OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
MAREC 2021STR 1-40ŠT. 1LETNIK 68LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2021
Letnik 68
1
i
i
“kolofon” — 2021/6/7 — 10:33 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAREC 2021, letnik 68, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za člane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2021 DMFA Slovenije – 2136 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
POMNOŽITEV HIPERKOCKE
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
Antični geometrijski problem podvojitve kocke lahko posplošimo na problem njene
poljubne pomnožitve. Še več, problem lahko razširimo na pomnožitev hiperkocke. V ta
namen bomo uporabili primerno posplošeno cisoido.
MULTIPLYING THE HYPERCUBE
The ancient geometric problem of doubling the cube can be extended to a problem
of an arbitrary multiplying. Moreover, the problem can be extended to multiplying the
hypercube. To this purpose we will use a suitable generalized cissoid.
Uvod
Podvojitev kocke je klasični grški geometrijski problem, ki se ga ne da rešiti
evklidsko, to je samo z neoznačenim ravnilom in šestilom, kar so dokazali šele
v 19. stoletju. Problem zahteva določiti rob kocke, ki ima prostornino enako
dvakratniku prostornine dane kocke. To pomeni, da je treba za dano daljico
a konstruirati tako daljico b, za katero je b = a 3
√
2. Problem podvojitve
kocke so Grki znali rešiti na več načinov. Eden od njih je možen s posebno
ravninsko krivuljo, z Dioklovo cisoido (več v [1, 4, 6, 8]).
Povsem smiselno se je vprašati, kako bi pomnožili s faktorjem λ > 0 po-
ljubno r-razsežno hiperkocko z robom a. Njena prostornina je ar, zato je
b = a r
√
λ rob hiperkocke, katere prostornina je λ-kratnik prostornine hiper-
kocke z robom a. Dva primera sta trivialna. Za r = 1 imamo daljico, njena
»prostornina« je kar njena dolžina a, za r = 2 pa kvadrat, čigar »prostor-
nina« je kar njegova ploščina a2. Za r = 3 imamo opraviti z običajno kocko
z običajno prostornino a3. V prvih dveh primerih množenje s faktorjem λ
ni problematično, saj ga ob izbiri enote 1 geometrijsko lahko opravimo s
podobnimi trikotniki in z vǐsinskim izrekom v pravokotnem trikotniku.
Za r ≥ 4 si r-razsežno hiperkocko teže predstavljamo, ker je ne moremo
realizirati z običajno geometrijo. To pa ni ovira pri pomnožitvi take hiper-
kocke s številom λ, ker moramo znati geometrijsko pomnožiti samo njen rob
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
a s številom
r
√
λ, kar pa lahko naredimo v običajni ravnini. V matematični
analizi je r-razsežna hiperkocka z robom a na primer kar r-kratni kartezični
produkt intervala [−a/2, a/2] s samim seboj, to je množica
[−a/2, a/2]r = {(x1, x2, . . . , xr) ∈ Rr ∶ ∣x1∣ ≤ a/2, ∣x2∣ ≤ a/2, . . . , ∣xr ∣ ≤ a/2}.
V nadaljevanju se bomo omejili na enotske hiperkocke, ki imajo rob 1 in
prostornino 1. Če namreč znamo le-te geometrijsko pomnožiti s faktorjem
λ, znamo geometrijsko pomnožiti s tem faktorjem tudi hiperkocke z robom
a. Za to je treba uporabiti podobne trikotnike. S tem se ob izbrani enoti 1
in konstruktibilnim številom λ ves problem zreducira na konstrukcijo števila
r
√
λ. To pa ne gre vedno evklidsko, zato privzamemo obstoj posebnih kri-
vulj, ki to omogočajo. Število λ je konstruktibilno, če lahko daljico dolžine
λ evklidsko konstruiramo v končno mnogo korakih iz daljice z dolžino 1.
Števila
r
√
λ so konstruktibilna v razširjenem smislu, namreč po potrebi tudi
ob pomoči teh posebnih krivulj.
S konstrukcijo tretjega korena so se ukvarjali že v antiki, na primer
Nikomedes (3. stol. p. n. št.), Diokles (3.–2. stol. p. n. št.) in Papos (3.–4.
stol.) (glej na primer [3, 5, 7]).
Na splošno ne delajo težav razsežnosti r = 2p, kjer je p ≥ 2 naravno
število, ker je tedaj
r
√
λ rezultat p-kratnega zaporednega kvadratnega ko-
renjenja števila λ, kar lahko geometrijsko realiziramo na primer s p-kratno
uporabo vǐsinskega izreka v pravokotnem trikotniku. Če je r = 2pq1q2⋯qk,
kjer je p naravno število, q1, q2, . . . , qk pa liha praštevila, ne nujno med seboj
različna, lahko uporabimo zvezo
r
√
λ =
qk
√
qk−1
√
. . .
q1
√
2p
√
λ
in postopoma konstruiramo δ0 = 2
p√
λ, δ1 = q1
√
δ0, δ2 = q2
√
δ1,. . . , δk = qk
√
δk−1
in nazadnje je
r
√
λ = δk.
Cisoide
Do ravninskih krivulj pridemo na različne načine. Eden od njih je cisoidni
način. Do nove krivulje pridemo z uporabo znanih krivulj K1 in K2 ter
točke O, ki ležijo v isti ravnini. Pri tem sta K1 in K2 taki krivulji, da vsaka
premica p skozi O, ki seka K1 v neki točki T1, seka tudi K2, recimo v točki
2 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
T2 (slika 1). Za vsak T1 označimo na p točko T tako, da velja
Ð⇀
OT = ÐÐ⇀T1T2.
Ko T1 potuje po K1, T opǐse krivuljo C, ki jo imenujemo cisoida krivulj K1
in K2 glede na točko O. Definicije take cisoide se nekoliko razlikujejo od
vira do vira, zgornja je povzeta po [2]. Ime krivulje C bomo obrazložili v
nadaljevanju.
Slika 1. Krivulja C je cisoida krivulj K1 in K2 glede na točko O.
V nadaljevanju je, če ni drugače rečeno, r vedno liho število, večje ali
enako 3. Dovolj bi bilo sicer obravnavati le liha praštevila, kot smo videli
v uvodu, da bi konstruirali r-ti koren, toda konstrukcija bi lahko zahtevala
veliko zaporednih korenjenj. Cisoide, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo
obravnavali z metodami analitične geometrije v ravnini. V ta namen posta-
vimo ravninski pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxy. Krivuljo, ki
ima v tem koordinatnem sistemu enačbo
xr−1 + yr−1 = xr−2, (1)
označimo s Hr. To je algebrska krivulja stopnje r − 1. Če vstavimo v (1)
y = tx, dobimo parametrični enačbi krivulje Hr:
x(t) = 1
1 + tr−1 , y(t) =
t
1 + tr−1 . (2)
KrivuljaHr je sklenjena, leži v prvem in četrtem kvadrantu, poteka skozi
točke O(0,0), A(1,0) in D±(1/2,±1/2) (slika 2). Točko A doseže za t = 0,
točki D± za t = ±1, točko O pa v limiti ∣t∣→∞. Iz (2) izračunamo
dy
dx
(t) = (r − 2)t − t
2−r
r − 1 ,
dx
dy
(t) = (r − 1)t
r−2
(r − 2)tr−1 − 1 . (3)
1–9 3
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. Krivulja H5.
Iz prvega izraza v (3) ugotovimo, da ima krivulja vodoravni tangenti za
t = ±1/ r−1
√
r − 2 v točkah
M
(r)
±
⎛
⎝
r − 2
r − 1 ,±
r−1
√
(r − 2)r−2
r − 1
⎞
⎠
.
Z rastočim r se točkiM
(r)
± pomikata proti asimptoti krivulje (slika 5). Račun
pokaže, da točke M
(r)
± ležijo na nealgebrskih krivuljah L±, ki imata enačbi
y = ±xx(1 − x)1−x in sta simetrični glede na premico x = 1/2. Pri tem je
0 < x < 1. Absolutni vrednosti ordinat točk M (r)± sta manǰsi kot 1 za vsak
r ≥ 3.
Iz drugega izraza v (3) izračunamo dxdy (0) = 0, kar pomeni, da ima Hr v
točki A za tangento premico x = 1. Ker pa dxdy (t) → 0, ko ∣t∣ → ∞, ima Hr
za tangento v točki O ordinatno os x = 0, kar sicer na sliki 2 ni očitno.
Poiskali bomo cisoido Cr krivulj Hr in x = 1 glede na točko O(0,0)
(slika 3). Premica p skozi O naj ima enačbo y = tx. Krivuljo Hr preseka v
točkah O in T1(1/(1 + tr−1), t/(1 + tr−1)), premico x = 1 pa v točki T2(1, t).
Koordinati točke T iskane cisoide Cr sta potemtakem
xT = 1 −
1
1 + tr−1 =
tr−1
1 + tr−1 , yT = t −
t
1 + tr−1 =
tr
1 + tr−1 .
4 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
Slika 3. Nastanek cisoide stopnje 5.
To pomeni, da smo našli parametrični enačbi cisoide Cr:
x(t) = t
r−1
1 + tr−1 , y(t) =
tr
1 + tr−1 . (4)
Če vstavimo v prvo enačbo t = y/x, dobimo po poenostavitvi enačbo cisoide
Cr še v implicitni obliki:
x(xr−1 + yr−1) = yr−1. (5)
Krivuljo Cr, ki je algebrska krivulja stopnje r, je smiselno imenovati
cisoida stopnje r. Ker se krivulja Cr da parametrizirati s parom racionalnih
funkcij, jo uvrščamo med racionalne krivulje. Prav tako je krivulja Hr
racionalna.
Cisoida C3 je cisoida krivulje H3, ki ni nič drugega kot krožnica z enačbo
x2 + y2 = x, in premice x = 1 glede na točko O. Krožnica ima sredǐsče v
točki S(1/2,0) in polmer % = 1/2. Cisoida C3 je znana že iz antičnih časov.
1–9 5
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Imenuje se Dioklova cisoida. Besedo cisoida so začeli uporabljati tudi za
krivulje, ki nastanejo na prej opisani cisoidni način z dvema krivuljama
glede na neko točko. Beseda cisoida izvira iz grške besede kissós, kar pomeni
bršljan. Del kroga med H3 in cisoido ima namreč obliko bršljanovega lista.
Diokles, po katerem se krivulja imenuje, je bil starogrški matematik, ki je
z njo znal podvojiti kocko. Spoznali bomo, da se z njo da kocko ne samo
podvojiti, ampak tudi potrojiti, početveriti in celo pomnožiti s poljubnim
konstruktibilnim številom λ.
Ideja, zakaj za Hr vzeti ravno krivuljo z enačbo (1), izvira iz enačbe
x2 + y2 = x, ki pomaga konstruirati Dioklovo cisoido. V izrazu x2 + y2 je
eksponent 2, kar je za 1 manj kot 3, to je od razsežnosti običajne kocke, ki jo
znamo podvojiti. Na desni strani enačbe pa je eksponent 1, kar je za 2 manj
kot 3. Zato smo za naš namen, kot se bo izkazalo, pravilno predvidevali,
da sta za r-razsežno hiperkocko res dobra ravno eksponenta r − 1 in r − 2 v
enačbi (1).
Krivulja Cr je simetrična glede na os x, definirana je nad intervalom
[0,1), poteka tako kot krivulja Hr, skozi točko O(0,0), ki jo doseže pri
t = 0, in skozi točki D±(1/2,±1/2) pri t = ±1. Ko ∣t∣ narašča proti ∞, se
x približuje vrednosti 1, y pa gre v ∞. To pomeni, da je premica x = 1
navpična asimptota krivulje Cr. Iz (4) izračunamo še
dy
dx
(t) = rt + t
r
r − 1 ,
iz česar ugotovimo, da ima cisoida Cr v točki O, ko je t = 0, ost z vodoravno
tangento, kar na slikah sicer ni očitno.
Pomnožitev hiperkocke
Poglejmo, kako lahko z uporabo cisoide Cr konstruiramo r
√
λ. Izberimo na
osi y točko B(0, λ) in načrtajmo premico skozi A in B. Tu je potrebna
konstruktibilnost števila λ, sicer točke B ne bi znali vedno geometrijsko
določiti, na primer za λ = π. Poǐsčimo presečǐsče P cisoide Cr s to premico.
Če prepǐsemo (5) v obliko (1−x)yr−1 = xr, premico skozi A in B pa izrazimo
v obliki 1 − x = y/λ, takoj dobimo enačbo xr = yr/λ. Ordinata in abscisa
presečǐsča P sta zato v razmerju
r
√
λ. Premica skozi O in P ima enačbo
y = x r
√
λ in preseka asimptoto cisoide Cr v točki C(1, r
√
λ). S tem smo
konstruirali število
r
√
λ, kar omogoča konstruirati še rob b = a r
√
λ hiperkocke,
6 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
Slika 4. Geometrijska konstrukcija petega korena.
Slika 5. Krivulje Hr (levo) in Cr (desno) za r = 3,5,7 v prvem kvadrantu.
katere prostornina je λar. Če izberemo λ = 2,3,4, . . ., lahko hiperkocko
podvojimo, potrojimo, početverimo itd. Na sliki 4 je predstavljen primer za
r = 5.
1–9 7
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Za vsa liha števila r ≥ 3 lahko torej z uporabo cisoide Cr konstruiramo
r
√
λ za vsak pozitiven λ. To omogoča pomnožitev r-razsežne hiperkocke.
Za konec
Lepo se dajo izračunati ploščine likov pod krivuljami Cr in Hr nad inter-
valom [0,1] za r ≥ 3. Označimo ploščino pod Cr s Pr, pod Hr pa s Sr.
Izrazimo ju lahko prek Eulerjevih funkcij Γ in B. Za r ≥ 3 dobimo:
Pr = ∫
1
0
x
r
r−1 (1 − x)
1
1−r dx = 1
2
Γ(2r − 1
r − 1 )Γ(
r − 2
r − 1) =
πr
2(r − 1)2 sin πr−1
,
Sr = ∫
1
0
x
r−2
r−1 (1 − x)
1
r−1 dx = 1
2
Γ(2r − 3
r − 1 )Γ(
r
r − 1) =
π(r − 2)
2(r − 1)2 sin πr−1
.
