α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 63-72 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? Bober – Mathematical Tasks in Computer Science? Katja Bonaca Osnovna šola Livade Izola Σ Povzetek V prispevku predstavljamo naloge iz že izpeljanih tekmovanj Bober, ki imajo matematično ozadje. Opišemo, kako so učen- ci od 5. do 9. razreda ob pripravi na tekmovanje te naloge reševali in s katerimi težavami so se srečevali pri njihovem reševanju. Naloge smo povezali s cilji in temami iz matema- tičnih vsebin. Ključne besede: tekmovanje Bober, računalniško razmišljan- je, matematične strategije Σ Abstract The paper presents tasks from previous Bober competitions with a mathematical background. It describes how students from the 5th to 9th grades solved these tasks when preparing for the competition, and the problems they had encountered when solving them. These tasks were then linked to the objectives and topics of mathematical contents. Key words: Bober competition, computational thinking, math- ematical strategies 064 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? α Uvod Vemo, da sta matematika in računalništvo zelo povezana. S poučevanjem neobvezne- ga izbirnega predmeta računalništvo v 5. razredu, s katerim smo se letos prvič spo- prijeli mnogi učitelji po Sloveniji, smo to povezavo še bolj začutili. Učenci naj bi pri izbirnem predmetu računalništvo reševali probleme in spozna- vali računalniške koncepte. Ti cilji so tudi cilji tekmovanja Bober, prav zaradi tega veliko učiteljev vključi priprave na tekmo- vanje Bober v neobvezni izbirni predmet računalništvo. Ob reševanju nalog s tekmovanja Bo- ber uporabljamo tudi matematično znanje in strategije reševanja problemskih nalog. Marsikatero od nalog lahko uporabimo pri urah matematike kot uvod v obravna- vo nove vsebine, kot motivacijo, naloge za nadarjene učence ali pa dodatne naloge za učence od tretjega razreda naprej. β Tekmovanje Bober Bober je mednarodno tekmovanje, ki spod- buja računalniško razmišljanje. Namenjeno je učencem osnovne šole od tretjega razre- da naprej in srednješolcem. Cilj tekmovanja je povečati zanimanje učencev za računal- ništvo. Učenci naj bi spoznali, da računal- nik ni le sredstvo za gledanje filmov, poslu- šanje glasbe, igranje igric, urejanje besedil … ampak tudi neizčrpen vir zanimivih lo- gičnih problemov (http://tekmovanja.acm. si/bober). Tekmovanja se je v letu 2015/16 udeležilo 25 000 tekmovalcev iz Slovenije, v približno 35 državah po vsem svetu pa jih je bilo več kot milijon in pol. Tekmovanje Bober je podobno matema- tičnemu tekmovanju Kenguru, saj so nalo- ge prav tako izbirnega tipa. Pri reševanju si učenec lahko pomagajo s svinčnikom in lis- tom papirja. Glavna razlika pa je v tem, da tekmovanje Bober poteka z računalnikom prek spletnega tekmovalnega sistema. Tekmovanje poteka v štirih kategorijah, in sicer bobrček – 2. triada osnovne šole, mladi bober – 3. triada, bober – 1. in 2. let- nik srednje šole in starejši bober, ki je na- menjena dijakom 3. in 4. letnika srednjih šol. β Računalništvo je način razmišljanja »Računalništvo je način razmišljanja,« je povedal dr. Demšar v prispevku Prog- ramiranje v osnovnošolskih klopeh, kjer opisuje Poletno šolo FRI – delavnice s pod- ročja računalništva in informatike. Če povzamem po Učnem načrtu za neobvezni izbirni predmet računalništvo, ima računalništvo v današnji družbi zelo velik pomen, saj je vključeno v skoraj vsako področje našega življenja. Glavni cilj neob- veznega izbirnega predmeta računalništvo ni samo delo z računalnikom in raznimi programi, temveč razumevanje delovanja računalnika in s tem povezanega računal- niškega razmišljanja. (Kranjc, 2013) Računalniško razmišljanje je usmerjeno v sistematično reševanje problemov, v uporabo postopkov, v smiselno organiziranje aktiv- nosti, podatkov, reči ... S tem presega rabo v računalništvu: principi, koncepti, način raz- mišljanja, ki jih uči računalništvo, so upo- rabni tudi pri vsakdanjih opravilih. (Demšar, 2012). V nadaljevanju se bomo osredotočili na skupne točke, ki jih imata računalništvo in matematika, in sicer reševanje proble- mov in razvoj problemskih in procesnih znanj. 