MATEMATIKA
Moteca perspektiva
Peter Legiša
Uvod
Obiskovalci starih mestnih jeder imamo pogosto težave s fotografiranjem stavb. Ni se mogoče dovolj odmakniti za dobro sliko. Pomagajo širokokotni objektivi - tu bomo govorili o »premočrtnih« (»rekti-linearnih«) širokokotnih objektivih, ki ravne črte bolj ali manj preslikajo v ravne crte. (Objektivi akcijskih kamer ne sodijo v to kategorijo, prav tako ne t. i. ribja očesa - vsi ti ravne črte na robu ukrivijo, da bi na sliko spravili, kar se da veliko opazovanega, in se izognili zatemnitvi slike na robu - t. i. vinje-tiranju, ki je značilno za polno odprte premočrtne širokokotne objektive.) Tudi če ravne črte ostanejo (skoraj) ravne, so potem na slikah pogosto pravokotna pročelja zmaličena v čudne trapeze ali trapezoide: straniče stavbe navadno lezejo skupaj z višino. Tudi v parkih in gozdovih želja zajeti s širokokotnim objektivom, kar se da veliko, pogosto daje slike, na katerih se drevesa »podirajo«: zgornji deli debel se nagibajo k sredini slike. Včasih so ti efekti zanimivi, pogosto pa moteči. Deloma jih lahko popravimo v nadaljnji obdelavi na računalniku, a tudi to ni zmeraj preprosto. Poglejmo si natančneje, kaj se dogaja pri fotografiranju. Zvedeli bomo, kako lahko te težave preprečimo ali vsaj omilimo.
Upodobitve
Pri srednješolski fiziki obravnavamo upodobitve s tanko zbiralno lečo. Taka leča je neobčutljiva za vrtenje okrog svoje osi. Žarke, vzporedne osi leče, zbere v gorišču F (slika 1).
Optično središče O leče leži na osi in ima lastnost, da žarki, ki gredo skozi O, ne spremenijo smeri. Go-riščna razdalja f je razdalja med goriščem in optičnim središčem. Ravnina £ skozi O, pravokotna na os leče, je ravnina leče. Na sliki 1 je B pravokotna projekčija točke A na os leče. Točko A leča
f
D
A
				h
B' F f				1
h' J	O		B	
A'		a		
b				
SLIKA 1.
Daljico BA leca preslika na daljico B'A'.
upodobi v točko A', katere pravokotna projekcija na os je B'. Naj bosta a = \OB\ in b = \OB'\ razdalji tock A, A' od ravnine lece. Označimo h = \AB\ in h' = \A'B'\. Na sliki 1 sta podobna trikotnika OBA in OB'A'. Tako je h : a = h' : b ali
i' i b ■ h = h—. a
Podobna sta tudi trikotnika F OD in FB'A'. Tako je
h _ h' _ bh ' f = b-f = a(b - f) •
Pokrajšajmo s h, odpravimo ulomke in dobimo a(b - f) = ab - af = bf, od tod bf + af = ab. Delimo zadnjo enakost z abf, pa dobimo
1 11 abf'
(1)
Lahko je videti, da velja tudi malce splošneje: Za daljico dolžine h, ki je vzporedna ravnini S lece in od nje oddaljena za a, obrnjena slika dolžine h' nastane na razdalji b od leče, velja enačba (??) in
b
h = kh, kjer je k = —.
a
(2)
4
PRESEK 44 (2016/2017)1	4
MATEMATIKA
Fotografski objektiv je seveda mnogo bolj zapleten od enostavne lece. V prvem približku pa lahko vzamemo, da še zmeraj deluje kot enostavna leca in da veljajo gornje enacbe. Vzeli bomo torej, da se ravnina A, vzporedna ravnini lece in od nje oddaljena za a, preslika na ravnino senzorja (tipala), tako da se vse razdalje pomnožijo s k = a■ Naša preslikava je torej podobnostna transformacija, ki ohranja kote in oblike. (V resnici je objektiv zmožen dobro preslikati le del ravnine A v bližini osi objektiva - navadno ravno toliko, da slika pokrije tipalo.)
SLIKA 2.
Fotoaparat je bil nastavljen vodoravno, z optično osjo skoraj pravokotno na fasado in je tako praktično verno upodobil zahodno steno fakultete.