Točke, ki ustrezajo posameznim parametrom t racionalnih krivulj Hr in
Cr, se v načelu da konstruirati evklidsko. Točke krivulje Hr pa lahko eno-
stavneje konstruiramo evklidsko z uporabo vǐsinskega izreka v pravokotnem
trikotniku, cisoide Cr pa še s podobnostjo trikotnikov, če je r za 1 povečana
potenca števila 2, to se pravi, če je r = 2n + 1, kjer je n naravno število, na
primer r = 3,5,9,17.
Oglejmo si primer r = 5. Krivulja H5 ima enačbo x4 + y4 = x3. Konstru-
irajmo jo po točkah v prvem kvadrantu. Enačbo preuredimo v y4 = x3(1−x).
Za 0 ≤ x ≤ 1 vpeljemo geometrijsko sredino y1 =
√
x(1 − x) in dobimo y4 =
x2y21, kar še korenimo: y
2 = xy1. Ordinata y, ki ustreza x, je geometrijska
sredina za x in y1. Geometrijske sredine pa evklidsko realiziramo z vǐsinskim
izrekom v pravokotnem trikotniku.
Prav tako delamo s krivuljo C5, ki ima enačbo x(x4 + y4) = y4. Kon-
struirajmo jo po točkah v prvem kvadrantu. Enačbo preuredimo v x6 =
y4x(1 − x). Za 0 < x < 1 vpeljemo geometrijsko sredino y1 =
√
x(1 − x)
in dobimo x6 = y4y21 in s korenjenjem še x3 = y2y1. Pomnožimo z x, da
dobimo: x4 = y2xy1. Nato vpeljemo geometrijsko sredino y2 =
√
xy1 in
dobimo x4 = y2y22. Korenimo in dobimo x2 = yy2, kar zapǐsemo v obliki
sorazmerja: y/x = x/y2. Očitno do y pri danem x pridemo z dvakratno upo-
rabo vǐsinskega izreka v pravokotnem trikotniku, sorazmerje pa realiziramo
s podobnimi trikotniki in dobimo y.
Kako pa je v primerih r = 1 in r = 2? Za 0 < x < 1 dobimo iz (1) v
prvem primeru x0+y0 = x−1, kar je poenostavljeno isto kot x = 1/2, iz (5) pa
8 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
x(x0+y0) = y0 oziroma x = 1/2. Krivulji H1 in C1 imata isto enačbo, x = 1/2,
ki predstavlja premico. Rezultat je v soglasju s konstrukcijo
1
√
λ = λ.
Za r = 2 in 0 < x < 1 dobimo za H2 del premice x + y = 1, za C2 pa del
hiperbole x(x + y) = y, ki ima asimptoti x = 1 in x + y = −1 ter sredǐsče v
točki (1,−2). Točke krivulje C2 najlaže konstruiramo, če enačbo x(x+y) = y
zapǐsemo najprej v obliki x2 = y(1 − x), nato pa v obliki sorazmerja y/x =
x/(1 − x). Točke krivulje konstruiramo s podobnimi trikotniki. Seveda pa√
λ najlaže konstruiramo z vǐsinskim izrekom v pravokotnem trikotniku, ne
pa s krivuljo C2.
Če je r sodo število, sta krivulji (1) in (5) »grši« kot za lihi r, sta
brez simetrije in segata v področja zunaj pasu (0,1) × R. Edino v prvem
kvadrantu lepo potekata med ustreznima krivuljama za r − 1 in r + 1.
Kot zanimivost poglejmo, kaj se zgodi, če v enačbi (1) za r formalno
dopustimo katerokoli celo število in opazujemo ustrezne krivulje Hr in Cr
nad intervalom (0,1) v prvem kvadrantu. Če nadomestimo r z 2 − r v (1),
dobimo
x1−r + y1−r = x−r.
Množenje obeh strani te enačbe s faktorjem xryr−1 nas privede do
x(xr−1 + yr−1) = yr−1.
Formalno to pomeni enakost H2−r = Cr.
LITERATURA
[1] P. Eymard in J.-P. Lafon, The number π, AMS, Providence, Rhode Island, 2004.
[2] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spektrum, Wiesbaden,
2017.
[3] T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. 2, Dover Publications, New York,
1981.
[4] J. D. Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, New York,
2014.
[5] G. E. Martin, Geometric constructions, Springer, New York, 1998.
[6] U. C. Merzbach in C. B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons, Ho-
boken, New Jersey, 2011.
[7] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg, 2012.
[8] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
1–9 9
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 10 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
STEFANOVA NALOGA
STANISLAV JUŽNIČ
Univerza v Oklahomi
Ključne besede: Stefanova naloga (Stefanov problem), Koller, zgodovina matematične fi-
zike
Stefan se je povzpel na Parnas svetovne znanosti s podporo svojega mentorja Bohinjca
Mariana Kollerja. Opisan je razvoj raziskovanja Stefanove naloge.
STEFAN PROBLEM
Stefan climbed the Parnassus of World Science with the support of his mentor, the
Bohinj native Marian Koller. The development of research on Stefan Problem is described.
Uvod
Pol stoletja po Kollerjevem obisku Pariza je Kollerjev varovanec Jožef Stefan
nadgradil raziskavo Charlesa Cagniarda de la Toura o faznih prehodih iz
trdnine v tekočino v svojih šestih razpravah med letoma 1889 in 1891; te
so se nanašale na širši kontekst njegovega in Boltzmannovega zanimanja za
transportne pojave, zlasti spremembe faze iz tekočega v plinasto [14]. V
počastitev Stefanovega raziskovanja meje med trdnino in kapljevino, ki se s
časom prosto premika na polarnih ledenih kapah, se dandanes v raziskavah
večfaznih sistemov pogosto uporabljata koncepta Stefanov problem (naloga)
in brezdimenzijsko Stefanovo število [15].
Stefanova naloga ponazarja dinamiko nestalne meje med različnima fa-
zama. Stefanovega raziskovanja toplotne prevodnosti niso več spodbujali
Laméjevi problemi hlajenja Zemlje in Sonca, temveč težave s poledenelim
oceanom, ki je delal preglavice habsburškemu iskanju severnih prehodov k
Ameriki in Kitajski. Z nenadno Stefanovo smrtjo je rojevajoča se panoga
raziskovanja zamrla, še preden so njegovi učenci množično začeli razisko-
vati ta novi Stefanov problem, saj so Stefanovemu poglavitnemu učencu
Boltzmannu bolj dǐsala abstraktneǰsa znanstvena iskanja v termodinamiki.
Kmalu je za nameček sledila usodna bolezen celotne habsburške monar-
hije. Zato Stefanov problem dolgo ni mogel razviti pomembnega področja
raziskav, severovzhodni prehod pa nikoli ni postal zelo uporaben, razen so-
dobnega transporta ruskega plina in nafte. To je bil razlog za naslednja štiri
10 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 11 — #2 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
desetletja zanemarjanja Stefanovega problema, ki je znova postal priljubljen
komaj med sodobnimi raziskovalci, zaposlenimi v sovjetski naftni industriji
in metalurgiji.
Stefanovi dosežki
Med letoma 1889–1891 je Stefan predstavil svoje ideje, ki jih danes ime-
nujemo Stefanov problem. Sedem zaporednih publikacij mu je natisnila
dunajska akademija, nekatere so bile ponatisnjene v Annalen der Physik,
uvodno raziskavo o izhlapevanju in raztapljanju kot pojavih difuzije pa je
urno povzel Philosophical Magazine že januarja 1890. V nasprotju s Ste-
fanovim zakonom sta bila vsaj dva zgodnja Stefanova članka o Stefanovem
problemu hitro objavljena v Philosophical Magazine in v Parizu.
Leta 1831 sta Lamé in Clapeyron objavila prvi evropski poskus splošne
rešitve uganke, pozneje imenovane Stefanov problem [8]. Marcel Brillouin
je v Parizu leta 1929 ob Clapeyronovih dosežkih razpravljal o Stefanu [1]
in skoval naziv Stefanov problem [2]. Akademik s Collège de France Marcel
Brillouin je resno obravnaval Stefanov problem kot prvi po Stefanu. Njegov
sin je bil vodilni kvantni mehanik Léon Brillouin.
Danes priljubljeni naziv Stefanov problem je Lev Isakovich Rubinstein
(1914–2009 Jeruzalem) po prestajanju kazni v gulagu Vorkuta leta 1947
ponovno uveljavil v sovjetski naftni industriji [9, 10, 11].
To je bil drugi znova slovanski domet Stefanovega problema: od zamr-
zovanja ledu, preko naftne industrije, pa vse do metalurgije. Kot nekakšna
dialektika teze-antiteze-sinteze.
Stefanov problem zunaj zamrzovanja
Sovjetski uspeh pri reševanju Stefanovih problemov je spodbudil raziskave v
sovjetskih satelitskih državah, vključno z Bolgarijo, ki je po srečnih naklju-
čjih razvila tesne predvojne znanstvene vezi s Parižani, podobno kot njim
sosednji pravoslavni Srbi s Pavlom Savićem. Louis de Broglie je imel na
Sorbonni bolgarskega doktorskega študenta Schrödingerjeve enačbe, ki je
doktoriral junija 1938. To je bil sloviti Asen Borisov Datsev (1911–1994),
ki je pozneje raziskoval klasični problem toplotne prevodnosti. To ga je
privedlo do drugega problema v teoriji toplotne prevodnosti, ki se imenuje
problem zamrzovanja ali Stefanov problem. V številnih svojih delih je Dat-
sev poleg temeljne kvantne mehanike razvil metodo za reševanje Stefanovega
problema v različnih situacijah – pri različnem številu faz, pri različnih rob-
nih pogojih. Proučeval je nastajanje ali izginotje faze. Leta 1963 je z de
Brogliejevim predgovorom Datsev v parǐskih Mémoires de science physiques
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 11
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 12 — #3 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
objavil monografijo Linearni Stefanov problem. Datsev je obdelal spremi-
njanje temperature v prostoru, ki sta ga zasedli dve fazi določene snovi, obi-
čajno trdna in tekoča faza, na primer voda in led. Funkcije, ki predstavljajo
območja različnih faz, ustrezajo relevantnim enačbam toplote, pri čemer je
neznana ločevalna površina faz pri konstantni temperaturi, kar je povezano
s kalorimetričnim pogojem. Stefanov problem vodi do reševanja sistemov
(paraboličnih) parcialnih diferencialnih enačb z robnimi pogoji, od katerih
so nekateri spremenljivi in jih je treba v vsakem posameznem primeru do-
ločiti sproti. Stefanov problem ima različna pomembna praktična področja
uporabe, na primer hidrodinamiko, letalstvo, raketarstvo, zamrzovanje in
odtajanje ledu, notranja gibanja v Zemlji, rast kristalov ali taljenje kovin.
Datseva parǐska knjiga vsebuje rezultate njegovih raziskav o linearnem Ste-
fanovem problemu, objavljenih v Bolgariji in ZSSR predvsem med letoma
1947–1956, kot jih je izpostavil med več predavanji na Matematičnem inšti-
tutu firenške univerze maja 1967, kjer je Datsev spoznal raziskovalno ekipo
Giorgia Sestinija [3].
V prvem delu svoje knjige je Datsev obravnaval različne primere enodi-
menzionalnega Stefanovega problema, začenši z dvema neomejenima fazama
in prehajajoč zaporedoma do primerov omejenih faz, spremenljivih faz in
različnih mejnih pogojev. V drugem in tretjem delu knjige je posplošil
rezultate za dvodimenzionalne in tridimenzionalne primere, vključno z ani-
zotropnimi telesi. Ključ Datsevega pristopa je bila metoda zlepkov. Datsev
je objavljal pri Sovjetski akademiji znanosti v Leningradu ter v Parizu in
Firencah na obeh straneh železne zavese, kar pomeni, da se je popolnoma
zavedal Rubinsteinovih zaslug, prav tako pa dela de Brogliejevega kolega
Louisa Marcela Brillouina [4], čeprav Datsev ni omenil, da je bil Stefan slo-
vanskega izvora kot on sam. Princ de Broglie in Leon Brillouin sta med
prvo svetovno vojno sodelovala pri vzpostavljanju brezžičnih komunikacij s
podmornicami. Med letoma 1919–1922 se je de Broglie seznanil z deli Lo-
uisa Marcela Brillouina o Stefanovem najljubšem hidrodinamičnem modelu
atoma, ki ga je de Broglie poskušal povezati z rezultati teorije vodikovega
atoma N. Bohra. Leta 1967 je Datsev prevedel delo Alberta Einsteina in
Leopolda Infelda Evolucija fizike iz francoščine v bolgarščino. Spodbujal je
raziskave in konference o vakuumu, kvantni mehaniki in Einsteinovi relativ-
nosti v Bolgariji.
Datsevov firenški sodelavec pri raziskovanju Stefanovega problema je
bil firenški doktorski študent Giovannija Sansoneja (1888–1979), Giorgio
Sestini (1908–1991). Sestini je bil profesor racionalne mehanike v Parmi od
novembra 1949 do leta 1956, nato pa je poučeval v Firencah. V svojem
zadnjem obdobju v Parmi je k študiju Stefanovega problema pristopil z
učinkovitim prikazom procesa strjevanja ali utekočinjanja, ki ga je uspešno
12 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 13 — #4 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
razvil po svoji vrnitvi v domače Firence. V Parmi je Sestini organiziral
matematični inštitut v sodelovanju s prijateljem Antoniom Mambrianijem.
Bil je tajnik in skrbnik časopisa Matematika Univerze v Parmi (Rivista di
matematica dell’Università di Parma) od prve številke, ki je izšla leta 1950,
do leta 1956. Tam je objavljal tudi o Stefanovem problemu. Sredi dvajsetega
stoletja je začel raziskovati probleme, rešljive s paraboličnimi enačbami.
Leta 1957 je objavil svoje prve rešitve problemov faznih sprememb: O izreku
o enoličnosti pri enodimenzionalnih problemih, analognih Stefanovim [12].
V decembru 1960 je v svojem prispevku, posvečenem 70. rojstnemu dnevu
mentorja Sansoneja, že citiral Laméja, Clapeyrona, Neumanna, Stefana,
Brillouina in Datsevo reševanje dvodimenzionalnega in tridimenzionalnega
Stefanovega Problema [13].
