i
i
“kolofon” — 2018/12/5 — 6:49 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2018, letnik 65, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2084 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
PRAVOKOTNIKI NA KRIVULJI
ŽIGA VIRK
Fakulteta za računalnǐstvo in informatiko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 51M04 51M20
Pri podani enostavni sklenjeni krivulji v ravnini predstavimo nekaj konstrukcij več-
kotnikov, katerih oglǐsča ležijo na krivulji. Vprašanje obstoja kvadrata, katerega oglǐsča
ležijo na taki krivulji, je odprto že več kot stoletje.
RECTANGLES ON A CURVE
We present some constructions of polygons, whose vertices lie on a given simple closed
curve in the plane. The question whether such a square can always be found for a given
curve has been open for more than a century.
Definicije in zgodovinsko ozadje
Krivulja K v ravnini R2 je zvezna slika intervala. Krivulja je sklenjena,
če je slika zaprtega enotskega intervala, pri čemer se prva in zadnja točka
ujemata, tj. K = f([0, 1]), pri čemer je f : [0, 1] → R2 zvezna in f(0) =
f(1). Sklenjena krivulja je enostavna, če enakost f(x) = f(y) pri pogoju
x < y velja samo za x = 0, y = 1. Enostavno sklenjeno krivuljo lahko
ekvivalentno definiramo kot sliko injektivne zvezne preslikave iz krožnice v
ravnino. Znameniti Jordanov izrek pravi, da enostavna sklenjena krivulja
K ravnino razdeli na dva dela, izmed katerih je en del neomejen, drugi
del, imenovan notranjost krivulje, pa je omejen. V čast Jordanu, ki je
prvi formuliral in (večinoma) dokazal Jordanov izrek, pravimo enostavnim
sklenjenim krivuljam Jordanove krivulje. Za Jordanovo krivuljo K naj K̃
predstavlja unijo K ter njene notranjosti.
Jordanova krivulja K je poligonalna, če je sestavljena iz končnega števila
daljic (slika 1). Ekvivalentno lahko rečemo, da je v tem primeru K slika
kosoma linearne injektivne preslikave nekega n-kotnika v ravnino.
Naj bo K Jordanova krivulja in A ⊂ R2 m-kotnik v ravnini. A je pričr-
tan krivulji K, če vsa oglǐsča A ležijo na K. Če je K̃ konveksna množica,
tedaj pričrtan A leži v K̃. V tem primeru bi lahko rekli, da je A včrtan
v K. V primeru, ko K̃ ni konveksna množica, lahko del pričrtanega A leži
izven K̃.
Ali lahko vsaki Jordanovi krivulji v ravnini pričrtamo kvadrat? (Kot
»kvadrat« pri tem seveda ne mislimo točke, ki je sicer matematično duhovit
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 81
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Žiga Virk
Slika 1. Primer gladke Jordanove krivulje (na levi) ter poligonalne Jordanove krivulje.
Slika 2. Primer pričrtanih kvadratov v gladko Jordanovo krivuljo (na levi) ter v poligo-
nalno Jordanovo krivuljo.
primer kvadrata z ničelno stranico.) To je še vedno odprto vprašanje, ki ga
je leta 1911 prvi formuliral Toeplitz [7]. Kljub enostavni formulaciji se je
problem kmalu izkazal za precej težkega. Prvi dokaz posebnega primera je
objavil Emch [2]. Do danes je bilo objavljenih mnogo člankov na to temo, od
katerih pa še noben ni odgovoril na originalno vprašanje. Članki so večinoma
vsebovali pritrdilen odgovor na Toeplitzovo vprašanje pod posebnimi pogoji,
ki so s časom postajali vse bolj splošni. V času pisanja tega članka sta bila
zadnja prispevka na to temo ([1] in [4]) objavljena v razmaku enega tedna
okoli novega leta 2018. Za podrobno zgodovinsko ozadje bralcu priporočamo
pregledni članek [3].
V tem prispevku bomo predstavili nekaj načinov, kako lahko ustrezno
lepi Jordanovi krivulji pričrtamo trikotnik, pravokotnik ali kvadrat.
82 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Pravokotniki na krivulji
x
•
a′•
x
•
a′•
a
•
Slika 3. Primer enakostraničnega trikotnika, vrisanega v gladko Jordanovo krivuljo iz
dokaza trditve 1.
Pričrtani trikotniki
Kaj je tako posebnega pri vrisanih štirikotnikih v primerjavi z drugimi n-
kotniki? V tem delu pokažemo, da je pričrtavanje trikotnikov enostavno,
večkotnika pa včasih sploh ne moremo pričrtati.
Trditev 1. Naj bo K gladka Jordanova krivulja. Tedaj je vsaka točka na
K oglǐsče vsaj enega pričrtanega enakostraničnega trikotnika.
Dokaz. Izberimo x ∈ K. Krivuljo K zavrtimo okoli x za kot π/3 in tako
dobljeno krivuljo imenujmo K ′. Ker je K gladka, krivulja K ′ pri x seka
krivuljo K, oziroma izstopi iz njene notranjosti. Torej mora K ′ nekje drugje
vstopiti v notranjost K, kar pomeni, da K ∩K ′ vsebuje vsaj še eno točko
a′, ki je različna od x (levi del slike 3). Naj bo a točka na K, dobljena
z rotacijo točke a′ okoli x za kot −π/3. Tedaj a in a′ obe ležita na K,
sta enako oddaljeni od x, kot (a, x, a′) pa je π/3. Torej (a, x, a′) določajo
pričrtani enakostranični trikotnik (desni del slike 3).
Izziv. Natančen pogled razkrije, da lahko prilagojen dokaz trditve 1 upo-
rabimo tudi v primerih, ko:
• je K poligonalna Jordanova krivulja in x ni vozlǐsče K;
• je K poligonalna Jordanova krivulja in je x vozlǐsče K, pri katerem je
notranji kot večji od π/3;
81–88 83
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Žiga Virk
• je K gladka Jordanova krivulja in želimo pričrtati enakokraki trikotnik
s poljubnim kotom.
Za vsakega izmed teh primerov poǐsčite ustrezen dokaz.
Trikotnikov torej ni težko pričrtati. Po drugi strani pa večkotnikov vča-
sih ne moremo pričrtati. Bralec se lahko brez težav prepriča, da nobenega
pravilnega n-kotnika za n > 4 ne moremo pričrtati dolgemu ozkemu pra-
vokotniku. Prav tako za n ≥ 7 pravilnega n-kotnika ne moremo pričrtati
nobenemu trikotniku, saj oglǐsča takega večkotnika ne ležijo na treh premi-
cah.
