FUNFSTELLIGrE

L0GAR1THMEN-TAFELN

ZUM

SCHULGEBRAUCHE

m  FRANZ R^U#^| M °ČNIK

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W I E N

DRUCK UND VERLAG VON CARL GEROLD’S SOHN.
1877

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102585


V o r w o r t.

Zum Erlernen logaritiimischer Rechnungen sind, wie sich Schlti-
m i 1 c h, H o p p c, Gernerth  und andere gewichtige Autoritaten aus-
sprechen, fiinfstellige Logarithmentafeln vollkommen ausreichend. In
den meisten Fallen gentigen solche Tafeln auch ftir die Praxis; Encke
sagte, er habe bei seinen astro no miscben Rechnungen ausserst selten
andere als fiinfstellige Tafeln gebraucht.

Ich habe daher auch als Beigabe zu meinen mathematischen
Lehrbtichern fiinfstellige Logarithmentafeln zusammengestellt und dabei
neben der Correctbeit insbesondere eine solche Anordnung des Stoffes
angestrebt, dass die Zahlen, die man sucht, leicht und sicher gefunden
werden konnen.

Im ersten Theile stehen je 50 Zahlen, im zweiten alle Minuten
eines jeden Grades auf e in er Seite. Die Eingange sind auf diese
Weise gleichformig angeordnet, wodurch das Aufsuchen wesentlich
erleichtert wird.

Ftir die Interpolation befinden sich bei den Zahlenlogarithmen
gewohnlich auch in anderen Tafeln von ahnlichem Umfange Hilfstafel-
chen mit Proportionaltheilen, welche wegen der grosseren Genauigkeit
um eine Decimale weiter gehen, als die Tafellogarithmen. Bei den
Winkelfunctionen dagegen enthalten Tafeln, in denen die Winkel von
Minute zu Minute fortschreiten, blos die Differenzen ftir 1 Secunde,
manche ftir 1 Minute; beim Interpoliren muss dann multiplicirt und
dividirt werden. Damit nun beim Interpoliren durchgangig ausser der
Addition und Subtraction jede andere Hilfsrechnung entbehrlich gemacht
und das Interpolationsverfahren bei Winkelfunctionen mit dem bei
Zahlen moglichst in Einklang gebracht werde, was vom didaktischen
Gesichtspunkte aus als ein nicht unerheblicher Vortheil angesehen
werden muss, habe ich nicht nur im ersten, sondern auch im zweiten
Theile die Proportionaltheile aufgenommen. Bei den Zahlenlogarith¬
men bedeuten dieselben, wie in anderen Tafeln, den Zuwachs der
Mantisse fin’ die ftinfte, und ihr zehnter Theil ftir die sechste Ziffer
der gegebenen Zahl. Bei den Winkelfunctionen habe ich den beztig-

IV

lichen Hilfstafelchen folgende, meines Wissens bisher noch in keinem
logarithmischen Werke vorkommende Einrichtung gegeben: Unter jeder
Differenz stehen die entsprechenden Proportionaltheile in 9 Zeilen, und
zwar in den ersten 5 Zeilen fiir 10, 20, 30, 40, 50 Secunden, und mit
ilirem zehnten Theile ftir 1, 2, 3, 4, 5 Secunden, in den letzten 4 Zeilen
fiir 6, 7, 8, 9 Secunden. Eine Ausnahme tritt nur bei den Winkeln von
0" bis 3° und von 87° bis 90° ein. Da in diesen Intervallen die auf
einander folgenden Differenzen und selbst ihre Unterschiede auch dann,
wenn die Winkel von 10 zu 10 Secunden fortschreiten wiirden, sehr
stark von einander abweichen, so \viirde hier das Interpoliren nach
dem gewohnlichen Verfahren nur ungenaue Resultate liefern. Um solche
zu vermeiden, habe ich daher bei den gedachten Winkeln statt der
Proportionaltheile die bekannten goniometrischen Hilfszahlen s  und t
angesetzt, deren Amvendung es moglich macht, die Interpolationsrech-
nungen ebenso bequem, zugleich aber scharfer als sonst auszufiihren.

