Narodna in univerzitetna knjižnica v Ljubljani 167536 & UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA AGRONOMIJO,GOZDARSTVO IN VETERINO Dr. MARJAN BLEJEC v STATISTIČNE METODE V GOZDARSTVU 1961 •*' "'■'V Univerza v Ljubljani Fakulfefa za agronomijo, gozdarstvo in veterino Dr.. Marjan Blejec izr« profesor Ekonomske fakul+e+e STATISTIČNE METODE V GOZDARSTVU 1961 Univerzi+e + n a založba Ljubljana J 167536 kMf *» O , t**, , v /j ; ^ 1, Gl- Za natis odobrila: Tiskovna komisija fakultete za agronomijo, gozdarstvo In vete r I no dne 30„ marca 1961 Skripta o statističnih metodah v gozdar¬ stvu so napisana po predavanjih enosemestrskega kur za o "Metodiki ra zis kov a I ne ga dela v gozdarstvu" v zimskem semestru študijskega leta 1960/61 na Gozdar skem oddelku FAGV v Ljubljani. Po vsebin? so skripta razdeljena v 11 po¬ glavij, ki vsebujejo osnovne statistične metode, ki jih mora poznat? gozdarski strokovnjak pr? svojem vsakodnevnem delu. Sorazmerno obsežneje in podrob¬ neje je obdelano vzorčenje, ker so v specifičnih po trebah v gozdarstvu sodobni način? ocenjevanja po¬ sebno pomembni. Osnova za večino primerov je gradivo raz¬ iskav, ki so ga iz prijaznosti dal? na razpolago I GL IS in posamezne katedre Gozdarskega oddelka FAGV za kar se vsem zahvaljujem. Ljubljana, september 1961 M. Blejec VSEBINA Stran o © © e o o o c o 1 MNOŽIČNI POJAVI Proučevanje množičnih pojavov S + a+is-Hčne eno+e • o © • o © S + a+ ! s+t čni zna k i o © o © o © © © © © © o © © o © Populacije O O O O O O O O © O © O O © O O © © o Par ame +r i o • o o © o © © o © © o o © © © o © © o ©O OOOOOOOO 2 GRUPIRANJE ©©oocooooc Zaokroževanj e podatkov . « o Grupiranje vrednost? znakov » <. « o o o o o o Načela grupiranja o « . o « o Grupiranje numeričnih znakov Grupiranje ne numer i čn ? h znakov © © o o o o o o o oooooooooo o OOOOOOOOOOO © © o c o 3 ELEMENTARNI PARAMETRI Število enot in vsote Statistične vrste •Frekvenčne porazdelitve Sestavljanje frekvenčnih porazdelitev Grafično prikazovanje frekvenčnih porazdelitev Kumulativne frekvenčne porazdelitve ©o 00000900 OOOOOOOOOOO O o o o o c o o o o o 4 RELATIVNA ŠTEVILA Vrste primerjav o o o o o o o o o o o o © © © o © Strukture © © © o © © © © © o © o © © © o © © © o Enostavne strukturne vrste ©©©©©»©©©o Kombinirane strukturne vrste ©o©©©©«©© » Indeksi o © © o o o © © © o © © o o o o o o o o o Indeksi s stalno osnovo o o o © © o « © © © © Verižni inde ksi Koeficienti in gostote Koeficienti Gos tote 000000000000006 o o o o o o o o o o o o oooooocooooooo ooooooooooooooooooo 1 3 4 7 9 10 10 11 12 15 17 17 20 20 24 29 33 33 34 36 37 37 39 41 41 42 -I- 5 * KVANT I L i Ranžirna vrsta« Rang Kvant fini rang Kvanti I I OOfOCOOOOOOOCO o o o o o o o o 0 0 0 0 9 0 ooooooooooo o o o o o o o o Stran 46 47 48 Izračunavanje kvantllnlh rangov In kvantllov Iz negrupfranlh podatkov «©©.©•©.©©©© 49 Izračunavanje kvantllnlh rangov In kvantllov Iz frekvenčnih porazdelitev ««««««.«««« 52 6 SREDNJE VREDNOSTI Vrste srednjih vrednosti * Mediana Lastnost? mediane sM0dUS n o n « » > o o o o o ooooooooooo o o o e o o o o o o o o o o o 00000006000000 ooooo oooooo o o oooooooo Izračunavanje modusa Iz frekvenčnih porazde¬ litev 000000060000 Lastnosti m od usa««oo« oooooooooo ♦Aritmetična sredina Lastnosti aritmetične sredine OOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOO Izračunavanje aritmetične sredine Iz ne gr up? ranih podatkov ooooooooooo o o o o o o o oooooooo Izračunavanje arltmetične sredine Iz frekvenč¬ nih p orla zde l Itev « o « « « © © o « o © « « Neposredna metoda « « « « » « Metoda s pomožnim znakom u Metoda kumulatlv o«««««««*«««« Aritmetična sredina aritmetičnih sredin • Harmonična sredina « o o « © © © © o © o © Izračunavanje sumarnlh relativnih števil Kvadratlčna sredina »o«©......®. Geometrijska sredina ©«©©.. Zveze med srednjimi vrednostmi © O O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 58 59 60 60 61 64 64 65 66 66 66 68 69 71 73 75 76 78 80 7 MERE VARIACIJE Vrste mer variacije © © © Variacij skl razmak © © © •Kvartlln? odklon © © © © Povprečen absoluten odklon 000006000000 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 83 84 85 86 -I I - Str a n Varianca in standardni odklon ...... . . . . 88 Izračun variance in standardnega odklona . .^ « J88 Izračun variance In s+andardnega odklona ?z negrupiranih poda+kov. Neposredna me+oda. . 89 Me+oda pomožnega znaka u. .......... 90 Izračun variance In s+andardnega odklona Iz frekvenčnih porazdelitev ......... 92 Me+oda pomožnega znaka u ......... 92 Me+oda kumula+iv ............. 94 Sheppardov popravek ............ 95 Zveza s + andardnega odklona z normalno porazde- li + vlj o. ...... ........... 96 Skupna varianca ............... 97 Rela+ivne mere variacije ............ 100 8 KORELACIJA Funkcijske odvisnost? .............. 103 Kore I a c i j s k e odvisnosti... .......... 104 Vzorčne in čis+e korelacijske odvisnost? . . . . 105 Prikazovanje kore I a cijsk?h odvisnosti ...... 106 Korelacijskl grafikon ...... . ... 106 Kore tacijska tabela.. 108 Značilnosti korelacljskih odvisnost? ..... o 110 Določanje regresljsklh krivulj ......... 111 Prostoročna me+oda .............. 111 Me+oda sredin ................ 111 Analitična me+oda za določanje regresljsklh krivulj.................. 116 Mera stopnje odvisnosti ............. 116 Linearna regresija in korelacija ........ 118 Izračunavanje pokazateljev za linearno regre- si j o in korelacijo . . . . . . . . . . 120 9 TEORETIČNE PORAZDELITVE Pomen proučevanja teoretičnih porazdelitev ... 124 Normalna porazdelitev .............. 125 / Opis normalne porazdelitve .......... 125 Standardizira n znak z ............ 129 10 Standard1ztra na normalna porazdelitev Prilagoditev normalne porazdelitve stvarni po¬ ra z de i ? t v 1 © © . © Verjetnostne porazdelitve Pojem tveganja o o c o 0 e c O 0 O C 0 o o o o o o o o c o o oooooooooo o o o VZORČENJE - OCENJEVANJE PARAMETROV o o o o o o o o o / 00009000000 o c o o o o c e o o o Metode delnega opazovanja Vzorčenje o © © o © « © . Osnovna populacija« Enota opazovanja Enote vzorčenja ©o«©©©©©«© Vzorec © o © © © © © Populacija vseh možnih vzorcev Teoretične vzorčne porazdelitve Enostavno slučaj n ostno vzorčenje Ocenjevanje aritmetične sredine © © © © -© Točkovna ocena« Odklon zaupanja« Intervalna c o O o O o O o o o o c o o oooooooo oooooooo oce na o Razmak zaupanja . © I Nepristranska ocena variance In povprečnega kvadra t Ičnega odklona o o o o o o o Preskus zakonitost? vzorčenja na shematični popu I a c 1 j 1 o o o o o o o o o o o o o Ocenjevanje parametrov z enostavnim slučajnost- nlm vzorčenjem na splošno . . © . « © © • « Ocenjevanje agregata Y, strukturnega deleža ?% In števila enot z dano značilnostjo H © » « Tehnika Izbora enostavnega S I učajnostnega vzorca o o o o Loterijski način Tablice s I učajnostn?h številk o o o o o o o o o e oooo.oooooo o c o o o o o Primer za'ocen jevanje z enostavnim slučajnost- nfm vzorcem © o © © © © o © © « © « © © o © Določanje velikosti vzorca pri zahtevan? na¬ tančnost* ocene © © © © © © © © © « © © © © Določanje velikost? vzorca za oceno povprečja © © o © o © © © o © © © © o © Velikost vzorca pr? predpisan? relativni natančnost» © o © o • © © © © © © © o © Določanje števjUa enot v vzorcu za ocene parametrov Y, Y, P%, H.. «©©©©.© Stra11f1 c 1ra no vzorčenje ©»©©©©©©»»©o Stran 130 133 135 136 141 141 142 143 144 145 146 147 147 149 151 152 158 159 1 63 164 165 169 176 176 178 179 180 -IV- S + ra n Osnova fn lastnosti . . . . . . . . . . . 0 . 180 Razmes + Hev enot vzorčenja po s + raturni h » « 0 182 Proporciona I na razmestitev ..o.«..« 182 Optimalna razmestitev ....o««.... 184 Optimalna razmes+f+ev glede na stroške • . 185 Primer za ocenjevanje s s + ra +1 + ?c1 ra n 1 m vzor¬ čenjem 000.00000000000000 188 Vzorčenje v skupinicah . « . . « . 0 . . . . . . 193 Vrs + e skupinic . . «. «...«« . 194 Primer vzorčenja skupinic Iregularnlh površin« 195 Vzorčenjev pasovih . « . . « , « « « . « . « 199 Primer za ocenjevanje s progam? . « . « . . . 199 - Sistematično vzorčenje . . . « . » » « . « « » « 200 Osnova o««««««**««*«««««««* 200 Sistematično vzorčenje kot vzorec skupinic . « 202 Sistematično vzorčenje na površinah . . . . . 204 Ocenjevanje parametrov s sistematičnim vzorče¬ njem 0000.00000000000000 205 Ocenjevanje variance za ocene parametrov 0.0 205 Primer za sistematično vzorčenje 0 « « « « « « 206 Vzorčenje v dveh fn več stopnjah «.««« 00 « 209 Osnova .«. ..o..««... «.«« 0 «« 209 Prednosti In pomanj k I j 1vost1 «...00000 210 Ocenjevanje agregata In varianca za oceno agre¬ gata z vzorčenjem v dveh stopnjah . « v . « . 211 Ocenjevanje po metodi razmerij .. 0 ...... 212 Osnova In ocena agregata . 0 . 00000.00 212 Varianca ocene za agregat po metodi razmerij 0 213 Primeri za uporabo metode razmerij . . . « « . 213 Primer za ocenjevanje po metodi razmerij ... 214 Vzorčenje v dveh fazah .........o... 216 Vzorčenje v dveh fazah pri metod? razmerij . . 216 Vzorčenje v dveh fazah pri strat?fIkacfj i . . 217 Primera za ocenjevanje z vzorčenjem v dveh fa¬ zah pri stratifikaciji o......... 218 Varianca ocene z vzorčenjem v dveh fazah . . « 219 Sestavljanje planov vzorčenja v praksi « . . . . 219 -V- Stran 11 VZORČENJE - PRESKUŠANJE HIPOTEZ 0 O O O 0 o 0 0 0 O 0 0 0 00000006 O O 0 O 00060000 Osnove NT če I na h ?poteza Preskušanje hipotez z malimi vzore? Preskušanje hipoteze o sredin? Preskušanje značilnost? razlik med ar?tmet?č n?m? sred? nam? Preskušanje hipotez o varianc? » Preskušanje razl?k med variancama Enostavna anal?za variance « Preskušanje hipotez z velik? vzore? Preskušanje značilnost? razlik za velike vzorce o o 0 O O 0 0 0 6 0 0 o e o o o o 0 o o o o 220~ 223 225 225 228 230 233 238 241 243 »V I - 1, MNOŽIČNI POJAVI Proučevanje množičnih pojavov 1.1 ve Ce se omejimo na prirodo, spoznamo, da je ses+avl je¬ na iz nebroj stvari, rastlin, živali, dogodkov in drugih po¬ javov* Ti so med seboj različni ali podobni, sorodni ali tuji, povezani in odvisni, vplivajo drug na drugega itd. Vsaka iz¬ med teh rastlin, živali, dogodkov ali na kratko pojavov se v prostoru in času pojavlja v velikem številu« Vse te pojave imenujemo množične pojave. V večini znanostih, v prirodoslovnih pa še posebej, v ima izolirano opazovanje posameznih primerov omejen pomen. Ze dolgo ravno v prirodoslovnih znanostih izkoriščamo dejstvo, da se šele pri opazovanju velikega števila sorodnih pojavov pokažejo zakonitosti, katere z individualnim opazovanjem ne moremo odkriti. Metode proučevanja množičnih pojavov so specifične in se je razvila posebna znanstvena disciplina proučevanja množičnih pojavov - statistika. Ta se ukvarja z opisovanjem, raziskavo in analizo množičnih pojavov. Statistika se je raz- v ?I a v znanost, ki s kvantitativnim proučevanjem množičnih pojavov s specifičnimi metodami odkriva zakonitosti množične¬ ga pojavljanja in podaja kvalitativno sliko proučevanega poja- va* Statistika ima torej svoj predmet proučevanja - množične pojave, specifične metode kvant?tatlvnega proučevanja In svo¬ je področje - odkrivanje zakonitosti množičnega pojavljanja« Gozdarstvo je tipTčno področje, kjer je večine po¬ javov, ki jih proučujemo, množičnih* Tako je množično drevo določene drevesne tfrste, ker v prostoru in času nastopa v ve¬ likem številu. Iz istega vzroka je množičen pojav določene vrsta insekta, posek drevesa, veja, list drevesa, izvrtek iz drevesa pri gozdarskih poskusih itd. Zato so statistične me¬ tode važno orodje pri proučevanju pojavov v gozdarstvu. - 1 - 1.2 Pr? statističnem proučevanju množičnih pojavov zdru¬ žujemo sorodne pojave, k? j?h nameravamo proučevati, v stati - stično množico a!? popuiac f j o « Posamezen pojav v populacij? imenujemo statistična enota ali na kratko e nota . V gozdarstvu je najoblčajnejša populacija sestoj, enote te populacije pa morejo bit? posamezna drevesa v proučevanem sestoju* Populacija je določena z opredeljujo č imi pogoji , k? predpfsoje jo, kateri pojav je enota proučevane populacije In kateri ni. Tako n. pr. so opredeljujoč! pogoj? za proučevan? sestoj: enote populacije so vse drevesa,, ki rastejo v sestojih gozdno gospodarskega območja N.N. na dan 30. junija 1960, S temi oprede!jujočImi pogoji je točno določeno, Iz katerih dre¬ ves je sestavljena populacija. Tako ne spada v populacijo dre¬ vo, k? je bilo posekano 29. junija 1960, niti drevesa, ki ra¬ stejo na negozdnih površinah gozdnega gospodarskega območja N,N. Čeprav so posamezne enote v smislu opredeljujočih pogojev med seboj sorodne, se med seboj razlikujejo v najraz¬ ličnejših značilnostih. V konkretnem proučevanju nit? ne more¬ mo nit? nimamo interesa proučevati vse značilnosti enot. Zna¬ čilnost? enot, k? so predmet konkretnega proučevanja, Imenuje- m0 st atistične znake al? na kratko znake . Tako so v n,ašem pri¬ meru znaki: vrsta drevesa, premer drevesa v pr$n? višini, vi¬ šine drevesa, velikost krošnje Itd., če proučujemo lesno maso, al! vrsta drevesa, starost, višina, jakost nap adenosti z do! oce¬ nim insektom Itd., če proučujemo okuženost gozda itd. Statistični znaki imajo v principu za vsako enoto različno vrednost znaka . Pravimo, da statistični znak! variira¬ jo. Variiranje znakov je eden izmed osnovnih lastnost! znakov. V našem primeru so drevesa različne vrste, premeri dreves so različni, enako je z višino dreves in razsežnostjo krošnje, starostjo dreves pri neenodobnem sestoju, j a kost j o na padenost? z insekti Itd. Značilnosti enot, ki ne variirajo, so torej za vse enote Iste, Te niso predmet statističnega proučevanja. Ta¬ ko statistično nit? ni možno nit? nima smisla proučevati sta¬ rost pr! enodobnem sestoju, al« vrsto gozda pr? čistem smreko¬ vem sestoju, ker sta starost In vrsta za vsa drevesa Ista. - 2 - Kot ima vsaka enota svoje značilnost?, jih ima tudi populacija«. Pravimo jim parametrj populacije«, Parametri so iz¬ vedeni oziroma odvisni od vrednost? znakov enot«. Tako je para¬ meter število dreves v gozdu, število dreves dane vrste, skupen volumen vseh dreves v sestoju, povprečen premer dreves v sesto¬ ju, odstotek okuženih dreves, mere variabilnost? premera itd. Ugotavljanje fn izračunavanje parametrov za populacije je osnov¬ ni cilj opisovanja populacij in eden izmed obširnih in važnih problemov statistike«, Statistične .enote 1 . . — .« 1.3 Po zgornjem splošnem uvodu smatramo za statistično enoto vsak pojav, k? v času ?n prostoru množično nastopa in je predmet statističnega proučevanja« Po tej opredelitvi morejo biti statistične enote v gozdarstvu najrazličnejši pojavi«, Naj¬ pogostejša enota je drevo. Enota pa more bit? tud? veja, list ali izvrtek na drevesu, posamezen gozdni škodljivec, gozdna parcela ali gozdno gospodarstvo, posamezen poskus trdnosti le¬ sa, če proučujemo lastnosti lesa, posek drevesa, odprema hloda iz gozda itd«, Formalno je važna delitev enot na: a) rea I ne enote in b) dogodke . Realne enote so n.pr. drevo, gozdni škodljivec, parcela, gospodarstvo itd«, ker v času in prostoru dalj časa obstajajo. Dogodki kot enote pa so posek drevesa, spravilo hlo¬ dov iz gozda Itd., ker se v času dogode. Dogodek se dogodi v trenutku ali v razmeroma krajšem časovnem razdobju. Kot bomo spoznal? kasneje, je ta delitev enot važna zaradi časovne o- predelftve populacij, k! je različna za populacije realnih e- not in za populacije dogodkov. Statistične enote so bodisi: ai enostavne enote ali b) a gre ga ti o Tako je enostavna enota n.pr. drevo, Če proučuje¬ mo gozd, ali list drevesa, če raziskujemo lastnost? listov. Agregat? pa so skupinice enostavnih enot. Tako so agregat? skupnost dreves rta en? parcelici, enem gospodarstvu itd. Statistični znak? 1 «4 Statistični znak? dajo enotam vsebino« Znak? so tis¬ te značilnosti enot, k? so predmet konkretnega proučevanja« Za to more neka značilnost pr? enem proučevanju b ? t ? znak opazo¬ vanja, pr? drugem pa ne« Tako Širina branike pr? določanju vo¬ lumna v nekem sestoju n? znak, medtem ko je pr? raziskavi kva¬ litete lesa Širina branike važen znak« 1 « 5 Vrste statističnih znakov « Vsebinsko delimo stati¬ stične znake v tele skupine: a) kraj evne , b) Časovne in o) stvarne « Stvarne znake pa naprej delimo v atrIbutivne in numerične« Kra j evn ? so vsi znaki, k? določajo kraj, kjer se eno¬ ta nahaja, ali kjer se je zgodil za enoto pomemben dogodek« Ta¬ ko je krajevni znak mesto, kjer raste drevo, kraj, kjer se na¬ haja parcela ali gospodarstvo, ki ga proučujemo itd« Časovni znak? so znaki, k? so v zvezi s časom, ki je kakorkoli pomemben za proučevano enoto« Tako je časovni znak čas, ko je bila vsajena sadika, čas poseka itd« Vsi drugi znak? so stvarni « Glede na to, kako izra¬ žamo vrednosti znakov, stvarne znake delimo na: atribut ? vne in numerične « Atrlbutlvni znak? so vsi oni stvarni znak?, za kate¬ re vrednosti izražamo z besedam? oziroma opisno« Tako je atri- butiven znak n«pr« okuženost z insekti, če vrednost? znaka iz¬ ražamo z: okužen, neokužen. Enako je vrsta 'drevesa atrfbuttven znak, ker posamezne vrste dreves- označujemo z besedami: bukev, javor, smreka, macesen, bor itd« Atributiven znak je tud? vrsta tal, na katerem raste drevo, redka ali gosta poraslost v okoli¬ ci drevesa itd« Za numerične znake izražamo vrednost? Številčno« Po tem, katere vrednosti na danem razmaku številčne premice more zavzeti numeričen znak, imamo: a) nezvezne znake , ki morejo zavzeti samo nekatere, običajno cele vrednost? in b) zvezne znake, k? morejo zavzeti vse vrednost? na danem razmaku« Tako - 4 - je nezvezen numeričen znak n.pr« število novih odganjkov v enem letu, število vej na drevesu, število dreves na parceli, število storžev na smreki Itd* Zvezni znaki pa so n.pr. volu¬ men drevesa; trdnost, merjeena z utlsom pri določen? sili, pre¬ mer drevesa, specifična teža lesa Itd, Vrednosti prvih so samo cela števila, ker drevo ne more Imet? 25,1 vej, parcela ne 12 In 1/4 dreves Itd, Pač pa je volumen dreves lahko teoretično vsaka vrednost v določenih mejah«, 1 »6 Posebna odlika numeričnih znakov je, da se dajo eno¬ te populacije uredit? po nedvoumnem vrstnem redu po vrednost? numeričnih znakov. To dopušča za časovne In numerične znake poglobljeno analizo. Te lastnost? krajevni In atrlbutlvnl zna¬ ki nimajo. Vendar moremo tud? vrednost? nekaterih atrlbutlvnlh znakov urediti po velikosti. Tako moremo opredelit? okuženost z vrednostmi: neokužen, malenkostno okužen, srednje okužen, precej okužen, popolnoma okužen. Enako kvaliteto lesa označu¬ jemo z: prav slaba, slaba, dobra, prav dobra In odlična. Ozad¬ je teh atrlbutlvnlh znakov je vedno nek numeričen znak, ki ga včasih nit? ne moremo določiti, včasih pa n? potrebe, da ga nu merlčno Izrazimo. Tako je pr? znaku okuženost osnova število Insektov ali odstotek vej, k? je napaden, v osnovi kvalitete morda trdnost lesa, k? se da numerično Izraziti, al? enakomer¬ nost branik, k? se da tud? na en ail drug način numerično Iz¬ raziti. Za atrlbutivne znake te vrste moremo včasih uporabit? nekatere metode analize, k? so sicer uporabne samo za numerič¬ ne znake. 1.7 Za analizo je posebno važna delitev znakov na: a) faktorlaIne In b) re zu I tat Ivne . Faktorlalnl znak? izražajo jakost faktorjev, k? vplivajo na določeno značilnost, k? je rezultat teh faktorjev. Rezultat delovanja faktorjev pa je Iz¬ ražen z rezil I ta 11 vn? m znakom. Tako so faktorlalnl znak? n.pr. kvaliteta tal, starost drevesa, povprečna letna temperatura, količina letnih padavin, relativna višina drevesa Itd., rezul- tatlven znak, ki je Izraz delovanja vseh teh faktorjev, pa je - 5 - širina branike v določenem letu, prirast l+d. Običajno več bistvenih faktorjev vpliva na velikost rezu I tatIvnega znaka. Jasno je, da je nemogoče naenkrat vzeti v proučevanje vse fak¬ torje, k? vplivajo na rezultatlven znak, bodisi ker jih je preveč ai? pa je njih delovanje tako kompleksno, da ne moremo vse upoštevati <> 1 „8 Po drugem načelu delimo znake na: a) ekstenzIvne In b) I n t e n z Ivne . Ekstenzivni znaki nakazujejo količino In mo¬ remo vrednosti ekstenzivnih znakov seštevati v smiselno koli¬ čino !n»pro volumne posameznih dreves v volumen sestoja)* In¬ tenzivni znak? pa nakazujejo kakovost. Tako je n.pr. Intenziv¬ ni znak specifična teža lesa za posamezno drevo, povprečna ši¬ rina branike Itd. Vsote vrednosti intenzivnih znakov nimajo vsebinske osnove. 1 .9 Variiranje statističnih znakov . Vsak znak Ima dolo¬ čeno število vrednosti. Najmanjše število vrednosti znaka je dva, ker značilnost, ki je za vse enote ena in ista, ni stati¬ stični znak, temveč kvečjemu opredeljujoč pogoj. Največje šte¬ vilo vseh možnih vrednosti je neomejeno. Vsi zvezni znaki Ima¬ jo teoretično neomejeno število možnih vrednosti, ker morejo zavzeti vse možne vrednosti na danem razmaku. Tako Ima volumen dreves teoretično neomejeno možnih vrednosti, Isto je z višino drevesa, s specifično težo lesa Itd. Pojav, da Ima teoretično vsaka enota drugo vrednost določenega znaka, Imenujemo varia¬ bilnost znakov. To, da Ima več enot v populaciji eno In Isto vrednost za dan znak, ni v nasprotju z def I n I c I j o var 11 ran ja. Bistvo variiranja znaka je v tem, da nimajo vse enote popula¬ cije Iste značilnosti, ne pa v tem, da bi morale vse enote Ime¬ ti med seboj različne vrednosti danega znaka. Variabilnost vrednosti znakov je ena Izmed osnovnih značilnost? množičnih pojavov. Zato se statistika ukvarja pred¬ vsem z variabilnostjo pojavov v najrazličnejših oblikah In z naj raz IIčnejšI mI metodami. Posebno podrobno moremo proučevati variabilnost numeričnih znakov. Zato je tud? največ In na£boSj pofolBO podrobnih statističnih metod, kf se bavfjo z analizo numerič¬ nih znakov« 1.10 Pojmu znaka In vrednost? znakov ustreza v matematiki pojem spremenljivke. Kot Ima posamezen znak različne vrednosti, tako tudi spremenljivke zavzema različne vrednosti. Faktorlal- nemu znaku ustreza pojem neodvisne, rezu I ta11 vnemu znaku pa po jem odvisne spremenljivke. Zaradi te ozke sorodnost? med sta¬ tističnim? znak? In spremenljivkam? v matematiki, k? se Izkaže predvsem pri proučevanju numeričnih znakov, privzamemo Iz mate matlke simbole za spremenljivke: x, y, z, u, w, v Itd. in z njimi zaznamujemo tud? statistične znake. Popu taci je t.11 Populacija je skupnost Istovrstnih pojavov, k? so opredeljen? z opredeljujočim? pogoji. Pojavi, ki so enote dane populacije, morajo zadoščat? tem opredeljujočim pogojem. Popu¬ lacije moramo opredeliti krajevno, časovno In stvarno. Tako je populacija: drevesa na gozdnih površinah v občini A na dan 30. junija 1960 opredeI je na: kra jevno (območje občine A), ča¬ sovno C30« junija 1960 ob polnoč?) In stvarno (vsa drevesa na površinah, ki jih v smislu definicije smatramo kot gozdne po¬ vršine). Sestoj, za katerega vzamemo, da je sestavljen Iz po¬ sameznih dreves, je v gozdarstvu na j pogoste jša populacija. To populacijo proučujemo v različnih oblikah« 1.12 Sestoj je sestavljen Iz končnega števila enot - dre¬ ves. Take populacije Imenujemo končne populacije. Končna popu¬ lacija je na primer tud? populacija gospodarstev, k? Imajo gozd v Sloveniji 31. decembra 1960. Ta populacija je končna , ker je na ta datum število gospodarstev, k? Imajo gozd, pre- števna množica. t - 7 - Končna populacija je tud? gozdna površina, če jo raz¬ delimo v eno+e tako, da jo z vodoravnimi In navpičnimi pasovi razdelimo v kvadrate 25 m x 25 ra, ki so eno+e populacije. Zna¬ ki feb eno+ so n.pr.: število dreves določene vrste na elemen¬ tarnih kvadratnih površinicah, sestava tal, volumen vseh dre¬ ves na osnovnih površinlcah, število okuženih dreves l+do Ce pa vzamemo, da je enota površine na gozdni povr¬ šin? vsak kvadrat 25 m x 25* ra, ne glede na način, kako kvadrat leži, In se posamezni kvadrati med seboj prekrivajo, dobimo populacijo, k? Ima neskončno štev!lo enot. Za zvezne populacije , k? so take narave kot gozdna površina, za katero niso eno+e vnaprej dane In ločene med se¬ boj, moremo glede na določitev enote sestavit? populacije s končnim ali neskončnim številom enot. Tud? posamezno drevo moremo smatrati kot zvezno po¬ pulacijo, k? je sestavljena Iz koščkov lesa n.pr. 3 cm x 5 cm x 2 cm volumna. Drevo moremo razžagati na take ploščice, ki jih je v tem primeru končno število. Znaki teh enot so n.pr« teža, trdnost, mesto, kjer je bila ploščica v deblu, število branik Itd. Iz drevesa pa dobimo neskončno populacijo koščkov lesa, če predpos+avI jamo, da moremo koščke lesa odrejene obli¬ ke In velikost! Izrezat? Iz debla na katerikoli način. 1 .13 Če preskušamo n.pr. vpliv Impregnacije lesa na trd¬ nost lesa, sestavimo v ta namen poskus, pri katerem vzamemo dva koščka lesa, k? sta po kvalitet? čim bolj enaka In en košček Impregn? ramo, drugega pa ne. Na koncu poskusa merlroo razliko v trdnost? med Impregniranim In ne Impregniranim koščkom lesa. Takih poskusov napravimo več. Če hočemo rezultate teh po¬ skusov posplošiti, smatramo Izvedene poskuse kot nekaj enot Iz neskončne,, umi š I j ene - hipotetične populacije vseh možnih enakih poskusov pod enakim! pogoji. V raziskovalnem delu pogosto sma¬ tramo skupnost poskusov pod enakim? pogoji kot del Iz umišlje ¬ nih - hipotetičnih populacij . To delamo vselej, kadar zaključ¬ ke poskusov posplošujemo. 8 - 1 .14 Delne populacije . Če drevesom v populaciji: drevesa za sestoje gozdnega gospodarskega območja N.N. konec leta 1960 dodamo nov opredeljujoč pogoj: listavec, Iz osnovne populacije Izdvojimo novo populacijo: drevesa listavcev v sestojih gozd¬ nega gospodarskega območja N.N. konec leta. Vsa drevesa v tej delni popuiacljl so enote osnovne populacije, ker zadoščajo vsem opredeljujočim pogojem Iz osnovne populacije. V tem smis¬ lu so stvarno Izvršen? poskusi, k? jih smatramo kot enote hi¬ potetične populacije vseh možnih poskusov pod enakim? pogoji/ tud? delna populacija, ker so to on? poskus? Iz hipotetične populacije, k? so bil? stvarno Izvršeni. 1 .15 Za analizo populacij je posebno pomembno razdelit? osnovno populacijo po danem znaku v več detnih populacij tako, da je vsaka enota osnovne populacije v eni, a v en? sam? delni populaciji, če razdelimo drevesa v sestoju v delne populacije po drevesnih vrstah, dobimo osnovo za proučevanje sestoja po drevesnih vrstah. Če razdelimo drevesa v populacij? po debeli¬ ni v delne populacije po debelinskih stopnjah, dobimo osnovo za uvid v sestav po debelin? dreves Itd. ParametrI 1.16 Vsak numerični podatek o populaciji je parameter po¬ pulacije. Ena Izmed osnovnih nalog statističnega proučevanja množičnih pojavov je Izračunavanje parametrov o populaciji. V nadaljevanju se bomo ukvarjal? z elementarnimi parametri , ki jih dobimo z enostavnim preštevanjem al? seštevanjem podatkov za enote populacij. Iz osnovnih podatkov pa najprej podatke analiziramo tako, da Izračunavamo različne Izvedene parametre kot so: relativna števila, srednje vrednosti, mere variacije, mere korelacije Itd. 9 2« GRUPIRANJE Zaokrožava n je podatkov 2.1 Numerične podatke, kot so n.pr. premer, višina, vo¬ lumen in starost dreves merimo samo do določene stopnje natanč¬ nosti. Te podatke zaokrožujemo do natančnosti, k? je potrebna za praktično uporabo. Tako zaokrožujemo premere dreves na cen¬ timetre, višino dreves na decimetre ali metre, starost na leta Itd. Podatke zaokrožujemo na dva načina. Premer dreves zaokrožujemo ne centimetre na na j bližjo celo vrednost v cm, ali pa na na j višjo celo vrednost v cm. Po prvem načinu zaokro¬ žimo n.pr. premer 32,7 cm na 33 cm, ker je to najbllžj« cela vrednost In se od prave vrednosti razlikuje le za 0,3 era. Po drugem načinu pa zaokrožimo premer na 32 cm, ker je 32 cm naj- višja vrednost v zaokroženih enotah (cml, ki n! večja kot ob¬ ravnavan premer« Prednost pri prvem načinu zaokroževanja je, da je v splošnem razlika med pravo in zaokroženo vrednostjo vedno manjša kok polovica enote mere, na katero zaokrožujemo. Izkaže pa se, da je pr? nadaljnji obdelav? zaokroženih podat¬ kov bolje, če jih zaokrožujemo na najvišjo celo vrednost, če¬ prav je razlika med pravo in zaokroženo vrednostjo lahko tudi večja kot pa pr? prvem načinu. Ne zaokrožujemo pa samo numerične znake. Če navajamo čas pogozdovanja, je včasih zadosti,da povemo, v katerem Setu je bil sestoj osnovan in ni potrebe, da povemo točno do dneva, kdaj je bilo zasajeno posamezno drevo« Tudi krajevne podatke zaokrožujemo. Tako običajno ne navajamo točnega kraja, kjer je bi So drevo posejano, temveč zadošča, če navedemo, v katerem sestoju ali odseku je rast I o posekano drevo. Grupiranje vrednosti znakov 2.2 Zaokroževanje, ki g« poznamo iz vsakdanjega življe¬ nja, se ujem© z grupiranjem vrednosti znakov, k! ga uporablja- mo v statistiki. Za znake z velikim s lev ?iom vrednosti običaj¬ no n? potrebno oziroma je nepregledno, da navajamo podatke za vse vrednost?. V takih, primerih sorodne vrednosti znakov gru¬ piramo v grupe. Pri krajevnih, časovnih In zveznih numeričnih znakih, k? Imajo neomejeno Število vseh močnih vrednosti, pa je grupiranja nujno potrebno, ker je Število vseh možnih osnov¬ nih vrednost? neomejeno. Z grupiranjem Izgubimo na natančnosti, pridobimo pa na preglednosti, k! je v večini primerov statističnega prouče¬ vanja bistvena. Razen tega pa se zakonitost! In tipičnosti pri množičnih pojavih pokažejo Sele, če pojav nastopa v velikem številu. To pa dosežemo s tem, da podatke ne navajamo Indivi¬ dualno, temveč po grupah. Načela grupiranja 2.3 Kako Izvedemo grupiranje, je odvisno od vrste znaka, ki ga grupiramo, od vsebinskih razlogov In cilja statistične¬ ga proučevanja« Po pravilu n? enotnih načel In navodil za se¬ stavljanje grup. Za vse znake pa veljajo neka sploSna načela. Za vse, vrste znakov mora biti grupiranje eno! fčrto . To pomeni, da mora biti grupiranje izvedeno tako, da vsaka os¬ novna vrednost spada v eno In eno samo grupo. V tej zvezi j® poseben problem mejnih vrednosti. Tako je pri časovnem grupi¬ ranju treba paziti In določiti, v katero grupo spada na primer pr? grupiranju v dneve moment ob koncu enega In začetku druge¬ ga dne# Pri geografskih grupah je podoben problem pri odločit¬ vi, kam spadajo meje med posameznim? grupami. Sporno more biti, kam spada drevo, ki raste točno na me j! med dvema geografskima grupama. Vse Individualne vrednosti v eni grupi pri grupira¬ nem znaku so Izenačene In dobe neko novo gruprvo vrednost .Tako pr? zaokroževanju Štejemo, da imajo vs? premer? v grup? od 32,5 cm do 33,5 cm skupno grupno vrednost 33 cm in se ne ozi¬ ramo na podrobnejSe vrednosti. Pri časovnih grupah vse trenutke enega dne združuje¬ mo v dneve In je za vse trenutke enega dneva grupna vrednost - 11 - datum itd. Enako je ime občlpe grupna vrednost za vse kraje občine, če grupiramo kraje v grupe po občinah. Grupe vsakega znaka moremo naprej grupirati v grupe višjega reda , enako kot grupiramo individualne vrednosti. Gru¬ pe premerov po en centimeter združujemo v debelinske stopnje, k? so sestavljene iz petih grup po en centimeter. Tako dobimo drugo debelinsko stopnjo, če združimo premere 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm v novo grupo - drugo debelinsko stopnjo. Enako ča¬ sovne grupe - dneve združujemo v grupe višnje stopnje - tedne, mesece, lete; geografske grupe - občine v okraje Itd, Grupe imajo torej iste lastnosti kot vrednosti zna¬ kov. Imajo svoje ime, ki jih označuje, in jih moremo grupirat? kot osnovne vrednosti znaka. Posamezne znake moremo grupirat? po različnih nače¬ lih. Za vsak znak moremo sestaviti različne grupe, ker je za vsak znak več načel, po katerih izvedemo grupiranje. Omenili smo že, da je načelo grupiranja sorodnost med vrednostmi, ki so v eni grupi. Načelo sorodnost? pa je lahko različno. Tako zemljišča grupiramo po lastniškem ali vsebinskem načelu. Po prvem združujemo v grupe vsa zemljišča, k? so last istega last¬ nika, po drugem pa zemljišča, k? so si vsebinsko podobna, zasa¬ jena z isto vrsto drevja itd. Enako imamo upravno teritorialno grupacijo, če je načelo geografske ga grupiranja pri pa dnost v isto upravno teri¬ torialno grupo, ali rajone, če je načelo geografskega grupira¬ nja vsebinsko. Grupiranje numeričnih znakov 2.4 Pri numeričnih znakih je merilo sorodnosti dveh vred¬ nosti absolutna razlika med njima. Grupam za numerične znake pravimo ra zredi . Vsak razred je od drugega razred« razmejen z mejo razreda tako, da nobena vrednost v razredu, k* je pod me¬ jo, ni večja, nobena vrednost v razredu, ki je nad njo, pa ni manjša kot meja razreda. S4mo mejo štejemo bodisi v spodnji ali v zgornji razred. Take je 25 cm meja med peto in šesto de¬ belinsko stopnjo, ker vključuje peta debelinska stopnja premere - 12 - med 20 cm do 25 cm, šesta pa premere od 25 on do-30 cm., S predpi¬ som določimo al! spada meja (25 cm) v spodnji ali zgornji raz¬ red, To v grupaciji tud? naznačimo. Če vključimo meje razredov v spodnje razrede, debelinske stopnje označimo z; 5 cm 1• deb. stop. 2. deb. stop. "3. deb. stop. 4. deb. stop. itd. Da so pa meje razredov vključene pa je razvidno iz naslednje grupacije: do nad 5 cm do 10 cm nad 10 cm do 15 cm nad 15 cm do 20 cm zgornje razrede, 1 . deb. stop. 2. deb. stop* 3. deb. stop. 4. deb. stop. Ker iz grupacije: 1. deb. stop« 2. deb. stop. 3. deb. stop. 4. deb. stop. itd. do pod 5 c rr. 5 cm do pod 10 cm 10 cm do pod 15 cm 15 cm do pod 20 cm itd. - 5 cm 5 cm - 10 cm 10 cm - 15 cm 15 cm - 20 cm ni razvidno, v katere razrede spadajo meje razredov, ta grupa c?ja ni enolična tn je zato pomanj k I jiva. Če zaokrožujemo premere na najvišje cele vrednosti, moremo grupacijo v debelinske 1. deb. stop. 2. deb. stop« 3. deb, stop. 4. deb. stop* itd. stopnje pisati tudi takole: 0 cm - 4 cm 5 cm - 9 cm 10 cm - 14 cm 15 cm - 19 cm Da grupacija ni enolična In da ne spada vsaka izmed vrednosti v en l n en sam razred, izgieda le navidezno. Premer 14,7 cm spada v 3. deb. stopnjo, ker zaokrožen premer 14 cnr» vključuje vse premere do pod 15 cm* Ne prvi pogled pa izgieda, da se spodnja in zgornja meja dveh zaporednln razredov ne pre¬ krivata. Iz navedenega primera vidimo, da zaokroževanje na (najbližjo celo vrednost ni primerno. Pri tem načinu zaokrože¬ vanja so namreč meje med posameznimi razredi 4,5 cm, 9,5 cm, - 13 - 14,5 cm, 19,5 cm in zaio ?z njih ne moremo sestaviti pravih debelinskih stopenj, za katere so meje razredov 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm itd. Vsak razred ima širino razreda , k? je razlika med zgornjo in spodnjo mejo razreda, če zaznamujemo na splošno ka¬ terikoli razred z indeksom k, z x, . spodnjo, z x, zgor- njo mejo razreda, z i^ pa širino razreda, je po zgornji defi¬ niciji — Ki * (2*11 k *v, ma x k, m in Kot smo omenili, ima vsaka grupa neko gruprto vred¬ nost, ki reprezentlra vse vrednosti razreda. Ta grupna vred¬ nost je pr? numeričnih znakih sredina razreda , k? jo zaznamu¬ jemo z x^ f izračunamo pa po obrazcu ♦ X. = X , kž.?.i* 12.23 k 2 Pri analizah vzamemo v vsakem primeru približek, da so vse vrednosti v razredu enake grupnl vrednost? - sredini razreda, ker se nobena vrednost v razredu ne razlikuje od nje za več kot za polovico širine razreda. 