JET 11 
JET Volume 14 (2021) p.p. 11-19
Issue 4, December 2021
Type of article 1.01
www.fe.um.si/en/jet.html
EXPERIMENTAL VERIFICATION OF THE 
NUMERICALLY DETERMINED PARAM-
ETERS FOR THE NON-LINEAR TWO-AXIS 
MODEL OF A SYNCHRONOUS MOTOR 
WITH INTERIOR PERMANENT MAGNETS
EKSPERIMENTALNO PREVERJANJE 
NUMERIČNO DOLOČENIH PARAME-
TROV ZA NELINEARNI DVOOSNI MODEL 
SINHRONSKEGA MOTORJA Z NOTRANJIMI 
TRAJNIMI MAGNETI
Željko Hederić
R
, Venco Ćorluka
1
, Toni Varga
1
Keywords: synchronous motor, flux linkage, interior permanent magnets, non-linear
Abstract
Synchronous machines belong to the family of electrical machines characterised by a synchronous 
magnetic rotating field in the air gap of the machine, the speed of which depends on the frequency 
of the currents in the armature winding. The paper presents procedures and methods for the numeri-
cal determination and experimental verification of the parameters for a nonlinear two-axis model 
of a synchronous motor with permanent magnets in the rotor (IPMSM) and a concentrated stator 
winding. To calculate the distribution of electro-magnetic fields in the motor accurately, models with 
Ř 
Prof.Dr.Sc. Željko Hederić,PhD, Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology 
Osijek, Kneza Trpimira 2B, HR-31000 Osijek, Croatia, +385 31 224 600, zeljko.hederic@ferit.hr
1
 University of Osijek, Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Information Technology Osijek, Kneza 
Trpimira 2B, HR-31000 Osijek, Croatia

12 JET
Željko Hederić , Venco Ćorluka, Toni Varga JET Vol. 14 (2021)
Issue  4
2  Že l j ko Hederić ,  Ve nco Ć o r l uk a, Toni  Var g a  JET Vol. 14 (2021) 
   Issue 4 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
distributed parameters are used in motor design, for which the Finite Element Method (FEM) is 
usually  employed.  The  improvement  by  using  the  model  with  concentrated  parameters 
considerably  simplifies  the  physical  model,  by  describing  it  with  a  system  of  (non)linear 
differential equations, the so‐called partial differential equations, which is presented in this 
paper. 
Povzetek 
Sinhronski stroji spadajo v  d r u ž i n o električnih strojev, za katere je značilno sinhrono magnetno 
vrtljivo polje v zračni  reži stroja, katerega hitrost je odvisna od frekvence tokov navitja armature. 
V prispevku so predstavljeni postopki in metode za numerično določanje in eksperimentalno 
preverjanje parametrov za nelinearni dvoosni model sinhronskega motorja s trajnimi magneti v 
rotorju  (IPMSM)  in  koncentriranim  statorskim  navitjem.  Pri  načrtovanju  motorjev  se  za 
natančnejši  izračun  porazdelitve  elektromagnetnih  polj  v  motorju  uporabljajo  modeli  s 
porazdeljenimi parametri, za kar se običajno uporablja metoda končnih elementov (MKE). V 
prispevku je predstavljena izboljšava, ki z uporabo modela s koncentriranimi parametri v osnovi 
znatno poenostavi fizični model, tako da ga opiše s sistemom (ne)linearnih diferencialnih enačb, 
tako imenovanih delnih diferencialnih enačb. 
 
