9 7 7 0 3 5, 065463
9770351665463
9770351665463
MATEMATIČNI TRENUTKI
KOLOFON
Boljše kmetovanje

•••
2
-> Kmetovanje že samo po sebi ni enostavno, zaradi zvečanih potreb po hrani pa potrebuje še bolj poglobljene analize in
se vec pomoci
tehnologije. V Kaliforniji so se zbrali matematiki, hidrologi in kmetje ter poskušali narediti nacrt, ki bi zmanjšal porabo vode, potrebne za zalivanje pridelka, tako da bi s pridelkom še vedno ustvarili do-bicek in zadostili povpraševanju potrošnikov. V ma-tematicnem modelu so združili podatke o rasti različnih rastlin in o njihovi porabi vode. Tako so ugotovili, katere rastline je potrebno izbrati, kdaj jih je najboljše saditi in katera polja je dobro pustiti nepo-sejana. Kmetje so bili zelo zadovoljni z racionalno porabo virov, matematike pa je osrecilo delo s strokovnjaki na ustreznih podrocjih.
Uporabi matematike in visoko tehnoloških pristopov pri kmetovanju pravimo precizna agrokultura. Za razliko od preteklih metod je sedaj treba zbirati veliko vec podatkov, na primer težo vsake kokoši in pišcanca v jati. Nato uporabijo modele, ki omogocijo najboljši potek kmetovanja in sproti odpravljajo raz-licne težave, ki se pojavijo med proizvodnjo. Eden od vidikov kmetovanja, ki se je zaradi novih metod izjemno izboljšal, je tudi poraba gnojil. Naprave, ki so opremljene z GPS napravami, zbirajo vzorce zemlje. Tako kmetje tocno vedo, katere predele je treba bolj pognojiti, in se s tem izognejo obicajni praksi pretiranega gnojenja. Rezultat je vec hrane, manj porabljenih gnojil in posledicno manj onesnaženja podtalnice z nitrati.
Za vec informacij si preberite prispevek Eleanor Jenkins in Kathleen Fowler z naslovom A Role for Modeling, Simulation, and Optimization in an Agricultural Water Crisis, ki je bil decembra 2014 objavljen v reviji SIAM News.
_ XXX
PRESEK 44 (2016/2017) 6
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 6
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Becan (jezikovni pregled), Mojca Cepic, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kracun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoric (odgovorni urednik), Igor Pesek (racunalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnicni urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne narocnike 19,20 eur - posamezno narocilo velja do preklica, za skupinska narocila ucencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna narocnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski racun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovšcina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proracuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domacih poljudno-znanstvenih periodicnih publikacij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1300 izvodov
© 2017 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2030
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina placana pri pošti 1102 Ljubljana.
NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV

Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje Copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
Slika na naslovnici: Olje in kis sta tekočini različnih gostot, ki se med seboj ne mešata. Ce ju nalijemo v isto posodo in močno pretresemo, nastane emulzija. Emulzija je zmes dveh nemešljivih tekočin. Notranja faza je tekočina, kije v obliki kapljic dispergirana v drugi, zunanji fazi. Zaradi površinske napetosti med obema fazama, emulzija običajno ni stabilna in fazi se čez čas ločita. Ločitev lahko preprečimo z emulgatorji. Foto: Aleš Mohorič
MATEMATIKA
Poprava popacenja
Ti (xi, yi)
Peter Leciša
Uvod
Ta clanek je nadaljevanje clanka Popacenje. Fotografski objektivi vcasih ukrivijo slike daljic, ki ne ležijo na premicah skozi središče slike. Ta napaka se imenuje popacenje in je najbolj opazna na robovih slike. Kot smo videli, lahko popačeno sliko opišemo kot transformacijo F neke virtualne idealne slike K, brez popacenja. Pri tem velja:
■	Preslikava F ohranja izhodišce O (središce naše slike), sicer pa F (T) = Ti leži na poltraku iz iz-hodišca O skozi T (slika 1).
■	Ce je 5 = |OT| razdalja tocke T od izhodišca (5 je polmer ali radij tocke T) in r = |OTi| polmer tocke F(T), oznacimo
- r = |OTi| = f(5) = f(IOT|) = 5 ((i +	,
(i)
kjer je d(0) = 0.
Funkcija 5 ^ f(5) strogo narašca.
SLIKA 1.
Popacenje tocko T preslika na tocko T1, ki leži na poltraku iz O skozi T.
Ker je 5 = Jx2 + y2, smo dobili
( f^x2 + y2) fQx2 + y2) F(x,y) = x—,	- ,y-
x2 + y2
x2 + y2
fUx2 + y2)
x2 + y2
(x,y).
(2)
Temu recemo radialno popacenje, kakršno vcasih vidimo na fotografijah. Seveda bomo privzeli, da ima funkcija d lep, »gladek« graf. Funkciji f in F sta ocitno injektivni, se pravi, preslikata razlicne tocke v razlicne tocke. Zahteva, da je d(0) = 0, pomeni, da kolicnik f(5)/5 stremi k 1, ko gre 5 proti 0. To pomeni, da preslikava F v bližini izhodišca skoraj ne premika tock in je tam prakticno identicna preslikava.
Naj bo T(x,y) in Ti (xi,yi) = F (T) = F(x,y). Na sliki 1 vidimo, da je x : 5 = xi : r, torej xi = rx/5 in podobno yi = ry /5. Torej je
(rx ry\ f(5) ■ F(x,y) = ( —,—) = ~^(x,y).
Odprava popacenja
Denimo, da poznamo funkcijo 5 ^ f(5) in (s to funkcijo) popaceno sliko L. Naj bo A tockav L z |OA| = t. Ker je 5 ^ f(5) injektivna, obstaja natanko eno število u, da je f(u) = t. Za t > 0 naj bo A' tocka, ki leži na poltraku iz O skozi A in ima polmer u. Torej je F(A') = A.
Preslikava g : t ^ u je dobro definirana in preslika zalogo vrednosti funkcije f nazaj na definicijsko obmocje. Spomnimo se, da je g inverzna preslikava k f in da lahko pišemo g = f-i. Ce je, recimo, f(i) = 1,05, je g(1,05) = f-i(i,05) = i.
Velja:
f(u) = t natanko takrat, ko je g(t) = f-i(t) = u in f(f-i(t)) = t ter f-i(f(u)) = u.
Graf za inverz f-i injektivne funkcije f dobimo tako, da graf za f prezrcalimo cez simetralo lihih kvadrantov.
Preslikava g : t ^ u je spet strogo narašcajoca. Ce
10
PRESEK 44 (2016/2017) 6
MATEMATIKA
to ne bi bilo res, bi lahko našli števili ti < t2 iz zaloge vrednosti za f, tako daje g(ti) > g(t2). Od tod sledi, ker je f strogo naraščajoča, da je f(g(ti)) = ti > f(g(t2)) = 12, kar je protislovje. Mogoče je videti, daje g(t) = t(1 + D (t)), kjer je D(0) = 0. Namreč: ker F v bližini izhodišča praktično ne premika točk, to velja tudi za inverzno preslikavo G.
Preslikava G, ki vsako točko A = F (A') preslika nazaj na točko A', popačeno sliko L na tipalu preslika na nepopačeno sliko K. Seveda je G inverzna preslikava k F in pišemo G = F-1. Točko s polmerom t preslikava G preslika na točko s polmerom g(t). Tako je G spet popačenje, ampak tokrat »dobro« po-pačenje, ki izniči vpliv originalnega popačenja F. Ce so bili robovi originalne slike L ravni, pa to ne velja več za robove slike K.
SLIKA 2.
Zeleni pravokotnik predstavlja tipalo. Rdeča krivulja je popačena slika daljice.
Na sliki 2 zeleni pravokotnik predstavlja tipalo. Imamo blazinasto popačenje F, kar pomeni (kot smo povedali v prvem članku), da je funkčija d v enačbi 1 strogo naraščajoča. Funkčija F raztegne idealno sliko K na popačeno sliko na tipalu. Relativni delež raztega je največji v vogalih slike. Poglejte si ilu-stračijo v prvem članku in v [1]. Na sliki 2 je rdeča krivulja od J do H blazinasto popačena slika neke daljiče. Inverzno popačenje G = F-1 je sodčkasto -relativno najbolj skrči prav vogale. Funkčija G nam zeleni pravokotnik preslika na črno obrobljeni sodček K na sliki 3.
SLIKA 3.
Poprava popačenja je zravnala rdečo krivuljo, a ukrivila robove originalne slike.
Množiča K je idealna slika, zato so slike ravnih črt (s fotografirane sčene) ravne. (Tudi naša rdeča krivulja se je zravnala v daljičo od J' do H'). To plačamo z dejstvom, da so robovi popravljene (idealne) slike K ukrivljeni. Ker je g (t) < t, preslikava G skrči originalno sliko.
Na sliki 2 ima zeleni pravokotnik ABCD tipala velikost 3 x 2 in f(u) = u + 0,05u3. Funkčija g = f-1 je dana, kot bomo izračunali malo kasneje, bolj zapleteno, s formulo:
g(t)
10t +
100t2 + «M +
10t
100t2 +
8000 27
Rdeča krivulja od J do H na sliki 2 je F(J'H'), kjer je J'H' rdeča daljiča od J' do H' na sliki 3. Konkretno je ta daljiča oddaljena za 0,8 od osi x.
Programi za popravljanje, kolikor vemo, poskušajo ohraniti velikost slike (v pikslih).
Za končni rezultat navadno potrebujemo pravokotno sliko. Zato smo na sliki K naredili središčni razteg W, ki je vogale našega sodčka preslikal na oglišča pravokotnika ABCD. Točka C ima polmer
5 = |OC| = ^1,52 + 1 = V32Š. Vemo, daje |OC'| = g(s) = g(^J3,25), kjer je C' ustrezni vogal slike K (sodčka na sliki 2). Raztegniti moramo torej za fak-

