i
i
“982-Stanic-Dvajset” — 2010/6/16 — 12:25 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 3
Strani 129–131
Samo Stanič:
DVAJSET TISOČ DECIMALK ŠTEVILA π
Ključne besede: matematika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/982-Stanic.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
129
3.141592653589793238462643383279502884197169
39937510582097494459230781640628620889986280
34825342117067982148086513282306647093844609
55058223172535940812848111745502841027019385
21105559644622948954930381964428810975665933
44612847564823378678311652712019091456485669
23460348610454326648213393607260249141273724
58700660631558881748815209209628292540917153
64367892590360011330530548820466521384146951
94151160094330572703657595919530921861173819
32611793105118548074462379962749567351885752
77248912279381830119491298336733624406566430
860213949463 3702277053
92171762931 51320005681
27145263560 7857 600917363717872
14684409012249534 3710507922796892
58923542019956112 6403441815981362
9774771309960518 9983729780499510
5973173281609631 45534690830264252
230825334468503 10100031378387528
865875332008381 914730359825349042
875546873115956 875937519577818577
80553217122680 661119590921642019
89380952572010 8659361533818277968
2303019520 7 62259941389124972
1775283479 41506995950829533
11686172785 0750983 463746493931925506
04009277016711390098488240012858361603563707
66010471018194295559619894676783744944825537
9774726847104D475344646208046684259069491293
31367702898915210475216205696602405803815019
35112533824330035587640247496473263914199272
60426992279678235478163600934172164121992458
63150030286182974555706749838505494588586926
99569092721079750930295532116534498720275559
60236480665499119881834797753566369807426542
52786255181841757467289097777279380000816470
60016145249192173217214772350141441973568548
16136115735255213347574184944684385233239073
/"" -'-11)" -'1/"11-' 1C I" I"",
DVAJSEf TISOČ DECIMALK. ŠTEVILA PI
Krog je ena najpogostejših geometrijskih oblik v naravi in že stari Egipčani
so opazili, da obstaja med polmerom in površino kroga povezava. Antični
misleci so pokazali, da je ploš čina sorazmerna skvadratom polmera,
sorazmernostni koeficient pa danes poznamo kot 7r. Določanja te
konstante se je prvi sistematično lotil Arhimed (225 pr.n.št.) . Z izračunom
ploščine krogu včrtanega in očrtanega 96 - kotnika je določil zgornjo in
spodnjo mejo intervala, na katerem leži t: Njegova metoda je ostala v
uporabi naslednjih 1800 let, zgornja meja 22/7 pa je še danes uporabljan
približek. Največjo natančnost je z njo dosegel Ludolph Van Ceulen, ki je
leta 1610 z uporabo 262 - kotnikov uspel izračunati 71'" na 35 mest natančno;
nekateri viri navajajo, da je po tem zaradi izčrpanosti umrl. Odkritje
Jamesa Gregorya leta 1671 je omogočilo mnogo večjo natančnost. Skoraj
vsi postopki za računanje 71'" do leta 1983 temeljijo na njegovi potenčni vrsti
za arkus tangens (inverzna funkcija tangensu) :
x 3 x 5 x 7
arctgx =X -3 +:5 -"7 +... (1)
Za vsak x se lahko z izračunom ustrezno mnogo členov vrste dobimo
arkus tangensx na željeno stevilo decimalk natančno. Naš cilj je izračunati
71'", torej bomo izbrali tak x , katerega arkus tangens bo mnogokratnik 71'" .
Poznana je zveza arctg 1 = ~; torej lahko zapišemo:
71'" 1 1 1"4 =1 - 3 + :5 -"7 + ... Leibnizova formula (2)
Težava je v tem, da moramo pri uporabi vrste (2) izračunati izredno
veliko členov za vsako naslednje decirnalno mesto: vrsta konvergira zelo
počasi. Z uporabo raznih matematičnih trikov so matematiki za računanje
71'" izpeljali formule, ki vsebujejo vsote in razlike arkus tangensov števil dosti
manjših od 1. Tako vrste za vsak posamezen arkus tangens konvergirajo
dosti hitreje in enako natančnost dosežemo z izračunom bistveno manj
členov. Čim hitreje konvergira vrsta, tem hitrejši bo tudi izračun . Nekatere
izmed bolj znanih formul so:
71'" 1 3
- = 5 arctg - + 2 arctg - (3)
4 7 79
po kateri je Jurij Vega leta 1794 izračunal 71'" na 126 mest natančno;
71'" 1 1
- = 4 arctg - - arctg - John Machin 1.1706 (4)
4 5 239
131
'Tr 1 1 1"4 = 8 arctg 10 - arctg 239 - 4 arctg 515 Klingstierna (5)
'Tr 1 . 1 1"4 = 12 arctg 18 + 8 arctg 57 - 5 arctg 239 Gauss (6)
Hitrost izračuna najlepše prikaže natančnost rezultata glede na število
izračunanih členov:
II Leibnizova formula
1 4.00000
2 2.66666
3 3.46666
4 2.89523
5 3.33968
10 3.04138
100 3.13593
Machinova formula
3.1832635
3.1405970
3.1416210
3.1415917
3.1415926
Po teh formulah z osebnim računalnikom v relativno kratkem času
dobimo približek Jr natančen na nekaj 1000 decimalk. Objavljenih 20.000
mest je rezultat enournega računanja na računalniku VAX 8650. Rezultat
je bil preverjen tako, da je bil izračunan po treh različnih formulah (4,5 in
6). Rezultati'se ujemajo v 19.995 mestih. Na žalost se kmalu pokažejo tudi
omejitve te metode. Čas računanja se veča skvadratom decimalnih mest,
tako da je metoda uporabna le do nekaj 100.000 mest, potem pa se čas
računanja poveča preko vsake smiselne meje. Šele po letu 1983 so odkrili
nove postopke, ki pa so dosti bolj zapleteni. Z njihovo pomočjo je letos
profesor Yasuma Kaneda s Tokijske univerze na superračunalniku NEC
SX - 2 izračunal 536.870.912 (229) decimalnih mest 'Tr, kar je najnovejši
dosežek na tem področju .
Literatura :
[1] Ivan Vidav, Višja matematika 1, DMFA SRS, Ljubljana (1987) 399
[2] Tomaž Pisanski, Razmerje med polmerom iII obsegom kroga,
Obzornik za matematiko in fiziko 31 (1984) 44 - 48
[3] J urg Nievergelt, Computer approaches to mathematical
problems, Prentice Hall, Englewood Cliffs (1974) 198 - 202
Samo Stallič