i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
KATAKAVSTIKA BERNOULLIJEVE LEMNISKATE
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A45, 53A04
V prispevku predstavljamo kratko zgodovino Bernoullijeve lemniskate in njeno kata-
kavstiko za sredǐsčne žarke.
A CATACAUSTIC OF THE BERNOULLI LEMNISCATE
A brief history of the Bernoulli lemniscate and its catacaustic for central rays are
presented.
Uvod
Kot že naslov pove, je osnova obravnavane katakavstike imela opravka z ma-
tematično družino Bernoullijevih v švicarskem Baslu. Lemniskato sta na-
mreč že poznala matematika, brata Jakob (1655–1705) in Johann Bernoulli
(1667–1748). Jakob je leta 1694 v septembrski številki revije Acta Erudito-
rum objavil članek (navajamo samo del naslova) Constructio curvæ acces-
sus & recessus æquabilis, ki omenja algebrsko krivuljo z enačbo x2 + y2 =
a
√
x2 − y2. Danes jo običajno zapǐsemo v kartezičnih koordinatah z enačbo
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).
Prej omenjeni članek je dodatek Bernoullijevemu prispevku iz junijske
številke iste revije, kar je razvidno iz drugega dela naslova. Napisan je v
latinščini. Izvor ima sicer v povsem drugem problemu, in sicer v teoriji
elastičnosti. Za nas pa je v članku zanimiva uporaba besede lemnisci, kar je
rodilnik ednine samostalnika lemniscus. Bernoulli pǐse, da je krivulja četrte
razsežnosti in ima obliko (namenoma uporabljamo starinske črke)
. . . jacentis notæ oonarii∞, seu complicatæ in nodum fasciæ, sive le-
mnisci, d’un nœud de ruban Gallis.
Bernoulli s tem pove, da ima omenjena krivulja obliko ležeče osmice, to-
rej ∞, ali v vozel zvitega traku ali lemniskusa, obliko vozla francoskega
traku. Navedeno besedilo je deloma v francoščini, kar je v reviji zapi-
sano kurzivno. Namesto enačba ali krivulja četrte razsežnosti danes rečemo
enačba ali krivulja četrte stopnje.
Beseda lemniscus je bila Bernoulliju všeč in krivuljo je na koncu članka
poimenoval curva lemniscata, s trakovi okrašena krivulja, Bernoulliju na
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 81
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
čast pa jo imenujemo Bernoullijeva lemniskata, da jo razlikujemo od drugih
lemniskat.
Beseda lemniscus je grškega izvora. Stari Grki so zmagovalcu na športnih
igrah na glavo pripeli lovorjev venec s posebnim volnenim trakom, ki se
imenuje v grščini λημνίσκος. Nekateri besedo izpeljujejo iz λῆμος, kar pomeni
volna, drugi (na primer [5]) pa iz imena otoka Lemnos, Λῆμνος, kjer naj bi
prvi izdelovali take trakove. Beseda lemniscus je znana tudi v anatomiji.
Ljudje nosimo lemniskuse v glavi, ne da bi za to sploh vedeli: lemniscus
medialis, lemniscus lateralis in lemniscus trigeminalis.
Besedo lemniskata najdemo tudi v imenih nekaterih drugih krivulj, na
primer: Boothova lemniskata, Geronova lemniskata in Brualdijeva lemni-
skata. Ker teh ne bomo obravnavali, bomo Bernoullijevo lemniskato odslej
imenovali kar lemniskata.
Lemniskata kot Cassinijev oval
Jakob Bernoulli še ni vedel, da je lemniskati sorodne krivulje, Cassini-
jeve ovale, poznal že Giovanni Domenico Cassini (1625–1712), italijansko-
francoski matematik in astronom. Lemniskata je poseben primer Cassinije-
vih ovalov. Oglejmo si, kako definiramo Cassinijeve ovale.
