ISSN 0351-6652 Letnik 30 (2002/2003) Številka 6
Strani 332-337, XXIII
Janez Strnad: SKOK V DALJAVO
Ključne besede: fizika, poševni met, zračni upor. Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1531-Strnad.pdf
© 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
SKOK V DALJAVO
Presek se je dotaknil nekaterih športnih panog, med njimi tudi skoka v višino in skoka ob palici (S. Pahor, Skok v višino in skok ob palici po fizikalno, Presek 5 (1977/78) 179). Skoka v daljavo pa še ni obravnaval. Zapolnimo to vrzel.
Pri skoku v daljavo tekmovalec med zaletom doseže veliko hitrost, st; odrine in doskoči v jamo s peskom. Med skokom spreminja iego delov telesa glecie na druge dele. Gibanje težišča skakalca lahko preprosto opišemo. Pri tem si moramo pomagati z enačbami. Čeprav je precej računanja,, na srečo ni zahtevno; rešiti moramo le nekaj kvadratnih enačb. Med zaletom se težišče skakalca giblje pospešeno v vodoravni smeri, dokler ne doseže končne hitrosti uq, V preprostem modelu vzemimo, da se po odskoku ne spremeni velikost te hitrosti, ampak samo njena smer. Pred odskokom se težišče giblje s hitrostjo t)q v vodoravni smeri, ob njem pa poševno navzgor pod kotom p proti vodoravuici. Ob odskoku je vodoravna komponenta hitrosti Vq cos/i in navpična komponenta t.'o sin 8. Dalje opišemo gibanje težišča, kot poševni met. To je pomembna sestavina različnih športnih panog, ki smo jo srečali pri metih v lahki atletiki in pri metu na koš (Meti, Presek 13 (1985/86) 86; Koš! Koš!, Presek 18 (1990/91) 268).
Poševni met opišemo v navpični ravnini. Os x postavimo na začetno pot težišča v višini y* = 1 m nad tlemi v smer zaleta, os y pa nad odskočiščem navpično navzgor. Gibanje težišča lahko potem razstavimo na enakomerno premo gibanje s hitrostjo vqc.os(3 v vodoravni smeri in navpični met. navzgor z začetno hitrostjo vq sin 0;
x — v0tcos/?, y = v0tsin- \g£2.	(1)
Zadnji člen ustreza, globini pri prostem padanju z velikostjo pospeška, prostega padanja g, približno 10 mIz prve enačbe izračunamo čas t — x/(v(1 cos /i) in ga vstavimo v drugo. Dobimo enačbo parabole:
y = x tan /3 — ^gx2 / (vi cos2 p)
(2)
V zadnjem delu skoka skakalec skrči kolena, da podaljša skok. Zato težišče zadene vodoravna tla pod črto y — 0 pri y = —ya (slika 1). Navadno vzamejo y0 = —0.5 m. To vstavimo v enačbo (2) in dobimo kvadratno enačbo za, dolžino skoku xm, ki ga določa koren s pozitivnim znakom:
= sin /3 cos 8/g -i- (u0 cos /3/g)\jsin2 ¡3 + 2gy0 . (3)
Slika 1. Tri parabole, po katerih bi se gibalo težišče skakalca pri skoku v daljavo s hitrostjo 10 m/s: nedosegljiva parabola pri kotu 45° (a), parabola pri kotu 26,6" (b) in parabola pri kotu 20° (c). V drugem primeru doseže težišče največjo višino yTrl — — 1 m, vodoravna komponenta hitrosti meri 8,tl m/s in skok traja 1 s. V tretjem primeru doseže težišče največjo višino ym = 0,56 m, vodoravna komponenta hitrosti meri t),35 m/s in skok traja 0,8 s pri globini yo = 0,5 m, a 0,95 s pri globini yo — 1,3 m.
Vzemimo, da bi skakalec ne skrčil kolen. Potem bi veljalo yo = 0 iti bi po enačbi (3) bila dolžina skoka
£,no = 2uq sin (i cos p/g = sin 2/3/g .	(4)
V tem primeru bi bila višina skoka po drugi enačbi (1)
t/m = 3/(z = l^mo) = sin2 9 '	(5)
Skakalci v daljavo so dobri tekači na kratke proge. Na velikih tekmovanjih ni redko v skoku v daljavo zmagal isti tekmovalec kot v teku na 100 m. Za hitrost ob odrivu je smiselno vzeti 10 m/s. Skakalec, ki bi mu pri odrivu to hitrost uspelo preusmeriti pod najugodnejšim kotom proti vodoravnici /3q = 45°, bi pri skoku dosegel višino težišča ym = v'q/(4g) = = 2,5 m in daljavo jrmo — 1%/g = 10 m. Pri tem niti ne bi skrčil kolen.