Pričrtani kvadrati
Oglejmo si najprej nekaj primerov pričrtanih kvadratov:
Primer 2. Naj bo K kvadrat. Tedaj je vsaka točka K oglǐsče pričrtanega
kvadrata.
Primer 3. Naj bo K enakokrak trikotnik z enim kotom večjim od π/2. Če
je kvadrat C pričrtan K, potem ima par oglǐsč na isti stranici trikotnika K.
Ta stranica ne more biti krak, saj v tem primeru nobeno izmed preostalih
oglǐsč zaradi pogoja o kotu ne more biti na drugem kraku. Zato mora biti
omenjena stranica osnovnica, iz česar ni težko opaziti, da ima K natanko
en pričrtan kvadrat.
V nadaljevanju si bomo pri pričrtavanju kvadratov pomagali z nasle-
dnjim izrekom o plezanju po gorah. Več o izreku v primeru kosoma linearnih
funkcij najdemo v [6, Theorem 5.5].
Izrek 4 (Mountain Climbing Theorem). Naj bo F : [0, 2] → [0, 1] zve-
zna funkcija, za katero velja F (0) = F (2) = 0 in F (1) = 1. Poleg tega
predpostavimo, da je F na vsakem odprtem intervalu nekonstantna. Tedaj
obstajata zvezni funkciji u : [0, 1]→ [0, 1] in v : [0, 1]→ [1, 2], za kateri velja
u(0) = 0, u(1) = 1 = v(1), v(0) = 2 ter F ◦ u = F ◦ v.
Dokaz. Podali bomo idejo dokaza v primeru, ko je F kosoma linearna funk-
cija. Definirajmo funkcijo G : [0, 1]× [1, 2]→ [−1, 1] s predpisom G(x, y) =
F (x) − F (y). Množica A = G−1(0) je kosoma linearna (tj. sestavljena iz
daljic, točk in trikotnikov) podmnožica v kvadratu [0, 1] × [1, 2]. Množica
A predstavlja vse pare koordinat (x, y), za katere velja F (x) = F (y). Ker
84 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Pravokotniki na krivulji
1 2
1
• •
F (u(t)) F (v(t))
Slika 4. Primer usklajenega plezanja na goro iz izreka 4. Vrh, kjer se plezalca srečata,
je pri (1, 1). Plezalca (piki) sta vseskozi na isti vǐsini.
je F na vsakem odprtem intervalu nekonstantna, se da pokazati, da je A
kombinatoričen graf, tj., A je sestavljena iz daljic in točk. Poleg tega velja,
da iz vsakega vozlǐsča (točke) v A izhaja sodo mnogo povezav (daljic), razen
iz vozlǐsč (0, 2) ter (1, 1), iz katerih izhaja natanko ena povezava. Ker ima
vsaka povezana komponenta poljubnega grafa sodo število vozlǐsč, iz katerih
izhaja liho mnogo povezav, se (0, 2) ter (1, 1) nahajata v isti komponenti A.
Koordinatni projekciji poti med (0, 2) ter (1, 1) v A sta funkciji u in v.
Izrek 4 je dobil ime po interpretaciji v povezavi s plezanjem v gore (slika
4). Naj bo gora podana kot graf funkcije F , definirane na intervalu [0, 2].
Vrh gore bo v točki (1, 1). Levo pobočje podaja funkcija F |[0,1], desno
funkcija F |[1,2].
Plezalca začneta plezati na goro po grafu F , vsak iz svojega izhodǐsča
na vǐsini 0: levi plezalec začne v (0, 0), desni pa v (2, 0). Izrek 4 tedaj pove,
da lahko plezalca izbereta taki poti u in v, da bosta med celotno potjo
na vrh njuni vǐsini enaki. Pri tem parametrizaciji u in v v splošnem nista
monotoni, kar pomeni, da tako usklajena pot plezalcev včasih vključuje
začasno vračanje po poti nazaj.
Trditev 5. Naj bo F : [0, 2] → [0, 1] zvezna funkcija, katere ničli sta na-
tanko 0 in 2 ter za katero velja F (1) = 1. Jordanovo krivuljo K definiramo
kot unijo grafa funkcije F in daljice med točkama (0, 0) ter (2, 0). Tedaj
obstaja kvadrat, pričrtan K.
Dokaz. Z uporabo izreka 4 izberimo pripadajoči funkciji u in v. Opa-
zimo, da za vsak t ∈ [0, 1] točke u(t), v(t), F (v(t)), F (u(t)) tvorijo pričrtan
81–88 85
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Žiga Virk
pravokotnik krivulji K (slika 4). Razlika med vǐsino ter dolžino pravoko-
tnika je zvezna funkcija R(t) = F (v(t)) − (v(t) − u(t)). Opazimo, da je
R(0) = −2, R(1) = 1, kar pomeni, da obstaja s ∈ (0, 1), za katerega velja
R(s) = 0. Torej točke u(s), v(s), F (v(s)), F (u(s)) tvorijo pričrtan kvadrat.
Izziv. Z manǰso prilagoditvijo dokaza in izreka 4 posplošite trditev 5 na
naslednje načine:
• V predpostavki uporabite poljubno zvezno funkcijo F : [a, b] → [0, c],
katere edini ničli sta a in b, pri čemer velja a < b ter c > 0;
• V predpostavki uporabite poljubno Jordanovo krivuljo, ki je simetrična
glede na premico p;
• Pri predpostavkah trditve 5 za poljuben k > 0 pričrtajte pravokotnik,
katerega razmerje med vǐsino in dolžino je k.
Pričrtani pravokotniki
V tem delu si bomo ogledali konstrukcijo pričrtanih pravokotnikov splošni
Jordanovi krivulji. Ta način je prvi predstavil Vaughan, v pisni obliki pa se
pojavi v [5].
Izrek 6. Naj bo K Jordanova krivulja. Tedaj obstaja pravokotnik, pričrtan
K.
Bistven korak v dokazu bo predstavljala naslednja trditev, ki opisuje
prostor neurejenih parov točk na K. Prostor urejenih parov točk je S1×S1,
kar je torus, saj je K homeomorfen krožnici S1.