Znano je, da je elipsa množica točk T v ravnini, za katere je vsota razdalj
od dveh izbranih točk G1 in G2 (G1 6= G2) te ravnine konstantna. Podobno
je hiperbola množica točk T v ravnini, za katere je razlika razdalj od dveh
izbranih točk G1 in G2 te ravnine konstantna. Kaj pa, če vsoto oziroma
razliko nadomestimo s produktom ali kvocientom? Za kvocient je odgovor
preprost: krožnica, ki ji pravimo Apolonijeva krožnica. Če pa vzamemo
produkt, dobimo Cassinijev oval. Torej: Cassinijev oval je množica točk T
v ravnini, za katere je produkt razdalj od dveh izbranih točk G1 in G2 te
ravnine konstanten.
Če označimo r1 = |G1T | in r2 = |G2T | ter izberemo za konstanto neko
dolžino k, potem je enačba Cassinijevega ovala r1 · r2 = k2. Pri tem smo
vzeli k2 zato, da uskladimo dimenzije obeh strani enačbe. Točki G1 in G2 po
zgledu elipse in hiperbole imenujemo gorǐsči ovala. S točkama G1 in G2 smo
v ravnini vzpostavili tako imenovani bipolarni koordinatni sistem. Razdalji
r1 in r2 določata točki T in T
′, ki sta si zrcalni glede na premico skozi G1 in
G2. Razdalji r1 in r2 imenujemo prevodnici (poimenovanje po [7]) ustrezne
točke. Elipsa ima v bipolarnem koordinatnem sistemu enačbo r1 + r2 = 2a,
hiperbola pa |r1 − r2| = 2a.
82 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Kako pridemo do enačbe Cassinijevega ovala? V koordinatnem sistemu
Oxy izberemo gorǐsči G1(−c, 0) in G2(c, 0). Pri tem je c = |G1G2|/2 > 0
polovica medgorǐsčne razdalje. Prevodnici točke T (x, y) sta
r1 = |G1T | =
√
(x+ c)2 + y2, r2 = |G2T | =
√
(x− c)2 + y2.
Enačba Cassinijevega ovala v kartezičnih koordinatah je potem√
(x+ c)2 + y2 ·
√
(x− c)2 + y2 = k2.
Ko odpravimo korene in enačbo preuredimo, dobimo
(x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = k4 − c4.
Oval je simetričen glede na os x in glede na os y ter glede na koordina-
tno izhodǐsče O, ki je njegovo sredǐsče. Oblika ovala je močno odvisna od
razmerja k/c. Za k > c je oval enodelna, za k < c pa dvodelna sklenjena
krivulja brez samopresečǐsč.
Zanimiv je mejni primer k = c, ko je krivulja sicer enodelna, toda samo
sebe preseka v točki O (slika 1). To je ravno lemniskata, za katero velja
r1 · r2 = c2, v pravokotnih kartezičnih koordinatah pa
(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2).
Krivulja poteka skozi koordinatno izhodǐsče, je simetrična glede na obe ko-
ordinatni osi in glede na svoje samopresečǐsče O, kjer se seka pod pravim
kotom. Tangenti v O sta premici y = x in y = −x. Če vpeljemo polos le-
mniskate a = c
√
2, lahko njeno enačbo zapǐsemo v obliki, ki smo jo zapisali
v uvodu:
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).
Lemniskata os x preseka v svojih temenih P (−a, 0) in Q(a, 0). Točke E1, E2,
F1 in F2 na lemniskati, ki imajo ekstremne ordinate, ustrezajo polarnemu
radiju c.
Z uvedbo polarnih koordinat % in ϕ, tako da je x = % cosϕ in y = % sinϕ,
dobimo enačbo lemniskate v polarni obliki: % = a
√
cos 2ϕ.
Pri geometrijski konstrukciji posameznih točk Cassinijevih ovalov, in s
tem tudi lemniskate, se je treba nasloniti na kak izrek iz evklidske geometrije,
ki govori o produktu dveh razdalj, na primer na vǐsinski izrek v pravokotnem
trikotniku ali na izrek o potenci točke glede na krožnico.