2.5 Nezvezne numerične znake grupiramo po istih načelih kot zvezne. Vendar je glede na to, da so za nezvezne numerične znake vrednosti izolirane, nekaj tehničnih razlik v grupiranju. če vzamemo kot primer za nezvezni znak število dre¬ ves na površinah 10 a v določenem gozdnem sestoju, morejo bit? grupe naslednje: 0-9 dreves, 10 - 19 dreves, 20 - 39 dreves, 40 in več dreves. Nepravilna je grupacija 0 - 10, 10 - 20, 20 - 40, 40 jn več. Ta grupacija nf enolična, ker so meje vključene v po dva razreda. Tudi za nezvezne razrede moremo določiti meje razre¬ dov, širine razredov in sredine razredov po istih obrazcih kot za zvezne znake, če teoretično predpostav I jarao, da vsaka indi¬ vidualna vrednost za nezvezni znak predstavlja grupo, ki ob¬ sega razmak, ki je širok 1, individualna vrednost pa je sredi¬ na tega enotinege razmaka. Tako n.pr. vrednost 9 dreves teore- -14 flčno predstavlja vrednosti v razmaku od 8,5 do 9,5, čeprav vemo, da je število dreves nezvezen numeričen znak. Če to upo¬ števamo, so pri zgornjem primeru teoretične meje 9,5, 19,5, 29.5, 39,5 dreves. Ker je n.pr. v drugem razredu spodnja meja 9.5, zgornja meja pa 19,5, Izračunamo, da je širina razreda i 2 - 19,5 - 9,5 = 10, sredina razreda P* x _ 9,5 + 19,5 14,5. Tako Izenačimo postopek grupiranja zveznih In nezveznih znakov. Zveznim vrednostim v določenem razmaku pripišemo sre¬ dino razreda, kf je reprezentant vrednost? v razmaku, nezvez¬ nim vrednostim pa pripišemo enotln razmak, ki predstavlja raz¬ mak, na katerega se nanaša posamezna nezvezna vrednost. 2.6 Kot vidimo Iz zgornje grupacije dreves, morejo biti širine posameznih razredov glede na pojav, ki ga proučujemo In \ glede na cilj proučevan ja, raz I Sčne. Zadnji razred 40 in več dreves pa ima celo samo špodnJ o.mejoi Za take razrede, ki ima¬ jo samd spodnjo ali samd zgornjo mejo, ne moremo določiti niti sredine niti širine razreda. Imenujemo jih odprte razrede ,tvo- rimo jih pa takrat, kadar pričakujemo, da je le nekaj enot, za katere je podatek nad ali pod določeno vrednostjo, ti podatki pa zelo variirajo. Za formalno statistično analizo je na j pr imernej e, če so širine vseh razredov enake, vsI razredi pa zaprti. Iz vsebin¬ skih raziogov pa to ni vedno najboljše. 2.7 Grupiranje numeričnih znakov . Časovne znake grupira¬ mo v naravne časovne razmake, ure, dneve, tedne, mesece, leta, pet ali desetletja, čeprav je dolžina posameznih Izmed njih različna (n.pr. pr? mesecih). Vedno pa ne, združujemo zapored¬ ne časovne razmake v večje grupe. Tako n.pr. prt sezonskem pro¬ učevanju pojavov združujemo v eno grupo Iste mesece za več let. Tako dobTmo grCipo vseh januarjev, vseh februarjev, vseh marcev itd* za več zaporednih let In proučujemo, kakšne so sezonske razlike n.pr, v sečnji. Če pa hočemo proučevati časovni razvoj sečnje v daljšem razdobju, pa združimo vse mesece posameznih - 15 - I e + v letna razdobja. Grupiranje je torej ozko povezano s ci¬ ljem analize. Kot smo že omenili, se pri krajevnih grupacijah na¬ vadno oslonimo na teritorialne razdelitve, ki so izvedene v druge - običajno administrativne namene. Najmanjše teritorial¬ ne grupe, k? pridejo v poštev v gozdarstvu, so parcele, sesto¬ ji oziroma odsek?. Te združujemo po različnih načelih dalje v višje gr upe: oddelke, gospodarske razrede, gospodarske enote ?td. Razen zgornjega grupiranja pa poznamo tud? vsebinsko kra¬ jevno grupiranje v rajone. V rajone združujemo vse kraje z istimi značilnostmi pojava. Ker je rajonizacija težaven posel, dostikrat združujemo v rajone manjše administrativne enote po pr e težnost?. Problematika grupiranja atributivnlh znakov je spe¬ cifična. Načelo sorodnosti je dano s kako lastnostjo, k? jo posamezna vrednost atributivnega znaka izraža. Tako moremo po¬ samezne vrste dreves grupirati v listavce ali drevesa z mehkim in trdim lesom In podobno. - 16 - 3. ELEMENTARNI PARAMETRI Število eno* ?n vsote . Najenostavnejši parametri o statistični populaciji so absolutni podatki,, katere dobimo s preštevanjem enot v populacij? in s seštevanjem vrednosti za numerične znake. Osnovni parameter je število enot v popu¬ laciji, kf ga dobimo, če preštejemo, koliko enot sestavlja po¬ pulacijo. Tako dobimo število dreves v sestoju, če je populaci¬ je, ki jo proučujemo, sestavljena iz dreves v sestoju. Števi¬ lo enot v populaciji dogovorno zaznamujemo vedno z N (numerush Preprost parameter o populaciji, ki ga dobimo s sešte¬ vanjem vrednost? znaka, je n.pr. lesna zaloga v sestoju. Tega dobimo, če volumen posameznih dreves (vrednosti znaka "volumen drevesa") seštejemo. Podobno dobimo tud? skupno temeljnlco, če seštejemo temetjnice posameznih dreves v sestoju. Vsote podat¬ kov v populaciji zaznamujemo z velikimi črkam? X, Y, Z, U, V, analogno kot zaznamujemo z x, y, z, u, v znake. Glede na to velja zveza N M oznaka za seštevanje od 1 do N; yj (3.1 ) = individualna vrednost 3.2 • Statistične vrste . Vendar ti parametri, čeprav so pomembni, povedo razmeroma malo o populaciji. Če pa preštevamo enote in seštevamo podatke po grupah določenega znaka, dobimo zelo dober uvid v sestav in osnovo za analizo populacije. Za populacijo ~ "posekana drevesa v letu 1958 v FLRJ”, je skupna posekane bruto lesna masa 13.296 tisoč m', Ta podatek sam zase je pomemben, vendar či razmeroma male Informacij o po¬ sekan? lesni mesi. Če pa seštejemo posekano lesno maso po dre¬ vesnih vrstah, dobimo uvid v sestav posekanega lesa po vrstah. Tako dobimo niz podatkov-parametrov, k? kompleksno prikazujejo sestav posekane lesne mase po vrstah lesa. Tabel® 3.1 Posekana bruto lesna masa po vršil lesa v I e+u 1958 v FLRJ v tisoč m 3 (Vir SG 1959) Tak niz istovrstnih podatkov, od katerih se vsak nanaša na eno izmed vrednosti ali na grupo vrednosti določe¬ nega znaka, imenujemo stati stično vrsto . Ker je v našem pri¬ meru posekana lesna masa razdeljena po atrtbutivnem znaku - vrsta dreves, imenujemo to s tat?stično vrsto - atributivno statistično vrsto. 3.3 Časovne vrste . Analogno je časovna vrsta niz istovrstnih podatkov, od katerih se vsak nanaša na določen za¬ poreden časovni trenutek ali razmak. Primer za časovno vrsto je izvoz gozdnih sortiraentov na glavna skladišča po letih v FLRJ. Tabela 3.2 Izvoz gozdnih sortimentov na glavna skladTšča v FLRJ v razdobju 1946-1958 v tisoč m 3 (Vir: SG 1959) - 18 - Iz navedene časovne vrste moremo slediti časovni razvoj izvoza posekane lesne mase v razdobju 1946-1958. Iz nje opazimo izreden porast poseka v razdobju od leta 1946 do le+a 1949, ko je posek največji (12326 tisoč m^) in ustaljen posek v naslednjem razdobju 1950-1959, kar je rezultat plani¬ ranega poseka. Nazorneje kot iz tabele moremo slediti časoven razvoj poseka iz grafičnega prikaza v sliki 3.1. Slika 3.1 Izvoz gozdnih sortimentov na glavna skla¬ dišča v FLRJ v razdobju 1946-1958. (Vir: SG 1959) Z linijskim grafikonom je prikazana časovna vrsta v pravokotnem koordinatnem sistemu tako, da je abscisna os ča¬ sovna os, na ordinatno os pa nanašamo podatek. V našem prime¬ ru je to obseg izvoza. Velikost podatka merimo s skalo, k? da- je odnos med enoto mere (m ) in geometrijsko velikostjo - dol¬ žino. Sistem pomožnih črt, ki o I a jšuj e j o č11a nj e grafikona, imenujemo mrežo grafikona. Velikost podatka je prikazana z od¬ daljenostjo ustrezne točke od abscisne osi. Kako odberemo na ordšnatni - količinski skali, kolik je uvoz, pa je nakazano za leto 1948 v sliki. Ker se posek nanaša na celo leto, po pravi¬ lu točke nanašamo nad sredine razmakov, ki pomenijo na abscisi leta. V primeru, da v grafikonu prikazujemo časovno vrsto po- daikov, k? se nanašajo na določene časovne momente, pa rišemo točke točno nad mesto, k? na časovni skali ustreza danemu mo¬ ment u« Tak primer bi imeli, če bf grafično prikazovali časovno vrsto lesne mase stoječega Sesa. Ti podatki so momentnega znača¬ ja, ker moremo dati stanje lesne zaloge za stoječi sestoj le za določen datum, oziroma trenutek« 3.4 • • Kombiniran? podatki . Včasih dobimo osnovo za a - nalizo, če preštevamo ali seštevamo podatke po kombinaciji dveh ali več znakov hkrati« Tako dobimo kombinirano tabelo« Primer kombinirane tabele je pregled gozdnega fonda po družbenih sek¬ torjih in kvaliteti gozda v tabel! 3.3. Tabela 3.3 Lesna masa gozdnega fonda v FLRJ v letu 1958 po družbenih sektorjih in kvaliteti gozda (v milijon m^) (Vir: SG 1959) Frekvenčne porazdelitve 3.5 * Za statistično analizo množičnih pojavov so po¬ sebno pomembne statistične vrste, ki za numeričen znak pokaže¬ jo, koliko enot ima vrednosti v posameznih razredih. Take sta¬ tistične vrste imenujemo frekvenčne porazdelitve , ker pokažejo pogostnost pojavI janj a vrednost I. Število enot v posameznem razredu imenujemo frekvenca. Dogovorno zaznamujemo v frekvenč¬ ni porazdelitvi frekvence z f, oziroma z f^, kadar hočemo z in¬ deksom k naznačfti, da se frekvenca nanaša na konkretne razrede v frekvenčni porazde!Itvi. V frekvenčnih porazdelitvah nimamo pregleda o točnih vrednostih znaka v populaciji, ker pokaže sa¬ mo koliko enot Ima vrednost v posameznih razredih. Pač pa da, če je pravilno sestavljena, kompleksen in nazoren pregled o va¬ riiranju vrednosti v populaciji. 3.6 * Sestavljanje frekvenčnih porazdelitev . Iz neure¬ jene vrste individualnih podatkov za posamezne enote tehnično - 20 - sestavimo frekvenčno porazdeIt+ev po več metodah. Za manjše In enostavnejše populacije je prikladna metoda črtic. Po fej me+odl ses+avlmo najprej obdelovalno ta¬ belo, v ka+erl so za razrede predvidena večja polja* Ko po vrs+t pregledujemo posamezne vrednosti, za vsak podatek napra¬ vimo v ustreznem razredu črtico. To ponavljamo, dokler ne Iz¬ črpamo celotne populacije. Na koncu v posameznem razredu pre¬ štejemo črtice. Število črtic v vsakem razredu je enako števi¬ lu enot, ki Imajo vrednosti v danem razredu. V praksi uporab¬ ljamo več načinov črtanja. Črtice moremo enostavno nizati dru¬ go poleg druge (////////////J. Štetje črtic pa sl olajšamo, če sestavljamo grupe po pet črtic tako, da s peto črtico, v vsaki grupi po pet, štiri črtice prečrtamo ( / ■/ / /) . Upor a b I j amo pa tudi sistem, pri katerem sestavljamo grupe po deset enot. To dosežemo s štirimi točkami za prve štiri enote. Za nadaljnje štiri enote k tem točkam narišemo stranice kvadrata, diagonal? o——o pa dopolnita deveto in deseto enoto |X| • 3.7 Za populacijo premerov za N=53 dreves 27-letne marl- landske topole so Individualni podatki naslednji: 49 51 54 54 61 60 64 68 74 57 54 62 37 51 49 45 51 58 43 56 43 61 45 68 33 51 48 41 53 58 72 54 49 48 55 55 36 64 49 44 41 69 52 58 47 50 54 49 52 57 65 55 47. V sliki 3.2 je po vseh treh načinih naznačeno, kako sestavimo frekvenčno porazdelitev. Za prvi podatek 14-9 cm) smo vrisali črtico v razred 45-49 cm, za drugega (51 cm) v razred 50-54 cm Itd. do zadnjega podatka (47 cm), za katerega smo vnesli črtico v razred 45-49 cm. - 21 - 53=N Slika 3.2 Sestavljanje frekvenčne porazdelitve po metod? črtic ?n točk 3.8 Za večje populacije Tn bolj zamotane obdelave pa me¬ toda črtic n? preveč prikladna. Zamotanost posla In velika mož nost napak so hibe, k? govore proti uporab? te metode za večje obdelave. V takih primerih je primerneje, da podatke napišemo na Individualne obdelovalne listke. Obdelovalne listke sortira mo po grupah fn razredih, ustrezno s planom obdelave tako, da posamezne listke polagamo na kupe, k? ustrezajo posameznim grupam. Na koncu sortiranja preštejemo listke v posameznih raz redih In dobimo zanje frekvence. Z mehaničnim? sredstvi stroj¬ ne obdelave ta posel pomembno skrajšamo fn mehaniziramo. 3.9 F rekvenčne porazdelitve za premere dreves . Najznačil nejšt primer frekvenčnih porazdelitev v gozdarstvu so frekvenč ne porazdelitve premerov dreves v prsni višini. Porazdelitve premerov za različne sestoje kažejo tipične oblike, k? so po¬ gojene s tipom sestoja. Zato preglejmo frekvenčne porazdelitve za nekaj najznačilnejših tipov sestojev. -22 V tabeli 3.4 imamo šest frekvenčnih porazdelitev premerov za različne tipe sestojev. Prva in druga frekvenčna porazdelitev se nanašata na enodobna smrekova sestoja h in B na Pokljuki. Oba sestoja sta raziskovalni ploskvi IGLiS -a in obsegata vsak po en hektar površine. Starost prvega sestoja je 130 do 140 let, starost drugega sestoja pa 120 do 130 let. Frekvenčna porazdelitev C se nanaša na prebiralni j e I ov-bukov sestoj na Snežniku (2 ha raziskovalne ploskve I GL IS), porazdelitev D pa prikazuje porazdelitev premerov za dvoetažni gozd površine 1 ha na Otoku, oddelek 13 b na razis¬ kovalni ploskvi FAGV. V prvi etaž? je zasajen« meri(©noska to¬ pole s podrastem jelše v drug? etaži. ločeR® frekvenčna poraz¬ delitev za topolo in jelšo je podana v stolpcih 0^ ?n Dg* Tabele 3.4 Frekvenčne porazdelitve za enodobna smrekova se¬ stoja, za prebiralen je Ikovo-bukov sestoj in dvo¬ etažni sestoj topole in jelše. T Enodobna smre kova sestoja 23 - 3.10 Grafično prikazovanje frekvenčnih porazde11 te v . Osnov ne zakonitos11 In tipičnosti za posamezne vrste sestoj ev, k? jih izražajo frekvenčne porazdelitve premerov, nazorneje In lepše kot Iz tabele 3.4 proučimo Iz grafičnega prikaza posamez¬ nih frekvenčnih porazdelitev. Grafično prikazujemo frekvenčne porazdelitve na dva načina: s ) s h? stograssi? I n b) s poli goni. S histogramom prikažemo frekvenčno porazdelitev s stolpci. Za vsak razred je frekvenca ponazorjena s stolpcem, ki je visok, v sorazmerju s frekvenco. Skupnost stolpcev za vse razrede da sliko celotne frekvenčne porazdelitve. Frekvenčni poligon pa dobimo, če za vsak razred v frekvenčni porazdelitvi narišemo nad sredino razreda točko, ki je od abscisne os? oddaljen« v sorazmerju s frekvenco, te toč¬ ke pa med seboj povežemo z daljicami. Poligon nazorneje in pra¬ vilneje prikaže stvarno variiranje vrednost? znaka kot histo¬ gram. V slik? 3.3 je za čist? smrekov sestoj A Iz tabele 3.4 grafično prikazana frekvenčna porazdelitev premerov s hi¬ stogramom In s poligonom. Iz slike moremo kompleksno analizi¬ rat? variacijo premerov v sestoju. Največ premerov je v razre¬ du 30 cm do 34 cm, čim bolj pa se od tega centra oddaljujemo, je število premerov manjše In manjše. Frekvence se od mesta največje gostitve zmanjšuje j o na levo In desno razmeroma ena¬ komerno In je slika frekvenčne porazdelitve na obe stran? od središča precej simetrična. Taka porazdelitev frekvenc je ti¬ pična za enodobne sestoje na Izenačenem terenu, kjer so sploš¬ ni pogoj? rast? več ali manj enak? za celo ploskev. Frekvenčne porazdeIItve, ki Imajo tako obliko kot jo Imamo v primeru sestoja A v slik? 3.3, Imenujemo zaradi tipič¬ ne oblike sImetrIčne In zvonaste , ker pa Imajo eno samo mesto gostitve, pa e novršne alf unI mod a i ne . Frekvenčna porazdelitev za čisti enodobni smrekov sestoj B ns Pokljuki v slik? 3.4 kaže še vedno tipično zvona¬ sto obliko, vendar je lahno asimetrična v desno stran, kar na - - 24 - - 'r. .1--1--1--1- T ■■ ■ 1 ---r-®'^ I- 1 -- 1 --1--1- f °~+- 10 X 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 em a) histogram cm b) poligon SI t ka 3.3 Grafikon za frekvenčno porazdelitev enodobnega čistega smrekovega sesto¬ ja A iz tabele 3.4 kazuje, da pogoji rasti v tem sestoju niso povsem enakomerni, da je n.pr. lega posameznih delov parcele različna. i Slika 3.4 Frekvenčni poligon za premere dreves v čistem enodobnem smrekovem sestoju B na Pokljuki Slika 3.5 kaze tipično porazdelitev premerov za pre biralen gozd. Porazdelitev je zelo asimetrična v desno, ker močno prevladujejo drevesa z majhnim premerom, ker se močnej¬ ša drevesa postopoma izsekavajo. Porazdelitev za prebiralni gozd ima tipično obliko črke J, zato take porazdelitve imenu¬ jemo kar J-pora zde Iitve . Slika 3.6 ponazarja porazdelitev premerov za dvoe¬ tažni sestoj Otok. Kot je nakazano, je sestavljena iz dveh po razdelitev: porazdelitve za nasad marilandske topole (D-j ) in podrasta jelše (Dg). Porazdelitvi za posamezni etaži kažeta - 25 - cm Slika 3„5 Frekvenčni poligon za premere dreves v bukovo-j e Iovem sestoju na Snežniku 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5 0 55 60 65 70 75 00 65 90 cm Slika 3 0 6 Frekvenčni pollgpn? za dvoetažni sestoj Otok tipično zvončasto obliko,, skupna porazdelitev, ki je vsota frekvenc za obje etaži, pa odstopa od te lastnosti in nakazuje dva vrha (blmodalna porazdelitev), ker je sestavljena iz dveh unlmodalnlh porazdelitev,, - 26 - 3.11 Pručke frekvenčne porazdelitve . Zaradi pomembnosti frekvenčnih porazdelt+ev navedimo še dva primera. Frekvenčne porazdelitev v tabeli 3.5 podaja porazdelitev specifične teže lesa za N=3376 preskusov na zeleni duglaziji* Tabela 3.5 Frekvenčna porazdelitev specifične teže lesa za zeleno duglazijo (Po podatkih IGLIS-a) 3376 = N Frekvenčna porazdelitev lepo pokaže variabilnost specifične teže lesa za zeleno duglazijo. Slika 3.7 nazorno pokaže, da je porazdelitev specifičnih tež za zeleno duglazi¬ jo simetrična, zvonasta porazdelitev, da je torej močno pribli¬ žana tipični porazdelitvi za primer, če na pojav razen opre¬ deljujočih pogojev vplivajo le slučajni vplivi. Take porazde¬ litve imenujemo normalne porazdelitve. - 27 - 320 40 60 9040020 40 60 60 50020 40 60 6060020 40 kg/m3 ' S! ika 3.7 Porazde I i fev specifičnih tež N=3376 preskusov za les za zeleno duglazijo 3.12 ! Kof zadnji primer navedimo Se porazdeli+ev N=1256 kme+ijskih gospodars+ev v bivšem okraju Novo mesto po gozdni površini, po stanju leta 1956. Tabela 3.6 Kmetijska gospodarstva v okraju Novo mesto po gozdni površ? n? 1256 = N Ta frekvenčna porazdelitev kaže, da je največ gospo¬ darstev, k? imajo malo gozda. Število gospodarstev z večjo po¬ vršino je vedno manjše. Vendar ta zakonitost iz zgornje frek¬ venčne porazdelitve ni povsem vidna, ker so širine razredov različne, frekvence v posameznih razredih pa so razen od dru¬ gih vplivov odvisne tud? od širine razredov. Podrobnejši uvid - 28 - v porazdelitev frekvenc, če so razred? neenaki, bomo dobili v naslednjem odstavku, ko bomo spoznali relativna števila. 3.13 Problem širine razredov . Poseben problem pr! sestav¬ ljanju frekvenčnih porazdelitev je širina razredov. Pr? tem se namreč kosata dva momenta. Če je širina razreda premajhna, so frekvence v posameznih razredih močno pod vplivom slučajnih faktorjev. Zato ne pride dovolj do Izraza množičnost pojavlja¬ nja. Če pa so razred? preširoki, je slika pregroba In zabriše osnovne težnje gostitve pojava® V sliki 3.8 so vrisane frf frekvenčne porazdelitve premerov za Isto populacijo premerov dreves v čistem smrekovem sestoju B na Pokljuki. V prvi frekvenčni porazdelitvi so širi¬ ne razredov 1 cm, v drug? 5 cm, v tretji pa 10 cm. Iz slike na¬ zorno vidimo, da je širina razreda 1 cm v prvi porazdelitvi premajhna. Zaradi slučajnih vzrokov frekvence po razredih pre¬ več nihajo, širina 10 cm v tretji porazdelitvi pa je prevelika In ne pride do Izraza zakonitost gostitve. Najboljša oziroma pravilna je druga frekvenčna porazdelitev, za katero so razre¬ di 5 cm. Razredi so tako široki, da se Izravnajo rezultat? In¬ dividualnih vplivov, niso pa preširoki, tako da pride dobro do izraza zakonitost gostitve premerov. Določnega pravila o ve ItkosfT razredov v posameznih prlmrrih ni. Število razredov je lahko večje, če je populacija obsežnejša, In mora bit? manjše, če je populacija manj obsežna. Običajno dobimo prlrererno sliko o variabilnost? pojava, če vza¬ memo glede na obseg populacije število razredov med deset In dva j sef. 3.14 Kumulativne frekvenčne porazdelitve . Iz frekvenčne porazdelitve dobimo s postopnim seštevanjem frekvenc kumulativ¬ no frekvenčno porazdelitev« V tabel! 3.7 je za primer specifič¬ ne teže lesa za zeleno duglazijo nakazano, kako iz frekvenčne porazdelitve Izračunamo kumulativno frekvenčno porazdelitev. Če z F^ zaznamujemo člene v kumulativni frekvenčni porazdelit¬ vi, Iz frekvenčne porazdelitve izračunamo člene v kumulativni vrst? po obrazcu F 'k+i = F k + f h (3.2) - 29 - cm cm Slika 3„8 Histogrami populacije premerov za čisti smrekov sestoj B na Pokljuki pr? različnih Širinah razredov 30 KumulatTvo za naslednji razred (k+1) dobimo, če ku- mulatlvf v danem razredu Fy prištejemo frekvenco f^ Iz istega razreda o Tabela 3.7 Kumulativna frekvenčna porazdell+ev za speci¬ fično težo lesa za zeleno duglazijo Teža v kg/m^ !ž fabele 3.7 je razvidno, da v prvem razredu vzame¬ mo, da je kumula+lva enaka nič, za vse druge razrede pa Izra¬ čunamo kumulativne vrednosti po obrazcu 3.2. Kontrola pri Iz¬ računavanju je zadnji člen v kumulativni vrsti, k? je že pod črto. če je kumulativna vrsta Izračunana pravilno, je ta člen enak obsegu populacije N. Posamezni členi v kumulativni frekvenčni porazdelit¬ vi povedo, koliko enot Ima vrednosti, ki so manjše kot je spodnja meja ustreznega razred«. Tako na primer osmi člen v kumulativni vrsti F g = 1942 pomeni, da je bila v 1942 presku¬ sih specifična teža manjša kot je spodnja meja ustreznega raz- 3 reda, x Q . = 460 kg/m • o,m f n —31 — Podobno kof za frekvenčne porazdelitve, da tudi za kumulativne porazdelitve grafičen prikaz kompleksno sliko, ka¬ ko so kumulafivne frekvence odvisne od vrednosti znaka. V gra¬ fikonu ponazorimo kumulativno frekvenčno porazdelitev tako, da v pravokotnem koordinatnem sistemu nanesemo nad meje razredov točke, ki so od abscisne os? oddaljene v sorazmerju z vrednost¬ jo ustreznega člena kumulatlve. Ko zvežemo te točke med seboj, dobimo iomljeno Črto, k? nazorno prikazuje kumulativno frek¬ venčno porazdelitev. Za unimodalne, simetrične In zvonaste frekvenčne porazdelitve Ima slika kumulativne frekvenčne poraz¬ delitve značilno obliko velike črke S. To značilnost opazimo tud? na našem primeru v sliki 3.9. F 300 20 40 60 80400 20 40 SO 6050020 40 60 8060020 kg/m3 Slika 3.9 Kumulativna frekvenčna porazdelitev za specifično težo lesa za zeleno duglazijo - 32 - 4. RELATIVNA ŠTEVILA 4.1 Vrsta primerjav . Že v prejšnjih odstavkih smo spoz¬ nali, da en sam podatek, kljub svoji operativni vrednosti, ni¬ ma posebnega analitičnega pomene. Zato podatke navajamo v sta¬ tističnih vrstah, v katerih jih ne obravnavamo posamezno, tem¬ več kot celoto. Tako dobimo vpogled v sestav populacije, če Imamo podatke po grupah, uvid v variabilnost, če proučujemo frekvenčno porazdelitev kot celoto, ne pa posamezno frekvenco itd. Niz podatkov proučujemo kompleksno, če podatke med seboj primerjamo. Primerjava je najenostavnejši, obenem pa tud? naj- pogostejši prijem pri analiz? statističnih podatkov. Če pri¬ merjamo Istovrstne podatke med seboj, ugotovimo: a) da je po¬ datek večji al? manjši od podatka, s katerim ga primerjamo, b) za koliko je podatek večji al? manjši od podatka, s katerim ga primerjamo in c) kolikokrat je podatek večji ali manjši od podatka, s katerim ga primerjamo. Najboljše primerjamo podatke na tretji način, pr? katerem z deljenjem primerjanih podatkov dobimo relativna števila, k? so zelo primerno sredstvo za ana¬ lizo statističnih podatkov. Relativna števila pa niso omejena samo na primerjavo Istovrstnih podatkov, ampak moremo z njimi primerjati tudi raznovrstne podatke. V splošnem poznamo tri vrste relativnih števil. 0 strukturah ali strukturnih deležih govorimo, če primerjamo po¬ datek za del populacije z Istovrstnim podatkom za celo popula¬ cijo. Indekse dobimo, če primerjamo Istovrstne podatke za raz¬ lične populacije, k? pa so med seboj sorodne. O statističnih koefI c? e nt I h In gostotah pa govorimo, če primerjamo dva razno¬ vrstna podatka za Isto populacijo. 4.2 Strukture . Od skupno N^ = 785 dreves v sestoju A je okuženih = 352 dreves, od skupno Ng = 1695 dreves v sestoju B pa Hg = 542 dreves, če hočemo primerjati okuženost v obeh se¬ stojih, nima smisla primerjati absolutnega števila okuženih dreves In Hg v obeh sestojih, ker je velikost sestojev raz¬ lična. Objektivno merilo okuženost? dobimo, če Izračunamo, kak- —33 — šen de! dreves v posameznem sestoju je okuženih. Ta podatek dobimo, še število okuženih dreves delimo s skupnim številom dreves v sestoju. Da Izrazimo ta delež v odstotkih, dobljeni kvocient pomnožimo s 100. Za pojave, za katere so deleži zelo majhni, izražamo strukturne deleže v promilih. V takih prime¬ rih pomnožimo kvocient s 1000. Strukturni delež P° pove, koli¬ ki del od celote 1 Ima dano značilnost, strukturni odstotek P% y kolik? del od celote 100, strukturni delež Izražen v pro¬ milih ?%o pa pove, koliki del od celote 1000 Ima dano značil¬ nost. Z obrazci moremo vse tri vrste struktur Izrazit? takole: P'* > p %*tOO-£L ; Py~* 1000-&- {4 " 1) N N N Pr? tem pomen?: P°, P% ?n P%o so strukturni deleži,lz- ražen? z delom od celote, v odstotkih In promilih, H = delni podatek. V našem primeru nazorno vidimo uporabnost struktur¬ nih dele že v. Za prvi sestoj je odstotek okuženih dreves H P .% — 100 — = 100 = 44,8 %, odstotek okuženih dreves N A 785 H v drugem sestoju pa je P R % - 100 —- = 100 — 4 — 32,0 a Ng 1695 Okuženost drugega sestoja je torej znatno nižja kot okuženost v prvem sestoju, kljub temu, da je število okuženih dreves v prvem sestoju manjše. 4.3 Enostavne strukturne vrste . Strukture Izračunavamo vselej, kadar primerjamo sestave več populacij, za katere so podatki za celoto različno veliki. Zato strukture s pridom uporabljamo pri proučevanju frekvenčnih porazdelitev. Zaradi različnega obsega populacij frekvence v istih razredih za raz¬ lične populacije med seboj niso neposredno primerljive. Pač pa so med seboj primerljivi strukturni delež? - relativne frekven- ce . V tabeli 4.1 sta dani frekvenčni porazdelitvi za se¬ stoja A In B na Pokljuki Iz tabele 3.4. Zanju sta Izračunani frekvenčni porazdelitvi relativnih frekvenc, ki ju moremo zelo dobro med seboj primerjati. 34 - Tabela 4.1 Relativne frekvenčne porazdelitve za čista enodobna smrekova sestoja na Pokljuki Enako Izračunamo tudi za relativne frekvence kumula¬ tivne frekvenčne porazdelitve. Iz tabele 4*1, Se nazorneje pa Iz slike 4.1, je razvidno, da je struktura dreves po premeru v obeh sestojih različna. % cm primer Slika 4.1 Kumulativni porazdelitvi relativnih frekvenc za čista smrekova sestoja A In B Iz tabele 4.1 35 - 4.4 Kombinirane s-t-rukturne vrste . Za kombinirano razde¬ ljene podatke proučujemo sestav s trem? vrstami struktur. V tabel? 3.3 je n.pr. lesna masa v gojenih gozdovih, ki so last * 3 družbenega sektorja (641 m f i j. m ), de i treh populacij: s) skup 3 ne populacije (880 milj. m J, b) skupne lesne mase v gojenih gozdovih (771 milj. in c) skupne lesne mase v družbenem sektorju C700 milj. m }. Analogno je z vsem? drugim? podatki v kombinacijski tabel?. Zato moremo sestaviti tr? tabele struk tur. Tabeia 4.2 Strukturni sestav lesnega fonda v FLRJ v letu 1958 po družbenih sektorjih fn kvaliteti gozde (Vir: tab. 3.3) V tabeli A je celota skupni fond, v tabeli B posamezni družbeni sektorji, v tabeli C pa ustrezne kvalitete gozda. Katero Izmed navedenih- treh načinov uporabimo v konkretnem primeru za analizo, je odvisno od problema in ci¬ lja analize. V zgornjem primeru je najbolj poučna tabela B, ki prikazuje kvalitetni sestav po posameznih sektorjih. Kvalitet¬ ni sestav v družbenem sektorju je znatno boljši kot v privat¬ nem sektorju. - 36 - 4.5 Strukturni sestav po kombinacij? najlepše prikažemo v kvadratu* Če hočemo ponazorit? spremembe v kvalitetnem sesta vu gozda po sektorjih, je na j nazor neje, da kvadrat razdelimo v pokončne stolpce v sorazmerju z udeležbo posameznih sektor¬ jev v celotnem fondu, dobljene stolpce pa dalje razdelimo v sorazmerju s kvalitetnim sestavom gozda iz tabele B. Po teh vodilih je izdelan grafikon v sliki 4.2. 100 90 no 70 60 50 40 30 20 10 grmičje 0 10 20 30 40 50 60 70 90 90 100 % družbeni sektor priratni Slika 4.2 Struktura lesnega fonda v FLRJ v letu 1958 po sestojih in kvaliteti"- Medtem ko je v družbenem sektorju 92 % lesne mase v gojenih gozdovih, jo je v privatnem le 72 %. Obraten redosled pa imajo odstotki v degradiranih gozdovih in odstotki lesne ma se iz grmičevja. I ndeksI 4.6 Indeksi s sta I no os nov o . Omenili smo že, da dobimo Indekse, če primerjamo istovrstne podatke za različne popula¬ cije. Indekse moremo torej izračunati za izvoz gozdnih sorti- mentov na glavna skladišča po letih v FLRJ fz tabele 3*2. Če vzamemo, da je letni izvoz na glavna skladišča samostojna po¬ pulacija, so podatki o Izvožen? letni lesni masi Istovrstni - 37 - podatki za istovrstne populacije« Indeks I^/o z osnovo a ®' ba~ zo o dobimo, če podatek, ki ga primerjamo (tekoč? podatek ), delimo s podatkom, s katerim ga primerjamo (osnovni ali bazič¬ ni podatek Y Q ), kvocient pa pomnožimo s sto. Z obrazcem moremo +o napisati 14.2) Indeks izvoza gozdnih sortimentov v letu 1958, če vzamemo za osnovo ali bazo leto 1955, dobimo po zgornjem pra¬ vilu, če izvoz v letu 1958 delimo z izvozom v letu 1955, kvo¬ cient pa pomnožimo s 100 ‘58/55 = 100 = - 100^28 55 6880 101,7 4.7 Za dano časovno vrsto običajno izračunamo celo vrsto Indeksov z isto - stalno bazo ali osnovo. Tako dobimo za naš primer Indeksno vrsto za izvoz s stalno bazo (leto 193^, če vsak člen v časovni vrsti primerjamo z izvozom v bazičnem letu ft 39 = 7159}. t Indekse izračunavamo največ na eno decimalko. Če so pa razlike med podatki znatne, pa najraje zaokrožujemo indekse na cele, ker so nazornejšl. Pri indeksnih vrstah namreč ne gre za pretirano natančne odnose, temveč le za grob vtis o dinami¬ ki pojava. V tabeli '4.3 je nanizana indeksna časovna vrsta iz¬ voza na glavna skladišča v FLRJ v razdobju 1956-1959 s stalno bazo 1939 = 100. Tabela 4.3 Indeksna časovna vrsta izvoza lesnih sortimentov na glavna skladišča v FLRJ v razdobju 1946-1958 (leto 1939 = 100 } - 38 - Indeksna vrs+a z osnovo predvojnim stanjem 1939 po¬ kaže, da smo v letih 1948-1950, posebno pa v letu 1949 H 49/39 = 172 * znatno presegli predvojni Izvoz na glavna skla¬ dišča, da pa jev razdobju 1953 do 1958 posek na grobo precej enak kot v letu 1939. Indeks ^ 49/39 = 172 za leto 1949 z osno¬ vo 1939 pomeni, da je bil Izvoz Iz gozda v ietu 1949 za 72 od¬ stotkov večji kot v predvojnem letu 1939. Vsebinski prob I em pr I • Izračunavanju Indeksov je pred vsem Izbira baze. Pri tem ni nekega krutega pravila, temveč se ravnamo pri Izbiri baze po cilju analize. V splošnem pa Izbe¬ remo za bazo člen oziroma čas, za katerega smatramo, da je sta nje pojava tipično ali normalno. Lažje, kot kaj je tipično ozl roma normalno, je povedati, kaj ni normalno. Zato v splošnem ne jemljemo pri primerjavah za daljša razdobja kot osnovo leta tik pred, med ali tik po vojni, leta oziroma čas Izjemnih ukre pov (n.pr. v naši vrst! leto 1949), leta slabih letin Itd. Do¬ stikrat vzamemo kot bazo večletna povprečja, ker smatramo, da se v povprečju netlplčnostl Izravnajo. Tako b? v našem primeru mogli vzeti za ba 20 povprečen letni Izvoz v petletnem razdobju 1954-1958. 4.8 Verižni Indeksi . Razen Indeksov s stalno osnovo poz¬ namo tudi Indekse s premično osnovo. Najobičajnejši Indeksi s premično osnovo so verižni Indeksi. Te dobimo, če z Indeksi primerjamo po dva In dva zaporedna člena. Baza pri verižnih Indeksih je vedno predhodni člen. Tako dobimo verižni Indeks za leto 1947, če podatek za leto 1947 primerjamo s podatkom za leto 1946, za leto 1948, če podatek za leto 1948 primerjamo s podatkom za leto 1947 Itd. Verižni Indeks I k za splošen člen k Izračunamo po obrazcu Vrsta verižnih Indeksov pokaže spremembe pojava od člena do člena. Če se pojav ne spreminja, je vrsta verižnih Indeksov enaka sto, verižni Indeksi pa so med seboj enaki, vendar različni od 100 , če se pojav spreminja v eksponencI a I- ni funkciji. 39 - Za naš primer je vrsta verižnih Indeksov podan« v tabeli 4.4. Tabela 4.4 Izvoz lesnih sortfmentov na glavna skladišča v FLRJ v razdobju 1946 - 1958 Za leto 1946 verižnega Indeksa ne moremo Izračunati, ker ne poznamo predhodnega člena. Iz vrsie verižnih Indeksov vidimo, da ! z voz Iz gozda prva št 1 r I leta naglo narašča, po tem letu pa odkloni od 100, ki pomeni popolno stagnacijo, niso preveliki. Verižne Indekse • Izračunavamo na eno decimalko, ka¬ dar so razlike od člena do člena majhne, ker bi bilo zaokrože¬ vanje na cele pregrobo. 4.9 Včasih namesto verižnih Indeksov Izračunavamo koefi ¬ ciente dinamike ki so samo koeficienti zaporednih členov In jih ne pomnožimo s 100. Zveza med njimi je torej enostavna K„ -- ^ ; k -- KO K k (4.4) Če pa od verižnega Indeksa odštejemo 100, dobimo temp rasti T k r k = 4 - ioo ( 4 . 5 ) ki v odstotkih pokaže, za koliko se je pojav spremenil od čle¬ na do č I e n a o Za leto 1947, za katero je verižni Indeks I^y =163,6, je koeficient dinamike K= 1,636, temp rasti pa T ^ = +63,6. - 40 - Koeficient? In gostote 4.10 Koef T c Tent? . S koeficienti primerjamo med seboj raz¬ novrstne podatke. Primerjana podatka pa morata biti enako opre¬ deljena. Razen tega pa mora biti primerjava vsebinsko upravi¬ čena. Vzemimo kot primer za Izračunavanje In uporabo koe¬ ficientov vrednost In težo smole, proizvedene v gozdovih v splošno družbenem sektorju v FLRJ v razdobju 1956-1958. Tabela 4.5 Proizvodnja smole v gozdovih splošno družbenega Razmerje vrednosti In proizvodnje za proizvedeno smolo pomen? povprečno ceno smole v posameznih letih. Za leto 1956 je koeficient, k? vsebinsko pomeni povprečno ceno, če de¬ limo vrednost s količino P 1 956 V Q 1956 _ 237027 1956 1315 = 180 din/kg Analogno dobimo za leto 1957 P 1 Q r 7 = = 128 din/kg 1678 In za leto 1958: P 10t - fl = = 89 din/kg. 1650 Izračunan? koeficient? pokažejo, da je povprečna cena smole v letih 1956-1958 vztrajno padala, kar iz absolutnih podatkov o vrednost? In količin? n? neposredno razvidno. 