P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 3
Strani 130-136, IX, XII
Milena Strnad: ORNAMENTI NA TRAKU
Ključne besede: matematika, izometrija, ornamenti. Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1091-Strnad.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
flfflE
ORNAMENTI NA TRAKU
Kdo še ni občudoval lepih ornamentov na blagu, preprogah, tapetah, freskah? Kdo ne pozna čudovitih ornamentov starih Egipčanov, Inkov, Grkov, Kitajcev, s katerimi so okrasili razne uporabne in okrasne predmete, grobnice, svetišča (slika 1 na IV, strani ovitka)? Največje mojstrstvo v ustvarjanju ornamentov pa so nedvomno dosegli arabski umetniki. Ker jim vera prepoveduje upodabljati boga in dogodke iz življenja, so "božansko neskončnost" izražali z abstraktnimi ornamenti v obliki prepletajočih se stiliziranih listov trte, ki jim pravimo arabeske (slika 2). Čistost linij še poudarijo skopo in skrbno izbrane barve. Največ je modre barve, ki simbolizira neskončnost, in zlate, s katero slavijo Alahovo ime Človeku zastaja dih, ko občuduje umetniško ubranost mošeje Doma svete skale v Jeruzalemu, Modre mošeje v Carigradu ali dvorca Alhambre v Granadi (slika 3 na naslovni strani).
Pri opazovanju ornamentov le malokdo pomisli, da njihova lepota temelji na preprostih matematičnih zakonih. Ornament pritegne našo pozornost zaradi ponavljanja in notranje urejenosti. Da bomo to "urejenost" pojasnili, se bomo oprli na pojem izometrije.^
Začnimo z definicijo, da je izometrija ravnine taka preslikava v ravnini, ki ohranja medsebojne razdalje: poljuben par točk A in B preslika v taki točki A' in B', da sta da-Ijici AB in A'B' enako dolgi. Bralec lahko sam dokaže, da je izometrija povratno enolična preslikava ter da preslika premico v premico in trikotnik v skladen trikotnik. Primeri se lahko, da se preslikana točka pokrije s prvotno. Tako točko imenujemo negibno točko. Če je negibnih točk več, ležijo vse ali na premici ali pa so sploh vse točke negibne. Tudi to trditev naj poskusi dokazati bralec sam, mi pa naštejmo osnovne tipe izometrij:
Slika 2. Arabeska
1 Izometrijam pravimo tudi (toga) gibanja, a ker se ta izraz uporablja v Številnih drugih zvezah, bomo raje ostali pri izometriji.
o Identititeta je izometrija, ki ohranja vse točke. Označujemo jo z i. o Vzporedni premik T„ (transladja) premakne točke za dano dolžino v
dani smeri, torej nima nobene negibne toČks {slika 4). o Vrtež a (rotacija) točke "zavrti" v določeni smeri za kot a okrog
izbrane negibne točke N, ki ji rečemo središče vrteža (siika 5). o Zrcaljenje Zp preko izbrane premice p poljubno točko T preslika v tako točko T', da je daljica TTT pravokotna na p in da p daljico TT' razpolavtja (slika 6). Včasih govorimo tudi o zrcaljenju preko izbrane točke. Bralec naj sam pove definicijo in se prepriča, da je to kar vrtež za kot 180°.

A'
I-^	N
o	-¿B
Tt*	*NieL'-B~B'	Zp : * ^
Slika 4. Vzporedni premik	Slika 5. Vrtei	Slika 6. Zrcaljenje
Izometrije sestavljamo, kakor smo pač vajeni sestavljati preslikave. Rečemo tudi. da tvorimo njihov produkt. Pravzaprav lahko vsako izometrijo zapišemo kot sestavo osnovnih 'tzometrij - od tod njihovo ime. če je produkt dveh izornetrij identiteta, pravimo, da sta si izometriji nasprotni [inverzni). Bralec naj se prepriča, da je v produktu dveh nasprotnih izometrij vrstni red sestavljanja nepomemben (zato lahko rečemo, da je nasprotnost vzajemna), Navedimo nekaj zgledov:
o Dva vzporedna premika Ta in T|, sestavimo v nov vzporedni premik 7~a+i) = TbTa = 7"a7|, = Tb+a; pri tem je vrstni red sestavljanja premikov nepomemben (slika 7). Nasprotni vzporedni premik k danemu je kar vzporedni premik za isto dolžino, le da v nasprotni smeri: 7~_a7a =
- T.7-. = /.
