       
P 49 (2021/2022) 2 19
Astronomsko tekmovanje
petih dežel 2021
V K̌̌
Kratek uvodnik
Med 27. in 29. avgustom 2021 je v Baji na Madžar-
skem potekalo tekmovanje petih dežel v znanju
astronomije, ki je nekakšna pripravljalnica za Medna-
rodno olimpijado iz astronomije in astrofizike. Naši
tekmovalci so se odlično odrezali in domov prine-
sli bogat šopek medalj. Simon Bukovšek je zasedel
3. mesto in prejel zlato medaljo, srebrno medaljo
so prejeli Urban Razpotnik, Peter Andolšek in Tian
Strmšek, Vito Levstik je prejel bronasto medaljo,
Miha Brvar pa pohvalo; slovensko ekipo je zasto-
pala tudi Marija Judež. Ekipo so vodili Dunja Fabjan,
Andrej Guštin in Krištof Skok.
Sam se tekmovanja zaradi drugih obveznosti ni-
sem mogel udeležiti, kljub vsemu pa sem se odločil
v prispevku predstaviti rešene naloge teoretičnega
dela tekmovanja, s katerimi so se tekmovalci spopa-
dali tri ure. Za razumevanje nalog in tudi rešitev
potrebno poglobljeno poznavanje ter razumevanje
osnov astronomije in astrofizike.
Bralce in bralke vabim, da poskusijo astronomske
orehe najprej streti sami, saj samostojno reševanje
prinese mnogo več užitkov in zadovoljstva kot zgolj
pasivno prebiranje rešitev.
1. naloga. Povprečen čas med trki galaksij v jati
galaksij
Jata galaksij v Berenikinih kodrih obsega 1000
galaksij znotraj krogle s polmerom 1,5 Mpc. Naj
bo srednji presek galaksije 10´3 Mpc2. Disper-
zija hitrosti galaksij v jati je 880 km{s. Izraču-
naj povprečen čas med trki galaksij v jati.
SLIKA 1.
Slovenska astronomska ekipa z osvojenimi odlǐcji (Foto: Andrej
Guštin)
Podatki: N “ 1000, R “ 1,5 Mpc, Σ “ 10´3 Mpc2,
σ “ 880 km{s
Za izračun povprečnega časa med trki bomo naj-
prej določili povprečno oddaljenost med galaksijami
v jati. Z drugimi besedami, izračunali bomo srednjo
prosto pot l. Označimo z n “ NV številčno gostoto
galaksij v jati. Razvijmo enačbo za srednjo prosto
pot:
l “ 1
nΣ
“ V
NΣ
“ 4πR
3
3NΣ
,
kjer smo uporabili enačbo za prostornino krogle
V “ 43πR3.
Povprečen čas med trki preprosto izračunamo kot
t “ l
σ
“ 4πR
3
3NΣσ
“ 1,57 ¨ 1010 let.
       
P 49 (2021/2022) 220
2. naloga. Svetlost in izsev sistema treh zvezd
Sistem treh zvezd se nahaja na razdalji 150 pc
od Sonca. Na Zemlji izgleda kot ena zvezda z
navidezno bolometrično magnitudo 8,00. Izsev
prve zvezde je 4,54 L@, navidezna bolometrična
magnituda druge zvezde pa je 9,41. Izračunaj
navidezno in absolutno magnitudo ter izsev tre-
tje zvezde.
Podatki: r “ 150 pc, m “ 8,00, L1 “ 4,54 L@, m2 “
9,41
Absolutno magnitudo druge zvezde izračunamo
kot
M2 “ m2 ` 5 ´ 5 log r “ 3,53.
Izsev druge zvezde izračunamo iz Pogsovega za-
kona:
L2 “ 100,4pM@´M2qL@ “ 3L@,
kjer smo upoštevali, da je absolutna magnituda
Sonca M@ “ 4,83.