10	PRESEK 44 (2016/2017) 6

MATEMATIKA
->
SLIKA 4.
Popravljeno sliko raztegnemo, tako da ravno pokrije tipalo.
tor m = s/g(s) = V3,25/g(V3,25), tako da dobimo črno obrobljeno sodckasto sliko W(K) = K2 na sliki 4, ki pokrije celotno tipalo. Velja W(x,y) = (mx,my). Ce odrežemo vse izven zelenega tipala, imamo na koncu pravokotno sliko brez popacenja. Pri tem smo se odpovedali nekaterim delom originalne slike L v bližini robov.
V	praksi je stvar bolj zapletena, ker je slika sestavljena iz končnega števila pikslov. Naj bo tocka T središče piksla na popravljeni sliki. Ta tocka je enaka W(G(V)) za neko tocko V na originalni sliki. Prva ideja je, da jakosti rdece, zelene in modre barve na tistem pikslu originalne slike, ki vsebuje V , prenesemo na piksel, v katerem leži tocka T. To je gotovo idealna in neproblematična rešitev v (malo verjetnem) primeru, daje tocka V središce piksla na originalni sliki. Kaj pa ce V leži na meji med dvema piksloma? Zato programi za transformacijo slike delujejo drugace. (Angleško se postopku rece resampling, to je ponovno vzorčenje, ker moramo trans-formirano sliko spet kar se da dobro predstaviti kot množico pikslov.) Pogledajo, recimo, vrednosti v štirih pikslih, katerih središca so najbližje tocki V. Nato naredijo nekakšno uteženo povprečje teh vrednosti, tako da bolj upoštevajo vrednosti v tistih od štirih pikslov, katerih središca so bliže tocki V. Temu se rece interpolacija. O tem bi podrobneje govorili kdaj drugic.
V	bližini izhodišca preslikava G deluje približno kot identiteta, preslikava W pa je središcni razteg za
faktor m. Naša korekcija popacenja torej v bližini izhodišca deluje približno kot središcni razteg s faktorjem m > 1 in tako tam dejansko raztegne sliko. Ko sliko raztegnemo, pa se gostota informacij na njej zmanjša.
Pri popravi popacenja se iz vseh teh razlogov kakovost slike nekoliko poslabša.
Poprava enostavnega popacenja in Cardanove formule
Poglejmo si enostavno popačenje. Po prvem clanku to pomeni:
f(s) = s(1 + as2) = s + as3.
(3)
Za a > 0 imamo blazinasto popacenje, za a < 0 pa sodckasto.
Potem pri danem t iz f(u) = t dobimo kubicno enacbo
u + au = t
ali
3 1 t _
u + — u--= 0.
aa
(4)
Oglejmo si torej kubicno enacbo y3 + py + q = 0. Pišimo
■	y = z + w
in to vstavimo v enacbo 4, pa dobimo
■	z3 + w3 + (3zw + p)(z + w) + q = 0.
Oklepaj postavimo enak 0, se pravi zw = - (p/3), da se stvari poenostavijo. Kot bomo videli, si to lahko privošcimo. Potem je
33 z3 w3
q.
Od tod dobimo sistem enacb za z3 in w3: ■z3 + w3 = -q in z3w3 = -p3/27. Od tod je (x - z3)(x - w3) = x2 + qx - p3/27
10
PRESEK 44 (2016/2017) 6
MATEMATIKA
Tako sta z3 in w3 korena kvadratne enačbe x2 + kjer je
qx - p3/27 = 0. Torej
z3
+v (t)2+P7 'W3=

2) 27"
(5)
v3 = 10x + , 100x2 +
8000 27 '
w3 = 10x - , 100x2 +
Od tod z,w dobimo s kubičnim korenom. Problem pa nastopi, če je pod kvadratnim korenom v 5 negativno število. Potem sta z3 in w3 kompleksni števili. Najti kubični koren iz kompleksnega števila pa je že bolj zapletena zgodba.
Formuli 5 sta Cardanovi formuli. Odkriti sta bili v renesančni Italiji in imata zelo zanimivo zgodovino. Enačbo x3 + px = h je prvi rešil Scipione del Ferro, profesor na bolonjski univerzi, nekje med 1510 in 1515, vendar rezultata ni objavil. Takrat so namreč potekali nekakšni dvoboji med matematiki, ki so drug drugemu zastavljali probleme. Poraže-neč je pogosto izgubil službo. Del Ferro je imel za tak primer v rokavu aduta: rešitev enačbe, ki je bila za druge pretrd oreh. Leta 1535 je beneški matematik in inženir Niččolo Fontana Tartaglia neodvisno prišel do rešitve. Girolamo Cardano je iz Tarta-glie izvlekel njegovo metodo, z obljubo, da tega ne bo razširjal. Cardano je na podlagi zaupanega šel naprej od Tartaglie: obdelal je vse možne primere ter ugotovil, da ima kubična enačba tri korene, ki so lahko tudi kompleksni. Cardano je dobil leta 1543 dostop do zapuščine Sčipia del Ferra. Menil je, da ga spoznanje, da je del Ferro prvi rešil enačbo, odvezuje od obljube Tartagli. V knjigi Ars Magna (Velika umetnost), izdani leta 1545, je objavil rešitev kubične enačbe in jasno priznal zasluge tako del Ferru kot Tartagli. Tartaglia je bil vseeno skrajno ogorčen in prišlo je do velikega spora, izmenjave žaljivk. Zgodba o tem, da je Tartaglia ovadil Cardana inkvizi-čiji, pa se je izkazala kot plod domišljije pisča iz 20. stoletja. Cardano je bil vsestranski in izredno ustvarjalen človek: zdravnik, izumitelj odlične kriptografske metode (Cardanova rešetka), avtor prve knjige o verjetnosti, De Ludo Aleae (O igri s kočko).
Poskusimo najti inverzno funkčijo g k strogo naraščajoči funkčiji y ^ f(y) = y + 0,05 y3. Ce je f(y) = x, je y = f-1(x) = g(x). Rešiti moramo torej enačbo y + 0,05y3 - x = 0 ali y3 + 20y - 20x = 0. V 4 je torej p = 20 in q = -20x. Tako je y = v + w,
8000 27 '
Očitno sta w3 in w negativna.
SLIKA 5.
Vijolični graf za kubični polinom f in njegov zeleni inverz sta simetrična glede na premico y = x.
Na sliki 5 si oglejmo oranžni graf za v, rdeči graf za w, zeleni graf za g. Ker sta vijolični graf za f in zeleni graf za g simetrična glede na črtkano si-metralo lihih kvadrantov, to potrjuje, da smo inverz izračunali pravilno.
Tako smo si ogledali matematična orodja, ki omogočajo popravo enostavnega sodčkastega popačenja.
Kaj pa, če na sliki vidimo bolj ali manj enostavno popačenje, a nimamo nobenih natančnih podatkov o njem? To lahko poskusimo popraviti ročno, rečimo v Photoshopu (Elements): Filter/Correčt čamera distortion/Remove distortion ali v Lightroomu, Lens čorrečtions/Manual/Distortion.
Premikamo drsnik, dokler v naravi ravne črte ob robu niso na sliki spet približno ravne. Z drsnikom v bistvu spreminjamo parameter a v enačbi 3. Na konču bomo morali sliko še obrezati.


10	PRESEK 44 (2016/2017) 6

MATEMATIKA
—^ Poprava zapletenega popačenja
V prosto dostopnem programu Gimp imamo v Filters/Distorts/Lens Distortion celo dva drsnika za popravo popacenja. Eden od njiju deluje bolj na robu, tako da lahko bolj ali manj dobro popravimo tudi rahlo zapleteno popacenje.
Plačljivi programi za obdelavo slik imajo za mnoge objektive tako imenovane profile, v katerih so tudi popravki za popacenja, ne glede na to, kako zapletena so. Zanimivo je opazovati, kako tak profil popravi popacenje. Zdi se, kot da bi se slika vbočila ali izbocila. Poprava je zelo udobna.
Profili vsebujejo tudi popravek za problem temnih vogalov - vinjetiranje. Vinjetiranje je najbolj opazno pri polno odprti zaslonki in pri širokokotnih objektivih. Jakost vinjetiranja je navadno odvisna samo od razdalje tocke od središca slike, tako da je to popraviti sorazmerno lahko. Vinjetiranje lahko odpravljamo tudi rocno. (V Gimpu je odprava vinjetiranja na istem mestu kot poprava popacenja.) Posvetlitev vogalov lahko tam ojaci šum.
SLIKA 6.
Fotografija z izrazitim popacenjem in mocnim vinjetiranjem, pri zaslonki 3.5.
Ce gre za star objektiv, lahko profil naredimo tudi sami, le da to zahteva precej truda - mnogo posnetkov tarce po tocno dolocenem protokolu. Te slike vnesemo v poseben program, ki izdela profil in ga objavi.
Fotografija 7 ima opazno popacenje in mocno vinjetiranje. Poskusili smo jo popraviti v programu
SLIKA 7.
S profilom dobimo zelo dobro popravo fotografije 7.
Lightroom z orodjem za korekcijo enostavnega popacenja, a smo bili le delno uspešni: na robu smo v najboljšem primeru dobili rahlo valovite crte. Originalno popacenje ni bilo enostavno in orodje za to delo niti ni bilo namenjeno. S profilom, ki ga je naredil fotograf-prostovoljec in dal na Adobe Lens Profile Downloader, je bila poprava popacenja neprimerno boljša, čeprav ne popolna. Bistveno zmanjšano je tudi vinjetiranje. Rezultat je na sliki 7. Poprava je odrezala nekaj malega, še najvec na levem in desnem robu.
Zrcalni in brezzrcalni sistemi
Novi zrcalno refleksni aparati imajo za nekaj deset najbolj obicajnih objektivov pri slikanju v JPEG formatu vkljucen popravek vinjetiranja.
Popravek popacenja lahko v meniju ponekod vklju-cimo sami. Razlog, da to ni vkljuceno že tovarniško je ta, da imajo ti aparati opticno iskalo, s katerim gledamo skozi objektiv. Ce vkljucimo popravek popacenja, bo fotografija vsebovala le izrez tistega, kar vidimo v iskalu. Poprava lahko vzame tudi nekaj casa, tako da se hitrost zajemanja slik lahko upo-casni. Popravki so boljši pri objektivih, ki aparatu sporocajo oddaljenost, na katero je naravnan objektiv. Funkcija 5 ^ f(s) v enacbi za popacenje 1 je namrec odvisna od razdalje med predmetno ravnino in ravnino tipala. Vkljucitev avtomaticnega popravka popacenja pri slikanju arhitekture, reprodukcijah. je
10
PRESEK 44 (2016/2017) 6
MATEMATIKA
zelo smiselna. Ce namrec JPEG sliko naknadno popravljamo ter rezultat vsakic shranimo (in s tem stisnemo), po več takih korakih kakovost začne vidno padati. Pri popravljanju originalne nestisnjene slike je padec kvalitete mnogo manjši.
Ce slikamo v »surovem« RAW formatu, ki shranjuje maksimalno količino informacij o sliki, so podatki za popravo navadno vkljuceni v RAW datoteko. Tako lahko popravke izvedemo (odkljukamo) naknadno v obdelavi z RAW konverterjem proizvajalca kamere (ali pa recimo v programu Lightroom, ki ima tako in tako profile za skoraj vse novejše objektive). Programi za obdelavo RAW slik imajo še eno veliko prednost - ohranjajo originalno datoteko in kompre-sijo v format JPEG, ki pomeni izgubo dela informacij o sliki, izvedejo šele cisto na koncu, po prej omenjenih in po fotografovih popravkih. Seveda pa RAW datoteka zavzame nekajkrat vec prostora.
Brezzrcalni aparati z izmenljivimi objektivi postajajo bolj priljubljeni. Iskalo pri teh fotoaparatih (nekateri zaradi varcevanja z denarjem in prostorom iskala niti nimajo) je elektronsko. Zato je pri njih popravek popacenja (vsaj v JPEG formatu) tovarniško vkljucen.
Še vec: ce je popravek popacenja avtomaticen, se pri konstrukciji objektivov ne trudijo zmanjšati te in druge naknadno odpravljive napake. Ker ni zrcala, je bajonet in s tem zadnji del objektiva lahko bliže tipalu. To pomeni tanjše aparate in vecjo svobodo pri konstrukciji objektivov. Nekateri brezzrcalni sistemi so tudi sicer konstruirani povsem na novo. Rezultat so manjši, lažji in vcasih celo ostrejši objektivi z manj odsevi ob slikanju proti svetlobi.
Na podrocju brezzrcalnih aparatov je zelo znan konzorcij »Mikro štiri tretjine« (Micro Four Thirds, MFT ali M43), ker ima tipalo razmerje stranic 4 : 3. Vanj sta vkljucena dva vecja proizvajalca kamer (Olympus, Panasonic) in vec prozvajalcev objektivov in druge opreme. Senzorji so velikosti 17,3 mm x 13 mm. Pri MFT je vse konstruirano povsem na novo. Površina senzorja je nekako cetrtina površine senzorja polnega formata.
Tipalo za polni format (Full Format - FF) ima velikost približno 36 mm x 24 mm, to je enaka velikost kot slicica na 35 milimetrskem filmu. Taka tipala so še zmeraj draga. Kamere polnega formata imajo velike (in težke) objektive, ki zberejo mnogo svetlobe. Zato so prava izbira za slikanje v šibki sve-
tlobi. Podjetje Sony ima brezzrcalne aparate s FF tipalom. Vecina kamer s takim tipalom pa sodi med zrcalno refleksne. Pogosto lahko uporabljamo tudi starejše objektive iz filmskega obdobja.
Tipala velikosti APS-C imajo velikost 23,5 mm x 15,6 mm za znamke Nikon, Sony, Fuji. Podjetje Canon ima nekoliko manjše APS-C senzorje velikosti 22,2 mm x 14,8 mm. Format APS-C je cenovno dostopen in priljubljen pri lastnikih starih objektivov za zrcalno refleksne kamere. Objektivi, konstruirani za polni format, večinoma delujejo tudi na APS-C formatu istega proizvajalca. Manjše tipalo izkoristi le osrednji del slike, ki jo vrže tak objektiv. Zato so mnoge napake, kot sta popacenje in vinjetiranje, na malem tipalu bistveno manj izražene.
SLIKA 8.
Tu je e diagonala tipala, f, gorišcna razdalja objektiva in a vidni kot objektiva.
SLIKA 9.
Na manjšem senzorju z diagonalo h se objektiv z gorišcno razdaljo f obnaša, kot bi imel gorišcnico f = ef /h.
Vendar pa bo vidni kot objektiva na manjšem tipalu zožen. Po definiciji je vidni kot a objektiva kot,