Po izračunani daljavi in še bolj po izračunani višini sklepamo, da uporabljenemu modelu ne gre zaupati. Pri skoku bi se namreč težišče dvignilo od y* = 1 m za 2,5 m na 3,5 m nad tla. Skakalec ne bi dosegel samo svetovnega rekorda pri skoku v daljavo, ampak tudi pri skoku v višino. V resnici skakalec ne more tako uspešno spremeniti kinetične energije v potencialno. Po izreku o kinetični in potencialni energiji ktnvfi sin §q — = Tngym, iz katerega sledi zveza (5), kot /3 ne more doseči 45°. Spoznanje, daje človek zmožen samo manjši del kinetične energije pri teku spremeniti v potencialno, ne omejuje samo dosežkov pri skoku v višino, ampak tudi pri skoku v daljavo. Skakalci v višino se razlikujejo od skakalcev v daljavo in tekačev na kratke proge. Navadno so višji in bolj koščeni. Pritečejo razmeroma počasi s strani in se na vso moč odrinejo po kotom ¡3 — 60°. Potem pa se previjejo čez letev tako, da ostane težišče čim nižje.
Enačbo za dolžino skoka (3) predelamo in najprej vstavimo vanjo vo = 2gym/sin2 ¡3 iz (5), da se znebimo začetne hitrosti. Nato uporabimo izraza sin¡3 = \/2gym/v'^ in cos /3 = \/1 — 2gym/v2 in se znebimo kota /?:
zaradi druge enačbe (1), ki da vqt sin ¡3 — \gt2 = —j/o> pa je oglati oklepaj v (6) enak trajanju skoka
Za višino, ki jo doseže težišče, vzemimo ym = 1 m. To ustreza višini skoka okoli 2 m, kar je precej manj od svetovnega rekorda pri skoku v višino. Skok v daljavo traja potem približno 1 s in vodoravna komponenta hitrosti doseže nekaj več kot 8,9 m/s. Enačba sin/3 = ^2gy,n ¡vq da kot ß — 26,6°, ki je precej manjši od 45°. Navpična komponenta hitrosti meri 4,5 m/s. V tem primeru je po enačbi (6) daljava 8.9 m, kar je zelo blizu priznanega svetovnega rekorda 8,95 m za moške. Po posnetkih 8,06 m dolgega skoka, s katerim je Jesse Owens leta 1936 dosegel olimpijski rekord, so ugotovili, da je kot ß meril 25 do 26°,
Vendar so novejša merjenja pri skoku v daljavo dala vodoravno komponento hitrosti 9,35 m/s in navpično komponento 3,35 m/s. Tema ustrezata velikost hitrosti uo — 9,93 m/s in še manjši kot 0 — 20°. Žal ob tem
Prvi faktor v (6) je enak vodoravni komponenti hitrosti
ni podatkov za dolžino skoka. Enačba (3) da za dolžino pri j/o — 0,5 samo 7,6 m. Kako bi mogli skakalci skočiti več? Gibanje težišča smo dobro zajeli z našim opisom, zato je treba vzrok iskati v gibanju delov telesa glede na druge dele. To laliko poveča v računu globino ya. Vendar bi bil pri kotu 20° skok dolg 8,9 m pri globini skoraj jfa =i 1,3 m, kar bi presegalo začetno višino težišča nad tlemi. Tu je še nekaj dela za strokovnjake za mehaniko človeškega telesa. Ali je kot pri rekordnih skokih večji? Ali pri njih dosežejo skakalci večjo hitrost? Morda pa zrak na skakalca ne deluje samo z zračnim uporom?
Najprej recimo kakšno o uporu. Po kvadratnem zakonu deluje zrak na skakalca z uporom v nasprotni smeri gibanja:
Fu = \pvlcuS .	(7)
Pri tem je p = 1,23 kg/m3 gostota zraka v navadnih okoliščinah, ca — G,D izmerjeni koeficient upora in S = 0,5 m2 povprečni presek skakalčevega telesa pravokotno na smer hitrosti. Hitrost vq je odvisna tudi od upora. Menda lahko dobro treniran skakalec za kratek čas razvije največjo moč P — 3 kW, kar je vsekakor zelo velik podatek. To moč tik pred skokom potrebuje za vzdrževanje teka s končno hitrostjo in premagovanje upora:
P = Kmvq + Fuvo = Kmv0 + \pvlcuS .	(8)
Prvi člen na desni strani podaja moč sile Krn, ki vzdržuje tek s končno hitrostjo skakalca z maso m = 75 kg. Sorazmernost ni koeficient K = = 3,63 W/{kg - m/s) so ugotovili z merjenji. Drugi člen je moč upora. Ni se težko prepričati, da enačbo reši hitrost vq — 10 m/s, ki smo jo navedli. Zračni upor (7) meri v tem primeru Fu — 28 N. Zaradi njega se zmanjša končna hitrost od 11 m/s na 10 m/s. Če se hitrost relativno spremeni za Avq/vq, se daljava spremeni za
Ax _V1_
'('o - 2gym v0
Zmanjšanje hitrosti za 2 % skrajša skok za 25 cm in zvečanje hitrosti za 2 % ga za toliko podaljša.