065 Pri reševanju nalog iz tekmovanja Bober ni potrebno računalniško predznanje. Tako kot pri reševanju matematičnih nalog pot- rebujemo logično razmišljanje, uporabiti moramo ustrezno strategijo reševanja in imeti razne prebliske, ki nas opomnijo na že znane postopke in procedure. γ Naloge povezane z matematiko V nadaljevanju predstavljam izbor mate- matičnih problemskih nalog s tekmovanja Bober, glede na uporabo v različnih fazah pouka. Predstavljene so naloge, pri katerih so učenci na začetku imeli težave pri reše- vanju, vendar so jih v nadaljevanju uspešno premagali. Pri nekaterih nalogah so prilo- ženi izdelki učencev in njihove strategije reševanja. Ker mora učitelj kritično preveriti nalogo pred uporabo v razredu, so nekatere preds- tavljene naloge slogovno preoblikovane. S tem izboljšamo njeno razumevanje. Čeprav so naloge na tekmovanju Bober izbirnega tipa, pri večini učencem odgovorov nisem podala. Učenci nalog niso reševali z eno od možnih strategij, to je z izločanjem, ampak so sami iskali različne poti reševanja. Mno- gi od učencev so bili tako bolj aktivni. Oba ukaza zapored torej narišeta . Kakšno sliko nariše spodnje zapored- je ukazov? Risanje (šolsko tekmovanje – Mladi bober 2015/16) Ukaz nariše mrežo z dvema vrsticama in petimi stolpci. Ukaz nariše dva tri- kotnika. Prvi trikotnik je v prvi vrstici in v tretjem stolpcu. Drugi trikotnik je desno od njega. Uvod v obravnavo nove vsebine zač- nemo z nalogami za motivacijo oziroma z nalogami, kjer učenci ponovijo že usvojeno znanje in odkrivajo, kaj vse se bodo še na- učili pri obravnavi nove vsebine. Pri obravnavi koordinatnega sistema mora učitelj pripraviti dejavnosti za ponav- ljanje. Učenci so se ukvarjali s koordinat- no mrežo že v nižjih razredih. Prav tako imajo izkušnje z orientacijo v ravnini izven predmeta (šah, sedež v gledališču, potap- ljanje ladjic …). Pri tem ponovijo, kako upodobimo urejen par (dva podatka) in kako odčitamo koordinate objekta v koor- dinatni mreži. Naloga Risanje je problem- ska naloga, ki na poseben računalniški na- čin razporeja objekte po ravnini. Učitelj jo lahko uporabi za motivacijo ali za ponav- ljanje in poglabljanje snovi oz. z njo navdu- šuje učence, ki jih matematika in računal- ništvo posebej navdušujeta. Naloga tudi razvija razumevanje pojma ukaz na sim- bolni dogovorni ravni. Učitelj lahko besedilo naloge tudi dopol- ni, da je učencem razumlivejša. 066 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? Mreža malo drugače (prirejeno po nalogi Risanje šolsko tekmovanje – Mladi bober 2015/16) Narisati želimo mrežo, ki ima dve vrstici in pet stolpcev. V mreži želimo narisati dva trikotnika. Prvi trikotnik leži v prvi vrstici tretjega stolpca, drugi trikotnik pa v isti vrstici desno od prvega . Ukaze za risanje bi lahko zapisali nekoliko druga- če, in sicer: Ukaz in ukaz Oba ukaza zapored narišeta . Kakšno sliko bi narisali, če bi imeli po-dane spodnje ukaze? Vsebine in cilji iz učnega načrta Preoblikovano nalogo lahko učitelj upo- rabi po že obravnavani snovi koordinatnega sistema v osmih razredih. Večina učencev je pravilno narisala mrežo. Ugotovili so tudi, da morajo narisati enkrat dva kroga, drugič