ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 3 Strani 142-145 Janez Strnad: KAKO HITRO SO SE GIBALI DINOZAVRI? Ključne besede: fizika, mehanika, hoja, dinamična podobnost, Frou-dovo število, gibanje vretenčarjev. Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1395-Strnad.pdf © 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo KAKO HITRO SO SE GIBALI DINOZAVRI? V filmu Jurski park, ki je pred leti zbudil precej pozornosti, je bilo mogoče videti razne vrste plazilcev v gibanju, čeprav so že zdavnaj izumrli. Paleontologi so izkopali njihove kosti in jih sestavili v okostja ter skupaj z zoologi rekonstruirali živali vse do zunanje podobe. Kako hitro so se živali gibale, pa so jim pomagali ugotoviti fiziki. Začnimo s kar se da preprostim zgledom, z nihalom, pri katerem je na zelo lahek drog z dolžino l\ obešena drobna utež. Drog je vrtljiv okoli vodoravne osi skozi krajišče. Nihalo sinusno zaniha, ko ga za majhen kot 01 = časa t-> in ij sta v razmerju nihajnih časov Č2A1 = {9\hhj2h)ir2- Pri tem smo upoštevali možnost, da prvo nihalo niha na Zemlji s pospeškom prostega pada rji in drugo na Luni s pospeškom prostega pada 52- Hitrosti obeh uteži sta v razmerju največjih hitrosti vijv\ — (g2h/9lA)1^2- Iz zveze razberemo, da je pri primerjanju pomembna količina v2/gl. Količino z enoto 1 imenujejo Froudovo števjJo. Gibanji nihal sta v navedenem smislu podobni, če sta njuni Froudovi števili enaki. Iz zveze /g-jh — v\/g\li sledi za nihali na Zemlji v\jv\ = li/h- Za enako dolgi nihali na Luni in Zemlji pa velja vlfvl = 92/91- Poskusimo na hitro z enačbami izpolniti vrzeli v prejšnjem razmišljanju. Nihanje nihala opišemo z enačbo ip — (flo eos če začnemo meriti čas v trenutku, ko nihalo doseže največji odklon. Razmerje odklonov dveh nihal je <£2 _ ¥>Q2 cos (92/h)1/2t2 oi- Hitrost krajišča nihala dobimo tako, da hitrost spreminjanja kota pomnožimo z dolžino nihala, npr. v2 = = ~(92h)1/2¥>02 sin (g2/l2)1/2t2. Fizika 143 Ne pozabimo, da smo se omejili na nihanje z majhnim odklonom, pri katerem nihajni čas ni odvisen od največjega odklona. Tu moramo odnehati, če ne želimo zadeve preveč zaplesti. Tako smo razkrili začetek zanimivega dela mehanike, dinamično podobnost, ki jo imamo lahko za razširitev geometrijske podobnosti. Lika sta geometrijsko podobna, če enega prevedemo v drugega, ko dolžino vsake od vsebovanih daljic pomnožimo z določenim številom. Med seboj podobna lika imata paroma enake ustrezne kote. Gibanji dveh geometrijsko podobnih sistemov sta dinamično podobni, če lahko eno prevedemo v drugo tako, da pomnožimo razsežnosti enega sistema z določenim številom, čase z drugim številom in sile s tretjim številom. Silo smo preračunali na maso, kar je dalo pospešek, in se omejili na težo. Dinamična podobnost je pomembna v primeru, da delamo načrt za kako napravo, pa smo negotovi o tem, kako bo delovala. Tedaj izdelamo veliko cenejši pomanjšani model naprave in ga preskusimo. Razmere, v katerih bi delovala velika naprava, morajo ustrezati razmeram, v katerih deluje model. Tu pride na pomoč diamična podobnost. Zagotovimo, npr,, daje Froudovo število za model enako Froudovemu številu za napravo, in primerjamo čase, hitrosti, sile, kakor smo nakazali. Dinamično podobnost je vpeljal angleški inženir William Froude (izgovori frud), ki je živel v letih od 1810 do 1879. Zanimal se je za gibanje ladij in izumil več' merilnih naprav. Število, ki so ga pozneje imenovali po njem, je enako razmerju med dvojno kinetično energijo in spremembo potencialne energije 2 * imiP/mgl ter je povezano z razmerjem med silo zaradi pospeševanja in težo. V naslednjem koraku skrajno poenostavljeno obdelamo hojo človeka. (Podrobneje jo je obravnaval P. GosaT v članku Mehanika hoje in teka, Presek 13 (1985/86) 81.) Težišče človeka z dolžino nog l se spusti po krogu s polmerom l s središčem v stopalu na tleh, ko doseže najvišjo točko (slika 1). Hitrost je povezana z radialnim pospeškom v2/l, ki je značilen za gibanje po krogu. Pospešek ne more preseči težnega pospeška g. oQ t\ Vo 77777777777777777777777777" Slika 1. Skrajno