Izsev tretje zvezde prav tako izpeljemo iz Pogso-
novega zakona:
m2 ´m “ 2,5 log
ˆ
L1 ` L2 ` L3
L2
˙
L3 “
ˆ
100,4pm2´mq ´ L1
L2
´ 1
˙
L2
6 L3 “ 3,45 L@.
Za absolutno magnitudo tretje zvezde velja
M3 “ M@ ´ 2,5 log
L3
L@
“ 3,38,
za njeno navidezno magnitudo pa
m3 “ M3 ´ 5 ` 5 log r “ 9,26.
www.presek.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
3. naloga. V sistemu Jupitrovih lun
Dne 15. aprila 2020 je bil Jupiter v kvadraturi.
Takrat smo z Zemlje videli njegovo luno Kalisto
kot zvezdo z navideznim sijem `6,467. Pri re-
ševanju naloge predpostavi, da je faza Kalista
za opazovalca na Zemlji 100 %.
1. Izračunaj največjo kotno velikost Kalista
in navidezno magnitudo, ko je najsvetlejši,
za opazovalca, ki stoji na površju lune
Evropa.
Srednja premera Kalista in Evrope sta za-
poredoma dC “ 4806 km in dE “ 3130 km.
Veliki polosi in ekscentričnosti orbit
Kalista in Evrope so zaporedoma
aC “ 1,883 ¨ 106 km, eC “ 0,007 in aE “
6,7108 ¨ 105 km, eE “ 0,01. Srednja odda-
ljenost Jupitra od Sonca je 5,204 ae. Pred-
postavi, da sta Zemljina in Jupitrova orbita
krožni in da je oddaljenost Kalista od Ze-
mlje enaka oddaljenosti Jupitra v trenutku
opazovanja.
2. Ali je polni Kalisto na nebu lune Evropa ve-
čji ali manjši kot polna Luna na Zemljinem
nebu?
Podatki: m1 “ `6,467, dC “ 4806 km, dE “
3130 km, aC “ 1,883 ¨ 106 km, eC “ 0,007, aE “
6,7108 ¨ 105 km, eE “ 0,01, aJ “ 5,204 ae
1. Najprej moramo izračunati oddaljenost Jupitra
v kvadraturi. Takrat je kot Jupiter-Zemlja-Son-
ce pravi. Z dobro skico (slika 1) ugotovimo, da
za izračun zadostuje Pitagorov izrek, pri čemer
upoštevamo, da je srednja oddaljenost Zemlje
od Sonca po definiciji aZ “ 1 ae, kar ustreza
približno 1,496 ¨ 1011 m. Imamo torej
r1C “ rJ´Z “
b
a2J ´ a2Z “ 7,640 ¨ 1011 m.
Da bi dobili kotno navidezno velikost Kalista
za opazovalca na Evropi, moramo določiti naj-
manjšo možno razdaljo med površjem Evrope
in Kalistom r2C . Upoštevamo, da sta si Evropa
in Kalisto najbližje, ko je Kalisto v perijoviju,
       
P 49 (2021/2022) 2 21
SLIKA 2.
Jupiter v kvadraturi (skica ni v merilu).
Evropa pa v apojoviju. Perijovijsko razdaljo Ka-
lista izrazimo kot rC,peri “ p1´eCq aC , apojovij-
sko razdaljo Evrope pa kot rE,apo “ p1 ` eEq aE .
Hkrati pa pri izračunu r2C upoštevamo še pol-
mer Evrope rE “ dE2 . Sledi
r2C “ rC,peri ´ rE,apo ´ rE “ p1 ´ eCq aC´
p1 ` eEq aE ´
dE
2
6 r2C “ 1,191 ¨ 109 m.
Zdaj, ko poznamo dve razdalji in podatek o
magnitudi Kalista za eno od njiju, nam ostane
le še preračunati magnitudo Kalista za opazo-
valca na Evropi m2, seveda s Pogsonovo defini-
cijo magnitud:
m2 “ m1 ´ 2,5 log
j1
j2
“ m1 ´ 2,5 log
r 22C
r 21C
“ m1 ` 5 log
r1C
r2C
6 m2 “ ´7,57.
