ a). (+ a). (+ a). (+ a).. nkrat = + a n (§. 58., vysl.2). 2) Zapornjč čislo, povyšeno na mocninu s ce- listvym sudym mo cnitelem, dava kladny, s celistvym lichym mocn^itelem zaporny vysledek. (—a) 2n = (—a).(—a).(—a).(—a)....2nkrat = +a 2n (§. 58., vysl. 3). (_ a )snii_ (_ a) .(_a).(—a).(-a)... (2n+ l)krat=—a 2n+1 (§. 58., v. 3). §. 152. Mame-li mtou mocninu jakehosi čisla po¬ vesiti na ntou mocninu, mdžeme smčniti mocnitele, aniž vysled,ek se poruši. D u k a z. (a m ) n = (a n ) m . Šestavime-li",z rovnych činitelii mocniny (a m )" n rad tak, aby činitel a byl v každe mkrat, totiž a . a . a . a . . . (mkrat) a . a . a . a . . . E . ti . tl . E . • . (nkrat), 99 obdržime a zajiste »mkrat co činitele, neclif klademe m činiteld vodorovne fady nkrat, aneb n činitelu fady svisle mkrat co či¬ nitele. V prvnim pripadč bude a m rekrate činitelem, tedy (a m ) n , v druhčm pripadč a" mkrate činitelem, čili (a n ) m . Tudiž (a m ) n = (a n ) m . Tato veta vztahuje se i k tomu pripadu, je-li dano i vice nežli dvč mocnitelfi, což snadno lze dokazati (§. 35.). §. 153. Mocnina se umocni, pov^šime-li moč¬ ne n c e na mocninu, kterouž udava součin obou moč¬ ni telu, t. j. (a m ) n =: a mn . Vysvita z dukazu v §. 152. Vj'sled ek. Je-li naopak mocnitel součin dvou činitelu, lze mocnčnce povyšiti nejprv na mocninu, kterouž udava činitel prvni, tuto pak umocniti činitelem druhym. a mn _ ( a m )n . §. 154. Součin se umocnuje zmocnčnim jednotli- vych jeho činitelu. (ab) m = a m . b s_-. Dflkaz. (ab) m = ab . ab . ab . ab . . . (»nkrat) = a . a . a . a . . . b . b . b . b . . (§. 35.) »nkrat mkrat. = a m . b m . Vysledek. Mocniny rovnych mocnitelfi. se na- sobi, povyšime-li součin mocnčncu na udanou mocninu. a m . b m = (ab) m . §. 155. Ma-li se podil (zlomek) povyšiti na nčkte- rou mocninu, povyšime na ni delence i delitele. Tato všta se dokaze jako v §; 154. Vysledky. 1) Mocnina praveho aneb nepraveho zlomku, psančho nejmenšimi č£sly, nemuže byti nikdy čislo čelistvč. Vysvita dle §. 74., 6). 2) Mocniny rovnych mocnitelu se dčli, povj^- šime-li podil mocnčncfl na udanou mocninu. 100 §. 156. Močniny tčhož mocnence se na s o bi se- čtčnim jejich mocnitelfl pfi temž mocnčnci. a m , Dukaz byl proveden v §. 37. Vf sl e d ek. Je-li součet mocnitelem, umocnime mocnčnce každym sčitancem a nasobime jednotlivč mocniny. a m^n — a m . a n . §. 157. Mocniny rovnvch mocnčncfi se dčli, umoc- nfme-li společnčho mocnčnce čislem, ktere se rovna mocniteli dčlence, zmenšenčmu o mocnitele dčlitele. —— jjiD—n ^ Spravnosf rovnice tčto pfi m > n a m = n byla doka¬ zana v §. 52. Vyznam jeji pfi m < n vyšetfime pozdčji (v §. 172.). Vysledek. Je-li rozdil mocnitelem, umocnime mocnčnce menšencem i menšitelem, a mocninu prvni dčlime druhou. a m—n _ a m : a n . Dodatek. Mocniny o riiznych mocnčncich a mocnitelich nasobime a dčlime tymž zpusobem, jako vubec čisla obecna. §. 158. O sečitani a odčitani mocnin, jakož i o počitani mnohočleny, v nichž pricbazeji mocniny, platna jsou pravidla, odvozena pro obecna čisla. Yysledek možna jen tehdy snimati, maji-li mocniny nejen rovne mocnčnce, nybrž i rovne mocnitele. Mocniny dvoj- a mnohočlenu, po sobč jdouci, obdržime jednoduše nasobenim. O vyvinovani čtverce a tfeti močniny zvlašf bude pojednano v §§. 193. a 200., o vyššich mocninach pak v §. 295. §. 159. 1) Rovna čisla umocnčna rovnymi čislv d a j i rovnč. Je-li a = b, bude a m = b m . Plyne z §. 7., 3). Vy sledek. Povyšime-li všecky členy srovna- losti na tutež mocninu, obdržime opčt srovnalosf. Ma-li se a : b = c : d, bude tčž (a : b) m = (c : d) m , tudiž a m : b m = c m : d m (§. 155.). 2) Nerovna čisla umocnčna rovnymi č i s 1 y klad- nymi d a j i nerovne s t^mž znamenkem nerovnosti. Je-li a > b, bude tež a m > b m , což plyne z §. 43., 3). 101 V^sledek. Je-li a ^ 1, musi vztažnč take a m ^ 1. 3) Rovna čisla umocnčna nerovnymi č 1 s 1 y daji nerovne s tymž aneb s opačnym znamčnkem nerov- nosti, jak totiž mocnenec jest včtši aneb menšf nežli 1. Je-li m > n, obdržlme pfi a > 1, a m > a n , „ a < 1, a m < a n , což plyne z §. 101., dod. 4) Nerovna čisla, z nichž aspon jedno jest včtši nežli 1, umocnčna n ero v ny mi ki a d ny mi č i s 1 y pfi temž zn&menku nerovnosti, d a j i nerovne se společnym znamčnkem nerovnosti* Je-li a > b a zaroveii a > 1, mimo to m > n, bude a m > b“ . Nebof dle 3) jest a m > a n , dle 2) a n > b n , tedy tim spiše a m > b" . II. Yeličiny korenovč s kladnymi celistvjmi mocniteli. §. 160. Z čisla a d o by vati nteho korene znamena z mocniny a a z mocnitele n vyhledati mocnčnce. Dana mocnina a slove odmocnčnec, damf mocnitel n jmenuje se odmoc- nitel a hledany mocnčnec p slove nty ko fen za. Pišeme n pak \^a = p. Korenje tedy vyraz čisla, kterčž povešeno na mocninu, jakou udavd odmocnitel, rovna se odmoc- nčnci, čili n Aby y& dle dosavadnibo pojmu čisla mčl vfznam, musi odmocnčnec a byti ntou mocninou nčktereho čisla celistveho aneb lomeneho. Tuto omezujici podminku, kterou pozdčji (§§. 179. a 183., jakož i §. 249., dod. 2) opčt zrušime, predpokladame zatim u všech vet nasledujicich. §. 161. Vysledky. 1) Je-li odmocnitel roven moc¬ niteli, dobyvanim korene obdržime mocnčnce. n Y/(a B ) = a. 102 2) Hodnota kterehokoli čisla se nemšni, povy- šime-li je na jakoukoli mocninu, a dobyvame-li z ni kofene tehož stupnč. a = \/(a n ); a = (v"a) . Dle toho Ize každe čislo psati jakožto veličinu kofe- novou, u pr. b = V^b 5 . Umocnovani a dobyvani kofene jsou tedy protivnč vy- kony; toto jest obraceni vykonu onoho. 3) Prvy koren z čisla jakehosi rovnži se čislu 1 samemu. Pončvadž a'= a, jest i V a = a. U prvčho kofene nepišeme tudiž ani odmocnitele 1, ani kofenitko. U druheho kofene pišeme sice kofenitko, ne však 2 odmocnitele 2; tudiž \^a znamena y~a. 4) _ ri = 1. 5) V 0 = 0. 162. 1) Sudy kofen z odmocnence kladneho mfiže byti kladn^ aneb zaporny. 2) Lichy kofen z odmocnšnce kladneho jest vždy kladn^. 3) Lichy kofen z odmocnčnce zapornčho jest vždy zaporny. Dflkaz. Dle §. 151. jest (± p)*» = 4- a, (+ q)*»+i = + b, (—:q) 2n «, = - b, kde a a b znamenaji proste hodnoty čiselnč, jež obdržime umoc- nčnim. Z toho však plyne dle §. 161.. 1) 2n _ 2n+l_ 2n+l_ V + a = ± p, y 4- b = + q, y - b = - q. 2n Dodatek. Vyznam y"— a bude v §. 183. zvlašf vyšetfen. §. 163. Mame-li z mocniny dobyvati kofene, dčlme mocnitele odmocnitelem. D fl k a z. y& m ~ a”, je-li m delitelno ra. n _ u In \ m \ / my m_ Va"’ (§*45.,3) = y va n / (§.153.,vysl.) = a n (§. 161., 1). 103 Dodatek. Tuto poučku omezili jsme na pffpad,že ra jest dšlitelno n, t. j. čislo celistve, pončvadž dosavadni vysvčtleni raocniny pripoušti jen celistvč mocnitele. §. 164. Veličina kofenova se umocni, povyšime-li odmocnšnce na udanou mocninu. (V"a) m = y^a m . Dfikaz. = Va- (§. 161., 1). Vysledek. Ma-li čislo b^ti umocnčno a odmoc- nčno, nezaleži na tom, v kteršm pofadku oba v^kony provedeme. §. 165. Mame-li dobivati korene z veličiny kofe- nove, dobyvame z odmocnčnce kofene toho stupnč, jejž udava součin obou odmocnitelfi. m mn Vfa=\/a. Dfikaz. \/fa=\/(Vfa) (§. 161., 2) = V V (V"a) mn (§. 164., vysl.) V ]f' s 1 e d e k. Mame-li dpbyvati kofene z veličiny kofenove, nezdleži na tom, v kterčm pofadku od- m o c n u j e m e. 104 Nebof m mn \Ma = \/ a (§. 35.); tudiž Vfa=Vfa. §. 166. 1) J e -1 i odmocnitel součin dvou činitelu, dobyvame korene činitelem jednim, z vyhledančho kofene pak činitelem druhym. (Obraceni §. 165.) \l& = \/f a = y ya. 2) Čislo se umocnl podilem (zlomkem), umocni- me-li je dčlencem a odmocnime-li dčlitelem. (Obr&- ceni §. 163.) _ n a” V"a m , je-li m dčlitelno a. 3) Čislo se odmocni podilem (zlomkem), umocni- me-li je dčlitelem a odmocnime-li dčlencem. y ~a = y"a m , je-li n dčlitelno m. Dfikaz. \/a = \/(f a)" (§. 161., 2) = \Z(fa) ra ' m = \l(v a m )” (§• 153., vysl.) = \/s a m (§. 161., 1). Vysledek. Z mocniny takč dobyvame kofene, dčlime-li odmocnitele mocnitelem. n n m ya m = y~a, je-li n dčlitelno m. 105 §. 167. Hodnota korene z mocninyse n e m č n i, na- sobime-li aneb dčlime-li odmocnitele i mocnitele tymž čislem. Nebo« n ® !'!» up Ta m — = a ni> =• Ta“ p , a n ^ m • P n: p Ta m = a D ~ = a“ : r = Ta m : p, v kteremžto poslednim pripade pfedpokladame, že p jest mčrou m a n. Dodatek. Použitim teto včty mdžeme a) každou veličinu korenovou uvesti na jinou s danym odmocnitelem, jenž jest na- sobek puvodniho odmocnitele, tudiž take nčkolik veličin kofe- novych uvesti na společneho odmocnitele; b) md-li odmocnitel i mocnitel veličiny kofenove společnčho dčlitele, mužeme jim kratiti. * 3 10 Jsou-li dany u p?. veličiny kofenovč Ta, Tb*, Tc. 107 Pozdčji bude pojednano o dobyvani druhčho a tretlho korene z algebraickych součtu v §§. 194.—198., pak 202.—205., a vubec pri včte dvoučlenovč (§§. 295. a 299.). §. 171. 1) Koreny tehož stupnč z rovnych čisel j sou sobš rovny. m m Je-li a = b, bude y~a = Vb. Plyne z §. 7., 3). Vysledky. a) Dob^vame-li ze všech členu sro- vnalosti korene tčhož stupne, obdržime opet sro- vnalosf. n_ n _ Ma-li se a : b = c : d, jest \/a: b = \/c : d, aneb Va : Kb = \Tc : Kd (§. 169.). b) Stfedni mčficka srovnalostna dvou čisel ro- vna se druhčmu korenu ze součinu obou čisel. Ma-li se a : b = b : c, jest b® — ac (§. 133., vysl. 1.), protož b = Vac (§. 171., 1). 2) Nerovna čisla, z nichž dobyvame korene tč- hož stupnč, d a j i nerovne s tymž znamenkem ne- rovnosti. m m Je-li a > b, bude \^a > lA>. D ukaz. Kdyby byl V~a n, bude pro a > 1, y~a, < ihi; m n a < 1, y~a, > Va. 108 Dfikaz. Kdyby pro a > 1 byl y"a >T V~a, byl by vztažnč dle §. 159., 1) aneb 2) (y~ a ) mn > ({ra)™’ ane b a “ > a “ > c °ž nemožno proto, že pro m > n dle §. 159,, 3) musi byti a m > a n . Dfikaz pro a < 1 podoba se tomuto. 4) Nerovna čisla, z nichž aspofi jedno jest včtši nežli 1, odmocnčna nerovnymi čis 1 y pri protivnych znamenkach nerovnosti, dajinerovne seznamenkem nerovnosti, jake maji odmocnčnci. n m Je-li a > b, zaroven a > 1, a n < m, tedy V^a > V~ b. n m mm Dfikaz. Dle 3) jest V~a > V"a, dle 2) jest Ka > Vb, tudiž takč V“a > p^b. 111. Mocniny (a veli5iny korenovk) se zfipornymi a lomenymi mocniteli (a odmocniteli). 1. Z&porni mocnitele a odmocnitele. §. 172. Poučka o dčleni dvou mocnin tehož mocnčnce (§. 157.), vyjadrena rovnici a m : a n = a m ~ n , vztahovala se posud na pripad ten, kdy m n. Je-li tedy m < n, a sice m + p = n, použiti hofejši rovnice vede na mocninu se zapornym mocnitelem, totiž a m : a n — a m : a m+p = a~ p . Chceme-li tedy zakonu, vyslovenčmu hofejši rovnici, zjednati platnosf všeobecnou, musime take mocninam se zapornymi moc¬ niteli dati vyznam, jimž se pfevedou na pfivodni pojem mocnin. Vyznam ten se ihned objevi, vyvineme-li podil, jejž a -p ma pfed- stavovati, v jinem tvaru. Jest pak a m __ a m — a m . a p Protož a _p = -4~. a p Mocnina se zapornym moc ni telemjest prevratna kodnota teže mocniny s kladnym mocnitelem. 109 1 ( 1 V Vysledky. 1) Ponšvadž —J , jest take a - ? = ^ J. čislo a se povyši na mocninu —ptou, položime-li jeho pfevratnou hodnotu /»krat co činitele. 2) Z a-p = aP plyne a p . a - p 1 1, tudiž takč a p = —— . ’ a~ p Každou mocninu, prichazejici co činitel v čitateli zlomku, mužeme psati co činitele ve jmenovateli, a naopak, jestliže znamenko mocnitele promčnime v opačne. §. 173. Všecky poučky, dokazanč o mocninach s kladnymi mocniteli, vztahujf se tčž k mocninam se zapornymi mocniteli. Chceme-li to dokazati, pišme mocniny se zapornymi moc¬ niteli jakožto pFevratne hodnoty tychž mocnin s kladnymi moc¬ niteli, provedme naznačene vykony početne a ve vysledcich, v nichžto prichazeji vyrazy v tvaru ——, pišme opčt mocniny se zšpornfmi mocniteli. U pF. = + a- n ; (+ a ) n 1 (+ a)“ n = *>-’'= (- ar (— = + a n 's=+“-“! 1 + a 2 ' (- a m . a~" =r a re a~“ = b~ m = * Q—n — a = 1 a m 1 a m 1 a m 1 a) 2nW _ — a 2nW - JlL - " a n 1 1 -(2n+l). a™ 1 a n : a n a" 1 _ b m ~ = a K a’ m-fn a“ (ab) n = (ab)" „n — omfn. a t. d. a m . a n a m+n §. 174. Veličina kofenova se zapornym odmocni- telem rovna se sve pFevratnč hodnotč s kladnym odmocnitelem. 110 f—n), c—D \ r a = — Var 1 , 1 tudiž - P Y~ a = y a a = V a Dodatek. Zapornym odmocnitelfim se vyhneme tim zpfl- sobem, že zapornosf prevedeme do mocnitele. 2. Lomen! mocnitele (odmoenitele). §. 175. Dobyvani kofene z mocuin vede dle rovnic doka¬ zanih v §. 163. a vysl. §. 166., 3), n n “n m Ka m = a 1 , a fa m = fa, na mocniny a koreny s lomenymi mocniteli a odmocniteli pro pnpad, kdy vztažne m nem dšlitelno n, a n neni dčlitelno m. Nema-li platnosf pravidel tčch zaviseti na zvlaštnich hodnotach mocnitelfi a odmocnitelu m & n, musime pojem mocniny a veji¬ ca korenovč rozširiti tak, aby tež pro lomene mocnitele a od- mocnitele nabyl určitčho vyznamu. Z hofejšich rovnic plynou nyni primo nasledujici vžty: 1) Mocnina s lomenym mocnitelem jest kofen z mocnčnce; čitatel udava mocnitele a jmenovatel odmoenitele. ™ n /n \m a" - y a m = \V~ aj . 2) Veličina kofenova s lomenym odmocnitelem jest mocnina odmoenčnee, jakou udava jmenovatel, odmocnena čitatelem. n • mn y .a = y& m . n mn 2? Dodatek. Pončvadž \r& — Va ra = a n , možna každou veličinu korenovou s lomemfm odmocnitelem psati co mocninu s lomen^m mocnitelem. Obyčejnč nepočitame veličinami koreno¬ vki s lomenymi odmocniteli; tudiž zflstaneme zde pouze pfi mocninach s lomenjmri mocniteli. §. 176. Všecky posud dokazane obecne včty o mocninach vztahuji se tež k mocninam s lomenymi mocniteli. 111 Ckceme-li to dokazati o jednotlivych vetacb, uvedme Hlač¬ ni s lomenymi mocniteli na veličiny korenovk, provedme na- značenč počty, a ve vysledcich pišme misto veličin kofenovych opet naocniny s lomenymi mocniteli. n » n \I(1_T (l_f U pr. a » — y"a -m = J =la i ; _P n g nq nq a n . a« = \Ta m . — \ r a m = a n % a t. d. Dodatek. Všecky veličiny korenove mužeme vyjadfiti ja- kožto mocniny s lomenymi mocniteli; nauka o veličinach kore- novych jest tudiž obsažena již ve včtach o mocninach. IV. Pojem čisla rozširen dobyvdmm korene. 1. Čisla neracionalna. §. 177. Pri vysvčtleni fa v §. 160. j sme predpokladali, že odmocnčnec a jest n ta mocnina jakehosi čisla celistveho aneb lomeneho. Uvažime nyni pripad, kdy podminka tato se neprihodi. 1) Neni-li celistve čislo a n ta mocnina celi- n stvčho čisla, V a nemdže byti ani čislo celistvč ani 1 o m e n č. D ukaz. Neni-li a mezi ntymi mocninami celistvych čisel po sobč jdoucicb, totiž l n , 2“ , 3 n , 4" ,. . . . p” , (p + l) n , . . • musi ležeti mezi dvema po sobč jdoucimi mocninami, jako jsou p n a (p + l) n , tedy p n < a^< (p -j- l) n , čili p<\^a n, učinlme jme- V » novatele racionalnem, nasobime-li čitatele i jmenovatele veličinou m kofenovou Y a m_n . m mm C _ CV a m ~ n _ C\/"a“-“ __ Cv^a™- 11 Jest pak m m m m „ ■ Va n \ r a. a . \ r a ® - " 11 V & m a 3 5 m _ mV"a 2 3y~a _ 3jAa - V"a a 3\^a 9 U pf. s - a “ > 's — ~ „ • Va a ya 3 a a 115 2) Ma-li zlomek podobu C aneb C učinime a + Vb V» ± v b’ jmenovatele racionalnem, nbsobime-li čitatele i jmenovatele dvou- členem a + Vb aneb v druhem pripadč Va + Vb- Dle tobo bude C _ C(a + yb) _ C(a + Vb) a ± \rb ~ (a±VT>)(a + Vb) ~ a 2 — b ; C _ C(Ka + Vb) __ C(Va + Vb) Va± Vb ~ (Va±Vb)(Va+Vb) ~ a — b ' TT v. 3 _ 3(5 + V2) _ 15 + 3\T2 P 5 — y~2 ~ 5 2 — 2 ~ 23 15 ^fe^ = 5(V5~V2). \Tb + Y2 " 5 2 + V“3 _ (2 + y~3)(yo- V3) Y*+YJ- _ (2 + V3)(V5 ~ V3 )(V5 + V3) _ _ • g 3) Ma-li dane zlomek podobu C _ C C m n mn mn r r ’ VaP + y"b« V"a np ± Vb mq VA + V"B kde pro kratkost položeno mn = r, a n » = A, b m « = B, uči- nime jmenovatele racionalnem, nasobime-li čitatele a jmenovatele posledniho zlomku mnohočlenem \ZaF~ 1 + \/a^Tb + v/FT¥ +. . . (+ i) r -yr7B^ + (+ i y - 1 VB- 1 . Obdržime pak racionalneho jmenovatele A + B. U pf. 5 5 _ 5 _ 5 _ 5 C _ C(Va 4 4- \/a 3 b + Va*b 2 + Vab 3 + Vb 4 ) * * ~ a — b Va — Vb §. 181. tJloha. Součet aneb rozdil kofenu ze součtu a rozdilu dvou čisel, z nichž jedno jest ne¬ racionalne, ma se privesti pod jedine korenitko. 116 Je-li \/a -j- Vb + \J& — \ r b dany součet aneb rozdil dvou veličin kofenovych, v nichžto a jest čislo kladnč a včtši nežli Vb, tedy (V/a + Vb + v/a — Vb) 2 = 2a ± 2V/a* — b, protož dobyvanim druhčho korene ya + Vb ± \/a~— v b = V 2a ± V a * — b. Tohoto pfetvoreni uživžme s prospčchem zvlaštč tehdy, je-li a 2 — b uplna druha mocnina. U pf. \/4 + + V/4 -V7=\' r 8 + 2y/16—7 = V / 8+2K9 = K14; \Z 6 +\/Ti—V 6 —v / 11 = \/12— 2 V/ 36 —11 =\/l 2 ~ 2 \/ 25 -V 2 . §. 182. tfloha. Druhy kofen z neracionalnčho dvoučlenu ma se rozvčsti na součet aneb rozdil dvou veličin kofenovych tčhož odmocnitele. Je-li dšn \/a ± Vb, kde a jest kladne a a >> b, bude dle §. 181. \/a + Vb + \/a - V b = \/: \/a + Vb — \/a — Vb = — 2a + 2V/a’ r —- b, + Vb — V a — Vb = \ 2a — 2\/a* — b; sečtenim a odečtenim obou rovnic obdržime t a + V/a ž 4 \/a ± Vb = a + Vb Vb + a -j- Va* — b 2 V/a a + l/a- — d + i/a 1 - b 2 117 Pretvoren! toto jest jen tehdy vyhodne', je-Ii a* — b uplna druha mocnina. U pf. \/ \ /3 + n l/ 3 -yi ]J3+ \T8 = ]/ 2 + \ 2 = ± (Y~2 + 1); \ / \ / \ /ll + 1/49 \ /ll - 1/49 \ll-6\r2= yil —1/72= V 2 —V 2 = ± (3 — V2). Dodatky. 1) Maji-li oba členy dvoučlenu a ± Vb spo- lečneho činitele neracionalneho, vysadime jej pfedevšim pred kofenitko. U pf. \/ 3|/2 — \/iO = V"2.1/3 — K5 V 2 8 (V^5-1). 2) Je-li a < V+, lze rovnčž použiti vzorce pro l/a + V~b, klademe-li misto l/a + \^b rovny vyraz l/V^b + a, a vysadime-li pak V"b co činitele. Nebot takto obdržime \/a + Kb = Kb V. M kde a* U pf. y/12+8 V/3 = V / 4V'3(2+V r 3) = 2y r 3\/2+V3 = I/12(V3+1). 2. Čisla pomysln&. §. 183. Dobyvani kofene vede nas ještč na jiny novy tvar 2n_ čisla. V §. 162. zbylo nam vyšetfiti vyraz \/— a. Pončvadž suda mocnina kladnčho aneb zdpornčho čisla celištveho, lomeneho aneb 2n_ neracionalnčho, aneb nully neda čislo zaporne, musi \/— a zna- menati čislo, kterčž nepfichazi v nepfetržite posloupnosti čisel dosud vyšetfovanych. Tento novy tvar čisla, jehož vysvčtleni 118 spočiva v zakonu ([/_ a V — a, slove čislo pomyslne; naproti tomu jmenuji se čisla celistva, lomena a neracionalna vesmčs čisla skutečna čili realna. Zvlaštč diiležitč jsou koreny druheho stupnč z čisel zapornjch, jimiž vyhradnč budeme se zde zabyvati. Ponevadž zakony o veličinach korenovych, pokud se shoduji s hofejšim zakladnem zakonem (\/— a) 2 = — a, vztabuji se take k po- myslnym veličinam kofenovym stupne druheho, jest V—^ ^ • V 1171 = b \/=l, je-li b prosti druhy koren z a. \/— 1 slove pomyslna jed- nosf, kterouž dle Gausse označujeme pismenem i. Dle toho bude i 3 = (V/^) 2 = - 1. §. 184. Zobrazeni pomyslneho čisla bV—1 = bi. Predstavuje-li — X zaporni, X kladny smčr neomezene pfimky čiselne, stoji bod o na mistš nully; všecka vubec možna kladna čisla celistva, lomena a neracionalna jsou umistena na primce X, taktež všecka čisla zaporna na — X, kde je vesmčs možna určiti. Rozšifeni oboru čisel v podelnem smčru čiselne pfimkv jest nemožne proto, že tato v onom smeru beze vši mezery jest již vyplnena čislyrealnymi. Chceme-li tedy predstaviti take čisla pomy- stranne, t. j. musime z či¬ selne pfimky vystoupiti na rovinu a k tomu čili pojem smčru, jenž byl dfive omezen pokračovanim v prim- ce, rozširiti na točeni v ro- vinč. Otoči-li se dčlka oa = b kolem bodu nulloveho o smčrem v levo o 180°, až padne na pfimku — X, z + b bude b; dalšim otočenim o 180° padne opčt do smčru kladneho, — b pfejde zase v b. Točeni o 180° znamena tedy nasobeni či- nitelem — 1, dvojnasobne točeni o 180°, t. j. točeni o 360° 119 znamena dvojnasobne nasobeni — Inou, tedy nasobeni činitelem ■+ 1 — (— 1) • (— 1). Možna-li tedy pomyslne čislo bi v rovine zobraziti, a je-li 6hel 9 o merou točeni, jebož zapotfebi, aby -f- b pfešlo v + bi, a ktere se tedy srovnava s nasobenim činitelem i, bude dvoj-, troj-, čtyrnasobnč . . . točeni znamenati nasobeni činitelem i s , i 3 , i 4 , . . . . Tudiž musi + b dvojnasobnym točenim o totiž (a + b + c + . . . + q + r) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a-f b)c + c 2 + . + 2 (a + b + c + . . . + q) r + r S ) tedy Ize dokazati, že totčž pravidlo musi se vztahovati take k (n + 1)členu (a + b + c + . . . . 4- q + r + s), t. j. pridame-li k puvodnimu mnohočlenu ješ tč člen s, že v druhč mocnine k pUvodnimu součtu musime takč pfipojiti +2(a + b + c + .... + q + r)s + s s . Považujeme-li novy mnoho- člen za dvoučlen, t. j. vyraz puvodni za prvni, a s za druhy člen, bude skutečnč (a + b + c+ .... + q + r + s) 2 = = !(a + b + c + .... + q + r) + sj 2 = = (a -)- b + c -f -+ q + r) s + + 2(a + b + c + -- -- + < l + r ) s “H Pravidlo o povyšeni na druhou mocninu ma tedy platnosč o dvoučlenu, proto take o trojčlenu, tudiž i čtyr- a vubec o každem mnohočlenu. Dodatek. Obč časti, jež druhv a každy nasledujici člen mnohočlenu da v druhč mocninč, lze spojiti v jedinou čast, jestliže tento člen pripočteme k dvojnasobnemu součtu členil pfedchaze- jicfch a součet tim členem ndsobime. 2a . b + b 2 = (2a + b) . b; 2(a 4~ b) • c -p c 2 — |2(a 4* b) 4" cj . c, a t. d. §. 194. tJloha. Dekadickč čislo ma se povyšiti na druhou mocninu. To se dčje zphsobem nasledujicim: 1) Povyšime prvni čislici v levo na druhou mocninu. 2) Z každe nasledujici čislice utvorme dvč čdsti, totiž dvoj- nasobny součin čisla pčedchazejiciho a čislice tčto, pak jeji čtverec. 3) Tyto časti pišme pod sebe tak, že každou nasledujici pomkneme o jedno misto dale v pravo; součet veškerych časti da hledanou druhou mocninu. 127 Uvedenč tuto pravidlo jest spravne dle §. 193. proto, že každe čislo dekadicke Ize rozvesti na mnohočlen, spofadany dle mocnin čisla 10. Mame-li u pf. 3417 povyšiti na druhou mocninu, bude 3417* = (3000 + 400 + 10 + 7)* = 3000* + 2.3000.400 + 400* + 2.3400.10 + 10* + 2.3410. 7+ 7*, anebo provedeme-li naznačene vykony a postavlme-li sčltance ndležitč pod sebe: 3417* = 3000* .... 9000000 + 2.3000.400 ... . 2400000 + 400* ... . 160000 + 2.3400 . 10 . . . . 68000 + 10* . . . . 100 + 2.3410 .1 ... . 47740 + 7*. . . ._49 = 11675889; aneb vynechame-li nully: 3417* . 9. . 24. . 16. . 68 . 1 . . 4774. 49 11675889. Dodatky. 1) Obč časti, jež ve čtverci dava druha a každa nasledujlcl člslice daneho čisla, spojlme v čast jedinou, priplše- me-li k dvojnasobnčmu predcbazejlclmu čislu novou člslici, a nasoblme-li takto vznikle čislo touto novou člslici; pfi tom však muslme každy nasledujlcl součin psati o dvč mlsta dale v pravo. Vubec totiž (2A . 10) . p + p* = (2A . 10 + p)p. 2.3.4 4* 2 . 34 . 1 1 * 2.341.7 7* 128 Zkracenč bychom tedy zdvojmocnili hofejši čislo takto: 3417* 2) Čtverec dekadickeho čisla ma bud dvakrate tolik čislic, kolik jich ma dane čislo, aneb o jednu čislici mčnč. Je-li N čislo nciferne, tedy N > 10” -1 , ale < 10“ ; pak bude N* > 10 2n - 2 , ale < 10 2n , z čehož patrno, že čtverec čisla N ma nejmenč 2n — la nejvy§ 2n cifer (§. 63.). Rozdčlime-li tedy čtverec daneho čisla od prave k leve na tfidy o dvou čislicich tak, že posledni tfida v levo mMe miti i jedinou Čislici, obdržime tolik tfid, kolik čislic ma mocnčnec. 3) Pončvadž patrno, žedesetinny zlo¬ mek zdvojmocnime jako dekadickč čislo celistve; ve čtverci však oddčlime od prave k leve dvakrate tolik mist desetinn^ch, kolik jich ma mocnčnec. Z toho plyne zaroven, že čtverec desetinnčho zlomku ma vždy sudy počet mist desetinnych. 4) Pov^šime-li zkraceny zlomek desetinny na druhou mocninu, tato bude miti tolik mist nespolehlivych, kolik čislic ma dany zlomek desetinny. (Plyne z §. 114., 1.) U pf. 3-456 . . 5 da tiplnym vyvinut£m 11-943936 . . . . Z tčchto čislic však jsou čtyry nejnižši nespolehlivč, tedy 3-456 . . * = 11-94 . . §. 195. (Jloha. Z algebraickčho součtu ma se do¬ bivati druhčho kofene. Ze zakonu (§. 193.), dle nčhož jsou časti ve čtverci mnoho- členu sestaveny, lze odvoditi nasledujici pravidlo o dobivam' druheho kofene z mnohočlenu spofadanich: 1) Prvni člen sporadaneho mnohočlenu jest čtverec prvniho členu kofene. Protož obdržime prvni člen kofene, dobivame-li druheho kofene z prvniho členu odmocnčnce. Čtverec takto vy- hledaneho prvniho členu kofene odečte se od odmocnčnce. 129 2) Prvm' dva čieny zbytku obsahuji časti, vzniklč z nasle- dujiciho členu korene, a sice jest prvm' člen zbytku součin z dvoj- nasobneho již vyhledaneko korene a z nasledujicibo členu kofene. Dčlime-li tedy prvni člen zbytku dvojnasobnym již vyhledanym kofenem, obdržime nasledujici člen kofene. Utvofme nynf obč časti, jež tento novy člen kofene da ve čtverei, t. j. k dvojna- sobnčmu drivčjšimu kofenu pfipočtčme novy člen, a součet na- sobme timto členem. Součin odčitejme od zbytku mnohočlenu. 3) V tom vykonu pokračujme. Nezflstane-li konečnč zbytek, dany mnohočlen jest uplny čtverec, a vyhledany koren jest racio¬ nalni; zustane-li zbytek } koren jest neracionalni. Pr iklad. \/x 4 6x 3 — x* — 30x + 25 = x * 1 2 3 + 3x — 5. — x 4 -f 6x 3 — x 2 : (2x 2 + 3) . 3x + 6x 3 + 9x 2 — 10x* — 30x + 25 : (2x 2 + 6x — 5) . (— 5) — 10x 2 — 30x + 25 4 - _+_ — 0 §. 196. tJloha. Z dekadickeho celistveho čisla, kterež jest uplna druha mocnina, ma se dobyvati kofene drubeho stupnč. 1) Eozdčlme čislo od prave k leve na tridy o dvou čislicich, nejvyšši trida muže miti o jednu čislici mene; Medejine nejvčtši čislo, jehožto čtverec jest obsažen v nejvyšši tfidč, a napišme je co prvni čislici kofene. Čtverec teto čislice odečtčme od nejvyšši tfidy odmocnčnce. 2) Ku zbytku pfipišme nasledujici tfidu odmocnčnce, dčlme čislo loto, zatrhnuvše posledni jeho čislici v pravo, dvojnasobnim posud vyhledanim kofenem; podil napišme co novou čislici v ko¬ fenu, zarovefi pak co doplnčk k dčliteli. Takto doplnčneko dč- litele nasobme novou čislici kofene, a součin hned pfi nasobeni odčitejme od dčlence, k nčmuž pfibereme čislici dfive vynechanou. 3) V tom vykonu pokračujme, až bude do počtu vzata po¬ sledni tfida odmocnčnce. Spravnosf počtu toho vysvita z §. 194. Močnik-Hora, Algebra, 9 130 U pr. V 75943844 = 2438 194 : 4„ 18 38 : 48 3 38944 : 486* 0 V A V A Jq 5 - = patrno, že z de- setinneho zlomku dobyvame druheho kofene jako z čisla celistveho; muslme však od desetinne tečky v levo a v pravo rozdeliti desetinny zlomek na tfidy o dvou člslicich a v kofenu udšlati tečku, než vezmeme do počtu prvnl tfidu mist desetinnych. U pr. V ' 1 ! 52 ' 27 ! 56 = 12 ' 34 52 : 2„ 8 27 : 24 3 98 56 : 246 4 0 2) Z obyčejneho zlomku dobyva se kofene druhčho stupne, jestliže koren z čitatele lomfme kofenem ze jmenovatele. rT v 1 / 144 V"144 _ 12 U P \/ 529 ~ \T5 29 “ 23 * §. 197. tlloha. Z dekadickčho celistvčho čisla, kterčž neni uplny čtverec, ma se dobyvati kofene druheho stupne. Neni-li celistve čislo a uplna druha mocnina, bude V a dle §§. 177. a 178. neracionalni, možna jej tedy jen pfibližnč určiti. Dobyvejme tedy z a drubčho kofene zpusobem uvedenym v §. 196., až bude posledni tfida do počtu vzata; za poslednč vyhledanou čislici v kofenu udčlame desetinnou tečku, a počitame tymže zpdsobem dale, pfipisujice pokažde ku zbytku dvč nuli misto tfidy nasledujici. V počtu pokračujeme, až vyhledame žadany počet čislic desetinnych. D d k a z. Nasobime-li celistve čislo a mocninou 10 2m , t. j. pfipišeme-li k nšmu v pravo mkrate dve nully, a je-li b nejvčtši celistve čislo, obsaženč v \/alO 2 ^ tedy b < \/a . 10 2m < b + 1, aneb b < 10 m . V"a < b + 1, z čehož b < Ka < b + 1 10 m ' 10 m 131 V& leži tedy mezi -jjj— a - 1 , kterežto meze od sebe se liši o ; chyba, jižto se dopustime, klademe-li yla = , bude tudiž menši nežli —čili menši nežli jedna jednosf po- sledniho vypočitaneho mista desetinnčho. U pf. \/3j|o = 18-708 • • 2 50 : 2 S 2600 : 36. 310000 : 3740 s 10736 Dodatky. 1) Podobnym zpflsobem take pri dobavam dru¬ heho kofene zdesetinnčho zlomku, jenž neni uplny čtverec. pokračujeme v počtu, pokud zapotfebi; obsahuje-li posledni tfida v pravo jedinou čislici, pripišeme k ni nullu, ku každčmu zbytku pak pfidavame po dvou nullach. U pf. \/0-00|01|5 o = 0-0122 . . 50 : 2 a 600 : 24, 11600 : 244 4 1824 Rozumi se, že pri zlomcich občislnvch pfipisujeme ku zbytku naležite čislice periody na misto tfidy nuli. 2) Mame-li dobyvati druhčho kofene z obyčejneho zlomku, jehož čitatel a jmenovatel nejsou uplne čtverce, promčnme jej bud ve zlomek, jehož jmenovatel jest druha mocnina, a dobyvejme kofene z čitatele i jmenovatele; anebo promčnme jej ve zlomek desetinny, a dobyvejme druheho kofene z tohoto. 5 . 6 _ V~30 _ 5-47722 . . _ A . n10Q(7 6* ” 6 “ 6 -0yi2»<-. aneb \f T = = °' 91287 - - §. 198. Zkracene dobyvani druheho kofene. Vyhledame-li v druhem kofenu z daneho čisla obyčejnym zpflsobem m prvnich čislic, a chceme-li 132 ješte m —1 člslic spravne určiti, dčlime posledni zbytek dvojnasobnym posud vyhledanym kofenem. Obyčejnč použlvame zkraceneho delen! a v dčliteli ihned vynechame posledni člslici. D ukaz. Znamena-li a odmocnčnce a b vyhledanych již m člslic druheho korene, mužeme bez ujmy všeobecnosti pova- žovati prvnlcb m tfld v a , tedy takč /rcciferne čislo b za mlsta eelistva proto, že posloupnost člslic v kofenu se nemčnl, nechf klademe desetinnou tečku za kteroukoli tfldu odmocnčnce; na- sledujlcl člslice v kofenu pak budou pfedstavovati mlsta desetinna. Položlme-li pak y& = b + x, kde x znamena posud ne- znamou čast kofene, musl (b + x)* = a, aneb b s -j- 2bx + xS = a, protož a — b* x* 2b - 2bx = a — b a a x 2b Yezmeme-li tedy na mlsto x podli b s 2b kde a znamena posledni zbytek pfi dobyvanl kofene a 2b dvojnasobny X 2 kofen posud vyhledany, chyba, jlž se dopustlme, bude Ale x 2 X x < 1 a b > lO 1 - 1 , proto ^ zajiste menšl nežli 1 ^ ni _ 1 , z čehož plyne, že podli —^— da m — 1 dalšlch člslic spravnych v kofenu. Dodatky. 1) Mame-li v druhem kofenu z celistveho čisla aneb z uplnčho zlomku desetinneho určiti 2m — 1 aneb 2m platnych člslic, vyhledame v prvnlm pflpadč m, v dru- bčm pak ra + 1 člslic dle obyčejneho pravidla o dobyvanl dru- heho kofene, ostatnl pak zkracen^m dčlenlm, jakož svrchu udano. Mame-li u pf. v y"138 určiti 7 platnych člslic, tedy sprav¬ nih 5 mlst desetinnih, vyhledame prvnl 4 člslice dobyvanlm kofene, ostatnl 3 vsak zkracenym delenlm takto: 133 1 2) T.fmže zpfisobem zkracenfm dobyvame zvlaštž korene druhčbo z desetinnčho zlomku zkraceneho. Ma-li od- mocnčnec m platn^ch tfid, z nichžto jedinč prvni v levo mflže byt o jed n e čislici, obdržime v kofenu v nejnepfiznivčjšim pfi- padš 2m — 1 spravnych čislic platnfch. §. 199. tJloha. Neracionalni koren druhčho stupnč mase určiti pfibližnymi hodnotamiretčzovčho zlomku. Mame-li vyhledati y"a, určime nejvčtši v nčm obsažene čislo celistvč q a položime Va = d + — > kde musi byti x i 1 = V'a — q < 1, tudiž x, = -p— 1 — > 1. Nato vvhle- x, V a — q dame opčt nejvčtši celistvč čislo q,, obsažene v x, = ^ a položime x, =r q, -f- —, kde musi byti — < 1 a x 2 = x 2 x s — 1 - > 1 . x, — q, Pokračujeme-li tim zpusobem. a jsou-li q 2 , q 3 , . . . nejvčtši celistva čisla, obsažena v x,, x 3 , . . ., bude l^a = q + i 1 = q + 1 1 r b + 1 d, + q 2 +' q+q,+ i + - , l da + — a 4 Pfibližnymi hodnotami vvhledaneho zlomku retčzoveho mft- žeme V a vyjadfiti tak určitč, jak jen potfeba toho kaže. 134 ru = 3 + ± 1 VU+3 , , V14-2 , , 1 Kde X 1 = yu —3 S = 1 + K = 1 + —» 5 * x, = X, = x, = V~14— 2 2 = VT4±2 = 2+£i 4 =2 = 2+ 1 2 V14+2 V~14—2 ” 5 5 _ \T14-f3 _ 1 i + 0^s = 1 + l, V14-3 - » x 5 = kter ^ ž °P št = x, = 1 + z čehož patrno, že druhou rovnici počinaje, pfedchazejici rovnice se opakuji. Bude tedy V^14 = 3 + -f 4. 1 1 + ^ + T+i- l 1 + 6 +-f + J_ j + 2 +T+ — ^ 6 + ... Približni hodnoty jsou: „11 15 101 116 333 449 3027 ’ ’ 3 ’ 4 ’ 27 ’ 31 ’ 89 ’ 120’ 809 ’ Položime-li tedy \^14 = bude menši nežli 3027 809 = 3-741656 809* ~ 654481 v V14 5 spravnych mist desetinnych. = 0-000001 . ., chyba tudiž jest 2. Treti mocnina a kofen stupne tfetiho. g. 200. tJloha. Algebraicky součet ma se povy- šiti na tfeti mocninu. Tfeti mocnina vyvine se dle nasledujiciho pravidla: 1) Prvni člen dančho vyrazu pov^ši se na tfeti mocninu. 2) Každy nasledujici člen da tri časti: trojnasobny čtverec součtu všech členu pfedchazejicich, nasobeny timtočlenem; troj - nasobny součet všech členil pfedchazejicich, nasobemf čtvercem toho členu a konečnč svou tfeti mocninu. 135 3) Součet všech časti takto utvofenych jest hledana tfeti mocnina. Dflkaz. Pfedevšim jest fa -f b) 3 = (a + b)*(a + b) = (a 2 + 2ab + b*)(a + b) = a 3 + 3a*b + 3ab* + b 3 ; t. j. tfeti mocnina dvoučlenu rovna se součtu tfeti mocniny prvniho členu, trojnasobneho čtverce prv- niho členu nasobeneho druh^m členem, trojnasob¬ neho prvniho členu nasobeneho čtvercem druheho členu, a tfeti mocniny členu druheho. Ostatni se dovodi zpusobem provedenym v §. 193. §. 201. tlloha. Dekadicke čislo ma se pov^šiti na tfeti mocninu. 1) Povyšime prvni čili nejvyšši čislici na tfeti mocninu. 2) Z každč nasledujici čislice utvofme tfi časti: součin trojnasobneho čtverce pfedchazejiciho čisla a tčto čislice, součin trojnasobneho čisla pfedchazejiciho a čtverce teto čislice, konečnč jeji tfeti mocninu. 3) Tyto časti pišme pod sebe tak, že každou nasledujici pomkneme o jedno misto dale v pravo; součet všech časti da hledanou tfeti mocninu, Pravidlo tuto uvedenč jest spravne dle §. 200. Mame-li u pf. čislo 4213 povyšiti na tfeti mocninu, bude 4213 3 = (4000 -f 200 + 10 + 3) 3 = 4000 3 .64000000000 + 3 . 4000 2 .200 . 9600000000 + 3.4000 . 200 2 . 480000000 + 200 3 . 8000000 + 3.4200* .10 . 529200000 + 3 . 4200 . 10*. 1260000 + 10 3 . 1000 4- 3 . 4210* . 3 . 159516900 + 3.4210 . 3*. 113670 4- 3 3 . 27 = 74778091597 136 aneb vvnechame-li nullv: Dodatkv. 1 ) Treti mocnina dekadickčho čisla m a bud: tfikratetolik čisli c, kolik jich m a dane čislo, aneb o dve aneb o jednu čislici menč. Je-li N čislo uciferne, tedy N lO n_1 , ale < 10 n ; pak bude N 3 > 10 30-3 , ale < 10 3 ", z čehož patrno, že treti moc¬ nina čisla N ma nejmene 3n — 2 a nejvyš 3n čislic (§. 63.). 2) Ponevadž = 3 ^» patrno, že v čitateli d e s e- t in n e ho zlomku, povyšenem na treti mocninu, musime od- dčliti tfikrate tolik desetinnych mist, kolik jicb ma mocnenec. 3) Povyšime-li zkraceny zlomek desetinny na treti mocninu, tato bude miti tolik mist nespolehlivych, kolik čislic jest v polovici součtu z čitatele spolehlive Časti čtverce (§. 194., dod. 4) a čitatele dančho zlomku desetinneho (§. 114., 1). §. 202. Ijloha. Z algebraickeho součtu ma se do¬ ta v vati tfetiho korene. 1) Dobyvame tfetiho kofene z prvniho členu spoFadaneho odmocnence, čimž obdržime prvni člen kofene. Treti mocninu tohoto prvniho členu odčitame od odmocnčnce. 2) Prvni člen zbytku dčlime trojnasobn^m čtvercem kofene již vyhledančho; podil jest nasledujici člen kofene. Utvofime pak časti, jež tento nov^ člen kofene da v tfeti mocninč, totiž: trojnasobn^ Čtverec vyhledaneho již kofene, nasobeny novym 137 členem; trojnasobnou pfedcbazejici čast kofene, nasobenou čtver- cem noveho členu, a treti mocninu tohoto členu, načež součet tčchto tri časti odčitame ode dfivčjšiho zbytku odmocnčnce. 3) Y tom vvkonu pokračujeme; nezustane-li koneČnč zbytek, tfeti kofen jest racionalny, zfistane-li zbytek nčjaky, kofen jest neracionalny. Toto pravidlo o dobyvani tfetiho kofene odvodime z §. 200. podobnem zpusobem, jako bylo v §. 195. z §. 193. odvozeno pra¬ vidlo o dobvvani druheho kofene z ranohočlenu. Pfiklad. V |y 6 - 6y 5 + 21y 4 - 44y * 1 2 3 + 63y 3 - 54y + 27j = v* - 2y + 3 — y 6 ~ * _0y 5 + 21y 4 —44y 3 : 3y 4 — 6y 5 4- 12y 4 — 8y 3 + — + + 9y 4 — 36y 3 +.63y 8 —54y + 27: (3y 4 ~ 12y 3 -f- 12v*) + 9y 4 — 36y 3 + 36y s — + — + 27y s — 54y + 27 - + - O §.203. tJloha. Z dekadickeho celistveho čisla, kte- rež jest uplna tfeti mocnina, ma se dobvvati tretiho kofene. 1) Rozdčlme čislo od prave k leve na tfidy o tfech čislicich, nejvvšši tfida mfiže miti jen dvč aneb jen jednu čislici; hledejme nejvčtši čislo, jehož tfeti mocnina jest obsažena v nejvyšši tfide, a napišme je co prvni čislici v tfetim kofenu. Ztrojmocnčnou tuto čislici odečtčme od nejvyšši tfidy odmocnčnce. 2) Ku zbytku pfipišme nasledujici tfidu odmocnčnce, dčlme čislo toto, zatrhnuvše posledni dvč čislice, trojnasobn^m čtvercem prvni vyhledane čislice v kofenu, a podil napišme v kofenu co novou čislici. Utvofme pak časti, jež tato nova čislice kofene dd v tfeti mocninč, totiž: trojnasobn^ čtverec čisla pfedchazeji- ciho, nasobeny novou čislici, trojnasobnč čislo pfedchdzejici, nh- sobenč čtvercem tčto novč čislice, konečnč jeji tfeti mocninu; prvni čast napišme pod dčlence, každou nasledujici pak o jedno 138 mfsto dale v pravo, a odčltejme součet tčchto časti od dčlence, k nemuž pribereme dve čislic dffve vynechanych. 3) V tom vykonu pokračujme, až bude do počtu vzata po- sledni tfida odmocnčnce. Spravnosf počtu toho vysvita z §. 201. 3 U pr. v / 78 ! 953 ! 589 - 429 - 64 14 9,53 .-4B...3.4 2 3 . 4* . 2 ... 96.. 3 . 4 . 2 a . . . 4 8. 2 3 . . . 8 48 655,89 : 5292 . . . 3.42* 3.42 2 .9 ... 4 7 629 .. 3.42 . 9 2 . . . 1020 6. 9 3 . . . 6 29 0 Dodatek. Z pravidla o dobyvani druheho kofene (§. 196. dod. 1 a 2) vysvita, kterak dobyvame tfetiho kofene ze zlomku desetinneho aneb obyčejnčho. §. 204. TJloha. Z dekadickeho celistveho čisla, kterež neni uplna treti mocnina, ma se dobyvati ko¬ fene tfetiho stupnč. Neni-li odmocnčnec tiplna tfeti mocnina, bude tfeti kofen neracionalni, tudiž možna jen približnš jej určiti. Počiname si zde podobnč, jako v §. 197. pri dobyvani druhčho kofene z de¬ kadickeho celistveho čisla, kterež neni uplni čtverec; jen že tu k jednotlivym zbytkum pfipisujeme tfi nully misto tridy nasledujicf- Dodatek. I pravidla o dobyvani tfetiho kofene z dese- tinnich a obyčejnych zlomku, kterež nejsou uplne tfeti mocniny, jsou obdobna s poznamkami v dodatclch 1) a 2) k §. 197. §. 205. Zkracene dobyvani tfetiho kofene. Yyhled&me-li v tfetim kofenu z dančho čisla obyčejnym zpdsobem prvnich m čislic, a chceme-li ještč m — 1 čislic spravnč určiti, dčlime posledni zbytek trojnasobnim čtver-cem posud vyhledančho k or ene. 139 D ti k a z. Znamena-li a odmocnčnce a b vyhledanych již m prvnich čislic tfetiho korene, mužeme b považovati za čislo ce- listve, aniž by se tim zmenily schazejici čislice v korenu. 3 Položime-li pak V & — b + x, kde x znači nasledujici čislice kofene, bude (b + x ) 3 — a, čili b 3 + 3b*x + 3bx 2 + x 3 = a, protož 3b 2 x = a — b 3 3bx 2 a x = 3b 2 3b 2 kde a — b 3 znamena posledni zbytek pri dob^vani kofene, a 3b 2 trojnasobn^ čtverec kofene posud vyhledančbo. £ _ ]r)3 jjS Položime-li na misto x podil - , chyba bude -p + gp-, kde x < l a -b > 10 m_1 , tak sice, že pri posouzeni chyby člen X 3 - 57 - 5 - jakožto velmi malv naproti mflže se uplnč vypustiti; ob D v2 J. p jest však menši nežli , tudiž podil ostatnich čislic spravnych v kofenu. a—b 3 3b* da m — 1 Mame-li tedy u pf. v ^/ / 0'083066534 určiti 5 spravnych mist desetinnych, vyhledame prvni tfi čislice dle obyčejneho pra- vidla o dobyvani tfetiho kofene, ostatni dvš čislice pak dčlenim zkracenym. Počet provede se takto: \^0'083 066|534 = 0-43632 . . 64 19066 : 48 144.. 108. 27 3559534 : 5547 33282.. 4644. 216 1846,78 135 21 . : 57,0,288 140 Dodatek. Timto zpusobem obdržime v tfetim koFenu zkraceneho zlomku desetinnčho 2m — 1 spolehlivych čislic, ma-li odmocnenec m platnych tfid o trech čislicich. o VI. Logarithmy. 1. 0 logaritbmecli vubec. §. 206. Čislo a logarithmovati znamena, hledati moc- nitele, jimž mocnžnec b musl byt umocnšn, aby dal a co mocninu. Čislo b jest zaklad, dana mocnina a slove pouze čislo (Nu- merus), a hledany mocnitel jmenuje se logarithmus. Je-li b n = a, znamena n logarithmus čisla a pri zakladč 5, což pišeme: n = logb a. Vztahuji-li se logarithmy vesmčs k tčmuž zakladu 6, pišeme zkratka n = log a, v kteremžto vyrazu zaklad b považujeme za znamy. Umocnovani odpovidaji tedy dva ob rac en e vfkony: do¬ bivanj korene a logarithmovani. Mocnina, jejižto mocnitel jest čislo neznamč, jako u pr. b*, jmenuje se veličina exponencialna. §. 207. Soujem logarithmfl čisel, v pfirozenem poradu po sobč jdoucich, pri určitem zakladu slove soustava logaritb- micka. Zakladem soustavy logarithmickč rnfiže byti jen realne kladne čislo, ktere se liši od 1, ponšvadž jednak umocnčnim realneho zaporneho čisla nelze vyvoditi všecka možna čisla kladna, jinak každd mocnina 1 opčt se rovna 1. Nesčislnč množstvi soustav logarithmickich jest možnč; ve všech tech soustavach jsou pri kladnčm zakladu b logarithmv zapornych čisel pomvslne proto, že mocnina b n nikdy ne- mfiže biti zaporna, nechf ma n hodnotu kteroukoli. Tim však uživani logarithmu se neomezuje; zaporna čisla v počtecb loga- rithmickvch zatim považujme za prosta, ternito počitejme, a ve vysledku teprv ustanovme naležitč znamenko. Uživame jen dvou soustav logarithmickych, totiž obecnč čili Briggovy soustavy, jejimž zakladem je čislo 10, a sou- 141 stavy prirozene čili Neperovy s neracionalnem zakladem e = 2 , 718281828 . . , jejž obdržime sečitanim nekonečne čady 1 , JL + 1 , 1 , 1 , r 1 ~'~1.2‘ 1.2.3' 1.2.3.4 ■ Ob-ecne vlastnosti logarithmii. §. 208. 1 ) Kovna čisla maji v teže soustavčrovne logar it hmy, a naopak: krovnem logarithmumnhležeji rovna čisla. Je-li b zaklad a b” = M, b“ = .N, musi pfi M = N takč m ~ n, t. j. log M = log N. (Plyne neprimo z §. 159., 3.) Je-li naopak log M = log N, tedy m = n, musi dle §. 159., 1) tež b m = b n , t. j. M = N. 2) V soustavč, jejižto zaklad jest včtši nežli 1 , naleži k vetšimu čislu takč včtši logarithmus, a na¬ opak: k včtšimu logarithmu naleži včtši čislo. Budiž b m = M, b n = N, a M > N, tedy pfi b >1 musi byti m > n, pročež log M > log N. (Plyne nepfimo z 1) a z §. 159., 3). Je-li naopak logM > logN, plyne taktež z §. 159., 3), že M > N. 3) Logarithmus zakladu s ohledem na tento za¬ klad rovna sel. b 1 = b; je-li tedy b zaklad, musi logb = 1 . 4) Logarithmus jedničky v každe soustavč se rovna nuli e. b u = 1 , protož logi = 0 . 5) Logarithmus nully jest zapornč nekonečny. Ponevadž b -co = -— 5 - = O, jest log O = — QO. §. 209. 1) Logarithmus součinu rovna se součtu logarithmd jednotlivych činitelu. Pfi zakladu b budiž log M = m, log N = n, log P = p, tedy M = b m , N = b n , P = b p , protož MNP = b m ' n+p , t. j. log MNP = m -j- n + p, aneb log MNP = log M + logN + log P. U pr. log 6 = log 2 + log 3. log 30 = log 2 + log 3 + log 5. 142 Jsou-li pri určitem zakladu znamy logarithmy všech prvo- čisel, mfižeme z nich pouhym sečitanim vyhledati logarithmy všech čisel složitych. log (a* — b 2 ) = log (a + b) + log (a — b). 2) Logarithmus zlomku (podflu) rovna se loga- rithmu čftatele, menč logarithmu jmenovatele. Pfi zakladu b budiž log M = m, log N = n, tedy M = b m , N = b n , M z čehož -jj- = b m_n , proto M log = m — n = log M — log N. 9Q U pf. log 57 = log 29 — log 31. 0 1 Q&9Q log 35*29 = 1Og—— = log 3529 — log 100. log = log (a + b) — log (a — b). 3) Logarithmus mocniny rovna se logarithmu moc- nšnce, nasobenemu mocnitelem. Pfi zakladu b budiž log M = m, čili M = b m , tedy M p = b mp , z čehož log M p = mp = p . log M. U pf. log 8 3 = 3 log 8. log (2a) 3 = 3 log2a = 3 (log2 -f- loga). l° g ^4 = 2 log x + log y — 4 (log m + log n). 4) Logarithmus veličiny kofenove rovna se loga¬ rithmu odmocnšnce, delenemu odmocnitelem. Pfi zakladu b budiž log M = m, čili M = b m , tedv p p _ V"M = V"b m = b p , protož log KM = y log M P 143 U pf. log K75 = 6 ' , _a_ \ / a _ °° b _ log a — log b log V b “ 5 ” 5 3 dk\ r ~ x 2 2 log -y— = loga + -g-logx — logy. §. 210. 1) Pri rozličnych zakladech ma tot6ž čislo take rozlične logaritkmy. Je-li p logarithmus čisla N na zakladč B, a q logarithmus čisla N na zakladč b, kde Bub považujeme za čisla rozlična, bude N = B p a N = b 4 , tedy B p = b 4 . Kdyby pak p = q, plynulo by nepflmo z §. 159., 2), že take B = b, což se nesho- duje s podmlnkou. Logarithmy p a. q jsou tedy rozlične. 