Poleg tega se zaradi zračnega upora skakalec med skokom v vodoravni smeri giblje enakomerno pojemajoče. Velikost pojemka je a = Fu/rn = = 28 N/(75 kg) = 0,37 m/s2. V eni sekundi se pot, to je dolžina skoka, zaradi pojemka skrajša za A;rm — = 0,18 m.
Na upor in na dolžino skoka vpliva tudi gostota zraka. Pri manjši gostoti je upor manjši in končna hitrost večja, če se druge okoliščine ne spremenijo. Poleg tega se zaradi zmanjšanega upora skok manj skrajša. V glavnem mestu Mehike na višini 2265 m je tlak za j nižji kot ob morju. Za toliko so manjši tudi gostota, upor in pojemek. Po enačbi (S) se zaradi tega hitrost poveča za 2 % in skok podaljša za 25 cm. Za 25 % se zmanjša tudi pojemek in zato se skok podaljša še za | -18 cm = 4,5 cm. V celoti je skok za 30 cm daljši kot skok ob morski gladini, če se druge okoliščine ne spremenijo. Po tem premisleku 8,90 m dolgemu skoku Boba Beamona na olimpiadi leta 1968 v glavnem mest.u Mehike ustreza ob morju približno 8,6 m dolg skok. V tem pogledu je bil boljši od Beamonovega skoka 8,8 m dolgi skok Carla Lewisa leta 1983 ob morski gladini, ki ga seveda niso vodili kot svetovni rekord. Z izpopolnjeno enačbo (7) bi lahko zajeli še vpliv vetra na dolžino skoka. Zrak bi utegnil delovati na skakalca, ko po odrivu z zgornjim delom telesa zaniha, še s prečno silo ali dinamičnim vzgonom v smeri navzgor. To bi podaljšalo čas skoka in povečalo dolžino. To možnost bi morah upoštevati, če pri rekordnih skokih kot ni večji kot 20° in hitrost ne večja kot 10 m/s. S preprostim modelom ni mogoče zajeti podrobnosti pri skoku v daljavo. -Jasno pa postane, da se rekordni skoki posrečijo le v ugodnih okoliščinah skakalcem, ki so najbolje pripravljeni in ki imajo tudi nekaj sreče.
Tudi pred skoraj tri tisoč leti so tekmovali v skoku v daljavo, vendar drugače kot danes. Na antičnih olimpiadah so v peteroboju skakali v daljavo z mesta. Pri tem so vsaj od olimpiade leta 708 pr.n. št. dalje uporabljali ročaje, (h)alteres. Nekaj ročajev se je ohranilo do današnjih dni (slika 2 na III. strani ovitka). Vsak od dveh ročajev iz kamna ali svinca je tehtal od dva do devet kilogramov. Pred skokom so tekmovalci zibali roke z ročaji sem in tja. Tik pred odskokom so stegnili roke nazaj in jih ob odskoku prenesli naprej in navzgor. S tem so dosegli, daje bilo težišče više 111 bolj spredaj, kot bi bilo brez ročajev. Ob doskoku so potisnih roke z ročaji nazaj in navzdol, da so bile noge čim dlje pred težiščem. S tem so povečali dolžino skoka. Morda so ročaje uvedli tudi zato, da so skakalci laže lovili ravnotežje ob doskoku. Pravila so namreč zahtevala, da se noge na določen način dotaknejo tal, čeprav ne vemo, na kakšen.
Alberto Minetti in Luca Ardigo z univerze v Manchestru sta s poskusi in z računalniško simulacijo raziskala vpliv ročajev in o tem poročala v reviji Nature lanskega novembra. Ugotovila sta, da se je zaradi ročajev z inaso dvakrat po tri kilograme podaljšal trimetrski skok vsaj za 17 cm.
Pri t eni se hitrost ob odskoku zaradi ročajev ni zmanjšala, kakor bi pričakovali, ampak zvečala. Pokazalo se je. da zmorejo nekoliko napete mišice večjo moč kot nenapete. Zaradi tega je bila hitrost ob odskoku z ročaji večja kot brez njih. Poskusi z ročaji 2 različno maso so pokazali, da je hitrost, pri skoku v višino z mesta največja pri masi ročajev dvakrat po tri kilograme.
Kot zanimivost omenimo, daje Anglež J. Howard že leta 1854 "skočil" 9,02 111 daleč. Pri tem si je na grški način pomagal z ročajema v. maso po 1,7 kg, ki ju je med skokom odvrgel v smeri nazaj.
Svetovni rekordi v skoku v daljavo in skoku v višino
daljava moški	8.95 m	Mike Powell, ZDA	1991
ženske	7,52 m	Galina Cistjakova, Rusija 1988
višina moški	2,45 m	Javier Sotomayor, Kuba 1993
ženske	2,09 m	Štefka Kostadinova, Bolgarija 1987
Janez S t ruad
Slika 2. Skakalca z ročaji na grških vazal) Lil ohranjeni ročaji.