04 Povzetek V prispevku analiziramo pozitivne, a nerealne predstave o na- darjenosti v splošnem in o matematičnih talentih posebej. V resnici so omenjeni in drugiobravnavani miti o matematično talentiranih učencih bodisi plod domišljije ali vsaj polresnice. Nekateri od teh mitov so povezani z učenčevim kognitivnim, drugi z učenčevim socialno-emocionalnim razvojem, tretji pa so povezani s kurikulumi in programi za nadarjene. Ključne besede: miti o matematičnih talentih, socialni razvoj matematičnih talentov, emocionalni razvoj matematičnih ta- lentov, kurikulumi in programi za matematične talente. Miti o matematinih talentih Ivan Ferbežer Myths about Mathematically Talented Students Abstract In the article we analyze the positive but unrealistic understan- ding of giftedness in general and of mathematically talented children in particular. In fact the myths about mathematically talented students are either fiction or, at best half-truths. Some of the myths are related to a student’s cognitive and social-emo- tional development, where as others link to curricular issues and programs for the gifted. Keywords: the myth of the mathematically talented, social de- velopment of the mathematically talented, emotional develop- ment of the mathematically talented, curricula and programs for mathematically talented students Matematika v šoli XIX. [2013] 04-17 α Uvod Znanstveno dokazana zakonitost na inter- disciplinarnem področju nadarjenosti je, da imajo stališča, torej subjektivne komponen- te, mnogo večji in usodnejši vpliv na obliko- vanje nadarjenih učencev kakor objektivne okoliščine s kurikulumi, programi, šolami in vsemi oblikami edukacije. Paradoks pa je, da so prve mnogo težje najdene v strokov- no znanstveni literaturi v svetu, posebej pa pri nas – poznan je prispevek Juriševič, M. (2011), in tudi nesorazmerno manj razisko- vane, kar trdi Kranjčan D. (2003) Medtem ko lahko definiramo stereotip kot ustaljeno in pogosto ponavljajočo se vsebino pojma nadarjenosti, kot omenja Krajnčan M. (2003), predsodek kot vrsto nepreverjenih in neutemeljenih stališč, pa so miti pozitivne, a pogosto nerealne predstave o nadarjenosti, kar trdi Ferbežer (1999). V tem prispevku se bomo analitično po- globili v mite, ki se navezujejo na matematič- no talentirane učence. Pri tem so nekateri od obravnavanih mitov o matematičnih talentih povezani z učenčevim kognitivnim in soci- alno-emocionalnim razvojem, drugi pa so povezani s problemi kurikulumov in učnih programov. Na primer, dva izmed pogosto omenje- nih razvojnih mitov sta: Otrok je premlad, da bi se že učil algebre. in Otroci, ki preskočijo razred, bodo v adolescenci doživljali socialne probleme. Pogosto slišimo v šoli tudi učno programski mit o matematičnih talentih: »Če ga boste že sedaj pospešeno učili ma- tematike, ne bo ostalo dovolj možnosti za učenje v srednji šoli. «Morda ste že slišali za podobna stališča o nadarjenih oziroma matematično talentiranih učencih, ki ste jih že dobro poznali? Četudi je lahko v ozadju dobronamerna narava omenjenih mitov, pa vendarle obstajajo zelo redki znanstveni do- kazi za te trditve. V resnici so omenjeni in drugi obravnavani miti o matematično ta- lentiranih učencih bodisi plod domišljije ali vsaj polresnica. Vseeno pa so tovrstni miti zelo prisotni in so s strani staršev, učiteljev, vzgojiteljev in ravnateljev pogosto predsta- vljali coklo v razvijanju pedagoških interven- cij za matematično talentirane učence. Zato je namen tega prispevka pripeljati vzgojitelje, učitelje in starše do objektivnih strokovno znanstvenih informacij, potrebnih za razvi- janje učnih programov za matematično ta- lentirane učence. β Miti o matematinih talentih Prvi mit: Samo tisti učenci, ki so identi- ficirani za programe za nadarjene, so ma- tematično talentirani. Omenjena trditev je vezana na splošno naravo učno-vzgojnih programov za nadar- jene učence. Mnogi izmed svetovnih progra- mov za nadarjene učence so tako imenovani pull-out programi, to je, da nadarjeni učenci občasno pri kakšnem predmetu zapustijo razred in se tega predmeta ali učnih vsebin [Slika 1] Nadarjeni učenci na obisku v Pragi, ka- mor jih je peljal avtor prispevka 05 Miti o matematinih talentih 06 učijo v višjih nivojih višjih razredov. (V Slo- veniji žal še nimamo tovrstnih zakonskih možnosti, čeprav jih že zasledimo v naslovu med Predlagane oblike dela; zapisano v Na- cionalnemkurikularnem svetu, 1999, str. 10). Identifikacijski kriteriji za vstop v pullout programe poudarjajo celovito