2) Logarithmus čisla na jakemsi zakladč rovna se logarithmu tehož čisla pri druhčm zakladč, naso- benčmu pfevratnou hodnotou logarithmu prvnlho zakladu s ohledem k druhemu. Budiž logisN = p, tedy B p = N; logarithmujeme-li druhou rovnici na jinem zakladč b, obdržlme plogbB = logbN, aneb log B N.log b B = logb N, z čehož log B N= logbN.^g. Jsou-li znamy logarithmy čisel na zakladč b, vypočltame z nich logarithmy na kteremkoli jinem zakladč B, nasoblme-li je staltfm činitelem 5 t. j. pfevratnou hodnotou logarithmu log l D noveho zakladu s ohledem k zakladu dflvčjšlmu. čislo, jlmž muslme nasobiti logarithmy jedne soustavy, abychom obdrželi lo- garithmy soustavy jine, slove modul soustavy nove s ohledem k pdvodnl. Modul soustavy Briggovy s ohledem k pfirozene soustavč jest , = 0'4342945 . . J log e 10 144 3. Logarithmy obecne. §. 211. 1) Briggflv logarithmus kladneho čisla jest kladny aneb zaporni, jak totiž čislo jest včtši aneb menši nežli 1. Každč čislo, včtši nežli 1, jest bucf dekadicka jednosf 10 m i kde m znači kladnč čislo celistvč, aneb leži mezi dvčma tako- vymi jednostmi 10 m a lO™* 1 ; proto jebo logarithmus jest bud m, aneb leži mezi m a m + 1, v obou pfipadech jest tedy kladny. Každč čislo, menši nežli 1, jest bud dekadicka jednosf = 10“ m , aneb leži mezi dvčma takov^mi jednostmi 10~ m a lCH™* 15 ; proto jeho logarithmus jest bud —m, aneb leži mezi — m a — (m + 1), tedy v obou pfipadech jest zaporny. 2) Briggfiv logarithmus celistveho aneb lome- nčho čisla, kterež jest dekadicka jednosf, rovna se čislu celistvemu. Plyne z predešleho dflkazu. 3) Briggfiv logarithmus celistveho aneb lome- neho čisla, kterčž neni dekadicka jednosf, jest čislo neracionalne. Dflkaz. d) Neni-li N dekadicka jednosf, leži-li tedy mezi dvčma dekadick^mi jednostmi po sobč jdoucimi 10- m a 10 ± ( m + 1 >, kde m znamena kladne čislo celistvč, musi logarithmus čisla N ležeti mezi + m a + (m -f- 1)» nemuže tedy byti čislo celistvč. Ale logarithmus ten neni take zlomek. Nebof kdyby log N = =~, kde p a q jsou prvočisla vespolek, muselo by 10T = N, aneb 10- p = N« . Ma-li však rovnice tato byti možna, musi 10 ±p a N 9 sestavati z tychž prvočinitelu; N by tedy nesmčlo se skladati z jinych činitelu mimo z 2 a 5, vztažnč -i- a 1-, a obou by mu- selo obsahovati tenfrfž počet. Ale pak by N bylo dekadicka jednosf, což odporuje podmince. Neni-li tedy N dekadicka jed¬ nosf, log N nelze určitč vyjadfiti ani čislem celistvym, ani zlomkem. V) Naznačime-li však meze, v nichžto leži logarithmus N, mfižeme jej približnč ustanoviti tak určitč, jak jen zapotfebi. 145 LežMi totiž N vnbec mezi dvšma čisly u a v, tedy (dle §. 208., 2) log N mezi log u a log v, kteršžto dva logarithmy jsou znamy, bude dle §. 209. take znam log V"uv, t. j. logarithmus stredni mšrickš srovnalostne čisel u a«. Ale pončvadž y uv leži mezi u a v (§. 134., 4), musi N ležeti bud mezi fuv a w, aneb mezi fuv a w, tudiž takš log N bud mezi log V uv a log«, aneb mezi loglAiv a log v. V každšm pripadš leži tedy N v mezich užšich nežli dfive, a opakujeme-li zavšrek tymže zpusobem, mu- žeme meze, v nichž leži log N, sužiti dle libosti. §. 212. tiloha. Mase vypočitati Briggflv loga¬ rithmus danšha čisla. 1) Jedno rešeni teto ulohy spočiva na dukazu, podanem v §. 211., 3) b ), podiš nšhož možna logarithmus čisla uzavfiti v meze vždy užši a užši a tim jej takš ustanoviti tak určite, jak jen zapotrebi. Mame u pf. vypočitati logarithmus čisla 13. 13 leži mezi 10 a 100, log 13 „ „ log 10 = 1 a log 100 = 2; rozdil hodnot meznych : 2 — 1 = 1. \/lO . 100 = 31-6227766 = a, log a = ^-(log 10 + loglOO) = 1*5; 13 leži mezi 10 a a, log 13 „ „ log 10 = 1 a log a = 1-5; rozdil hodnot meznych: 1*5 — 1 = 0*5. \/Tte = 17-7827942 = b, logb = y(log 10 + log a) = 1-25 ; 13 leži mezi 10 a b , log 13 * „ log 10 = 1 a logb = 1*25; rozdil hodnot meznych: 1'25 — 1 = 0-25. Z toho vysvita, že mezne hodnoty logarithmu čim dale tim vice se sbližuji. Pokračujeme-li tim zpusobem, obdržime: Y/l0b = 13-335 2144 = c, log c = J-(log 10 + log b) = 1*125; V/lOč = 11-547 8201 = d, log d = i(log 10 + log c) = 1*0625; \/cd = 12-409 3780 = e, log e = ^(log c + log d) = 1*093 75; 'j \/ce" = 12-863 9696 = f, logf = i(log c + log e) = 1*109 375; \/čT = 13-097 4727 = g, log g = i(log c + log f) = 1*117188; Vfe" = 12-9801960 = h, logb = i(Iogf + log g) = 1*118 281; Močnii-Hora, Algebra. 10 146 \/gh~ = 13-0387024 = i, logi \/hT = 13-009 4163 = k, logk V/hF = 12-994 7978 = 1, logi \/kF = 13-002 1049 = m, log m V/lm = 12-9981507 = n, logu \/mn = 13-0002776 = o, log o \/no = 12-999 3640 = p, log p \/op = 12-999 8207 = q, log q ^/ČmT = 13 0000491 = r, togr y/qr = 12-999 9348 = s, log s a t. d. = i(logg + logh) = 1-115 234; = i(logh + logi) = 1*114258; = i(logh + logk) = 1-113 769; = |(logk + logl) =1-114 014; = i(logl 4- log m) = 1*113 892 ; = -‘-(log m + log n) = 1-113 953; = Klogn + log o) = 1-113 922 ; = !(logo + logp) = 1-113 937 ; = i(logo + logq) = 1-113 945; = |(logq + logr) = 1-113 941 ; Pončvadž pak 13 leži mezi s a r, tedy take log 13 mezi loge a logr, tyto logarithmy se však shoduji v prvnich peti mistech desetinnicb, bude až na 5 mist desetinnych určite log 13 = 1-11394. (Timto pracnym zpfisobem vypočital Jindrich. Brigg logarithmy prvo- čisel od 1 až do 20000, a od 90000 až do 100000 na 14 mist desetinnjcli, pozdeji pak Andrian Vlacq ostatni logarithmy prvočisel od 20000 až do 90000.) 2) Zkratka a pohodlnš lze určiti Briggfiv logaritbmus čisla N približnimi hodnotami zlomku retčzovčbo. Položme log N = x, tedy N = 10 x , a vybledejme nejvetši celistvč čislo q, obsažeuč v *; bude tedy 10 1 < N < lO-Jt 1 . Položime-li x = q + — > kde x, > 1, bude N = 10^ = KO . 10 4 , x i N J_ c N v« 'N pročež 1()(| = 10*,, a J = 10, anebo položime-li = N,, bude N, 1 * = 10. Vyhledejme nyni nejvčtši celistve čislo q x , ob- sažene v x,, tedy N^* < 10 < N 1 9 ‘ + i; položime-li x t = q t + —, x s j. — 10 — kde x a > 1, bude 10 = = N, 4 *. N, pročež ^-- = N, a ^5^ j' — N,, anebo položime-li nyni = N s , bude N a *» = N,. Je-li dale N, 9 * < N, < a položime-li x a = q a -j- —, obdržime podobnč X 3 147 (-ivr=N.'-=N, z čehož opčt pri x 3 = q 3 + * nasleduje (^-J* = N 4 * = N 3 a t. d. Protož bude logN = 4 + i= q + i + J_=q+i- + l q* + 1 .. z čehož vypočitati lze pfibližne zlomky pro log N. Mame-li tim zpusobem vypočitati log 13, bude počet na- 1-3, 10 1 < 13 < 10 s , 1-3 8 < 10 < 1-3 9 , q =1; q, =8? q*=i; sledujici : N = 13, N = 1 10 ' N 2 = jjp = 1-22589, 1-22589' < 1-3 < 1'22589-, N 3 = = 1-06045, 1-06045 3 < 1-22589 < 1-06045 4 , q 3 =3; N 4 = = 1*02823, 1'02823* < 1*06045 < 1-02823 8 , q 4 =2; N s = = 1-00303,1 00303 9 < 1-02823 < 1-00303'°, q 5 =9; N 6 = = 1-00159, 1-00159* < 1-00303 < 1-00159 2 , q f = 1; a t. d. Jest pak log 13 == 1 -f ^ . 1 1 14- 1 l 3 + M + i . 1 1 + • • •; protož približne hodnoty hledaneho logarithmu: 9 10 39 88 831 919 1 , 8’ 9’ 35’ 79’ 746’ 825’ * ‘ " 10 * 148 Položime-ii log 13 = — 1*113939 . . , chyba bude menši nežli —L, = „„1^ — O-OOOOOl . . , tudiž log 13 na 825* 680625 ’ ° 5 desetinnych mlst spravnš = 1-11394, jakož jsme již take vy- počitali spfisobem prvym. Dodatek. Mnohem kratšim zpfisobem vypočitavaji se loga- rithmy ve vyšši mathematice pomoči fad. §. 213. Brig gliv logarithmus se sklada z celistveho čisla a z desetinnych čislic, pončvadž v Briggovč soustave mimo de- kadicke jednosti všecka ostatni racionalna čisla maji neracionalne logarithmy, ktere približnč lze vvjadriti zlomky desetinnymi. Celistvč čislo v logarithmu slove charakteristika (vyznak), desetinna mista pak mantissa (zavšska). čisla, ktera jsou menši nežli 1, maji zaporni logarithmus, tedy zapornou charakteristiku i mantissu. Zaporne mantissy odstrafiujeme z poetu; misto nich klademe mantissy kladnč se zapornou charakteristikou, odčitajice zaporny logarithmus od čisla, kterež jest o 1 vštši nežli charakteristika, čim obdržime kladnou mantissu, načež toto čislo o 1 včtši napišeme za mantissu jakožto zapornou charakteristiku. U pf. — 2-345679 = 3 - 2-345 679 — 3 = 0-654 321 - 3. §.214. Charakteristika Briggova logarithmu de- kadickeho čisla rovna se fadnčmu exponentu nej- vyšši čislice tohoto čisla. Je-li n radny exponent nejvyšši čislice v čisle a , bude a > 10 n , ale a < 10 n+1 , tedy loga > n, ale loga < n + 1, t. j. loga = n + kladny zlomek pravy, protož jest n charakte¬ ristika logarithmu. Vysledky. a) Charakteristika logarithmu jest o 1 menši nežli počet mist, jež celč zaujimaji. b ) Charakteristika logarithmu praveho zlomku desetinnčho jest zaporna a rovna počtu všech nuli, stojiclch pfed platnymi člslicemi desetinnymi. 149 §. 215. Nasobime-li aneb dčlime-li jakesi čislo mocninou desitky, zmšni se tim vBriggovč loga- rithmu toho čisla pouzecharakteristika, nikoli však mantissa. Nebof log (a. 10 11 ) = log a + log 10“ = log a + n, 3 . log = log a — log 10 n = log a — n. V prvem pripade logarithmus čisla a se zvetši, v druhem pak zmenši o celistve čislo », t. j. obdrži jinou charakteristiku; mantissa však se nezmčni. U pf. log 7124 = 3-852 724; protož log 712400 = log 7124 + log 100 = 3.852 724 + 2 = 5-852 724; log 71*24 = log 7124 — log 100 = 3-852 724 - 2 = 1-852 724. Vysledek. Mantissa logarithmu zavisi pouze na po- fadu, v nčmž čislice jdou po sobč, bez ohledu na jich rad. Tabulky logarithmicke. §. 216. Logarithmy všech čisel od 1 až do 10000, aneb od 1 až do 100000, a sice u prvych s mantissami o pšti aneb šesti, u tčchto o sedmi mistech sestaveny jsou ve zvlaštnich tabul- kach logarithmickych. Tyto pak obsahuji jen mantissy logarithmfi proto, že charakteristiku v každem pfipadč lze určiti dle §. 214. Jednoduchym zpusobem, vysvčtlenym v uvodu k tabulkam logarithmickym, vyhledame z nich logarithmus každeho čisla, a naopak ku každemu logarithmu pfislušnč čislo. Zde predpokladame tabulky, obsahujici logarithmy čtyr- cifernych čisel s mantissami šesticifernymi. Počitani Briggovymi logarithmy. §. 217. Pri počitani Briggovymi logarithmy musime šetriti tychž pravidel jako vubec pfi čislech dekadickych; treba jest však zfetel miti ješte na nasledujici ustanoveni: 1) Obdržime-li pfi seči tani logarithmu dve charakte- ristiky, jednu kladnou a druhou zapornou, spojime je v jedinou. 150 U pf. 3*105 892 2*568 125 0*213 407 - 2 0*081 057 — 4 5*968 481 - 6 = 0*968481 - 1. » 2) Je-li pfi odčitani menšenec menšl nežli menšitel, muslme se vyhnouti zapornč mantisse; proto pripočltejme k men- šenci tolik jednostl kladnych, aby byl včtšl nežli menšitel, ku zbytku pak pfipišme tentyž počet zapornych jednostl jakožto ebarakteristiku. U pf. + 3 — 3 1*450 256 3*578 920 0*871 336 — 3. 3) Nasoblme-li logarithmus se zapornou charakteristikou jakymsi člslem, muslme v součinu novou charakteristiku zapornou snlmati s kladnou. U pf. (0*531 147 — 2) X 5 = 2*655 735 — 10 = 0*655 735 — 8. 4) Mame-li logarithmus se zapornou charakteristikou d e~ liti jakymsi člslem, muslme ji, nenl-li tlmto člslem dšlitelna, zvčtšiti o tolik jednostl, kolik vubec zapotfebl, aby byla delitelna; tentyž počet jednostl celistvych pfiplšeme však tež pfed man- tissu. Tim zpfisobem se vyhneme lomene charakteristice. U pf. (0*415 091 — 7) : 5 = (3*415091 - 10) : 5 = 0*683 018 — 2. Užlvanl Briggovych logarithmu. §. 218. Všeobecnymi včtami, odvozenymi v §. 208, lze pro- mčniti nasobenl v sečltanl, dčlenl v odčitani, umocnovanl v na- sobenl a dobyvanl kofene v delenl. Jsou-li nčktera dana čisla zaporna, považujeme je v počtu zatlm za kladna, a ve vysledku pak teprv určlme naležitč zna- načnko. K logarithmu zaporneho čisla mfiže se pfipsati (n), aby se na znamenko — nezapomnčlo. 1) Nas ob eni. Ma se vyhledati součin činitelfl 1*0954, 0*91567, — 3*1571 a 1*00782. 151 log 1-0954 = 0-039 573 log 0-915G7 = 0-961739 — 1 log 3-1571 = 0-499 289 (n) lo g 1-00782 = 0003 383 _ logsoučinu = 0503 984 = log. 3-191419, tedy 1-0954 X 0-91567 X - 3-1571 X 1'00782 = — 3-191419. 2) Džlenf. r oc a ) Ma se vypočitati podil 528 : 737 čili + 1 - 1 log 528 = 2-722 634 log 737 = 2-867 467 log = 0855167 — 1 = log 0-716 418, pročež ~ = 0-716 418. i) Ma se určiti hodnota zlomku x = logx = log 3-4156 + log 4-023 - (log 1-2378 + log 5-87091) log 3-4156 = 0-533467 log 4-023 = 0604 550 1-138 017 log 1-2378 = 0092 651 log 5-87091 = 0-768 705 log x = 0-276 661 = log 1-890 869, pročež x = 1-890 869. 3) Umocfiovani. a) Čislo 1-025 ma b^ti povyšeno na 20. mocninu. log 1-025 = 0010 724 log(l-025) JO = 0-010 724 X 20 = 0-214 480 = log 1-63862, pročež (1 "025) 30 = 1-63862. ( QOQ \1065 ~67^ 152 log 329 = 2-517196 log 67 ~ 1-8260 7 5 0-691121 X 1-065 5,6,0,1 69112 1 4146 7 3456 /-<00.1-065 log = 0-736 O 4 4 = log 5-445575, ( agQ-l-C65 = 5-445575. 4) Dobyvani korene. 5 Ma se vypočitati y~10- log 10 = 1-000 000 log ]T10 = 1-000 000 : 5 5 = 0-200000 = log 1-58489, tudiž V"10 = 1-58489. Čast čtvrta. Rovnice. §. 219. Srovnani dvou vyrazu, majicich rovnou hodnotu, nazyva se rovnici. U pr. x = x, (x + 2) 2 = x 2 + 4x -j- 4, x 2 — 8 = 2x. Veličiny takto srovnane slovou dily rovnice; každy dil muze se skladati z nčkolika čl en d. Y rovnici x 2 — 8 = 2x jest x 2 — 8 pran, 2x druhy dil; onen sestava ze dvou členft: x 2 a — 8. Rozeznavame rovnice jednostejne (identicke) a určovaci. Rovnice, ktere jsou spravne pfi každč kodnotč ne- znamych veličin v nich prichazejicich, slovou jednostejnč. U pf. Rovnice (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 jest spravna, nechf za x dosadime hodnotu jakoukoli. Každy vzorec vykonu arithme- tickeko jest rovnice jednostejna. Rovnice, kterč jsou spravne jen pfi určitych hodno- tach neznamych veličin v nich pfichazejiclch, slovou určovaci rovnice. U pf. rovnice x 2 — 8 = 2x jest jen tehdy spravna, ma-li x hodnotu 4 aneb — 2. Hodnoty nezname veličiny, jež vyhovuji rovnici, t. j. kterež ji promčni v jednostejnou, jmenuji se kofeny rovnice. Rovnice x 2 — 8 = 2x ma dva kofeny, 4 a — 2. Rovnici fešiti znamena, jeji kofeny určiti. Pofadani rovnic. §. 220. Mame-li fešiti rovnici, musline ji nejprv uvesti na takovou podobu, aby neznama nepfichazela v žadnčm členu co jmenovatel aneb odmocnčnec; abv všecky členy, obsahujici ne- znamou, v prvnim dilu rovnice nastupovaly po sobe dle sestupnych 154 mocnin teto nezname; aby konečnč součinitel nejvyšši mocniny nezname veličiny byl kladnč čislo celistve. Rovniee takoveho tvaru slove spofadand. U pr. ax 3 -f- bx* + cx = d j x* + P x = q | jsou rovniee spofadanč. x* — 3xy + y 2 + 5x = 9 J Sporadana rovniee, jejižto druhy dfl jest nulla, jmenuje se rovniee uvedena na nuli u; u pr. x* + ax -}- b = 0. Poradani rovnic zaklada se na nasledujici zasade: N akladame-li s rovnymi veli cinami štej n^mzpi- sobem, obdržime rovnč vysledky. Tuto zasadu lze vyjadfiti určitčji nasledujicimi včtami: 1) Rovniee se neporuši, jestliže k občma dilum jakčsi čislo pfipočteme aneb od obou dilfi nejake čislo od ečteme. Dle teto včty mflžeme každy člen jednoho dilu pfevesti s opačnym znamenkem do dilu druheho, rovne členy v obou dilech vynechati, zvlaštč take každou spofadanou rovnici uvesti na nullu. U pr. z rovniee x -f- a = b plyne x = b — a, „ „ 3x + m = a + m „ 3x = a, „ „ x*-2x = l „ x 2 — 2x - 1 = 0. 2) Rovniee se neporuši, nasobime-li oba j e ji dily t^mže čislem. Dle teto všty lze z rovniee odstraniti jmenovatele, zvlaštč takč mužeme součinitele nejvyšši mocniny nezname veli- činy, je-li zaporny, promčniti v kladneho, nasobime-li oba dily rovniee zšpornou jedničkou, t. j. zmčnime-li znamenka všech členil v opačna. U pr. z rovniee —-b = c plyne x — ab = ac, 3 . „ „ — — b = — „ x 2 — abx = ac, a x „ „ — x* + 3x = — 5 „ x 2 — 3x = 5. 3) Rovniee se neporuši, dčlime-li oba j e j i dily tymže čislem. 155 Majf-Ii tedy oba dily společnčho činitele, mfižeme jim celou rovnici kratiti, zvlaštč takč odstraniti součinitele nejvyšši mocniny nezname veličiny, je-li včtši nežli 1. U pf. z rovnice 2x 2 — 8x = 4 plyne x 2 — 4x = 2, 4) Rovnice se neporuši, pov^šime-li oba jeji dfly na tutež mocninu. Je-li neznama pod kofenitkem, mužeme je odstraniti; veli¬ čina kofenova, kterou chceme učiniti racionalnou, musi byti samotna v jednom dilu rovnice. U pf. z rovnice \/x — b 2 = a plyne x — b* = a 2 . 5) Rovnice se neporuši, dobyvame-li z obou dilu kofene tčhož stupnž. Dob^vanim kofene Ize v rovnici odstraniti m o eni te le nezname veličiny. U pf. 3 z rovnice x 3 = 10 plyne x = 10, - - ( x + T)* = X + b ” X + T =± tyr + b - 6) Rovnice se neporuši, logarithmujeme-li oba jeji di 1 y s ohledem na tentyž zaklad. Tim zpflsobem odstranime z rovnice veličiny exponen- cialnč (§. 206.). U pf. z rovnice a x = b plyne xloga = logb. Teclito vžt musime použivati pončkud opatrne proto, že v mnohyck pripadech novš utvofena rovnice nemž již všecb korenu dane rovnice, jindy opet obsahuje mimo koreny puvodni rovnice take jestž kofeny jinš. 3x • ■ 2 2x fr . Nasobime-li u pf. rovnici —-- — — 4 = ^ Eezn ®- m y m E ' IU " telem x — 1 , jenž v žadnem jmenovateli neprichazi co činitel, nova rovnice 4 bude miti mimo koreny pftvodni rovnice 2 a-= take jeste koren 1. D A naopak: delime-li rovnici (x — 2){x 2 + 3x + 1) = fx — 2)(7x + 6) neznamym činitelem x — 2, jenž pfichazi v obou dilecb, nedostava se novš rovnici kofene 2 z puvodni rovnice. Povyšime-li rovnici '\' r x -|- 11 = x — 1 na druhou mocninu, nova rovnice x + 11 = x 2 — 2x + 1 muze take vzniknouti z V x -j- 11 156 = — (x — 1); musline tedy pozdšji ještž zvlašte vjšetriti, vvhovuji-li ko¬ renja nove rovnice, 5 a — 2, dane rovnici čili nic. Opravdu take rovnici V"x -j- 11 = x — 1 vyhovi jen koren 5, druky pak, — 2, prinaleži rovnici V^x -j- 11 = — (x — 1). §. 221. Dana rovnice m a se spofadati. Dle pfedešlych vet sporadame danou rovnici takto: 1) Jsou-li v rovnici vyrazy spojeny zavorkami, provedeme naznačene vykony, abychom zavorky vypustili. 2) Ma-li rovnice zlomky, nasobime oba dily nejmenšim společnym nasobkem všech jmenovatelu, abychom tyto odstranili. 3) Je-li neznama pod kofenitkem, odstranime je tim, že povyšime oba dily rovnice na naležitou mocninu. 4) Všecky členy, obsahujici neznamou, pfevedeme do leveho dilu rovnice, snimame a sporadame dle sestupnyeh mocnin veli- činy nezname; ostatni členy pfevedeme do praveho dilu, kde rovnež snimame. 5) Je-li součinitel nejvyšši mocniny nezname veličiny za¬ porni, promenime znamenka všech členu v opačna. P f i k 1 a d y. 1) 6(x - 2) - 2(3x + 1) = 14 — 4(2x + 3) 6x — 12 — 6x — 2 = 14 — 8x — 12 6x — 6x + 8x = 14 - 12 + 12 + 2 8x = 16 x = 2. 3) 2x - V2x = 1 — V^2x = 1 — 2x 2x = 1 — 4x + 4x' 3 2x + 4x — 4x 3 = 1 — 4x 3 + 6x = 1 4x 3 — 6x = —• 1. 2) x 12 — 3x = 8 x* — 12 + 3x = 8x x 3 -j- 3x — 8x — 12 x 3 — 5x = 12. Rozdčleni rovnic určovacich. §. 222. 1) Rovnice jsou bud čiselnč anebo pismenne (literalne), jsou-li neznamč spojeny bud s čisly zvlaštnimi aneb obecnymi. 2) Dale rozeznavame rovnice algebraickš a transe en- dentnč. V rovnicich algebraickych pfichazi neznama jen co mocnčnec, v transcendentnih v nčkterem tvaru nasledujicim: 157 a z , log (a + x), sin (a -f x) a t. d. Transcendentna rovnice, v nižto neznama pFichazi co mocnitel, slove zvlaštč rovnice exponencialna. 3) Dle počtu neznamych v rovnici pFichazejicich rozezna- vame rovnice o j e dne, o dvou aneb o nčkolika nezna¬ na y c h. 4) Dle nejvyššiho mocnitele nezname, aneb je-li v rovnici vice neznamych, dle nejvčtšiho součtu mocnitelfi neznamych v je- dinem členu sporadane rovnice rozdšlujeme algebraickč rovnice na rovnice prvniho, druheho, tfetfho, . . . stupnč. Tak jsou 5x + 5 = 0 a x + 2y = 3z — 8 J 2x s — 5x = 10 | xy — x = y + 2 j x 3 — 2x 8 -f- 5x = 1 1 2x*y — 4xv 2 — y — 3x J rovnice 1. rovnice 2. rovnice 3. o jednč neznamč, o tFech neznamych. o jednč nezname, o dvou neznamych. o jednč nezname, o dvou neznamych. Rovnice druheho stupnč slovou take kvadrati ckč, rovnice tretiho stupnč kubickč, čtvrtčho stupnč bikvadrati ckč a dalšlch stupfiu pak rovnice vyšši vflbec. 5) Rovnice kterebokoli stupnč jmenuje se presna, obsa- huje-li jedinou mocninu neznamč, a s mi šen a, pfichazi-li v ni neznama v rozličnych mocninach. U pr. - 3x = 5 + 2x* - 6 = j jsou rovnice presne, ^ J jsou rovnice smišene. 6) Konečnč rozeznžvame rovnice ur č it e, majici konečmf počet koreni!, jejž pfed fešenim již možna zevrubne udati, a neurčitč, jimž vyhovuje nekonečny počet korenu, neni-li jinak počet tento oraezen zvlaštnimi podminkami. U pr. rovnice 3x = 5 ma jedin^ kofen |, rovnici 3x -f- 2y = 5 muze však vyhovčti nekonečny počet hodnot x &y \ prvni rovnice je tedy určita, druha neurčita. 158 I. Určitč rovnice prvniho stupne. 1. Rovnice prvniho stupne o jedne nezname. §. 223. Všeobecn^ tvar sporadane rovnice prvniho stupnč jest o ax = b. Dšlime-li oba dily rovnice veličinou a, obdržime b x — —. a Rovnice prvniho stupne o jednč nezname ma j ediny kofen, je tedy rovnice určita. Pf iklady. 1) ax + b = a'x+ b' ax — a'x = b' — b (k — a')x = b' — b 2 ) 2a — 2ax -j- bx = b bx — 2ax = b — 2a (b — 2a)x =: b — 2a x — 1. 2. Určite rovnice prvniho stupne o nekolika neznamych. §. 224. Jedina rovnice o dvou neznamyeh jest n e určita proto, že za obš nezndme infižeme dosaditi nekonečny počet hodnot, ktere vesmčs vyhovuji dane rovnici. Je-li vsak dano dvč rovnic k sobč naležejicich, možna vfibec určitč udati hodnotv neznamych, vyhovujici obšma rovnicim, odstranime-li z obou rovnic vždy jednu neznamou a fešime-li takto utvofenou rovnici o jednč nezname. Ze dvou rovnic k' sobe pfinaležejicich odstraniti jednu ne¬ znamou slove tuto neznamou vyloučiti. §. 225. Uživa se zvlašte tfi zpusobu vylučovacich: 1) Zpftsob srovnavaci. Z obou rovnic určime tutež ne¬ znamou, srovname obč hodnoty a fešime takto utvofenou rovnici, kteraž obsahuje již jen druhou neznamou. Jsou-li vflbec dany rovnice ax + by = c, a'x + b'y = c', 159 obdržime z nich ax y = b c' — a'x _ c — by x = b'y. b' • a' ’ pončvadž pak x a, y musi v obou rovnicich miti tutčž hodnotu, bude c — ax c' — a'x b “ b' rešime-li nyni tyto rovnice, bude b'c — bc' by _ b'y x — ab' — a'b’ y ab' — a'b' 2) Zpfisob dosazovaci. Zjedne rovnice určime hodnotu nčkterč nezname a dosadime ji do druhe rovnice, čimž obdržime opčt rovnici o jednč nezname, kterou režime. Jsou-li dany opčt rovnice dfivčjši, vyhledame z prvni c —• ax y = -b— a tuto hodnotu dosadime do rovnice druhč; bude pak c — ax b b'c — bc' ac' — a'c a'x + b' . - c', x = ab' a'b* z čehož plyne Podobne určime y. 3) Zpdsob rovnych součiniteldv. Zjedname nezname veličinč, kterou chceme vyioučiti, v obou rovničich rovnč sou- činitele, nasobime-li všccky členy primšfenym činitelem; novč rovnice sečitame aneb odčitame, jak totiž tito rovni součinitelč maji opačna aneb rovna znamčnka, konečnč fešime utvofenou takto rovnici o j e d n e neznamč. Mame-li z horejšich rovnic vyloučiti y, nasobme prvni ro¬ vnici součinitelem b‘, druhou pak b , čimž obdržime: ab'x -f bb'y = b'c, a'bx + bb'y = bc'. Odečteme-li druhou rovnici od prvni, bude ab'x — a'bx = b'c — bc', b'c — bc' z čehož x — ab' — a'b' 160 Vyloučime-li podobne z obou rovnic se, obdržime y. Dodatky. 1) Kterčbo z techto tri zpusobu vylučovaci<;h bychom meli s prospčchem použiti, o tom rozhodovati tfeba dle jakosti součinitelft neznamych veličin. Obyčejne určujeme hodnotu jedrne neznamč a dosazujeme ji pak do druhe dane rovnice, z čehož nasleduje hodnota druhe nezname. 2) Pfichazeji-li v danych rovnicich jen prevratne hodnoty neznamych, považujeme vlastnš tyto hodnoty za nezname a urču¬ jeme z nich dodatečnč puvodni nezname. U pr. + 7 = 1S - -1 = 4. y Položime-li — x x' a — = y', bude 2x' 5x' + 3y' = 13, — 2y' = 4, z čehož 1 x' = 2, y' = 3, protož x = Pf iklady. a y = 1 3 ' 1) 3x + 4y = 24 5x — 3y = 11 Z prvni rovnice x = fešiti zpusobem srovnavacim. 24 — 4y druhe protož 3 ’ 11 + 3y 24 — 4y _ 11 + 3y 3 “ 5 Dosadime-li tuto hodnotu y do vyrazu z čehož y = 3. _ 24 —4y obdržime x = 24 — 4.3 = 4. 3 ’ 3 Pfesvčdčime se pak, vyhovuji-li hodnoty x = 4 a y = 3 dan^m rovnicim, dosadime-li je do obou, čimž obdržime 3.4 + 4.3 = 24, 5.4 - 3.3 = 11 . 2) 6x — 13y = 48 2x + 3y 48 1 j rešiti zpusobem dosazovacim. 161 Z prvni rovnice plyne x liodnotu do rovnice druhe, obdržime 2 _ 48 + 13y 48 +-13y 6 dosadime-li tuto 6 + 3y = 16, z čehož y = 0. 48 4- 13v Dosadime-li hodnotu y do vyrazu x — - ~bude x = 48 + 13 . 0 6 8 . _ _ _j fešiti zpusobem rovnych součinitelfiv. Chceme-li nezname x zjednati rovnč součinitele, nasobme prvni rovnici činitelem 3, druhou pak 2; bude tedy 12x + 57y = 33 12x 10y 34 rozdil obou rovnic da 67y = 67, tudiž y = 1. Dosadime-li,tuto hodnotu y do prvni dane rovnice, obdržime 4x ■+■ 19 = 11, z čehož x == — 2. 4) x + y = s l součet obou rovnic da 2x = s + d, x — y = d J jicb rozdil vsak 2y = s — d, protož x s + d y = §. 226. Z obecnych rovnic ax -)- by = c, a'x -j- b'y = c' vyhledali jsme hodnoty neznamych _ b'c — bc' _ ac' — a'c x — ab' — a'b’ ^ ~ ab' — a'b’ z nichžto vysvita, že v nčkterych pripadech dane rovnice se ne- hodi k určeni neznamych v nich prichazejicich. 1) Ilodnoty cc a y jsou neurčite, jestliže ab' = a'b a b'e =e bc', tudiž a : a' = b : b' a b : b' = c : c', z čehož take plyne a : a' = c : c' čili ac' = a'c, pončvadž pak x = -q- a y = To byv& pokaždč, je-li rovnice jedna z a vi sl a od Močnik-Hora, Algebra. li 162 druhe. Nebof položime-li a : a' = b : b' = c : c' = m, tedy a = a'm, b = b'm, c = c'm, dane rovnice nabyvaji podoby: a'mx + b'my = c'm, a'x + b'y = c', z čehož patrno, že prvni rovnice plyne z druhe pouhym pretvo- fenim, totiž nasobenim čislem m, t. j. prvni rovnice jest zavisla od druhe. 2) Obe rovnice nepfipouštčji konečne fešeni, je-li jmeno- vatel v horejšich hodnotach neznamych veličin = O, a liši-li se čitatelč od nully, t. j. ab' = a'b, čili a : a' = b : b', ale jsou-li b'c a bc', a taktež ac' a a'c nerovny; nebot pak x = CO a y = oo. To b^va pokažde, je-li rovnice jedna na odpor druhe. Nebof položime-li a : a' = b : b' = m, čili a = a'm, b = b'm, dane rovnice nabyvaji podoby: a'mx -f- b'my = c, a'x -f- b'y = c'. Z toho by plynulo c = c'm, což však odporuje podmince, že b'c ^ bc', tedy c ^ , aneb c ^ c'm. Z rovnic o dvou neznanrfch lze tedy určitč vyhledati hodnoty tčchto neznaurpch jen tehdy, ne z a vi s 1-1 i jedna rov¬ nice na druhe a neni-li jedna na odpor druhč. §. 227. K určeni tri aneb nčkolika neznamych musi byti dano tolik rovnic vzajemne nezavislfch a sobč neodporujicich, kolik jest v nich neznamych. Mame-li Tešiti soujem nčkolika k sobč naležejicich rovnic o temž počtu neznamych, použijeme zphsobu, uvedenych prve pri fešeni rovnic o dvou neznamych. Vyloučime totiž z danych rovnic nčkterou neznamou, čimž odstranime zarovefi jednu rovnici; z tčchto novych rovnic opčt vyloučime jednu neznamou, a tak pokračujice obdržime poslez jedinou rovnici o j e dne nezname, a z tč pak vyhledame hodnotu tčto neznamč. Nalezenou hodnotu dosadime do jednč z obou rovnic nej- bliže pfedchhzejicich, čimž obdržime druhou neznamou. Obč hodnoty takto vyhledane dosadime do nčktere z predchazejicich tfi rovnic a t. d., až konečnč určime hodnoty všech neznam^ch. 163 Pffklad. 8x + 5y + 2z = 24 6x — 3y + z = 3 4x + 9y — 6z = 4. Dle zpfisobu srovnavacfho obdržfme: _ 24 — 5y — 2z ( 24 — 5y — 2z _ 3 + 3y — z 8 x — 3 + 3y — z x = 4 — 9y + 6z , protož ■f 8 3 + 3y 6 — 4 — 9y -f- 6z Žešfme-li poslednf dvd rovnice dle y, obdržfme 60 — 2z y = y = 27 6 ■ 33 . 60 —2z _ 6 -j- 20z + 20zi' P r0 *°^ 27 — 33 z kterdžto rovnice plyne z = 3. Dosadfme-Ii tuto hodnotu z do ndktereho vyrazu bezpro- stfednš pfedchazejfcfho, bude 60 — 2 . 3 y - 27 ~ 2 ' Konečnd dosadfme obd vyhledane hodnoty y a z do ndkte- reho vyrazu nezname x, u pr. do x = — 1 -, čfmž ob¬ držfme 3 + 3.2 ~ 6 1 . (Kterak byste rešili dane rovnice zpfisobem dosazovacim aneb zpftso- bem rovn^ch součiniteluv ?) 3. Použitl určitjch rovnie prvniho stupnd. §. 228. V každe uloze, necbf se jedna o jednotlivy pffpad zvlaštnf, aneb nechf jest všeobecnš postavena, udany jsou jakesi podmfnky, jimž hledana čfsla musejf vyhovdti. Algebra pak pfi fešenf uloh kond, prači trojf: 1) Sestavuje jednu aneb nekolik rovnie k sobš n&leže- jfcfch, t. j. pfevadf podmfnky vyslovend v uloze z mluvy oby- čcjnd do algebraicke. 11 * 164 2 ) Seši rovnice sestavene. 3) Vyšetfuje čili rozebira vyhledany v^sledek, t. j. pfevadi jej z mluvy algebraicke do obyčejne. O sestavovani rovnic neni obecnych pravidel; tu jest za- potfebi zvlaštš dfimyslu a mnohonasobneho cvičeni. Začatečnici mohou se aspofi pončkud fiditi nasledujicim pravidlem: Považuj danou ulohu prozatim za rozfešenou, a jednej s neznainou, jak podminky v uloze vyslovene toho požaduji; tim zpfisobem ob¬ držiš dva rozličnž sestavene vyrazy teže veličiny, ktere srovnany dajl rovnici žadanou. Eovnice feši se pak nekterym zpfisobem již uvedenym. Vysledek musi se naležitč vyšetriti, chceme-li odpovčditi mluvou, kterouž otazka byla podana. Rozbor ten je zvlaštč tehdy dfiležity, je-li vysledek všeobecny aneb zaporny. §. 229. tTlohy. 1) Ma se vyhledati čislo, jehož polovice a tčetina dohro- mady da 25. X X Hledane čislo jest co, jeho polovice tfetina pak g, tedy dle podminky ^ , 2L _ ' 2 5 z čehož plyne x = 30. Zkouška. ~y -1—3- = 2o. 2) A jest a rokfi, B však 6 roku star; za kolik rokfi bude A dvakrate starši nežli B ? Za x rokfi bude A star a -f- x, B však b + x rokfi, protož a + x = 2 (b + x )i 2 čehož x = a — 2 b. Je-li a < 2b, bude x = — (2b — a), tedy x zaporne. Ale zaporny počet rokfi nema smyslu, tudiž v tomto pfipadč fešeni dane ulohy nemožne. Dosadime-li však v horejši rovnici — x misto x, obdržime a — x = 2 (b — x), x = 2 b — a. Tažeme-li se tedy: P f e d kolika lety byl A dvakrate starši nežli B? p]yne odpovčd z posledni rovnice x = 2b — a, t. j. pred 2b — a lety. 165 Zaporny vysledek rovnice prvnfho stupnč, klad n e vzat, vy» hovuje tedy jine rovnici, kterouž obdržfme z rovnice prve, zme- nfme-li znamenko veličiny nezname, a muze obsahovati rozfešenf ulohy, v nfž otaznč čislo dane ulohy vzato jest ve smyslu opačnem. 3) Dvž tčlesa K' a K", kteražto v prfmce tymž smč- rem se pohvbujf rvchlosti c a c', prochazejf současnč body A' a A"; leži-li A' o d jednostf delky za A", v kolika jednostech časovych (T) obe tčlesa se dohonf? K' probčhne za T jednostf časovych drahu c' T jednostf delky, K n Ti r «rp Kdy tčlesa se dohonf, bude draha, kterou probčhlo K', o d jednostf delšf nežli draha tčlesa K", čili e' T - c" T = d, z čehož Ro zb or. a) Pokud c' > c", jest T kladnč, t. j. telesa do¬ honf se v čase určitčm. Je-li c' = c", čili c' — c" = 0, bude T = oo, tčlesa dohonf se za nekonečn^ počet jednostf časo- v^ch, t. j. jedno tčleso nikdy nedospeje k druhčmu, což jest patrno proto, že zustava jedno za druhym vždy v teže vzdale- nosti. Vysledek jest n e m o ž n y. Je-li v tom pffpadč take d = 0, t. j. prochazejf-li obč tčlesa zaroveh frfmž bodem, bude T = vysledek jest neurčity, t. j. tčlesa jsou neustale po- spolu, čili jedno dospčje k druhemu ve všech po sobč jdoucfch jednostech časovych až do nekonečna. Je-li konečnč c' < c", bude T = —, r ~— 7 , z čehož plyne, že ulohu nelze fešiti tak, C c jak byla dana, což jest patrno proto, že pfednf tčleso rychleji se pohybuje nežli zadnf, tudiž obč nejen že se nikdy nedohonf, nybrž vždy vfce od sebe se vzdalujf. Chceme-li ostatnč i zaporne hod- notč T dati vyznam, treba jest v danč uloze tazati se ve smyslu opačnčm: pred kolika jednostmi časovymi obč tčlesa byla se dohonila? Zaporna hodnota T, kladnč vzata, da pak rozrešenf takto zmčnčnč ulohy, vyjadfujfc, že obč tčlesa pfed jednostmi časovymi byla se dohonila. 166 b) Položime-li — d misto d, t. j. leži-li bod A' pred A" smčrem pohybu, obdržime T — - t — < ^ ; i = — -—,; vysledky C C C c v a) vybledane pro K', A', c' maji tedy platnosf vztažnč o K", A', c" a naopak. c ) Položime-li konečnč tčleso K" proti K', bude T c“ misto c", t. j. pohybuje-li se Je-li d ldadnč, zna- c' + c*' - mena T určite, z a kolik jednosti časovyeb obš tčlesa se setkajl. Pfi d = O bude i T = 0, t. j. pohybuji-li se tčlesa současnč z tebož bodu, jsou prave na počatku pohybu pospolu. Je-li d zaporne, bude T = — ^kteražto zaporna hodnota zna- C —j— c mena, že obč tčlesa byla se setkala pfed c' + c“ jednostmi časovymi. Určime-li z horejši zakladne rovnice jinou obecnou veličinu, bude tim fešena jina uloba toho drubu. Algebraicke rešeni obecne ulohy neodpovida tedy pouze na otazku bezprostfednš podanou; nybrž podava zaroven rozrešeni cele skupiny ulob jisteho druhu, ukazujic take vnitrni jich souvislosf. Zvlašte hod- noty zaporne Slouži k tomu, aby se zrušilo omezeni v uloze ob- sažene, načež tuto uplnč Ize fešiti co ulohu všeobecnou. 4) Čislo 58 ma se rozdčliti na dve Časti tak, aby jedna čast byla o 16 menši nežli druba. Znamena-Ji x včtši a y menši čast, musi dle podminkv x 4- y = 58 a x = y + 16, z kterychžto rovnic plyne x = 37, y = 21. Z teto ulohy Ize sestaviti take jedinou rovnici o j e dne nezname. Je-li totiž x včtši, 58 — x menši čast danebo čisla, musi x = 58 —■ x -f- 16, z čehož x = 37, tedy 58 — x — 21. 5) Mame dvč latky stejnorode; bodnota jednosti prvni latky = a, drubč pak = b. Smicbame-li obe latky tak, aby smšs ob- sahovala m jednosti, a každa tato jednosf aby mčla hodnotu c: mnoboli jednosti každe latky musime smichati? 167 Pfedpokladame, že hodnota smčsi rovna se součtu hodnot latek smišenych. Znamena-ii x ve smčsi počet jednosti prvni latky, y pak počet jednosti latky druhe, bude x + v = m, a ax + by = cm, protož Rešeni jest možne jen v tom pfipade, ma-li čitatel i jme- novatel v hodnotach x a y stejna znamenka, t. j. jen tehdy, je-li a > c > b nebo a < c < b, čili ležf-li c mezi a a b. Z hodnot x a y plyne pomšr obou mnohosti x : y = (c — b) : (a — c), na nčmžto se zaklada počet a 11 i gač n y. II. Nenrčitč rovnice prvnlho stupnč. §. 230. Nenf-li k určenf nčkolika neznamych veličin dano tolik rovnic, kolik jest neznamych, mužeme vyloučenim co možna nejvčtšiho počtu tčchto veličin obdržeti poslčze jedinou rovnici o dvou aneb nčkolika neznamych. Yyjadfime-li z teto rovnice jednu neznamou všemi ostatnimi, mužeme za tyto nezname do- saditi nekonečne množstvi rozličnych hodnot, čim take prvni ne- znama nabyva nesčiselneho množstvi hodnot. Takova rovnice o dvou aneb nčkolika neznamych slove tedy neurčita aneb takč diophanticka. Obyčejnč se požaduje, aby nezname, ktere mame určiti, vyhovčly zvlaštnim podminkam. Tak u pr. pri neurčitych rovni- cich prvniho stupnč se vyžaduje, aby neznamč byly čisla ce- listva, aneb celistvh a zaroveh kladna. Určeni neznamych celistvymi čisly. §. 231. Rovnice o dvou neznamych nelze rešiti celistvymi čisly, majf-li součinitelč nezndmych společneho činitele, jimžto znamy člen nenl dč- litelny. Budiž dana rovnice nejjednodušši podoby ax + by = c, 168 kde a, b, c jsou celistva čfsla kladna aneb zaporna. Md-li a i b společnou miru m, kterou c nenf dčlitelno, bude a , b c m • x + m y = m & b pončvadž pak —, — jsou čfsla celistva, nemohou neznatne sl b x a y byti take čfsla celistva proto, že by pak — . x + — • y, tudiž i — musela byti čfsla celistva, což jest na odpor pod- mfnce. Všta pravč dokazana vztabuje se take k rovnicfm o neko¬ lika neznamych, proto pffštč budeme vždy pfedpokladati, že součinitelč neznamych jsou prvočfsla vespolek. §. 232. 1) Z rovnice o dvou neznamych, jichžto součinitele jsou prvočfsla vespolek, lze vždy ur- čiti nezname celistvymi čfsly. Z rovnice ax + by = c, v nfžto a vždy mužeme považovati za kladne, plyne x = c ~M . a Dosadfme-li zde za y pofadem a hodnot 0, 1, 2, 3, . . . a — 1, bude mezi prfslušnymi hodnotami x zajistč jedna, ale takč jen jedna, kteraž jest čfslo celistvč. * Nebof dčlfme-li a hodnot čftatele c — by, kterež obdržfme tfm dosazenfm, čislem a, musejf zbytky pfi dčlenf tom pricM- zejfcf vesmčs byti rozlične. Jsou-li totiž m a n kterakoli z čisel 0, 1, 2, 3 . . .a — 1, a da-li c — bm i c — bn dčleno a zbytek tentyž, tak sice, že by c — bm = aq + r a c — bn = aq, + r, obdrželi bychom odčitanim prvnf rovnice od druhe b(m — n) = a(q, — q) aneb ^—— = q, — q. 8 » Součin b(m — n) musel by tedy byti dčlitelny čfslem a, což dle §. 74., 4) nemožno proto, že b a a jsou prvočfsla ve¬ spolek, m — n však menšf jest nežli a, tudiž rozdfl ten nemfiže 169 b^ti dčlitelny člslem a. Zbytky, kterež obdržlme, dčllme-li tčch a bodnot čltatele c — by člslem a, musejl tedy b^ti vesmčs rozlične; ponšvadž pak každy z nich jest menšl nežli a, musl nšktery se rovnati nulle. Odpovlda-li pak /3 jakožto hodnota nezname y, zbytku 0, bude kde a predstavuje čislo celistve. Dane rovnici vyhovuje tedy dve hodnot x = cc, y = P- Dodatek. Je-li součinitel jednč neznamč = 1, u pf. v rovnici x + by = c, budou bezprostfednč y = O, x = c hodnoty neznamycb, vyjadrene člsly celistvymi. 2) Je-li v rovnici o dvou neznam^ch jedna hod¬ nota každč nezname veličiny čislo celistve, možna určiti obč nezname nesčlsln^m počtem čisel ce- listvych. V rovnici ax -f by = c budiž x = a a y = /3, kde « a /S jsou čisla celistva, tedy aa + b/3 c. Pfipočteme-li a odečteme-li v levem dllu abu, kde u znači kterčkoli celistve čislo kladne aneb zaporne, bude au -f- abu + b/3 — abu = c, čili . a(a -f bu) -f b(/3 — au) = c, z čehož plyne, že danč rovnici vyhovujl vubec hodnoty x = a -f bu, y = /3 — au. Je-li v rovnici ax — by = c opet x = a, y = sr, budou taktež vyrazy: x = a + bu, y = /3 + au, kde pomocna neznama u jest kterekoli čislo celistve, značiti všecka možna čisla celistva jakožto bodnoty neznamych. §. 233. tJloha. Z dane rovnice m a se bodnota obou neznamych určiti č 1 sIy celistvymi. I. Zpbsob. Určlme z rovnice hodnotu neznamč, jejlžto součinitel ma menši hodnotu člselnou, a v tom vyrazu dosadlme za druhou neznamou poradem čisla 0, 1, 2, 3 . . . . , až pri nškterem tom dosazenl obdržlme celistve čislo jakožto hodnotu prvnl nezname. 170 Tento zpusob rešeni zaklada se na dflkazu v §. 232., 1). Pri klad. Budiž dana rovnice 4x — 7y = 75, tedy _ 75 + 7 y x _ 4 . Dosadime-li zde za y jednu ze čtyr hodnot 0, 1, 2, 3, ne- ktera pfislušna hodnota * bude revna čislu celistvčmu, z čehož patrno, že tu postači nejvyš pokusy čtyry. Pfi y = 3, bude 75 -f- 21 _96 4 x = = ~ = 24. Dane rovnici vyhovuji tedy hodnoty neznamych: x = 24, y = 3, jakož i všecka celistva čisla, vyjadfena vzorci x = 24 + 7u, y = 3 -f- 4u, kde u znači kterčkoli čislo celistvč. Tento zpflsob rešeni jest velmi rozvlačny, jsou-li součinitele obou neznamych čisla velika. II. Zpdsob. Bešime rovnici dle nezname, ktera ma men- šiho součinitele, a podil rozvedeme na celč a zlomek. Tento zlomek pak učinime rovny nove nezname, rešime takto utvofenou rovnici dle druhe neznamč, počiname sobč s vyhledanym podilem jako s predešlfm, a tak pokračujeme, až obdržime rovnici se součinitelem 1. Tuto rovnici rešime (dle §. 232., 1. dod.) a vy- hledane hodnoty dosazujeme po sobč do všech rovnic pred- chazejicich. D uk a z. Je-li dana rovnice ax + by =: c, kde a < b, obdržime nejprv x = C -—. Delime-li čislem a, bude podil Sl celistvč čislo tvaru m — ny, kde m takč se mflže rovnati nulle, zbytek pak bude miti podobu c, — b^, kde c, rovnčž muže byti roven nulle; pročež , c, — b,y x = m — ny -j— -— . Si Neznamč »a y museji byti čisla celistva, tedy take vyraz C ' čislo celistvč u pf. u t , tedy —— = u, a x = m — ny + u,. 171 Uvedeme-li rovnici b,y n, na podobu au, -f- b,y ~ Cj, a odvodime-li z m, jako prve z dane rovnice, novou rov¬ nici pomocnou, bude pri tom počet ndsledujici, jestliže pfi nove rovnici si počiname jako prvč: ax + by = c da x = a c, -- au, by . c, — = m — ny -j— •b,y _ •b,y = m — ny + u, Uj aneb au, + b,y = c, da m, — n,u, + b a u, _ J “ b, 1 111 b, Ci , = U;, aneb b,u 3 -f b a u, == c, Co llo | Co b*{Un ~ —-- 1 _~ — m - n n _J_ ±®± m. da m 2 — n 2 u 2 + a t. d. m» n, n, + u s n*u 2 + u 3 Ze zpfisobu, jak se počet kona, plyne, že jest b, zbytek pfi dčleni b : a, b* » h b n : b,) b 3 „ » » bj ; b 2 , a t. d. Součinitelč po sobč jdoucich rovnic pomocnfch rovnaji se tedy zbytkum pfi dčleni, kterež obdržime pfi vybledavani nejvčtši společne miry čisel b a a (§. 86., 2). Pončvadž pak a a b jsou pročisla vespolek, musi nutnč jeden z tčchto zbytkfl = 1; ob¬ držime tedy zajiste nekdy pomocnou rovnici, v nižto součinitel neznamč veličiny = 1, ktera tudiž bezprostfednč podava roz- fešeni v čislech celistvycb. Z toho pak po sobč jdoucim dosa- zovanim obdržime konečnč Medane hodnoty neznamycb v dane rovnici. Je-li b < a, určime z puvodni rovnice ax + by = c nejprv y, načež provedeme počet jako dfive. Priklad. Z rovnice 105x - určiti celistvymi čisly. 105x - 43y = 17 dd y = 43y = 17 maji se neznamč 17 » = 2x + Ita 43 43 — Uj^ ^ 172 19x — 17 43 5u, + 17 19 — u da x — ^ U| ^ — Uj aa x — 2u, + 5u, + 17 19 = u 2 da u, — 19u, 17 = 2u, + u 2 , — 3u s — 3 -f- 4u s - 2 4u„ 5 + 2 _ i= u, da u„ = 5u„ — 3u 2 — 3 + u 3 , ^ = ■. + =■ + 2 = u 3 + u 4 , 3 -4—— = u 4 da u 3 = 4u 4 2 . 2; pak Teto posledni rovnici vyhovi u 4 = O a u 3 = bude z pfedchazejicich rovnie posloupnč u 2 = — 2, u, = — 11, x = — 24, y = — 59, a všeobecne rozrešeni celistvymi čisly bude dano vzorci x = — 24 + 43u, y = — 59 + 105u, kde u mflže byti kterekoli čislo celistvč. Tytšž obecne hodnoty neznamych x a y obdržime take bez fešeni rovnice u a = 4u 4 — 2, dosadime-li ihned rovnici tuto do rovnie pfedchazejicich. Pfi u = jest x = y = III. Zpflsob. Mame-li z rovnice ax + by = + c, kde a, b, c jsou čisla kladna, určiti neznatne celistvymi čisly, pro- ve zlomek retčzovy a vypočitejme jeho pfedposledni mčfime zlomek približny + 1 , čili aq — bp —. Pončvadž -— — , , q b q bq = + 1 (§. 124.), tudiž i acq — bcp = + c, maji neznatne ve- lieiny x a y prostč hodnoty cq a cp s tšmi znamenky, ktera s ohledem na znamčnka v danč rovnici vyhovuji jednostejne rovnici acq — bcp = + c. Pfiklad. Z rovnice 9x + 29y = 15 mame určiti ne¬ znatne celistvymi čisly. 173 9 4 9 sledni pfibližnf zlomek , Pončvadž lo Ad Promšnme ve zlomek fetezov^ a vypočitejme pfedpo- 4 _ -f- 1 . 13 ~ 29.13’ C 9 . 13 — 29.4 = + 1 a 9.13 . 15 — 29.4.15 = 15, da ,x = 13 . 15 = 195 a y = — 4.15 = — 60 rozrešeni rov- nice čisly celistvymi, a co všeobecne rozfešeni pak obdržime x — 195 + 29u, y = — 60 — 9u, kde pomocnži neznama u znači kterekoli čislo celistvč. Pfi u bude x y §. 234. tli o ha. Z rovnice o vice nežli dvou ne- znamych maji se neznamč určiti čisly celistvymi. Použijeme zpusobu odftvodnčneho v §. 233., II. pro rovnici o dvou neznamycb. I zde obdržime konečnč rovnici, v nižto součinitel neznamč = 1, naležitym dosazenim pak vyhledame obecne vyrazy neznamych veličin v dane rovnici, v nichžto však nepfichazi vždy, jako prve, pouze jedna pomocna neznama. Priklad. Z rovnice 4x + 6y ■+■ llz = 106 maji se ne¬ znanje určiti celistvymi čisly. Obdržime 106 — 6y — llz 2 x = 26 — y — 2z + 26 — y — 2z + u,. 2y — 3z 4 y = Rovnice 2— 3z - 2y — 3z = u, da 4u, ~ 1 — z — 2u ( = 1 —z — 2u,- Protož z 2 = u 2 , z čehož z = 2u s . z = 2u a , y = 1 — 2u, — 3 u 2 , x, y, x = 25 -f- 3u, — u 2 Dosadime-li za Uj a u 4 kterakoli čisla celistva, neznamč z budou vyjadreny čisly celistv^mi. 174 Pfi n, = a u a = bude x = y = z = Určeni nezn&mych celistvymi čis 1 y kladnymi. §. 235. tTloha. Z rovnice o dvou aneb n č k o 1 i k a neznam^ch maji se neznamč určiti celistvymi čisly kladn^mi. *) Ustanovime nejprv obecne rozrešerri čisly celistvymi, a omezime pak libovolnč hodnoty pomocnč nezname tak, abychom jich dosazenim obdrželi v hodnotž každe hledane nezname součet zapornych členu menši nežli součet členu kladnych. Pfikladv. 1) Z rovnice 13x -f- 19y = 356 maji se ne- znamč určiti celistv^mi čisly kladnymi. 