S
10	PRESEK 44 (2016/2017) 6

MATEMATIKA
—^ pod katerim vidimo diagonalo e tipala s tocke na osi objektiva, oddaljene za gorišcno razdaljo f od tipala (slika 1). Na sliki 2 vidimo, da ima na manjšem tipalu, z diagonalo h, isti objektiv vidni kot ¡3. To pa je kot, ki bi ga imel objektiv z gorišcno razdaljo f' = ef /h na polnem formatu. Pišimo c = e/h, pa je f' = cf. Pravimo, da ima naš objektiv ekvivalent gorišcne razdalje f' na polnem formatu. Ker sta oba senzorja pravokotnika z razmerjem stranic 3 : 2, je kvocient c = e/h enak razmerju daljših stranic, torej c = 36/23,5 « 1,5 za Nikon, Sony oziroma c = 36/22,2 « 1,6 pri Canonu. Standardni 50 milimetrski objektiv za polni format se torej na »obrezanem« APS-C formatu obnaša približno kot 75 (ali pri Canonu 80) milimetrski objektiv na polnem formatu in tako postane »portretni« objektiv. Faktorju c pravijo angleško crop faktor. Ta faktor je dobra novica za lastnike teleobjektivov. Širokokotni objektivi za polni format pa na manjšem formatu žal niso vec tako široki.
Predpostavimo, da primerjamo senzorje različnih razsežnosti, a s približno enakim številom pikslov. Grobo lahko ocenimo: ce smo pri FF ravno še zadovoljni z rezultati pri ISO 2500-3200, se bomo pri MFT (senzor ima približno cetrtino plošcine FF tipala) ustavili nekje pri ISO 800-900, pri APS-C pa pri ISO 1000-1300. FF tipalo ima namrec približno 2,4 krat do 2,6 krat tolikšno površino kot APS-C senzor.
Podatki za popravo popacenja in nekaterih drugih zgoraj omenjenih napak so v brezzrcalnih sistemih pogosto vgrajeni v elektroniko objektiva. Tako objektivi raznih proizvajalcev sporocajo ustrezne podatke kameram in dajejo JPEG slike skoraj brez popacenja. Na primerjalnih testih prakticno vsi taki objektivi dobijo potem odlicne ocene na preizkusih popacenja.
Tudi nove kamere, ki imajo fiksno vgrajen objektiv, skoraj brez izjeme dajejo JPEG slike brez vidnega popacenja - po zaslugi procesorja v aparatu. Priljubljeni so postali aparati z »1-colskim senzorjem«. Oznaka sloni na zastarelih standardih, saj je diagonala (14-17 mm) dalec od cole. Tipalo ima približno pol površine senzorja M43. Razpon gorišcnic sega do približno 1:25. Pri manjšem razponu (1 : 3 ali 1 : 4) dobimo žepne aparate, ki lahko ob dobri svetlobi delajo odlicne slike, a niso poceni. Kamere z najmanjšim senzorjem velikosti približno 6,2 mm x 4,6 mm (1 : 2,3'') (približno cetrtina površine 1-cols-
kega senzorja) omogočajo superzoome z razponom gorišcnic do 1 : 80. Vendar je pri teh in podobnih malih senzorjih po mojih izkušnjah najbolje, če ostanemo pri najnižji občutljivosti (ISO 80-160). Procesorji v aparatu sicer odstranijo šum pri visokih ISO vrednostih - hkrati s podrobnostmi. Pri portretih je to lahko celo ugodno, a marsikdaj iz fotografije nastane cudno obarvan »akvarel«. Še manjša so tipala pametnih telefonov (okrog 5,5 mm x 4,1 mm ali še manj). Za hitre procesorje v pametnih telefonih poprave popacenja, vinjetiranja niso problem.
Literatura
[1] Interaktivne ilustracije clanka so na avtorjevi strani na GeoGebra Tube: https://www. geogebra.org/peter.legi sa
_x x x
Križne vsote
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	8	6			
>5			15		
6				11	
		2			11
					
			14		
XXX
10
PRESEK 44 (2016/2017) 6
FIZIKA
Youngov poskus z belo svetlobo
nU NU Andrej Likar
Pri razmišljanju o interferenci svetlobe ne moremo mimo Youngovega poskusa. Danes ga z lahkoto pokažemo z lasersko svetlobo, v preteklosti pa poskus še zdaleč ni bil preprost. Obstaja celo dvom, da ga je Young sploh izvedel v napogosteje nevedeni inačici, kot je prikazana na sliki 1. Tu potrebujemo svetilo, ki oddaja monokromatično svetlobo. Svetilo zastremo z zaslonom Z1 in skozi drobno navpično režo osvetlimo oddaljen zaslon Z2 z dvema prav tako navpičnima, a tesno blizu zarezanima režama. Na oddaljenem zaslonu Z vidimo navpične interferenčne proge, neizpodbiten dokaz, da je svetloba valovanje.
SLIKA 1.
Postavitev Youngovega poskusa. Reži in valovna dolžina so zaradi preglednosti močno povečani.
Ta poskus je preprost le v mislih. Zares je njegova postavitev zahtevna. Najprej je potrebno imeti dovolj svetlo drobno monokromatično svetilo. Ce odmislimo laser, takih svetil ni, približamo se jim z močnim belim svetilom s filtrom, ki prepušča svetlobo v ozkem pasu valovnih dolžin. Thomas Young in Augustin Jean Fresnel, ki sta v prvi polovici 19. stoletja prva izvajala take poskuse, sta uporabljala
svetlobo Sonca, ki sta jo z zrcali in drobnimi lečami skozi majhne luknjice ali zareze ustrezno usmerila. Nadaljnji izziv je izdelava dovolj ozkih rež, ki sta dovolj tesno druga ob drugi. Ne smemo pozabiti, da je valovna dolžina vidne svetlobe za naše izkušnje zelo majhna, v obmocju pod enim mikrometrom. Reži sta lahko narazen za nekaj desetink milimetra, njuna širina pa le eno do dve desetinki milimetra. Širini in razmak med režama so torej kar štiri velikostne stopnje manjši od razdalje med zasloni, ki so v obmocju metrov.
Prav ta metrska razdalja med zasloni pa zelo zmanjša kolicino svetlobe, ki pade na zaslon z režama in koncno na zaslon, kjer opazujemo interfe-rencne proge. Te so še v popolni temi komaj vidne. Young je opazoval interferencne proge v beli svetlobi Sonca, zato so bile obarvane. Pa postavimo Youngov poskus z belo svetlobo. Najbolje bi se odrezali, ce bi znali eksperimentirati s svetlobo Sonca. Ker tega ne znamo, bomo morali nekoliko spremeniti sam poskus. Namesto oddaljenega zaslona Z, kjer opazujemo interferencno sliko, bomo uporabili kar oko ali fotografski aparat. Tako se izognemo veliki razdalji med režama v zaslonu Z2 ter zaslonom Z in zato komaj opaznim interferencnim progam. Oko namrec prislonimo tik ob reži in gledamo skoznju na kak meter oddaljen zaslon Z1 z ozko režo, ki jo z druge strani osvetljuje žarnica. Interfrenecne proge so na tak nacin jasno vidne, tudi fotografiramo jih brez težav (glej sliko 2 in sliko 3). Oddaljeni zaslon Z smo torej nadomestili z mrežnico ocesa, ki je zelo obcu-tljiva in s katero zato dobro zaznavamo šibko svetlobo iz rež.
Kako narediti reži, ki bosta dovolj ozki in cim bliže druga drugi? Navodil je kar nekaj. Nekateri priporo-cajo tanko aluminijevo folijo, v katero s šivanko naredimo dve kar se da bližnji luknjici. Spet drugi pri-porocajo, da po s sajami zatemnjeni šipi potegnemo s tesno stisnjenima ostrima britvicama. Ker je debelina britvice 80 ¡m, sta nastali reži prav toliko narazen. Nam sta se najbolje posrecili reži z lasom in dvema britvicama. Na lesen okvircek smo napeli las