Lemniskata omejuje dva skladna lista. Njuno skupno ploščino S je prvi
pravilno izračunal Giulio Carlo Fagnano dei Toschi (1682–1766) okoli leta
81–89 83
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 1. Osnovni elementi Bernoullijeve lemniskate.
1750. Rezultat je presenetljivo preprost: S = 2c2 = a2. Dolžina lemniskate
pa je delala matematikom kar hude težave, ker ni izrazljiva z elementarnimi
funkcijami. Bernoulli je znal izraziti diferencial ds loka lemniskate s polar-
nim radijem %. Velja namreč ds2 = %2 dϕ2 + d%2. Iz polarne oblike dobimo
najprej z diferenciranjem
d% = − a sin 2ϕ√
cos 2ϕ
dϕ = −a
2 sin 2ϕ
%
dϕ,
nato pa
d%2 =
a4
%2
(1− cos2 2ϕ) dϕ2 = a
4 − %4
%2
dϕ2.
Nazadnje dobimo preprost rezultat
ds =
a2√
a4 − %4
d%.
Za dolžino s lemniskate je dovolj, da izrazimo dolžino ` njenega dela v prvem
kvadrantu:
` = a2
∫ a
0
d%√
a4 − %4
.
S pomočjo substitucij % = au in % = a cosψ lahko rezultat zapǐsemo v
oblikah
` =
aΓ2(1/4)
4
√
2π
=
a√
2
K(1/
√
2),
pri čemer je Γ Eulerjeva funkcija gama, K pa popolni eliptični integral prve
vrste v Legendrovi obliki:
Γ(p) =
∫ ∞
0
xp−1e−x dx (p > 0), K(k) =
∫ π/2
0
dψ√
1− k2 sin2 ψ
(0 < k < 1).
84 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Osnovna lastnost funkcije Γ je njena rekurzivna enačba
Γ(p+ 1) = pΓ(p) (p > 0).
Pri izpeljavi prvega izraza za ` uporabimo tudi Eulerjevo funkcijo B (beta),
ki je definirana z izrazom
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1− x)q−1 dx (p > 0, q > 0),
in formule
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p+ q)
, Γ(p)Γ(1− p) = π
sin pπ
(0 < p < 1), Γ(1/2) =
√
π.
Po zgledu četrtine krožnice s polmerom a in dolžino πa/2 so za lemniskato
s polosjo a vpeljali število $ (pi skript), tako da je ` = $a/2 (več o tem na
primer v [1]). Grobi približek za število $ je 2,622, natančna vrednost pa
se izraža kot
$ =
Γ2(1/4)
2
√
2π
=
√
2K(1/
√
2).
Drug razlog za uvedbo števila $ sta analogni obliki za dolžino krožnice
in lemniskate pri a = 1:
π = 2
∫ 1
0
dt√
1− t2
, $ = 2
∫ 1
0
dt√
1− t4
.
Računanje dolžine lemniskate je bil začetek razvoja teorije eliptičnih inte-
gralov in eliptičnih funkcij, s katerimi so se veliko ukvarjali na primer Leon-
hard Euler (1707–1783), Adrien-Marie Legendre (1752–1833), Carl Friedrich
Gauß (1777–1855), Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacob Ja-
cobi (1804–1851) in Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897).
Normala in tangenta na lemniskato ter katakavstika
Za krivuljo, ki je podana v polarni obliki, je kot µ, ki ga tangenta t v točki
T s polarnima koordinatama ϕ in % na krivulji oklepa z daljico OT , dan s
splošno formulo
tgµ =
%
%′
.
Črtica označuje odvajanje polarnega radija po kotu ϕ. Izpeljavo te po-
membne formule v teoriji krivulj najdemo na primer v [7]. Za Bernoullijevo
lemniskato je
tgµ = − ctg 2ϕ,
81–89 85
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. Odboj sredǐsčnega žarka na lemniskati.
iz česar sledi µ = π/2 − 2ϕ, če je T v prvem kvadrantu. Omejitev na
prvi kvadrant za naše potrebe popolnoma zadošča. Kot med krajevnim
vektorjem in normalo n pa je tako enak 2ϕ. Normala n seka abscisno os
pod kotom 3ϕ (slika 2).