4.11 Pomembne koeficiente dobimo tudi s primerjavo drugih podatkov. S primerjavo posekane lesne mase s porabljenim časom za posek dobimo pokazatelje o produktivnost? dela, s primerjavo posekane lesne mase v določenem razdobju s povprečnim številom preb?vaSstva v tem razdobju, pokazatelj, k? pove, kakšna je preškrbI jenost prebivalstva z lesom Itd. Seveda morajo bH-S primerjan? podatki enako opredeljeni. Jasno je, da primerjamo posekano lesno maso s številom ur, kf so bile porabljene za po¬ sek tega lesa In ne drugega. Enako moramo v letu 1958 posekano lesno maso v Sloveniji primerjati s prebivalstvom na istem te¬ ritoriju in v Istem času. V ferr. primeru nastop! problem, kako časovno enako opredeliti posekano lesno maso In prebIvaIstvo# Posekana lesna mase se nanaša na leto, medtem ko se število prebivalstva nanaša ns določen moment. Iz momentnlh podatkov za prebivalstvo dobimo podatek o prebivalstvu, ki se nanaša ns celo leto, če Iz več podatkov o prebivalstvu Izračunamo povpreč- je. Ce Imamo podatke za sredino vsakega mesece v leto, izraču¬ namo povprečno število prebivalstva Y tako, da podatke za vse mesece seštejemo, vsoto pa delimo z dvanajst. ? r ±(Yj + Hf * ••• * Y a * Y d ) {4 ' 6) Če pa Imamo podatke za začetke mesecev, Izračunamo povprečje po obrazcu p * y +r, (4.7) tako, da seštejemo polovico momentnega podatka v začetku ja¬ nuarja, cele podatke za začetke drugih mesecev v letu in polo¬ vico podatka v začetku januarja naslednjega let« Yj, dobljeno vsoto pa delimo z 12. To je potrebno zato, da se Izračunano povprečje nanaša točno na letni razmak. 4.12 Gostote . S primerjavo raznovrstnih podatkov pa dobi¬ mo tudi gostote. Y primeru gostot primerjamo parametre, ki so vsota podatkov za populacijo, z ustreznim razmakom al? Izmero za nek znak. Tako dobimo gostoto prebivalstva, če primerjamo prebivalstvo na danem terotorlju s površino tega teritorija« Enako govorimo o gostot? gozda, če primerjamo Število dreves al? lesno maso stoječega gozda s površino gozda Itd. V gozdu, k? ima površino X = 7,57 ha, stoji Y = 2274 dreves« - 42 - Gostota gozda je torej a = — = ££Z£ = 300 dreves/ha X 7,57 Pr? gostotah, pa tud! pr? koeficientih, so sm?seln? tud? recipročni pokazatelj?. Gostoto gozda moremo ?zraz?t? v številu dreves na enoto površ?ne (v našem primeru na 1 hal al? s površino, k? odpade na eno drevo. Ta drug? pokazatelj dobi¬ mo, če delimo površino s številom dreves. s' = - = lili s 0,333 a/drevo Y 2274 4.7 3 Med relativna števT la sodi tud? prirastek na enoto časa v, k? je kvoctent med prirastkom volumna AV In časovnim razmakom At V = # (4.8) Relativni prirastek na enoto časa, k? pove, za koliko povpreč no priraste v enot? časa enota volumna, pa Izračunamo po ob¬ razcu „0 . _AV_ ' V. A t (4.9) 4.14 Gostote Izračunavamo tud? pr? proučevanju frekvenč- nlh porazdelitev, k? Imajo neenake širine razredov. Frekvence pri takih frekvenčnih porazdelitvah niso neposredno primerlji¬ ve, ker so v bistven? meri odvisne od širine razredov, k? so različne. Vpliv različnih širin razredov odpravimo, če Izraču¬ namo za vsak razred gostoto frekvence g^. Gostota frekvence za vsak razred pove, kolik? del od skupne frekvence v razredu od¬ pade na enoto razmaka. Gostoto frekvence Izračunavamo po ob¬ razcu (4.10) -43 Ker je relativna frekvenca enaka fP ~ f^/N, izračunamo gostoto relativne frekvence g° po obrazcu g? s J* * P? (4*11) iz tega obrazca dobimo nazaj, da je frekvenca v da¬ nem razredu enaka 4 * NJ k ti (4.123 Frekvenca v danem razredu je forej odvisna od velikosti po¬ pulacije H, od širine razreda In gostote relativne frekvence g£* Medtem ko moremo za določen pojav sprem? nje +1 obseg popu¬ lacije N ?n 'Strine razredov, je gostota relativne frekvence najošje povezana z vsebino proučevanega pojava. 4,15 Kof primer za proučitev frekvenčne porazdelitve z neenakim? razred? vzemimo frekvenčno porazdelitev gozdnih po¬ vršin za N = 1256 anketiranih gospodarstev v okraju Novo mesto, Iz tabele 3.6. Tabela 4,6 Frekvenčna porazdelitev gozdnih površin za N = 1256 anketiranih gospodarstev v Novem mestu posredno zakonitost? o var IabtInostI pojava. Frekvenca je v prvem razredu sicer najvišja, potem pade na 208, neto v tret¬ jem razredu zopet naraste na 282 In potem polagoma pada. 44 - V razredu od 2 ha - pod 4 ha je frekvenca izjemno velika, ker je širina razreda enkraf večja kot v predhodnem. Enako je tudi v naprej, ker so razredi stalno širši. Sele,če proučimo vrsto za gosto+o frekvenc g^, spoznamo pravo tendenco zakonitosti o va¬ riiranju gozdne površine po gospodarstvi h. Gostota frekvenc je v prvem razredu največja, potem pa rapidno pada, če se površina veča. Iz tega zaključimo, da se kmetijska gospodarstva razpore- jujejo po gozdni površin? v J-porazde I?tv? in Imamo največ go¬ spodarstev z manjšo površino gozda, število gospodarstev z večjimi površinam? gozda pa rapidno pada. Enak odnos kot med frekvenco in gostoto frekvence velja tud? za odnos med relativ¬ nim? frekvencam? in gostoto relativne frekvence. Da je frekvenca prf frekvenčnih porazdelitvah z ne¬ enakimi razredi v bistveni meri odvisna od širine razreda, moramo upoštevati tudi pri grafični ponazoritvi takih frekvenč¬ nih porazdelitev. Zanje v histogramu prikažemo frekvence v po¬ sameznih razredih s stolpci, za katere so širine v sorazmerju s širino razreda, višine pa v sorazmerju z gostoto frekvence. V takem grafikonu je ploščina stolpcev (f^.g^ = f^) proporcio¬ nalna frekvenci f^, vsofa ploščin vseh stolpcev pa = N) obsegu populacije. Slika 4.3 Grafični prikaz frekvenčne porazdelitve kmetijskih gospodarstev v Novem mestu po gozdnipovrsin? - 45 - 5» KVANTIH Ranžirna vrsta. Rang. 5.1 Osnovne podatke, k? jih zberemo s statističnim opa¬ zovanjem, običajno pregledno prikažemo v frekvenčni porazdellt- vi» Za manjše populacije pa osnovne poda+ke uredimo v ranžirno vrsio s Ranžirna vrs+a je niz poda+kov za posamezne eno+e popu¬ lacije, ki so urejen? po velikosti. Vsaka eno+a oziroma podatek Ima v ranžirni vrs+f svoje mesto, k? je označeno z zaporedno š+evllko - rangom « Rang za neko eno+o je +orej zaporedna šte¬ vilka v vrsti, v ka+erf so eno+e populacije urejene po veliko¬ sti po nekem numeričnem znaku« Vzemimo na primer poda+ke o premerih za 19 modelnih dreves za čls+l smrekov ses+oj na Pokljuki. Neurejeni osnovni podatki so dani v tabeli 5.1 Tabela 5.1 Premeri za 19 modelnih dreves v čls+em smrekovem sestoju na Pokljuki 18, 36, 17, 33, 28, 39, 19, 25, 24, 30, 21, 23, 32, 27, 44, 14, 31, 28, 34. TI podatki so nepregledni, ker so vpisani v Istem vrstnem re¬ du, kot so stala drevesa. Ranžirna vrsta teh poda+kov je v ta¬ bel I 5.2. Tabela 5.2 Ranžirna vrsta o premerih za 19 modelnih dreves v čistem smrekovem sestoju A R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x 14 17 18 19 21 23 24 25 27 28 28 30 31 32 33 34 36 39 44 Ker Ima vsaka enote svoj rang R, smatramo rang za statistični znak. čeprav je v zgornjem primeru rang za posamezno drevo do¬ ločen po premeru drevesa, pa rang pove nekaj drugega kot pre¬ mer. Če povemo, da je premer drevesa, k? ga proučujemo, 36 cm, ne vemo nič o tem ali je to drevo glede na ostala drevesa v sestoju majhno ali veliko. Medtem pa spozhamo, da je drevo re- - 46 - lativno debelo, če povemo, da je proučevano drevo s premerom 36 cm 17. po rangu od skupno N = 19 dreves« Samo dvoje dreves Ima namreč večji premer, medtem ko je 16 dreves tanjših. Kvant lini rang 5.2 Hiba ranga pa je v tem, da moramo za dano enoto ra¬ zen ranga R navesti še obseg populacije N, če hočemo z rangom nakazati mesto enote v populaciji, ker Imajo populacije raz¬ lične obsege. Tako je 17. enota po rangu v populaciji z 19 eno¬ tami razmeroma velika, medtem ko b? bila 17. enota po rangu v populaciji z N = 500 enotami k I a s 5f1 c Irsna kot majhna, ker b| Imelo 483 dreves večje premere, le 16 pa manjše kot je drevo z rangom 17. Za+o je primerneje, da Izražamo mesto enote v popu¬ laciji, namesto z rangom R In obsegom populacije N, s kvant?I- nlm rangom F. Kvantllnl rang v relativnem številu pove, na ka¬ terem mestu v ranžirni vrsti leži dana vrednost, ker celoto merimo z 1, ne pa z N. Od enote, za katero je kvantllnl rang P = 0,25, je 0,25 ali 25 % vseh enot manjših, 0,75 ali 75 % pa večjih od proučevane vrednosti« Podobno velja za druge vred¬ nosti kvantiInega ranga. Enota s kvantiInlm rangom P =0,93 je zelo velika, ker je 0,93 del celote ali 93 % enot z manjši¬ mi vrednostmi. Glavna prednost kvant?Inega ranga je v tem, da je mesto enote v populaciji podano z eno samo vrednostjo. Razen tega pa je to mesto določeno nazorneje, ker je v vsakem prime¬ ru, ne glede na obseg populacije, celota merjena z enoto, če so kvantllnl rangi izražen? z delom od ena, ali s sto, če so kvantllnl rang? izražen? v odstotkih. 5.3 V tabel? 5.2 je rang določen samo za premere, ki jih Imajo posamezna dreves«. Zanje so rang? cela števila« Pojem ranga pa moremo razširit? tud? na druge vrednosti med najniž¬ jo cm) In najvlšjo i* max = 44 cm) vrednostjo v popu¬ laciji. Tako štejemo, da je rang za premer x = 37 cm, R (x = 37) med R (x = 36) = 16 In R (x = 39) = 17, ker leži vrednost x =37 cm med 36 cm In 39 cm. Točen rang določimo z linearno -47 interpoleci jo« Ker je razlika med x = 36 csn In x = 39 cm enaka 3 cfiij, x = 37 cm pa je od 36 oddaljen za 1 cm, razlika med u- strežnima rangoma pa je t, pripišemo vrednosti x = 37 cm rang R = 16 Enako določimo rang za poljuben premer med 14 in •5 44 cm« Rang je torej zvezen znak, ker more zavzet? praktično vse vrednost? na določenem razmaku« Vsakemu celemu rangu pri¬ pišemo enotin razmak, ki obsega polovico enote pod, polovico enote pa nad danim rangom« Tako pripišemo rangu R = 1 razmak od 0,5 do 1,5, rangu R = 2 razmak od 1,5 do 2,5 itd« do R = N razmak od N—0,5 do N+0,5. Celoten ranžirni razmak sega torej od 0,5 do N+0,5, ima pa širino N. Glede na to, da obsega rang razmak od 0,5 do N 4-0,5, kvantiini rang pa razmak od 0 do 1, je zveza med rangom R ?n kvant?Inim rangom P dana z obrazcem R - N P + 0,5 {5.1) ? n obra tno P = °' 5 (5.2) N Preskus z obrazcem 5.1 pokaže, da resnično ustreza P = o, R = 0,5 ?n P = 1 rang R = N + 0,5 Za premer x = 36, za katerega je R = 16 po obrazcu 5.2, izračunamo, ds je kvant? In? rang P = »■£■ ■■ = 0,82. Iz tega podatka nazorno sklepamo, da je premer proučevanega dre¬ vesa tako velik, da ima 0,82 del vseh dreves ali 82 % vseh dre¬ ves manjši premer od proučevanega. KventiS ? 5.4 Z obrazcem 5.1 in 5.2 rešujemo dva po vsebini raz¬ lična prob Šema. če imamo dano vrednostx,moremo zanjo določiti ustrez¬ ni kvantfln? rang P , ki nakaže mesto te vrednosti v populaciji. Nalogo moremo pa tudi obrniti ?n se vprašamo, kakšna vrednost Xp ustreza danemu kvant?Inemu rangu P. Te vrednosti pa niso več karakteristike posameznih enot, ampak so parametri za populacijo, če n.pr. za dani sestoj poiščemo premer, k? —48 — ustreza kvantiInemu rangu P = 0,50, dobimo vrednost Xq x 0 50 on * od katerega ima polovica dreves manjše, polovica pa večje premere. Ta vrednost karakterIzira populaci¬ jo in je za mlad sestoj majhna, za starejši sestoj pa večja* Vrednost, s katero razdelimo populacijo v dva po obsegu enaka dela, je pomemben parameter in jo imenujemo mediana« Na splošno imenujemo vrednosti, ki ustrezajo danim kvant? I nlm rangom, kva ntI le * Teoretično moremo izračunati kvanti le za katerokoli * vrednost kvantiInega ranga« V praksi 'pa običajno izračunavamo kvantile, ki razdelijo populacijo na dva (mediana), na štiri (kvartilf), na deset (dec? i T) ali na sto (centi!?) delov. Tako imamo tri kvartiie °T = x 0,25 Q 2 “ x 0,50 °3 = x 0,75 devet deciIov D 1 = x 0,t0 °2 = x 0,20 . °9 = x 0,90 in devetindevetdeset cent?lov C 1 = X 0,01' C 2 = x 0,02' C 3 = x 0,03 . C 99 = x O,99 5.5 Izračunavanje kvantilnih rangov in kvantilov iz ne - grupiranih podatkov . Za premere dreves ?z tabele 5.2 je v sli¬ ki 5.1 nazorno razvidna zveza med osnovnim? vrednostmi, rangi in kvant?Inlmi rangi. Lomljena črta, ki kaže zvezo med premeri in rangi oziroma kvantUnim? rangi, je stvarno slika kumulativ¬ ne črte za naš primer. Iz nje ni težko grafično določiti dani vrednost? ustrezni kvantiln? rang (primer A) al? danemu kvan¬ ti Inemu rangu ustrezni kvanti! (primer B). Računsko pa dobimo dan? vrednosti x ustrezen kvan¬ tiln? rang P po naslednjem postopku: a) V ranžirni vrsti podatkov poiščemo, med kateri zaporedni vrednost? pade dana vrednost x tako, da je x c < x < x -j • Vred¬ nosti x Q naj ustreza rang R Q . «• <»■** - 49 - Slika 5.1 b} Po obrazcu Odnosi med x ( R In P za 19 premerov Iz ta be i e 5.2 R t R 0 + x - x e x t -x 0 (5.3) Izračunamo reng R^, ki uslreza vrednost? x. Po tem obrazcu Izračunan rang je enostavna linearna interpolacl ja med dvema c ; ellma rangoma. c) Iz dobljenega ranga R Izračunamo ustrezni P po obrazcu X A 8* - Q5 N (5.4) Če za primer Izračunamo po tem splošnem postopku kvanti int reng za premer x = 26 cm, dobimo, da je x Q = 25 cm, x 26 erapX| = 27 cm. = 25 cm ustreza rang R Q = 8. Obseg populacije N ~ 19. Iz teh podatkov dobimo po obrazcu 5.3 ' x=26 - 8 + g6 .."? 5 . = 8,5 2 7-25 Po obrazcu 5.4 pa dobimo dalje, da je kvanti Inl rang P, - 50 - p = I . 9 ..i l = 0,42 X 19 Proučevan? premer x = 26 cm je srednje velik* 5*6 Danemu kvantiInemu rangu P pa poiščemo ustrezni kvan^ bratnlm postopkom tako, da: a) Danemu P poiščemo po obrazcu R p = NP + 0,5 (5*5) ustrezen rang Rp* b) V ranžirni vrsti poiščemo, med katerima celima rangoma R Q < Rp < R-j je Rp* Rangoma R q In R^ ustrezata vred¬ nost? x Q In x^. c) Iz dobljenih podatkov Izračunamo ustrezni kvant?I Xp z linearno Interpolacijo po obrazcu i 5*6 Vzemimo, da Iščemo za populacijo premerov Iz tabele 5*2 kvartlle. Izračun vseh treh kvartllov Izvedemo hkrati, kot je navedeno v tabel? 5*3* Tabela 5*3 Izračun kvartllov za populac?jo premerov N = 19 smrekovih dreves Iz tabele 5*2 Četrtina premerov je manjša kot"Q^ = 21,50 cm, polovi¬ ca manjša kot 0^ ~ 28,00 cm In tri četrtine manjših kot Q 3 = 32,75 cm* Nadalje je polovica premerov v razmaku med =21,5 cm -51 i n = 32,75 ceh« S kvarili? je populacija premerov torej Že precej op?san®a 5 o 7 * 2 r ačunavanje kvatvUinfh rangov ?n kvantTlov Iz frek¬ venčnih porazdelitev « Običajno populacije nimajo nekaj desetin enot, temveč več sto alf tisoč. Zanje direktna pot za Izračuna¬ vanje kvantllov preko ranžirne vrste ne pride v poštev, ker je preobsežna In neprI k I adna* Pač pa moremo zanje ocenit? vred¬ nost kvantllov, če Imamo podatke urejene v frekvenčni porazde■” i ? tv 1» Podobno kot so v ranžirni vrsti vse vrednosti, k? so pod določeno vrednostjo, manjše, vse vrednost?, ki so nad dolo¬ čeno vrednostjo, pa večje, velja tud? za frekvenčne distribuci¬ je« Vse vrednost? v razredih, k? so pod danim razredom, so manjše, vse vrednosti v razredih nad danim razredom, pa so večje« Frekvenčne porazdelitve imajo torej podobne lastnosti kot ranžirna vrsta, samo da ne veljajo za posamezne vrednosti, temveč za vse enote v posameznih razredih. Če za frekvenčno porazdelitev izračunamo kumulativno porazdelitev in napravimo predpostavko, da je največja stvarna vrednost enot v posameznem razredu enaka zgornji mej? razreda, so posamezni člen? v kumulativni vrsti rangi, k? ustrezajo me¬ jam razredov. Kumulativna porazdelitev tako nakaže range le za meje razredov, ne pa za vse vrednosti, k? se pojavljajo v po¬ pulaciji. Vendar moremo kljub temu Iz nje, z linearno Interpo¬ lacijo, zadosti dobro ocenit? range tud? za vmesne vrednosti, če predpostavljamo, da se v prvem približku vrednosti v posa¬ meznih razredih porazde!juje j o na vsem razmaku enakomerno. V tabel? 5.4 je za frekvenčno porazdelitev specifič¬ nih tež za zeleno duglazijo Iz tabele 3.5 pod zgornjimi pred¬ postavkam? nakazana zveza med mejami razredov In člen? v kumu¬ lativni vrsti« Sz tabeie 5.4 je razvidno, da je kumulativna vrsta obenem vrsta rangov za spodnje meje ustreznih razredov. V ranžirni vrst? ima n»pr» specifična teža n x = 480 kg/m rang = 2395« S frekvenčno pora zde I?tv?j o mo¬ remo določiti ustrezne range tolikim vrednostim, kolikor Imamo razredov. 52 Tabela 5*4 Kumulativna frekvenčna porazdelitev In okrnjena ranžirna vrsta za specifično težo lesa za zeleno duglazijo 5®8 Glede na to, da dobimo range za druge vrednos+1 z linearno 1nferpolaclj o, moremo Iz frekvenčne porazdelitve oce¬ niti kvanti In? rang P^ za vsako vrednost x po naslednjem po¬ stopku« a) Za frekvenčno porazdelitev Izračunamo kumulativno vrsto« b) Poiščemo, v katerem razredu leži vrednost x, za katero Iščemo kvant?In? rang ? x * Za ta "kvanti In? razred" po¬ iščemo spodnjo mejo x q širino razreda frekvenco f Q In kumuI a 11vo F . o c! iz teh podatkov Izračunamo pod zgornjimi predpo¬ stavkami po obrazcu - 53 - {5.7) D = f + f .* 7 X o,mn °jr *o 'o i 'O i d) Iz dobljenega dobimo ustrezni kvanflln? rang P x po znanem obrazcu <5-e> Ker je glede na fo, da je obseg populacije N velik, običajne količino 0,5 Izpuščamo, ker je nebistvena« 5.9 Vzemimo kot primer, da moramo za določen les zelene duglazije ocenit? kvaliteto, k? je dana s specifično težo« S preskusom ugotovimo, da je specifična feža preskušanega lesa x = 554 kg/m~» Zanima nas, alf je fa specifična feža lesa gle¬ de na splošno kakovosf lesa za zeleno duglazijo ugodna oziro¬ ma dobre al? ne« Odgovor na fo vprašanje dobimo, če izračunamo kvanflln? rang P , ki ustreza x = 554 kg/m . Po zgornjem navodilu najprej v tabel? 5.4 poiščemo, v katerem razredu v frekvenčni porazdelitvi je ta vrednost« Kvanflln? razred je torej razred 540 kg - pod 560 kg, količi¬ ne, potrebne za I zračunavanj e kvantllnega ranga, pa so: x o,mfn = 540 k s/ m3 » ? 0 = 20 k g/m 3 j f Q = 94 j F q = 3220. Iz teh podatkov dobimo po obrazcu 5.7 najprej R^ R = 3220 + 94 o - -- 4 . . Z~— = 3285,8 x 20 po obrazcu 5 0 8 pa dalje kvanflln? rang P ~ £/---2-»--—- 0,973 x 3376 Kvaliteta lesa je relativno zelo dobra In I e ca 3 % lesa zelene duglazije dano kvaliteto presega. 5.10 Obratno za dan kvant?I nI rang P poiščemo ustrezni kvant? I Xp z. Istimi predpostavkami po naslednjem postopku. a) Enako kot pr! Iskanju kvant!Inlh rangov najprej Izračunamo kumulativno vrsto F^. • 54 - b) Po znanem obrazcu , ■ s ■ Rp - NP *> 0,5 15.9) Izračunamo P ustrezni rang Rp. Količino 0,5 moremo Izpustiti, ker je običajno naprara N.P. nebistvena. c} V kumulativni vrsti poiščemo, med katerima vred- nostlma kumulatlve je Izračunan? rang Rp ( F q ^ Rp < F^J. Raz¬ red, za katerega je kumulatlve F q , je kvanti Inl razred o. Zanj ugotovimo: spodnjo mejo x q širino ? Q , Frekvenco f In ko¬ mu la t Ivo F . o d) Kvanti Inemu rangu P ustrezni kvanti I Xp ocenimo po ob raze »j V ' Rp" ^6 w v nr* (5.10) 5.11 Kot primer za Izračunavanje kvanti lov Iz frekvenč¬ nih porazdelitev sestavimo tablico deeflov za specifično težo lesa zelene duglazije Iz tabele 5.4! V tabeli 5.4 je že Izra¬ čunana kumulativna vrsta frekvenc. Sistematičen Izračun vseh kvantllov hkrati je nakazan v tabeli 5.5. V tabeli 5.5 smo najprej po obrazcu 5.10 Izračunali P ustrezajoče range Rp. Za vsak dobljeni rang smo v tabel! 5.4 poiskali, med katera zaporedna člena v kumulativni vrsti pade posamezen Rp. V stolpce (3), (4) In (5) smo vpisali ustrezne količine . . f. In F za ksantllne razrede. V glavi je za ©»ml nr o © stolpce (6) do (9) nakazane, kako Iz teh podatkov postopoma iz računamo po obrazcu 5.10 dec?le. Tablica decllov more služit? kot pripomoček za rela¬ tivno klasifikacijo kakovost? lesa zelene duglazije glede na specifično težo. Tako moremo Iz decllne tablice oceniti, da je les s 3 specifično težo 500 kg/m med osmim In devetim dec!lom, ker pomeni, da je najmanj 80 % lese zelene duglazije, ki Ima spe¬ cifično težo manjšo, In najmanj 10 % lesa zelene duglazije, ki Ima večjo specifično težo. Natančna vrednost kvantllnega ranga za specifično težo x = 500 kg/m^ je 0,823. Zgornja naše Izjava - 55 - Tabela 5.5 Izračun decllov za specifično teče lesa za zeleno duglazije se torej skleda s točnim rezu Itatom, samo da je bolj groba. Točnejše vrednost? za kvantfln Ta dober rezultat je* pripisat’ temu, da je ob¬ ravnavana porazdelitev precej simetrična« Povprečje, zaokrože¬ no na eno decimalko - 38,6 cm, se sklada s pravim rezultatom« » 67 - Tabela 6.2 Izračun povprečnega premera po neposredni metod? za čisti smrekov sestoj A na Pokljuki (Iz tabele 3.4) N = 507 19582,5 = £fx x = H2L = 'J****! = 38p 62 cm N 507 6.15 Metoda s pomožnim znakom u . Za frekvenčne porazdelit¬ ve z enakim? širinam! razredov izračunavanje aritmetične sredi¬ ne poenostavimo, če vpeljemo namesto osnovnega znaka x pomožni znak u, ki je z znakom x v linearni zvez? x ' .u x = x 0 + i.u (6.10) Pr? tem je x q sredina poljubnega razreda nekje v sredin? frek¬ venčne porazdelitve, I pa širina razredov. Iz znanih lastnost? o aritmetičnih sredinah sledi, da sta tud? aritmetični sredin? znakov x In u v linearni zvez? r Z fk u k x r x * i.u s x * i — (6.11 ) e »N Če proučimo, katere vrednost? za u ustrezajo sredinam razredov, s katerim! moramo pr? direktni metod? pomnožit? frekvence, spo¬ znamo, da so za sredine razredov u^ zelo enostavne vrednosti. Za razred, za katerega je sredina razreda x q , je u = O, za dru¬ ge razrede pa je po vrst? navzgor +1, +2, 4-3, +4 Itd., po vrst? 68 - navzdol pa -1, ~2, -3, -4 Itd* Izračun aritmetične sredine se poenostavi, ker IT Izračunamo enostavno, x pa dobimo po obrazcu 6o 1 1 o 6*17 V tabeli 6*3 je nakazan Izračun povprečnega premera za Isti sestoj kot po neposredni metodi, da s primerjavo spo¬ znamo prednosti metode pomožnega znaka u* Tabela 6*3 Izračun povprečnega premera po metodi s pomožnim znakom u za čisti smrekov sestoj A N = 507 +114 - £fu V našem primeru smo vzeli Izhodišče v razredu 35 cm - 39 cm, tako da je x Q = 37,5, širina razreda I = 5 cm. Iz teh podatkov dobimo po obrazcu 6.11 x = 37,5 + 5 iill = 38,62 507 Primerjava postopka po neposredni metodi s postopkom po metodi pomožnega znaka u pokaže, da smo se Izognili množenju večmest- nlh števil, rezultata pa sta enaka* 6*18 Metoda kumulatlv « Metoda kumulativ Ima pred metodo pomožnega znaka še to prednost, da se izognemo sploh vsakemu množenju, ker pridemo do elementov za Izračun aritmetične sre- \ - 69 - dine s kumulativnim seštevanjem frekvenc« Po fej metodi izra¬ čunamo aritmetično sredino po naslednjih stopnjah: a) Za frekvenčno porazdelitev z enakimi, širinami raz¬ redov izračunamo kumulativno frekvenčno porazdelitev F^. Zadnji člen v kumulativni vrst? je N« b) Seštejemo vrednost? vseh členov v kumulativni vrst? F^, brez zadnjega pod črto. Tako dobimo količino A. c) Iz dobljenih podatkov izračunarnio aritmetično sre¬ dino po obrazcu < x s x 0 + /-4. (6.12) N pri čemer pomeni razen znanih količin x q sredino za zadnji razred v frekvenčni porazdelitvi. 6.19 Na istem primeru kot po prejšnjih metodah preizkusi¬ mo še metodo kumulativ. Tabela 6.4 Izračun povprečnega premera po metodi kumulativ za čist? smrekov sestoj na Pokljuki DS Premer v cm F^ 4+10+65...+493+502= = 2421 = A N = 507 - 70 - Po obrazcu 6.12 je aritmetična sredina 7 = 62,5 - 5 ~1 = 38,62 cm 507 Iz pr?mera vidimo, da je la metoda izmed vseh treh najjprlklad- nejša, m glede na to, da dobimo kot postranski rezultat še ku¬ mulativno vrsto, k? jo mnogokrat potrebujemo za izračunavanje drugih parametrov ali za analizo«, Aritmetična sredina aritmetičnih sredin 6 o 20 če poznamo aritmetične sredine In obsege populacfj za delne populacije, k? sestavljajo populacijo, Izračunamo aritmetično sredino za celotno populacijo po obrazcu N.Xj + N 2 x 2 + ■ ■ • + N r x r ¥ N k x k N,+ N 2 +---+N r - £ Nk k (6.13) kot tehtano aritmetično sredino Iz grupnlh sredin. Pri tem vzamemo število enot v delnih populacijah za pondere. Lastnost, da moremo neposredno Iz grupnlh arlmetlč- nlh sredin Izračunati skupno aritmetično sredino, je velika prednost aritmetične sredine pred srednjimi vrednostmi po legi. Zanje namreč to ni mogoče. Če hočemo za skupno populacijo dolo¬ čiti mediano ali modus, moramo Iz delnih populacij sestaviti skupno populacijo In šele Iz te določiti skupno mediano at! modus o 6.21 Vzemimo za primer dvoetažni sestoj na Otoku Iz tabe¬ le 3.4. Za obravnavan? sestoj je povprečen premer za prvo eta¬ žo (topol) 7| = 46,82 cm, število dreves pa = 103. Za drugo etažo (jelša) z Ng = 132 drevesi pa je povprečen premer ^2 - 19,70 cm. Po,obrazcu 6.13 je povprečen premer dreves v sestoju x = N 1 X 1 + N 2 X 2 _ 103.46,82 + 132.19,70 _ 31 59 cm N 1 + N 2 103 + 132 -71 ~ Ta rezultat pa ima omejeno analitično vrednost, ker ni repre¬ zentativen niti za prvo, nit! za drugo etažo« Zato moramo za skupinska povprečja za heterogene populacije paziti, da jih pravilno tolmačimo oziroma jih moramo uporabljati s primernim! omejitvami. 6 0 22 Tehtan način za izračunavanj e povprečij velja tud! za izračunavanje relativnih števil za populacijo iz relativnih števil za grupe« Tako računamo n.pr« skupni odstotek P iz grup- nih odstotkov P^ po obrazcu ( 6 « 14 ) 6<>23 V treh mešanih sestojih nekega gozdnega gospodarstva je število dreves in odstotek jelke po posameznih sestojih na¬ slednje: N 1 = 500j P t = 20 %, N 2 = 1000, P 2 = 15 % In Ng = 2000, P 3 = 10 %. Povprečen odstotek jelke v sestojih gozdnega gospo¬ darstva je po obrazcu = Vt + n 2 p 2 + n 3 p 3 = N 1 + N 2 + N 3 : 500.20 + 1000.15 + 2000.10 _ 12 9 500 + 1000 + 2000 6.24 S tehtano aritmetično sredino izračunavamo tudi raz¬ lične druge parametre iz gozdarstva. Volumen za posamezno drevo je dan z zvezo V = g.h.t, pri čemer pomeni: V = volumen, g = temeljnica, h = višina, t = telesninski koeficient. Če povprečno temeljnTco izračunamo po obrazcu (6.15) - 72 - povprečno višino drevesa po obrazcu (6.16) kot tehtano aritmetično sredino individualnih višin, pri čemer vzamemo temeljnico posameznega drevesa kot ponder, povprečni telesninsk? koeficient f pa po obrazcu kot tehtano aritmetično sredino, pri čemer vzamemo kot ponde- re produkte temeljnice in višine g ^ h ^, dobimo, da je skupen volumen v sestoju direktno enak produktu prečni teiesninskl koeficient po zgornjih obrazcih, je zveza med povprečji za sestoj enaka kot za individualne vrednosti, le da pri posameznem drevesu upoštevamo individualne vrednosti, pri sestoju pa računamo s povprečji. Harmonična sredina ' iz recipročnih vrednosti za posamezne podatke. Po tej defini¬ ciji izračunamo harmonično sredino po obrazcu (6.17) - v V - N.g.h. f (6.1 Če izračunamo povprečno temeljnico, povprečno višino in pov- (6.18) 6.25 Harmonična sredina je recipročna vrednost povprečja (6.19) Tehtano harmonično sredino pa izračunamo po obrazcu ( 6 . 20 ) -73 v I Ce Iz ?s + ? h podatkov Izračunamo aritmetično sredino In harmo¬ nično sredino, spoznamo, da so razlike lahko znatne* Vzemimo za shematičen primer pet vrednosti: 1, 2, 4, 7, 9» Za te vred¬ nosti je aritmetična sredina 7= 4 ,- 7 + 9 = 4.6 5 harmonična sredina pa Harmonično sredino Izračunavamo redkeje kot aritmetično. Kadar pa se osnovne vrednosti v populaciji porazdeljujejo asimetrič¬ no, njihovi redprok! pa simetrično, harmonična sredina bolje reprezentlra vrednosti populacije kot aritmetična sredina. 6.26 Razen tega pa je harmonična sredina, ne pa aritmetič¬ na sredine upravičena pri Izračunavanju nekaterih relativnih Štev? I. Vzemimo kot primer pet smrekovih dreves z enakim vo¬ lumnom. Zanje so telesnlnskl koeficienti: 0,38 0,36 0,4t .0,35 0,40. Povprečen telesnlnskl koeficient f Izračunamo s harmonično sredino f = 1 1 1 t 1 = 0,3786 0,38 0,36 0,41 0,35 40 Upravičenost zgornjega rezultata sledi Iz naslednje¬ ga sklepanja. Po obrazcu 6.17 je povprečen telesnlnskl koefi¬ cient 7 _ Z 9i hj fj _ X X9,hi X Vi/fi NV N v HA ZA ( 6 . 21 ) Izpeljava tega obrazca se naslanja na to, da je V = g.h.f, Iz tega dalje V/f = h.g In da je pri drevesih z enakimi volumni IV f = NV. -74 Izračunavanje suitiarn I h rz I at ? vn l h števil 6*27 Al? pr? praktičnem izračunavanju povprečnih vrednosti iz relativnih števil uporabljamo aritmetično ali harmonično sredino, je odvisno od- tega, katere količine so ponderi. To moremo ugotoviti v vsakem posameznem primeru iz strukture relativnih Število Če vzamemo, da je za individualne enote, grupe In po¬ pulacijo relativno Število kvocient dveh absolutnih podatkov, je sumarno relativno Število R ( 6 « 22 ) kvocient vsot absolutnih podatkov Y in X. Sumarno relativno Število pa izračunamo kot tehtano aritmetično sredino IXkRk Ih (6.23) kadar so ponderi absolutne količine, ki v relativnem Številu nastopajmo v imenovalcu . Tehtano harmonično sredino pa uporabljamo pri izra¬ čunavanju relativnih Števil, če so ponderi absolutni podatki, k? nastopajo v relativnem Številu v Števcu. To vidimo iz zveze R I%_ TVh (6.24) 6.28 Izračunajmo povprečno teracljnlco za dvoetažni sestoj, _ 2 za katerega je povprečna temcljnlca v prvi etaži g. = 0,050 m , Ji 2 v drug? etaž? pa g 0 = 0,075 m . Razen teh podatkov poznamo * o , o skupni temeljnlcl = 50 m in Gg = 150 m za obe etaži. Povprečna temeljnlca je kvocient med skupno temeljnl- co In Številom dreves v sestoju g" = G/N. Razen povprečnih te- - 75 - me I j n ?c za vsako e+ažo pa poznamo še skupno +emeljn!co, k! je v reI a + ?vnem š+evliu v Imenovalcu« Po zgornjem pravilu v + em primeru Izračunamo povprečno +emeljn?co za dvoe+ažn? ses+oj po obrazcu za +eh+ano harmonično sredino g 50 + 150 50 + 150 0,050 0,075 = 0,067 m 2 Kvadra+lčna sredina 6.29 Kvadra+lčna sredina je kvadra+nf koren Iz povprečij kvadra+ov Iz Individualnih vrednos+1 (6.25) Kvadra+fčno sredino samos+ojno redkeje uporabljamo ko+ druge Izračunane vrednos+l« Pač pa je pomembna predvsem za+o, ker je najvažnejša mera variacije - s+andardnl odklon kvadra+lčna sre¬ dina odklonov Individualnih vrednos+f od arl+me+lčne sredine f >• 6.30 V gozdars+vu pa so še drugi problemi, v ka+er?h upo¬ rabljamo kvadra+tčne sredine. Če Iščemo, kakšen povprečen premer bi morala Ime+I vsa drevesa v ses + oju, da b? bila skupna +emeljnlca za +ak. se¬ s+oj enaka s+varnl skupni +eraeljn!cl, spoznamo, da +emu pogoju us+reza kvadra+lčna sredina Iz s+varnlh premerov v ses+oju. To zlahka spoznamo Iz naslednje zveze. Če z x f za z na mu jemo premer za posamezno drevo v se¬ s+oju, je -?■ x? +emeljnlca posameznega dr eve sa , ]jT pa vso- H x +a +eme!jnlc vseh dreves v ses + oju a I ¥ skupna lemeljnlca. Ce s K zaznamujemo povprečem premer, je +emeljnlca povprečnega dre-? vesa » skupna +emeljnlca vseh N dreves pa N ^ . Zaradi zgornje zah+eve, ki naj jo Izpolni povprečen premer, velja - 76 - Če to enačbo najprej delimo z N ^ , Iz desne in leve strani pa poiščemo kvadratni koren, dobimo, da je Iskan? povprečni premer je torej kvadratična sredina Iz indi¬ vidualnih premerov* 6*31 Vzemimo kot shematičen primer pet dreves. Njihovi premeri so: 38 cm, 28 cm, 32 cm, 35 cm, 41 cm. Povprečen pre¬ mer, ki ustreza pogoju, da je skupna temeljnica enaka Kot skup¬ na teme I j nica, če bi vseh pet dreves imelo enak p ovprečen pre¬ mer, je enak K s iV{38 2 + 28 2 + 32 2 + 35 2 + 41 2 )= 35,1 cm. 5 Aritmetična sredina za isti primer je xf = 34,8 cm. Če napravimo preskus, kateri povprečen premer ustreza zahtev? glede skupne temeljnice, dobimo: 0,4836 m 2 o Skupna temeljnica je torej 0,4836 m • Za povprečen premer K = 35,1 cm je temeljnica = 0,09676 m 2 , skupna temeljnica petih povprečnih dreves pa o 5 . 0,09676 = 0,4838 m . Za aritmetično sredino premera x" = 34,8 cm pa dobimo, da je temeljnica povprečnega drevesa 2 g— = 0,09541 m, skupna temeljnica petih povprečnih dreves pa 5 . 0,09541 = 0,37705 m 2 . - 77 - Geometrijska sredina 60 32 Geometrijska sredina Iz N vrednosti je N-tI koren Iz produkta Individualnih vrednosti«. Po tej definicij? je geome¬ trijska sredina Iz det I n I c I j e ' za geometrijsko sredino sklepamo, da. Ima smisel Izračunavat? geometrijsko sredino le, če noben osnovni podatek n I nič a I I ne ga 11 ven « Izračunavanje geometrijske sredine po osnovnem obraz¬ cu je, razen za najenostavnejše primere, nemogoč« Pač pa jo mo¬ remo razmeroma enostavno Izračunat? z logaritmi« Če levo In des¬ no stran osnovnega obrazca IogarI trn?ramo, dobimo log G = -L(logxj+ log x i + • • • + log x N ) (6.27) Logaritem Iz geometrijske sredine je torej povprečje Iz loga¬ ritmov Individualnih vrednost?« Zaradi razmeroma zamotanega Izračunavanja In težje¬ ga t o I ma če n j a, geometr I j sko sredin,© ne Izračunavamo pogosto. V poštev pride pri Izračunavanju centralne tendence za J poraz¬ delitev, če se zanje logaritmi Individualnih vrednosti porazde¬ ljujejo v normalni porazdelitvi ali v porazdelitvi, k? je nor¬ malni podobna. 6.33 Razen tega pa je geometrijska sredina logično upra¬ vičena za Izračunavanje povprečnega koeficienta dinamike pr? proučevanju časovnih vrst. Vzemimo časovno vrsto, ki Ima prvi člen Y q , zadnji člen Y^ In zaporedne koeficiente dinamike k 1 = VV k 2 = V Y 1 ••••• k N = VV-r V P raSan J e i e > 5 kak ~ šnlm stalnim povprečnim koeficientom dinamike bi se moral raz¬ vijat? pojav, da bi Iz začetne vrednosti Y q po N razdobjih bil pojav na ravni Yj s j. Glede na definicijo koeficientov dinamike In povpreč¬ nega koeficienta dinamike veljajo med zgornjimi količinam? na- -78 s lednje zveze V N = Y 0 .kj.k 2 . k" - Y 0 .k.k...k = Y 0 .k N (6.28) Če začetno vrednost Y q postopoma množimo z Individu¬ alnim? koeficient? dinamike, dobimo končno vrednost Y|^. Zaradi definicije povprečnega koeficienta dinamike k pa enako dobimo končno vrednost Y^, če začetno vrednost N krat pomnožimo s povprečnim koeficientom dinamike k. Iz zveze (6.281 dobimo dva obrazca, po katerih Izračunavamo povprečen koeficient dinamike k =^k,.k 2 . k N (6.30) Po obrazcu 6.29 je povprečen koeficient dinamike N-ti koren Iz kvocienta med začetnim In končnim členom v časovni vrsti. V splošnem se stopnja korena ravna po časovnem razmaku med začet¬ nim In končnim členom. Stopnja korena je enaka številu osnovnih razmakov med začetno In končno vrednostjo pojava, za katerega Izračunavamo povprečen koeficient dinamike« Po obrazcu 6.30 pa je povprečen koeficient dinamike geometrijska sredina Iz Individualnih koeficientov dinamike v razdobju, za katerega iščemo povprečje. 