PRESEK 44 (2016/2017) 6
11
FIZIKA

SLIKA 2.
Posneta interferencna slika dveh rež z belo svetlobo
SLIKA 3.
Močneje eksponirana slika, da se vidijo tudi barvne proge.
z debelino 60 ¡m in ga pritrdil s kapljicama sekundnega lepila. Nato smo z obeh strani pazljivo prislonili britvici tako, da sta bili reži prav tako široki kot las (glej sliko 4). Tako je bila razdalja med režama 120 ¡m. Izdelava terja močnejšo lupo ali mikroskop z ne preveliko povečavo (« 10 krat). Tudi britvici smo pritrdili s kapljicami sekundnega lepila.
proge pa so zelo izrazite in jih težko zgrešiti. To je bilo Youngu v prid, saj je kljub težavnemu poskusu proge lahko opazil. Pri svojem prvotnem poskusu ni uporabil rež pač pa tanko (malo manj kot 1 mm) kartico, ki jo je postavil v ozek curek Sonceve svetlobe, in opazoval njeno senco na oddaljenem zaslonu. Valovne narave svetlobe pa kljub poskusom niso sprejeli še nekaj desetletij, vse do tedaj, ko je Fresnel ponovil nekatere Youngove poskuse in na novo prikazal interferencne poskuse z zrcali in na okrogli in ravni oviri ter matematicno podprl izide poskusov.
Na sliki 5 je izracunana in barvno predstavljena interferencna slika dveh zelo drobnih rež na oddaljenosti 120 ¡m z belo svetlobo. Podobnost s posneto sliko je kar dobra, ce se zavemo koncne širine pravih rež. Uklonska slika ene same reže (glej sliki 6 in 7) pa ni barvno izrazita in zato njeno opazovanje za Younga ni bilo kaj prida navdihujoce.
SLIKA 5.
Izračunana interferencna slika dveh zelo ozkih rež v beli svetlobi
SLIKA 4.
Izdelani reži pri našem poskusu
Z belo svetlobo interferencnih prog ni prav veliko. Jasno pa sta vidni skoraj povsem temni progi med tremi belimi. Ostale proge so že obarvane in hitro ugašajo zaradi kar velike širine rež v primeri z valovni dolžino svetlobe. Prav ti dve temni in tri bele
Omenili smo, da je prikaz Youngovega poskusa z lasersko svetobo zelo preprost: na reži posvetimo z laserskim kazalnikom in sredi belega dne vidimo na oddaljenem zaslonu izrazite interferencne proge. Ob tem se šele zavemo, kako neznansko mocno svetilo je laser v primeri z drugimi svetili, s katerimi je opazovanje interferencnih prog na zaslonu tudi v popolnoma zatemnjeni sobi skoraj nemogoce, še posebej, ce gre svetloba skozi barvni filter. Zelo ozek enobarvni curek svetlobe iz laserja se zelo malo razširja. Pri obicajnih svetilih dobimo tak curek le, ce usmerimo svetlobo iz zelo oddaljenega svetila skozi barvni filter in skozi drobne luknjice v zaslonu Z1, kar curek dodobra oslabi. Opazovanje interferenc-nih prog z lasersko svetlobo je na nacin, ki smo ga uporabili pri beli svetlobi iz žarnice, lahko usoden za oci - že pri opazovanju, ki traja le kakšno sekundo, si lahko pokvarimo vid, tudi ce uporabimo šibke laserske kazalnike.
12
PRESEK 44 (2016/2017) 6	11
FIZIKA
SLIKA 6.
Posneta interferencna slika ene reže v beli svetlobi
Barvni sudoku
-i' -i' -i'
V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil.
SLIKA 7.
Izračunana interferencna slika ene reže v beli svetlobi
3
O □
m
>
a.
<
m
>
m
SLIKA 8.
Pogled skozi dve reži na nekoliko razprto kljunasto merilo
_XXX
* £ a
				21			
	3						
					4	3	
	7	4					5
		6		7	8		
2		5					
5					1		
	1			5		8	
9	8	L	5	Z	E	1	17
E	17	1	Z	8	L	9	5
L	9	E	17	L	5	8	2
Z	S	8	7	L	6	17	E
5	Z	9	L	E	4	7	8
L	3	4	8	S	L	Z	9
8 L		S	9	17	Z	3	L
17 L		2	E	9	8	S	L
							
XXX
PRESEK 44 (2016/2017) 6
11
ASTRONOMIJA
Uporaba programov Virtualnega observatorija za študijo jate galaksij Berenikini kodri
sU vU sU
Dunja Fabjan
-> Galaksije, ki jih opazujemo na nočnem nebu, niso naključno razporejene po nebesnem svodu. Med razvojem vesolja se pod vplivom gravitacije združujejo v večje sestave, ki jim pravimo skupine in jate galaksij. Skupine sestavlja manj članic, okrog 50 različnih galaksij, jate pa so bogatejše in vsebujejo tudi do tisoč galaksij. To je tudi primer jate Berenikini kodri (uradno Abell 1656), kjer bomo z vzorčem približno 500 galaksij očenili nekatere njene osnovne lastnosti.
Pri opazovanjih jat moramo najprej razčistiti, ali se na sliko ni prikradla kakšna bližnja ali bolj oddaljena galaksija, ki se po naključju nahaja vzdolž smeri pogleda. Potrebna so torej dodatna opazovanja gostote svetlobnega toka posamične galaksije v različnih valovnih dolžinah (spekter galaksije). V razčlenjeni svetlobi so prisotne črte, iz katerih lahko s pomočjo Hubblovega zakona razberemo razdaljo galaksije.1
1 Preizkusite sami učinek rdečega premika na spekter galaksije na spletni strani skupine za astronomsko izobraževanje Univerze Nebraska-Linčoln: http: //astro.unl.edu/classaction/animations/cosmology/ galacticredshift.html.
SLIKA 1.
Jata galaksij Berenikini kodri (Abell 1656), ki jo je posnel vesoljski teleskop Hubble. Jata se nahaja na razdalji približno 300 milijonov svetlobnih let, v premeru pa meri okrog 20 milijonov svetlobnih let. Avtorstvo: NASA, ESA in Hubble Heritage Team (STScI/AURA).
Hubblov zakon nam namreč pove, da se zaradi širjenja vesolja galaksije od nas oddaljujejo. Hitrost oddaljevanja galaksij vzdolž smeri pogleda (radialna hitrost galaksij, vrad) je premo sorazmerna oddaljenosti galaksije, vrad = H0 • d, kjer premo sorazmerje določa Hubblova konstanta H0. Zaradi samega širjenja vesolja pa se spreminja valovna dolžina svetlobe, ki jo prejemamo od galaksije. Pri oddaljevanju ga-
14
PRESEK 44 (2016/2017) 6
ASTRONOMIJA
laksije so karakteristične črte v spektru pomaknjene proti višjim valovnim dolžinam, torej proti rdeči svetlobi (zato to označujemo z besedno zvezo rdeči premik). Rdeči premik z lahko opišemo s formulo
z =
Kp - Kdd ^ Ho ■ d Kdd	C
kjer sta \op in \odd opazovana oziroma oddana valovna dolžina objekta (galaksije), H0 ■ d je radialna hitrost galaksije, c hitrost svetlobe. Skrajni desni del enačbe velja pri dovolj majhnih rdečih premikih.
Z meritvijo rdečega premika lahko sklepamo, ali je galaksija del jate: galaksije na približno istem rdečem premiku so tudi na približno isti razdalji, in če se nahajajo na istem območju neba, so zelo verjetno del jate.
Poleg hitrosti zaradi širjenja vesolja pa imajo galaksije tudi svoje lastno gibanje. Znotraj jate so namreč njihove hitrosti reda velikosti več 100 km/s, gibljejo pa se neurejeno v vse smeri. Meritve radialnih hitrosti bodo zato pokazale (Maxwellovo) porazdelitev okrog središčne vrednosti. Vrh porazdelitve bo na povprečnem rdečem premiku jate (oziroma pri hitrosti vrad = z^c). Povprečno hitrost galaksij znotraj jate pa določimo s pomočjo polovične širine porazdelitve na polovični višini, crrad.2
Pri opazovanjih moramo biti pozorni, da je naš vzoreč čimbolj popoln in da se nam ne izmuznejo šibkejše galaksije. Ce je vzoreč nepopoln, bi lahko bile naše končne ugotovitve napačne. V primeru jate Berenikini kodri, ki so jo opazovali v pregledu neba SDSS, so očenili, da je popolnost vzorča dovolj visoka do mejne magnitude 17,77 (v r filtru). Pri višjih magnitudah pa so zaznali premalo šibkih galaksij in zato vzoreč ni več popoln.
Z uporabo jat galaksij je leta 1933 švičarski astronom Fritz Zwičky prvi sklepal o prisotnosti temne snovi in to približno 40 let, predno je svoje meritve in ugotovitve o prisotnosti temne snovi v galaksijah zapisala astronomka Vera Rubin. Zwičky je svojo razlago podal takole. Na nebu lahko opazimo veliko jat galaksij. Sklepamo, da ne gre za objekte šele v razvoju, marveč za stabilne strukture in si lahko za očeno njihove mase pomagamo z virialnim teo-
2V astronomiji s črko a označimo »disperzijo hitrosti« (angl. velocity dispersion), kije enaka standardni deviačiji porazdelitve hitrosti v primeru, ko je povprečna hitrost objektov enaka nič.
remom. Pri tem predpostavimo, da je porazdelitev galaksij v jati sferna in da je jata v dinamičnem ravnovesju. Virialni teorem nam pove, da je povprečna gravitačijska energija takega sistema (Wg) enaka negativni vrednosti dvakratnika povprečne termične (kinetične) energije sistema (Wk), torej Wg = -2Wfc.
Ker sta gravitačijska energija Wg = -1G-R^ in kinetična energija galaksij Wk = 2M • 3a^ad, lahko izrazimo maso sistema M kot
M =
5aradR
G
kjer sta R radij jate in G gravitačijska konstanta.
V	prvem približku bi lahko maso takega objekta očenili s seštevanjem mase galaksij, ki jih vidimo na astronomskem posnetku in za katere sklepamo, da pripadajo jati. Toda Zwičky je opazil, da je masa, izračunana z virialnim teoremom, bistveno (v njegovi očeni čelo nekaj 100-krat) večja. Sklepal je, da mora obstajati temna snov, ki jato drži skupaj, saj bi se galaksije v obratnem primeru porazgubile po prostoru. Danes vemo, da je okrog 85% mase jate galaksij v obliki temne snovi, nekaj več kot 10% v obliki vročega plina, manj kot 5% pa v zvezdah in galaksijah.
Virialni teorem na podoben način uporabimo za očeno mase gravitačijsko vezanih sistemov, kot so zvezde ali kroglaste zvezdne kopiče, le da pri prvih upoštevamo termično energijo plina, pri drugih pa kinetično energijo zvezd.
V	nadaljnjem besedilu predstavljamo vajo za izračun povprečnega rdečega premika jate, povprečne hitrosti galaksij v jati ter maso čelotne jate. Vaja je razdeljena na devet točk, vsaka pa vsebuje še navodila za uporabo ukazov dveh programov Virtual-nega observatorija. Virtualni observatorij je mednarodna mreža, pri kateri sodelujejo astronomska podatkovna središča, ki razvijajo skupno programsko opremo in platformo in nam omogočajo, da obiličo podatkov zemeljskih in vesoljskih teleskopov raziščemo, povežemo, obdelamo in prikažemo.
Študij jate galaksij Berenikini kodri (Abell 1656)
Avtorja: Giulia Iafrate in Massimo Ramella, Tržaški astronomski observatorij
18
(T3__
> SH
.cd ro
T3 ul (T3 (T3