o Dva vrteža R^a in Rpj.p okrog iste točke sestavimo v nov vrtež RN,a+p- Tudi vrstni red sestavljanja vrtežev z istim središčem je nepomemben: R^.a+p = RN,pRN.a — RN.aRN,P = RN,f3+c*■ Nasprotni vrtež dobimo z vrtežem v obratni smeri:
RN,-aRN,a — RN,aRN.~a = 1 (sllka 8)-
Ts Ar
rf : 4'+
■A* A" A"

^ u
'' A
-o
Slika 7. Sestava vzporednih premikov
■ A1 A"
Slika 8. Sestava vrtežev
: a
N,ft ^N, t*+/S : ^
Pri zrcaljenjih ni vse tako preprosto. Sestava ZPl Z^ zrcaljenja ZPl preko premice pi in zrcaljenja Zpj preko premice p2 je bodisi vzporedni premik bodisi vrtež. Ce sta premici pi in pi vzporedni, gre za vzporedni premik, če se premici pi in p2 sekata, je sestavljena izometrija vrtež. V prvem primeru je razdalja med prvotno in preslikano točko enaka dvakratni razdalji premic pi in p?. V drugem primeru je kot sestavljenega vrteža enak dvakratnemu kotu med pi in pi (slika 9). Obakrat je pomemben vrstni red: nasploh velja ZPl Z^ / Zp^ZpY. Zrcaljenje preko iste premice pa je samo sebi nasprotno: ZpZp ~ I. Od preostalih možnosti omenimo le produkt zrcaljenja in vzporednega premika v smeri premice, preko katere zrcalimo. Pri tem je vrstni red sestavljanja nepomemben. Imenujemo ga zrcalni premik (slika 10) in ga včasih Štejemo kar k osnovnim izometrijam
T
o
Pi
T'
0....
2 d
P 2
T'
o
	r**T	T
!	TT"	
ZPvPi:	T** T"	
SFika 9. Sestava zrcaljenj
Zdaj lahko povemo, kaj je °T izometrija kakega omejenega ali neomejenega dela ravnine. Definicija	__ ___
je enaka kot prej, le da mora v tem
primeru izometrija preslikati izbrani	ju
del ravnine samega nase. To pome-	g T —•» T
ni. da smo tu bolj omejeni kot pri	i- °-+-	. j,^ j„
izometrijah vse ravnine. Vzemimo	--_----__
na primer neskončno dolg trak. Od	Ts (Zp) : T T"
osnovnih tipov izometrij pridejo v	.„ - . .
r	. " r .	Slika 10. Zrcalni premik
poštev (poteg identitete) kvečjemu
vzporedni premik vzdolž traku, vrtež
za 180° okrog točke na srednjici ter zrcaljenja preko srednjlce traku oziroma preko premice, ki je pravokotna na srednjico.
Končno se lotimo omamentov. Zaradi enostavnosti obravnavajmo v tem članku samo ornamente na neskončnem traku. Ornamente na ravnini si bomo ogledali morda kdaj kasneje
Najprej se dogovorimo, kaj ornament na traku sploh je. Občutek nam narekuje, da je to vsaka risba "sestavljena iz končnega vzorca", ki se vzdolž traku "neskončnokrat ponovi", na primer
•■■JJJJJJJJ-----J1J1J1J1 —
Ta formulacija je nekoliko ohlapna, natančno definicijo naslonimo na znanje o izometrijah.
Omamen t na danem traku je vsaka risba na tem traku, za katero obstaja tak d0 > 0, da velja
o vzporedni premik za dolžino d0 risbo ohranja, to je, pri tem premiku risba preide "sama vase". Še drugače: risba je neobčutljiva (/nvariantna) na ta premik.
o za noben pozitiven d, d < d0, vzporedni premik za dolžino d risbe ne ohranja.
Definicija terja nekaj razlage. Prva točka zagotavlja, da ornament sestavlja ponavljajoči se končni vzorec. Toje kar del risbe na poljubnem "koščku traku" z dolžino d0. Pozor: ornamentov je neskončno, ker je neskončno
mnogo različnih vzorcev; obstaja pa tudi neskončno mnogo vzorcev, ki porodijo enak ornament! Bralec bo sam uvidel, da je ornament neobčutljiv na vsak vzporedni premik za dolžino d = kd0> k € Jv, a ni neobčutljiv na noben drug vzporedni premik. Ali drugače: vsak ponavljajoči se vzorec, ki sestavlja ornament, je "večkratnik" kakega vzorca z dolžino d0. To pa je natanko vsebina druge točke v definiciji ornamenta: zahteva, da je vzorec z dolžino d0 - osnovni vzorec - najkrajši vzorec, s katerim še lahko napolnimo trak. Tako na primer risba
ni ornament, ker je neobčutljiva na poljubno majhen vzdolžni premik in ni najmanjšega vzorca; prav zato deluje za oko kar nekam dolgočasno.