2. Ker je premer Kalista v primerjavi z njegovo
oddaljenostjo od površja Evrope relativno maj-
hen, lahko njegovo kotno velikost izračunamo
kar kot
ϕ « dC
r2C
“ 0,2313° “ 131532.
Ker je kotna velikost polne Lune na našem nebu
približno 0,5°, takoj vidimo, da je polni Kali-
sto na nebu Evrope navidezno manjši od polne
Lune na našem nebu.
4. naloga. Zvezdne poti po Galaksiji
Sonce pripada tankemu disku naše Galaksije. Gi-
banje takih zvezd okoli središča Galaksije na-
vadno približno opišemo s tremi periodičnimi
gibanji: krožnim gibanjem okoli Galaktične rav-
nine po krožnici s polmerom Rm, harmoničnim
nihanjem v radialni smeri in harmoničnim niha-
njem v smeri pravokotno na Galaktično ravnino.
Ker zvezda ni vedno v isti ravnini, se vse kom-
ponente njene vrtilne količine ne ohranjajo. Pro-
jekcija vrtilne količine na os z (pravokotnica na
Galaktično ravnino) je edina, ki se ohranja.
Dan je tanek disk zvezd, o katerem veš na-
slednje: specifična vrtilna količina (vrtilna ko-
ličina, preračunana na enoto mase) je |hz| “
1938 kpc km{s (količina, ki se ohranja), na naj-
večji oddaljenosti od osi z, označimo jo Ra, je
komponenta hitrosti |vp|pRaq “ 199,8 km{s
(v2 “ v2r ` v2t ` v2z “ v2p ` v2z ), Rm “ 8,8 kpc,
komponenta hitrosti v smeri z v trenutku, ko
zvezda prečka Galaktično ravnino |vz|p0q “
7 km{s, največja oddaljenost od Galaktične rav-
nine |z|max “ 100 pc, hitrost kroženja na odda-
ljenosti Rm je ucpRmq “ 220 km{s, krožna fre-
kvenca harmoničnega nihanja v radialni smeri
κppRmq in kotna hitrost kroženja pri R “ Rm,
oznaka ωcpRmq, sta povezani z enačbo
κppRmq “
?
2ωcpRmq.
Določi amplitudo a harmoničnega nihanja
glede na Rm in tri periode: periodo kroženja
pri R “ Rm, Pcirc , periodo harmoničnega niha-
nja v radialni smeri PR in periodo harmoničnega
nihanja v pravokotni smeri glede na Galaktično
ravnino, Pz.
       
P 49 (2021/2022) 222
Podatki: |hz| “ 1938 kpc km{s, |vp|pRaq “
199,8 km{s, Rm “ 8,8 kpc, |vz|p0q “ 7 km{s,
|z|max “ 100 pc, ucpRmq “ 220 km{s
Na poljubni razdalji R od osi z velja |hz| “
R|vt |pRq, od koder lahko izračunamo
Ra “
|hz|
|vt |pRq
“ 9,7 kpc.
Ker je Ra največja oddaljenost, mora biti vr “ 0,
tako da velja vppRaq “ vtpRaq. Amplitudo a izraču-
namo kot
a “ Ra ´ Rm “ 0,9 kpc.
Periodo Pcirc dobimo z
Pcirc “
2π
ωc
“ 2πRm
ucpRmq
“ 2,39 ¨ 108 let.
Po podatku iz nalog je perioda PR “ Pcirc?2 “
1,69 ¨ 108 let.
Da dobimo zadnjo periodo, moramo upoštevati,
da za harmonično nihanje velja
1
2
v2z `
1
2
κ2ZZ
2 “ 1
2
κ2Z |Z|2max ,
kjer smo z Z označili odmik. Ker poznamo hitrost
|vz|p0q “ 7 km{s, v zgornji enačbi upoštevamo Z “ 0
in to hitrost. Od tod lahko izrazimo κZ , če pa upo-
števamo še, da je κZ “ 2πPZ , dobimo končni odgovor
PZ “ 8,55 ¨ 107 let.