nadpovprečno razvitost nadarjenega učenca. Podoben je psihološki testni kriterij z IQ rezultatom 130 in več. Lahko pa se kot identifikacijski kri- terij uporablja percentilni rang sestavljenega rezultata na standardiziranem inteligentno- stnem testu ali testu dosežkov. Učenec, ki do- seže rezultat 97. centil, mora doseči takšen rezultat na različnih delih psihološkega testa. Tedaj je lahko uvrščen v takšen program za nadarjene. Omenjena vrsta kriterijske meje pa izključuje tiste nadarjene učence, ki ima- jo posebne talente na enem področju ali na ožjih področjih in so samo nadpovprečni ali celo samo povprečni na drugih področjih potencialnih sposobnosti. Na takšen način je mogoče, da matematično talentirani učenci ne zadovoljijo kriterija za vstop v programe za nadarjene. Kot dokaz zgoraj opisanih okoliščin nam lahko služi raziskava avtorjev Lupkowski in Assouline (2001). 26 % matematično talenti- ranih učencev se v tej raziskavi iz tega razlo- ga ni uvrstilo v učne programe za nadarjene. Torej zanje niso bili izdelani individualizira- ni programi, niso bili deležni posebnih uslug in se niso vključevali v obogatene učne aktiv- nosti, ki bi njihove potencialne sposobnosti ustrezno izzvale in razvijale. Na neki šoli v ZDA se lahko samo tisti učenci, ki so se po gornjih merilih vključili v programe za nadarjene, vključujejo tudi v dodatne izvenšolske matematične učne programe, kot je Matematična olimpijada za osnovne in srednje šole (MOEMS). Uče- nec tretjega razreda, Jason, je že obvladal ulomke, množenje, deljenje in osnove algeb- re. Na besednem inteligentnostnem testu je dosegel rezultat IQ=125, a šola je zahtevala kriterij IQ=130. (Pri nas v Sloveniji je krite- rij IQ=120; Glej vir: Nacionalni kurikularni svet, 1999, str. 9 ). Ta učenec torej ni bil iden- tificiran kot primeren za program za nadar- jene učence in se tudi ni mogel udeležiti Ma- tematične olimpijade za osnovne in srednje šole. Ne gre le za to, da bi Jasonu udeležba na matematični olimpijadi koristila, gre tudi za fenomenološko krivico, ko zaradi šolske operacijske definicije nadarjenosti matema- tično talentiran učenec ni prejel specializi- rane pedagoške oskrbe na svojem področju talenta in v skladu s svojimi potrebami. Zagotavljanje posebnih pedagoških uslug za matematično talentirane učence samo skozi šolske programe, ki temeljijo na pri- stranskih razpoznavah, predstavlja nadar- jenim posebnost tega mita. Po tej nerealni logiki so samo učenci, ki so bili identificirani za programe za nadarjene, lahko matematič- no talentirani učenci. Nobenega zagotovila ni, da bodo matematično talentirani učenci skozi uradne programe za nadarjene na šoli deležni pospešenih kurikularnih možnosti, ki ustrezajo matematičnim talentom. Do tega pride povsod tam, kjer programi za na- darjene učence niso izpeljani iz učenčevih individualiziranih identificiranih vrlin in potreb, temveč iz državno ali okrožno do- ločene operacijske definicije nadarjenosti in identifikacijskih ter edukacijskih progra- mov. Mnogi programi za nadarjene učence v državnih ali okrožnih okvirih ne nudijo specifičnih programov za vsakega od iden- tificiranih učencev. Med njimi je tudi veliko matematičnih talentov. Podobno velja za li- kovne in glasbene talente. 07 Drugi mit: Rezultati standardiziranih razredno nivojskih testov so ustrezni za identificiranje matematično talentiranih učencev. Četudi so lahko informacije z razredno nivojskih testiranj koristne pri iskanju mate- matično talentiranih učencev, pa vendarle ne dajejo dovolj natančnih informacij za obliko- vanje učnih programov. Uporaba razredno nivojskih psiholoških testov za oceno poseb- no talentiranih učencev pomeni podobno, kakor če bi uporabili milje za merjenje ne- česa, kar bi moralo biti merjeno s centimetri. Na primer, dva učenca lahko dosežeta enak identifikacijski rezultat na nivojsko razred- nem testu, 99. centil (matematična baterija specifičnih sposobnosti), toda vsak dosega drugačen rezultat. Zato so primernejši psi- hološki testi, ki so bili standardizirani za identifikacijo nadarjenih učencev ali tako imenovani nadnivojski testi. Le-ti nam na- tančneje pomagajo meriti učenčeve sposob- nosti in tudi bolje pomagajo razviti ustrezne učne programe. Žal takih psiholoških testov v zvezi z nadarjenimi učenci na slovenskem, kljub apologentskem zatrjevanju, še ne po- znamo. (Center za psiho diagnostična sred- stva, 2006/2007). Tretji mit: Nadarjeni učenci se enako dobro odzivajo na isti kurikulum. Nekatere zanimive tuje