Povzetek V prispevku je predstavljenih nekaj preizkušenih načinov dela, idej, skrbno izbranih nalog za delo z nadarjenimi učenci pri matematiki v 3. triadi osnovne šole. Ključne besede: nadarjeni učenci, matematika, geometrijske naloge, naloge iz vsakdanjega življenja, medpredmetno naloge. Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole Darinka Rogina Osnovna šola Loka r n o m e l j Work with Gifted Pupils at Mathematical Lessons in the Third Triad of Primary School Abstract The article describes some of the proven work methods, ideas, and carefully selected exercises for work with gifted pupils at mathematical lessons in the third triad of primary school. Key words: gifted pupils, mathematics, geometry exercises, eve- ryday life mathematical exercises, cross-curricular exercises α Uvod Nadarjeni uenci – splošno Nadarjeni učenci so po Zakonu o osnovni šoli (11. člen) učen- ci s posebnimi potrebami.[11] Na šoli jih odkrivamo že v 1. in 2. triadi, intenzivno pa v 3. tri- adi. V postopku odkrivanja sodelujejo šolska svetovalna služba Matematika v šoli XIX. [2013] 18-31 19 (testi sposobnosti in nadarjenosti), učitelji in starši. Učitelji matematike smo pozorni na ne- katere značilnosti, ki so skupne matematično nadarjenim učencem. Ti učenci: • imajo razvito logično in divergentno mišljenje, • znajo sklepati in kritično presojati, • pri reševanju problemov imajo izvi- ren pristop, izkazujejo visoko stopnjo ustvarjalnosti pri iskanju nenavadnih rešitev, • so radovedni, vedoželjni, se hitro učijo, imajo dober spomin, natančno opazu- jejo, razumejo matematične ideje in po- vezave, • k delu pristopijo analitično, so sistema- tični in zanesljivi, • zlahka ugotovijo vzorce, pravila, last- nos t i , • svoje znanje znajo uporabiti, tudi v ne- običajnem kontekstu, • skoncentrirajo se za daljši čas, sledijo dolgoročnim dejavnostim, vztrajajo pri iskanju rešitve, so vešči pri postavljanju vprašanj in so sposobni slediti rdeči niti raziskovanja, • imajo visoke aspiracije, posledično vi- soko storilnostno motivacijo, in uživajo v dosežkih. Delo z nadarjenimi uenci pri mate- matiki na naši šoli Na šoli učencem, ki kažejo nadarjenost za matematiko, prilagodimo oblike in metode dela, vključimo jih k dodatnemu pouku, inte- resnim dejavnostim, svetujemo jim udeležbo na pripravah na tekmovanja. Ti učenci delajo tudi raziskovalne in seminarske naloge, v 8. in 9. razredu imajo nivojski pouk matematike. Učence 8. in 9. razreda, ki izkazujejo iz- razito nadarjenost pri matematiki tudi z do- sežki na področnih tekmovanjih, vključimo v program za nadarjene z osebnim mentor- stvom. Na začetku leta se s temi učenci pogovo- rim o vsebini in načinu dela pri tako ime- novanem individualnem pouku. Včasih je to samo en učenec, kakšno leto je skupinica večja, a ne večja od 4 učencev. Dobivamo se enkrat tedensko, pred tekmovanji bolj inten- zivno, tudi v popoldanskem času. Naloga učitelja je med drugim priprava ustreznih nalog, zanimivih, dovolj zahtev- nih, predvideti je treba različne strategije reševanja posamezne naloge, različne »in- tervencije«, tudi v obliki dodatnih, nekoliko lažjih nalog, če je osnovna naloga prezah- tevna (najprej konkretni podatki, šele nato splošno). Naloge morajo biti za posamezne- ga učenca ravno prav zahtevne, tako da jih z veliko truda zmore rešiti. Da je zmogel rešiti težko nalogo, je za učenca nepopisna sreča in najboljša motivacija, da se bo spoprijel s še zahtevnejšimi primeri. Zahtevnost nalog pri obdelavi posamezne učne teme stopnjujem. Z nadarjenimi učenci pogosto obiščemo spletno stran www.nrich.maths.org, ki jo podpira Univerza Cambridge. Na tej spletni strani vsak mesec objavijo zanimive mate- matične probleme za različne starostne stop- nje, od nižjih razredov OŠ do prvih letnikov sred nje šole. Naloge so objavljene od 1. do 21. v mesecu in do tega datuma tudi pri- čakujejo rešitve, ki jih, v angleščini seveda, prispevajo mladi z vseh koncev sveta. Vsa- kega 1. v mesecu pravilne rešitve in reševalce omenijo, izvirne, dobre rešitve pa objavijo v celoti. V lanskem šolskem letu so se trije deveto- šolci naše šole ukvarjali z dvema problemoma. 20 V prvi nalogi so se ukvarjali s problemom, ko enakostranični trikotnik rotira okoli ena- kostraničnega trikotnika, pa okoli kvadrata, okoli pravilnega petkotnika, splošno okoli pravilnega n-kotnika. Iskali so obsege raz- ličnih »rožic«, ki so nastale z rotacijo. Izpe- ljali so tudi splošno formulo za izračun ob- sega »rožice«, ki nastane, če enakostranični trikot nik rotira okoli poljubnega n-kotnika (glej Triangles and Petals – september 2010). V drugi nalogi so raziskovali zvezo med Celzijevo, Fahrenheitovo in Kelvinovo tem- peraturno lestvico. (glej Temperature – maj 2011). Naloge, privzete z www.nrich.maths.org, učenci dobijo v izvirniku, torej v angleškem jeziku. Skupaj se o zastavljenem problemu po- govorimo, razjasnimo morebitne nejasnosti. Rešitev običajno izdelajo v slovenščini (pravi- jo, da še vedno bolje razmišljajo v maternem jeziku), nato pa jo prevedejo v angleščino. Če se kje zatakne, priskoči na pomoč učitelj angleščine. Zgodi se, da je kak problem zanje pretrd oreh in ga ne uspejo rešiti; tedaj zelo napeto pričakujejo 1. v mesecu, ko na spletni strani običajno vidijo rešitev nekoga drugega. Pomembno je, da se s problemom ukvarjajo, včasih je pot pomembnejša od cilja. Naloge, ki jih pripravim za nadarjene učence, iščem na različnih javno dostopnih spletnih straneh, domačih in tujih, veliko izzivov najdem v nalogah s preteklih tekmo- va n j , kakšno nalog o pa s esta vim t udi sa ma. V nadaljevanju navajam nekaj nalog, ki so jih učenci z veseljem reševali v preteklih letih. Opažam, da zelo radi rešujejo naloge, ki povezujejo matematiko z drugimi področ- ji (fiziko, kemijo, tehniko …), in tako vidijo uporabo matematične teorije v konkretnih primerih (linearna funkcija v povezavi s fi- ziko). Nadarjeni učenci zelo radi rešujejo probleme iz vsakdanjega življenja (zahtevni problemi s področja procentnega računa). Pritegnejo jih geometrijski problemi, zlasti pa tudi naloge, pri katerih se je treba odločati med različnimi izbirami. β Izbrane naloge za delo z na- darjenimi uenci Naloge s podroja medpredmetnega povezovanja 1. naloga Temperatura (v °C) v pečici je linearno odvisna od časa t (v minutah). Če je pečica vključena 5 minut, doseže temperaturo 