Die im ersten Theile beigegebenen sechsstelligen Logarithmen der
Zahlen 10000 bis 11009 dienen nicht nur dazu, um die Interpolationen
bei Winkeln unter 3° und liber 87° unter Beniitzung der Hilfszahlen
s und t  in allen Fallen leicht ausfiihren zu konnen, sondern auch, um
hdhere Potenzen von Zahlen, deren erste drei Ziffern kleiner als 110
sind, genauer zu berechnen, ivas insbesondere bei Zinseszins- und
Rentenrechnungen von Vortheil ist.

Zur Erzielung der Correctheit wurde der Satz dieser Logarithmen
mit den Schron’schen und G er n e r tlfschen Tafeln, als den correc-
testen, verglichen; fiir den Ansatz der Hilfszahlen s und t  wurde gleich-
falls das Schron’sche Werk beniitzt; die Proportionaltheile bei den
Winkelfunctionen habe ich selbst berechnet und durch wiederholte
Revision richtig gestellt.

Auch auf die zweckentsprechende aussere Ausstattung dst alle
Sorgfalt angewendet worden. Die Ziffern sind deutlich, kraftig und
durchaus von gleicher Hohe; die lichten Zwischenraume der Zeilen und
Spalten sind so gehalten, dass sie dem Auge eine ivohlthuende Ruhe
gewahren.

Graz,  1876.

Der Verfasser.

Einrichtimg und Gebrancli der Tafeln.

Tafel 1.

Diese Tafel enthalt die gemeinen oder Brigg’schen Loga¬
rithmen der Zahlen von 1  bis 11009 .

Im Allgemeinen ist jeder gemeine Logarithmus einer Zahl ein
Decimalbruch, dessen Granze man die Charakteristik und dessen
Decimalziffern man die Mantis se nennt. Die Charakteristik des
gemeinen Logarithmus einer Zahl ist gleich dem Rangexponenten
der hochsten geltenden Ziffer dieser Zahl, wobei die zugehorige
Mantisse immer positiv ist. Die Man tis s e eines gemeinen Logarith¬
mus hangt blos von der Ziffernfolge der gegebenen Zahl ohne
Riicksicht auf deren Rang ab, so dass alle Zahlen, welche sich nur in
der Stellung des Decimalpunktes unterscheiden, dieselbe Mantisse
haben.

Die er s te Abtheilung der Tafel I (Seite 1) enthalt die gemeinen
Logarithmen (Charakteristik und Mantisse) der Zahlen von 1 bis 100
mit fiinf Decimalstellen.

Die zweite Abtheilung von Seite 2 bis Seite 19 enthalt die ftinf-
stelligen Mantissen der gemeinen Logarithmen aller vierziffrigen Zahlen;
die leicht zu bestimmende Charakteristik ist durchgangig weggelassen.
In der ersten oben und unten mit N (Numerus) bezeichneten Spalte
findet man der Ordnung nach die ersten drei Ziffem aller Zahlen; die
vierte Ziffer einer solchen Zahl steht in der obersten oder untersten
mit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bezeichneten Zeile.

Die einer vierziffrigen Zalil zugehorige Mantisse steht mit ihren
letzten drei Decimalen in der Zeile, in welcher sich die ersten drei
Ziffern der Zahl befinden, und zwar in derjenigen Spalte, welche oben
und unten die vierte Ziffer als Aufschrift hat; die ersten zwei Deci¬
malen der Mantisse, \velche ftir mehrere auf einander folgende Loga¬
rithmen gleich bleiben, situl nur in der mit 0 bezeichneten Spalte
angefiihrt, und gehoren zu allen neben und unter ihnen stehenden drei-
stelligen Mantissentheilen, wie auch zu den vor der ersten Ziffer mit
einem Sternchen versehenen Mantissentheilen der nachst vorhergehenden
Zeile.

Zur Bestimmung der Mantissen fiinf- oder sechsziffriger Zahlen
enthalt diese Abtheilung der Tafel auf jeder Seite rechts mehrere
Hilfstafelchen,  in denen jede Spalte die Differenz ziveier unmittel-
bar auf einander folgender Tafelmantissen als Ueberschrift hat. Die
unter dieser Differenz stehenden Zahlen sind die entspreclienden Pro-
portionaltheile  ftir die links im Eingange der Tžifelchen befindlichen

VI

Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, C, 7, 8, 9, wenn diese die fiinfte  Ziffer der
gegebenen Zalil bedeuten. Der zebnte Theil  dieser Proportional-
theile gibt die beziiglichen Proportionaltheile fiir die sechste  Ziffer
einer Zahl.