Sestini je pri svojem pristopu k Stefanovemu problemu reševal parcialne
diferencialne enačbe na domenah, katerih meja je delno neznana: na primer
med strjevanjem tekočine vmesna plast s strjenim delom spreminja svojo
lego, torej ni znana vnaprej. Da bi realno opisali postopek strjevanja, je
treba na tej vmesni plasti preveriti nekatere ravnovesne pogoje med nezve-
znimi notranjimi vplivi snovi na vmesno strjeno plast med faznim prehodom
tekočina-trdna snov. Ravno ti pogoji nosijo Stefanovo ime. Pri transpor-
tnih problemih, proučevanih med faznimi prehodi, denimo pri zaledenitvi
vode, mora biti hitrost naraščanja vmesne plasti odvisna od nezveznega to-
plotnega toka. Sestini se je prvi v Italiji spopadel s to veliko in plodno
skupino Stefanovih problemov. Nanjo je opozoril italijansko in evropsko
matematično skupnost. Njegove raziskave Stefanovega problema so odprle
novo področje, ki je še danes aktivno, tudi za pomembne industrijske na-
mene. Sestinijeve ideje so bile osnova za nadaljnji razvoj, ki so ga omogočila
proučevanja njegovih učencev. V teh smereh se je razvijala njegova firenška
šola, ki se je mednarodno uveljavila na področju matematične fizike.
Stefanov problem iz Vorkute v Novi svet: ZDA
Bolgarski in italijanski privrženci Rubinsteinovega dela so kmalu dobili svoje
tekmece in posnemovalce v prekomorski tujini. Stefanov problem so začeli
raziskovati v Novem svetu takoj po amerǐski objavi angleškega prevoda Ru-
binsteinovega dela. Za zgodnji odmev sta poskrbela George William Evans
II (1922–1972) in Eugene Isaacson (1919–2008), ki sta sledila svojemu bol-
nemu mentorju Jamesu Keeneu Lorneju MacDonaldu (1905–1950) na Uni-
verzi v New Yorku. George W. Evans II se je kasneje pridružil Raziskoval-
nemu inštitutu Univerze Stanford.
Leta 1928 je MacDonald doktoriral na Univerzi McGill v kanadskem
Montrealu, kjer je Ernest Rutherford delal v letih 1898–1907. 14. oktobra
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 13
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 14 — #5 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
1949 so Evans, Isaacson in MacDonald z Univerze v New Yorku poslali v
objavo svojo študijo nalog, podobnih Stefanovemu problemu, ob citiranju
Rubinsteina in Datseva [6].
Evansova dela je pohvalil Jim Douglas jr. v svojem izreku o rešitvi Ste-
fanovega problema. Douglas je menil, da sta Datsev in Sestini dokazala
obstoj rešitve Stefanovega problema; vendar nista predložila nobenega za-
dovoljivega dokaza enoličnosti. Le-tega je predlagal Evans, vendar ga je
komaj Douglas končno dokazal po predlogu za poenostavitev svojega ko-
lega na Univerzi Duke Thomasa Muira Galliea Jr. (1925–2019). Kasneje se
je Gallie izkazal kot profesor matematike in računalnǐstva; ob ustanovitvi
oddelka za računalnǐstvo je izprosil nepovratna sredstva za nakup prvega
računalnika na Univerzi Duke. Douglas ni omenil Brillouina ali Rubinste-
ina: morda njunih del ni pobliže poznal. Douglas je izjavil, da je Stefanov
problem reševanje parabolične diferencialne enačbe, ki je podrejena robnim
pogojem na gibljivi meji, katere lega ni podana vnaprej, temveč je določena
kot del problema. Številni problemi v fiziki zahtevajo takšne robne pogoje,
vključno s prevodnostjo toplote, ki vključuje fazno spremembo ob taljenju
ali zamrzovanju ledu, izhlapevanju ali kondenzaciji, oziroma prekristaliza-
cija kovin kot uporaben postopek čǐsčenja snovi. Drugi vključujejo različne
postopke izpodrivanja v inženirstvu rezervoarjev kot veji naftnega inženir-
stva, pri katerih ena tekočina delno izpodrine drugo (prvotno rezidenčno)
tekočino, ki teče skozi porozno snov, vključno z nafto. To je bilo izjemno
pomembno za delodajalca Douglasa v Houstonu, Humble Oil and Refining
Co. [5]. Douglas je hkrati delal kot vodja projektov na Inštitutu Rice na
Univerzi Duke v uradu za znanstvene raziskave letalskih sil ZDA.
Evans, Isaacson in MacDonald so kmalu dobili svoje naslednike na Uni-
verzi v New Yorku, ki so nadaljevali njihova prizadevanja pri raziskavah
Stefanovega problema, začeta leta 1950. Konec petdesetih in šestdesetih let
je študent Richarda Couranta (1888–1972), Joseph B. Keller (1923–2016),
organiziral raziskavo Stefanovega problema na Courant Institute Univerze
v New Yorku. Med njegovimi podoktorskimi študenti je bil Walter Thomas
Kyner (1926–1999), ki je doktoriral na Univerzi Berkeleyju v Kaliforniji in
preživel dve podoktorski leti na Inštitutu Courant Univerze v New Yorku.
Leta 1959, ko je že prebival v Kaliforniji, je objavil svoje podoktorske razi-
skave o nelinearnem Stefanovem problemu, opravljene na Inštitutu Courant.
Hkrati je bil Kellerjev doktorski študent na Inštitutu Courant v New Yorku
Willard L. Miranker (1932–2011), ki je tam doktoriral leta 1956. O Stefa-
novem problemu sta skupaj objavljala leta 1960.
Velik del raziskav Stefanovega problema je pripadal amerǐskim podje-
tjem celo zunaj univerz. William F. Trench (1931–2016) je bil med letoma
1957–1959 vǐsji inženir in inženirski specialist v podjetju Philco Corporation,
14 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 15 — #6 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
Philadelphia, PA. Junija 1959 je objavil eksplicitno metodo za reševanje Ste-
fanovega problema kot skraǰsano disertacijo iz matematike, opravljeno na
Univerzi v Pensilvaniji, ki jo je kot izredni študent ob delu zagovarjal leta
1958 z navedbami Evansa, Isaacsona, MacDonalda, Rubinsteina in Sesti-
nija. Skliceval se je na delo študenta Lawrencea Bragga iz Manchestra, ki je
postal strokovnjak za difuzijo na Univerzi Brunel v Actonu. To je bil John
Crank (1916–2006). Trench je pohvalil tudi članek Landaua, objavljen leta
1950. Hyman Garshin Landau (1909–1966) se je rodil v Ruskem imperiju,
tako kot pet let pozneje njegov judovski kolega raziskovalec Stefanovega pro-
blema Lev Rubinstein. Landau je imel smolo med preganjanjem levičarjev v
ZDA. Leta 1946 je doktoriral iz statistike v Pittsburghu in se pridružil Bal-
listic Research Laboratories, Aberdeen Proving Ground. Od tam je poslal v
objavo svojo raziskavo prevodnosti toplote v taljeni trdni snovi, povezano s
Stefanovim problemom [16]. Po letu 1950 se je Landau pridružil oddelku za
matematično biologijo Univerze v Chicagu, ki ga je moral zapustiti po muč-
nih zaslǐsevanjih zaradi obtožb odbora za protiamerǐske dejavnosti. Leta
1952 je tako Landau postal žrtev obdobja Josepha McCarthyja. Podobno
kot so Rubinsteina pestile težave v Sovjetski zvezi, je bil tudi Landau za-
slǐsan zaradi domnevnega subverzivnega vpliva v izobraževalnem procesu.
Landau je imel srečo, saj je nato le našel delo na Univerzi Columbia. Vendar
zanimanje Landaua za tako imenovane turnirje (teorije grafov) ni izhajalo
iz njegovega proučevanja športnih tekmovanj. Kot se to pogosto dogaja v
matematiki, je bil Landauov interes nekaj povsem drugega. Zanimalo ga je
namreč vedenje živali, še posebej hierarhija v kljuvanju pri pǐsčancih, kot
so jo predhodno raziskali nacisti Konrad Lorenz (1903–1989) in Lorenzov
prijatelj SS nacistični princ Alfred Auersperg (1899–1968). Landau je bil
stareǰsi brat umorjenega televizijskega režiserja Jacka Landaua (1922–1967),
kar je prav tako lahko vplivalo na njegove politične težave v ZDA.
Stefanov problem je kmalu postal zanimiv tudi za letalstvo in razvoj
raket. Arthur Louis Ruoff (1930–) je doktoriral na Univerzi v Utahu leta
1955. Nato je kot strokovnjak za visoke tlake delal na oddelku za inženirsko
mehaniko in snovi Univerze Cornell, leta 1958 tudi v Wright-Pattersonu na
Letalski bazi v Ohiu. Leta 1958 je objavil nadomestno rešitev Stefanovega
problema.
Stefanov problem v Novem svetu: Kanada
Proučevanju Stefanovega problema so se poleg ZDA pridružili tudi Kanad-
čani. Julija 1966 je Norvežan James R. Gunderson kot Lockov podiplomski
študent na magistrskem študiju v Alberti uporabil izraza Stefanov problem
in Neumann-Stefanov problem. Skliceval se je na Evansa, Redozubova in
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 15
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 16 — #7 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Leonarda Rose Ingersolla (1880–1958). Ingersoll je zaslovel kot profesor fi-
zike na Univerzi Wisconsin-Madison, kjer je ustanovil Muzej fizike kot prvi
muzej v ZDA, ki se osredotoča izključno na fiziko. Gunderson je navedel
tudi raziskavo strjevanja jekla, ki jo je leta 1929 in 1930 objavil Nicholas
Morpeth Hutchinson Lightfoot (1902–1962) s kolidža Heriot-Watt v Edin-
burgu [7]. Izraz Stefanovo število je bil torej na drugi strani železne zavese
skovan veliko prej, kot so doslej opazili mnogi, ki navajajo Lockove pionirske
zasluge. Gundersonov profesor strojnǐstva na Univerzi Alberta v Edmon-
tonu v Kanadi je bil Gerald Seymour Hunter Lock (1935–), ki je leta 1969,
dve desetletji po prevajanju Rubinsteinovega dela v ZDA, raziskoval Stefa-
novo število brez sklicevanja na Brillouinove razprave.
Zaključek
Po doktoratu in habilitaciji v Parizu v letih 1979 in 1991 se je Domingo
Alberto Tarzia (1950–) pridružil Universidad Austral v Buenos Airesu v
Argentini, hkrati pa je deloval kot direktor raziskav Stefanovih premikajo-
čih se meja faznih prehodov na Univerzi Nevada v mestu Reno. Njegovo
delo dopolnjuje Slovenec Šarler, kar daje Stefanovemu problemu dodaten
slovenski pridih.
Stefanov problem gibljive meje ostaja živa inovativna veja znanosti tudi
pri nas.
LITERATURA
[1] M. Brillouin, Sur quelques problèmes non résolus de la Physique Mathématique classi-
que: Propagation de la fusion, Annales de l’Institut Henri Poincaré 1 (1930), 285–308;
ponatis: Pariz, 1931, str. 287, 280, 294, 296, 301.
[2] M. Brillouin, 1931, str. 300.
[3] A. Datsev, О трехмерной проблеме Стефана (O trirazsežnem Stefanovem problemu),
Doklady Akad. Nauk. SSSR, 101 (1955), 629–632; A. Datsev, Sur le problème linéaire
de Stefan, Mémoires de sciences physiques 69, Gauthier-Villars, Paris, 1970, str. 3, 4,
5.
[4] A. Datsev 1970, str. 2, 3.
[5] J. Douglas, A Uniqueness Theorem for the Solution of a Stefan Problem, Proc. Amer.
Math. Soc. 8 (1957), 402–408; G. Evans, A Note on the Existence of a Solution to
a Problem of Stefan, Quart. Appl. Math. 9 (1951), 185–193; G. Sestini, Esistenza di
una soluzione in problemi analoghi a quello di Stefan, Rivista di Matematica della
Universita di Parma 3 (1952), 3–23; G. Sestini, Esistenza ed unicità del problema di
Stefan relativo a campi dotati di simmetria, Rivista di Matematica della Universita di
Parma 3 (1952), 103–113; A. Datsev, 1950.
16 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Juznic” — 2021/6/4 — 8:39 — page 17 — #8 i
i
i
i
i
i
Stefanova naloga
[6] G. Evans, E. Isaacson in J. MacDonald, Stefan-like problems, Quart. Appl. Math. 8
(1950), 312–319.
[7] J. R. Gunderson, A study of heat conduction with phase change, magistrska naloga,
University of Alberta, Edmonton, 1966, str. 1, 3.
[8] L. Rubinstein, The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, AMS,
Providence, 1971, 4–5.
[9] L. Rubinstein, On the Dynamics of Evaporation of Polycomponent Solutions in a
Nonvolatile Solvent, U.S. Atomic Energy Commission, Technical Information Service,
Oak Ridge, 1953.
[10] L. Rubinstein, Об определении положения границы раздела фаз в одномерной за-
даче Стефана (Stefanov problem). Докл. АН СССР (Doklady Akademii Nauk SSSR)
serija A 58 (1947), 217–220; L. Rubinstein, К вопросу о численном решении инте-
гральных уравнений задачи Стефана (K vprašanju numerične rešitve integralske
enačbe Stefanovega problema), Изв. вузов. Матем. (Известия высших учебных за-
ведений. Математика, Reports of Higher Schools of Mathematics) 4 (1958), 202–214;
L. Rubinstein in I. Rubinstein, Partial differential equations in classical mathematical
physics, Cambridge University Press, New York, 1995.
[11] L. Rubinstein, The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, AMS,
Providence, 1971, str. 4; A. N. Tikhonov, Functional equations of Volterra type and
their applications to certain problems of mathematical physics, Bulletin of Lomonosov
University in Moscow 1 (1938), 1–25; L. S. Leibenzon, Rukovodstvo po nefte-
promyslovo mehanike, Moskva, 1931; L. S. Leibenzon, K voprosu o zatver-
devanii zemnogo xara iz pervonaqal~nogo rasplavlennogo sostoni.
Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geograf. i Geofiz. 6 (1939), 625–660.
[12] G. Sestini, Sopra un teorema di unicità in problemi unidimensionali analoghi a quello
di Stefan, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana Serie 3 12 (1957), 516–519.
[13] G. Sestini, Sul problema unidimensionale non lineare di Stefan in uno strato piano
indefinito, Annali di Matematica Pura ed Applicata 51 (1960), 203–204; Datsev 1955.