Ce je ravnina pročelja stavbe vzporedna ravnini tipala, bomo dobili verno sliko, kakršno si želimo. Ker so fasade navadno navpične, je prvi pogoj, da aparat držimo vodoravno. Nekatera stojala imajo vgrajeno vodno tehtnico. Boljši digitalni aparati imajo vgrajeno elektronsko libelo: na zaslonu in vcasih tudi v iskalu vidimo nagnjenost aparata - vecinoma okrog osi objektiva. Veckrat lahko kontroliramo tudi naklon navzdol ali navzgor, kar je za naše namene še posebej pomembno. Namestiti aparat tako, da je tipalo vzporedno procelju, tudi ob vseh teh poma-galih zahteva nekaj pozornosti in poskušanja. Premikati moramo kamero toliko casa, da ima pravokotna fasada na sliki spet pravokotno obliko. Pomaga nam lahko pravokotna mreža, ki jo lahko enostavno vkljucimo v mnoge zaslone in elektronska iskala. Seveda je potem, ce slikamo s plocnika, procelje prak-ticno le v gornji polovici slike - tako kot vidimo na sliki 2. Ce nas tisto, kar je niže - na fotografiji sta to cesta in plocnik - ne zanima, bomo pac morali pri nadaljnji obdelavi odrezati. Kljub temu je to najboljša možna rešitev za fotografa, ki ne premore specialne opreme.
Širokokotni objektiv ima gorišcno razdaljo najvec nekaj centimetrov. Pri slikanju stavb razdalja a od fasade do ravnine lece meri vsaj nekaj metrov. Zato je po enacbi (??) izraz a zanemarljiv v primerjavi z j in je a prakticno enak j, torej b prakticno enak f. Vzeli bomo torej po (??) kar, velja
k = f.
a
(3)
Širokokotni objektivi imajo zaradi tega tudi veliko globinsko ostrino, še posebno, ce zaslonko nekoliko
A
C'
A'
SLIKA 3.
Daljica C'A' je središčna projekcija daljice CA na ravnino n skozi središče O.
->
C
PRESEK 44 (2016/2017)1
5
MATEMATIKA

B'(-f, 0,0) /
A(ai, a2, a.3)
O
A'(-f,y,z)
B(ai, 0,0)
SLIKA 5.
|A'B'| = |z| = -z
SLIKA 4.
Ravnina nje za f oddaljena od O in pravokotna na os x.
zapremo. O globinski ostrini sem pisal pred leti v Preseku [?]. Clanek je še zmeraj aktualen, le da v njem za dopustno toleranco U0 = c (največji dovoljeni premer razmazanega krožca - angleško circle of confusion) zdaj vzamemo U0 = 7s ■ 10-4, kjer je s daljša stranica tipala. Ce smo res pikolovski glede ostrine in vse presojamo ob 100% pogledu na zaslon, pa premer razmazanega krožca zmanjšamo na dvakratno širino piksla na tipalu. Ce ne želite racunati sami, vam referenca [?] na internetu daje kalkulator globinske ostrine. Vstaviti morate ustrezne podatke, pa izveste, od kod do kod bo slika ostra. Po-išcete lahko tudi hipergoriščno razdaljo pri doloceni zaslonki, se pravi oddaljenost, na katero moramo izostriti, da bo pas ostrine segal ravno do neskoncno-sti. Tako na pokrajinskih slikah kar najbolje izkoristimo obmocje globinske ostrine. Na kratko, velika globinska ostrina pomeni, da bo (ob nastavitvi na hi-pergorišcno razdaljo) na sliki vse od nekaj metrov oddaljenosti do neskoncnosti videti ostro (in pri tem smo glede ostrine bolj zahtevni kot nekoc).
Središčna projekcija
Ker nas zanima le oblika preslikane stvarnosti, si brez vecjih težav lahko predstavljamo, da imamo namesto objektiva fotoaparata majhno luknjico v tocki O. Ta luknjica je za f oddaljena od tipala. Skratka, fotoaparat nadomestimo s kamero obskuro (iz latinskega camera obscura = zatemnjena soba). Angleško je to pinhole camera, ker luknjico lahko naredimo z buciko. Kamera obskura je škatla v obliki kvadra.