Z. B. Fiir die Differenz 26 (Seite 3) gehoren
zu 6 als 5te Ziffer der Zahl ... die Proportionaltheile 15'6,
n  9 „ 6te „ „ „ n  „ 2‘3;

Umgekehrt gehort fiir dieselbe Differenz 26
zu den Proportionaltheilen 13 ... 5 als 5te Ziffer der Zalil
n n  n 1 9 ... 7 „ 6 te „ „ • „

zu den Proportionaltheilen 12,

und zwar zu 10‘4 ... 4 als 5te Ziffer der Zahl,
zu dem Reste 1'6 ... 6 „ 6te „ „

Ausserdem befindet sich am Fusse jeder Seite ein Hilfstafelchen
zur Venvandlung der Secunden in Grade und Minuten,  von
vrelehem bei den Logarithmen der Winkelfunctionen Gebrauch geniacht
-vvird.

Die dritte  Abtheilung (Seite 20 und Seite 21) enthalt die Man-
tissen der funfziffrigen Zahlen von 10000 bis 11009. Die Einrichtung
ist dieselbe, wie die der ziveiten Abtheilung; nur sind die Zahlen unter
N vierziffrig und die Mantissen sechsštellig.

Im Anliange  (Seite 22) sind einige bei logarithmischen Rech-
nungen haufig vorkommende Constanten  zusammengestellt; ihre
Bedeutung ist aus dem Texte selbst geniigend zu ersehen.

I. Zu einer gegebenen Zahl den zugehorigen gemeinen
Logarithmus zu finden.

1. Die Logarithmen ein- und zweiziffriger  Zahlen stehen auf
Seite 1.

2. Enthalt die Zahl drei Ziffern,  so sucht man dieselbe von
Seite 2 bis Seite 19 in der mit N bezeichneten Spalte auf; die Man-
tisse ihres Logarithmus steht daneben in der mit 0 bezeichneten Spalte.
Findet man hier nur die letzten drči Mantissenziffern, so entnimmt
man die ersten zwei etvvas weiter oben aus derselben Spalte. Der so
gefundenen Mantisse wird noch die entsprechende Charakteristik bei-
gefiigt. So findet man z. B. (Seite 5)

log 257 = 2-40  993 | log 0-293 = 0-46 687—1.

3. Ist die gegebene Zahl vierziffrig,  so sucht man die ersten
drei Ziffern in der mit K bezeichneten Spalte auf und geht von da in
derselben Zeile in diejenige Spalte hinein, welche oben und unten die
vierte Ziffer als Aufschrift hat; hier findet man die letzten drei Man¬
tissenziffern. Die ersten zwei Ziffern stehen in der mit 0 bezeichneten
Spalte, und zwar in derselben Zeile, oder etwas weiter oben, oder
auch, wenn sich vor der ersten der drei Mantissenziffern ein Sternclien
befindet, in der nachstfolgenden Zeile. Endlich wird noch die Charak¬
teristik beigefiigt. So findet man z. B. (Seite 10;

log 5134 = 3-71 046 j log 0'5375 = 0’73 038-1
log 528-9 = 2-72  337 ! log 0-05497 = 0‘74 013-2.

VII

4. Enthalt die gegebene Zalil fiinf oder sechs Ziffern,  so ent-
nelime man aus der Tafel nach 3. zu den ersten vier Ziffern die zuge¬
horige Mantisse und bestimme die Differenz zwischen dieser und der
nachst grosseren Tafelmantisse. Dann suche man aus den Hilfstafel-
chen unter der erhaltenen Tafeldifferenz die Proportionaltheile fur die
5te und 6te Ziffer der gegebenen Zahl und addire sie zu der bereits
gefundenen Mantisse. Endlich wird noch die entsprecbende Charak-
teristik beigefiigt.

Liegen die ersten fiinf' Ziffern zwisehen 10000 und 11009, so
bestimmt man den Logarithmus rascher und genauer aus den sechs-
stelligen Mantissen der dritten Abtheilung (Seite 20 und Seite 21); das
Verfahren ist dem friiheren analog.