55 °C, če je vključena 10 minut, se temperatura po- veča na 87 °C. a) Določi enačbo linearne funkcije, ki opi- suje odvisnost temperature T v pečici od časa t! b) Kolikšna je temperatura po pol ure? c) Biskvit je treba dati v pečico, ko je tem- peratura v njej 175 °C. Koliko minut po vključitvi je treba vanjo dati biskvit? d) Drobno pecivo je treba vstaviti v peči- co, potem ko je v njej temperatura med 150 °C in 180 °C. V katerem časovnem intervalu je potrebno, potem ko smo vključili pečico, vanjo vstaviti drobno pecivo? Meje intervala zaokroži na celo vrednost minute! Vir [3]: http://dokumenti.ncvvo.hr/Nacionalni_ ispiti_06/MPM_IIdio.pdf Reševanje a) Učenci zapišejo splošno enačbo linear- ne funkcije T(t) = kt + n in z uporabo 2 točk, ki sta podatka (5,55) in (10,87, ) pridejo do enačbe (1) Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole 21 b) Potem ko vstavijo v enačbo (1) podatek t = 30 minut, pridejo do rešitve, da je temperatura v pečici po pol ure 215 °C. c) Iz enačbe (1) izpeljejo čas t. (2) V (2) vstavijo T = 175 °C in izračunajo, da je treba biskvit vstaviti v pečico po 23,7 minutah. d) Podobno izračunajo, da je treba drobno pecivo vstaviti v pečico v intervalu 20 min < t < 25 min po vključitvi pečice. 2. naloga Znano je, da je med Fahrenheitovo in Cel- zijevo temperaturno lestvico obstaja linearna odvisnost, in sicer . a) Voda zavre pri 100 ºC. Koliko Fahren- heitovih stopinj je to? b) Zunaj je 15 °C. Koliko Fahrenheitovih stopinj je to? c) Iz enačbe izrazi C in izračunaj, koliko Celzijevih stopinj je 115 ºF! d) Ali obstaja temperatura, ki je enaka v ºF in v ºC? Ugotovitev prikaži tudi grafič- no! Reševanje in komentar Z odgovori na prva tri vprašanja učenci niso imeli težav, nekaj dodatnih pojasnil pa so potrebovali pri reševanju d) primera. Najprej računska rešitev: F = C, pri čemer namesto F vstavimo in dobimo (1) Z rešitvijo enačbe (1) dobimo odgovor, da je ta temperatura -40 °. In še grafična predstavitev: V naslednjih dveh nalogah ne gre za li- nearni funkciji. Z njima razširimo pojem odvis nosti dveh količin, še posebej če učen- ci, ki so sicer zelo radovedni in vedoželjni, postavljajo dodatna vprašanja. Naloga 3 je zanimiva tudi zato, ker se učenci srečajo s potenco z negativnim eksponentom. Nalogo 4 rešujemo z metodo ekstremalnih proble- mov (brez odvoda). 22 3. naloga Število bakterij B v telesu je odvisno od časa t (v urah), in sicer velja: a) Koliko bakterij je bilo v telesu na začet- ku merjenja (t = 0)? b) Ali je bilo v telesu kaj bakterij 1 uro pred začetkom opazovanja (t = - 1)? c) Koliko je bilo bakterij v telesu po 40 mi- nutah od začetka merjenja? d) Čez koliko časa bo v telesu 1024000 bakterij? Reševanje a) Na začetku opazovanja je bilo v telesu 1000 bakterij. b) Eno uro pred začetkom opazovanja je bilo v telesu 125 bakterij. c) 40 minut po začetku opazovanja je bilo v telesu 4000 bakterij. d) Odgovor na vprašanje prinese reševanje enačbe, ki jo nadarjeni učenci zmorejo rešiti z znanjem osnovnošolske mate- matike. (Enačbo delimo s 1000.) (1024 zapišemo kot potenco števila 2.) V telesu bo 1024000 bakterij po 3 urah in 20 minutah. 