poenostavljen model hoje. Težišče T postavimo v vrh nog, O je os v stopalu na tleh. če stopalo miruje na tleh. Tedaj velja v2 - ,. v2 ^ , T~9 ah T^1' Tudi za hojo je pomembno Froudovo število. Po napisani neenačbi človek ne more hoditi s hitrostjo, večjo od (gl)11,1,13. Pri dolžini nog l — 0,9 m je to 3 m/s. Večjo hitrost doseže v teku. Tu na kratko omenimo merjenja porabe kisika pri hoji in pri teku. Človek dobiva energijo, potrebno za dvigovanje težišča pri hoji in teku s kemijskimi reakcijami v mišicah. Pri tem se razgrajujejo ogljikovi hidrati, beljakovine m maščobe, za kar jc potreben kisik. Poraba kisika na časovno enoto zato določa moč človeka. (Nekaj povesta o tem članka A. Likar, Tek in moč, Presek 25 (1997/98) 226 in J. Strnad, Človeška moč, Presek 26 (1998/99) 2.) Merjenja so pokazala, da je poraba kisika pri hitrosti do 2 m/s pri hoji manjša kot pri teku, pri večji hitrosti pa manjša pri teku kot. pri hoji. Pod hitrostjo 2 m/s je potemtakem energijsko ugodnejša hoja, nad njo pa tek. V svojem razglabljanju smo se omejili na gibanje težišča po krogu s središčem v stopalu na tleh. Tekmovalci v hitri hoji dvigajo in spuščajo boke ter dosežejo pri hoji večjo hitrost, npr. 4,4 m/s pri svetovnem rekordu v hoji na 10 km. Mejna hitrost je pri otrocih s krajšimi nogami manjša, na primer 2 in/s pri dolžini nog 0,4 m. Zato lahko otrok hodi le ob odraslem, ki namenoma upočasni korak. Na Luni je težni pospešek 1,6 m/s2 in je mejna hitrost samo 1,2 m/s. Vesoljci so zato na Luni poskakovali. Vretenčarji natančno vzeto drug drugemu niso geometrijsko podobni. Konj, npr., ni povečan pes. Vendar njihovo gibanje kaže dovolj skupnih značilnosti, da vse vretenčarje poskusimo obravnavati kot približno geometrijsko podobne in njihova gibanja kot približno dinamično podobna. Opazovanja to približno podpirajo. Pri Froudovern številu okoli ^ pri vseh vretenčarjih hoja preide v tek. To velja za vretenčarje z enim ali z dvema paroma nog. Pri hoji in teku se drugi par nog giblje podobno kot prvi z določeno zakasnitvijo. Gibanje obeh parov preneha biti podobno ob prehodu v galop pri Froudovern številu okoli 2,5. Pri enakem Froudovern številu vzamemo gibanje vretenčarjev za dinamično podobno. Konj, ki ima štirikrat daljše noge kot pes, ima pri enakem Froudovern številu štirikrat daljši korak kot pes. To naj bi veljalo za vse vretenčarje, tako da bi bilo razmerje med dolžino koraka in dolžino nog za vse vretenčarje, z enim ali z dvema paroma nog, enako odvisno od Froudovega števila. Merjenja to približno potrjujejo, natančne odvisnosti pa ne moremo pričakovati. Po merjenjih je razmerje med dolžino koraka in dolžino nog približno linearno odvisno od kvadratnega korena iz Freudovega števila (slika 2). S to zvezo je mogoče oceniti hitrost dinozavrov. Po okamenilih sledovih stopinj so ugotovili dolžino koraka, po velikosti sledi ocenili maso in velikost živali ter s tem dolžino nog. Iz teh podatkov so izračunali razmerje med dolžino koraka in dolžino nog, ki mu v linearni zvezi ustreza določen koren iz Freudovega števila. Iz tega je bilo mogoče z dolžino nog dobiti hitrost. Po tej poti so za brontozavre z maso 30 ton dobili hitrost 1 m/s, za mesojedce, podobne tiranozavrorn, z maso 5 ton hitrost 2 m/s in za dvonoge zavre z maso ~ tone hitrost 12 m/s. Zavri z veliko maso so hodili zelo počasi, zavri z majhno maso pa so tekli hitreje kot človek z maso 70 kg, ki je pri svetovnem rekordu na sto metrov dosegel hitrost 11 m/s, a počasneje kot dirkalni konj z maso okoli 400 kg, ki doseže hitrost 16 m/s. Slika 2, Izmerjeno razmerje med doliino koraka in dolžino nog v odvisnosti od kvadratnega korena iz FVoudovega števila za nekaj vrst vretenčarjev. Slika je iz članka R, McNeill Alexander, Walking and running, The Mathematical Gazette 80 (1996) 262, Isti pisec je leta 1989 pri založbi Columbia University Press v New Yorku objavil knjigo Dynamics of dinosaurs and other extinct giants. Računov, enako kot rekonstruirane podobe dinozavrov, ni mogoče preskusiti z neposrednim opazovanjem. Upamo pa, da so podobo in hitrost dobro zadeli. Janez Strnad