Beispiele:

1) log 21587 = 4-33 405 (S. 4)

Diff. 20 7 .14

4-33 419

2) log 47-4735 = 1*67 642 (S. 9)

Diff. 9 3.2 7

5.0 5

1-67 645

I 3) log 0-724 638 = 0-86 010 (S. 14)

1  Diff. 6 3.18

8.05

0-S6 012 1

4) log 1-04 989 = 0 021 107 (S. 20)

Diff. 41 9.36 9

0-021 144

II. Zu einem gegebenen Logarithmus die zugehorige Zahl

zu finden.

1. Man suche in der Abtheilung von Seite 2 bis Seite 19 in der
mit 0 bezeichneten Spalte die ersten zwei Mantissenziffern, die letzten
Mantissenziffern aber in derselben oder in einer der nachst folgenden
Zeilen, oder auch in den mit einem Šternchen bezeichneten Stellen
der nachst vorhergehenden Zeile.

Sind die letzten Mantissenziffern in der Tafel genau  enthalten,
so entnehme man die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl aus der mit
N bezeichneten Spalte in jener Zeile, in welcher die letzten Mantissen¬
ziffern gefunden wurden, die vierte Ziffer aber aus der obersten oder
untersten Zeile in der Spalte, in welcher jene Mantissenziffern stehen.
Dann wird in der gefundenen Ziffernreihe aus der Charakteristik des
gegebenen Logarithmus und dem sich daraus ergebenden Kangexpo-
nenten der hochsten Ziffer der gesuchten Zahl noch die Stellung des
Decimalpunktes bestimmt. Z. B.

log x = 2-91 046, x = 813-7 | log y = 0’90 811-2, y = 0 08 093.

2. Ist dip gegebene Mantisse in der Tafel nicht genau  ent¬
halten, so suche man die nachst kleinere Mantisse, welche in der
Tafel steht, und bestimme nach 1. die ihr zugehorige vierziffrige Zahl;
diese gibt die ersten vier Ziffern der gegebenen Zahl. Sodann suche
man sowohl die Differenz der beiden Tafelmantissen, zwischen denen
die gegebene Mantisse liegt, als auch den Unterschied zwischen der
gegebenen pn<j der aus der Tafel entnommenen nachst kleineren Man¬
tisse, und bestimme aus den Hilfstftfelchen zu den Proportionaltheilen,
'velche der letzterc Unterschied angibt, fur die erhaltene Tafeldifferenz
die entsprecbende fiinfte und sechste Ziffer. In der so gefundenen

VIII

Ziffernreihe wird endlich aus der gegebenen Charakteristik noch die
Stellung des Decimalpunktes bestimmt.

In dem besonderen Falle, wo die ersten drei Mantissenziffern
zwiscben 000 und 037 liegen, ist es vortheilhafter, die dritte Abthei-
lung (Seite 20 und Seite 21) zu beniitzen, weil man dort ohne Proportio-
naltheile sogleich fiinf Ziffern der Zakl ablesen kann.

Beispiele:

1) log x = 2'50 721 3) log a = 0'28 224-1

Diff. 14

2'50 721
718..
3

2  8 .

3215 (S. 6)

217 ...1915 (S.3)

Diff. 23 7 .3

a = 0-19153

x = 321-521
2) log y = 1-81 254

251. .6494 (S. 12)
Diff. 7 3

2 8 ... .4
2 ...,  3
y = 64'9443

4) log b = 0-032 359

337.10773 (S.21)
Diff 40 22

20.5

2. 5

b = 1-077355

Tafel II.

Diese Tafel enthalt die gemeinen Logarithmen der Winkelfunc-
tionen von 0° bis 90° von Minute zu Minute mit fiinf Decimalstellen.

Alle diese Logarithmen sind auf die Charakteristik — 10 reducirt,
welche jedoch, damit Raum erspart werde ?  in der Tafel Aveggelassen
ist; jedem aus der Tafel gefundenen Logarithmus ist daher noch die
Charakteristik — 10 beizufiigen.