13x + 19y = 356 da x - 356 ~ 13 = 27 - y + 6y 13 = 27 - y + = - * = — 2u, + u s , 5 — u, _ „ -g—i- = u 2 „ u, = 5 — 6u a . Rozfešeni čisly celistvymi bude: j — — 10 + 13u„ x = 42 — 19u a . Ma-li tedy y byti kladne, mu si pfi kladnem u s byti 10 < 13uj, čili u 8 > jg- j naž-li x byti kladnč, musi 19u s < 42, tedy Uj < yq- Tžmto dvčma podminkam vyhovuje jen dve hodnot: D, = 1 a a, = 2, Pfi každč zapornč hodnotč u s bude y take zapornč. Rovnice dana pfipoušti tedy jen dvoji rozfešeni celist- vymi čisly kladnymi: pfi u 2 = 1 bude x = 23, y = 3, „ u, = 2 „ x = 4, y = 16. *) Rešeni takove jest vždy možne pfi rovnicich tvaru ax — by = c, kdežto pfi rovnicich tvaru ax + by = c jen tehdaž, když a + b < c, jelikož i nejmenši positivnč čislo 1 v opačnčm pfipadš vede k nemožne rovnici a + b = c. 175 2) Z rovniee 13x -J- 17y =s 77 maji se nezname určiti celistvymi čfsly kladnymi. Rovniee rozfešena celistvymi čisly da x ~ 2 -j- 17u a , y = 3 — 13u 3 . Ponšvadž x pfi každe kladne hodnotč u 3 bude kladne, treba jest omeziti u 2 jen s ohledem na y; ma-li však y byti 3 kladne, mu si 13u s < 3, čili u 2 < Pfi zapornych hodnotach u 2 bude sice y vždy, x však jen tehdy kladne, je-li 17u 2 < 2 2 2 3 čili u 2 < -r=-. Hodnoty u, leži tedy mezi .— a ale po¬ li 1 t lo nevadž za u a smime dosaditi jen čisla celistva, obdržime * a y kladne a celistvč jedine pfi u 2 = O, t. j. x = 2 a y = 3. 230 3) Zlomek 77 ma se rozvčsti v součet dvou zlomku, z nichžto jeden ma jmenovatele 7 a druhy 11. Jsou-li x a y čitatelč hledanych zlomku, bude + pr = W čili llx + 7y 130. Tato rovniee rozfešena celistvymi čisly da x = 5 — 7u 3 , y = 25 + llu 3 . Ma-li * a y byti kladne, musi pfi kladnveh hodnotich u 3 5 b^ti 7 u 3 <5, čili u 3 < ~y, pfi zapornych hodnotach u 3 však 25 " llu 3 < 25, čili u 3 < jj-; hodnoty u 3 museji ležeti mezi 5 a -y, mohou tedy byti jen — 2,-1, 0. Protož obdržime pfi u 3 = — 2 . . . x = 19, y = 3; n u 3 = — 1 . . . x = 12, y = 14; „ u 3 = O ... x = 5, y = 25; 19 3 7 a 11 25 11 hledane zlomky jsou pak -=- a , 12 14 aneb T a lT aneb 25 H' 4) Z rovniee 7x + 22y -f- 30z = 103 maji se nezname určiti celistvymi čisly kladnymi. 176 Rozrešeni celistvymi čfsly jest: x — — 1 -4- 2z + 22u,, y — 5 — 2z — 7u r Pri kladnych hodnotach u, bude x vždy kladne, pončvadž s ma byti kladne; ma-li pak y & z byti take kladne, musl dle rovnice y = 5 — 2z — 7u, čili y + 2z = 5 — 7u, vyhovčti se podmince 7u, < 5, Čili u, < -y. Chceme-li obdržeti mez zapornych bodnot u,, vylučme z hofejšich rovnic z, čimž obdržime x + y = 4 + I5u r Ma-li tedy x & y byti kladne', inusi I5u, < 4, 4 4 5 čili u, < jjr. Z toho jde, že u, musi ležeti mezi — ^ a y, tudiž u, = 0. Položime-li nyni v rozfešovacich rovnicich u, = 0, bude x = — 1 + 2z, y = 5 — 2z, z kterfchžto rovnic plynou pro z meze 2z > 1 a 2z < 5, čili 1 5 z > a z < -jr-. Za z lze tedy dosaditi jen 1 a 2, čimž ne- A A znamč v danč rovnici nabudou dve hodnot celistv^ch a kladnych, totiž: z = 1, x = 1, y = 3, a z = 2, x = 3, y = 1. III. Určitč rovnice druhčho stupne. 1. Rovnice druheho stupne o jedne nezname. §. 236. Obecna podoba sporadanč rovnice druheho stupne jest px a + qx = r, aneb, dšlime-li oba dily rovnice součinitelem p, x= + -i- x r T Položime-li q a a — = b, obdržime obecnou podobu p p rovnice druhčbo stupnč, již budoucnč vždy použijeme x s -p ax = b. Pfesnč rovnice druheho stupnč. §. 237. Položime-li v obecnč rovnici druheho stupnč x 3 + ax = b a = O, obdržime x s — b jakožto obecnou podobu spofadane presne rovnice druhebo stupnž. 177 Dobudeme-li z obou dM teto rovnice druheho korene, bude Pfesna rovnice druheho stupnč ma tedy dva protivne ko¬ renja; je-li b kladne, oba jsou realne, je-li b zaporne, oba jsou pomjslne. Pfiklady. ? = + V"9 = ± 3. x = + yl>. x = + V— 7. Smišene rovnice druheho stupnč. §. 238. Obecna podoba spofadanč smišene rovnice dru¬ heho stupnč jest Doplfime prvnf dll do uplnč druhe mocniny dvoučlenu tim, že k obema dflum pfipočteme čtverec polovičneho součinitele Ve spofadanč smišene rovnici druhčho stupnč rovna se pak neznama polovičnčmu součiniteli prvni mocniny neznamč sopačnym jeho znamčnkem, + ko- fenu druhemu z algebraickčho součtu čtverce tčhož polovičnčho součinitele a členu znameho. Z toho vysvita, že i každe smišenč rovnici druheho stupnč vyhovuje dvč hodnot nezname veličiny. Je-li b kladnč, oba ko- a 2 . , . reny jsou realnč proto, že musi byti vždy veličina kladna. a 2 Je-li b zaporne, oba kofeny jsou tež realnč, pokud -j- > b; x = ±y b. x 2 — 15, x 2 — — 7, x 2 -f- ax = b. a dobudeme-li druhčho kofene z obou dilfi: 12 Močnik-Hora, Algebra. 178 pfi — = b dvoučlen pod kofenitkem rovna se nulle, oba ko- feny jsou realne a sobš rovny; pfi < b jsou konečne oba koreny pomyslnč. Pf iklady. 1) x s — 6x — 16. x = 3 + y/9 + 16 = 3 + V25 = 3+5; protož bud x = 3 -f 5 = 8, aneb x = 3 — 5 = — 2. Zkouška. 8* — 6 . 8 = 16 (— 2) 2 — 6 . (— 2) = 16. 2) x 2 + 7x + 12 = 0; spofadame-li rovnici, bude x 2 + 7x = — 12, z čehož x = x = X = 3) x 2 - X = 49 — 48 2^2 7_1^ 2 2 7x = 7. -_I + \/ i = _I+L ~~ 2 ^ y 4 2-2’ = — -g- = — 3, aneb _ 8 _ 2 = - 4. + V? + 7=ž±y«+*=5±vj?. 4) x 2 — 2x + 2 = 0; spofadame-li rovnici, obdržime x 2 — 2x = — 2. x = l + v / l-2 = l±V / -l- Dodatek. Jsou-li v obecnč rovnici druhčho stupnš x* -f- ax = b znama čisla a a b neracionalna, u pf. a = VA a b = VB, ma-li tedy rovnice podobu x 2 + VA . x = VB, bude s = -^± v ; + VB. U pf. rovnice x* — 4xV2 = 3V3 da x = 2V2 ± V 8 + 3V3. 179 Ze všech rovnic tohoto druhu obdržime vyraz, jehož podoba jest y/p ± y^q. Vyraz takovy určime, t. j. dobyvame druhčho kofene z neracionalnčho dvoučlenu dle §. 182. §. 239. Obecna podoba rovnice druheho stupne na nullu uvedene jest x* -f- Ax + B = 0. Prvni dil x 2 -f- Ax + B slove v tomto pfipade tfičlen r ovnicovy. Je-li m koren rovnice x 2 -f- Ax -f B = O, jmenuje se (x — m) čini tel korenovy. 1) Tfičlen rovnicovy každe rovnice druheho stupnčjest dčlitelny činitelem kofenovym. (x 2 + Ax + B) : (x — m) = x + (A + m) x 2 — mx — ~h _ (A -j- m)x + B (A + m)x — Am — m 3 — _ + ~l~ zbytek = m 2 + Am -f B Ale m jest kofen danč rovnice; dosadime-li jej za x, uvede tričlen *x 2 + Ax + B na nullu, t. j. m 2 + Am + B = 0, pročež (x 2 + Ax + B) : (x - m) = x + (A + m). 2) Každa rovnice druhčho stupnč ma pouze dvč kor e n h. Položime-li v horejšim vyrazu (x 2 + Ax ■+ B) : (x — m) = x -f- (A + m) A + m = — n, bude (x 2 + Ax + B) : (x — m) = x — n, pročež x 2 -J- Ax + B = (x — m)(x — n). Ponevadž vyraz x 2 + Ax + B nejen pri x = m, nybrž i pfi x = n pfechazi v nullu, jest nejen m, nybrž i n kofen rovnice x 2 -f- Ax -f B = 0. Kdyby rovnice x 2 -f- Ax + B = O mčla ještč tfeti kofen ; p , jenž by se lišil od m a n, musel by součin (p — m)(p — n) = O, což nemožno proto, že v tom součinu žadny činitel neni roven nulle, součin však, jehož činitele se lisi od nully, nemhže se rovnati nulle. 12 * 180 3) Tričlen rovnicovy každč rovnice druhčho stupnč rovna se součinu korenovych činitelfi. 4) Součinitel druheho členu rovna se součtu, a tfeti (znamy) člen součinu korend vzatych se zna- menky opačn^mi. Tyto dvč včty plynou z 2), pončvadž x 2 + Ax -f B = (x — m)(x—n) = x 8 —(m + n) x -f ( — m). (— n), tudiž A = — m — n a B = (— m). (— n). Dodatky. 1) Možno-li ve spofadane rovnici druheho stupnč znamy člen rozvčsti na dva činitele, jichžto součet se rovna součiniteli ®, obdržime zmčnou znamenek u obou činitelu ihned oba kofeny rovnice. Tak u pf. v rovnici x 2 — 5x + 6 = O jest -f- 6 součin čisel —2 a — 3, jichžto součet da —5; tato čisla s opačnymi znamenky, totiž -j- 2 a -f 3 jsou pak koreny dane rovnice. 2) Ma-li rovnice druheho stupnč podobu (ax — b)(cx — d) = 0, mužeme misto ni fešiti dve rovnic prvnlho stupnč: ax — b r 0 a cx - d r 0; kofeny tčchto dvou rovnic vyhovi zarovefi rovnici (ax — b)(cx — d) = 0. U pf. z rovnice (x—3)(x+5j —0 plyne x—3=0, x-f5=0, protož x=3, x=—5; z (2x—5)(3x—4)=0 „ 2x—5=0, 3x—4=0, „ x=^, x = ^. §. 240. tJlohy. 1) Ma se sestaviti rovnice dru¬ heho stupnč, jsou - li dany jeji kofeny. Budtež u pf. 3 a — 4 dane koreny, tedy čisla tato s opač- nymi znamenky daji součet = — 3 + 4= + 1, a součin = (— 3) . (+ 4) = — 12; bude tedy x- -f x — 12 = 0 hledana rovnice, jejiž koreny jsou 3 a — 4. 2) Vyraz, jehož podoba jest x 8 -f ax + b, ma se rozvčsti na Činitele. Položme x 2 + ax -f- x _-a+V^ ’- 2 b = 0; kofeny tčto rovnice jsou 4b — a — V/a* — 4b - ax 2 = - 1 -; 181 pročež dle §. 239., 3) , , , t / , a — \/a 2 — 4b\r , a + \/a 2 - 4b~| x 2 + ax + b = \x - y 2 -/[X -j- L — y 2 -J Mame-li u pF. x* — 3x — 28 rozvesti na dva činitele, položme x 2 — 3x — 28 = 0. Kofeny tčto rovnice jsou x, = 7, x, = — 4, protož činitelč korenovi x — 7 ax -f 4, a x 2 — 3x — 28 = (x — 7)(x -f 4). Dodatek. Ma-li se vyraz ax 2 -f- /3x -f y rozvesti na či¬ nitele, dame mu podobu a(x* -f- ^ x -f- a promčnime pak rov- nici x 2 + —x + — = 0 v součin dvou činitelfl, jejž nasobime a a ještč činitelem a. U pf. 9x 2 - 3x - 2 = 9(x 2 - lx - f) = 9(x + j)(x - f). §. 241. Dle 3. a 4. všty §. 239. pozname dle znamčnek kofenfi, jaka znamenka maji členy rovnice druheho stupnč, a na- opak dle znamčnek členil pozname, jaka znamčnka maji koFeny. a) Jsou-li oba koreny m & n kladnč, jest x 2 -f- Ax 4- B = (x — m)(x — n) = x 2 — (m -f- n)x + mn; jsou-li oba kofeny zaporne, jest x 2 + Ax -j- B = (x -4- m)(x -j- n) = x 2 -f (m -f- n)x + mn. Maji-li tedy oba kofeny stejna znamčnka, treti člen je vždy kladny, druh^ člen vsak zaporni aneb kladny, bucf že jsou oba koreny kladnč aneb zapornč. Maji-li oba koreny znamenka protivna, jest x 2 -f Ax -f B = (x — m)(x + n) = x 2 — (m — n)x — mn. V tom pripadč je tfeti člen vždy zaporny, druhj' pak za¬ pora^, je-li kladn^ kofen včtši nežli zaporny, v opačnčm pfipadč však je druhy člen kladny. 5) Je-li tfeti člen kladnč, koreny rovnice maji stejna zna¬ menka; dle znamčnka druheho členu soudime, jsou-li kladnč či zapornč, koreny maji totiž opččne znamenko druheho členu. Je-li tfeti člen zaporny, koreny maji znamčnka rflzna, a sice kladny kofen jest včtši aneb menši, je-li drub£ člen zaporny aneb kladny. 2. Určite rovnice druheho stupnč o nekolika neznamych. §. 242. Obsahuje-li rovnice druhčho stupnč nčkolik ne- znamych, lze tyto jako z rovnic prveho stupnč jen. tehdy určiti, 182 je-li dano tolik rovnic na sobč nezavislych a sobš neodporujicich, kolik neznamych ma se určiti. Žešime pak takovč rovnice ne- kterym zpflsobem vylučovacim (§. 225.), jimž konečne si opatrime jedinou rovnici o j e dne nezname. Tato posledni rovnice však prevyšuje druhy stupen, je-li z danych rovnic vice nežli jedna stupnč druheho; pak ji take nelze fešiti dle pravidel zde po¬ danih. Pf iklady. ^ X —bi z P^ s0 ^ em srovnavacim. Z tčchto dvou rovnic plyne: x = a — y x = _b^ y protož a — y = —, aneb spofadame-li, y 2 — ay = — b, z čehož y = -Y ± y \ - b, pročež x = + ^ b. Majice zretel k §. 239., 4) mohli bychom takš souditi takto: Jsou-li o veličinach x a y dany rovnice x-f-y = aaxy = b, mu- seji x a y bjti kofeny rovnice x 2 — ay -f- b = 0. 2) x - y = 7 j- zpflsobem dosazovacim. x* -f 2y® = 118 Dosadime-li vyraz x = y + 7, plynouci z prvni rovnice do rovnice druhč, bude (y ~h 7)® -f 2y s = 118, aneb spofadame-li: y® + = 23, kterežto rovnici vyhovuji kofeny y = 3 a y ~ — 3 23 3 ' Dosadime-li tyto hodnoty y do vyrazu x = y -f- 7, ob- 2 držime x = 10 aneb x = -s-. O 3) x : , j i —— 39 1 _ 39 } zpusobera rovnych součinitelfl. Sečteme-li a odečteme-li obž rovnice, obdržime 2x 2 = 128 2y® = 50 |, protož _ 9^ z čehož x = ± 8, v = + 5. 183 §. 243. V mnohych pfipadech vedou zvlaštni obraty dfive k čili než obyčejne zpusoby vylučovaci. Vyhledavše z danych rovnic nejprv součet, rozdil, součin aneb podil neznamych, určime teprv z techto veličin hodnoty neznamych. Pfikladj. 1) x 2 + y 2 = a xy = b. Nasobme druhou rovnici dvšma a spojme novou rovnici s prvni sečitanim a odčitanim; obdržime takto (x + y)* = a -f 2b, pročež x + y = ± y/ a + 2b, (x — y) 2 — a ■— 2b, „ x — y = + \/a — 2b, tudiž x — ± |-(\/a + 2t> -f \/a — 2b) y = ± iO/a+lžb — V a — 2b )- 2) x 2 -f- xy — ay y 2 + xy = bx. Uvedeme-li obč rovnice na podobu -f-( x + y) = a a ~r( x + y) = b > obdržime nasobenim a dčlenim tšchto rovnic (x + y) 2 = ab a (y) = -J, protož , z čehož bude b ’ _ — ab ± a \^ab _ ab + Kab X ~ a _ Z^b” a y— a —b 3) xy = a, xz = b, yz = c. Nasobme všecky tri rovnice a součin dčlme čtvercem rov¬ nice treti, tedy x 2 =: z čehož x = + ^/y. Podobnč obdržime y = ±V?.* = ±V^ Nasobime-li rovnici prvni a druhou, pak prvni a treti, ko- nečnč druhou a treti, a dčlime-li prvni součin rovnici treti, x + y= ±Kaba -V 184 druhy rovnici druhou a treti součin rovnici prvni, obdržime tytčž vysledky. 4) xy -f- xz = a, xy + yz = b, xz + yz = c. Položme xy = x', xz = y', yz = z', tedy x' + y' = a, x' -f- z' = b, y' + z' = c. Z toho plyne , a + b — c , a 4- c — b x = xy = —-; y = xz = —^- z' = yz — b+c—a protož dle 3) IV. Neurčitč rovnice druhčho stupnč. §. 244. Obecna podoba rovnice druheho stupnč o dvou ne- znamych jest Ax 2 -f- Bxv + Cy 2 + Dx + Ey -+- F = 0. Zde rozeznavame dvč hlavnich pfipadu: bud prichazi jedna neznama, u pr. y, jen v prvni mocninč, aneb obč neznamč pfi- chazeji v druhe mocninč. V prvnim pfipadč bude vyraz nezname veličiny y zavisly na a: a racionalny, v druhčm však neracionalny. V obou pripadech nesčislne množstvi hodnot x a y vyhovuje dane rovnici; ale počet vysledkfl byva omezen podminkou, že v rovnicich druheho stupnč, v nichžto jedna neznama pfichazi jen v prvni mocninč, x a y maji byti čisla celistva a kladna, v rovnicich však, v nichžto nezname pfichazeji v druhe mocninč, tyto maji byti aspoii čisla racionalna. Obtiže pri žešeni diophantickfch rovnic druheho stupnč jsou mnohem včtši a rozmanitčjši nežli pri rovnicich stupnč prvčho. Zde vyšetrime jen dfiležitčjši dlohy sem naležejici. 185 §. 245. til o h a. Z rovnice druheho stupnč o dvou neznamych, v nižto jedna neznama pfichazi jen v prvni' mocninč, maji se obč nezn&me určiti celist- v^mi čisly kladnymi. Pfichazi-li ?/ jen v prvni mocninč, rovnice druheho stupnč o neznamych oc & y mk podobu Ax 2 + Bxy + Cx + Dy + E = 0, kde A, B, C, D a E považujeme za čisla celistva, součinitele ne- znamych pak mimo to za prvočisla vespolek (§. 231.). fiešime-li rovnici dle y, bude — Ax 2 — Cx — E y ~ Bx + D aneb dšlime-li skutečnč, až zbytek neobsahuje x, obdržime vyraz nasledujici podoby: ? = mx + n + EFTd- Jsou-li m, n, p zlomky, a nasobime-li cely vyraz nejmenšim společnym nasobkem jejich jmenovatelfi, nova rovnice bude miti podobu: ay = bx + c + Maji-li pak x a y byti čisla celistva a kladna, musi nejprv d byti dčlitelno dvoučlenem Bx -J- D; rozvedeme tedy d na všecky jeho činitele, vezmeme pro x jen takovč celistve a kladnč hodnoty, pfi nichžto Bx + D jest činitelem čisla d, z tčch hodnot pak vybereme jen ty, jimiž take y stane se kladnym. Pfiklad. Z rovnice 2x 2 + 3xy — 4x — 2y — 20 = 0 maji se neznamč určiti celistvymi čisly kladnymi. 196 = - | x + + pr.« 3x — 2 9y 6x + 8 + 196 3x - 2‘ Vyhledame-li nyni všecky činitele čisla 196 (§. 84., dod.) a položime-li 3x - 2 = 1, 2, 4, 7, 28, 49, 98, 196, bude x = 1, f, 2, 3, 10, 17, T, 66 - 186 _ o x » 4- 4x 4- 20 Ve vyrazu y =- - J est j meno vatel kladny pri každe celistve a kladne hodnotš ®; ma-li pak i čitatel byti kladny, smjm e za x dosaditi jen takove celistvi a kladni hodnoty, kteri jsou menši nežli 5. Z hofejšich hodnot x lze tudiž použiti jen 1, 2, 3, čimž obdržime troji rozrešeni eelistvymi čisly kladnymi: x = 1, 2, 3; y = 22, 5, 2. §. 246. tj loka. Z rovnice druheho stupnš o dvou neznamych, z nichžto jedna pfichazi jen v druhe mocninč, maji se nezname určitičisly racionalnimi. Obecna podoba takove rovnice jest y 2 = ax s + bx + c. Provedeme fešeni teto rovnice jen pro nžktere pfipady jednoduchi. 1) Budiž a = m* uplna druha mocnina. Položme y = \/m 2 x* + bx + c = mx + p, tedy m 2 x s + bx + c = m*x l + 2mpx + p s , z čehož x = p b — 2mp kde p znači kterekoli čislo racionalni. Bude pak . mp- — mc , y = mx + P = b-2mp + " tedy racionalne. bp — mp 2 mc b — 2mp Je-li u pf. y = y/9x 2 + 5x + 3, obdržime x = ^ g kde za p lze dosaditi kterekoli čislo 5p — 3p 2 »y = 5 — 6p 5 racionalne mimo p = —. Pri p = 1 bude x = 2 a y = 7. 2) Budiž c = n 2 dplna druha mocnina. Položme y = \/ ax * + bx + n* = px + n, tedy z čehož plyne v _ 2np ax 2 + bx + n 2 ' = p*x* + 2npx + n 2 , = p* + n = °P'~ b P + “, a — p* ’ a y - 1 a — p* kde p znači nčktere čislo racionalni. 187 3) Dejme tomu, že vyraz ax 2 -f bx -f c Ize rozložiti na dva racionalni činitele, t. j. že rovnice ax l + bx -f- c = O ma dve korenil racionalnych. Jsou-li qx + r a sx -f t tyto dva racionalne koreny, po- ložme 7 — \/(qx + r ) ( sx + t) = p(sx + t), tedy (qx + r) (sx + t) = p*(sx + t) 2 , z čebožplyne a y = p(sx + t) _ p(qt — rs) e p 2 t — r q — p~s kde p značl kterčkoli čislo racionalne. 4) Možno-li ax 2 + bx -f c uvesti na podobu (mx -f- n) 2 + (qx + r) (sx + t), p 2 s položme y = v/(mx + n) 2 + (qx + r) (sx + t) = mx -f n -f p (sx + t), tedy (mx + n) 2 -f- (qx + J") (sx + t) — (mx + n) 2 + 2p (mx -j- n) (sx +1) + p 2 (sx -f1) 2 , z čehož plyne 2np + p 2 t — r p 2 (ns—mt)+ p(qt —rs)-fnq —mr X = q - ftnp -p V y = —- q — 2mp — ~p^s-* U pf. y = \/2x 2 + 4x + 3. 2x 2 + 4x + 3 = x 2 + 4x + 4 + x 2 — 1 = ( x +. 2) a + (x + 1) (x - 1). Obdržfme pak x=^ p 2 — 1 Pfi p - 2p — p s ’ 1 bude x a y _ 3p 2 — 2p + 1 = 1 a y 1 — 2p = 3. §. 247. tlloha. Z uplne rovnice druheho stupnč o dvou neznamych maji se určiti neznami čisly raci¬ onalnimi. Vyhledame-li y z obecne rovnice Ax 2 -j- Bxy -(- Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, obdržime y y = - Bx+ E \/ (Bx +E) 2 Ax 2 + Dx + F 2C - \ 4C 2 C ’ b ^ (Bx+E) ±V/(B a -4AC)x 2 +(2BE—4GD)x+(E*—4CF)} ? 188 a položlme-li B* - 4AC = a, 2BE — 4CD = b, E* — 4CF = c, bude y = { — (Bx + E) ± \/ax 3 -f- bx + T}. itešenl dane ulohy je tim tedy prevedeno na pfedchazejlcl nlohu (§. -246.), že se maji vyhledati všecky racionalne hodnoty *, pfi nichžto vyraz \/ax s + bx + c se stane racionalnem. V. Nčkterč rovnice vyššl a exponencialn& 1. Presne rovnice vyšši. §.248. Obecna podoba spofadane pfesn e rovnice vyššl (§. 222., 5) jest x m — a — O aneb x m = a. Rovnice tato, ktera slove tež dvoučlenova, reši se do- byvamm korene, protož obdržlme m x = \T‘d. Je-li m čislo sude, rovnice ma pfi kladnem a dva rovne, protivne kofeny realnč; je -li a zaporne, žadny kofen nenl realny. Je-li však m liche, obdržlme z rovnice vždy jeden realny kofen, jenž ma totčž znamčnko jako a. P f 1 k 1 a d y. 1) x 4 = 16 da x — + \h.6 = ± 2. 2) x 4 = — 16 „ x — ± f-16 = ±2\T-1. 3) x 3 = 16 „ x = jh.6 = 2\r2. 4) x 3 = — 16 „ x = \T — 16 = - 2V"2. Dodatky. 1) Pfi fešenl rovnice x m = a uvedli jsme pouze kofeny, jež určiti lze nekterym zpflsobem, o nemž posud bylo pojednano. Rovnice tato ma však vlastne m rozličnych kofenu, z nicbž jen jeden aneb dva mohou byti realnč, což dokazuje vyššl mathematika. Pfi rovnici x 3 — 27 = 0 mdžeme se o tom hned 3 presvčdčiti. Jest totiž x = y"27, tedy nejprv 3 co kofen rov¬ nice. Ale x 3 — 27 = (x - 3) (x a + 3x + 9), 18 » a x 3 — 27 bude se rovnati nulle, položime-li jednak x — 3 = O, jinak x 3 -j- 3x 9 = 0. Z x — 3 = 0 plyne x = 3, z x 2 -f-3x+9=0 však x -- V" — 3. Kovnice x 3 — 27 = O ma tedy A A tfi kofeny: o 3,3., „ 3 3 a 3 ' 2 2 ^ 3 a 2 2 ^ 3 * 2) Pončvadž každa hodnota x, ktera vyhovi rovnici x m = a, m jest zaroven hodnotou veličiny \A~a, bude patrno, že čislo vy- jadčenč touto korenovou veličinou mfiže miti take m rozličnych m m hodnot, tudiž jest V a vfraz o nškolika hodnotach. Pokud V a, je-li a čislo prostč, v III. Časti znamenal jen proste (celistve, lomenč aneb neracionalne) čislo, ktere povyšeno na mtou moc- ra ninu da a, byl tam Y& vyraz o jedne hodnotč. 2. VyšŠl rovnice, ktere lze uvesti na rovnice druheho stupne. §. 249. Vyšši rovnice, kterčž obsahuji neznamou v takovych dvou mocninach, že jeden mocnitel jest dvojnasobek druheho, lze vždycky uvesti na rovnice druheho stupne, položime-li nižši mocninu rovnu nove nezname. Uloha. Ma se fešiti rovnice x 2m + ax m = b. Položme x m = y, tedy x 2m = y~, a obdržime y 3 -f ay = b, z čehož Nahradime-li zde y zase hodnotou x m , bude rl , X ” = ~ 2 ± m * = V-T±V^ Je-li m liche, da každa realna hodnota y čili x m take realnou hodnotu x. Je-li však m sude, daji jen kladne hodnoty y realnč hodnoty x, a sice každa dvč hodnoty rovne a protivne; zaporne hodnoty y daji pomyslne koreny pflvodni rovnice. l/ ; -j- b, protož 190 U pf. x 4 - 13x* + 36 = 0. Položime-li x 2 = y, bude y s — 13y + 36 = O, z kterežto rovnice tedy y = 9 aneb y = 4. Plynou tedy z x a = 9 hodnoty x = + Y~9 = + 3, „ x s = 4 „ x = +1^4 = +2. - m 2m §. 250. U1 o h a. Mase rešiti rovnice V'x-i-a'V^x = b. Položme \ r x = y, tedy \ r x = y~, a obdržime y 3 + ay = b, z čehož y = V"x = — ± + b, a povyšime-li oba dily na mocninu 2mtou: = (-i ± Vt + b ) • U pf. yx — Yx = 2. 6 Položime-li \ r x = y, bude y ! - y - 2, protož y = fx = 2ay = fx = - 1, z čehož se obdrži x = 64 a x = 1, kteražto druha hodnota však rovnici puvodni nevyhovuje; kde včzi toho pfičina? 3. Rovnice exponencialne. §. 251. Exponencialne rovnice (§. 222., 2) lze ve zvlaštnich pripadech logarithmovanim uvesti na rovnice alge- braicke, kterč pak rešime znamym zphsobem. 1) Rovnice podoby a* = b. Ponevadž k rovnym veličinam naležeji rovne logarithmy, plyne z rovnice a 1 = b takč log (a 1 ) = logb, čili xloga = logb, z čehož _ logb log a ’ 191 Mame-li u pr. rešiti rovnici 5 r = 37, bude x log 5 = log 37, protož x = log 37 1-568202 — 2-24359. log 5 ” 0-698970 2) Kovnice podoby V~a = b. Logarithmovanim teto rovnice obdržime — . log a = log b, pročež loga = x logb, z čehož x - Mi logb' X Z rovnice y 2 = 10 plyne bodnota x = Ml - 0-30103. log 10 3) Rovnice podoby a 21 + pa 1 = q. Položime-li a 1 — y, obdržime y* + py = q, tedy = - f ± \/t + ^ 1 log (~f ±\/t + i) čehož loga U pf. Rovnice 4 2x + 5.4 X = 36 da pfi 4 1 = y y 2 + 5y = 36, z čehož y = 4 1 =4 a y = 4' = — 9; pročež x = = i. log 4 l°g ( 9) j egt gou j emn £ (komplex) Druha hodnota x log 4 proto, že logarithmus čisla zapornčho sklada se z časti realne a pomyslne (imaginarnč). x 2x 4) Rovnice podoby y& + p Vi = q. 2x Pfi yi = y bude y 2 -f- py = q, z kterežto rovnice = v a = -|-+\/t + 1’ log a pročež ‘log (-i±^+0 192 U pr.: Z rovnice 5\^64 — 6V~64 = 8 obdržime pri V"64 4 5y* — 6y = 8, protož y = 2 a y =-g-, načež _ l og 64 _ 6 log 2 _ “ 2 log 2 ~ 2 log 2 “ Druha hodnota x jest soujemna. Čast pata. Posloupnosti. §. 252. Žada čisel utvofenycb dle určitčho pravidla slove posloupnosf. Každe toto čislo jmenuje se člen posloupnosti. Čislo, udavajici, na kolikatem mistč stoji člen v posloupnosti, naz^ya se ukazov at elem toho členu. Posloupnost jest vzestupna aneb sestupna, jsou-li členy čim dale tim včtši aneb menši. Posloupnosf jest konečna aneb nekonečna, je-li počet členu určity aneb neurčity. Posloupnosf prokladati znamena, mezi dva a dva po sobč jdouci členy položiti určiOf počet členit, kterč s členy dane posloupnosti tvori opšt posloupnost tehož druhu. I. Arithmetickč posloupnosti. §. 253. Žada, v nižto rozdil sousednich dvou členu je tentyž, slove arithmeticka posloupnosf. Tento staly rozdil nazyva se rozdilem posloupnosti. Tak u pf. 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, . . . a 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32, 29, . . . jsou arithmeticke posloupnosti; v prve jest rozdil 3, v druhe — 3. 1) V arithmetickč posloupnosti každy člen se rovna členu prvnimu, zvštšenemu součinem z roz-^ dilu a o 1 zmenšenčho ukazovatele onoho členu. D ukaz. Znači-li vflbec a n člen a d rozdil posloup¬ nosti, jest a, =: a,, a 2 — a i + d, a 3 — a i + 2d, a 4 = aj + 3d, a t. d. Mocnik-Hora, Algebra. 13 194 Z počatečirfch členu posloupnosti vysvita tedy pravdivosf včty teto. Je-li však včta pravdiva pri kteremkoli členu a n , že totiž a n = 8i + (n — l)d, musi miti platnosf i o nasledujicim členu an.j.i; nebof a n +i = an + d = a i (o — 1) d -f- d = a, -f- ud. Z toho plyne obecna platnosf včty horejši. Vyraz a n = a! + (n —1) d slove obecn^ člen posloup¬ nosti proto, že z nčho Ize odvoditi všecky členy posloupnosti, do» sadime-li za n poradem 1, 2, 3, 4 . . . . 2) Součet počatečnych členi arithmeticke po¬ sloupnosti rovna se polovičnčmu počtu tčchto členu, nasobenemu součtem členu prveho a po- sledniho. D ukaz. Je-li a n nty člen posloupnosti, tedy a n — d člen pfedehazejici, a u — 2d opčt člen tento pfedehazejici a t. d. Znači-li s n součet n prvnich členi, jest Sh = a, +(a,-f- d)-f-(a,-J-2d)-f-...+ (a n —2d) + (a n —d)-f-a u . Napišeme-li členy v obracenčm pofadku, bude take s n — a n -4- (an — d) -j- (a n — 2d) -f-... .-f- (a, -f- 2d) -j- (a, -j- d) -j- a,. Pončvadž pak součet dvou a dvou členi pod sebou sto- jicich rovna se a, + a n , obdržime sečtenim obou vyrazi: 2sn = (a, + a n ) + (a, -J- a n ) -J- (a, + a n ) -f- — + (a, -f a a ) + (a, + a n ) + (a, -f- a n ). Sčitanec a, -f- a n prichazi zde tolikrat, kolik členi seči- tame, t. j. nkrat, protož 2s n = n(a, + a n ), z cehož s„ = 5- (a, + a n ). Yyraz tento slove součetny vzorec arithmeticke po¬ sloupnosti. Pfiklad. Ma se vyhledati obecny člen a součetn^ vzorec posloupnosti lichych čisel 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Pončvadž a, = 1, d = 2, bude a n = 1 + (n — 1) . 2 = 2n — 1, s D = g (1 + 2n — 1) = n a . Tak u pf. ai 5 = 2.15 — 1 = 29, a s lB = 15* ± 225, 195 §. 254. V obou rovnicich na sobč nezavislych a n = a, + (n —• l)d a s n = (a, + a n ) pfichazi pšt veličin a,, d, n, a n , s n ; jsou-li z nich tri dany 5 Ize jimi určiti dve ostatnfch. Takto mflžeme tešiti 20 uloh rozličnyeh. Jsou-li u p. dany d, n a a n , vyhledame z rovnice prve a t = a n — (n — l)d, pak z druhe s n = |a a — (n —• l)d + a n j = -|r |2a n — (n — l)d §. 255. Arithmeticka posloupnost ma se pro- loži ti. Mame-li mezi dva členy ak a a k +i arithmeticke posloupnosti, jejtž rozdil jest d, vložiti r členil, ktere s at a a k +i tvofi opčt arithmetickou posloupnost, bude at prvni, ak+i však (r -f- 2)hy člen nove posloupnosti; znači-li tedy d, jeji rozdil, jest ak+i = at + (r -f l)d,, ale pončvadž take a k +i = ak -f- d, bude (r -f- l)d l = d, z čehož . _ d ' r + 1* Proložena posloupnost jest pak: , d , 2d rd a k , a t + , a k + —p-p • • • • ak + r qri’ ak * 1- U pf. V pfirozenč fadš čisel 1, 2, 3, 4, . . . . mi se mezi 2 a 3 vložiti 7 členu na zpusob arithmeticke posloupnosti. Zde je d = 1, r = 7, proto d, = a proložena po¬ sloupnost jest 2, 21, 2f, 2f, 2f, 2-|, 2f, 21, 3. II. Geometrickč posloupnosti. §. 256. Geometricka posloupnost jest rada, v niž podil sousednich dvou členu jest stale tentyž. Staly tento podil slove udava tel posloupnosti. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, .... 1 _1 I JL JL l l x ’ 3 ’ 9 ’ 27 > 81 > 243 ’ 729 ’ * * . jsou geometricke posloupnosti; v prve jest udavatel 3, v druhe 196 1) V geometrickč posloupnosti každy člen se rovna prvnfmu členu nasobenemu mocninou uda- vatele, jejfž mocnitel jest o 1 menšf nežli ukazo- vatel členu. Dflkaz. Značf-li a n člen nt^ a q udavatele posloupnosti, jest a, — a,, Ug — a, q, a 3 = a,q*, a 4 = a,q 3 , a t. d. Z počatečnych členil posloupnosti vysvita již pravdivost včty horejšf. Je-li však tato včta pravdiva pfi nčkterem členu a n , že totiž a n = a^” -1 , musi miti platnosf i o nasledujfcfm členu a„+i; nebof a n ii = a n . q = a,q n_1 . q = a,q n . Z toho plyne obecna platnosf včty horejšf; proto takč vyraz a n = a 1 q n - 1 slove obecn^ člen geometricke posloupnosti. 2) Součet n prvnich člena geometricke posloup¬ nosti rovna so prvnimu členu, nasobenemu ntou mocninou udavatele o 1 zmenšenou, a dčlenčmu udavatelem o 1 zmenšenym. D Uk a z. Značf-li s n součet n počatečnych členu, jest tedy s n = a, + a,q + a,q 2 +....+ a,q n - 2 + a, q n - x . Nasobfme-li oba dxly tčto rovnice udavatelem q, obdržfme qs n = a,q + a,q 2 + a,q 3 +....+ a^”- 1 + a,qn . Odečteme-li predchazejfcf rovnici od teto, bude qs n — s n = a, q n — a,, z čehož obdržfme s„ = ~ q - 1 jakožto součetn^ vzorec geometrickč posloupnosti. Pri klad. Ma se vyhledati obecny člen a součetuf vzorec posloupnosti 1, 3, 9, 27, 81, 243, .... Zde jest a, = 1, q = 3, pročež a„ = 1.3 n_1 = 3*~‘, s n = - 1 - ■ QIO _ -I Tak u pr. a 10 = 3 9 = 19683, a s l0 = —-— M = 29524. 197 Dodatek. Je-li geometricka posloupnosf sestupna, t. j. q < 1, a pFibyva-li n nekonečnč, bliži se q n nekonečnč k nulle, součet pak k mezi a. s = 1—q Nechf sečteme kterykoli počet členi sestupnč posloupnosti geometricke, součet nemiže sice nikdy dosahnouti teto hodnoty, ale pfibližiti se k ni tak, že rozdil bude menši nežli kterekoli pfevelmi male čislo stanovitelne. Vyraz s = slove sou¬ čet nekonečnč sestupne posloupnosti. U pf. pro posloupnosf 1, }, . . • • , kde a, = 1, q = b bude s = 1 — t = 2; t. j. čim vice členu posloupnosti sečitame, tim vice součet se bliži k čislu 2, aniž ho však dosahne v konečnosti. Každy občislny zlomek desetinny lze vyjadfiti sestupnou geometrickou posloupnosti, jejiž součet da hodnotu zlomku ob- čislneho. U pf. 25 25 25 25 io* + io 4 10 6 + 10 8 §. 257. Rovnice 0-25 25 OK 1 00 — 1 — 99‘ a n = a, q n_1 a s n _ _ 1 obsahuji pčt veličin a,, q, n, s n ; jsou-li z nich tfi dany, lze jimi určiti dvč ostatnich. Jsou-li u pf. dany q, n, s B , vyhledame z druhe rovnice _ _ S» (q — 1) a > ~ ' q . _ 1 » _ g— 1 (g — l) s n a, (q n — 1) z prvč pak 3n §. 258. Geometricki posloupnosf ma se pro- ložiti. Vložime-li mezi dva členy a* a atu geometrickč posloup¬ nosti, jejiž udavatel jest q, r členi, ktere s at a at -m tvofi opčt posloupnosf geometrickou, jest zde a k prvf, at ti pak (r -f 2)h^ 198 člen; znači-li tedy q, udavatele novč posloupnosti, jest a k -h = a k . q, r+1 , ale pončvadž take akti = a k . q, bude V+ 1 = q, z čehož rti q, = Vq. Proložena posloupnosf jest pak: rti rti rti a k , a k . V"q, a k . . . , a k . y~ q r , a k+ i. Mame-li u pr. v posloupnosti 1, 16, 256, 4096, . . . mezi dva a dva Členy vložiti tfi členy novč, bude q = 16, r = 3, tedy q, = fl6 = 2, pročež proložend posloupnosf: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, . . . III. Složitč urokovdni a počet o sMIčm duchodu. §. 259. Pfidavame-li uroky z jakesi jistiny ku konci jednosti časove opet k jistinč a zuročime-li je zaroven s touto, fikame tomu složitč drokovani. Pči složitčm urokovani rozeznavame jako pri jednoduchčm počtu urokovčm (§. 146.) jistinu, čas, procenta a droky. Neni-li jinak ustanoveno, považujeme rok za jednosf časovou. Je-li jistina uložena na p °/ 0 , vzroste 100 jednosti jistiny (zlate, marky) za jeden rok i s droky na 100 + p; jednosf jistiny da tedy za jeden rok i s uroky ~ 1 100 ‘ Hodnotu 1 + kterouž jednosf jistiny i s uroky ma za jeden rok, jmenujeme čislo ur okove (mira urokova); v nasledujicich počtech budeme je pro kratkost znamenati pismenem q. §. 260. Prvni zakladna dloha. Jistina a zdro- čuje se čislem urokovym na u r o k y z droku; nač vzroste za n rokfi? Pončvadž jednosf jistiny i s droky za 1 rok ma hodnotu q, jistina a vzroste za 1 rok na a i — a • 4> t. j. hodnota jistiny za rok se rovna začatečne hodnotč nasobene čislem urokovym. 199 Z6ročime-li novou jistinu a,, bude jeji hodnota opčt za rok a s = a, , q = aq s . Za 3, 4, ... . roky vzroste jistina na a 3 = a 2 . q = a . q 3 , a 4 = a 3 . q = a . q 4 a t. d. Ku konci nteho roku bude tedy hodnota jistiny a n = a . q n . . . . I. Itešime-Ii tuto rovnici dle a, obdržlme nynčjši čili ho- tovou hodnotu jistiny a n splatnč po n letech pri hrokovem čisle q Taktčž plynou z I. hodnoty Ioga n — loga log q Dodatky. 1) Zde jsme pfedpokladali, že n jest čislo r celistvč. Je-li však n čislo smišenč, u pf. m + musime vy- počitati 6roky z urokfl jistiny a jen pfi uplnych m letech , za zlomek nasledujiciho roku však jen jednoduchč uroky jistiny a m . V tom pfipadč tedy Um — aq m t a s ohledem na §. 146., pončvadž = q — 1, amti = a m + am(q ~ 1 ^ = a m {l + (q- 1) . = aq m {l + (q — 1) . -j. 2) Nepfidavaji-li se uroky k jistinš celoročne, nybrž tkrate za rok (pfllletnč, mčsičnš), musime v rovnici I. a ve vzorcich z ni odvozenych misto q položiti q' = 1 + misto npaknt. 3) Hofejšich rovnic lze použiti i pfi jinych veličinach, kterč rostou v stalem pomčru, u pf. pfibyvani obyvatelfl, dfivi v lese a t. d. Pf iklady. 1) Nač vzroste jistina 2518 zl. uložena na 5°/ 0 za 12 rokd pfi složitčm urokovani? 200 a, s = 2518 . 1-05 ll . log 1-05 = 0-021189 12 log 1-05 = 0-254 268 log 2518 = 3-401056 loga 13 = 3-655 324 = log 4521-93, protož a 13 = 4521-93 zl. 2) Jaka jest nynčjšl hodnota jistiny 1000 zl., splatnd za 11 rokfi, je-li čislo firokove 1-04? 1000 a ” 1-04 u ' log 1000 = 3-000 000 log 1-04 = 0017033 11 log 1-04 = 0-187 363 loga = 2-812 637 = log 649-58, tedy a = 649-58 zl. 3) Za kolik roku vzroste jistina 2000 zl. na 4469 zl. 89 kr., byla-li na 4% uložena pfi složitem urokovanl ? n 4469-89 = 2000.1-04* , z čehož log 4469-89 — log 2000 _ 0-349 267 log 104 ” 0 017 033 ~ Položme n = 20 a vypočitejme a 30 = 2000.1-04 50 = 4382-24. 2000 zl. vzroste tedy za 20 rokfi pri složitem urokovanl j na 4382-24 zl. Jak dlouho musl jistina 4382 - 24 zl. byti ještč ulo¬ žena, aby pči 4% vzrostla na 4469-89 zl., t. j. aby vynesla 4469-89 — 4382-24 = 87-65 zl. uroM ? Jednoduchym počtem 6rokovym (§. 146.) bude 100.87-65 * ~ 4382-24.4 ~ 1 2 roku, protož n = 20i roku. §. 261. Druha dloha zakladna. Na počatku aneb koncem každeho roku plati se po n rokfi suma pe- nčžitfi r; jakou hodnotu budou miti tyto platy v dob6 poslednlho placenl, počltame-li p°/ 0 pfi složitčm firokovanl? Od prvnlho až do poslednlho placenl uplyne doba n — 1 201 rokti; položime-li tedy 1 + = q, bude (§. 260.) v dobč posledniho placeni hodnota 1. platu = rq n_1 , n 2. „ = rq n ~ 2 , „ (n — 2)ho „ (n — l)ho „ nteho proto součet všech teckto hodnot s n = r + rq + rq 2 -f . . . aneb s ohledem na §. 256., 2) , _ r(q" - 1) Sa ~ q -1 Z teto rovnice mfižeme určiti = rq*, = rq, = r; + rq n ~ 2 + rq n_1 , . .II. takč r aneb n, jsou-li dany veličiny ostatnl. Určeni q pfestupuje meze tohoto navodu proto, že pfi tom obdržime rovnici stupnč (n + l)ho. Pf iklady. 1) Nčkdo ukldda na počatku každčho roku 230 markil na 5% pri složitem urokovani; jakou hodnotu budou miti vklady na počatku 10. roku? 230(1-05 10 — 1) _ 230.0-62888 Oj O - 0-05 0-05 = 2892-85 markfi. 2) Nžkdo uklada po 15 let koncem každeho pololeti jistou sumu do spofitelny; ma-li tam v dobč posledniho placeni pohle- davku 3292-71 zl., a zuročuje-li sporitelna pfi pololetnim: slo¬ žitem urokovani na 5% ročnich urokfi, mnoho-li musel pokaždč uložiti ? Zde jest 30 časov^ch period a čislo urokove = 1025; pročež 3292-71 r r(l"025 3 ° — 1) 0-025 ’ 3292-71.0 025 1025 30 — 1 z čehož = 75 zl. §. 262. Dle pfedchazejicich dvou hlavnicb iiloh rešiti Ize všecky jinč ulohy o složitem počtu tirokovčm. tlohy. 1) Zuročuje-li se jistina a čislem drokov^m q, a pfidava-li se k ni aneb vyplaci-li se z ni koncem každeho roku suma r\ jakou hodnotu bude miti tato jistina po n letech? 202 Koncem »iteho roku jest hodnota jistiny a (dle §. 260.) aq n , hodnota všech n penčžitych častek r, kterč koncem každeho roku byly k jistinč pridavany aneb z ni vybirany, jest (dle §. 261.) Je-li v pripade vybirani r > a(q — 1), čili r > aq — a, t. j. včtši nežli ročni urok.jistiny a, konečna hodnota teto jistiny bude rok do roku menši, až poslez bude rovna nulle. 2) Nezuročitelna jistina a jest po m letech, nezuročitelna jistina J po n letech splatna; je-li n > m, v kterem pomčru jsou a) nynšjši hodnoty tčchto jistin, a b) jejich hodnoty po n letech pri čisle urokovem §? sl b Nynšjši hodnota jistiny a jest ——, jistiny b však —, protož pomčr obou tčchto hodnot Po n letech bude hodnota prvč jistiny aq a_m , druhe pak b, tedy pomčr tčchto hodnot jako zprvu: Dodatek. Chceme-li prirovnati dvč jistin splatnych v roz- ličnych dobach, musime je nejprve uvesti na tutčž dobu. Ale pončvadž pomčr jejich hodnot pro každou dobu je tentyž, pokud čislo urokovč se nemčni, nezaleži na tom, kterou dobu společnou volime ku pfirovnani. Obyčejnč vypočitame a pfirovname budi nynčjši hodnoty aneb hodnoty po uplynuti dane periody. 3) Pujčka a ma se umofiti (amortisovati) ve lhutach roč- nich za n rokfl; jakš, čdstka r musi se ročne splaceti pfi uro- kovčm čisle q? Nynčjši hodnota všech ročnich Mt musi se rovnati dlužne jistinč. Hodnota tčchto n ročnich lhut, z nichžto každa = r, v dobč posledniho placeni, t. j. koncem ntčho roku bude - ~q ~i^ ? protož jejich nynejši hodnota b = ko: q — i šene bude tedy konečna hodnota jistiny takto zvčtšenč aneb zmen- 203 Pončvadž pak masi b = a, bude r(q n - D _ = a, z čehož r _ aq” (g — 1) q n (q — 1) “ * q n — 1 4) Za kolik roka zbude z jistiny 1060 zl., vypfljčene na 5% složitych urokfl, ještš 167 - 22 zl., splaci-li se koncem každeho roku 80 zl. ? Za n roka. Hodnota dluhu 1060 zl. po n letech bude 1060 . l'05 n zl.; bodnota n ročnich lhat a 80 zl. po n letech bude 80(1-05” - 1) , - 0 ^ 05 ~—" z P roto ^ musi _ 80(1-05” - 1) 0-05 z čehož log 71-639 - log 27 _ 1060.1-05” = + 167-22 n = 20 rokhm. log 1-05 §. 263. Stal^ dhchod a pojištčni na život. Složiteho počtu urokoveho uživa se zvlaštš pfi vypočitavani staleho dhchodu a pfi pojišfovani na život. Staly dachod (renta) jest suma, ktera se splaci v určitych stejn^ch dobach (obyčejnč koncem každčho roku) a k jejimuž vybirani nabyli jsme prava penšžitou sumou dfive zaplacenou. Tato suma, zvana prčmie (pojistne), plati se bud najednou aneb ročnč. Dachod jest obyčejnš staly, muže však dle jistčho zakona byti takč mšnliv^. Duchod slove dočasny, je-li určitš ustanoven počet dob, kdy dachod se vyplaci, doživotn^ však, trva-li až do smrti uživatele. Pfi dachodu doživotnem neni tedy určite ‘ vysloveno, dlouho-li jej uživatel bude pfijimati; to lze udati jen s pravdepodobnosti dle zakona pfirody o trvani života lidskčho, t. j. z tabulek o smrtelnosti (§. 288.). Smlouva, kterouž jedna ze dvou stran se zavazuje, že za jistou prčmii v určitem pfipadč, zavislem na živote anebo smrti jedne aneb nškolika osob, vyplati určitou jistinu nebo rentu druhe stranč aneb jej im pravnim nastupchm, slove pojištčni na život. tllohy. 1) Ma-li se po n roka koncem každeho roku splaceti da¬ chod r, jaka jest nynčjši jeho hodnota pfi urokovem čisle 2? 204 nteho roku Hodnota n ročnich dflchodu, z nichž každy = r, jest koncem r(q D — 1) protož nynčjši hodnota jejich _ r(q n - 1) q n (q - 1)' 2) Jaka premie musi se platiti počatkem každeho roku pfi urokovem čisle q, aby pojišfovaci ustav po n letech vyplatil jistinu s? Ročni premie museji až k počatku rateho roku vzrusti na hodnotu s. Hodnota n prčmii, z nichžto každa — r, bude na počitku ntčho roku pročež r(q D — 1) q -1 = s, a z toho r s(q ~ 1) q n — 1 3) Nčkdo chce po m roku počatkem každeho roku ukla- dati u pojišfovaciho ustavu určitou sumu a, aby mohl v nasle- dujicich n letech každeho roku poživati dfichodu r; mnoho-li musi ročnč ukladati pfi urokovčm čisle q? Nynčjši hodnota všech prčmii musi se rovnati hotovč. hod- notč všech ročnich d&chodfi. Hodnota m ročnich premil, z nichžto každa = a, na počatku mteho roku jest ■ ^ _ ■ ^ ’ ; nynčjši jejich hodnota tedy A = a( q m — 1) qm—i(q—j)’ Hodnota n ročnich rent, kterež počinaji koncem (m -f* l)ho roku, a z nichžto každa = r, jest koncem (m + n)teho roku ; jejich nynejši hodnota tedy R = P°- nšvadž pak musi A = R, bude a (q m - i) _ jr (q n - i) nroPež „ _ r(q n - i) qm-i( q _ i) q m-fn( q _ j)- P rotez a ~ q n ti (q m — 1)" Z posledni rovnice lze takč určiti r, m & n, jsou-li ostatni veličiny dany. 4) Jaka jest nynčjšl hodnota ročni renty r, kteraž po n rokft pfi urokovem čisle q roste ročnč dle posloupnosti arithmeticke, jejiž rozdil jest d ? 205 Renty splatne koncem jednotlivych rokfi jsou: r, r -j- d, r + 2d.r -f (n — 2)d, r + (n Součet jejich hodnot koncem nteho roku jest - o - “(4 - 4 l)d. protož jejich nynčjši hodnota B = +rifzrrftr - D - ot, - d}. 5) Jaka jest nynčjši hodnota dodatečne splatnč renty r, kteraž ročnč roste dle posloupnosti geometricke o udavateli a, je-li urokove čislo Jednotlivč renty ročni jsou r, ra, ra*, . . . ra n ~ 2 , ra n_1 ; součet jejich hodnot koncem nteho roku jest r(a u —q n ) a — q ’ pročež jejich nynčjši hodnota _ r(a n — q n ) q n (a q) * IV. Konrergence a divergence fad nekonečnych. §. 264. Bliži-li se v nekonečnč fadš součet počateč- nych n členil tim vice k určite konečnč mezi, čim včtši jest n, fada slove konvergentna (sbihava), a tato mez jmenuje se součet fady. Nepfibližuje-li se však součet po- čatečnych n členu pfi rostoucim n k určite konečnč mezi, fada slove divergentna (rozbčžna) a jeji součet nelze určiti, jelikož jest nekonečny. Nekonečna fada rozbčžna v mathema- tice nema ceny. Pfi klad. Pfi geometrickč posloupnosti a + a d + al l s + a 4 3 + • • • • jest dle §. 256., 2) součet n počatečnych členu „ _ a(q n — 1) Sn “ q - 1 * Je-li q > 1, bude pfi rostoucim n takč q” vždy včtši, a součet se nebliži k žadnč určitč konečnč mezi; posloupnosf je tedy rozbčžna. 206 Pri q = 1 jest s n 0_ 0 ’ kteryžto neurčity vyraz v tomto pfipade však znamena s tt = a + a + a+ .. = a. oo, tak že posloupnosf jest opčt rozbčžna. Je-li q < 1, tedy q n pfi rostoucim n bliži se yždy Sl vice k nulle, s n však nekonečnč k určite mezi - ; v tom pfipadč posloupnosf jest sbihava (§. 256., dod.). Pfi q = — 1 jest však s n = O aneb s n = a, buct že n jest čislo sudč aneb lichč; součet nebliži se tedy pfi rostoucim n k určite mezi jedne, nybrž leži neustale mezi O a a, pročež posloupnosf jest rozbčžna aneb, jak v takovychto zvlaštnich pfi- padech pravime, kolisava nebo oscillujici. §. 265. Znači-li s součet nekonečnč fady a i + a * + a 3 + • • • + a n + anfl + Unf2 "}“•••) s„ součet n počdtečnych členfl a e n součet všech členil nasledu- jicich, kteryžto posledni součet se take jmenuje d o p 1 n č k fady, tedy s — s n “f - e n . Žada jest sbihava, t. j. součet s n se bliži k určite mezi, pfibližuje-li se doplnčk nekonečnč k nulle pfi nekonečnem pri- byvani n; to však jest jen tehdy možno, bliži-li se členy a n «, a n +s, . . . nekonečnč k nulle pfi nekonečnem pfibyvani n. V konvergentne fadč museji tedy, nčkterym členem poči- naje, ostatni po sobč jdouci členy byti čim dale tim menši. Podlč teto jedinč podminky však nelze naopak souditi o konvergenci rady. Tak u pf. harmonicka rada 1 + T+T+T + -'-" } 'T + -iTr + ---’ jejižto členy neskončenč se zmenšuji, jest pfece divergentni Nebof zde : pročež 1 n + 1 T en ^ n + 2 1 + • • • + tim spiše tedy 2n 2n -j- 1 i , +_L n + 2 ' " * ~ 2n 1 e n > 2n n + 1 1 ■ , 1 1 _ 1 ' 2n + ‘ * ' + 2n “ n * 2n “ 2 * 207 Znamky konvergence a divergence. §. 266. 1) Blfži-li se v nekonečne radš a i + a a -f- a 3 4- • . . . -f- a n -f- a n fi + • • • podil 3 — k určite mezi m tim vice, čim vice roste n, rada kon- 3n verguje, je-li tato mez menši nežli 1. Dflkaz. Položime-li Enfl En = ID + « n 9nf2 Enfl = m + a nf i a nf3 Snf2 — m + a n f2,.. • kde a„, ffnfi, . . . dle podminky bliži se tim vice k nulle, čim vice roste n , bude an+l — 8 n (m -j- «11 ), 3nf2 — a n fi (m + a n ti) = a n (m -j- « n ) (m + «n+i), 8nf3 — a„+ 2 (m -f- «nf 2 ) = a n (m -f- ce n ) (m -j- a n fi) (m -j- « n +a} a t. d. Součet pak da doplnčk e n = a n j (m -f- a n ) -f ( m “H «n ) (m + a n +i) + -H (m •+■ a n ) (m -f- « n +i) (m + « n f 2 ) + •••! a roste-li n nekonečnč, čim a n , anfi, • • • tmdou nekonečnč malč, vyraz a n (m + m® + m’ + . . . ), anebo, pončvadž m < 1, a n • (§• 256., dod.) bude mezi, k niž e n pri tom neskončenš se bliži. Ale, m jest čislo konečne, a a n bliži se tim vice k nulle 1—m J čim vice n pribyva; pfi rostoucim n tedy součin a n . a proto tčž doplnčk e n neskončenč se bliži k nulle, fada jest tudiž konvergentna. 