6.34 Vzemimo za primer razvoj površine gozdnih drevesnic v FLRJ. Konec leta 1955 je bilo Y 55 = 1383 ha drevesnic, ko¬ nec leta 1959 pa Y^^ = 2677 ha. Povprečen letni koeficient di¬ namike v razdobju 1955-1959 je po obrazcu 6.29 enak k = Y Y59/X5s= i/fS? Povprečen koeficient dinamike Izračunajmo z logarit¬ mi. če levo In desno stran zgornje enačbe IogarItmiramo, dobimo log k = 1 (log 2677 - log 1383) = 4 =1 (3,42765 - 3,14082) =0,07171 4 - 79 - Z ant?!ogar]+rafran]em dobimo, da je k = 1,1795. Po¬ vršina gozdnih drevesnic se je v razdobju 1955-1959 vsako leto povečala povprečno za ca 18 Za isti problem polščimo povprečen koeficient dinami¬ ke, če poznamo Individualne koeficiente dinamike o razvoju dre¬ vesnic v razdobju 1955-1959. Koeficienti dinamike v tem razdob¬ ju so k 56 = 1,067* k 5? = 1,077 k 5Q = 1,246 k 59 = 1,352 Po obrazcu 6.30 je povprečen koeficient dinamike 4_ 4_ k = y k 56 ok 57 <,k 58 ok 59 = 1 »067.1,077.1,246.1,352 Tudi v tem primeru si pomagajmo z logaritmih Če levo In desno stran Iogar1 trn?ramo, dobimo log k = 1 (log 1,067 + log 1,077 + log 1,246 + log 1,352)= 4 = ! 10,02816 + 0,03222 + 0,09552 + 0,13098) = 4 = 0,07172 Z ant IIogar1 trn 1 ra n j era dobimo, da je k = 1,1796. Razlika v re- * zultatu Izvira Iz zaokroževanja. Zveze med srednjimi vrednostmi 6.35 Vse štiri obravnavane Izračunane srednje vrednost? so podobno definirane. Za vse velja, da so povprečja določenih transform?ran 1 h podatkov enaka Isti transformac 1 j 1 Iz ustrezne sredine. Tako je aritmetična sredina povprečje Iz osnovnih po¬ datkov. Povprečje Iz recipročnih podatkov je enako recipročni vrednosti iz harmonične sredine. Povprečje Iz kvadratov osnov¬ nih podatkov je enako kvadratu Iz kvadratlčne sredine, povpreč¬ je 1z logaritmov osnovnih vrednosti pa logaritmu Iz geometrij¬ ske srednje vrednosti. 7 = jfZ*i (6.31 ) log G = -faz log-*f - 80 - Če Izrazimo vsako Izmed navedenih sredin v ekspile I t n I obliki, dobimo obrazce, ki smo jih navedi? kot definicije posameznih sred? n. 6.36 Če Iz Isflh poda+kov Izračunamo vse štiri Izračunane srednje vrednos+l: K, x", G In H, velja, da je K > x > G > H (6.32) Prelskuslmo navedeno pravilo na shematičnem prImeru za dve vrednosti: 1 I n 4. K 2,9 t G =ff74 = 2 ; x H 1 + 4 2 2 = 2,5 = 1,6 Vse štiri sredine so med seboj enako le, če so vse Individual¬ ne vrednost? med seboj enake. 6.37 Med aritmetično sredino x" In obema srednjima vredno- stlma po legi, mediano M g In modtinsom M q , veljajo tud? določen? stalni odnosi. Za simetrične porazdelitve so aritmetična sredi¬ na x\ modus M In mediana med seboj enake (x" = = M ) . y o e J e o Za porazdelitve, k? so asimetrične v levo, je aritmetična sre¬ dina manjša, modus pa večji kot mediana (>r< M^< M q ) . Za poraz¬ delitve, k? so asimetrične v desno, pa je modus manjši, arit¬ metična sredina pa večja kot mediana (M q < < >T) . Razlike so tem večje, čim večja je stopnja asimetrije. Za zvezne, ne preveč asimetrične porazdelitve velja, da je razlika med aritmetično sredino In moduusom približno trikrat večja kot razlika med aritmetično sredino .?n modusom (x - Mo) = 3.(x - Me) (6.33) Za ne preveč asimetrične porazdelitve moremo s tem obrazcem posredno Izračunat? modus Iz negruplranlh podatkov. Če za populacijo Izračunamo aritmetično sredino x In določimo -81 - mediano Me, Izračunamo Iz teh dveh srednjih vrednost? modus Mo po obrazcu ii'y' Mo = F - 3.(x ~ Me) 16.34) k? ga dobimo Iz obrazca 6«33. I -82 7« MERE VARIACIJE 7 o 1 Ze v prejšnjih poglavjih smo poudaril?, da je ena »z med osnovnih značilnost? statističnih znakov variabilnost« Za¬ radi vpliva najraz!ičnejš?h faktorjev se značilnost? pojavov od enote do enote spreminjajo«, Srednja vrednost je izraz sp I oš n ? h vplivov, k? z enakim učinkom vplivajo na vsako enoto«, Tako je povprečna višina dreves rezultat splošnih vplivov (starosti vrste sestoja itd«,}«, Zaradi individualnih vplivov (Individual¬ na lega dreves, zasenčenost, kvaliteta sadike itd«) pa se viši ne dreves med seboj razlikujejo« Čim večji so individualni vplivi, tem večje so razlike med drevesi, oziroma odkloni vi¬ šin posameznih dreves od povprečne višine« Variabilnost oziro¬ ma učinek individualnih vplivov moremo torej merit? z odklon? od sredine« Z meram? variacije, s katerim? z eno količino me¬ rimo velikost variacije v populaciji, pa merimo učinek indivi¬ dualnih vplivov na ves sestoj, enako kot merimo s srednjimi vrednostmi učinek splošnih vplivov« Proučevanje variabilnost? v najrazličnejših oblikah je osnova dobršnega dela statistič¬ nega proučevanja« Vrste mer variacije 7«2 Kot imamo več vrst srednjih vrednosti, Imamo tud? več vrst mer variacije, od katerih vsaka Ima svoje prednost? Tn pomanjkljivost?« Vsaka izmed njih na svoj način mer? varia¬ bilnost pojava« Prednost enih je v lažjem razumevanju in dolo¬ čanju, prednost drugih pa v večji analitični vrednosti« Najobičajnejše mere variacije so: a) variacijsk? razmak R b) kvartllni odklon Q c) povprečen absolutni odklon AD d) standardni- odklon 6 oziroma varianca 6^, iz katere je standardni odklon izpeljan« Od navedenih mer variacije sta prv? dve dani z lego, zadnji dve pa sta fzračunanni iz podatkov za vse enote populaci - 83 - je 0 Zaradi tega sta solldnejš? in stabilnejši kot mere variac?- je po legio Zaradi posebnih lastnosti, ki so v zvezi s teorijo statistike, pa je najvažnejša mera variacije varianca oziroma standardni odklon, k? je izpeljan iz variance«, Variacijsk? razmak 7.3 Najenostavnejša, a tud? najslabša mera variacije je variacijsk? razmak • R = X max ~ x min C 7 o "f S k? je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo v populaci¬ ji. Iz ranžirne vrste premerov za 19 modelnih smrekovih dreves v tabeli 5.2 povzamemo, da je premer najtanjšega dreve- sa x m ^ n = 14 cm, premer na jdebeI e j šega drevesa pa x max = 44 cm. Variacijsk? razmak je torej R - x - x j = 44 - 14 = 30 cm ma x min Premeri devetnajstih modelnih dreves variirajo tor^j v razmaku 30 cm. Včasih nakažemo variacijsk? razmak tudi tako, da po¬ vemo najmanjšo ?n največjo vrednost v populaciji. Tak način da večjo informacijo kot sam razmak variacije, k? ga moremo iz teh dveh podatkov neposredno izračunati. 7.4 Variacijsk? razmak je odvisen samo od obeh skrajnih vrednost? v populaciji. Zato je ta mera variacije zelo podvrže- na individualnim vplivom!, ker so ekstremne vrednosti dostikrat izraz netipičnih vplivov. Razen tega pa variacijsk? razmak ni odvisen od razmestitve vseh drugih vrednost? v razmaku variaci¬ je, k? bistveno vplivajo na variabilnost. Prednost variacijskega razmaka pa je v tem, da je treba zanj poznati samo obe skrajni vrednosti, kateri zlahka določimo, če so vrednost? urejene v ranžirni vrsti. Zato zara¬ di lahkega določanja uporabljamo variacijsk? razmak vselej, - 84 - kadar hočemo predvsem za manjše populacije hitro In orientacij¬ sko oceniti variabilnost pojava« KvartII n ? odkI on 7„5 * . Hibe, k? jih Ima varlacljskl razmak, deloma odpravi¬ mo s kvartllnlm odklonom. Osnovna hiba varlacfjskega razmaka Izvira Iz tega, da je odvisen samo od skrajnih, netipičnih vrednosti. To hibo odpravimo tako, da variabilnost merimo z razmakom, v katerem niso vse, temveč samo del enot v populaci¬ ji, brez ekstremnih vrednosti. Tako moremo meriti var lab?inosf z razmakom med prvim In devetim dectlom. V tem razmaku je 80 % vseh vrednost! tn je Iz njega Izločeno 10 % najmanjših In 10 % največjih vrednost?« Pogosteje kot z decllnlm razmakom merimo variabilnost s kvartllnlm razmakom, k! določa razmak, v katerem je 50 % osnovnih vrednosti Iz populacije. Iz kvart? Inega razmaka je Izločena četrtina najmanjših In četrtina na j več j Ih vrednosti. Običajno pa namesto kvart?Inega razmaka vza¬ memo za mero variacije kvart!1 nT odklon k! je polovica kvart?Inega razmaka. Kvart? In? razmak oziroma kvartllnl odklon pravilneje pokažeta variabilnost v populacij? kot varlacljskT razmak, ker sta določena Iz stabilnega dela vrednosti v populaciji. V sliki 7.1 je nakazano, kako je varlacljskl razmak neobčutljiv za različno razmestitev vrednosti v varlacljskem razmaku, kako pa različna razmestitev vpliva na kv&rtllnf raz¬ mak oziroma kvartllnl odklon. Vendar pa tud? kvartllnl odklon nima vseh prednosti, k? jih Imajo Izračunane mere variacije, ki so odvisne od vseh vrednost? v populaciji, ki najbolj natančno merijo variabil¬ nost . - 85 - OOOGOOOO.OOOOOOOOOOOOOOOOO . OOOOOOOO Qi 2Q Q.1 '/n/n '/na* S l s ? ka 7.1 R In Q pr? različnih razmestitvah 7.6 Izračunavanje kvartlSnega odklona sovpada z Izraču¬ navanjem kvartllov, k? so posebna vrsta kvartllov, katere smo obravnaval? v posebnem poglavju. Za premere 19 modelnih smrekovih dreves, za katere smo že Izračunal? varlacljsk? razmak, so v tabeli 5.3 Izraču¬ nan? kvantill. Za to populacijo je = 21,50 cm In = = 32,75 cm. KvartlIn? odklon pa je G = (32,75 - 21,501/2 = 5,62 cm. Povprečen absoluten odklon 7.7 Ker je višina posameznega drevesa Xj Izraz delovanja Individualnih In splošnih faktorjev na drevo, aritmetična sre¬ dina pa rezultat splošnih vplivov, sklepamo, da je razlika e^ = x| - x rezultat Individualnih vplivov na enoto 1. Odklo¬ ni od aritmetične sredine so pozitivni ali negatlvnlo Za merjen nje jakosti učinka Individualnih vplivov na enoto I pa pred¬ znak n? pomemben. Zato vzamemo za merilo jakosti Individualnih vplivov na enoto I absoluten odklon Individualne vrednost? od sredine |X| - 1T|« Za skupno merilo jakost? Individualnih vpli¬ vov na vse enote pa dobro služi aritmetična sredina iz Indivi¬ dualnih absolutnih odklonov. Povprečen absoluten odklon je to¬ re j - 86 - 17 « 3 ) AD > - wi isi ' 11 Povprečen absoluten odklon od aritmetične sredin« je mere va¬ riacije, k? je odvisna od vseh vrednosti v populacij! fn je to¬ rej občutI j I ve j la In ob jektIvnej?a mera variabilnosti kot varla cljskf razmak ali kvartlln! odklon« NI nujno, da povprečen avsoluten odklon Izračunamo Iz odklonov od aritmetične sredine« Močno ga je Izračunat? Iz absolutnih odklonov od katerekoli srednje vrednost?« Izkaže se, da je teoretično In praktično celo bolj utemeljeno, da ga Iz¬ računamo Iz odklonov od mediane. Povprečen absoluten odklon je namreč najmanj?? (7,4) če ga Izračunamo Iz odklonov od mediane« 7*8 Vzemimo v potrditev zgornje trditve shematičen pri¬ mer petih dreves, za katere poznamo premere: 27 cm, 29 cm, 33 cm, 34 cr», 37 cm. Zanje Izračunajmo povprečen absoluten od¬ klon od aritmetične sredine AD^ In od mediane ADj^l Za zgornjih pet premerov je x = 32 cm In Me = 33 cm. Tabela 7.1 Izračun povprečnega absolutnega odklona AD— In ADj^ g za premere petih dreves (shematičen primer) A D— = “X! x l“*"l = 16 /5 =3,2 cm; AS^ e = — ]T|x ? -Me| = 15/5 =3,0 N N Resnično je AD— = 3,2 cm večji kot AD^ e = 3,0 cm cm - 87 - Varianca In standardni odklon 7.9 Teoretično najbolj utemeljeno In najboljše merilo variabilnost? je varianca ali Iz nje Izpeljan standardni odklon. Analitično vrednost Ima predvsem varianca, kot opisni parameter pa uporabljamo običajno standardni odklon 0 2 Varla nca , katero konvencionalno zaznamujemo s 6 Islgma kvadrati, je povprečen kvadratlčn? odklon od aritmetič¬ ne sredi ne« Jz definicije sled? obrazec 6 X = 4rž(*i-'*) 2 /v /«r Pr? povprečnem absolutnem odklonu jakost Individual¬ nih vplivov merimo z absolutnim odklonom od sredine, pr? va¬ rianci pa s kvadratom odklona od aritmetične sredine. Pr? va¬ rianc? torej smer učinka Individualnih vplivov, k? za mero va¬ riacije ni bistvena, odpravimo s kvadrIranjem. Varianca je Izražena v enoti mere, k? je kvadrat eno¬ te mere za osnovni podatek, za katerega jo Izračunamo. Zato je varianca kot opisni parameter težko razumljiva In neprlkladna. V osnovni enot? mere Izraženo mero variacije pa dobimo, če Iz¬ računamo Iz variance kvadratni koren. Ta parameter, k? ga Ime¬ nujemo standardnI odkI on , zaznamujemo pa s 6 , je torej tJ r* ; - ~T) 2 (7.6) * Vse metode analize variabilnost? so zasnovane na analiz? odno¬ sov med variancami. Standardni odklon kot opisno merilo varia¬ bilnost? pa je posebno važen zaradi zveze z eno Izmed najvaž¬ nejših teoretičnih frekvenčnih porazdelitev - z normalno po¬ razdelitvijo. Izračun variance In standardnega odklona l ' . 7.10 Izračunavanje variance oziroma standardnega odklona je zahtevnejše kot Izračunavanje drugih mer variacije. Ker pa - 88 - pr? statističnem analiziranju podatkov dnevno naletimo na Izra¬ čunavanje varianc ?n standardnih odklonov, je praktično pomemb- no poznat? določene tehnične olajšave, s katerim! pridemo hit¬ reje do rezultata« Enako kot sredine moremo tud? varianco izra¬ čunat? iz negrupiranih podatkov In oceniti ?z grupiranih podat¬ kov« 7.11 Izračun variance in standardnega odklona ?z negrupi¬ ranih podatkov « Neposredna metoda « Če vzamemo za osnovo obrazec 7«5, izračunamo varianco po naslednjem postopku: a) bi c i d) e i ?z osnovnih podatkov izračunamo aritmetično sredino 7 izračunamo individualne odklone posameznih vrednost! od aritmetične sredine I -x2 dobljene individualne odklone kvadriramo (X|-xV varianco dobimo, če Izračunamo povprečje ?z kvadratov individualnih odklonov od aritmetične sredine s: RS'*! standardni s =<=všy odkI on je kvadratni koren Iz variance 7.12 Za primer izračunajmo varianco za premere sedmih dre¬ ves: 31 cm, 27 cm, 35 cm, 32 cm, 29 cm, 36 cm in 32 cm« Po zgornjem pravilu izračunamo najprej aritmetično sredino 7 = (31+27+35+32+29+36+32) : 7 = 222 : 7 = 31,71 cm Nadaljnji postopek je nakazan v tabeli 7«2 Postopek je jasen« Edina težava je v tem, d® so obi¬ čajno aritmetične sredine decimalna števila« Zato so odkloni od aritmetične sredine večmestna decimalna števila, zaradi česar so težave s kvadrira njem« - 89 - Tabela 7<>2 Izračun variance In standardnega odklona po nepo¬ sredni metod? za premere sedmih dreves V* = M,«8? , 8,4898 x N 7 a x = V 8 . 4898 = 2,91 cm 7*13 Metoda pomožnega znaka u * Zgornjo hibo neposredne metode odpravimo z metodo pomožnega znaka u* Zlahka moremo do¬ kazati* da je varianca tud? I uf - U 2 /N N 17*7) Pr? tem je razen znanih oznak pomožni znak u^ - Xj - x q odklon Individualnih vrednost? x^ od poljubne vrednost? x q * U = ]Tu| = vsota vseh vrednost? Uj* £ u 2 pa vsota kvadratov za pomožni znak U| za vse enote v populaciji* S tem obrazcem Izračunamo varianco po tehle točkah: a) glede na osnovne vrednost? x^ Izberemo poljubno okrog¬ lo vrednost x Q nekje med stvarnim? vrednostmi* s čemer zmanj¬ šamo vrednosti za pomožni znak u£ b) Izračunarmo posamezne odklone u^ = Xj - x Q * Dobljene vrednost? Uj kvadriramo: c) poiščemo vso-hot ' U = £ U| In vsoto kvadratov ]Tu 2 ; d) dobljen? vsot? vnesemo v obrazec 7*7* » 90 - Z metodo pomožnega znaka u se izognemo zamudnemu kvadriranju in seštevanju večmesimih števil* kar je hiba nepo¬ sredne met ode 0 ' V / Ce n? moč najt? neke vrednost ?* k! b? mogla služit! kot pomožno izhodišče za znak u* vzamemo* da je - 0» V tem primeru obrazec 7o7 preide v -a _ Ixf - X 2 /N * N ilcQ) Pri tem pomeniš X = X vsota osnovnih podatkov* Y_ xf = vsota kvadratov osnovnih podatkov* N = štev? Ib enot v popu I a c ? jio Ta obrazec je primeren za izračunavanje variance po¬ sebno v primerih* Če jo računamo z računskim strojem in kvadri ranje ni poseben probleme 7.14 Za primerjavo z neposredno metodo izračunajmo po me tod? pomožnega znaka u varianco za iste podatke. Izračun vari- ance po metodi pomožnega znaka u je nakazan v tabeli 7.3. Iz pregleda osnovnih vrednosti povzamemo* da je najugodneje* če vzamemo* da je x Q = 32 cm. Tabela 7.3 Izračun variance za premere 7 dreves po metodi pomožnega znaka u = I«: če vnesemo dobljene vmesne rezultate v obrazec 7.7* dobimo Dobljen? rezultat se sklada z rezultatom, k! smo ga dobri? po neposredni metod?® Ker smo dobil! z znatno lažjim postopkom ?stf rezultat, metodo pomožnega znaka v praks? uporabljamo sko ro Izključno® 7 0 15 izračun variacije In standardnega odklona Iz frek¬ venčnih porazdelitev ® Ža populacije z velikim številom enot mo rerno tud? varianco ocenit? Iz frekvenčne porazdelitve® Ocena variance Iz frekvenčne porazdelitve je po obrazcu 6 x = Tri f k (h' V* (7®9) ' V A*7 * ponderirana aritmetična sredina kvadratov odklonov sredin raz¬ redov x^ od aritmetične sredine Pr? tem so frekvence ustrez nlh razredov ponderl® Ocena variance po tem obrazcu je tem boljša, čim manjši so razredi, ker frekvenčna porazdelitev z ožjim? razred? verneje kaže sliko vseh vrednosti v populacij!« Iz Istih razlogov kot pr? negruplranlh podatkih pa je Izračuna vanje variance po osnovnem obrazcu 7«9 zamudno In neprlkladno® Zato ga v splošnem v praks? ne uporabljamo® Pač pa v praks? uporabljamo za frekvenčne porazdelitve, k? Imajo enake razrede dve metodi: metodo pomožnega znaka u In metodo kumulatlv ® Pr! obeh razširimo načeli, k? smo ju uporabil? že pr! Izračunavanj ar I tmet I čne *sr ed I ne Iz frekvenčnih porazdelitev® 7 ® 16 Metoda pomožnega znaka u P Pomožni znak u, kf je z osnovnim znakom x v zvez? x x ' „ u x - x 0 + i.u (7*10) smo uporabil? že pr! Izračunavanju aritmetične sredine Iz frekvenčnih porazdelitev® Sredine razredov v frekvenčni poraz¬ delitvi za znak u so ®o® -3, -2, -1, O, +1, +2, +3 ®.®, pr? čemer velja vrednost 0 za razred, za katerega je sredina raz¬ reda x ® o 9 Po metodi pomožnega znaka u izračunamo varianco po naslednjem postopku« a) V frekvenčni porazdelitvi upeljemo pomožni znak u ... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ...; b) frekvence f^ pomnožimo z ustreznimi vrednostmi u^« Tako dobimo produkte f^u^; c) dobljene produkte f^u^. ponovno pomnožimo z ustreznim? vrednostmi u^, da dobimo vrednosti, f^uj^ d) izračunamo vsoti £ f^u^ = U in£f k u k' e) dobljene izraze vnesemo v obrazce K = Ib uj>- U^N , 6 2 = i 2 .K/N (7.11) in dobimo varianco. 7.17 Izračunavanje variance po metod? pomožnega znaka po¬ nazorimo na frekvenčni porazdelitvi premerov v čistem smreko¬ vem sestoju A na Pokljuki iz tabele 3.4. Izračun je prikazan v tabeli 7.4. Tabela 7.4 Izračun variance in standardnega odklona po metodi pomožnega znaka u za premere dreves v čistem smre¬ kovem sestoju A na Pokljuki -93 V r ' Ce dobljene podatke vnesemo v obrazca 7.9, dobimo: K = I fu 2 - U 2 /N = 1330 -{+114) 2 /507 = 1304,3669 6 2 = I 2 .K/N = 5 2 .1304,3669/507 = 64,3178 ocena standardnega odklona pa je 6 = V? = V64,3178 = 8,02 cm 7.18 Metoda kumulat I v . Podobno kot aritmetično sredino moremo tudi varianco Izračunat? z metodo kumulattv. Po metodi kumulatlv Izračunamo varianco tako, da: a) Iz frekvenc f v frekvenčni porazdelitvi Izračunamo enako kot pri Izračunavanju aritmetične sredine prvo kumula- 11 vo F. b) Za Izračun variance pa potrebujemo če drugo kumulatlv- no vrsto frekvenc FF. To dobimo Iz prve kumulativne vrste frek¬ venc F, če postopek kumulativnega seštevanja ponovimo na prvi kumulativni vrsti frekvenc F. c) Zadnji člen (pod črto) v prvi kumulativni vrsti je e na k obsegu populacije N, zadnji člen v drugi kumulativni vrsti (pod črto) je količina A, vsota členov Iz druge kumulativne vrste FF (brez zadnjega člena pod črto) pa je količina B. d) Iz dobljenih podatkov dobimo varianco po obrazcih: K s 2B + A - A 2 /N 6? = i 2 . K/N (7.12) 7.19 Prednosti postopka kumulatlv najlepše ponazorimo na primeru. Zaradi kontrole vzemimo Isti primer kot pr? postopku pomožnega znaka u. Dobljene pomožne rezultate Iz tabele 7.5 vnesimo v obrazec 7.10. , K= 2. B + A - A 2 /N = 2.5222 + 2421 - 2421 2 /507 = 1304,3669 0 2 _ | 2 0 k/n = 5 2 .1304,3669/507 = 64,3178 6 x s = -/64,3178 = 8,02 cm - 94 - Tabela 7<>5 Izračun variance za premere v čistem smrekovem sestoju A na Pokljuki Iz tabele 3«4 507 2421 N A Rezultat je skladen z rezultatom, k? smo ga dobili po metod? pomožnega znaka u« Primerjava obeh metod pa govor? v prid metode kumulatlv, ker odpade za Izračunavanje pomožnih ko¬ ličin vsako množenje« Razen tega pa dobimo kot postranski re¬ zultat Se kumulativno vrsto frekvenc, k? more služit? za anali¬ zo frekvenčne porazdelitve« 7»20 Sheppardov popravek « Ker je frekvenčna porazdelitev le približna slika vrednost? v populaciji, k? je tem natančnej¬ ša, čim ožji so razredi, je tud? varianca, Izračunana Iz frek¬ venčne porazdelitve, le ocena variance, k? jo dobimo, če jo Iz¬ računamo Iz Individualnih vrednost?« Za unlmodalne, ne preveč asimetrične porazdelitve, se pr? Izračunavanju aritmetične sre¬ dine Iz frekvenčnih porazdelitev učinek grupiranja v razrede v vsot? Izravna« Pr? Izračunavanju variance Iz frekvenčnih poraz¬ delitev pa dobimo sistematično preveliko oceno« Učinek grupira¬ nja je odvisen od širine razredov In znaša 1^/12« Oceno varian¬ ce za unlmodalne, ne preveč asimetrične porazdelitve, Izračuna¬ no po prejšnjih postopkih, popravimo tako, da jo zmanjšamo za popravni člen 1^/12« Tako dobimo obrazec - 95 - (7.13) Ta popravek Imenujemo Sheppardov popravek,. Cist? smrekov sestoj A na Pokljuki izpolnjuje pogoj za uporabo popravka, ker je porazdelitev unimodalna In se frek¬ vence v najn?žj?h In najvlžjlb razredih približujejo nič® Po¬ pravljena varianca je torej <3p 0 p = S 2 - 1 2 /l2 = 64,3178 - 5 S /12 = 62,2345 popravljen s+andardn? odklon pa 6 n on = "Js 2 = "/62,2345 = 7,89 cm pop V PPR v * * * i' ’ O Popravljena varianca je od variance 6 = 62,3190, k? je Izra¬ čunana Iz osnovnih, negruplranlh vrednosti, različna le za 0,141 % t medtem ko je nepopravljena ocena variance prevelik« za 3,2 %o 7 0 21 Zveza standardnega odklona z normalno pora zdei11v?jo» Varlacljsk? razmak, kvartlln? odklon In tudi povprečen absolut¬ ni odklon so mere variacije, za katere je pomen In smisel do¬ kaj jasen® Navidezno pa je manj jasen standardni odklon, dokler ga ne obravnavamo v zvezi z lastnostmi nekih frekvenčnih poraz- de I1 tev o Čeprav kasneje obravnavamo normalno porazdelitev po¬ sebej, navedimo nekaj lastnost? normalne porazdelitve v zvezi s standardnim odklonom® Normalna porazdelitev je ena Izmed o- snovnih teoretičnih porazdelitev In se v približku pod določe¬ nim? pogoji pogosto pojavlja tudi v praksi® Vse normalne poraz¬ delitve so sl med seboj podobne, med seboj se razlikujejo samo po aritmetični sredini In standardnem odklonu® Vsaka normalna porazdelitev je določena z aritmetično sredino In standardnim odklonom® čeprav so posamezne normalne porazdelitve glede na različne aritmetične sredine In standardne odklone različne, velja splošna zakonitost, da je v razmaku F - 6 do F + 6 68,27 % ali okroglo 2/3 vseh vrednosti j, v razmaku - 96 - x - 26 do x + 20 95,45 % al? okroglo 19/20 vseh vred¬ nost? ?n v razmaku 7-30 do 7 + 36 99,73 % ali praktično vse vrednosti v popu I a c I j 1 0 Tl odnos? veljajo strogo za normalno porazdelitev« Približno pa veljajo tud? za unlmodalne, simetrične In zvona¬ ste sts^alrhfe poražde 11 t^fc. v razmakih x ! 6, x - 2S In x ! 36 Skupna varianca 7.22 Prednost variance pred drugim? meram? variacije je tudi v tem, da moremo Iz podatkov o delnih populacijah Izraču¬ nat? skupno varianco, če poznamo za delne populacije, k? se¬ stavljajo skupno populacijo, število enot N,, aritmetične sre- — 2 K dlne X| ( , In variance 6^. Te možnosti nimamo za nobeno drugo mero variacije« Če upoštevamo osnovne obrazce o varianci, mo- o remo dokazati, da je skupna varianca S enaka d - faŽ H, (x k - * faf N k el (7«14) Prvi člen v obrazcu je tehtan povprečen kvadratlčnl odklon grupnlh sredin 7^ od skupne arltmetl.čne sredine za celo populacijo 7« Drug? člen pa je tehtana aritmetična sredina Iz 2 grupnlh varianc 6^« 97 - 7.23 Za prfmer izračunajmo skupno varianco za premere v borovem sestoju, ki je razdeljen po kakovost? v pet delov« Za ta sestoj so osnovni podatki dani v tabel? 7.6. V tej tabeli je tud? nakazan Izračun za skupno varianco« Tabela 7«6 Izračun skupne variance za premere borovega sesto¬ ja iz grupnfh podatkov za pet oddelkov (Vir: R« Frauendorfer: Planung und Durcbfuhrung von Stfchprobe nabmen, Wlen, Munchen 1957) _ k _ 25886,92 . N 1202 ilN k <7 k -x) 2 ♦ i 2 N k 6 2 18665,1548 13923,32 1202 1202 = 15,5284 + 11,5835 = 27,1119 7.24 Obrazec 7.14 za i zr ačunavanj e skupne variance pa ni važen le, ker moremo z njim iz grupnfh podatkov izračunati skupno varianco, temveč predvsem zato, ker moremo z njim skup¬ no varianco razdeliti v dva dela: v varianco med grupami in v varianco v grupah. Ker so grupne aritmetične sredine izraz splošnih pogojev v grupah, so razlike med grupnlm? aritmetični¬ mi sredinam? rezultat razlik v pogojih med grupami, torej re¬ zultat vpliva faktorjev, po katerem je populacija razdeljena v grupe. Varianca med aritmetičnim? sredinami torej meri jakost faktorja, po katerem Je populacija razdeljena v grupe. Od skup- - 98 - ne variance 6^ = 27*1119 izvira 6 - = 15*5284 variance iz raz- lik v kakovost? posameznih delov sestoja«. Zato imenujemo ta del variance pojasnjena varianca o Če razlike v delovanju faktorjev po delih ne bi vplivale na premere dreves* b? bile povprečne debeline v vseh delih ena k®* varianca med grupnlm? sredinam! pa nlčo Obratno pa so grupne variance rezultat vplivov drugih* Individualnih faktorjev* ki vplivajo na premere dreves v posa¬ meznih dellho Povprečna varianc« Iz varianc v grupah je torej merilo jakosti Individualnih nepojasnjenih vplivov v grupah po¬ pulacije« Zato Imenujemo-to varianco nepojasnjena varianca «. V skrajnem primeru* da na drevesa razen kakovost? tal ne b? vplival noben drug spreminjajoč faktor* bi bili premeri vseh dreves v posameznih grupah enak?« V tem primeru b? bile grupne variance In povprečna varianca Iz njih enaka n?č 0 Skupno varianco moremo torej po zgornjem postopku razdelit? v del* k? Izvira Iz vpliva faktorjev* po katerem smo populacijo razdelil? v grupe* In varianco* k? je rezultat osta¬ lih Individualnih vplivov« Zato moremo obrazec 7«12 pisati ana¬ litično v oblik? e l = T k ? n 7 k . 'I - 114 - Tabel« 8»5 Izračun koordinat za regresljsko črto drsečih sre' din za odvisnost debeline skorje od premera drevesa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y? 24.3 25.0 25.8 26.1 26.5 26.9 27.5 28.4 29.5 30,0 30.6 Slika 8*5 Regresijska črta beline skor j e od drseč!h sredi n za premera dreves odvisnost de- 115 Dobljene drseče sredine so vnešene v korelacljsk? grafl- kon» Slika 8*5 pokaže, kako sta premer ?n debelina skorje pozi¬ tivno odvisna In da je regresija precej linearna* 8*13 Analitična metoda za določanje regresljsklh krivuljo Teoretično najustreznejša je za regresljsko analizo analitič¬ na metoda, pr? kateri poiščemo regresljsko krivuljo po metod? najmanjših kvadratov«, Po tej metod? po predhodni analiz? podat¬ kov določimo najprej tip In analitično obliko funkcije v -N . y' = f (x,a J b J c ...) ( 8 * 6 ) k? glede na stvarne podatke ustreza kot regresljska funkcija® aoboCooo v obrazcu so parametri, k? določajo konkretno funkcijo danega tipa® Po metod? najmanjših kvadratov je Izmed vseh možnih funkcij Izbranega tipa regresljska funkcija tista, za katero so vrednost? parametrov take, da zadoščajo pogoju, da je vsota kvadratov odklonov stvarnih vrednosti za y od ustreznih vrednost? y 1 najmanjša £(y - y') 2 = ][[y -f(x J a J b,c ...)f s F(a,b,c...) = min (8*75 Po znanih pravilih za določanje ekstremov za funkcije več spre¬ menljivk je Izraz Iz 8*7 najmanjši, če parametri zadoščajo po¬ goju, da so parcialni odvodi po posameznih parametrih enaki O* dF (aA c : . J . - o ; s o ; = q .... (8*85 da db dc Tako dobimo toliko enačb, kolikor parametrov Ima regre¬ sljska funkcija* Iz zgornjega slsfema enačb, k? jih Imenujemo norma I ne e načbe , Izračunamo vrednosf! za parametre za dano re¬ gresljsko funkcijo* 8.14 Mera stopnje odvisnosti * Če upoštevamo obrazce 8*4, 8*6 In 8*7 zaključimo, da je ■ki 2 - jjim * - «*>] ! -- -«/ < s. ? i - 116 - povprečen kvadratičen odklon s+varnTh vrednosti za y od regre¬ si j s ke krivulje y* merilo jakosti individualnih vplivov I, k? razen znaka x vplivajo na znak y. 2 Varianco S g imenujemo nepojasnjeno varianco , ker iz¬ vira Iz individualnih vplivov, katerih ne poznamo. Nepojasnjene varianca je tem manjša, čim manjši so individualni vplivi ozi¬ roma čim večja je stopnja povezanosti in obratno. Ker je razi? ka med skupno varianco za y in nepojasnjeno varianco 6^ - varianca, k? je pojasnjena z odvisnostjo y od x, kvocient r 2 S e> V* ; - £ (8010) pove, kolik del od skupne varjance je pojasnjen z odvisnostjo y od x. Koeficient I , ki ga imenujemo determinacijski koefi ¬ cient , uporabljamo za merilo jakosti odvisnost? znaka y od x. N/ Cim večja je odvisnost, tem večji je namreč determinacijski koeficient. Pr? funkcijski odvisnosti je determinacijski koe¬ ficient največji in sicer 1, ker je vsa variabilnost pojasnje¬ na z odvisnostjo y od x. De term?na cij s k? koeficient ?ma vred¬ nost? med 0 do 1. Če pojava nista odvisna, je determinacijski koeficient 0, in je tem večji, čim večja je stopnja odvisno¬ sti znaka y od x. Včasih merimo jakost odvisnost? s kvadratnim korenom iz determ?na c?jskega koeficienta v. * 7 - 6> ( 8.-11 ) Ta koeficient imenujemo na splošno i nde ks kore Iac T j e Iz obrazca 8.10 moremo izračunati standardni odklon, k? je merilo jakost? ? nd ? vi dua i n itr vplivov. •V' - z ( 8 . 12 ) Če je odvisnost y od x tesna, se stvarne vrednost? za y ne odklanjajo dosti od vrednosti y f , k? jih izračunamo iz regresijske enačbe, če poznamo za posamezne enote vrednosti x. Zato moremo v takih primerih vzeti izračunane vred¬ nosti y f za ocene stvarnih vrednosti y. V koliko se stvarna - 117 - vrednost y odklanja od ocene y f , ne vemo natančno. Pač pa vemo, da približno 2/3 primerov odklonov ni večjih kot en standardni odklon, da približno 19/20 odklonov n? večjih kot dva standard¬ na odklona ?n da skoro noben odklon n? večji kot trije stan¬ dardni odkloni. To povzamemo iz lastnosti? standardnih odklonov iz odstavka 7.21. Zato imenujemo standardni odklon tudi standardno napako ocene , ker daje informacijo o tem, kolik je možen odklon stvarne vrednosti od ocene y', ki jo dobimo z re¬ gres ? j s ko krivuljo, če za dano enoto vemo, kolika je vrednost x« Linearna regresija in korelacija 8.15 V naravi najdemo dosti pojavov, k? so povezani line¬ arno. Za dosstl pojavov pa je regresijska krivulja premici tako podobna, da moremo zanje v približku vzeti, da so povezani li¬ nearno. Tudi za krfvuljčne odvisnosti moremo regresijo na kraj¬ šem razmaku v približku smatrati za linearno. Zato s proučeva¬ njem linearne regresij* rešujemo velik del problemov s področja korelac?jskih odvisnost? med pojavi. Zato se bomo omejili na proučevanje linearne odvisnosti. če je regresijska krivulja premica, je v splošnem enačba premice “■ < -V ) y‘ - O * b (x - x ) (8.13) Po metodi najmanjših kvadratov je za parametra a in b za regre¬ si jsko premico,pogoj, da je Z(y ~ y') 2 = X[y-a-b(x-x)] 2 - F( a,b) - min (8.14) Če izraz 8.14 parcialno odvajamo po a in b, dobimo naslednji o norma I n ? enačb ? : dF( d a / -t = -2Z[y-a-b(x-x)]= 0 ° = ~ ^Z[y - 0- b(x- x)](x -x) = 0 Iz teh dveh normalnih enačb povzamemo, da izračunamo parametra a In b po obrazcih - 118 - o = y b = . Z(x~ x)(y - y) I(x - x ) 2 (8.16) Če v obrazcu za izračunavanje parametra b, ki ga imenujemo regresijski koeficient , izraz v števcu in imenovalci delimo s številom enot N, dobimo v imenovalcu varianco za znak X, v števcu pa Izraz Z(* - *)(y - y) "V N 18*17) k? ga Imenujemo kovaria nca 0 Kovarianca je po definiciji povpre čen produkt odklonov znakov x i n y od ustreznih aritmetičnih sredin« Če vnesemo vrednosti parametrov v obrazec (8<>13) za premico, dobimo, da je y' = y + b,(x - x) ; _ c *x Gr (8.18) Ker moremo pr? č?s>tih korelacijskih povezavah iskati razen odvisnosti y od x tud? odvisnost znaka x od y, dobimo z analognim sklepanjem poleg zgornje, ki jo imenujemo prvo regre sijsko premico , če drugo regresijsko premico x' = X + bJy - y) h- (8.19) Medtem ko prvi regresijski koeficient b^ pove, za koliko se v splošnem spremeni vrednost za y, če se spremen? x za enoto, pove drugi regresijski koeficient bg, za koliko se v splošnem spremeni x, če se y spremeni za enoto« Peter iti j na c ? j sk j koeficient pr? linearni korelaciji izračunamo pa ga po obrazcu zaznamujemo z r xy ■ r *r = 2 $*} ( 8 « 20 ) Kva drat* n I koren Iz determinaci jskega koeficienta, ki ga v splošnem imenujemo Indeks korelacije, imenujemo pr? linearni korelacij? koeficient korelacije r xy ~ '~xy $*y ( 8 . 21 ) - 119 - Koeficient korelacije r Ima vrednost! med -1 do +1 • Če je ko._ relacija pozitivna, je korelacfjskl koeficient pozitiven, pr? negativni linearni korelacij? pa je korelacfjskl koeficient ne¬ gativen« Absolutna vrednost kore Iacljskega koeficienta pa je tem večja, čim večja je stopnja odvisnost? 3 In je ena, kadar je odvisnost linearna In funkcijska« 8 o 1 6 Izračunavanje pokazateljev za linearno regresijo In kore ladjo « Če Izračunavamo pokazatelje linearne korelacije, najprej Izračunamo Iz osnovnih podatkov za x in y količine x, _ 2 d y, 6 , S,, ?n c . Vse izmed teh količin, razen kovarlance, x y x y že znamo Izračunavat?