Deloma smo tako že odgovorili na začetno vprašanje o urejenosti in zgradbi ornamentov na traku. Njihova temeljna značilnost je, da so neobčutljivi na vzporedni premik (kot tip izometríje). Za popolnejši odgovor pa se moramo ozreti ne le na vzporedni premik, ampak na vse mogoče tipe izometri-j, na katere je dani ornament neobčutljiv. Na primer: ornament z osnovnim vzorcem 1 ohranja edino vzporedni premik. Kaj pa ornament z vzorcem J ~|? Tega ohranja tudi zrcalni premik (za polovično osnovno dolžino). Zato bomo rekli, da ima ta drugi ornament bolj zapleteno in bogatejšo simetrijo,
Definirajmo: Simetrijo ornamenta predstavljajo vsi različni tipi izometrij, ki ornament ohranjajo. Ne bo odveč, Če pripomnimo, da izraz simetrija uporabljamo v bolj splošnem pomenu, kot je navada v vsakdanjem življenju, ko dojemamo simetrijo pač kot neobčutljivost na zrcaljenje preko kake premice. Ali moremo že iz samega vzorca uganiti, da bo ornament imel bogatejšo simetrijo? Lahko, Če ima že vzorec sam v sebi simetrijo. To pomeni, da je neobčutljiv na izometrijo, ki ni identiteta (v poštev pridejo edino zrcaljenji ter vrtež). Poglejmo nekaj primerov. Črke E, A, N so trije preprosti simetrični vzorci. Prvo ohranja vodoravno zrcaljenje, drugo navpično zrcaljenje, tretjo vrtež. črko H ohranjajo vse tri izometrije, ki ohranijo črke E, A in N (slika 11). Pripadajoči ornamenti
...EEEEEE...
...AAAAAA... ... N N N N N N . . .
...HHHHHH...
Stika 11. Simetrije vzorcev
imajo zato različne simetrije. Seveda je lahko vzorec povsem nesimetričen (ohranja ga le identiteta), ornament pa je kljub temu neobčutljiv na izometrijo, ki ni vzporedni premik. Primer za to je prav ornament z vzorcem jI.
Naredimo tale sklep: po simetriji lahko ornamente razvrstimo v simetrijske skupine s pravilom: dva ornamenta sodita v enako skupino, Če imata enako simetrijo. Na primer, vzorci, ki so neobčutljivi zgolj na vzporedni premik, tvorijo skupino, ki ima očitno najrevnejšo simetrijo. Skupaj sodijo tudi ornamenti
...AAAAAA...
...www... . . . bd bd bd bd . . . . . . bddbbd bddbbd . . .
Slika 12. Primeri ornamentov na traku i razlitnimi simetrijami: starogrški (a), srednjeveški (b), starogrški (c). indijanski (pleme Navajo)(d), islamski (e), inkovski (f) in kitajski (g).

Bralec naj ugotovit katere izometrije jih ohranjajo. Mogoče je pokazati, da je simetrijskih skupin ornamentov na traku natanko 7 (sfika 12).
Ornamenti	simetrijske operacije
L .	..JJ J J J J J J - - -	1 vzporedni premik		
2, .	..J1J1J1J1...	1 vzporedni premik	in	1 zrcaljenje
3. .	..vvvvvv...	1 vzporedni premik	in	1 zrcaljenje
4, .	..NNNNNN..,	1 vzporedni premik	tn	1 zasuk za 180°
5. -	..VAVAVA...	1 zrcaljenje in 1 zasuk		za 18o°
6, .	..EEEEEE,,,	1 vzporedni premik	in	1 zrcaljenje
7. .	..HHHHHH.,	3 zrcaljenja		
Ali ni prav presenetljivo spoznanje, da se pri ustvarjanju ornamentov povezujeta dve tako različni zahtevi, kot sta neizmerna svoboda pri izbiri vzorca in neizprosna geometrijska omejitev? Ornamenti že tisočletja privlačijo umetnike in obrtnike z vseh celin. Pri risanju ornamentov so ser ne da bi se tega zavedali, opirali na zakone, ki so jih matematiki dokončno utemeljili šele v 19. stoletju.
Milena Strnad