Trditev 7. Naj bo P prostor vseh neurejenih parov točk na Jordanovi kri-
vulji K. Tedaj je P homeomorfen Moebiusovemu traku.
Dokaz. Oglejmo si prostor vseh neurejenih parov točk na K. Krivulja K je
slika preslikave f : [0, 1] → R2, pri čemer enakost f(x) = f(y) pri pogoju
x < y velja samo za x = 0, y = 1.
Prvi način: Preslikava F : [0, 1] × [0, 1] → P , definirana kot F (s, t) =
{f(s), f(t)}, je zvezna surjektivna preslikava, definirana na [0, 1]2. Njeno
definicijsko območje je skicirano na levi strani slike 5. Na tem definicijskem
območju bomo identificirali pare točk, ki se slikajo v isti neurejen par v P .
Ker je f(0) = f(1), to pomeni, da identificiramo:
86 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Pravokotniki na krivulji
a
a
b b
a
a
c
a
c
c
Slika 5. Prostor neurejenih parov točk na krivulji je Moebiusov trak. Začnemo s pro-
storom urejenih parov, ki je torus (levi del). Neodvisnost od vrstnega reda točk pomeni,
da identificiramo vsak par točk, ki je zrcalen glede na črtkasto diagonalo. Pri tem se
identificirata stranici a in b. Na sliki vsako točko pod črtkasto diagonalo prenesemo na
pripadajočo simetralno točko nad diagonalo. Posledično dobimo reprezentacijo na sredini.
S prerezom vzdolž pikčaste poti c in preureditvijo dveh trikotnikov (lepljenjem vzdolž a)
dobimo reprezentacijo na desni, ki predstavlja Moebiusov trak.
• (s, 0) ∼ (s, 1) za vsak t ∈ [0, 1]. To identifikacijo predstavlja identifika-
cija stranic a na sliki 5.
• (0, t) ∼ (1, t) za vsak t ∈ [0, 1]. To identifikacijo predstavlja identifika-
cija stranic b na sliki 5.
S to identifikacijo iz [0, 1]2 dobimo torus. Ker pa slikamo v neurejene pare,
moramo identificirati še (s, t) ∼ (t, s) za vsak s, t ∈ [0, 1]. To identifikacijo
predstavlja identifikacija parov točk na levem kvadratu slike 5, ki so zrcalne
glede na črtkasto diagonalo. Prostor na sredini slike 5, ki ga dobimo kot re-
zultat tega lepljenja, je homeomorfen P . Slika 5 demonstrira, da je rezultat
Moebiusov trak.
Drugi način: Preslikava G : [0, 1/2] × [0, 1/2] → P , definirana kot
G(s, t) = {f(s − t (mod 1)), f(s + t)} je zvezna preslikava, definirana na
[0, 1/2]2, pri čemer s − t (mod 1) = (s − t) − bs − tc predstavlja decimalni
del števila, npr. 0,2 (mod 1) = 0,2,−0,2 (mod 1) = 0,8 ter 1 (mod 1) = 0.
Z direktnim izračunom lahko preverimo, da je G surjektivna in da je injek-
tivna na [0, 1/2)× [0, 1/2]. Opazimo še, da velja G(0, t) = G(1/2, 1/2− t).
Prostor P torej dobimo z identifikacijo (0, t) ∼ (1/2, 1/2 − t) na kvadratu
[0, 1/2]2, kar predstavlja standardno konstrukcijo Moebiusovega traku.
Dokaz izreka 6. Po trditvi 7 je P , prostor vseh neurejenih parov točk na
Jordanovi krivulji K, homeomorfen Moebiusovemu traku. V dokazu trditve
7 opazimo, da krožnica, ki je rob tako dobljenega Moebiusovega traku P ,
predstavlja vse pare točk oblike (x, x) ∈ K × K. V prvem načinu dokaza
trditve 7 krožnica sovpada z diagonalo v levem diagramu slike 5, v drugem
pa s podprostorom [0, 1/2]× {0, 1/2} definicijskega območja preslikave G.
81–88 87
i
i
“Virk” — 2018/12/7 — 12:07 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Žiga Virk
To robno krožnico identificiramo s krivuljo K, ter vzdolž nje na P pri-
lepimo K̃, ki je topološki disk. Zlepek X je povsem legitimen geometrijski
objekt, ki pa se ga ne da vložiti v R3. Geometrijsko je namreč nazorno,
da vzdolž robne komponente Moebiusovega traku v R3 ne moremo nalepiti
diska. Formalen dokaz tega dejstva je tu opuščen.
Definirajmo sedaj zvezno preslikavo F : X → R3:
• za (x, y) ∈ K̃ definirajmo F (x, y) = (x, y, 0);
• za točko na P , ki pripada paru točk {u, v} na krivulji K, definiramo
F ({u, v}) = (u+v2 , ||u−v||), pri čemer je ||u−v|| evklidska razdalja med
u in v.
Preslikava F je zvezna na vsakem izmed kosov P in K̃. Na preseku P ∩K̃ se
zapisa ujemata, ker je (z manǰso zlorabo zapisa) F ({u, u}) = (u, 0) = F (u).
Torej je F zvezna.
Preslikava F ne more biti injektivna, saj X ne moremo vložiti v R3.
Zaradi tega sklepamo, da obstajata točki p, q ∈ X, za kateri velja F (p) =
F (q). Ker je F injektivna na disku K̃ v ravnini z = 0, tretja koordinata slike
vseh točk iz X \ K̃ pa je pozitivna, mora veljati p, q /∈ K̃. Zato po definiciji
F za p = {p1, p2}, q = {q1, q2} velja (p1+p22 , ||p1 − p2||) = (
q1+q2
2 , ||q1 − q2||).
Para točk p in q imata torej isto sredǐsčno točko, razdalji med točkama
pa sta enaki v obeh parih. Para zato predstavljata diagonalna para točk
pravokotnika. Torej p1, q1, p2, q2 določajo pričrtani pravokotnik.
Opomba 8. Prostor X v dokazu izreka 6 je projektivna ravnina. Formalen
dokaz dejstva, da se je ne da vložiti v R3, uporablja orodja algebrajske
topologije.
LITERATURA
[1] A. Akopyan in S. Avvakumov, Any cyclic quadrilateral can be inscribed in any closed
convex smooth curve, arXiv:1712.10205.
[2] A. Emch, Some properties of closed convex curves in a plane, Amer. J. Math 35
(1913), 407–412.