2) Bliži-li se v fadč a i -J- a a + a 3 + . . . -f- a n + a n fi + • • • podil k určitč mezi m tim vice, čim vice roste n, fada En diverguje, je-li tato mez > 1. D uka z. Shledame jako v 1), že mezi doplnku e n jest vyraz a n (m + m 2 + m 3 -f- . . . )» 208 kteražto mez však pfi rostoucim n nemflže se bližiti k nulle proto, že m > 1; tudiž jest rada divergentna. 3) Nekonečna rada se stfidavč kladnymi a zapornimi členy jest konvergentni, zmenšuji-li se členy do nekonečna. Je-li dana rada Sj aj -j- 83 a 4 "j" . . . ^ 8n -f- 8nfl rt 8nf2 -f- Unf 3 "P . . . doplnčk jest On = it |3n+l (a n +2 8nf3) — (8nf* 8nf5) • • • j aneb tež On — it I (8nf 1 ~ a n f2 ) “f - (3nf 3 — Unfl) “f“ • . . |. Pončvadž však členy neustale se zmenšuji, uzivorkovanč rozdfly jsou vesmčs kladne; prosta hodnota e n jest tedy menši nežli anfi, a včtši nežli a n w — a n f 2 , proto p?ibyvam'm n, pfi nemž členfl a n ft a a n f 2 nekonečnč ubyva, tato hodnota neskončenč bliži se k nulle — rada je tudiž konvergentni. Pr iklady. 1} 1 + T + r72 + TJT73 + • • • + r.2.3?.(n-l) + M . 2.3 . . (n — l)n ^ _ 1 a n n * Podil pfi rostoucim n neskončenš se bliži k nulle, fada an jest tedy konvergentna. 2) 1 + x + dL- + ^ anfi _ n— 1 + • • • + X n ' — 1 x n n — 1 f + &n = 0 - T> Podil pfi rostoucim n neskončenč se bliži k oc\ dana fada tedy konverguje pfi x < 1, a diverguje pfi x > 1. 3) Žada 1—g- + -g—+ i-+-jest sbi- hava proto, že členy stfidavč jsouce kladni a zipornč do neko¬ nečna se zmenšuji. Čast šesta. Nauka o kombinaclcli. I. Prestavovdni, sestavovdni a obmeiiovdni. §. 267. Kombinovati čili sestavovati v nejširšim smyslu slova znamena, dane všci pravidelnš sefadovati v sku- piny. Jednotlive všci slovou prvky, skupiny ž nich sestavene soujmy (komplexe). Soujmy pisemnš pfedstavime nejvhodnšji, označime-li prvky čislv v pfirozenem pofadku po sobš jdoucfmi; čfslum tem fikame ukazovatele. Tito udavaji pofad prvku; jest pak prvek vyšši, jenž ma vštšiho ukazovatele. Ze dvou soujmu jest vyšši ten, v nšmž od leve ku prave dfive shledame prvek vyšši; u pf. soujem 1342 jest vyšši nežli 1324. Nejnižši soujem jest ten, v nčmžto žadny prvek vyšši nestoji pfed nižšim, prvky tedy v pfirozenem pofadku po sobš nasleduji; nejvyšši jest soujem, v nemžto žadny nižši prvek nestoji pfed vyššim, všecky prvky pfichazeji tedy v pofadku obracenem. Označime-li prvky pismeny, bude vyšši prvek ten, jenž v abecedš pozdšji pfichazi. Všecky soujmy co do podstaty tvofime pfesazovanim aneb spojovanim. Pfi pfesazovani mame zfetel k rozlič- nšmu spofadani dan^ch prvku, pfi spojovdni však vybšr určiteho počtu prvkfl. Neohledame-li se jenom na počet a v^bšr prvku, nybrž zaroven na jich spofadani, pfichazi spo¬ jovdni spolu s pfesazovanim. Rozeznavame tedy troji kombinovani: pfestavovani (permutovani), sestavovani čili kombinovani v užšim smyslu slova a obmšfiovani (variovani). Pfi každem tomto vvkonu jest pak uloha dvoji: 1) z danych prvkfi tvofiti všecky soujmy a 2) určiti počet všech soujmu. Močnik-Hora, Algebra. 14 210 1. Prestavovani. §. 268. Prestavovati znamena, dane prvky všemožnym zpfisobem presazovati tak, aby v každem soujmu všecky prvky prichazely. Počet všech možnych prestav o n prvclch značl se P počet pfestav o jmenOYanych prvclch, u pr. a, b, b, c pak P(abbc). §. 269. Mame-li z nčkolika danych prvku utvofiti všecky možne pfestavy, napišme nejprvč nejnižšl soujem z danych prvku, odvodme z neho nejbliže vyššl soujem, z toho opčt nejbliže vyššf a t. d., až pfijdeme ku prestave nejvyššl. Z každeho již stava- jlciho soujmu obdržime však soujem nejbliže vyšši, vyhledame-li v nčm od leve ku pravd prvek, jejž vy menim e za nasledujicž prvek nejbliže vyššl; všecky prvky v levo pfedchazejlcl plšeme v nezmčnčnem, ostatnl pak v prirozenem poradku. U pf. prvkum, z nichž utvofeny jsou všecky možnč prestavy, ješte prvek jeden, mflže tento novy prvek do každe drlvčjšl pfestavy položen byti na mlsto prve, druhč, . . . aneb (n + l)nl, tedy na (n + 1) rozlične mlsto, čim z (n + 1) prvku vznikne (n + l)krate tolik pfestav, kolik jsme jich utvorili z n prvku» Protož Pnfl = Pn • (n + !)• Pončvadž pak jeden prvek da jedinou pfestavu, t. j. P, = 1, bude P 2 = 1.2, P 3 = 1.2.3, vftbec P n = 1.2.3 ... (n — l)n; t. j. počet pfestav znčkolika rozličnych prvku rovna se součinii pfirozenych čisel od 1 až do čisla, vy- jadrujlclho počet prvkfi. 211 Součin 1.2.3.4 . . . (n — ljn slove «ta faktoriela jedničky a piše se n ! Protož P s = 2!, P, = 31, ... P. = n! 2) Pfichazf-li mezi n danimi prvky p rovnych, pova- žujme tyto prozatfm za razne; počet všech možnych prestav- jest pak n\. Rozdčllme-li tyto pfestavy tak, že pfestavy jednoho oddčlenf liši se jen vzajemnym postavenfm onech p prvku, ostatnf prvky však sva mfsta nemčnf; v každčm takovčm oddčlenf bude tolik prestav, kolik jich z p prvku lze utvofiti, tedy p !. Pova- žujeme-li nynf prvky, ktere'jsme zprvu mčli za ruznč, opčt vesmčs za rovne, bude z p! prestav každeho oddčlenf j e din a pfestava; z n! pfestav splyne jich vždy p ! v jedinou, tudiž n! obdržfme jen ^ ‘ pfestav ruznych. Je-li mezi danymi n prvky mimo p rovnych prvkfi ještč q jinych prvkfl rovnych, soudfme opčt podobnym zpusobem; bude tedy počet všech rflznych pfestav ° ^ j . 3) Pfichazf-li mezi n danymi prvky (n — k) prvku rovnych, a je-li ostatnfch h prvkh take vespolek rovnych, jako u pf. v součinu a n-k b k , bude počet pfestav n! 1.2.3... (n — k) (n — k +1)... (n—2) (n—l)n (n —k)! k! “1.2.3. ..(n — k). 1.2.3.k' Dčlfme-li čftatele i jmenovatele tohoto zlomku součinem 1.2.3 ... (n — k), a pfšeme-li v čftateli zbyvajfcf činitele v obracenem pofadku, obdržfme n! _ n(n — 1) (n — 2) ... ( n — k -f- 1) (n — k)! k! “1.2. 3 . . . ‘ k Tento zlomek, jehož čftatel jest součin h činitelfi, z nichž prvnf jest n a každy nasledujfcf o 1 menšf, a jehož jmenovatel jest tež součin k činitelfi, od 1 v pfirozenč radč postupujfcfch, jmenuje se fcta dčlena a sestupnd faktoriela čfsla n, kterouž vyjadfujeme vyznakem ( ^ ^ a Sterne: « nad k. Protož P(a n_k b k ) = n! (n — k)! k l = (t> 14 * 212 2. Sestavovani. §. 271. Sestavovati v užšhn smyslu znamena, dane prvky spojovati tak, aby každy soujem obsahoval tyž určity počet danych prvku, pri černž však považujeme jen takovč soujmy za rozličnč, ktere neobsahuji prvky tytež. Soujmy slovou sestavy čili kombinace druhč, tfeti, čtvrte, . . . tridy, aneb take amba, terna, k v at er n a a t. d., pfichazeji-li v nich dva, tri, čtyry, . . . prvky. Prvky samy Ize považovati za sestavy prve tfidy čili uniony (extrata). Mimo to rozeznavame sestavy bez opakovani a s opa¬ kovanim, jsou-li v nich totiž všecky prvky rozličnč, anebo pfi- chazi-li v nich ten neb onen prvek nčkolikrate. Počet všech možnych sestav rte tfldy o n prvcich bez opakovani naznačuje se znakem C' , počet sestav s opakovanim pak znakem 0”' r - §. 272. 1) Chceme-li z danych prvku sestaviti všecka amba bez opakovani, spojme každy prvek s každym prvkem vyššim. Jsou-li pak utvofeny sestavy určite tfidy, obdržlme z nich sestavy nejbliže vyšši tfidy, postavime-li každy prvek pred každou dfivčjši sestavu, obsahujici pouze prvky vyšši. Z prvku b, c, d, e obdržime tedy nasledujici amba bez opakovani: terna bez opakovani: bc, bd, be; bed, bce, bde; cd, ce; ede; de; a t. d. 2) Mame-li z nekolika danych prvku sestaviti všecka amba s opakovanim, spojme každy prvek s sebou samym a pak s každym prvkem vyššim. Jsou-li pak utvoreny sestavy nektere tridy, obdržime z nich všecky sestavy nejbliže vyšši tfidy, postavime-li každy prvek pfed každou dfivčjši sestavu, v nižto nepfichazeji prvky nižši. Prvky a, b, c, d daji tedy nasledujici amba s opa¬ kova¬ nim aa, ab, ac, ad bb, bc, bd cc, cd dd 213 terna \ aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add; sopa-| bbb, bbc, bbd, bcc, bed, bdd; kova -1 ccc, ccd, cdd; mm i ddd; a t. d. Dodatek. Sestavy s opakovanim se zjednoduši, považuje- me-li je za součinv. U pr. prvky a, b daji nasledujici takove sestavy s opakovanim v tfidč druhe: a s , ab, b*; „ „ treti: a 3 , a 8 b, ab*, b 3 ; „ „ čtvrte: a 4 , a 3 b, a 8 b 8 , ab 3 , b 4 ; „ „ nte: a n , a n_l b, a n_2 b 2 , . . . ab” -1 , b" . §. 273. Počet sestav bez opakovani. Spojime-li každy z n danych prvku s každym ostatnim (n — 1) prvkem, obdržime každe ambo dvakrat, u pf. ambo ab, spojime-li a s b aneb b s a. Pončvadž tedy nabudeme n(n — 1) amb po dvou si rovnycb, jest počet všech rozličnych amb o n prvcich n« _ n ( n — i) - 1.2 * Mame-li vubec všecky sestavy rte tridy bez opakovani O*, a spojime-li s každou touto kombinaci každy z ostatnich (n — r) prvku v ni nepfichazejicich, obdržime C' (n — r) sestav, čili všecky sestavy (r + l)ni tridy, a sice každou (r + l)krat proto, že pokažde r jinych prvku jejich lze spojiti s prvkem (r + l)nim; počet všech rozličnych sestav o n prvcich v (r-fl)ni tridš jest tedy 0rfl _ Qr ji Ale pončvadž 02 _ J 1 ! 11 — II r + 1* 1 . 2 bude _ n(n — 1) (n — 2) n 3 _ ^ - 1.2.3 04 _ n (n — 1) (n , pročež 2) (n - 3) 1 . 2 . 3 . 4 _ n(n — 1) (n — 2) . . . ~ 1.2.3.. (n a t. d. vflbec - r + 2) (n - (r — 1). r r + D 214 Počet sestav rte trldy o n prvcich bez opakovanl rovna se tedy rtč dčlene a sestupnč faktoriele čisla n (§. 270., 3); pročež <*=(;><*=(;}• • -c:=(”> §. 274. Počet sestav s opakovanlm. Je-li dano raprvkfi, a spojlme-li každy prvek s sebou samym a pak se v šemi n prvky, obdržlme n(n + 1) sestav, t. j. všeeka amba s opako¬ vanlm, a sice každe ambo dvakrat. Počet všech amb s opako- vanim jest tedy —- Jsou-li vubec utvofeny všecky kombinace rte tfldy o n prvcich s opakovanlm, a spojlme-li s každou z te elito C°’ r sestav nejprve každy z r prvku, v sestave pfichazejlclch a pak každy z n prvku: obdržlme C”’ 1 • (n + r) sestav, čili všecky kombinace (r + l)nl tfldy s opakovanlm, a sice každou takovou kombinaci (r + l)krat proto, že pokažde r jinych prvku jejlch lze spojiti s prvkem (r -f l)nlm; protož 0,rfl _ p(0,r n -f- r » • F~ + ~T Jest vsak protož no,- 2 _ n(n + 1) - 1 . 2 ’ po,3_ n(n -f- 1) (n -J- 2) - i.2.3 ’ C o.4 = n(n + l) (u + 2Hn4-ii) a t d<> vflbec r... cr= p + r r - *). / 3. O '~vOA^-ib Obmenovanl. §. 275. Obmčžovati znamena, dane prvky spojovati tak, aby každy soujem obsahoval tfž určity počet danych prvkfi, pri čem vsak považujeme za rozlične i takove soujmy, v nichž tytčž prvky pfichazejl v rozličnem pofadu. Obmčny jsou tedy pfestavene sestavy. Jako sestavy rozeznavame i obmčny prvnl, druhe, treti . . . trldy, pak obmčny bez opakovanl a s opakovanlm. Počet všech možnych obmčn o n prvcich v rte tfldč bez opakovanl naznačl se "V* , počet obmčn s opakovanlm však V°’ r - §. 276. Obmčny určite tfldy obdržlme, jestliže z danych prvkfi utvoflme všecky kombinace teže tfldy a každou kombinaci pak pfestavujeme. Obmčnv však take bezprostfednč lze utvofiti. Mame-li dane prvky v druhe tfldč obmčnovati bez postavlme každ^ prvek pfed každy z prvkfi. 1 ) opakovanl, ostatnlch. Jsou-li pak utvofeny obmčny vfibec nčkterč tfldy bez opa¬ kovanl, obdržlme obmčny nejbllže vyššl tfldy, postavlme-li každy prvek pfed každou dflvčjšl obmčnu, v nlž tento prvek nepfichazl. Tak u pf. prvky 1, 2, 3, 4 dajl nasledujlcl obmeny bez opakovanl v 3. tfldč: 123, 124, 132, 134, 142, 143; 213, 214, 231, 234, 241, 243; 312, 314, 321, 324, 341, 342; 412, 413, 421, 423, 431, 432; a t. d. 2) Chceme-li z nčkolika danyeh prvkfl utvofiti obmčny druhč tfldy s opakovanlm, spojme každy prvek s nlm samym postavme jej pak pfed každy prvek ostatnl. v 2. tfldč: 12, 13, 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43; 216 Z obmšn nšktere tfidy s opakovanim obdržime pak obmŠnj nejbliže vyšši tridy, postavime-li každ^ prvek pred každou dri- všjši obmšnu. Prvky a a b daji nasledujici variace s opakovanim v 2. tfidš: v 3. tfidš : aa, ab; aaa, aab, aba, abb; ba, bb; baa, bab, bba, bbb; ve 4. tfidš: aaaa, aaab, aaba, aabb, abaa, abab, abba, abbb; baaa, baab, baba, babb, bbaa, bbab, bbba, bbbb; a t. d. §. 277. Počet obmšn bez opakovani. Počet sestav o n prvcich v rtš tfidš bez opakovani jest ^ ” j ; z každe ta- koveto kombinace Ize prestavovanim r prvM utvoriti r! obmšn rte tfidy bez opakovani; pročež V> (“) . r! = n(n — l)(n - 2) ... (n - r + 2)(n - r + 1). §. 278. Počet obmšn s opakovanim. Je-li dano n prvkfi, každy z nich da n obmšn druhš tridy s opakovanim; bude tedy počet všech obmšn n 2 . Ze znamšho počtu všech obmšn rte tfidy o n prvcich s opakovanim obdržime pak, ponšvadž každa tato variace spo¬ jenim se vsemi n prvky da n obmšn (r + l)ni tfidy, Y 0,r+1 -TT0,r a = V n . n. Y 0,2 -TTO.S -TT0,4 n = n 2 , tedy V n = n 3 , V n = n 4 , vfibec pak = n r . II. Počet (pravdš-) podobnosti. §. 279. Prosta podobnost. Je-li z nškolika rovnš možn^ch pfipadu nškolik pfiznivych, t. j. takovych, kterš si prejeme, jsou-li tedy ostatni nepfiznive, slove pomšr počtu všech pfipadu pfiznivych k počtu všech pfipadu jedine a rovnš možnych mathematicka (pravdš-) podobnost pro pfipadj pfiznive. 217 Znači-li a počet pripada pfiznivych, b počet pripadi ne- pfiznivych, tedy a+b počet všech pripadi jedinč a rovnš možnych, konečnč p mathematickou podobnost pro pfipady pfi- znive, bude a ^ ~ a + b' Čim vštši jest os, t. j. čim vice pripadi pfiznivych, tim včtši bude podobnost pro pfipady priznive; jsou-li všecky pfipady pfi- . znive, tedy b = 0, protož bude jisto, že pfiznivy pfipad se prihodi, a což jest mathematicky vyznak j i s t o t y. Čim menč pfiznivych pfipadi, tim menši jest podobnost; neni-li pfipadu pfizniveho, nemiže se pfipad pfihoditi, bude tedy pfi a = 0 mathematicky vyznak nemožnosti Rikame vubec, že pripad jest pravde podobny, je-li p > i, >ne- jisty pfi p = i, a pravdž nepodobni, je-li p < i. Podobnost, že pfipad se nepfihodi, slove protivna. Podobnost protivnou vyjadfujeme zlomkem, jehož čitatel jest počet všech pfipadu nepfizniv^ch, jmenovatel pak počet všech pfipadi jedinč a rovnč možnych. Označime-li protivnou podobnost p', tedy P' a + b’ pročež p + P' = a + b a + b = i; t. j. součet podobnosti pro pfipad pfiznivy a ne- pfizniv^ rovna se jednosti, t. j. jistotč, což se samo sebou rozumt, pončvadž jest jisto, že onen pfipad bud se pfi- hodi aueb nepfihodi. Z p + p' = 1 plyne p' = 1 — p. Pfiklady. Mame-li dvč kostky A a B, na jejichžto stč- nach pofadem jsou naznačena čisla 1, 2, B, 4, 5, 6, budou s ohledem na čisla, obšma kostkama zarovefi vržena, nasledujici pfipady jedinč a rovnč možne: 218 Pripadu jedinč a rovnč možn^ch jest tudiž 36. a) Do součtu 5 mflžeme dvema kostkama vrhnouti 4krat, totiž: 1, 4; 2, 3; 3, 2; 4, 1. Podobnost, že vrhneme do součtu 4 1 5, jest tedy ^ = -g. Tomuto vyrazu, znamenajicimu, že v 9ti vrzich jednou vrhneme do součtu 5, nesmime však rozumžti tak, jako bychom v 9ti prvnich vrzich pravč jednou museli vrhnouti součtem 5; snad ani do součtu toho nevrhneme, anebo pravč jen jednou, aneb snad vicekrate. Ale vrhneme-li mnoho- krate, pomer počtu vrhfl, jimiž vrhneme do součtu 5, k počtu vešker^ch vrhfl bude se tim vice bližiti k pomeru 1 : 9, čim dele ve hre pokračujeme. Skutečny vysledek se tim vice pri- bliži k podobnosti vyjadfene čisly, čim vetši jest počet pokusfi, a v tomto smyslu tfeba jest vždy ponimati podobnost mathe- matickou. 1 8 Podobnost, že nevrhneme'do součtu 5, jest 1 — g = g. 2 1 b) Podobnost, že vrhneme čisla 3 a 5, jest ^ po- nčvadž jest jenom dvč pfipadfl pfiznivych: 3, 5; 5, 3. c) Podobnost, že vrhneme dvč rovna čisla (paš), jest 6 _ 36 - 6* §. 280. Vztažita podobnost. Posud byla vzata v uva- ženi prosta podobnost, t. j. mčli jsme zfetel k jedinčmu pripadu; naproti tč jest podobnost vztažita, ktera se vztahuje na pfirovnani dvou určit^ch pfipadu. Z možnych pripadu pfi vztažite podobnosti uvažujeme jen ty, kterč jsou pfiznivy bud! jednomu aneb druhemu z obou pfipadfl, všech ostatnich si však nevšimame. 219 Mftže-li se vubec pfihoditi s rozličnych pfipadu, a pri- rovname-li jen pfipady A a B, jimž jest man pripada pfizni- m vych, bude vztažita podobnost P pro prvy pfipad m -f- n’ a n vztažita podobnost P' pro druhy pfipad m n - Vztažitou podobnost Ize takč odvoditi z podobnosti proste. Znjjči-li p a p' proste podobnosti pro pfipady A a B, bude m H p p = P' = m m -{- n m + n m , n s" s n s_ m . n -]_ - S s p + p' p' p + p' - Vztažita podobnost nčjakeho pfipadu rovna se tedy podilu z podobnosti proste onoho pfipadu a ze součtu prostych podobnosti obou pfipadfi. U 'pr. V nadobč jest 18 kuliček, mezi nimiž 4 bile, 6 modrych a 8 červenych. Prosta podobnost, 4 že vytahneme kuličku bilou, jest ^g, 8 „ „ „ červenou pročež podobnost vztažita, že vytahneme _4 spiše kuličku bilou nežli červenou, spiše kuličku červenou nežli bilou, 18’ 4 . ~ 11 8 _LS_ 4- JL “ I 8 4 12 _8 12 1 3 ’ 2 3 ’ Podobnost složita. §. 281. Spočiva-li určeni podobnosti nčjakeho pfipadu na vypočitani nekolika jednoduehych podobnosti, slove takovato po¬ dobnost složita. Tato jest dvoji: bud z nškolika pfipadu se mfiže pfihoditi jenom jediny, t. j. pfipady vzajemnč se vylu- čuji, aneb dve či vice pfipadu spojenych mš, se pfihoditi současnš aneb po sobč. 220 §. 282. Podobnost jednoho z nčkolika pfipadi vzajemne se vylučujicicb. Je-li s počet všech jedinč a rovnč možnych pripadi, z nichž jest m pfiznivych pfipadu A, n pfipadu B, q pfipadu C,. .. tedy m + n + q pfiznivych, že se prihodi nčktery z pripadi A, B, C, . . . , a naznačime-li proste podobnosti tšchto pripadi p', p", p'", . . . , složitou podobnost, že se pfihodi nčktery z tčchto pfipadi, P, bude P' = m P" = p P' 1 pročež P = — m + p + g + s 1 s 1 m s + ¥+l + aneb P = p' + p" + p'" + • • • • t. j. složita podobnost, že se pfihodi nektery z pfi¬ padi vzajemnč se vylučujicich, rovna se součtu prostych podobnosti jednotlivych pfipadi. U pf. Prosta podobnost, že z 32 karet vytahneme coeur-figuru, jest. coeur-kartu, ktera neni figura, jest . . 3 %, carreau-figuru, jest. carreau-kartu, ktera neni figura, jest . - 3 \. Protož bude podobnost, že vytahneme coeur-kartu vibec.A + A = A = i • červenou figuru vubec.iV + = T V červenou kartu, ktera neni figura, . + rs — tj = tč* červenou kartu vubec. & + + rt + A = b §. 283. Podobnost, že nčkolik pfipadi se pfi¬ hodi současnč. Budiž P podobnost, že současne se pfihodi pfipady A a B; je-li onomu m' pfiznivych a n' nepfiznivych pfipadi, tomuto však m" pfiznivych a n" nepfiznivych, budou prostč podobnosti pfipadi A a B: , _ m' „ _ m" ^ ~ m' + n' 1 ^ — m" + n"' Pončvadž pak každy z m' pfipadu pfiznivych A mize se současnč pfihoditi s každym z m" pfipadi pfiznivych B, jest min" pfipadi pfizniv^ch pro současne A a B. Počet všech mo- žnych pfipadi jest (m' + n')(m" + n") proto, že každy z (m' + n') pfipadi pfi A možnych s každym z (m" + n") možnych pfipadu pri B muže se prihoditi. Bude tedy podobnosf, že pfipady A a B prihodi se zarovefi, p _ m'm" __ m' m" _ , „ ~ (m' -f- n')(m" + n"; “ (m' + n') ‘ (m" + n") — P ' P • Jsou-li p', p", p'", .... prostč podobnosti jednotlivych pfipadfi A, B, C, . . . , bude podobnosf, že všecky tyto pfipady prihodi se současnč: P =: p'p"p"' . . . t. j. podobnosf, že nekolik pripadli prihodi se sou¬ časnč, rovna se součinu prostych podobnosti j e d- notlivych pfipadfl. U pf. 32 karty jsou dle barev rozdčleny na 4 hromadky; jaka jest podobnosf, že vytahneme coeur-krale ? Podobnosf, že sahneme nejprve na hromadku coeurovou, jest podobnosf, že z teto hromadky vytahneme krale, jest pročež podobnosf, že oba t.yto pfipady se pfihodi současnč, budp jl y — i §. 284. Podobnosf, že t^ž pfipad opčtnč se pfi¬ hodi. Je-li p prosta podobnost nejakeho pfipadu, bude po¬ dobnosf, že tento pfipad pfihodi se dva-, tfi-, čtyry-, . . . rkrat po sobč, p 2 = p . p = p J , p 3 = p • p • p = p 3 , p 4 = p . p . p . p = p 4 , Pi = P - P • P • • • • = P r ; rkrat t. j. podobnosf, že pfipad se pfihodi nčkolikrate po sobč, rovna se tolikatč mocninč jednoduche podob¬ nosti, kolikrate pfipad ma se pfihoditi. U pf. Jaka jest podobnosf, že dvčma kostkama tfikrat po sobe vrhneme do součtu 7? Podobnosf, že vrhneme jednou součtem 7, jest -g-, tedypo¬ dobnosf, že tfikrate po sobš vrhneme do součtu 7, bude ilV 1 222 * Ma-li se pripad oprtne pfihoditi, často se stava, že pokažde, kdy se stal pnpad, počet možnych i pfiznivych pnpadu o 1 se zmenšf. Je-li tedy — podobnost, že pripad pfihodi se jednou, S tedy bude podobnost, že pripad se pfihodi rkrat, — _HL m — 1 m — 2 m - r -f 1 Pr ” s ‘ s — 1 ‘ s — 2 •••' s — r + 1* U pr. Y nadobč jest 8 bilych a 6 černych kuliček; jaka jest podobnost, že 4krat po sobč vytahneme bilou kuličku, ne- dame-li žadnou vytaženou kuličku opet do nadoby? A A 5 _ 10 14 ' 13 * 12 ' 11 “ 143* §. 285. Podobnost pro rozlične kombinaee nčko- lika pfipadfl. Je-li s jedine a rovnč možnych pfipadfl, z nichž jest m' priznivych pfipadfl A, a m“ pfiznivych pfipadfl B, a znači-li p‘ a p“ prostč podobnosti pfipadfl A a B, tedy Jest pak podobnost, že A se pfihodi. B A se nepfihodi. „ B se pfihodi. , B se nepfihodi. „ A se pfihodi, nikoli B . . „ A se nepfihodi, nybrž B . „ A i B se pfihodi. „ A i B současne se nepfihodi b ani A ani B se nepfihodi . „ se pfihodi bud A anebo B . . P', 1 - P', P". d - P"), P' (1 - P"). (1 - p') p", P'P"> 1 — p'p", (i - p') (i - p"), i - (i - p') (i - p"). Zname-li prostč podobnosti p', p", p' ;/ pfipadfl A, B, C, lze t£mž zpflsobem určiti podobnost každe kombinaee, ktera jest možna s ohledem na to, že tyto tfi pfipady vzajemne se pfihodi aneb nepfihodi. Tak u pf. vyjadfime podobnost, že z tčehto tfi pfipadfl aspofl jeden se pfihodi, vyrazem i - (i - PO (1 - p") (1 - p'"). U pf. Jaka jest podobnost, že dvšma kostkama ne-li po prve tedy aspoii po druhe vrhneme součtem 9? 223 a p' Zde P' = -^ 1 - (1 - pO (1 9 , protož Medana podobnost P") = 1 ~ _ 8 _ 9 8 9 17 81 Mathematicka nadčje a fadnč sazky. §. 286. Mfižeme-Ii neco fysickčho ziskati aneb vyhrati, pri- hodi-li se určity pripad, ma zisk aneb vyhra pred tim hodnotu, kteražto zavisi na včtši aneb menši podobnosti toho pripadu; tuto hodnotu nazyvame mathematickou nadčji. Stane-li se pfipad skutečne, mflžeme i pfed tim naditi se plneho zisku aneb vyhry. Je-li a pfiznivych a b nepfiznivych pričin, na nichžto zavisi, prihodi-li se pripad čili nic, tedy se pfipad nestane jistotnč n^brž jen akrate v (a + b) pfipadech; proto take nelze se na¬ diti uplne vyhry, n^brž jen tolikatč časti jeji hodnoty, kolik udava podobnost p , že vyhrajeme. Znači-li tedy e mathematickou nadčji a v vyhru, jest a e = . v = pv, a + b t j. mathematicka nadeje rovna se součinu v^hry a podobnosti jeji. U pr. Nčkdo sadi 1 zl. na dvč čisel do loterie, obsahujici 90 čisel; kdyby obš čisla byla vytažena, vyhral by 240 zl., jak velika jest jeho mathematicka nadčje? 10 2 Podobnost, že v pčti čislech vyjdou dvč, jest = -g^, 2 480 160 protož e 801 240 = 801 ~ 267 zl. §. 287. Pfi pojištčni, sazce a hfe o penize sadi se určita suma a v pfiznivem pripadč určita suma se vyhraje. Ma-li pak sdzka naproti očekavanč vyhfe spočivati na spravnem zakladč, musi mathematicka nadeje hrače miti tutčž hodnotu jako jeho sazka. Zasada, na nižto každe fadnč pojištčni a každa fadna hra o penize spočiva, je tudiž: Sazka musi se rovnati mathematicke nadčji. Sazku tedy vyjadrime tjmi vzorcem, jako mathematickou nadčji, totiž e = pv, z čehož v = 224 Značf-li e' a e" sazky dvou hraču, jejichž podobnosti, že vyhraji v , jsou p' a p", tedy e' = p'v a e" = p"v, pročež e' : e" = p' : p", t. j. sazky museji byti srovnalostne s podobnostmi pro vyhru. U pf. A se sadi s B, že dvema kostkama vrhne dvč rovna čisla. Podobnost, že vyhraje A, jest {, že vyhraje B, | ; sazky museji tedy byti v pomeru | : | čili 1 : 5, t. j. B musi saditi 5krate tolik co A. Podobnost s ohledem na včk lidsky. §. 288. Prirovnanim listin, v nichžto na četnych mistech po mnoha leta zaznamenavali se lidš zemreli, sestaveny byly ta¬ bu^, kterež uda vaji, mnoholi osob současnč narozenych po určitčm počtu roku jest ješte na živu. Uvedeme zde Sussmilch- Baumannovu tabulku smrtelnosti, vztahujici se na 1000 osob současnč narozenych, a naznačime v ni stari osob pismenem a, počet osob v tom stafi ještč žijicich a n , a m n jich stfedni včk, jenž pak v §. 291. bude vysvčtlen. 225 §. 289. Kterak se vyjadri podobnost, že nčjaka osoba dosahne určiteho stari. Znači-li a n počet osob, ktere z jistčho počtu současnš na- rozen^ch ještž žijf ve staff n rokfi, jest podobnost, že osoba nleta dožije (n + r)teho roku, Močnik-Hora, Algebra. 15 226 pončvadž z a n osob nletych ještž žijicich jest jen a» tr v pžiznivem pfipadč, že dožiji (n + r) rokfl, tudiž a n f r znači počet priznivjch a a n počet všech možnych pripada. U pr. Dle hofejši tabulky smrtelnosti žije z 1000 osob současnč narozen^ch v staži 24 roku jen ještč 471, v stari 50 roka ještč 800; podobnost, že 24tileta osoba dosahne staži 50ti roka, je tudiž = 0-637 . . . §. 290. Ku pravdč podobn^včk osoby znamena počet roka, po jichž uplynuti podobnost, že osoba bude ještč živa, rovna se protivnč podobnosti. tTloha. Ma se určiti (ku pravdč) podobni včk osoby nletč. Znači-li x (ku pravdč) podobny včk osoby Mlete, jest — podobnost, že tato osoba po x letech bude ještč na živu, a pro- tivna podobnost 1-protož =1- z čehož plyne Chceme-li tedy určiti (ku pravdč) podobny včk osoby nlete, vyhledejme v tabulce smrtelnosti počet osob v wtčm roče ještč žijicich; tento počet dčlme dvčma a vyhledejme rok, v nemž počet osob ještč žijicich rovna Se onč polovici. Tento rok udava (ku pravdč) podobny včk, jehož dosahne osoba Mleta. U pf. Jaky jest (ku pravdč) podobny vek osoby 27tilete? S Dle tabulky smrtelnosti jest a 27 = 456, protož -J 1 = 228. Toto čislo jest v tčže tabulce u stčži 58 roku. Tudiž jest (ku pravdč) podobno, že osoba 27tilet£ dožije 58 — 27 = 31. roku. §. 291. Od včku (ku pravdč) podobneho liši se priimčrn^ čili stžedni vek, jenž udava, kolik rokfi nleta osoba prumčrnč by ještč žila, kdyby všech a„ osob tehož stdži mčlo byti na živu rovny počet rokfl. tfloha. Ma se určiti prfimčrny včk osoby »iletč. 227 Je-li z a„ osob nletych za 1 rok na živu ještč a fl+1 , po 2, 3, . . . letech ješ tč a„+ 2 , a n + 3 , • • • , prožila každa z a n+ i osob 1 rok, tedy všecky dohromady prožily a n « roku, pak každa z a„ +2 osob 1 dalši rok, pročež všecky dohromady a„t 2 rokil, a t. d. Součet roku, kolik bude yšecb a n osob ješte žiti, je tudiž a n fi + a n f2 -f- a n f3 +...., kteražto rada ovšem tabulkou smrtelnosti pfestava; protož 3n-f-l +_ a n |2 +_ 9-n-f3 +- a„ udava, mnoholi tech prožitych roku prfimernč pfijde na každou z a n osob. Zde jsme mlčky predpokladaii, že všecky osoby rozličnčho stdfi zemfely pržvč na začatku toho jisteho roku, což nenispravnč proto, že umrti nahazuje se v rozličn^ch časech ročnich. Nejmčnč pochybime, pfedpokladame-li, že všecky osoby umiraj! prilmčrnč u prostred roku, a pfipočteme-li k horejšimu podilu ještč ~ roku. Bude tedy prumčrny včk m n osoby nlete _ 1 r a n fi + a „ t 2 + a n +3 + • • • i H--• Prfimčrny včk naleza se v tabulce smrtelnosti v tretim sloupci. §. 292. Tato nauka o (pravde-) podobnosti lidskeho včku je zvlaštč dfiležita pfi vypočitavani pojistnčho na život, dftchodu doživotnčho, a t. d. Pf iklady. 1) Jakou sumu e musi oteč složiti, aby pojištovaci ustav jeho lOtiletčmu synu za 14 rokil vyplatil 2000 zl., počitame-li 5% urokfi s tou podminkou, že suma e propadne, umre-li syn pfed rokem 24tym? 2000 Nynčjši hodnota 2000 zl. splatnych za 14 roku jest = 101014 zl. (§. 260.). Kdyby bylo jisto, že syn dožije 24teho roku, že tedy pojištčna jistina skutečnč bude vyplacena, oteč by musel složiti 1010-14 zl. Ale pončvadž jest pro ten pžipad jen /171 podobnost — = = 0-88534, musime sumu e považovati za a i o 5 o2 sdzku do podniku, z nčhož, vydafi-li se, pfipadne nam zisk, jehož nynčjši hodnota jest 1010-14 zl. Pročež dle §. 287. jest e = 0-88534.1010-14 = 894-32 zl. 15 * 228 K tčto sumč muslme ještč pripočisti spravni vylohy. 2) Jaka suma A musela by pojišfovacimu listavu pri p(5)% flrokil hned byti zaplacena, aby osoba n(55ti)leta koncem každeho roku dostavala doživotnou rentu r(600 zl.)? Kdyby bylo jisto, že nleta osoba po 1, 2, 3, . . . letech bude ještč na živu, A by byl součet nynčjšich hodnot jednotli- vych dflchodfl, čili hodnot r r r q ’ q* ’ q 3 ’ ‘ položime-li q = 1 + Ale ponšvadž pro tyto pfipady jsou podobnosti a”* 1 a n+a a n+ 3 « i j • • • • * Rn čin 3n musi A se rovnati jen součtu mathematickych nadeji ončch hodnot, tedy . a n +t r . Bn-j -2 r . a n t3 r , ~ ~ r ~ q *"aT ’ q i + a n ' ni a„ q 1 a n q‘ ' a n q* _ r j a n -» , Un +2 , an-j-3 , I — a n i q ** q* q 3 ‘ ’ ’ ‘J’ v kterčmžto vyrazu fada uzavorkovana prestava tabulkou smr- telnosti. Provedeme-li počet pri r = 600 zl., n = 55 a q = l - 05, bude A = 5941-45 zl. Vypočitavani součtu uzavorkovaneho jest vubec velmi roz- vlačne; proto sestaveny jsou tabulky, z nichžto vysledky snadno lze vyčisti. Zpfisobem kratšim, ač ne tak spravnym, rešime tuto ulohu takto: Stfednl včk osoby 55tiletč jest 14'5 rokfl, tudiž (ku pravdč) se podoba, že tato osoba bude uživati renty po 14 rokfl. Dle §. 263., uloha 1) plyne tedy _ 600 ■ (105» - 1) _ A “ 1-05 14 .0 05 “ 5yd9 19 kteryžto vysledek malo se liši od pfedešlčho. 3) Osoba 40tileta chce na začatku každeho roku, pokud bude živa, platiti pojistne r, aby po jeji smrti dčdici obdrželi 229 1000 zl.; mnoholi čini ročni pojistnč, počita-li pojišfovaci tistav 5% firokfi? Stfedni vžk osoby 40tilete jest 22*6 roku, protož (ku pravdč) se podoba, že tato osoba 23krate bude platiti ročni pojistnč, kterč se zapravuje napfed. Dle §. 263., uloha 2) bude tedy r 1000.0-05 _ ro5 ss — l “ 24*14 zl. III. Poučka dvoučlenovd (binomialnd). §. 293. Poučkou dvoučlenovou nazyvame pravidlo, podle nčhož vyvinujeme mocninu dvoučlenu v fadu, spofadanou dle sestupnych mocnin členu prveho a dle vzestupnych mocnin členu druheho. Každou mocninu dvoučlenu s celistv^m a kladnym mocni- telem mflžeme odvoditi ze součinu nčkolika dvoučlenfl, kterčž maji prvy člen společny, učinime-li rovnč i druhč jejich členy. Tak u pf. součin (a + b)(a c)(a + d)(a + e)(a + f), v nčmž položime c = d = e = f = b, mčni se v mocninu (a + b) 5 . §.294. Součin nčkolika dvoučlenfi, kterč maji společny člen. Mame-li vyvinouti součin (a + b)(a + c)(a + d)(a + e)... nasobme prvni dva dvoučleny, jich součin tfetim dvoučlenem, a t, d. Obdržime takto (a + b)(a + c) = a* + (b + c)a + bc, (a + b)(a -f- c)(a + d) = a 3 + (b + c + d)a* + (bc + bd + cd)a + bed, (a + b)(a + c)(a + d)(a + e) = a 4 + (b + c + d+e)a* + (bc + bd + be + cd + ce + de)a* + (bed + bce -f- bde + ede) a + bede a t. d. Zajistč jest patrno, dle ktereho zakonu tyto součiny jsou utvofeny. Prvy člen každeho součinu jest tolikata mocnina mocnžnce a, kolik jest činitelfi dvoučlenovych; v nasledujicich členech ubyva mocnitele tehož mocnčnce v prirozenem pofadku, až v poslednim členu a° = 1, t. j. neprichazi tu a. Součinitel prvebo členu jest 1; druhem, tfetim, čtvrtem,.členu 280 součinitel se rovna součtu sestav z druhych členfl damfch dvou- členft v druhe, tfeti, čtvrtd, . . . tride, považujeme-li každy tento soujem za součin prvkfl v nčm pfichazejicich. Tztahuje-li se toto pravidlo na utvoreni součinu n činitelfl dvoučlenovych (a -f b), (a -f- c), (a + d), . . . (a + p) tak, že (a + b)(a + c) . .. (a + p) = a n + S, (b .. p)a, n - 1 + S 2 (b .. p)a n ~ 2 + ■ • + S n -i(b .. p)a + S n (b.. p), kde vubec Sk(b . . p) znači součet všech sestav o n prvcfch b, c, ... p v fcte trfdč a jednotlivd soujmy považuji se za sou- činy, tedy zakon ten ma tež platnosf, pfipojfme-li noveho čini- tele (a + q). Obdržfme totiž (a + b)(a + c) . . . (a + p)(a + q) fS E (b..p) + lS E _i(b..p). q + S n (b.. p). q. Ale S, (b.. p) + q - b + c + .. + p + q = S, (b .. q). S s (b..p) jest součet amb z prvku b, c,..p, a S,(b..p).q součet amb, jež obdržtme spojenim prvku b, c,.. p s novym prvkem q; pročež S 2 (b . . p) + S, (b .. p). q jest součet všech sestav z prvkfl b, c, . . p, q v druhe tfidč, čili S,(b . . p) + S,(b . . p) . q = S 2 (b . . q). Taktež S,(b . . p) + S 2 (b . . p) . q = S 3 (b . . q), S 4 (b . • p) + S,(b . • p) • q = S 4 (b . . q), S n (b . . p) + S n _i(b . . p) . q = S„(b . . q). Konečnč S„(b .. p) . q = bc . . pq = S +1 (b . . q). Protož bude (a + b)(a + c)(a + d) . . (a + p)(a + q) = a n+1 + S,(b . . q)a n + S 2 (b . . q)a n - x + . . -j- S n (b . . q)a -f~ Sn+i(b . . q). Pravidlo svrchu uvedenč vztahuje se tedy na součin (n ■+• 1) činitelfl dvoučlenovych, ma-li platnosf o n takovychto činitelich. Ale pro 2, 3, 4 činitele toto pravidlo jest spravne, tedy take pro 5 činitelfi, protož i pro 6, a t. d. vfibec pro kterykoli počet činitelfl. Dodatek. Jsou-li nčktere aneb všecky druhe členy dvou- člen4 zaporne, musime podle toho takč jich sestavam co sou- činflm dati naležita znamenka. = > . tl+ {S, ( b"P ) } 1 . + |< b b ;; P)+}a.-. + ..+ 231 §. 295. Mocnina dvoučlenu. Učinime-li v součinu n činitelu dvoučlenovych (a + b)(a -f c)(a + d) ... (a + p) = a" + S, (b .. p)a n_1 + S 2 (b.. p)a n-2 + S 3 (b .. p)a“~ s +... + Sn—i(b .. p)a + S„(b.. p) druh6 členy rovny, t. j. c = d = . . = p = b, bude (a + b)(a + c)(a + d) . . (a + p) = (a + b)“ , dale S 1 (b..p) = b + c4-.-. + P = b-f-b + ... + b = (j^b, S.,(b.. p) = bc + bd +.. op = b s + b a +.. + b s = S 3 (b..p) = bed + bce-{- .. + mop = b 3 + b 3 + -. + b 3 = Q jb 3 , Š n -i(b.. p) = bed ..mo + ..=b n - 1 +b n - 1 + ..+b n - 1 =( n ^ 1 )b n - 1 , Sn(b.. p) = bed.. mop = b n = (^}b n . Dosazenim do hofejšiho vyrazu obdržime tedy vzorec dvou- členovč poučky (a + b) n = a" + (i) ia_lb + + (^a^b* + ... +(„ ” i> b -‘+(>■• Z tohoto vzorce vysvitaji nasledujici vlastnosti poučky dvou- členovč: 1) Mocniny prveho členu a dančho dvoučlenu jsou spo- fadany sestupnš, moeniny druhčho členu b vzestupnč. Mocnitel veličiny a v prvem členu rovna se mocniteli dvoučlenu, v každem nasledujicim členu jest menši o 1, a v poslednim členu = 0, z čehož zaroveft plyne, že cela čada ma o jeden člen vice, nežli mocnitel n dančho dvoučlenu obsahuje jednostf. Mocnitel veli- činy b naopak roste od 0 vždy o jednosf až do n. Součet moc- nitelu obou veličin a a b v každem členu rovna se n. 2) Dvoučlenov^ součinitel prveho členu jest 1; sou- činitel druhčho, tretiho, čtvrteho, . . . (k + l)bo členu jest prvnf, druha, tfeti, . . . fcta dčlena a sestupna faktoriela čisla n. 232 3) Je-li druhy člen b dančho dvoučlenu zaporny, bude druhy, čtvrty, . . . vflbec každy sudy člen rady zaporay; pročež (a - b)- = a* - (J)a»-‘b + g)a“-*b’ 1)“ (J)b“ . V binomialnč fade (a + b)” jest tedy vubec (k + l)nf člen roven (— l) l (j^a n ~ k b 1: . Pf f klady. 1) (x+a)*zx*+(^a+( 2 6 )AH(3)xV+0xV + + ©x a5 + a ' =x 6 +6x 5 a+15x 4 a 4 +20x 3 a 3 -f- 15x 4 a 4 +6xa 5 +a e . 2) (3x-2y) 4 =(3x) 4 -(J)(3x) 3 .2y+g)(3x)*.(2y)*- — ( 3 ) •3x-(2y) , +(2y) 4 = 81x 4 - i -4.27x 3 .2y-f-6.9x*.4y*—4.3x. 8y 3 +16y 4 = 81x 4 -216x 3 y+216x 4 y 4 —96xy 3 -f 16y 4 . 3) Sedmj' člen mocniny (2x 4 —3y) 9 jest (|! j.(2x 4 ) 9 ~ 6 .(—3y)® = 84.8x®.729y 6 = 489888x'y 6 . §. 296. Dvoučlenovou poučku lze takč odvoditi prlmo na zakladž nauky o kombinaclch takto: Nasobfme-li (a + b) tymž dvoučlenem (a 4- b), součin pak opčt (a + b), a t. d. a pfšeme-li v každčm častečnčm součinu nejprvč nasobitele, prozatfm nenaznačujfce mocniny pri rovnycb Činitellch, tedy bude (a + b) 1 = a + b (a + b) 4 = (a + b)(a + b) = aa -f- ab 1 -f- ba -f bbj (a + b) 3 = (a + b) 4 (a + b) = aaa + aab + aba + abb> + baa + bab -f bba + bbbj a t. d. Prirovnšme-li -tyto vysledky k obmčnam o prvcfch a a & s opakovanfm (§. 276., 2), bude patrno, že častky druhč mocniny dvoučlenu (a + b) utvofeny jsou z jeho členu tymž zpflsobem, jako obmšny 2. trfdy s opakovanfm pri prvcfch a a b, že tudiž 233 (a + b)* se rovna součtu obmčn 2. tffdy o prvcfch a ais opa¬ kovanfm, považujeme-li každou obmčnu za součin; taktež (a + b) s se rovnd součtu všech obmčn 3. tffdy o prvcfch a a & s opako- v&nfm, položfme-li každou obmčnu opčt za součin. Pončvadž pak každa vyššf mocnina dvoučlenu (a + b), vyvinuta zpusobem zde naznačenem, soublasf s utvofenfm obmčn pffslušne trfdy z prvkfi a a b s opakovanfm, jde na jevo, že vfibec (a + b) n bude se rovnati součtu všech obmšn utč tffdy pri prvcfch a a 6 s opakovanfm, považujeme-li každou obmčnu za součin. Obmčny však takč obdržfme, jestliže utvoffme sestavy teže tffdy a tyto pak pfestavujeme. Sestavy ute trfdy o prvcfch a a & s opakovanfm, za součiny považovany, jsou dle §. 272., dod. a n , a n-1 b, a n_2 b 2 , . . . a”- i b k , . . . ab n ~S b n . Tyto sestavy museli bychom pfestavovati a obmčny takto vzniklč co součiny sečftati. Ale pončvadž všecky obmčny, kterčž obdržfme pfestavovanfm tčže sestavy, obsahujf tytčž prvky, tudiž za součiny považovany sestavč same se rovnajf, nenf potrebi skutečnč pfestavovati, nybrž každou kombinaci hned nasobfme počtem jejfch pfestav a po tč sečteme všecky tyto součiny, aby- chom obdrželi součet veškerych obmčn. Dle §. 270., 3) jest pak počet pfestav pfi svrchu uvedenych sčstavach pofadem Protož bude jako v §. 295. (a + b) n = a* +(J)a n ~ l b + (j)a”-n>» +... + (”)a"- l b k +.. + ( n ^l) abn_1 + bn - Dodatek. Tymž zpusobem, jako jsme zde vyvinuli po- učku dvoučlenovou, lze take odvoditi poučku mnohočleno- vou (polynomialnou), t. j. vzorec pro (a + b-fc + d+ . •)“, pončvadž tato mocnina se rovna součtu všech obmčn utč tffdy o prvcfch a, b, c, d, . . . s opakovanfm, považujeme-li každou obmčnu za součin. Chceme-li tedy vyvinouti utou mocninu da- neho mnohočlenu, utvoffme z jeho členil sestavy ute trfdy s opa¬ kovanfm, každou sestavu považovanou za součin nčsobfme pff- slušnym počtem pfestav a jednotlivč součiny sečftame. 234 §. 297. Vlastnosti součinitelu dvoučlenovych. 1) Kterikoli dva součinitele, od začetku a konce stejnč vzdalenf, jsou si rovni. Součinitel dvoučlenovy (k + l)ni od začatku jest fn^ __ n(n — 1) . . . (n — k + 2)(n — k + 1) VkJ “ 1.2.(k — 1) . k Dvoučlenovy součinitel (k-j- l)ni od konce bude (n —k-j-l)ni od začatku, tedy T n 1 - n (P ~ 1) • • • (k + 2)(k + 1) Vn — kJ ~ 1.2 . . . (n - k — l)(n — k)' Nasobime-li čftatele i jmenovatele prveho zlomku součinem (k + l)(k + 2) . . . (n - k - l)(n - k), obdržime /tu n(n - 1) . . . (n - k + l)(n - k) .. . (k + 2)(k + 1) IkJ “ 1 . 2 . . . k(k + 1) . . . (n — k - l)(n — k) * protož G) = (.!*> Z tobo jde, že pri vyvinovani fady dvoučlenove treba určiti dvoučlenove součinitele jen až ku stfednimu členu, pri lichčm n jen až ku dvčma stfednim členum, majicim rovnč součinitele, pončvadž součinitele nasledujicich členu v opačnem poradku se opakuji. Dodatek. Z (k) = (n-k) plyllepfil ='° G) = G) = >■ 2) Součet (k + l)ho a Ateho součinitele dvou- členovčho n te mocniny rovna se (k + l)mu dvoučle- novčmu součiniteli (n + l)ni mocniny. r n _n(n — 1) ... (n — k -j- 3)(n — k + 2) lk-1/ “ © = 56 (k- 0+0 1 . 2 D • ■ • (k - 2)(k - 1) (n - k + 2) (n - k + 1). 1 . 2 _ n(n - 1) (k - 1) . k (n — k + 2) pročež ” 1.2.3 _ (n + l)n(n ■ D (k |k + (n -uk - ■ - t+ »i (n — k + 2) _ /n + lj 1.2.3 CT> 235 Dle teto včty mflžeme z dvoučlenovych součinitelu nžjakd mocniny pouhym sečMnim určiti soucinitele mocniny nejblfže vyššl. Tim obdržlme nasledujlci soucinitele po sobč jdoucfch mocnin dvoučlenu: 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 a t. d. Obrazec tento slove Pascalfiv trojuhelnik. 3) Součet (k-J-l)nfcli dvoučlenov^ch součinitelfi itd, (k + l)nf, (k + 2)hd,.až n td mocniny rovna se (k -f- 2)mu součiniteli (n + l)ni' mocniny. Z predešld včty plyne ( k ^ j) = O* *) ~ (“) ; protož Sečteme-li tyto rovnice, obdržime v pravem dilu pouze (k + l) P roto > že (]j ^ ]) = 0 a ostatni členy vždy po dvou se ruši; tudiž (k) + ( k t I )+Ct 2 )+--- + 0=(l lk + 1/ U pf. pfi k r= 2 bude (I)+G)+G) + (I) + • • • + G) = ( n t )• 236 4) Prosty součet všech součinitelfl dvoučleno- vych pfi «tč mocninč rovnd se 2 n . 2- = (1 + 1)” = (°) + (°) + (°) + • • ■ + (°) 5) Algebraicky součet binomialnych součini- telfi stfidavč kladnych a zapornych rovna se nulle. o = a— d- = (S) - (?)+C) -•■■+(- ')■ o §. 298. Poučka dvoučlenova pfi celistvych za¬ pornih moenitelich. 1) Ye vzorci dvoučlenovčm posud značilo n celistve čislo kladnč; poučka tato byla tedy dokazana jen pfi celistvych a kladnych moenitelich. Lze však dokazati, že jest pravdiva i v tom pfipadč, je-li mocnitel zaporny. Pfi celistvem a kladnčm n totiž (i + *)■ = i + + (“>• + (J>* + • • ■ Vyjadfime-li tuto fadu, zavislou na n, necht jest hodno ta mocnitele n jakakoli, R n (fada »), bude K. = 1 + (J)x+ (“>' + (”>■+. . . Je-li R p jina fada, zdvisla na p tak, jako dfivčjši fada na n, a znači-li p čislo jakčkoli, tedy K ' = 1 +(?>+(l) x '+ (s>*+--• Nžsobime-li obč tvto fady, součin bude takč spofadan dle vzestupn^ch mocnin se. Tento součin vyvine se dle pravidel o nasobeni jednostejn^m zpusobem, necht čisla n a, p maji kterč- koli hodnoty; tudiž jest tfeba včdčti, jaky bude součin jen pfi kladnčm a celistvčm nap, pončvadž i v ostatnich pfipadech musi miti platnosf tyž zakon vyvinovani. Jsou-li však nap čisla celistva i kladna, tedy R n = (1 + x)“ Rp = (1 + x)p , R n . R p = (1 + x)”+p . protož 237 Pončvadž n -f- p pfedstavuje čislo celistvč, musi <1 + = i + ( n + p) x + ( n + P)x»+... = n, t „ tudiž 1':; ■ Rp — Pnfp • Tento vyraz byl vyvinut pfi celistve a kladnč hodnotč n a p ; dle predešleho musi byti take spravny pfi kterfchkoli jinych bodnotach nap, pročež musi' miti platnosf obecnou. Položime-li v tomto vyrazu p = — n, tedy Pn • P—n —— Pn—n Pq « Ale P, = l + (J)x + (°)x’+.. 1 , protož Pn » P—n — 1, a P—n — 1 En ZnačMi nynf n celistvč čislo kladne, jest En = (I + x) n , tudiž R_n = ^ = (1 + x)~\ Ale dle hofejšiho označeni jest &-* = ! + (”“) x+ (” 2 ll )x*+ ("“g” ) x’+..., pročež (l + x)- = X + (- D )x+(- n )x* + (-")x> + ..., kde — n mflže znamenati kterekoli zaporne čislo celistve. Z toho plyne, že fada, vyjadfena R n , i pfi zapornem a celistvem n pfedstavuje mocninu (1 + x) n . Posledni fadu lze psati take takto: (l+x)~“ = 1 — , n(n + l) . n(n-f-l)fn+2) 1.2.3 1 1 1.2 2) Je-li mocnitel n celistvč čislo kladnč, nta mocnina dvou- členu pfestava (n + l)nim členem, kter^ž jest Q jx“, pončvadž součinitel ^ členu nasledujiciho, jakož i vsech ostatnich členfi jest nulla. Je-li však n zapora č čislo, nebude součinitel žadnčho členu roven nulle; obdržime pak nekonečnou fadu, kterčž použiti lze jen tehdy, je-li sbihava. Vyšetfime-li podminku jeji 238 1 ■ 1 = - p-T^ + konvergence dle §. 266., dostaneme podil dvou po sobč jdoucich členfi Arfi _ _ n + r Ai r A +i Roste-li n nekonečnč, podil A bliži se nekonečnč k mezi — x; fada jest tudiž sbihava pfi x < 1. Dodatek. Ponevadž (a + b)~ n = a~ n (^ + “) > bude (a + b)- = .-{!+(-/) -4 + r 2 ”) •!?+ b 3 + ( 3*) • F- + * • = a-“ + ( 1 Q y~ n ~ 1 b + ( g n )a~ n “ 2 b* + + ( _ 3 n ) a_n_3b3 + • • • » kteražto fada jest sbihava pfi — <1 čili b < a. a Pfikladj. 1) (1 + x) -1 = 1 — X + X* — X 3 + X 4 — ... 2) (1 — x) _1 = 1 -4- x + + x 3 + x 4 + . . . 3) (a -p b)~ 2 = a -2 — 2a~ 3 b + 3a~ 4 b* — Aa-^b 3 + .., §. 299. Poučka dvoučlenova pfi lomen^ch mocni- telich. 1) Znači-li R n a R p totčž co v §. 298., bude Rn . Rp ~ Rnf p * Budtež pak R q , R r , R e . .. rady tčže podoby jako R« a R p , tedy Rn * Rp » Rq — Rnf;j . Rq — Rn-f-pfq , Rn * Rp * Rq • Rr —— Rnfpf 1 • -Ur “ Rn-f-pfqfr 5 vflbec Rn • Rp • Rq • Rr * Rq • • • Rnfpf^+(;> + .... kde znamena kterykoli zlomek kladny nebo ziporny. Z toho jde, že rada vyjadrena E n pfedstavuje mocninu (1 + x )“ i v tom pflpadč, je-li n zlomek. Poslednl radu mflžeme psati takč takto: (1 + x)k = i + JL . x + + h(h — k) 2. k* • x* + h(h - k) (h — 2k) 2.3 . k 3 . x 3 -f- • 2) Žada vyjadrujlcl mocninu (1 + x) k jest nekonečna proto, že h & k jsou prvočfsla vespolek a žadny součinitel dvoučlenovy tudiž nemflže se rovnati nulle; proto Ize ji použiti jen tehdy, je-li konvergentni. Pončvadž podil dvou po sobč jdouclch členil Arfi _ h — (r — l)k A r rk = ( h 4- k - *> pfi nekonečnčm prib^vanl r bllžl se nekonečnč k mezi — x, bude fada dle §. 