« Enako kot prt Izračunavanju varianc Iz negrupiranih podatkov se tud? pri izračunavanju pokazateljev linearne regre¬ sije In korelacije obnese metoda pomožnega znaka« Pr? tem uve¬ demo za znak x In za znak y pomožna znaka u = x - x 0 ; v = y - y 0 (8.22) tako, da od osnovnih vrednost? za znak x odštejemo neko ustrez¬ no vrednost x od y pa ustrezno vrednost y Q tako, da dobimo čim prlkladnejše vrednosti za pomožna znaka u In v n I sredin? x In obraze? h pri čemer je U = ]T u; V = ]T v Iz teh vmesnih rezultatov pa Izračunamo pokazatelje linearne korelacije po obrazcih 8.18 do 8.21. o - 120 - 8.17 Iz kore I a c?jskega grafikona v sliki 8.2 smo ugoto- vili, da je debelina skorje za marllandsko fopolo linearno po¬ vezana s premerom drevesa. V +abeI5 8.6 so po postopku, ki je nakazan v odstavku 8.16, izračunani pokazatelji linearne re¬ gresije in korelacije po shemi, ki tehnično najbolj ustreza za izračunavanje. - 121 - I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tabela 8.6 Izračun pokazateljev linearne regresije in korela¬ cije za povezanost debeline skorje In premera dreves za 122 Slika 806 KorelacTjsk! grafikon za povezanost debeline skorje (y) in premera dreves (x) za merilandsko iopolo z regresijskima premicama. - 123 - 9. TEORETIČNE PORAZDELITVE 9.1 Pomen proučevanja teoretičnih porazde I itev . Do sedaj obravnavane frekvenčne porazdelitve so bile rezultat statistič¬ nega opazovanja stvarnih populacij. Stvarne frekvenčne porazde¬ litve so na j raz I ičnejš?h oblik, odvisno od faktorjev in pogo¬ jev, v katerih se je proučevana populacija razvijala. Kazen porazdelitev, ki jih dobimo z opazovanjem stvar¬ nih populacij, pa imamo tud? teoretične frekvenčne porazdelitve, k? jih sestavimo na osnov? logičnih predpostavk in izpeljemo matematično. Teoretične porazdelitve so važne za razvoj stati¬ stične teorije in prakse in jih uporabljamo v najrazličnejših postopkih pri statistični analizi. Proučevanje teoretičnih porazdelitev je važno iz več v idikov: a) Če se stvarna porazdelitev sklada s teoretično po¬ razdelitvijo, do katere pridemo z določenimi predpostavkami; v nekaterih primerih iz tega sklepamo na stvarne pogoje, ki so identični pogojem, pod katerimi je sestavljena teoretična po¬ razdelitev. Tako sklepamo, da je n.pr. sestoj enodoben ?n čist in da so nanj vplivali samo slučajni, nebistven? faktorji, če je stvarna porazdelitev premerov podobna normalni. Normalna po¬ razdelitev je namreč teoretično izdelana pod predpostavko, da na pojav razen slučajnih vplivov ne delujejo nobeni drugi 5n- d! v Idua Ini vplivi. bi Če ne poznamo stvarne porazdelitve, s teoretični¬ mi por az de I i tva m? ugotovimo, kakšna bi bila približno stvarna porazdelitev pojava, če poznamo faktorje in predpostavke, kate¬ rim stvarna populacija oziroma enote zadoščajo. Za dan sestoj poznamo število dreves, aritmetično sredino in standardni od¬ klon. Če predpostavljamo, da je sestoj enodoben in čist, skle¬ pamo, da se premeri p©razdeljujejo v normalni porazdelitvi. Pr? tej predpostavki moremo izračunati, koliko je približno stvarno število dreves v posameznih debelinskih stopnjah, ne da poznamo individualne premere dreves. c) Posebno pomembne pa so teoretične porazdelitve v vzorčenju, ki je posebna in najj pomembnejša^ metoda ocenjevanja v 124 - s tatistlk i , in pri preizkušanju hipotez, k? je osnova za pose b- no statistično disciplino - planiranje eksperimentov. Normalna por a zde I j tev 9.2 Normalna porazdelitev je ena izmed najvažnejših, a tudi najbolj poznanih teoretičnih porazdeIitev» Veliko pojavov se porazdeljuje v unimodalni, simetrični in zvonasti obliki, kar so tipične značilnosti za normalno porazdelitev. Razen te¬ ga je normalna porazdelitev osnova za izpeljavo raznih drugih, za statistično teorijo ?n prakso važnih porazdelitev, kot so: t-por a zde I ? te v, "X -por azde I ? tev, F-por a zde I l te v. Pod določeni¬ mi pogoji preide v normalno porazdelitev večina teoretičnih porazdelitev: binominalna, Poissonova, hipergeometrična in vse tri zgoraj naštete: t-porazdeI?tev, X -porazdeI?te v in F-poraz- de I ? tev. 9 o 3 Opis normalne por a zde I11ve . Normalna porazdelitev je določena z dvema parametroma: aritmetično sredino M in stan¬ dardnim odklonom S . Gostota relativne frekvence -oo “ 127 - P(x) 1,00 * \UiUU 25 30 35 X S IT k a 9.3 Kumulativna normalna porazdelitev 9.5 Za vsako normalno porazdelitev je P(M) = 0,50. Zaradi simetrije normalnih porazdelitev je za vsako normalno porazdelitev polovica frekvence pod aritmetično sredino M. Na¬ dalje je ne glede na velikost parametrov M In 6 za vsako nor¬ malno porazdelitev P(x = M + z.6) = P(z) (9.4) Kumulativna relativna frekvenca za x = M +■ zS je za vsako nor¬ malno porazdelitev odvisna samo od koeficienta z, nič pa od pa¬ rametrov M in 6 . Iz tega dalje sklepamo, da je tudi frekvenca v razmaku NA - z6 do M + z0 pri stalnem koeficientu z enaka za vse distribucije, ne glede na velikost M in 6 .To sledi iz zveze f ° (M - z6 ^ x< M + z6 ) = P ( x= M+ z6 ) - P { x = M - z6 ) = = P(z) - P(-z) Tako je relativna frekvenca v razmaku enega standardnega odklo¬ na od aritmetične sredine navzdol in navzgor (od M - 6 do - 128 - M + 0 ) za vse normalne porazdelitve enaka 0*6827, v razmaku od M - 26 do M + 26 enaka 0,9545, v razmaku od M - 36 do M + 36 enaka 0,9973 l+d. 9.6 Standardiz I ra n znak z . Pomen koeficienta z najbolje spoznamo, če Izhajamo iz zveze med količinami z, x, M InS . Iz obrazca x - M + 2.6 dobimo, da je » x - M 6 (9.5) Za dano vrednost x je z, ki ga Imenujemo standardi¬ ziran znak, odklon osnovne vrednosti x od aritmetične sredine M, merjen v standardnih odklonih S . Standardiziran znak z je neimenovano Število in podaja mesto vrednosti v normalni poraz¬ delitvi. Za vse vrednosti, ki so večje kot aritmetična sredina M, je z pozitiven, In obrafno, za vrednost? x, ki leže pod a - ritmetično sredino, je z negativen. Za približno 2/3 (natančno 68,27 %\ vseh vrednost? v normalni porazdelitvi je z torej ab¬ solutno manjši kot 1. Analogno je za približno 19/20 (natančno 95,45 %) vseh vrednosti" z absolutno manjši kot 2, za skoro vse (natančno 99,73 %) vrednosti pa z absolutno ni večji kot 3. Vzemimo sestoj, ki se normalno porazdeljuje in ima aritmetično sredino M £ 35 cm in 6=8 cm. Za drevo, ki Ima premer x = 48 cm, ne vemo, al? je glede na ta sestoj drevo z velikim al? majhnim premerom. Če pa izračunamo zanj ustrezni standardiziran znak z x - M _ 48 - 35 0 8 + 1,625 spoznamo, da je drevo glede na drevesa vsega sestoja nad pov¬ prečjem in razmeroma veliko. Ustrezni z je namreč pozitiven in razmeroma velik. Kot vidimo Iz primera, s standardiziranim znakom, po¬ dobno, vendar na drug način kot s kvanti I n I m 1 rangi, določamo mesto enote v populaciji. - 129 - 9.7 Standardizirana normalna porazdelitev , če se x poraz deljuje v normalni porazdelitvi, se v normalni porazdelitvi po razdeljuje tudi sta n dar d? z ? rann znak z, ker je z znakom x v li¬ nearni zvezi. Iz zveze z = x - M 6 'i zlahka dokažemo, da je za standardizira n znak aritmetična sre¬ dina = O, standardni odklon pa S z = 1. Sta ndardi z ? ra n znalk z se torej porazdeljuje normalno s parametri M z = O I n 6 Z = 1. Za to normalno porazdelitev, ki jo imenujemo sta nda r dlzlrano normalno porazdelitev, je gostota relativne frekvence f) Razlike dveh zaporednih členov Iz vrste so teoretične frekvence za prilagojeno normalno porazdelitev,, 9 0 9 ... Za primer prilagodimo normalno porazdelitev frekvenč ni porazdelitvi premerov za čisti smrekov sestoj A na Pokljuki Iz tabele 3„4o Sestoj Ima N = 507 dreves. Zanj smo Izračunali, » 133 - da je aritmetična sredin« M s 38,62 ero, standardni odklon pa 6 = 7 p 89 cm o V tabel? 9o3 je nakazan Izračun prilagojene normalne porazdelitve po postopka ?z prejšnjega odstavka«. Tabela 9<>3 Prilagoditev norme 3rac porazdelitve za frekvenčno porazdelitev premerov za čist? smrekov sestoj A rsa Pokljuki Za spodnjo mejo v četrt? debelinski stopnji je n 0 pr 0 ustrezna vrednost za '4,m? n ‘4,m? n S '4,m? n' » M 5 - 38,62 7.S9 ~~2 «99 V tabel? 9<>3 so v zadnjem stolpcu vpisane še stvarne ■frekvenčno Če stvarne frekvence primerjamo z dobljenim? ieore= tičnlm? frekvencam? za pr?l«g©°en© porazde8?tev, vidimo, da raz Sike niso znatne«, Večje razlike so edino v sedmi ?sn os m? debe = I Inski stopnji«, Nenavadno Izgled®, da teoretične frekvence niso cela, temveč decimalna štev?la 0 Vendar je, glede na to, da so teore= tične frekvence Izračunane vr ednos11, to ume strn©«, 34 = f r premer cm Slika 9.4 Frekvenčna porazdelitev premerov dreves v čistem smrekovem sestoju A na Pokljuki, s prilagojeno normalno porazdelitvijo J Verjetnostne porazdelitve 9.10 Predpostavljajmo, da poznamo osnove verjetnostnega računa« (Glej Rajko Jamnik, Ljubljana, 1959s Matematika za gozdarje, str. 263-296.) Porazdelitev relativnih frekvenc smatra¬ mo kot verjetnostno porazdelitev za določen statistični znak, če vzamemo kot poskus v smislu verjetnostnega računa s I uča j nosten Izbor posamezne enote populacije. Pogoj za slučajnostnl Izbor je, da Ima vsaka enota enako možnost, da jo Izberemo, kot do¬ godek v smislu verjetnostnega računa pa vzamemo dejstvo, da Ima Izbrana enota določeno vrednost znaka al? slučajnostne spremen¬ ljivke« Ta opredelitev verjetnost? se sklada z definicijo apri¬ orne verjetnost?« Tako moremo za sestoj Iz tabele 4.1 povzeti, da je verjetnost, da slučajnostno Izberemo Izmed N = 507 dreves drevo, za katerega je premer med 30 cm In 35 cm, enaka Pr = 0,233, ker je v tem razredu 23,3 % od vseh enot v populacij?« Do verjetnosti pa pridemo aposterlorno tako, da po¬ navljamo slučajnosten Izbor In Iščemo relativno frekvenco po- - 135 - gosfnostl, s katero Izbiramo slučajnostno Iz populacije dreve¬ sa s premeri 30-35 cm« Čim večkrat poskus izbora ponovimo, tem bolj se relativna frekvenca pogostnosti približuje verjetnosti, da s s lučajnostnlm Izborom Izberemo drevo s premerom 30 cm do 35 c m . Pod Istim? pogoji smatramo za verjetnostne porazde¬ litve tud? relativne frekvence pr? feoreflčnlh porazde!Itvah« Tablice relaflvnlh frekvenc za feoreflčne porazdelitve so ob¬ enem verjetnostne porazdelitve za določene slučajnostne spre¬ men I jIvke« Za normalno porazdelitev Iz tablice o relativnih frekvencah z) n«pr. razberemo, da je verjetnost, da Iz nor¬ malno porazdeljene vrednosti, s Iučajnostno Izberemo enoto, za katero je standardiziran odklon vrednosti med z=0 In z=1,00, enaka Pr = 0,3413, ker je Pr (0< z< ? } = }(z) = yi(z)dz = 0,3414 o Verjetnost, da Iz normalno porazdeljene populacije slučajnost- no Izberemo enoto, za katero je standardiziran znak v razmaku od - 1,96 do +1,96, je enaka Pr (-1,96< z<+1 ,96) =0,95 Iz tablic za relativne frekvence za normalno porazdelitev da¬ lje sklepamo, da je verjetnost, da Iz normalno porazdeljene po¬ pulacije z naključnim Izborom Izberemo enoto, za katero je stan¬ dardiziran znak z večji kot +1,645, enaka Pr=0,05 o Podobno mo¬ remo določit? verjetnost za z v poljubnem razmaku« Pojem tveganja 9 o 11 Popolnoma gotovih dogodkov v življenju n? vellkOo Za večino dogodkov je le neka določena verjetnost, da se zgode,, Vendar smatramo dogodke, za katere je velika verjetnost, da se zgode, praktično za gotove. Tako pri prečkanju ceste pričakuje¬ mo, da nas ne bo povozi I avto, čeprav to ni gotovo In je neka verjetnost, da bomo povoženi® Pr? prekoračenju ceste zato tve¬ gamo, da bomo povoženi, ker je določena verjetnost, da se to - 136 - zgod?o Če vzamemo, da se bo dogodek* ki je samo verjeten, zago¬ tovo zgod!!, več ali manj tvegamo« Stopnja tveganja je enaka verjetnost?, da se dogodek, k! ga napovedujejo, ne zgod?« Vs? zaključki, k? jih napravimo z metodam! statistič¬ ne indukcfje, zavestno vsebujejo določeno stopnjo tveoanja. Pr? teh sklepih stopnjo tveganja ne samo poznamo, temveč jo moremo po želj? uravnavati« 9.12 Pojem tveganja v statističnem smislu podrobneje po- nazorlmo na normalni porazdeIItv?I Vzemimo, da Imamo Idealen sestoj, v katerem se preme¬ ri dreves, merjen? v prsni višini, pora zde I juj e j o v normalni porazdelitvi. Za to populacijo je povprečen premer y = 30 cm In standardni odklon 0=3 cm. Normalna krivulja relativnih frekvenc (k? je narisa¬ na v slik? 9.51 je slika o gostot? verjetnost? za slučajnostno spremenljivko - premer drevesa, če Ima vsako drevo enako mož¬ nost, da ga Izberemo Iz populacije, al? z drugimi besedami, če drevo Izberemo slučajnostno. Napravimo trditev: Če Iz populaci¬ je dreves slučajnostno Izberemo drevo, je premer Izbranega dre¬ vesa večji kot y = 24,1 cm In manjši kot y = 35,9 cm« Kot vi- dlmo Iz slike, ta trditev n? absolutna In se more zgoditi, da slučajno Izberemo drevo, k? Ima al? manjši premer kot 24,1 era al? večji premer kot 35,9 cm. V populaciji so namreč drevesa, k? Imajo premere tudi Izven tega razmaka. Verjetnost, da se na¬ ša trditev ne uresniči, je a. = 0,05. Trditev je napravljena s tveganjem a= 0,05. To pomeni: če poskus slučajnostne Izbere dreves ponavljamo, v povprečju v petih od sto al? v enem od dvajset poskusov zgornja trditev ne drži. Če razmak zožimo, je tveganje večje« če n.pr« trdimo: Slučajnostno Izbrano drevo Ima premer v razmaku od 25,1 cm do 34,9 cm, je tveganje te trditve a = 0,10. Ta trditev se v povprečju v enem primeru od desetih Izkaže za nepravilno« Nasprotno se stopnja tveganja zmanjša, če razmak razširimo« Tako je premer za slučajnostno Izbralo drevo s tveganjem a = 0,01 v razmaku med 22,3 cm do 37,7 cm. Če to trditev preskušamo In slučajnostno Izbiramo drevesa, v - 137 - S! ? ka 9.5 Verjetnostna porazdelitev premerov v nor¬ malno porazdeljenem sestoju z Y = 30 cm ?n 0 = 3 cm povprečju le v enem od sto poskusov naša trditev ne drži. Za¬ nesljivost te trditve je zelo velika. Stopnjo zanesljivosti, ki je verjetnost, da se določena trditev uresniči, In stopnja tveganja, ki je verjetnost, da se določena trditev ne uresniči, za normalno distribuirane slučajne spremenljivke ugotovimo prek s tandardI z?ra ne ga odklona z. Za normalno porazdelitev je namreč relativna frekvenca v razmaku T - z6 do Y + z6 odvis¬ na le od standardiziranega znaka z. 9.13 Ker je normalna porazdelitev ena izmed najvažnejših verjetnostnih porazdelitev, podajamo neke običajne trditve o slučajnostno Izbranih enotah iz normalno porazdeljenih popula¬ cij In stopnje tveganja za te trditve. Trditev: če Iz normalno porazdeljene populacije slu^ čajnostno izberemo enoto, je standardI z Ira n I odklon z za vred¬ nost x za to enoto v razmaku: - 138 - Razmak Tveganje oC Če n«pr. trdimo, da je za vsako slučajnostno izbra¬ no enoto fz normalno porazdeljene populacije standardiziran odklon z večji kot -2,32, je tveganje naše trditve Že za neobičajno majhne popu¬ lacije In vzorce je torej število vseh možnih vzorcev velikan¬ sko. V stvarnih primerih, v katerih je v osnovni popu Iaclj I več sto oziroma več tisoč enot In Imajo tudi vzore? po več sto enot, pa je število vseh možnih vzorcev praktično neomejeno« 10.8 Če proučimo skupnost vseh možnih vzorcev, spoznamo, da Ima ta skupnost vse lastnost? statističnih populacijo Vzor¬ ci so Istovrstne količine, k? jih moremo štet? za enote v po¬ pulacij? vseh možnih vzorcev. Enote v populacij? vseh možnih vzorcev - vzorci, Imajo svoje znake, kot so povprečja, varian¬ ce, relativna števila, koeficienti korelacije Itd. v vzorcih. Tl znak? variirajo, ker so Izračunan? za vsak vzorec Iz podat¬ kov za različne enote Iz osnovne populacije. Skupnost vseh možnih vzorcev je torej populacija, v kateri so posamezni vzor¬ ci enote, povprečja, proporcF, variance, korelacljsk? koeflclen tl Itd., Izračunani Iz vzorcev pa so znak? enot - vzorcev. Pa¬ rametri v populaciji vseh možnih vzorcev pa so povprečja, va¬ riance Itd. Iz povprečij, proporcev, varianc, kore I a c I jskI h koeficientov Itd. posameznih vzorcev. i ■ i 10.9 Teoretične vzorčne porazdelitve . Neposredno prouče¬ vanje porazdelitev znakov In Izračunavanje parametrov za popu¬ lacije vseh možnih vzorcev je zaradi ogromnega Števila vseh možnih vzorcev nemogoče. Praktično nemogoče je v stvarnih pri¬ merih sestavit? vse možne vzorce, za vsakega Izmed njih Izra-j čunatl n.pr. vzorčno povprečje, Iz teh povprečij sestavit? frekvenčno porazdelitev, Iz nje pa Izračunati dalje aritmetično sredino In varianco Iz povprečij za vse vzorce. ! -1 46- Izkaže pa se, da pridemo do teh količin po krajši pot? s teoretičnim razglabljanjem, če zadosti podrobno poznamo osnovno populacijo«, V dosti primerih moremo namreč sklepat? na odnose v populaciji vseh možnih vzorcev, če poznamo osnovno po¬ pulacijo«, Te zakonitost? med osnovno populacijo In populacijo vseh možnih vzorcev pomaga odkrit? verjetnostni račune Prav zato, da veljajo osnovne zakonitost?" med osnovno populacijo In populacijo vseh možnih vzorcev, je potrebno, da je vzorec Izbran tako, da je zagotovljena naključnost Izbora, ker le te¬ daj veljajo teoretični Izsledki o medsebojnih odnoslhe Te za¬ konitosti v populaciji vseh možnih vzorcev so za nekatere vrste osnovnih populacij In za nekatere probleme odkriti natančno, za druge pa samo približno«, V obeh primerih pa jih Izkoriščamo v praks? pr? ocenjevanju In sklepanju Iz vzorca na osnovno popu¬ lacij O o Zakonitost? v populacij? vseh možnih vzorcev so od¬ visne od količine, k? jo proučujemo, od osnovne populacije In od tipa vzorca<> Vendar so pr? velikih vzorcih te razlike vedno bolj zabrisane In so zakonitost? v populacij? vseh možnih vzor¬ cev bolj In bolj 'enotne, čim večji je vzorec« Zato bomo sploš¬ na načela vzorčenja podrobno razložili na aritmetični sredini, ki je eden Izmed najvažnejših In na j pogoste j š? h parametrov«, Vse Izsledke, ki veljajjo za aritmetično sredino, pa zlahka pre- i nesemo tud? na druge parametre«, Enostavno s^uča £nost n o_vz orč e n |e Ocenjevanje aritmetične sredine 10 «, 10 Vzorčenje, pri katerem Ima vsaka enota populacije enako verjetnost, da je Izbrana v vzorec, Imenujemo enostavno slučajnosino vzorčen j e«, Za enostavne slučajnostne vzorce, Izbrane Iz neomeje¬ ne populacije, In za enostavne slučajnostne vzorce, k? so Iz¬ bran? Iz končnih populacij z Izborom s ponavljanjem, veljajo za aritmetične sredine vzorcev naslednje zakonitosti: - 147 - a) Aritmetična sredina Iz povprečij 7 za vse možne vzorce je enaka aritmetični sredin? Y v osnovni populacij?« V skladu s pojmi Iz verjetnostnega računa se ta zakonitost glas? tud? takole: Matematično upanje za slučajnostno spremenljivko y s IučajnostnI h vzorcev je enako aritmetični sredini v popula¬ cij? 7 I ; . i •/: M(y) * E(y) = V d o« 3) b) Varianca ar I trne 11 čn I h^ sred I n v s Iučajnostn?h vzorcih Vart^) j« n krat manjša kot varianca znaka y v osnov- n I popu I a c I j I Var(y) = ( 10 « 4 ) če Iz variance aritmetičnih sredin v vzorcih Izračunamo kva¬ dratni koren, dobimo standardni odklon za aritmetične sredine v vzorcih, ki ga na splošno Imenujemo standardna pogreška oce - ne, zaznamujemo pa ga z SE« - SE(y) z V Var(y) = (10«5J in c) V praksi običajno proučujemo končne populacije z vzore? brez ponavljanja« Zanje pa veljajo za aritmetične sredi ne vseh vzorcev nekoliko drugačne zakonitosti« Matematično upanje za aritmetične sredine vzorcev brez ponavljanja je še vedno enako aritmetični sredini v osnov ni popu IacI j I: 4r*>\- . i-f* V M(y) = E(y) = V (10« 6) varianca za aritmetične sredine v vzorcih pa je enaka Var(y) = ^ * iL^j - f) (10 o 7) n /v n Pr? tem je srednji kvadratlčn? odklon z;a znak računan po obrazcu V > k? je I z - ( 10 . 8 ) 148 - Razen neznatne spremembe, da je 6 V zamenjani z nebI st 2 ” veno različnim izrazom S , je v obrazcu dodan Se korekturni fak tor = 1 -f« Ta je tem bllžj.? 1, čim manjši je vzorčni delež f = h/N; ki izraža, kolik? del osnovne populacije je vključen v vzorec o d) Ne glede na to, ali gre za enostavno vzorčenje z al? brez ponavljanja, se aritmetične sredine y" iz vzorcev po¬ razdeljujejo v normalni porazdelitvi, če se znak Y| porazde¬ ljuje v osnovni populacij? v normalni por a zde ! 11 v 5 . Če se pa Y. v osnovni populacij? ne porazdeljuje normalno, se aritmetične sredine ~ kljub temu porazdeljujejo v porazdelitvah, k? so normalni tem bolj podobne, čim večji je vzorec. Ta približek je dokaj dober že pri razmeroma majhnih vzorcih, tako da praktično vzamemo, da se aritmetične sredine iz velikih vzorcev porazdeljujejo v normalni dl strIbuc I j S, ne glede na to, kakšna je porazdelitev znaka v osnovni populaciji«. Iz zgornjih zakonitosti povzamemo, da poznamo poraz¬ delitev povprečij y v populaciji vseh možnih vzorcev, če pozna- mo parametre y, S in S v osnovni populaciji«. Tako dobimo po¬ sredno porazdelitev povprečij y", k? je za teorijo in prakso vzorčenja osnovnega pomena. 10.11 Točkovna ocena. Odklon zaupanja. Intervalna ocena. Razmak zaupanja . Glede na zakonitosti v populaciji sredin v vzorcih in glede na lastnosti normalne porazdelitve v zvezi s stopnjo tveganj«, na splošno postavimo trditev, da je aritme¬ tična sredina za enostaven slučajnostni vzorec y° s tveganjem cc - 0,05 v razmaku ’7 - 1,96.SE(y) < y < 7 + 1,96.SE(y) Aritmetične sredine Iz vzorcev se tem bolj goste okrog prave aritmetične sredine, čim manjša je standardna pogreška sredine. Ta pa je tem manjša; čim večji je vzorec. če iz sestoja, za katerega je Y = 30 cm In B = 3 cm izberemo enostaven slučajnostni vzorec z n = 400 drevesi, leži povprečje, izračunano iz vzorca, s tveganjem o. = 0,05, v raz- matu „ - 149 - 3 30 - 1*96 -1— ali v splošnem 0(yj = zSE(y) (10.10) I Imenujemo odk S on zaupa nj a . Ta pove, za koliko se z določenim tveganjem točkovna ocena za aritmetično sredino največ odklanja od prave sredine za populacijo. V našem primeru je s tveganjem a = 0,05 odklon zaupanja D{7) = Op 29 cm. S tveganjem oc = 0,05 ocena z vzorcem n? različna od prave vrednosti za več kot D(y) = 0,29 cm. Če s tveganjem a ocena Iz vzorca 7 od prave vred¬ nosti različna za več kot D(yT» tudi prava vrednost povprečja Y ni od ocene y s tveganjem ct različna za več kot D(7)» Iz tega sledi, da je slučajnostno Izbrani vzorec s tveganjem a = 0,05 tak, da je prava sredina v razmaku y - 1,96 SE(y) < Y < y + 1,96SE(y) (10.11) Ta razmak Imenujemo razmak zaupanja , obe meji pa spodn j o In j zgornjo mejo zaupanja ocene« Ta ocena prave vrednost? povpreč- ja je Interva 5 na ocena , ker je dane z razmakom zaupanja, v ka¬ terem se z določenim tveganjem nahaja pravo povprečje. v V slik? 10.1 je nakazana porazdelitev sredin Iz vzorcev za zgohnj? primer. Iz slike vidimo, da za vzorce, za katere leže sredi¬ ne v razmaku od 29,71 cm do 30,29 cm (glej 7-} In 7g^» prava vrednost Y leži v razmakih zaupanja okrog ocen 7* Za ocene, k? leže Izven tega razmaka', pa razmak zaupanja ne vključuje prave prednost? Y (glej 73 J « * - 150 - Slika 1 Co 1 Porazde I f fev sredini vzorcev s ponavljanjem z n = 400 enotami iz populacije premerov z Y = 30 ? n S = 3 cm 10.12 Nepr?stranska ocena variance in povprečnega kvadra- tičnega odklona . Vendar obrazec 10.11 za praktično ocenjevanje povprečja z razmakom zaupanje nima posebnega pomena. Da izra- 2 čunamo odklon zaupanja, moramo namreč poznati parameter S 2 y oziroma S“~ v osnovni populaciji. Ker pa teh parametrov ne po- 7 znamo, si pomagamo z oceno varianc Iz podatkov v izbranem slu- čajnostnem vzorcu. O Ocene variance S* iz vzorca s ponavljanjem In oceno -151 - povprečnega kvadra t ? čne ga odklone S^, Iz vzorcev brez ponavlja nja ocenimo z enotnim obrazcem I(y,’-y ) 2 Zy?-y*/n - Jii — -- /»/ _ n - J n-1 ( 10 . 12 ) * 1 j To oceno imenujemo nepristransko oceno za varianco 6 , če je vzorec s ponavljanjem oziroma nepr?sira nsko oceno povprečnega 2 kvadratičnega odklona S , če je vzorec brez ponavljanja, ker je za vzorec s ponavljanjem E(s 2 ) * 6 2 (10* 1 3a ) in za vzorec brez ponavljanja E(s 2 ) = S 2 (10.13b) Dan izraz, k? ga izračunamo Iz vzorca, je namreč nepristranska ! ocena nekega parametra Iz osnovne populacije, če je matematično upanje tega izraza enako parametru. Zato je tudi aritmetična sredina, izračunana Iz vzorca, zaradi obrazcev 10.3 In 10.6 nepristranska ocena arit- « i ' metlčne sredine v osnovni populacij?. Če v obrazcih 10.4 in 10.7 nadomestimo prave vredno- 2 2 2 st? za 6 ?n $ z oceno s , dobimo oceni varianc za ar f tmet ? č- y y y no sredino. Za vzorce s ponavljanjem je ocena variance sredine enaka var(y) = —E. n ( 10 . 14 ) za vzorce brez ponavljanja pa var(y) = —č_- n N-n N d - f) ( 10 . 15 ) 10.13 Preskus zakonitost? vzorčenja na shematični popula¬ ciji . Zgornje zakonitost? za aritmetično sredino preskusimo na shematični populacij? z N = 5 enotam?, iz katere izbiramo vzorce z n = 3 enotamil Osnovni podatki za to populacijo so: Y, = 1, Y 2 = 2, Y 3 = 3, Y 4 = 4, Y 5 = 5. Zanjo je: - 152 - Y = 1 (1+2+3+4+5) = 3 5 6 2 = i [ (1 -3) 2 +(2-3) 2 +(3-3) 2 +(4-3) 2 +(5-3) 2 l = 2 y 5 J S 2 = — f(1-3) 2 +(2-3) 2 +(3-3) 2 +(4-3) 2 +(5-3) 2 l = 5/2 y 5-1 L J Najprej proučimo populacijo vzorcev s ponavljanjem In sestavi¬ mo sliko vseh možnih vzorcev s ponavljanjem s tremi enotamlo Glede na obrazec 10.2 je število vseh možnih vzorcev s ponav-> Ijanjem enako šteyllu kombinacij s trem! element? s ponavlja¬ njem Iz kolektiva petih elementov, torej: /N+n-1\ /5+3-1 \ _ 5.6.7 _ 35< l n / \ 3 / 1.2.3 Vseh teh 35 različnih vzorcev pa se ne pojavlja z enako ver¬ jetnostjo. Medtem ko je samo ena možnost, da Izberemo vzorec, v katerem v prvem, drugem In tretjem fzvlačenju Izberemo prvo enoto (111), so n.pr. tri različne možnosti, da Izberemo vzo¬ rec, v katerem sta dvakrat" prva, enkrat pa druga enota (112 121 211) In šest različnih možnost? za vzorec, v katerem je prva, druga In tretja enota (123 132 213 231 312 321). Ker je vsaka izmed teh permutacij enakomožna, vseh možnost? pa je v celot? 125, je verjetnost, da Izberemo v vzorec trikrat prvo enoto 1/125, da izberemo dvakrat prvo In enkrat drugo enoto 3/125 In verjetnost, da Izberemo v vzorec prvo, drugo In tret¬ jo enoto, enaka 6/125. Podobno je tud? za druge podatke in kom¬ binacije. V tabel? 10.1 so nanizan? osnovni podatki o vsakem izmed petintridesetih različnih vzorcev s ponavljanjem z ustrez no verjetnostjo P, ocena za aritmetično sredino 7 In ocena va¬ riance s 2 . Za vzorec, v katerega smo Izbral? enote 113, je n.pr. 7 = 1 [1 + 1+3] = 5/3 s 2 = 2 f3 2 . . I . 5 . 2 /3 _ 8 / 6 3 3-1 Iz zgornjih podatkov za posamezne vzorce sestavimo najprej verjetnostno porazdelitev za aritmetično sredino v vzorcih 7 kot slučajnostno spremenljivko. To verjetnostno po- - 153 - I _-_-„ I II ■ III——« ' j ■Tabela 10<>1 Populacija vseh možnih vzorcev z n=3 enofsm! s po¬ navljanjem Iz populacije z N=5 endamic Osnovna populacija Iz dobljenih rezultatov spoznamo, da je res E(y) = 3 = = 7o ! • . / Če pa Izračunano Iz podatkov za populacijo po obrazcu 10 o 4 če • f Var (y) = -JlL = 1 n 3 spoznamo, da je tudi la rezullal skladen z rezullalom, ki ga dobimo neposredno Iz verjetnostne porazdelltveo Ostane še pre- o skus stavka, da je ocena variance Iz vzorca s nepristranska 2 x ocena za varianco v osnovni populacij? So Ce podobno, kot za ... . / .. - =•1 54- Tabela 10<>2 Verjetnostna porazdelitev za aritmetične sredine v vzorcih Iz populacije Y = 1, 2, 3, 4, 5 za vzorce z n=3 s po¬ navljanjem — =1 H££- 3=E(y) 212_ - 1 = Var «y) 125 375 1125 3 povprečja Iz vzorcev, sestavimo verjetnostno porazdelitev že o za oceno variance s , dobimo tabelo 10 o 3 Tabela 10<>3 Verjetnostna porazdelitev za ocene varianc s 2 ' Iz vzorcev — = 1 = 2 = E ( s 2 ) 125 - 155 - 750 ^es Rezultat pokaže skladnost s teorijo. Matematično upa- nje za varianco ocen je enako varianc? v osnovni populaciji: £(s 2 ) = e 2 = 2. 10o1 4 Napravimo za Isto populacijo Y(1 2345} podoben preskus če za vzorce brez ponavijanjao Število različnih vzorcev brez ponavljanja z n=2 enotami Iz populacije z N=5 enotam? je po obrazcu 10,1 enako ¥ (^) = (^) = = 10» če proučimo, kakšna je verjetnost za n “ 1o2«3 Izbor posameznega vzorca brez ponavljanja, spoznamo, da moremo v vzorec brez ponavljanja Izbrat? Iste enote na toliko različ¬ nih načinov, kolikor je permutacij Iz n=3 eiementovo V našem l primeru torej na 3 = 1 0 2<,3 = 6 različnih načinov In.pr, 123 132 213 231 213 321 ) „ Ker je skupno 5 0 4»3 = 60 različnih mož¬ nost? za vse vzorce, je verjetnost za vsak vzorec P = 6/60 = 1/10 o Vsak vzorec je pr? vzorčenju brez ponavljanja enakover- jeten. Vsi možni vzore? za naš" primer so nakazan? v tabel? 10.4. Tabela 10.4 Vzore? brez ponavljanja Iz populacije Y(1 2345) Enako kot za vzorce s ponavljanjem sestavimo tud? za vzorce brez ponavljanja verjetnostno porazdelitev za arltmetlč- ne sredine Iz vzorcev In Izračunajmo matematično upanje In va¬ rianco za aritmetične sredine Iz vzorcev’ - 156 - Tabela 10 o 5 Verjetnostna porazdelitev sredin y Iz vzorcev brez ponavljanja 9Q/30=3=E(yl 30/90=f/3=Var(y) Če; Izračunamo E(yl In VaiHyT posredno Iz parametrov za osnovno populacijo, dobimo po obrazcih 10 o 6 In 10<>7 E(y) =7=3 Var(yS = = Ul 0 l^L = % n ° N ~ 3 ° 5 3 Dobljena rezultata sta v skladu z rezultati, k? jih dobimo ne¬ posredno Iz verjetnostne porazdelitve aritmetičnih sredin In vzorcev« Preskusimo če stavek o neprIstranostI ocene povpreč- 9 nega kvadra11čnega odklona s*« Najprej sestavimo ver j etnostno porazdelitev za s „ tako da grupiramo rezultate Iz stolpca za s 2 Iz tabele 10 0 4 Tabela 10 o 6 Verjetnostna por a zde I?te v,var I anc s v vzorcih E (s 2 I > Če matematično upanje ze oceno variance s Izračuna¬ mo posredno Iz parametrov za populacijo, dobimo po obrazcu __ 10«13b » 157 - E C s 2 5 Tud? ta rezultata sta skladna«, P y ±211111 'l A 1Q.1L 1111 K lih 17 33333333333333333 y 1 2 3 4 5 Slika 10 0 2 Verjetnostni porazdelitvi za povprečja Iz vzorcev z In brez ponavljanja Iz verjetnostne porazdelitve aritmetičnih sredin vzorcev s ponavljanjem v sliki 10«2 vidimo težnjo k normalni porazdelitvi, k? smo jo navedli kot zakonitost« Čeprav poraz- delitev osnovnih podatkov n? normalna In gre za Izjemno majhne vzorce, se aritmetične sredine vzorcev porazdeljujejo v poraz¬ delitvi, k? je simetrična, zvonasta, torej v porazdelitvi, k? Ima Iste značilnost? kot normalna« Ta težnja je manj vidna pr? verjetnostni porazdelitvi sredin vzorcev brez ponavljanja, ker je vsega le deset možnih različnih vzorcev« •*- 10.15 Ocenjevanje/ parametrov z enostavnim s I uča j nostnlm vzorčenjem na splošno« Zgornji zaključki ne veljajo samo za ocenjevanje aritmetične sredine, ampak pr? ocenjevanju za k a te; r?kolI drug parameter z enostavnim? velikim? vzore?« V prlblfž ku se namreč za katerikoli parameter C ocene c porazdeljujejo n-er-ma-lno s sredi no C In standardnim od klonom SEt-o)«- 58 - Če s C zaznamujemo pravo vrednost ocenjevanega para¬ metra, s c pa točkovno oceno tega parametra ?z velIkega vzorca, je odklon zaupanja za oceno D(c) * z.SE(c) (10.16) razmak zaupanja pa c - z.SE(c) < C < c + z.SE(c) (10.17) s tvega n j em, k ? ustreza koeficientu z<> (Cer v praks? ne poznamo parametrov populacije, v odklonu zaupanja ?n razmaku zaupanja nadomestimo pravo vrednost za standardno pogreško SEIcl z oceno Iz vzorca, se (c} o Glede na to je ocena odklona zaupanja. d (c) = z.se(c) ’• (10.18) ocena za razmak zaupanja pa c-z.se(c)< C< c+z.se(c) ‘ (10.19) Ocenjevanje agregata Y, strukturnega deleža P% In števila enot z dano značilnostjo H s 10.16 Razen aritmetične sredine pogosto ocenjujemo vsoto vrednost? za dan znak, n.pr. skupen volumen, alf temeljnlce za sestojTfd. Med aritmetično sredino za populacijo Y In vsoto ali agregatom Y = £Y| Je enostavna zveza Fs| Yf/N ali Z Y; * Y = N.Y (10.20) i *1 1:1 Oceno agregata Y.dobimo, če v obrazcu 10.20 nadome¬ stimo pravo vrednost Y z oceno Iz vzorca y°. Ceno agregata z enostavnim slučajnim vzorcem Y g j Iz¬ računamo torej po obrazcu = N.y = = -§y ( 10 . 21 ) pr? čemer pomeni: y = vsota podatkov Iz enostavnega slučajnega vzorca. I - 159 - Ker je po znanih stavkih o varianci Var(ax) = = a Var(x), velja, da je Yar(Y sl ) = Var(Ny) = N*Var(y) = ?N(N-n& n N n ( 10 . 22 ) Ker agregat običajno ocenjujemo z vzorčenjem brez ponavljanja, navajamo samo obrazec za ta tip vzorčenja. Iz podatkov vzorca pa ocenj-ujemo varianco agregata var (Y ,) po obrazcu, k? je prav tak kot obrazec 10.22, samo da 2 s 1 2 je S zamenjan z oceno s varY st - N(N - n) (10.23) ! I 10.17 Pogosto ocenjujemo tudi strukturni delež P, ki ga do blmo, če Število enot z dano značilnostjo H v populaciji de I1H mo z obsegom populacije N p - JL r ~ N (10.24) Oceno strukturnega deleža p dobimo Iz podatkov eno¬ stavnega s I učajnostnega vzorca analogno tako, da Število enot z dano značilnostjo h Iz vzorca delimo s skupnim Številom enot v vzorcu n Psi = P = _h_ n (10.25) Varianca za oceno strukturnega deleža Iz neomejene populacije al? Iz vzorca s ponavljanjem je enaka Var (p) = n ti Pd - P) (10.26) Za vzorce brez ponavljanja Iz končnih populacij pa je Var(p) = šl.ltJL . s 2 - H(N-H) {PJ n N • 5 p ~ NfN-1) (10.27) Analogno je ocena variance za ocene strukturnih deležev za vzor¬ ce Iz neomejenih populacij In za ^vzorce -s pona v I j an j eim.Iz kolč¬ nih populacij - 160 - var (p) = ( 10 . 28 ) za vzorce brez ponavljanja fz končnih populacij pa var(p)= (10.29) Pr? t em je Izraz s 2 _ h(n-h) S P ' n(n-I) 2 analogen povprečnemu kvadratnemu odklonu Sp, nan Iz podatkov vzorca.. Opomba« Če strukturne deleče Izražamo v odstotkih, je ?% - 100.P In p% = 100.p. Ker je Var(p^) = VardOO.p) = 2 = 100 Var(p), moramo v tem primeru vse obrazce za Izračunavanje 2 variance pomnožiti s 100 , če ocenjujemo strukturne deleže v odstot k? h. 10.18 Število enot z dano značilnostjo H v populaciji do¬ bi mo, če • H = N-tL = NP (10.31 ) N strukturni delež P pomnožimo s skupnim številom enot v popula¬ ciji N. Analogno kot pr? ocen? za vsoto pa dobimo oceno skupne¬ ga števila enot z dano značilnostjo H s j, če v obrazcu 10.31 pravo vrednost strukturnega deleža zamenjamo z oceno p H s , = Np = N-L (10.32) Podobno kot pri agregatih je varianca za oceno skupnega števi¬ la enot z dano značilnostjo za vzorce brez ponavljanja enaka Var(H sl )= N(N-n)^- ; sj* MLdjj (10.331 (10.30) le da je Izraču- - 161 - ( 10 * 34 ) ”- mi i« var(HJ - N(N - n) ^ ; s} * 10*19 Simbolika in obrazci za ocene parametrov Y, H so sistematično nakazani v naslednjem pregledu* Popu la cT ja Znak za seštevanje ŠteviI o enot Število enot z dano značilnostjo Struktur n ? delež Strukturni postotek Individualna vrednost \jf i . N H P Vzorec n n h P Vsota za znak y Povprečj e Povprečni kvadratni odklon Varia nca Povprečen kvadratni odklon za strukto de ler Varianca strukturnega deleža Var ianca Standardna pogreška Odklon zaupanja Prava vrednost Ocena Var var SE se D d Parametr ? : P = H/N p = h/n H n in - 162 - Variance ocen parame+rov z vzorcem s ponavljanjem: Variance ocen parame+rov z vzorcem brez ponavljanja: Prava vrednost Ocena 2 #2 6 s Var (V) = —X varly’)= -X n n 6 d Var (p)= —E. n va n S 2 s 2 Var Cy) = X 0 var(yJ= -X 0 £LJI 'n N n ■ N S 2 s 2 Var (Y ») =N (N-n )-X vaHY ,)=N{N-n)-X sl n sl n N-n Var {p ) = -H, „ n N , x p NCN-n5 varlpl= —J” o - n N S 2 s 2 Var (H ,)=N(N-n) -£ var (H .) =N{N-n sl n s I n N 6 ' . S IY r YI N “ t N CY 9 -Y) N - 1 o »~y * 5 = ^ n - 1 6 = P(1-P) P $ 2 _ H C N-H) P NIN-11 Tehnika fzbora enos + avnega s Iučajnos+nega vzorca 2 _ h ( n4 ) S P n C n *=11 t 0 o 20 Prvi In glavni problem pri Izvedbi enos+avnega slu- čajnos+nega vzorčenja je, kako lzbra+1 slučajnos+nl vzorec, da bo zados+ll osnovnemu pogoju, da Ima vsaka eno+a vzorčenja v populaciji enako možnost, da je vključena v enos+avnl vzorec« Pr? vsakem sls+emu vzorčenja Ima posamezna eno+a po¬ pulacije določeno, vnaprej dano verjetnost, da je vključena v vzorec« Način Izbora enot mora bl+l tak, da zadosti temu osnov¬ nemu pogoju, ker le v +em primeru veljajo zakonl+os+1 vzorče¬ nja, ki so Izpeljane Iz verj etnos + nega računa«, Pri enostavnem vzorčenju Ima vsaka enota populacije enako verjetnost oziroma možnost, da je vključena v vzorec« Izbor takega vzorca Imenuje¬ mo Izbor brez omejitve«. 163 - 10.21 i Okvir vzorčenja . Tehnično Izberemo enostavni slučaj¬ nostmi vzorec po naslednjem postopku« Osnova s l učajnostnega Iz¬ bora je v vsakem primeru pregled vseh enot v populacij!. V tem p>reg!edu, k? ga Imenujemo okvir vzorčenja , je vsaka enota obvez¬ no tako označen«, da jo moremo Identificirat?