[3] B. Matschke, A survey on the square peg problem, Notices Amer. Math. Soc. 61
(2014), 346–352.
[4] B. Matschke, Quadrilaterals inscribed in convex curves, arXiv:1801.01945.
[5] M. D. Meyerson, Balancing acts, Topology Proc. 6: 59–75, 1981.
[6] I. Pak, Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, 2010, dostopno na www.math.
ucla.edu/~pak/book.htm, ogled 7. 11. 2018.
[7] O. Toeplitz, Ueber einige Aufgaben der Analysis situs, Verhandlungen der Schweize-
rischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 4 (1911), 197.
88 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 89 — #1 i
i
i
i
i
i
PLAVANJE V MIKROSKOPSKEM SVETU
MOJCA VILFAN
Institut »Jožef Stefan«
Ljubljana, Slovenija
PACS: 47.63.mf, 47.63.Gd
Plavanje v tekočinah na mikroskopski skali se znatno razlikuje od plavanja makro-
skopskih teles. Na mikroskali viskoznost prevlada nad vztrajnostjo in za plavanje morajo
mikroorganizmi izvajati nerecipročne gibe. V prispevku bom predstavila nekaj primerov
gibanja iz narave in opisala plavalne mehanizme umetnih plavalcev, ki jih ustvarjamo v
laboratorijih.
SWIMMING IN THE MICROSCOPIC WORLD
Swimming on microscale is significantly different from swimming of macroscopic
objects. In this regime, the so-called low Reynolds number regime, viscosity prevails
over inertia and in order to swim, microorganisms have to move nonreciprocally. Here I
will present some cases of nonreciprocal motion found in nature and describe swimming
mechanisms of some artificial microswimmers.
Sila upora
Iz izkušenj vemo, da pri plavanju ali kolesarjenju na nas deluje sila upora.
Opažamo, da je pri zamahu roke v vodi sila upora občutno večja od sile, ki
deluje na roko ob zamahu v zraku. Vemo, da moramo na kolesu pri večji
hitrosti znatno močneje poganjati, če želimo ohranjati stalno hitrost. In
boleče izkušnje so nas naučile, da je pri skoku v vodo sila vode, ki deluje
na nas, bistveno večja, če skočimo »na ploh«, kot pa če se z iztegnjenim
telesom potopimo v globino.
Na podlagi izkušenj sklepamo, da sila, s katero voda ali zrak delujeta
na premikajoče se telo, ni odvisna zgolj od snovi, po kateri se telo giblje,
temveč tudi od hitrosti in oblike ter velikosti telesa. Fizikalno gledano je
pojav te sile povezan z odrivanjem tekočine pred premikajočim se telesom
in zato pogojen z vztrajnostjo (inercijo) okolǐske tekočine. Za opisano silo
velja kvadratni zakon upora in jo zapǐsemo kot
Fk =
1
2
Cu%Sv
2. (1)
Pri tem smo vpeljali sorazmernostni faktor Cu, ki zajame podatke o obliki
telesa, z % smo označili gostoto tekočine, po kateri se telo premika (npr. voda
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 89
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 90 — #2 i
i
i
i
i
i
Mojca Vilfan
ali zrak), S je prečni presek telesa glede na smer premikanja, v pa označuje
hitrost premikanja telesa glede na okolǐsko tekočino. Vrednosti koeficienta
Cu so močno odvisne od oblike telesa in dosegajo vrednosti okoli 0,04 za
telesa kapljičaste oblike, okoli 0,2 za najbolj aerodinamične avtomobile, malo
manj od 0,5 za kroglo in okoli 1 za kolesarje ter smučarje [10].
Zamislimo si še en primer iz vsakdanjega življenja. Vzemimo žličko in
najprej pomešajmo kozarec vode in nato še lonček medu. Čeprav je gostota
medu le za okoli 50 % večja od gostote vode, pa je sila, s katero moramo
mešati med, bistveno večja. Ali to pomeni, da naš opis sile upora ne velja?
Previdno lahko trdimo, da naš opis sile upora ni popoln.
Ključni parameter, ki ga moramo upoštevati pri dopolnitvi zapisa sile
upora, je viskoznost tekočine. Ko se telo premika skozi mirujočo viskozno
tekočino, pride do pojava strižne hitrosti: hitrost tekočine daleč od telesa je
enaka nič, tekočina tik ob telesu pa ima hitrost, ki je enaka hitrosti telesa,
saj jo telo vleče s seboj. Razlika v hitrosti povzroči strižno silo. Celotna
sila na telo je tako kombinacija prispevkov zaradi viskoznosti (strižne sile)
in tlaka (normalne sile). Razmeroma zapleten račun pokaže, da je skupna
sila, ki deluje na premikajočo se kroglo v viskozni snovi, enaka
Fl = 6πRηv. (2)
Parameter η je viskoznost tekočine, R polmer kroglice oziroma neka značilna
razsežnost za druge oblike teles, v pa ponovno relativna hitrost telesa glede
na tekočino. Zaradi linearne odvisnosti od hitrosti pravimo gornji enačbi
tudi linearni zakon upora.
Reynoldsovo število
Zapisali smo dva izraza za silo upora, ki deluje na premikajoče se telo v te-
kočini. Kako pa vemo, kdaj je treba upoštevati linearni zakon (ki se pojavi
predvsem zaradi viskoznosti tekočine) in kdaj kvadratni zakon (do katerega
pride zaradi inercije tekočine)? Linearni zakon prevlada v tekočinah z veliko
viskoznostjo ali v primeru zelo majhnih in zelo počasnih plavalcev. Kvadra-
tni zakon pa je treba upoštevati v tekočinah z zelo majhno viskoznostjo in
pri premikanju velikih teles z velikimi hitrostmi glede na tekočino. Za bolj
natančen opis vpeljemo merilo, ki pove, kateri prispevek je dominanten.
90 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 91 — #3 i
i
i
i
i
i
Plavanje v mikroskopskem svetu
Imenujemo ga Reynoldsovo število1 in je enako
Re =
%Rv
η
∝ Fk
Fl
. (3)
Vidimo, da je Reynoldsovo število do predfaktorja natančno enako razmerju
sil kvadratnega in linearnega upora. Glede na izvor sil pravimo, da Reynold-
sovo število predstavlja razmerje med vztrajnostnimi in viskoznimi silami,
njegova velikost pa predstavlja mero za prevlado enega pojava nad drugim.