266., 1) sblhava, je-li x < 1. h h — Dodatek, (a + b) k = a 5 (i + ~) > pročež 240 (a + b)*=a*{l + (j) -~+(‘) -F + (|) •?-+•-} h /h\ h __! fh\ i-2 = a*+(jj.a k b+yj.a k b» 4 -- , kteražto rada konverguje pfi — < 1 čili b < a. Pfiklady. 1) (1 + x) 2 = l + y.x -1—2T2*^ • x* + !.(-!)(- 3) + 2.3.2* * x -r * X x a X 3 = 1 + f-lr+f6 + ± i r b -vi ir f l\ J, 2) (a + b) m = a m (^l ± —= a m |l ± I “ J ■ — + + G) •^ ± (0 , ^ + \/a + b = (l i " • 7 v — ima + a* m — 1 b* 2. m 2 'a 2 (m — 1) (2m — 1) b* 2.3 . m* * a* + 1 Dle tohoto vzorce mužeme pfibližne určiti neracionalni m kočen VA, položime-li A = a m + x aneb A = a m — x tak, aby mocnina a m co možna nejvice se približila k čislu A. 3) = X/8l^2 = V/ŠT. ^1 — = 9 . (l - -•M 4 - 1 -©“-A = 9. (1 -0-0123456 — 0-0000762— 0-0000009 —..) = 8-88819 . . 241 IY. Arithmeticke rady vyššich fddu. Žady rozdilovč. §. 300. Jestliže v fadč čisel a i) a 2J a 3» a 4> & n i &nf 1 j dle určiteho zakonu po sobč jdoucich, odčitame každ^ člen od nejbllže nasledujiciho, obdržfme fadu rozdilfi: a n a 3 3« n 5 ktera slove prva rada rozdilova dane čili hlavni fady. Členy prve fady rozdilove označujeme A a ) i Aa s , A a 3 i • • • /\an, . . . pročež bude obecnč /\a t , = a n fi — a„. Jestliže z členu prve fady rozdilove taktčž vybledame rozdily A a 2 1 A a j) A a 3 A a *i A a 4 A a 3> • • • Aa n -fi — A Um ... a označime je pofadem A%) A S ^3> A A;,, . . . A^») • • • obdržfme druhou fadu rozdilovou dane fady hlavni. Tfmi zpfisobem odvodime tfeti, čtvrtou, . . . fadu rozdilovou. Odvozeni fad rozdilovych Ize takto zobraziti: a. a, A»1 A 3 a, A 3 «, A a t. d. kde A m a “ znamena vilbec nty člen mte fady rozdilove. §. 301. tJlohy. 1) Obecny člen a n hlavni fady ma se vyjadfiti jejim prvini členem a prvimi členy po sobč ndsledujicich fad rozdilovych. Za, - a n _i = A a “-i ply ne vilbec a n = a n -i + A a «-i» pročež a* = % + A a r Pončvadž prvni fadu rozdilovou s ohledem na nasledujici fady rozdilovč lze takč považovati za fadu hlavni, mfižeme zakond odvozenych pro fadu hlavni použiti tež pfi prvč fadč rozdilovč. Podle toho Aa 2 = A a i + A*a,, pročež a 3 = a s + A a 2 = a i + 2 A a i + A*V Močnik-Hora, Algebra. 16 242 Taktčž bude A a 3 = A a i + 2A 2 a, + A 3 a,, tudiž a 4 = a 3 + A a s = a i + 3A a , + 3A 2 a, + A 3 V Z toho jest patrny zakon, podle nčhož utvofeny jsou vyrazy členu a 2 , a 3 , a 4 . Budiž tento zakon platny take o členu a n , tedy I) a, = a, + (“ ~ 'j A«, + (° J *) A% + ■■■■ pak bude tčž A a « = A a i + ( n i 1 ) A 2a i + • • • + _ -jJ A m a, +... Pončvadž a n + A a n = a n|i, bude s ohledem na §. 297., 2) součet obou vyrazu anfi = a, +(j)A a i + ( 2 ) A 2 a, + • • • + (^) A m a ,-f-... Zakon ten jest tedy spravny pro a ni .i, ma-li platnosf o členu a n ; ale jeho platnosf o a 4 byla dokazana, proto bude takč spravny pro a 5 , a 6 , a t. d. vubec pro všecky členy. 2) Součtovy vzorecsn, t.j. součetprv^chnčlenfl hlavni rady ma se vyjadfiti jejlm prvym členem a prvymi členy rad rozdilov^ch. Pončvadž s 3 = a, + a„ = a, + (a, + A a i) = 2a 4 + A a i; s 3 = s, + a 3 = (2a, + A a i) + ( a i + 2A a , + A 2 a,) — 3a, -f- 3Aa, -f- A' a i j s 4 = s 3 + a 4 = (3a, + 3A a i + A Sa i) + ( a i + 3Aa, + 3A Sa i + A 3a i) = 4a, + 6A a i + 4A 2 a. + A 3 a,, at. d. bude obecnč II) s n = (°) a, +(") Aa, + (g) A 2 a, + ..• •’ - + Cn+l) A “ a ' + Vyčet čili indukci lze jako prvč pfi a n snadno doplniti. Dodatek. Vyraz I) v nejnepflznivčjšlm pffpadč pfestava členem ~ j j A”" 1 a i > nebof nasledujici členy zmizl pro 243 ( D n *) = _j_ J) = • • • = 0; rfraz II) takč musf prestati klenem ( ” ) A n_1 a, proto, že ( q J = ( n “ g ) = .. • = 0. Ale oba vyrazy mohou i dfive prestati, jestliže členy nčkterč fady rozdilove rovnaji se nulle. Arithmeticke fady vyššich radii. §.302. Arithmeticka rada jest mtčho stupn š, jsou-li členy jeji mte rady rozdilove vesmčs rovny. Tak u p?, druhe mocniny pfirozenych čisel tvofi arithme- tickou fadu druhčho fadu; nebot 1 4 9 16 25 36 . . . 3 5 7 9 11 . . . 222 2. . . Arithmetickč posloupnosti (§. 253.) jsou arithmetickč fady prveho čadu. §. 303. tJloha. Ma se ustanoviti obecny člen a„ a součtovy vzorec s n fady arithmetickč. Je-li arithmeticka rada , u 3 , a 3 , a 4 , . . . Hn , • . mteho fadu, bude tu A m a n čislo stale, pročež A^a, = A mf2a i = . . . = 0. Ze vzorcu I) a II) v §. 30i. obdržime tedy D a, =a,+("7 1 )Aa, ^;(“■ 2 " 1 )A■a,+•• + (”“ 1 )A' a ‘• 2) s. = g>, +Q)a«, + ©A’*, + ■■ + („ + Ja- a, • Mame u pr. z fady 1, 5, 11, 22, 41, 71.vyhledati kde A, B, C, . . .V nezavisi na n a aspon V se lišl od nully, pfedstavuje obecny člen arithmeticke rady mteho fadu. Na dukaz toho jest jen tfeba, abychom z a n vyvinuli roz- dily po sobč nasledujici a dovodili, že A m a » jest čislo stalč. Nejprve jest Aa n = anfi — a n = B|(n 4- 1) — nj 4* C|(n + l) 2 — o s l 4* • • • + V|(n + l) m — n m |, z čehož vysvita, že v A a n neni mocniny n m . Yyvineme-li vyšši rozdily, nejvyšši mocnina n bude v každčm nasledujicim rozdllu 245 o jeden stupefi nižši nežli v pfedchazejicim. Rozdily po sobe nasledujici budou tudiž miti tuto podobu: A a » = A + B,n + C, n 2 + • • • + T, n m-2 + U, n™- 1 , A s 3n = A s + Bjn + c s n* + . . . -j- T s n m A A m ' S n — A m _i -j- B m — 1 11, A“ a n — Am , kde A,, A 2 , . . ., B,, B s , . . . a t. d. jsou čisla na n nezavisla; pročež A m a n = A m jest čislo stalč. Prokladani fad. §. 305. Jsou-li čisla a n a si a 3J a 4l • • . a n J • • • 1) členy arithmetickč fady mteho fadu, a položime-li v jejim obec- nem členu (§. 304., 1) a n = A + Bn + Cn* + . . . + Vn“ misto n čislo 1 + np, kde p je stale, n však nabyva pofadem hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, . . ., obdržime čisla a,, ai+p, ax^2p, ai+sp, . . . aifnp, . • . 2) kteraž tvofi arithmetickou fadu mtčko fadu. Nebof ai+np = A + B(1 + np) + C(1 + np) 2 + . . . . + V(1 + n P) m > aneb spofadame-li tento vyraz dle mocnin n, &i+np = a + bn + en 2 + . . . + vn m , kde a, b, c, ... v nezavisi na n a v se liši od nully. Tento vyraz jest však dle §. 304., 2) obecny člen arithmeticke fady mtčho radu. 1. Je-li p čislo celistve, členy nove fady a i 5 a lfp I a l+2p, ai + 3p, • • • a lfnp, ■ • • jsou zaroven členy puvodni fadv 1), kterčž obdržime, jestliže v fadč puvodni vysadime každy člen ptf, prvym počinajice. 2. Je-li p zlomek podoby 1 r + r kde r znači celistve čislo, nova rada a n a j+_L.i a 1+ r , a 2 , a 2+ j_, . . • r+l r+l T r+1 1+1 pfedstavuje čisla, kteraž obdržime, jestliže mezi dva a dva členy fady 1), počinajice členem prvym, vložime r nov^ch členfi, ktere s členy pdvodnimi tvofi arithmetickou fadu tehož fadu. 246 §. 306. TJ 1 o h a. Mezi dva a dva členy arithme- ticke fady mtčho fadu ma se vložiti r členil. V obecnem členu an =a ,-}-( n 1 ^«, + (“2 1 )A , a,+... + ( n in 1 )A“a l položme misto n čislo 1 + r tedy obdržime n A n(r -f 1 — n) . „ aii ._n_ - «i - r + 1 Aa , 1 . 2 . (r + 1) ,A 3l + • • • a v tomto vyrazu dosadme za n pofadem hodnoty 0, 1, 2, 3, . . r, . . . . Rešeni jest spravne dle §. 305. Dodatek. Mame-li mezi dva určite, po sobč nasledujici členy at a ak« vložiti r členil, použijeme vzorce, odvozenčho v dodatku k §. 303. a kfn = ak + ( l)A a k + Q)A* a k + • . • + (^)A m a k > v nčmž misto n položime pofadem hodnoty f ... r r+T' Pr i ki a d y. 1) Mezi dva a dva členy fady tfetiho fadu 1, 64, 343, 1000, 2197, . . . mame vložiti dva členy, kterč s danymi členy tvori fadu te- hož fadu. Zde a, = 1, A a i = 63, /\ 2 a, = 216, /\ 3 a, = 162; pročež = 1 + 21n — 12n(3 — n) + n(3 - n)(6 — n) 3 = 1 + 3n + 3n 2 + n 3 = (1 + n) 3 . Položime-li n = 0, 1, 2, 3, 4, ... , obdržime proloženou fadu 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, .... 2) Dle tabulky, obsahujici Briggovy logarithmy všech čisel od 1 až do 1080 o 8 mistech desetinnych, ma se vypočitati log 107126 o tčmž počtu mist desetinnych. Postači, vyhledame-li mantissu pro log 1071*26, ležici mezi mantissami logarithmu 1071 a log 1072. Jednak z tabulky, jinak opčtn^m odčitanim obdržime v jednostech 8. mista desetinneho: 247 čisla k 1071 1072 1073 1074 mantissy 1. rozdil 2. rozdfl a k A a k • A 3 ak 1075 3140846 T Druhy rozdil mužeme již považovati za staly, mantissy pak za fadu druhčho fadu. Vložime-li tedy mezi prvč dvč mantissy r = 99 členii a vezmeme-li z teto proloženč fady člen 26ty musfme v obecnem členu položiti k = 1071, n = 0-26, a k = 2978947, A«k = 40532 a A*3k = — 39, pročež a k = 2978947 fiadj součtove. Čisla obrazcova (figurovanš). §. 307. Ustanovime-li z arithmetieke fady a, a + d, a + 2d, a -J- 3d, a -f 4d, . . . 1) posloupnč součet 1, 2, 3, 4, . . . členil, obdržime fadu a, 2a + d, 3a + 3d, 4a + 6d, 5a + lOd . . . 2) Naložime-li s touto fadou tak jako s pfivodni a s každou novč utvorenou radou tymž zpusobem, obdržime fady a, 3a -j- d, 6a -f- 4d, lOa -j- lOd, 15a -f - 20d, ... 3) a, 4a + d, lOa + 5d, 20a + 15d, 35a + 35d, ... 4) a t. d. Žady 2), 3), 4) . . . slovou součtovč fady; jsouf pak arithmetickč fady druheho, tfetiho, čtvrteho, . . . radu, jak již patrno z jich odvozeni. Puvodni rada jest fadu prveho. Pfi a = 1 slovou čisla všech rad pfedcbazejicich čisla obrazcova čili figurovana a sice vztažnč radu prveho, dru- hčho, tfetiho, . . . (J)Aat = 10538 (“)A'a. = 4 tudiž aio 7 i -26 = 2989489 vjednostech8. des. mista, log 107126 = 5-02989489. 248 §. 308. Uloha. Ma se určiti obecny člen pro rady čisel obrazcevych. m Naznačime-li ntf člen figurovanych čisel mtčho fadu a n , majice zfetel k tomu, že obecny člen každe fady čisel figuro- van^ch jest součet n členfl fady primo pfedchazejici, tedy v«bec 1 = C +"■7 2 ) +(“ + “-> kteryžto vyčet snadno Ize doplniti. §. 309. Obrazcova čisla druhčho fadu 1, 2 + d, 3 + 3d, 4 + 6d, 5 4- lOd, . . . slovou zvlaštč čisla polygonalna či mnohouhelnikova (mnohoroha). Položime-li tu posloupnč d = 1, 2, 3, . . . obdr- žime čiselne fady i, 3, 6, 10, 15, . . . 1, 4, 9, 16, 25, . . . 1, 5, 12, 22, 35, ... a t. d., kterež slovou fady čisel troj-, čtyr-, petiuhelnikovych, a t. d., pončvadž tolik bodu, kolik tato čisla udavaji, sestaviti lze v pravidelne troj-, čtyr-, pčtMhelniky a t. d. 2 Z obecneho členu pro figurovana čisla druheho fadu a„ = (?) + (a ) 4 jjfjj - j- pfi d = 1, t. j. pro čisla trojuhelnikova a n = —^—, „ d = 2, „ „ „ čtyruhelnikova a n = n*, „ d = 3, „ „ „ pčtiuhelnikova a n = ——a t. d. 249 §. 310. Obrazcova čisla tretlho radu 1, 3 + d, 6 + 4d, 10 + lOd, 15 + 20d . . . slovou zvlaštč čisla pyramidalna čili j e h 1 a n c o v a. Položlme-li poradem d = 1, 2, 3, . . ., obdržlme fady pyramidalnych čisel troj-, čtyr-, petibokych, totiž: 1, 4, 10, 20, 35, . . . 1, 5, 14, 30, 55, . . . 1, 6, 18, 40, 75, ... a t. d. 3 Z obecneho členu pro figurovana čisla tfetlho fadu a„ = ( n *) + ( D ^ 1 )d plyne pri d = 1, 2, 3, . . . pro trojboka čisla pyramidalna a„ = „ čtyrboka „ B a n = „ petiboka „ „ a n = B(n ~{- l)(n -j- 2) 1.2.3 ’ n(n + l)(2n + 1) 1.2.3 n 8 (n + 1) 1.2 ’ a t. d. Dodatek. V zbrojniclch by vaji dčlovč koule složeny na hromadach troj- aneb čtyrbokych tak, že každa koule spočlva na tfech nebo čtyrech koullch. Končl-li se hromada j edin o u koull, musl počet koull v každč vrstve byti čislo troj- nebo čtyr- tihelnlkove, a počet koull v cele hromadč bude troj- aneb čtyr- boke čislo pyramidalne. Nenl-li však hromada tiplna, vyhledame počet všech koull, jestliže od počtu koull v uplnč hromadč ode- čteme počet koull v jehlanu schazejlclch. U pr. Trojboka, čplnS ukončena hromada koull sklada se z osmi vrste V; a) mnoholi koull jest v podstavč a 6) mnoholi v celčm jehlanu? 2 8.9 a) Podstava se sklada z a 8 = —^— = 36 koull. • s 8 . 9 . 10 b) V celčm jehlanu jest a 8 = ‘ 2 ■ g — = 120 koull. Y. Rešeni vyššlch rovnic čxselnych. §. 311. Obecny tvar člselne rovnice »»tčho stupnč o jedne neznamč jest X m + A, X m—1 + A s X m—2 + . . . + Am-l X + Am — O, 250 kde součinitele A 1? A s , . . . A m znači zvlaštni kladna nebo za¬ porna čisla, nčkteri ostatne mohou se i rovnati nulle. Vyraz zavisly na menlivč veličine x slove u k o n čili funkce x a znači se f(x), F(x), cp(x), ip(x), . . . Položfme-li tedy mnohočlen X m + A, X m_1 + A s X m - 2 + . . . + Ana —1 x + A m = f(x), mužerae dle tohoto označeni predstaviti hofejši rovnici takto: f(x) = 0. Obecnč včty o rovnicich. §. 312. Mame-li nejkratšim zpusobem odvoditi pravidla, podlč nichž koreny rovnice zavisi na jejich znamych čislech, t. j. na nejvyššim mocniteli nezname a na součinitelich jednotli- vych členu, vezmeme m čisel x p x a , x 3 , . . . x m _i, x m , kteraž mohou byti celistva nebo lomena, kladna nebo zaporna, nera¬ cionalna ano i pomyslna, a součin (X - Xj) (X — X a ) (X-X 3 ) . . . (X — X m -l) (X — X m ) vyjadrime f(x); bude pak f(x) = X m -f- A,X m-1 + AjX m_2 -f A 3 X m_3 + . . . + A m —1 X + Am , kde dle zakonu dokazaneho v §. 294. A, =: - (Xj + Xj -j- X 3 . . . + x m~l -f- X m ), A s — Xj X 2 -j- X, x 3 -f- . . . -J- Xm— 2 X m -}- X m -1 X m , A 3 = — (x,X s X 3 -f X,XjX 4 -f . . . + X m —2 Xm_ i Xm Am—i — ( l) m * (x, • . • X m —2 Xm—1 “j* • • • ""f" XgXg • • • Xm—1 Xm Am ( l) m XoXg . • • Xm—1 Xm • Součin f(x) = (x — x t ) (x — X„) (x — X 3 ) ... . (x X m -l) (x—X m ) = X” + A^”- 1 + A 2 X m ~ 2 + . . . + Am—1 X + Am bude zajiste rovnati se nulle, dosadime-li v nčm za os nčkterou hodnotu x,, x„ x 3 , . . . x m _i, x m . Považujeme-li tedy f(x) za mnohočlen rovnicovy tim, že položime f(x) = x ra + A^”- 1 + A., x“- 2 + . . . + Am —1 X + Am = o, budou x,, x 3 , x 3 , . . . x m _j, x m kofeny, pročež x — x,, x — x 8 , x — x s , . . . x — x m korenov! činitelč tčto rovnice. Rovnici f(x) = 0 vyhovuje tedy všech tčch m hodnot, z nichž jeji součinitelč A,, A s , A 3 , . . . A m -i, A m se skladaji zpflsobem 251 svrchu uvedenem, ale vyhovuje ji jen ončch m hodnot. Protož rovnice f(x) = O nemfiže miti vice nežli m kofenu. Ponevadž x,, x 2 , . . . x m _i, x m mohou byti čisla libovolna, jak jsme pfedpokladali, a součinitele každe spofadanč rovnice »nteho stupne Ize považovati za utvofene z m takovychto čisel zpusobem svrchu naznačenem, musi b^ti platno, co posud o rovnici f(x) = 0 dokazano, take pro každou jinou rovnici uve- denou na tutež podobu. §. 313. Z pfedchazejiciho plynou tyto dflležite včty: 1. Každa rovnice mteho stupnč ma m kofenu. Kofeny mohou beti realne anebo pomyslne, v prvem pfi- padč pak eelistvč nebo lomene, kladne aneb zaporne, aneb i neracionalne; rovnice muze miti take dve nebo nčkolik kofenu rovnech. 2. Mnohočlen rovnice na nullu uvedene rovna se součinu všechjejich činitelfi kofenovech, proto součinitel prveho členu = 1, součinitel druheho členu jest roven součtu všech korenfl, jejichžto znamenka zmčnčna jsou v opačna, součinitel tPe¬ ti h o, čtvrteho, . . . členu rovna se součtu sestav druhč, tfeti, . . . tfidy, posledni člen (bez x) jest roven součinu všech kofenu položeuych sopačn^mi znamenky. 3. Každy kofen rovnice jest činitelem posled¬ ni h o členu j e j i h o. 4. Mnohočlen f(x) rovnice uvedene na nullu jest dčlitelny každym kofenovym činitelem x — a, a na- opak: Je-li f(x) deliteln^ x — a, musi a byti kofenem rovnice f(x) = 0. Delime-li mnohočlen rovnice uvedene na nullu nčkterym činitelem kofenovym, podil bude roven součinu všech ostatnich činitelh kofenovech. Považujeme-li tento podil za rovnici, budou jeji kofeny zarovefi kofeny rovnice pflvodni. §. 314. Mechanickym zpdsobem určime podil ^ , jakož i veličinu f(a) pfi libovolne hodnotč a X Si takto: 252 Je-Ii f(x) = x m + A,x m_1 + Aj x m - 2 + ... + A m _ix + A m ? a = x“-i+ B, x m “ 2 + B 2 x m_3 + . .. + B m _2 x-f-B m _i + A di T) +—-, tedy dle obyčejneho zpusobu pri dčleni obdržime X di B, = a + A,, B 2 = a 2 + A, a + A 2 , B 3 = a 3 + A, a 2 + A 2 a + A 3 , B m _i = a" 1 - 1 + A, a™- 2 + A 2 a m - 3 + . . . + A m _ 2 a + A m _i, R = a m + A, a m_1 + A 2 a m—2 + . . . -f- A m — i a + A m . Jak patrno, zbytek R obdržime, jestliže do daneho mnoho- členu f(x) dosadime x = a, tedy R = f(a). Dosadime-li hodnotu každeho tohoto součinitele do vyrazu součinitele nej bliže nasledujiciho, bude B, = a + A,, B 2 = (a + A,) a + A 2 = B, a + A 2 , B 3 = (a 2 + A t a + A 2 ) a + A 3 = B 2 a -f- A 3 , B m _ i — B m _ 2 a + A m _i, R = B m _ 1 a + Am. Prvni součinitel v podilu rovna se tedy prvčmu součiniteli v dčlenci (zde 1); každeho nasledujiciho, u pr. fcteho součinitele v podilu obdržime, jestliže pfedchdzejiciho součinitele nasobime a a k součinu pfipočteme fcteho součinitele v dčlenci. K ustanoveni po sobč nasledujicich součinitelu v podilu —■— poslouži schema toto: x — a r 1 A, A 2 A 3 .... Am—1 Am i. a B,a B 2 a Bm—s a Bm—ia aj ~1 B^ b; B s . . . . B m _! R Obdržime-li R = f(a) = 0, bude a kofenem rovnice f(x) = 0. Budiž u pr. f(x) = x 4 + 2x 3 — 13x* — 14x + 24 = 0, pročež pri x = 4 1 + 2 — 13 — 14 + 24 + 4 + 24 + 44 + 120 • 1 + 6 + 11 + 30 + 144; 4 ) 253 x _ 4 rovna se tedy podilu x 3 + 6x 2 + llx + 30 a zbytku R = f(4) = 144, z čehož jde na jevo, že 4 neni kofenem dane rovnice. Pri x = 3 bude 1 + 2 — 13 — 14 +24 ^ +3+15 + 6-24 > 1 + 5 + 2 - 8 0; pročež x = x 3 + 5x 2 + 2x — 8 a zbytek R = f(3) = O, tudiž jest 3 kofenem rovnice. §. 315. Ma-li čiselna hodnota ukonu f(x) za dvč substituce realnych bodnot x = a, x = b opačna znamčnka, leži mezi a a b aspofi jeden realni kofen rovnice f(x) = 0. D ukaz. Budiž f(x) = x m + A, x m—1 + A 2 x”- 2 + . .. + A m _ix + A m = 0. Položime-li misto x všude x + h, kde h jest velmi male, tedy f(x + h) = (x + h)” + A, (x + h)”- 1 +... + A m _! (x + h) + A m , aneb vyvineme-li tento vyraz a spofadame-li dle vzestupn^ch mocnin A, f(x + h) = f(x) + C, h + Cjjh* + C 3 h 3 + . . . , aneb f(x + h) - f(x) = C, h + C s h s + C 3 h 3 + . . . , z čehož plyne, že pfi velmi malych promčnach h take f(x) velmi malo pfibyva aneb ubyva, tudiž pfi nepfetržitem mšnžm' x take f(x) nepfetržitž se mšni. Myslime-li si tedy, že x nepfetržitč pfechazi od a ku b, bude take f(x) nepfetržite od f(a) pfechazeti k f(b), a pfitom, maji-li f(a) a f(b) opačna znamčnka, projde nullou aspofi j e d n o u. Dodatek. Maji-li f(a) a f(b) opačna znamčnka, mflže f(x) od x = a ku x = b takč tfi-, pčt-, vubec (2n + l)krat projiti z kladneho k zapornemu a naopak, pfi pfeehodu pak rovnati se nulle, pončvadž po dvojnasobnčm pfeehodu objevi se opčt zna- menko pdvodni; t. j. maji-li f(a) a f(b) znamčnka opačna, mflže mezi a a b byti i vice realnych kofenfl rovnice f(x) = O, ovšem vždy jen v počtu lichem. 254 §. 316. Jsou-li ve funkci f(x) součinitele čisla celistva, všecky racionalne korenv rovnice f(x) = O jsou take čisla celistva. Dejme tomu, že by v rovnici f(x) = x m + A, x m_1 -f- A 2 x m-2 + • • • + A m _i x + A m = O jeden kofen byl čislo lomenč x = vespolek, tedy by jP q , kde p a q jsou prvočisla ( E)‘ +A ,(Er + A,(Er + ... + A„,(i)+A.=o, což nasobeno q m_1 da ~=~ (Al p*- 1 + AjP™ -2 q + . .. + Am-t pq m—2 + A m q”- 1 ); T) m zlomek ^ musel by se tedy rovnati celistvemu čislu, což ne- možno proto, že p a q jsou prvočisla vespolek (§. 74., 6). §. 317. Promčnime-li v rovnici znamenka všech členu na sud^ch mistech v opačnd, pfi čem dlužno miti ohled i ku členfim snad schazejicim, veškere kofeny v novč rovnici maji protivne hodnoty ko¬ lenu v dane rovnici. Dana-li rovnice f(x) = X m + A, x m_1 -f- A 2 x® - 2 + A 3 x m " 3 + ... + A m— 1 X -f Am = O a je-li a kofen rovnice F(x) = x m — A, x m_1 + A s x m_2 — A 3 x m ~ 3 -f- . . . . . . (- l)*- 1 A m _ix + (- 1)” A m = O, tedy pri sudčm m bude patrnž f(— a) = F(a) O, pfi lichčm m pak f(— a) = — F(a) = 0, v každem pfipadč tedy — a kofenem rovnice f(x) = 0. Touto vštou pfevadi se fešeni čiselne rovnice na určeni korenfi kladnych. Chceme-li totiž vyhledati kofeny zaporne, pro- mčnime znamenka sudycli členfl v opačna a vyhledame kladne kofeny teto rovnice pfetvorene; dame-li tčmto pak znamčnka opačna, obdržime zaporne kofenv pflvodni rovnice. Určovani racionalnych korenu. §. 318. Jsou-li v rovnici f(x) = x m + A, X ™-- 1 -f A.,x m ~ 2 + . . . 4- A m —1 x -f Am = O součinitele A,, A 2 , . . . A m čisla celistva, museji kofeny, 255 jsou-li racionalne, takš byti čisla celistva(§. 316.). V tomto pflpadč Ize určiti kofeny jednoduchym zpfisobem dle včty, že každy koren rovnice jest činitelem posledniho členu jejlho. Vy- hledavše tedy všecky činitele posledniho členu A m , zkoušlme dosazovanlm, ktefl z nich uvadejl rovnici na nullu. Prospššne dosazovati Ize mechanickym zpflsobem uvedenym v §. 314. Shledame-li, že činitel a jest korenem rovnice f(x) = O, mužeme pak dosazovati tymž zpusobem do podllove rovnice f(x) —__ — O, kteraž obsahuje ostatnl koreny dane rovnice f(x) = 0. U pr. Budiž dana rovnice x 4 — x 3 — 7x 2 + x + 6 = 0. v Činitele posledniho členu 6 jsou +1, + 2, + 3, +6. Dosazenlm tčchto činitelu obdržlme + D ~ 1 ) 1 — 1 - 7 +1 + 6 + 1 0-7-6 1 0-7—6 O — 1 +1 +6 1-1 — 6 O + 2) r + 2+2 + 1—4 Patrno, že + 2 nenl korenem dane rovnice, pročež - 2 ) + 3 ) 1 - 1 — 6 — 2+6 1—3 O + 3 1 O Kofeny rovnice danč jsou + 1, — 1, - 2 a + 3, tudiž nenl potrebi zkoušeti ostatnl činitele — 3 a + 6. Ma-li poslednl člen mnoho dšlitelu, bylo by takoveto vyhle- davanl kofenfl rozvlačne. Stavajl sice rozlična pravidla o kratšlm provedenl toho počtu; ale nemfižeme je zde vziti v uvaženl. §. 319. Jsou-li v rovnici f(x) = x m + A, x m_1 + A 2 x m - 2 + • . . + A m _i x + A m ^ = O součinitele A,, A 2 , A 3 , . . A m , aneb nšktefl z nich čisla lomen a, mdžeme ji vždycky pretvofiti na jinou rovnici, jejlž součinitele jsou celistva čisla, položlme-li totiž misto x všude —, 256 kde q jest nejmenši společny nasobek všech jmenovatelft lomenych součinitelfi, a nasobime-li pak q m . Yšecky racionalne koreny pfetvofene rovnice jsou celistva čisla, ktera lze vyhledati dle §. 318; dčlime-li každy koren čislem q, obdržime koreny dane rovnice f(x) = 0. Určovani kofenfi. neracionalnych. §. 320. Nejsou-li koreny rovnice s celistvymi součiniteli čisla celistva, jsou neracionalna (§. 316.). Dosadime-li do rovnice po sobš nasledujici čisla O, 1, 2, 3, ..., pozname dle znamenek vfsledkd (§.315.), mezi kterymi meznymi hodnotami leži kladnč neracionalne koreny teto rovnice; pak bude jen potfebi, aby- chom z vybledanych meznych hodnot vypočitali mezi nimi ležici kofen tak spravnč, jak se pravč vyžaduje. Určeni zapornych kofenfi neracionalnih lze prevesti na vypočitani kofenfi kladnych (§■ 316.). Neracionalne kofeny vypočitavaji se pfibližnč zpfisobem rozličnym. I. Nevrtonuv zpusob pr!Mižny. Budiž Xj kofen rovnice f(x) = x m + A, x m-1 + A 2 x m_2 + — + Am-i x + A m = O, a pak pfibližna hodnota toho korene takova, že x, = a -f- h. Vubec jest f(x -j- h) — (x-j- h)” 1 -j- Aj (x -f-h)™- 1 -j-... -j- Am—i (x-j~b) -j - A m O, aneb spofadame-li vyraz dle mocnin h, f(x + h) = f(x) + hf,(x) + h%(x) + h%(x) + . . . , kde f,(x) = mx m_1 + (m — 1) A, x m_ ' 2 + • • • + A m _i, a taktčž f s (x), f 3 (x), . . . na h jsou zavisle. Pfi x = a bude tedy f(a + h) = f(a) + h f,(a) + h%(a) + h 3 f 3 (a) + - . . Pončvadž a + h jest kofenem rovnice, tudiž ma byti f(a + h) = O, musime h určiti tak, aby f(a) + h f,(a) + hf,(a) + h 3 f 3 (a) + . . . = 0. Je-li h < 1, bude h*, h 3 , . . . ještš menši; vynechame-li tedy 257 členy s h 2 , h 3 , . . . v , f(a) procez h ~ — obdržfme približaš f(a) + hf, (a) = O, a -j- h a — f(a) fi(a) = a, a 3 = a, jakožto pffbližnou hodnotu korene. Naložfme-li s a, tymž zpftsobem jako prve s «, obdržfme f( a.) h ( a i) jakožto druhou pffbližnou hodnotu ještš určitšjšf; a t. d. Prfklad. f(x) = x 3 — 4x 2 — 7x + 4 = 0. Pri x = O jest f(0) = + 4, pri x = 1 vsak f(l) = — 6, z čehož plyne, že jeden kofen rovnice leži mezi 0 a 1. Ponevadž f,(x) = 3x 2 — 8x — 7, bude pro prvni hodnotu pffbližnou a = O, f(a) = + 4, f, (a) = — 7; 05. a, ° + 4 Pro druhš priblfženf jest a, = 0*5, f(aj) = — G'375, f, (a,) = — 8’25; », = o,-gp = o-«. Pro tfetf pfiblfženf bude a s = 0-45, f(a s ) = 0131125, f, (a„) = — 9-9925; n .. K , 0131125 n . ao a 3 - 0 4o + 9 . 9925 - 0 463. Pro čtvrte pfiblfženf jest = 0-463, f(a,) = 0-0C0776847, f, (a 3 ) 0-000776847 a 4 = 0-463 + — 10-060893; = 0-4630 7721, 10-060893 kteražto pffbližna hodnota jest spravna na 8 mfst desetinnych. Tfmto zpfisobem mohli bychom vyhledati take ostatnf ko- feny rovnice. Lepe bude, vyvineme-li podflovou rovnici ffx) = x- 3-53692279 x - 8-63878683 = O x — 0-46307721 a fešfme-li tuto rovnici kvadratickou. Z te totiž vypočftame x = 5-1985 2321 a x = — 1-6616 0042 jakožto ostatnf dva kofeny danš rovnice. Močnik-Hora, Algebra. 17 258 Newtonfiv jednoduchy zpfisob vede sice velmi rjchle k dli, ale pfedpoklada, že zname již dosti približenou hodnotu korene, jinak bychom se ku korenu nejen nebližiii, nybrž dokonce od neho se mohli vzdalovati. Zaroven nevysvita ze zpusobu sa- meho, kterak by bylo možno posouditi hned take spravnosf každč hodnoty približni. Protož zde uvedeme jiny pfibližny zpfisob, jimž meze kofene, nechf se jakkoli od sebe lišf, vždy vice se sbližuji, a z nčbož takč posloupnč a bezprostčednč meze chyby Ize poznati. II. zpiisob približny. §. 321. Vyvodili substituce x = a a x = b, kde a < b-, z rovnice f(x) = O vysledky f(a) a f(b) s opačnymi znamenky, musi aspoii jeden koren x, dane rovnice ležeti mezi a a b. a jest korenem rovnice f(x) — f(a) = O, pročež musi roz- dil f(x) — f(a) byti delitelny x — a; položme pak —-- a ' = a a x, < b, a proto ffb) f(a) * pfedstavuje čislo kladnč, tK x i) však čislo zaporne, museji oba ukony (pfa) a ^(x,) byti kladne. Položme pak, jelikož nezname (x,), v kladnych Členech ukonu cp(x ) a f{x) misto x všude b , v za¬ pornih však a, a naznačme vysledky vztažnč qp(b,a) a ^(b,a) f budou i tyto kladne, a f(b,a) > pročež f(a) „ f(b) x 1 > a cp(b,a)’ x, < b ^(b,a)’ 259 čimž obdržime dve vztahu: f(a) a < a (b,a) ^(b,a) 1 Tudiž jest a fejši prfbližnou mezi kofene x,. Je-li však vysledek dosazeni f(a) kladny a f(b) zaporny, položme v kladnych členech nkonu ( a,b). f(a) Soudime-li jako prve, shledame, že a — { a,b) 17 * 260 Pro prvni pfibliženi, jelikož a = O a b = 1, bude f(a) = + 4, f(b) = - 6, leži mezi 1 a 2 aspon j eden koren realny. Položime-li a = 1, b = 2, obdržime a, - a- i J* ) , = 1 + 001 = 1-01, 9>(b,a) b, = b — = 2 — 0-006 = 1-994. ty b,a) Ponžvadž a, velmi nepatrnč se bližl k b,, lze se domnivati, že dana rovnice ma nčkolik korenu, ležicich mezi a a b. Dosazenim hodnot mezi 1 a 2 obdržime tedv pfi x — Pl | 1-2 | 1-3 1-4 | 1-5 ! 1-6 | 1-7 f(x) = —0-171+ 0‘84’j + 1-21 + 1-12|+ 0-75I+ 0-28|— Oll! « I 1-8 I 1-9 j_ 0-24;+0-07' Rovnice ma tedy skutečnč tri koreny mezi 1 a 2, a sice prvy leži mezi Pl a l - 2, druby mezi 1-6 a 1-7, tfeti konečne mezi P8 a l - 9. Z tčchto užšich hodnot meznych pak nnlžeme použitim zpusobu pfibližneho vypočitati každy z techto tli ko¬ renu tak spravnž, jak jen chceme. III. zpfssob približny. §. 322. Mnohdy se vyhodnč použiva k Fešeni rovnic na- sledujiciho zpfisobu, znameho jmenem Regula falsi. Mame-li vypočitati kolen x, rovnice f(x) = 0, a obdržime-li substituci a a J vysledky f(a) a f(b), budou a a l tim bliže prave hodnote x,, čim menč f(a) a f(b) se liši od nully; x, — a = « a x, — b = /3 znači tudiž cbyby v substitucich, a f(a), f(b) chyby ve vysledcicb. S ohledem na §. 320. jest f(a) = f(x, — «) = f(Xj) «f,(x,) + a*f,(x,) — a 3 f 3 (x 1 ) + , . ., f(b) = f(x, - §) = f(x,) - /Jf, (X,) + /3%( Xl ) - n ( X] ) + ..., kde fj (x,), f s (x,), f 3 (Xj) . . . nejsou zavisle na a a /J. Jelikož f(x,) = 0, plyne pfi velmi malem a a /3 pFibližnč f(a) = — afj (x,), f(b) = — /3f, (x,), pročež f(a) _ u _ X; — a f(b) ~ P ~ x, — b’ t. j. chyby ve vysledcich maji se k sobč jako cbyby v substitucich. 262 Z teto všty pfibližnš prave plyne pak _ bf(a) — af(b) _ (b — a)f(a) 1 - f(a) - f(b) " ' f(a) - f(b) jakožto spravnšjši hodnota hledaneho korene. Vezmeme-li pak zase tuto novou hodnotu co jednu sub- stituci, a dle vysledku bud jednu dfivšjši hodnotu pfibližnou, aneb i jinou hodnotu, ktera se zda vyhodnou, co substituci druhou, obdržime dle posledniho vzorce ještč spravnšjši hodnotu x,, a t. d. Budiž dana u pr. rovnice f(x) = x 3 — x* + 5x — 6 = 0. Pfi a = 1 bude f(a) = — 1, b = 2 „ f(b) = + 8; pročež a, = 1 + 4 = l' 1 - a, = M, f(a,) = — 0'329, (hodnota pfiliš mala) b, = 1-2, f(b,) = + 0-288; b 3 = 1-1 + 0-0329 0-617 1-153. = 1-153, f(a 3 ) = — 0-031601, (hodnota pfiliš mala) = 1-16, f(b a ) = + 0-015296; a 3 , . 0-000221207 1-153 + (1046897 = 1-15772, kteražto hodnota korene jest spravna na 5 mist desetinuych. Pravidla zvaneho Regula falsi lze použiti takš k rešeni rovnic transcendentni c h. Je-li dana u pf. rovnice x x = 10, obdržime z ni x logx = 1, procež f(x) = x logx — 1 = 0. Jelikož patrne musi byti x > 2 a x < 3, vyšetrime substituci 2-5. Pfi a = 2-5 bude f(a) = — 0-005150, z čehož jde na jevo, že hodnota 2-5 jest sice mala, ale velmi se bliži ku kofenu. Vezmeme-li 2-51 co druhou substituci, tedy b = 2-51, f(b) = + 0-003182; pročež dle hofejšiho pravidla a, . 0-0000515 + 0-008332 _ 2-50618, kteražto hodnota jest již spravna na 5 mist desetinnych. Dodatek. Uloliy ku cvičeni. I. Sečitam a odčitani. 1. Sečitani a odčitani prostych čisel celistvych. 264 7. [(3x + 5) + 2x] — 4x. 9. (a — 2) -)- 5. 11. (8x — 4y) + 7y. 13. (3a — 4) - 6. 15. [(5x — 2) - 2x] - 3. 17. 12 — (4 + m). 19. (6x + 4y) - (3x + 2y). 21. 6 + (n — 4). 23. 7a + (3a — 2b). 25. 5y — (8z — 3y). 27. (2x — 4) + (3x - 1). 29. [x — (m 4- n)] -j- [x — (m 30. (5x - 2y) - (X — 2y). 32. 5a — 3b 2a — b - + 34. 17x — 15y 8x — 9y 8. 3m + 9m 4- m — 5m. 10. (7m — 3a) + 4m. 12. [(5z — 2) + 3z] 4- 4. 14. (16y — 8x) — 8y. 16. 5a + 7b — 2b — 4a. 18. 9y — (2x + 7y). 20. 5m - [(2m 4- 3a) 4- 2m]. 22. x 4- (8x — 4a). 24. I5m 4- [(4m — 3) — 2]. 26. (m 4- n) •— [m — (a — n)]. 31. (9m — 4n) — (4m — 3n). 33. 7b — 3c 2b — 2c 35. 20m — 27n + 12p 15m — n + 12p 28. 7a 4- (8a — 2) + (9a — 4). + P)J + f x — (n + P)]- 36. (17p 4 - 15q — 13r — lis) — (5p — 6q — 7r + 8s). [37. (5a + 2b — 3c) — (2a — 3b 4- 5c) — (a — 2b — 4c). 38. (3x — 5y — 7z) (7x 4- 4y — 3z) — (6x — 3y + lOz). 39. 7a — (3c - 6b) — (6a — 3c) — 3b + (3a — 8c). 40. (8m — 5y) + [(2y — 7m) — (y — 3m)]. 41. (x 4- y) — [x — ja — (y — x)jj. 42. (2x — [(3a + 4x) - (4x — 1)] — (x — 2a — 2). 43. (8m — 5x) — (2m — 3a — 4x) + [(3x — 2n) — (4m 4* 3n)]. Ustanovte bodnoty nasledujicich vyrazu pfi a = 4, b = 3: 44. (8a 4- 7b) — (5a — 4b) — (2a — b); 45. 8a -j- (7b — 5a) — |(4b — 2a) — bj; 46. 8a 4- (7b - 5a) — {4b — (2a — b)J ; 47. (8a 4- 7b) — j5a - (4b — 2a) — bj. 3. Sečitani a odčitani algebraickych čisel celistvycli. (§§• 28.-31.) 1. (-j- 7a) 4" H - 3a). 2. (— 6m) 4~ (+ 3m). 3. (4- 5u) 4- (- 5n). 4. (— 8x) 4- (- 2x). 5. (4- 2x) - (+ y). 6. (- 6a) - (4- 4a). 265 % 7. (+ 6m) — (- 3m). 8. (~ 4s) — (— 8s). 9. (- 4x) + (- 2x) - (- x) + (+ 9x). 10. 8a + 3b —4c 11. 25x + 31y — 17z — 3a — 5b —|- 7c x — 29y — 19z a -j- 4b — 5c — 22x + 8y -j- 37z 12. Vypočitejte x — (x — 2) —(- (x — 4) — (x — 6) pri x = 4. 13. (X + y — z) — (X — y + z) + ( — x + y + z) — (— x — y + z). 14. [(a — b) — b] — (b — a). 15. 5m — [3m — (m — n)]. 16. x + [fy — x) - (y — z)]. 17. x — [(x + z) — (y + z)]. 18. 3a — [2b — a — {3a — (3b — 5a) + 5b}]. 19. 3m — 2n — {— 5a — [6m — {4n — [— 3m — (5m — 2n)]}]}. 20. 2a + 3b - {2a — [2a + 3b - {(2a + 3b) - (2a — 3b)j]j. 21. [6x + 7y — {— 6x + 7y — [(6x + 7y) — (6x — 7y) — 6x]jj — [6x — {(6x — 7y) — (6x + 7y)}]. II. Nasoben! a delen!. 1. NasobenI prostycli čisel čelist vycli. (§§. 36. a 37.) 1. a 3 , a 4 . 2. m 3 .m 5 .m. 4. xy.z. 5. 3a.b. 7. a.bx. 8. m.6yz. 10. 2a.4b. 11. 8xy.7x. 13. 7a 2 x.ax 2 . 14. 4z 3 .5bz 2 . 16. a.2a.3a. 17. xy.xy.xy. 3. x m . x u . x® . X" 1 . 6. 5mn.2. 9. a 3 .4a s . 12. 2y 3 .4y*. 15. 6m 3 n 4 .5m 3 n 2 . 18. z 2 .2z 3 .3z. 19. a 3 b.5a*b 2 . 8ab 3 . 20. x 3 .3x s y.3xy s .y 3 (§§. 38.-40.) 22. (a + 1).5. 25. (a 2 b -f~ ab 2 ). ab, 28. 5x 2 + 9x 2 . 31. ax* + ay 2 . 23. (x — 5).4 — 2x. 26. (6m + 5m 2 ).2m. 29. 3y 3 + 5y 3 . 32. (a+m)x+(a-m)x. 34. 6m -)- 6n + 6p- l).m. 37. 8x + (7 —x).3. 21. (x + a).b. 24. (3m -f- 2n). 5p. 27. am + bm. 30. 4a + 4b. 33. m(b 2 — x 2 ) + n(b 2 — x 2 ). 35. (a — b). z. 36. (m • 38. (4a — 3b). 5c. 39. (2x 2 — x). 3x. 40. (ax 3 — by 3 ). mxy. 266 41. am — bm. 42. a.lO m — b.lO m . 43. 15ay 2 — 9ay~. 44. 3x — 3y. 45. 7x 47. 3a 2 — a 2 + 5b 2 - 3b 2 . 49. a(3x + 2) — 3b(3x + 2) Sečtete 50. 8mx + 5ny 3mx — 7ny mx — 3ny Odečtčte 52. amx H- bny — cpz 3mx — 2ny+pz — 7y —(— 7. 46. ax + ay — a. 48. 5x — 5y -)- 6a — 6b. + 3a(3x + 2). 51. 6a 4 — 9a 3 + 12a 2 4a 3 — 6a* 8a _2a 2 - 3a + 4 53. I5x 3 — 26x 2 + 33x — 10 15x 3 — 20x 2 + 25x_ 54. (x a + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) — (x 3 — 3x 2 y + 3xy 2 — y 3 ). 55. 7xy —■ [7yz — (3xz — 2xy) + 3xy] — (6yz — 3xz). 56. b.(x + y). 57. 5.(a + l). 58. m. (p+ 5). 59. 6.(m + n)—5m. 60. 3x.(a 2 + b 2 ]. 61. 12a 2 .(3x 2 + 2y 2 ). 62. a.(b — 1). 63. b.(x — y). 64. 8.(3 —m). 65. 5.(z — 2) + 7. 66. 5m.(ax 3 — by 3 ). 67. 2a 2 b 2 .(a 2 b — ab 2 ). 68. Jabou hodnotu ma vyraz 4a(3x 2 — 5xy) — 5b(2x 2 — 6y 2 ) pfi a = 5, b =3, x = 7, y=4? 69. A ma (4n 3 — 3n 2 + 2n + 1) zlatych, B však o (2n 3 + 2n 2 — 4n + 4) zlate menč nežli A; da-li A osobš B (n 3 — 2n 2 -j- 4n — 6) zlatych, mnoholi ma pak každa osoba? Mnoholi mčla každa puvodnš a mnoholi poslednš, je-li n = 8? 70. (x + a)(x + b). 72. (x — a)(x + b). 74. (a + l)(b + 1). 76. (y + 3)(y - 5). 78. (5x + 3a)(5x + 4b). 80. (3x s + 2y 2 )(4x 2 + 5y 2 ). 82. (2a 2 + 3b 2 )(5a 2 83. (x + y) 2 . 86. (x — y) 2 . 89. (10m + n) 2 . 92. (lOm - n) 2 . 95. (x + 3) 2 - 6x. 97. (x + a) 2 + (x 4b 2 ) 84. (a + l) 2 . 87. (a - l) 2 . 90. (2x + y) 2 . 93. (3a 2 + 4b 2 ) 2 . 96. (y a) 2 99. (ax 2 + by 2 ) 2 — 2abx 2 y 2 71. (x + a)(x — b). 73. (x — a)(x — b). 75. (m + l)(m + 2). 77. (z — 4)(z — 6). 79. (a m + b m )(a n — b n ). 81. (ax m — by n )(bx n -J- ay m ). (10a 4 — 12b 4 ). 85. (p + 2) 2 . 88. (p - 2) 2 . 91. (x — 2y) 2 . 94. (5p 3 - 3q 3 ) 2 . 4) 2 + By. 98. (x + a) 2 — (x — a) 2 . 100. (a 2 x - b 2 y) 2 + (a 2 x + b 2 y) 2 . 267 101. (x + y)(x — y). 102. (a + 5)(a — 5). 103. (x + a)(x — a) + a 2 . 104. y 2 — (y + 2)(y — 2). 105. (15a + 9b)(15a — 9b). 106. (a m + b n )(a” — b n ). 107. (3a 2 — 2b 3 )(3a 2 + 2b 3 ). 108. (5x 3 + 3x 2 y)(5x 3 - 3x 2 y). 109. (mx 3 -j- ny 3 )(mx 3 — ny 3 ) -)- 2ny 3 (mx 3 -j- ny 3 ). 110. (3a 2 + 5b 2 )(3a 2 — 5b*) - (3a 2 + 7b 2 )(2a 2 — 4b 2 ). Ndsobeni mnohočlenu. (§§. 41. a 42.) 111. (5a — 2b + 1). 7. 112. (2x + 5y - 3z). 4xyz. 113. (m + 2m 2 - 3m 3 ). 5m. 114. (a* + 5a — 9). 6a 2 . 115. (8xy 3 -j- 5x 2 y 2 — 3x 3 y). 12x 2 y 2 . 116. (3z 4 + 2z 3 - 5z 2 + 4z).6z 2 . 117. (4m 3 — 3m 2 n + 2ma 2 — n 3 ). Sn^n 2 . 118. (3x 3 -f- 5x + 7). 5x — (4x s — 6x — 8). 3x. 119. mnp . (lOm — 7n + 4p). 120. 3ax. (a 2 + ax + x 2 ). 121. 5a 2 . (3x 3 — 8xy + 2y s ). 122. x 3 . (x 3 — x* + x — 1). 123. 4a 3 b 4 . (5a 2 b 3 + 7a 3 b 2 — 5a 4 b — 3a 5 ). 124. 7x 2 y . (2x 2 y — 2xy 2 — 3xz 2 + 3y 2 z) + x 2 y 2 . (14xy — 21yz) 125. (a + 2b + 3c)(3m + 2n). 126. (2a — b + 3c)(5m - n). 127. (8x + 6y + 4)(5a — 7). 128. (7x + 5y — 3)(3a + 5). 129. (x 2 + xy + y 2 )(x - y). 130. (x 2 - xy + y 2 )(x + v). 131. (z 2 — 2z + l)(6z + 3). 132. (5y 2 + 6y — 7)(4v - 5). 133. (2a 2 b — 3ab 2 — 4b 3 )(a — 2b). 134. (16x 4 + 8x 2 y 2 "+ y 4 )(4x 2 '— y 2 ). 135. (4a 4 — 12a 2 b 3 + 9b 6 )(2a 2 — 3b 3 ). 136. (a 4 — a 3 b + a 2 b 2 - ab 3 + b 4 )(a + b). 137. (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) + (a 2 — 2ab + b 2 )(a - b). 138. (5x 2 + 4x - 3)(4x + 8) — (4x 2 — 3x — 6)(5x + 4). 139. (a 4 - a 3 + a 2 — a + l)(a + 1). 140. (a 4 + a 3 -j- a 2 + a -j- l)(a — 1). 141. (x 5m — x 4m + x 3m — x 2m -)- x m — l)(x m + 1). 142. (a 4 + a 3 b + a ! b 2 + ab 3 + b 4 )(a - b). 143. (a 5 — a 4 b + a 3 b 2 — a 2 b 3 + ab 4 — b 5 )(a + b). 144. (a + b) 3 . 145. (a — b) 3 . 146. (2x + 3y) 3 . 147. (ax 2 — bj 2 ) 3 . 148. (7a 2 + 8b 2 ) 3 . 149. (ax m + bx n ) 3 . 150. (x + l)(x + 2)(x + 3). 151. (x + 3)(x — 2)(x + 4). 152. (x + l)(x — 2)(x + 3)(x — 4). 268 153. (x -f - a)(x -f~ b)(x -f- c). 154. (x + a)(x - b)(x + c)(x — d). 155. (a + b + c)'. 156. (3x — 2y + z) 2 . . 157. (y 2 — 4y + 4)*. 158. (ax 2 + by 2 + c) 8 . 159. (3a 3 — 4a 2 b + 6ab 2 — 2b 3 )(4a 2 - 3ab + b 2 j. 160. (5x 4 - 2x 3 — 3x 2 - 2x + 7)(6x 2 + 4x — 7). 161. (a 3 + 2a 2 b + 2ab 2 -f b 3 J(a 3 - 2a 2 b + 2ab 2 — b 3 ). 162. (ax 3 + bx 2 + cx + d)(mx 3 + nx 2 + px + q). 163. (x 4m —2x 8m y n +2x 2m y 2n —4x m y 3n -f-4y 4n )(x 2m -f-2x m y“ +2y 2n >. 164. (m 4 -f- 2m 3 — 3m 2 — 3m -H l)(m 3 — 3m 2 + 3m — 1). 165. (a + b + c)(a — b + c) (a + b — c). 166. (a 2 — 2ab + 3b 2 )(3a 2 + ab - 2b 2 )(2a 3 - 3b 3 ). 167. (a 2 + 2ab - 2ac + b 2 - 2bc + c 2 ) (a 2 -J- 2ab + 2ac + b 2 + 2bc + c 2 ). 168. [x 2 -4- (a -f- b)x + (a 2 + b 2 )] [x 2 — (a - b)x + (a 2 - b 2 )].. 2. Dčleni prostjch čisel celistvjch. 13. 9a 2 b 2 x : 6aby. 15. 28a 5 m 2 y 4 : 7a 4 my 2 . 2a B . c. 20. — .a. ay k.* 23. .3ab. 6bc 3 26 5ax -x 26. ?b . x. A '21. "24. 27. x —. ny ny 14. (x + y)(x — y):(x — y)(x-fz) 5a m-1 b n-2 x p ~ 3 . A ¥ 16. 20a m b“x p : 19. bm. . abc. , 4z 2 . 29 15a 3 b 2 : 5a 2 b. 30. 4mu 32. (15x 2 y 2 : 5x) : 3y. m a bc 3x 2 4y 4 mxy —- : my nz 6a 2 x 4 5bv 22 . '25. 28. 2X K ~—. 5ax. 5y . 5y n . 34. mn . np 35. 15x, l : 3ax 2 . 33. (2m 3 x 4y 3x 16ax m 25by 2n 8ax 4mJ “ 3 :2p 3 . 3b. 31. „ 7p ! : ny 2 ): 3n 2 y. ,36. 3x 2 y. 3xy‘ 269 •37. .40. 5my x: 8abx 8 5my ’ 38. 2a 2 x. 3x 4a 8 b 8 39. 4a 8 bc 8 . ox 2a s b 8 c i 3 - x axy : — . 41. y: 44. ran : 42. xy: 45. 5a 4 '46. 6a 3 m 8 x : 48. 50. 2sx ,2 * x + z X — z' 47. 2m(m + 1): ; x^ T' ■ a " : b 8 ' 2m m — 1' 15m 8 n 3 : (6n 8 : 2 dx 8 ). 49. 4a 3 b 5 m 4 : (2m 8 : ab 3 ). b ' + [<»’+«’> : ;■'*!]• 51 - sS|*] 52. Vw^ 54. 56. 58. 59. 62. 65. 67. • 68 . xy xz T-y a-f 1 b — 1 x ' a -f 1 5a 8 b 3an 8 cx. 53. 55. mn mp np p ' n ra' a(x — 1) m — n b(a + 1) c(a -f- 1)' x— 1 a 6mn 8 ' 8bm 8 ' 5a 8 x 8 9b 3 y 3 4ms 3 2amx 6m 8 y 8 ' 10a 3 z 3 ' 5b 3 x ' 3y 3 ab an m ' b ' 8m 3 x 4mx ^ 2ay 8 2a 8 bx 3 3bxV ' 3y 8 z ' 60. ‘^A. 5n 3 y ' ny ' 32a 4 x 4 _4a 3 x 27b 4 y 4 : 9b 3 y' [(a + b)x 8 : (a 63, y x 12a 6 3a 4 25bn'5b‘ 6am 3a 7b 4 ' 7b 8 ' 66 . 64. 4x 8 y 8 5a 8 3a 8 *3x 8 y 8 ‘ 8x 3 y 8 z _ 4m 8 n 8 p 15mn 8 p 3 ' 5xy 3 z 3 b)y 2 ] : [x 8 : (a - b)y]. 270 80. 81. 82. 84. 86 . 91. 93. 95. 97. 99. a -j- m + a + b + c a + b + c^a-f-b+c + « 2c m ac + bc — c 2 ab - H-- abc 1 abc (am —bm) : m. (5a 2 x — 3ax 2 ): 5ax. /'8a 3 b ! 12a 2 b 3 x , „ „ W-w) ;W - 89. • il ‘ - in b 2 + bc , ab + ac — a 2 —r ~ b^ 4 5 c T' y~ z . 5 abc 83. (mp — np) : p. 85. (8x 3 y 3 — 4x 2 y 2 z) : 4x 2 y 2 . 87. 5a m ’ 92. a + b . a — b ' 2 ' 2 94. Poslednf dva vzorce vyjadrete slovy. 96. 2a “ 3x 7x mn mn 9x mn' 6a 4(a — 2) , 4a — b b ' H b 17x + I2y x+y m 7x—2y §i^7y x + y 98. x—y 2x — 3y x + y ' + - m 2x- _ a m' •3y x + 5y x —y x —y' Deleni mnohočlenu. (§. 54.-56.) 100. (45am — 25bm + 35cm): 5m. 101. (2a 3 - 6a 2 b + 30ab 2 ) : 2a. 102. (5m 4 x — 4m 3 x* — 3m 2 x 3 ): m 2 x. 103. (10x 4 y 2 z — 25x 3 y 2 z 2 — 15x 2 y 2 z 3 + 5xy 2 z 4 ) 104. (2 + A + L):™* v n d 1 mJ a 3 5xy 2 z. 107. (a 2 - 2ab + b 2 ):(a + b). 9y 2 ) : (2x + 3y). y2n ^ • ( X m - y n ). 109. (4x 2 111. (x 2m 113. (x 4 — 1): (x + !)• 115. (a 5 + b 5 ) : (a + b). 117. (a 7m + 1) : (a m + 1). 108. (x 2 - 2xy + x 2 ): (x — y). 110. (16a 2 — b 2 J : (4a — b). 112. (81m 8 — I6n 6 ):(9m 4 + 4n 3 )' 114. (x 4m — 1) : (x m — 1). 116. (a 6 - b 6 ) : (a 2 — b 2 ). 118. (81x 8 - 16y s ) : (3x 2 — 2y 2 )- 271 i»£-£M£+{> 121. (14x* - 31x + 15) : (2x — 3). 122. (3a 2 x 2 — abxy — 2b 2 y 2 ) : (ax — by). 123. (20a 5 — 18a 4 b + 4a 3 b 2 ) : (4a 2 - 2ab). 124. (x 3 + x 2 — 2x — 8) : (x — 2). 125. (4a 3 - 16a 2 + 7a + 20) : (2a - 5). 126. (x 3m -J- x 2m y n _x m y 3n _y^ n ) • (x 2m _y 3n )* 127 (x 3 y 3m x n tl y2m+2 ^•2n4*2ymi*l —j—X*^Hy^) • ___ X n y^) 128. (6x 4 — llx 3 — 9x 2 + 19x — 5) : (3x — 1). 129. (m 4 - 2m 2 a 2 + n 4 ): (m 2 + 2mn + n 2 ). 130. (12x 4 — x 3 y — 32x 2 y 2 + xy 3 + 20y 4 ): (4x 2 + xy — 5y 2 ). 131. (15a 4 + 8a 3 b — 41a 2 b 2 + 10ab 3 + 8b 4 ): (5a 2 — 6ab — 8b 2 )' 132. (63y 8 + 10a 2 y 6 — 155a 4 y 4 + 10a 6 y 2 + 63a 8 y) : (9y 4 — 5a 2 y 2 - 7a 4 ). 133. (49a 6 + 6a 4 - 51a s — 25) : (7a 3 — 6a 2 + 3a — 5). 134. (4x 6 + 15x 4 y 2 + 10x 2 y 4 — 9y 6 ) : (2x 3 + x 2 y + 4xy 2 -f - 3y 3 ). 135. (32 + 104x + 100x 2 + 26x 3 — 13x 4 + x 5 ) : (8 -f 12x + 6x 2 — x 3 ). 136. (27a 6 — 33a 5 b — 45a 4 b 2 + 71a 3 b 3 — 36ab 5 + 16b 6 ) : (9a 3 - 2a 2 b — 5ab 2 + 4b 3 ). iq7 f3x 4 4x 2 y 2 ,8x 2 4y 4 8y 2 „W3x 2 2y 2 \ lo ‘- la 4 ~ a 2 b* + 1? ~ V + b 2 ~ a^ + ^ ~ 1 J 138. [|x 3 + (a + b — c)x 2 + (ab — ac — bc)x — abc}: (x -f- a)) : (x - c). 3. Msobenl a (lčleni celi$tvych čisel algebraickych. ■Nasobeni čisel algebraicJcych. (§§. 58. a 59.) 1. 7a . (— 4). 2. (— 4x 3 ) . 2y. 3. (- a 2 ) . (— 3a). 4. (—3x).(—5xy). 5. 7ab . (—bc). 6. (— 8ay 2 ) . 2a 2 y. 7. (—.6a 4 ) . 3a 2 x. 8. 5a 2 z 3 . (— 3b 2 z). 9. ab 2 c 3 . (— a 2 b). 10. (- 12m 3 xy 2 ) . (- 4x 2 y). 11. 7 . (— 3) . (— 5). 12: (- a) . (- b) . (- c). 13. (— my) . (— my) . (— my). ; 14. (— 5x) . (— 5x) . (— 5x). 15. (— 2z) 3 . 16. (+ Sa 2 )" 3 :’ 17. (- 4xy) 3 . 18. (+ 5m) 4 . 19. (— 2ab) 4 . 20. (- 3z 2 ) 5 . 21. (— 2a 2 ) < 3ab 2 .5a 2 bx. 22. 4x 3 y 3 z . (— xy 2 z 3 ). (— 2x 2 z). 23. a 2m - 4 b sn t 2 . (— a m b“- 4 ). 24. 3bx 2n . (— 4b 2 x 2n - 2 ). 2bx 2 . 272 25. 3ax . (— 4ay) . (— 2bx) . ab . (— 5bx). 26. a 2 xy . (— mx 3 ) . ny 3 . ( — bz 3 ) . (— bmx) . (—bny). 27. 2ax . (— 6by) — (— 8bx) . (— ay) + (— 3ab) . (- 7xy). 28. 8 . (— 3) — (- 5) . (— 6) - 9 . (— 2) + (— 7) . (- 5). 29. Vvpočftejte vyraz x 3 — 6x — 16 pfi x== + 8 a pri x=r— 2. 30. Ktere podoby nabyva vyraz ^ j^^ 7j -j. y Z ’ P rom ^ D i‘li se 1) x v — x, 2) x v — x a y v — y, 3) x v — x, y v — v a z v — z ? 31. (5x - 4y) . (- 3a). 33- (3a - 5b + 7) . (- 2m). 33. (a 2 + b 3 — c 3 ) . 2abc. 34. (m 3 — 2mn + n 3 ). (— 2mn). 35. (— 3x* + 3x— 1). (- 5x 3 ). 36. (5 + 4a — 3a 3 ) . (— 6a 3 y). 37. 8x — 4 . (2x — 3y). 38. (7a 3 —4b 3 ).(—2b 3 ) + 14a 3 b 3 . 39. (6x 3 — 5z 3 ) . (— 2xy 3 z) + 3xy 3 . [— (3z 3 — 4x 3 z)]. 40. (5 — 7x + 6x 3 ) . (— 3x 3 ) -j- (9x 3 + 4x 3 — x) . 2x. 41. (a 4 — 4a 3 b + 6a 3 b 3 — 4ab 3 + b 4 ) . (—2ab). 42. (a 4- b) . (—2a + 3b). 43. (1 — m 3 j(l -f m 3 ). 44. (1 — a 3 b 3 ) 3 . 45. (— ax + by) 3 . (a -I' b - c)(— a + b + c). 47. (— x 3 + 2xy — y 3 )(x 3 + 2xy •+ y 3 ). 48. (— 3x + 5y — 7z)(— 7x —■ 5y + 3z). 49. (b 2m — 2b m c m + c 2m )(4b m — 5c m ). 50. (a + b)(m — n) — (a — b)(m + n). 51. (9a — 5b)(a + 2b — 3) — (3a — 5b)(3a — b — 3). 52. (5x + a)(2x — a) — (4x — 3a)(7x + a ) + (3x — a)(6x + 2a). 53. (a + b — c)(a -f- b) + (a — b + c)(a -j- c) + (— a -f b+c)(b-f c). 54. (1 — 2x + 3x* - 4x 3 )(l — 3x + 5x 3 — 7x 3 ). 55. (2a 3 b - 3ab 3 — 4b 3 + 5)(2a 3 b — 3ab 3 + 4b 3 — 5). 56. (a 3 — 4a — 6)(a 3 — 4a + 6)(a 3 + 4a — 6). 57. (4x 3 — 3x + 2)(3x 3 + 2x — l)(x 3 — 2x — 3). 58. (a + b + c)(a + b — c)(a — b + c)(— a + b + c). Delen i čisel algebraickych. (§. 60.) 59. (- 4x) : 4. 60. 8ab': (— 2a). 61. (— 6bx 3 ): (— bx). 62. 18a 7 : (—6a 4 ). 63. (—12m 4 ):(—4m 3 ). 64. (— 14a 4 b 3 ): 2a 3 b. 65. (— 15x 3 y 5 ) : 3xy 4 . 66. 9ab 3 c 3 x : (- 3ab 3 c). 67. (— 288a 3n + x - 2 ) : 9a 2n - x+1 . 68. (— 25a m+n bP): (— 5a n b®-«). 69. 32x m ~ 2n+3p y 2m_n ~ p : (— 8x m ~ 3n i' 4p y m ~ n-2p ). 273 70. 2ab 3cd ■(- Y 72. Vypočitejte 5mn 7pq J' x 71. -14 a(x — 1) c(l — x) b(x + l) : b(2 + x)- x + x - 10 5(x - 2) 5 —x “ 1 7 —x 73. (24a 3 b 3 - 15a 4 b 2 ) : (- 3a 3 b 2 ). 74. (18am 2 y 3 — 27bmy 3 -f- 36cy): (— 3y). 3(6 - x) pfi x — 8. 75. /xyz _ vabe bil ab J 76. (1 — x 2m ): (1 - x m ). 