[14] B. Šarler, O Stefanovih raziskavah večfaznih sistemov, Predavanje na Institutu Jožef
Stefan, 14. december 2011, neobjavljeno, str. 21, 87.
[15] B. Šarler, Stefan’s work on solid-liquid phase changes, Engineering analysis with bo-
undary elements 16 (1995), 83–92; J. Stefan, Über die Theorie der Eisbildung, insbe-
sondere über die Eisbildung im Eismeere, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie
der Wissenschaften in Wien 98 II a (1889), str. 965; B. Šarler, O Stefanovih razi-
skavah večfaznih sistemov, Predavanje na Institutu Jožef Stefan, 14. december 2011,
neobjavljeno, str. 10.
[16] W. F. Trench, On an explicit method for the solution of a Stefan problem, J. Soc.
Indust. Appl. Math. 7 (1959), 184–204. 1959, 7/2, 181–182.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 17
i
i
“Kuzman” — 2021/6/2 — 8:22 — page 18 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Pred Evropskim kongresom matematike v Sloveniji
Slovenija bo od 19. do 26. junija 2021 v Portorožu v organizaciji Univerze na
Primorskem in ob partnerstvu drugih slovenskih ustanov gostila 8. evropski
kongres matematike (8ECM). Gre za največje evropsko znanstveno srečanje
s področja matematike, ki pod okriljem Evropskega matematičnega združe-
nja (EMS) poteka vsaka štiri leta. Kongres bo zaradi epidemioloških razmer
izveden v spletni obliki. Kot je v zadnjem vabilu na kongres povedal Vol-
ker Mehrmann, predsednik Evropskega matematičnega združenja (EMS), si
spletne izvedbe vnaprej sicer niso želeli, a bo na drugi strani morda vseeno
omogočila sodelovanje tudi tistim članom mednarodne matematične sku-
pnosti, ki bi se iz finančnih ali drugih razlogov težje odločili za udeležbo v
živo.
Organizatorji so doslej zbrali že skoraj 1500 prijav iz 78 držav, od tega
več kot 1000 prijav z referati, ki bodo razporejeni v 62 sekcij in minisim-
pozijev. Organizacijski odbor pod vodstvom Tomaža Pisanskega s podporo
rektorice UP Klavdije Kutnar in predsednika lokalnega odbora Dragana
Marušiča na projektu ECM dela že okoli sedem let in dobra mednarodna
udeležba je v veliki meri plod njihove izjemne prizadevnosti. Med prija-
vljenimi predavatelji so trije Fieldsovi nagrajenci in skoraj 50 prejemnikov
raziskovalnih projektov ERC.
Kongres s svojim znanstvenim programom v veliki meri predstavlja tre-
nutno stanje posameznih vej matematike in določa smernice sodobnih raz-
iskav. Znanstveni program kongresa sicer potrjuje mednarodni programski
odbor, ki ga določi Evropsko matematično združenje (EMS), predseduje pa
mu Maria J. Esteban (CNRS, Francija). Programski odbor je na osnovi
predlogov članov združenja tako izbral 10 plenarnih predavateljev, med ka-
terimi je prvič v zgodovini kongresa tudi slovenski matematik, Franci For-
stnerič. Med še 30 vabljenih predavateljev pa je programski odbor uvrstil
tudi Andreja Bauerja in Alekseya Kostenka, oba profesorja na UL FMF, ter
Špelo Špenko, slovensko matematičarko mlaǰse generacije, ki uspešno deluje
v Belgiji.
Eden od osrednjih kongresnih dogodkov je tudi podelitev nagrad Evrop-
skega matematičnega združenja. Imena prejemnikov nagrad so bila objav-
ljena že v letu 2020, izbral pa jih je poseben odbor EMS, ki mu je predsedoval
Martin Bridson (Oxford U., V. Britanija). Gre za 10 nagrad za izjemne razi-
skovalne dosežke na področju matematike raziskovalkam in raziskovalcem do
35 let, ki delujejo v Evropi, in še posebni nagradi Felixa Kleina za uporabo
matematike v industriji ter Otta Neugebauerja za zgodovino matematike.
Med izpostavljenimi posebnimi dogodki poleg predavanj nagrajencev
EMS omenimo še predavanje letošnjega prejemnika Abelove nagrade Lászla
18 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kuzman” — 2021/6/2 — 8:22 — page 19 — #2 i
i
i
i
i
i
Pred Evropskim kongresom matematike v Sloveniji
Lovásza, Hirzebruchovo predavanje Martina Hairerja, Bernoullijevo preda-
vanje Alice Guionnet, ter šest javnih predavanj znanih matematikov, med
katerimi je tudi Bojan Mohar. Prav tako bodo v okviru kongresa izvedeni
posveti na temo ERC projektov, odprtega dostopa in spolne uravnoteže-
nosti, pa tudi nekaj razstav, manǰsih srečanj in priložnostnih dogodkov, ki
bodo nadomestili prvotno načrtovane umetnǐske dogodke v živo.
8ECM se bo začel v ponedeljek, 21. junija, z otvoritveno slovesnostjo
ob 9. uri in končal z zaključno slovesnostjo v petek, 25. junija, ob 17. uri.
Natančneǰsi urnik in številne druge informacije so na voljo na spletni strani
http://8ecm.si. DMFA Slovenije kot eden od soorganizatorjev kongresa
svojim članom priporoča, da tudi z lastno udeležbo na kongresu in promocijo
kongresa med svojimi sodelavci podprejo prizadevanja, da postane slovenska
matematika še bolj prepoznavna v mednarodnem merilu.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 19
i
i
“Kuzman” — 2021/6/2 — 10:10 — page 20 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Mednarodne matematične novice
Letno srečanje predstavnikov nacionalnih združenj pri EMS je potekalo 28.
5. 2021 preko spletne seje. Predsednik EMS Volker Mehrmann je predstavil
različne načrtovane aktivnosti združenja (poleg 8ECM še praznovanje 30-
letnice EMS, vzpostavitev Mlade akademije EMS in tematskih aktivnosti
skupin TAG pri EMS), podrobnosti o novostih v zvezi s spletnimi stranmi,
publikacijami EMS in bazo zbMATH open pa so predstavili novi uredniki J.
Buescu, F. Costa, A. Gaul in K. Hulek. Tekoče novice v zvezi z 8ECM sta
predstavila T. Pisanski in K. Kutnar, kratke predstavitve svojih društev pa
so pripravili I. Agricola (Deutsche Mathematiker-Vereinigung), R. Gologan
(Romanian Math Society) in G. Makrides (Cyprus Math Society). Prihaja-
joči kongres ICM 2022 je predstavil Y. Matiyasevich, aktivnosti angleškega
združenja IMA proti diskriminaciji v matematiki pa N. Chamberlain.
Evropsko matematično združenje (EMS) ima nov logotip in elegantno
posodobljeno spletno stran na naslovu euromathsoc.org. Na spletni naslov-
nici najdemo aktualne novice, za meniji pa podatke o združenju in članstvu,
spletno revijo, informacije o aktivnostih EMS (nagrade, znanstvene aktiv-
nosti, podpora manj razvitim) ter o različnih dogodkih in prostih delovnih
mestih za matematike na različnih evropskih ustanovah.
EMS Magazine je nova revija, ki je nadomestila preǰsnji EMS Newslet-
ter. Vsi objavljeni članki so po principu online first brezplačno dostopni na
spletu že pred izidom tiskane izdaje, ki jo bodo lahko člani EMS še naprej
prejemali brezplačno, če bodo za to izrazili željo. Prva številka nove re-
vije prinaša pregledne matematične članke treh nedavnih prejemnikov EMS
nagrad, prispevek o bazi zbMATH open in različne prispevke v rubrikah Ma-
20 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kuzman” — 2021/6/2 — 10:10 — page 21 — #2 i
i
i
i
i
i
Mednarodne matematične novice
thematics and arts, Young mathematicians column, ICMI column, ERME
column, Book reviews, Solved and unsolved problems. V novi reviji ni več
kratkih aktualnih novic, ki ostajajo posamično dostopne na spletnih straneh,
v zbirni obliki pa v novičniku EMS Digest.
EMS Press je novo podjetje v 100 odstotni lasti EMS, na katerega je bila
prenesena dejavnost prej samostojnega društva EMS Publishing House. Po-
mlajena ekipa sodelavcev je poleg nove spletne strani ems.press temeljito
prenovila tudi različne tehnične procese, ki zdaj omogočajo učinkovito hkra-
tno urejanje spletnih in tiskanih izdaj.
Naročnǐski model S2O (Subscribe to Open) v letu 2021 uvaja vseh 10
znanstvenih revij EMS, tudi najprestižneǰsa Journal of EMS. Model S2O
nudi odprt dostop za vse bralce brez plačila stroškov s strani avtorja ob
predpostavki, da revija v tekočem letu zbere dovolj naročnin s strani usta-
nov in posameznikov. Zato je pomembno ozavestiti nacionalne konzorcije,
univerzitetne knjižnice in sorodne subjekte, da z naročnino na tovrstne re-
vije podpirajo prost dostop do rezultatov aktualnih matematičnih raziskav.
Pomenu odprtega dostopa bo posvečena tudi posebna panelna diskusija v
okviru kongresa 8ECM.
Štipendije Kovalevskaya za udeležbo mlade generacije na ICM 2022
Julija 2022 bo v Skt. Petersburgu (Rusija) potekal Mednarodni matema-
tični kongres ICM 2022. Gre za največje svetovno matematično srečanje,
ki poteka vsaka štiri leta, na njem pa podeljujejo tudi Fieldsove in druge
nagrade. Organizatorji si želijo dobre udeležbe s strani mlaǰse generacije,
zato nameravajo v sodelovanju z nacionalnimi matematičnimi društvi po
regionalnih kriterijih podeliti do 1000 štipendij Kovalevskaya. Ta štipendija
bo prejemnikom pokrila stroške ruske vize, kotizacije za kongres, lokalne
namestitve in prehrane v času kongresa, nacionalna društva pa naj bi iz-
brala najprimerneǰse kandidate in jim v sodelovanju z domačimi ustanovami
pomagala financirati stroške poti na kongres. Skrajni rok za prijavo s strani
organizatorja bo predvidoma novembra 2021.
Odbor za matematiko pri DMFA Slovenije vabi zainteresirane ustanove
(predvsem matematične oddelke fakultet in inštitutov) in tudi posameznike,
da čimprej, najkasneje pa do 10. septembra izrazijo željo za nominacijo kan-
didatov in sodelovanje pri izbirnem postopku v zvezi s štipendijami Kovale-
vskaya na naslov mathematics@dmfa.si. Zbrane informacije bodo podlaga
za pravočasno usklajevanje nadaljnjih korakov.
Boštjan Kuzman, Odbor za matematiko pri DMFA Slovenije
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 21
i
i
“Legisa” — 2021/6/3 — 9:09 — page 22 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Manipulacije v znanstvenih objavah
Revija Physics World je konec marca 2021 v zvočnem prispevku [1] poročala
o spornih znanstvenih publikacijah. Svoje izkušnje je predstavila gospa Kim
Eggleton, ki se ukvarja s tovrstnimi problemi v ustanovi Institute of Physics
(IOP). Ta inštitut izdaja kakih devetdeset revij s področja fizike ali s fiziko
povezanih ved.
Nepravilnosti pri objavljanju, kot so plagiati, imajo lahko za povzroči-
telja hude posledice, a se vseeno dogajajo. Prepisovanje je groba kršitev, a
obstajajo tudi drugačne, manj očitne bližnjice do objave v znanstveni reviji.
Včasih avtor članka sam predlaga recenzenta in da zanj lažen elektron-
ski naslov (po možnosti zelo podoben pravemu). Ta prošnjo urednika za
recenzijo preusmeri k avtorju.
Do nedavnega so revije bile zelo zadržane pri umikanju in preklicevanju
slabih objavljenih člankov. Bale so se, da bi to negativno vplivalo na njihov
ugled. Poleg tega se lahko znanstvenik enostavno zmoti in včasih recenzent
to spregleda. Ampak prav je, da se napake, tudi če niso bile narejene na-
menoma, obelodanijo in popravijo, če je to mogoče. Umik članka pa mora
biti utemeljen in razložen.
Oglejmo si še en iznajdljiv trik. Javili so se »organizatorji konference«,
ki so reviji predlagali tematsko številko o rezultatih srečanja, na katerem
naj bi sodelovali slavni znanstveniki, ki naj bi tudi recenzirali prispevke.
Več revij je tako moralo preklicati že objavljene celotne tovrstne izdaje.
V nekaterih ustanovah so vodilni avtomatično soavtorji članka, čeprav
znanstveno k objavi niso prispevali. To je težko rešljiv problem, če morajo
mladi raziskovalci podpisati pogodbe, v katerih pristajajo na tako politiko.
Pomaga, če pri člankih z več avtorji urednǐstvo zahteva, da je navedeno, kaj
so posamezni avtorji prispevali.
Mogoče je postati soavtor članka, če plačaš ustrezno vsoto. Ko je čla-
nek že odobren, včasih originalni avtorji na določenih mestih v družbenih
omrežjih objavijo ponudbo za soavtorstvo in zahtevani znesek. Interesenti,
ki jim manjka kaka točka pri reelekciji ali napredovanju in jim je vsebina
blizu, nakažejo denar. Originalni avtorji nato pǐsejo uredniku, da so pozabili
navesti tega in tega . . .
Zgodi se, da avtorji zahtevajo umik predloženega članka, verjetno zato,
ker so članek poslali več revijam in je bil sprejet v kako drugo, ki se jim zdi
bolj prestižna. Vendar večkrat ugotovijo, da to ne gre . . .
Pogosto taka dejanja opravičujejo s pritiskom po objavljanju (»objavljaj
ali propadi«). A brali smo o primerih, ko so uveljavljeni znanstveniki, ki
se jim ni bilo treba bati za službo, kot po tekočem traku objavljali lažne
študije.
Nizozemska mikrobiologinja Elisabeth Bik pravi, da so za nepravilnosti
odgovorni predvsem: permisivna akademska kultura, pomanjkljiva kontrola
drugih raziskovalcev, velike denarne stimulacije za objave in spravljiva na-
22 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Legisa” — 2021/6/3 — 9:09 — page 23 — #2 i
i
i
i
i
i
Manipulacije v znanstvenih objavah
cionalna politika do takih prekrškov.