PRESEK 44 (2016/2017) 6
15
ASTRONOMIJA
—^ Uporabljeni programi: Aladin3, TOPCAT4
15
T3 4-> ro ^
Cilj. Raziskati jato galaksij Berenikini kodri (Abell 1656) z uporabo podatkov in orodij Virtualnega observatorija (VO) ter s hitrim postopkom oceniti povprečni rdeci premik jate in disperzijo hitrosti galaksij v jati ter tako pridobiti oceno njene mase.
1.	Odpri sliko jate A1656 v vsenebnem barvnem atlasu (Allsky color atlas) programa Aladin.
• Vnesi napis A1656 v okno Location, nato klikni SDSS.
2.	Predlagamo uporabo funkcije zoom za prikaz vidnega polja velikosti približno 1,5°.
■	Zoom drsnik najdeš na dnu strani desno, velikost vidnega polja FOV (angl. field of view) je zapisana v spodnjem delu slike.
Na razdalji, kjer se nahaja jata Berenikini kodri, je 40' enakovrednih 1,1 Mpc5 (pri uporabi sle-decih kozmoloških parametrov: H0 = 71 km/s/ Mpc, Qa = 0.73, D.m = 0,27), kar je dovolj veliko obmocje za našo vajo. Namig. Velikost obmocja na sliki lahko preveriš tako, da s pomocjo gumba »dist« narišeš crto dolžine 40'.
Namig. Klikni na gumb pan v primeru, da bi želel sliko premakniti oziroma jo znova postaviti na sredino ekrana.
3.	Naloži katalog SDSS DR9 iz serverja All VizieR catalog.
■	File — Open...; Surveys (desno na seznamu Catalog servers) izberi SDSS-DR9; radij 40', odkljukaj »retrieve all columns« (pridobi vse stolpce in klikni SUBMIT).
S filtrom v SDSS katalogu izberi samo galaksije (odstrani zvezde in ostale izvore):
3Interaktivni nebesni atlas Aladin (beri Aladen, po francosko) je prosto dostopen na spletni povezavi http://a1adin. u-strasbg .fr/.
4Program TOPCAT je prostodostopen na spletni povezavi http://www.star.bris.ac.uk/~mbt/topcat/.
5 Mpc označuje 106 parsekov (pc) oziroma en mega parsek. Parsek (paralaksa ene ločne sekunde) je ena izmed osnovnih astronomskih enot za razdaljo in meri 3,08 ■ 1016 m.
■	Catalog — Create a filter — Advanced mode; Columns — Columns in loaded catalogs; izberi »CL« in vnesi ukaz ${cl}=3 {draw}. Uporabi funkcijo »MATH«, ce potrebuješ vnos oklepajev >{}<; klikni Apply.
V okencu filtra izvozi (Export) filtrirani katalog na novo ravnino in ga preimenuj v SDSSGa-laxies (z desnim klikom na izbrano ravnino lahko spreminjaš ime, barvo ter simbole v oknu lastnosti - properties). Za bolj jasen prikaz svetujemo, da pustiš na desnem seznamu samo obarvano ravnino SDSS9 in ravnino SDSSGalaxi-es.
4.	Prenesi filtrirani katalog v aplikacijo TOPCAT.
Zaženi program TOPCAT; izberi ravnino SDS-SGalaxies v Aladinu in klikni na malo parabo-licno anteno v spodnjem desnem kotu aplikacije Aladin.
5.	Ustvari niz galaksij s fotometricnimi podatki (rPmag) v SDSS.
Ustvari niz galaksij (poimenuj ga MAG_LIMITED), ki ga bodo sestavljale galaksije z magnitudami rPmag, ki so svetlejše od omejitve v popolnosti za spektroskopski vzorec SDSS, rPmag;fTO = 17,77.
■	Views — Row Subsets ter v oknu subset klikni na zeleni križec. Vnesi ime niza ter izraz $83 <= 17.77.
Preveri velikost svojega vzorca (NMAG_LIMITED = 648).
Pozor. TOPCAT ne razlikuje med velikimi in malimi crkami, SDSS pa vsebuje tako magnitude rpmag kot rPmag. V tem primeru je potrebno uporabiti $ID (identifikacijsko polje) posamic-nega stolpca raje kot njegovo ime. $ID stolpcev si lahko ogledate z Views — Column Info.
Ustvari manjši vzorec iz vzorca galaksij, omejenih v magnitudi in za katere obstaja vrednost rdecega premika (zsp) v SDSS. Ustvari podvzo-rec Z znotraj te omejitve v popolnosti vzorca in za galaksije z rdecim premikom.
Klikni na zeleni križec in vnesi izraz MAG_LIMITED & zsp> 0; subset name Z.
18
PRESEK 44 (2016/2017) 6
ASTRONOMIJA
SLIKA 2.
Slika jate A1 656 v programu Ala-din. Na sliki je označena velikost polja ter okno za izbiro kataloga pregleda neba SDSS-DR9.
Preveri velikost vzorca (Nz = 482). Opaziš lahko, da je vzorec manj kot 100% popoln v rdečem premiku (482/648 = 74%).
6.	Posreduj vzorec Z Aladinu.
■	V glavnem oknu programa TOPCAT izberi Row Subset: Z; Interop — Broadcast table.
Preimenuj ga v Z v Aladinovem desnem seznamu in preglej. Za boljši pregled lahko odstraniš SDSSGalaxies.
7.	Pridobi povprečno radialno hitrosti in disperzijo hitrosti za jato galaksij Berenikini kodri.
V TOPCATu spremeni rdeči premik v radialne hitrosti (v = c ■ zsp).
■	Views — Column info; v novem oknu klikni na zeleni križec; ime (name) CZ ; izraz (expression) zsp*toDouble(300000).
■	Views — Table data; preveri prisotnost in pravilnost novega stolpca (na zadnjem mestu v tabeli).
8. Izoliraj vrh radialne hitrosti jate v oknu porazdelitve (histogram window), ustvari nov podv-zorec COMA. TOPCAT je zmožen ustvarjanja podvzorcev iz predela histograma, ki je trenutno prikazan. Porazdelitev hitrosti jate je podobna krivulji v obliki zvonca z vrhom pri približno 7000 km/s in se razteza do nekaj 1000 km/s stran od vrha. Ko jo boš videl jasno in dobro izolirano v svojem oknu, boš lahko ustvaril seznam galaksij, ki sestavljajo jato.
■	Graphics — Histogram Plot; v novem oknu izberi Position — X — CZ; Subsets — Z;
razišci histogram s premikanjem miške in so-casnim pritiskom na levo tipko;
■	izberi vrh v graficnem oknu s premikom miške in pritiskom na desno tipko (lahko tudi izbereš Axes — Range in rocno vneseš mejne
vrednosti Xmin; Xmax, Ymin, Ymax).
■	na koncu še Subsets — New Subset from visible — ime COMA; Add and Set Current Subset.
19	PRESEK 44 (2016/2017) 6

ASTRONOMIJA

SLIKA 3.
Prikaz histograma porazdelitve
hitrosti galaksij v programu TOPCAT.
9. Pridobi povprečno hitrost in disperzijo hitrosti v jati galaksij Berenikini kodri.
■ Views — Column statistics v glavnem oknu TOPCATa izpiše nGood = Nmembers = 381, < cz >= 6977 km/s in disperzijo hitrosti a = 1120 km/s, kar se odlično sklada z bolj natančnimi analizami.
Pozor. Prikažeš lahko več statističnih lastnosti in jih pregledaš v seznamu Display.
Bolj natančne statistične analize galaksij, ki sestavljajo jato, in sistematičnih napak pokažejo, da je disperzija hitrosti jate a = 947 ± 31 km/s. Skupaj z očeno radija jate, R200 = 2.23 ± 0.08 Mpč, je oče-njenajatina masa M200 = 1.29 ± 0.15 ■ 1015M0 (Sončevih mas). Podatki so iz članka Sohn J., Geller, M. J., Zahid, H. J. et al. 2016, arXiv:1612.06428.
Vajo Študij jate galaksij Berenikini kodri sta sestavila avtorja v sklopu projekta Asteričs, ki ga podpira okvirni program EU Obzorje 2020 (Horizon 2020).
Vec podobnih vaj (v anglešcini) najdete na spletnih straneh Euro-VO (http://www.euro-vo.org/?q= science/scientific-tutorials ter http://vo-for-educati on . oats .inaf.i t/index_eng. html).
Literatura
[1]	Sohn J. idr. 2016, The Velocity Dispersion Function of Very Massive Galaxy Clusters: Abell 2029 and Coma, dostopno na: https ://arxiv.org/ abs/1612 . 06428, ogled: 20.4. 2017.
[2]	program Aladin Sky Atlas, dostopno na: http: //aladin.u-strasbg.fr/, ogled: 20. 4. 2017.
[3]	program TOPCAT, dostopno na: http://www. star.bris.ac.uk/~mbt/topcat/, ogled: 20. 4. 2017.
_ XXX
20
PRESEK 44 (2016/2017) 6
RAC UNALNIS TVO
D r e v e s n o p r e i s ko va n j e M o n te Ca r l o
-i' •i'
Damjan Strnad
Bralec tega prispevka se je najbrž že kdaj preizkusil proti računalniku v kateri od iger, kot so šah, dama ali vsaj križci-krožci. V omenjenih igrah je računalnik že zdavnaj presegel človeka, kar je delno zasluga napredka strojne opreme, predvsem pa algoritmov, ki v vsakem stanju igre precej zanesljivo dolocijo najboljšo naslednjo potezo.
To naredijo z izgradnjo drevesa igre za določeno število potez v prihodnost. Vozlišča v drevesu igre so položaji v igri (npr. položaji na šahovnici), povezave med njimi pa poteze, ki jih izmenično vlečeta nasprotnika (glej sliko 1). Algoritem zgradi drevo igre iz trenutnega položaja, ki je v korenu drevesa, do določene globine (npr. pet mojih in pet nasprotnikovih potez). Položaji v listih drevesa igre so torej položaji, do katerih nas pripeljejo vse možne kom-binačije naših in nasprotnikovih potez. Algoritem zatem z uporabo vgrajenega strokovnega znanja o igri očeni te položaje, od katerih so nekateri lahko tudi končni (npr. zmaga enega od igralčev). Očena položaja pove, za katerega od igralčev je ta vsaj navidez bolj ugoden. Na podlagi očen položajev se po posebnem postopku določi poteza, ki igralču na potezi v korenu zagotavlja najboljše nadaljevanje ob najslabšem možnem sčenariju (tj. optimalni igri nasprotnika). Osnovna metoda na tem področju je algoritem alfa-beta in njegove številne optimizačije, ki so ob vsesplošni paralelizačiji izvajanja na sodobnih elektronskih napravah in uporabi obsežnih zbirk spečifičnega znanja o posamezni igri (t. i. hevristično znanje) prisilili človeka, da je že pred leti priznal premoč računalniku.
Obstajajo pa tudi igre, ki jim na sistematičnem pregledovanju drevesa igre temelječi algoritem alfabeta in njegove izpeljanke niso kos. Za prvo takšno igro je veljala Arimaa, ki se igra s posebnimi figurami na standardni šahovniči, a je pred dvema letoma najmočnejše človeške igralče, tesno pa vendar, z uporabo algoritma alfa-beta premagal program Sharp. Morda je k temu pripomoglo tudi dejstvo, da Arimaa nikoli ni dosegla pretirane priljubljenosti in je zato tudi število vrhunskih človeških igralčev omejeno.
Druga in prečej bolj znana tovrstna igra je go, ki se igra s polaganjem kamenčkov dveh barv na ploščo velikosti 19 x 19 polj. V zadnjih letih je igra go postala že kar slavna zaradi svoje vloge zadnjega stebra obrambe človeške inteligenče pred hladno igralno logiko računalnikov. Slednji so namreč pri igranju igre go dosegali nivo povprečnega amaterja. Vse to se je spremenilo lani, ko je računalniški program po imenu AlphaGo prepričljivo premagal človeškega svetovnega prvaka. Algoritem, ki ga uporablja Al-phaGo, je vsekakor daleč prekompleksen, da bi ga v čeloti opisali tukaj, zainteresirani braleč pa najde podroben opis v članku [1]. V tem prispevku bomo opisali algoritem za gradnjo drevesa igre, ki je eden od sestavnih elementov programa AlphaGo in se imenuje drevesno preiskovanje Monte Carlo (Monte Carlo tree search, MCTS). MCTS ne temelji na hevrističnem očenjevanju nekončnih položajev v listih drevesa igre kot alfa-beta, temveč kakovost naslednje poteze oče-njuje z velikim številom simulačij naključnih iger računalnika samega s sabo (t. i. self-play). Ker pa bi izključno naključne simulačije v omejenem času za potezo težko zanesljivo določile najboljšo potezo, algoritem MCTS kombinira med naključnim vlečenjem potez in prednostno izbiro potez, ki so se v predhodnih simulačijah izkazale kot potenčialno dobre v posameznih položajih igre. Temu mehanizmu, ki je