77. (1 - a 5 ) : (1 - a). 78. (1 - 2x + x 2 - 6x 4 + 8x 6 ) : (1 — 2x). 791 T6x 3 — 23x 2 + 24x — 10) : (- 2x + 5). 80. (32a'°x 5 + 243y 5 ) : (2a*x + 3y). 81. (6a 4 - 5a 3 + 4a 2 -f- lla — 4): (2a 2 — 3a + 4); 82. (30x 4 + 2x 3 — 16x 2 + 10x - 2): (— 5x 2 + 3x — 1). 83. (27 — 51x — 125x°- - 2x 3 + 30x 4 ) : (— 3 + 8x + 6x s ). 84. (1 — m — 14m* — 14m 3 — 6m 4 — m 5 ) : (1 + 3m -f m*). 85. (2 — 7x + 16x* — 25x 3 + 24x 4 — 16x 5 ) : (2 — 3x + 4x 2 ). 86. (12a 4 + 5a 3 b — 16a 2 b 2 - 13ab 3 — 6b 4 ): (4a 8 9 10 11 12 — ab — 6b a ). 87. (1 - 15x + 72x 2 - 54x 3 — 405x 4 - 243x 5 ): (1 — 6x - 9x s ). 88. (4 + 5a—16a 2 —4a 3 + 4a 4 —5a 5 + 4a 6 ): (4 —3a + 2a s —a 3 ) 89. |(120—326x+329x 2 —146x 3 +24x 4 ):(4 — 3x)| :(6 —7x + 2x 2 ) 90. (2—7x + 16x 2 —17x 3 +12x 4 ): j(2— 7x+12x 2 -9x 3 ):(2-3x)J. 4. Dekadicba čisla celistvA. (§§. 64.-70.) 1. 240978 + 97477 + 504336 + 378264 + 615089. Sečftejte nasledujfci čisla nejprve smčrem svislym, pak vodo- rovnym: 2. 3. 4. 5. 6. 7. 81312 + 433664 + 243936 + 596288 + 406560 8. 542080 -f 216832 + 569184 + 379456 + 54208 9. 189728 + 677600 + 352352 -f 27104 + 514976 10. 650496 + 325248 + 135520 + 487872 + 162624 11. 298144 + 108416 + 460768 + 271040 + 623392 12. Vypočitejte součet 6ti čisel, z nicbž prvni jest 235078, každe ndsledujici pak o 58505 vetši pčedešleho. Mocnik-Hora, Algebra. 18 274 13. 8754219 - 1970862. 14. 33557799 - 8866442. 15. Vypočxtejte 3874920+561083+6721859+55462873+9036198, a od součtu odečtete prveho sčitance, od zbvtku pak druhčhe sčitance a t. d. 16. 719308.2.3.4.5.6.7.8. 9. 17. 380792 . 11 . 13 . 31 . 25 . 64 . 125. 18. 146637 . 99 . 991 . 299. 19. 734552 • 84399 . ICO. 20. 58379 . 25726 . 432789. 21. 291728 . 740634 . 12500 . 7999. 22. 5647830.710744.918497. 23. Vypočitejte A = ab, B = ac, C = ad, D = bc, E = bd, F = cd pri a = 428792, b = 920664, c = 371963, d = 140846. 24. 897715 : 91. 26. 5791338 : 63. 28. 3552264 : 309. 30. 6245425 : 25. 25. 134676 : 29. 27. 309644 : 778. 29. 5606912 : 752. 31. 22255125 : 125. 32. Delte každe nasledujici čislo a) 23900625, b) 119503125, c) 167304375 každym nasledujicim čislem m) 607, n) 315, p) 125. 33. 1472692768 : 14734. 34. 36363918357 : 62883. 5. Delitelnost čisel celistvych. Delitelnost čisel dekadichych. (§§. 76.—80. a §. 82.) Kterymi nasledujicimi čisly 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 100, 125, 1000 jsou dšlitelna čisla: 1. a) 312; b) 6225; c) 17280; d) 71016; e) 948656; 2. f) 720; g) 6472; h) 76450; i) 484572; k) 567000; 3. 1) 534;m) 8625; n) 10692; o) 734520; p) 350496; 4. r) 418; s) 3735; t) 70875; u) 100848; v) 9429597? 5. Udejte všecka prvočisla, ležici mezi 1 a 200. Bogvadem na činitele. (§§. 84. a 85.) Nasledujjci čisla mate rozvesti na prvočinitele : 6. a) 420; b) 504; c) 1260; d) 1694; e) 2025; 7. f) 2268; g) 3075; h) 3828; i) 5376; k) 10528; 8. 1) 76a 3 ; m) 66ab 8 ; n) 26x 8 y s ; o) 72a 3 b 8 ; p) 60ax s y 4 ; Vyhlede)te všecky prvočinitele i složenč činitele nasledu- jicich čisel: 275 9. 10 . 11 . 13. 15. 17. 20 . 23. 26. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. a) 48; b) 180; c) 210; d) 315; e) 810; f) 18ab; g) 36x 2 ; h) 27my 3 ; i) 165xyz; k) 114an 3 x 3 . Rozvedte dle §. 85., 2. a) na dva Činitele: 18ab — 15ac; 2a 4 — 4a 3 -f 6a 3 ; a 3 b 3 x — a 3 b 2 x 3 -f ab 3 x 3 ; Rozvedte dle §. 85., 2. b) x 2 + 2x + 1; 18. 9b 3 — 12b + 4; 21. 4x 3 — 1; 24. 6x 3 — 54a 3 ; 27. Rozvedte dle §. 85., 12. 9x 3 - 24xy; 14. ax 4 y 3 + bx 3 y 3 + cx 3 y 4 ; 16. 5x 8 z 3 — 15x 3 z 3 + 25xz 4 . na činitele: 2m + 1; 19. 4a 3 + 12a + 9; y 3 + 10y + 25; 22. x 3 — 6xy + 9v 3 : 9a 3 — 16b 2 ; 25. 25x 3 — 16y 2 ; m a* 2 . x 3 + (a + b)x + ab; m 3 -f- 5mn + 6n 3 ; x 3 — (a + b)x + ab; 10y 3 — 7yz + z 3 ,* x 3 + (a — b)x — ab; a 3 + 2ab - 15b 3 ; x 3 — (a — b)x — ab; b 3 — 4bc — 5c 3 ; -(b-c) 3 ; 28. (b-c) 3 -a c) na dva činitele: 30. a 3 + 7x + 10; 32. x 3 -f- 2ax + (a 3 — b 2 ); 34. a 3 36. ^2 38. 4a + 3; x a — 2ax + (a 3 — b 3 ); m 3 -f m — 12; 40. x 2 -f- 2bx — (a 3 — b 3 ); 42. z 3 44. x 3 6z — 16. 2bx — (a 2 b 3 ). Nejvetšl společnd mira. (§§. 86.—88.) Rozvadčnim na činitele vyhledejte nejv. spol. miru nasledu- jicich čisel: 45. 84 a 308; 46. 360 a 680; 47. 108, 450 a 540; 48. 560, 620 a 760; 49. 693, 819 a 945; 50. 504, 756, 1260 a 1764; 51. 12acx, 14a 3 x a 16ax 2 ; 52. 10x 3 y 4 , 5x 3 y 3 a 20x 4 y 3 ; 53. m 3 + 2mn + n 3 a m 3 — n 3 ; 54. a 3 — 2ab — 8b 2 a a 3 + 2ab — 3ab 3 — 6b 3 ; 55. x 4 — 10x 3 y 2 -f 16y 4 a x 4 + 2x 3 y 3 - 80y 4 . Vyhledejte nejv. sp. miru nasledujicicb čisel bez rozvadčni na prvočinitele: 56. 637 a 4277; 58. 1404 a 8658; 60. 7774 a 3718; 62. 50149 a 51119; 64. 39215 a 73997; 57. 2091 a 1353; 59. 3552 a 5143; 61. 27671 a 21708; 63. 55660 a 66055; 65. 24955 a 338625; 18 * 276 66. 1701, 6426, 10521; 67. 120582, 145530, 167706; 68. 12a* + 7a + 1 a 6a 2 + lla + 3; 69. x 3 - 49x — 120 a x s + 10x + 25; 70. 4m 3 — 16m* + 23m — 20 a 6m 2 — 7m — 20; 71. a 3 — a 2 b + 3ab 2 — 3b 3 a a* — 5ab + 4b 2 ; 72. x' + 6x 4 + 5x 3 — 12 a x 6 -f 4x 4 + x 2 — 6; 73. 6y 3 + 16y* _ 22y + 40 a 9y 3 — 27y 2 + 35y - 25; 74. 28a 4 + 10a 3 + 39a 2 + 7a + 15 a 14a 3 — 37a 2 + 15a - 25; 75. 3z 4 — 8z 3 + llz* - 8z + 3 a 2z 3 — 9z* + 9z — 7; 76. 15x 4 + 10x 3 y + 4x 2 y* + 6xy 3 — 3y 4 a 12x 3 + 38x 2 y + 16xy 2 — 10y 3 ; 77. 6x 5 — 4x 4 — llx 3 — 3x 2 - 3x — 1 a 4x 4 + 2x 3 — 18x* + 3x — 5; 78. 6x 4 — 5x 2 — 1, 5x 3 — 4x — 1 a 2x* — 2; 79. a 4 - 4a 3 + 8a* — 4a + 7, a 4 — 2a 3 + lOa + 7 a a 3 — 5a* + H a — 7. Nejmenši společny ndsobek. (§§. 89. a 90.) Rozvadčnlm na činitele vyhledejte nejm. sp. nasobek čisel 81. 240 a 486 ; 83. 105, 144 a 270; 85. 2, 5, 9, 20, 21 a 24; 87. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21; 89. 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256; 91. 6amn, 10am s n, 5a 2 n 2 ; 80. 300 a 620; 82. 120, 168 a 182; 84. 3, 4, 6, 10 a 25; 86. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70; 88. 4, 6, 7, 26, 35, 40, 56; 90. a, 2a 2 , 3ab 2 , 12abm; 92. m, 5m 2 , 3n, 8mn a 15m(m — n); 93. 3x, x — 2, 5(x 4- 2), 20(x* — 4) a 6(x -j- 2) 2 . Bez rozvadčni na činitele vyhledejte nejm. sp. nasobek čisel; 94. 874 a 943; 95. 561 a 1530; 96. 1716 a 2222; 97. 6987 a 8083; 98. 816, 765, 697; 99. 259, 3219, 7548; 100. x 3 — 3x 2 y + 3xy 2 — y 3 a 2(x 2 — y 2 ); 101. a 3 — 49a — 120 a a 2 + lOa + 25; 102. 6x 3 — 13x 2 — 45x — 25x a x 3 + 2x 2 — 20x — 25 ; 103. a 4 + 3a 3 + 6a 2 + 5a + 3 a a 3 + 2a 2 4- 2a + 1; 104. 2a 5 — a 4 — 2a 3 — 2a 2 — 4a — 1 a 2a 6 —a 3 —5a 3 —5a 2 —a; 105. 21x 3 4- 20x 2 — 3x — 2, 6x 3 — llx 2 — 12x 4- 5 a 3x 3 — 10x 2 — 9x 4- 4. 277 6. Čisla lomena. A. Zlomky obyčejne. Uvddčni zlomku na společneho jmenovatele. (§. 94.) 1. Uvedte zlomky f, }, { na společneho jmenovatele 24. 2. Uvedte zlomky na jmenovatele 30abxy. Uvedte naslednjič! zlomky na nejmenšfho společnčho jme¬ novatele : Q i * 3. 5 3 T . "■ 2’ 31 41 6' 81 12’ K 1 5 2 1 8 1 9 25 . 41 61 Tl 3 5' 40’ 56 1 - a —1 a —2 a — 3. • a+T a + 2’ a+ 3’ „ x-f-l x*-j-2x 3x x 2 —1 y - x^i’ x 2 —1’ x+l’ x®+I’ 4 i J- il il 8 1 i. 3 ! 161 18 ’ 201 15 ’ 12 ’ a A 5a 3bc 4def m’ Šm 2 ’ 4m*’ Fm 5 5 o 7 + 1 7 — 1 7*'+ 1. y —i’y+i’ y* — i’ 19 a a a 2 a 2 1+a’ 1—a’ 1—a 2 ’ l+2a+a 2 Kracem zlomku. (§. 95.) Zkrafte nasledujic! zlomky: „ , 45 114 , 840 ^ 1824 N 4096 U ’ 54’ b) 250’ C) 1020’ j 7008’ e) 7424’ n 5.12.18 , 6.12.20.28 6.21.24.36.75 l) 4.10.27’ S ' 4.8.16.30 ’ n ' 8.27.50.56.60’ 391 637 765 2079. 9082 16 . i) 9g9 ; k; gl9 ; i) ^ 3Q4 ; m; 702g , n; 67735 - „, T t j. j. \. j j. i i n(n — l)(n — 2)(n — 3)(n — 4) 14. Ustanovte hodnotu zlomku —-— 3 4 5 - 1 15. a) 16. pri n = 6, pak pči n = 8, a zkrafte zlomky takto vzniklč. Zkrafte nasledujic! zlomky: 3abx , N 12a*x 15amx 3 12bmx ’ a(a -f-1) b) 28ax 2 ’ C ' ) 40bmx ’ 2m(m — 1). d) 72mx 2 y 3 17. 19. 21 . (a + l)(a + 2) ’ 9a + 6b — 3c 12ax + 8bx — 4cx ’ 2a — a b — b -f- 2 . 3a -j- ab -f- b -j- 3 m- 1 - 1 20 . 22 . 96nx 3 y 2 ’ 1« 15(a + b)(x — y ). 24(a — b)(x—yj’ 12x 3 y 3 — 6x 2 y 4 . 8x 4 y 2 + 4x 3 y 3 ’ a 2 — 1 a 2 + 2a+ 1 ; 278 23. 25. 1 + m — 2m 2 1 ■+ 3m + 2m 2 m* + 6m — 16 24. 8a 2 — 6a + 1 m* + 5m — 24 ’ 0 _ a* — 8ax + 15x 2 • a 2 — llax + 80x # ’ 16a 2 — lOa + 1 ’ x s + 3xy + 2y 2 , x 2 + 6xy + 5y 2 ’ 28. x 4 + 4x 3 — 5x + 2 x 3 - x 2 - 3x + 2 ’ 29. 30. 32. 34. 2a 3 — a 2 + 4a + 7 2a 4 — 15a 3 + 29a 2 — 48a + 14' Vypoči'tejte: x 2 — 4x + 4 pfi x = 2; 31. pfi a = 1 2x 2 — 3ax + a x* + 6x — 16 _. c OQ x 3 — 4x 2 —3x+18 ». P^ 1 x — 0>r 3__a« P^ 1 x x 2 + 5x — 24 y 4 + y 3 — y* — 4y ■12 2y 2 — 8 3x 3 —22x 2 +51x— 36 pri y = 2 a pfi y = — 2. Seč Urini a odčitani zlomku. (§§. 97.—99.) 3m m 4x 2x v 50. 3 + 3. ^37. ^+ a “ b 36. L? 9, 10 m • m x y + z u 38. v n 4 4’ a + b a — b 10 • .. a + 4x . 2a — x vf 1 - + -ir- a + b + c , a —b 4d - K h ~M~ + 40. >42. a — c 3m ’ 8 8 ‘ 5m + n m — 3n 3m 44 m ~~ a + n ~P . 2 P + a m+n + p^ m + n + P ' m + n + p 5y »+s 46. 3x ■ 2x’ 47- x + \49. m — 51. 1 + x 2 - 1 X m + n 48. x - 2 a — b ‘ a -j- b' \50. m + n n. 52. 1 a — b a -f- b 279 53. (x 4- y) s 4xy ( b5. x + y + 57. m + n — - 1 . 2y 2 59. 1 + x— y m 2 + n 2 m + n a 2 — b 2 — c 2 2bc 54, (x-y) 2 4xy 56. a — 1 + 58. a 2 + b 2 60. 1 a" + 1 . a 2 + 1 a + 1' a 4 - 2b 4 a 2 - b 2 * - b 2 — c 2 2bc 61 T» x 4 -2x 2 y 2 -y 4 „ 4x 3 + 4x 2 +|x L y x 2 + y 2 ' + 1 4x 2 + 4x +1 ‘ 63. a s + 3a 2 + 3a + 1 — a 4 + 4a 3 + 6a 2 + 4a a+“l • & 77. 79. a + x (x—l) 3 a x a + x + x +1 y +1' m + p , pa —^p m — n ^ m + n‘ 78. Vr ,80. 81. Čitatele i jmenovatele zlomku j- mate 1) o m zvštšiti, 2) o m zmeušiti; jaky jest rozdil daneho a každdho takto vznikleho zlomku ? 82 . 6 + 3x 2 2 — 3x 2 9 — 4x 2 3 + 4x 2 ' DO 3a 2 — 4a + 5 , 4a 2 +5a—6 8a — 9 * 280 84. 86 . 87. 88 . 89. 90. 91. 92. 93. 95. 96. 97. 98. 99. 100 . 101 . 102 . 103. 104. 2x —1 3x —1 1 2x—3 2x + 3y 2x — 3y 4 . 85. — 3x + l 1 ' x —2 6x(2x — 3y) 6x(2x + 3y)‘ a 2 + 5ab — b*_ a — b a 2 + 4ab + 4b 2 a+2b' 2x — 5y _ 6x + 5y 3x -f 4y 9x + 3y 12x + 4y ' 3x + y ‘ 2m — 4n 3m — 3n 2 m 2 5mn 1 —- + 6ra 2 — 6mn' 1 1 4 + 2a 2a 2a + a* a — 2’ 1 _ x + y , x — 2y 2 . xy X —y 1 c 2 —y 2 (x + y) 2 (x — y) r 4- ; 2xy 1 94. ab a-f 1 . a + 2 , a 4~ 3 a — 1 ‘a — 2 ' a — 3' a + b — c . a — b + c b + c ab ac bc ac a + b a -f- c a + 5a + 8b , 3a T+T + ~ 1 a — b b , a — 4b , a — 3b 4 ^ n; r a 4* b a 4- b 1 a — b ’ 2b . 2a * — b* ‘ a 2 4- 2ab + b 2 ' y+i . y —i , y 8 +1 . y — l’ r y4-l" r y a — l 1 i + y 8 - 2y 4-1 y 2 + 2y + r 1 a — (b + c) ~ b — (a + c) ~ c - (a + b)' _ab_ae bc_ (a — c)(b — c) (a — b)(b — c) (a — b)(a — c)‘ 1 a — 1 a 2 — a + l a4'l i a 2 + a + l a + 1 ‘ a* 4-1 a 2 - 1 e*+j»+jo+fi*+!‘+i-> (I 1 -f- 5-r) + (! x + |y) + (! x + l y > r2a _ 3b 4c'v a _2b , 3). m 6a- + 5ab-6g ;(3a _ 21)) 141. 1 — 2m — 7m 3 — 4m 3 142. Zlomek 143. Zlomek 1 — 2m + m 2 a : (1 + 2m + ni 3 ). x— 1 x+l vyjadfete fadou. (§. 92., dod.) taktčž promčnte v fadu. Ndsobeni a deleni zlomJcem. (§§. 101.—105.) 2b 144. ax.—. y 147. (a-2b).|S. lM cd V. cm J a + b a — b m—n’m+n‘ • 2a 3 — ax a 3 x 3 152. 156. 145. 4x 3 y 5 3ab '2xy‘ 146. 2a s . bx 3 2a 3 c 3 y 3 ’ 148. (a - x). a + X . 149. 3ax. (a - —1. ^ OSX-' r-i ^a 2b C 14cl rMl 7b*3d'V 15e''v 6a> x 3 + 2x +■ 9 x 3 — 8x ax* ax — x* 'x+m 158. p±5-_ v x x — mJ 160. (n-i)(l-|). m 2a 2x x — mJ ‘ x 3 -j-m 3 ' a 157. x 4 — 5 x 3 4~12’ x + 7 !59. (i b a 5 a 3 a4 3b 3 2b “ 3b* — 4b V ■ 4a 3- a + b' b — a' 283 161. vm —1 2m m 4 m 2 — 1 m m + 1 m 2 - W2. (| , -^+t’)(I-t)(t+4 «* (¥-?+l)(l+?-$> 164. 3 165. f- + va 1 „„ C p 2 x 2 2px 3 __ 3x 4 4/'4p*x* _ 3px 3 , 2x‘ 1 4 x2q 2 y 2 ' 3q 3 j 4q 4 A3q 2 y 2 2q 3 y^"q 4 -' _44 a 2 - 1 a 'a — 1 a -f~ 1 a -}- 2' a 2 -f- 5a — 6 167. 2am: 2m T' 4ab 2 TiTTr 160. 12a 3 b 4 : , , x y 171. 3, : (l - {}. 173. (a 2 - b 2 ): a + b 175. a — b* a 2 — b 2 a—b c 2 — d 2 'c + d' 168. d.*:(-^5). . x + y 1‘ 170. (x + y): x 172. + 174. a 17 A 21bx 2 y 3 14a 2 y 2 z 25a 2 cz 3 '45b 2 c 2 x' x + y x- 8a_ 6 y 27 “ 1257 1 -P (f 2a 2 5 > “>• (w- 27a 3 4 f2x 2 _ 3^4 8b 6 AUy 2b 2 7* f2a 2 ax 3x 2 4 f 2a 3x4 182 ' lT“T2“l6J : ly-TJ- 1R o fjfe* 19y 2 12a 4 y 4 4 C x y 2a 2 y a 4 Ua 8 3a 2 ' x 2 J'V2a 4 "^3a x J' (1 + x)(l + y)(l + z) 184. Ustanovte podil (1 — x)(l — y)(l — z) v. m—n n —p p—m tfl 1 = s+s y = r+p- z = f+i- 284 , a 5 +7a 4 y-f25a 3 y 8 +48a 3 y 3 -f-36ay 4 „ . 25y 8 t [_ al a 3 y—27y 4 ' (a +^+ a ~ 8y> L~ yj 186. ' 1 : 1 ' 'J 14 12a + 8 [= M —6l 12a 8 —a —6 4a --Tj] (3a -j- 2)(2a fab—ib 8 ) ' 2a 8 —ab J' [=^ J ] 188. 1 + a 1 191. 194. b* a l+x 1 — X 1 —X , 189. m -(-d b ' m—n . 3x — 2 190. x+l X- x 8 —2x+3 192. • 1 l+x a + ta ~-g x + y „ bx -f ay ‘ ft i _ x + y 3 — 4x + 3' 193. -3x+2' 195. 3x+3y 5x+6y 4x , 4y 8 2y _4y ' x x x ’x + y j , y X B. Zlomky desetinne. Promenovdm obvcejm/ch zlomku v desetinne a naopak. (§§. 107. a 108.) Promčnte nasledujid obyčejnč zlomky v desetinne: 197. g) 199. t) Promčnte nasledujid desetinnč zlomky v obyčejne: 200. a) 0-25; b) 7-75; c) 0-072; d) 17-525; e) 0-9518; 201. f) 0 6; g) 0-18; h) 4-06; i) 26-752; k) 9-324; 285 202. 1) 0 81; m) 0 04i; n) 8-567; o) 0-4378; p) 0-90243; 203. q) 0-73; r) 15 351; s) 0-79324; t) 0 29074; u) 0-234684. Počitdni uplnymi zlomky desetinnymi. (§§. 109.—111.) Sečltejte nasledujici desetinne zlomky nejprve srašrem svislym, pak vodorovnym: 204. 205. 206. 207. 208. 209. 210. 19-78 + 35-096 + 8-71295 + 0-2087 + 4-178063 + 15-892; 211. 37-09 + 18-388 + 2-34966 + 0'2897 + 3-047585 + 74-418- 212. 5-35 + 56-905 + 7-58506 + 05375 + 7-493203 + 9-005 j 213. 10-93 + 68227 + 3'08751 + 0-1884 + 0-479728 + 56-793; 214. 71-86 + 43-683 + 4-86235 + 0-5679 + 5-637564 + 88-608. 215. 173-5879 — 91-3462. 217. 54-3128 — 5'573. 219. 748-625 — 283. 221. 500 - 374-9864. 223. 79-24405 — 1-7786 + 88 224. Ustanovte A = a + b + c, B=za + b — c, C = a — b + c, D = b + c — apči a = 23-4567, b = 39-0703, c = 51*809. 225. 1 kilometr = 0-131823 rak. mil; kolik rak. mil jest 10, 100, 1000 kilometru? 216. 42 0073 — 17-658. 218. 95-78 — 58-2834. 220. 473-5 — 281-937. 222. 1 — 0-172635. - 98-30556 + 27f 226. 48-326.28. 228. 7-1356.f, 230. 6-8912.2-1506. 232. 15-30762.0-00975. 227. 9-10993.315. 229. 0-33047.31. 231. 815-279.0-09156. 233. 91-3425.3-1416. 234. Zlomek 325-67 ma byti delen 10, 100, 1000, 10000. 235. 108-931: 97. 236. 0-5226 : 39. 237. 8 :1-25. 238. 0‘235:0-56. 239. 0-5976:0-083. 240. 2-0093724 : 0-0054. 241. 30-9644: 38-9. 242. 1-6820736: 2‘256. P očitani zkrdeenymi ztomky desetinnymi. (§§. 112.—117.) 243. Zkrafte na 3 mfsta desetinna: a) 25-7917, b) 3-14159, c) 0*8398, d) 81-57942. 244. 0-91654 + 0-17357 + 0-23408 + 0-17999 + O 879. (3 des. m.) 245. 17-34255 + 8-509796 + 3-5882+ 12-0591+ 45-77316. (4 d. m.) 246. 19-3875.. + 23-473.. + 38-378.. + 8-4531 • • + 0-082 .. 286 247. Promčnte členy fady • 1 ^ I ^ _L _!_ ^ 1.2.3 ^ 2.3.4 ^ 3.4.5 ^ ^ 10.11.12 ve zlomky desetinne a vypočitejte součet na 3 des. mlsta. 248. Taktež vypočitejte fadu 2 ^ 2.4 ^ 2.4.6 ^ 2.4.6.S ^ 2.4.6.8.10 ^ 2.4.6.8.10.12 na 4 des. mista. 249. 88'9397 — 51-4823. (3 d. m.) 250. 4'37147 —1 6392. (3des.m.) 251. 8-2345 .. - 3'5678 .. 252. 35-79 .. — 10'809 .. 253. 3-1415.9-2587 (3 des. m.) 254. 09156.23-851. (2 des. m.) 255. 12 0748.1-91345. (4 des. m.) 256. 81-2867.0-1234. (3 des. in.) 257. 5-376079.8'058876. (5 des. m.) 258. 8-14793.7-10936.2-51446. (4 des. m.) 259. r045.1-045.r045.1-045. (6 des. m.) 260. 23-17346.8-09745.011944.3-58876. (4 des. m.) 261. Vypočltejte na 4 des. mista p = (a b c)(a + b — c)(a — b -j- c)(b -j- c — a) pfi a = 1-30785, b = 2-09122, c = 2-80116. 262. Vypočitejte fadu -i i 1 r m— 1 (m—l)(2m—1) (m-l)(2m-l)(3m—1) + m ~ 2.m 2 2.3.m 3 2.3.4.m 4 pfi m = 3 a x = 0-015 na 7 des. m. 263. 834 X 2-1335 .. 264. 0'37 X 15‘0816 .. 265. 2-95525 .. X 0-1563 .. 266. 6-04.. X 0-0085 .. 267. 28-135 .. X 7'089.. 268. 04956 .. X 0 8091 .. 269. 45-12345 : 3-8265. (3 d. m.) 270. 986’256 :127-85. (2 des. m.) 271. 13-794 : 28-376. (4 des. m.) 272. 0-7123 : 43'566. (4 des. m.) 273. 754-06 : 0 649. (2 des. m.) 274. 3-1416 : 7-825. (3 des. m.) 275. 7-24257 : 19-14. (3 des. m. 276. 0-436861:18-547. (4 des. m.) 1 kilogramm = 1-785523 vid. lib.; kolik kilogrammii = 1 vid. lib. ? (5 des. m.) 5-3145.2-4906 . 3-027.8-2579 . ' , 7-2084.3-7449' ^ deS ' 27J ' 9-461.6-3047' deS ' 0-35791.0-46802.0-14235.0-37281 0-41885.0-89134.0-15786.0-29173' deS ' 277. 278. 280 . 287 281. 3187 : 5-3185.. 283. 53-4428..: 9-157. 285. 0-3497.. : 14-284.. 287. 0-00369.. : 3-846.. 282. 912-857 : 0-118.. 284. 71-293.. : 9-8764. 286. 9-2737.. : 0'0856.. 288. 30-2582..: 0-71356 C. Zlomky fetezove. Pramenov dni zlomku obv&ejnvch v fetezove a naopaJc. (§§. 119. a 120.) Promžnte ve zlomky fetšzove: 290. f) 291. 1) 292. q) 293. rst + r -f-1 prst + pr + pt + st +1’ 294. 12x* + 17x + 7 24x 3 + 46x* + 35x + 10' Promčnte nasledujici fetčzovd zlomky v obyčejne: 295. 1,1 1 296. \ , 1 1 2 + q ,1 5 + 14-- 1 d+ 4 +3 +^ 291 ■ T+i 1 298. - . 1 , a_r a + l + -, 2 , 1 j a + 2+ «+3+J + 4 Sblizne zlomki/. (§§. 122.—126.) Promčnte nasledujici zlomky v fetžzove a ustanovte jich zlomky sbližnd: 129 „111 x 135 100 _ \ 157 299. a) 300, f) 164’ 999 439’ b) g) 53 ’ 3361 900 ; C ) 328 ’ h) 0-357; (k J 137’ e) 972’ i) 0-8282; k) 2-7041. 301. Ustanovte prv^ch pžt sbližnvch hodnot desetinnčho zlomku 0-65438, jakož i mez chyby každe teto hodnoty. 288 302. Promčnte -ffig ve zlomek retčzovy, a ukažte na sbližnjch zlomclch vlastnosti dokazane v §§. 123. a 124. 303. Vid. libra = 0 - 56006 kilogr.; ustanovte prvych pčt sbliž- nycb hodnot tohoto čisla pomšrneho. 304. 1 litr = 0-70685 mazu; vyhledejte sbližne hodnoty. 305. Eakousko-uhersky osmizlatnik obsahuje 5-80645, nčmecky desetimark však 3-58423 grammu ryzeho zlata; ustanovte co možna nejspravnšji pomčr obou tecbto zlatych minci čisly menšimi. 306. Synodicky mšsic, t. j. doba od jednoho noveho mžsice k drubemu, jest 29-53059, tropicky rok slunečny však 365-24222 dni; vyhledejte prv^cb osm sbližnych bodnot po- mčru obou dob. Na šestem sbližnem zlomku spočiva M e t o n u v cyklus 19ti roku, po kteremžto čase mčny mesice padaj! opet na tytež dny v roče, jakož i zlate čislo, kterež udava, kolikaty jest určity rok v tomto cyklu. 1 . 2 . 7 . Pomery a srovnalosti. A. Pomery. (§§. 129. a 130.) Vyjadfete nasledujici pomery celistvymi čisly: a) n : 3f; b) * : f*; c) U : 5^; d) 23/, e) 8f: 2-01; f) 0'215 ; 3-0816; g) (a — b) : ab ; + b’ Zkrafte nasledujici pomčry: a) 10: 24; b) 72:56; c) 120:48; d) ax(m s — n a ): ab(m + n). 3. Vyjadfete nasledujici pomčry nejmenšimi čisly celistvymi: a) 4 : 6f; b) 12|: 8f; c) f; lf; d) 15f: 6 T \; e) 0-75 : 0;625; f) 3-208 : 1-28; g) x+y ax bx 4. Tčleso A probšbne za každou minutu 80, teleso A' však 96 metru; ustanovte pomčr obou rycblosti. Tčleso A probčhne za a jednosti časov^cb tutež drahu, kterou A' probčhne za a' 6asovycb jednosti; ustanovte po- mčr rychlosti obou tšles. 1 metr ma se k 1 vid. stope jako 174 : 55; kterak se ma a) 1 vid. stopa k 1 metru, V) 1 decimetr k 1 vid. palci? o. 6 . 7. V kterem pomšru jsou hodnoty zlata a stfibra .v Nemecku, kde z 1 lib. rvzeho zlata razi se 139^ desetimarku a z 1 lib. ryzeho stfibra 30 tolaru, plati-li 1 desetimark 3| tol.? 8. V kterem pomčru jsou plochy dvou obdčlnikd, z nichž prvy jest 28 metrfi dlouhy a 15 m. široky, druhy však 25 m. dlouhy a 16 m. široky? 9. Parni stroj vyzdvihne za a sekund b kilogrammd na c metru, jinjf parni stroj však za a' sekund b' kilogrammu na c' metru; v kterem pomeru jsou sily obou strojil? B. Srovnalosti. (§§. 132.-140.) Vyhledejte x z nasledujicich srovnalosti: 11. 3-’- : x = 15f : 5. 13. 34 : 5} = 7f- : x. 15. 14-35 : 218-275 = 9-18 : x. 17. x : 3f = m 3 : 18. x : (m —. 2n) = (6m + 8n) : (2m — 4n). 19. (6a - 5b) : x = (12a s — 4ab - 5b 2 ): (8a 4 - 2ab - Bb 2 ). m 2 - - n 8 _ m +_n __ m 8 — 2mn + ii 8 ‘ m a -f- n 2 ‘ m — n ~ m + n 10. x : 5 — f : f. 12. 4| : 4|- = x : 8- f 8 5 , 14. x : 0-35 - 2-38 : 1*25. a b c 16. — : — = x : -. m p q 21 - ( b + P^TT.) : X = (b + 22. (x + a) : x — b : c. 23. x (a - x) a _ b a -f- b ‘ a — b b 8 'j , a + b a — b J ‘ b j v ohledu na §. 137., 1. 24. Ve srovnalosteck a) 9 : 6 = 15 : 10, b) 20a(a + b) : 12a = 25(a 8 — b 8 ) : 15(a - b) provedte zmšny naznačeni v §§. 136. a 137. 25. Ma-li se a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 9, c : d = 3 : 5, konečnč d : e = 3 : 8, kterak se ma a : b : c : d : e? (§. 139.) 26. Jsou-li dany srovnalosti a:d = 4:3, c:d~o:6, b:e = 20 : 9, b : f = 5 : 9, e : c = 3 : 5, kterak se ma a:b:c:d:e:f? Močmk-Hora ; Algebra. 19 290 27. 1 kilogramm se ma k 1 vid. libre jako 25 : 14, 1 Kg. k 1 nčm. libre jako 2 : 1, 1 nem. libra k 1 londonske libre jako 43 : 39, 1 ruska libra k 1 lond. libre jako 65 : 72; v kte- re'm pomčru jsou vždv dve a dve tyto vahy? C. Použitl srovnalosti. Jednoduchi pravidlo tmclenove. (§§. 143. a 144.) 28. 17 kilogrammu zboži stoji 15 zl. 64 kr.; a) mnoboli stoji 43 Kg.; b) mnoboli Kg. obdržime za 35 zl. 88 kr.? 29. Je-li tlak vzducbu na l-|D dm 154 Kg., jak velky bude tlak na lQ m ? 30. Na m Gmilich žije r obyvatelft; a) mnoboli obyvate!fl pfi rovne (pomčrne) lidnatosti žije na n rjmilicb; b) na kolika čtv. milicb žije s obvvatelfl ? 31. Obvod pfedniho kola u vozu = a metrflm, zadniho vsak b metrflm; otoči-li se zadni kolo v jiste dobč mkrat, koli- krat se otoči pfedni ? a = 2-8; b = 4'2 : m = 170. 32. Vykona-li tčleso rovnomžrnč se pohybujici za a sekund drahu b metrfi, a) kolik metrfl drahy vykona za t sekund, b) za kolik sekund vykona drahu s metru? 33. Rychlosti dvou tčles rovnomčrnš se pohybujicicb jsou v po- mžru c : c'; za kolik hodin druhd tžleso vykona drahu, kterou prvni vykonalo za t hodin? 34. Obsahuje-li plynojem ll - 2 krvchl. metrfl plynu, jenž v jiste dobe sbofi v 82 svitilnach, mnoboli krychl. metrfl plynu musi byti v plynojemu, aby tutež dobu mohl hofeti v 148 svitilnach? 35. Rukopis da v tisku 162 strany po 50 fadkach; kolik da stran, tiskne-li se na každe Strane 45 radek? 36. Vystači-li a osob se zasobou potravy b dni; kolik osob vvstači s touto zasobou o c dni dele? 37. Platinovy »Mitre prototype“, zachovany v archivu parižskem, jest dle nejnovejšiho astronomickeho mšfeni pri teplotfl ta- jiciho ledu roven 10000856te časti čtverniku zemskeho po- ledniku. Pri koliku stupnich teplomčru setinneho by delka tohoto puvodniho metru rovnala se určite lOOOOOOOte časti 291 čtverniku zemskeho poledniku, je-li 0-00000856 mŠrou roz- tažnosti platiny pro každy stupefi zvvšeni teploty? 38. Plzen ma 23650 obyvatelfi; ranoholi jest jich 12°/ 0 ? 39. Dle Duvillardovy tabulky smrtelnosti z 502216 osob 20tiletych dojde 297070 roku 50teho; kolik °/ 0 umfe tedv v stari' 20—50 roku ? 40. Vvpoeftejte 3% a) na sto, /J) z e sta, y) ve stu a) z 3758 zl., b) z 2908| mark n, c) z 5230 - 65 franku. 41. Nžkdo koupf zboži za a zl.; zač je musi prodati, aby ziskal P°lo ? 42. Zfska-li nekdo p°/ 0 pfi prodeji zboži za a zl, zač bylo zboži koupeno? 43. Kdosi koupi zboži za 3480 zl.; zaplati-li bned, povoli se mu skonto (sražka) 2J-%. Mnoholi čini skonto, počita-li se a) z e sta, b) na sto? 44. Nškdo obdrži za prodane zboži 6522 markfi po sražce 2% provise; jak velka jest tato? (Ve stu.) 45. Kdosi koupi sfatni los, jehož jmenovita cena jest 250 zl., dle kursu 96‘25 (za 100 jmenovitč ceny); mnoholi zaplati za los ? 46. Nekdo koupi akcii železnč drahy za 176 zl.; na kolik % uložil penize, je-li jmenovita cena akcie 200 zl., kterčž nesou ročnč 5% uroku ? 47. Jistina vynese za t rokfl e zl. uroku; a) mnoholi uroka vynese za t' roku pfi temž °/ 0 ; b) za kolik rokft vynese z' zl. uroku ? 48. Na kolik % musi byti jistina uložona, aby za t' rokft vynesla tolik urokfl, mnoholi vynese za t rokd pfi p °/ 0 ? t' = 3, t = 2, p = 6. Složite pravidlo tričlenovč. (§§. 145. a 146.) 49. a Kg. pfize da b metru platna c cm. širokeho; «) kolik metru platna c' cm. širokčho da a' Kg. teže pfize; /3) jak široke bude platno, ma-li se zhotoviti b' metru z a' Kg. pfize; y) mnoho-li Kg. pfize bude potrebi ku zhotoveni b' metrft platna c' cm. širokeho ? 50. Z jisteho množstvi vlny mfiže tkadlec zhotoviti 16 kusu sukna, z nichž každy jest 54 metry dlouhy a f metru široky. 19* 29 2 Z jiste časti vlny zhotovi tkadiec 2 kusy po 48 m. delky a | m. šlfky; kolik kusfi po 47 m. delky a £ m. šifky muže zhotoviti ze zbytku? 51. Stroj vyzdvihne za a sekund b Kg. na c metrfi; za kolik sekund vyzdvihne b' Kg. na c' metrfi? a - 93, b = 4185, c = f, b' = 3912, c' = 1£. 52. Ve mlynč o a složenfeh pri b otočenich (za minutu) semele se v c sekundach d hektolitru obili; na koliku složenfeh pri b' otočenich (za minutu) semele se v e' sekundach d' HI.? 53. Ze dvou kol do sebe zasahujfcfch jedno ma a, druhe b zubfi; vykona-li prvni kolo za s minut m obehfi, kolikrate druhe se otoči za t minut? 54. Veze-li vozka 12 ctfi. 10 mil za 20] markfi, a) jak daleko poveze 24f- ctfi. za 30] markfi; b) kolik ctfi. poveze za 23] markfi na 18£ mile; c) mnoholi dovozneho bude požadovati za 37 ctfi., jež veze 25] mile? 55. 6 dčlnfkfi vykopa ve 4 dnech prikop 300 metrfi dlouhy, 8] dm. široky a 6 dm. hluboky. Pri drahem pfikopu vykopa se 2] krvchl. m. v temž čase, v kterern 4] krychl. m. pFi prvnim pfikopu; a) kolik delnikfi vykopa v 9ti dnech druhy prikop 245 m. dlouhy, llf dm. široky a 3] dm. h!uboky, b) v koliku dnech vykopa 10 dčlnikfi druhy pfikop, je-li 250 m. dlouhy, 9| dm. široky a 4] dm. hluboky? 56. Mnoholi uroku vynese 3791 zl. na 4% za 3 roky ? 57. Mnoholi urokfi vynese a) 1287 zl., b) 3745] zl., c) 8391 zl, 34 kr. na 5]°/ 0 za «) 2 roky, /3) 3] r., y) 2 r. 4 mšs. 18 dni? 58. Mnoholi urokfi vynese C zl. na 6% za T dni? 59. Mnoho-li urokfi vynese 3609 markfi za 125 dni a ) na 6%, 6) na 4%, c) na 4] d) na 2%? 60. Nčkdo koupil dne 17. srpna 500 zi. statnich papirfi dle kursu 69]; mnoholi za nč zaplati, musi-li nahraditi 4‘°/ 0 prošlych urokfi (jmenovitč ceny) od 1. kvčtna? 61. Jak dlouho musi byti jistina 4844 zl. na 4]°/ 0 uložena, aby vynesla 886] zl. urokfi? 62. Ktera jistina vynese pfi 5]- 0 /o za 2 tš r °ku 950]- markfi urokfi ? 293 63. Vynese-li jistina 1424 zl. za 3} roku 237} zl. uroku, na kolik °/ 0 byla uložena? 64. Vynese-li jistina c zl. za t rokfi z zl. urokfi, a) mnoholi uroku vjnese c' zl. za t' rokfi, b ) ktera jistina da za t' rokfi z' zl. urokfi, c) za kolik rokfi jistina c' zl. vvnese z' zl. uroku? 65. Jistina c splati se za t roku; nač (s) vzrostla pri p°/ 0 urokfi? 100 tp G — n __ _ __ 1 66. Jistina c , splatna za t rokfi bez urokfi, ma b^ti splacena na začatku toho času; mnoholi (r) musi dlužnik zaplatiti pri p°/ 0 diskonta? Počitame-li na sto, jest r = c — Počitame-li z e sta, jest r = c — cpt 100 + pt cpt Tod" - Ktery počet jest spravny, ktery pohodlnžjši? lOOc 100 + pt' Kupci vypočitavaji diskonto u smSnek a skonto u penšz za zboži vždy z e sta. 67. Smenka na 2813 zl. 15 kr. diskontuje se 4mi % dva mesice pfed časem dospčlosti; a) jakd jest diskonto, b ) mnoholi musi kupujlci zaplatiti? 68. Mnoholi musime dnes pfijčiti na 6%, abychom za tfi roky i s iiroky obdrželi 2950 zl.? (Na sto.) 69. Nekdo uklada po 5 roku na začatku každčho roku 2000 markft na 5% jednoduchjch urokfi; jaka jest nynčjši hodnota všech uloženych jistin? 70. A podava za dfim hotovych 24000 zl., B hotovych 16000 zl., mimo to chce vždy 3000 zl. splatiti bez uroku za 1, 2, 3 roky; C podava hotovych 17000 zl., mimo to po 2000 zl. splatnych bez urokfi za 1}, 3, 4} a 6 let. Kterč nabid- nuti jest nejvyhodnšjši, počita-li se 6% nahrady jedno- duchych urokfi? 71. Jistiny c', c", c'", . . . jsou vztažnč za t', t", t"', . . . jed- nosti časovych (rokfi, mesicfi, . . .) splatne bez firokfi. Vy- počitejte, kdy by se musel součet, s = c' + c" + c'" + . • • najednou zaplatiti? 294 Znači-li m stfedni (prumšrnou) Ihutu platebnou, a počitame-li jedno- duche uroky pri p°/ 0 , bude v poetu na sto c't' , c"t" , c'"t"' 100 + pt' + 100 + pt" + 100 +pt'" m - + 100+pt' ^ lOO + pt" ^ 100 + pt"' T • v poetu z e sta c't' + c"t" + c"'t'" + . . . m = -- - ---. c / -j- c u -j- c' /; -j- .... Počet tento slove lliutovy; obyčejnŠ počitame ze sta, jakož patrno bez obledu na procenta. 72. Nčkdo ma zaplatiti bez uroku 2000 zl. za 2 mčsice, 1500 zl. za 5 mesicu, 2400 z], za 1 rok, 2500 zl. za 1 r. 3 mes.; kdy by musel zaplatiti veškery dluh najednou? Počet spolkovy. (§§. 147. a 148.) 73. K jake'musi podniku da A 3100 zl., B 3500 zl., C 4200 zl.; vyziskaji-li podnikatelč 324 zl., mnoholi obdrži každy? 74. Rozdčlte čislo 3710 na 4 časti, srovnale se zlomky f, f, 75. Stavba školy stoji 924 zl. 30 kr., kteroužto vjlohu 4 obče maji zaplatiti v pomeru dani. Plati-li obec A 738 zl. 42 kr., B 815 zl., C 513 zl. 65 kr., D 618 zl. 83 kr. dani, jakou častkou musi každa obec na stavbu prispčti? 76. s zl. ma se rozdčliti na 3 časti a, b, c tak, aby a : b = m:n a b:c = p:q. 77. Rozdčli-li tri osoby 3960 zl. tak, že B obdrži dvakrate tolik co A, a C tfikrate tolik co B: mnoholi dostane každa osoba? 78. 9150 zl. rozdčli se tfem osobam tak, že A dostane tolikrate 5 zl., kolikrate B 3 zl., a C tolikrate 3 zl., kolikrate B 4 zl.: mnoholi obdrži každa osoba? 79. s tolaru ma se rozdčliti na 4 časti tak, aby a : d = m : n, b : d = p : q a c : b = r : s. 80. V rakousko-uherskem osmizlatniku jest zlata a mšdi; mnoholi zlata a mnoholi mčdi potrebuje se k raženi 1000 osmizlatnikfl, jestliže 155 kusu važi 1 Kg.? 81. 18420 zl. ma se rozdčliti 4 dčdieum tak, aby A obdržel |, B }, C i a D zbytek. Pred rozdelenim však umre A, a ostatni dčdici rozdčli se pak o jeho podil v pomčru svych pdvodnich podilfl; mnoholi dostane každj'? 295 82. Pri jakčsi vefejnč stavbč pomahali delnici ze th' obči, a sice z obče A 11 dšlniku 10 dni po 9ti hodinach, z obče B 9 delnikfi 9 dni po lOti hodinach, z obče C 15 delnikfl 5 dni po 6ti hodinach. Za to dostaly obče 750 markfl nahrady; mnoholi obdržela každa? 83. A počne na začatku roku obchod se zakladem 8000 zl.; po dvou mčsicich pristoupi B s 5000 zl., a ještš o 2 mčsice pozdčji se pfidruži C s 3000 zl. Koncem roku zbyva 1059 zl, zisku; mnoholi obdrži každy? 84. Ku společnemu obchodu dal A a' zl. a po m' mčsicich ješte b' zl.; B dal a" zl. a po m" meslcich ještč b" zl.; C dal a"' zl. a po m'" mčsicich ještč b"' zl. Kterak tyto 3 osoby po m mčsicich se rozdčli o z zl. zisku? Počet retčzovy. (§. 149.) 85. Kolik metru = 2135 ruskym stopam, jestliže 55 m. = 175 vid. stp. a 82 r. stp. = 79 vid. stp. ? 86. Kolik londynskych liber važi 1 lond. krychl. stopa čiste vod}', jestliže 1 krychl. dm. čistč vody važi 1 Kg. ? (25 lond. krychl. stop = 708 krychl. dm., 86 lond. lib. = 39 Kg.) 87. Bakousko-uhersky zlaty obsahuje 900 tisicin ryzeho stribra; mnoholi grammu važi, jestliže 45 zl. obsahuje 500 grammu čisteho stribra? 88. Kolik zl. r. č. = 1 nčm. desetimarku, je-li v 139’ kuseeh lOtimarku i Kg. ryzeho zlata, v 45 zl. rak. čis. i Kg. čisteho stribra, a ma-li se zlato ku stfibru (dle hodnoty) jako 15i : 1? 89. Kolik dukatfl rovna se osmizlatniku, razi-li se 155 osmi- zlatnikfl z 1 Kg. zlata 900tisicinnč jakosti, a 67 dukatu z kolinske hfivny 23f karatoveho zlata ? (1 kol. hrivna = 24 karatum = 233-87 grm.) 90. Videhsky obchodnik plati v Hamburku za 1 hamb. libru kavy 78 penižcu; mnoholi °/o ziska, čini-li v.flohy 30% a prodava-li se ve Vidni 1 Kg. za 1 zl. 20 kr. ? (1 hamb. libra = ^ Kg., 100 penižcfl = 1 marku a 100 markfl = 54 zl.) Ketez počina takto: x zl. čini prijem za 100 zl. vydanych, jestliže a t. d. 296 III. Mocniny, Teličinv korenove, Iogarithmy. 1. Mocniny s k!adnymi celistvjral mocniteli. (§§. 151.-153.) 2. (x m ) n . 3. [(p 3 ) 4 ] 3 . 5. (— a 3 ) 2 . 6. [C— v) 3 ] 5 . 8. (_ a 2 n~i) 2 m - y [(— z 3 ) 3 ] m . 11. (y3a—25>)Sa^3b _ 1. (a 3 ) 3 . 4. (— a 3 ) 3 . 7. (— a 2m ) 2n '- 1 . 10. (x a+b j a ~ b . 1 12. (2ax) 3 . 13. v T57(2a s ) 4 . 06. 18. (— 5x 3 y 3 z) 3 . 19. (— 4b) 3 .(3x) 3 . 22. 2£ (7x) 3 .(3y) 4 .(2az) 5 . 27. a) 4 26. a 3 .x 3 . 9. (x -f- a) 4 . (x 31. X 1 ■& (§§. 154.-157.) (abed) m . 14. (— 3a) 4 . (ax m ) p . (77. (2a 3 x 4 ) 2 . [a 3 (b —c) 3 ] 4 . "20. [(xy 3 ) 3 . z 3 ] 3 . (5x) 3 . (— 2y) 4 . 23. (- 8a) 3 . (- 3b) s 25. (a mfn b m - B ) m+n . 25 4 .4 4 . 28. (5a) 3 .(3b) 3 . 30. (3x) 5 . (— 2y) 5 . (4z) ! . ^2. (l + |) n . a". ©‘O'©' < 3 36. 39. 42. i ;)• 34 (!=)'• 44 ( ! 2ax — 3by 3b 46. (8ab) 4 : (2b) : i;i- ra — b 2y. r3ab 3 \5 v2x 3 y/ ‘ b 5 5 y 40 f- 3&3 ?Y. I 4b 3 v 3 / 4b 3 y 3 ra 4 b 5 c 3 l 3 .„ j / ab 3 x 3 y"l 2 l W J ' !A C 3 d ! yi J • + yj . 45. (l 3a + 2bx~ )■ 2bx 47. (x 3 — T 3 ) m : (x — y) E1 . i-1;::)' © • 52. ax m . bx n . 54. 2m 4 a 3 .5m 4 n. 53. 7a 3 .(— 3a 3 ), oSrH3(a + b) 3 .4(a + b) 3 . 297 ‘56. (— a) 4 .(— a) 3 . 58. (3a 3 .2b 3 ) 4 . (4ab) 3 . 60. 6a m+n : 2a n . 62, • (!’)’• (IT- L57. 39. CA. 5ax 4 b 8 x 3 3a 3 y 4 6by 3 ‘ ay '2b 3 x 3 ' RR ra 4 b 5 cV r x 4 y 6 Y v x 5 y 7 .) ' la 3 b 4 c^ ' pa 3 xh s ( 6ax 3 Uby 3 J '' 5b 3 y4 'Ua 3 63. 65. 67. J(2: V r^-V 69 I (2 ^ 2) - J-UslV l ao> (— a) 2m+1 . ( - a) 511 - 1 . (ab) m-2n . (ac) 2m - n . (bc) n ~ (- a) 2n+1 : (— a) 3 . C ab v 1 r 2c x 3 ^bcV V2cdJ • v3abj ' vDa J 8a 6 xy 4 4a 5 x 3 y 3bc 3 z 5 '5b 3 cz 4 ‘ 'x 3 y 3 ) 3 .(3x 4 y 3 ) 3 | 3 6x 3 y 3 J ' 3 ) 5 .(3x 3 z*) 4 .(5y 3 z) 3 l 2 (10x 3 y*) 3 .(6y 3 z 4 ) 3 i 70. 3a 3 + 4a 3 + 6a 3 . 72. ax 3 + bx 3 -fcx- 73. 4x m — 5x n + 6x p (§. 158.) 71. 5m 4 - x 3 — 2x 3 + 3x. — x n -f- 2x m — 3x p . 2m 4 . 74 -^+^ + ? + ? + P + | + g- 75. (2a 3 + 3b 3 ). a 3 b 3 . 76. (6x 4 y 8 77. (3a 3 x 3 -f- 4b 3 y 3 )(3a 3 x 3 — 4b 3 y 3 ). 78. (x 3a ~ b - 79. (x 3m ~ n 10x 3 y 3 ) : 2xy 3 . X 2a -}- X afb — X 2b 4- x 3b_a ) (x a -j- x b ). ■+ x : 2n _ y3ii— m' ) : (x m — x n ). 80. (a 8 — b s ): (a 5 + a 4 b + ab 4 + b 5 ). (81. (x 3 + a) 3 . 82. (a 3 -x) 3 . '84. /x m — y“) 3 . 85. (5x 3 — 6y 3 ) 3 . 87. (2a + b) 3 . 88. (3x — 2y) 3 . 90. (ax 3 — by 3 ) 3 . 91. (2a x + 3a y ) 3 . 93. (5a 3 —4x 3 ) 3 + (5a 3 + 4x 3 ) 3 . 94. (ax 3 +¥y 3 ) 3 - (ax 3 — by 3 ) 3 95. (a -f- bx + cx 3 ) 3 . (96. (x 3 y 3 — 2abxy -j- a 3 b 3 ) 3 . 83. (2a 3 + 3b 3 ) 3 . 86. (mx 4 — n) 3 . 89. (a 3 — 3b 3 ) 3 . /92. (mx 6 — nx 3 ) 3 . 2. Yeličiny korenovk s kladnynii celistvymi odmocniteli. (§§. 162.-167.) m 3 _ 5 1. \/a mi . 2. Va 6 ". mnp 4. V x ’ 7. (V-a) 5 o. \x 8. (V “a 3 ) 1 . 3. V- a 30 - mfn_ 6. Vx am+an . 9. (Va 3 ) 2 - 298 10. (Vab s c 3 ) 3 . m n 13. (W'a m ) n • - 3 n 16. Wx. 19. YV'^- 4 3 6 22. (l^Va 8 ). 11. 4a , (v r x a ) n . 12. (\hi m f§. 3 n.JfVa. 18. VYx\ 3 m n p 20. \ry-6 4. 21. vTT*- 23 ' '^(V'a m ) p . 24. Jestliže 1^262144 = 64, čemu se rovna a) 1^262144, 9 18 b) \^262144, c) ^262144 ? 25, Uvedte nasledujid veličiny kofenove na společneho od- mocnitele: ( a) V“x a y~x z ; up a v"y 5 ; c) y"a p a \^b m ; d) \Ta, l^b 2 a V - c 3 . 26. Zkrafte odmocnitele i mocnitele nasledujidch veličin kore- novych: 4 6 18 mnp a) V"x s ; b) V'y 15 ; c) V"a 13 , d) Vx mM . (§§. 168. a 169.) m 3 \ 27 . \/x a y b . 28. \/9d9: 29. \JFlaW. wr a 3 - 3__ 3 m_ ^ bVb 3 x 3 . 31. VV 1 ^ 3 ^! 3 . 32. VV8 m -27 m . 299 44. V a p . v^a'!. 47. Vx.V"xy- » Vi-V-f- n _ n 52. VaK^ 1 . Vbx n_1 . 54. Y~a.)Ta,. 3 3 45. Vn 5 .yn. 46. ya 7 .y a 5 . 48. Va“b^. \/ab: 49. s*. vffi.\/ s 4 y V^- mm m 53. \Jxy~z 3 . \Jx i y m ~' 2 z 2m ~ 8 . \/x m “ 3 z 5-m . 55. \/"x 3 .V'x 3 . 56. ya 5 .ya 7 . 57. 3yb*-5yb 3 .yb. 58. 3 VtV? - Cinitele pred korenitkem uvedte pod kofenitko: mm 3 _ 3 _ _ _ 85. Vax-'Va. 86. \j 48 x:\j 6 x. 87. \ab:\Jbx. BOO «• "Vi a b‘ 4 3 94. \/a 3 : \/a. 4 Va 97 \/a 100 . a-f-x Va 2 — 92. 1 : V0 : 25. 95. Va 4 :{/a a . 98. — : V ax 101 . Va — 1' 93. 1V 96. mVa: Va. a x —2y _; x 3 3xy 2 —2y 3 4 99. Va 102 . ( x + y ): \J- ( X + y ) m ~ 1 X —y • 103. I 105. 107. ioa ( 109. Ui 1 - (JL13. 115. 116. Sečitani a odčitani veličin Jcorenovych. (§. 170.) 3 3 3 ram Va + 4Va + 5Va. 104. aVx n — bVx“. a -j- b Vffi + c — d Vin. 106. 5Va 3 — 2Va 3 — 3Va 3 . 3 3 mVa + n Va + 2Va — 3\/a. . m n m n n m aVb — 2bVa — 2a\/b + 8bVa — 5bVa + 6aVb. Uvedle na společnšho odmocnžnce a sečftejte aneb odčitejte: Va 5 + Va 3 + Va- /110. V a2 x + 2Vb 2 x-{-3Vc 2 x. _ {___ 3 _ S _ 3_ . 5aVl2x 3 —2xV27a 2 x. 112. 4V3x — 2\j2Ax-{- \/l92x. VaUa 2 + BVaVa’ a\/aVaVa — 2\J^\/^7 V4x 3 y — 5yVxy — xV4xy -f- \/2oxy 3 . 4Vl + a 2 - V9 + 9a 2 - 2Vx 2 + a 2 x 2 + Vx 4 (l + a 2 )- xy 2xy+y 2 V xy 117. (ž— y>V x >_ g -*yV|; + *Vf 118. (Va — 2Vb). Vx. 119. (3V5a + 4) . \/4a. 120. (a + Vb)(a - Vb). 121 • \/x + y + V2xy . Vx + y — \j2xy. 122. (V x + V y + V^)(V X + Vy — Vz)- 123. (Va -j- b — Va + Vb)(V a + b + V a — Vb)- 124. VVa-Fx +Va — x . VV a +x — Va —x. 301 125 x +V x8 ~ 1 x — VV — 1 ' X - \/X S -f- 1 X + \ - 1' 126 1 ~~ V x _l _J?V^_3x + Vx ‘ 1 + \/x ^ 1 — Vx 1 — x ' 3 3 3 3 3 127. (V(x + l) 2 4- V(x — l) 2 + V'x 2 — l)(\x + 1 - Vx - l). 3 3 128. (Vab + 3\/xy)(5Vab + 4\/xv). 129. (Vx - Vy)(\/x + Vy)( Vx + Vy). 3 3 3 3 130. (Va 2 b — \/ab*): Vab. 131. (6\/x + Sx):2\/x. 132. (Va — \/a 2 — Va 3 + V a4 ) : V a - 133. (Vax — V cx + V az — V cz ) : (V a — V c )- Vx — Va 134. Ustanovte hodnotu podflu i F~ pfi x = a. Vx — V a 135. (B — b) : (VB — Vb). 3 ___ isfi \ /m 4- n 4- 2\/mn . \ /V m + V a V m — n V Vm — \/n' 137. (a 4- \/b) 3 - 138. (Va — \/b) 2 . 139. (3xVy — 2y\/x) 2 . 140. (V2x -j- a — \l'2x — a) 2 . 141. (Vx4- Vy)*+ (V x - Vy)*- 142. (V5 4- V3) 3 - (V5 - V3) 3 . 144. [\/v'a + b 4- V a — b ± \/V a 4- b — V a — b] ' 145. (4aVb — 3bV a ) 3 . 146. (a — 3Va 2 + 4Va) 3 . 147. [Va 3 T\/a^lV—\/a 3 -Va^P] 3- 3. Mocniny (a veličiny korenove) se zapornymi a lomenymi mocniteli (a odmocniteli). Zaporni mocniteli. (§§. 172.—174.) 1. Ustanovte hodnotu nasledujicfch mocnin: a) 2“ 6 , b) 6- 2 , c) 4- 3 , d) 0-4- 1 , e) 0125~ 3 ; o 4, b) ur. »> (ir.« 302 2. Odstrante zaporne mocnitele: a) 2x 2 y -2 , b) 3a 3 b- 3 ax~ m c) ab _1 x _1 y, d) C / AU2„—2^—21 V -lv-lj 13a~ 2 b _1 c 5 -5 7-2 • 8x 3 y by _m 1 ' JJ 4b 2 n~ 2 x _2 ’ 3. Vyjadfete v podobe čisel celistvych: . 5x , 2ax~ 2 . m 3 x 2 12a~ 4 b a ) v’ b -1 ’ C y 3 z -2 ’ G 25x —3 y 2 ' Vypočitejte a napište vysledky s kladnymi mocniteli: 4. (x- 2 ) 4 . 7. (— a 3 )- 2 ”. 10. (a- 3 b 4 )” 2 . is. r*±ir vx — 5. (X- 1 )- 1 . 8. (- a- 2 ) 2 — 1 . 11. (3a 3 b- 1 x 3 y- 1 ) 3 . 6. [(x- m ) n ]-P. 9. (— a 211 - 1 )- 2 . 12. (—2x- 3 y 3 z- 1 ) 4 . (^r- »• mr& 16. 5 ■•(§) -3mx 17. (Sa- 1 )- 2 .^) 18. (x-r)- s .(y-i)- 21. a 5 .a- 3 . 22. x m ' f2 .x _3 . (a 2 b- 1 )- 4 (x-3y-2)-4- 23. (—3a~ 5 ).(—2a _1 ). 24. x n-3 :x -5 . 25. a -4 : —a 4 . 26. —4a:a -4 . 27. 6a 3 b- 2 :2a 4 b- 3 . 28. Sea^b^c- 3 : 6a- 2 b- 3 c~ 4 . a _1 b _2 C 3 ra -2 n- 5 p -4 x - m y-mf^ x 2ntmy m~ S n — 2 p’ a —1 b —3 C —1 ' * a~ 2m b m—n ■ a —m+njjžm- 31. (ax~~ 4 + bx~ 3 + cx -2 + dx _1 -f- e). x 4 . 32. (x -1 y -5 — 2xy~ 3 + 3x 3 y- 1 )(3x _1 y~ 5 + 2xy~ 3 — x 3 y _1 ). 33. (a -6 — b -6 ): (a -1 + b -3 ). 34. (x + X- 1 ) 2 . 35. (3a- 3 x 2 — 4a 2 x- 3 ) 2 . 36. (x 2 — 2x- 2 ) 3 . 37. (2a 3 b— 3 + 3a~ 3 b 2 ) 3 . 38. Ustanovte hodnoty nasledujicich veličin korenovych: —n —3 —i J _ —m a) V x > b) \/27, c) Vid, d) \J0.2o, e) V a ~ mn - Vyjadrete nasledujici vyrazy v nejjednodušši podobe bez od- mocnitelu zapornych: — 2 3 —m—n ~~ n _ 39. VV64. 40. VV a_mn - 41. \Jx n * y nq . 42. Va. V«- 43. a-Va. 44. V a3 -V a - 303 g _2 45. ya s : \/a. 48 - VS 46. \/a:\/a. 47. Va: V a ' 49 - VA- » VV .— a b 6 c — 9 Lomeni mocnitele. (§§. 175. a 176.) 51. Pište v podobš veličin korenovych a vypoč(tejte: a) 25* b) 16* c) 8*, d) 32*; e) 49«-*, f) 81 0 ' 25 , g) 64 1 ' 5 , h) 16 175 ; i) 9-*, k) 125 - *, 1) ( t V)- 4, m) ( 2 -;)“"■ 52. Odstrante lomene odmocnitele a vypočitejte: i A 4 0-1 a) V3, b) V8, c) V5 t V, d) V9; —1 —4 —4 - 0-2 e) V49, f) V36, g) Vif» h) \/2. Vypočitejte a pište vysledky v podobč veličin korenovych (a mocnin) s kladnymi odmocniteli (a mocniteli) c.elistvymi: 1 m 1 55. (x “) m . 53. (x n ) n . 56. 59. V x n • 62. (4.25)* . * a- 68. a* . b*. 71. a* . a*. m n 74. a": a”. 77 3*.4-* 3*.5-* 54. (x n ) n . 57. (a-*)-*. 60. Va*. 63. (xy-°-z 3 j* . es. o;) 69. x-*.(32y)- 72. 5*. 5*5*. 75. a* : a -: m+p n 58. (a n 61. V(x*)*. 64. (a*b*) 6 . 70. (-£)* (3*)* •(!)*. 73. X 0 ' 1 . x°' 05{ . x°‘ 005 . m 1 m—1 76. x n .x u :x 11 . 78. a*.x T .a~ T y v 5*7* 4 S .7* b~* y* b*x~* 79. (x* + P) (x* — y*). 80. (2a — 3b*) (5a ; -f- 6b*). 81. (a + a* — a* — a*) (1 + a* + a* -f a *). 82. (6x* — 8x* + 3x** — 4x**): (3x* — 4x*). 83. (24a* + s 5 4 a* + |) : (6a* + a* + f). 84. (2a* + 3b - *)*. 85. (x~* — y } ) 3 . 304 4. Čisla neracionalni a pomyslni. Čisla neracionalna. (§§. 180.—182.) Vypočitejte v ohledu na §§. 168.—170: 1. V4.5. 2. \/1200. 3. 7\/75. 4. \/48. 5. 2V81. 6. V80. 3 3 7. V8.V2. 8. \/5. \/200. 10. \Jlb : \/3. H. V108 : \/4. 12. 3y8 : 2\J2. 13. V2 + V8 + 3V50. 14. 4\/50 + 2\/72 — yi28. 9. 6\/6.5\/2. 15. 6\/125 — 3V80 + 2V20. 16. 4\/3 — 2V24 + yi92. 17. 6V12 — 4\/ž7 + 7\/48 - 5\/75 + 2yi08. 18. (2\/8 - 7\/18 — V50 + 4\/72). \J2. 19. (8 — 3V5) (7 + 2V5). 20. (4 + 3y2) (3 - 2\J2). 21. \/3 + yd . V3 — V5. 23. (3y8 — 5V20): \J2. 25. (5 - 2\/5) s . 27. (VB + V10 -f V15)*. 22. (3V7 + 4V3) (2\/7 - 3y3). 24. (2V108 — 3V2): V4. 26. (3V2 + 2\/3)*. 28. (1 - 2\/2 -f- 3V3) 2 . Odstrante neracionalne jmenovatele nasledujfdch zlomku : 32. m VxVx 35. 3\/3x 38. 41. 44. \j2x + 3y \/2x — 3y 2 + V2- 2 + V3 2 — V3‘ 30. 33. a 3 ‘ Va 2 a — x \'a + x 36. 2 \/2a 39, 42. 45. '■ a\/ a\/ab V2 2— y2’ 3— \/7 3+V7- 31. 34. 37. \'a \/a 2 3a 2 5\/2a aV3 2by5 Vi -X 40. V, _ ‘ Vi - X* 4V3 1 + 3V3' 2a + 3\/b 3a — 2Vb' 43 . 46. 305 47. 49. 51. 53. 55. 57. Vio V2 — V3' 60 . Vx a + Vx 4 ~^r i ' \/'x* - \ X 4 -}- 1 ’ 4\/2 + 2\/3 58. a + b-fVa^ + b 8 a + b—Va^+b 2 ' Vab VŠ-\£ 2V5 + V3 '3V5 —2V3 ' a Vi - a^ + bVr^F aVl^b* + bVF^P' V2 + V3 + V5 V2 + V3 — V5 ‘ 59. ._ «9. \/§-+ V 2 . V13-2V3 V 3— \J2 \j2x 4- 3Vxy 62. 64. 65. 3V2 + 2V3 — 2V6' Vi + x — Vi — x - 61. 63. V2 ’x — 3Vxy 2V5 - 4V10 Vi + x + Vi — X + a 4 4 * Vx— Vy 08. 71. 3 3 • V5—V2 3\/3 — 2V9 4V9 — 3\/3 66 . 69. 72. 3V2 + 4V5 — 2 VIO' V i + y 4- yi-y V'i + y + Vi — y’ 3 + y'5 V3 + \/5 yio _ 2+ V7 5\/6 — 2V12 4\/12 + 2\/6 67. 70. 73. V5+V3 3 V2 3 3 * V4— V2 2 + 7V5 \/3— \/6 Privedte každy nasledujici součet aneb rozdfl veličin kore¬ novkah pod j edin e korenitko: 74. V2 + V3 + V2 —V3. 75. VlO +4\/6 — VlO — 4V6. 16. \JW+\/23— 77. V» + 2 \/2—\]d—2\J2. 78. V 0 T 2 V«± V& Z 2\/6- 79. VTT+6\/2± Vil — 6V2. 80. V7+2V10 + \jl — 2VIO. 81. Vl4+ 6V5± Vl4-6V5. Močnik-Hora, Algebra. 20 306 82. Vi2aVi — a* + Vi — 2aVi —a 3 83. V2a + 2Va a -b*±V2a-2Va , ' i —b’ Každou nasledujici veličinu korenovou rozvedte na součet aneb rozdil dvou kofenov^ch veličin druheho stupnč: 84. V6+W 86. Vi— 4V3- 85. V 3 — V». 87. V8 + 3V7. 88. VH +2V10. 90. V18 + 8 V2. 92. V99±54V2. 94. V'3\/3 ± V2. 89. VH±2V30. 91. V37 + 20V3. 96. V4V2 + 2V6. 98. Vx + y + 2Vxy. 100. Vx* ■ 2y \/x 93. V1V2 + 4V6. 95. V5V2±1. 97. \/3V7 ± 2V14. 99. V x * + yz + 2x Vyz. 101. V2x a + y 3 + 2xVx a + y* 102. V a + b + ab + 2 Vab (a + b). 103. VlOa 4 + a*b* + 6a s Va 3 + b 3 . Čisla pomyslna a soujemna. (§§. 185.—192.) 104. Vyjadrete nasledujici pomyslna čisla v podobč bV— 1 = bi: b) \/=49, c) V =r 64, d) \J^m, f) V— X 4 , g) V— b 2a , li) 'V— y 2m + a , k) 1) v 1 ^ m) \J^T2, o) V—a s b, p) V : 106. ai — (a — b)i. a) V -16, e) V—a ? , i) V 2, n) V-a, 103. i + 3i. 108. V—12 + \J—fb. -x 5 , q) V—x 3n+1 y, 107. b\J^2 + 3\/—2 109. V—4 + V—9 —V—Mb 110. V—4—2\/—3(T + V 11 !*; 111. 2a\/—x® — bV—4x s . 112. + i • + i- 113. + i. (- i). 114. (- i)(— i). 115. 5i. 3. ne. V-^.V-T S - 117. V—2"—V—3. 118, aV— a . ( — b\/—-To). 119. V— x y • V—xy 3 . V— x s y 3 . 120. \J^žb . V- a 3 b. V=^F 3 . V-a 3 b 5 . 121. (V—a +V—b)(V—a —V—b)- 122. (V- 2 + V-3 - V- 4) (V-2-V- 3 + V :Z 4)- 307 125. x: \J^x. 126. V&O: 2\/^b. 127. 128. \j~-^xy 3 129. (\/- a¥+ \/—lic): V^a". 130. (V=20 — V-15): V- 5. 131. (4\/^8 — 8\/^l2 + 12V=16j: 132. i 7 . 133. i 9 . 134. i 12 . 135. i 2n+1 . 136. (V-3) 3- 137. (-2V—3) 4 - 138. (a\/^bi) 6 - 139. (3 + 2i) + (6 + 5i). 