Na Kitajskem je Univerza v Nandžingu pred desetletji začela z majh-
nimi denarnimi nagradami za objave v fizikalnih revijah z visokim faktorjem
vpliva. Prǐsla je na prvo mesto po obsegu objav v več zaporednih letih. Zato
so jo začele posnemati druge ustanove. Nagrade so bile vedno večje in so hi-
tro znesle eno ali več mesečnih plač mladega profesorja, odvisno od faktorja
vpliva (Impact Factor). Objava v revijah Nature in Science je kitajskim
znanstvenikom prinesla največ – leta 2016 v povprečju okrog 44 tisoč dolar-
jev za članek. Najvǐsja nagrada je bila takrat celo 165 tisoč dolarjev [2], kar
je bilo za kitajske razmere ogromno. Lansko leto je kitajska vlada tovrstne
denarne nagrade prepovedala in zahtevala, naj število člankov ne bo edino
merilo za napredovanje. Več pozornosti naj bi posvetili originalnosti in ka-
kovosti objavljenega. Številni kitajski znanstveniki se s tem ne strinjajo.
Ekscesov bo morda manj, a verjetno bo tudi manj navdušenja za raziskave
in objave.
Prej omenjena doktorica Elisabeth Bik je znana predvsem po razkrin-
kanju kopiranja slik v člankih. Včasih gre za večkratno prodajanje iste
slike v različnih kontekstih, včasih za »izposojo«. Gospa Bik ima popularen
Twitter račun in si je, kot sama navaja v predstavitvi, prislužila oznake:
»propadla znanstvenica, premaknjena, lovka na čarovnice«. Dejansko je za
eno leto prekinila znanstveno kariero, da bi se posvetila raziskovanju zlo-
rab. Tudi zgoraj omenjena Kim Eggleton pravi, da razčǐsčevanje tovrstnih
primerov ni prav nič prijetno.
Institute of Physics (IOP) ponuja certifikat IOP Trusted reviewer za
področje fizike. Pogoj je izdelava odlične recenzije in tečaj, v katerem se
slušatelji seznanijo tudi s triki, s katerimi se skušajo nekateri dokopati do
objav. To ni edini tovrstni certifikat.
Ustanova IOP uvaja tudi dvojno slepo recenzijo, kar pomeni, da urednik
recenzentu ne posreduje imena avtorja. Ta novost je bila v glavnem lepo
sprejeta. Avtorji imajo večinoma občutek, da je recenzijski postopek bolj
objektiven. Vsekakor je to bolǰse za mlade raziskovalce in tiste z obrobja
znanstvenega sveta.
LITERATURA
[1] H. Johnston, Finding silicon’s Holy Grail at long last, how to re-
cognize and prevent »publication misconduct«, Physics World Pod-
cast, dostopno na physicsworld.com/a/finding-silicons-holy-grail-
at-long-last-how-to-recognize-and-prevent-publication-misconduct/,
ogled 25. marca 2021.
[2] Paid to Publish – the Chinese Cash Cow, Enago Academy, 21. maj 2018, dostopno
na www.enago.com/academy/paid-to-publish-the-chinese-cash-cow/, ogled 25.
marca 2021.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 23
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 24 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
I. Swanson, Introduction to Analysis with Complex Numbers, World Sci-
entific, New Jersey in drugje, 2021, 456 strani.
Knjiga je vsebinsko zaokrožena, samo-
stojna celota, ki obsega standardne vse-
bine začetne matematične analize, kot so
funkcije, zaporedja in vrste, vključene pa
so tudi konstrukcije naravnih, celih, raci-
onalnih, realnih in kompleksnih števil ter
ne nazadnje tudi matematična logika, ki
jo uspešno uporablja pri strogem doka-
zovanju. Nekaj dokazov je v posebnem
tisku razširjenih s podrobneǰsimi poja-
snili, ki se običajno avtorjem ne zdijo po-
trebna, bralcu pa pomagajo, da se laže
prebije do končnega sklepa.
Knjiga, napisana za študente na Reed
Collegeu v Portlandu v državi Oregon,
kjer je avtorica predavala v letih 2005–
2020, je prežeta s številnimi vzorno izde-
lanimi primeri in skrbno izbranimi nalogami za bolǰse razumevanje snovi.
Prav zaradi nekoliko drugačne obravnave, kot smo je navajeni iz naših in
tujih standardnih učbenikov analize, bo morda delo zanimivo tudi za naše
profesorje in študente. Dobesedno nas namreč uči, kar včasih v standardnih
učbenikih pogrešamo, kako na podlagi logike iz aksiomov in že dokazanih tr-
ditev natančno poteka dokaz, predvsem pa, kako le-tega čim bolj razumljivo
zapisati. V ta namen je v knjigi prisotnih tudi veliko nalog, ki zahtevajo
dokaz neke trditve.
Knjiga je smiselno razdeljena na deset poglavij in dva dodatka. Prvi dve
poglavji obravnavata osnove matematike. Velik poudarek je na logiki, ozna-
kah v matematiki, teoriji množic, pojmih relacije in funkcije ter metodah
dokazovanja.
Tretje poglavje se začne s konstrukcijo množice naravnih števil N0 na
podlagi teorije množic. S principom indukcije je nato zgrajena aritmetika
v N0. Urejen kolobar celih števil Z vpelje z urejenimi pari celih števil, to
se pravi s kartezičnim produktom N0 ×N0, v katerem definira ekvivalenčno
relacijo, katere razredi so cela števila. Nato razvije vso aritmetiko celih
24 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 25 — #2 i
i
i
i
i
i
Introduction to Analysis with Complex Numbers
števil. Prav tako vpelje urejeno polje racionalnih števil Q z urejenimi pari v
kartezičnem produktu Z×(Z\{0}), v katerem definira ekvivalenčno relacijo,
katere ekvivalenčni razredi so racionalna števila. Urejeno polje realnih števil
R vpelje z Dedekindovimi rezi. Dedekindov in Arhimedov aksiom postaneta
s tem izreka. Dokazan je izrek o obstoju korenov pozitivnih števil. Polje
kompleksnih števil C seveda uvede korektno s kartezičnim produktom R ×
R. V C definira osnovne aritmetične operacije, konjugiranje in absolutno
vrednost. Uvede kompleksno ravnino in njeno topologijo ter polarni zapis.
Poglavje se konča s Heine–Borelovim izrekom.
Četrto poglavje je posvečeno limiti funkcije kot enemu od osrednjih poj-
mov v matematični analizi. Že na začetku definira limito kompleksne funk-
cije kompleksne spremenljivke. Za realne funkcije realne spremenljivke de-
finira levo in desno limito. Obravnava tudi primer, ko število ni limita neke
funkcije. Pri tem opozarja na natančnost definicij, ker vsaka pomanjkljivost
v izražanju lahko spremeni pomen. Sledijo običajni limitni izreki. Poglavje
se konča z neskončno limito realne funkcije realne spremenljivke in limito v
neskončnosti kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke.
Peto poglavje obravnava zveznost funkcije. Po definiciji zveznosti in
izreku, ki se naslanja na pojem limite funkcije, sledijo običajni izreki za
zvezne funkcije, izrek o ekstremni vrednosti, izrek o povprečni vrednosti,
definicija in zveznost korenskih funkcij in na koncu še enakomerna zveznost.
Šesto poglavje se ukvarja z odvajanjem funkcij. Odvod definira kar za
kompleksno funkcijo kompleksne spremenljivke. Izpeljana so običajna pra-
vila za odvajanje, pravilo za odvajanje sestavljene funkcije in pravilo za
odvod inverzne funkcije. Dokazani so izrek o povprečni vrednosti (nam bolj
znan kot Lagrangeev izrek), Darbouxov izrek, Rollov izrek, dve varianti
Cauchyjevega izreka in l’Hôpitalovi pravili. Na koncu poglavja so na vrsti
odvodi vǐsjega reda in Taylorjevi polinomi.
V sedmem poglavju je najprej na vrsti določeni integral za realne funkcije
realne spremenljivke, in sicer s spodnjimi in zgornjimi integralskimi vsotami
glede na dano delitev integracijskega intervala. Dokazana so osnovna pra-
vila integriranja in osnovna izreka integralskega računa. Definirani so tudi
posplošeni (izlimitirani) integrali in integral kompleksne funkcije realne spre-
menljivke. V tem poglavju so z integralom definirani naravni logaritem, ek-
sponentna funkcija kot njegov obrat in splošna potenčna funkcija. Poglavje
zaključuje uporaba integrala za računanje dolžine krivulje in prostornine ter
površine rotacijskih teles.
Osmo poglavje obravnava zaporedja. Kompleksno zaporedje uvede kot
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 25
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 26 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
kompleksno funkcijo, definirano na množici N0. Pojasni, da se da pozi-
tivna racionalna števila obravnavati kot zaporedje. Definira konvergentno
zaporedje in njegovo limito. Prav tako divergentno zaporedje in neskončno
limito. Izpelje pravila za računanje z limitami. Dokazani so izreki za mo-
notona, omejena in Cauchyjeva zaporedja. Na koncu poglavja so vpeljana
še podzaporedja ter spodnje in zgornje stekalǐsče realnega zaporedja.
Predzadnje, deveto poglavje se ukvarja s številskimi in potenčnimi vrsta-
mi. Vpelje pojma konvergentne vrste in njene vsote ter pojem divergentne
vrste. Dokaže pravila za računanje z vrstami in nekaj konvergenčnih testov.
Definira pojem absolutne konvergence in dokaže izrek o ohranitvi vsote take
vrste pri poljubni permutaciji njenih členov. V nadaljevanju sledijo kom-
pleksne potenčne vrste, konvergenčni polmeri, odvajanje potenčnih vrst,
množenje potenčnih vrst, Taylorjeve vrste, uporaba potenčnih vrst.
V zadnjem, desetem poglavju spoznamo, kako s teorijo potenčnih vrst
vpeljemo eksponentno in trigonometrične funkcije. Vpeljano je število π
kot dvakratnik najmanǰse pozitivne ničle funkcije kosinus, ki je definirana
s potenčno vrsto. Pokazano je, kako lahko razvijemo vso trigonometrijo, če
izhajamo iz eksponentne vrste. Definirane so tudi ciklometrične funkcije in
izračunani so njihovi odvodi.
Prvi dodatek vsebuje kratka navodila, kako pravilno pǐsemo matema-
tična besedila, kako pravilno uporabljamo simbole, kako matematiko študi-
ramo, kaj smemo početi in česa ne, kako pravilno dokazovati in podobno.
Drugi dodatek je zbirka osnovnih pravil matematične logike in najpomemb-
neǰsih formul infinitezimalnega računa. Na koncu knjige najdemo seznam
uporabljenih oznak in stvarno kazalo. Knjiga je dosegljiva v nekoliko kraǰsi
obliki na svetovnem spletu na naslovu: www.math.purdue.edu/~gcavigli/
Swanson.pdf.
Avtorica knjige je naše gore list, Irena Šifrar Swanson, doma v Čreti v
občini Hoče–Slivnica, nekdanja dijakinja II. gimnazije Maribor. Leta 1982
je odpotovala na izmenjavo v ZDA, kjer je študirala matematiko in leta 1992
doktorirala. Tam je postala uspešna profesorica matematike. Podrobnosti
lahko najdemo na svetovnem spletu. Njeno glavno področje matematič-
nih raziskav so komutativne algebre. Imeli smo jo priložnost spoznati leta
2009 na Bledu, kjer je potekalo strokovno srečanje ob 60-letnici ustanovitve
DMFA Slovenije, pa tudi kot gostujočo profesorico v Ljubljani istega leta.
Na Bledu je predstavila temo z naslovom Celostno zaprtje kolobarjev.
Marko Razpet
26 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 27 — #1 i
i
i
i
i
i
Positive operator semigroups: from finite to infinite dimensions
A. Bátkai, M. Kramar Fijavž, A. Rhandi, Positive operator semigroups:
from finite to infinite dimensions, Operator Theory: Advances and Appli-
cations 257, Birkhäuser, Basel, 2017, 364 strani.
Monografija, v kateri avtorji proučujejo
pozitivne operatorske polgrupe, je raz-
deljena na tri glavne dele in dodatek, v
katerem so zbrana znana osnovna dej-
stva.
V prvem delu, ki je osredotočen na
obravnavo operatorskih polgrup na konč-
norazsežnih prostorih, avtorji najprej po-
novijo dobro znane osnovne pojme, kot
so konvergenca in topologija v končno-
razsežnih vektorskih prostorih, matrična
oziroma operatorska norma, matrične
funkcije in spektralna teorija. V nada-
ljevanju prvega dela je predstavljen
Perron-Frobeniusov izrek in njegova po-
splošitev na imprimitivne matrike, izpe-
ljana teorija pa je podprta z uporabo na
primeru Googlove matrike in pozitivnih
kontrolnih sistemov. Prvi del zaključijo z obravnavo pozitivnih matričnih
polgrup in pozitivnih linearnih sistemov.
V drugem delu avtorji najprej naredijo hiter pregled primerov, lastnosti
in konstrukcij krepko zveznih operatorskih polgrup na Banachovih prosto-
rih, temu pa sledi strnjen povzetek Banachovih mrež in operatorjev na njih.
V nadaljevanju dokažejo znameniti generacijski izrek Hille-Yosida, nekatere
perturbacijske izreke in Phillipsov izrek o karakterizaciji generatorjev pozi-
tivnih kontrakcijskih krepko zveznih polgrup. Drugi del zaključijo s spek-
tralno teorijo pozitivnih polgrup in teorijo neomejenih perturbacij. Tretji
del monografije je namenjen napredneǰsim vsebinam in njihovim uporabam.
Kljub zahtevneǰsi vsebini je monografija napisana na moderen in bralcu
prijazen način. Razvita teorija je odlično podprta z ogromnim številom pri-
merov in nalog, namenjenih za utrjevanje in dodatno poglabljanje v snov.
Njihov pristop, s katerim najprej zelo natančno obdelajo končnorazsežni pri-
mer, preden naredijo prehod na neskončnorazsežnega, omogoča dosegljivost
vsebine tudi dodiplomskim študentom z bolǰsim predznanjem. Glede na ve-
lik razpon uporabe teorije na konkretnih problemih je knjiga brez dvoma
izvrstna referenca za teorijo pozitivnih operatorskih polgrup.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 27
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 28 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Marjeta Kramar Fijavž je doktorirala leta 2004 na Fakulteti za mate-
matiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Večkrat je gostovala na univerzah
v Tübingenu in Ulmu v Nemčiji, kjer se je začela raziskovalno ukvarjati
s krepko zveznimi operatorskimi polgrupami. Je mentorica enemu in so-
mentorica trem doktorskim študentom. Je aktualna podpredsednica DMFA
Slovenije in vodja mednarodnega COST projekta Mathematical models for
interacting dynamics on networks.