Na eni steni imamo v sredini luknjico, na nasprotni steni, ki je navadno iz mlečnega stekla ali prosojnega papirja, pa lahko, pokriti s črnim pregrinjalom, opazujemo obrnjeno, šibko osvetljeno sliko stvarnosti. Upodabljanje skozi luknjico je primer središčne projekcije. Sliko točke A v prostoru dobimo tako, da potegnemo iz A skozi središce O premico. Njeno presečišče s tipalom oziroma z zadnjo steno kamere obskure je središčna projekčija A' točke A na ravnino n tipala. Na sliki 3 sta A', C' projekčiji točk A, C. Premiča skozi A in C se preslika na premičo, ki je presečišče ravnine in ravnine skozi točke A, C, O, se pravi na premičo skozi točki A' ,C'. Torej je da-ljiča C'A' projekčija daljiče CA.
Tako smo se znašli v čisti matematiki - geometriji. Lastnosti središčne projekčije so v 15. stoletju odkrili in prenesli v uporabo italijanski renesančni slikarji in arhitekti, ki so bili obenem dobri matematiki. Lepe ilustračije središčne projekčije najdemo v delu slavnega slikarja Albrečhta Dürerja, rečimo [?]. Dürer je napisal eno prvih knjig o perspektivi. Mnogo snovi o središčni projekčiji, predvsem v povezavi z zgodovino in s slikarstvom, najdemo v prosto dostopni britanski poljudni matematični reviji Plus. Clanek [?] ima lepe ilustračije, je pa praktično brez formul.
Postavimo koordinatni sistem tako, da je središče O v izhodišču koordinatnega sistema, os z navpična, os y vzporedna spodnjemu robu tipala in os % pravokotna na tipalo (slika 4). Ker je ravnina n tipala za f oddaljena od O, imajo vse točke na tej ravnini prvo koordinato enako -f. Velja tudi sklep v nasprotni smeri: vse točke (-f,y,z) ležijo na n. Pravimo, da ima ravnina n enačbo x = - f.
Vzemimo na sliki 4 točko A(a1,a2,a3), pri čemer
x
6
PRESEK 44 (2016/2017)1	6
MATEMATIKA
t D
18
18
x C
A
t D
30
1 C
A
E
SLIKA 6.
Na senzor CD se upodobijo le tocke daljice EA od E do F.
a1 ± 0, in naj bo B(a1,0,0) pravokotna projekcija tocke A na os
Na sliki 5 imamo pravokotno projekcijo slike 4 na ravnino xz. Označimo A' (-f, y, z). Pravokotna trikotnika OB'A' in OBA sta podobna. Razdalja od B' do A' je |z| = -z, zato je
-z
t
a±
ai
in tako z = - ^ f. Enako vidimo, da je y = - ^ f. Torej je
A' (-f, - ^ f, - ai f). a1a1
(4)
Še laže to vidimo z vektorji: vektorja O A' in O A sta kolinearna, zato je O A' = tO A. To sta krajevna vektorja točk A' in A, torej je (-f, y, z) = t(a1,a2, a3) = (ta1,ta2,ta3). Primerjajmo prvi koordinati: ta1 = -f, zato je t = - f in je krajevni vektor točke A' enak
- T(al,a2,a3). ai
SLIKA 7.
Na senzor CD se zdaj upodobi celotna daljica EA.
Vzporedni premik objektiva
Denimo, daje tipalo vzporedno pročelju in daje spodnji rob tipala vodoraven, ne moremo pa se dovolj odmakniti, da bi zajeli celotno fasado. Na sliki 6 daljica EA predstavlja fasado, daljica CD pa senzor.
Ena možnost, da v takih razmerah dobimo verno sliko fasade, je ta, da objektiv fotoaparata (ali pa luknjico kamere obskure) premaknemo navzgor vzporedno tipalu - kot na sliki 7.
Angleška beseda za vzporedni premik je shift. To je mogoce s tako imenovanimi shift objektivi, konstruiranimi predvsem za kamere polnega formata s tipalom velikosti (približno) 36 mm x 24 mm. Firma Nikon za shift objektive uporablja oznako PC (Perspective Correction). Seveda pa mora slika, ki jo naredi premaknjeni objektiv, še zmeraj pokriti tipalo. Tako, recimo, Canonov objektiv TS-E 17 mm (TS pomeni tilt-shift) naredi okroglo sliko s premerom 67,2 mm. (Zaradi tako velike slike in zaradi dodatne precizne mehanike tak objektiv ni poceni.) Ta slika,

F
6
E
PRESEK 44 (2016/2017)1
7
M ATEMATI K A
->
r = 33,6
	
	O
K
SLIKA 8.