To pomeni, da normalo in tangento na Bernoullijevo lemniskato v dani
točki T konstruiramo s kotom 2ϕ, ki ima en krak enak TO in vrh v točki T .
Obstaja pa še nekaj postopkov za konstrukcijo tangente v točki lemniskate
(glej na primer [3, 6]). Še več zanimivih lastnosti lemniskate najdemo v [2].
Avtor jih je navedel in dokazal v [4].
Katakavstika ravninske krivulje je ogrinjača premic nosilk odbitih žar-
kov, ki iz skupne točke z imenom radiant padajo v ravnini krivulje na to
krivuljo. Upoštevamo samo prvi odboj na krivulji. Radiant je lahko »v
neskončnosti«. Takrat so na krivuljo padajoči žarki med seboj vzporedni
v neki smeri. Oblika katakavstike lemniskate je odvisna od radianta. Za
žarke, ki na lemniskato padajo vzporedno z eno od njenih simetral, dobimo
neomejeno katakavstiko.
Omejeno, srčasto katakavstiko lemniskate dobimo za žarke, ki izhajajo
iz njenega sredǐsča O. Če je naklonski kot vpadnega žarka ϕ, je naklonski
kot odbitega žarka 5ϕ (slika 2). Pri tem upoštevamo, kar že vemo: vpadni
in odbojni kot žarka sta enaka 2ϕ.
Žarek naj se odbije v točki T , ki ima polarni kot ϕ. Ker je naklonski kot
odbitega žarka 5ϕ, ima odbiti žarek v koordinatnem sistemu Oxy enačbo
y − % sinϕ = tg 5ϕ(x− % cosϕ),
iz katere brez težav izpeljemo za računanje ugodneǰso obliko
x sin 5ϕ− y cos 5ϕ = % sin 4ϕ.
86 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
To je enoparametrična družina premic, kjer je ϕ parameter. Njihovo ogri-
njačo dobimo po splošni metodi, ki je opisana na primer v [7]. Zgornjo
enačbo odvajamo po parametru ϕ in rezultat delimo s 5:
x cos 5ϕ+ y sin 5ϕ =
1
5
%′ sin 4ϕ+
4
5
% cos 4ϕ.
Dobimo linearni sistem enačb za x in y z determinanto 1. Rezultat je
naslednja parametrična oblika katakavstike:
x =
4% cos 4ϕ+ %′ sin 4ϕ
5
cos 5ϕ+ % sin 4ϕ sin 5ϕ,
y =
4% cos 4ϕ+ %′ sin 4ϕ
5
sin 5ϕ− % sin 4ϕ cos 5ϕ.
Če v obeh izrazih na desni strani izpostavimo % in upoštevamo, da je %′/% =
− tg 2ϕ, dobimo s pretvorbami trigonometričnih izrazov preprosteǰso obliko:
x =
1
5
%(ϕ)(5 cosϕ− cos 5ϕ), y = 1
5
%(ϕ)(5 sinϕ− sin 5ϕ).
Omejenost dobljene krivulje se lepo vidi iz njene parametrične oblike. Ne
pozabimo, da je pri tem %(ϕ) = a
√
cos 2ϕ in da ϕ ni polarni kot točk
katakavstike.
Kot zanimivost dodajmo še, da je krivulja
x = 5 cosϕ− cos 5ϕ, y = 5 sinϕ− sin 5ϕ
epicikloida s štirimi loki na krožnici z enačbo x2 + y2 = 16. Potemtakem je
katakavstika neke vrste hibrid med lemniskato in to epicikloido.
Katakavstika ima osti v točkah (−4a/5, 0) in (4a/5, 0). V okolici sredǐsča
O se lemniskata in katakavstika dobro ujemata (slika 4).