raziskave, ki so jih opravili Lupkowski-Shoplik in Assouline (2001), Colangelo, Assouline in Lu (1994) ter Lupkowski-Shoplik in Swiatek (1999), a redke domače raziskave, ki jo je opravil Fer- bežer (2012), so pokazale, da predstavljajo nadarjeni učenci zelo raznoliko skupino glede na njihove psihofizične značilnosti in osebnostne lastnosti. Strinjamo se s Sheffiel- dovo (1999, a), da bi moral zato kurikulum za matematično talentirane učence prav tako odražati to raznolikost talentov. Iz tega raz- loga strokovno znanstveno vzeto ni ustrezno priporočati enovitega kurikuluma za vse na- darjene učence. Ko je bilo v raziskavi Lupkowski-Shplik, Assouline (2001) tisoče nadarjenih učencev v ZDA vprašanih o učnih interesih, jih v naj- višjem odstotku odgovarja, da se največ po- svečajo matematičnim področjem aktivnosti (39 %), nato sledi posvečanje naravoslovju (27 %) in najmanj jezikovnim področjem (5 %). V Sloveniji bi bila, na tako velikem vzorcu, z visoko verjetnostjo slika popolno- ma obrnjena. Da enovit kurikulum za na- darjene ne zadovolji potreb vseh nadarjenih učencev, ker so zelo raznolika populacija, lahko ugotovimo tudi v primeru, če učitelji ne ocenjujejo splošne intelektualne sposob- nosti in specifične matematične zmožnosti, ampak druge kvalitete materinih nalog po- uka. Za matematično talentirane učence se priporoča uporaba učnih virov, ki so na voljo v njim prilagojenem matematičnem kuri- kulumu. To pomeni, da lahko za ta namen uporabimo matematični kurikulum za višje nivoje razredov z mlajšimi učenci. [Slika 2] Posvet o nadarjenih, ki se ga je udeležil tudi avtor prispevka, Vršac, Srbija, 2011 08 Miti o matematinih talentih Četrti mit: Učenci z akceleriranim tem- pom pouka in učenja ne morejo obvladati podrobnosti vseh poglavij, zato bodo imeli vrzeli v znanju. Ko matematično talentirani učenci ob za- četku šolskega leta vstopijo v običajen razred, že obvladajo neka specifično matematična znanja in imajo že razvite visoke umske spo- sobnosti. Z visoko verjetnostjo že obvladajo nekatera znanja, ki se bodo osvajala to šolsko leto. Odpira se nam vprašanje, kako jih voditi skozi pospešen učni program brez tveganja, da bi preskočili kakšne pomembne pojme. V nadaljevanju priporočamo preprost in dovolj občutljiv model razvijanja učno-pro- gramskega načrta za matematično talentira- ne učence. Najprej bi morali pri talentiranih učencih testirati (testi znanja ali naloge objektivnega tipa) predhodna znanja oziroma predznanja iz predvidenega učbenika oziroma kurikulu- ma. Matematično talentiranim učencem, ki so pravilno odgovarjali na 85 % učnega gra- diva, predvidnega za naslednje šolsko leto, bi morali omogočiti, da nadaljujejo učno pot na zahtevnejših, višjih nivojih ali razredih. Zapolnitev morebitnih vrzeli v znanju in ra- zumevanju vzame matematičnemu talentu le nekaj minut ali ur, kot opisujejoLupkowski, Assouline, Stanley (1990). Ko so učenci izka- zali razumevanje in obvladanje manjkajočih pojmov, se lahko vključijo v naslednje, zah- tevnejše poglavje ali predmet. Nekateri učitelji že dolgo in rutinsko te- stirajo predznanja svojih učencev in glede na te rezultate tudi učno načrtujejo. Vendarle še prepogosto najdemo prakso, da se nekateri učitelji odločajo generalno učno napredovati ne glede na stopnjo obvladanja predhodnega učnega gradiva. Le tistim učencem, ki so do- kazali, da obvladajo predhodno učno snov, bi morali omogočiti pospešen napredek. To zagotavlja, da v pridobivanju učne snovi niso izpuščene pomembne vsebine in pojmi. T ako tudi ni težaškega zatikanja za vsako temo na vsaki strani matematičnega učbenika. Peti mit: Matematično talentirani učen- ci izkazujejo stoodstotno obvladanje učne snovi predmeta ali področja. V tem stereotipu je posredno izraženo mnenje, da nadarjeni učenci ne bi smeli de- lati napak. Zaradi prakse, da nadarjeni učen- ci v prvih razredih šolanja pri nalogah ne delajo napak, začenjajo učitelji in pomembni drugi predpostavljati, da morajo ti vseskozi delati z odliko ali 100 % pravilno. Učenčeva verzija tega 100 % obvladanja je znana kot perfekcionizem. Z učenčeve in učiteljeve perspektive ter- min 100 % pravilno reševanje testnih nalog ni ustrezen indikator popolnega obvladanja učne snovi. Zanimivo je, da v zadnjih razre- dih ali letnikih šol na področju izobraževan- ja nadarjenih učencev skoraj da ne najdemo definicije termina obvladanje. V ustreznih tekstih se o obvladanju govori znotraj konteksta učne diferenciacije kuriku- luma, toda brez definiranja. Ob pripravi tega