« Pregled enot po¬ pulacije, ki sestavlja okvir vzorčenja, more bit? dan različno« Navadno je to spisek enot, ki so oštevilčene z zaporednim? šte¬ vilkami« Zelo prikladen okvir je tud? oštev?Ičena kartoteka enot populacije« Tud? geografska karta, v katero so vnesene enote populacije glede na geografsko lego In zaznamovane z za¬ porednimi številkami, more bit? nazoren okvir populacije« Če so enote geografska območja {sestoj, oddelek, gospodarska eno¬ ta al? podobno?, je geografska karta teh območij, v kateri je vsako območje označeno z zaporedno številko, tud? primeren okvir vzorčenja« Kot okvir vzorčenja moremo uporabit? tud? vsako drugo shemo oziroma način, Iz katerega je možno Identi¬ ficirati enote osnovne populacije« 10,22 LoterI j skI načI n « Eden Izmed načinov slučajnega Iz¬ bora je loterijski način« Pr? loterijskem načinu Imamo v žar? listke z zaporednim? številkam? enot« V žari je torej toliko listkov, kolikor je enot v populacij?« Enako možnost za Izbor vsake enote ustvarimo tako, da oštevilčene listke dobro premešamo In Iz žare "na slepo” potegnemo listek. Enoto, ki Ima Izžrebano zaporedno številko, vzamemo kot enoto s Iučajnostnega vzore«. Postopek žrebanj« enot vzorca ponavljamo vse dotlej, dokler nimamo Izžrebanih ustrezno število enot n« Pri tem posamezne Izžrebane listke pred Izborom nove enote vračamo v žarro, če gre za Izbor s po¬ navljanjem« Tako dosežemo, da Ima Ista Izbrana enota možnost, da je ponovno vključena v Izbor« Če pa Izbiramo vzorec brez ponavljanja, Izžreban? listek Izločimo, da ga ne moremo ponov¬ no Izbra 11 , Loterijski način s Iučajnostnega Izbora pa je posebno ; za večje populacije zamuden In okorel« = 164 - 10 o 23 8 s + ? c»!] dosežemo na drug način, brez listkov za vsako enotoo Vzemimo žaro, v kateri je deset enakih listkov, krog¬ lic al? kock s Številkam? od O do 9„ Če Imamo populacijo z N = 999 enotami, dobimo slučajnostno zaporedno Številko tako, da s trikratnim žrebanjem sestavimo tromestno slučajnostno šte¬ vilko« Izbor seveda vrSImo s ponavljanjem,, Če dobimo s prvim žrebom številko 3, z drugim 1, s tretjim žrebom pa številko 3, ta trojni žreb ustreza Izžreban? zaporedni številki 313 po prejšnjem načinu« V vzorec vključimo torej enoto, k? Ima v okvi¬ ru vzorčenja zaporedno številko 313« Prednost tega načina, v primerjav? s prvim, je v tem, da n? treba sestavljat? obširnih žar, pomanjkljiv pa je v tem, da je treba za Izbor ene same enote toliko žrebanj, kolikor mestno je število enot v popula¬ cij? N« To pa je zamuden poselo 10o24 Tablice slučajnostnlh številk o Hibe loterijskega Iz¬ bora odpravimo s tablicam? slučajnostnlh številko Številke od O do 9, k? jih enkrat Izberemo, zabeležimo« Te slučajnostne številke moremo uporabit? za več različnih vzorcev« Tako dobi¬ mo tablice slučajnostnlh števil, v katerih so zapisane števil¬ ke od 0 do 9, kot so bile po vrst? slučajnostno Izbrane Iz ža¬ re z desetimi številkami« En del Iz tablic slučajnostnlh šte¬ vilk Iz knjige: Flsher and Yates: Statlstlcal Tables for B?o- loglcal, agrlcultlral and medica! research, je dana v tabel? 10o7 o • Večmestna slučajnostna števila Iz teh tablic dobimo, če združimo več slučajnostnlh številk v skuplneo Vzemimo prvo vrsto Iz tablic slučajnostnlh številk Iz tabele 10 o 1: 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 Itd« Zaporedne šte¬ vilke enot, k? jih Iz populacije z N=8324 Izberemo v slučaj- nosfnl vzorec, določimo tako, da vzamemo po vrst? skupine po štiri slučajnostne številke« Prva Izbrana enota Ima zaporedno številko 0347o Skupine zaporednih štirimestnih slučajnostnlh šte¬ vilk so: 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371« - 165 - Tabel« 10*7 S Iučaj nosTne številke 63 32 79 72 43 93 74 50 07 46 86 46 32 76 07 51 25 36 34 37 78 38 69 57 91 00 37 45 66 82 166 TabeI a 10 o 7 S Iučajnos + ne š + ev ke (nadaljevanje) ? I 65 51 62 33 10 51 62 08 50 63 94 02 48 33 59 93 46 27 82 78 67 90 31 44 12 70 13 69 65 48 167 3 Prva izbrana enota fma torej zaporedno številko 347 (0 na prvem mestu odpade)« Naslednja enota ima zaporedno števil¬ ko 4373« SSučajnos+n? številk? 8636 in 9647 ne prideta v poštev, ker sta večji kot je obseg populacije in ima zadnja trota v po¬ pulaciji zaporedno številko 8324« Pač pa vključimo v vzorec še enote z zaporednimi številkami 3661, 4698 in 6371. Skupine sfučajnostnlh zaporednih številk pa se morejo med seboj tud? delno prekrivati. Tako znatno povečamo obseg tablic s Iučajnostnih številk. Če za zgornji primer tvorimo štirimestne skupine s luča jnostn? h številk tako, da s I uča j nos trie številke premikamo po eno mesto, dobimo tele rezultate: Prva skupina 0347 ostane« Naslednjo skupino pa dobimo, če se v vrsti s Iučajnostnlh številk premaknemo le za eno mesto. Druga skupina je torej: 3474. Naprej dobimo po istem postopku nadaljnje sku¬ pine: 4743 7437 4373 3738 itd. Namesto sedmih skupin po štiri ločene slučajnostne številke, izmed katerih jih moremo le pet uporabiti kot zaporedne številke Izbranih enot, dobimo 25 sku¬ pin, od katerih je 21 manjših kot 8324« Namesto 5 enot Iz iste¬ ga dela tablic s Iučajnostni h številk izberemo 21 enot. Po potreb? obseg tablic s Iučajnostnih številk pove- č.mo tud? tako, da slučajnostne številke v tablic? beremo v obratni smeri, od zgoraj navzdol ali od spodaj navzgor. V vsa¬ kem primeru dobimo nove skupine s Iučajnostn?h številk. 10.25 V primeru, k? smo ga navedli, nekatere skupine štiri¬ mestnih s Iučaj nostn?h številk niso uporabne, ker presegajo ob¬ seg populacije, število skupin, ki zaradi tega odpadejo, je v nekaterih primerih zelo veliko. Če je n.pr. obseg populacije N=1832, od 10000 različnih petmestnih skupin odpade 10000 - 1832 = 8168 s Iučajnostn?h števil. To pa zelo okrni uporabnost ta bI? c. S preprostim postopkom obseg uporabnih skupin poveča¬ mo. Od vseh štirimestnih skupin pridejo po zgornjem v konkuren¬ co le one, ki imajo prvo številko O alf 1. Vse ostale izpadejo. Če pa postavimo pravilo, da štejemo kot 0 na prvem mestu štiri¬ mestnega števila vsako sodo (0, 2, 4, 6, 8), kot 1 pa vsako II- ho (1, 3, 5, 7, 9) slučajnostno številko, se uporabnost tablic —1 68 — znatno poveča. Namesto 8168 neuporabnih skupin se število neu¬ porabnih skupin od 8168 zniža na 840. Ker je n.pr. prva števil¬ ka v skupini 5674 liha, ustreza tej slučajnostnl številk? eno¬ ta z zaporedno številko 1674. Po prvem načinu pa je to slučaj- nostno število neuporabno. Podobno reduciramo prva mesta skupin s i uča jnostn?h številk za populacije, katerih obseg N začenja s števTIko 2« Številke 0, 3, 6 štejemo kot 0, slučajnostne številke 1, 4, 7 kot 1, slučajnostne številke 2, 5, 8 pa kot 2. Sistem je v tem, da je ustrezna prva številka ostanek, s I uča j nostnega števila, če prvo slučajnostno številko od 0 do 8 delimo s tri. Opozorit? moramo, da slučajnostne skupine, k? začenjajo z 9, Izpuščamo. Analogno je pri populacijah, katerlg obseg začne s številko 3, merodajen ostanek, če delimo prvo slučajnostno število s štiri, ne upoštevamo pa 8 In 9. Če pa se število enot N začne s 4, je prva številka zaporednega števila ostanek, če deilmo prvo slučajnostno šte¬ vilko s 5. 10.26 Primer za ocenjevanje z enostavnim slučajnostniro vzorcem . Uporabo različnih vrst vzorčenj«, med njim? tud? za enostavno slučajnostno vzorčenje, borna uporabil? na shematič¬ ni preskusni kvadratni ploskvi s površino 57,6 ha. Ta je razde¬ ljena na N = 24 x 24 = 576 osnovnih površlnlc kvadratne oblike po 10 a. Kljub temu, da je primer shematičen, je populacija za¬ dosti velika, da bomo mogli na različnih primerih ocenit? kva¬ litete posameznih vrst vzorčenja. V skici ploskve v sliki 10.3 so nakazane osnovne površlnlce In vanje vpisan? podatki o volum¬ nih na posameznih površlnlcah. Tl podatki v nadaljevanju služi¬ jo za to, da z njihovo pomočjo dobimo podatke o Izbranih parce¬ lah. V stvarnem primeru dobimo za 'zbrane enote te podatke z opazovanjem na terenu. Prave vrednostT parametrov, katere bomo v nadaljeva¬ nju ocenjevali, so": Število parcel, za katere je volumen večji 3 kot 30 m : H = 320. Odstotek parcel, na katerih je volumen večji kot 30 m^ : P$ = 55,6$. Skupen volumen sestoja: Y = = 17439 m . Povprečen volumen na osnovno parcelo : Y = 30,3 m . - 169 - Slika 10.3 Skica poskusne ploskve z N=576 osnovnimi parcelicam? s poda+ki o volumnih na osnovnih ploskvah. 170 10.27 Z enostavnim s Iučajnostn»m vzorcem brez ponavljanj« n=72 osnovnih parcel na poskusni ploskvi, ocenimo: a) povprečni volumen na osnovno površino: y" b) skupni volumen v sestoju: Y £ ^ c) odstotek osnovnih parcelic v sestoju, ki Imajo vo- O lumen manjši kot 30 m : p% d) število parcelic v sestoju, nakaterrh je volumen manjši kot 30 j Vzorčna enota je v našem primeru posamezna parcelica Izmed N=576 osnovnih parcelic« Osnovna populacija pa je sestav¬ ljena Iz vseh N=576 osnovnih parcelic«' Glede na to, da so osnovne enote površine, je naj- prlkladnejšl okvir shematična karta sestoja, v kateri so posa¬ mezne vzorčne enote - osnovne parcelice oštevilčene z zapored¬ nimi številkami od 1 do 576. Enostaven slučajnostnl Izbor n=72 osnovnih parcelic brez ponavljanja Izvedemo tako, da Iz tablic s Sučajnostn?h šte¬ vilk vzamemo kot zaporedne številke Izbranih enot vsa tromestna slučajnostna števila od 001 do 576« Tromestne slučajnostne šte¬ vilke sestavimo po določenem pravilu« V našem primeru vzemimo po vrstnem redu tromestna števila Iz zaporednih stolpcev v tablici s IučajnostnI h števil v dodatku. ■ - / ' Najprej vzemimo kot tromestna slučajnostna števila prvo skupino tromestnlh številk (prva, druga, tretja) Iz vsake vrste v tablici s Iučajnostnlh številk v dodatku, nato drugo skupino (četrte, pete, šeste slučajnostne številke) Iz vsake vrste, nato tretjo skupino *td« vse dotlej, dokler ne dobimo n=72 s IučajnostnI h tromestnlh številk brez ponavljanja« n=72 tako ugotovljenih tromestnlh s Iuča j nosi n I h številk brez ponav¬ ljanja je nanizanih v tabeli 10.8« Iz te tabele je razvidno, da se je v Izboru pet tromestnlh Š'tevllk ponovilo (dv)« Izbra¬ ne parcele so v okvirju vzorce v sliki 10.3 uokvirjene. V tabe¬ li 10.8, kakor tud? v slik? 10.4 so za Izbrane parcele navede¬ ni tudi volumni, katere smo ugotovil 1 ! Iz skice 10.3. Z 0 ali 1 pa je zaznamovano, da volumen nf (0) oziroma da je (1) večji 'kot 30 m^. -171 - S I?ka H0 o 4 Okvir enostavnega s Iučajnos+nega vzorca lic z vrisanim? slučajnosino Izbranimi parcelicami ml vol umni o n=72 parce- n vplsa ni - =■ 172 - 7 Tabela 10.8 Osnovni podatki o enostavnem s!učajnoslnem izboru vzorca z n = 72 parcelicam? Iz individualnih podatkov za n=72 izbranih parcel dob? mo naslednje pomožne rezultate: število parcel, ki imajo volu- 3 men večji kot 30 m , h = 43, vsota volumnov na izbranih parce- 3 licah y = ~ 2226 m . Vsota kvadratov volumnov na izbranih parcelicah J y? = 71902. Če upoštevamo teoretične osnove za enostavni slučaj- nostn? vzorec, dobimo naslednje rezultate: Točkovna ocena za povprečni volumen na eno parcelo je po obrazcu 10.9- Y s| = y/n = 2226/72 = 30,92 m 3 Iz pomožnih rezultatov dobimo dalje, da je ocena variance za osjiovo I znak y - 173 - n 2 2 / s 2 = ž y ' ~ y _ - 71902 - 2226 2 /72 . 43>40 y R - 1 72-1 Ocena variance za ar ? + me + Ično sredino z vzorcem brez ponavlja¬ nja je po obrazcu 10*15 var fy) = % 1 . ±1 = * 576-72 = 0 , 52?431 n N 72 576 seiy) = /var(y7~ = /3,527431 = O,.726 m 3 d(y) = + (0,05*72-1 ).se(y) = 2,00.0,726 = 1,45 m 9 Y = 30,92 - 1,45 Ker je vzorec z n=72 enotam? v smislu vzorčenja če majhen, ko+ fak+or, s ka+erlm množimo oceno, da dobimo oceno odklona ni ločno enak koe+IcTen + u z za normalno por a zde II+ev, lemveč I (oc ,n- 1 )» Ta koeficient je +em bližji vrednos+f z za u - s + rezno tveganje OC , čim večji je vzorec. To vidimo Iz +abele za I porazdell + ev v labe I? 11.1. V našem primeru je + (oi=0,05; n-1 =71) =2,00. Za velike vzorce pa je us + rezn? z (oc =0,05) =1,96. Razlika +orej ni znal na. Prava vrednosl arl+me+ične sredine volumna na eno 3 parcelo lež? s tveganje® 04= 0,05 v razmaku od 29,47 m do 32,37 m 3 . Ocena arl + me+ične sredi n e ».vo I umna torej s tveganjem oc= 0,05 ni od prave arT+me + fčne sredine Y različna za več kof 6%[J) = 100.d(y)/y = 100.1,45/30,92 = 4,7 % Ocena, ki smo jo dobili z vzorcem, je razmeroma dobra. Podobno ocenimo tud? skupen volumen v sestoju. Toč¬ kovna ocena skupnega volumna Y fi j je Y = - y = ŽZ 6 2226 = 17808 m 3 sl n 72 Ocena variance za skupen volumen pa je s 2 var(Y ,) = N(N-n) -X = 576(576-72) ■—= 174988,80 S ' n 72 - 174 - se(Y g j) = y V ar(Y s ! "5 = -^174988,80 = 418,32 m 3 d(Y s3 ) = t(0,G5.71).se(Y sJ l = 2,00.418,32 = 837 m 3 Y = 17808 t 837 Pravi skupni volumen sestoja je s tveganjem cC = 0,05 med 16971 m 3 In 18645 m 3 . Ce primerjamo dobljen? rezultat ocene z enostavnim vzorčenjem brez ponavljanja s pravim volumnom v raziskovanem 3 sestoju Y = 17439 m , vidimo, da je rezultat v skladu s teori¬ jo. Prava vrednost volumna v sestoju resnično leži v razmaku zaupanja. Dobljena točkovna ocena za volumen v sestoju Y , = 3 s 3 = 17808 m je razmeroma d©br a ocena skupnega volumna Y =174 3 9 m. Razlika ocene od prave vrednosti je 17808 - 17439 = + 369 m 3 alf v odstotkih 100 = 2,1 $ 17439 P Ocena strukturnega deleža parcel z volumnom nad 30 m 3 je p = h/n = 43/72 = 0,597 ali v odstotkih p$ = 100.0,597 = 59,7$ Da ocenimo vsrla vzorca, Izračunamo oceno s Da ocenimo varianco te ocene najprej Iz podatkov 2 „2 h(n-h 1 Sp „ — 43(72-43) n(n-1) 72(72-1) 0,243936 Ocena variance za p je 2 N-n N var(p) j? 0,243936 576-72 72 576 = 0,00296450 se(p) = Yvar(p) = Vo,00296450 = 0,0544 a i 1 se f p$) = 1 00.se (p) = 100.0,0544 = 5,44$ d(p$) = t(0,05.71).se(p$) = 2,00.5,44 = 10,9$ Odstotek parcel, k.1 Imajo volumen večji kot 30 m 3 , je P$ = 59,7$ - 10,9$. Prav? odstotek, s tveganjem oC = 0,05 n? manjši kot - 49$ In ne večji kot 71$. -17 5- H s ~ . 43 = 344 72 n 0,243936 72 = 983,55 se(H,|J *y7ar(H s| ) = ^983,55 =31,4 d?H si ) = f(0,05»71y,sej > = 2,00*31 ,4 = 62,8 H = 344 ~ 63 potrdilo teorije ?n za preskus stvarne zanesljivost? rezultata primerjamo dobljeno oceno s pravim številom parcel, k? smo ga dobili s pregledom vseh parcel, dobimo, da je pravo število parcel H = 320 v mejah zaupanja In da se ocena H, = 344 od s 94 pravega števila razlikuje za 344 - 320 = 24 ai? 100 —^=7,5$* Določanje velikosti vzorca pri zahtevan? natančnosti ocene dosedanjem obravnavanju ocenjevanja z vzorčenjem je bila veli¬ kost vzorca vnaprej znana In smo pr? dan? velikost? vzorca oce¬ njeval? parametre ?n njihovo zanesljivost* določit? velikost vzorca tako, da bo dal predpisano natančnost. Če na velikost vzorca ne polagamo pažnje, se zna zgoditi, da so ocene, k? jih dobimo, neuporabne ali pa Imajo omejeno vrednost, ker so premalo zanesljive, če je vzorec premajhen. Obratno pa je ocena glede na stvarne potrebe lahko predobra tn smo po ne¬ potrebnem vzeli prevelik vzorec. Zanesljivost ocene z enostavnim vzorcem je dana s standardno pogreške ocene SE, ali pa z odklonom zaupanja D=z.S£, 10.28 Dolo čanje velikost? vzorca za oceno povprečja . Pr? Pr? planiranju vzorcev pa običajno nastopi problem - 176 * k! pomen? največji odklon ocene od prave vrednost? pr? danem tveganju ca * Kot je znano, zavlsi od stopnje tveganja koefi¬ cient Z o Najprej skušajmo rešit? problem o velikost? vzorca za oceno povprečja z vzorcem s ponavl jan jem» Vprašanje je, koliko enot moramo vzet? v vzorec, da se ocena povprečja z danim tve- ganjem a. ne odklanja od prave vrednost? za več kot D Cy) * Iz obrazca 10*5 ?n obrazca 10o6 povzamemo, da je za enostaven slučajnosin? Izbor s ponavljanjem D(y) = z.SE(y) = z -^=- 110*361 Iz te ga obrazca dobimo, da je za vzorec s ponavljanjem 110*37) Vzemimo našo poskusno ploskev z N=576 parcelicam! In skušajmo določiti, kako velik vzorec s ponavljanjem moramo vze¬ ti, da se ocena povprečja od pravega povprečnega volumna na eno parcelo s tveganjem ot = 0,05 ne bo odklanjala za več kot D(y) = 1 m 3 * Za tveganje a= 0,05 je z = 1,96* Standardni odklon za volumen po parcelicah je £ = 6,29* Iz teh podatkov dobimo po obrazcu 10*37, da je n / 1,96*6,29 ' 1 152 Da z enostavnim vzorčenjem s ponavljanjem ocenjen? povprečni volumen na eno parcelo od pravega povprečja ne bo različen za 3 več kot D = 1 m , je treba v slučajnosten vzorec vključiti n'=152 enot* 10,29 Med številom enot v vzorcu s ponavljanjem n In števi¬ lom enot v vzorcu brez ponavljanja n f pr? Isti natančnosti oce¬ ne je zveza -177 . I fc- il • N n ^ n ' N+n-1 ~ 1 + f (10 0 38) V našem primero dobimo n® = -576i152. = 120 576+152-1 Ce ocenjujemo povprečje z vzorcem brez ponavljanja, dosežemo predpisano za nesi j Tvos+ ocene že z vzorcem, v katerega vklju¬ čimo le n=l20 parcelic. 10.30 Velikost vzprca pr? predpisan? relativni natančnosti. Zanesljivost ocene pa večkrat predpisujemo tud? relativno. Na¬ mesto absolutnega dopustnega odklona zaupanja Izrazimo odklon relativno v odstotku od parametra, v našem primeru v odstotku od aritmetične sredTne. obrazec 10.37 ustrezno preuredimo, je n z KV% f D%(y)J (10.391 V obrazcu 10.39 smo števec In Imenovalec pomnožil? s 1Q0/Y. Ta¬ ko dobimo v števcu namesto standardnega odklona 6 koeficient variacije KV/S, v Imenovalcu pa namesto absolutnega odklona zau¬ panja D(y) relativen odklon D/S(y"). Iz tako dobljenega obrazca za število enot v vzorcu s ponovi jan jem pa*dobimo število enot v vzorcu brez ponavljanja po obrazcu 10.38o 10^31 ■ Skušajmo določiti, s kako velikim vzorcem brez ponav¬ ljanja bi se ocena povprečnega volumna na eno parcelo v našem preskusnem sestoju s tveganjem a= 0,01 ne odklanjala od pra¬ vega povprečja za več kot D%Cy) = 5/S. Tveganju a = 0,01 ustreza koeficient z =? 2,576 (glej odstavek 9.131. Ker je koeficient variacije za poskusni sestoj KV^ = 20,8/S, dobimo po obrazcu 10.39 „ = 12,576.20,8^ „ 5 - 178 - Potrebno število enot v vzorcu brez ponavljanja pa je po obraz¬ cu 10»38 = 576,115 , = , 6 576+115r1 Določanje števila enot v vzorcu za ocene parametrov Y„ Y g D%, H 1 0 o 32 Analogno dobimo obrazce za določanje števila eno+ v vzorcu + u d ? za ocene parametrov: Y, P in PL Obrazci za vse šti- ri osnovne parametre so dan? v -tabel? 10 o 9 o Tabela 10»9 Obraze? za določanje potrebnega števila enot prt dan? zanesljivost? - 179 - 10,33 H?ba navedenega postopka je v tem, da moramo poznali določene parametre Iz osnovne populacije* če hočemo določit? potrebno število enot za planirani vzorec. Teh pa običajno ni¬ mamo, Zato sl pr? planiranju vzorcev pomagamo z ocenam? za po¬ trebne parametre, Te dobimo s predhodno analizo pojava* k? ga proučujemo al? Iz razpoložljivih podatkov že Izvršenih sorodnih raz?skaw. Včasih vrednosti teh parametrov ocenimo z manjšim vzorcem* katerega kasneje vključimo v glavni vzorec. Drug problem* k? se pojav? v zvez? z določanjem veli¬ kost? vzorca* pa je v tem*da običajno z enim vzorcem ne opazu¬ jemo enega samega znaka In ne ocenjujemo enega samega parametra. Vsak Izmed teh znakov pa Ima drugo variabilnost* ocena pa drugo zanesljivost. Zato pr? planiranju velikost? vzorca dobimo za oceno vsakega parametra drugačno potrebno velikost vzorca. Tež¬ ko se je Izmed različnih n odločit? za velikost vzorca* ki naj bo osnova za vzorec* s katerim dobimo podatke za ocene vseh pa¬ rametrov, V tem primeru se odločimo za kompromisno srednjo ve¬ likost vzorca. Pr? tem se oziramo predvsem na važnejše parame¬ tre In skušamo vzeti vzorec tako velik* da zanesljivost ocen ustreza predvsem zanje, Strat?f?c?rano vzorčenje 10,34 Osnova In lastnosti . Obraze? o varianci ocen z eno¬ stavnim vzorčenjem pokažejo, da je zanesljivost ocene* razen od velikost? vzorca v bistven? mer? odvisna od variabilnost? proučevane populacije. Za homogene populacije, za katere je variabilnost majhna, je ocena boljša* za heterogene populacije oziroma za populacije z veliko variabilnostjo* pa so ocene pr? Isti velikost? vzorca manj zanesljive. Medtem ko moremo veli¬ kost vzorca spreminjat? In tako vplivat? na kvaliteto ocene* na variabilnost neposredno ne moremo vplivati, ker je lastnost popu ladje. Vendar kljub temu pr? vzorčenju Izkoriščamo zakoni¬ tost* da so ocene za homogene populacije zanesljivejše kot za heterogene. Če namreč uspemo heterogeno populacijo razdelit? v -1 80 - homogene populacije, je variabilnost v posameznih delnih popu¬ lacijah, ki jih imenujemo - stratume , manjša o S samostojnimi enostavnimi vzorci v posameznih stratumfh dobimo ocene za posa¬ mezne stratume, iz teh ocen pa sestavimo ocene za populacijo« Tak način ocenjevanja je v primerjavi z enostavnim vzorcem tem uspešnejši, čim manjša je variabilnost pojava znotraj stratumov in čim večje so razlike med stratumi. Zato skušamo pri stratifi- ciranem vzorčenju razdeliti populacijo v stratume po onem zna¬ ku oziroma znakih, ki bistveno vplivajo na proučevani pojav. Najpopularnejša je regionalna stratifikacija, pri kateri popu¬ lacijo razdelimo v homogene grupe glede na geografske rajone. Tako je uspešna razdelitev sestoja na stratume po kvaliteti tal, glede na nadmorsko višino itd. Kot načelo za razdelitev na stratume pa more služit? vsak drug kriterij, ki prispeva k temu, da so razmere v stratumih čim bolj Izenačene. Tako more¬ mo v dvoetažnem sestoju vzeti kot stratume posamezni etaži. Vo¬ lumni, premeri, višine drevja itd. so namreč v bistveni meri odvisni od tega, iz katere etaže je drevo. Zato je variabilnost teh značilnosti močno odvisna od etaže. Dve homogeni populaciji dobimo, če vzamemo v en stratum drevesa Iz prve etaže, v drug stratum pa drevesa iz druge etaže. Hiba str a t i f le i ranega v zor če n j a pa je predvsem v tem, da moramo populacijo razmeroma dobro poznati, če hočemo izve¬ sti stratifikacijo. Medtem ko moramo pri enostavnem vzorčenju poznati le okvir vzorčenja, t.j. spisek enot, moramo pri stra- tiflclranem vzorčenju populacijo znatno bolje poznati, če jo hočemo razdelit! v homogene dele. Vsako enoto v osnovni popula¬ ciji je treba namreč pred izborom vzorca vključit? v ustrezno grupo - stratum. Običajno ne proučujemo popolnoma neznanih pojavov. Zato izvedemo stratifikacijo po poznavanju o kvaliteti drevja, po poznavanju tal ali na osnovi prejšnjih pregledov sestoja. Ker je stratifikacija običajno izvedena po nekem nače¬ lu, ki je v vsebinski zvez? s proučevanim pojavom, dobimo s stratific?ranim vzorčenjem kot postranski rezultat tudi rezul¬ tate po grupah - stratumih. Zavedati pa se moramo, da so rezul¬ tat? za posamezne stratume nezanesljivi, če je število enot vzorcev v posameznih stratumih majhno. -181 ~ 10.35 Ocenjevanje agregata s stra tlfic?ra n!m vzorcem . Naka¬ zali smo že, da pr? strat?f?cira nem vzorčenju ?z delnih ocen, k? jih dobimo iz samostojnih enostavnih vzorcev po stratumih, sestavimo skupno oceno za celotno populacijo. Ocena agregata s s tra t i f i cT ra n 5 m vzorčenjem Y g ^. r je vsota ocen agregatov v posameznih stratumih Y, . 'str T UI 'isl * * = X k*1 ( 10 . 40 ) Varianca z« oceno agregata s strat it iciranim vzorčenjem Var(Y pa je vsota varianc ocen agregatov po stratumih Var(Y itr ) = Var(Y, sl ) + Var(Y 2sl )+ - +fer(Y rsl ) * XVar(Y ks ,) ( 10 . 41 ) ' ' ' k*1 ' Iz teh dveh obrazcev moremo z upoštevanjem zvez med Y, Y, P ?n H, pravim? vrednostmi in ocenam? razviti analogne obrazce za prave vrednosti ali ocene parametrov ali varianc za katerikoli izmed navedenih štirih parametrov. 10.36 Razmestitev enot vzorčenja po stratumih . Pri stratT- flciranem vzorčenju je ena izmed osnovnih nalog določiti, koli¬ ko enot od skupnega števila enot v vzorcu vzamemo v posamezen stratum. Vnaprej ta razmestitev namreč ni dana. Pri podrobnej¬ šem študiju stratif?c i ra ne ga vzorčenja opazimo, da je od tega, koliko enot od skupnega števila enot v celotnem vzorcu je v po¬ sameznem stratumu, v bistven? mer? odvisna zanesljivost ocene. Zato je ta problem toliko bolj pomemben.' 10.37 Proporcionalna razmestitev . Najenostavnejša razmesti¬ tev, ki jo uporabljamo pr? strat?f?cira nem vzorčenju, je pro¬ porcionalna razmestitev. Pri pr opore?ona I n? razmestitvi je ve¬ likost vzorcev v posameznih stratumih sorazmerna skupnemu šte¬ vilu enot v stratumih. Če z zaznamujemo skupno število enot, z n^ pa število enot v vzorcu v stratumu k, fbri pr opore ? ona I n i razmestitvi določimo n^ po obrazcu - 182 - n k = a N k '• 0 ~ n/N (10.42) 10.38 Vzemimo naš kompleksen primer sestoja z N = 576 par¬ celicami, kf so razdeljene v tr1 stratume 1, 2 Tn 3. Osnovna razdelitev na stratum za to populacijo je nakazana v okvirju v s I1 k 1 10.5. Zanj je v tabeli 10.10 nakazano, kako skupno n = 72 enot vzorca razmestimo po stratumlh pri pr oporc 1 ona I n 1 razme¬ stitvi. Razen tega je v Isti tabel? tudi nakazano, kolika je varianca za oceno skupnega volumna pri proporc 1 onaln 1 razme¬ stitvi. Konstanta, s katero pomnožimo N^, da dobimo n^, je po obrazcu 10.42 a = 72/576 = 0,125. Tabela 10.10 Izračun števila enot po stratumlh In variance agregata (lesne zaloge) pr? proporc?ona I n * razmestitvi na pre- s kusn l ploskvi N = 576 n = 72 33703 = Var(Y. ) str ,p Dalje je: SE(Y s + r ) =^ar(Y s + r J = ■$3703 = 183,6 SE$(Y s + r?p ) = 100.SE(Y s + r>p )/Y= 100.183,6/17439 = 1,05$ Stra1111cira no vzorčenje da v našem primeru torej znatno boljše rezultate kot enostavno vzorčenje. Medtem ko je relativna pogreška za oceno agregata Y z enostavnim vzorčenjem enaka SE$(Y s |) = 2,29$, je relativna pogreška ocene pr? strati- flciranem vzorčenju s pr op or c 1 ona I n o razmest 1 tv 1 j o skrčena na SE * (Y s+r,p> = Uspešnost posameznih vrst vzorčenja običajno merimo s primerjavo varianc ocen pr? posameznih planih vzorčenja. To razmerje namreč približno pokaže, kolikokrat večji enostavni vzorec b? morali vzeti, če bi z njim hotel? doseč? isto natanč- - 183 - nost, ko! jo dosežemo z določenim Upom vzorčenja. V našem pri¬ meru je to razmerje Var { Y s l ? _ 160180 _ 4 ?5 VarlY e . J 33703 str,p To pomeniš Če hočemo z enostavnim vzorcem doseč? tako kvalite¬ to za oceno lesne zalloge, kot jo dosežemo s strat?f?c Iranlm vzorcem s proporcionalno razmestI tv I j o enot s skupno n = 72 osnovnimi površ Inf cam?, moramo v enostaven slučajen vzorec vze¬ ti približno 4,75 krat več enot kot pri stra1111 c I ra nem vzorče- nj.Uo Str a t ? f 5 ka c o j a je v tem primeru zelo uspešna. Varianco ocene agregatov v posameznih stratumlh smo Izračunali po znanem obrazcu 10.22 za Izračunavanje variance za ocene agregatov z enostavnim? slučajnostnlm? vzorci. 10.39 Optimalna razmestitev . Kljub uspešnost? proporcional¬ ne razmestitve pr? stra 15fI c I ra nem vzorčenju pa pr opor c I onal na razmestitev ni najboljša. Ocena v posameznih stratumlh je tem zanesljivejša, čim manjša je variabilnost v stratumu In obrat¬ no. V stratumlh, k? so zelo homogeni, je potrebno za razmeroma dobro oceno vzet? sorazmerno manjše vzorce kot v var IabII n e jšlh stratumlh. Sz tega zaključimo, da dobimo povolnejšo razmestitev enot v stratumlh, če razen števila enot v posameznih stratumlh pr? določanju velikost? vzorcev upoštevamo tud? variabilnost« Račun pokaže, da je optimalna razmestitev enot v stratumlh dana z obrazcem n L = a-N k .S k o = ”/I n k .S k ( 10 . 43 ) Po tem obrazcu dobimo dano število enot v vzorcu optimalno raz¬ meščeno po stratumlh, če vzamemo, da je število enot v posamez¬ nem stratumu pr oporc I ona I n o številu enot In standardnemu od¬ klonu v ustreznem stratumu. - 184 - to.40 Za naš primer je Izračun optimalne razmestitve enot In variance ocene za tak stratIfI c?ra n vzorec nakazan za oceno skupne lesne zaloge v tabel? 10.11. Tabela 10.11 Izračun velikost? vzorcev v stratumlh ?n variance ocene skupne lesne zaloge na preskusni ploskvi pr? optimalni ra zme st I tv ? Število enot po stratumfh dob?mo po obrazcu 10.43, pr? čemer je a = n/XN k S k = 72/1602,24 = 0,044937. Osnovne podatke o N k ?n $ k smo dob?l? ?z tabele 10.9. Dalje je: SE,Y str,0 ! =y Vi ”" (Y s+'-.C> ) =1/30850 = 175,6 Relativna standardna pogreška pa S ^ s -j- r = 100«3E(0^ Y= = 100.175,6/17439 = 1,01$. Primerjava variance za stret?f?c?ra no vzorčenje z opti¬ malno razmestitvijo s strat?t?c?ran?m vzorčenjem s proporcio¬ nalno razmestitvijo da Var(Y str p } / Var(Y str O* = 33703/30850 = 1,092. Da b? s pr oporc?ona I no razmes111v I j o dobil? enako zanesljivost kot z optimalno razmest 11v?j o n=72 enot vzorca, b? moral? vze¬ ti približno za 9$ večj? vzorec. 10.41 Optimalna razmestitev enot glede na stroške . Optimalna razmestitev, k? smo jo obravnaval? v zgornjem odstavku, je opti¬ malna glede na število enot. V praktičnem delu pa so pomembnejši - 185 - element pr? planiranju vzorca stroški opazovanja. Zato skušamo dalje ?ska+? optimalno razmes+i+ev enot glede na skupne stroške opazovanja. Ta razmestitev je enaka pri optimalni razmestitvi glede na število enot, če so stroški za opazovanje ene enote v vseh stratumih enak?, če pa so stroški za opazovanje vzorčnih enot različni, more optimalna razmestitev glede na stroške bistveno odstopati od optimalne razmestitve glede na število enot. Glede na stroške je optimalno tisto število enot v posa¬ meznih stratumih, ki da pr? Istih stroških najmanjšo skupno varianco in s tem na j zanesljivejšo oceno. Vzemimo enostavno funkcijo stroškov, ki upoštevala* mo konstantne stroške in stroške, k? so v zvez? z opazovanjem posamezne enote vzorčenja. Konstantni stroški so oni, k? niso odvisni od tega, kakšno število enot vzamemo v vzorec. To so stroški za pripravo ankete, za sestavo okvirja itd. V variabil¬ ne stroške pa vzemimo stroške, k? so v zvez? z opazovanjem po¬ samezne enote. Pri enostavni funkciji stroškov predposta v I jamo, da so stroški po posameznih stratumih proporclona I ni številu enot v vzorcih po stratumih. V tem primeru so skupni stroški dan? s funkcijo C = C 0 + C, s C 0 + J>c k n k (10.44) Pri tem pomen?: C = skupni stroški, C Q = konstantni stroški, C y = variabilni stroški, c^ = stroški za opazovanje ene enote v stratumu; = število enot v stratumu k. Pri optimalni razmestitvi enot glede na stroške do¬ ločimo število enot po posameznih stratumih po obrazcu n k = cr-^S- / a = C Y /][N k S k ^ k (10.45) V c Ar 10.42 Za naš primer vzemimo, da so stroški za opazovanje ene osnovne parcele (potni stroški, stroški merjenja itd.) po stratumih naslednji: c 1 = 3600 din, c 2 = 2500 din, c 3 = 1600 din. - 186 - Stroški so različni zaradi različnega terena, veli¬ kosti teritorije sestoja Itd« če upoštevamo zgornje stroške na enoto po posameznih stratumlh, znašajo spremenljivi stroški glede na število enot po stratumlh pri optimalni razmestitvi I z tabele 10.11 : c., n .j +c gn n 2 = 3600 . 12 ♦ 2500.33 + 1600.27 = 168900 din. Po nakazanem postopku določimo optimalno razmestitev enot po stratumlh tako, da pri enakih spremenljivih stroških 168900 din dobimo čim manjšo varianco. Postopek izračuna opti¬ malne razmestitve enot po stratumlh glede na stroške je nakazan v tabeli 10.12. Tabela 10.12 Določitev optimalne razmestitve glede na stroške po stratumih za enote Konstanta a, s katero pomnožimo izraze da dobimo šte¬ vilo enot v posameznih stratumlh, je a = C y /X N k S k,VS. = 168900/76608 = 2,2047 Iz variance za oceno agregata s stra11fI c Ira n I m vzorčenjem pri novi razmestitvi spoznamo, da smo za isti denar kot pri optimal¬ ni razmestitvi glede na število enot, dobili večji vzorec in boljše rezultate. Primerjava varianc za obe razmestitvi Var(Y str o ) / Var(Y stt,c > = 30850/30001 = 1,028 namreč pokaže, da bi morali v stra11fI c 1 ra n vzorec pri optimal¬ ni razmestitvi ne glede na stroške vzet? za 2,8^ več sredstev, če bi hotel? z njim dobiti enako kvalitetno oceno kot s streti- -187 ficlranim vzorčenjem, pr! katerem upoštevamo razlike v stroš¬ kih opazovanja« 10» 43 Primer za ocenjevanje s strat?f?cIran?m vzorčen?em« Omenili smo že, da pr? s tr a 11 f 1 c 1 ra nem vzorčenju v vsakem stre*- tumu Izvedemo samostojen, od drugih stratumov neodvisen vzorec, da ocenimo Iskan? parameter za vsak stratum posebej, Iz ocen za posamezne stratume pa sestavimo oceno za populacijo« Prva naloga pri Izvedb? stra11f1 c 1 ranega vzorčenja je ' i Izdelava okvira vzorčenja« Pr? stra1111 c 1 ra nem vzorčenju je okvir sestavljen Iz samostojnih seznamov enot po stratumlh® V seznamu enot po posameznih stratumlh Ima vsak stratum svojo po¬ sebno numerac?jo, k? omogoča, cja pri Izboru 1 dent 111 c 1 ramo na slučajnosfen na čin Izbrane enote« Tud? pri st ratificiranem vzorčenju more bit? osnova okvirja seznam, kartoteka, geograf¬ ska karta, skice In podobno, le da so okvirji sestavljen? po stratumlh« Vsak stratum smatramo za samostojno populacijo s samostojnim okvirjem In numeracijo. V slik? 10«5 je nakazan okvir vzorčenja za poskusni sestoj. Ploskev je glede na kvaliteto tal razdeljena v tri stratume: 1, 2 In 3® Vsak stratum Ima v okvirju samostojno nu¬ meracijo parcelic« Okvir vzorčenja je v našem primeru shema ploskve z vpisanim? zaporednim? številkam! parcelic v posameznem sfratumu. Zaporedne številke Izbranih parcel dobimo iz tablic s Iučajnosfn?h številk v dodatku. Ker je skupno število osnov¬ ni« parcelic v prvem sfratumu = 144, v drugem = 192 in v tretjem = 240, Iz tablic s Iuča j nosfn 1 h številk dobimo za¬ poredne Številke Izbranih parcelic po naslednjem pravilu: Od začetka tablic s Iučaj nostn1 h številk sestavljamo drseče tri¬ mestne slučajnostne številke tako, da tromestno skupino pomikamo za eno slučajnostno številko« Ker je število enot v prvem stra- tumu pod 200, dobimo Iz tromestne slučajnostne številke, ki je večja kot 200, zaporedno številko Izbrane parcele tako, da od nje odštevamo ustrezen mnogokratnik od 200. Enako postopamo v drugem sfratumu, ker tud? v njem število enot n? večje kot 200« V tretjem sfratumu je število enot = 240. Zanj od tromestnlh š I uča j nost n ? h številk odštevamo p'6 znanem postopku 300. Vendar slučajnostne številke, k! so večje kot 900, v tretjem stratumu ne pridejo v poštev, ker b? sicer ne imela vsaka enota v stra¬ tumu enake možnost?, da jo izberemo ?n zato ocena ne b! bila nepr ? str a nska» V tabeli 10<>13 je prikazan izbor vzorcev v posa¬ meznih stratumlh« Poleg slučaj nost ne številke je v drugem stolp¬ cu vpisana zaporedna številka parcele, ki ustreza posamezni slu- čajnostn? Štev?lk? 0 Sz tabele je razvidno, da nekatere slučaj- nostne številke ne pridejo v poštev, ker so večje kot je skup¬ no število enot po stratumlh« V prvem stratumu dobimo na primer zaporedno številko izbrane parcele, če ostanek tromestne slučajnostne številke, k? smo jo delil? z 200 ni večji kot N^=144» Po tem načelu ustre¬ za prv? tromestni s Iučajnostn? številk? 