Von 0° bis 45" stehen die Grade in naturlicher Folge vorAvarts
schreitend oben, und die Minuten links im Eingange; fiir diese gilt
der obere Tabellenkopf. Von 45° bis 90° stehen die Grade in natiir-
licher Folge riickwarts schreitend unten, und die Minuten rechts im
Eingange; fiir diese gilt der untere Tabellenkopf.

Zur Bestimmung der Logarithmen der Functionen von Winkeln,
Arelche ausser den Graden und Minuten auch Secunden enthalten, sind
fiir jeden Grad rechts von der Hilfstafel besondere Hilfstafelchen an-
gebracht, nach deren verschiedener Einrichtung die Tafel II in zivei
Abtheilungen zerfallt.

Die er ste Abtheilung (Seite 25 bis Seite 27) erstreckt sich auf
die Winkel von 0° bis 3" und von 90° bis 87°.

Bezeichnet x" den in Secunden ausgedriickten Winkel x, und
fiihrt man fiir Winkel, Avelche zAA-ischen 0" und 3° liegen, die gonio-
metrischen Hilfszahlen

s (x) = log S “‘, x  = log sin x — log x" und

t (x) = log

tang x

= log tang x — log x“

em, so ist

X

IX

log sin x = s (x) log x".. 1)
log x" = log sin x — s (x).. 3)

log tang x = t (x) -f- log x“ .. 2)
log x" = log tang x — t (x). .4)

Zur Verwandlung der in Graden und Minuten gegebenen Winkel
von 0° bis 3° in Secunden dient die Hilfsspalte linlcs vor der Haupt-
tafel. Die Hilfszahlen s (x) und t (x) stehen in der mittleren Spalte
der rechts von der Haupttafel angebrachten Hilfstafeln; sie sind, wie
die Logarithmen der Winkelfunctionen, noch durch Anfugung der
Charakteristik — 10 zu erganzen. Die erste Spalte dieser Hilfstafeln
enthalt die Winkel, zwischen denen sich die ersten fiinf Decimalen der
Hilfszabl s (x), beziiglich t (x), nicht andern, und die dritte Spalte die
Logarithmen der zu diesen Winkeln gehorigen Sinus oder Tangenten.
Jede Hilfszahl s (x) oder t (x) gehort daher zu allen Winkeln, -vvelche
zwischen den links oben und unten stehenden zwei Winkeln liegen,
sowie zu allen log sin x, bezuglicb log tang x, welche zwischen den
reclits oben und unten stehenden zwei Logarithmen liegen.

So gehort z. B. (Seite 25) zu allen Winkeln x" zwischen 2409"
und 3417", sowie zu allen log sin x zwischen 8-06740 — 10 und
8'21 920 — 10 die Hilfszahl s (x) — 4'68 556 — 10. Ebenso gehort zu
allen Winkeln x" zwischen 1726" und 2432", sowie zu allen log tang x
zwischen 7"92 263 — 10 und 8"07 156 — 10 die Hilfszahl t (x) =
4-68 559 — 10.

Als Gedachtnisshilfe befinden sich am Kopfe der einzelnen Hilfs¬
tafeln die obigen Gleichungen.

In der zweiten  Abtheilung (von Seite 28 bis Seite 71), welche
die Winkel von 3° bis 45° und von 45° bis 87° umfasst, sind in den
Hilfstafelchen die Proportionaltheile  angegeben. Jede Spalte eines
solchen Hilfstafelchens hat als Ueberschrift die Differenz der unmittel-
bar auf einander folgenden Logarithmen derselben Function von zwei
in Graden und Minuten angegebenen Winkeln. Die unter dieser
Differenz befindlichen Zahlen sind die entsprechenden Proportional¬
theile fiir die Secunden, und z\var die oberen fiinf Zahlen beziiglich
fiir 10, 20, 30, 40, 50 Secunden, der zehnte Theil derselben fur 1, 2,
3, 4, 5 Secunden, und die unteren vier Zahlen fiir 6, 7, 8, 9 Secunden.
So gehoren z. B. fiir die Tafeldifferenz 58 (Seite 39)

zu 20". .die Proportionalth. 19'3
8“ 7-7

zu 28", .die Proportionalth. 27'0
Umgekehrt gehoren fiir dies<
zu den Proportionalth. 29..30"