prispevka smo našli dve specifični referenci, ki to opredeljujeta na področju branja. Ena od referenc z naslovom Edukacijske strategi- je za poučevanje nadarjenih, kot jih opisuje Parker (1989) je specifična z ozirom na na- darjene bralce. Prav tako avtorja Coleman in Cross v prispevku z naslovom Biti nadarjen v šoli: Uvod v razvoj, svetovanje in poučevanje (2001) govorita o otrokovi stopnji obvladanja pri branju. Trdita, da je ustrezen edukacijski nivo sestavljen iz 90 % znanih in 10 % nezna- nih informacij. Ker je omenjene podatke na tej točki v primeru nadarjenih učencev težko 09 natančno ugotoviti, je to videti kot konserva- tivni kriterij za začetek pouka za nadarjene. J S. Renzulli; Sally, M. Reis, (1997) poudarjata, da je pri tem odločilna pomembna vmesna spremenljivka, učenčev interes ali kristalizi- rana motivacija. (Coleman in Cross (2001) sta mnenja, da bi se težko obračali na moti- vacijo in interes preden se ne začne pouk in da bi bilo smiselno razmerje v odstotkih na nekaterih področjih 50:50. Šesti mit: Matematično talentirani učenci so mojstri v računanju. Mnogi od matematično talentiranih učencev, s katerimi delamo, so odlični v matematičnih pojmovnih spretnostih, toda njihove spretnosti računanja so manj razvite. Na primer, učenec Jože bo imel odlično ra- zumevanje množenja ulomkov, toda utegne pogosto delati napake v seštevanju kolone številk. V teh okoliščinah učitelji pogosto za- držujejo nadarjene učence z vajo omenjenih osnovnih računskih spretnosti, preden nada- ljujejo z učenjem pospešenih matematičnih pojmov. To je lahko škodljivo za matematič- no talentiranega učenca oziroma za njegov matematični razvoj. Raziskave avtorjev Lup- kowski-Shoplik, Sayler, Assoulline (1994) ter [Slika 3] Delo z nadarjenimi matematiki na ŠCRM Kamnik Rotigel (2000) so pokazale, da imajo mnogi matematično talentirani učenci odlično ra- zumevanje razvojno pospešenih matematič- nih pojmov, medtem ko imajo istočasno re- lativno manj razvite spretnosti računanja. To z drugo besedo pomeni, da njihove računske spretnosti zaostajajo za pojmovnim razume- vanjem matematike, celo tako, da učenec, ki razume abstraktne matematične pojme, na- pačno odgovarja pri množenju ulomkov. Ka- kor sta opisala avtorja Lupkowski in Shoplik (1994), lahko matematični talenti izkazujejo te slabosti iz nekaterih naslednjih razlogov: 1. Ti učenci raje računajo v »glavah«, zato- da se intelektualno spodbujajo, ker gra- diva, ki se jih običajno učijo v šoli, niso zanimiva in spoznavno izzivalna. 2. Pri neposrednem pouku se zahteva od učencev, da se učijo računskih spretno- sti, medtem ko lahko vzporedno učenci razvijajo samostojno višjo pojmovno ra- zumevanje. 3. Vtis učiteljev o učnih sposobnostih ma- tematičnih talentov je lahko tak, da pred- postavljajo, da vaja in praksa rutinskega računanja sploh ni več potrebna. Žal v vsakodnevnem učnem procesu ti- pičen osnovnošolski kurikulum premalo omogoča matematičnim talentom, da de- monstrirajo svoje višje matematične poj- movne razumske sposobnosti. Zato skoraj nihče ne ve, kakšne so njihove matematične pojmovne sposobnosti, ker je večino časa v osnovnošolskem kurikulumu posvečenega nalogam mehaničnega ponavljanja oziroma nalogam, ki preverjajo znanja na nižjih tak- sonomskih ravneh. Sedmi mit: Matematično talentiranih učencev ni mogoče identificirati do sred- nje šole. Ameriški avtorji Waxman, Robinson in Mu- khopadhayay (1996) so v posebnih znan- stvenih projektih identificirali potenciale predšolskih otrok za posebne programe za matematiko na Univerzi Washington. Te otroke so bili najprej identificirali starši, nato pa so individualna psihološka testiranja po- trdila nominacije staršev matematično talen- tiranih otrok. Osmi mit: Zgodaj zrel, zgodaj gnil. Splošno javno mnenje predpostavlja, da v razvoju talentov pride do »pregorevanja« v skladu s pomenom gornjega reka. Toda naše bogate izkušnje dela s talenti in tudi naši in tuji raziskovalni dokazi označujejo, da to sploh ni realni problem. Prej in bolj kot to so realni problem neodkriti potenci- alno nadarjeni učenci, ki so pripravljeni na kurikularne izzive. Matematično talentirani učenci, ki so bili odkriti v nižjih starostih in so prejeli ustrezne objektivne in subjektivne možnosti za razvoj svojih matematičnih ta- lentov, so se skozi celotno šolsko kariero in tudi dalje odlikovali v uresničevanju svojih sposobnostnih potencialov. Avtor Waxman (1996, b) je s sodelavci raziskovalno ugoto- vil, da so matematično talentirani otroci še [Slika 4] Delo z nadarjenimi matematiki na ŠCRM Kamnik 010 Miti o matematinih talentih Splošna narava osnovnošolskega ma- tematičnega kurikuluma lahko sugerira prepričanje, da do srednje šole ni mogoče identificirati matematičnih talentov. Vendar je z vidika optimalne aktivnosti nujno iden- tificirati matematične talente že veliko prej (osnovna šola) tako, da je mogoče že zgodaj izoblikovati prilagoditve ustreznih matema- tičnih izobraževalnih programov. Na Uni- verzi Carnegie Mellon in na Univerzi Iowa so s pomočjo standardiziranih testov inteli- gentnosti uspešno identificirali matematič- ne talente že v tretjem razredu osnovne šole zato, da so jim lahko dovolj zgodaj pripravili ustrezne učno programske izzive. Le-ti so bili nato vključeni tudi v pospe- šene poletne ekstrakularne programe za ma- tematične talente, kot opisujeta Swiatek in Lupkowski-Shoplik (2000, b). V mnogih pri- merih so tudi standardizirani testni rezultati potrdili to, kar so starši že dolgo slutili – da je njihov otrok nadarjen za matematiko. Z ozi- rom na podcenjevalno vlogo staršev v tako imenovanem projektu »Odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci« v Sloveniji, smo na Institutu za razvijanje nadarjenosti Revivis Ptuj razvili optimalnejšo identifikacijo, in si- cer ocenjevalno lestvico za starše z naslovom Ocenjevalna lestvica staršev za odkrivanje potencialov talentov, ki jo predstavi Ferbežer (2008) (Več o strokovno krivičnih podcenje- valnih pojmovanj starševskih razpoznav ta- lentov glej tudi v: Ferbežer, 1990; Ferbežer, 1991; Ferbežer, 1990). Celo več, obstaja mnogo zapisov v anek- dostskih popisnicah o obstoju matematičnih talentov že pri osmih letih otrokove starosti. Torej, kakor je zgoraj povedano, so informa- cije o potencialnih sposobnostih matematič- nih talentov s strani staršev v teh primerih še posebno koristne in celo nenadomestljive. 011 v nadaljnjem razvoju vzdrževali svojo pred- nost v odnosu na običajne vrstnike. Vzorec predšolskih otrok njegove raziskave, ki je bil kasneje koncem prvega in koncem drugega razreda psihološko testiran, je še naprej do- segal višje rezultate in hitrejši napredek od vrstnikov primerljivih razredov. Podobno zakonitost je pokazala longitudi- nalna raziskava avtorjev Stanley in Lubinski (1996) in Benbow in Stanley (1983). Vzorec učencev iz te raziskave je bil identificiran v starosti 12 do 13 let. Ti so bili nato študijsko spremljani do srednje šole in še dalje. Razis- kovalni rezultati so jasno pokazali ne samo da so lahko matematični talenti identificirani že v zgodnji starosti, temveč prav tako da se njihov pospešen razvoj sposobnosti in dosež- kov nadaljuje do odraslosti. Izmed nadarjenih učencev z visokimi dosežki, ki so obiskovali najbolj zahtevne programe v naravoslovnih vedah, so bili mnogi, ki so bili že zgodaj v osnovni šoli identificirani v posebne progra- me za nadarjene in so se v srednji šoli vključili v pospešene programe ter zadovoljili kriterije za vstop v najbolj zahtevne kolidže in univer- ze. Večina izmed njih se je že vključevala v raziskovalne dodiplomske programe. »Očitno imamo tukaj opravka z odličnostjo, ki plodi odličnost. Matematično nadarjeni učenci so že zelo zgodaj izkoristili zahtevnejše izobra- ževalne možnosti. Pri dosežkih gre torej za učinek snežne kepe. Višje učno aktiviranje povečuje motivacijo in obratno«, kar potrju- jejo raziskovalci Benbow, Lubinski in Sanjani (1999). Matematični in drugi specifični ta- lenti, ki se zgodaj uresničujejo in izkazujejo, kasneje ne ugasnejo ali ovenijo. V procesu aktiviranja se pospešeno razvijajo. V naslovu omenjen stereotip je bil predmet kritičnega raziskovanja v Sloveniji že leta 1970, ki ga je opisal Ferbežer (1970). Deveti mit: Najboljša programska razli- čica za matematično talentirane učence je obogatitev. Četudi je učna obogatitev primerna in nujna oblikovalna programska možnost za matematično talentirane učence, pa to ni edina in najboljša možnost za vsakega po- sameznika. Pospešenega/naprednega pro- grama za matematično talentiranega učenca ne bomo avtomatično opustili, če je učenec nekoliko mlajši. Matematično talentirani učenci, ki so prehitevali, imajo za svojo ma- tematično izobraževanje več časa za oboga- titvene učne aktivnosti, ki vsebujejo učenje matematikev večji globini. Učne obogatitve se lahko predstavljajo v različnih oblikah, vključujoč aktivnosti, ki niso ozko povezane z matematiko, učne aktivnosti reševanja problemov in različnih aktivnosti ustvarjalnega mišljenja. Seveda pa