i
i
“647-Kramar-naslov” — 2009/6/18 — 11:14 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 11 (1983/1984)
Številka 2
Strani 73–78
Edvard Kramar:
PITAGOREJSKE N-TERICE
Ključne besede: matematika, teorija števil, Diofantske enačbe.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/11/647-Kramar.pdf
c© 1983 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PITAGOREJSKE N-TERICE
Pitagorejsko troji co imenujemo t ro j i co narav nih števi l (X"X2 ,X3) , ki reš i -
j o e n a č b o
Bral ec gotovo ve , da se i menuj e po Pitagor i zat o, ker imamo k oli č in e x " x
2
in x 3 l ahko za dolž ine stran i c pra vokot nega tri kotni ka . Vse re š i tv e zgornje
e načbe v okvi r u nara vni h števi l dobi mo po znanih for mul ah
x , ( 1)
kje r so p , q i n K polj ubna narav na števila in p > q . Č e vzamemo K = 1, od p
in q pa eno l iho i n eno sodo štev i lo , dobi mo t ako imenovane pr imitivne p it~
gorejs ke t roj ice , to j~ t ake , pr i katerih števila x " x 2 i n x 3 nimajo s kup-
nega fakt or ja (gl ej npr. Prese k 1977(78 , s t r . 196) . Namesto t reh bi la hko
iskal i š t i r i na ravna šte vi la , ki imaj o l as t nos t , da je vsot a kvadratov prvi h
treh enaka kvadratu četrtega št evi la
Loti mo se še sp lošnejšega probl ema. Vzemimo pol jubno naravno število n ~ 3
i n i menuj mo pi t agorejsko n- t ePico nabor n narav ni h števi l (x " x 2 , •• • ,xn ),
ki re ši jo enačb o
(2)
Na ša nal oga bo naj t i kakšno pi ta gorejsko n- t er i co. Na prvi pogl ed j e vi deti,
da smo s i zas tav i l i te žko nal ogo , vendar bomo vi del i , da se da sorazmerno
lah ko najti kar precej reš i tev .
Zgornjo enačbo bomo naj pre j nekoli ko preobl i koval i . Namest o k o l i č in x " x 2 '
x 3 ' • . . , xn vpelj imo k o l ič i n e u" u2 , .• • , un _2 , V i n z t ako, da vel ja
73
( 3)
Xn = U , + U 2 + . . . + Un_2 + V + z
Vsaki n- t er i ci (X
"
X2 , . .. ,Xn ) ustreza nata nko ena n- t er i ca (U"
U2 , · .. ,un_2'
v ,z) , kaj t i brž l ahko izrazi mo nazaj nove ko li či ne s st ari mi :
v (n- 2)xn - (n-3)xn_1 - xn_2
o čeme r se ni t ežko prepriča t i . Pri t em j e treba povedat i , da kakšna od ko-
li či n u
"
u2 ' • • • , un_2 ' V in z l ahko t udi ni pozit ivno št evi lo , č e p rav so
x , ' x 2 ' • • • , xn vsa pozitivna števila. Č e sedaj zveze (3) vstavim o venačbo
(2) . ~o krajšanju dobimo
2vz = u~ + u~ + . . . + U~_2 + (n-3)z2
Namesto enač be (2) moramo torej reši ti t o en ačbo v okvi r u cel i h š tev i l . Ker
morajo biti x
"
x
2
' oo • • xn poziti vna š t evil a . se omeji mo na to. da t udi kg
ličine u
"
u
2
, .. .. un_2 , V in z vzamemo za pozitivna cela št evi la , s č imer
zaradi (3 ) zgornj o zahtev o goto vo i zpol nimo. Rešitve , ki bi jih dobili ta ko,
da bi bil a kakšna od ko l ič i n u , • u2 • • • • • un_2 • v al i z negativna ali nič,
nas ne bodo zanimale. Saj nam ne gre za to, da bi naš li prav vse rešitve .
Zgornjo enačbo l ahko pi šemo tu di v obl i ki
v = ( u~ + u ~ + . . . + U~_2 + ( n -3) z ~/(2z ) ( 4)
Vide li bomo, da l ahko dobi mo veli ko re ši tev te en ačbe . č im več j i j e n , t em
bogatej ša j e mn oži ca re šitev . Ogl ej mo si samo nekatere od možni h poti do ne
kat er i h reš itev enačbe (4) in s t em pot em do rešitev prvotne enačbe (2) .