Marko Kandić
P. Doreian (ur.), V. Batagelj (ur.), A. Ferligoj (ur.), Advances in Network
Clustering and Blockmodeling, John Wiley & Sons 2020, 432 strani
Mladi pri besedi omrežje najbrž najprej
pomislijo na spletna socialna oz. druž-
bena omrežja, ki krojijo njihovo komu-
niciranje, druženje in izražanje. Vendar
pa so omrežja veliko bolj prisotna. Vsi
smo del več omrežij, ki krojijo, usmer-
jajo in oblikujejo naša življenja. Soci-
alno omrežje je definirano kot graf, ki
mu dodamo dodatne podatke o vozlǐsčih
in/ali povezavah. Vozlǐsča tako lahko
predstavljajo npr. posameznike (ali pod-
jetja, države . . . ), s povezavami pa pred-
stavimo prijateljstvo ali sodelovanje med
dvema posameznikoma (oz. poslovanje
med podjetjema, trgovanje med država-
ma . . . ). S pomočjo analize omrežij lah-
ko ǐsčemo najpomembneǰsa vozlǐsča v
omrežju, skupine enot s podobnim vzor-
cem medsebojne povezanosti ipd.
Znanstvena monografija z naslovom Advances in Network Clustering and
Blockmodeling je izšla v začetku 2020 pri založbi Wiley. Knjigo so ure-
dili Patrick Doreian (Univerza v Pittsburghu, FDV UL), Vladimir Batagelj
(IMFM, IAMUP, NRU HSE International Laboratory for Applied Network
Research, Moskva) in Anuška Ferligoj (FDV UL, NRU HSE International
Laboratory for Applied Network Research, Moskva). Poleg priznanih tujih
raziskovalcev so več poglavij prispevali tudi slovenski avtorji: Marjan Cu-
gmas, Luka Kronegger, Andrej Mrvar in Aleš Žiberna (FDV UL), Lovro
Šubelj (FRI UL) ter Anja Žnidaršič (FOV UM).
28 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 29 — #3 i
i
i
i
i
i
Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Algebras and Beyond
Knjiga ponuja pregled razvoja na področju analize omrežij, natančneje
na področju razvrščanja in bločnega modeliranja omrežij. Na enem me-
stu so združena dognanja, torej metode, pristopi in algoritmi, ki so se več
desetletij razvijala tako na področju matematike, fizike, računalnǐstva in
sociologije ter omogočajo vpogled v strukturo omrežij in razumevanje pro-
cesov, ki omrežja oblikujejo in spreminjajo. Pregled obstoječega znanja
in najodmevneǰsih dosežkov je prikazan s pomočjo bibliometrične analize
znanstvenih del s področja razvrščanja v omrežjih. Na enostaven način,
podkrepljeni s primeri in slikami, so prikazani različni pristopi in algoritmi
pri razvrščanju v omrežjih (npr. hierarhično razvrščanje, metoda vodite-
ljev, bločno modeliranje . . . ) ter nova dognanja v odkrivanju skupnosti,
bločnem modeliranju omrežij z vrednostmi na povezavah, bločnem mode-
liranju predznačenih omrežij, tretmajih za manjkajoče podatke v omrežjih
ter stohastičnem bločnem modeliranju.
Anja Žnidaršič
J. E. Leech, Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Alge-
bras and Beyond, Slovensko društvo za diskretno in uporabno matematiko
in Založba Univerze na Primorskem, 2021, 284 strani.
Predstavljamo četrto knjigo zbirke Fa-
mnitova predavanja. Naslov v slovenšči-
ni bi se glasil: Nekomutativne mreže:
poševne mreže, poševne Boolove algebre
in onkraj. Knjiga je prosto dostopna
na povezavi www.hippocampus.si/-
ISBN/978-961-293-028-8/mobile/-
index.html.
Mreže kot urejenostne oziroma alge-
brske strukture srečamo v učnih načr-
tih univerzitetnih študijskih programov
prve stopnje. V slovenščini najdemo
mreže na primer v učbenikih I. Vidava
(Algebra, 1972) in N. Prijatelja (Mate-
matične strukture I (1964) in II (1967)).
Ponovimo najnujneǰse o mrežah, kar najdemo v omenjenih knjigah, pa
tudi v prvem poglavju knjige, ki jo predstavljamo. Mreža je definirana kot
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 29
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 30 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
neprazna množica L, ki je opremljena z internima binarnima operacijama,
označenima z znakoma ∨ in ∧, za kateri veljajo določeni zakoni. Če sta
a in b poljubna elementa v L, imenujemo a ∨ b unija (angl. join), a ∧ b
pa presek (angl. meet) elementov a in b. Potenčna množica dane množice
S je eden od osnovnih primerov mreže, če vzamemo za operaciji unijo in
presek podmnožic množice S. Iz tega izvirajo tudi ustrezni izrazi in oznake.
Namesto uveljavljenih znakov ∨ in ∧ najdemo v knjigah I. Vidava in N.
Prijatelja znaka ∪ in ∩.
Za operaciji ∨ in ∧ veljajo zakoni idempotentnosti (a∨a = a, a∧a = a),
komutativnosti (a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a), asociativnosti ((a ∨ b) ∨
c = a ∨ (b ∨ c), (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)) in absorpcije (a ∨ (a ∧ b) = a,
a∧ (a∨ b) = a). Zakona idempotentnosti sta sicer logični posledici zakonov
absorpcije, vendar ju vedno navajamo na prvem mestu, ker ju ohranimo pri
nekomutativnih mrežah. Zakoni so dualni, kar pomeni, da se kot celota nič
ne spremenijo, če v njih med seboj zamenjamo znaka ∨ in ∧. Posledično to
velja v teoriji mrež za vsako trditev, ki je izpeljana iz navedenih zakonov.
Neprazna množica L, ki jo delno ureja relacija ≤ in v kateri ima vsak par
elementov a, b za to relacijo natančno zgornjo mejo sup{a, b} in natančno
spodnjo mejo inf{a, b}, je mreža. Obe definiciji sta logično ekvivalentni.
Množica L, ki jo delno ureja relacija ≤ in v kateri ima vsaka podmnožica
za to relacijo natančno zgornjo in spodnjo mejo, je polna mreža. Mreže, ki
imajo še kakšno dodatno lastnost, imajo posebna imena. Poznamo na pri-
mer modularne, distributivne in Boolove mreže. Vsaka distributivna mreža
je modularna.
Knjiga obravnava nekomutativne mreže. Omenjene zakone komutativ-
nosti in absorpcije nadomesti s kakšnimi drugimi zakoni. Preprost primer
nekomutativne mreže je množica L idempotentnih elementov nekomutativ-
nega kolobarja, kadar je L zaprta za operaciji ∨ in ∧, ki sta definirani s
predpisoma a∨ b = a+ b−a · b in a∧ b = a · b. Pri tem je · znak za množenje
v kolobarju. Element a kolobarja je idempotenten, če velja a2 = a · a = a.
Za operaciji ∨ in ∧ lahko hitro ugotovimo, da zanju veljajo zakoni idem-
potentnosti, asociativnosti in absorpcije, zakona komutativnosti pa ne. Pač
pa v L veljata zakona (b ∨ a) ∧ a = a in (b ∧ a) ∨ a = a. To pa je dovolj do-
bra motivacija, zakaj študirati nekomutativne mreže. Opisana množica L je
poseben primer tako imenovane poševne mreže. Velik del knjige obravnava
ravno poševne mreže.
30 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Kandic” — 2021/6/3 — 9:24 — page 31 — #5 i
i
i
i
i
i
Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean Algebras and Beyond
Glede na to, s kakšnimi zakoni nadomestimo komutativnostna in absorp-
cijska zakona običajne komutativne mreže, dobimo različne vrste nekomuta-
tivnih mrež. Vselej so zakoni v dualnih parih. Tako na primer z zakonoma
a∧ (b∨ a∨ b)∧ a = a in a∨ (b∧ a∧ b)∨ a = a dobimo kvazimreže, z zakoni
a∧ (a∨ b∨a) = a, a∨ (a∧ b∧a) = a, (a∨ b∨a)∧a = a in (a∧ b∧a)∨a = a
pa paramreže.
Pričujoča knjiga ima sedem poglavij, ki pretežno pokrivajo poševne
mreže, kvazimreže in paramreže, poševne mreže idempotentnih elementov v
kolobarjih in poševne Boolove algebre. Prva štiri poglavja so srčika knjige,
zadnja tri pa obravnavajo bolj specializirane teme o poševnih mrežah, po-
ševnih mrežah v kolobarjih in poševnih Boolovih algebrah.
Vsebina je lepo strukturirana. Izreki, leme, trditve, posledice, težji do-
kazi in komentarji, vključno z zgodovinskimi, si sledijo v logičnem zaporedju.
Knjiga je opremljena, kjer je potrebno, s pripadajočimi diagrami in razpre-
delnicami. Na koncu vsakega poglavja so navedeni ustrezni pomembni viri,
na koncu knjige pa še seznam objav po abecednem vrstnem redu avtorjev,
ki so največ pripomogli k razvoju teorije nekomutativnih mrež.
Z velikim zadovoljstvom je treba pripomniti, da v knjigi pogosto sreču-
jemo iz slovenske matematične šole več imen oseb, ki so znatno prispevale
k razvoju teorije nekomutativnih mrež.
Knjiga je prva znanstvena monografija, ki vsebuje glavne rezultate štu-
dija poševnih mrež. Namenjena je predvsem podiplomskim študentom kot
osnovni učbenik, po njej pa bodo posegali tudi raziskovalci, specialisti, ki se
zanimajo za nekomutativne algebre.
Avtor knjige je matematik Jonathan E. Leech. Diplomiral je na havajski
univerzi, doktorat pa je dosegel na kalifornijski univerzi v Los Angelesu.
Matematiko je predaval na več amerǐskih univerzah, bil pa je tudi gostujoči
profesor na univerzah v Španiji, Braziliji in Avstraliji. V svoji akademski
karieri je profesor Leech proučeval algebrske strukture, ki so povezane s
polgrupami. Veliko svojega truda je namenil nekomutativnim mrežam, še
posebej pa poševnim mrežam. Sam ali s soavtorji je objavil več člankov, ki
so postali temelj sodobne teorije nekomutativnih mrež. S svojimi objavami
in predavanji je vzpodbudil mnoge matematike, da so začeli raziskovati na
tem področju.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 31
i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 32 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer, Dilations, linear
matrix inequalities, the matrix cube problem and beta distributions, Me-
moirs of the American Mathematical Society 1232, American Mathematical
Society, Providence, 2019, 106 strani.
Osrednja tematika knjige je študij vsebo-
vanosti množice rešitev ene linearne ma-
trične neenakosti (LMN) v množici reši-
tev druge. Bolj natančno, LMN je vsaka
neenakost oblike
Id⊗1+A1⊗x1 + · · ·+Ag⊗xg  0, (1)
kjer so d ∈ N naravno število, Id iden-
tična d × d matrika, A := (A1, . . . , Ag)
g-terica realnih simetričnih d×d matrik,
x1, . . . , xg spremenljivke, simbol ⊗ pred-
stavlja običajno množenje matrike z re-
alnim številom, simbol  0 pa pomeni,
da je leva stran pozitivno semidefinitna
matrika. Množica rešitev DA(1) neena-
kosti (1) se imenuje spektraeder.
Avtorji študirajo, kako za dani g-terki A(i) = (A
(i)
1 , . . . , A
(i)
g ), i = 1, 2,
realnih simetričnih di × di matrik, učinkovito preveriti vsebovanost pripa-
dajočih spektraedrov
DA(1)(1) ⊆ DA(2)(1). (2)
Osrednja lastnost spektraedrov je konveksnost, zato je njihov študij v za-
dnjih nekaj desetletjih izredno pomembna in razvijajoča veja konveksne op-
timizacije. Predstavljajo pomemben vir rezultatov zlasti za področje se-
midefinitnega programiranja. Izkaže pa se, da posplošitev spektraedrov do
prostih spektraedrov pogosto vodi do natančneǰsih rezultatov o algebraični
povezavi med tericama matrik A(1) in A(2). Če v (1) vstavljamo za spremen-
ljivke simetrične matrike iste velikosti (namesto 1 pa identično matriko te
velikosti), simbol ⊗ pa označuje Kroneckerjev tenzorski produkt matrik, po-
tem pripadajočo množico rešitev DA imenujemo prost spektraeder. Ker pa je
vsaka prosta konveksna množica prost spektraeder [3], LMN-ji predstavljajo
tudi osnovni predmet raziskovanja proste analize, ki svojo uporabo najde
predvsem na področjih proste verjetnosti, teorije sistemov, optimizacije in
operatorskih algeber.
32 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 33 — #2 i
i
i
i
i
i
Dilations, linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta distributions
Preverjanje vsebovanosti (2) je na splošno zelo zahteven problem in
spada v razred NP-težkih problemov. Avtorji v knjigi problem poenostavijo
do preverjanja vsebovanosti prostih spektraedrov
DA(1) ⊆ DA(2) , (3)
kar je problem z znano algebraično karakterizacijo [2, posledica 3.7], ki se
jo da učinkovito preverjati z numeričnim algoritmom [2, razdelek 4]. Za
smiselnost te poenostavitve natančneje študirajo povezavo z osnovnim pro-
blemom (2). Glavni pristop [2] dosedanjega študija LMN-jev je bil uvedba
unitalne linearne preslikave τ : S1 → S2 med linearnima ogrinjačama
Si :=
{
c0Idi +
g∑
j=1
cjA
(i)
j : c0, . . . , cg ∈ R
}
, i = 1, 2,
koeficientov linearnih matričnih šopov, kot imenujemo vsako levo stran (1),
s predpisom τ(Id1) = Id2 , τ(A
(1)
j ) = A
(2)
j , j = 1, . . . , g, in opažanje, da sta v
primeru omejenosti spektraedra DA(1)(1) vsebovanosti (2) oz. (3) ekvivalen-
tni pozitivnosti oz. popolni pozitivnosti τ . Uporaba netrivialnih rezultatov
teorije operatorskih algeber nato v primeru popolne pozitivnosti natančno
algebraično opǐse τ . V knjigi je uveden povsem nov pristop k reševanju pro-
blema (2), pri čemer je ključen vidik teorije dilatacij. (Lep pregledni članek
o teoriji dilatacij je [5].) Glavni rezultat knjige je naslednji dilatacijski izrek
(izrek 1.1 v knjigi).