5. naloga. Medplanetarni polet s Hohmannovim
prehodom
Hohmannov prehod orbite je eliptični prehod
med dvema koplanarnima krožnima orbitama z
radijema r1 in r2, ki zajema dva impulza (hitri
spremembi hitrosti). Prehod poteka po eliptični
prehodni oziroma Hohmannovi orbiti s perihe-
lijem na notranji krožni orbiti in afelijem na zu-
nanji krožni orbiti. Osnovna predpostavka, na
kateri temelji Hohmannov prehod, je, da na telo,
ki nas zanima, deluje gravitacija le enega telesa
(v našem primeru Sonca).
Da bi odpotovali na zunanji planet, potrebuje
plovilo hitrost, večjo od orbitalne hitrosti Ze-
mlje, zato potrebujemo pozitivno izstrelitveno
hitrost (impulz): ∆vp ą 0. Hitrost plovila na Ho-
hmannovi orbiti ob prihodu je manjša od orbi-
talne hitrosti izbranega zunanjega planeta, zato
pri drugem delu prehoda prav tako potrebuje-
mo pozitivno spremembo hitrosti: ∆va ą 0. Ho-
hmannov prehod je med drugim tudi dober mo-
del za prehod vesoljskega plovila z Zemlje na
Mars.
1. Pokaži, da je čas poleta vesoljskega plovila
po Hohmannovi orbiti z Zemlje na nek zu-
nanji planet s polmerom krožne orbite r2
enak
T “ 1
4
?
2
ˆ
1 ` r2
r1
˙3{2
,
kjer je r1 polmer Zemljine krožne orbite,
čas poleta T pa izražen v letih.
2. Naj bosta v1 in v2 zaporedoma orbitalna
hitrost Zemlje in izbranega zunanjega pla-
neta. Označimo spremembi hitrosti, ki sta
potrebni, da plovilo usmerimo na Hohman-
novo orbito oziroma ga izrinemo iz nje na
orbito izbranega planeta z ∆vp “ vp ´ v1
in ∆va “ v2 ´ va, kjer sta vp in va zapore-
doma hitrosti plovila v periheliju in afeliju
Hohmannove orbite. Pokaži, da velja
∆vp “ v1
ˆ
c
2r2
r1 ` r2
´ 1
˙
in
∆va “ v2
ˆ
1 ´
c
2r1
r1 ` r2
˙
.
3. Z drugim Keplerjevim zakonom pokaži, da
velja
h2 “ GM@ ap1 ´ e2q,
kjer je G gravitacijska konstanta,M@ masa
Sonca, h specifična vrtilna količina (vrtilna
količina na enoto mase) ter a in e zapo-
redoma velika polos in ekscentričnost Ho-
hmannove orbite.
       
P 49 (2021/2022) 2 23
4. Velika polos Marsove orbite je 1,524 ae. Iz-
računaj ekscentričnost Hohmannove orbi-
te, čas potovanja, opravljeno pot pri po-
letu plovila z Zemlje na Mars in ustrezne
dodatne hitrosti.
Namig. Če sta a in b zaporedoma velika
in mala polos elipse, lahko obseg elipse na
podlagi ugotovitve indijskega matematika
Srnivasa Ramanujana približamo z obraz-
cem
o«π
´
3pa` bq´
b
10ab`3pa2 ` b2q
¯
.
5. Kje je Mars v trenutku, ko mora plovilo
vzleteti z Zemlje? Njegovo lego podaj s ko-
tom =ZSM , kjer točke Z , S in M predsta-
vljajo zaporedoma Zemljo, Sonce in Mars.
Podatek: aM “ 1,524 ae
1. Čas poleta z Zemlje do planeta je enak polovici
obhodnega časa telesa na Hohmannovi elipsi.