034 parcela z zaporedno številko 34, slučajnostna številka 347 ne pride v poštev, ker je ostanek 347-200=147 večji kot N.j=144o Slučajnostmi številk? 474 ustreza parcela z zaporedno številko 474-400=74 Itd«, Podob¬ no postopamo pr? drugem In pr? tretjem stretumuo V tretjem stolpcu je vpisan volumen na izbranih par¬ celicah« Te volumne dobimo z merjenjem na Izbranih parcelah, oziroma iz slike 10«3« V četrtem stolpcu Je z o naznačeno, če O je volumen na izbran? parcel? manjši al? enak 30 m , z 1 pa so označene parcele, na katerih je volumen večji kot 30 m^. Izbrane parcele z vpisanim? osnovnim? podatki o vo¬ lumnih so vrisane v okvirju v sliki 10 o 5« Da ocenimo skupen volumen In standardno pogreško oziroma meje zaupanja, najprej IzračunaTro Iz osnovnih podatkov n o vzorcih za vsak stratum posebej pomožne količine in iz teh količin pa dalje po obrazcih Iz pregleda obrazcev v od¬ stavku 10«19 ocene agregata - volumna Y^ s j in ocene varianc var ^^ s |^ za po¬ samezen stratum« Vsota ocen volumnov po stratumlh je stratlfi- clrana ocena volumna na celi ploskvi, vsota ocen varianc pa o- cena variance volumna s sirat?fIcfra n I m vzorcem« Analogno za 3 oceno parcel z volumnom nad 30 m najprej preštejemo za posamez- Tabela 10<,13 Osnovni poda+k? o si ra + ? f 1 c 5 ra nem vzorcu na eks¬ perimenti* I n! ploskvi “=>19G >= J. stratum 2. stratum 3. stratum Slika 10«5 Okvir za strat?fIcfrano vzorčenje z vrisanim? slu čajnostno Izbranim? parcelam? po stratumlh pri optimalni raz¬ mesti t vi e 191 ne straturae število parcel z nad 30 m volumna h, ?n Izračuna- 2 * mo s .o Iz ieh količin pa dalje po obrazcih Iz pregleda 10.19 P& 2 Izračunamo oceno števila enot z nad 30 m ^I n ocene varian¬ ce -tega števila vartH^^ za posamezen stratum. Enako kot pri agregatu je vsota ocen po stratumlh enaka s+ratltlclran? oceni za celotno ploskev. Pomožne količine In osnovni Izračun stratl- flciranlh ocen je nakazan v tabeli 10.14. 10.14 Ocenitev lesne zaloge In števila parcelic z lesno zalo- 3 co nad 30 ra na poskusni ploskvi s stratIfIclranlm vzorčenjem Iz varianc ocen izračunamo standardne pogreške In meje zaupa¬ nja: se(Y s tr ,= V Var(Y str ) = -/25434 = 159,5 rts 3 d(Y s + r ) = 2,00 se(Y s + r J = 2,00.159,5 = 319 m 3 Prava lesna zaloga s tveganjem ct= 0,05 ni manjša kot Y mIn =r 5 +r -dir st r ,=17512 - 319 = 17193 m3 ,n ne ve! i a kot k.x= Y S tr +d(Y str , = 17512+319 = 17831 m3 - Če primerjamo dobljeni rezultat s pravo lesno zalogo 3 Y = 17439 m , vidimo, da ta vrednost leži v mejah zaupanja. Razlika ocene od prave vrednosti Y s ^. r - Y = 17512 - 17439 = *$•73 m 3 je komaj 0,43$ od skupnega volumna. Dobljena ocena je znatno boljša, kot pa smo jo dobili z enostavnim vzorcem. 3 Za število parcel z lesno zalogo nad 30 m pa je: se(H s+ ) = V^arThT^J = ^238,27 = 15,44 d(H s+r ) = 2,00.se(H sip ) = 2,00.15,44 = 31 3 Pravo število parcel z nad 30 m je s tveganjem a - 0,05 večje k0+ H mln = H str * dlH .+r» = 339 ’ 31 = 308 in manjše kot H mJx = H s(r + d( +r ) = 339 + 31 = 370 Ker je stratifikacija v našem primeru zelo uspešna, se ocena 3 H s | r = 339 od , •• • pravega števila parcel z nad 30 m H = 344 razlikuje samo za 5«, Vz orčenje v skupinicah 10.44 Hiba enostavnega vzorčenja je med drugim tud? v tem, da so enote vzorčenja po vsej ploskvi razmeščene tako, da so v posameznih primerih stroški za pregled ene same enote znatni, ker v okolic? te enote n? drugih enot Iz vzorca, čeprav je to dejstvo za kvaliteto ocene ugodno, ker je vzorec bolj reprezen¬ tativen, če so enote vzorca razmeščene po vsej ploskvi, je tak vzorec sorazmerno drag. Te hibe ne odpravi niti stra 11 f1 c 1 ra no vzorčenje, pri katerem ta problem ostane, čeprav v okviru stra- tumoVo Zato v določenih primerih težimo za tem, da so sosedne osnovne enote vzorca združene v skupinice. S slučajnim vzorcem v tem primeru ne Izbiramo posamezne osnovne enote vzorca, tem¬ več celotne skupinice. Kvaliteta ocene za populacijo je predvsem odvisna od tega, kako so osnovne enote združene v skupinice, oziroma kakšne so lastnost? skupinic. 10.45 Kljub temu, da so skupinice sestavljene Iz več osnov¬ nih enot, skupinice smatramo kot samostojne enote vzorčenja« Zato je osnovno vzorčenje skupinic zelo sorodno enostavnemu vzorčenju, le da so namesto osnovnih enot enote vzorčenja sku¬ pinice. Če z zaznamujemo vrednost osnovne enote 1 v skupi¬ nic? k, je vrednost agregata v skupinici k vsota vseh vrednost? osnovnih enot - 19 ?- (10.46) če je v populaciji M skupinic In s s I uča j nosi ni m vzorcem Izbere¬ mo m enot, je po znanih stavkih za ocenjevanje agregata z eno¬ stavnim vzorčenjem ocena agregata z vzorčenjem v skupinicah T sk - k*l (10.47) varianca za oceno agregata z vzorčenjem v skupinicah pa je s ; , m-?? ,« - M(M- m)-J- ; Sy ; Y --ij V* (10.46) Ocena variance pa je analogno 0 Jbfc “ /J var & = M(M - ; s } = k ‘’ m f m £ 2 * m k*f (10.49) Obrazci so analogni obrazcem za enostavno vzorčenje, le da se nanašajo na podatke o skuplhlcah. Analogni so tudi drugi obraz¬ ci za ocene varianc agrega'ta, za ocene aritmetične sredine Itd. Iz obrazca 10.48 za Izračun variance agregata z vzor¬ čenjem v skupinicah sklepamo, da je ocena agregata z vzorčenjem v skupinicah tem uspešnejša, čim manjša je varianca med vred¬ nostmi za posamezne skupinice. Iz tega spoznamo, da ocena z vzorčenjem v skupinicah ni odvisna od var1ab1I n ost 1 osnovnih podatkov v skupinicah, ampak samo od var 1ab? Inost1 podatkov med skupinicami. Ta lastnost je ravno obratna kot pri stratlflclra- nem vzorčenju, pri katerem je zanesljivost ocene odvisna samo od varlablInost? znotraj skup 1n-stratumov. Zato pr? stratlflcl- ranem vzorčenju težimo za tem, da so razlike med stratum? čim večje, variabilnost znotraj stratumov pa čim manjša. Pri vzor¬ čenju v skupinicah pa je obratno ocena tem boljša, čim manjša je variabilnost med skupinicami. 10.46 Vrste s kup 1 n 1 c . Osnovne enote združujemo v skupinice po različnih načelih. Kot sledi Iz prejšnjega odstavka pa pr? sestavljanju skupinic težimo za tem, da združujemo enote tako, - 194 - da so razlike med skupinicam? čim manjše« Če vzamemo, da je v gozdarstvu osnovne enota drevo, združujemo drevesa v skupinice na različne načine« Skupinice morejo bit? vsa drevesa na Iregularnlh površlnlcah , k? so z na¬ ravnimi mejami (poti, potoki) al? kako drugače (meje Parcel) lahko določljive. Pr? tem težimo za tem, da tako sestavljene skupinice niso med seboj preveč različne niti po obsegu niti po štev! I u dreves <> Pogoste pa so v gozdarstvu skupinice regularnih povr - \ š I n I c . Tako sestavljajo skupinice krogi z določenim radijem, kvadrati z dano stranico, pravokotniki, pasovi oziroma proge. Posebna oblika vzorčenja v skupinicah je s Istematlčno vzorčenje . Sistematični vzorci so po svoji naravi taki, da je v posebnih pogojih variabilnost med skupinicami tako majhna, da moremo eno samo skupinico vzet? za osnovo pr? ocenjevanju pa¬ rametrov populacije. 10.47 Primer vzorčenja skupinic Iregularnlh površin. Na poskusni ploskvi smo združil? osnovne enote (kvadratne površi¬ ne po 10 a) po naravnem kriteriju v Iregularne površlnlce, ki so po obsegu različne. Vsekakor moremo kombinirati vzorčenje v skupinicah s stratIfTkacIje. V slik? 10.6 Imamo sestavljen okvir za s trat?11 c I ra no vzorčenje skupinic na poskusni ploskvi. V stratumu t je = 32 skupinic, v stratumu 2 je M 0 = 43 sku¬ pinic, v stratumu 3 pa = 58 skupinic. Ker je število skupinic v posameznih stratumfh samo dvomestno število, Iz tablic s Iuča jnostn I h številk sestavimo samo dvomestne slučajnostne številke. Ker je = 32, tablice racionalneje Izkoristimo, če slučajnostne številke do 32 sma¬ tramo kot zaporedne številke Izbranih parcel. Iz s I učaj nostn I h številk od 4j do 72 pa dobimo zaporedne številke Izbranih par¬ cel, če odštejemo od njih 40. Podobno v stratumu 2 slučajnost¬ ne številke od 1 do 43 ustrezajo zaporednih številkam Izbranih parcel, Iz s Iučaj bostn?h številk od 51 do 93 pa dobimo zapored¬ ne številke, če od njih odštejemo 50. Za stratum 3 pa Izkori¬ stimo kot zaporedne številke Izbranih skupinic slučajnostne številke, ki so manjše kot = 58. -1 95- t.stratum 2.stratum 3.straium Slika 10 o 6 Okvir za s+ratific?rano vzorčenje v skupinicah z vrisanimi slučajnos+no izbranim? skupinicam? po s+ra+um?ho V vzorec vključimo 25$ skupinic In enote vzorca razme¬ stimo med stratuml proporcionalno številu skupinic. Tako dobimo, da je število skupinic v vzorcih po stratumlh: m^ =8, mg = 11. In = 15. Po zgornjih pravilih s tablicami slučajnostnlh števil Izberemo ustrezno število skupinic. Podatki Izbora so za posa¬ mezne stratume nakazani v tabeli 10.15. Slučajnostne številke so dvomestne slučajnostne številke Iz 21. stolpca v tablici slučajnostnlh številk. Tabela 10.15 Podatki o Izboru enot v stra1111 c I ra nem vzorcu skupinic. (5I.št.psIučajnostna številka, Z.št.^zaporedna šte¬ vilka skupinice v okvirju, y|=volumen v Izbrani skupinici, x.=štev?lo osnovnih parcel v skupinici.) Stratum 1 -1 97 - dardno pogreške oziroma meje zaupanja za oceno volumna enako kot za enostaven strat Itfclran vzorec, le da se podatki nanaša¬ jo na skupinice. 70.16 Izračun variance za stratIf I c I ra no vzorčenje skupinic na poskusni ploskvi Iz osnovnih podatkov po stratumlh smo Izračunal? .ocene volumnov Y^ s j za posamezne stratume po obrazcu 10.47, ocene varianc za ocene agregatov pa po obrazcu 10.49. Vsota ocen za lesno zalo¬ go po posameznih stratumlh je s tr a 11 f ?c Ira na ocena za celoten sestoj, vsota varianc pa ocena variance za strat?fIclrano oce¬ no agregata. Po zgornjih rezultatih sta meji zaupanja 4«< Y s k, s tr> = f ai - (Y sk, S + r> = 1*85705 = 534,5 m 3 odklon zaupanja s tveganjem oc = 0,05 pa je d(Y sk str 1 = +l°»°5{30).se(Y s| ^ s+r ) = 2,04.534,5 = 1090 m 3 Prav? volumen je torej s tveganjem cc - 0,05 v mejah Y = 16921 - 1090. - 19 | 10«48 Vzorčenje v pasovih « Zelo cenjen način vzorčenja v skupinicah v gozdarstvu so pasovi ali proge«. Prednost pasov pred skupinicami Iregularnlh oblik je v lažji tehnični oprede¬ litvi proge In v lažjem sestavljanju okvirja« Vsebinsko oa so pasovi prikladne]?! zato, ker je pri poznanem terenu možno po¬ ložit? proge v tak? smeri, da je variabilnost znotraj pasov ve¬ lika, variabilnost med pasovi pa čim manjše. Če namreč za dolo¬ čen sestoj vemo, da se kvaliteta gozda spreminja v določeni smer? (n.pr. v smer? največjega padca terena), usmerimo proge v tej smer? In dobimo razde 11tev populacije na enote z želeni¬ mi I a stnostm?. Proge se lahko raztezajo od meje do meje sestoja In so lahko različne dolžine, morejo pa bit? tud? krajše In enako dol ge * Pr? vzorčenju prog površino sestoja razdelimo po zgornjem načelu v proge, k? so enote vzorčenja. S slučajnost- nlm Izborom Izberemo ustrezno število prog, katere proučimo v celot?« Iz podatkov o Izbranih progah pa ocenimo parametre In standardne pogreške za celoto po obrazcih za ocenjevanje z eno¬ stavnim vzorčenjem, pr? čemer so posamezne proge vzorčne enote. 10.49 Primer za ocenjevanje s progami . Za poskusni sestoj proučimo možnost uporabe prog za ocenjevanje skupnega volumna v sestoju« Če proučimo skico poskusnega sestoja v slik? 10.3, opazimo, da se kvaliteta sestoja bolj spreminja v smer? od le¬ ve na desno, kot pa v smer? od zgoraj navzdol« Zato je primer¬ neje, da usmerimo proge horizontalno kot pa vertikalno. Zaradi potrditve zgornjega zaključka proučimo, kakšne rezultate da vzorčenje v vertikalnih tn kakšne v horizontalnih pasovih. Vzemimo, da so proge široke toliko kot osnovne kva- dratlčne parcele In da se raztezajo skoz? vso dolžino oziroma širino sestoja. V vsako progo je torej vključenih 24 osnovnih parcelic« Zaradi možnosti primerjave kvalitet ocen, dobljenih s progami, s kvaliteto ocen po drugih metodah, vzemimo število osnovnih parcelic v vzorčenju v progah enako številu parcelic pri enostavnem vzorčenjul V vzorec vključimo 3 naključno Izbra¬ ne pasove, kt Imajo skupno 3 x 24 = 72 osnovnih parcelici - 19 «- V slik? 10.7 je narisana shema okvirja za vzorčenje v progah, če so proge orientirane navpično In shema okvirja, v katerem so proge* orientirane vodoravno. Poleg oznake prog z zaporednimi č+evllkaml so v posameznih progah podatki o skup¬ nem volumnu v posameznih pasovih. Ti podatki služijo za teore¬ tično proučitev obeh sistemov vzorčenja. Za navpične proge Iz shneme 10.7 dobimo, da je povpre- 2 čen kvadratlčen odklon med progami S = 18630. Ker je število p«n prog v populaciji M = 24, število prog v vzorcu pa m = 3, je varianca za oceno volumna z vzorcem v navpičnih progah S 2 Var (Y ) = M (M -m J -E-lEL = 24.(24-3) l- - 3 ° = 3129840 P* n m ^ Nasprotno pa je vzorčenje v vodoravnih progah, ki so usmerjene v smeri Intenzivne spremembe v kvaliteti sestoja, 2 povprečen kvadratlčen odklon med vodoravnimi progami Sp V = 236,70. Ker je tudi za vodoravne proge M = 24 In m = 3, je va¬ rianca za oceno lesne zaloge z vzorcem Iz vodoravnih prog Var (Y ) = M.CM-m) = 24.(24-3) 236 rl9 P' v m 3 = 39766 Primerjava varianc za obe oceni Vflr(Y p.n ) _ 3129840 _ 78 7 Var(Y. > p • v 39766 pokaže, da je razlika v zanesljivosti ogromna. Varianca za oce¬ no agregata s progami, usmerjenim? v smeri razlik v kvaliteti je skoraj devetinsedemdesetkrat manjša kot prf progah v obrat- n ? smeri• Sistematično vzorčenje 10.50 Osnova . Čisti slučajnostnl Izbor s tablicami slučaj- nostnlh številk je kljub določenim poenostavitvam še vseeno razmeroma okoren. Zato v gozdarski praksi pogosto uporabljamo sistematični izbor, ki je tehnično enostavnejši, more pa pod d o I oč e - n-fmT- predpostavkami zamen j atlč? st I slučajnostnl ? zbor. - 20 $ - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 19 20 21 22 23 24 b) vodoravni pasovi Slika 10 o 7 Shema okvfrrja vzorčenja v pasovih na po skusnl ploskvl 201 Včasih pa da sistematični Izbor celo boljše rezultate kot či¬ sti slučajnostnl Izbor«. Najenostavnejša oblika sistematičnega Izbora je na¬ slednja«, Sz spiska vseh enot populacije izberemo v vzorec vsako s-to enoto, ustrezno s planirano velikostjo vzorca« s i e rf °p f “ n j a vzorčenja In pove, vsako katero enoto po vrsti Izberemo v sistematičen vzorec«. Če Izbiramo vzorec, za katerega je vzorčni dele? 10%, vključimo v sistematični vzorec vsako deseto enoto ‘z spiska«. Prvo enoto Izberemo Izmed prvih s enot s slučajnost¬ im vzorcem«, S prvo Izbrano enoto pa so vse druge enote siste¬ matičnega vzorca dane avtomatično«, Če s s I u ča j nostn I m Izborom J ‘zberemo kot prvo enoto enoto z zaporedno številko 3, Ima dru¬ ga enota v lO% sistematičnem vzorcu zaporedno številko 13, tretja 23, četrta 33, peta 43 Itd«,, dokler ne Izčrpamo celot¬ ne populacije«, Stopinja s pri sistematičnem vzorčenju pove, vsako koliko enoto po vrsti moramo vključiti v sistematični vzorec«. Stopinja pr? sistematičnem vzorčenju je z vzorčnim deležem f, ki pove, koliki del od celotne populacije je vključen v vzorec, v enostavni zvez?« Stopinja sistematičnega vzorčenja s je reci¬ pročna vrednost vzorčnega deleža f« Obratno pa je vzorčni dele? recipročna vrednost stopinje pri sistematičnem vzorčenju« s = JL ; s = 1 . f s J- (10o50) n f * s Če je vzorčni dele? f = 0,02, pomeni, da v vzorec vključimo 2% enot populacije« Stopinja sistematičnega vzorčenja je za ta pri- mer enaka s = 1/0,02 = 50« V sistematičen vzorec Izberfemo vsa¬ ko petdeseto enoto« Obratno je vzorčni dele? za sistematične vzorce, prt katerih je stopinja vzorčenja n«pr. s = 20, enak t - 1/20 = 0,05« Sistematično vzorčenje kot vzorec skupinic 10,51 Sistematično vzorčenje je po svoji osnov? vzorčenje v skupinicah« To razvldlmo Iz naslednjega sklepanja« Če je zna¬ na stopinja vzorčenja s, moremo k vsak? številk? o.d 1 do s pr i - fedlt? skupnost enot, ki Imajo zaporedne števi lke , kI so za mno- ”2 d- gokratnik od s večje kot prva številka. ( Tako v prvo skupino spadajo enote z zaporednim? številkami 1, s+1, 2s+1, 3s+1, 4s+l „ v drugo enoto z zaporednim? številkami sl, s+2, 2s+2, 3S+2, 4s+j2 ' i v tretjo enoto z zaporednim? števitkam? 3, s+3, 2s+3, 3s+3, 4s+3 .'.ir ' ‘ i in tako dalje do skupine s, v katero spadajo enote z zaporednii- mi številkami, s,*2s, 3s, 4s, ........ ... Populacijo tako razdelimo po določenem pravTIu v s skupinic. • l f Kot velja za vzorčenje v skupinicah na splošno, da je ocena tem boljša, 1 čim manjša je variabilnost med skupinicami, j veija to tud? za sistematično vzorčenje. Iz tega izhaja niz za¬ ključkov o kvalitet? ocen s sistemat?čnim vzorčenjem. Predvsem je sistematično vzorčenje tehnično mnogo enostavnejše kot čisti slučajnostni vzorec in ga moremo zato izvajat? neposredno na terenu. Razen tega pa ?e na prvi pogled izgleda, da da siste¬ matični vzorec boljše rezultate kot čist? slučajnostni vzorec, ker je s tehniko sistematičnega izbora zagotovljeno, da so eno¬ te razporejene enakomerno po vsej populaciji, kar n? vselej primer pr? čistem s I učajnostnem vzorčenju. Če je vrstni red enot v okvirju slučajnosten in n? v pojavljanju nfkake zakonitosti, je sistematičen vzorec enako¬ vreden čistemu s I učajnostnemu vzorčenju, k? ima enako število enot. Če vrstni red pojavljanja glede na proučevan? znak ne moremo smatrati kot slučajnosten, ampak so enote razmeščene po naravnem vrstnem redu tako, da- posamezni deli v spisku predstav¬ ljajo homogene celote, ima sistematični vzorec v sebi elemente strat?f iciranega vzorčenja s proporc?ona I n o razmestitvijo. Zato dobimo z njim boljše ocene kot s čistim slučajnostnim vzorče¬ njem oziroma ocene, ki so ekvivalentne stratificfranemu vzor¬ čenju. Sistematični vzorec v tem primeru predstavlja v nekem smislu samostratifikacij o, kar je vsekakor pozitiven element. Sistematičen vzorec da v splošnem boljše ocene kot čist? slučajnostni vzorec tud? v primeru, če v okviru vzorče¬ nja zasledimo neko tendenco enakomernega spreminjanja pojava, k? ga proučujemo. Sistematično vzorčenje pa daje obratno slabše ocene kot čist? slučajnostni vzorec, če še v spisku enot značilnost, k? jo proučujemo, periodično spreminja, s periodo, ki je mnogo¬ kratnik stopinje sistematičnega vzorčenja. - 208 - 10.52 Sistematično vzorčenje na površinah . V prejšnjem od¬ stavku smo navedli, kako »zbiramo enote v sistematični vzorec, če je okvir vzorčenja spisek enot. Večkrat pa je v gozdarstvu okvir vzorčenja geografska kai*ta oziroma sama ploskev ali se¬ stoj na terenu. V teh primerih način sistematičnega izbora pri¬ lagodimo novim pogojem. Pri okvirju, ki je dan s spiskom enot, je stopinja za sistematično vzorčenje dana s tem, da povemo vsa¬ ka kolika zaporedna enota v spisku je vključena v izbor. Stopi¬ nja pri sistematičnem vzorčenju na površinah pa pove, koliko Je posamezna enota sistematičnega vzorca oddaljena druga od druge. Primer sistematičnega vzorčenja na površinah je nasled¬ nji sistem izbora. Vzemimo, da je vzorčna enota krog z radijem 5,64m ali površine 1 a, stopinja sistematičnega Izbora pa 50 m. Da sistematično prepredemo celotno proučevano ploskev s krogi, ploskev najprej prepredemo s sistemom vzporednih daljic, ki so oddaljene druga od druge po 50 m. Na 50 metrskem odseku prve daljice na slučajnosten način določimo središče prvega kroga. Središče drugega kroga leži na Isti daljici oddaljeno od sre¬ dišča prvega kroga 50 m. Središče naslednjega kroga leži na isti daljici oddaljeno od središča drugega kroga 50 m itd. Ko pridemo na prvi daljici do meje ploskve in ne moremo več odme¬ rit? 50 m, da bi Izbrali središče naslednjega kroga, preidemo v obratni smer? na drugo daljico. Pr? tem pa pri izboru upošte¬ vamo ostanek v metrih iz prve daljice, če je n.pr. središče zad¬ njega kroga na prvi daljic! oddaljeno od meje 23 m, je središče prvega kroga na naslednji daljici od meje oddaljeno 50-23 = 27 m. Postopek določanja drugih krogov v vzorcu ponavljamo po istem postopku vse dotiej, dokler ne preidemo v odsekih po 50 m vseh daljic. Da se izognemu vplivu mejnega področja na oceno, v goz¬ darstvu v praksi kroge pri sistematičnem vzorčenju določamo ta¬ ko, da so od robov oziroma mej odmaknjeni vsaj 20-25 m. Nakazan? postopek Izbora je razviden iz sheme v sli¬ ki 10.7. Sistematično vzorčenje na površinah Ima pod enakimi po¬ goj? kot sistematično vzorčenje iz spiska enot prednost? oziro¬ ma pomanjkljivosti pred čistim s Iučaj n ostnI m vzorčenjem. Perio¬ dičnosti, k? so nevarne pri sistematičnem vzorčenju, se pr? vzorčenju površin pojavljajo, kadar je na ploskvi več vzpored- - 201 - nlh pasov spreminjajoče se kvalitete. Sistematično vzorčenje na površinah pa da boljše rezultate kot čisti slučajnostnl vzorec, Če je populacija nehomogena. 10.53, .« Ocenjevanje parametrov s sistematičnim vzorčenjem. 3 sistematičnim vzorčenjem ocenjujemo parametre z obrazci, kf so slični obrazcem za ocenjevanje z enostavnim s I učaj nosinlm vzorčenjem. Agregat In aritmetično sredino ocenjujemo po ob- r a z c 1 h Ysi> -- -*-> -- V ; %; s -- ,/n 110.51) strukturni dele? P in število enot z dano značilnostjo H pa po obra z c i h P,u -- h/n ; - M-h 110.52) pri čemer pomeni: N = število enot v populaciji; n = število enot v sistematičnem vzorcu; y - vsota podatkov v sistematič¬ nem vzorcu; h - število enot z dano značilnostjo v sistematič¬ ne^ vzorcu. 10.54 Ocenjevanje variance za ocene parametrov . Pri siste¬ matičnem vzorčenju je populacija skupinic sestavljena iz s sku¬ pinic. Od teh je v danem sistematičnem vzorcu v vsakem primeru Izbrana le ena sama. Varianca za oceno agregata za ta primer je po obrazcu 10.22 enaka Pri tem čarni . Var(Y s)s ) -- s(s-/;s/ s . s = povprečen kvadratičnl odklon med 110.53) skup ?ni - Kor pa je pri sistematičnem vzorčenju v vsakem pri- , meru od s skupinic vključena v vzorec le ena, ne moremo iz nje g oceniti povprečnega kvadratičnega odklona S .To dejstvo je y s i s hiba sistematičnega vzorca. Pod določenim? predpostavkami o vrstnem redu enot v populacij? pa moremo vseeno oceniti varianco oziroma standard¬ no pogreško in meje zaupanja. -2C$ - Če predpostavljamo, da je vrstni red enot glede na proučevano karakteristiko s Iučajnosten, smo nakazali, da je si¬ stematičen vzorec po svojih kvalitetah enakovreden čistemu stu- čajnostnemu vzorčenjuo V tem primeru moremo s sistematičnim I z\- I borom Izbrane enote In podatke smatrati kot da so Izbran? s ; s Iučajnostn?m Izborom« Za ta primer upravičeno ocenimo varianco ocene agregata po Istem obrazcu kot za čisti slučajnostni vzo,->: rec po obrazcu var(Y s!s ) = N(N - n) 110« 54) pr? čemer pomeni: N = Število osnovnih enot v populaciji, o n = Število enot v sistematičnem vzorcu In = ocena variance za y iz osnovnih podatkov v sistematičnem vzorcu. Izdelane so metode za ocenjevanje variance ocen tudi 1 za primere, da razpored enot v okvirju ni s Iučajnosten. Ena od teh je dana v primeru v nadaljevanju, druge pa presegajo naS okvIr o 10.55 Primer za sistematično vzorčenje . Vzemimo, da v na - Sem poskusnem sestoju ocenjujemo lesno zalogo s sistematičnim vzorcem. Lesno zalogo ocenimo z n = 64 osnovnimi parcelicami, k? jih izberemo s sistematičnim vzorčenjem. Ker ploskev sesto¬ ji iz N = 576 osnovnih parcelic, dobimo, da s sistematičnim vzorcem opazujemo na s=N/n=576/64=9 parcel po eno. To pomeni, da v vsak? tV9=3) tretji vrst? določimo lesno zalogo na vsak? tretji parcelici. Kot je razvidno Iz sheme v slik? 10 0 7 pri prehodu Iz ene vrste v drugo upoStevamo, da morata bit? med vsako izbrano parcelo po dve parceli. Prva parcelica je 'zbra¬ na s s Iučajnostnim vzorcem Izmed 3x3=9 parcelic v skrajnem zgor njem levem delu ploskve. Vse druge parcele pa so s prvo parcelo določene s sistemom sistematičnega Izbora. Oceno volumna dobimo po obrazcu 10.52 In je Y Sc = — y = 1921 = 17289 m 3 S,S n 64 Primerjava ocenes pravim volumnom v sestoju Y=17439 pokaže, da je sistematično vzorčenje dalo zelo dober rezultat. Razlika je -2C6~ Slika 10<>7 Sistematičen Izbor na poskusni ploskvi namreč samo j s - Y = 17289 - 17439 = -150 alf v odstotkih - 0 , 86 $» Ocena je tako dobra zato, ker je sestoj sestavljen Tz več homogenih delov« v Ce bi ocenili varianco za dobljeno oceno po obrazcu za slučajnostnl vzorec, bi bila vsekakor previsoka, ker popu¬ lacija n? dana v s Iučaj nostnem vrstnem redu enot temveč v na¬ ravnem vrstnem redu, ki kaže Izrazite zakonitosti različne kako¬ vosti v različnih delih sestoja« Ta varianca v tem primeru znaša VarCY s | s » = 207176. če predpostav I jarao, da v naravni razporeditvi v se¬ stoju ni periodičnih sprememb v kvaliteti, moremo smatrati, da je populacija sestavljena iz n delnih populacij po s=9 parcelic, ■v katerih je po ena parcelica izbrana v vzorec. Sistematično vzorčenje je v tem primeru enakovredno s stra t H Iclran Im vzorčenjem,, ki Ima n strafumov, v vsakem stra- tumu pa N/n=$ enot, Izmed katerih v vsakem stratumu Izberemo pp eno enofo. Ker pa Iz ene same enote ne moremo oceni ti var’ anco'y \ združimo po dva sosedna elementarna stratuma v nove str3t»?me z Nj f =2s enotam? In smatramo, da smo Iz vsakega vzel? v vzorec po dve e not I . Ocena variance agregata v stratumu je dana z znanim 2 2 obrazcem . ' *• s V na še« primeru le N=2s, n=2.:s var(Y j)=N(N-n) JL . ^ sl n izračunan Iz dveh podatkov (V x, + x. zbt 2 - 7 (*f- h) m 2 d 2 2 (10,55) je polovica kvadrata diference med obema vrednostlma v stratu¬ mu. Varianco ocene agregata s sistematičnim vzorcem ocenimo v tem primeru po obrazcu d/ VarY s!s = Z2s(2s-2) = s(s~J)Zd 2 (10,56) k k ker je ocena variance agregata s stratlflclranlm vzorčenjem enaka vsoti ocen varianc v posameznih stratumlh. Uporabimo to metodo v našem primeru pri predpostavki, da n? v populacij? neke periodičnosti, k? bi onemogočila upo¬ rabo te metode. Kombinirajmo prvi dve Izbran? parcel? z volumnoma 18 In 24, drug? dve z volumnoma 23 In 28 In tako dalje. Tako do¬ bimo ustrezne razlike: d 1 =1-8-24i -6,^ d 2 =23 " 28= " 5 » d 3 =27-35=-8, d 4 =43-43= O d^=34-34- O, d^=32-35= -3, dy=32-28= 4-4 Itd. do zadnje raz¬ like d 32 =34-35= -1 ^ d 2 = d 2 + d 2 + d 2 + ... + d 32 = (-6) 2 +(-5) 2 4-(-8) 2 +... ... +(-1) 2 = 453 Po obrazcu 10.56 dobimo končno -2 OB- var{Y sfs > = 9(9-1J ° 453 = 32616 se i Y sU » = V'"”’ Y its = V 32616 = 180 - 6 m odklon zaupanja pa: dl Y sTs ) = t(0,05.321 seCY s|s 5 = 2,04.180,6 = 368 Ocena volumna j e Y - 17289 - 368 s tveganjem a = 0,05» To je v skladu z dejanskim stanjem, ker je ocena od prave vrednosti različna le za 150 m^. Vzorčenje v dveh In več stopnjah 10.56 Osnova . Vzemimo, da z vzorčenjem v skupinicah ocenju¬ jemo gozdno površino v privatnih gospodarstvih v FLRJ. V sku¬ pinice združimo privatna gospodarstva v Istih občinah. Pri vzor čenju skupinic so vzorčne enote skupinlce-občlne. Če ocenjujemo skupno gozdno površino z vzorčenjem v skupinicah, Izberemo eno¬ staven slučajnostn? vzorec skup I n Ic-občI n In v Izbranih občinah popišemo vsa gospodarstva. Oceno za skupno gozdno površino do¬ bimo po obrazcu 10.47 (Y s ^ = j- Pr? tem pomen? Y^ skupno gozdno površino v posameznih Izbranih občinah. Ta podatek dobi¬ mo tako, da seštejemo podatke o gozdni površin? za vsa gospodar stva v posameznih Izbranih občinah. Ker pa je število gospodarstev po občinah veliko, se Izkaže, da je koristno, če gozdno površino v posameznih Izbra¬ nih občinah ocenfmd s samostojnim? s Iučajnostnlml vzorci v posa meznlh Izbranih občinah. Ocena za gozdno površino v Izbrani ob¬ čin? k je po znanem obrazcu enaka k, s I y k? y ki P°' "k M v meni gozdno površino za gospodarstvo I v občini k. Ce prave vrednost? za gozdne površine v Izbranih občinah v obrazcu za ocenjevanje z vzorčenjem skupinic zamenjamo z ocenami s |, dobimo novo oceno. Tak način vzorčenja In ocenjevanja ‘‘Imenujemo vzorče nje v dveh stopnjah. Pr? zgornjem primeru vzorčenja v dveh stop i njah^smo v prvi stopnji Izbrali vzorec enot prve stopnje - obči v drugi stopnji pa v Izbranih enotah prve stopnje samostojne - 209 - vzorce enot druge stopnje - gospodarstev. Razlika med vzorčenjem v skupinicah in vzorčenjem v dveh stopnjah je v tem, da pri vzorčenju v dveh stopnjah prave vrednost? agregatov v skupinicah zamenjamo z ocenami, ki 'Ih dobimo z vzorci v drug? stopnji«, Če v posameznih gospodarstvih, k? jih izberemo z vzqt čertjem v dveh stopnjah, ne premerimo vseh gozdnih: parcel, tem¬ več gozdne površine po posameznih Izbranih gospodarstvih dalje ocenimo s samostojnim? s IučajnostnIm I vzorci parcel, dobimo vzorčenje v treh stopnjah«, V tem primeru so enote vzorčenja v prvi stopnji občine, enote vzorčenja v drug? stopnji gospodar¬ stva znotraj Izbranih občin, enote tretje stopnje pa parcele v Izbranih gospodarstvih«, 10 o 57 Prednosti In pomanjkljivosti «, Vzorčenje v več stopnjah ima osnovne kvalitete vzorčenja v skupinicah«, Odpravi namreč dve osnovni hib? enostavnega slučajnostnega vzorčenja«, Če Izvajamo enostaven slučajnosten vzorec gospodarstev za vso Jugoslavijo, je okvir vzorčenja spisek vseh gospodarstev v Jugoslaviji«, Se¬ stavljanje takega okvirja In Izbor Iz njega je obsežno delo, E - nako je s terenskim delom pri Izvedbi takega vzorčenja«, Ker so posamezna gospodarstva pr? enostavnem s Iučajnostnem vzorcu raz¬ meščena, več ali manj po vseh občinah v Jugoslaviji, je tehnična izvedba takega vzorca komplicirana in draga, ker je za anketar¬ ja zamudno obiskovanje posameznih, na slučajnosten način izbra¬ nih gospodarstev«, Tehnika vzorčenja pa se z vzorčenjem v dveh ali več stopnjah za velike populacije zelo poenostavi. Za zgornji pri¬ mer je pr? vzorčenju v dveh stopnjah okvir za Izbor v prvi stop¬ nji le spisek vseh občin v Jugoslaviji«, Okvir za izbor v drug? stopnji pa so spiski gospodarstev le za one občine, k? so bile; Izbrane v prvi stopnji. Razen tega je bistveno olajšano tud? delo anketarjev. Pri vzorčenju v dveh stopnjah so gospodarstva, k? jih mora obiskat? in popisati, združena le v občinah,- k? srno jih Izbral? v prvi stopnji. Anketar gre v posamezno občino, da pregleda več gospodarstev. Tako se terensko delo pr? vzorčenju v dveh al? več stopnjah bistveno poenostavi In poceni. Res je, da moramo pri vzorčenju v dveh al? več stop¬ njah za Isto zanesljivost ocen pregledati več osnovnih enot kot pri enostavnem s Iuča j nostnem vzorčenju«. Vendar dobimo z vzorče¬ njem v dveh alf več stopnjah zaradi tehničnih prednosti pr? ena¬ kih stroških zanesljivejše ocene kot z enostavnim s Iučajnostnlm vzorčen jemo 10 0 58 Ocenjevanje agregata In varianca za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stopnjah o Agregat ocenjujemo z vzorčenjem v dveh stopnjah po postopku, ki smo ga navedli v odstavku 10.56, tako da najprej ocenimo za'vsako enoto prve stopnje agregat sl* ° ,z * eh pa sku P en agregat Y 2s ^. Y*t - ^Z K r k.st (10.57) Pr? tem pomeni: ^2st = ocena agregata z vzorčenjem v dveh stop¬ njah; M = število enot v prvi stopnji; m = število enot v vzor¬ cu v prvi stopnji; Y^ s j = ocena agregata v enoti k Iz prve stopnje z vzorcem v drug? stopnji; = število enot druge stop¬ nje v Izbrani enoti k prve stopnje; n^ = število enot v vzorcu druge stopnje v enoti k prve stopnje; y^,„ = osnovni podatek za enoto I druge stopnje v enot? k prve stopnje c Varianca za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stop¬ njah Izvira Iz variance vzorčenja v prvi frj Iz varianc vzorče¬ nja v drug? stopnji. Izračunamo jo po obrazcu: Var(Y :sl ) -- Var (Y sll ) + ^fvar(Y tsl ) (10.58) kat Pri tem pomeni: Var(Y 2s f) = varianca za oceno agregata z vzor¬ čenjem v dveh stopnjah; Var(Y £ ^) = varianca za oceno agregata Iz skupinic oziroma Iz vzorca v prvi stopnji; Var(Y, ,) = varianca ocene agregata Y^ v enot? k Iz prve stopnje s s Iučajnostn?m vzor¬ cem v drug? stopnji«, Tl prispevki so Izračunan? po znanih obraz¬ cih 10 o 48 In 10.22«. Oceno variance za oceno agregata z vzorčenjem v dveh stopnjah varlY 9 ,I pa Izračunamo po obrazcu -21 var(Y 2st ) = var(Y sk ) * var(Y ks ,) (10.59); H s t k? je analogen obrazcu 10.58, le da so prave vrednost? zamenja¬ ne z ocenam?. r Ocenjevanje po metod? razmerij 10.59 Osnova in ocena agregata . Zanesljivost ocene za dolo¬ čen podatek znatno povečamo z metodo razmerij, če poznamo za celotno populacijo vrednost agregata za kak znak, k? je s pro¬ učevanim podatkom v korelaciji. Če n.pr. poznamo, kolika je skupna temeljnlca za celoten sestoj, zelo uspešno ocenimo skup¬ no lesno zalogo tako, da slučajnostno Izberemo vzorec dreves In zanje Izmerimo volumen In temeljnlco. Po metodi razmerij najprej za Izbrana drevesa Izračunamo, kolik volumen v povprečju odpade na enoto temeljnlce. Ta koeficient je razmerje med skupnim vo¬ lumnom 'n skupno temeljnlco za vsa Izbrana drevesa. Oceno skup¬ ne lesne zaloge v sestoju pa dobimo, če to razmerje pomnožimo z znano skupno temeljnlco v vsem sestoju. V splošnem ocenjujemo agregat po metod? razmerij po obrazcu v - Y JI Y r,sl A X (10.60) pr! čemer pomeni: Y , = ocena agregata Y, Izračunana Iz eno- • •Sl stavnega s Iuča j n ost nega vzorca po metodi razmerij; X = prava vrednost agregata, ki ga poznamo; y = t y, - vsota za znak y n fri ' v enotah vzorca, x = ^x.= vsota za znak x v enotah vzorca. Cim tesnejša je povezava med proučevanim znakom In znakom, za katerega poznamo agregat za celoto, tem zanesljivej¬ ša je ocena. Ocena agregata po metod? razmerij pa n? nepristran¬ ska temveč samo dosledna ocena pravega agregata. To pomenil, da aritmetična sredina vseh ocen agregatov Iz vseh možnih vzorcev ni enaka pravi vrednosti agregata, pač pa se ji tem bolj pri¬ bližuje, čim večji je vzorec. Zato za velike vzorce to prlstra- - 211 ? - nost zanemarimo In me+odo razmerij s pridom uporabljamo pri oce njevanju z velikimi vzorci« 10.60 Varianca ocene za agregat po metodi razmerij . Varian¬ ca za oceno agregata z me+odo razmerij Iz poda+kov enos+avnega s Iučajnostne ga vzorca je približno Var(Y rsl ) * N(N-n) -f- (10.61 ) Pr? +em je: ^ ^ Jf^-RK,) 2 S r = ““- R =1 N - 1 Približek je +em boljši čim večji je vzorec. Oceno približka za varianco var(Y .) pa Izračunamo r j 5 i. po obrazcu var(Y r sl ) z N(N-n)-fr (10.62) 2 2 Pri tem je s^ analogen Izra^ ko+ S r , samo da je Izračunal Iz poda+kov !z vzorca. pr,-r*/ s; * n - 7 ž rf - 2rZ y,*i + r>Z x? (10 .63) n - 1 Razvl+l obrazec v nadaljevanju obrazca 10.63 je opera+lvn? ob¬ razec In je prikladen za s+varno Izračunavanje. 10 . 