1 INTRODUCTION 
A synchronous motor with interior permanent magnets and concentrated winding (IPMSM) has 
12 stator slots and 10 magnetic poles inside the rotor. The motor has an uneven air gap. The 
mathematical modelling starts with setting up the voltage equations for each winding in a three‐
phase system [1, 2]: 
 
abc abc abc m abc
dd
dd
u Ri
tt
 
                 (1.1) 
The contributions of a flux linkage from a permanent magnet are represented by  mabc in a three‐
phase system of motor supply. By converting a three‐phase time system into a two‐axis position 
system, one obtains the voltage equation for a magnetically nonlinear dynamic model of a 
synchronous motor with permanent magnets in a d‐q system: 
 
d
12
q
dd
dd
i ui
R
ui itt

  
  
  
  
  
d d
qq
MM        (1.2) 

JET 13 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the non-linear two-axis model 
of a synchronous motor with interior permanent magnets  
Experimental verification of the numerically determined parameters for the 
non‐linear two‐axis model of a synchronous motor with interior permanent 
magnets 
3 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
where  M1 and  M2 are the system matrices: 
 
dd
dq
1
qq
dq
ii
ii


 










M     (1.3) 
 
d md
q mq
2
q mq d md



 

  
 
   
  
 

 
 
 
  
M      (1.4) 
The partial derivatives within the matrices, as well as the flux linkage of the stator ( d, q) and 
the flux linkage of the permanent magnets ( mq,  md), represent the parameters of the model 
which must be determined experimentally due to their nonlinearity. The magnetic fluxes of the 
stator depend on the currents and position of the rotor, while the magnetic fluxes of the 
permanent magnet depend only on the position of the rotor. 
 
2 DETERMENING NONLINEAR PARAMETERS BY THE FINITE 
ELEMENT METHOD 
The magnetic nonlinear parameters required for the flux linkages and their partial derivatives can 
be determined with the Finite Element Method (FEM) (or the distributed parameter model), or 
experimentally. The input variables are the stator current parameters id, iq and the rotor position 
𝜃𝜃 . Flux linkages are obtained by solving the Poisson’s equation via the vector of magnetic 
potential [2, 3]:  
 
22
22
xy


 

AA
J         (2.1) 
The relation between the magnetic flux and the vector of the magnetic potential according to 
Stokes' theorem is: 
  d
e ee
C
Φ 

A l
Ń
                (2.2) 
The magnetic flux  Φ
s for one winding is equal to the difference between the magnetic potential 
of the left and right sides of the winding and the product of the winding length: 
 
()
s Fe
1s 2s
Φ l  AA
                               (2.3) 
Multiplying the magnetic flux by a total number of windings gives a flux linkage  𝛹𝛹 : 
  N Ψ = Φ    (2.4) 
After  the  FEM  calculation  on  the  IPMSM  is  completed,  obtained  three‐phase  values  are 
transformed back into a two‐axis coordinate system, by the inverse transformation matrix. The 
result of numerical and experimental determination are flux linkages  d and  q as functions of 
currents id, iq and rotor position  𝜃𝜃 . 

14 JET
Željko Hederić , Venco Ćorluka, Toni Varga JET Vol. 14 (2021)
Issue  4
4  Že l j ko Hederić ,  Ve nco Ć o r l uk a, Toni  Var g a  JET Vol. 14 (2021) 
   Issue 4 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
The current and position dependent flux linkages, which represent the parameters of the dynamic 
model, can be solved by a model with distributed parameters using FEM. Numerical calculation 
with FEM is carried out in a real coordinate system for IPMSM, i.e. in a three‐phase system. In the 
calculation of FEM, the values of three‐phase currents must be inserted, which, in turn, are solved 
by the currents of the two‐axis model with two‐phase to three‐phase transformation. To calculate 
the three‐phase input alternating currents for the numerical algorithm, transformation matrices 
must be used, with which it is possible to change from a two‐axis position system to a three‐phase 
time system, and vice versa.  
 
 
Figure  1:  Discretisation  of  sp ace  on  finite  el ement s 
The condition for the correct use of transformation matrices is that the magnetic conditions do 
not change during the transformation [2,4,5]. 
 