4. naloga Temperatura T (v ºC) v rastlinjaku t ur potem, ko se zmrači, je podana z enačbo , pri čemer je Zmrači se ob 19. uri. a) Kolikšna je bila temperatura ob 21. uri? b) Ob kateri uri je bila temperatura naj- manjša? c) Kolikšna je bila najnižja temperatura v rastlinjaku? Vir [4]: http://www.gssjd.hr/nastavni-predmeti/ matematika/nacionalni-ispiti-iz-matematike/za- daci-s-nacionalnih-ispita/ Reševanje: a) Ob 21. uri je bila temperatura 21ºC. b) Ker učenci v osnovni šoli ne poznajo odvoda, s katerim bi elegantno odgovo- rili na vprašanje b) , so rešili nalogo tako, da so izračunali T v odvisnosti od t in izračune prikazali v preglednici. Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole 23 Najnižja temperatura je bila čez 10 ur, to je ob 5. uri zjutraj. c) Najnižja temperatura v rastlinjaku je 5 °C. Problemi iz vsakdanjega življenja, pri katerih se je treba odloati med raz- linimi možnostmi 5. naloga Družina Mesojedec se je odločila kupiti rabljen avtomobil, ki stane 5800 €. V prodaj- nem salonu jim ponujajo 2 možnosti: a) če plačajo z gotovino, jim dajo 5 % po- pusta; b) lahko pa plačajo 1000 € takoj, nato pa po 230 € mesečno 24 mesecev. Ker je kriza in Mesojedčevi nimajo go- tovine za celoten avto, se odločijo za drugo ponudbo. Koliko € več bodo plačali, kot če bi plačali z gotovino? Izrazi v %! Reševanje in komentar a) Če bi Mesojedčevi plačali z gotovino, bi za avtomobil plačali 5510 €. b) Ker so se Mesojedčevi morali odločiti za 2. ponudbo, bodo plačali 1010 € več, kar je približno 18,3 % več, kot če bi plačali z go- tovino. Take naloge se mi zdijo pomembne z vi- dika vsakdanjega življenja. Od šole se da- nes pričakuje, da posameznika pripravi na drugačen način življenja, v katerem je za mladega šolajočega se človeka le malo za- poslitvenih možnosti. Od posameznika se tako pričakuje, da se učinkovito odloča pri razreševanju različnih problemov, zato take in podobne naloge učence usposobijo za in- teligentno odločanje. 6. naloga Trije učenci 9. razreda obiskujejo različne šole. Pisali so 2 testa iz matematike. • Matic je pri prvem testu dosegel 24 od 60 točk, pri drugem pa 32 od 40 točk. • Kristjan je pri prvem testu dosegel 35 od 70 točk, pri drugem pa 54 od 60 točk. • Ninin dosežek je 27 od 90 točk pri pr- vem testu in 45 od 50 točk pri drugem testu. a) Kateri izmed učencev je dosegel naj- boljši rezultat pri prvem in kateri pri drugem testu? Učiteljice matematike menijo, da je bil drugi test vsebinsko pomembnejši, zato se odločijo, da bodo končno oceno obli- kovale tako, da bodo od prvega testa vzele 30 % točk, od drugega pa 70 %. b) Izračunaj dosežek posameznega učenca v %, upoštevajoč zgornji ključ. t [h] 0123456789 10 11 12 T [°C] 30 25,25 21 17,25 14 11,25 9 7,25 6 5,25 5 5,25 6 24 Dosežke predstavi v preglednici! (Opomba: Naloga je zgolj hipotetična. V naši OŠ velja, da so vse pridobljene ocene enakovredne in ne obstajajo delne ocene, ki bi jih lahko sestav- ljali v neko drugo oceno.) Reševanje in komentar a) Učenci Dosežene točke 1. testa v % Dosežene točke 2. testa v % Razlika Matic 40 % 80 % 40 % Kristjan 50 % 90 % 40 % Nina 30 % 90 % 60 % b) Učenci 30 % 1. testa 70 % 2. testa Skupaj Matic 12 % 56 % 68 % Kristjan 15 % 63 % 78 % Nina 9 % 63 % 72 % Najboljši rezultat je dosegel Kristjan. 