Izrek 1. Naj bo d ∈ N naravno število. Obstaja hilbertov prostor H, družina
Cd komutirajočih sebiadjungiranih skrčitev na H, izometrija V : Rd → H
in realno število ϑ(d), večje ali enako 1, tako da za vsako simetrično d× d
skčitev X obstaja operator T ∈ Cd, ki zadošča enakosti
1
ϑ(d)
X = V ∗TV. (4)
Z uporabo tega izreka avtorji pokažejo, da je preverjanje vsebovanosti skr-
čitve kDA(1)(1), kjer je 0 < k ≤ 1, v DA(2)(1), ekvivalentno preverjanju vse-
bovanosti kDA(1) ⊆ DA(2) na nivoju prostih spektraedrov. Kot je zapisano
zgoraj, pa se da to vsebovanost učinkovito preveriti s pomočjo numeričnega
postopka. S tem je do konstante skrčitve natančno rešen osnovni problem
(2) knjige.
Primer, ko je DA(1) enak množici⋃
n∈N
{(X1, . . . , Xg) : X1, . . . , Xg so simetrične n× n skrčitve},
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 33
i
i
“Zalar” — 2021/6/4 — 8:42 — page 34 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
imenovani prosta kocka, sta prva študirala Ben-Tal in Nemirovski [1]. V
tem primeru je skrčitvena konstanta k kar enaka številu
1
ϑ(d1)
, kjer je ϑ(d1)
dilatacijska konstanta iz izreka 1. Pri tem je število ϑ(d1) v knjigi natančno
določeno s formulo, dokazana pa je tudi njegova optimalnost, tj. gre za
najmanǰse tako število, za katerega zaključek izreka 1 še velja. S tem je v
celoti rešen problem vsebovanosti proste kocke v danem prostem spektra-
edru DA(2) iz [1].
Na koncu omenimo še en pomemben vidik knjige. Poleg rešitve osnov-
nega problema so izpeljani rezultati zanimivi tudi za področja, iz katerih
izhajajo. Izrek 1 je presenetljiva novost za teorijo dilatacij, saj v primerjavi
z doslej znanimi dilatacijskimi rezultati nastopajoča dilatacijska konstanta
ϑ(d) ni odvisna od števila matrik, pač pa le od njihove velikosti. Prav tako
so rezultati pri izpeljavi formule za konstanto ϑ(d) zanimivi za teorijo ver-
jetnosti, saj podajajo nova dejstva o nekaterih standardnih verjetnostnih
porazdelitvah, kot sta binomska in beta porazdelitev.
Igor Klep je doktoriral leta 2006 na Fakulteti za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, kjer je od leta 2018 zaposlen kot redni profesor za po-
dročje matematike. V vmesnem času je raziskovalno in pedagoško deloval
na mnogih tujih institucijah (najdlje na Univerzi v Konstanzu v Nemčiji,
Univerzi v San Diegu v ZDA in Univerzi v Aucklandu na Novi Zelandiji).
Od leta 2018 je tudi podpredsednik mednarodnega združenja IWOTA, usta-
novljenega leta 1981, ki letno organizira konferenco iz teorije operatorjev in
njihove uporabe.
LITERATURA
[1] A. Ben-Tal, A. Nemirovski, On tractable approximations of uncertain linear matrix
inequalities affected by interval uncertainty, SIAM J. Optim. 12 (2002), 811–833.
[2] J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, The matricial relaxation of a linear matrix
inequality, Math. Program. 138 (2013), 401–445.
[3] J. W. Helton, S. McCullough, Every free basic convex semi-algebraic set has an LMI
representation, Ann. Math. 176 (2012), 979–1013.
[4] I. Klep, Matrično konveksne množice, Obzornik mat. fiz. 63 (2016), 81–99.
[5] O. M. Shalit, Dilation theory: a guided tour, v: Operator Theory, Functional Analysis
and Applications (ur. M. A. Bastos, L. Castro, A. Y. Karlovich), Operator Theory:
Advances and Applications 282, 2021, Birkhäuser, Cham; dostopno tudi na doi.org/
10.1007/978-3-030-51945-2_28.
Aljaž Zalar
34 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 35 — #1 i
i
i
i
i
i
The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything
K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything,
Quercus Editions, London 2019, 332 str.
Kit Yates je profesor in eden od direk-
torjev Centra za matematično biologijo
na Univerzi v angleškem mestu Bath. V
času svojega študija je nadvse rad vpi-
soval predavanja iz uporabne matema-
tike. Na podiplomskem študiju pa je do-
bil tudi dobro izobrazbo v biologiji. V
knjigi je želel na enostaven način pri-
kazati moč matematike pri razumevanju
in reševanju številnih problemov našega
življenja. Kot je duhovito zapisal eden
od ocenjevalcev: »V knjigi ni bilo grdega
ravnanja z enačbami« – ker enačb v njej
enostavno ni.
Avtor verjame v moč zgodb in ana-
logij. V dveh letih pisanja je intervju-
val mnogo ljudi in tako so celo nekatere
zgodbe, ki smo jih morda že slǐsali, pred-
stavljene drugače. Pisec ima velik dar za
pripovedovanje in za preprosto, dostopno razlago. Zgodbe so resnično velika
odlika te knjige.
Že v uvodu imamo utrinek o avtorjevem štiriletnem sinu, ki ga je zani-
malo, koliko polžev s hǐsico imajo v vrtu. Vzela sta si deset minut in nalovila
na raznih krajih 23 polžev. Oče je vse označil s flomastrom in nato sta jih
izpustila. Čez en teden sta znova šla na lov na polže. Ujela sta jih 18, med
njimi 3 označene. Od tod lahko sklepamo, da je v vrtu kakih 140 polžev.
Gre za dobro lekcijo iz statistike, seveda bolj primerno za nekoliko stareǰse
otroke. To metodo uporabljajo celo pri določevanju števila narkomanov.
Prvo poglavje se ukvarja z eksponentno rastjo in z eksponentnim razpa-
dom. Grafa obeh pojavov sta žal narisana tako, da je vodoravna asimptota
visoko nad abscisno osjo.
Predstavljena je zgodba inštruktorja v avtošoli, ki je vložil 3000 funtov
v piramidno shemo – in izgubil vse. Avtorici sheme imenovane Give and
Take sta bili dve upokojenki. Ena od njiju je bila podpredsednica rotarij-
skega kluba, druga prav tako ugledna oseba, »steber družbe«. Shema je
bila »letalska«. »Pilot« je dobil dva »kopilota«. Vsak od kopilotov je re-
krutiral dva »spremljevalca«. Vsak spremljevalec je našel dva »potnika«.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 35
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 36 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Osem potnikov je vplačalo po 3000 funtov. Od tega je 23000 funtov do-
bil pilot, preostanek sta v glavnem pokasirali začetnici sheme. V naslednji
fazi sta kopilota postala nova pilota, štirje spremljevalci novi kopiloti, osem
potnikov pa je napredovalo v spremljevalce. Prvi pilotki sta bili začetnici
sheme. Sistem je bil psihološko dobro premǐsljen. V posameznem koraku
so ljudje pogosto rekrutirali prijatelje in znance, vendar niso dobili denarja
od njih. Ko je nekdo vplačal, bi se moralo v povprečju število ljudi v shemi
povečati za faktor 8, da bi prǐsel do nagrade. Vpletenih je bilo vsaj deset
tisoč ljudi. Devet desetin jih je izgubilo vse, skupaj 21 milijonov funtov.
Organizatorki sta nekaj časa uživali v razkošju, delili zaradi lepega videza
in popularizacije denar tudi v dobrodelne namene, na koncu pa pristali v za-
poru. (Spomnimo se, kako so pri podobni zgodbi odvetniki napadali našega
kolega, ki je javnosti pojasnjeval, za kaj gre.)
Genetski testi so postali dostopni in podjetja, ki jih ponujajo, strankam
interpretirajo rezultate, tako o poreklu kot o nagnjenosti k določenim bole-
znim. Zdravstveni regulatorji v ZDA so na srečo nekoliko omejili tovrstno
aktivnost. Knjiga navaja primer, ko sta dve podjetji dali nasprotujoče si
rezultate o prisotnosti nezaželene mutacije. Napake so sicer v kakem pro-
milu primerov, a pri testiranju milijona genetskih variant dobimo tako lahko
okrog tisoč napak. Statistike, na katerih slonijo verjetnosti bolezni pri dolo-
čeni mutaciji, pogosto niso preveč zanesljive. Tudi statistični izračuni niso
trivialni in ni rečeno, da so jih te zasebne družbe dobro izvedle. Enako velja
za določevanje porekla, kjer se je že zgodilo, da je isto podjetje dalo po ne-
kaj letih precej drugačne izvide. Zdravnice in zdravniki večinoma najbolje
vedo, kakšni genski testi so za določenega pacienta smiselni.
Tudi ta knjiga daje pod vprašaj indeks telesne mase, to je maso telesa
v kilogramih, deljeno z vǐsino (v metrih) na kvadrat. Avtorju se zdi bolj
smiselna določitev deleža maščevja v telesu. Z Arhimedovo metodo lahko
določimo prostornino telesa, tako da osebo stehtamo potopljeno v vodi. Ker
ima maščoba manǰso gostoto, lahko od tod ocenimo njen delež.
Lepo je obdelan problem lažno pozitivnih in lažno negativnih testov v
zdravstvu. Temu se sicer ni mogoče povsem izogniti, a posledice so lahko
hude. Veliko je strahu in skrbi in tudi nepotrebnih posegov zaradi lažno
pozitivnih rezultatov, ki so zlasti pri presejalnih testih na celotni populaciji
včasih zelo številni. Po drugi strani je opisan primer, ko so zaradi številnih
lažnih alarmov izključili monitorje pacientke – s tragičnim rezultatom.
Zdravniki se včasih ne zavedajo dovolj teh pomanjkljivosti. Dva testa sta
neprimerno bolǰsa kot eden, zato avtor pravi, naj se ne bojimo poiskati ne
samo drugo mnenje, ampak ponoviti teste ali zahtevati dodatne preiskave,
če niso preveč tvegane.
36 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 37 — #3 i
i
i
i
i
i
The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything
Matematika igra vlogo tudi na sodǐsčih. V znani in dolgoletni Drey-
fusovi aferi je slavni francoski matematik Henri Poincaré pokazal zlorabo
matematike, ki jo je v izvedenskem mnenju zagrešil glavni policijski inšpek-
tor. Knjiga navede še več takih primerov, ko so z napačnimi računi zmedli
poroto in sodnike in spravili za zapahe nedolžne ljudi (ali oprostili morebitne
krivce). V številnih primerih je bila zraven tudi pristranska izbira dokazov
in veliko drugega nestrokovnega dela.
Knjiga trdi, da na Japonskem sodǐsča obsodijo kar 99,9 % obdolžencev.
Referenca, na katero se sklicuje, pa pravi, da sodǐsča obsodijo več kot 99 od-
stotkov obtožencev. Pred nedavnim so tam aretirali štiri ljudi zaradi groženj
po spletu [2]. Preden so dobili pravega krivca, sta dva druga obdolžena že
priznala. (V resnici je zločinec samo prevzel kontrolo nad računalniki ome-
njenih štirih ljudi in z njih pošiljal grožnje in obvestila o nastavljeni bombi
na letalu.) To bi lahko označili kot dva lažno pozitivna rezultata policij-
ske preiskave. Razlog je deloma trdovratnost zaslǐsevalcev. Japonski zakoni
omogočajo dolgotrajno pridržanje in zaslǐsevanje brez prisotnosti odvetnika.
Izpust proti kavciji je mogoč le pri priznanju. Deloma pa ljudje ne želijo
z dolgotrajnim procesom in posledično publiciteto omadeževati družinskega
ugleda.
V Združenem kraljestvu bo pri enem od petnajstih moških in eni od
osemnajst žensk v toku celega življenja odkrit tumor na debelem črevesju.
Svetovna zdravstvena organizacija (WHO) pravi, da so mesni izdelki (sa-
lame, klobase, hrenovke, paštete, slanina . . . ) karcinogeni. Po obsežni raz-
iskavi skupine z Univerze Oxford, ki je zajela pol miljona ljudi, naj bi 25
gramov mesnih izdelkov na dan povečalo verjetnost diagnoze kolorektalnega
raka za 20 %. (WHO navaja na podlagi stareǰsih študij, da poraba 50 g ta-
kih izdelkov poveča verjetnost za 18 %). Britanski tabloid Sun [3] je to
aprila 2019 naslovil takole:
»UBIJALSKA REZINA. Zavitek slanine na teden poveča verjetnost za
raka debelega črevesja za petino, kaže študija.«
To je razjarilo ljubitelje suhomesnatih izdelkov, ki so napisali cel kup
duhovitosti, kot npr.:
»Univerza v Oxfordu. Če bi se nagnila še malo bolj na levo, bi padla.
Pokažite mi izvid, ki pravi: Umrl zaradi slanine.«
Za bombastični naslov »Ubijalska rezina« je bil sicer odgovoren novinar.
Seveda bi po Yatesu lahko rekli tudi, da poraba 25 g (50 g?) dnevno poveča
verjetnost za tako neprijetno diagnozo s 5 (ali 6) odstotkov za eno odstotno
točko, a to ne bi bilo tako zanimivo.
Tudi znanstveniki in znanstvene institucije večkrat statistike predstavijo
tako, da odmevajo rezultati njihovega dela. Včasih pa zgrešijo, ne da bi se
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 37
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 38 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
tega zavedali. Tako imenovani »placebo efekt« opisuje dejstvo, da se nekate-
rim bolnikom stanje izbolǰsa, ko dobijo neškodljive pilule z denimo mlečnim
sladkorjem. Efekt je deloma psihološki: pacient se bolje počuti in posledično
njegov organizem deluje bolje, ker ima občutek, da mu pomembna oseba –
zdravnik – želi pomagati. Drugi razlog pa je povratek k povprečju. Številne
bolezni se izbolǰsajo same po sebi. Ljudje poskušamo najti vzrok in ga vi-
dimo v pilulah. Povratek k povprečju s pridom izkorǐsčajo »(alternativni)
zdravilci«.