PRESEK 44 (201B/2017) B
21
RAČ U NAL NIŠTVO
->
SLIKA 1.
Drevo igre
prisoten v praktično vseh iskalnih algoritmih umetne inteligence, rečemo uravnotežanje med raziskovanjem (naključne poteze) in izkoriščanjem (znane dobre poteze).
Osnovna značilnost iger, pri katerih se je MCTS uveljavil pred ostalimi algoritmi, je visok povprečni vejitveni faktor, tj. povprečno število možnih potez v poljubnem položaju igre. Pri igri Arimaa je ta oče-njeno na več kot 15000, pri igri go pa naj bi znašal skromnejših 250. Druga posebnost algoritmu alfabeta neprijaznih iger je ta, da je v splošnem težko zanesljivo očeniti, kateri igraleč in za koliko je v nekem položaju v prednosti. Z drugimi besedami, he-vristično očeno je težko definirati samo na podlagi situačije na plošči.
V nadaljevanju prispevka bomo najprej opisali algoritem MCTS, zatem pa prikazali osnovni končept delovanja na praktičnem primeru. Ironija praktičnega primera bo v tem, da bomo zanj uporabili igro križči-krožči, ki je morda najpreprostejša od vseh možnih iger in najlepši primer igre, pri kateri uporaba MCTS ni potrebna. Bo pa zato zgled dovolj preprost in bo jasno ponazoril prinčip delovanja algoritma, ki ga je mogoče prenesti neposredno na vse druge podobne in veliko bolj kompleksne igre.
Drevesno preiskovanje Monte Carlo
Naloga algoritma MCTS je poiskati najboljšo naslednjo potezo za igralča na potezi v trenutnem položaju pri igri. Podobno kot vsi sorodni algoritmi za igranje iger tudi MCTS trenutni položaj predstavi kot koren drevesa igre, drevo pa nato v več čiklih počasi dograjuje. Vsak čikel algoritma je sestavljen iz štirih korakov, ki si sledijo v naslednjem zaporedju (glej sliko 2):
■	Selekcija - v tem koraku MCTS s pomočjo strategije selekčije izbira poteze, s katerimi se pomika od korena drevesa igre proti listom. Ce v nekem vozlišču strategija izbere potezo v smeri naslednjega stanja, ki že ima pripadajoče vozlišče v drevesu igre, se premaknemo v to vozlišče in s se-lekčijo nadaljujemo. Ce pa strategija izbere novo, še neuporabljeno potezo, se izvajanje algoritma prestavi v naslednji korak, tj. v širitev drevesa igre.
■	Širitev - v tem koraku se ustvari oziroma razvije novo vozlišče za doslej neobstoječi položaj v drevesu igre, ki je bil izbran v koraku selekčije. Razvito vozlišče se doda v drevo igre kot nov list, tako da se drevo igre v vsakem čiklu algoritma MCTS poveča za natanko eno vozlišče. Sledi izvajanje naslednjega koraka, tj. simulačije.
22
PRESEK 44 (2016/2017) 6
RAC UNALNIS TVO
selekcija	širitev	simulacija	posodabljanje
SLIKA 2.
Koraki algoritma MCTS
■	Simulacija - v tem koraku se izvede simulacija igre od trenutnega položaja do zaključka igre, pri čemer za izbiro potez uporabljamo t. i. simulacij -sko strategijo. Ta je ponavadi zelo preprosta in izbira poteze za oba nasprotnika povsem nakljucno, lahko pa vkljucuje hevristiko in daje prednost potezam, ki obicajno veljajo za dobre v doloceni igri (npr. igranje v sredino ali vogal pri igri križci-krož-ci, ce ta seveda še ni zaseden). Simulacija se za-kljuci, ko je dosežen kateri od koncnih položajev igre (npr. trije križci ali krožci v vrsti).
■	Posodabljanje - v fazi posodabljanja se najprej ovrednoti dosežen koncni rezultat simulacije s sta-lišca igralca na potezi. Pri igri križci-krožci bi bila možna vrednost igre npr. 1 za zmago, 0.5 za neod-locen izid in 0 za poraz. Nato se pomikamo nazaj po verigi obiskanih vozlišc od nazadnje dodanega lista do korena in popravljamo nekatere pri vozli-šcih shranjene vrednosti. Te vrednosti uporablja strategija selekcije pri izbiri potez v naslednjih ciklih algoritma.
Izvajanje algoritma MCTS lahko omejimo z maksimalnim številom ciklov ali pa z omejitvijo casa za potezo. V slednjem primeru bo MCTS izvajal simulacije do izteka casa za potezo in nato na podlagi vrednosti vozlišc-naslednikov korena v drevesu igre predlagal najboljšo naslednjo potezo.
V zgornjem opisu algoritma manjka nekaj kljuc-nih informacij, predvsem to, kako strategija selekcije izbira poteze pri pomikanju navzdol po obstoje-
cem delu drevesa igre ter kako se povsem na koncu doloci najboljša poteza. Da lahko pojasnimo oboje, moramo najprej vedeti, katere informacije se hranijo pri vsakem vozlišcu drevesa igre. Pravzaprav jih ni tako veliko. Poleg seznama kazalcev na naslednike, od katerih so tisti na še nerazvite enostavno prazni (nil), in podatka o tem, kateri igralec je v vozlišcu na potezi, sta za osnovni MCTS potrebna samo še dva števca. Prvi je števec obiskov vozlišca, ki pove, v koliko dosedanjih ciklih algoritma smo med fazo selekcije šli preko tega vozlišca. Drugi števec je vsota vrednosti iger, ki so šle preko tega vozlišca. Ce smo torej neko vozlišce v dosedanjem poteku algoritma obiskali desetkrat in smo pri tem sedemkrat zmagali ter trikrat izgubili, bomo to na kratko zapisali z oznako 7/10 znotraj vozlišca. Slika 3 prikazuje primer dela drevesa igre (celotno drevo bi imelo 21 vozlišc) med igralcem s crnimi figurami, ki je na potezi, in njegovim nasprotnikom z belimi figurami. Algoritem MCTS je doslej izvedel 20 simulacij, od katerih se jih je 14 koncalo z zmago za crnega, kar nam pove oznaka 14/20 v korenu drevesa (predpostavimo, da neodlocen izid ni možen)1. Številke ob vozlišcih predstavljajo enolicne oznake vozlišc, da se bomo nanje lažje sklicevali. V nadaljevanju bomo za število obiskov vozlišca i uporabljali oznako ni,
1Ce je pozoren bralec opazil, da je število obiskov vozlišca enako vsoti obiskov v njegovih naslednikih samo v korenu, naj spomnimo, da vsako razvito vozlišce razen korena prvic obi-šcemo že ob njegovem razvoju.