3. naloga Gospod Ciklama se je s svojim avtom od- pravil v Veliko mesto. Glede parkiranja ima na voljo 4 različne možnosti: A Parkirati je možno v parkirni hiši blizu kliničnega centra, kjer je cena parkiran- ja 0,80 € za prvo uro, nato pa za vsako naslednjo uro 0,50 €. B Parkira lahko na Mestnem trgu, kjer sta- ne prva ura 1,50 €, vsaka naslednja ura pa 0,30 €. C Obstaja možnost, da avto pusti v predmes- tju, kjer vsaka ura parkiranja stane 0,40 €. V tem primeru se mora v center Veli kega mesta peljati z mestnim avtobusom – vožnja v mesto in nazaj stane 0,60 €. D Na voljo ima možnost, da avto pusti v 15 km oddaljeni Črni vasi, kjer je parkiranje na železniški postaji brezplačno, povra- tna vozovnica za vlak pa stane 3,50 €. Svetuj gospodu Ciklami najugodnejšo va- rianto parkiranja. Reševanje in komentar Učenci so imeli kar precej težav, da so izbrali pravo strategijo reševanja te naloge. Najprej so poskušali z grafično potjo, pa so se zapletli. Ni jim bilo jasno, kaj pomeni pri A za vsako naslednjo uro 0,5 €. Ali to pome- ni, da je cena parkiranja do 2 ur enaka, če parkira 1 uro in 1 minuto ali če parkira 2 uri? Kar nekaj časa je potekala možganska nevih- ta - kresala so se mnenja, padali so najrazlič- nejši predlogi, nato pa je prevladalo mnenje, da bo najbolje vse štiri možnosti predstaviti v preglednici. Ure parkiranja PARKIRNA HIŠA MESTNI TRG PRED- MESTJE ČRNA VA S 1 0,80 € 1,50 € 1,00 € 3,50 € 2 1,30 € 1,80 € 1,40 € 3,50 € 3 1,80 € 2,10 € 1,80 € 3,50 € 4 2,30 € 2,40 € 2,20 € 3,50 € 5 2,80 € 2,70 € 2,60 € 3,50 € 6 3,30 € 3,00 € 3,00 € 3,50 € 7 3,80 € 3,30 € 3,40 € 3,50 € 8 4,30 € 3,60 € 3,80 € 3,50 € 9 4,80 € 3,90 € 4,20 € 3,50 € 10 5,30 € 4,20 € 4,60 € 3,50 € Ugotovitve 1. Če bo gospod Ciklama parkiral 3 ure ali manj, naj parkira v PARKIRNI HIŠI. 2. Če bo parkiral 3 ure in več, a največ 6 ur, naj uporabi parkirišče v PREDMESTJU. Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole 25 3. Če namerava parkirati 7 ur, naj parkira na MESTNEM TRGU. 4. Če bo v Ljubljani ostal več kot 7 ur, naj parkira v ČRNI VASI in pride v VELI- KO MESTO z vlakom. Nalogo lahko nadgradimo z dodatno na- logo: Oblikuj take pogoje parkiranja na posa- meznih parkiriščih, da bodo veljali spodnji scenariji. a) Na parkirišču A je ugodneje parkirati, če traja parkiranje manj kot 5 ur, sicer je ugodnejše parkirišče B. b) Parkiraš lahko na parkiriščih C, D, in E. Parkirišče C je najcenejše, če traja par- kiranje manj kot 2 uri, če parkiraš med 2 in 6 urami, je najcenejše parkirišče D, parkirišče E pa je najcenejše, če parkiraš več kot 6 ur. c) Parkiraš lahko na parkiriščih F, G, in H. Če parkiraš 3 ure ali manj, je naju- godnejše parkirišče F, če parkiraš več kot 3 ure, je najugodnejše parkirišče G. Parkirišče H ni nikoli najcenejše. d) Parkiraš lahko na parkiriščih I, J, in K. Parkirišče I je vedno cenejše od J in K, ne glede na to, koliko časa parkiraš. Komentar Naloga je zelo koristna. Učenci se učijo zastavljati matematično smiselna vprašanja, učijo se iskati pravilnosti, postavljati domne- ve, jih preverjati ter sporočati svoje ugotovi- tve na najprimernejši način (preglednica). Vse to počno na zahtevnostni ravni, ki jo še obvladajo, kar jim vzbuja zadovoljstvo. Cilj dodatnih nalog je modeliranje danih življenjskih situacij in predstavlja za učence precejšen napor. 