imajo pri teh učencih prednosti mate- matično usmerjene obogatitvene aktivnos- ti, kot opisujeta Lupkowski in Assouline (1992).Vendar je pogosta praksa v ZDA, da se matematično talentirani učenci vključuje- jo v pullout programe (nekatere učne teme obdelujejo pri predmetih v višjih razredih) na področjih, ki niso povezani z matema- tičnim kurikulumom. Na primer, matema- tično talentirani lahko študirajo dramatiko, Shakespeara, negujejo rastline v okviru na- ravoslovnega projekta ali se vključujejo v krajevne civilnodružbene in varstvene služ- be. Medtem ko so vse te učno obogatitvene aktivnosti lahko za matematične talente dra- gocene, pa ne pospešujejo učenčevega razu- mevanja matematike. Naslednja oblika učne obogatitve, pove- zane z matematiko, je reševanje problemov. Aktivnosti reševanja problemov matematič- nim talentom nudijo možnosti, da razmišlja- 012 Miti o matematinih talentih jo o izzivalnih vprašanjih, kar jim je lahko v veselje in je intelektualno spodbujajoče. V en- dar te aktivnosti največkrat nimajo matema- tičnih vsebin in so malo povezane z osnov- nim matematičnim kurikulumom. Deseti mit: Najboljši način učnega izzi- va matematičnih talentov je preskok razre- da in študij učbenikov v višjem razredu. Preskok razreda in učenje matematike v višjem razredu je lahko odlična spodbuda nekaterim matematično talentiranim učen- cem. V tem primeru je kritičnega pomena sistematično kratkoročno in dolgoročno načrtovanje. Gre za vprašanje, ali bo učenec zmogel osvajati matematiko v višjem razredu s starejšimi učenci v razredu? Kako se bodo reševali problemi prevoza, če se bo moral učiti matematike v dislociranih in oddalje- nih zgradbah? Kaj se bo zgodilo po zadnjem razredu osnovne in srednje šole? Ali bo uče- nec lahko normalno funkcioniral pri mate- matičnem pouku na bližnji šoli? Ali bo kot učenec, ki je hitreje napredoval, lahko uspeš- no delal v matematiki do zadnjega letnika? Četudi je lahko zadovoljivo odgovorje- no na vsa gornja vprašanja vseh deležnikov (učenci, starši, pedagogi), lahko študij ma- tematike med starejšimi ni najboljša mož- nost. Še posebej ne za izrazite matematične talente. Tempo pouka je v višjem razredu še vedno lahko prepočasen, četudi so lah- ko matematična gradiva individualizirano prilagojena na zahtevnejši ravni. Naslednja kritična možnost je, ali je splošni nivo pouka dovolj celovito izzivalen. Enajsti mit: Če bodo matematično ta- lentirani učenci študirali matematiko s hitrejšim tempom, bodo obdelali matema- tični kurikulum pred koncem osnovne oz. srednje šole. Omenjen mit se nanaša na presojo hitrej- šega napredovanja v nižjih starostnih ob- dobjih. Zlasti pri učencih nižjih starosti in nižjih razredov je treba razmišljati o dolgo- ročnem učinku hitrejšega napredovanja. Za matematične talente, ki so preskočili eno ali več let matematičnega kurikuluma, je pov- sem mogoče, da bo manj možnosti za višje in zahtevnejše matematične programe do konca osnovnega šolanja. Kljub vsemu ob- staja še vedno veliko raznoterih in raznolikih možnosti zahtevnejšega študija matematike vse do univerze. Učitelji, učenci in starši naj bi bili fleksibilni in ustvarjalni pri zagotavljan- ju ustreznih učno-programskih možnosti učenja matematike. Na primer, učencu je mogoče organizirati možnosti različnih programov, začenši s študijem matematike z mentorjem v četrtem razredu, študij srednje- šolske geometrije v šestem razredu in tabo- ri na različnih stopnjah izobraževanja, kjer učenci nadgrajujejo svoje znanje ob reševan- ju različnih matematičnih problemov. Z naraščajočo razpoložljivostjo računalnikov v internetsko zasnovanih tečajih se razno- tere izobraževalne možnosti še povečujejo. In matematični talenti v podeželskih okoljih [Slika 5] Delo z nadarjenimi matematiki na ŠCRM Kamnik 013 niso več prikrajšani za pospešeno učenje ma- tematike in s tem za lastno uresničevanje. Dvanajsti mit: Matematični talenti ne bi smeli študirati algebre do zadnjih razredov osnovne šole. Uradna šolska administracija se večino- ma drži tradicionalnega zaporedja usvaja- nja matematičnih pojmov in programov. V ameriškem osnovnem šolanju tradicionalno algebra ni zajeta v kurikulumu do osmega oziroma devetega razreda. Od tod zaskrblje- nost, da učenci, mlajši od osmega razreda, ne bodo formalno pripravljeni v abstraktnem razmišljanju po načelih algebre. V nasprotju z zgoraj povedanim, je avtor Julian Stanley s strokovnimi sodelavci na Univerzi John Hopkins v ZDA opustil ra- zvojni vidik tega mita. Že skoraj štirideset