PRESEK 44 (2016/2017) 6
23
RAC UNALNIŠ TVO
—^ za njegovo vrednost pa vi.
Sedaj se lahko posvetimo problemu izbire potez med fazo selekcije algoritma MCTS. Dalec najbolj priljubljena strategija selekcije v obstoječih izvedbah osnovnega MCTS je strategija UCT (Upper Confidence bound for Trees). Naj bo i indeks trenutnega vozli-šca, v katerem v koraku selekcije izbiramo naslednjo potezo za premik po drevesu igre navzdol, in naj bo j indeks kateregakoli od njegovih naslednikov, tudi tistih, ki jih še nismo razvili in torej še nimajo pripadajočega vozlišca v drevesu igre. Vrednost UCT naslednika j izracunamo po naslednji enacbi:
Vi
UCTj = + c J ni
ln nt
(1)
Ob enacbi (1) se velja nekoliko pomuditi. Prvi clen enacbe je razmerje med doseženo vrednostjo naslednika in številom iger, ki so potekale preko njega. Ta bo višja pri tistih vozlišcih, ki so sodelovala v vecjem številu zmagovalnih iger. Na primeru s slike 3 je, recimo, vrednost prvega clena enacbe (1) za najbolj levega naslednika korena enaka | = 0.5. Med dvema naslednikoma z istim številom doseženih tock bo višje ocenjen tisti, pri katerem nam je to uspelo v manjšem številu poskusov. In podobno, med dvema vozlišcema naslednikoma z istim številom obiskov bo višje ocenjeno tisto, pri katerem smo ob tem dosegli višji izkupicek. Namen prvega clena enacbe (1) je torej favorizirati naslednike, ki so se v dosedanjih
SLIKA 3.
Primer dela drevesa igre za MCTS
simulacijah izkazali za boljše. To je t.i. izkorišceval-ski del prej omenjenega mehanizma uravnotežanja med raziskovanjem in izkorišcanjem.
Bralcu je najbrž jasno, da drugi clen enacbe (1) potemtakem predstavlja raziskovalni del mehanizma. To lahko potrdimo s tem, da razmislimo o vplivu ulomka pod korenom. V števcu ulomka nastopa število obiskov trenutnega vozlišca i, ki je enako za vse njegove naslednike. V imenovalcu nastopa število obiskov posameznega naslednika. Ce je to višje, bo vrednost ulomka, s tem pa tudi celotnega drugega clena, nižja. Drugi clen bo torej favoriziral redkeje obiskane naslednike, kar ustreza raziskovalnemu elementu iskalnih algoritmov. Še nerazvitim naslednikom, pri katerih je nj v obeh imenovalcih enak 0, priredimo vrednost UCT = 1. Eksperimentalno do-locena konstanta c je utež, s katero lahko poudarimo raziskovalno ali izkorišcevalno plat strategije UCT oziroma dolocamo ravnotežje med njima.
Strategija selekcije UCT v vsakem vozlišcu izbere potezo v smeri naslednika, ki ima najvišjo ali najnižjo vrednost UCT. Ce je takih naslednikov vec (npr. vsi še nerazviti nasledniki), potem med njimi izbere nakljucno. V smeri najvišje ocenjenega naslednika igramo v tistih vozlišcih, v katerih je na potezi igralec, ki je na potezi tudi v korenu (torej igralec, ki dejansko gradi drevo igre). V smeri najnižje ocenjenega naslednika igramo v vozlišcih, kjer je na potezi nasprotnik. Bralec naj sam razmisli, zakaj je takšna strategija selekcije smiselna. Kot namig naj samo ponovimo, da vrednosti v v vozlišcih odražajo višino izkupicka s stališca igralca, ki je na potezi v korenu.
Oglejmo si, kako bi strategija selekcije izbirala poteze na primeru s slike 3 pri c = 1. V korenu izracu-namo vrednosti UCT za naslednike in dobimo:
UCT1 = 3 + J ^ = 1.207,
UCT2=10+
ln20 12
= 1,333,
UCT3 = i ^ !f° = 1,724.
Strategija selekcije v korenu izbere potezo v smeri najvišje ocenjenega naslednika, kar je vozlišce 3. To stori tudi v primeru, ce ima koren še kakšne nerazvite naslednike, katerih vrednost UCT je enaka 1. Ker vozlišce 3 ni koncni položaj, v nadaljevanju stra-
ni
24
PRESEK 44 (2016/2017) 6
RAC UNALNIŠ TVO
tegija selekcije naključno izbere med njegovimi še nerazvitimi nasledniki, katerih vrednost UCT je enaka 1. Vrednost UCT že razvitega naslednika je namreč nižja, saj znaša Vln 2 = 0,833.
Preostane samo še vprašanje izbire kon cne poteze. Ko se Cas za izbiro poteze izteče, vrnemo potezo v smeri največkrat obiskanega naslednika korena. Zakaj ne v smeri najbolje ocenjenega? Lahko tudi to, izkaže se namreC, da gre v veČini primerov za eno in isto vozlišče, sicer pa se je izbira najpogosteje obiskanega naslednika korena izkustveno bolj uveljavila v praksi.
Zgled križci-krožci
Da teoretično razlago podkrepimo še s praktičnim zgledom, vzemimo primer dobro znane igre križci-krožci. Naj bo trenutni položaj v igri takšen, kot je prikazan v korenu drevesa na sliki 4, na potezi pa je križec. Pri izbiri naslednikov bomo upoštevali, da so preko horizontale, vertikale ali diagonale prezr-caljena stanja igre enakovredna. Med zrcalno enakovrednimi nasledniki bomo zato vedno upoštevali le enega, kar bo poenostavilo obravnavo in prikaz. Prav tako zaradi poenostavitve računanja uporabimo c = 1.
V	prvem ciklu algoritma MCTS v korenu izbiramo med štirimi nerazvitimi nasledniki (izrisanimi črtkano na sliki 4) z oceno UCT enako 1. Med njimi zato izberemo naključno in denimo, da je izbrana poteza križca v sredino levega roba.
Drevo igre razširimo z novim vozliščem, iz katerega izvedemo naključno simulacijo igre. Predpostavimo, da se ta konča v položaju, kjer je zmagovalec križec (slika 5). Izid simulacije zato ovrednotimo z 1 in novorazvitemu listu ter korenu po poti nazaj posodobimo vrednosti n in v. V našem primeru to storimo tako, da oba števca povečamo za ena (slika 6).
V	drugem ciklu algoritma v korenu s strategijo UCT spet izbiramo med štirimi nasledniki. Trije nerazviti nasledniki b, d in e imajo še vedno vrednost UCT enako 1, prav tolikšno pa ima že razviti naslednik c, saj velja:
UCTc = 1 +
ln1 1
= 1.
SLIKA 4.
V korenu strategija selekcije naključno izbere med štirimi nerazvitimi nasledniki.
SLIKA 5.
Naključna simulacija iz novega lista se konča v položaju, kjer je zmagovalec igralec na potezi, tj. križec.
Ce tokrat naključno izberemo naslednika e in od tam

25	PRESEK 44 (2016/2017) 6

RAC UNALNIŠ TVO

SLIKA 6.
V fazi osvežitve novemu listu in korenu povečamo oba števca.
naprej s simulacijo dosežemo neodlocen koncni izid, po posodobitvi vrednosti vozlišca e in korena dobimo situacijo s slike 7.
SLIKA 7.
Stanje drevesa igre po dveh ciklih algoritma MCTS
SLIKA 8.
Stanje drevesa igre po sedmih ciklih algoritma MCTS
V tretjem ciklu bomo v korenu izbirali med nerazvitima naslednikoma b in d z vrednostjo UCT = i, naslednikom c z vrednostjo UCTc = i + Vln2/i = 1,833 ter naslednikom e z vrednostjo UCTe = 0.5 + Vln2/i = i,333. Izbrano bo vozlišce c, v katerem se bomo potem odlocali med šestimi možnimi nadaljevanji, od katerih še nobeno ni vkljuceno v drevo igre. Izbira novega lista na globini 2 drevesa igre bo torej spet nakljucna.
Da se primer ne zavlece prevec, skocimo na zadnji cikel algoritma - naj bo to cikel 8. Predpostavimo, da je drevo igre po sedmih izvedenih ciklih takšno, kot ga prikazuje slika 8. Vrednosti UCT vozlišc naslednikov korena so naslednje:
26
PRESEK 44 (2016/2017) 6
RAZVEDRILO
UCTb = 2 + J^ = 1, 395,
3
4
UCTd = 1
ln7
UCTc = + ^ —r = 1,447,
4
UCTe = f ^^ = 1, 236.
Izberemo torej potezo v smeri vozlišča c, katerega očena je najvišja. V vozlišču c se odločamo med naslednikom f z očeno UCTf = 1,5/2 + Vln4/2 = 1,583, naslednikom g z očeno UCTg = 0,5/1 + Vln4/1 = 1,677 ter še nerazvitimi štirimi nasledniki z očeno UCT = 1. Ker je v vozlišču c na potezi krožeč, strategija selekčije izbere potezo z najnižjo očeno UCT, torej naključno izbere enega od še nerazvitih naslednikov. Ne glede na izid simulačije bo po osmih čiklih najpogosteje izbran naslednik korena še vedno vozlišče c. Če bi se torej v tem trenutku morali odločiti za potezo, bi bila to poteza v sredino levega roba.
Literatura
[1]	D. E. Knuth in R. W. Moore, An analysis of alphabeta pruning, Artificial Intelligence, 6(4), str. 293326, 1975.
[2]	C. B. Browne, E. Powley, D. Whitehouse, S. M. Lucas, P. I. Cowling, P. Rohlfshagen, S. Tavener, D. Perez, S. Samothrakis in S. Colton, A survey of Monte Carlo tree search methods, IEEE Transactions on Computational Intelligence and AI in games, 4(1), str. 1-43, 2012.
[3]	D. J. Wu, Designing a winning Arimaa program, ICGA Journal, 38(1), str. 19-41, 2015.
[4]	D. Silver, A. Huang, C. J. Maddison, A. Guez, L. Si-fre, G. Van Den Driessche, J. Schrittwieser, I. An-tonoglou, V. Panneershelvam, M. Lanctot in S. Di-eleman, Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search, Nature, 529(7587), str. 484-489, 2016.
XXX
nU vU NU
RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE
presek 44/5
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz pete številke Preseka je Nevidnost. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Anže Mihelcic iz Kresnič, Vlasta Po-speh Fischer iz Celja in Jože PavlišiC iz Črnomlja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
PRESEK 44 (2016/2017) 6
27
TEKMOVANJA

nU NU NU
Boštjan Kuzman
-> Letošnja slavnostna podelitev nagrad tekmovalcem v matematiki, fiziki in astronomiji je potekala v soboto, 13. maja, v Unionski dvorani v Ljubljani. V letu 2016/17 je na tekmovanjih v organizaciji DMFA Slovenije sodelovalo 133139 tekmovalcev in 8116 mentorjev iz 709 šol, podeljenih je bilo 948 zlatih priznanj, na zaključno prireditev pa je bilo povabljenih 213 nagrajencev in 172 mentorjev, ki so osvojili skupaj 252 nagrad.
V praznično urejeni dvorani je nagrajence na velikem platnu pozdravila ilustracija popotniškega para, ki z bistrimi ocmi opazuje zvezdnato nebo. Najbolj pozorni so morda opazili, da popotnika v prtljagi nosita tudi knjigi prof. Vidava in prof. Strnada. Ko so se ugasnile luci, je na platnu zasijalo zvezdnato nebo, na odru pa se je z Meditacijo za mali boben predstavil prvi od dveh dijakov, nagrajencev letošnjega tekmovanja mladih glasbenikov. Med njegovim vir-tuoznim nastopom so se pred gledalci na platnu zvr-
stili prizori iz letošnjih tekmovanj in obudili njihove tekmovalne obcutke.
Za uvod sta s krajšim nagovorom pricela prof. dr. Dragan Mihajlovic, predsednik DMFA Slovenije, in ministrica prof. dr. Maja Makovec Brencic. Po predstavitvi osnovnih statisticnih podatkov je voditeljica Mojca Delac napovedala prve podelitve. V prvem delu so bile podeljene nagrade za srednješolska tekmovanja iz matematike, fizike in astronomije, ki so jih podelili predstavniki tekmovalnih komisij skupaj z vodji ustreznih ekip za mednarodne olimpijade. Sledila je še ena glasbena tocka z virtuozno liricno skladbo za vibrafon.
Ob napovedi, da je cas za posebno gostjo, je voditeljica prebrala nekaj stavkov iz revije Presek, v kateri so leta 1975 porocali o republiškem tekmovanju v matematiki. Povedala je, da je tedanja zmagovalka med cetrtošolci, dijakinja Mirjam Cvetic, danes med nabolj uglednimi znanstveniki na podrocju teorije strun na svetu, in prof. dr. Cveticevo ob aplavzu povabila na oder. Na odru je prof. Cveticevo najprej na kratko predstavila kot vrhunsko znanstvenico, nato pa jo prosila, ce lahko tudi laikom v dvorani pred-
28
PRESEK 44 (2016/2017) G
TEKMOVANJA