tri kroge in nato še en kvadrat. Težave so imeli pri legi elementov, saj iz zapisa niso razbrali položaja elementov. To pomeni, da jih je ovirala spremenjena oblika sporčanja lege likov. Matematični cilji: – v koordinatni mreži upodobijo točko; – reši matematični problem. Število vrstic število stolpcev število likov kaj rišemo številka vrstice številka stolpca Reševanje naloge Naloga je bila učencem zanimiva, saj je bila za uro matematike nenavadna, zato so jo z veseljem reševali. Ponovili so, da je po- membno poenotiti zapise za upodabljan- je elementov v mreži. Ugotovili so, da če bi mrežo opremili s številčenjem vrstic in stolpcev, bi se lažje orientirali po njej. Lego vsakega elemetna bi zapisali s pomočjo ure- jenega para. Bobrova piramida (šolsko tekmovanje – Mladi bober 2012/13) Bobri so postavljeni v vrste. V vsaki nas- lednji vrsti je dvakrat toliko bobrov kot v prejšnji. Na sliki v lihih vrstah bobri gle- dajo v desno, v sodih pa naprej. Koliko bobrov gleda v desno, če se po predstavljenem pravilu razvrsti 511 bob- rov? 067 Reševanje naloge Učenci osmih razredov, ki so se priprav- ljali na šolsko tekmovanje, so imeli težave pri nalogi. Učenci so najprej ugotavljali, ko- liko bobrčkov je v vsaki vrsti. Ugotovili so, da je število bobrov v vsaki vrsti odvisno od števila boborov v predhodni vrstici. Primer je rastoči vzorec. Za te vzorce je značilno, da rastejo iz koraka v korak. (Su- ban, 2013, str. 190). Vzorec z bobrčki so opisali s števili. Dobili so naraščajoče zapo- redje potence števila 2. S pomočjo vprašanj in sistematičnega načina reševanja (glej sli- ko 1) so učenci ugotovili še drugo lastnost zaporedja, in sicer da je vsota bobrov v posamezni vrsti vedno za 1 večja od vsote števila vseh bobrov skupaj v predhnodnih vrstah. Ta ugotovitev jim je omogočala sprotno, hitrejše seštevanje števila bobrov. Na koncu so le še sešteli število bobrov, ki gledajo desno. Vsebine in cilji iz učnega načrta To nalogo uporabimo pri obravnavi vzorcev od 5. razreda naprej. Matematični cilji: – uporabijo pravilo podano z besedami; – nalogo razčlenijo; – sistematično rešujejo; – upoštevajo proces reševanja problemov in nadzorujejo svoje vmesne kroake, del- ne rezultate …; – opazujejo vzorec in ugotovijo pravilo (vsota vseh bobrov v zadnji vrstici je za ena večja od vsote vseh bobrov v zgor- njih vrsticah). S tako nalogo razvijamo procesna in problemska znanja, saj morajo obstoječa, že znana znanja uporabiti v novih situacijah. Učenci na tak način povezujejo različne matematične vsebine med seboj (vzorce, števila, računske operacije, potence in zapo- [Slika 1] Rešitev naloge Bobrova piramida, ki jo je učitelj ob razlagi zapisal na tablo 068 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? redja) in hkrati spoznajo uporabo matema- tičnih znanj na drugih področjih (potence števila 2 pri matematiki in dvojiški sistem pri računalništvu). Naloga Nabiranje je prav tako zanimiva problemska naloga. li število desetic pri posameznem cvetu in nato dodali še tisti cvet, ki mu ostane največje število enic (slika 2). [Slika 2] Reševanje učenca 5. razreda Čeprav je naloga Nabiranje nektarja namenjena učencem od 4. do 7. razreda, me je zanimalo, kakšno strategijo bi uporabili učenci osmih razredov. Učenec je upošteval le število desetic pri vsakem cvetu. Desetice je sproti sešteval (sešteval je od leve proti desni). Na koncu je dodal le še največjo vrednost enic, ki mu je preostala (slika 3). [Slika 3] Reševanje učenca 8. razreda Vsebine in cilji iz učnega načrta To nalogo bi lahko uporabili pri obrav- navi matematičnih problemov in proble- mov z življenjskimi situacijami. Matematični cilji: – berejo z razumevanjem; – znajo