140. (4a 4- bi) + (2a - 3bi). 141. (1 — \J^4) 4- (3 — V=25) - (2 — V—49}- 142. (3 4- 2i) (3 — 2i). 143. (5 4- 6i) (3 - 4i). 144. (\/a4- \/— b) (\/a —V—b)- 145. (2\/2 4- 2V zr 2) (3V2 — 2 \J =r 2). 146. (x 4- 1 4- \/^3) 0 4-1 — V=3). 147. (x + 1) O — 1) (x 4- i) O — i). 148. (a 4~ bi) (a — bi) (c 4- di) (c — di). Nasobime-li zde nejprv činitele prvniho a druheho, pak tfetiho a etvrtžho, na to oba součiny, a taktež činitele prvniho a tfetiho, druheho a čtvrteho, poslčz oba tyto součiny: oba konečne součiny daji pozoruhodnou rovnici (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) = (ac — bd ) 2 + (ad + bc) 2 . 149. (2 151. (3 3i) 2 . ■V- 5) 2 153. _ a — V— b a 4- V— b 155. (— 1 4- V5 4- V^T0~-W5) 2 . (- 156. (1 4- V^3) 4 4- (1 — V-“3) 4 . 4-V-b V- b 150. (\/x — yi) 2 . 152. (V2 — V 17 ^) 2 - f-1 ±V^fj\ 154. (: 2 1 4 - \/5 ■ V-10— 2\/5j 2 Odstraflte pomyslne a soujemne jmenovatele nasledujicich 308 166. V- a - \ /-b Vzri + yzrb' x + yi 6V-6 + 5V-5 ' 6 V— 5 — 5\J — 6* 169. a — bi _ x + yi 168. + .. a — bi x — yi a + bi x — yi Pfivečfte každ^ nasledujfd součet aneb rozdfl veličin kofe- novych pod j edine kofenitko: 170. V^TŠ+Ti + V—3^4l 171. \/-3+Ti - ^3=^ 172. \/2 + V-&±V / 2- _ V—5. 173. \/2 + 2V :z= ŠŠ ± \/2 — 2\/- 3^ Každou naslednjič! veličinu korenovou rozvedte na součet aneb rozdil dvou kofenovych veličin druheho stupnč: 175. V- 3 - 4i. 177. Vl +li 174. V— 3 + 4i- 176. V8 — 6i. 178. \/7~+~6\/^ 180. Vl2 — IOV-13. 182. \/4 - 60V- 3. 184. \/2\/—"3 = VO + 2i\/3 = 179. V 3 + 8V-10. 5. 181. \/20 —10\/ : 183. V- a + 2a\/—Ih 7. (a-j-2b — 3c)*. 8. (4-j-2y — y*)*. 10. (6x 3 —5x a + 4x—-3)*. 11. (27x 6 - a , 2a*\* „ /"2a . 3b 4c\ a J’ m lš^ + 7- - ' 12. (2-j + 3 4e 5d J 9. (3x — 5y -j- 8z) 3 . 54x 4 + 36x*-8)* rr- 2 z _ 1 Ub a_r 3b 2 14. )• 15. (— a + b -f c)* + (a— b + c)* + (a + b — c)*. 16. [(a + x)* + (b - y)T - [(a + x)» - (b - y)*]*. 17. 249*. 18. 5019*. 19. 72902*. 20. 73215*. 21. 135709*. 22. 4612048*. 23. 5-91*. 24. 0‘887*. 25. 0-7384..*. 26. (78*)*. 27. 317 4 . 28. T025 8 . 309 Dobyvam korene drulidho stupnš. (§§. 195.—199.) 29. \/4a 3 — 12ab + 9b*. 30. \/9in 4 •— 1201’n 3 + 4n 4 . 31. V!x 4 — 6ax 3 + lla s x a — 6a 3 x + a 4 ). 32. Vjl6m 6 -f 16m 5 + 4m 4 — 16m 3 — 8m a -f- 4|. 33. V|16a 6 — 24a 5 + 25a 4 — 20a 3 + 10a s — 4a + lj. 34. Vl% 6 - 12y 5 + 10y 4 - 28y 3 + 17y* — 8y + 16j. 35. \/{25 - 70a + 139a 3 — 236a 3 -f 235a 4 - 198a 5 + 121a 6 f. 36. V4a la* — 16aV— b — 16b. 37. \/l — 4x. 38. V{0‘16a 4 — 2 - 4a 3 — 016a*b -f 9a 2 + l-2ab + 004b a }. •V[^ X 5 'W* 26x 4 53x 3 q„ 4 ~r - 2x* + 3y 3 20x + 0 - 41. \/l35424 44. \/l920996. 47. \/3958508l6: 50. V1406-25. 53. \/785-6809. w \ /676“ 66 - Vasi- 42. V/556516; 45. {/26956864: 48. {/422220304. 51. {/27-973521. 54. {/0 97535376. K7 \ /178929 57 ' V797449' 43. V/226576; 46. {/53993164 49. {/54782211136. 52. {/0-00178929/ 55. {/44105-040144. 58.\/485380~. 59. y\/29986576. 60. \/362673936. 62. {/0-1907... 63. {/335-779... Dob^vejte korene na 5 mfst desetinnych: 65. V/28/ 66. \Z320. 67. Y/6584 69. {/502. 61. V/1475789056. 64. {/00423... 70. \/0 : 101. 71. V/8-376. 68. \/552747. 72. {/0-07854. 73. V/0 123457. 74. y/55-25734. -Vf=Vf= ”-VS- 75. \/19"383838. V 2 78. \/251 12 ' 79. V2. 80. \/2 — \/2. 81. \j2 — \/2 + \J2. Dobyvejte kočene fetčzovymi zlomky (na 5 mfst des.): 82. N/ii- 83. \/23. 84 \/47. 85. \/129. 310 Treti mocnina. (§§. 200. a 201.) 86. (2x.3y) 3 . 87. (5a 2 92. (y® + 2y - 3) 3 . (1 — 2x — 3x 2 + 4x 3 ) 3 . ■ 4bx 3 ) 3 . b\ 3 a J ' 88. (08x 2 + 0’5y*) 3 '. 91. 94 96. (-. 1 ) 3 x -3 2 98. 933 3 . 99. 1585 3 . 102. 90216 3 . 103. 357946 3 . 106. 0-858... 3 . 107. (29 3 ) 3 . V8x 2 9a J 93. (x 2 — 3xy + 2y 2 ) 3 . 95. (1 — 2a 2 -f- 4a 4 — 8a 8 ) 3 . "• (*-*+»)• 100. 6045 3 . 101. 21704 3 . 104. 4509 3 . 105. 5-99203 3 . 108. (0-865) 6 . 109. (105)'°-. Dobyvam korene tretiho stupnč. (§§. 202.—205.) 3 _ 110. \/a 3 x 6 — 3a 2 bx 4 y 2 + 3ab 2 x 2 y 4 — b 3 y 6 . 111. V{8x 6 — 36x 5 + 78x 4 — 98x 3 + 78x 2 — 36x + 8j. 112. \/{64x 6 — 144ax 5 +204a 2 x 4 —171a 3 x 3 +102a 4 x 2 -36a s x+8a 6 }. 113. V{8a — 60 {/a*b + 150^* — 125b}. 3 3 115. \/x 3 — a. 114. \/a 3 + x 3 . • 3 \ /ral_ a* • V [_8b 3 b 2 •V[‘+ 8ac 2 64 c 3 "] 27d 3 J* b 2 d 1 3bd 2 6x , 15x 2 10x 3 45x 4 27x 5 2a 2 a 3 4a 4 2a 5 _ 2 1 X H 8a 6 J* 118. V/262144. 3 119. V/1259705. 120. ^8615125. 121. \/746142643. 122. V/1767172329. 123. \/627881709547. 124. {/0-778688. 3 S 125. \/474-552. 126. \/78-402752. 127. VV20661046784. 3 v: 129, ' 704969 1601613* 128. V/1126162419264. 3 130. \/32 856... 131. \/0-00008427... 311 Dobyvejte kofene tfetiho stupnč na 5 mfst desetinnjch: 132. Viča 133. V52T37 134. \/8l35T 135. V^8387 312 44. 3 log a — 2 log b + 4 log c. 45. | log a + | log b — i log c. 46. log a -f- log a-— (log a + log b). x y 47. 1 log a — (3. log b + j log c). 48. 2 log (x — y) — i log (x + y) — i log (x a — xy -f- y 2 ). 49. x log (log a). 50. x log x — log (log x). Vyhledejte v logarithmickych tabulkach Briggovy logarithmy Vypo6itejte Briggovymi logarithray nasledujici vyrazy : 62. 1 2345.1-3456. 63. 9-68453.0-29758. 64. 1-025.1 0792.1-05625 - 1-0751. 65. 0-35679.1-0765.1-92234.0-33258. 66. 200415.0-56.0-0741.0-09972.1-25463. 17846 1 2483-1926 7A 2-3456.5-2913 9-157' 3-14159' 521347 ' 769.0-12345 ' 71 413.5124.21358 2-1457.9'1248.1385.31-273 ‘ 425.4998.76143' 277.10-7285.2-2812.125092' 73. (105) **. 74. (1-045) 9 . 75. (42-456)~ 2 . 76. 2 1 ' 235 . 313 77. ( 80. 323V 313. 2035. (0-00876) T 3164.(000592) 5 ' ‘V 7 7S 1-54-139V 1 81. 1'05 79. 2-45 5 ' 127 . 3'14159 !! .2-0489 3 .l-07938 4 4-0932 4 .0-859 a .210-895 3 . * 82. --g— pri r = 1-06234 a n = 3-14159. 84 ( : S) S - 87. V9IŠ7 8 90. V314-2789. 93 V(ST- 83. (3-905)4. 86. \]W. 3 89. Vl-8354. * VI y/ (a -H t 35. (11-716)-«. 5 88. V?135. 4 91. V13«’ 3414 94. \/ 9 (-6. 95, ■ c)(a + b-c) pf . a _ 2 . 145j b - 3-087, c = 3-248. ab 96. 35 4 .* 57 3 V30-9. 97. V37-8.\/13 a . 5 V7-13945 3 99. -3®- 98. 5 ?! V 87-V8105 93-24* - 11V5V^124 ioi. Vio + v"io. \ /24-105.58-937 iOO. V340. y .,^7939 3 • 102 . 347\/0-35 -4- V&5 33 2 4-9275 3 I / 4-31957 3 .V/3- 103. I/ - r- 1 - V 15 4 . V91- 34 19338-Vl7-39 \/91-34— 9\/3-4071 IV. EoYnice. Pofdddni rovnic. (§§. 220. a 221.) Spofadejte nasledujfci rovnice: 3(x — 5) = 4(10 — 2x). 2. (a b)x — 2a •— (a — b)x. 3. (9 + x)(7 - x) + (9 - x)(7 + x) = 76. <4- (2 — x)(3 — x) = (4 + x)(3 + x). 5. (x + a + b)(x — a + b) + (x + a — b)(x — a — b) = 0. 314 5 + x + 13+7x = 72> a a _ b 3. 9. x 4- a , x x 1 x + a x . x + 1 , x — 1 _ 2x , 7 2 + “IT - + 4 D 6x® — 3ax -j- b® . 3x =-2x — + a> x + *_ f s + * + A_ 9 _- = x + ^. 2 ^3 ^5 M Ml ^ 66 6 . 8 . 10 . 11 . 12 . 13. 15. 17. \ 18 . 20 . 21 . 22 . 23. 25. V( x + e)® + y s 4- V( x — e )* + y* = 2a - ab = 0. ax — 2a _ ax — 2b ax — 2b — ax + 2a' 1. Určitč rovnice prrčho stupnč. Rovnice prveho stupne o jedni neznatni. (§. 223.) 1. 33 + x = 24. 2. 5x + 8 = 43. 3. b = a — x. 4. 3x — 2a 4- b = a — 5b. 5. 17 + 8x = 71 - x. 6. 14a—6x +12=20—7x—9a. 7. 5 + (2x — 15) = x. 8. 8 — (5 - 2x) = 3x + 1. ■9. 5(x — 2) — 2x = 2(x — 1). 10. a(x — b) = b (a — x) — c. 11. m (x — a) — n (x — b) = (a + b) x. 12. 3(2x + 9) - 9(4 + x) = 3(5 + x) — 2(x + 6). 13. |3(y — 2) — 5| . 5 — 4(2y - 6) = y - 16. 14. 5(x + 10) - 4j 160 — 3(3x - 2) + 2xj = 2 — x. 15. (z + 1) (z — 1) = z 2 3 + z + 1. 315 16. 17. 18. 19. ' 20 . /"lir 24. 26. 128. 'JO. 32. 34. 36. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 45. 46. 48. 49. (2 + x) (2x + 1) -f- (2 — x) (2x - 1) = 0. x(x — 2a) — (b — x) 3 = 3b 3 — 4a 3 . (a + x)(b + x)(c -f- x) — (a — x)(b — x)(c — x) = 2(x 3 + abc). Rovnice 2s = n (a, + a n ) md se fešiti dle všech obecnych čisel v ni prichazejicieh. + 3 = 4x. x —b 3 — 4x 7 x — a _ _ b — a 5m_2(m — x) _ x x m(a 3 -f x a ) _mx ax a m n S + ff + ? = x + l' 3. cm. 23. 25. 27. a bx m — nx x a 2x 3 + 3 x 3 + 2x — 1 a — b _ a b — x — x ’ x — 3. = 0. on a — x . b — x , 29. x-^-1-— = d. c 65 2x 6x + 5 2x + 1 8x ■ 2x 10 ’ 3 _ 3x + 4 1 “ x + l T A * x , x . x 1 . 1 . 1 „ a + b -1 - u H-— ~r M-"4" TT". 3o. r . X a 1 b c ab ac 1 bc a — b + 1 4ab = ° ~ l . x. a + b 37. ax + ; bx x + a x — a x + a’ mx — a 1 nx — b m'n ( r H .!L=5V_l = r 1 _“+J!V v m —j— n J V m — n J 1111 ac — cx bd — dx ad — dx bc — cx |(2x + 5) + 3(2x - 3) - |(5x - 7) = 1. |(3x - 7) — 22 = f[|(8x - 63) — (2x + 3)]. K!IU|(X + 5) + 3] - 3j - 12) = 1. + 4 = - l£+i 44. 23 ' 75x ■25 3 07x . x 16 "T" 1 =~ — 0-00925 5 8 6-25 = 3 - 6x. (x + a): (x - a) = b : c. 47. 4: y = 1 : (l5 - |). (8x — 1) : (4x + 2) = (6x — 9) : (3x — 4). 3\/x~—I = 4. 50. \/4x 3 -f 12x - 31 = 2x - 7. 316 51. V6x + 7 _ V5x — 6 52. x(l — a) : V^"x = V"x : x. U V 53. (b — a yx) : (a - bVx) = a(b» — 1): b(a 2 — 1). 54. V^+1 + Vx^l = P- 55. Vx+4 + Vx —1 = V4x + 5. kc a 4~ _ a(l + 5) b — V~x ~ b(l - a)’ 58. \J2 + V2 + V* = 2. 60. 4 — y~x = \/4 + x. 57. 2\Tx + y 3 4 + 3y^2 3\Tx + \T2 ~ 6 + 2^3' 59. V x + V x + V~x + • • • = a - 61. a\/x + b* + b\/x + a 2 = 2ab. ' u 62. Va - x + Vb — x = 2 X _2 6 3. V8.-7-y|^ = V2x + 3. 64. X — 2a - Vi’ - b' = (x — a){l - yj==p}- Ur cit e rovnice prvčho (§§. 224.-227.) 65. 8x — 5y = 25, 3x + 7y = 36. 67. 16y - 25z = 7, 5z — 24y = 9. 69. x -f- 2y — 30, 11 . §x, y 5 2 71 x + 7 _ i y “ 5’ x _ 1 y + 4 “ 2' 73. — + - = 9, X ^ y - — - = 2 . y x 75. ax — by = a 2 + bx + ay = a* + b 2 . stupnč o dvou i nčkolika nemdmych. 66. 3x -t- 4y = 4, 12x — 6y = 5. 68. x 2 — y 2 = a 2 , x + y = b. 70. - |y = 2, ix + f y = 4. 72. m n n + y m+x’ n m m—y n—x 7 4™-** = -l, x y 0-8 . 3-6 , --= 5. x y 76. (a + c)x + (a — c)y = 2bc, (b — c)x + (b + c)y = 2ac. 317 77. y _ l a + b a — b a + b’ 78. a+b^a-b’ + y _ i a + b a — b a — b' x - — - —(— c c' ™ ~ -a+2b , y _ b b •" - ~ _+ , y_ __ x + y ab bc ac _y__ 4ab a — b a + b — a®— b®* 80 1 1 - 1 x® y® a®b®’ 1,1 1 x x y b®' 81. x - y = (2a + b) + Ml -+ jg, ax — by = (a + b) 5 a — b , (a® + b®)— 2ab(a*—b®+ 1) a + b b® 82. 5(3x - 2y) = 10 — 3x, 83. = x + 1, l + 2y_l_2 z _7x_ ^ 6 3 3 ~ 3 ““g-^ + ^2 = y + L Q . x + 42| 84. - 2 - = y •42 }, X — 23 i = y ± 2 -® . 85. 41x - 32-76y = 10-42, 5'2x —36y+ 2-5 = 0. 86. (4x + y): (2x — y) = 16 : 5, (2x + 7y): (x + 8) = 14 : 5. 87. (3x + 2y — 4) : (2x + 3y — 1) = 3 : 2, (x — 2y — 3): (2x — 3y — 6) = 2 : 3. 88. xy ~a + yV"b = a + b, 89. 3y"x — 2y~y = 9, x + y =2y~a. 2y~x — 3y"y = 1. Položte v posledni uloze +x = u, Vy = v. 90. V"x + am = m(V+ + b), 91. 2)/+++ - 3Vy^2 = 3, m(V:x — a) = V~y — bm. 3\/++5 —4^“=:^2 = 5. 92. J — J = 6, V* \T y 93. 3 +x 4 ry 1, Vx — 2 Vy + 2 15 _ j \/x -2 Vy + 2 = 2 , = 1. 94. x + 3y — 30, 3x + 2z = 25, 4x — 3z = 12. 95. 3x — 4y = 6, 2x + 3z = 26, 5y — 6z = 18. 318 96. 3x + y + 2z = 13, x + 2y 4- 3z = 17, 2x + 3y + z = 12. 98. a, x -f b, y + c, z = d,, a 3 x + b 8 y + c a z = d*, a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . 99. x + y 4- z = s, x : y — a : b, y: z = b : c. 101 - !+l+ii = 18 ’ 2x , 5y , 2z TT+lŠ + T x , 5y . 4z Io + T+5- = 19, = 23. 103. y + ix = 112, |x + Jz = 36, = 3. z-y 105. 3x — y — z — 10, !+I+! = 13 ’ 1 + 1+1 = ia 107. -+- = a, y z 1 . 1 _. x z 109. x + z = 18, z — y = 2, u + y = 12, u + 2x = 26. 97. 6x — 4y + 3z = 28. 4x — y — 3z — 7, 2x — 3y + 4z = 13. Udejte, podle ktereho pravidla utvofeny jsou vyhledanč vyrazy neznamj^ch veličin cc, y a z. 100. 0 4x + 0'5y + 0 7z = 51, 0'3x + 0'4y + 0-5z = 38, 0-2x + 03y + 0’4z = 29. 102. x + f + | = 612, = 612, 612. x z 3 +y + 3 - + Z + z 4 ^ 4 ^ 104 x + ^ — 2 1U4. y + 1 - 4 , -1 + 2-4 z + 1 “ ’ z+3 _ L x + l “ *' 106 . --- + - = 11 , x y z _ 1 + 2 + 8 _ 25 x 1 y • z l+ž_6 = _ 19 . x y z 108 --|+j+l = *- 1 _ 1 , 1 _ b X V z ’ 1,1 1 —— -— c. X y z 110. 3u — 2x + v — 5z = 17, 4u 4- x — 3y + 2z = — 7, 6u — 5x + 2y — z = 17, u — x 4“ y — z = 6. 319 111. 3u — x + y + 2z = 20, 112. ix -j- ' 2a + 3x — y + z = 17, u + 2x + 3y — z — 21, -u + x+2y+3z = 12. 113. 2x— 3j + 4z — 5u -j- 6w 3x -f- y — 5z -f- u — 3w —x -f- 4y + 2z — 5u + w x— y -j- z — u -f- w x + 7 + z -f- u -|- w Ir x - jY + x + |z — i z 1 « = 6, = 5, = 4 iy + |z-|u = 3. 6 , 3, 8 , 3. 15. Poučiti určitych rovnie prviho stupne. (§§. 228. a 229.) 114. Součet troj- a čtvernasobneho čisla jakehosi jest 196; ktere jest to čislo? 115. Kterčho čisla sedmina jest o 8 menši nežli jeho tfetina? 116. Jestliže jakesi čislo nasobime 15ti, k součinu pripočteme 20, součet dšlime čtyrmi a od podilu odečteme 14, obdržime trojnasobne ono čislo; ktere jest to čislo? 117. Vyhledejte spojitou mčfickou srovnalosf, jejižto tfi členv jsou o totež čislo včtši nežli 1, 3 a 6. 118. Rozdčlte čislo a na dve časti tak, aby mnasobna prvni čast byla o d včtši nežli nnasobna čast druha. 119. Eozdčlime-li čislo 60 na dvč časti, a dčlime-li včtši čast menši, podil bude 2 a zbytek 3; kterč jsou ty časti? 120. Rozdčlte čislo a na 2 časti, jicbž podil rovna se čislu danemu. 121. Ktere čislo musime odečisti od čitatele a jmenovatele zlomku 3/ C (aneb T 7 T ), aby se rovnal -j (aneb {) ? 122. Ktere čislo musime odečisti od čitatele a pfipočisti ku jme- novateli zlomku p abychom obdrželi pfevratnou hodnotu tohoto zlomku? 123. Pfipočteme-li 7 k čitateli a jmenovateli jakehosi zlomku, obdržime f-; odečteme-li vsak 2 od čitatele i jmenovatele tčhož zlomku, obdržime Kterf jest čitatel a ktery jme- novatel onoho zlomku? 124. Dvč čisla dvouciferna, psana t^miž čislicemi, maji se k sobč jako 13 : 31; je-li jich součet roven 88, ktera jsou ta čisla? 320 125. Zvčtšim-li jakesi dvoucifernč čislo o 9nasobne jeho jednotky, obdržim 80; zvčtšim-li je vsak o 18, budou jeho čislice v součtu nasledovati po sobč v obracenem pofadku. Ktere jest to čislo dvoucifernč? 126. Za 10 roku bude nčkomu dvakrate tolik let, kolik mu bylo pfed 4 roky; jak jest nyni star? 127. Otci jest nyni 48, jeho synovi 21 rokfi; pfed koliku lety byl oteč lOkrate starši syna sveho? 128. Otci jest 36, jeho synovi 10 let; jak dlouho musi oteč byt ještč živ, aby mu pak bylo dvakrate tolik let, kolik bude jeho synovi? 129. Osobč A jest nyni mkrate a za a rokfi ji bude nkrate tolik let, kolik osobe B; jak jest osoba A stara? Y jakem vztahu museji byti čisla m, n & a, aby rešeni melo smysl? (Prirovnejte §. 229., priklad 2.) 130. Otci jest nyni tfikrate tolik let, kolik synovi; pfed 12ti roky bylo mu však 9krate tolik let, kolik synovi. Jak je star oteč a jak syn? 131. Syn pravi: „Moje matka jest o 25 rokh starši nežli ja; muj oteč jest o 5 rokh starši nežli matka, a nam všem dohro- mady jest 91 rokfl.“ Kolik let jest synovi, matce a otci? 132. Pri rozdčleni jiste pozustalosti obdržel A 1000 zl. a | zbytku, B i noveho zbytku a mimo to 500 zl., C konečnč zbyvajicich ještč 2500 zl. Jak velka byla pozustalosf, mnoholi obdržel A a mnoholi B? 133. Pfi rozdčleni jiste pozustalosti obdržel A o a zl. vice nežli ^ te sumy, B o & zl. vrče nežli — zbytku, C však nov^f 134. zbytek, jenž jest o c zl. menši nežli 1 P cele pozfistalosti. Mnoholi obdržel každy dedič? Jista suma se ma rozdčliti trem osobam tak, aby osoba B dostala o 20 zl. mčne nežli A, a C o 20 zl. mčnč nežli B ; cela suma jest o 25 zl. vštši nežli 4nasobn^ podil osoby C. Mnoholi dostane každa osoba? 135. Oteč odkaže v zavčti sve ženč a tfem dčtem veškere jmčni takto: žena obdrži tfetinu pozfistalosti, prvni ditš tfetinu zbytku a 600 markfi, druhe ditč tfetinu noveho zbytku a 321 2200 markfi, a treti ditš zbytek 4600 marka. Mnoholi j nični zustavil oteč, a mnoholi dostala matka a každe ditš? 136. Oteč pfislibi synu svšmu za každou spravnou ulohu odmšnu 10 krejcaril; za každou chybnou ulohu vsak musi syn splatiti otci 5 kr. Pri 20ti dlohach zbylo synovi ze všech odmen 80 kr.; mnoholi uloh spravnych a mnoholi chybnych vy- pracoval ? 137. Statkaf najal zahradnika na mšsic (30 dni) s tou podminkou, že mu bude davati stravu a f- zl. mzdy za každy deu pra- covni, ktereho dne by však zahradnik nepracoval, že musi statkafi platiti 1 zl. za stravu. Za mesic obdržel zahradnik 18 zl.; kolik dni pracoval ? 138. Dva dšlnici maji vyčistiti pfikop 435 metrfl dlouhy; prvni dennš vyčisti pfikop zdšli 42, druhy vsak 45 metru; v koliku dnech oba delnici vykonajl prači? 139. Dva sudy obsahuji 351 litru; vyteče-li z prvšho šestina a z druheho tfetina, zbytky v obou sudech jsou si rovnv. Kolik litrft obsahuje každy sud? 140. Ve společnosti bylo dvakrate tolik mužh, kolik žen; odešlo-li 8 mužii a tolikšž žen, zbylo ještš čtyrykrate tolik mužu, kolik žen. Mnoholi mužh a žen bylo phvodnš ve společnosti? 141. V tovarnš pracuje 26 dšlniku, jednak mistrh, jednak tova- ryšu; každemu mistru plati se dennš 2 zl., každemu tovaryši 1 zl. Kdyby každemu mistru na mzdš se utrhla } zl., každemu tovaryši však tolik se pfidalo, denni mzda by byla o 2f zl. vštši. Kolik mistru a kolik tovaryšu pracuje v to¬ varnš ? 142. A a B se sadi o 13 marku; vyhraje-li A, bude miti tfikrate tolik penšz, kolik ma B; prohraje-li, bude miti jen dvakrate tolik, kolik B. Mnoholi penšz ma každy? 143. Nškdo sadi v každe hfe 4 zl. proti 3 zl.; po 28 hrach aniž vyhral, aniž prohral. V koliku hrach vyhral, v koliku prohral? 144. Tri hrači spolu hraji; v prve hfe prohraje prvni a plati každemu spoluhraši, mnoholi penšz každy mšl; v druhš hfe prohraje druhy hrač a zaplati prvemu a tfetimu tolik, mnoholi každy ma; v tfetf hfe prohraje tfeti hrač a plati Močnik-Hora, Algebra. 21 prvemu a druhemu tolik, mnoholi každy ma. Ku konci hry ma každy 24 zl.; mnoholi mčl každy hrač na začatku? 145. Ve snčmu, v nemž zasedali 64 poslanci, navrh byl pfijat včtšinou lOti hlasd, mnoholi poslancu hlasovalo pro, mno¬ holi proti? » 146. Kupec koupil kus sukna, jehož metr stoji 3fzl.; prodava-li metr po 4| zl. a ziska-li pfi prodeji celčho kusu 21 zl., kolik metru byl kus dloulrf? 147. Kupec ma dva druhy zboži, kilogramm lepšiho druhu za 60 kr., Kg. horšfho za 36 kr.; smisi-li z obou druhfi 80 Kg., aby mohl prodavati Kg. po 45 kr., mnoholi Kg. každeho druhu musi smisiti? 148. Hektolitr vina jest za 90 markfi, jineho druhu za 48 markfi; chce-li vinarnik prodati 7 HI. smčsi po 60 mk„ mnoholi HI. každeho druhu musi smisiti? 149. Smisime-li 4 Kg. kavy jednoho, a 12 Kg. jineho druhu, Kg. smesi jest za 1-24 zl.; smisime-li však 6 Kg. prveho a 10 Kg. druheho druhu, Kg. smesi bude za 1‘22 zl. Zač jest Kg. každčho druhu? 150. Čiste stribro a 625 tisicin ryzeho stribra ma se šiiti ve stribro 750tisicinneho zrna; mnoholi stribra každeho druhu bude potrebi na 24 Kg. smčsi tčto ? 151. Mnoholi mčdi (jakost = 0) musime šiiti s 26 Kg. stribra 900tisiciunčho zrna, abychom obdrželi stribro 520tisicin- nčho zrna? 152. Smisime-li 24 Kg. stribra, jehož jakost jest s 12 Kg. jineho druhu stribra, jakost smesi bude f; ma se ustanoviti jakost druhčho druhu stribra. 153. Nekdo ma tri kovove kusy, z nichžto každy obsahuje kovy A, B, C. V prvem kusu jest a, dekagrammd kovu A, b, Dg. k. B a c, Dg. k. C, v druhem jest a 2 Dg. k. A, b s Dg. k. B, c 3 Dg. k. C; v tretim konečnč a 3 Dg. k. A, b 3 Dg. k. B, c 3 Dg. k. C. Ma-li slitina obsahovati a Dg. kovu A, b Dg. k. B, c Dg. k. C, mnoholi Dg. každeho kusu kovovčho mu¬ sime šiiti? 323 Položime-li a, + b, + c, = s 1; a„ + b 2 + c, = s. 2 , a 3 + b 3 + c 3 = s 3 ■obdržime nasledujici rovnice: a,x a 2 y a 3 z + 17 + 7T = a > Sl b } x ŠT CjX "s7 +¥+ + ¥ + bgZ S 3 CgZ B, = b, 154. Ze tfi kovovych prutu obsahuje prvy 4 Dg. zlata, 8 Dg. stribra, 12 Dg. medi, druhy 8 „ „ 10 „ „ 2 „ „ treti 10 „ „ 6 „ „ 14 „ „ Chceme-li šiiti kovovy prut, jenž by obsaboval 10 Dg. zlata, 10 Dg. stfibra a 11 Dg. mčdi, kolik Dg. každeho ko- voveho prutu bude k tomu potrebi? 155. Do nadoby teče voda dvčma rourama. Pritčka-li jen prvni rourou, nadoba se naplni za a hodin, pouze druhou rourou však za b hodin. V kterem čase bude nadoba plna, teče-li voda zaroven obšma rourama? Položme hledany čas = x a krycklovy obsah nadobv = 1. Prva roura X X sama naplni za x hodin — nadoby, druha roura sama ^ nadoby, tedy obe x x roury zaroven za x hodin — + -g- nadoby, t. j. celou nadobu = 1. Protož 1, z čehož ab x ~ a + b' 156. Do nadoby teče voda tremi rourami; prvni roura sama na¬ plni nadobu za 4 hodiny, druha roura sama za 6 hodin, treti roura sama za 12 hodin. Za kolik hodin bude nadoba naplnena, pfitčka-li voda zaroveh vsemi rourami? 157. Do nadoby teče voda rourami E,, li 2 a R 3 . Eoury E, a R 2 naplni nadobu za a, roury E, a R 3 za b , konečnš R 2 a R 3 za c hodin; za kolik hodin by každa roura sama naplnila tuto nadobu? 158. Tri dčlnici nabizeji se ku prači; dčlnici A a B by ji po- spolu vykonali za 18 dni, A a C spolu za 12 dni, B a C však za 9 dni. V koliku dnech by všickni tri delnici po- spolu vykonali tuto prači? 21 * 324 159. Dvž hmoty, jichž mšrne vahy jsou s, a s a , maji se spojiti tak, aby vznikla hmota važila p kilogrammu a mčrna vaba jeji aby byla s; mnoholi kilogrammfl každč hmoty k tomu bude potrebi? Součet prostych vali obou hmot da prostou vahu smesi, taktež součet krychlovych obsahu obou hmot rovna se obsahu smesi; sklada-li se tato z x Kg. prve a y Kg. druke hmoty, mame rovnice , x , y P - , . x + y = P a - + - = y, z cehoz s, p(s — s a ) _ S opts, — s) X 8(8, — S 2 ) a ? - 8(8, — S 2 ) • Rešeni jest možne, leži-li s mezi s, as,. 160. Ustanovte mčrnč vahy hmot A a B, jestliže a kilogrammft prvni a i Kg. druhe hmoty dohromady ma mčrnou vahu s, a. Kg. prvni a b, Kg. druhš hmoty dohromady však mčrnou vahu s, ? 161. Dle Vitruva byla koruna syrakusskeho krale Hiera ze zlata a stribra, važila 20 liber, pod vodou však jen 19f ®; jestliže zlato pod vodou zdanlive trati a stribro ,1- sve vahv, kolik liber zlata a kolik stribra bylo v korune? 162. Ve svetnici jsou dvoje kyvadelne hodiny; kyvadlo prvych hodin učini za každou sekundu jeden kyv, kyvadlo druhych za každou minutu 80 kyvfi. V kterčm čase kyvadlo druhych hodin učini o 1000 kyvu vice nežli kyvadlo hodin prvych? 163. Kyvadlo a millimetru dlouhe učini za minutu n kyvu pri zrychleni g ; jak dlouhe musi byti jinč kyvadlo, kterč pri zrychleni g, ma učiniti n, kyvd za minutu? x : a = JL : . D 1 D 2 164. Sekundovč kyvadlo v Pariži jest 0'99385 m. dlouhe; o kolik millimetrft museli bychom je prodloužiti, aby v Praze uda- valo sekundy, je-li zrychlem v Pariži 9 809, v Praze však 9-808 m.? 165. Parni lod by za hodinu plula proti vodš 1^- mile, po vode však 2-| mile; jak daleko by doplula za hodinu pouze silou stroje (na stojate vode), a jak daleko pouze silou proudu (pri stojicim stroji)? 166. Dvš tčlesa K' a K" pohybuji se tymž primym smčrem z bodfl A' a A" rovnomčrne rvchlostmi c' a c". Tčleso K' počne se pohybovati z bodu A', ležiciho o d jednosti dčlky 325 za bodem A", o t časovych jednostl pozdčji nežli tčleso K“ z bodu A". Po koliku (T) jednostech časovych obč tčlesa se setkajl, počltame-li čas od okamžiku, kdy K“ opouštl bod A"? (Prirovnej §. 229., 3.) Teleso K' vykona drahu c'(T—t), tSleso K" vsak c"T; rozdil obou drak se rovn& vzdalenosti d, proto c'(T — t) — c"T = d, z čehož m c't + d c' — e"’ Vyšetrete vysledek tento: a) pri kladnych hodnotach d, t, c' a c" a pri c' == c"; k) pri d 0; c) pri t 0; d) pri c" < 0. 167. Pfi ndajfch pfedchazejicf ulohy ustanovte vzdalenosf (D) bodu, v nčmž obš tčlesa se setkajf, od bližšfho bodu A". Ponšvadž D = c"T, bude D _ c"(c't + d) c' — c" ■ Vyšetrete vysledek tento pro pripady uvedene v pfedckazejici dloze. J68. Za pošlem, jenž pfed 3 dny vyšed z jisteho mčsta, dennč kona 40 kilometrfl cesty, odej de z tehož mčsta druh^ posel, jenž kona denne 60 Km. Kdy asi tento posel dohonf prvnlho ? 169. Mfsta A' a A", kterymi vede železna draha, jsou 225 Km. od sebe vzdalena. Z A' smerem k A‘‘ vyjede osobnl vlak, jenž za každou hodinu urazl 30 Km.; zaroven vyjede z A“ smčrem k A' nakladni vlak, jenž za každou hodinu urazl 20 Km. Kdy se oba vlaky setkajl? 170. O 5. hodine rannl vyjede z A' lokomotiv, jenž za 4i hod. urazl 105 Km., o phl 6. hodine odjede za nlm z mlsta A", o 52| Km. za A' ležlclho, druhy lokomotiv, jenž za 3 hod. urazl 105 Km. Kdy asi tento lokomotiv dohonl prvnl? 171. Mlsta A' a A" jsou spojena železnou drahou 152 Km. dlouhou. Z A' vyjede v 8 hodin 30 minut dopoledne vlak smčrem k A" rychlosti 10 m. za sekundu; v 9 hod. 15 min. vyjede z A" vlak rychlostl 9 m. za sekundu smčrem k A'. Kdy a v ktere vzdalenosti od A“ oba vlaky se setkajl? 172. Z A vyjede jezdec za plukem, jenž pred 6 dny odtud od- tahnuv, dennč vykona 28 Km. cestv. Kdy ho dohonl, ujede-li dennč 84 Km.? 326 173. Z A' vyjede jezdec, jenž vykona dennč 14 mil eesty, smčrem k A"; zaroven vyjede z A" druh^ jezdec, jenž za 5 dni s prvnim se ma setkati, smčrem k A'. Kolik mil druhy jezdec pojede dennč, je-li misto A' od A" 150 mil vzdaleno? 174. O 6. hodinč ranni odjede z A' do A" rychlik, jenž urazi za každou hodinu 1! mile; ve 2 hodiny 20 minut odpoledne vyjede z A" smčrem k A' osobni vlak, jenž po draze podel silnice urazi každou hodinu 4 mile a prijede do A' tehož času, kdy rychlik do A‘‘. Kolik mil jest z A' do A"? 175. Z A' do A" jest 315 Km. O polednach odjede z A' rychlik, jenž za hodinu urazi 9f Km. O kolik hodin drive musel by odjeti poštovni včiz, jenž urazi za hodinu jen 5f Km. ; aby pfijel do A" zaroven s rychlikem? 176. Pluk vytahne z A' smčrem k A" a vykona dennč 3 mile cesty; za dva dni tahne za nim pluk druhy. Kolik mil musi dennč uraziti, aby dohonil prvni pluk za 4 dni? 177. Za cestujicim, jenž opustiv misto A dennč vykona 56 Km. cesty, odejde za 3 dni posel, jenž ma onoho dohoniti od A zdali 350 Km. Kdy ho dohoni, a kolik Km. musi denne uraziti? 178. Dve tčlesa pohybuji se naproti sobč z bodu A' a A", d metru od sebe vzdalenych. Začne-li se tčleso prvni z A' o t' hod. dfive pohybovati, setka se s druhym za T' hodin po vy- chodu tohoto tčlesa z A"; začne-li se však druhe tčleso z A" o t" hodin dfive pohybovati, obč telesa setkaji se za T" hodin po vychodu prveho tčlesa z A'. Kolik metrfl drahy vykona každe tčleso za hodinu? 179. Tčleso K' 1 , pohybujici se z bodu A, vykona za jednosf ča- sovou c" jednosti dčlky; o t jednosti časov^ch pozdčji po- hybuje se za nim z tehož bodu tčleso K', kterčž vykona za jednosf časovou c' jednosti delky. Za kolik (T) jednosti časovych, počitaje od vychodu tčlesa K", budou obč tčlesa d jednosti dčlky od sebe vzdalena? 180. Dvč telesa pohybuji se v kružnici, jejiž obvod se rovna p jednostem delky, zaroven z tčhož bodu a tymž smčrem rychlostmi c' a c"; za kolik (T) jednosti časovych se opčt setkaji ? 327 Dejme tomu, že prvni teleso vykona drahu rovnou obvodu p za a', druhe teleso vsak za a" jednosti časovjck, tedy c' _P a,"’ pročež pro opStne setkani obou tšles Te' — Tc" = p, z čehož T 181. Mnoholi času uplyne od jednoho setkani rafik na hodinach k drukemu? 182. Kolik minut po 4. hodinč kryjf se obč rafiky? 183. Jest 20 minut po 12. hodine; za kolik minut doboni se obe rafiky? 184. V obvodč kružnice pohybuji se dvš telesa stejnomčrnč tymže smčrem; prvni teleso opiše obvod za t sekund a setka se pokažde za T sekund s drnbym tčlesem. V kterem čase toto vykona svuj občh? 2. Neureitč rovnice prveho stnpuč. Určeni nezndmvch celistvvmi čislv. (§§. 233. a 234.) 1. 2x - 3y rr 1. 3. 6x 4- 5y = 128. 5. 7x — 13y = 152. 7. 12x + 13y - 319. 9. 15x + 14y = 225. 11. 37x — 22y = 307. 13. 7y + 17y = 408. 15. 25x—lly = 20. 17. 37x - 22y = 307. 19. 181x -)- 2y = 570. 21. 3x + 4y — 5z = 12. 23. 5x + 3y + 7z = 36. 2. 2x -f 3y = 17. 4. 7x + lly =r 18. 6. 8x — lly = 200. 8. 5x — 7y = 1. 10. 13x -f 19y = 73. 12. 23x — 13y = 2. 14. 24x — 35y = 10. 16. 36x — 115y = 643. 18. 115x = 424y - 539. 20. 520x = 919y — 1000. 22. 4x — 18y + 27z = 100. 24. 7x + 10y — 15z = 56. Určeni nezndmych celiatvymi čisly klaclmjmi. (§ 25. 5x — 7y = 13. 235.) 27. 7x - 12y = 300. 29. 23x + 57y = 412. 31. 29x + 17y = 250. 28. 5x — 7y = 94. 28. 17x 4- 14z = 24. 30. 25x — 36y — 7. 32. 17x — 1 = 12y - 5.. 328 33. 28x -f 12 = 19y + 17. 35. 6x + 17y = 500. 4x — 3 ' 6 = Z ' 39. 5x + 3y + 7z = 36. 41. 5x + 6y + 20z = 187. 43. 2x + 3y + 4z = 20. 34, 24x — 31y = 196, 36. 18x-j-7y"= 600. 38. 19x — 10y = 7, 19x — 8z = 15. 40. 8x + 1 ly — 20z = 6. 42. 9x + 5y + 3z = 105. 44. 5x -f 7y — 3z = 39. Použiti neurčitijch rovnic prveho stupne. 45. Osminasobne čislo jakesi, pripočtčne k 3nasobnemu čislu jinemu, da součet 91; ktera jsou ta čisla? 46. čislo 50 ma se rozvesti na dve čisel tak, abv jedno bylo dčlitelno sedmi, druhe pšti. 47. Rozvedte 200 na dvč čisel, z nichž jedno je dčlitelno 14ti, druhč 23ti. 48. Rozdll dvou čisel jest 10; menšenec jest dčlitelny 34ti a menšitel 21ti. Ktera jsou ta čisla? 49. Rozvedte 300 na dve čisel tak, aby jedno zmenženo o 1 bylo dčlitelno 9ti, a druhe zvčtšeno o 7 bylo dčlitelno liti. 50. Vyhledejte čislo, ktere jest dčlitelno 7mi, ale dčleno 29ti da zbytek 13. 51. Jaky obecny tvar maji eelistva, čisla, kteraž dčlena 19ti dajl zbytek 1, a dčlena 28ti dajl zbytek 3? 52. Ktera čisla delena 24ti dajl zbytek 18, a dčlena 13ti dajl zbytek 1? 53. Rozvedte zlomek na dve zlomkft se jmenovateli 5 a 22. 54. Ktera čisla, ležlcl mezi 1000 a 2000, byla by dčlitelna 13ti, kdybychom je zvetšili o 5, a dčlitelna 17ti, kdybychom je zmenšili o 5? 55. Nčkdo koupl dva druhy sukna za 90 zl.; metr prvnlho druhu stoji 4 zl., druhčho však 3 zl. Kolik celych metrfl každeho druhu obdržel? 56. Nčkdo koupl 7 Kg. kavy a 17 Kg. cukru dohromady za 18 zl. 60 kr. Mnoholi celych krejcarft stoji Kg. každeho zbožl, pfedpokladame-li, že kava jest dražšl nežli cukr, a Kg. cukru že nestojl menč nežli 50 kr.? 329 57. Dluh 100 zl. ina se splatiti zlatniky a dvouzlatniky; mno- holi kusfl každeho druhu bude potfebi? 58. Prumčr osmizlatnikft rovna se 21, prflmčr čtyrzlatniku však 19 mm. Kolik osmi- a čtyrzlatniku museli bychom vedle sebe položiti smčrem pfimym, aby součet jich prfimerfl rovnai se 1 metru ? 59. Žak obdržel vždy 10 kr. odmeny za ulohu spravnou, ale musel platiti 7 kr. za ulohu chybnou. Konečnč mčl 5 kr.; kolik ul oh vypracoval spravne a kolik chvbne? 60. Jedno kolo ma 13, druhe 17 zubfi; na začatku pohybu za- sahuje prvnl zub prvniho kola do prvniho mezizubi druhčho kola. Kolikrate každč kolo se musi otočiti, aby prvni zub prvniho kola opčt zasahoval do prvniho mezizubi druheho kola ? 61. Ktera čisla dčlena liti, 19ti, 29ti daji vztažnš zbytky 5, 12, 4? 62. Znamena-li N nčjak^ rok po narozeni Panš, N 4- 1 zbytek pfi deleni —^— slove zla tč čislo N + 9 ” ” ” ■ 28 N+ 3 15 leto kruh slunečn^, a letokruh indiktovy (Roemerzinszahl) onoho roku. Ktery rok ma a) zlatč čislo 15 a letokruh slunečny 9; b) „ „ 14 „ „ indiktovf 3; c) letokruh slunečny 10 a letokruh indiktovy 5; d) zlate čislo 5, letokruh slunečny 27 a letokruh indiktovy 9 ? 63. Piozvedte 50 na tfi čisla tak, aby prvni bylo delitelno 5ti druhe 6ti a tleti 7mi. 64. Kozvedte 11 na tfi zlomky se jmenovateli 11, 16, 25. 65. 30 osob (muži, ženy a dšti) vydalo společnč 30 markfl. Jestliže každy muž vydal 5 markfl, každa žena 1 mark a každč ditč 25 penižcfl; kolik bylo mužu, kolik žen a kolik deti? 330 3. Určitb rovnice druheho stupne. Ravnice druheho stupne o jedne nezndrne. (§§. 237.—241.) Mate fešiti nasledujici rovnice: 1. x 3 — 9. 3. 2x I 2 — 1 = 2 — 4x 2 . 5. (x -f 7)(x — 7) = 51. _ 2ab 7. a — x = 7x 2. x 3 + 4 = 0. 4. 3x 2 — 4093 = x 2 + 139. 6. (2x - 3)(2x -f 3) = 7. • a 9. jH. 13. 1050 ' x x ■+ 2 a — x 1 — ax + a 4- x' JV 2x’ x = 0. o x + a , x-_ c ' x + b ' x — b 10. (x + i)(x-i) = T \, x — 2 — 1 — bx 12 . ——1 + X 14. X — 1 a x + l a 15. V^3 + 2x — x* = x + 1- 16. 1 + 2x + 1 — 2x ax 2 + b 2 o : 2 ' = 2b. 17. 18. 2a 2 + 2a 2 x + Via 2 — x 2 x — \/4a 2 Vl + x + \/l — x_a Vi + x — Vi — X b Vbx 2 +a 2 = x. Vbx 2 + a 2 . ■x- I - -- ■ UA 19. Vx* + a 2 — 2aVx 2 — b 2 + x =r 3 _ 3 _ 3 _ 20. VVo + x -f VV& — x = V&V5- 21. x* — 4x = 21. 23. x 2 + 15x + 56 = 0. ^ 2 - 4x + 4 = 0. • 6x + 7 = 0. 25. x 2 27. x 2 29. x 2 + 9x + 5 = 0. 31. x s — 7x — 7. 33. 5x 2 + 7x = 24. 35. 5x 2 + 13x + 17 = 0. 0. 37 x «_ 6 2 + 16 39. 0'9x = 0-2. 22. x 2 — 12x + 35 = 0. 24. x 2 + x — 56 = 0. 26. x 2 — 2x = 15. 28. x 2 — 13x - 140. 30. x 2 + I9x + 10 = 0. 32. x 2 ,*4- 2x + 4 = 0. 34. 12x 2 = 20x - 3. 36. 18x 2 -f 3x = 10. 38. x 2 - 12x + 100 = 0. 40. 2x 2 — 13'6x + 43-68 = 0. 331 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 66 . 68 . 70. 72. 74. 75. 77. 79. 81. 82. 84. x 3 + 3-162x — 1-4248 = 0. 44. x 3 + 7-66441 = 0'80183x. x s + 2ax = 2ab + b 3 . 46. x* — 2abx = a 4 + a 3 b 3 + b 4 . x 3 — (a + b)x + ab = 0. 48. x 3 — (a — b)x — ab = 0. (a — b)x 3 — bx = a. 50. (2x — 5)(3x + 8 ) = 0. 52. x + = 3. _ * _ 9 6 2 10x + 3 3x -f 2 “ X ’ x + 18 _ 6 x -h 6 — x — 3' 8x-4 10 = 2-* x — 4 2 a _ b X 3 “ (1 — x) 3 * 54 ' l?=! = 4l ~ 15 - _ ( 2 a — b)x — b 3 _ 2 a(a —b) 0 2 a + b — x ~ 2 a — x‘ -1. 58. - x 12 x + 1 x + 2 ' ax — bx = x —1 x —j— 1 2 a a — 2 bx x ' a + b x _ a V 60. »!+** = _ a _ a _. a 3 — x s a — x a + x o 62. x + abx = a 3 + b 3 . a — x_b_+x _ b_a ‘b + x a — x~a b‘ (i=5)’ = 80=0-15. Položte vx—b J 1 x — b-" x + 1 2x — 3 a — x x + 2 3x — 4 2 x — a _ x + 6 a 4x + 5a = 6. 67 . ? I + 4 x — b x y- - 1 + 7. 5x + 1 ' 3x — 4 3x 3 —3 , 6 x 3 — + ■3 = 0. - = 6 x— 6 . 2x r ^' x -t- 9 ~ 2x — 1 3a -j- 5b a — b _ b — x 2a—(l+a 3 )x _ 2 b+(l-fb 3 )x 2 (a + b) a — x~ a + b' ‘ 1 +a 3 — 2 ax — l+b 3 + 2 bx. x 3 + 2xV5 = 2V6. 73. x(x 4- 2VH) = 6V2. x : (x 4- 1) = (2x 4- 3): (3x 4- 4). x 4- 7\/x = 30. 76. ax — b\/x = c. 2x - 3Vx — 1 = 4. 78. x — 10 = 2\/x*^ 3x + 5. V2x + 1 -2\ 2 \ + 3 = 1 . 80. V2 4 - V 24 -V 24 -... = x. . J_ _ Va4-Vb Vb— Va ' ' \/v \/o \ /K vs - Va-"V6-- Položte Vx = y ' V7x 4- 13 — 12 = \/5x + f. 83. 4 - 3 = Vl5x+4. _ x_ x — b y^4Ž4ž + \77* VSl+V b — x a 4 - b = 1. 85. —x) F.= 0 . 332 Utvorte rovnice, kterež maji nasledujfd koreny: 333 nyl28. xy = 36, A = 4 . y 130. x* + y s = a, x — y = b. 132. x 3 — y 2 = a, i Položte x xy = b. / 133. x(x + y) = 40, y(x -f y) = 24.'. 135. x 3 + y 2 + x + y = 8, xy = 2. 137. x* + xy + y s = a, x a + y 3 = b. 139. x + y = 74, Vx + Vy = 12. Položte V x — u > Vy = v. 129. x 3 + y 3 = 2a 3 + 2b 3 , x + y = 2a. 131. x 3 — 2y 3 = 17, x — 2y = 1. ! = u, y 2 = v. 134. x 2 + y 3 ■£- x -f y = a, x s -j-y !! — x — i^b. 136. x 3 + y 3 — x — y = 12, xy = 9. 138. x 3 — xy + y 3 = a, x* — y 3 = b. . 140. x: 11 = 704: y, * ^ V x + Vy = 19- ) - 141. x ~y+Vx- x + y x 2 + y 2 20 x + y’ = 34. 142. Položte x 3 -f- y 3 = u 3 x 3 — y 3 = v 3 x 3 y + xy 2 = 30. Položte xy = u, x + y = v. 143. x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z( x + y + z) = c. 145. Z Poslednl rovnice da: x ~ + i y 147. x : y = y : z, x -+• y + z = 26, x 3 + z 3 = y 2 + 292. 144. x 3 + y 3 + z 2 = 94, x(y + z) = 45, x + y + z =14. 146. = - a 3 , xyz ^^-b 3 , xyz x + y _ xyz (a + b) 2 . ~ + b’ Z 148. ~ a 4- b’ x 3 -|- y 3 + z 3 x : y = z : ii? x -j- u = 13, y -|- z = 20, i 2 = 425. 334 Poučiti určitych rovnic druh&ho stapne. 149. Nasobime-li jakčsi čislo jeho polovici, obdržlme 162; kterč jest to čislo ? 150. Součia tfetiny a čtvrtiny jisteho čisla rovna se 108; ktere jest to čislo ? 151. Ktere čislo musline o d zvetšiti a zmenšiti, aby součin obou novych čisel rovnal se a? 152. Pfipočteme-li k 12nasobnemu jakemusi čislu 45, obdržlme jeho druhou mocninu; ktere jest to čislo? 153. Pfipočteme-li k jakemusi čislu 40, a dčllme-3i součet ne- zmčnčnym člslem neznamym, podil bude o 2 menšl nežli čislo puvodnl; ktere jest to čislo? 154. Pfipočteme-li k jakemusi čislu 5 a odečteme-li od nčho 5, součet druhych mocnin techto novych čisel se rovnd 178; ktere jest to čislo? 155. Ku kteremu čislu muslme pripočlsti jeho prevratnou hodnotu, abychom obdrželi čislo a? 156. Vyhledejte dvč čisel, jichžto součet jest 30 a součin 189. 157. RozvecTte 15 na dve sčltancu tak, aby součet jich druhych mocnin byl 113. 158. Rozvedte 15 na dve čisel, jichžto druhe mocniny jsou v po- meru 4 : 9. 159. Rozvedte 18 na dve činitelfl tak, aby rozdll jich druhych mocnin byl 27. (Viz ul. 132. na str. pfedch.) 160. Rozvedte čislo a na dve čisel tak, aby jedno z nich bylo strednl mčfickv srovnalostnou daneho a druheho hledaneho čisla. 161. Součet čtvercu dvou čisel jest 45, jich rozdll však 27; kterak vyjadflme ta čisla? 162. Součia dvou čisel jest o 84 menšl nežli součet jich čtvercfl, a o 44 včtšl nežli rozdll čtvercu; ktera jsou ta čisla? 163. Dellme-li dvouciferne čislo součinem jeho člslic, podli jest 6; smenlme-li však člslice, nove čislo bude o 9 včtšl nežli hledanč; ktere jest to čislo? 164. Dvč čisla jsou v pomeru 3 : 4, součet jich čtvercu jest 100; ktera jsou ta čisla? 165. Součet dvou čisel rovna se jich součinu a rozdllu jich dru- b;fck mocnin; ktera jsou ta čisla? 335 166. Tfi čisla tvori spojitou mefickou srovnalosf; jich součet jest 14, součet jich druhych mocuin 84; ktera jsou ta čisla? 167. V jakesi mčricke srovnalosti jest součet členil vnčjšich 18, součet členil vnitfnich 17 a součet čtvercfl všech 4 členil 325; vyjadfete tu srovnalosf. 168. Součet všech 4 členil jakesi mčricke srovnalosti jest 72, součin členu vnitfnich 140, součet čtvercil všech 4 členil 2050; vyjadfete tu srovnalosf. 169. Nčkdo koupil pšenici za 117 zl., každy H!, stal o 4 zl. menč nežli bylo hektolitri!; kolik hektolitri! pšenice koupil? 170. Nčkdo koupil sukno za 400 markfl; kdyby metr stal o 1 mark mčne, kupujici by obdržel za onu sumu o 20 metru vice. Mnoholi metru sukna koupil? 171. Obchodnici A a B prodali dohromady 100 metru zboži a sice jeden vice nežli druhy, ale oba utržili preče tutež sumu. Kdyby A byl mšl tolik metrfi, kolik B, byl by za ne utržil 63 zl.; kdyby B byl mčl tolik metru, kolik A, byl by za ne utržil jen 28 zl. Mnoholi metru zboži prodal každy obchodnik? 172. Nekolik osob vydalo na cestach 432 zl.; ale ponevadž dvč osoby byly pozvany, platila každa z ostatnich osob o 3 zl. vice. Kolik osob cestovalo? 173. 240 malto ma se rozdeliti nekolika osobam; ale 4 osobv odfeknou se sveho podilu, protož dostane každa ostatni osoba o 3 marky vice. Kolik osob pfivodnč mčlo b^ti podšleno ? 174. Nčkolik dčti mčlo se rozdčliti o 14400 zl. tak, aby každe dostalo stejnv podil. Než prišlo k dčleni, umrely dvč dčti, každe z ostatnich pak obdrželo o 1200 zl. vice nežli mu puvodnš naleželo. Kolik bylo deti? 175. Společnosf, v nižto bylo dvakrate tolik mužfl, kolik žen, platila za občd 176 desetniku; každy muž platil dvakrate tolik desetniku, kolik bylo mužfl, a každa žena dvakrate tolik desetniku, kolik bylo žen. Mnoholi mužfl a mnoholi žen bylo ve společnosti? 176. Zahrada v podobč obdelniku jest posazena 560 stromky, stejnč od sebe vzdalen^mi; v fadč podčlne jest o 8 stromku vice nežli v fadč dle širkv. Kolik stromkfl jest v každč rade? 336 177. Pozemek v podobš obdšlniku jest a metra dlouhy a b metru širokv; o kolik metrfl museli bychom delku zkratiti a o kolik metru štrku prodloužiti, aby plosky obsah pozemku se ne- zmšnil, ale obvod aby se zmenšil o a — 2b metri? 178. Ve dvou čtverclch jest rozdll uhlopfičnych roven d, součet ploskych obsahd a*; ustanovte strany čtvercu. 179. Spustfme do studnš kamen, jenž za t sekund padne do vody. Jak hluboka jest studnš, je-li zrychlenf g a ryehlos£ zvuku c? čas t jest součet doby r, za kterouž kamen spadne až na hladinu vody, a doby z\ za kteroužto zvuk z hloubky studnš dostihne ucha našeho. Ponevadž draha vykonana kamenem i zvukem rovna se hloubce (x) studnš, gr 2 \/2x x musi x = -5- a x = cz', tedy r = y — a z ‘ = "jr* Protož V 2x X — — = t, z čehož plyne g c X = f(c + gt ± V'c 3 + 2 cgt). 180. Vypočitejte x v predchazejici uioze, jestliže t = 3 sek., g = 9*81 m. a c = 332'25 m. 181. Vrhneme-li tšleso rychlosti c svisle vzhuru, za kolik sekund vystoupi do vyšky Za * sekund by bylo tšleso vržene rychlosti c ve vyšce cx; za tutšž dobu jest draha volneho padu -g-, znači-li g zrycbleni. Skutečnš vykonana draha vyjadri se tedy rovnici 182. Vrhneme-li tšleso rychlosti c svisle vzhfiru, a o t sekund pozdeji druhe tšleso rychlosti c' tymže smšrem: za kolik sekund vystoupi druhe tšleso tak vysoko jako prvni? (Vyšetrete zavšrečnou rovnici.) 183. Cestujicl Vykona 520 Km. cestv o 3 dni pozdšji než druhy, ponšvadž tento dojde dennš o 12 Km. dale nežli prvni. Za kolik dni každy cestujici vykona tuto cestu? 184. Dvš tšlesa K' a K" pohybuji se tymž pfimym smšrem stejnomernš a současne z bodu A' a A", z nichž onen leži o d jednosti delky z a timto, a obe prochazeji p o £ jednostech časovych bodem B. Vykona-li tšleso K' drahu jednosti delky o -i- časove jednosti drive než K", kolik (D) jednosti delky jest z bodu A" do B? 337 K' vykona drahu jednosti delky za K“ časovych jednosti, t_ D * ” t t 1 , „ d \/d 2 proto g — d + p = —, z čehoz D = — + V + ndt. Co by v tomto vyrazu žnamenaly zapornč hodnoty veličin D, d, t, n? 185. Ze dvou stanic, 800 Km. od sebe vzdalenych, vyjedou sou- časnč dva vlaky, z nichž jeden ujede 1 Km. o hodiny dffve než druhy. Setkaji-li se oba vlaky za 4| hodiu po svem odjezdu, v kterč dobč ujel každ^ vlak 1 Km.? 186. Pocestny vyjde z A' do A", a druhy současnč z A" do A'. Onen prijde do A“ za a' hodin, tento do A' za a' 1 hodin po společnčm setkani. V kterem pomčru jsou jejich rych- losti c' a c"? Znači-li d vzdalenost mist A' a A", pocestni se setkaji za C -p 0 c'd c"d jednosti časovych; do toho času vykonali cesty maji ještč vykonati vztažnš c'd c"d c' + c" a c' ; + c“ c' + c" c' + c' 1 k čemuž potrebi tudiž c"d c'(c'+c") c'd , c"d c'd a jednosti casovycb, Protož musi č '(č'Ij r c »j = a a c "(c'+c") = a ' Dčlime-li prvni rovnici druhou, obdržime c ' 2 a" ... o' Va" c" 2 = jr, z čehož ^7 = y a , . 187. Dve tčlesa pohybuji se stejnomčrnš rychlostmi c' a c" po ramenou pravčho uhlu. Jsou-li vzd&lenosti obou tčles od vrcholu jistčho času d' a d", za kolik (t) jednosti časovych bude vzdalenost jednoho tčlesa od druheho d ? Za t časovfch jednosti jest vzdalenost tčlesa K' od vrcholu = d' — c't; » . K" „ „ = d" - c"t; tudiž dle poučky Pythagorovy d 2 = (d' — c't) 2 + (d" — c"t) 2 , z čehož plyne t _ c'd' + c"d" ± Vd 2 (e ' 2 + c" 2 ) — (c'd" — c"d ') 2 c ' 2 + c"- JR oz bor. a) Ma-li t b^ti realne, musi d 2 (c' 2 + c'' 2 ) > (c'd"—c"d') 2 , c'd" — c" d' tudiž d gi /——— . Nejmenši vzdalenost obou tčles muže byti = Vc ' 2 + c" c'd" — c''d' v~ c" c" 2 Močmk-Hora, Algebra. 22 338 b) Dobu, v kterež obe tžlesa budou nejmenž od sebe vzdalena, vy- jadrime t = c , 2 c «i~. c) Maji-li obš telesa setkati se na vrcholu, musi nejmenši jicb vzda- lenost d = 0, t. j. Co by zde znamenaly zapornž hodnoty veličin t, c', c", d', d" ? 188. Dvž tžlesa pohybuji se rovnomžrnž po ramenou pravžho uhlu k vrcholu, od nehož jsou d' a d" metrfi vzdalena. Za t časovych jednostl obž tžlesa jsou od sebe v nejmenši vzdalenosti d metrft. Jakou rychlostl každe tžleso se po- bybuje ? 189. Dvž svetla jsou postavena v bodech A a B, jichž vzdalenosf jest d; svžtlosf prvniho svžtla jest a, druhžho b. Kterv bod pflmky AB bude od obou stejnš osvžtlen ? Svštlosti ub^va v pomeru čtvercu vzdalenosti. Je-li tedy x vzdalenosf hledaneho bodu od A, musi Yyšetfete tento v^sledek. 190. Je-li d vzdalenosf dvou nebeskjch tžles, jichžto hmoty jsou v pomžru a : b, v kteržm bodu jich spojovaci p?imky by muselo byti 3. tžleso, na kterež by ona tžlesa pftsobila rovnou silou pfitažlivou? 191. V ktere vzdalenosti od zemž zustalo by jakžsi tžleso viseti mezi zemi a mžsicem, jsou-li tato telesa 51800 mil od sebe vzdalena a rovna-li se bmota mžsice ? ' T hmoty zemske? 4. Neurčitž rovnice druhžlio stupnž. Urceni nemdmych celistvymi cisly kladnymi. (§. 245.) 1. 5xy — 3y = 168. 2. xy + x —• y = 64. 7. 12x* — xy — 3y + 87 = 0. 8. x s —- 2xy -f y = 4. 9. 3x 2 — 2xy — y + 1 = 0. 10. x 2 -2xy —3x + 5y+20 = 0. 11. x 2 -f- 3xy — 2x -j- 2y = 8. 12. 2x s — 2xy — 4x + 3y = 1. c'd' + c" d" c' d' c'd" = c"d' aneb ^ = 37?. a_ x 2 3. 3xy — 5y = 16x. 5. 5xy — 2x — 3y = 18. 4. 7xy + 10y = 136x. 6. x 2 + xy — 2x — 3y = 29. 339 Určem nezndmych čisly racionalnimi. (§. 246. a 247.) 13. y a = 16x* + + 7. 15. y a = 4x a — x + 3. 