Figure  2:  Graphic  representation  of t he  magn e t ic  flux  linkage 
distribution  𝛹𝛹 q  for  current  i d = 4 A 

JET 15 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the non-linear two-axis model 
of a synchronous motor with interior permanent magnets
 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the 
non‐linear two‐axis model of a synchronous motor with interior permanent 
magnets 
5 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
The results of FEM calculation are flux linkages:  𝛹𝛹 a ( ia, ib, ic, θ),  𝛹𝛹 b (ia, ib, ic, θ) and  𝛹𝛹 c (ia, ib, ic, θ). 
Furthermore, using a three‐phase to two‐axis transformation, it is necessary to convert the linked 
magnetic fluxes into a two‐axis model  𝛹𝛹 d (id, iq, θ) and  𝛹𝛹 q (id, iq, θ) used in a magnetically 
nonlinear dynamic model. The magnetic nonlinear properties to be determined can be divided 
into  two  groups.  The  first  group  includes  flux  linkages  that  result  from  the  excitation  of 
permanent magnets. These flux linkages are current independent. The second group are flux 
linkages resulting from stator currents. 
 
Figure  3: Graphic representation of the distribution of partial derivation 
qd
i     for current id = 4 A 
The numerical calculations of FEM for the flux linkages were done by discretisation of the motor 
through 38 616 derivations in the form of a three‐dimensional graph. 
 
3 EXPERIMENTAL DETERMINATION OF FLUX LINKAGES 
CAUSED BY STATOR CURRENTS 
The parameters of a dynamic model of a synchronous motor can be determined experimentally, 
because the flux linkages in the d‐axis  𝛹𝛹 d (id, iq, θ) and in the q‐axis  𝛹𝛹 q (iq, id, θ)  depend on the 
currents and the rotor position, while the flux linkages of permanent magnets  𝛹𝛹 mdq (θ) depend 
only on the rotor position. The flux linkages ( 𝛹𝛹 d and  𝛹𝛹 q ) in d and q‐axes are determined by an 
experiment with a  locked rotor, whereby the position of the rotor must be known [ 5,6].  
 
 
Figure  4: Measuring system for determining current and position dependent flux linkages 
The procedure is carried out by applying a rectangular variable voltage in one axis and a constant 
current in the other axis. The measuring system for determining current and position‐dependent 

16 JET
Željko Hederić , Venco Ćorluka, Toni Varga JET Vol. 14 (2021)
Issue  4
6  Že l j ko Hederić ,  Ve nco Ć o r l uk a, Toni  Var g a  JET Vol. 14 (2021) 
   Issue 4 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
flux linkages flows is shown in Figure 4. The elements of the measuring system are: The tested 
IPMSM motor, a three‐phase converter, a module with a signal processor with input and output 
units,  a  module  for  pulse‐width  modulation,  a  rotor  position  meter  (MP),  two  measuring 
converters for current measurement. Current control is performed via PI regulators. [7,8] 
The voltage converter applies the constant current iq in the q‐axis, and the variable rectangular 
voltage ud of a certain period in the d‐axis. The duration of this period is determined as the time 
during which the current assumes a constant value in the greater part of the half‐period. 
In further examples, flux linkages are determined with given current values. As the rotor is locked, 
all members in the voltage equation with change in the angle dθ are dropped, so the equation 
takes the form [9]: 
 
d
d dd
d
d
u iR
t

 
                               (3.1) 
For the calculation of the flux linkage  𝜓𝜓 d numerical integration must be applied: 
     
ddd
0
t
t u Ri d     

           (3.2) 
According to this expression, flux linkages  d and  q are calculated for  iq=7 A,  id=0, at time period 
T = 0.4 s with numerical integration to be compared with the experimentally obtained values.  
 