Če merimo razdalje v astronomskih enotah, čas
v letih, maso pa v Sončevih masah, potem iz tre-
tjega Keplerjevega zakona sledi
T “ t0
2
“
?
a3
2
,
kjer je a velika polos Hohmannove elipse, za
katero velja a “ r1`r22 . Če to enačbo vstavimo v
prejšnjo, z nekaj preureditvami dobimo sledeč
izraz
T “ 1
4
?
2
r
3{2
1
ˆ
1 ` r2
r1
˙3{2
.
V zgoraj definiranem sistemu enot je r
3{2
1 ravno
obhodni čas Zemlje, katerega vrednost pa je ja-
sno 1. Zato velja
T “ 1
4
?
2
ˆ
1 ` r2
r1
˙3{2
.
2. Energija prehodne orbite je večja od energije
notranje orbite (a “ r1) in manjša od energije
zunanje orbite (a “ r2). Hitrosti v perigeju
in apogeju prehodne orbite lahko izrazimo iz
enačbe za ohranitev energije kot
vp “
d
GM@
ˆ
2
r1
´ 2
r1 ` r2
˙
“
c
GM@
r1
c
2r2
r1 ` r2
oziroma
va “
d
GM@
ˆ
2
r2
´ 2
r1 ` r2
˙
“
c
GM@
r2
c
2r1
r1 ` r2
.
Orbitalni hitrosti v krožnih orbitah sta
v1 “
c
GM@
r1
in v2 “
c
GM@
r2
.
Od tod lahko izrazimo potrebni spremembi hit-
rosti v perigeju in apogeju:
∆vp “ vp ´ v1 “ v1
ˆ
c
2r2
r1 ` r2
´ 1
˙
∆va “ v2 ´ va “ v2
ˆ
1 ´
c
2r1
r1 ` r2
˙
.
3. Ker je vektor hitrosti v perigeju pravokoten na
pozicijski vektor, lahko kvadrat specifične vr-
tilne količine prehodne orbite s pomočjo ugo-
tovitev v delu b) naloge izrazimo kot
h2 “ r 21v2p “ r 21
GM@
r1
2r2
r1 ` r2
“ GM@ap1 ´ e2q,
pri čemer smo upoštevali, da je a “ r1`r22 .
4. Ta del naloge od nas zahteva le delo s številč-
nima vrednostima rp “ r1 “ 1 ae in ra “ r2 “
1,524 ae. Za čas poleta dobimo TM “ 0,709 leta
“ 258,9 dni, za spremembi hitrosti ∆vp,M “
2,95 km{s in ∆va,M “ 2,65 km{s, ekscentrič-
nost Hohmannove elise pa je
eM “
ra ´ rp
ra ` rp
“ 0,208.
         
P 49 (2021/2022) 224
Pri poletu opravljena pot je enaka polovici ob-
sega elipse, ki ga lahko ocenimo iz Ramanu-
janove formule. Malo polos elipse, ki jo po-
trebujemo v izračunu, dobimo iz zveze b “
a
?
1 ´ e2. Rezultat za pot je lM “ 3,92 ae.
5. Iz tretjega Keplerjevega zakona določimo obho-
dni čas Marsa z enačbo
t2 “
b
r 32 ,
kjer je čas t2 izražen v letih, polmer r2 pa v
astronomskih enotah.
V času tega obhodnega časa naredi Mars polni
krog, opiše torej kot 2π . Med poletom po Ho-
hmannovi prehodni orbiti rdeči planet opiše
kot 2π TMt2 . Zato je kot Zemlja-Sonce-Mars v tre-
nutku izstrelitve plovila z Zemlje enak (slika 3):
α “ =ESM “ π ´ 2 ¨ TM
t2
“ π
ˆ
1 ´ 2TM
t2
˙
6 α “ 0,77 rad “ 44,4°.
SLIKA 3.
Hohmannov prehod plovila z Zemlje na Mars
ˆ ˆ ˆ
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za-
četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
14 12
7
16 17
16
7 9
17
5
17
17
17
13
̌ ̌ 
1412
7
52
1617
16
97
79
17
98
5
32
17
17
179
17
593
13
85
ˆ ˆ ˆ