i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 158 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Benjamin Wardhaugh, A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing, Princeton University Press, Princeton, New Yersey, 2012, 370 strani. Avtor, ki ga bralci Obzornika poznajo že po knjigi How to read historical mathema- tics, je tokrat zbral reprezentativna mate- matična besedila, ki so jih napisali znani pisci o matematiki v obdobju zadnjih 500 let oziroma po Gutenbergovi iznajdbi tiska. V tem obdobju se je, kot pravi, pojavila in izginila cela vrsta žanrov, tipičnih (v dolo- čenem času in okolju priljubljenih) načinov pisanja o matematiki. Ta besedila so bila namenjena različnim matematičnim občin- stvom, pojavljala so se v različnih družbe- nih kontekstih, osvetljevala so različne vi- dike uporabe matematike in načina razmi- šljanja o njej. Enajst poglavij te knjige z nekaj več kot 100 odlomki iz v svojem času znamenitih ali vsaj znanih matematičnih knjig tako pripo- veduje nekoliko drugačno zgodbo o zgodovini matematike, kot jo sicer po- znamo iz knjig, ki govore o razvoju matematičnih idej. Nekatera poglavja (1, 3, 5 in 7) obravnavajo razvedrilno matematiko: igre in uganke, popula- rizacije in zabavne zgodbe. Druga (2, 4, 6 in 8) prikazujejo matematiko v učilnici in v različnih uporabah. Poglavji 9 in 10 sta bolj refleksivni, govorita o tem, kako naj bi se matematiko učilo in poučevalo, ter zakaj. Zadnje, 11 poglavje, pa obravnava avtorju najljubšo tematiko: matematiko v povezavi z literaturo. Kot pravi Wardhaugh, je bilo zanj najtežje iz obilice besedil o matema- tiki, namenjenih širšemu občinstvu (torej ne prvenstveno matematikom) se- staviti čim bolj raznoliko antologijo, v kateri bodo uravnoteženo zastopana tako dela, ki pripadajo i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresij , nekako z faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajn nim jo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani a podrobno reprodu ci o.) Pri oceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zele o plundr . JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 glavnemu toku i i “Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinom nezanimivi d l), se zadovoljil s pr bliž i nekaterih drugih podatk v in origi ala ne remo več natančn rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo nič l, predvsem v desnem spodnj m delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajn l ko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne struktur , rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsi i elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To p meni nižjo ompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kv tiz cijska matrik v načinu fine imela elemente recimo od do 15, saj ustr zne o tike običajno nimajo zelo dobre l čljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotn slik našega kv drat . N slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko n zahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prep znajo in bistveno manj stisn jo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šu a je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah pa lahko kombinacij nekakovostnega z m bjektiva in nepri agodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š pate tirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je n digital zacija Neka eri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru- rati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni tež o dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 ( 017) 2 , kot tudi bolj ekscentrična dela. Tako se, po avtorjevih b sedah, v knjigi iz enjavajo slavna in obskurna besedila, elegantna in čudna. Za tiste bralce, ki bi si želeli še več podobnega čtiva, priporoča dve antologiji, za kateri pravi, da sta med najbolǰsimi: Ja- cqueline Stedall, Mathematics emerging: a sourcebook 1540–1900 (Oxford, 2008), ter Marcia Ascher, Mathematics elsewhere: an exploration of ideas across cultures (Princeton, 2002). 158 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 159 — #2 i i i i i i A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing Fokus te antologije matematičnih besedil je torej za matematično knjigo precej nenavaden: bralec ima namreč priložnost kritično primerjati ne samo matematične vsebine, ki jih obravnavajo posamezni pisci, temveč tudi njihov slog pisanja. Tako v tej antologiji najdemo številna slavna imena, ki jih sicer poznamo iz zgodovine matematike, nismo pa še nikoli dejansko prebrali nobenega odlomka njihovih izvirnih besedil! Vsak v antologijo vključeni pisec je na kratko predstavljen, na kratko je okarakterizirano tudi delo, iz katerega je vzet izbrani odlomek, omenjeno je npr. kolikokrat je bilo izdano, kateri publiki je bilo namenjeno in kakšne vrste pristop k matematiki je avtor uporabljal. Tako je npr. Humfrey Baker v svojem delu The well-spring of sciences iz leta 1564 (zadnja izdaja iz leta 1670 je bila preprosto imenovana Baker’s Arithmetick) bralce osupljal s preprostimi aritmetičnimi triki določanja šte- vil, podvrženih določenim transformacijam. Tako je npr. rezultate meta treh kock x, y, z i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostneg zoom objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 skril i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (več noma nez nimivi del), se zadovoljili s približk nekaterih drugih podatk v in riginala ne mor o več natančno rek nstruira i. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, pr dvsem desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko st sne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina lementov ničelnih, preostali pa nim jo posebne struktu e, reč mo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (a - gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi ele enti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z d agonalo pod 8 mm bo kvantizacijsk matrika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljiv sti. Pri dekodiranju pomnoži o matriko nazaj z istoležnimi ele enti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverz o transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slik naš ga kvadrat . N slik h z mehki i prehodi me svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko ezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznaj i bistveno manj stisnejo, s pravi uporabij drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nek kovostnega zoom bjektiva in nepri a od jivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risb in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še pat ntirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostok dni f rmat (Ogg) Vorbis. Vzorčenje i digitalizacij Nekateri študen i na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po toč ah«. Večinoma se to ne ob se. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popoln ma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti a diskretni množici točk. V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko do azati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) v trimestno število 100x + 10y + z + 250, od koder jih j bilo seveda mog če zl hka rekonstruirati. Pod bno je Jacques Oza am (1640–1717) že leta 1708 v knjigi Profita- ble and delightful problems, poleg raznih geometrijskih konstrukcij ter ma- tematičnih ugank in trikov, predstavil tudi znani problem prelivanja vina iz posode z 8 pi ti s pomočjo praznih posod s po 3 in 5 pinti tako, da na koncu dobǐs v eni posodi 4 pinte. Henry Ernest Dudeney (1857–1930) je v svojem klasičnem delu s podro- čja razvedrilne matematike Amusements in mathematics iz leta 1917 podal samo probleme (z ilustracijami), a brez rešitev. Med njimi najdemo npr. probleme, s koliko najmanj nepretrganimi potezami (brez dviga svinčnika s papirja) lahko narǐsemo določene geometrijske vzorce. Najdemo tudi pri- mere grafov, v katerih je treba poiskati hamiltonski ali pa Eulerjev obhod. Avtor je v knjigo (z dovoljenjem) uvrstil tudi nekaj znanih iger (Spro- uts, Nought and Crosses, Femto, Nim) s spletne strani nrich.maths.org, za katero pravi, da je eden izmed najbolj priljubljenih spletnih virov za matematične aktivnosti najrazličneǰsih vrst. Drugo poglavje, posvečeno prehodu od aritmetike k algebri, avtor začne z ugotovitvijo, da aritmetika nikoli ni premogla svojega Evklida oziroma dela, ki bi po pomembnosti bilo primerljivo z njegovimi Elementi. Med pi- sci, ki so po odkritju tiska dolgo časa dominirali na tem področju, je najprej omenjen Robert Recorde (1512–1558), eden prvih avtorjev matematičnih učbenikov v angleškem jeziku. V nekoliko dolgoveznem dialogu med učite- ljem in učencem je opisano, kako se sešteva in odšteva, npr.: Če imam npr. 160 knjig v latinskem jeziku in 150 v grškem jeziku in bi rad vedel, koliko jih je skupaj, moram napisati ti dve števili eno nad drugo, večje zgoraj, tako da je prva števka enega pod prvo števko drugega, druga pod drugo, in tako dalje . . . Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 159 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 160 — #3 i i i i i i Nove knjige Thomas Masterson je v svoji knjigi First booke of arithmeticke iz leta 1592, namenjeni bolj i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkci »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 n bel i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni s iki (večinoma neza imiv del), se zadovoljili s približki nekat rih drugih podatkov in originala ne more o več nata čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizirana m trik mnogo ničel, predvs m v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrik Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničel ih, preostali p nimajo posebne struk ure, rečemo razp šena matrik . Kvantizirana matrik je torej p aviloma razp šena. V fotoapar tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagon l pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v nači u fi e im la elem nte recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zel dobre ločljivosti. Pri deko iranju pomn žim atriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo nverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kv drata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i del slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter n obusten. Manǰsi problem s pojavi pri slikah z ogromn podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za m nǰse ri be in grafike profesi nalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zd j še patentira i format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in d gitalizac j Nekat ri študenti na zpit h rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. V ndar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hov rednosti na diskretni m ožici toˇk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj i tervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 občinstvu (angl. i i “Legisa-vesti” — 201 /6/ 0 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vr li smo del informacije a originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približ i nekaterih drugih p datko in originala ne moremo več nata čno rekonstruirati. N tipični sliki i a kvantizirana matrika mnogo nič l, pr dvs m v desnem spod je delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čaj sliko s isne za f ktor p bl žno 7. Ma riki, v kateri je večina elementov nič lnih, preostali pa nimajo o bne stru ture, rečemo razpršena matrika. Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena. V f toaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizac jsko atriko z bistven manǰsimi elementi, velikosti recim d 1 do 6. To p meni nižjo kompres jo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustr zne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju p mn žimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan- t zacijsk m trike in opr vimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnimi deli slike to deluje s jajno. Algoritem za JPEG stiska- je je ač nsko n zahteven, hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri sl kah z gromno podrob stmi, kot so rava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in b stveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijs o mat iko kot sicer. (Slik z ogromno šuma je tudi težava, vendar a tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ko binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani form t MP3. Omogoča stiskanje v različnih k kovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na iz iti rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to n obnes . V ndar pa je m g če veli razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i n j b njena Fourierova transformi- rank f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer j L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 aimed at rather m re gen- tlemanly ead rs i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na original i sliki (večinom neza imivi del), se zadovoljili s priblizki nekaterih drugih podatkov