Izber imo naj prej z = 1; tedaj imamo
74
L
v = (u" + U 2 +
, 2
+ U~ _ 2 + (n-3)) /2
i n vi dimo, da moremo ko l iči ne u, ' u
2
, . . • in u
n
_
2
izb rat i č isto ro lj ubno,
le da je vsota v oklepaj u sodo število. To pa dosežemo na pr ime r t ako. da
izberemo za u , sodo število, števi la u
2
, u
3
, o o o , u
n
_
2
pa so vsa l i ha , si -
cer pa čisto poljubna . N amre č če je n sodo število, j e u~ + . .. + U~_2 kot
vsota lihega števila l ihih št evi l tudi sama liho število, tako pa je tu di
števi lo n- 3. če pa j e n l i ho števi l o, j e u~ + ' 0 o + U~_2 sodo števi lo , kakr
šno pa je t udi št evi lo n-3. Iz zvez (3) dobimo pote m i skane n- t eri ce .
X, u , + 1
x u + 1
2 2
x u + 1
n -2 n-2
xn-, u + u +, 2 + u + (u
2 + . . . + u2 + n- 3)/ 2
n-2 1 n-2
x = x + 1
n . n- 1
če uvedemo parametre qi u
i
+ 1, za i = 1,2, o • • , n-2 , dob imo preg lednej -
še obrazce
X ,
X
2
(5)
Xn_2 = q n_ 2
Xn_, = ( q~ + q~ + . . o + q~-2 - 1)/ 2
xn = (q~ + q~ + . . o + q~- 2 + 1)/2
(q, - l ih o število, q2' . o o, qn- 2 na soda števila , ve č j a od 1)
Dobili smo n- 2 parametri čno rešitev, ker števila q" . o. , qn- 2 lahko pol j ub-
no i zbi ramo, paziti moramo le na dogovor o parnosti.
Na podoben n a č in bi l ahko odbi l i še druge rešitve, ena je na pr imer t ale :
za u, vzamemo naravno števi lo naspro tne parnosti. kot je števi lo n , za u 2 '
75
" 3 ' . . . , un_ 2 Da vzame mo števil a i ste pa rnosti , kot je n . P repr i č a j se sa m,
da j e ted aj zopet v nar avno št evil o, in ses t avi obra zce za x " . . . , xn'
Iz doblj eni h i zr azov (5) l ahko naredimo enostavnej še , vendar manj s pl ošne
reš i t ve. Ena ta ki h mož nost i je , č e i zberemo q , ~ 2k + 1, 'l z ~ q3 ~ . . . ~
~ qn-2 ~ 2k , k ~ 1, 2 , . . . , t edaj dobi mo nas le dnje pi tago rejs ke n- t er i ce
x , 2k + 1
x = X
2 3
2(n - 2 )k 2 + 2k
~ 2k
(k ~ 1 , 2 , 3, . . . )
(6)
Xn = 2(n - 2) k
2 + 2k + 1
Dobi l i smo torej enopa rame t rično družino rešitev , saj l ahko samo štev ilo k
izbiramo še pol ju bno. Z nekoliko domiš l j ije la hko zopet sam dob iš še kakšne
posebne obrazce.
Zgo rnj e rešitve smo dobil i pr i privzetku, da je " 1. Na podoben na čin do-
bi mo reš i t ve t udi za pr imere , ko post avimo " ~ 2, z ~ 3, itd .
Oglej mo si še eno zelo s pl ošno reš i tev , ki j o dobi mo tako, da postav imo v
(4): z = 2m2 in ui = 2m1"i ' za i = 1, 2, . . . , n - 2. Pri tem so m i n 1"" 1"2 '
1"3' . . . , 1"n _2 polj ubna nara vna št evi la. Za par ameter v dobimo izraz
v = r~ + r~ + . . . + r~_ 2 + (n-3)m2
katerega vre dnos t j e gotovo naravn o števi lo . Zaradi lažjega pi sanj a uvedimo
oznake Pi = 1"i + m; ,; = 1, 2, n - 2 , nakar preko zvez (3) dobimo
X , 2mp ,
76
Xn_:z 2mPn _2
2 2 2 2
x n = P , + P 2 + . . . + Pn - 2 + m
(7 )
kjer so P
"
P2 , •• • , Pn-2 in m pol j ubna naravna št evi l a , le da j e Pi ~ m+l ,
za i = 1, 2, . . . , n - l (glej, kako smo vpel ja li kol i č i n e Pi ) ' Za pitagore jske
n- t e r i ce smo to rej dobi li reš itve, v kat e r i h l ahko n - l parametrom izbiramo
še polj ubne vrednosti . č e pa upoštevamo dejstvo, da vse te količ i ne l ahko
še pomnožimo s skupnim faktorjem K, dobimo cel o n parametri čno re š i t ev, to -
rej zares bogat o množico.