Vztrajnost prevlada, če je Reynoldsovo število veliko, v zelo grobem oce-
njeno nad 100, in v takem primeru lahko uporabimo kvadratni zakon upora.
Za Re . 1 prevlada viskoznost in za opis sile upora se lahko poslužimo li-
nearnega zakona. Asimetrija v kriterijih se pojavi zaradi predfaktorjev, ki
znašajo ∼ Cu/(2 · 6π) ∼ 0,03.
Za bolǰso predstavo si oglejmo nekaj primerov Reynoldsovih števil. Ko-
lesar ali padalec dosegata Reynoldsova števila okoli 106, podobno vrednost
dobimo tudi za plavalca v vodi. Te vrednosti so globoko v režimu velikih
Reynoldsovih števil in posledično v režimu inercije.
Slika 1. Reynoldsovo število za plavajočega kita je ∼ 108, za bakterijo v vodi pa le
∼ 10−5.
Po drugi strani je Reynoldsovo število za spore gliv s polmerom okoli
1 µm in hitrostjo padanja okoli 1 mm/s le okoli 10−4. Še manǰse vredno-
sti Reynoldsovega števila dosegajo bakterije, na primer Escherichia coli, ki
so primerljive velikosti kot spore, vendar se premikajo po vodi s hitrostjo
nekaj deset mikrometrov na sekundo. Za njih je Re ∼ 10−5, kar pomeni,
da viskoznost povsem prevlada nad vztrajnostjo. Ko na primer bakterija
E. coli preneha z aktivnim plavanjem, se zaradi viskoznih sil v manj kot
mikrosekundi povsem ustavi, njena »zavorna pot« pa je le okoli 0,01 nm [7].
Če se torej želi v nekem trenutku premikati, mora tisti trenutek aktivno pla-
vati. Kako se je telo premikalo pred tem, je pri nizkih Reynoldsovih številih
povsem nepomembno.
1Po irsko-britanskem fiziku Osbornu Reynoldsu, 1842–1912.
89–99 91
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 92 — #4 i
i
i
i
i
i
Mojca Vilfan
Obrat časa
Poskusimo premikanje pri nizkih Reynoldsovih številih opisati še matema-
tično. Na splošno za opis tekočin uporabimo Navier-Stokesovo enačbo. To
je precej zapletena enačba, ki pa jo bomo poenostavili in ob upoštevanju
nizkega Reynoldsovega števila prǐsli do presenetljivega zaključka.
Navier-Stokesova enačba za nestisljivo tekočino je:
%
(
∂~v
∂t
+ (~v · ∇)~v
)
= η∇2~v −∇p+ ~f, (4)
pri čemer je ~v vektorsko polje hitrosti, p je tlačno polje, ~f pa opisuje gostoto
zunanjih sil na tekočino. Členi na desni strani tako opisujejo skupno gostoto
sil, ki vplivajo na gibanje tekočine: prvi člen predstavlja viskozne (strižne)
sile, drugi člen tlačne sile, tretji pa morebitne zunanje sile. Vidimo, da
je enačba zelo podobna drugemu Newtonovemu zakonu na enoto volumna,
pri čemer imamo na desni strani gostoto sil, na levi pa nastopa gostota
snovi, pomnožena z odvodom hitrosti po času (pospeškom). Pri zapisu
totalnega odvoda hitrosti po času smo upoštevali tudi premikanje tekočine
in tako dobili dva člena, ki nastopata na levi strani znotraj oklepaja. Drugi
člen naredi Navier-Stokesovo enačbo nelinearno in zato na splošno izredno
zapleteno za reševanje.
Vrnimo se v režim nizkih Reynoldsovih števil, v katerem, spomnimo
se, viskoznost prevlada nad vztrajnostjo. V takem režimu lahko člene
na levi strani enačbe (4), ki predstavljajo vztrajnostni prispevek, zanema-
rimo. Ostanejo le členi na desni in ob odsotnosti zunanjih sil poenostavljeno
enačbo – pravimo ji tudi Stokesova enačba – zapǐsemo kot
0 = η∇2~v −∇p. (5)
Enačba na splošno še vedno ni preprosto rešljiva, lahko pa iz nje na pri-
mer analitično izpeljemo izraz za linearni zakon upora kroglice (2). Tu se
osredotočimo na drugo pomembno lastnost Stokesove enačbe. Z neupošte-
vanjem členov na levi strani Navier-Stokesove enačbe smo namreč odpravili
vsakršno časovno odvisnost, saj v Stokesovi enačbi časovna spremenljivka t
ne nastopa več.
Ta ugotovitev ima zelo pomembne fizikalne posledice. Pomeni, da pri
nizkih Reynoldsovih številih časovna spremenljivka ne igra nobene vloge.
Če na tekočino delujemo z neko silo, se premakne v določeno smer, ko pa
92 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 93 — #5 i
i
i
i
i
i
Plavanje v mikroskopskem svetu
smer sile obrnemo, se tekočina vrne v izhodǐsčni položaj. Pri tem ni po-
membno, ali tekočino premikamo hitro ali počasi. To je v skladu s tem, da
Stokesova enačba, ki opisuje premikanje tekočine, ni odvisna od časa. Ker
lahko s spremembo smeri sile povsem obrnemo prvotno premikanje tekočine,
pogosto govorimo kar o obratu časa pri nizkih Reynoldsovih številih.
Morda najlepši prikaz tega pojava je naslednji poskus. Med dva kon-
centrična prozorna valja natočimo zelo viskozno tekočino. Nato v tanko
plast tekočine, ki se nahaja med stenama valjev, kanemo kapljico barvila
(slika 2). Notranji valj previdno zavrtimo v eno smer in kapljica barvila se
razmaže. Po nekaj obratih smer vrtenja zamenjamo in opazimo, da se raz-
mazana kapljica ponovno zbere. Malenkostna odstopanja od prvotne oblike
so posledica difuzije barvila. Poskus jasno kaže, da se sistem z recipročnim
gibanjem (takim, ki gre najprej v eno smer, potem pa po isti poti nazaj),
vrne v začetni položaj.
Slika 2. Prikaz obrata časa pri nizkih Reynoldsovih številih. Če smer vrtenja obrnemo,
se tekočina »odmeša« in vrne v začetno stanje.
Purcellov izrek
Ugotovitev, da pripelje recipročno gibanje pri nizkih Reynoldsovih številih
sistem nazaj v prvotni položaj, ima zanimiv pomen. Pomeni namreč, da
za plavanje (premikanje naprej) recipročni ponavljajoči se gibi niso dovolj.