4. naloga V nekem trenutku je bila cena bencina na bencinski črpalki A in bencinski črpalki B enaka. Na črpalki A so bencin zaporedoma pove- čali za 5 %, 6 %, 4 %, na črpalki B pa so ceno zaporedoma povečali za 2 %, 10 % in za 6 %. Na kateri bencinski črpalki je bila cena po 3 podražitvah višja in za koliko %? Vir [5]: http://www.stkpula.hr/mat-natj/zadaci/2010/ 2010-OS-drz-78-zad+rj/2010-OS-drz-78-zad.pdf Opomba: Naloga je zgolj hipotetična. Ceno naftnih derivatov v Sloveniji določa Uredba o obli- kovanju cen naftnih derivatov (UL, št. 76/2012), trgovci jo morajo pri podražitvah upoštevati. Pri vseh prodajalcih naftnih derivatov so cene enake. Reševanje ČRPALKA A Začetna cena: x 1. podražitev: x + 5 % · x = 105 % · x 2. podražitev: 105 % · x + 6 % od 105 % · x =111,3 % · x 3. podražitev: 111,3 % · x + 4 % od 111,3 % · x = = 115,752 % · x 115,8 % · x ČRPALKA B Začetna cena: x 1. podražitev: x + 2 % · x = 102 % · x 2. podražitev: 102 % · x + 10 % od 102 % · x =112,2 % · x 3. podražitev: 112,2 % · x + 6 % od 112,2 % · x = = 118,932 % · x 119 % · x 26 Po 3 podražitvah je bencin dražji na črpalki B, in sicer za Komentar Z reševanjem te naloge so imeli učenci kar nekaj težav, saj niso vedeli, kako bi se je lotili. Potrebna je bila »intervencija« v obliki lažjih nalog s konkretnimi podatki, šele nato so se lahko lotili te naloge. Geometrijski problemi 1. naloga Dana je krožnica s središčem A in polme- rom 2 cm. Lik ABCD je paralelogram. Izra- čunaj ploščino osenčenega dela paralelogra- ma na dve decimalki natančno. Vir [6]: http://www.mystfx.ca/special/mathproblems /grade10.html Reševanje, komentar Ploščino osenčenega dela dobimo tako, da od ploščine paralelograma, ki je romb, odštejemo ploščino krožnega izseka. Višina romba h = 1, saj je pravokotni trikotnik po- lovica enakostraničnega trikotnika. Torej velja: Ploščina osenčenega dela meri 0,95 cm 2 . Pri reševanju te naloge je učencem pred- stavljalo največjo težavo odkriti, da je zaradi pravega kota in kota 30º trikotnik AT D polo- vica enakostraničnega trikotnika. 2. naloga V krogu je AB premer in meri 10 cm. Plo- ščina trikotnika ABC (oglišče C leži na krožni- ci) je 11 cm 2 . Izračunaj obseg trikotnika ABC. S l i k a 1 Slika 2 Vir [7]: http://www.mystfx.ca/special/mathproblems /grade12.html Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole A S B C A S B C 27 Reševanje, komentar Ob tej nalogi sem pomišljala, ali naj učen- cem ponudim sliko 1 ali sliko 2. Sama bi se na začetku odločila za sliko 1, saj iz podat- kov, da je daljica AB premer kroga in točka C točka, ki leži na krožnici, učenci sami ugoto- vijo, da je trikotnik ABC pravokoten. Če tega sami ne bi ugotovili, bi jim kot intervencijo ponudila sliko 2. Ker je AB premer in ker točka C leži na krožnici, je trikotnik ABC pravokoten. Naj velja 1. Velja Pitagorov izrek , torej . 2. Hkrati velja torej ab = 22. 3. 4. Torej velja (a+b) 2 = 144 in s korenjen- jem obeh strani enačbe dobimo, da je a + b = 12. 