upoštevati in nadzorovati več po- gojev; – razčlenijo problemsko situacijo; – rešijo besedilne naloge (probleme); Nabiranje nektarja (šolsko tekmovanje - Bobrček 2015/16) Čebela leta nabirat nektar. Na vsakem poletu gre le do enega cveta in nazaj do panja. Na cvetu pobere 10 mg nektarja (več ga ne more nositi) ali manj, če ga je na njem manj. Na isti cvet se lahko vrne večkrat. Slika kaže količino nektarja na posa- meznem cvetu. Največ koliko ga lahko čebela nabere v dvajsetih poletih? Reševanje naloge Branje z razumevanjem je pri tej nalogi še posebej pomembno. Pozorni so morali biti na dve zahtevi, in sicer da lahko čebe- la pobere največ 10 mg nekatarja in da pot lahko opravi 20-krat. Napake, ki so jih delali učenci: – Upoštevali so samo cvet, ki ima največ nekatrja (njihov odgovor je bil 82). – Upoštevali so, da lahko čebela poleti 20-krat in vsakokrat lahko prinese po 10 mg nektarja. Ugotovili so, da lahko skupaj prinese največ 200 mg nektarja. Zato so učenci seštevali največje količine (23 + 82 + 35 + 52 + 6 = 198), pozorni so bili le na to, da ne presežejo 200 mg. – Nekateri učenci pa so upoštevali oba pogoja in reševali tako, da so upošteva- 6 52 35 82 23 11 069 – uporabijo zanesljive tehnike štetja in ra- čunanja. Ples v krogu je zanimiva naloga, ki jo lahko uporabimo kot problemsko nalogu pri obravnavi najmanjših skupnih večkrat- nikov. nista v prvotnih obročih. Ko so ugotovili, da so bobri v 1., 4. in 5. obroču na prvotnih mestih po treh krogih, bobra 2 in 6 po 2 krogih, so ugotovili, da si lahko pri tej nalo- gi pomagajo z najmanjšimi skupni večkrat- niki - najmanjši skupni večkratnik števil 1, 2 in 3 je 6, oz. v (1,2,3) = 6 (slika 4). [Slika 4] Reševanje učenke 7. razreda Vsebine in cilji iz učnega načrta To nalogo lahko uporabimo pri obravna- vi naravnih števil v 7. razredu. Mogoče pa jo je uporabiti že prej, saj lahko s sistematič- nim beleženjem in s sklepanjem pridejo do rešitve brez formalnega znanja o skupnih večkratnikih. Matematični cilji: – poiščejo najmanjši skupni večkratnih števil; – rešijo besedilne naloge v povezavi z več- kratniki. Zelo zanimivi nalogi s področja geomet- rijskih transformacij, ki ju lahko uporabimo v 7. razredih za npr. preverjanje znanja pri transformacijah, sta Obračanje in Uganka vrtavka. V obeh nalogah so podani odgo- vori, kjer so učenci pri reševanju uporabili strategijo izločanja. Ples v krogu (državno tekmovanje – Mladi bober 2012/13) Šest bobrov se igra. Na začetku vsak stoji v enem od oštevilčenih obročev (od 1 do 6) kot kaže slika. Na obroče so pritrjeni baloni. Številke kažejo smer premikanja ob znaku, torej cilj, ki se od obroča do obroča razlikuje. Na primer, bober, ki stoji v obroču s številko 5, se bo, kot pra- vi balon, premaknil v obroč 1. Ko vodja da znak, se vsi bobri pre- maknejo iz trenutnega obroča v svoj cilj- ni obroč. To ponavljajo, dokler ni vsak bober ponovno v obroču, v katerem je začel igro. Koliko ponovitev morajo istočasno narediti bobri, da končajo igro? Reševanje naloge Večina učencev je odgovorila, da se igra konča po treh krogih, saj so upoštevali le najdaljši krog bobrov v obročih 1, 4 in 5. Nekateri učenci so le ugotovili, da mora- mo biti pozorni na bobra v 2. in 6. obroču. Opazili so, da po treh krogih ta dva bobra 070 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? Obračanje (šolsko tekmovanje – Bobrček 2013/14) Bobrčki uporabljajo program za risanje, s katerim lahko zasučejo lik v smeri ur- nega kazalca, kot kaže slika. Isti lik lahko zasučejo tudi večkrat zapored. Bobrček Pavel je narisal košček sestav- ljanke. Katerega od spodnjih koščkov ne mo- re dobiti z obračanjem tega koščka? Uganka vrtavka (šolsko tekmovanje – Mladi bober 2012/13) Bober Henrik igra novo igrico. Na zaslo- nu so številke od 1 do 9 in tipke A, B, C in D. Ko Henrik pritisne kako tipko, se številke okrog nje zavrtijo v smeri ur- nega kazalca. Če bi, recimo, na levi sliki pritisnil tipko A, bi se številke obrnile in obstale tako, kot kaže desna slika. V začetku so številke razporejene, kot kaže leva slika. Henrik pritisne tipke D, C, B, B. Kje je po tem številka 4? Obkroži sliko, ki prikazuje pravilen zaslon. Reševanje naloge Večina učencev je pri nalogi risala in ugotavljala, kateri lik lahko dobimo z vrten- jem in katerega ne (slika 5). [Slika 5] Reševanje učenca 9. razreda Z nalogo Uganka vrtavka preverjamo ra- zumevanje zaporednih vrtežev. Reševanje naloge Večina učencev je vsak vrtež zapisala in do ugotovitve prišla z zapisom vseh štirih vrtežev za vse številke (slika 6). Med učenci, ki so se pripravljali na tekmovanje, so pri nalogah Obračanje in Uganka vrtavka imeli težave tisti, ki si pri reševanju niso pomagali z zapisom zapo- redja vrtežev. Ti učenci so poskušali rešiti 071 nalogo na pamet. Nekateri so le preverjali, ali so podane rešitve pravilne (reševali so s pomočjo izločanja nepravilnih odgovo- rov). Tako reševanje na pamet kot tudi z izločanjem nepravilnih rešitev je večino teh učencev pripeljalo do napačnih odgovorov. Vsebine in cilji iz učnega načrta Nalogi Obračanje in Uganka vrtavka lahko uporabimo pri obravnavi transfor- macij v 7. razredu in za razvoj problemskih znanj. Matematični cilji: – poznajo transformacije in njihove lasnos- ti; – oblikujejo vzorce z vrteži in z zrcaljen- jem; – rešujejo matematične probleme. Pri obravnavi preslikav ugotavljam, da ima večina mojih učencev težave z vrteži. Ti dve nalogi sta primera, s katerima lah- ko dopolnimo nabor dejavnosti z vrteži v razredu. δ Za konec Učenci pogosto sprašujejo, kje bodo potre- bovali snov, ki jo obravnavamo pri rednem pouku. Z nalogami iz tekmovanja Bober lahko učenci spoznajo, da je matematično znanje zelo uporabno na različnih področ- jih. Poleg tega lahko s temi nalogami pono- vijo veliko vsebin, ki so jih obravnavali pri pouku matematike v nižjih razredih. Z učenci smo spoznali, da so naloge s tekmovanja zelo zanimive. Treba je pono- viti že obravnavano snov iz matematike in ugotoviti, kakšno povezavo imajo te nalo- ge z računalništvom, česar pa letos večini učencem še ni uspelo. To nalogo upam, da dokončamo v prihodnjih šolskih letih. [Slika 6] Reševanje učenke 9. razreda ε Literatura 1. Demšar, J.(2012). V šole bi bilo potrebno uvesti pouk računalništva. Didakta, letnik 12, št. 159, str. 6-8. 2. http://dajmi.fri.uni-lj.si/bober/Bober%202015%20- -%20naloge.pdf (24. 1. 2016). 3. Krajnc, R. et al. Učni načrt. Program osnovna šola. Računalništvo : neobvezni izbirni predmet. Ministr- stvo za izobraževanje, znanost in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana, 2013. 4. Ratej, M. (2014): Programiranje v osnovnošols- kih klopeh. Dostopno na: http://val202.rtvslo. si/2014/07/programiranje-v-osnovnosolskih-klo- 072 Bober – naloge iz matematike pri računalništvu? peh/ (24. 1. 2016). 5. Suban, M. et al. Posodobitev pouka v osnovnošolski praksi matematika. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana 2013. 6. Žakelj, A. et al. Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana, 2011. 7. http://bober.fri.uni-lj.si/quiz/Mladi%20bo- ber/2013/4 (24. 1. 2016). 8. http://dajmi.fri.uni-lj.si/bober/2013-osnovna-sola. pdf (24. 1. 2016). 9. http://publik.tuwien.ac.at/files/PubDat_140308.pdf (1. 4. 2016). 10. http://tekmovanja.acm.si/bober/o-bobru (10. 6. 2016). 11. http://bober.fri.uni-lj.si/quiz/Mladi%20bober/ 2014/6 (24. 1. 2016).