17. y* = 4x 2 — 5. 19. y a = 5x a — 7x + 4. 21. y a = 7x a +9. 23. y* = 6x a — 5x — 6. 25. y a = 1 — x a . 27. y a = 10x a + 5x -f- 6. 14. y a = 25x a — 39y + 12. 16. y® = x 2 — 4x — 3. 18. y 2 = x 2 + 1. 20. y a = 3x a — 2x + 1. 22. y 2 = 2x a -f 3x + 4. 24. y 2 = 3x a + 17x + 10. 26. y a = 5x a + 42x -f- 16. 28. y a = 3x a + 4x + 2. Udejte hodnoty x, pri nichžto nasledujici vyrazy budou ra¬ cionalni: _ 29. \!x r —L 30. V9x s —5x + 1. 31. \/l6x s + 9x — 8. 32. V2^ + x + 4.' 33. \/3x= + 2x + 9. 34. \/8x^ — 3x + 1- 35. Vx^L 36. V6x a +2x—20. 37. V2x* — 5x + 6. Nezname maji se určiti čisly racionalnimi: 38. x a — y 2 — 25. 39. 3x a — 4xy + y a + 1 = 0. 40. 3x a — 4xy + y 2 + 3y = 7. 41. 4y 2 — 4xy -f 6x — 8y = 1. 42. 2x a -f- 2xy — y 2 — 2x + 4y + 5 = 0. 43. 5x 2 — 12xy — 4y a — 6x -j- 4y = 3. 44. 7x a — 6xy + y a + 8x — 2y + 16 = 0. 45. 4x a + 2xy — y 2 + llx — 4y + 9 = 0. 46. Součet dvou celistvich čisel kladnych pfipočtčn k jich sou- činu da 47; ktera jsou ta čisla? 47. Součin dvou celistvich čisel kladnych jest o 33 vštši nežli jich rozdil; ktera jsou ta čisla? 48. Vyhledejte dve celistvych a kladnvch čisel, jichžto podil zvčtšen o jich součet da 35. 49. Podil dvou celištvych čisel kladnych rovna se jich rozdilu; ktera jsou ta čisla? 50. Rozdil čtvercfi. dvou celistvych čisel kladnych jest 35; ktera jsou ta čisla? 51. Dčlime-li jakesi dvouciferne čislo součinem jeho čislic, podil jest 5 a zbytek 2; ktere jest to čislo? 52. Rozdil čtvercfi dvou čisel jest opčt čtverec; ktera jsou ta čisla? 22 * 340 53. Zvetšfme-Ii aneb zmenšime-li jakesi čislo o 1, obdržime po- každe druhou mocninu; ustanovte obecnou podobu toho čisla. Položime-li x + 1 = a 2 , x — 1 = a 2 — 2 = b 2 , a b= Va 3 — 2 = a — p, tilde a = P a x = (Prirovnejte lilohu 54. na str.'239.) 54. Součet dvou čtvercu a 2 + b s promšfite v součet dvou jinych čtverefi, a 3 -f b 2 = x 2 + y 3 . Položime-li y = Va 2 + (b + x)(b — x) , s , , 2ap + bp 3 — b 2bp — ap 3 + a = a + p(b — x), bude x = - x + p2 ■■■-, y = -i p2 -• 55. Součet čtvered dvou čisel rovna se čtverci čisla tfetiho; ktera jsou ta čisla? * a + y 2 = z 2 - Položime-li pfi kterychkoli hodnotach s 2 + m 3 = (s + n) 2 , bude m 2 — n 2 m 2 -j-n 3 ' s + n = -— 2 H—j protož 2^2 S = 2n An 2 — n 2 V o /m a + n a V hm-J + m2 = (“giH 2 aneb nasobime-li 4n 2 , (m 2 — Protož budou x = m 2 racionalne hodnoty 'neznsimj-cli čisel x, y, z, kterež vyhovuji dane uloze, necht dosadime za m a n kterakoli čisla racionalna. n 3 ) 3 + (2mn) 3 = (m 3 + n 2 ) 2 . y = 2mn, z = m 2 + n 2 Dosadime-li za m a m čisla celistva, budou x, y, z take čisla celistva. Teto uloby uživdme v morietvi, abycbom obdrželi pravoiihelne trojuhel- niky, jichžto strany jsou smčritelne (trojuhelniky Pytbagorovy). Jsou-li x a y odvšsne, z jest podpona, tudiž pfi 56, Součet čtvercu tfi čisel rovna se čtverci čisla čtvrteho; ktera jsou ta čisla? x 2 + y 2 + z 2 = u 2 . Položime-li s 2 + m 3 + n 2 = (s -f- p) 2 , obdržime m 2 + n 2 — p 2 m 2 + n 2 + p 2 s = -~, s + p = — =l - 2 £-— ? protož aneb nasobime-li 4p 3 , (m 2 + n 3 — p 2 ) 2 + (2mp) 2 + (2np) 2 = (m 2 + n 2 + p 2 ) 2 . Protož x = m 2 + n 2 —• p 2 , y = 2mp, z = 2np, u = m 3 + n 2 + p 2 . Teto ulohy uživame v tžlesomerstvi pri pravouhelnem rovnobSžnostenu. 5. Nekterč rovnice vyšši a esponencialnč. Presni rovnice vyšsi. (§. 248.) 1. x 5 — a 5 = 0. 2. x 4 — a 4 — 17x 4 . 3. = x 3 + b. 4. a — x 3 5. 6. llx 4 2 v 3 _ Vx 3 = \/x 3 — b. 18x ž = (3x* - 3) 2 — 65. • 5 , x 3 + 5 _ 122 „ + „3 R - n- '• x 3 + 5 ‘ x 3 — 5 3x a + 4 , 3x 2 — 4 _ 290 3x 2 -f 4 “ 143' |x“ + y» = a, (x n — y n = b. 3x 2 — 4 f8x 4 — 3y 4 = 40 ,\t, I5x 4 + 2y 4 = 25 T \. Vyaš{ rovnice, Meri Ize uvesti na rovnice druheho stupni. (§§. 249. a 250.) 10. x 4 — 13x 2 + 36 = 0. 11. 6x 4 — llx 2 = 35. 12. x 6 + 27 = 28x 3 . 13. 3x e — 7x 3 = 6. 14. x* + (| 2 ) 2 = 260. 15. xV25 — x 2 = 12. 16. x 4 — 2(a 2 + b 2 )x 2 + 4a 2 b 2 = 0. 17. (x 2 + ax) 2 + b(x 2 + ax) = c. 18 . (x £) •+- (x _ 2 )2 “ 9 * - u - 17 x 3 x 3 + 3' 21. Vx 4 — 3yx 2 = 54. 20. Vx — 8Vx = 9. 22. Vx 2 — n 2 = n + Vx. 2S - Vx 3 + ax 3 = b. 24. x s — 8x + 5 = 2\/x 2 — 8x + 40. Položte x 2 — 8x +5 = y. 25. (2x + V2x) 4 — (2x + V2x) 2 = 1260. 26. x 4 + y 4 = a, 1 Položte x +y = b. I x —y = z 27. x 4 4- y 4 = a, x — y = b. 342 28. x 3 + y 3 =a, 29. x 3 — y 3 = a, x + y = b. x—y=b. 30. x 2 4- y 2 = 97, 31. x + y = 72, Vs-Vj= 1- Vx + Vy= 6. l’, y f Jf j 4 ' J J } Vyhledejte Dejprv x + y, pak xy. 33. x ! (x + y) = a, 34. (x + y)(x 2 + y 2 ) = a, y 2 (x + y) = b. (x — y)(x 2 — y 2 ) = b. 35. x 2 + y* + x — y = a, i Položte x 2 + y 2 = u, (x* + y s )( x — y) = b. J x — y = v. 36. x 2 + yVxy = 9,1 _ , y 2 + xVxy = 18. J FOlOZte y - xz • 37. X 4- (x + y) + (x 4- 2y) + (x + 3y) = b, x(x 4- y)(x 4- 2y)(x 4- 3y) = c. Obdržime x = \ jb + Vob 2 ± 4mj, a y = + V^b 2 ± 4m, položime-li Vb 4 4* 144c = m. 38. x(x 4- y)*(x 4- 2y) = p, 39. x(x4-y)(x4-2y)(x4-3y)=p, x 2 4-(x + 2y) 2 = s. (x4-2y) 2 — (x4-y) 2 =d. 40. x 4~ xy — b, 41. x + xy 4- xy 2 = b, x 2 + x 2 y a = c. x* + x *y* 4- x *y 4 = c. |)2 ___ g V posledni aloze obdržime nejprv xy = do obou rovnic a pretvofenim pak x = ^(b 2 4- c ± m), y = 4- c + m), 2b dosazenim 2(b 2 —c) položfme-li V(3b 2 — c)(3c — b s ) = m. Bovnice mponencialni. 42. 47 x = 255. 44. x x = x. 46. a px+<1 . b rJ|s = c*. 48. 3 !x . 5 3x ~ 4 = 7 X - 1 11 2 -* 50. 4096* . 0-5 = 4 I +4 52. /I23v±i Viž IMj = 345 456‘ (§• 251.) 43. 10* = 2-718282. 45. a mx+n = b. 47. 5 3x ~ 4 .2 Mx = 5 X . 49. 2 X . 3 X - J . 4 X ~ 2 = 5. ... a mx . b” x 0 * c px . d v ~ s ' 53. 2 3x = 100. 843 54. 3* . 5y = 405, 2* . V = 112. 56. a* . b y = m, 58. a* + b y = m, a* — b y = n. 60. V10 = 2. 62. = 5. 64. Va = b x . x+2 66. V2 = 3 x t3. mxfn 68. Va = b ritt >. 70. \/a = mVb, Vc = n \M. • 72. 3 X ’- ta + 5 - 1200. \i. iQ ( 3x + 10Q j = 15.3 X + 2. 76. 13 xy = 2197, 5*+ y ~ 4 _ i, 78. 6.7 2 * + 7* = 301. 80. 5V3 + 3\/3 = 10. 82. x y = y x . Položte y = ux. 55. 2* . 5 y = 20C0, 3* . 6 Z = 2916, 4 y . 7 Z = 3136. 57. a 7 *" 9 . a 2 - 8y = as b 3x-5 __ 1 h iJ-l - b 2* 59. a* + b y = m, a*b y = n. 61. V10 = V257813. x+l x+2 63. Va = b Vc. 65. V5 = 2 xtl . 67. 3-2* =4V9. 69. a 4 b* = Va^ 71. 3 1 . \?1521 = 1053, 2 y . VI33I = 44. 73. a (x_m ) (3£ - n) = 1. 75. 7352x+i — 3183xf3. 77. x y =16, 79. 3.4 2x ’— 2x + 4 — 5.4 x3 ~ x +2 = 28 81. 13V10 — 5\/10 = 25. 83. x ,( >e x = 578. 84. x 4 - Ic e* = 35-3156. 85. Vx logVx = 10* Obdržfme x = 100. 344 V. Posloupnosti. 1. Arithmetickč posloupnosti. (§§. 253.-255.) Vyhledejte obecny člen a součet každe nasledujici arithme- ticke posloupnosti: 1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . 2. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... . 3. - 28, - 25, — 22, - 19, — 16, - 13, . . . 4. 100, 97, 94, 91, 88, . . . 5. 100, 92-|, 85, 77J-, 70, . . . 6. Vyhledejte rozdil posloupnosti, jejiž prvy člen jest 109 a 34ty člen 10. 7. Ktery jest prvy člen posloupnosti, jejiž rozdil jest 5 a 27ty člen 139? 8. Prvy člen posloupnosti jest 1, rozdil 5, kolikat^ člen jest 116? 9. Prvy člen posloupnosti jest 20, počet členil 10, posledni člen — 16; vyhledejte součet teto posloupnosti. 10. Kolik prvnich členil posloupnosti musime sečisti, abychom obdrželi 2808, je-li prvy člen 2 a rozdil 10? 11. Součet posloupnosti, jejiž rozdil jest 3, posledni člen 97, rovna se 1612; a) ktery jest prv^ člen, b) kolik členil jsme sečitali? 12. Jsou-li z veličin a,, d, n, a n a s n (§• 254.) dany kterekoli tfi, odvodte vzorce, jimiž určuje se pokaždč ostatnich dve veličin. Mate fešiti nasledujici ulohy: 345 23. Kolik čisel musime vložiti mezi 16 a 250, abychom obdrželi proloženou arithmetickou posloupnosf, jejiž součet jest 1995? 24. V posloupnosti 1, 5, 9, 13, 17, 21, . . . vložte mezi dva a dva členy 8 členil tak, abyste obdrželi opčt posloupnosf arithmetickou. 25. Mezi p a q vložte r členil; ktery jest wty člen tčto prelo¬ žene posloupnosti? 26. Kolik čisel dčlitelnych čislem p leži mezi 0 a a? (n — l)p ^ a. 27. Kolik čisel dčlitelnych 6ti leži mezi 0 a 100? Ktery jest jich součet? 28. Rozvedte 225 na nekolik čisel tak, aby každč nasledujici čislo bylo o 2 včtši nežli pfedchazejici a posledni aby bvlo 29. Kolik jest tčch čisel, a ktere jest prvni? 29. Jista suma se ma rozdčliti nčkoliku osobam tak, aby prvni obdržela 80 zl., každa nasledujici osoba o 4 zl. mčnč a po¬ sledni 28 zl. Kolik osob bylo podčleno, a ktera bvla ona suma? 30. Sluha sloužil 6 rokfi; každeho nasledujiciho roku obdržel o 4 zl. vice služneho nežli minuleho roku, dohromady však 540 zl. Mnoholi služneho dostal prvniho a mnoholi posled- niho roku? 31. Ma se vykopati studnč 12 metru kluboka; plati-li se za prvy metr 4 zl. 40 kr. a za každy nasledujici metr o 40 kr. vice, mnoholi se muselo zaplatiti za posledni metr a mno¬ holi za všech 12 m.? 32. Tčleso vykona v prve sekundč drahu a metrfi, v každč na¬ sledujici však o d metrfi včtši nežli v pfedchazejici; a) kterou drahu vykona za n sekund, b) v kterč dobč toto teleso vy- kona drahu s metrfi? 33. Draha vykonana tčlesem volnč padajicim jest v prve sekunde 4'9 metrfi, v každe nasledujici sekundč však o 9 - 8 m. delši; kterou drahu teleso vykona v patč sekundč, a jak hluboko padne za 5 sekund? (Bez ohledu na odpor vzduchu.) 34» Spadne-li tčleso dle zakonu pravč naznačeneho se špičkv veže na jeji podstavu, a vykona-li v posledni sekundč drahu 53 9 metru: jak vysoka jest včž? 346 .35. Vykona-li koule, vystrelena svisle vzhfiru, v prve sekundš drahu 200 metri), v každe nasledujici však o 9-8 m. kratšl: jak vysoko vyletl, a v kterč dobč dopadne zase k zemi? 36. Nčkdo sadi do loterie na jakesi čislo 20 kr., a pokud ne- vyhraje, sazl v každe nasledujici hfe o 20 kr. vice nežli v predchazejlcl. Vyhraje-li pfi extrate 14nasobnou sazku, v ktere hfe by vyhra se rovnala součtu všech posavadnlch sazek ? 37. Nezuročitelny dluh ma se zaplatiti v 6ti ročnlch lhutach, Dlužnlk splatl prvnlho roku 600 zl., každčho nasledujlclho roku o určitou sumu vice, šesteho roku pak 850 zl. Mno- holi byl dlužen? 38. Nčkdo se vypfljčil o zl. na _p°/ 0 ; mnoholi musl zaplatiti po n letech, počltajl-li se mu jednoduche uroky? 39. Nčkdo uložl na začatku každčho roku c zl. na p°/ 0 jedno- duchych droku; jakou hodnotu s budou miti všecky vklady koncem wteho roku? 40. Vyhledejte 10ty člen arithmeticke posloupnosti, jejlž druhy člen jest 2 a sedmy — 4? 41. V arithmeticke posloupnosti jest součet prvčho a pateho členu 52, součet tretlho a šesteho členu 88; ktera jest ta posloupnosf ? 42. V arithmeticke posloupnosti jest součet prvnlch 5ti členu 75, rozdll pateho a druheho členu 18; vyhledejte a) člen prv^, b) rozdll posloupnosti. 43. Ctyry čisla tvori arithmetickou posloupnosf, jejlž rozdll jest 4; součin obou poslednlch čisel jest 165; ktera jsou ta čisla? 44. Dvč arithmeticke posloupnosti maji tyž počet členu; v prvnl posloupnosti jest prvnl člen 1 a poslednl 15, druha začlna tfemi a konci 24ti; vypočltejte součet každe posloupnosti. (Žešenl vede na neurčitou rovnici.) 45. Součet tri čisel, tvoflclch arithmetickou posloupnosf, jest 36, součet jejich čtvercfi 482; ktera jsou ta čisla? 46. čtyry čisla tvori arithmetickou posloupnosf; jich součet jest 2 a součin 40; ktera jsou ta čisla? (Viz ulohu 37. na str. 342.) 347 47. V arithmeticke posloupnosti o 4 členech jest součin všech členu 880 a rozdil čtvercu vnitfnich členu 39; ktera jest ta posloupnosf? 2 . Geometrickč posloupnosti. (§§. 256.-258.) Vyhledejte obecny člen a součet každč nasledujici posloup- nosti geometricke: 1. 5, 15, 45, 135, . . . 2. 6, 4X, 3f, 2 &, .. . 3. 10 5, 2-625, 0-65625, 0-1640625, . . . 4. 3, — 12, 48, - 192, . . . 5. Vyhledejte prv;f člen posloupnosti, jejiž udavatel jest ix a sedmy člen 68jx? 6. Kolik prvnich členil geometrickč posloupnosti 1, 3, 9, 27, . musime sečisti, aby součet se rovnal 3280? 7. Vyhledejte udavatele posloupnosti, jejiž prvy člen jest 2 a 12$ člen 4096. 8. Yypočitejte součet prvnich osmi členu geometricke po¬ sloupnosti h k* b 3 a ’ a’ a 2 ’ ' ’ ' 9. Vypočitejte součet posloupnosti JL + JL i JL + . q ' q 2 ' q 3 ~ ■ _ r (q° on —- ' q n_1 ' - 1 ) r q n (q -!)' 10. Jsou-li z veličin a,, q, n, a n a s n (§. 263.) dany kterčkoli tri, odvodte vzorce, jimiž určuje se pokažde ostatnich dve veličin. Jsou-li dany veličiny a,, n a s n , obdržime pro q a a n , jsou-li vsak dany n, a a a Sn, obdržime pro a, a q rovnice ntšbo stupne. 348 Mate fešiti nasledujici ulohy : 19. Mezi 5 a 405 vložte tfi čisla tak, abyste obdrželi geometrickou * posloupnosf. 20. Vložte mezi dva a dva členy posloupnosti 1, 10, 100, 1000, .. pšt novych členu. 21. Mezi 1 a | vložte 11 člena geometricke posloupnosti. (Po- užiti v nauce o zvuku.) 22. Vložte mezi x 8 a y 8 sedm členil tak, abyste obdrželi geo¬ metrickou posloupnosf. Vypočitejte součet posloupnosti: 23. x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 . 24. a 6 — a 5 b + a 4 !)* — a 3 b 3 + a 2 b 4 — ab 5 + b 6 . 25. 1 + x + x 2 + x 3 + • • • + x n_2 + x u_1 . 26. Vypočitejte a) součet posloupnosti 1 + 1 + | + 2 V + • • • b) součet prvnicb dvou, tfi, čtyr, pčti, šesti členfi. Vypočitejte součet nasledujicich sestupnych posloupnosti: 30. 1 + 1 ros 2 31. Použitim geometricke posloupnosti promčnte naprosto ob- čislmf desetinn}' zlomek v obyčejny, znamena-li b občisli a n počet čislic jejich. (Viz §. 108., 2) 32. Taktež promčfite ve zlomky obyčejnč: a) 0-6; b) O Ši; c) 0105; d) 8-7. 349 33. Znamena-li ve smišenč občislnem zlomku desetinnem b pe- riodu, n počet jejfch čislic, a čislo pčed periodou a m počet jeho čislic: kterak tento desetinny zlomek x se promeni v obyčejny použitim geometricke posloupnosti? (V. §. 108., 3) 34. Taktež promefite ve zlomky obyčejne: a) 0-64; b) 01254; c) 9-3513. 35. 248 zl. ma se rozdčliti 5ti osobam tak, aby každa nasledu- jici osoba dostala dvakrate tolik zlatych, kolik pčedchazejici; mnoholi obdrži každa osoba? 36. Nčkdo sadi 6krate do loterie, po prve 10 kr., nato vždy dvakrate tolik, kolik v pčedchazejici hfe. V šestem tahu vyhraje 4800nasobnou sazku. Mnoholi tedy vyhral, a mno¬ holi dohromady prosazel? 37. Nčkdo si uloži v lednu 1 kr. a v každem nasledujicim mčsici 3krate tolik, kolik v pfedchazejicim; mnoholi si uložil za rok? 38. Dluh 13000 markd ma se splatiti čtyrmi čistkami, z nichž každa jest Škrate vštši nežli pčedchazejici; jak velika jest každa častka? 39. Vynalezce hry v šachy vyžadal si za odmenu taky počet zrn pšeničnych, aby mohl na prvni pole šachovnice položiti 1 zrno, na druhe 2, na tfeti 4, a t. d. na každč nasledujici pole (do 64ti) dvakrate tolik zrn, kolik na pčedchazejici. Mnoholi tuni (a 1000 Kg.) zrn bylo by k tomu potčebi, važi-li 20000 zrn 1 Kg.? 40. V sudu jest 100 litrfl vina; z toho vyberu 1 1. a pčileju za to 1 1. vody, ze smčsi vyberu opčt 1 1. a pčileju 1 1. vody a t. d. Kolikrate to mohu opakovati, aby ve smesi zbylo konečnč jen 50 1. yina ? 41. Paprsek, prochazejici sklenčnou deskou, pozbyva jV sve svčtlosti; jak velika bude svčtlost paprsku, prošedšiho lOti deskami za sebou postavenymi? 42. Nadržka vyvčvy obsahuje 5-2 krychl. dm., bota se spojovaci rourou 0-6 krychl. dm.; kolik pohybd pistu jest potčebi, aby vzduch v nddržce zčedšn byl až na pivodni hustoty? 43. Součet tči prvnich členi geometricke posloupnosti rovna se 156, prvy člen jest 16; vyhledejte udavatele. 350 44. 12 čisel tvofi geometrickou posloupnosf; součet šesti prvnich člend jest b , součet ostatnick c, ktera jsou ta čisla? 45. V geometricke posloupnosti jest součet členu tfetiho a čtvr- teho b, rozdil členu tfetiho a pateho d ; vyhledejte udavatele a prvy člen. 46. V geometricke posloupnosti o desiti členech jest součet členu lichych 36905, sudych však 110715; vyhledejte uda* vatele a prvy člen. 47. Tri čisla tvofi geometrickou posloupnosf; jich součet jest 21 a součet jich čtvercu 189, ktera jsou ta čisla? (Viz dl. 41. na str. 261.) 48. Rozvedte každy člen geometricke posloupnosti 3, 48, 768, 12288, . . . na 4 časti tak, aby všecky ty časti tvofily opčt geometrickou posloupnosf. 49. Je-li dana posloupnosf arithmeticka a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . a geometricka 1, q, q 3 , . . . nasobte členy obou posloupnosti, stojici na tychž mistech a vypočitejte součet s n takto vznikle fady. Nejprve vypočitejte qs n — s n , z toho pak Sn. 50. Taktež vypočitejte součet fady x + 2x s + 3x 3 + 4x 4 + . . . -f- nx n . 3. Složitč urokovdni a počet o stalčm duchodu. (§§. 259.-263.) 1. Nač vzroste jistina 5800 zl. za 15 roku pfi 5% složit^ch urokfi ? 2. Nčkdo uloži 5042 marku ve spofitelnč, ktera pfllletnš zdro- čuje vklady na 4i°/ 0 i mnoholi jistiny i s droky z drokd dostane po 20ti letech? 3. Kterou hodnotu bude miti jistina 7324 zl. 20 kr., uložena na 4^°/o složitych drokd, za 23f- roku? 4. Les jak stoji dal by nyni 42350 krychl. m. dfivi; mnoholi krychl. m. by dal po lOti letech, pfibyva-li ho ročnč o 3% ? 351 5. Jista zemč m a 548200 obyvatelfi; mnoholi jich bude miti po 14ti letech, pfikfva-Ii obyvatelstva ročne l-i-% ? 6. Jistina 9000 zl. jest splatna za 10 let bez uroku; ktera jest nynejši jeji hodnota pri 5% složitych flrokfl? 7. Za jistinu, uloženou na 9 roku pfi 41°/ 0 složitych flrokfl, obdržel nčkdo 5234 zl.; ktera byla puvodni jistina ? 8. Les jak stoji dal by nyni 180000 krychl. m. drivi; mnoholi dfivi by byl dal pfed 15ti lety, jestliže ho v tom čase pra- videlne pfibyvalo ročnč o 4%? 9. Jiste mčsto mfl nyni 36230 obyvatelu; mnoholi jich mčlo pfed 30ti lety, pfibyvalo-li obyvatelstva ročne 2°/ 0 ? 10. Jistina 7537 zl. 80 kr. vzrostla za 20 rokd pfi složitem urokovani na 20000 zl.; na kolik % byla uložena? 11. 3200 markfl, pfed 80ti lety uloženych, vzrostlo v tom čase i s uroky z uroku na 34059'83 markfl; na kolik % byla jistina uložena? 12. Pfed l’2ti lety mohlo se v lese kaceti 27000 krychl. metrfl dfivi, nyni ho tam jest 35000 krychl. m.; kolik % i 10 P?>- rostlo ročnč? 13. Za kolik rokfl bude konečna jistina rovnati se »nnasobne jistine a, uložene na p°/ 0 složitych flrokfl ? log m Položime-li aq n = ma, bude n = j ,- " —. 14. Za kolik rokfl se zdvojnasobi jistina pfi 5% složitych uroku? 15. Za kolik rokfl ztrojnasobi se jistina na 4% uložena a) pfi celoročnim, b) pfi pulletnim složitem flrokovani? 16. Jiste mčsto ma 5200 obyvatelu; za kolik rokfl bude jich miti 9433, pfibyva-li obyvatelstva ročne 11°/ 0 ? 17. Z 10000 zl. splati dlužnik po 3 letech 2500 zl., po 6ti letech 1000 zl.; mnoholi bude jeste dlužen po lOti letech, počita-li se 5°/ 0 složit^ch flrokfl? 18. Jistina a zflročuje se čislem firokovym q\ koncem každeho roku odečte se v % spravnich yyloh, nač vzroste jistina za n rokfl? 352 19. Nčkdo uklada po 20 let počatkem každeho roku 200 zl. na 4°/ 0 složitych uroku; mnoholi bude miti v dobe posledniho vkladu ? 20. Nčkdo ma po 6 let každoročnč platiti 285 žl., zflstane však dlužen až na začatek šestčho roku; nač vzrostl jeho dluh do tohoto času, počita-li se 6% složitych uroku? 21. Jistina r uklada se každoročnč po n rokfl na p °/ 0 složitych uroku ; koncem každeho roku odečte se v°/ 0 spravnich vyloh; nač vzrostly všecky vklady v dobš posledniho vkladu? 22. Nčkdo ukladal počatkem každeho roku tutež sumu na 4J-°/ c složit^ch droku, a za 12 rokd obdržel za to 1939 zl. 18 kr.; ktery byl ročni vklad? 23. Dluh 12500 franku jest splatny za 7 roku, ma se však uhra- diti sedmi rovnymi častkami, splatnymi počdtkem každeho roku; mnoholi musi se pokažde zaplatiti pfi 5% složitych urokfi ? 24. Mnoholi musi dlužnik uplaceti koncem každeho roku, aby uhradil dluh 8000 marku, splatny za 10 let bez uroku, po- čitaji-li se 4^°/ 0 urokfl? 25. Statkar chce proti krupobiti pojistiti polni urodu, jejiž pred- bežnč vypočitana cena jest 6800 zl.; ktere ročni pojistne vymefi mu pojišfovaci společnosf pfi 5% složit^ch urokfl, pfedpoklada-li se, že krupobiti v one krajine zniči urodu polni prumčrnč vždy za 16 rokfl? 26. K jistinč 5000 zl., uložene na 4i°/ 0 složitych flroku, pridava se koncem každeho roku 500 zl.; mnoholi bude v pokladnici za 8 roku? 27. Les, jehož ročni pčirostek jest 2^%, dal by nyni 145678 krychl. m. dfivi; mnoholi dfivi da po 18ti letech, kaci-li se koncem každeho roku 1175 krychl. m.? 28. Nčkdo chce dluh 100G0 markfl, zuročenych na 5 0 / C) uhraditi v lOti rovnych ročnich lhfltach; mnoholi musi pokaždč zaplatiti? 29. Mčsto si vypfljčilo u banky jistou sumu, kterou chce uhra¬ diti v 25ti letech tim zpusobem, že koncem každeho roku splati 28000 markfl; mnoholi banka pujčila mestu na 5°/ 0 složit^ch flrokfl? 353 30. Mnoholi zbyva z dluhu 26000 z], pri 5% složitfch uroku po lOti ietech, plati-li se ročne 2000 zl. na uhraženi uroka a časti dluhu? 31. Kterou jistinu musime uložiti na 4V»7 0 složitych uroku, abychom mohli koncem každeho roku vybirati 250 markfi, a za 15 roku aby zbylo ještč 1300 marku? 32. Oteč pozustavi svym pčti dčtem 20000 zl„ kterež se uloži na 5% složitych uroku. Koncem každeho roku vybiraji džti 1500 zl.; po 6ti Ietech zb^vajici jmeni rozdčli se dčtem na rovnč časti, mnoholi dostane každe ? 33. Nčkdo koupi dflm a splaci kupni sumu tak, že po 20 roku koncem každčho roku složi 3600 marM; zač koupil dfim, obsahuje-li každoročni splatka take 5°/ 0 uroM za dluh ještč zby vajici ? 34' Mnoholi se musi pridati koncem každeho roku k jistinč 4500 zl., aby tato pri 5V 2 °/o složitych uroku za 6 let se zdvojnasobila? 35. Les, jenž by dal nyni 150000 krychl. m. dfivi, ajehožročnč pribyvaji 2°/ 0 , ma se ve 12ti Ietech vyplaniti; mnoholi se mflže ročnč kaceti, chce-li majitel lesa každoročnč prodati totež množstvi dfivi? 36. Nčkdo vybira každoročnč 1000 marki! z jistiny 12532 markd, uloženč na 4'/o 0 /« složitych uroku; za kolik rokfi bude jistina vyčerpana ? 37. Obec chce 6tiprocentovou pujčku 4000000 zl. uhraditi tim, že každoročnimi 400000 zl. splaci jistinu i uroky z uroku; za kolik let bude dluh zapraven ? 38. Nčkdo ustanovi v zavčti, že jeho včrny sluha až do smrti ma dostavati každoročnč 100 zl. Dedicove se smluvi se sluhou, že mu jednou na vždy zaplati 1200 zl. Kolik roku musel by sluha ještč žiti, aby z tčto smlouvy nemčl ani škody ani prospčchu, počita-li se 5% uroka ? 39. Nčkdo si vypfljči ve spofitelnč 8000 zl., ktere chce zapra¬ viti v 15ti Ietech po rovnych častech, splatnych koncem každeho roku; mnoholi musi pokažde splatiti, zdročuje-li spofitelna vydanč penize na 6%, pfijate vsak na 5 ] /„% ? 40. Pan chce pojistiti sluhovi svemu 1000 zl. splatnych po liti Ietech; ktere pojistnč musi jednou na vždy zaplatiti pojišfo- vacimu ustavu, jenž uročuje na 5°/ 0 ? Močrak-Hora, Algelra. 23 354 41. Ktera jest nynčjši hodnota dfichodu 420 zl. splatneho po 11 let koncem každeho roku, počitame-li 4% firokfi? 42. Nčkdo proda rentu 620 marku, kterou ma ještž po 10 let dostavati koncem každeho roku; mnoholi za ni obdrži, po- čita-li 4% složitych uroku? 43. Oteč uklada od narozeni syna sveho počatkem každeho roku 400 marku do spofitelny; mnoholi ustav tento vyplati sy- novi počatkem 24ho roku pfi 5°/ 0 složitych urokfi? 44. Nčkdo pojisti synu svemu 3000 zl., kterež pojišfovaci ustav ma vyplatiti počatkem l5ho roku; mnoholi pojistneho musi oteč do te doby platiti počatkem každeho roku, je-li čislo urokove 1-055? 45. Nčkdo chce po sve smrti zfistaviti ženč sve 4000 zl.; mno¬ holi musi počatkem každeho roku platiti pojišfovaci spo- lečnosti, podoba-li se ku pravdč, že bude ještč živ 15 rokfi, a počltaji-li se 5tiprocentove 6roky z urokir? 46. Jistina 20000 zl. ma se pfi 4°/ 0 složitych urokfi vyčerpati ročnim duchodem, jenž počinaje začatkem prvčho roku ma se vybirati po 30 roku; jak veliky budeduchod? 47. Nčkdo uloži 12000 zl. na 4% složitych uroku; kterou rentu mfiže za to vybirati po 24 let koncem každčho roku? 48. Nčkdo pojisti 1000 zl. ročnim pojistn^m 27 zl.; za kolik rokh bude pojištčna suma pfi 4 3 / 4 °/o uhražena vešker^m pojistnym? 49. Jistina 8000 zl. ma se vyčerpati dhchodem 801 - 12 zl., splat- nym ku konci každeho roku; kolik rokfl duchod se musi vyplaceti pfi 4% urokfi ? 50. Kolik let mfiže se koncem každčho roku vybirati dfichod 600 zl., jehož nynčjši hodnota jest 10000 zl., počita-li se 6°/o urokfi? 51. Nčkdo plati na pojištčnych 5000 markfi počatkem každeho roku pojistne 180 markfi; umre-Ii po 24ti letech, mnoholi ma pojišfovaci ustav zisku aneb ztraty pfi 4% složitych urokfi ? 52. Ktery ročni dfichod, jehož nčkdo uživa po 10 let, ma tutčž nynčjši hodnotu jako ročni dfichod 500 zl., jenž se mfi vy- placeti po 15 let, počitame-li 4V s % složitych uroku? 355 53. Nčkdo ma po 30 let uživati ročniho dfichodu 1800 markfi, chce však dostavati vštši sumu po 20 roku; ktery bude teuto novy duchod pri 47*% uroku ? 54. Ročni duchod r, jenž pri čisle firokovem e ma se vyplaceti po n rokfi, budiž promčnčn v jinv duchod r ' pfi čisle hrč¬ kovem e'; kolik rokfi tento novy duchod se bude vyplaceti? 55. Nčkdo chce po 18 let počatkem každčho roku platiti určitou sumu, aby po tomto čase on aneb nčkdo jiny po 10 let koncem každeho roku dostaval rentu 800 markfi; mnoholi musi ročnč platiti pfi 5°/ 0 urokfi ? 56. Mnoholi musi nčkdo po 20 let počatkem každčho roku platiti pojišfovaci společnosti, aby po uplynulem tom čase pri 4 V 2 % urokfi mohl uživati renty 300 zl. po 12 rokfi? 57. Nekdo plati po 30 let počatkem každeho roku 68 markfi duchodnemu fistavu, jenž firočuje na 4% ; kter^ dfichod bude mu ustav v nasledujicich 7 letech vyplaceti koncem každeho roku? 58. Nčkdo se domniva, že budeještč 20 roku sto, aby pracoval; mnoholi musi v tomto čase ročnč ukladati na uroky a 5V s °/o' aby pak ještč po 25 let mohl uživati ročniho dfichodu 900 markfi ? 59. Kterou rentu bude nekdo dostavati po 15 let koncem každčho roku, jestliže dfive po 35 let počatkem každeho roku složil 125 zl. na 5°/ 0 firokfi? 60. Nčkdo se domniva, že bude ještč 15 let s to, aby pracoval; v tomto čase uloži každoročnč 250 zl. na 5% firokfi. Jak dloubo mfiže po uplynulem tom čase uživati ročni renty 400 zl.? 4. Konvergence a divergence Jad. (§§. 264.-266.) Vyšetfete, zdali nasledujici fady konverguji aneb diverguji: 1. - + 3 + —+ — + , 4 T 8 ^ 16 ^ 32^ •> ■> i 1 i 1-3 i 1.3.5 , 1 +2 + 25 + 2A6 + < 5 * 1+ U + 2l + 31 + -- 2 ' 1 +l + 5 + f + -- . , 3 , 5,7 . 4 '+4 + 7 + 10 +-" 6 - 1 + A + A + il7 + -- 23* 356 Vyšet?ete, zdali vfibec a pri kterych vyminkach nasledujici fady konvergujf: 7. 1 + 2x + 3x a -f 4x 3 + . . . 1 2 ’ 2x 8 - 1 + OrT + «5" + + • q 1 4. 2x 4_ 3x * 4. 4x * 4. 9 - 2 + _ 3 + "4 +T” + -*- 1 3 Y 3 m 1 I I a X I a * X ' 10. 1 + ax +^ + 11 . 12. a + ^+ a -^+ a -4 r “+-- d 3 x ■ X -f- l + i(~pi) + i(|+l) + • • Vyšetfete konvergenci nekoneč. rad, jichž obecnč členv jsou : n. 2 11-1 „, _ n* + 2n + 2 ~ T7273..(n—1)’ 13. a n = 15. an 3 n-l * nx u 10n*— 1' 14. a n 16. _ 4.6... (2n + 2) an ~ 3.5...(2a + l) ' YI. Nauka o kombinaclch. 1. Pfestavovdnf. (§§. 268.—270.) 1. Kolikrate a kterak lze pfestaviti pismena slova ROMA? 2. Utvofte z prvkii a, b, c , d , e slovnikafsky prestavy začina- jici 1) prvkem a, 2) prvkem c. 3. Utvofte prestavy prvkfi a, a, a, b, b, c. 4. Kolik prestav dajl činitelč součinu a 5 b 3 ? 5. Kolik čtyrcifernych čisel lze vyjadfiti čislicemi 3, O, 7, 4 ? 6. Kolik pčticifernych čisel obsahuje čislici 6 dvakrat, čislici 3 dvakrat a čislici 5 jednou ? 7. Kolik čisel 9cifernych lze utvofiti z 9ti čislic arabskych tak, aby čislice každčho čisla byly nerovny? 357 8. Kolikrate mfiže 5 osob u stolu pfesednouti, aby po každč sedčly v jinem pofadku? 9. V koliku rozličnych polohach pflmo vedle sebe mohou byti 3 kuličky bile, jedna kulička modra a dve kuliček červenych ? Sestavovfinl. (§§. 271. — 274.) 10. Sestavte z prvkfi x,, x s , x 3 , x 4 , x 5 veškera amba a terna a) bez opakovanl, b) s opakovanlm. 11. Kolik amb a teren 1) bez opakovanl, 2) s opakovanlm lze sestaviti z 6 prvkfi? 12. Kolik prvkfi da v nčkterč tfldč tyž počet sestav s opa¬ kovanlm, mnoholi jich da 10 prvkfi v teže tfldč bez opa¬ kovanl ? 13. Kolik unionu, amb, teren, kvateren a kvinteren da a) 90 čisel obyčejne loterie, b) 5 čisel jednoho tahu? 14. Kolik vesmčs rozličnych vrhu lze učiniti dvčma kostkama, a ktere jsou ty vrhy? 15. Kolik trojuhelnikfi muže vzniknouti, protlna-li se 10 prlmek? 16. Kolikrate a kterak lze strany a, b, c a fihly «, /3, y troj- fihelnlku po tfech sestaviti ? 17. Vyhledejte počet veškerych činitelfi čisla 2310. 18. Kolikerym zpfisobem mfižeme 32 karty rozdati 4 hračfim, aby každy dostal 8 karet? Obmčnov&m. (§§. 275. - 278.) 19. Utvofte z prvkfi a, b, c, d, e obmčny druhe a treti trldy bez opakovanl. 20. Utvofte z prvkfi a , 6, c, d prvnlch 20 obmčn tfetl a čtvrte trldy s opakovanlm. 21. Kolik obmčn druhe, tfetl, čtvrte tfldy a) bez opakovanl, b) s opakovanlm da deset prvkfi? 22. Kolik jest 3cifernych čisel, jicbžto člslice od sebe se lišl? 23. Kolik čtyrcifernych čisel lze vyjadfiti člslicemi 3, 4 a 5? 358 £ 24. Kolik rozličnych vrha lze učiniti dvčma kostkama? 25. Kolik rozličnych vrhA lze učiniti tfemi kostkami, aby součet byl pokaždč 10? 26. Optick^ telegraf ma 6 ramen, a každemu ramenu lze dati 4 rozličnč smčry; kolik znamenl mflže se telegrafem tim naznačiti ? 2. Počet (pravdč-)podobnosti. Prosta a vztažitd podobnost. (§§. 279. a 280.) 1. Ktera jest podobnosf, že penizem hodim *hlavu“ ? 2. Ktera jest podobnosf, že penizem hodim spiše „hlavu“ nežli pismo ? 3. V nadobe jest pčt kuliček; ktera jest podobnosf, žejedinym hmatnutim vyberu a) lichy, b) sudy počet kuliček ? 4. V nadobč jest 10 bilych a 6 červenych kuliček; kterd jest podobnosf, že vytahnu kuličku bilou? 5. V nadobč jsou 4 bilč, 3 červenč a 2 modre kuličky; ktera jest podobnosf, že mezi 4 kuličkami, kterč najednou vy- tdhnu, budou dve červenč, jedna bila a jedna modra? 6. V nadobš jest 8 kuliček bilych, 6 červenych, 10 modrych a 5 černych; ktera, jest podobnosf, že z vytaženych dvou ku¬ liček jest spiše jedna bila a modra, nežli jedna červena a jedna černa? 7. Ktera jest podobnosf, že z '32 karet vytahnu a) červenou barvu, b) „coeur“, c) kr&le, d) figuru, e) určitou kartu. 8. Kterd jest podobnosf, že z 32 karet vytahnu najednou a) 2 červene karty, b) 5 „piques“? 9. Kterd jest podobnosf, že z 52 karet vytahnu spiše červenou figuru nežli bledočervenou kartu ? 10. Ktera jest podobnosf, že tfemi kostkami vrhnu dve čisel rovnych ? 11. Ktera jest podobnosf, že dvčrna kostkama vrhnu dvč čisel, jichžto součet jest včtši nežli 8 ? 12. Ktera jest podobnosf, že tfemi kostkami vrhnu a) současnč 3, 4 a 6, b) součet O? 359 13. Ktera jest vztažita podobnost, že dvčma kostkama vrhnu a) spiše 7 nežli 10, b) spiše 7 nežli 5? 14. V obvčejne loterii vytahne se 5 čisel z 90ti; ktera jest po¬ dobnost, že vyhrajeme a) nominato, b) vubec extrato, c) ambo, d) terno? Podobnost složita. (§§. 281.—285.) 15. Ktera jest podobnost, že dvčma kostkama vrhneme po prvč paš, po druhč 8? 16. Ktera jest podobnost, že tremi kostkami vrhneme po prve 5, po druhč 4? 17. Ktera jest podobnost, že jedinou kostkou vrhneme a) po prve 1, po druhe 2; b) v 6ti vrzich po prve 1, po druhč 2, ... po šestč 6? 18. Ktera jest podobnost, že dvčma kostkama 3krate po sobč vrhneme paš? 19. Ktera jest podobnost, že jedinou kostkou 3krate po sobe nevrhneme 1? 20. Kterd jest podobnost, že z 52 karet 3krate po sobč vy- tahneme eso? 21. Dvč osoby maji po 32 kartach a obč tahnou současnč po jedne kartč; ktera jest podobnost, že A vytahne kartu bledo- červenou a B černou figuru? 22. Ktera jest podobnost, že z 32 karet po prvč a po druhč vytahneme krale a damu teže barvy v kteremkoli pofadku? 23. Ktera jest podobnost, že z 52 karet vytahneme po prve M coeur,“ po druhe „careau“, po tfeti „pique“ a po čtvrtč „treffie ?“ 24. Kterd jest podobnost, že ze 3 bil^ch, 4 červemfch, 5 žlu- tych a 6 modrych kuliček, ktere jsou v jakesi nadobč, vv- tahneme bilou, červenou aneb žlutou kuličku? 25. V nadobč A jest 6 červenych kuliček a 4 bilč, v nadobč B jest 8 červenych a 6 bilych kuliček; tahneme-li současnč z obou nadob, ktera jest podobnost, že vytahneme z každč bilou kuličku ? 26. V nadobč jest 90 čisel; ktera jest podobnost, že po prve vytahneme z nich čislo 1, po druhč pak čislo 90, a) vloži- 360 me-li čislo po prvč vytaženč zase do nadoby, b) neučini- me-li tak? 27. V nadobč jest 12 bilych a 9 černych kuliček; tahneme-li 8krdte po sobč po jedne kuličce, ktera jest podobnost, že nejprve 5krate po sobš vytalmeme kuličku bilou, na to 3krate po sobč kuličku černou, a) vložime-li kuličku po každem tahu zase do nadoby, b) neučinime-li tak? 28. Po draze z A do B jezdi denne 4 vlaky o 8 vozech, z nichžto každy ma 3 oddčleni. Nčkdo vyjede jisteho dne ze stanice A, včda, že jeho pritel tutčž cestu kona 2krate v temdni. Ktera jest podobnost, že se s nim shleda v tčmž voze a v temž oddčleni? Mathematicka, nadčje. (§§. 286. a 287.) 29. Nekdo miiže vyhrati 2 zl., vrhne-li 5 dvžma kostkama; ktera jest jeho mathematicka nadšje? 30. Ve hre v kostky muze nčkdo vykrati 1 zl., vrhne-li paš dvčma kostkama; mnoholi musi saditi? 31. Hrači A a B se smluvi, že obdrži celou sazku, kdo drive tfikrate vyhraje; ale když A jednou a B dvakrate vyhral, hrači se rozejdou, v kterčm pomčru sazka se tedy musi rozdčliti ? 32. Nekdo nabizi 1 zl. tomu, kdo z nadoby, v niž jest 5 bilych, 6 červenych a 7 modrf : ch kuliček, jedinym hmatnutim vy- tahne 2 bilč, 3 červenč a 4 modre kuličky, jestliže dostane pokažde 8 krejcaru, bude-li vytaženo 9 jinych kuliček; jest mu sazka prospčšna aneb na škodu? 33. V loterii, čitajici 10.000 losu, jest jedna vyhra 20.000 zl., jedna 10.000 zl., 10 v^her po 1000 zl., 40 po 100 zl. a 1000 po 5zl.; ktera jest mathematicka nadeje majitele jedi- neho losu? 34. V male loterii vyplaci se vyhra a) amba 240nasobnou sazkou, b) terna 4800nasobnou sazkou; mnoholi °/o z ' s ka lotto, ne- hledi-li se na spravni vylohy? 361 Podobnost v ohledu na vSk lidsky. (§§. 288.—292.) 35. Ktera jest podobnost, že 20tileta osoba dožije a) 30ho, b) 56ho, c) 70ho roku? 36. Ktera jest podobnost, že osoba a) 181eta, b) 351eta, c) 501eta dožije 60ho roku? 37. Kterj- jest ku pravde podobni včk a) novorozence, b) osoby 12ti-, c) 18ti-, d) 36ti-, e) 55tilete? 38. Ktery jest rozdil ku pravde podobneho a stfedniho včku osoby a) 15ti-, b) 36ti-, c) 50ti-, d) 65tilete? 39. Muži jest 50, jebo žene 40 let. Ktera jest podobnost, že za 20 rokfi bude a) muž ještč živ, b) žena ješte živa, c) že oba budou živi; že bude d) muž již mrtev, e) žena již mrtva, f) že budou oba již mrtvi; že g) muž bude dčle živ nežli žena, h) žena bude živa dčle nežli muž, že bude i) ještč na živč muž aneb žena, k) již mrtev muž aneb žena mrtva? 40. Jiste osobč jest 42 let; muoholi musi pfi 4°/ 0 složitych urokfi složiti v pojištovacim ustavu, aby po jejf smrti dčdicum jejim vyplacena byla jistina 4800 zl.? 41. Ktere pojistnč musi osoba 321eta počatkem každeho roku platiti až do sve smrti, aby pak dčdicdm jejim vyplacena byla jistina 2000 marku ? 42. Oteč plati pojištovacimu ustavu počatkem každeho roku premii 500 markfl, aby pojistil svemu novorozenci, až by tomuto bylo 18 let, jakousi jistinu; počita-li se 5% složit^cb uroku, kterd bude ta jistina? 43. Ktera jest nynčjši hodnota doživotnčho dfichodu 280 zl., jejž 361eta osoba dostava koncem každeho roku, počitame-li 4% složitych urokfi? 44. Osoba 451eta koupi si vkladem 6000 zl. dfichod, jehož chce uživati až do sve smrti, počinajic koncem nynejšiho roku; kterv jest ten dfichod pfi 4’/*% složitych uroku? 45. Vypočitejte pfi 5% urokfi nynčjši hodnotu doživotnčho du- chodu 1500 marku, naležejiciho dvčma 50ti- a 62tiletym oso- bam, ma-li se dfichod tento vyplaceti, pokud bude aspon jedna z tčch osob na živč? 46. Osobč A jest 60, osobč B 48 let; A chce osobč B koupiti doživotni dfichod 600 zl., jenž ma začiti koncem roku, kdy 362 A zemfe. Kterou jistinu musl A zaplatiti dfichodnemu ustav«, jenž počita 4'/,% urokft? 47. Osobč A jest 50, B však 35 let; A plati počatkem každeho roku rovnou sumu pojištovaclmu tistavu, aby tento po jejf smrti vyplacel osobč B koncem každeho roku duchod 500 zl. Mnoholi plati A každoročnč pfi 5°/ 0 uroku ? 48. Osoba A, jlž jest 65 let, plati ročnč 300 zl. duchodnemu ustavu, aby tento po jeho smrti vyplacel koncem každeho roku jis$ dfichod jeho nynl 121etemu synovi až do skončeneho roku 30ho. Kterčho duchodu bude syn uživati, počltajl-li se 4°/ 0 složitych urokft ? 49. Muž 401ety chce ve vdovske pokladnici, počltajlcl 4% urokft pojistiti Svč 351etč ženč ročni dfichod 30G zl. Složl-li 800 zl. pflstupneho, mnoholi musl ještč každoročnč platiti? 3. Mocniny dvoučlenu. (§§. 295.-299.) 1. (x + a) 4 . 2. (x —y) 10 . 3. (3a + 4b) 5 . 4. (5a — 3b) 6 . 5. (x* -f- 2y) 4 . 6. (3m s — 2n 3 ) 5 . 7. Ktery jest a) šesty člen vyvinutč mocniny (5x a -j- 6a 2 ) 10 , b) součinitel mocniny a 1 *, vyvineme-li (3a s — 2b 3 ) m — (2a s — 3b 2 ) 2ra ? 8 - G+VT 9 -(**+*) 4 - MS+S)’- „ , 9nf 10 f ax 2 , 4b 2 yY /-3ab* 2c 3 yV ’ v3n ■*" 4mJ ' l2by 2 * t ' A J ' Uc 3 v* 3a 2 b J ‘ ( 5 ax 2 3bx'\ 6by* 5ayJ'^ součinitele mocniny x 9 v ( 3x 2 _5aV 2 5a 3x J 15. Vyvižte (l + “) v ^du a ustanovte jejl hodnotu pri x = co. Obdržlme fadu : a pri x = oo e = 1 + o+ 1.2.3 1.2.3.4 + ... (viz §. 207.) m?, 16. (4 + V3) s . 17. (6 - 5\/2) 8 . 19. (1 + V^l) 3 - 20. (3 — i) 4 . 22. (x + i) 4 . 23. — 2) 6 . 25. (1 + V^5) 4 + C 1 — V 17 ^) 4 - 18. (a\/b — b)Va) 5 . 21. (1 + 2i) 5 . 24. (2\/a - bi) 5 . 26 • ( ■ 3 + V-2 y» )+G f 2 )’ 2 27. (a + b)~ 3 . 28. (2x — 3y)- 4 . »•G-r 33. (a 2 + x)K 34. (a* - x)4. 29. (ax* — by*)~ 2 . f2m__ I0ny~ 4 V5n 3mJ 32 35. (x 6 38. vr ■ y 3 )^- 36. Va 3 + x. 37. \/a 3 — x. 39. V50 = V49 +I = V49.\/l + A = 7. (l + 1)* = . . . 1 V 40. V63 = V64 - 1 = 8 . (l - ~)~ 42. V218. 45. V66. 43. V508. 46. V3120. 41. V7. 44. V85. 3 _ « _ -_ -_ 47. Va + bi + \/a — bi. 48. V a + bi — Va — bi. 3 __ 3 49. Kterou hodnotu ma zlomek VM ~C x . JV. — V^ pfi x =; b? Va—(x—b) — Va 1 1 1 50. • = ... 51. — f==š. 52. i- Va* — x 53. (x + a) - n. V‘-f 54. (x n Va 3 + x m ■ a n ) n. 4. Aritbmeticfed rady vjššich riidu. (§§. 300.-304.) Ustanovte rozdllove rady nasledujfcfch rad pftvodnfch: 1. 1, 3, 8, 16, 27, 41, . . . 2. 1, 19, 55, 115, 205, 331, . . . 3. 7, 1, —3, 1, 19, 57, . . . 4. 9, 37, 69, 117, 217, 429, 837, . . . 364 5. Ktereho fadu jest arithmeticka rada 1, 6, 15, 28, 45, 66,. . ktery jest j e j i obecny a ktery jest 12ty člen? Ustanovte f&d, obecny a součtovy člen každe nasledujici fadv: 6." 1, 4, 11, 22, 37, 56, . . . 12, 42, 222, 792, 1992, 4062, .... 2, 2, 3, 8, 20, 42, . . . 1, - 7, -13, -12, 1, 31, ... . Ustanovte a) osmy, b) llty, c) 15ty člen fady 1, 15, 53, 127, 249, 431, 685, . . . Ustanovte součet a) sedmi, b) Oti, c) 14ti prvnfch členil fady 1, 6, 21, 52, 105, 186, . . . 12. Ktery jest součet prvnfch lOti čisel kubickych? VypOčftejte součet 6ho, 9ho a 12ho členu fady 3, 57, 255, 693, 1467, . . . 14. Kolikaty člen fady 1, 6, 14, 25, 39, . . . jest čislo 344? Obecny člen jiste fady jest 1 -f 2n + n s ; ktera jest ta rada, a ktery jest jejf člen součtovy? Ustanovte fadu, jejfž obecny člen jest 5 — 3n — 4n* + n 3 . Ustanovte součtovy člen fady, jejiž obecny člen jest an 4 . 18. Ustanovte fadu, jejfžto součtovy člen jest 3n — 4n* + 2n 3 . 19. Jsou-li dany fady: 1, 2, 3, 4, 5, . . . a 1, 8, 27, 64, 125, . . ., nasobte členy stojfcf na tychž mfstech a ustanovte součtovy člen nove rady. Vyšetrete, zdali vflbec a pfi ktere podmfnce konverguje rada 1 30„_!_ 79 Y a_l 14S y 3I 23JTv*_L.34_6 x 5_I_ * TTT5 X ^ '5 3 X T^T27 X ^ Ž4T X T43 1 X ' • M v nfžto čltatele a jmenovatele tvori fady arithmeticke (§. 266). 7. 8 . 9. 10 . 11 . 13. 15. 16. 17. 20 . Proklddani rad. (§. 306.) 21. Vložte mezi dva a dva členy fady 1, 22, 79, 172, . . dva novč členy tak, abv vznikla rada tehož radu jako pflvodni. 22. Taktež vložte dva novč členy mezi dva a dva členy fady tfetiho fadu 1, 15, 74, 232, . . . 23. Vložte dva novč členy mezi dva a dva členy fady 1, 9, 71, 241, 573, . . . 365 / 24. Vložte 3 novč členy mezi dva a dva členy fady 1, 112,637, 1900, 4225, . . . 25. Vložte 4 nove členy mezi dva a dva členy ?ady 1, 4, 16, 37, 67, . . . 26. Obecny člen arithmetickč fady druheho radu ma podobu a n = a + bn + cn s ; dano jest a, = 5, a 3 = 25, a 5 = 69, ustanovte dosazenim a fešenim vzniklych rovnic 1) sou- einitele a, b, c, 2) fadu samu. 27. Taktčž ustanovte fadu tfetlho fadu, jejiž obecny člen ma podobu an = a + bn -f- cn a + dn 3 , je-li ddno a 2 = 15 a 5 = 156, a 6 = 259, a 8 = 585. 28. Jsou-li dany nasledujici členy arithmetickč fady druhčho radu: a s = 15, a 4 = 67, a 8 = 291, vložte mezi ne členy ostatnf. 29. Jsou-li dany nasledujici členy arithmeticke rady tfetiho radu : ■ a, =3, a 4 = 57, a 6 = 203, a, 0 = 975, ustanovte ostatni členy mezi tčmito schazejici. 30. Ustanovte součtovy člen s n = An + Bn 2 + Cn 3 + Dn 4 fady tfetiho fadu, je-li dano: s, = 1, s 3 = 159, s 5 = 1245, s 6 = 2586. Ktera jest ta fada? čisla obrazcovd {figurovcina). (§§. 307.—310.) 31. Ktery jest osmy, 10ty, 15ty člen v fade čisel trojuhelnl- kovych? 32. Kterjl jest I2ty člen v fadč čisel a) troj-, b) čtyr-, c) pčti- uhelnikov^ch ? 33. Ustanovte 6ty, 9t}', 12ty člen v fadč čisel trojbokych. 34. Ustanovte 10ty člen v fadč čisel pyramidalnych a) troj - b) čtyr-, c) petibokych. 35. Mnoholi kouli jest obsaženo v trojbokem jehlanci, jehož nej- nižši vrstva ma stranu o 9 koulich? 36. Nedplna trojboka hromada kouli se sklada z 5 uplnych vrstev a každa strana nejhofejši vrstvy z 8 kouli; mnoholi kouli jest a) v nejspodnčjši vrstvč, b) v celč hromade? 37. Mnoholi kouli obsahuje čtyrboky jehlanec, sklada-lise každa strana nejspodnčjši vrstvy z 10 kouli? 366 38. Mnoho-li kouli jest v uplne hromadč o 12 vrstvach, tvori-li vrstvy a) rovnostranne trojuhelniky, b) čtverce? 39. Neuplna, čtyrboka hromada kouli ma v nejhorejši vrstvš 16, na každč stranč nejspodnčjši vrstvy 10 kouli; mnoholi kouli jest v teto hromadč? 40. Mnoholi kouli obsahuje hromada, majici podobu stfechy, je- li v nejspodnčjši vrstvč 15 kouli po dčlce a 10 kouli po Širce ? 41. Mnoholi kouli obsahuje hromada, majici podobu strechy, je-li v nejhofejši vrstvč pofadem 6 kouli, v nejspodnčjši vrstvč však 11 kouli po dčlce? 5. Yyšši rovnice čiselne. Vypočitejte z nasledujicich rovnic podil —^-4- a vysledek X "" d f(a) dle §. 314. 1. x 3 — 5x* — 18x •+ 72 = O pfi a = 2. 2. x 3 — 9x 2 + 26x — 24 = O pfi a = 3. 3. x 4 + 3x 3 — 39x* — 47x + 210 = 0 pfia = 4aa = 5. 4. x 4 — 2x 3 -(- 5x* + 7x — 93 = O pri a = 3 a a = — 4. 5. x 4 - 13x 3 + 46x* - 52x + 168 = O pri a = 3, a = 6 a a = 7. 6. x 4 + 2x 3 — 41x 2 —42x+ 360 = O pfi a = 3, a = 4 a a = — 6. 7. x 5 -f- 5x 4 — 5x 3 — 25x* -f-4x + 20=:0pfia = — 3aa = 4, 8. x 6 — 6x 5 - 28x 4 — 158x 3 - 9x* — 536x + 420 = O pfi a = 5aa = — 5. Vykledejte racionalne koreny nasledujicich rovnic (§§. 318. a 319.): 9. x s — 6x* + 5x -f 12 = 0. 10. x 3 — 6x* + llx — 6 = 0. 11. x 3 — 3x* —10x+24 = 0. 12.x 3 — 39x - 70 = 0. 13. x 4 — 5x 3 -f- 5x 2 — 5x — 6 = 0. 14. x 4 + 4x 3 — x* —• 16x — 12 = 0. 15. x 4 -f 4x 3 — 7x s — 22x + 24 = 0. 16. x 4 — 14x 3 + 59x* — 94x -f- 48 = 0. 17. x 4 — 2x 3 — 19x 2 + 68x — 60 = 0. 18. x 5 + 2x 4 — 42x 3 — 8x* + 257x — 210 = 0. 19. x 3 — |x + i = 0. 20. x 3 —V'x* + x —-i = 0. 367 21. x 3 — fx 3 — |x — } = 0. 22. x 3 - 23. x 4 — \x 3 — \ a x 2 fx + 3 = 0. TifX* + TY* - Tffs = 0. ss v* J.* ! t _ 5 _A 1 2 A “ 24 A T2 — 24. X 4 — -fx 3 Vypočitejte neracionalni kofeny nasledujlcfch rovnic (§§. 320. až 322.): 25. x 3 — 7x + 7 = 0. 26. x 3 — 2x — 5 = 0. 27. x 3 -f 3x — 5 = 0. 28. x 3 — 7x + 1 = 0. 29. x 3 + 5x — 4 = 0. 30. x 3 - 5x — 3 = 0. 31. x 3 — 5x s + 7 = 0. 32. x 3 — 2x 3 — 6x + 8 = 0. 33. x 4 — 15x* + 20x — 3 = 0. 34. x 4 — 2x 3 + 4x — 8 = 0. 35. x 4 — 20x s -j- 28x -f-15 = 0. 36. x 4 —3x 3 —2x* + 5x-f 5 =0 O m y 1 y. -3