F i g ure  5:  Com p arison  of  the  measured  𝛹𝛹 qm  and  numerically  ca lcu lated  𝛹𝛹 qFEM   as  a  function  of cu r re n t  iq 
A comparison of the measured results with the values obtained by the FEM calculation can be 
seen in Fig. 5, and only small deviations are observed. The deviations can be explained with the 
error of the numerical calculation, as well as the non‐uniform voltages and currents applied to 
the stator winding from the frequency converter. Given the curve dependencies of flux linkages 
are about current values (in this case the values are currents from ‐8 A to 8 A, with a step of 0.5A) 
they can provide the uniform (i) characteristic at characteristic current values. From the uniform 
characteristics  thus  obtained,  two  two‐dimensional  matrices  can  be  formed:  Current  and 
position‐dependent magnetic fluxes  𝛹𝛹 d (id, iq, θ) and  𝛹𝛹 q (iq, id, θ).  

JET 17 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the non-linear two-axis model 
of a synchronous motor with interior permanent magnets
 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the 
non‐linear two‐axis model of a synchronous motor with interior permanent 
magnets 
7 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
4 EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE PERMANENT 
MAGNET FLUX LINKAGES 
The measurement of the induced voltage on the stator windings is carried out at a constant rotor 
speed. The measuring system for determining the flux linkage of permanent magnets, shown in 
Figure 6, consists of a DM drive machine controlled by a measuring transducer. The DM drive 
machine is connected mechanically to the tested IPMSM motor by an axle on which the MP rotor 
position transducer is also installed. The induced voltages in all three phases of the tested motor 
are measured by a voltage converter VC and stored in a PC via the A/D card as a rotor position 
data. In this case, the stator currents in d‐axis and q‐axis are equal to zero, and only the flux 
linkages of the permanent magnets in d‐axis and q‐axis and the angular velocity remain [5]. 
 
F i g u r e  6: Measurement system for determining the flux linkages of permanent magnets 
For the open terminals on the stator, the voltage equations have the form: 
md
d mq
dd
dd
e
tt
  


 

       (4.1) 
mq
q md
dd
dd
e
tt

 


 

    (4.2) 
After sorting, a second‐order partial differential equations for  md and  mq are obtained: 
2
q
md d
md 2
e
e 

  
 




    (4.3) 
2
mq q
d
mq 2
e
e


  
  




    (4.4) 
The numerical solution of these equations for the measured values of induced voltages and the 
given frequency, gives the values of the flux linkages of the permanent magnets, depending on 
the position of the rotor. An example of the calculation of the flux linkage of permanent magnets 
is carried out in such a way that the rotor rotates at a constant rated speed, and the three‐phase 
induced voltages ea, eb and ec are recorded on open stator terminals which are transformed into 
a two‐axis d‐q system ed  and eq. [10‐12] 

18 JET
Željko Hederić , Venco Ćorluka, Toni Varga JET Vol. 14 (2021)
Issue  4
8  Že l j ko Hederić ,  Ve nco Ć o r l uk a, Toni  Var g a  JET Vol. 14 (2021) 
   Issue 4 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
 
Figure  7:  Flux lin kage s in  the  d‐q  axis  obta ined  by  the  measurement 
 
Figure 8:  Flux lin kage s in  d‐q axis  obtained  by  the FEM cal cula tion 
Solution of the system of equations (Eq. 4.1  ‐ Eq. 4.4) for the flux linkages of the permanent 
magnet  md and  mq is shown in Fig. 7, while solution using the FEM calculation is shown in          
Fig. 8. 
 
3 CONCLUSION 
The problem of creating a magnetic nonlinear model and incorporating the results of the FEM 
calculations (distributed parameters) was solved by analysing all the subsystems (electrical and 
mechanical) that are connected nonlinearly.  
The paper explains an algorithm for the correct definition of the model using partial differential 
equations, i.e. the calculation of the partial derivatives of the flux linkages. The magnetically 
nonlinear dynamic model of IPMSM is useless as long as the magnetically nonlinear properties 
and their partial derivatives are undetermined.  
These magnetically nonlinear characteristics represent the variable parameters of the derived 
model and are determined by the Finite Element Method (FEM). To verify the model, i.e. the 
numerical calculations of the FEM, a measuring system was prepared and experimental testing 
was performed on the sample IPMSM. 