Ne glede na to, kakšne gibe dela plavalec, dokler so gibi recipročni, plavalec
v povprečju ostane na istem mestu. Te ugotovitve je sistematično povzel
nobelovec E. M. Purcell, ki je v svojem danes že legendarnem predavanju
opisal pomen nerecipročnosti za premikanje v režimu nizkih Reynoldsovih
števil [7]. Postavil je izrek – danes ga imenujemo Purcellov izrek – ki pravi,
da je za plavanje v režimu nizkih Reynoldsovih števil treba izvajati nereci-
pročne gibe.
Preden preidemo na primere nerecipročnega gibanja, si oglejmo primer
povsem recipročnega gibanja. Gre za gibanje školjke pokrovače. Te školjke
so sestavljene iz dvodelne trdne lupine, med katerima je sklep, ki omogoča
odpiranje in zapiranje delov lupine. Ker se lahko lupina le odpira ali zapira,
89–99 93
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 94 — #6 i
i
i
i
i
i
Mojca Vilfan
je njen zamah vedno recipročen. Po Purcellovem izreku taka školjka v zelo
viskozni tekočini ne more plavati. Prav tako ne bi mogla plavati, če bi jo
pomanǰsali na mikrometrsko skalo, saj bi tudi na ta način prešla v režim
nizkih Reynoldsovih števil. Vendar školjke živijo v vodi in Reynoldsovo
število za njihovo plavanje navadno dosega vrednosti okoli nekaj 1000.
Mikroplavalci iz narave
V naravi najdemo veliko primerov plavalcev, ki plavajo v režimu nizkih
Reynoldsovih števil. Skupna značilnost tega izredno pestrega in številnega
sveta mikroorganizmov je, da se morajo gibati nerecipročno, če se želijo
premakniti z mesta. Oglejmo si nekaj najpogosteǰsih oblik nerecipročnega
gibanja.
Prokariontski bički
Preprosti enoceličarji za premikanje uporabljajo bičke. To so zelo tanki
(okoli 15 nm) in razmeroma dolgi (okoli 10 µm) votli izrastki iz celice, ki so
vrtljivo vpeti v celično membrano. Z rotacijskim molekularnim motorjem
organizmi biček sučejo in vrtenje bička spominja na vrtenje vijaka (slika 3,
levo). Če ima organizem več bičkov (npr. salmonela), bički med plavanjem
oblikujejo snop in se skupaj vrtijo v obliki vijačnice. Do nerecipročnosti pri
gibanju pride zaradi vijačnosti vrtečega se bička. Vrtenje bička v eno smer
namreč poteka po drugi poti kot vrtenje bička v nasprotno smer – podobno
kot vrtenje vijaka v eno in drugo smer enkrat pomeni privijanje, drugič
pa odvijanje. Hitrosti, ki jih dosegajo mikroorganizmi z vrtenjem bičkov,
dosegajo vrednosti okoli 100 µm/s, kar je lahko tudi nekaj deset telesnih
dolžin na sekundo. Za primerjavo, ljudje plavamo s hitrostmi do ene telesne
dolžine na sekundo.
Evkariontski bički
Čeprav nosijo enako ime, so bički evkariontov povsem drugačni od bičkov
prokariontov, tako po strukturi kot tudi po načinu gibanja in mehanizmu
premikanja. So dalǰsi in debeleǰsi, dolgi tipično okoli 100 µm, njihov pre-
mer pa je 250 nm. Za razliko od prokariontskih bičkov so sestavljeni iz
posameznih dolgih struktur (mikrotubulov) in v celoti ležijo znotraj celične
membrane [4]. Evkariontski bički se ne sučejo, ampak upogibajo. To do-
sežejo tako, da vlakna, med katerimi so molekularni motorji, drsijo drugo
94 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 95 — #7 i
i
i
i
i
i
Plavanje v mikroskopskem svetu
Slika 3. Levo: bakterija suče spiralno zavit biček in tako zagotavlja nerecipročnost pe-
riodičnega gibanja. Sredina: evkariontski bički (npr. pri spermijih) se upogibajo. Desno:
zelena alga plava z dvema bičkoma.
mimo drugega. Biček se izmenično upogiba v eno in drugo stran in ker
pot, po kateri se biček giblje znotraj enega zamaha, ni recipročna, pride do
asimetrije v gibanju (slika 3, sredina).
Primeri evkariontske celice z bičkom so spermiji, ki plavajo s hitrostmi
okoli 50 µm/s. Zanimiva je tudi zelena alga Chlamydomonas reinhardtii, ki
ima dva bička. Ta dva bička se ne združita v snop, ampak se simetrično
gibljeta, pri čemer njuno gibanje spominja na zamah pri prsnem plavanju
(slika 3, desno).
Evkariontske migetalke
Migetalke so po svoji strukturi enake evkariontskim bičkom, le da so tipično
kraǰse, njihovo število pa je zelo veliko, na celici jih je več sto ali celo več
tisoč. Najdemo jih tako pri enoceličarjih (npr. na parameciju) kot tudi pri
človeku (npr. v sapniku in v jajcevodih). Enoceličarji uporabljajo migetalke
za premikanje, v mnogoceličarjih, kjer so celice vpete v večja tkiva, pa
migetalke ob površini ustvarjajo tekočinski tok.
Tudi migetalke se upogibajo z relativnim drsenjem mikrotubulov, vendar
je njihovo gibanje precej bolj zapleteno. V grobem pravimo, da je sestavljeno
iz dveh delov: zamaha in povratka. V času zamaha je migetalka razmeroma
toga in se giblje v ravnini, ki je pravokotna na površino celice, ob povratku
pa se zmehča, upogne in se ob površini vrne v začetno stanje (slika 4). Na ta
način doseže potrebno asimetrijo gibanja. Ker je migetalk na površini celice
zelo veliko, se morajo vse premikati v pretežno isto smer. Bilo bi namreč
zelo neučinkovito, če bi vsaka črpala tekočino v svojo smer, pa še zatikale
bi se druga v drugo.
89–99 95
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 96 — #8 i
i
i
i
i
i
Mojca Vilfan
Slika 4. Gibanje migetalk opǐsemo z dvema deloma: zamah (polna črta) in povratek
(črtkana črta).