Krog predstavlja sliko, ki jo na ravnino tipala vrže objektiv. Pra-vokotnik predstavlja tipalo.
ce objektiv ni premaknjen, zlahka pokrije tipalo velikosti 24 mm x 36 mm, ki ima presečišče diagonal v središču O kroga. V tem primeru senzor sega v smeri vodoravne (daljše) stranice 18 mm levo in 18 mm desno od O. Objektiv zdaj vzporedno premaknemo v smeri daljše stranice tipala za 12 mm. Tako se krog slike premakne glede na tipalo za 12 mm. Zdaj na sliki 8 senzor sega (18-12) mm = 6 mm levo in (18+12) mm = 30 mm desno od O . Slika še zmeraj pokriva celoten senzor. Res, po Pitagorovem izreku je na naši sliki |OK| = V302 + 122 « 32,3 mm, kar je manj od polmera slike, ki znaša 33,6 mm. Tako lahko verno poslikamo precej višje stavbe in obenem zmanjšamo delež nezanimivih tal pred njimi.
Fotograf Branko Cvetkovic je jeseni 2005 v Narodni galeriji v Ljubljani razstavil enkratne arhitekturne fotografije [?], narejene z veliko profesionalno kamero. (Na taki kameri ne premikamo in nagibamo samo objektiva, ampak lahko premikamo tudi kaseto s filmom). Posnel je, recimo, tri navpicne verne delne slike vhodnega procelja Narodne in univerzitetne knjižnice v Ljubljani in jih zlepil v eno samo visoko kakovostno verno sliko. Ker je pred to ogromno fasado zelo malo prostora in je težko dobiti dovolje-
SLIKA 9.
Salendrova hiša.
nje za slikanje iz vec razlicnih oken nasproti stojecih stavb, je bil ta dosežek tudi za poznavalce izjemen.
Žal vecina med nami nima take opreme in se pogosto ne moremo dovolj odmakniti, da bi verno zajeli celotno stavbo. Potem moramo pac nagniti aparat navzgor. Vecina bo to storila tudi intuitivno, saj nima interesa slikati tal pred stavbo. Na sliki 9 imamo sliko Salendrove hiše v bližini ljubljanskih Križank. Pritlicje hiše je še srednjeveško, zgornji ba-rocni del je bil dokoncan v sredini 18. stoletja. Stoji v ozki in vecino dneva temacni Križevniški ulici. Ujel sem redko uro, ko to lepo obnovljeno procelje v celoti obsije sonce. S svojim najširšim objektivom sem
8
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATEMATIKA
(0, a1 sin &)
L1 (ai cos &, ai sin&)
L(au 0)
0,-/■
t (ai _ ai ^
LH /2'-V2y
SLIKA 10.
Tocko L zavrtimo za kot & okrog O v tocko L1.
SLIKA11.
Tocko L zavrtimo za kot -45° okrog O v tocko L1.
se pritisnil ob nasprotno hišo in nagnil kamero, pa vseeno nisem mogel povsem zajeti celote. Kot pri vsakem nagibu je prišlo do (nezaželenih) posledic, o katerih smo govorili. Kaj je vzrok in kako lahko preračunamo te spremembe?
Vrtenja
Zavrtimo točko A(a1,a2,a3) okrog osi y za kot &. Druga koordinata točke se pri vrtenju okrog osi y ne spremeni. Omejimo se torej na ravnino xz. Najprej zavrtimo točko točko L(a1, 0) v ravnini xz za kot & okrog O (na sliki i0). Koordinati zavrtene tocke sta po definičiji kotnih funkčij sinus in kosinus enaki
■	L1(a1čos&,a1sin&).
~ /2 /2 Ce je, rečimo, & = -45°, je L1(a1^2", -a1^r) (slika
11). Torej je čos(-45°) = ^2, sin(-45°) =
Zavrtimo zdaj točko M(0,a3) za kot & okrog O (slika 12).
Očitno je končni učinek enak, kot če bi zavrteli točko N(a3,0) za kot & + 90°. Torej je
■	M1(a3čos(& + 90°),a3sin(& + 90°)).
