ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 1 Strani 20-21
Aleksandar Jurišic: TROJIŠKI SESTAV
Ključne besede: matematika, številski sestavi.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1538-Jurisic.pdf
© 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
TROJISKI SESTAV
Zaradi računalnikov je pomen binarnih sestavov očiten. Človek bi pomislil, da, mora biti nekoliko težje najti primer, ki bi nas 'prisilil' razmišljati v trojiškem sestavu. Pa. temu sploh ni tako. Oglejmo si naslednjo nalogo iz Rutarjeve knjige Svet matematike. Priročnik in vaje iz matematike za 5. razred osnovne šole (poglavje Računske operacije v množici naravnih števil, str. 65, nal. 11), ki je označena z utežjo:
Koliko kg naj tehta vsaka od štirih uteži, da bi lahko na narisani tehtnici natehtali vse celoštevilske količine od enega do 40 kg?
iifti
V rešitvah lahko najdemo samo odgovor, ne pa tudi njegove razlage. Skupaj poiščimo pot do njega.
Z x > y > z > t označimo iskane uteži. Potem mora množica števil
U = {mr + by + cz + dt | a, 6, c,d € {-1,0,1}}
(D
vsebovati vsa števila od 1 do 40 (—1 pomeni, da smo utež postavili na nasprotno stran, nič pa, da uteži sploh ne uporabimo). Očitno je množica t/, če jo predstavimo na realni osi, simetrična glede na izhodišče, saj iz ax + by + cz + dt 6 U sledi — ax — by — cz — dt e U, Zato so v množici U tudi števila od —1 do —40 ter seveda 0. Skupaj je torej v množici U vsaj 81 = 34 števil. Več pa jih ne more biti, saj imamo za vsako izmed števil a, h, c in d le tri možnosti. Torej je
(1)	U = {-40, -39, ...,-2,-1,0,1,2,...,39,40}, Zaključimo:
(2)	Vsako število iz množice U lahko zapišemo na en sam način v obliki ax + by + cz + dt.
Od tod sledi, da so uteži x, y, z in t različna naravna števila, vsota vseh uteži nam da seveda največjo vrednost 40 = x + y + z + t, drugo največjo vrednost dobimo le tako, da ne uporabimo najlažje uteži; 39 = = x + y + z. Od tod dobimo t = 1 ter 38 = x + y + s — 1.
Število z ne more biti enako 2, saj bi 38 lahko dobili tudi z x + y + t, kar je v nasprotju z lastnostjo (2). Torej je z > 3 in mora biti 37 = x + + 2/ + 1. Zaključimo 2 = 3, 36 = x + y, 35 = a: + y-l,34 = i + j/-3+l, 33 = x + y — 3, 32 = x + y — 3 — 1, Na podoben način se prepričamo, da mora zaradi lastnosti (2) veljati y > 9 in 31 = x + 3 + 1. Torej je x = 27 in y = 9.
Prepričati se moramo le še, da za četverico (x,y, z, t) = (27,9,3,1) res velja (1) oziroma, kar je isto, da lahko zapišemo vsa števila od 0 do 80 = 2222:s v naslednji obliki:
a-27+č>-9 + c- 3 + d- l = abcd3 za a, 6, c, d 6 (0, X, 2},
To pa res ni težko, saj nas že v 5. razredu učijo šteti tudi v trojiškcm sestavu:
0 0	1 1	2 2	3 IO3	4 Ha	5 123	6 2O3	7 21s	8 223
9 1003	10 IOI3	11 1023	12 U03	13 III3	14 1123	15 1203	16 1213	17 1223
18 200^	19 2013	20 2023	21 2IO3	22 2H3	23 2123	24 22O3	25 22I3	26 2223
27 IOOO3	28 IOOI3	29 10023	30 IOIO3	31 IOII3	32 1012a	33 10203	34 10213	35 10223
36 IIOO3	37 HOI3	38 11023	39 IHO3	40 IIII3	41 IH23	42 11203	43 II2I3	44 11223
45 12003	46 12OI3	47 12023	48 12103	49 12113	50 12123	51 12203	52 12213	53 1222,1
54 2OOO3	55 200 U	56 20023	57 2OIO3	58 20113	59 20123	60 20203	61 20213	62 20223
63 2100;!	64 21013	65 21023	66 2110,-,	67 21113	68 21123	69 21203	70 21213	71 21223
72 22003	73 22013	74 22023	75 22103	76 22113	77 22123	78 22203	79 22213	80 22223
Trditev, da lahko vsako naravno število zapišemo na natanko en način v sistemu z osnovo a E H, o, / 1 (glej M. Vencelj, Maia šoJa številskih sestavov, Presek 30 (2002 03), str, 213 217), smo na naši poti dokazali le delno, a je očitno, da sedaj do splošne rešitve ni več daleč.
Aleksandar Jurišic