Primeri iz laboratorija
Ob proučevanju različnih mehanizmov plavanja mikroorganizmov so razi-
skovalci prǐsli na zamisel, da bi sami ustvarili umetne mikroplavalce. Pre-
mikali bi se podobno kot naravni, vendar bi bilo njihovo plavanje nadzoro-
vano, delovanje pa funkcionalizirano. Možnosti potencialne uporabe je zelo
veliko, na primer v medicini za nosilce zdravil na točno določeno mesto v
telesu ali pri varovanju okolja, saj bi lahko avtonomno in ciljano čistili vodo
ali zemljo, ter v senzoriki, saj bi lahko na določenih mestih zaznavali priso-
tnost drugih snovi ali mikroorganizmov. Po drugi strani lahko iz poskusov
z nadzorovanimi umetnimi plavalci sklepamo na delovanje in hidrodinamiko
živih mikroorganizmov [2].
Skupna lastnost vseh umetnih mikroplavalcev je pretvarjanje energije, ki
jo nekako dovajamo v sistem iz okolice, v usmerjeno premikanje. Načinov,
kako mikroplavalcu dovajamo energijo, je veliko. Lahko vzpostavimo giba-
nje z magnetnim poljem, električnim poljem, lahko to naredimo optično ali
akustično, lahko se premikajo s pomočjo kemičnih reakcij. Poleg tega ob-
staja še veliko teoretičnih predlogov za plavalce, ki se osredotočajo na sam
mehanizem plavanja in se ne sprašujejo, kako tako gibanje realizirati.
Povečano zanimanje za umetne mikroplavalce se je začelo pred skoraj
15 leti z objavo teoretičnega modela plavalca, sestavljenega iz niza treh
kroglic [6]. Model je zelo preprost: tri kroglice, ki so s sosednjo kroglico
povezane z vezjo spreminjajoče se dolžine (slika 5, levo). Za premikanje se
najprej skrči denimo leva vez, nato se skrči desna, sledi podalǰsanje leve in
cikel se zaključi s podalǰsanjem desne. Gibanje plavalca je periodično, a
zaradi asimetrije vodi do premika v desno. Kadar kroglice ne ležijo na isti
premici, ampak je med vezema neki kot, plavalec kroži. Podobno preprost
je model, ki ima sicer samo dve kroglici in eno vez (slika 5, sredina), vendar
96 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 97 — #9 i
i
i
i
i
i
Plavanje v mikroskopskem svetu
vpelje potrebno asimetrijo z izmeničnim spreminjanjem velikosti kroglic in
dolžine vezi [1]. To je sicer teoretično zelo lep primer, vendar izredno težko
uresničljiv.
Slika 5. Različni teoretični modeli za mikroplavalce, za vse je značilna asimetrija. To
je lahko asimetrija zaradi načina gibanja (levo), velikosti kroglic (sredina) ali kemične
aktivnosti (desno).
Praktično bolj uresničljivi so tako imenovani kemični plavalci, ki so za-
dnji teoretični model, ki ga bomo predstavili. Tudi tu je ideja razmeroma
preprosta: plavalec je asimetričen, tako da le na eni strani poteka kemi-
čna reakcija. Zaradi osmoze pride do prenosa snovi v področja z manǰso
koncentracijo in posledično do premika kroglice naprej (slika 5, desno).
Prvotni in še danes najbolj široko obravnavni umetni mikroplavalci so
prav kemični plavalci. To so lahko podolgovati delci, na eni strani iz zlata
in na drugi iz platine, lahko pa tudi navadne polistirenske kroglice, ki so
na eni strani oblečene v platino. V vodni raztopini vodikovega peroksida
poteka kemična reakcija, vodikov peroksid v prisotnosti platine razpade na
vodik in kisik, in razlika v koncentraciji kemijskih produktov vodi do tako
imenovane difuzoforeze.
Zanimivi so tudi plavalci, ki jih poganjamo z zunanjim magnetnim po-
ljem. V začetku so bili taki plavalci pravzaprav hibridni: na rdeče krvničke
so pripeli verigo magnetnih kroglic, ki so jih z magnetnim poljem upogibali
in poustvarili gibanje bička [3]. Kasneje so izdelali tudi nanostrukturirane
vijačne strukture, podobne prokariontskim bičkom, jih z zunanjim magne-
tnim poljem sukali in tako dosegli premikanje mikroplavalcev. Omenimo še
preprosteǰse plavalce, sestavljene iz samo majhnega števila kroglic, ki se v
izmeničnem polju prekopicujejo po površini in na ta način premikajo [5].
89–99 97
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 98 — #10 i
i
i
i
i
i
Mojca Vilfan
Ljubljanski mikroplavalci
Raziskovalci z Instituta »Jožef Stefan« in Fakultete za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani smo že vrsto let aktivni na področju raziskav plavanja
pri nizkih Reynoldsovih številih. Ustvarili smo magnetno krmiljene ume-
tne migetalke [9], nedavno pa tudi umetne plavalce [8]. Ti mikroplavalci so
krmiljeni z zunanjim magnetnim poljem, za doseganje asimetrije pa potre-
bujejo bližino površine. Mikroplavalci so sestavljeni iz dveh različno velikih
superparamagnetnih kroglic. To pomeni, da je v odsotnosti zunanjega ma-
gnetnega polja magnetizacija v kroglicah enaka nič in med kroglicama ne
deluje magnetna sila. Ko vklopimo zunanje polje, se v kroglicah pojavi ma-
gnetizacija, ki je po velikosti sorazmerna magnetnemu polju in vzporedna z
njim. S spreminjanjem smeri polja lahko med dvema kroglicama dosežemo
privlačno ali pa odbojno dipolno magnetno silo.
Slika 6. Levo: mehanizem umetnih plavalcev, ustvarjenih v našem laboratoriju. S
puščicami ob desnem robu je označena smer magnetnega polja, puščice na kroglicah pa
označujejo smer premikanja kroglice ob danem trenutku. Desno: fotografija plavalca pod
mikroskopom. Polmer večje kroglice je 2,3 µm.
Opǐsimo podrobneje mehanizem premikanja (slika 6). Začnimo s kro-
glicama, ki se dotikata. Z odbojno silo potisnemo kroglici narazen, nato
pa s privlačno silo znova skupaj. Tako gibanje je na prvi pogled povsem
recipročno. Vendar se moramo zavedati, da na kroglici deluje viskozni upor,
ki v bližini površine močno naraste. Oddaljenost velike kroglice od površine
98 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Vilfan” — 2018/12/7 — 11:59 — page 99 — #11 i
i
i
i
i
i
Plavanje v mikroskopskem svetu
se med ciklom ne spreminja, manǰsa kroglica pa je na začetku cikla bolj
oddaljena od površine kot na koncu, saj ji vmes dopustimo, da se posede.