. - .. - 8 .. 8 "

zu 50". .die Proportionalth. 48‘3
3" o-q

zu 53". .die Proportionalth. 51‘2
be Tafeldifferenz 58

zu den Proportionalth. 41,

und zwar zu38‘7. .40"
zu dem Reste 2 - 3.. 2"
zusammen . .42"

I. Zu einem gegebenen Winkel den zugehorigen gemeinen
Logarithmus einer Function desselben zu finden.

1. Man suche die Grade des gegebenen Winkels und die Be-
nennung der betreffenden Function in dem oberen oder unteren
Tabellenkopfe auf, je nachdem der Winlrel zwischen 0° und 45°, oder
zwisehen 45° und 90° liegt, die Minuten aber im ersten Falle links,
im zweiten rechts im Eingange.

b

X

Enthalt der gegebene Winkel nur Grade und Minuten,  so
steht der gesuchte Logarithmus dort, wo die Spalte, welche die Benen-
nung der Function als Aufschrift hat, mit der Zeile, in welcher die
Minuten gefunden wurden, zusammentrifft. So findet man z. B. (Seite 37)
log sin 10° 14'=  9-24 958-10 log tang 79° 0' =10-71 135—10
log cotl0°49' =10-71 883 — 10 | log cos 79°48' = 9'24  818—10
2. Enthalt der gegebene Winkel ausser den Graden und
Minuten auch Secunden  und liegt er zwischen 0° und 3° oder
zwischen 90° und 87°, so verfahre man auf folgende Art.

a) Ist der Logarithmus des Sinus oder der Tangente eines Winkels
x, welcher zwischen 0° und 3 U  liegt, zu bestimmen, so verwandle
man im Hinblick auf die Gleichungen

log sin x = s (x) -f* log x" und log tang x = t (x) -f- log x"
den Winkel x in Secunden, deren Zahl x" sei, suche aus der Hilfs-
tafel die Hilfszahl s (x) oder t (x), welche zu dem gegebenen
Winkel gehort, und addire zu derselben den aus der Tafel I ent-
nommenen Logarithmus von x".

Ist x" fiinfziffrig, so sucht man dessen Logarithmus in der dritten
Abtheilung, sonst in der zweiten Abtheilung der Tafel I. auf.
Beispiele:

1) log sin 0° 36' 44'

s (2204).4-68557—10

log 2204 .3-34321

2) log tang 2° 49'35" =

t (10175)... 4-68593—10
log 10175 ... 4-00 753 4

= 8-02878—10 =8-69  346—10

b ) Ist der Logarithmus der Cotangente von x, wo x zwischen 0°
und 3° liegt, zu suchen, so bestimme man (nach a)  log tang x und
setze log cot x = — log tang x.

c)  Ist der Logarithmus des Cosinus, der Cotangente oder Tangente
von x, wo x zwischen 90° und 87° liegt, zu suchen, so bestimme
man den Complementwinkel 90° — x, welcher zwischen 0° und 3°
liegen muss, und suche (nach a  oder b)  beziiglich log sin (90° — x),
log tang (90° — y) oder log cot (90° — x); dann ist

log cos x = log sin (90° — ’x), log cot x = log tang (90° — x),
log tang x = log cot (90° — x).

Z. B. log cos 87° 57' 13" = log sin 2° 2' 47" =

s (7367) .... 4-68  548 — 10
log 7367 . 3-86 729

= 8-55 277— 10

3. Enthalt der gegebene Winkel ausser den Graden und Mi¬
nuten auch Secunden  und liegt er zwischen 3°und45 u  oderzwischen
45° und 87°, so bestimme man nach 1. beim Sinus und bei der Tangente
den Logarithmus fiir den nachst kleineren, beim Cosinus und bei der
Cotangente den Logarithmus fiir den nachst grosseren Winkel, welcher
in der Tafel steht. Sodann suche man sowohl die Differenz der beiden
Tafellogarithmen, zwischen denen der gesuchte Logarithmus liegt, als
auch den Unterschied zwischen dem gegebenen und dem aus der Tafel
entnommenen beziiglich nachst kleineren oder nachst grosseren Winkel,
bestimme aus den Hilfstafelchen zu den Secunden, welche dieser Unter¬
schied angibt, fiir die erhaltene Tafeldilferenz die entsprechenden Pro-
portionaltheile und addire sie zu dem bereits gefundenen Logarithmus.