JET 19 
Experimental verification of the numerically determined parameters for the non-linear two-axis model 
of a synchronous motor with interior permanent magnets  
Experimental verification of the numerically determined parameters for the 
non‐linear two‐axis model of a synchronous motor with interior permanent 
magnets 
9 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 
References 
[1]   Jacek F. Gieras, “Permanent magnet motor technology: design and applications”, CRC 
Press, 2010.  
[2]   T.  Marčić,  G.  Štumberger,  B.  Štumberger,  M.  Hadžiselimović  and  P.  Virtič, 
“Determining  Parameters  of  a  Line‐Start  Interior  Permanent  Magnet  Synchronous 
Motor Model by the Differential Evolution”, in IEEE Transactions on Magnetics, vol. 44, 
no. 11, pp. 4385‐4388, Nov. 2008  
[3]   C. C. Hwang , S. P. Cheng, and C. M. Chang, “Design of High‐Performance Spindle Motors 
With Concentrated Windings”, IEEE Transactions On Magnetics, Vol. 41, No. 2, February 
2005. 
[4]   G. H. Kang, J. P.  Ho n g , G. T. Kim, and J. W. Park, “Improved parameter modeling of 
interior permanent magnet synchronous motor based on finite element analysis”, IEEE 
Trans. Magn., vol. 36, pp. 1867‐1870, July 2000. 
[5]   Z. Xinghua and C. Pengfei, “Efficiency optimization of a direct torque controlled interior 
permanent  magnet  synchronous  motor  considering  iron  losses”,  2016  19th  Inter‐
national Conference on Electrical Machines and Systems (ICEMS), 2016, pp. 1‐5. 
[6]   S. P. Lim and K. J. Tseng, “Dynamic model of an interior permanent magnet motor with 
skewed stator slots,” IECON'99. Conference Proceedings. 25th Annual Conference of 
the IEEE Industrial Electronics Society (Cat. No.99CH37029), 1999, pp. 1471‐1476 vol.3 
[7]   M.  Hadži s elimoviĆ, G. Štumberger, B. Štumberger and I. Zagradišnik, “Magnetically 
nonlinear dynamic model of a synchronous motor with permanent magnets”, J. Magn. 
Magn. Mater., vol. 316, pp. e257‐e260, 2007. 
[8]   A.  K h laief, M. Bendjedia, M.  Bous s ak and M.  Go ss a, “A nonlinear observer for high‐
performance sensorless speed control of IPMSM drive”, IEEE Trans. Power Electron., vol. 
27, no. 6, pp. 3028‐3040, Jun. 2012 
[9]   N. Yang, G.  Luo, W. Liu and K. Wang, “Interior permanent magnet synchronous motor 
control  for  an  electric  vehicle  using  a  look‐up  table”,  Proceedings  of  The  7th 
International Power Electronics and Motion Control Conference, 2012, pp. 1015‐1019 
[10]    S. P. Lim and K. J. Tseng, “Dynamic model of an interior permanent magnet motor with 
skewed stator slots”, IECON'99. Conference Proceedings. 25th Annual Conference of 
the IEEE Industrial Electronics Society (Cat. No.99CH37029), 1999, pp. 1471‐1476 vol.3 
[11]  X.  Xiao, C. Chen and M. Zhang, “Dynamic Permanent Magnet Flux Estimation of 
Permanent Magnet Synchronous Machines”, in IEEE Transactions on Applied Super‐
conductivity, vol. 20, no. 3, pp. 1085‐1088, June 2010 
[12]  E.  Sok olov and M.  Mi hov, “Parameter Estimation of an Interior Permanent Magnet 
Synchronous Motor”, 2019 16th Conference on Electrical Machines, Drives and Power 
Systems (ELMA), 2019, pp. 1‐5