Ploščina Sk lika, ki ga ograjujeta oba dela katakavstike, je 4a
2/5, kar
pomeni, da pokriva 4/5 obeh listov lemniskate. Do tega rezultata pridemo
z naslednjim računom:
Sk = 4 ·
1
2
∫ π/4
0
(xy′ − x′y) dϕ = 6a
2
5
∫ π/4
0
(cos 2ϕ− cos 6ϕ) dϕ = 4a
2
5
.
Prav tako dobimo za diferencial ločne dolžine ds katakavstike za sre-
dǐsčne žarke v nasprotju s samo lemniskato razmeroma preprost izraz:
ds =
√
x′2 + y′2 dϕ =
6a
5
· sin 2ϕdϕ√
cos 2ϕ
.
81–89 87
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 3. Družina premic nosilk odbitih žarkov.
Slika 4. Katakavstika lemniskate za sredǐsčne žarke omejuje dve srci.
Dolžina `k njenega loka v prvem kvadrantu je
`k =
6a
5
∫ π/4
0
sin 2ϕdϕ√
cos 2ϕ
=
6a
5
.
Ugotovili smo že, da je dolžina lemniskate v prvem kvadrantu
` =
$a
2
,
kar je približno 1,311a in seveda več kot 6a/5 = 1,2a. Tudi slika 4 kaže, da
je katakavstika za spoznanje kraǰsa od lemniskate.
Lepo se da izračunati tudi ekstremne koordinate točk katakavstike. Ek-
stremne abscise imajo točke s koordinatami
x = ±4a
5
, y = 0 in x = ±a
8
4
√
20(
√
5 + 1), y = ± a
20
√
29
√
5− 61,
ekstremne ordinate pa točke s koordinatami
x = ± a
20
√
29
√
5 + 61, y = ±a
8
4
√
20(
√
5− 1).
88 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 89 — #9 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Vse navedene točke so konstruktibilne (z neoznačenim ravnilom in šestilom).
Prvi dve točki iz prve skupine sta osti katakavstike.
Za konec
Ekstremne točke katakavstike lemniskate so konstruktibilne. Za samo le-
mniskato so se matematiki že od samega začetka trudili, da bi njen lok v
prvem kvadrantu z geometrijsko konstrukcijo razdelili na dolžinsko enake
dele. Omenjeni Fagnano je potrdil, da se lok da razdeliti na dva, tri in pet
dolžinsko enakih delov. Na vprašanje, kdaj se ga da razdeliti na n ena-
kih delov, je odgovoril Abel. Odgovor je presenetljiv: natanko tedaj, ko je
konstruktibilen pravilni n-kotnik.
Slika 5. Upogib kabelske plastične vezice. Svetla krivulja je lemniskata.
Pravilnost Bernoullijevega računa v članku, ki je bil omenjen na začetku
pričujočega prispevka, lahko sami preverimo z upogibom primerno prožnega
traku, na primer še ne uporabljene kabelske plastične vezice. Poskrbeti je
treba, da se oba konca stikata pod pravim kotom (slika 5). Ujemanje je kar
dobro, kljub temu, da vezica ni idealno prožna.
LITERATURA
[1] P. Eymard in J.-P. Lafon, The number π, AMS, Providence, 2004.
[2] W. Hess, Eigenschaften der Lemniskate, Z. Math. Phys. 26 (1881), 143–144.
[3] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by Its History, Undergraduate Texts in Ma-
thematics, Springer, Heidelberg, 2012.
[4] M. Razpet, Bernoullijeva lemniskata, študijsko gradivo, dostopno na www.pef.uni-lj.
si/matwww/lemniskata01.pdf, ogled 7. 11. 2019.
[5] S. Schwartzman, The words of mathematics, MAA, Washington, 1994.
[6] J. Steiner, Einfache Construction der Tangente an die allgemeine Lemniscate, J. Reine
Angew. Math. 14 (1835), 80–82.
[7] I. Vidav, Vǐsja matematika I, DZS, Ljubljana, 1968.
81–89 89