let so avtorji Stanley, Benbow in Lubinski (1996) odkrivali matematično talentirane učence, ki so dobro obvladali algebro pred devetim ra- zredom osnovne šole. Nekateri izmed njih so bili na področju algebre dobro pripravljeni že v petem razredu. Preučevalno delo Stanle- yja z matematičnimi talentina Univerzi John Hopkins je dalo dalekosežne učinke, tako da so nekateri matematični talenti prehitevali že celo v algebri. Medtem ko so matematični talenti izra- žali zadovoljstvo s programi iz algebre, saj so tudi kognitivno dobro napredovali, pa so matematični pedagogi reagirali na te progra- me hitrejšega napredovanja negativno. To strokovno sporno stališče je bilo celo ekspli- citno izraženo v uradnem dokumentu mate- matičnih pedagogov z naslovom Kurikulum in evalvacija standardov za matematične šole (National Council of Teachers of Mathema- tics, 1989). Na srečo omenjena hitrejša »filozofi- ja« napredovanja ni uspela prodreti v novo verzijo dokumenta Principi in standardi za matematiko v šoli (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Novo poj- movanje oblikovanja matematičnih talentov promovira algebro kot svojstveno strukturno vlakno že od vrtca dalje. Novi citirani standardi pa priporočajo, da bi se morali matematični talenti učiti precej- šnji obseg algebre že v šestem, sedmem in osmem razredu osnovne šole, da bi tako do konca osnovne šole obvladali dobro razume- vanje osnovnih algebraičnih in geometričnih pojmov. Novi opisani standardi odpravljajo mit, da se algebre ne bi smelo učiti v okviru ma- tematike do konca osnovne šole. Kajti le tako bodo lahko matematično talentirani učenci napredovali skozi matematični kurikulum z obsegom in tempom, ki je zanje spodbuden. γ Zakljuek Na kratko smo predstavili in kritično razpravljali o stereotipih v podobi mitov, ki jih v pedagoškem življenju najpogosteje navajajo kot razloge, zakaj ne diferencira- mo programov za matematično talentirane učence. Obravnavani miti so se globoko usi- drali v zavesti pedagoško delujočih ljudi in močno vplivajo na svetovno izobraževalno politiko izobraževanja matematično talenti- ranih učencev. Širše povedano, ti izkrivljeni pogledi reflektirajo naivno perspektivo, ki spregleda individualne razlike med učenci. V prispevku smo poskušali utemeljiti, zakaj imamo opisana izkrivljena stališča in mite za fikcijo, zato smo analizirali znanstvena dej- stva, ki te stereotipe zavračajo. 014 Miti o matematinih talentih Nenavadno pa je trdoživ še en presega- joči mit, ki ga še nismo vsebinsko zajeli v prispevku. To je mit, da je za matematično talentirane učence najbolje nič drugega kot običajno učno programiranje za povprečne δ Viri in literatura: 1. Benbow, C.P.; Lubinski, D. (1996). Intelectual talent: Psychometric and social issues. Baltimore: John Hop- kins Press. 2. Benboww, C.P. Stanley, J. C. (1983). Academic pre- cocity: Aspects of its development. Baltimore: John Hopkins Press. 3. Benbow, C. P.; Lubinski, D.; Sanjani, H. E. (1999). Oue future leaders in science: Who are they ? Can we identify them early? In Colangelo, N.; Assouli- ne, S.G.: Talent development 3; Proceeding from the 1995 Herry B. and Joselyn Wallace National research Symposium on Talent development, str. 59–70. Scot- tsdale, AZ: Gifted Psychology Press. 4. Boben, D. (2012). Smo psihologi (edini) kompetentni za identifikacijo nadarjenih? V: Posvetovanje: Vloga psihologa v vzgoji in izobraževanju nadarjenih, 27. 1. 2012, Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani, Ure- dnici Mojca Juriševič in Božena Stritih, str. 57–76. 5. Center za psihodiagnostična sredstva (2006/2007). Ka- talog psiholoških testov, vprašalnikov, knjig. Ljubljana. 6. Colangelo, N.; Assouline, S.G.; Lu, W.H. (1994). Using EXPLORE as an above level instrument in the search for elementary students talent. In Colangelo, N.; Assouline, S.G.: Talent development 2, Procee- dings from the 1993 Herry B. and Jocelyn Wallace National research symposium on talent development. Str. 281–298, Dayton, Ohio, Psychology Press. 7. Coleman, L.J.; Cross, T.L. (2001). Being gifted in school: An introduction to development guidance and teaching. Waco, TX: Prufrock Press. 8. Ferbežer, I. (1970). Nadarjen otrok. Sodobna pedago- gika, Vol. 21, št. 7–8, str. 265–274. učence v šoli. Za starše matematično talen- tiranih učencev pa je to lahko tvegana fru- stracijska okoliščina, v kateri se poraja dvom v zagovorništvo svojih otrok. To pa ni več znanstveno polje tega prispevka. 