61 T Primeri za uporabo me+ode razmerij v gozdarstvu. Ker običajno razpolagamo z različnim? poda+kl za populacijo, navedi mo nekaj primerov Iz gozdarstva, v ka+erlh moremo uporabit? me¬ todo r azmerlj. Nakazali srpo že, da po me + odl razmerij ocenjujemo vo¬ lumen, če poznamo skupno temeljnlco. Znatno Izboljšamo oceno volumna tudi, če pri vzorče¬ nju površin, pri čemer so skupinice vsa drevesa na določeni površini, poznamo površino sestoja alf skupno število dreves v sestoju. Po metodi razmer?j ocenjujemo različne podatke tudi, če razpolagamo s podatki o proučevanem pojavu v preteklosti« Če smo pred petimi let? s popolno premerbo dobili skupno temcljnico sestoja, moremo po metod? razmerij oceniti, kolikšna je temelj ni¬ ča danes« Tudi ocene na oko korigiramo po metod? razmerij. Če n.pr« na oko ocenimo volumen za vsa drevesa v sestoju in z eno¬ stavnim s 1 učaj nostnim vzorcem izberemo drevesa, za katera volu¬ men določimo, moremo oceno lesne zaloge na oko popraviti po me¬ tod? razmerij« Podobno po metodi razmerij popravljamo tudi rezulta¬ te popisov« Vzemimo, da popisujemo v nekem okraju kmetijska go¬ spodarstva, ki imajo gozdno površino« Popis vrše popisovalci, k? se zadovolje z napovedmi gospodarjev kmetijskih gospodarstev. NK Ce ? zmed vseh gospodarstev iz beremo slučajnostni vzorec gospo- darstev, v teh pa s podrobnim poizvedovanjem, izpiski ?z katastra in drugim? dokumenti pridemo do natančnih podatkov, moremo po metod? razmerij popravit? podatke popisa. 10.62 Primer za ocenjevanje po metod? razmerij . Da prika¬ žemo postopek ocenjevanja z metodo razmerij, vzemimo vzorčenje v skupinicah iz primera v odstavku 10.47« Volumen v posameznih skupinicah je vsekakor odvisen od velikosti skupinice. Ker po¬ znamo skupno površino ploskve (X =576), moremo pr? ocenjevanju volumna s skupinicam? uporabiti metodo razmerij. Pr? tem nas ne moti, da imamo vključeno v plan vzorčenja stratifikacijo« Za vsak stratum posebej po metodi razmerij ocenimo volumen in varianco. Vsota ocen po stratumih je stratificirana ocena vo¬ lumna, vsota varianc po stratumih pa ocena variance za skupno oceno. Ker imamo v tabeli 10.14, v kateri so vnešeni osnov¬ ni podatki o vzorčenju v skupinicah na naš? poskusni ploskvi, že vse potrebne podatke o vzorcu, izračunamo strat?ficira no oceno volumna po metodi razmerij, kot je nakazano v tabel? 10.17. Za posamezen stratum smo ocenil? volumen po obrazcu 10.60. Str a111icfra no vzorčenje skupinic po metodi razmerij da -21 4- Tabela 10„17 Izračun ocene volumna po me+odl razmeri] s stra-' ftflclranlm vzorčenjem skupinic 17424 = Y . r ,s + r znatno bol j S ? rezultat kot enostavna s + ra +1fI c!ra na ocena sku¬ pinic« Med+em ko po me+odl skupinic dobimo za oceno volumna Y sk s + r^ 692 ^* J e ocl P rave vrednost? različen za 518 m 3 , po me+odl razmerij Iz Is+ega vzorca dobimo Y , = 17424 m 3 o r,str od prave vrednos+l različen le 15 m • To je delno slučajno, v veliki meri pa k Izboljšanju ocene pripomore me + oda razmerij,, Izračun za oceno variance za s + r*+TfI cI ra no vzorčenje po me + o¬ dl razmerij je nakazan v tabel? 10o18„ Tabela 10»18 Izračun variance za s+ra+1fIcIrano vzorčenje sku¬ pinic po me+odl razmerij varW = 80060 r »str Prvih sedem s + olpcev dobimo s preš + eva n j em, seš + eva n j etn, kvadrl- ranjem In množenjem osnovnih podatkov iz vzorca« r, za posamezen ,2 * s+ra+um je = y k /x k » 'za posamezen s+ra+um Izračunajo Iz podatkov v prejšnjih stolpcih po obrazcu 10„63» var(Y, ) po k p r* obrazcu 10 o 62o Za prvi s+ra+um je račun naslednji; = y./ Xl = 777/36 = 21 ,583 |po obrazcu 10 0 63 je s? = -L- [81107-2.21,583.3738+21 ,583 2 e 174 1 = 115,17 -21S - .. !■ 115.17 in po obrazcu 10*62 VarlV. ,) - 32(32-8) ' ... . = 11056 1,r ,s I 8 Ce primerjamo dobljeno oceno variance var(Y r 2 oceno variance za strat 1 f 1 c 1 ra n 5 vzorec skupinic varlV^ t . ^ r ) 1: ocisfavka 10.47, dobimo —-- £§ . 5195 _ 2 t 57c Me + oda razmerij je v zn atn? meri Var(Y r s+r ) 80060 pripomogla k Izboljšavi za ne s I j 1vosl1 ocene. Vzorčenje v dveh fazah Vzorčenje v dveh fazah prt mefodl razmerij 10.63 Pri ocenjevanju lesne zaloge v sesloju s pridom upo¬ rabljamo mefodo razmerij, če poznamo za proučevani sesfoj skup- v no lemeljnlco. Ce pa skupne femeljntce ne poznamo, moremo volu¬ men ocenili v dveh fazah po mefodl, k? je mefodt razmerij zelo podobna. Analiza pokaže, da lemeljnlco določamo za posamezno drevo znafno lažje kol volumen. Zalo skupno lemeljnlco za ves sesloj v prvi fazi vzorčcnjaB ocenimo z velikim vzorcem. Tako do¬ bimo za skupno taemeljnlco zanesljivo oceno X, ..Ker pa sla vp- lumen In lemeljnlco v lesni korelacljskl odvlsnosf?, dobimo za- dosl? zanesljivo oceno za razmerje med volumnom fn lemeljnlco Tg z majhnim vzorcem v drugi fazi vzorčenja v dveh fazah. Iz dobljenih ocen za agregal X In razmerje R z vzor¬ čenjem v dveh fazah sesfavlmo oceno za skupni volumen v sesloj ju po obrazcu K,2/ = Xi.sl- r 2.sl (10.64) ki je v osnovi sličen obrazcu za ocenjevanje agregata po metod? ra zme r f j . V obrazcu 10.64 pomeni: Y ^ - ocena agregata z vzor¬ čenjem v dveh fazah; X^ | = ocena agregata za dopolnilni znak!x» r 2 sl = ^2^ x 2 = ocena razmerij R = Y/X z vzorcem v drugi fazi. - 216 - x.j = vsota podatkov za x v vzorcu v prv? fazi; Xg» ~ vso + a poda+kov za x in y v vzorcu v drugi faz!« Zgornjo metodo vzorčenja v dveh fazah uporabljamo vselej, kadar ocenjujemo agregat za podatek, ki ga določamo raz¬ meroma težko, obstaja pa podatek x, ki je z ocenjevanim znakom y v tesni korelacijsk? zvezi i n ga določimo na lažji način.. Glede na to je nakazano vzorčenje v dveh fazah pri metod? razmerij priporočljivo pri kombiniranju ocen na oko s pravim? vrednostmi, ki jih dobimo z.merjenjem in v drugih po¬ dobnih problemih« Vzemimo na primer sestoj z N = 5000 drevesi« Z vzor¬ cem n = 500 dreves smo z oceno na oko določil? lesno zalogo 3 V Q = 3000 m c Iz vzorca n = 500 dreves tega sestoja smo izbra¬ li s s Iučajnostni m vzorcem n = 50 dreves, za katera smo dolo¬ čil? volumne z izmero« Če vzamemo, da je lesna masa dreves v 3 vzorcu po oceni na oko v Q = 36 m , s premerbo pa smo za ta dre¬ vesa dobil? Vj = 32 Je popravljena ocena po metodi razmerij V 0 , = vA = 3000 — = 2670 m 3 « r«2f ov„ Vzorčenje v dveh fazah pri stratifikacij? 10 0 64 Z vzorčenjem v dveh fazah rešujemo tud? prpblem stra¬ tifikacije« Če razdelitev populacije na homogene dele ni vnaprej dana, je običajno obsežno delo, če hočemo enote populacije kla¬ sificirat? v stratume« Za oceno agregata s strat?f?cira n im vzorčenjem moramo po obrazcih 10 o 32 in 10«,21 ŽY K5l = ŽN k .y. M K ' sl • k*t * * 110.65) poznat? število enot v posameznih stratumih in ocene za arit¬ metične sredine TJ, za posamezne stratume. Če nimamo populacije razdeljene v stratume, moremo število enot v posameznih stratumih oceniti z razmeroma velikim vzorcem z n enotami v prvi fazi« n enof iz vzorca v prvi fazi k las? f i dramo v strafume« Tako-dobimo n^, ng o«« n r enot po po¬ sameznih stratumih. Če je od n enot iz vzorca v prvi stopnji, n^ enot v stratumu k, je ocena skupnega števila enot v stratumu k - 217 - ( 10 . 66 ) Iz rij, enot, ki smo Jih z vzorcem v prvi fazi dobil? y stratumu k, izberemo manj?? vzorec z enotami in zanj poišče- mo vrednosti za znak y. Iz vzorca v drogi stopnji dobimo oceno za aritmetično sredino v stratumu k po obrazcu ( 10 . 67 ) ? z podatkov vzorca w drugi fazi. Enako ocenimo aritmetične sre¬ dine v stratumih z vzorčenjem v drug? fazi tudi za droge stra- tume. Ocena za agregat za stratific5 ra no vzorčenje v dveh fa¬ zah je končno dana s skupnim obrazcem Ystr t 2J A k' s ' ■ Ji " ? N_ f _2k_ n fa n' k ( 10 . 68 ) Pri tem pomeni: Y c .j. r ^ - ocena agregata Y z vzorčenjem v dveh tazah s strat?t?kac?jo; ^ & j = ocena števila enot po stratumih z vzorcem v prvi fazi; 7^ 2 = ocena povprečja Y^ v stratumu k z vzorcem v drug? fazi; n = število enot v vzorcu v prvi fazi; n, = število enot v stratumu k v vzorcu iz prve faze, ! = Število enot , k - *,«v ? ,0 ,ta podatkov za znak y v vzorcu v drug? fazi v stratumu k. v vzorcu v drug? faz? v stratumu k; = vso- 10.64 Primera za ocenjevanje z vzorčenjem v dveh tazah pri stra t ? f1keclj ? o Kot primer za uporabo vzorčenja v dveh tazah pr? stratifikacij? vzemimo določanje lesne zaloge za določen sestoj, n dreves, k? smo jih izbral? iz sestoja z velikim vzorcem v prvi faz?, razdelimo po premeru v debelinske stopnje: , Og« »o« n r « Iz dreves, ki smo jih z vzorcem v prvi faz? dobil? po posamez¬ nih debelinskih stopnjah, izberemo v drugi fazi v vsaki debelin¬ ski stopnji samostojen manjši vzorec z drevesi in zanje ugoto¬ vimo volumrae y k |« Oceno volumna za sestoj dobimo iz dobljenih podatkov po obrazcu 10.68. Vzemimo, da na nekem obsežnem kompleksu, k? je napaden z določenim škodljivcem, ocenjujemo število okuženih dreves. Z 218 - jvzorcem v prv? faz?, v ka+erem smo zajel? n parcel, ?zbrane ■parcele na grobo kategoriziramo v fr? sfratume: malo okužene, srednje okužene ?n močno okužene parcele«. Iz n^ parcel, k? smo !j?h ?z vzorca v prv? faz? ka f egor ?z i ra I ? kot malo okužene, Izbe- jremo z vzorcem v drug? faz? n^ parcelo Za teh nj parcel s štet¬ jem ugotovimo točno štev?lo dreves, k? so okuženao Postopek po¬ novimo v drugem In tretjem strafumuo Iz dobljenih podatkov se-j istavlmo oceno za celoten sestoj po obrazcu 10«,68„ j 1 Oo 65 i Varianca ocene z vzorčenjem v dveh fazah «, Var? a n ca za oceno z vzorčenjem v dveh fazah je odvisna od vzorca v prv? fazi In vzorcev v drugi faz?« Vendar ?zvrednotenj e varianc za ocene Iz vzorcev v dveh fazah presega naš okvir, Sestavljanje pianov vzorčenje v praks? 10*66 Pr? obravnavanju ocenjevanja z vzorčenjem smo naved¬ li nekatere postopke, ki Jih uporabljamo, da ocenjujemo para¬ metre za populacijo«. Tako smo navedli dvoje vrst Izborov: čist? slučajnostn? Izbor In sistematičen Izbor; več vrst vzorčenj: enostavno vzorčenje, stratlfIq?rano vzorčenje, vzorčenje v sku¬ pinicah, vzorčenje v dveh stopnjah In vzorčenje v dveh fazah; In več vrst ocenjevanj: enostavne ocene In ocene po metod? raz¬ merij«, Že pr? obravnavanju posameznih metod smo včasih kombini¬ ra I? po dva al? več navedenih elementov« V praktičnem Izvajanju vzorčenja za ocenjevanje parametrov pa po pravilu kombiniramo ; najrazličnejše elemente vzorčenja tako, da dobimo s čim manjši¬ mi stroški čim bolj zanesljivo oceno«, -219- 11« Vzorčenje - Preskušanje hipotez 11 «1 Os nove . Z vzorčenjem ocenjujemo parametre populacij na dva načina: s točkovnimi In z intervalnimi ocenam?« Te oce¬ ne pa dajo uporabne rezultate le v primerih, da je vzorec, k? sluz* kot osnova za ocenjevanje, zadosti velik. Ocene za male vzorce so običajno tako ne za nesi jive, da nimajo velike prak¬ tične vrednosti. Ocena, za katero je n.pr. relativna standard¬ na pogreška 50% ali še celo več, je praktično brez vrednosti. V raziskovalnem delu pa z vzorčenjem rešujemo tudi druge probleme, ki so dostikrat rešljivi tudi z razmeroma majh¬ nimi vzorci. S s Iučajnostnimi vzorci namreč z uspehom presku¬ šamo določene hipoteze- o populacij? oziroma populacijah. V praksi pogosto naletimo na probleme preskušanja hipotez. Z vzorčenjem moremo preskusiti, ali proizvodnja desk na žagi ustreza predpisu o povprečni širini. S statističnimi metodami preskušanja hipotez ugotavljamo, ali dol.očeno prepariranje le¬ sa vpliva na karakt eristike lesa ali ne. Enako moremo s tehni¬ ko preskušanja hipotez odkriti alf je odstotek žagarsk« hlo¬ dovine v dveh bukovih sestojih različen ali ne. Podobno z vzorči preskušamo odstopanja okularnfh ocen od stvarnih vred¬ nost? parametrov itd. Z enostavno analizo variance, ki temelji na preskušanju hipotez o proučevani populaciji, moremo odkriti ali določen faktor vpliva na neke značilnost? populacije ali ne. Z enostavno analizo variance moremo n.pr. kompleksno ugo¬ toviti ali več različnih postopkov da različne rezultate. S kompIic‘ra ne j sim? postopki analize variance, ki so osnova po¬ sebne discipline - planiranja eksperimentov - pa moremo isto¬ časno analizirati in preskusiti vpliv več*h faktorjev. 11 .2 Splošno problematiko preskušanja hipotez proučimo na primeru. Proučujmo tedensko proizvodnjo desk v nekem žagar¬ skem obratu. Vzemimo, da se širine desk porazdeljujejo v nor¬ malni porazdelitvi, za katero poznamo standardni odklon S=3xm. Povprečno širino desk pa ne poznamo. Vzemimo, da proizvajalec trdi, da je povprečna ši- jrina proizvedenih desk M =18 cm. Prevzemnik skuša trditev ' o - 220 - proizvajalca preskusit? oziroma ovreči« Hipoteza o povprečni širin! desk je, da je M = 18 cm. Z vzorcem skušamo to hipotezo potrdit? alf ovreči« Vzemimo, da hipotezo preskušamo z vzorcem n = 36 desk, ki j ? h na slučajno- sten način izberemo ?z osnovne populacije« Po znanih stavkih se povprečja vseh možnih vzorcev po n = 36 desk p orazde1 juj e j o v normalni por azde S 5 1 v? , za katero je standardni odklon enak standardni pogreški za sredino SE{y") = 6/pfrT = 3/ ~/l~6 = = 0,5 cm. Ce postavljena hipoteza drži, je aritmetična sredi¬ na normalne porazdelitve enaka hipotetični sredini M = M q = = 18 cm« Porazdelitev povprečij iz vzorcev za vse možne vzorce za ta primer je narisana v sliki 11«1. iz slike je raz- 16 17 IB 19 20 r kritično | ( , kritično ^ območje območje Slika 11.1 Porazdelitev povprečij iz vzorcev vidno, da je velika verjetnost, da iz populacije vseh desk jizberemo vzorec, za katerega se aritmetična sredina od M = 18 ne razlikuje mnogo, če postavljena hipoteza, da je M - - = 18 cm, drži. V tem primeru z verjetnostjo 0,95 aritmetična - 221 - sredina preskusnega vzorca ne bo manjša kot 18 - 1,96*0,5 - = 17,02 cm in ne večja kot 18 + 1,96.0,5 = 18,98 cm. Ker je razmeroma majhna verjetnost ( oc = 0,05), da s preskusnim vzor¬ cem dobimo povprečje, k? je manjše kot 17,02 ali večje kol 18,98 cm, postavimo naslednje pravilo: Hipotezo, da je širina desk enaka M = = 18 cm,, sprejmemo, če je povprečje preskus- V nega vzorca v razmaku od 17,02 cm do 18,98 cm. Ce pa je pov¬ prečje iz vzorca manjše kot 17,02 era ali večje kot 18,98 cm, hipotezo, da je prava aritmetična sredina širine desk enaka M = 18 cm, zavrnemo in sklepamo, da povprečna širina desk n? 18 ero. Območje, v katerem hipotezo zavrnemo, imenujemo kritič ¬ no območje . Če podrobneje proučimo to pravilo, spoznamo, da ob¬ staja možnost, da hipoteza drži, jo pa po našem pravilu zavr¬ nemo. Z določeno, sicer majhno verjetnostjo ( oc - 0,05) more povprečje iz preskusnega vzorca biti v kritičnem območju, kljub temu, da hipoteza drži. To napako, ki je v tem, da hipo¬ tezo zavrnemo, kljub temu, da hipoteza drži, imenujemo napako prve vrste. Razen napake prve vrste pa je v tem načinu sklepanja še druga nevarnost. Vzemimo, da naša hipoteza o povprečni ši¬ rini desk ne drli in je prava povprečna širina M = 19 cm. Aritmetične sredine tz preskusnih vzorcev se v tem pr imeru go¬ ste okrog M = 19 cm in ne okrog = 18 cm, ker je pravo pov¬ prečje 19 cm ?n ne 18 cm. Iz slike 11.2 je razvidno, v kakšni situacij? smo v tem primeru. Če ohranimo zgornje pravilo, da hipotezo M = M q = 18 cm sprejmemo, če je povprečje iz preskus¬ nega vzorce v razmaku 17,02 cm do 18,98 cm, prava vrednost povprečja pa je M = 19 cm, spoznamo, da obstaja določena in sicerprecejšnja ver j etn os t (ji = 0,484), da hipotezo M =M q = = 18 cm sprejmemo, čeprav ne drži. Napako, k? je v tem, da hi¬ potezo sprejmemo, kljub temu, da je napačna, imenujemo napako druge vrste in jo zaznamujemo z (J . Obratno pa je 1- P , ki jo imenujemo moč preskusa , verjetnost, da osnovno hipotezo sprej¬ memo, če ta drži. Kot vidimo iz primera, je napaka druge vrste znatna in v bistven? mer? odvisna od prave povprečne širine desk. Čim manjša je razlika med hipotetično in stvarno vrednostjo, tem večja je napaka druge vrste in obratno, čim večja - 222 - kritično | | [ kritično ^ "območje .območje Mo M Slika 11.2 Preskušanje ničelne hipoteze lika med stvarno in hipotetično vrednostjo, tem manjša je na¬ paka druge vrste. Sz zgornjega spoznamo, da je po zgornjem pravilu ve I »k o bolj -tvegano hipot-eze sprejemati kot- pa zavračat-?, ker j napaka druge vrste, da hipotezo sprejmemo, čeprav ne drži, v splošnem neznana oziroma velike. Nasprotno pa moremo kritično območje določiti tako, da je napaka prve vrste, k? je v tem, da hipotezo zavrnemo, čeprav je pravilna, poljubno majhna. • » 11.3 Ničelna hipoteza . Iz zgornjega izvajanja sledi, da v splošnem lahko razmeroma zanesljivo hipoteze zavračamo, med tem ko je pri sprejemanju hipotez tveganje lahko zelo veliko. |Da se izognemu temu navideznemu nesoglasju, običajno postavi- !mo hipoteze tako, da jih razmeroma zanesljivo sprejemamo in - 223 - pe zavračamo. To dosežemo z vpeljavo ničelne hipoteze. Po tem principu vsaki hipotezi, katero preskušamo, postavimo ustrezno negativno proti hi potezo, ki jo imenujemo ničelno hi potezo . V nadaljnjem preskušamo ničelno hipotezo. Če uspemo, da zavrnemo ničelno hipotezo, smo Istočasno spreje¬ li osnovno hipotezo. Ce preskušamo hipotezo, al? je povprečna širina des¬ ka na Žagi različna od = 18 cm : M / = 18 cm), je Ustrezna ničelna hipoteza, da je povprečna širina enaka 18 cm (H :'M = M = 18 cis). o o Osnovni hipotezi, da je v nekem sestoju več kot 40 % turnirske hlodovine (H^ : P > 40 %), ustreza ničelna hipoteza, da je odstotek turnirske hlodovine manjši od 40 % (H q : P < 40 %). Osnovni hipotezi, da je določen postopek impregni- ranja učinkovit, ustreza ničelna hipoteza, da postopek ni u- čInkovit. Po tem principu preskušamo hipoteze po naslednjem postopku: a) Osnovni hipotezi priredimo ustrezno ničelno hipotezo H „ o b) If osnovne populacije izberemo vzorec, ki služi za presku¬ šanje hipotez o proučevani populaciji. c) Za vzorčni Izraz, ki ga izračunamo iz podatkov preskusnega vzorca in ničelne hipoteze, določimo kritično območje, v katerem moremo z določenim tveganjem ct ničelno hipotezo zavrnI tl . d) Iz podatkov preskusnega vzorca in podatkov o ničelni hipo¬ tezi Izračunamo ustrezni vzorčni Izraz. e) Ce se dobljena izračunana vrednost nateaja v kritičnem: ob¬ močju, ničelno hipotezo zavrnemo oziroma osnoviao hipotezo sprejmemo na določeni stopnji tveganja prve vrste za ničel¬ no hipotezo. Ce vrednost, ki jo dobimo, če podatke preskus- nega vzorca in ničelne hipoteze vnesemo v vzorčni izraz, pade v kritično območje, pravimo, da je stvarno stanje zna¬ čilno različno od ničelne hipoteze. Običajno določamo kri- tična območja na treh stopnjah tveganja oc = 0,05; oc = 0,01; oc - 0,001 . - 224 - Pr e skuša e hl[po+ez_z ma I f m| vzore? Preskušanje hipoteze o sred?n? 11.4 Ker se za vzorce, k? jih Izberemo ?z normalne popu¬ lacije, aritmetične sredine vzorcev porazdeljujejo v normalni populaciji z aritmetično sredino, ki je enaka aritmetični sre d ? n? v osnovni populaciji M In s standardnim odklonom SE(y") = = se vzorčni Izraz 1^-^tT . Z (11.1) o porazdeljuje v standardizirani normalni porazdelitvi. Zato moremo z izrazom . z (11.2) o preskušati ničelno hipotezo, da je prava aritmetična sredina enaka hipotetični M u (H : M = M u ) . v li O H Ce ničelna hipoteza drž? In je = M, je Izračunan z z verjetnostjo 0,95 v razmaku -1,96 < z <+1,96, z verjet¬ nostjo 0,99 v razmaku -2,58 ; < z < +2,58 In z verjetnostjo 0,999 v razmaku -3,29 < z < +3,29. Iz tega zaključimo na s I e dn j e: a iče ' je a bs o I ut na vred¬ nost po obrazcu 11.2 izračunanega izraza z manjša kot kritič¬ na vrednost 1,96, zaključimo, da je razlika med pravo In hi¬ potetično aritmetično sredino neznačilna. To pomeni, da pre¬ skus razlik n? odkril, ne pa da je prava aritmetična sredina enaka h Ipotetf čn?. b) Če je absolutna vrednost po obrazcu 11.2 Izračunanega z večja kot kritična vrednost 1,96 In manjša kot kritična vred¬ nost 2,58, zaključimo, da so razlike med stvarno in hipotetič no sredino značilne na stopnji tveganja ot = 0,05. To pomeni, da je ver j etnost 0,95, da je stvarna sredina resnično različ¬ na od hipotetične. jc) Če je po obrazcu 11.2 izračunana vrednost z večja kot 2,58 in manjša kot 3,29 s tveganjem ot = 0,01, zaključimo, da je stvarna aritmetična sredina značilno različna od hipotetične. - 225 - č) Če pa je po obrazcu 11.2 Izračunan? izraz absolutno večj? kot 3,29, zaključimo, da so razlike med M ?n značilno raz¬ lične s tveganjem «= 0,001. 11.5 Vzemimo kot praktičen problem nakazan primer prouče¬ vanja širine desk in preskusimo hipotezo, da je povprečna ši¬ rina desk značilno različna od Mj_j = 18 cm. Ustrezna ničelna hipoteza je H o : M = = 18 cm. Da preskusimo dano ničelne hipotezo, smo izbrali slučajnostn? vzorec n = 36 desk, in zanj ugotovili, da je povprečje iz vzorca y~ = 16,5 cm. Ker poznamo standardni odklon proizvodnje desk (6=3 cm), moremo izra¬ čunati po obrazcu 11.2 vzorčni izraz z = 7 .: Vn = 16 > 5 - 18 >° V36 » -3,00 6 3,0 Ker je absolutna vrednost izračunanega vzorčnega izraza večja kot kritična meja 2,58 za tveganje oi = 0,01 in manjša kot kri¬ tična meja 3,29 za tveganje oc - 0,001, s tveganjem oc. - 0,01 sklepamo, da je stvarna povprečna širina desk značilno različ¬ na od = 18 cm. 11.6 Če ne poznamo prave vrednosti za standardni odklon v osnovni populaciji, se za preskušanje hipotez o sredin? ne moremo poslužiti obrazca 11.2. V tem pr imeru preskušamo hipo¬ teze o aritmetičnih sredinah za normalne populacije po obrazcu ¥ M. -/7T = t(m m n-f) 111.3) ki je zelo sličen obrazcu 11.2, le da imanamesto prave vred¬ nosti standardnega odklona oceno s, k? jo izračunamo po zna¬ nem obrazcu za nepristransko ocenjevanje varianc 2 £ 2 _ £r? - v 2 /* n-1 n-1 Izraz t pa se ne porazdeljuje v standardizirani nor¬ malni porazdelitvi, temveč v distribuciji, k? je enako kot normalna porazdelitev unimoda Ina, simetr ična In zvonasta in se P ' - 226 - normalni porazdelitvi tembolj približuje, čim večji je pre¬ skusni vzorec, t-rperazdel I tev je odvisna od velikosti vzorca ali točneje od Števila stopinj prostosti m, ki je z velikost¬ jo vzorce v ozki zvezi* Pri zgornjem preskusu je Število sto¬ pinj prostosti za eno marrjSe kot je Število enot v preskusnem vzorcu: ra - r« - 1• Glede na to, da je t-porazdeIItev odvisna ©d sto- Vzemimo za primer preskus, ali je povprečna upogib- na trdnost lesa za določeno drevo za črni gaber značilno raz- lična od = 1500 kg/cm . V ta namen smo v preskusni vzorec vzel? n = 8 preskušancev ?z različnih delov drevesa ?n zanje ugotovili naslednje upogibne +rdnos-H : v kg/cm 2 : 1560, 1530, 1400, 1650, 1360, 1430, 1440, 1440. Iz teh podatkov dobim©: y = 5 = 1560 + 1530 + .„» + 1440 = 11810 £y 2 = 1560 2 + 1530 2 + ..+ 1440 2 = 1749870 y = y/n = 11810/8 = 1476 •f* f 2 2/ 0 s 2 = ' ~ Y /n - 1749870 - 11810 /8 _ gi7Q n -1 8-1 s =-/š 2 ' =-/9170 = 95,76 Iz teh podatkov dobimo po obrazcu 11.3 t = L:. M Hyir = 1476 - lsg0rj = _ 1t00 s 95.76 Ker je kritična meja za t-porazdeI?tev za m = 8 - 1 =7 sto¬ pinj prostosti za oc= 0,05 po tabel? 11.1 enaka 1 q Q^(m=7) = = 2,36, zaključimo, da stvarna povprečna upogibna trdnost pro¬ učevanega drevesa črnega gabra ni značilno različna od hipote¬ tične, ker je izračunani t manjši kot ustrezna kritična vred¬ nost za ©c= 0,05. Neznačilnost razlike pa ne pomeni, da razlik ni, temveč samo, da jih z izvršenim preskusom nismo odkrili. Preskušanje značilnosti razlik med aritmetičnim? sredinami 11.8 V raziskovalnem delu se dostikrat pojavlja vpraša¬ nje, ali so povprečja za različne populacije med seboj raz¬ lična ali ne. Ničelno hipotezo, da sta aritmetični sredin? za dve populacij?, k? se porazdeljujeta v normalnih porazdelit¬ vah z enakima variancama, med seboj enaki (H q : = Mg), pre¬ skušamo z naslednjim izrazom - 228 - (11.4) iLlA * t(m = n.+ n, - 2) s,, ynj+n 2 i 2 k? se porazdeljuje v t-porazdeIItvi s številom stopinj pro¬ stosti m - + ng - 2 . Da po tem obrazcu preskusimo značilnost razlik med aritmetičnima sredinama in Mg, moramo iz prve in druge po¬ pulacije izbrati dva samostojna vzorca. Pri tem z n^ , 7-; ' n s? zaznamujemo Število enot, oceno povprečja in oceno varian- ! — 2 ce za vzorec iz prve popu la c!j e, z n 2 , y ^ ' n s g P a analogne količine iz drugega vzorca. 11.9 Če vzamemo za primer preskušanje značilnosti razlik v upogibni trdnosti med dvema drevesoma črnega gabra, poteka preskus po naslednjih stopnjah. Za drevo 1 smo na slučajnosten način izbrali n„ = = 8 kosov lesa in zanj dobili naslednje rezultate o upogibni trdnosti v kg/cm 2 : 1460, 1500, 1330, 1550, 1570, 1510, 1560, 1500. Enako smo tudi za drugo drevo vzel? Hg = 8 -preskušancev na slučajnostno izbranih mestih fn zanje izmerili upogibno- trdnost v kg/cm 2 ; Dobili smo naslednje rezultate: 1240, 1320, 1400, 1240, 1320, 1340, 1440, 1400. Iz teh podatkov dobimo elemente za preskus značilnosti razlik med povprečno upogibno trdnostjo po znanih obrazcih za ocenjevanje sredine in varian¬ ce : ni =8; y 1 = 1498; s 2 = 5936 =8; y 2 = 1337; s 2 = 5421 2 2 2 - (n l“ 1 )s 1 * ln 2~ 1 )s 2 _ (8-1)5936 + (8-1 »5421 . S d “ n^+ng-2 8+8-2 5678 s d =-|5678 = 75,35 “ 7 2 n 1 . n 2 s d V n l +n 2 1498 - 1337 / 8.8 75,35 V 8+8 = +4,41 Ker je izračunani t = 4,41 absolutno večji kot kri- - 229 - p tična vrednost t za m = 4- - 2 = 14, pr? tveganju dc = 0,001 [t{m=14; ^j = 30,00 kg/m . V ta namen smo izmerili nominalno prostor ninsko težo za n = 25 preskušancev in iz njih ugotovi¬ li, da je ocena variance = 37,91 kg/i m Če dobljene podatke vnesemo v obrazec 11o6, dobimo y2 _ (_n- 1 ? i ? 2 b H Ji = illllLtllzli = 30o 33 30,00 Ker f . 2 m = n-1 = 25-1 = 24 stopinjam prostost? ustreza Xq = 36,42, sklepamo, da varianca nominalne pr ost or ninske teže ni znač? I no večja kot 6^ = 30,0 kg/ml 11.12 o V tabeli 11.2 so dane kritične vrednosti za X samo do m = 30. Za primere, v katerih je m ^30, dobimo ustrezne kritične vrednosti za posamezne stopinje prostosti po obrazcih i ‘ Za oc = 0,05 je za oc = 0,01 j« za ct = 0,001 je x 0,05 X 0,01 0,001 jN2m -/ + 1 t 645.) 4 N2m - 7 + 2,326f 2 j (j2m - 7 + 3,090) \ > (11.7) J - 932 - 11.13 Vzemimo, da smo zaradi neznačiInosti razlik v varian¬ ci v prejšnjem primeru vzorec podvojili In izmerili nominalno prost or n Insko težo za skupno n = 50 preskušancev lesa. Nova 2 2 ocena za varianco je s = 42,0. Izračunan? X je enak X 2 = L0.~lj-.JL. = ! 5Q ~T *.f 2 ,.ž-9 = 68,60 6 2 30,0 Ker je m = n - 1 = 50 - 1 = 49 večji kot 30, Izračunamo kr 1 - tične vrednost? za m = 49 po obrazcih 11.7 X 2 05 = \ ( ^ 2m-1 + 1,645) 2 = 1 (-J2.49-1 + 1,645) 2 = 66,11 X 0 01 ~ \ 1 V 2m " 1 + 2,326) 2 = i (| 2.49-1 ±.2,326) 2 = 74,12 X 2 001 = 1 ( -/ŠnTT + 3,090) 2 = 1 (J2.49-1 + 3,090) 2 = 83,71 o o Izračunani X = 68,60 pade med Xq = 66,11 in X 0 l 01 = 74,12. Iz tega sklepamo, da je varianca v nominalni prostorni nsk ? teži za proučevan les s tveganjem oi = 0,05 zna¬ čilno večja kot = 30,00. Preskušanje različnosti med variancama 11.14 Ker je majhna variabilnost znak dobre kvalitete su¬ rovin, vestnega dela delavcev al? preciznega dela strojev, je velike važnosti primerjava varianc med surovinami iz različnih virov,medproizvodi, ki šobil? proizveden? pod različnimi po¬ goj i dela, po različnih postopkih, z različnimi stroji Itd. Hipoteze, da sta za dve populaciji, k? se normalno porazdelju- 2 2 jeta, varianc? različni (H^ : 6^ / @ 2 ) preskušamo z ničelno hipotezo, da sta ..vari a'nc i v obeh populacijah enak? 2 2 • <$y = Bpo *. Če velja ničelna hipoteza, da sta varianci v obeh 2 populacijah enaki, se kvocient ocen varianc Iz prve s. ?n dru- 2 'ge popu laci je s 2 - 233 - Mufi! (pri tem vzamemo kot prvo populacijo ono, za katero je ocena variance večja: > s 2 ) v populaciji vseh močnih vzorcev z n.j enotami v prvi In z n 2 enotami v drugi populaciji, poraz¬ deljuje v F-pora zde 1Ttv I. F porazdelitev je odvisna od stopinj prostosti m.j = n^ - t, ki zavlsi od števila enot v prvem vzor¬ cu In stopinj prostosti m 2 = n 2 ” **» ^1 zavlsi od števila enot v drugem vzorcu. V tabelah 11.3 a, b, c so dane m^ In m 2 u- strezne kritične vrednosti za stopnje tveganja .oc- 0,05, oc = 0,01 In o0,001. Tabele vsebujejo kritične vrednosti sa¬ mo za nekatere stopinje prostosti. Za vmesne vrednosti za sto¬ pinje prostosti dobimo ustrezne kritične vrednosti z linearno Interpo!a c I j o tako, da vzamemo za osnovo pri Interpolacij? re¬ cipročne vrednosti Iz stopinj prostosti. 11.15 Vzemimo, da preskušajo alf je kvaliteta dela na no¬ vo nabavljenega stroja značilno boljša od starega. V ta namen smo na starem stroju proizvedli n^ = 20 lesenih profilov, na ;novem stroju pa n 2 - 30 lesenih profilov enake specifikacije. iVarlancs, Izračunana Iz podatkov vzorca za stari stroj, je 2 s 1 = 9,21, varianca, Izračunana Iz vzorcev proizvodov na dru- 2 gemstroju, pa je S2=3,82. Da preskusimo značilnost razlike v variabilnost? nč starem In novem stroju, Izračunamo F 9,2 1 3,82 2,41 Zgornjim vzorcem ustrezne stopinje prostosti so m^ = n^-1 = i— • 20-1 =19 In m 2 = n 2 ~1 = 30-1 = 29. Ker v tabelah nimamo vrednosti, ki ustrezajo m^ = 19, dobimo ustrezne kritične vrednosti z linearno Interpolacijo. - 234 - TAB.11.3d F - PORA ZDEL ITEV (KRITI ČNE VREDNOSTI U ec«. O.OS F 0o 01 ) 235 TAB. 11 »3b F - PORAZDELITEV (KRITIČNE VREDNOSTI ZA «. - O.OI; F 0 . 05 ) 236 TAB.ll.3c F - PORAZDELITEV (KRITIČNE VREDNOSTI ZA ot - O.OOl F 0 .001 ) - 237 - I nterpoI1ra no vrednost F(19) za = 19 pa dobTmo Iz razmerja: 1/19 - 1/24 _ F(19) - 1 y 90 1/12 - 1/24 2,10 - 1,90 Iz tega razmerja dobimo, da je Fq (m^=19, m 2 =29) = 1,95. Če analogno poiščemo kritično vrednost še za oc= 0,01, dobimo Iz tabele 11.3b f 0,01 {ro-)=l2; m 2 =29) = 2,87 F 0,01 (m i =24 J m 2 = 29) = 2,49 InterpoI1 ra n o vrednost F(19) za m^=19 dobimo analogno Iz raz¬ merje 1/19 - l/24 <_ F(19) - 2,49 1/12 - 1/24 “ 2,87 - 2,49 Iz tega razmerja je Fq (m^=19; m 2 =29) = 2,59. Ker je Iz preskusa dobljeni F = 2,41 večji kot F 0 05 (19,29) man J^’ kot F 0 q^( 19,29), zaključimo, da nov? stroj s tveganjem oc = 0,05 resnično dela kvalitetnejše kot stari. 11.16 Enostavna analiza variance . V odstavku 11.8 in 11.9 smo Iz t-preskusov preskušal? značilnost razlik med dvema ar Itmet?čnIma sredinama. Dostikrat pa se pojavljajo problemi, pr? katerih nastopa več grupnlh sredin hkrati. Izolirano pre - skušanje vseh mogočih parov sredin s t-preskusom je zamudno, ne glede na to, da analitično n? neoporečno. S postopkom, k? ga Imenujemo analiza variance, pa moremo kompleksno preskusit? značilnost razlik med več sredi¬ nam? hkrati. Če so namreč v r populacijah, v katerih se vrednost? znaka, katerega proučujemo, porazdeljujejo v normal¬ nih p or a zde 111vah, vse aritmetične sredine med seboj enake * 2 2 2 (M^ = M 2 = ... ) In vse variance enake (6^ = C >2 = • •• č> r )> se 1zra z ra, - oyir - n r/-|/2n. - 242 - 11.20 Vzemimo za primer preskušanja hipotez z velikim vzor¬ cem naslednji problem« Z okularno oceno je bilo ocenjeno, da je v nekem hrastovem sestoju 40 odstotkov turnirske hlodovine. Ničelna hipoteza je, da je dejanski odstotek turnirske hlodo¬ vine enak okularni oceni (H Q : P % = - 40 %). To ničelno hipotezo smo preskusili z vzorcem n s 250 dreves«. V vzorcu je h = 79 dreves, ki Ima turnirsko hlodovino«, Odstotek iz vzorca je torej p% = 31,6 %„ Če zgornje podatke vnesemo v obrazec 11«24, dobimo - P£ H 'Vp % H (100-P% H ) = 3 , 1 .. ž1t ., 40 _ {250 = -2,71 = z V40 (100-40) Ker je absolutna vrednost Izračunanega vzorčnega izraza z = 2,71 večja kot kritična vrednost z q = 2,58 *n manjša kot Zq = 3,29, s tvegan j em ot »0,01 sklepamo, da je pravi odstotek dreves v sestoju, ki Ima turnirsko hlodovi¬ no, značilno različen od okularne ocene. Preskušanje značilnosti razlik za velike vzorce 11.21 Podobno kot za preskušanje ničelnih hipotez o veli¬ kosti parametrov veljajo tudi za preskušanje hipotez o razli¬ kah med parametri enotna pravila, če so preskusni vzorci ve- i Iki . Če proučujemo dve populaciji 1 ?n 2, preskušamo ni¬ čelno hipotezo, da vrednost? za proučevani parameter v populacijah 1 in 2 nista različni (H = = Cg), z dvema sa¬ mostojnima vzorcema iz proučevanih populacij 1 in 2. Z vzorč¬ nim Izrazom g? - 2 P a ocena standardnega odklona za drugo populacijo«. 11.23 Vzemimo za primer, da preskušamo značilnost razlik v premeru dreves v prsni višini za dva jstodobna sestoja, ki rasteta v različnih pogojih. V ta namen smo na slučajnosten način izbral? iz prvega sestoja n^ = 100 dreves in zanje iz¬ merili premere v prsni višini. Iz podatkov vzorca smo ugoto¬ vil?, da je ocena za povprečen premer y"^ = 42, ocena variance pa s^ = 106, Enako smo v drugem sestoju na slučajnosten način r zbral? ng = 100 dreves in tudi zanj ocenil? z vzorcem aritme J -?čno sredino premerov y"n = 38,5 cm in ocenili varianco - 90. Ce te podatke vnesemo v obrazec^l 1.2>9, adobimo y? - y 2 _ 42 - 38,5 _ ~ Ji™. + _90 V100 100 +2,5 z Ce dobljeno vrednost|z|= 2,5 primerjamo s kritičnimi vrednost ml z ^ 05 — 1 p96j Zq — 2,58 in z q 001 — 3,29, zaključimo, da je razlika v povprečnem premeru v prsni višin? med obema sestojema značilno različna ?n sicer s tveganjem oc = 0,05. 11.24 Z vzorcem n^ = 200 dreves v prvem bukovem sestoju smo ocenili, da je odstotek žagarske hlodovine v prvem sestoj p^% - 38 Z vzorcem ng = 200 dreves v drugem bukovem sesto¬ ju pa smo ugotovili, da je ocena za odstotek žagarske hlodo¬ vine v drugem sestoju pg/6 = 43 %c Preskusiti je treba, ali je razlika v kvaliteti proučevanih sestojev značilna. Če vstavimo rezultate vzorcev v obrazec 11.30, do¬ bimo? P^% ~ P 2^ 38 !^ 43 (p t «{TOO- Pl *) p 2 ^(100-p 2 ^) n 1 ” 1 n 2 “l 1 38(100-38) + 43(100-43) = - 1,02 200-1 200-1 Ker je absolutna vrednost Izračunanega z = 1,02 manjša kot z 0 05 = ^»96, zaključimo, da razlike v kvaliteti niso značilne. 11.25 Za smrekov sestoj 1 je Iz vzorca n^ = 100 dreves ocenjeni standardni odklon v premeru dreves v prsni vIšTnf s.j = 6 cm. Za smrekov sestoj 2 pa je iz vzorca n 2 = 200 dreves ocenjeni standardni odklon za premere v prsni višini s 2 = 8 cm. Značilnost razlik med sta nda rdn ima odk I onoma preskusimo z obraz¬ cem 11.31 = -3,43 = z S 1 " S 2 _/ 6-8 *? 'pi- ♦ _sL 2 0l 2n 2 I 2.100 2.200 Ker je absolutna vrednost izračunanega z = 3,43 večja kot Zq 001 = 3,29, sklepamo, da so razlike v homogenosti visoko značilne in sicer s tveganjem oc = 0,001. -246 • DK 634.92:31 Na s I ov dela: STATISTIČNE METODE V GOZDARSTVU Obseg: 255 strani A-4 Naklada: 800 izvodov Teh n? ka : Mul + ?II + h Izšlo septembra 1961 Avtorjev nas Iov: Dr. Marjan Blejec izr. univ. profesor Ljubljana, Prešernova 13 Izda I a Fakul+e+a za agronomijo, gozdarstvo in veterino Univerze v Ljubljani A Založi la Un?verz 1tetna založba v Ljubljani Razmnoži la Tiskarna Zavoda za statistiko v L j ubI ja n ? NARODNA IN UNIUERZITETNA KNJIŽNICA 00000020433 a r v