stavi vsaj delček svojega znanstvenega dela. S pomočjo prosojnič je dr. Cvetičeva na odru v kratkem predavanju orisala, kako teorija gravitačije po Einsteinu predvideva nastanek črnih lukenj in kako poskuša teorija strun pojasniti vrzeli med kvantno mehaniko in teorijo relativnosti. Po gromkem aplavzu je Cvetičeva mlade spodbudila, naj sledijo svojim sanjam in izpostavila, kako pomembna sta bila zanjo njena učitelja matematike Niko Kontler v osnovni šoli Maksa Durjave in prof. Marija Munda na Drugi gimnaziji v Mariboru. V zaključni sčeni prvega dela podelitve je prof. Cvetičeva skupaj z ministričo sprejela dijake, ki so se uvrstili v katero od olimpijskih ekip, medtem ko so ob ritmih brazilske sambe (matematična olimpijada bo letos v Braziliji!) in glasnem aplavzu publike stopali na oder za nagrajenče.
Kratkemu odmoru je sledil še drugi del prireditve. Najprej smo si ogledali kratek videoposnetek avtoriče Maje Pečar, ki je zabeležila trenutke presenečenja in navdušenja mlajših otrok pri izvajanju fizikalnih eksperimentov v okviru priprav na tekmovanje Kresnička. Sledile so podelitve nagrad v preostalih tekmovalnih kategorijah, pri katerih so poleg članov tekmovalnih komisij sodelovali tudi predstavniki različnih fakultet in prof. dr. Peter Legiša kot urednik revije Presek. Kot novost so bila prvič podeljene tudi nagrade za matematično tekmovanje študentov. Na odru je bila predstavljena še nagradna Poletna šola za devetošolče v Plemljevi vili na
Bledu, katere ponovni zagon je po več letih premora omogočil Turizem Bled. Na poletno šolo bodo junija povabljeni vsi nagrajeni devetošolči tekmovanj iz matematike, fizike in astronomije (žal brez razvedrilne matematike). Srednješolči, ki želijo preživeti teden dni v dobri družbi in ob zanimivih matematičnih izzivih pa so bili povabljeni na že 12. raziskovalni tabor MARS, ki bo potekal avgusta v Catežu pri Litiji. Ob sklepu prireditve je voditeljiča vsem zaželela uspešen zaključek leta in prijetne počitniče, ustvarjalči prireditve in njeni gostje pa smo bili enotnega mnenja, da je bila letošnja podelitev ena najbolje izpeljanih doslej. Upamo, da bodo podobno uspešni tudi vsi dijaki, ki se bodo v poletnih mese-čih udeležili mednarodnih tekmovanj.
rlUB
SLIKA 1.
Častna gostja prof. dr. Mirjam Cvetic na odru pojasnjuje osnove teorije strun, foto: Jana Jocif.
Prof. dr. Mirjam Cvetic je leta 1975 kot dijakinja 4. letnika zmagala na republiških tekmovanjih v matematiki in fiziki. Za izjemne študijske in znanstvene dosežke je bila nagrajena že v času diplomskega in magistrskega študija fizike v Ljubljani. V želji po raziskovalnem delu na področju tedaj povsem nove teorije strun je odšla na doktorski študij na univerzo Maryland, kjer je prejela nagrado za najuspešnejšo doktorsko študentko v generaciji in bila izbrana med na-jizjemnejše mlade ženske v ZDA. Sledila je bleščeča znanstvena in akademska kariera, v kateri je prejela vrsto nagrad tako za znanstveno kot tudi za pedagoško delo. Prof. Cvetičeva je soavtorica vec kot 300 znanstvenih člankov z izjemno čitiranostjo. Nekaj njenih najpomembnejših znanstvenih dosežkov je s področja teorije črnih lukenj, nekatere so tudi poimenovane po njej, kot črna luknja Cvetič-Youm in Chong-Cvetič-Lu-Pope.

29	PRESEK 44 (2016/2017) G

TE KM O VANJ A

SLIKA 2.
V imenu olimpijcev seje staršem, mentorjem in vodjem ekip za podporo zahvalil Aleksej Jurca, foto: Jana Jocif.
Člani ekip za mednarodna tekmovanja 2017:
Mednarodna matematična olimpijada, 12.-23. julij 2017, Brazilija
■	Luka Horjak, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	Andraž Maier, Gimnazija Jesenice, A. Miler
■	David Opalič, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	David Popovic, Gimnazija Bežigrad, V. Domajnko
■	Domen Vreš, ŠC Ravne na Koroškem, Gimnazija, S. Vreš
■	Nejc Zajc, ŠC Velenje, Gimnazija, S. France.
Vodja ekipe: dr. Gregor Dolinar Pomocnik vodje: Veno Mramor Tehnicni sodelavec IMO: dr. Matjaž Željko.
Mednarodna fizikalna olimpijada, 16.-24. julij 2017, Indonezija, in Evropska fizikalna olimpijada, 20.-24. maj 2017, Estonija
■	Klemen Bogataj, Gimnazija Škofja Loka, A. Erman
■	Marko čmrlec, Gimnazija Bežigrad, C. Dominko
■	Urban Duh, II. gimnazija Maribor, M. Jagodic
■	Luka Govedič, II. gimnazija Maribor, M. Jagodic
■	Aleksej Jurca, Gimnazija Bežigrad, C. Dominko.
Vodji ekipe: dr. Jure Bajc in dr. Barbara Rovšek
Mednarodna olimpijada iz astronomije in astrofizike, 12.-21. november 2017, Tajska
■	Marko Čmrlec, Gimnazija Bežigrad, V. Domajnko
■	Luka Govedič, II. gimnazija Maribor, G. Žiberna
■	Aleksej Jurca, Gimnazija Bežigrad, S. Zamuda
■	Rok KovaC, Gimnazija Vic, Ljubljana, V. Kariž Merhar
■	Urban Ogrinec, Gimnazija in SŠ Rudolfa Maistra Kamnik, S. Perhavec.
Vodja ekipe: dr. Maruša Žerjal
Srednjeevropska matematična olimpijada, 21.-27. avgust 2017, Litva
■	Marko Čmrlec, Gimnazija Bežigrad, V. Domajnko
■	Ana Meta Dolinar, Gimnazija Bežigrad, V. Domajnko
■	Luka Horjak, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	Andraž Maier, Gimnazija Jesenice, A. Miler
■	David Opalič, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	Nejc Zajc, ŠC Velenje, Gimnazija, S. France.
Vodja ekipe: Jakob Jurij Snoj
Evropska dekliška matematična olimpijada, 6.-12. april 2017, Švica
■	Ana Meta Dolinar, Gimnazija Bežigrad, V. Domajnko
■	Klara Drofenik, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	Ana Opalič, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek
■	Špela Polak, I. gimnazija v Celju, K. Kocbek.
Vodja ekipe: Veno Mramor
Pridi na MARS!
Bi radi preživeli pester pocitniški teden v dobri družbi ob zanimivih matematicnih izzivih? Pridite na raziskovalni tabor MARS za srednješolce, ki bo od 13.19. avgusta v CŠOD Cebelica. Vec informacij najdete na spletnem naslovu mars.dmfa.si.
_ XXX
30
PRESEK 44 (2016/2017) 6
RAZVEDRILO
Nevihta se bliža
-i' -i' -i'
Neža Golmajer Zima
-> Zrak se med dviganjem prilagaja vse nižjemu zračnemu tlaku v višinah in se ob tem razpenja. Za razpenjanje mora odrivati okoličo, kar pomeni, da opravlja delo na račun notranje energije. Torej se zrak ob dviganju adiabatno ohlaja. Z ohlajanjem se mu temperatura zniža in pri ohladitvi do rosišča nastanejo oblaki. Ob dviganju prav do meje med spodnjo troposfero in stratosfero nad njo, kjer se dviganje zaustavi, nastanejo oblaki, katerih vrh je razširjen v nakovalo (incus). Eden od takih oblakov je kumu-lonimbus capillatus. Beseda nimbus po latinsko pomeni oblak, latinska predpona cumulus pomeni ko-pičo, dodatni opis capillatus pa pravi, da vrh videti vlaknat, kot nekaki lasje (capillus - lasje). Obstajajo še druge vrste kumulonimbusov, ki se med seboj razlikujejo po obliki.
Kumulonimbusi so nevihtni oblaki in so lahko pre-čej nevarni, saj s seboj prinašajo močen dež in vetrove, včasih tudi točo in strele. Ob njih nastajajo lahko tudi tornadi, nad morjem pa trombe. Spodnji rob teh oblakov je lahko prečej nizko. Navzgor segajo do vrha troposfere, to je najnižji del atmosfere, ki sega od površja Zemlje do višine kakih 11 km v zmernih zemljepisnih širinah, nad ekvatorjem nad 15 km, sem in tja do 20 km, nad polarnimi območji pa tudi manj kot 10 km. Za troposfero je značilno, da v njej temperatura z višino pada.
Kumulonimbusi imajo lahko obliko nakovala, ali pa so brez njega. Nakovalo nastane, ko se zrak dvigne prav do tropopavze, to je meje med troposfero in
stratosfero. Od tam navzgor skozi stratosfero temperatura ne pada več z višino, temu rečemo izoter-mija. Nekaj višje se pojavi temperaturna inverzija, torej se temperatura začne z višino čelo povečevati. Tak potek temperature z višino pomeni močno stabilnost za vertikalne premike, zato se tam dviganje ustavi. Namesto izraza, da se je dviganje ustavilo, ob poljudnem izražanju lahko rečemo, da se je zrak »zaletel« ob stabilno plast. Značilno obliko nakovalu daje torej širjenje zraka vstran, ko se ne more več dvigati navzgor. Kadar so kumulonimbusi brez nakovala, so njihovi vrhovi kot ogromne kupole - takim rečemo calvus (gol). Ti se torej še »niso zaleteli« ob stabilno plast nad njimi.
Sestava oblaka se spreminja z višino: v bazi prevladujejo vodne kapljiče, v nakovalu, kjer je temperatura zelo nizka (okrog -50 °C), pa se para neposredno pretvarja ledene kristale. Zaradi močnih vertikalnih gibanj vodnih kapljič in ledenih kristalov znotraj oblaka, le ti pri večkratnem kroženju pridobivajo na masi. Pri visokih oblakih v višinah torej vedno sneži: pozimi in poleti. Ko imajo padavinski delči dovolj veliko maso, padejo iz oblaka in če je spodaj dovolj toplo, da se stalijo, pada dež, sičer pa (pozimi) sneg, sodra ali čelo toča. . .
Včasih vidimo iz oblakov padavine, ki pa ne dosežejo tal, saj v nenasičenem zraku pod oblakom izhlapijo, še preden padejo na tla. Padavinam, ki ne dosežejo tal, rečemo virga (vejiča), saj so njihovi pasovi zgoraj široki, navzdol pa vse ožji. Pri kumulonimbu-sih so padavine močne, zato izpod baze oblaka do tal ne izhlapijo - torej pod temi oblaki ni padavin v obliki virge. So pa možne virge iz stranskih delov nakovala, pod katerimi je nenasičen zrak - seveda so to kristalčki in ne kapljiče.
SLIKA 1.
Fotografija je bila posneta na Medvedjem Brdu, 8. 8. 2010. _XXX
<
PRESEK 44 (2016/2017) 6
31
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo vec kot 6 milijonov tekmovalcev iz vec kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv.
MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU

2012-2016
10,99 EUR
18,74 EUR
14,50 EUR
23,00 EUR
Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižnici izšlo že pet knjig Matematicnega kenguruja. Na zalogi so še:
•	Evropski matematični kenguru 2002-2004,
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011,
•	Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost).
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite:
http://www.dmfa-zalozni stvo.si/
Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga!
RAZVEDRILO
■is ■i' ■i'
Nagradna križanka
16
PRESEK 44 (2016/2017) 6	16
RAZVEDRILO
-> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. avgusta 2017, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
XXX
PRESEK 44 (2016/2017) 6
17