Po formulah, ki jih spoznate v srednji šoli (ali po sliki 12) je tako M1(-a3 sin&, a3 čos&).
Krajevni vektor točke R(a1,a3) je vsota krajevnih vektorjev točk L in M (slika 13). Na sliki 14 vidimo, da pri vrtenju za kot & pravokotnik OLRM preide v
M(0,a3)
N(a3,0)
SLIKA 12.
M1(-a3 sin&, a3 čos &)
pravokotnik O1L1R1M1. Zato je
■	oR1 = OL1 + oM1 =
(a1 čos & - a3 sin&, a1 sin & + a3 čos &).
Prenesimo zdaj izračunano v prostor: Ce točko A(a1,a2, a3) zavrtimo okrog osi y za kot &, dobimo torej točko
■	A1(a1čos & -a3 sin&,a2,a1sin & + a3 čos&). (5)
Privzemimo, da je fasada pravokotnik P z osnov-ničo vzporedno osi y in s stranskim robom vzporednim osi z. Zavrtimo aparat okrog osi y, ki gre skozi

z

PRESEK 44 (2016/2017)1
9
MATEMATIKA
SLIKA 14.
Pravokotnik OLRM zavrtimo v pravokotnik O1L1R1M1
optično središče O objektiva, navzgor za kot Za matematike enakovredno lahko na sliki 15 pravokotnik P zavrtimo okrog O za kot (Na sliki 15 y znaša 15 stopinj.) S tem dobimo na senzor CD celotno pročelje E1A1.
Spodnji rob E1 fasade se z vrtenjem približa ravnini xz leče, zgornji rob A1 pa oddalji. Po enačbi (??) se dolžine daljič, vzporednih tipalu, pomnožijo z d, kjer je d razdalja od ravnine xy. To pomeni, da se bo na sliki zaradi vrtenja spodnji rob podaljšal, zgornji skrajšal. Tako na sliki fasada dobi obliko trapeza. Točka G na sliki 15 leži tudi na daljiči E1A1 in je enako oddaljena od ravnine leče kot čelotna da-ljiča EA. Vidimo, da se na fotografiji pročelje pod točko G začne razširjati, nad G pa se začne krčiti - v
primerjavi s sliko, narejeno s kamero brez nagiba. Mi znamo izračunati koordinate zavrtenih oglišč pravo-kotnika. Od tod lahko po formuli (??) izračunamo obliko slike.
Na fotografiji 16 imamo ekstremen primer. Fotoaparat, postavljen na isto mesto kot v fotografiji 2, opremljen z ultraširokokotnim objektivom, sem močno nagnil navzgor (skoraj za 40° - podobno kot v nalogi na konču članka). Naknadno sem odrezal večino neba nad stavbo.
Poprava perspektive
Ce imamo na sliki okrog »zmaličenega« pročelja še nekaj prostora, lahko na računalniku (s programi za obdelavo slik) zmanjšamo oženje stranič fasade z višino. Sam imam v svojem standardnem programu (Lightroom 6) še najboljše izkušnje z ukazom Auto v Lens corrections/Basic. Deluje v sorazmerno velikem deležu primerov. (Na fotografiji 16 pa je to udobno
10
PRESEK 44 (2016/2017)1	10
MATEMATIKA
SLIKA 16.
Ekstremen nagib da nenaravno sliko fasade.
orodje odpovedalo, ker avtomobili zakrivajo podstavek stavbe.) Omenjeno orodje avtomatično prepozna obrise fasade in napravi spodnji in zgornji rob fasade (približno) vodoraven in precej zmanjša nagib navpičnih Crt. Primer: Pravokotno slikarsko platno z višino 58,5 cm in širino 49 cm (razmerje višina : osnovnica je približno 1,19) sem slikal z ultraširo-kokotnim objektivom od spodaj s precej nagnjeno kamero in dobil fotografijo 17.
Slika platna na fotografiji 17 je (približno) enako-krak trapez z razmerjem v : a « 0,99 in v : c « 1,29. Tu sta a, c osnovnici trapeza. Z ukazom Auto sem dobil enakokrak trapez na sliki 18, ki ima razmerje v' : a! « 1,18 in v' : c' « 1,27.
Lepo vidimo, kako je orodje skrcilo spodnji del slike. Dobljeno sliko je zato potrebno obrezati. To sem naredil rocno, ker samodejno obrezovanje ni ustrezalo. Tako sem dobil fotografijo 19, ki je videti precej bolj naravna kot original.