i o igin la ne mo emo več natančno rekonstruirati. Na tipični liki ima kvantizirana matrika m ogo ničel, predvsem v desnem spod jem delu. Zgoraj omenjena matri Q obi- čajno sliko stisne za fakt r približ o 7. Matriki, v kat ri je večina element v ničelnih, preostali pa nim jo posebne strukture, reče o r zpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravilo a ra p š na. V fotoaparatu z v likim se zorjem (APS-C ipd.) nasta itev na fin (an- gleško fine) da kvantizacijsko matrik z bistveno manǰsimi eleme ti, veli osti recimo od 1 do 6. To pome i nižj kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri lih tipalih z diagonalo pod 8 m b kvantizacijsk ma ika v načinu fine imela elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike bičajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiran u pomnožimo matriko na j istoležnimi elementi kva - tizacijske matrike in opra imo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike aš ga kva rata. Na slikah z mehki i prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je račun ko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno p drobnostmi, kot tr va, krzno. B lǰse kam re tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabij drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tu i t žava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno re r du cij .) Pri poceni merah pa lahko kombinacij neka ovostnega zoom obj ktiv i ne ilagodljiv ga stiskanja travnik spremeni v zele plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za e- produkcijo grafičnih pod o n sti. Za manǰs risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo form t PNG. Za zvok je n stal na podlagi JPEG priljubljeni, za daj še p tentir i format MP3. Omog ča stiskanje v različnih akovos ih. Zelo dobe za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štud nti a izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večino a se to ne obnese. Vendar pa je mogoče elik razred fun cij p polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni mnozici toč . V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) vezna in n j bo njena Fouri rov transfor i- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ), zagovarj l stalǐsč (Wa dha gh mu pravi kar i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na original i sliki (večinoma nezanimivi del), se z do ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki i kv ntizirana matrika mnogo ničel, p ed sem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno slik s i ne za f ktor približno 7. Matriki, v k eri je večina elementov ic l ih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. K antizir na matrika je t rej ravilom razpršena. V fotoap ratu z velikim senzor em (APS-C ipd.) na avitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko matriko z bis veno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z d ago alo po 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P i de diranju p m ožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske atrik in opr vi o inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bliž k prvotn slike naˇega vadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsk nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi pr blem se pojavi pri likah z ogr mno p drob ostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko pr poznajo in bistve manj stisnejo, se pravi upo abijo drugo kvan- tizacijsk matrik ot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar a tu nis o zai teresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiska a travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- p odukcij grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digital zacija Nekateri štud nti na izpiti rǐsejo grafe fu cij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. endar pa j ogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 reklamni slogan i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekate ih drugih podatkov in originala e moremo več natančno rekonst uirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena mat ika Q obi- čajno sliko stis e za faktor približno 7. Matriki, v kateri j večina elementov ničelnih, preostali p ni jo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrik je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veliki sen orjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistven anǰsi i elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacij ka matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo d bre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo m trik nazaj z istoležni i elementi kvan- tizacijske matrike in pravi o inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnimi deli slike to deluje sijajno. Algorite za JPEG stiska- nje je računs o nezahteve , hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistven manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slik z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo z interesirani za podrobn reprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko kombi acija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljiveg stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. J E tudi ni najb lǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podla i JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zel dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digi alizacija Nekateri študenti na izpitih ǐsejo grafe funkcij »po točk h«. Večinoma s to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ), da je aritmetika i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo el informacije na originalni sliki (v činoma neza imivi del), se z dovoljili s približ i nekaterih drugih p datkov in riginala ne moremo več natančn rekonstruirat . Na tipični sliki ima kvantizirana atrika m ogo ničel, redvsem v desn m spodnjem delu. Zgoraj ome jena matrika Q obi- čajno sliko tis za faktor p ibližn 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničel ih, preostali pa nimajo posebne s u ture, reče o razpršena mat ika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razprše . V f toaparatu z veliki senzorjem (APS C ipd.) nastavitev na fino (an- gleš fine) da kvantizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velik sti recimo od 1 d 6. To po eni nižjo kompres jo, kako z faktor 2. Pri malih tipalih z diagon lo p d 8 mm bo kva tiz cijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodi a ju pom ožimo atriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravi o inverzno transfor acijo k DCT. Dobimo p i- bližek prv tne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med sv tlimi in temnimi deli slike to deluje sija no. Algorite za JPEG stiska- nje je računsko nezahte en, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z gromno podrobn stmi, k t so trava, kr o. Bolǰse kamere tako sliko prepozn jo in bistveno nj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tiz cijsko matriko kot sicer. (Slika z ogrom o šuma je tudi težava, ven ar pa tu ismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poc ni amerah pa lahko k binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v z le o plund o. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje upor bljajo format PNG. Za zvok nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kako stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorč nje i digi al za ij Nekateri študenti n izpiti rǐse o gr fe funkcij »po očkah«. Večin ma se to ne obnese. Vendar pa je mog če veli raz ed funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na d skretni množici točk. V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni teˇko dokazati: I rek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo nje a Fourierova ransformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 zelo potrebna vsake u človeku i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Za imivosti vrgli smo del i formac je na riginalni sl i (večinoma nezanimi i del), se zadovo j li s p ibližki ne aterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruir ti. Na tipični sliki i a kva tizirana matrik nogo ničel, pre vs v des e spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisn a f ktor približno 7. Matriki, v ka eri je večina lementov ničelnih, r ostali pa nimajo posebne struktu , rečem razpršena matrika. Kvantiziran matrika je t rej raviloma razpršena. V fotoaparatu z v likim senzorjem (A S-C ipd.) astavite a fino (an- gleško fine) da k antizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti reci o od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako z faktor 2. Pri malih i alih z diagon lo pod 8 m bo vantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoˇi o matriko nazaj z istoleˇ imi elementi kvan- tizacijske matrike in o avi i verzno tr nsfor cijo k DCT. Dobimo pri- bliž k prvotn slike naˇeg kvadrata. Na li ah z mehkimi prehodi med ve li i i temnimi deli slike t deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nj je raču ko nezah ven, hi er i robusten. M nǰsi problem se pojavi pri slikah z ogro no podr bn stmi, kot so trava, krz o. Bolǰse kamere tak sliko prep z ajo i bist no nj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tiza ijsko matriko k t sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nism zainter sir ni za p drobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lah kombinac j nekakovostnega zoom objektiva in eprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰ i za re- pr ukcij grafičnih podr bnosti. Z nǰse risbe in grafike profesionalci r je uporablj jo format PNG. Za zvok je nas al p dlagi JPEG priljubljeni, za zdaj se patentirani f rmat MP3. Omogoča stis anje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresij zvoka je tudi prostokodn format (Ogg) Vorbis. Vzor en d gitalizacija N teri tud nti a izpitih rǐsejo g fe funkcij »po t čkah«. Večinoma se to ne bnese. Vendar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vred sti na diskretni množici t čk. V knjigi [3] najdemo n str. 373 izrek, ki g ni težko dokaz ti: Izrek 1. Naj b f ∈ L2(R) zv zna in naj bo jena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zuna int rvala [−L,L], k r je L > 0. Pote je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Nato podrobn opǐse, kako se množita dve števili, na primer množenja števil 784378 in 987. John Tapp (1575–1631) v s oji knjigi The path to knowl dge iz leta 1621 posnema dialoški slog Roberta Recorda, le da pri njem (namesto učitelja in učenca) nastopata junaka i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti izpitih rǐs jo grafe f kcij »po točkah«. Večinoma se t ne obnese. Vendar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma r konstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 The dore i - i : i i ti li l i f ij i i l i li i i i i i l , ljili i li i i i i i i l i i. i i i li i i i i i i l, j l . j j i i- j li i f i li . i i, i j i l i l i , li i j , t i . i i i j j il . f li i j - i . i - l i ij i i j i i l i, li i i . i i j ij , f . i li i li i l i ij i i i l l i , j i i j i j l l lji i. i i j i i j i l i i l i - i ij i i i i f ij . i i- li li . li i i i li i i i i li li l j ij j . l i i - j j , i i . j i l j i i li i, , . lj li j i i j i j , i ij - i ij i i . li j i , i i i i ij . i i l i ij j i i il lji i j i i l l . i i j lj i - ij i i. j i i f i l i j lj j f . j l l i ilj lj i, j i i f . i j li i i . l ij j i i f i . j i i i li ij i i na i i i i ej f f ij . i . a j li f ij l - i i i ji i i i i i i . ji i [ ] j . i , i i i: . j i j j i t f i- j i t l [ , ], j j . t j l r i t. . ( ) in i i “Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informac je na orig alni sliki (več noma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirat . Na tipični sl ki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desn m spodnjem d lu. Zgor j omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor p bližno 7. Matrik , v kateri je večina elementov ničelnih, pre stali pa nimajo posebn struktu e, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) ast vitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistv no manǰsimi elementi, velikosti recimo d 1 do 6. To pom ni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike bičajn nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dek diranju pomnožimo ma riko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzn transformac jo k DCT. Dobimo pri- b ž k prvotne slike našeg kvadrata. Na sl kah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nj je raču sko nezahteven, hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogr mno p drobnostmi, kot so trava, rzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in b stveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainte esirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega sti kanja tra nik spreme i v zeleno pl ndro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnost . Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoč stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za ompres jo zvoka je tudi prostokodni f mat (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N k teri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točk h«. Večinoma se to ne obnese. V dar pa je mogoče vel k razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hovih vrednosti a d skretni množ c točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga n težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njen Fourierova transformi- ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Junius i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli s o del informacije na or ginalni sl ki (večinoma n zanimivi del), se zadovolj li s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirat . Na tipični sl k ma kvan izirana matrika mnogo ničel, predvsem v esn m spodnjem delu. Zgoraj omenj a matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničelnih, preostali pa nimajo p sebn strukt re, čemo razpršena matrika. Kvant zirana matrik je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C pd.) nast vitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko matriko z bi tveno a ǰsimi elem nti, velikosti recimo d 1 o 6. To p meni n žjo k mpresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine imela elem nt recimo od 1 do 15, saj ustrezn optike običajn imajo zelo d bre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo atr ko nazaj z istol žnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inve zno transformacij k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike n šega kvadr ta. Na slikah z mehki i prehodi med svetl in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je r čunsko nezahteven, hi r in robusten. Manǰsi roblem se pojavi pri slikah z ogr mno p dr bn stmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako slik pre oznaj in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijs matriko t sicer. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za odr bno rep odukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko mbinacij nekak vostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stis anj travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tud ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podr bnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci r e upor bljajo format PNG. Za zvok je nast l na podlagi JPEG priljubl eni, za daj še paten irani format MP3. Omogoča stiska je v različni kakovostih. Zelo d ber za kompr sijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenj in digit lizaci a N kateri študent iz i ih r šej grafe fu cij »po t čkah«. Večinoma se to n obnese. V ndar p je mogoče v li raz ed fun cij pop ln ma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskre ni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 3 3 izrek, ki ga ni težko d kazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zve na i naj bo nje Fourie ova transform - r nk f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L] kjer L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , ki se s skupnimi močmi prebijat skozi osn vna pravila računa ja z ulomki, kot v primeru k aǰsanja ulomkov: 544612 = 272 306 = 136 153 = 8 9 . Decimalne ulomke, ki jih je vpeljal zgodaj v 17. stoletju nizozemski in- ženir Simon Stevin, je v svoji knjigi iz 1695, posvečeni predvsem trgovski matem tiki, opisal Edward Hatton tak le: i i “Legis -vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z nimiv sti vrgli smo del informacije na origin lni sliki (več noma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala e moremo več natancno rekonstruir ti. Na ip c sliki a kv ntizirana matrika m ogo ničel, pr dvs m v des em spo njem d lu. Zgoraj enjena matrik Q obi- č jno sliko stisne za f tor približno 7. M tr ki, kateri je v čina elementov nič lnih, preostali pa nimajo s bne str kture, rečemo razpršen matrika. Kva tiziran matrika je torej praviloma azprš a. V fo oapara u z velikim se z rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matrik z bistven manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To po eni nižjo kompr sijo, nekako za faktor 2. Pri malih tip l h z diag nal pod 8 mm bo kvantizacijska atrika v načinu fine mela elemente recim od 1 do 15, saj ustrez opt k običajno nimajo zelo d bre ločljivo ti. Pri dekodira ju pomnožim matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in op avimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kva r ta. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnim del slike o delu sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je račun k nezahteven, hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa u n m zai t resirani za podrobno repr dukcijo.) Pri poceni ka e ah pa lahk komb nacija n k vo ega zoom objektiva n ne rilagodljiveg sti ka j travnik s rem i v zele o plundro. JPEG udi ni najbolǰsi za re- produkcij grafič ih podrob osti. Za ma ǰse r sbe in g afike pr fesionalci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N ateri študenti na izpitih rǐsejo gr fe fu kcij »p točkah«. Večino a se to ne obn s . Ve dar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazat : Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Decimalni ulomek se od vulgar- nega1 razlikuje v tem: da j imenovalec decimalnega ul ka bodisi 10, ali neka potenca 10, npr. 100, 1000, 10000 itd. i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z i iv sti vrgli s del informacije na originalni sliki (v čino ne nimivi del), se d v ljili s prib ižki ekaterih drugih podat ov in originala ne moremo več nata čno rekonstru r ti. N pič i sli i ma kv nt ziran trika mnogo ičel, pre vs m v desn spodnje delu. Zg raj omenjena m tr k Q obi- čajno sli o stis za fa t približno 7. Ma ri i, v kateri je večin el mentov ičelnih, pre ali pa nimajo p sebn strukture, r č mo r zpršena matrik . Kva tizira a t ik je torej pr viloma zpršena. V fot aparatu z velik senz rjem (APS-C ipd.) nast vitev n fino (an- gl ško fine) d kv ntizacijsk matriko z bistven manǰsim elementi, velikosti reci o d 1 d 6. T p eni nižjo omp esijo, nekako a faktor 2. P i alih tipalih z diagonalo pod 8 mm b kv ntizac jsk m trika v n činu fine imela elem nte e m 1 do 15, j ust ezn op k običajno ima o zelo dobre očljivosti. Pri deko iranj pomnožimo triko naz j z istolež imi ele e ti kvan- tiz c jske mat ik in pravi inverzn ransformacij k DCT. Dobimo pri- bliž k prvo e sl ke našega kv dr ta. Na sl h z mehkimi prehodi med svetlim in te nimi deli s ike to deluje ij jno. Algorit m za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, h ter in robusten. Manǰsi problem se p javi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko atriko kot sicer. (Slika z ogromno šum je tudi težava, vendar pa nismo zainter s rani za podrobno reprodukcijo.) Pr poceni kamerah pa lahko ko binacija nekakov stnega zoom objektiv n neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re- produkcijo grafič ih podrob ost . Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje upor blj jo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je in digit lizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki g ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — age 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije a originalni liki (več nom nezanimivi del), se zadovoljili s približk nekate h drug h p datkov n origin la ne moremo več nat nčno eko struira . Na t pič i slik i a nti irana atrik mn go ničel, predvsem v desnem spodnjem de u. Zgoraj omenj n m trika Q obi- čajno sliko stisne za f k or približno 7. Matrik , v teri veči a elementov ničelni , preostali pa nimajo poseb e struk ure, ecem raz s n atrika. Kvantizi ana m trika je orej pravil m zprˇ a. V fotoapar u z velikim se z rjem (APS-C ipd.) nastav tev na fino (an- gleško fi e) da kva tizac jsko matriko z bistveno manǰsimi ele enti, v likosti recimo od 1 do 6. To pomeni žj kompresijo, ekako za fa 2. Pr malih tipalih z diago alo pod 8 mm b kvantizacijska matrika v ˇi u fine imela eleme te reci o od 1 do 15, saj ustrezne op ke ob čajno n majo z lo dobre ločljivosti. Pri dek diranju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi eleme ti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr nsformacij k DCT. Dobim pri- bližek prvotne slike n šega k drata. Na slik z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajn . Algoritem za JPEG sti ka- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi pr blem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot s tr va, krzno. Bolǰse kamer tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kva - tizacijsko matriko kot sice . (Slika z ogr mno šuma j tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno eprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne akovo t eg zoom objektiva in prilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plund o. JPEG tu i i ajbolǰsi za e- produkcijo gr fičnih podrobnosti. Za ma ǰse risbe i grafik p ofesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stis anje v različnih kakovostih. Zelo d ber za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinom s to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezn in j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pr vilo treh i i “Legisa-vesti” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informa i e na originalni sl ki (večin ma nezan ivi el), se zad voljili s p bližki nekaterih drugih p da k v n rigi ala ne or o v c n a čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizi a m trika mn go nič l, pr dvsem v desnem s odnjem delu. Zgoraj omenjena atri Q obi- čajno sliko t sne fak or pr b iž 7. Matr ki, v ka ri je v či a e ementov ičelnih, p ostali pa n majo po ebne strukture, čem a prš a m tri a. Kva tizir na matrika je torej p ilom razpršena. V f to pa atu z veliki s n rjem (APS-C pd.) avitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰs i el menti, velikosti recimo d 1 do 6. To pome nižjo kompresij , e ako z f ktor 2. Pri malih tipal h z di gon l pod 8 m bo kvantiz cijs matrika v načinu fine imela element recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običaj o nimaj zelo dobre ločljivosti. Pri de odiranju pomnož o matriko nazaj z istoležn mi lementi van- tizacijske matrike in opravim i verzno tra sform cij k DCT. Do imo pri- bližek prvotne l ke ašega kvadr ta. N l kah z mehk mi pr odi med svetl mi in temn mi deli slike to del je sijajno. Algoritem za JPEG is a- n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šum j udi tež va, vendar pa tu nismo zainteresirani z po r b o re rodukcijo.) Pri oceni ka rah p lahko kombi cija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilago ljivega tiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi i najbolǰsi za r - produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike prof i n lci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zda še p tentirani format MP3. Om goča tiskanj v različnih ak vostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e fu kcij »p točka «. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred fu kcij polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 73 izre , ki ga ni težko dok z ti: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo jena Fou ierova transformi- ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 za računanj četrte k liči e d = cba iz razmerja a : b = c : d ima po avtorjevih besedah številne praktične uporabe, zavzema pa vmesni položaj med numerič o specifičnostjo ritmetike in abstrakcijo ter generalizacijo algebre. To pravilo najprej spoznamo v odlomku Wardhaugha Thomsona iz 1771, ki v zvezi z njim niza razna opažanja, kot npr. da je produkt skrajnih členov sorazmerja enak produktu notranjih členov: ad = bc, nato pa je opevano še v 40 verzih izpod peresa Nathana Withyja iz leta 1792: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezani ivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne more o več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravilo a razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorje (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo ko presijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kva tizacijska m trik v načinu fi e imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo atriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobi o pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamer h pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodl vega stiskanja travnik spremeni v z leno plundr . JPEG tudi i bolǰsi z r - produkcijo grafič ih podrob osti. Za manǰs risbe in gr fik profesion lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. V orčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 The Golden rule has always been/ composed of numbers three. /these stated right will find a fourth,/shall in proportion be . . . by it ten thousand things are done/ ten thousand different ways,/ and he that learns it perfectly/ will merit fame and praise. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — p ge 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli s o d l inf r ac je a o ig nalni sliki ( eč no a ne nimivi del), se zadovoljili s p ibližki e aterih rugih p datk v in origi l e or mo več natancn rekonstruirati. N tipični slik ima kvantizi a matrika mnogo ničel, predvs m v desnem spodnj m de u. Zg r omenj mat ika Q obi- čajno sliko stisne za fa tor približno 7. Matriki, v kater je veči a elementov n čelnih, preost l a nim j posebn s ruktu e, rečemo razprše a matrika. Kvantizirana matrika je torej p aviloma razprše a. V fotoaparatu z velikim se zorjem (APS-C ipd.) astavitev na fin (an- gleško fine) da kv ntizacijsk matriko z bistveno manǰsimi elementi, v likosti ecimo d 1 do 6. T po eni ižjo kompresijo, nekako za f k or 2. Pri malih tipalih z diagon lo p d 8 m bo kva tiz cijsk matrika v č u fine imela lement r ci od 1 do 15, saj ustre e opti e b č jn nim zel dobre l čljivosti. Pri dekodi nju m ožimo m triko nazaj z istolež i i elementi kv n- tizacijske matri e in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike t del je sijajno. Algoritem za JPEG sti ka- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. B lǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zain eresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lah o kombinacija nekakovostnega zoom objektiva i neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dr . JPEG udi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih po robn sti. Za anǰse risbe in grafike profesio lci raje uporabljajo f rma PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vred osti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 V knji i najdemo tudi odlomke iz s avnih del, kot je npr. Newton for the l dies Fra cesca Algarottija iz leta 1739: i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z imiv sti vrgli smo del i form cije na rigi al sliki (vec no a nezanimivi del), se za voljil s p ibližki nekate ih drugih pod tk v in origin l ne more več nat nč o rekonstrui ti. Na tipič i sliki ima kvant zirana matrika mnogo iče , edv m v desn m s odnjem delu. Zgoraj ome jena matrik Q bi- čaj o sliko stisn za faktor pr bližno 7. Matr k , v kateri je večina elementov n čel ih, pre stal pa imajo po ebne trukture, reč m razpršena matrika. Kva tizir a ma rika je t rej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veli se z rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko atriko z bistveno manǰsi i lementi, velikosti recim od 1 do 6. T p meni ižj kompresijo, nek ko za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 bo k antiz cijska matrika v nacinu fine imela ele ente rec mo od 1 do 15, saj ust z e optike obi ajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P d kodir n u pomn žimo atriko nazaj z istoležnimi lem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi i te nimi deli slik to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsk ezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsk matriko k t sic r. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podr bno repr dukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ombinacija ne akov stnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travni spremeni el no plundro. JPEG tudi ni aj olǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafik profesio lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štude ti na izpitih rǐse o grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Ven ar pa je ogoče velik r zred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], jer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Sir Isaac Newton, sem nada- ljeval, j osnov l svo o shemo v geometriji, ki jo lahko imenujemo jegova domovina. Najprej je pokazal, da če telo v gibanju privlači točka, bodisi premična bodisi negibna, bo opis lo okrog te točke enake ploščine v enakih časih, in v splošnem, da bodo ploščine sorazmerne časom; in nasprotno, če telo opǐse okrog premične ali negibne točke ploščine sorazmerne čas m, ga bo privlačila ta točka. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — p e 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacije na riginal i sliki (več nom ez nimivi del), se zadovoljili s približki nekate ih drugih podatk v in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem sp dnje delu. Zgora menjena matri a Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kate je večina ele entov ničelnih, preostali pa imajo posebne strukture, reče o razpršena matrika. Kvantizirana atrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsk matri z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pome i nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. P i malih tip lih z diagonal p d 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine i ela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne o tike običajno nimajo z lo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pom ožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti kva - tizacijske matrike in o ravimo inverz o transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in tem imi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot s tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podro no reprodukcij .) Pri poceni kam a pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in eprilag dljiv ga stiska ja travnik sprem ni v zel no plund o. JPEG tudi ni n jbolǰsi za e- produkcijo grafičnih p drobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo form t PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 O zgodovin diferencialnega računa in Newtonovih odkritjih je izredno zani ivo in filozofsko poglobljeno pisal tudi njegov navdušeni zagovornik 1To presenetljivo slabšalno poimenovanje ulomkov z drugačnimi, nedesetǐskimi ime- novalci naj bi bralce odvrnilo od njihove uporabe? Samo ugibamo lahko, kaj bi na to i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — pa e 70 — #3 i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacij na orig nalni sliki (v činoma nezanimivi del), se zadovoljili pribliˇki ekaterih rugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonst uirati. Na tipični slik ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvs m v d sne spodnjem delu. Zgoraj menjena matrika Q obi- čajno sliko tisne za fakt r približno 7. Matri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimaj p sebn strukture, reče o razpršen matrika. Kvantizirana atr ka je t rej pravilom razp š a. V fotoa ratu z velikim senzorj m (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijs o matriko bistveno m nǰsimi eleme ti, vel kost recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompre ijo, nekako z faktor 2. P i m lih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, aj ustrezne ptike obič j nimajo z lo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožim matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in pr vimo inverz tr sformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne sli e našega kvadrata. Na slikah z ehkimi pr hodi med svetlimi in temnimi deli slik to deluje sijajn . Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko n zahtev , hiter in robusten. Manǰsi pr l m se pojavi pri slikah z ogromno podrobno tmi, kot so tra a, rzno. Bolǰse kamere ko sliko prepoznajo in bist eno ma j stisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijsko m triko kot sic r. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno lundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 cenzuriranje imenovalcev i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i Z nimivosti vrg i smo del i formacije na rigi alni sliki (večino a n zanimivi el), se zadovolj li s pribl ž i nekat rih drugih p datkov i ginala n moremo več natančn re nstruirati. Na pični sliki ima kvan zi ana atrika mnogo n cel, pr dvsem v esnem spodnjem delu. Zg r j omenjena ma rika Q obi- čaj o slik s isne za faktor približn 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, pre stali a nimajo p sebne strukture, rečemo r zpršena matrik . Kvan izi ana ma rika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) astavite na fino (an- gleško fine) a kvantizacijsko matri o z bistveno manǰs mi leme ti, velikosti recimo od 1 do 6. To meni iž komp esijo, nek k za f ktor 2. Pr ma ih tipalih z diagonal pod 8 mm bo v ntiz cijs matrika v načinu fine i la elemente reci o od 1 do 15, s j ustrezne optike ob čajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P i dek diran u pom ži o ma riko n z j z ist ležnimi elementi kvan- t zacijske matr ke in op avimo i verzno transformacij k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne sli e naš ga kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetli i in tem imi deli slike t deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je acunsko nezahteven, hi r in rob sten. Manǰsi roblem se poj i pri sli h z og mno podrobn stmi, ko so trava, k zno. Bolǰse k mere ako sliko prepoznajo in bistve o manj stisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijs m trik kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresi ani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija nekak vostnega oom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spr meni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- p odukcijo grafič ih podrobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, z zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiska je v različn kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tu i pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N kateri študenti na izpitih rǐsejo grafe f n ci »po t čkah«. Večinoma se to n obnese. Vendar pa je mogoč velik razred fu kcij pop lnoma rekonstru- irati iz njihov h vrednos i na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, i ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njen Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. P tem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 r kli stari Egipčani, ki so vse ulomke, razen 2 3 , izražali kot vsote ulomkov 1 n , torej so v bistvu i “Legi a-v sti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimi osti vrgli smo del inform ci e na originalni sliki (večinoma n zanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo v č natančno rekonstruirati N tipični liki ima kvantizirana matrika nogo ničel, predvse v desne spo njem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika. Kvantizirana matrika je torej praviloma raz šena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavit n fi o (an- glesko fi e) da kvantiz sko matrik z bistveno manǰsi i le enti, v ikosti recimo od 1 do 6. To p meni nižj kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 b k antiz cijska matrik v nači u fine imela elemente ecimo od 1 d 15, saj ustrezne optike obi ajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravi o in e zno transformacijo k DCT. D imo pri- bliž k prvotne slike našega vadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰs kamere t ko sliko prepoznajo in bis veno anj s is ejo, se prav uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tud težava, vendar pa tu nismo za teresirani za podrobno reprodu cijo.) Pri poce i k erah pa lahko kombinacija n kakov stnega z om objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsej graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na disk etni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 cenzurirali števc i i “L g -vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — age 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije n orig naln sliki (večinom n zanimivi d l), se zadovoljil s približ i ekate ih d ugih podatkov in origi ala ne remo več nata čn r kon truirati. Na t pičn sliki im kvantizirana m trika mnogo nič l, predvs m v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi- ajn liko stisne za faktor p ibližno 7. atri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo p sebne struktur , rečemo razpršena m trika. Kva tizirana m trika j torej praviloma razpršen . V fot paratu z vel kim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fi o (an- gl ško fi e) d kv ntizacijsko atrik z bistveno manǰsi i elementi, velikosti reci o o 1 do 6. To p meni niˇjo komp sijo, nek ko za faktor 2. Pr malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijs a trik v načinu fine i ela elemente recimo od do 15, aj ustrezne optike običaj o nimajo zelo dobre l čljivosti. Pri ekodir nju po n žimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske atrike in opravi o i verzno transf rmacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotne slike našega kv dr . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko n zahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogr mno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo n bistveno manj stisn , se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gro no šuma je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podr bno reprodukcijo.) Pri poc ni k merah pa l hko ombi acija ekakov stnega z om objektiva i neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š pate tirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je in digitalizacija Nek eri štud nti na izp tih ǐsej grafe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- rati iz njihovih vrednosti na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 ( 017) 2 , različ e od 1. Zgodovina se ponavlja. 160 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4