XI

Beispiele:

) log sin 18° 14' 54" =

18° 14' . 9-49 539—10

Diff. 38 50".317

4". 25

= 9-49 573 — 10
0 log tang 7° 26' 21" =

7° 26' ....  9-11 551 — 10

Diff. 98 20".327

1". 16

= 9-11 585 — 10

3 )

4 )

log cos 63° 1' 53" =

§3° 2' . 9-65 655 — 10

Diff. 25 7" .. .29

= 9-65 658—10

log cot 19° 39' 29" =

19°40'. 10-44 685—10

Diff. 40 -30".20

1". 7

= 10-44 706 — 10

II. Zu dem gegebenen gemeinen Logarithmus einer Winkel-
function den zugehorigen Winkel zu finden.

1. Man suche den gegebenen Logarithmus in einer der Spalten
auf, welche oben oder unten mit der Benennung der beziiglichen Winkel-
function bezeiehnet sind.

Kommt der gegebene Logarithmus in der Tafel genau  vor, so
stehen die Grade des Winkels in der Spalte dieses Logarithmus in dem
oberen oder unteren Tabellenkopfe, und die Minuten in der Zeile des-
selben links oder rechts, je nachdem sich die Benennung der Winkel-
function oben oder unten befindet. Z. B.

logsinx — 9'79  494—10, x = 38°35' |logcoty = 9'62221—10,y= 67° 16'
2. Kommt der gegebene Logarithmus in der Tafel nicht genau
vor und liegt er zwischen zwei Logarithmen der ersten Abtheilung
(S. 25 bis S. 27), so verfahre man auf folgende Art:

a)

b)

c )

Ist log sin x oder log tangx gegeben und ergibt sich, dass x zwischen
0° und 3° liegt, so nehme man mit Riicksicht auf die Gleichungen
log x" — log sin x — s (x) und log x" = log tang x — t (x)
aus der Hilfstafel beziiglich die Hilfszahl s (x) oder t (x), welche
zu dem gegebenen Logarithmus gehort, und subtrahire sie von diesem.
Zu dem Reste, welcher der Logarithmus des in Secunden ausge-
driickten Winkels ist, suche man aus der Tafel I. die zugehorige
Zahl, welche Secunden bedeutet, und verwandle diese mit Hilfe
der dort am Fusse stehenden Verwandlungstafel in Grade und
Minuten. Hat log x" die Charakteristik 4, ist also die zugehorige
Zahl x" fiinfziffrig, so suche man dieselbe in der dritten Abtheilung,
sonst in der zweiten Abtheilung der Tafel I. auf. Z. B.

1) log sin x
s (x)

7-98

4-68

609-10

557—10

log x" = 3-30 052
x" = 1997-6"
x =0° 33' 17 -6'

2) log tang x = 8‘70 523-
t (x) = 4 • 68 595

log x" = 4-01 928
x" = 10454"
x — 2° 54' 14"

-10

Ist log cot x gegeben und liegt x zwischen 0° und 3°, so setze man
log tang x = — log cot x und bestimme aus log tang x nach a) den
Winkel x.

Ist log cos x, log cot x oder log tang x gegeben und ergibt sich,
dass x zivischen 90° und 87° liegt, so setze man beziiglich
log sin (90°—x) = log cos x, log tang (90°—x) = log cot x,
log cot (90°—x) = log tang x, b*

XII

wo 90° x zwischen 0° und 3° liegt, suche dann aus log sm (90"
— x), log tang (90° — x) oder log cot (90° — x) nach a)  oder b )
den Winkel (90° — x), und zu diesem den Complementwinkel x.
Z. B. Es sei log eos x == 7'67 945—10, dann ist
log sin (90° — x ) = 7-67 945 — 10
s (90° — x) = 4 68 557 — 10
log (90° — x)" =■- 9 • 99 388
(90° - x)" = 986“