Da bi slika dobila pravokotno obliko, sem se zace-tne slike 17 lotil z rocnim popravljanjem navpicne perspektive (Lens corrections/Manual/Vertical) in v Lightroomu pridelal sliko platna kot pravokotnik z
SLIKA 17.
Platno fotografirano od spodaj je videti precej deformirano.
razmerjem višina : osnovnica 1,33 (slika 20). Rezultat je prevec raztegnjen v navpicni smeri.
Ce sem pa zacel z avtomaticno izboljšano sliko 19, je po rocni poravnavi v pravokotnik to razmerje znašalo približno 1,22 (slika 21), torej blizu pravemu rezultatu.
Ker poznam razmerje stranic originala, sem v Lightroomu (Lens corrections/Manual) uporabil drsnik Aspect in vidno zgrešeno sliko 20 raztegnil v vodoravni smeri v fotografijo 22, ki ima približno prave proporce platna. V Photoshopu bi isto naredil z orodjem Edit/Transform/Scale.
Z nekaj vec truda bi do tega rezultata prišel tudi z orodjem za popravljanje perspektive v prostoko-dnem programu Gimp, ki je poslovenjen. Po mojih izkušnjah vsi ti postopki delujejo tem bolje, cim manj je slika deformirana. Kadar srecate fotografijo neverjetno vitke manekenke, pa se spomnite, da z zgoraj omenjenimi orodji lahko zožimo tudi osebe.
Slika 22, ki sem jo pridelal, vseeno ne deluje najbolje, saj je zgornji beli del okvirja preširok, spodnji
->
PRESEK 44 (2016/2017)1
11
MATE M ATI K A
->
SLIKA 18.
Avtomatična izboljšava perspektive skrči spodnji del, razširi zgornji del slike 1 7.
SLIKA 19.
Z obrezovanjem fotografije 1 8 smo dobili kar soliden rezultat.
preozek. Razlog: okvir ni ravninski objekt in precej štrli ven iz ravnine platna. Pri slikanju od spodaj je bil del beline v okvirju zakrit. Izgubljene informacije ne moremo enostavno priklicati nazaj! Ta problem bi se lahko pojavil tudi, Ce bi senzor bil vzporeden sliki. Idealno bi bilo, daje senzor vzporeden sliki, da optiCna os seka sliko v sredini in da slikamo z veCje razdalje. Ce slike ne moremo sneti in je visoko pod stropom, se je najbolje odmakniti in uporabiti teleobjektiv. Teoretično morda lahko dobimo boljši rezultat s slikanjem z več različnih točk (in/ali po kosih) in z združevanjem rezultatov, ampak to je posebna zgodba.
Na internetu najdemo precej literature o tem, kako iz središcne projekcije ravninskega objekta rekonstruiramo verno sliko originala. Kratko temu recejo rektifikacija (poravnava).
Predvsem na podrocju računalniškega vida nastajajo zmeraj nove metode in algoritmi za poravnavo
poševno posnete slike, saj ima to veliko prakticno vrednost. V zapisu [?] imamo metodo, ki poravna sliko dela ravnine, ce na sliki lahko oznacimo dva para (v naravi) paralelnih daljic, tako da se para sekata, in dva prava kota, ki nimata vzporednih krakov. Taka oznacitev ne bo problem, ce imamo na na sliki upodobljen kvadrat (dodatni pravi kot je v presecišcu diagonal kvadrata). Namesto dveh parov paralelnih daljic in enega pravega kota lahko seveda kot podatek (glej recimo [?]) oznacimo štiri oglišca na podobi nekega pravokotnika. Dodaten pravi kot pa lahko nadomestimo s podatkom o razmerju stranic danega pravokotnika.
V našem primeru smo pri poravnavanju slikarskega platna najprej uporabljali le podatek o dveh parih vzporednih daljic - robovih platna in enem pravem kotu (med robovoma). To je bilo premalo, zato imata sliki 20 in 21 sicer pravokotno obliko, a napacne proporce.
12
PRESEK 44 (2016/2017)1
MATE MATI KA
SLIKA 20.
Poravnava fotografije 17 je preveč raztegnila sliko v navpični smeri.
SLIKA 21.