015 9. Ferbežer, I. (1990). Starši in študij akceleriranih nadar- jenih otrok. Vzgoja in izobraževanje, št. 2, str. 21–27. 10. Ferbežer, I. (1990). Starši odkrivajo predšolske na- darjene otroke. V: Zbornik referatov in prispevkov o predšolski vzgoji. Maribor, Pedagoška fakulteta Mari- bor, Univerza v Mariboru, str. 23–31. 11. Ferbežer, I. (1991). Starši odkrivajo predšolske na- darjene otroke, Sodobna pedagogika, Vol. 42, št. 3–4, str. 171–178. 12. Ferbežer, I. (1999). Stereotypes on giftedness, V: 5 th Alps Adria Conference, September, 9–11, 1999, Press Hungary. Psychology at the turn of millenium: ab- stracts, Pecs, Bureau of conference Services of James Panonius University, str. 25. 13. Ferbežer, I. (2012). Multidimenzionalni kurikulum za mlajše nadarjene otroke, 5. Mednarodni simpozij Avtonomija šole in razvojne možnosti na učnem in vzgojnem področju, Črenšovci, Osnovna šola Fran- ceta Prešerna, 17.-18. 2. 2012, str. 106–118. 14. Ferbežer, I. (2008). Ocenjevalna lestvica staršev za odkrivanje potencialov talentov, V: Gojkov, Grozdan- ka. Porodica kao faktor podsticanja darovitosti: 14. Okrogli sto, Vršac, 2008. Zbornik Vršac, Visoka škola strukovnih studija za obrazovanje vaspitača »Mihailo Palov«, str. 108–118. 15. Juriševič, M. (2011). Vzgoja in izobraževanje nadar- jenih. Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v repub- liki Sloveniji, 2011, Nacionalna strokovna skupina za pripravo Bele knjige o vzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji. Ministrstvo za šolstvo in šport, september 2011, str. 331–345. 16. Kranjčan, D. (2003). Stereotipi o nadarjenih otrocih. Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta Maribor. Oddelek za predšolsko vzgojo, Maribor, diplomsko delo, str. 1–59. 17. Kranjčan, D. (2003). Prav tam, str. 5–37. 18. Lupkowski, A. E.; Assouline, S. G. (1992). Jane and Johny love math: Recognizing and encouraging mathematical talent in elementary students. Union- ville, NY: Trillium Press. 19. Lupkowski-Shoplik, A. E.; Sajler, M. T.; Assouline S. G. (1994). Mathematics achievement of talented 016 Miti o matematinih talentih elementary students. Basic concepts vs. Computati- on. In Colangelo, N.; Assouline, S. G. Ambroson, D. L.: Talent development. Proceeding from the Henry B. and Jocelyn Wallace National research Symposiu- mon Talent Development. Str. 409–414, Dayton, OH. Psychology Press. 20. Lupkowski-Shoplik, A. E.; Assouline, S. G. (2001). Reports of ESTS 2001 local item responses. Cornegie Mellon University, Pittsburgh. 21. Lupkowski-Shoplik, A. E.; Swiatek, M. A. (1999). Ele- mentary student talent searches: Establishing appro- priate guideleness for qualifying test scores. Gifted Child Quarterly, Vol. 43, št. 265–272. 22. Lupkowski, A. E.; Assouline, S. G.; Stanley, J. C. (1990). Applying a mentor model for young mathe- maticaly talented students. Gifted Child Quarterly, Vol. 13, str. 15–19. 23. National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, V A: Author. 24. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards of school mathematics, Re- ston, V A: Author. 25. Nacionalni kurikularni svet(1999). Koncept: Odkri- vanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli, 11. 2. 1999, Ljubljana, str. 9–12. 26. Parker, J. P. (1989). Instructional strategies for tea- ching the gifted. Boston, Allynand Bacon. 27. Rotigel, J. V . (2000). Exceptional mathematical talent: Comparing achievement in concepts and computati- on. Indiana University of Pensylvania, Indiana, PA. 28. Renzulli, J. S.; Sally M. Reis (1997). Schoolwide Enri- chment Model. Creative learning Press, Inc. Mansfie- ld Center, Connecticut. str. 6–7. 29. Sheffield, L. J. (1999). Developing mathematically promising students. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 30. Swiatek, M. A.; Lupkowski-Shoplik, A. E. (2000). Predicting performance in a summmer enrichment program from above level EXPLORE scores. Paper presented at the 5th Biennial Henry B. and Jocelyn 017 Wallace national Research Symposium on Talent de- velopment. 31. Waxman, B.; Robinson, M. B.; Mukhopadhayay, S. (1996 a). Parents nurturing math talented young chil- dren. Seatlle, University of Washington. 32. Waxman, B.; Robinson, M. B. ; Mukhopadhayay, S. (1996 b). Teachers nurturing math talented young children. Storrs: The National Research Center on the Gifted and Talented. University of Connecticut. Sporoilo uredništva Zahvaljujemo se Pavlu Škoberne iz Šolskega centra Ru- dolfa Maistra Kamnik, ki nam je odstopil fotografije 3-5.