Og lejmo si še nekaj posebni h pr imerov zgornjih rezu l ta tov . č e je n 3, gre
za ob i č aj ne pi t agorej s ke t roj i ce . Zanj e dobimo i z (7)
X , = 2mp,
2 2
X 2 = P - m ,
2 2
X 3 = P + m
kjer smo pisali P = p , ' Pri te m sta P i n m poljubna , le P > m. č e te zveze
pomnož i mo še s skupnim fa kt or j em K, dobimo na začetku omenjene reš i t ve (1) .
Iz (6) pa dobimo nas le dnje t roj ke:
X , = 2k + 1, x 2 = 2k
2 + 2k, x
3
= 2k2 + 2k + 1; k = 1, 2, .. .
ki so naj brž tudi že komu poznane. Iz njih dobimo na pr imer tro jke (3 ,4,5),
(5, 12, 13) , (7 ,24,25) , i td. Vendar seveda ne vseh, npr. trojk e (8 , 15 ,17) ne
dobi mo na ta n a č i n .
Vzemimo še pr imer n 4. Iz zvez (5) dobimo nas l ednj e pi t agorej ske četvorke
x , q ,
x 2 q2
(q~
2
1) / 2x
3 + q2 -
( q ~
2
1 )/2x 4 + q2 +
kj er je q , l ih o št evil o, q2 pa sodo al i obratno . Zveze (6) nam dajo reš itve,
ki jih l ahko pi šemo v obliki
x , = k
k 1 , 2, 3 , . . .
x
3
k (k + 1)
x
4
= k (k + 1) + 1
saj s t a števil i k i n k +l nasprotn e parnost i . Dob i l i smo zelo preprost obra -
77
zec , ki nam da če t vo r k e (1,2 ,2 ,3 ) , (2,3 ,6 ,7) , (3 ,4 , 12, 13) , itd. Zapiš i mo še
obrazec , ki ga dobimo iz (7)
X , 2mp
x 2 2mq
2 2 2
(p > m, q > m)
x
3
= p + q - m
2
+ q
2
+ m
2
x
4 = P
kj e r smo pisal i p = P, in q = P
2
. Za števi la p , q i n m l ahko i zbi ramo p o lj ~
bna nara vna št evil a , l e na pogoj na desni moramo paziti .
Problem i skanj a pitagorejsk i h če tvo rk l ahko tu di geometr ijsko obarvamo . Iš-
č emo t ake kvadre, ki imaj o za dol žine strani c naravna štev i la a = x " b =
= x
2
, C = x
3
' pr i kat e ri h ima t udi t e l esna di agonala cel oš t evi l sko dolži no
d = x
4
" Sic er pa tu di pri drugih geome t r i j ski h probl em i h pogost o nastopajo
i zrazi obl ike vx~ + x~ + x~ i n zl asti ses t avl ja lc i raz ni h nal og pogosto r~
di i zberej o za x " x
2
i n x
3
ta ka " ce ~a . š te v i l a , da j e t udi koren celo števi -
l o. Tak pr imer j e na pr imer v 12 + 22 + 22 •
Zapiš i mo nazadnje nekaj pitagorejsk i h če t v o r k , ki jih dobimo i z nekat erih
zgornj i h obra zcev . Zara di bol j še preg lednosti so urejene v smi s l u: x , $ x
2
: "
$ x 3 $ x 4 • Bra lec si bo sam naredil podobne t abel e za nekaj pi t agorejsk ih
pete rk , šesterk , itd.
X x 2 x 3 x 4 X X X X, , 2 3 4
1 2 2 3 2 6 9 11
1 4 8 9 6 6 7 11
2 3 6 7 3 4 12 13
2 4 4 6 2 5 14 15
4 4 7 9 • O o . o o •• • o o . oo • • o O • • • •
3 6 6 9 • • 0 • • o o . 0 •• • • • • • • • o o o o
78 Edvard Kramar