90° — x = 0° 16' 26“

x = 89° 43' 34“

3. Kommt der gegebene Logarithmus in der Tafel nicht genau
vor und liegt or zwiscken zwei Logarithmen der zweiten Abtheilung
(S. 28 bis S. 71), so nehme man beim Sinus und bei der Tangente den
nachst kleineren, beim Cosinus und bei der Cotangente den nachst
grosseren Logarithmus, welcher in der Tafel steht, und bestimme nach
1. den ihm zugehorigen Winkel. Sodann suche man sowohl die Diffe-
renz der beiden Tafellogarithmen, zwischen denen der gegebene Loga¬
rithmus liegt, als auch den Unterschied zwischen dem gegebenen und
dem aus der Tafel entnommenen bezuglich nachst kleineren oder nachst
grosseren Logarithmus, bestimme aus den Hilfstafelchen zu den Propor-
tionaltheilen, welche der letztere Unterschied angibt, fiir die erhaltene
Tafeldifferenz die entsprechenden Secunden und addire diese zu dem
bereits gefundenen Winkel.

Beispiele:

1) log smx:

Diff. 49

2) log tang y:
Diff. 219

:9-39 793-10

762.... 14" 28'

~W

245.

65.

30“
, 8 “

x = 14" 28' 38'

=11‘23 745—10

694... 86"41'

51

365.

145.

10 “

4“

3) log cos A = 9 - 77 149—10

164.... 53" 46'

Diff 17

15

142.

8  .

A:

.50

. 3

53" 46' 53
4) log cot B =10'21 740—10

751....  31 "13'

Diff 28

11

93.

17.

20

4

y = 86” 41' 14“

B = 31" 13' 24

I.

Gemeine Logarithmen

i

der

Žahlen roijt 1 bis 11009.

1

2

38 37 3G

3-8

7-6

11-4

15-2

3-7

7-4

11-1

14-8

3-6

7-2

10-8

14-4

19-018-5H8-0

t I

22-8 22-2 21-G
26-6 25-9 25-2
30-4j29-6 28-8
34-2133-3I32-4

30 i 29

3

1 *

4

20

2-0

4-0

6-0

80

100

12-0

14-0

16-0

18-0

17

1-7

3-4

5 - 1

6 - 8
8-5

10-2

11-9

13-6

16-3

5

6

7

8

9

10

1-0

2-0

30

8

0-8

1-6

2 - 4

3 - 2

4 - 0

4 -

5 '

6 -

7 -

00  «£> •*$< Gl

10

11

12

13

14

15

16

17

2

18

19

2 *

20

21

22

Haufig vorkommende Consianten.

1. Verh&ltniss zwischen der Peripherie und dem Durch-
messer eines Kreises.

tt  = 3-141593, log tr 0497 150 ir 2  -9-869 604, log u 2  =-0-994 300

4 3 7T  = 4-188 790, log 4 g- = 0*622 089

-J 0-523 599, log £ = 0-718 999-1
- = 0-318 310, log-= 0-502 850-1

0-101 321, log ^=0*005 700-1
y*=  1-772 454, log Vn  0-248 575
- 1 -== 0-564 190, log ,- 7 ==0-751 425 1

y  -rt r it

2. Der dem Halbmesser gleiche Kreisbogen.
Q  = 57° 17' 44-806"

p" = 206264-8
log p" = 5-314425

3. Lange der Kreisbogen fur den Halbmesser 1.

p« = 57-295 78 p' = 3437-747

log 9 ° =  1-758 123 log p' = 3-536 274

are 1°=0-017 453
log are 1° 8-241 877—10

are 1"=0'000 005
logarcl"=4-685 575-10

are l'= 0-000 291
log are l' = 6‘463 726 -10

4. Verwandlung der gemeinen Logaritbmen in natiirliche,
und der natiirlichen Logarithmen in gemeine.

Die Basis der natiirlichen Logarithmen ist e = 2‘718 282.
log nat 10 = 2 - 302 585 log vulg e = 0'434 294

log nat N = 2-302 585 log vulg N log vulg N = 0'434 294 log nat N

23





- .









■











25

26

27

28

29

30

31

32

33

3

34

35

3 *

36

v »

37

38

39

40

41

42

cot 15° I cos 15°

| tang 74° j sin 74"

*

43

44

45

16

47

48

49

4

50


51

i

4 *

52

53


54

55

56

57

58

\

59

60

61

62

63

64

65

5

66

67

68

69

70

Tl


t