5. o = a + b + c = 12 + 10 = 22 Obseg trikotnika ABC je 22 cm. Večina učencev pri reševanju te nalo- ge ugotovi, da je a 2 + b 2 = 100 in ab = 22. Potem nadaljujejo reševanje tako, da iz enač- be ab = 22 izrazijo in to vstavijo v enačbo a 2 + b 2 = 100. Dobijo enačbo 4. stopnje, ki je z osnovno- šolskim znanjem ne znajo rešiti. T u in tam kak učenec samostojno pride do zamisli in rešu- je nalogo tako, kot je opisano zgoraj. Večina učencev pa tu potrebuje nekaj usmerjanja. 3. naloga V trikotniku ABC je točka M središče daljice BC, daljica AN leži na simetrali kota BAC, daljici AN in BN sta pravokotni. Stra- nici trikotnika ABC sta dolgi: AB = 14 cm in AC = 19 cm. Koliko je dolga daljica MN? Vir [8]: http://www.mystfx.ca/special/mathproblems /grade11.html Reševanje in komentar Ideja, ki pripelje do rešitve, je, da je treba daljico BN podaljšati do daljice AC. Točko, v kateri nosilka daljice BN seka daljico AC, označimo z E. Ugotovimo, da sta trikotni- ka BNA in ANE skladna (ujemanje v stra- nici in priležnih kotih). To pomeni, da je in 5 cm. Ker velja in je točka M središče daljice BC, je daljica NM srednjica v trikotniku BCE in zato enaka polovici dolžine stranice , to- rej meri 2,5 cm. 4. naloga Dve drevesi sta 40 m narazen. Prvo dre- vo je visoko 30 m, drugo pa 20 m. Izračunaj višino h! Vir [9]: http://www.mystfx.ca/special/mathproblems/ grade7.html A B C N M 14 19 AC D B E F h b 30 m 20 m 40 m 28 Rešitev 1. Ugotovimo, da je , in zato velja AB : AC = EF : FC 30 : 40 = h : (40 – b) 40 h = 30 · (40 – b) 40h = 1200 – 30b, enačbo delimo z 10 4h = 120 – 3b (1) 2. Vidimo tudi, da je , in ta ko velja AC : CD = AF : EF 40 : 20 = b : h 40h = 20b (2) 3. Enačbi (1) in (2) izenačimo in dobimo: , enačbo pomnožimo s 4: 120 = 5b b = 24 m 4. Vstavimo b = 24 m v enačbo (1) in do- bimo h =12 m. Učenec, ki se je lansko leto ukvarjal s to nalogo, jo je rešil na svoj, zame zelo izviren in presenetljiv način, ki ga v svojem razmi- sleku nisem predvidela. Kakšna je bila njegova pot? Postavil je pravokotni koordinatni sistem s koordinatnim izhodiščem v točki A(0, 0), abscisna os je tako postala premica skozi toč- ko C(40, 0), ordinatna os pa premica skozi točko B(0, 30). Problem je tako prevedel v iskanje enačb premic skozi točki (A, D) in (B, C) in njune- ga presečišča E(b, h). Tako je našel enačbo premice skozi A(0,0) in D(40,20): in (1) enačbo premice skozi točki B(0,30) in C (40,0): (2) Enačbi (1) in (2) je izenačil in dobil enačbo , pomnožil je s 4: 2x = -3x + 120 5x = 120 x = 24 in z vstavitvijo v (1) y = 12. Koordinate točke E so (24,12), torej velja b = 24 m in h = 12 m. 5. naloga Izračunaj vsoto ploščin osenčenih triko- tnikov, ki se »poljubljata« v skupni točki P. Vir [10]: http://nrich.maths.org/542 4 cm A B 3 cm 3 cm 3 cm E C P Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole 29 Reševanje in komentar Ko učenci vidijo naslov naloge, se najprej veselo nasmejejo in postavijo raziskovalno vprašanje: »Ali se tudi trikotnika lahko po- ljubljata?