Posebno poglavje je namenjeno številom, številskim sistemom in napa-
kam zaradi premaknjene decimalne vejice ipd. Leta 1983 je kanadski pilot
Boeinga 767 moral dotočiti gorivo. Za dolg polet so potrebovali približno
22 ton. Malo pred tem je bil narejen prehod na metrični sistem. Ker je bil
kazalnik goriva pokvarjen, je merilna palica pokazala, da je v letalu pribli-
žno 7,7 tisoč litrov goriva. Letalǐsko osebje je to pomnožilo z 1,77 in dobilo
(vse vrednosti so zaokrožene) 13,6 tone. Po njihovem je bilo treba dotočiti
8,4 tone goriva. To so delili z 1,77 in dodali približno 4,8 kubika goriva.
Seveda je 1,77 gostota goriva v funtih na liter. Kerozin je lažji od vode in
ima gostoto okrog 0,8 tone na kubik. Pilot je potrdil račun. Precej pred
koncem poleta so odpovedali motorji. Pilot se zaradi prej omenjene okvare
niti ni zavedal, da je zmanjkalo goriva. Sreča v nesreči je bila, da je pilot
imel izkušnje na jadralnih letalih. Zanimivo je, da je letalo na 12 metrov
vodoravnega leta izgubilo le 1 m vǐsine, kar je bolje od jadralnih padal in
nekoliko slabše od jadralnih zmajev (razmerje 1: 15) in Airbusa 320, ki je
v podobni zgodbi pri izgubi metra vǐsine prejadral 17 metrov. (Stara ja-
dralna letala imajo to razmerje 1: 20 do 1: 30, nova 1: 40 do 1: 50, ogromna
tekmovalna celo nad 1: 70.) Pilotu Boeinga se je brez motorjev in z zelo
omejenimi možnostmi upravljanja posrečilo pristati na nekdanji vojaški pi-
sti, spremenjeni v dirkalǐsče, in to med tekmo. Na dirkalǐsču in v letalu
ni bilo resno poškodovanih in po dveh dneh popravil je lahko letalo samo
odletelo na servis.
Zelo dobro je opisan neuspeh protiraketnega sistema Patriot v zalivski
vojni. Sistem je uporabljal dva radarja. V interni uri prvega so se kopičile
zaokrožitvene napake. Izraelci so kmalu ugotovili, da morajo sistem večkrat
resetirati. Američani pa so pred koncem zalivske vojne sistem imeli vključen
4 dni in interna ura prvega radarja je kazala za tretjino sekunde napačen
čas. Prvi radar je zaznal iraško raketo in sporočil več podatkov o njeni legi,
žal z napačnimi časi. Drugi, bolj selektiven radar se je usmeril tja, kjer naj
bi bila raketa, a je bila ta že pol kilometra stran od tega mesta in je radar
ni zaznal. Ubitih je bilo 28 amerǐskih vojakov in vojakinj, ranjenih pa okrog
sto.
38 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 39 — #5 i
i
i
i
i
i
The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything
V poglavju o optimizaciji imamo »kratko razlago« Dijkstrovega algo-
ritma, ki pa se avtorju ni posrečila.
Avtor navaja vrsto problemov s tako imenovanimi algoritmi. Če jih upo-
rabljamo zunaj znanosti, lahko hitro pride do krivic in zlorab. Večkrat gre
za zavestne manipulacije, ki se skrijejo za navidezno objektivnostjo zveneče
besede algoritem. Navedimo najnoveǰso zgodbo. Ob začetku cepljenja proti
COVID-19 je v ugledni bolnǐsnici v New Yorku »algoritem« določil, da je
najprej na vrsti uprava (ki je večinoma delala od doma), šele nato pa tisti,
ki delajo na COVID oddelkih. Pri nas je pri deljenju denarja in še marsičem
namesto algoritmov bolj priljubljeno preprosteǰse »točkovanje«. Metoda je
nekoliko drugačna, namen žal večkrat podoben prej omenjenemu primeru:
rezultati, ki jih želijo vodstvene strukture, dobijo videz objektivnosti. Vo-
dilni kadri so razrešeni odgovornosti, čeprav navadno odločilno vplivajo na
merila za točkovanje.
V ZDA algoritem številnih zavarovalnic ceno zavarovanja avtomobilske
odgovornosti izračuna na podlagi izobrazbe, sposobnosti odplačevanja kre-
ditov in poklica zavarovanca. To ni ravno v skladu s trditvami, da amerǐska
kultura spodbuja osebno odgovornost. Ampak laže je skubiti neizobražene
in revne ljudi (tudi če so dobri vozniki in ne povzročajo nesreč) kot razgle-
dane in premožne osebe.
Zanimivo je tudi poglavje o epidemijah. Med prvimi sta modela širjenja
nalezljivih bolezni postavila Daniel Bernoulli in Jean le Rond d’Alembert
okrog leta 1760/61. Bernoulli je prǐsel do sklepa, da variolacija, to je na-
merna okužba otrok z blažjo varianto črnih koz, zmanǰsa smrtnost in po-
dalǰsa povprečno življenjsko dobo populacije. (Zaradi variolacije je umrlo
2 odstotka otrok, številni pa so dobili brazgotine in druge hude posledice.
Črne koze so imele smrtnost 20–30 %, pri otrocih še veliko vǐsjo. Variolacija,
uvožena iz Azije, se v Evropi ni uveljavila.) Leta 1796 je angleški zdravnik
Edward Jenner odkril in populariziral neprimerno varneǰso vakcinacijo, to
je okužbo z nenevarnimi govejimi kozami (vacca = krava v latinščini).
Leta 1803 je španski kralj financiral odpravo za masovno cepljenje proti
črnim kozam v španskih kolonijah [1]. Vkrcali so dvaindvajset sirot starih 8–
10 let, skupaj z ravnateljico sirotǐsnice in njenim sinom. Med dolgo plovbo
čez Atlantik so izcedek govejih koz postopoma prenašali z enega otroka na
drugega. Kmalu po pristanku se je odprava razdelila na več delov. Kam-
panja v Južni, Srednji in Severni Ameriki je trajala vse do leta 1810 in je
bila izredno naporna. (Eden od zdravnikov odprave je umrl.) Vključevala je
izobraževanje prebivalstva in vzpostavitev lokalnih sredǐsč za cepljenje. Kot
rezervoar cepilnega materiala so zdaj uporabili govedo. Za sezname ceplje-
nih je bila zadolžena Katolǐska cerkev. Španske sirote so posvojile mehǐske
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 39
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 40 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
družine. Domačini so cepilce večinoma sprejeli z navdušenjem. V Limi je
kampanja naletela na odpor lokalnih zdravnikov, ki so iz cepljenja naredili
posel. Vseeno so v Peruju s podporo krajevnih oblasti cepili skoraj dvesto
tisoč ljudi.
Leta 1805 je glavni zdravnik odprave prejel kraljevi ukaz, da nadaljuje
kampanjo na Filipinih. Na pacifiški obali so vkrcali 25 mehǐskih sirot in
skupaj s prej omenjeno ravnateljico odpluli na Filipine, kjer so nadaljevali
s cepljenjem in ga zaključili v Macau in Kantonu.
Že v letih 1800–1801 so s cepljenjem proti črnim kozam začeli nekateri
slovenski zdravniki. Vendar je bil še leta 1826 odpor proti cepljenju tak,
da je moral na Bizeljskem kaplan Anton Martin Slomšek s prižnice vernike
prepričevati o koristih cepljenja. Njegov župnik si naloge, ki mu jo je dodelila
država, ni upal izvršiti. Slomšek je cepljenje propagiral tudi kasneje.
Škotski zdravnik Anderson McKendrick in biokemik William Kermack
sta leta 1927 objavila SIR model. Tu S (susceptible) pomeni za okužbo
dovzetne posameznike, I kužne (inficirane), R (removed) pa je tretja sku-
pina: večinoma ozdraveli, ki se ne morejo več okužiti. Odnose med tremi
skupinami sta podala s sistemom diferencialnih enačb. Ta model je z izpo-
polnitvami uporaben še danes.
Knjiga pojasnjuje, kako je razširitev prekarnega dela prispevala k temu,
da se je povečal delež ljudi, ki bolni in kužni prihajajo na delo. Grobi po-
skusi zmanǰsanja odsotnosti delavcev so se pokazali kot kontraproduktivni.
Odmeven je primer verige restavracij Chipotle. Z norovirusom okuženi de-
lavec je leta 2017 kljub slabemu počutju prǐsel delat. Čeprav Chipotle – za
razliko od številnih amerǐskih podjetij – zaposlenim plačuje bolnǐsko odso-
tnost, naj se poslovodja v omenjeni enoti ne bi držal uradne politike podjetja
in bolnemu delavcu rekel, da mora ostati, če sam ne najde nekoga, ki ga bo
nadomeščal. Okužilo se je 135 drugih sodelavcev in strank, med katerimi je
vsaj en obiskovalec moral na urgenco. Vrednost podjetja na borzi naj bi v
naslednjih petih dneh padla za milijardo dolarjev in delničarji so celo tožili
upravo. Kasneje je zaradi več takih dogodkov podjetje plačalo 25 milijonov
dolarjev kazni.
Nemški virolog Harald zur Hausen je leta 2008 dobil Nobelovo nagrado
za medicino. Utemeljitev ga hvali za odkritje, da so nekateri humani pa-
piloma virusi (HPV) odgovorni za skoraj vse primere raka materničnega
vratu. Ti virusi se večinoma prenašajo s spolnimi stiki. Obenem so takrat
začeli prodajati tudi cepivo proti HPV. Študije, ki so jih naročile britanske
in druge zdravstvene oblasti, so ugotovile, da je najbolje cepiti deklice v
starosti 11–13 let. Tako so ti programi tudi tekli.
40 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Legisa” — 2021/6/7 — 7:33 — page 41 — #7 i
i
i
i
i
i
The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything
Po Yatesu pa nove raziskave ugotavljajo, da je HPV odgovoren tudi
za (vsaj) polovico rakov penisa, 80 % rakov zadnjika, 20 % rakov v ustih,
(več kot) 30 % rakov grla in 90 % genitalnih bradavic. Tako v ZDA kot
v Združenem kraljestvu naj večina rakov, ki jih povzroča HPV, ne bi bila
na maternici. Cepljenje deklic nima dosti vpliva na moško homoseksualno
populacijo, ki po knjigi nesorazmerno močno trpi zaradi rakov, povezanih s
HPV. Vsa ženska populacija še zdaleč ni in tudi nekaj časa ne bo precepljena.
V ZDA so že leta 2011 začeli priporočati cepljenje tudi za dečke. V Britaniji
so spremenili smernice šele pred nekaj leti. Yatesova mati je pri 45 letih
umrla zaradi pet let prej odkritega raka materničnega vratu, tako da ima
pisec oseben odnos do te teme.
Čeprav so virusi HPV zelo razširjeni, le pri 10 % žensk povzročijo trajno
okužbo. (Pri preostalih bolezen izzveni v letu ali dveh.) V Sloveniji je bilo
po [4] leta 2016 na novo odkritih 123 primerov raka materničnega vratu.
Letno za tem rakom umre 40 do 50 žensk, kakim tri tisoč pacientkam pa
operativno odstranijo predrakave spremembe, povzročene s trajno okužbo
s HPV. V Sloveniji rutinsko cepijo deklice v 6. razredu osnovne šole. Zdaj
bodo začeli cepiti tudi dečke v 6. razredu.
Predstavili smo le nekaj zgodb iz te res zanimive knjige. Na koncu imamo
obsežno bibliografijo.
LITERATURA
[1] C. Franco-Paredes, L. Lammoglia in J. I. Santos-Preciado, The Spanish Royal Philan-
thropic Expedition to Bring Smallpox Vaccination to the New World and Asia in the
19th Century, Clinical Infectious Diseases, 41(9) (2005), 1285–1289, dostopno na doi.
org/10.1086/496930 in academic.oup.com/cid/article/41/9/1285/278013, ogled
28. 1. 2021.
[2] T. Osaki, Hacker who framed computer users with cyberthreats jai-
led for eight years, The Japan Times, 2015, dostopno na www.
japantimes.co.jp/news/2015/02/04/national/crime-legal/hacker-framed-
computer-users-cyberthreats-jailed-8-years/, ogled 28. 1. 2021.
[3] S. Wooller, KILLER RASHER, Pack of bacon a week increases risk of bowel cancer
by a fifth, study suggests, The Sun, 2019, dostopno na www.thesun.co.uk/news/
8877964/bacon-red-meat-bowel-cancer-risk/, ogled 28. 1. 2021.
[4] NIJZ, Najpogosteǰsa vprašanja in odgovori o okužbi s HPV, raku mater-
ničnega vratu in cepljenju proti HPV, 2019, dostopno na www.nijz.si/sl/
najpogostejsa-vprasanja-in-odgovori-o-okuzbi-s-hpv-raku-maternicnega-
vratu-in-cepljenju-proti-hpv-1, ogled 28. 1. 2021.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 III
i
i
“kolofon” — 2021/6/4 — 9:01 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2021
Letnik 68, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Pomnožitev hiperkocke (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Iz zgodovine Strani
Stefanova naloga (Stanislav Južnič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–17
Vesti
Pred Evropskim kongresom matematike v Sloveniji (Boštjan Kuzman) 18–19
Mednarodne matematične novice (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–21
Manipulacije v znanstvenih objavah (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–23
Nove knjige
I. Swanson, Introduction to Analysis with Complex Numbers
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–26
A. Bátkai, M. Kramar Fijavž, A. Rhandi, Positive operator semigroups:
from finite to infinite dimensions (Marko Kandić) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27–28
P. Doreian (ur.), V. Batagelj (ur.), A. Ferligoj (ur.), Advances in Network
Clustering and Blockmodeling (Anja Žnidaršič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–29
J. E. Leech, Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean
Algebras and Beyond (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29–31
J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer, Dilations,
linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta
distributions (Aljaž Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–34
K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost)
Everything (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–III
CONTENTS
Articles Pages
Multiplying the hypercube (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–17
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–23
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–III
Na naslovnici: Ovitek prvega dne z znamko in žigom, ki jih je Pošta Slovenije
izdala ob 8. Evropskem kongresu matematike.