Poravnava slike 1 9 je zelo blizu originalnim proporcem.
Naloga
Literatura
V prostoru imamo pravokotnik z oglišci
■	R(4,-2,-2),S(4, 2, -2), T(4, 2,4),U(4,-2,4).
Ker imajo vse štiri točke enako prvo koordinato, je pravokotnik vzporeden ravnini yz (in leži v ravnini x = 4).
■	Središčna projekcija (skozi izhodišče O koordinatnega sistema) na ravnino x = -1 je štirikotnik R'S'T'U'. Določi koordinate njegovih oglišc in dolžine stranic. Nariši sliko tega štirikotnika v ravnini x = -1.
Pravokotnik RSTU zavrtimo okrog osi y za kot -450. Dobimo pravokotnik RiSi Ti Ui.
■	Določi koordinate oglišc zavrtenega pravokotnika. Središčna projekcija pravokotnika R1S1T1U1 (skozi O) na ravnino x = -1 je štirikotnik R"S"T"U".
■	Določi koordinate oglišc tega zadnjega štirikotnika. Pokaži, daje trapez. Določi osnovnici in višino trapeza.
[1]	S. F. Ray, Applied photographic optics, Second ed., Focal Press, Oxford 1995.
[2]	P. Legiša, FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA, 3. del - globinska ostrina, Presek 25 (4), 1998, str. 194-201. http://www.presek.si/ 25/1340-Legi sa.pdf
[3]	Kalkulator globinske ostrine: http: //www.gi ang randi.ch/opti cs/dofcal c/ dofcalc.shtml
[4]	Ilustracija središčne projekcije iz leta 1525: https://de.wi ki pedia.org/wi ki/ Perspekti ve#/medi a/File:358durer.jpg
[5]	Branko Cvetkovic, En face, fotografska razstava, Narodna galerija 11. do 25. november 2005 http://www.ng-slo.si/si/razstave/ razstava/en-face?i d=1374
->
PRESEK 44 (2016/2017)1
13
MATE MATI KA

SLIKA 22.
Sliko 20 smo raztegnili do pravega razmerja stranic slikarskega platna.
[6]	A. Criminisi, R. Thomas, Getting into the picture, Plus magazine, 2003: https://p1us. maths.org/content/getti ng-pi cture
[7]	R. Zhang, Image Rectification: Remove Projective and Affine Distortions, Homework 2, Purdue university, 2008: https://engineering. purdue.edu/kak/computervi sion/ECE661. 08/soluti on/hw2_s2.pdf
[8]	S. K. Badam, ECE661 Computer Vision Homework - 3, Purdue university, 2012: https://engi neeri ng.pu rdue.edu/ kak/computervi si on/ECE661_Fa112012/ soluti on/hw3_s2.pdf
_ XXX
Hitro množenje velikih števil
vU vU vU
Bo štjan Gabrov šek in Aljo ša Peperko
-> Običajni uveljavljeni način množenja dveh števil temelji na množenju enic, desetič, stotic enega izmed števil z drugim številom in seštevanju teh vmesnih zmnožkov. Alternativni način množenja števil, ki ga bomo opisali v tem prispevku, naj bi bil [2] predstavljen že v približno tri tisoč let stari indijski knjigi. Temelji na naravni ideji, da najprej izračunamo število enic, desetič, stotic v zmnožku in jih nato seštejemo. Ta metoda je precej zanimiva tudi zato, ker si jo ni težko shematično zapomniti.
Za začetek si poglejmo primer, kako zmnožimo števili 53 in 41. Števili podpišemo. Najprej zmnožimo enice 1 ■ 3 = 3. Nato izračunamo 5 ■ 1 + 3 ■ 4 = 17, kar nam pove, da imamo v zmnožku 17 desetič. Izračunamo še 5 ■ 4 = 20 (20 stotic), z zamikom v levo podpišemo in seštejemo dobljene vmesne zmnožke ter dobimo rezultat 2173. Shematično lahko to množenje predstavimo »preko diagonal«:
5
3
5
4
1 41 4
3
5
41
3
17
17 20
17 20
2173
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.presek.si
SLIKA 1.
Primer množenja dvomestnih števil 53 ■ 41
Tromestni števili 351 in 817 zmnožimo na naslednji način:
4
1
1
3
3
3
3
14
PRESEK 44 (2016/2017)1