« Nato iščejo idejo in večina nadarjenih učencev pride do naslednje rešitve: Vsota ploščin osenčenih trikotnikov je 18 cm 2 Nalogo lahko uporabimo kot problem, ključno vprašanje, »vžig« na začetku obrav- nave ploščine trikotnika v 7. razredu. γ Zakljuek Delo z nadarjenimi učenci v 3. triadi osnovne šole v okviru dodatnega pouka in individualnih ur je nadaljevanje dela, ki ga opravim pri rednem pouku matematike. Na naši šoli izvajamo nivojski pouk, saj meni- mo, da je za poučevanje matematike ustrez- nejši. Pomembno je, da je pouk v najvišji zahtevnostni ravni problemsko naravnan, vendar postopen. Nadarjenim učencem ponudim naloge, pa tudi različne aktivnosti, pri katerih raz- vijajo matematične procese, kot so iskanje vzorcev, ocenjevanje rezultata, razgraditev kompleksnega problema na posamezne na- loge, utemeljevanje, oblikovanje in preverja- nje hipotez, posploševanje, dokazovanje … Poznavanje in obvladovanje matematičnih procesov in strategij je, poleg obvladovanja matematičnih pojmov in veščin, nujno za obravnavo problemskih situacij. Pri obravnavi posamezne učne teme tako učenci osvojijo osnovna in konceptualna znanja, rutinska in kompleksna procedural- na znanja in se lotijo problemskih znanj. [1] in [2] Kako uporabiti znanje v novih situacijah, kako poiskati ustrezne strategije reševanja določenega problema? Naloge, ki so predstavljene v članku, so v praksi preizkušen odgovor na zgornje vpra- šanje. Poseben primer je motivacija – kako učence pritegniti k reševanju zahtevnih ma- tematičnih nalog, ko pa jih danes obkroža toliko vsega, kar vzbuja njihovo pozornost? Tu igrajo pomembno vlogo matematična tekmovanja. Ko učencu enkrat uspe s svojim talentom, a tudi s trdim delom, osvojiti npr. srebrno Vegovo priznanje, smo ga največkrat pridobili, da bo trdo delal tudi prihodnje leto. Motivacijsko zelo uspešno je tudi v član- ku opisano reševanje matematičnih proble- mov na spletni strani www.nrich.maths.org, ki daje mednarodno dimenzijo, učencem in učitelju pa potrditev, da smo na pravi poti, saj se tudi na drugih koncih sveta ukvarjajo s podobnimi matematičnimi problemi. 30 δ Viri in literatura: 1. Predmetna kurikularna komisija za matematiko, Učni načrt: program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika, Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, 2006. 2. Predmetna komisija za posodabljanje učnega načrta za matematiko, Predlog posodobljenega učnega načr- ta. Matematika, Ministrstvo za šolstvo in šport, Za- vod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, 2008. 3. http://dokumenti.ncvvo.hr/Nacionalni_ispiti_06/ MPM_IIdio.pdf, (20. 4. 2012) 4. http://www.gssjd.hr/nastavni-predmeti/matematika/ nacionalni-ispiti-iz-matematike/zadaci-s-nacional- nih-ispita/, (20. 4. 2012) 5. http://www.stkpula.hr/mat-natj/zadaci/2010/2010-OS- drz-78-zad+rj/2010-OS-drz-78-zad.pdf, (24. 4. 2012) 6. http://www.mystfx.ca/special/mathproblems/gra- de10.html, (24. 4. 2012) 7. http://www.mystfx.ca/special/mathproblems/gra- de12.html, (24. 4. 2012) 8. http://www.mystfx.ca/special/mathproblems/gra- de11.html, (24. 4. 2012) 9. http://www.mystfx.ca/special/mathproblems/grade7. html, (24. 4. 2012) 10. http://nrich.maths.org/542, (20. 4. 2012) 11. Zakon o osnovni šoli, Državni zbor RS, 2006 Delo z nadarjenimi uenci pri matematiki v tretji triadi osnovne šole