Med oddaljevanjem kroglic je tako sila na manǰso kroglico znatno manǰsa
od sile upora na kroglico med približevanjem, kar vodi do asimetrije in do
premika plavalca.
Hitrost plavanja je seveda močno odvisna od dolžine posameznega cikla.
Pri zelo dolgem ciklu je hitrost plavanja razumljivo majhna, saj posamezen
korak predolgo traja. Pri zelo veliki frekvenci korakov pa hitrost znova
pade, saj majhna kroglica nima časa potoniti do dna in je zato razlika med
uporom v eno in drugo smer praktično zanemarljiva. Med obema režimoma
najdemo optimalno plavalno hitrost.
Zaključek
Svet umetnih mikro- in tudi nanoplavalcev dobiva vedno nove člane, tako
teoretične modele kot tudi eksperimentalne izvedbe. Za zdaj je njihova
uporabnost še omejena zaradi razmeroma zapletenih tehničnih zahtev, so pa
že zelo razširjeni v osnovnih raziskavah. Z njimi proučujemo hidrodinamske
pojave, medsebojne vplive plavalcev, zbiranje plavalcev v gruče, ločevanje
delcev na podlagi njihovih plavalnih sposobnosti in podobno. Nedvomno
bomo o mikroplavalcih še brali.
LITERATURA
[1] J. E. Avron, O. Kenneth in D. H. Oaknin, Pushmepullyou: an efficient micro-
swimmer, New J. of Phys. 7 (2005), 234.
[2] C. Bechinger, R. di Leonardo, H. Löwen, C. Reichhardt, G. Volpe in G. Volpe, Active
particles in complex and crowded environments, Rev. Mod. Phys. 88 (2016), 045006.
[3] R. Dreyfus, J. Baudry, M. L. Roper, M. Fermigier, H. A. Stone in J. Bibette, Micro-
scopic artificial swimmers, Nature 437 (2005), 862.
[4] H. Lodish et al., Molecular Cell Biology, 4th Edition, W. H. Freeman, New York,
2000.
[5] H. Morimoto, T. Ukai, Y. Nagaoka, N. Grobert in T. Maekawa, Tumbling motion
of magnetic particles on a magnetic substrate induced by a rotational magnetic field,
Phys. Rev. E 78 (2008), 021403.
[6] A. Najafi in R. Golestanian, Simple swimmer at low Reynolds number: Three linked
spheres, Phys. Rev. E 69 (2004), 062901.
[7] E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, Am. J. Phys. 45 (1977), 3–11.
[8] M. Vilfan, N. Osterman in A. Vilfan, Magnetically driven omnidirectional artificial
microswimmers, Soft Matter 14 (2018), 3415.
[9] M. Vilfan, A. Potočnik, B. Kavčič, N. Osterman, I. Poberaj, A. Vilfan in D. Babič,
Self-assembled artificial cilia, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 107 (2010), 1884.
[10] Drag coefficient, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient, ogled 7.
11. 2018.
89–99 99
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 100 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov
Dopisi ministrstva za verske zadeve in šolstvo
Ministrstvo za uk in bogočastje Dunaj, 22. julija
1910
Z. 31. 047
Močnik – Zahradniček, Arithmetik.
Njegovemu blagorodju, gospodu rednemu profesorju
na c. kr. univerzi
Dr. Jožefu Plemlju
v
ČERNOVCIH.
V prilogi posredujemo Vašemu blagorodju primerek knjige: Močniks
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra nebst einer Aufgabensammlung für
die V.–VIII. Klasse der Gymnasien und Realgymnasien. Bearbeitet von Dr.
Karl Zahradniček, 31. nach den neuen Lehrplänen umgearbeitete Auflage.
Wien 1910, F. Tempsky, cena 3K 50 g, vezana 4 K, skupaj s primerkom
preǰsnje izdaje za primerjavo in z učnim načrtom za Realne gimnazije, z
željo, da v ustreznem roku na podlagi poslanega izdelate strokovno mnenje
o primernosti knjige za pouk na gimnazijah in realnih gimnazijah z nemškim
učnim jezikom.
Za ministra za uk in bogočastje: nečitljiv podpis
Obenem so mu poslali skoraj identičen dopis 31. 049, v katerem so prosili
za recenzijo učbenika:
Močniks Lehrbuch der Arithmetik und Algebra nebst einer Aufgaben-
sammlung für die V.–VII. Klasse der Realschulen. Bearbeitet von Dr. Karl
Zahradniček, 30. nach den neuen Lehrplänen umgearbeitete Auflage. Wien
1910, F. Tempsky.
Prevajalčev komentar
17. septembra 1910 je Plemlju isto Ministrstvo poslalo ročno napisano pismo.
Vsebuje podatke o obeh prej omenjenih knjigah in dopisih. Marko Razpet
mi je prebral težko čitljivi del: v njem so ponovno želeli oceno. Upoštevati
moramo, da je poleti Plemelj verjetno bil na Bledu in ga morda pošiljka v
juliju sploh ni dosegla.
100 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 101 — #2 i
i
i
i
i
i
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov
Slika 1. Prva stran Plemljevega rokopisa.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 101
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 102 — #3 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Za obe knjigi je Plemelj v lepi pisavi in v nemščini napisal poročili (slika
1), ki žal ne nosita datumov. V rokopisih je več črtanj in vrinkov, tako da
sklepam, da je sam ali kdo drug vse še enkrat prepisal ali pretipkal in poslal
na Dunaj. Sledita prevoda celotnih poročil v slovenščino.
Recenziji
Močnikov učbenik aritmetike in algebre z zbirko nalog za peti do
osmi razred gimnazij in realnih gimnazij, predelal Dr. Karl Zahra-
dńıček, c. kr. šolski svetnik. 31. po novih učnih načrtih predelana izdaja.
Dunaj 1910. (F. Tempsky), 294 str., speta 3,50, vezana K 4.–.
Močnikov učbenik aritmetike in algebre je z dolgoletno uporabo v šolah
doživel tako priznanje in ima z mnogimi izdajami za sabo toliko izkustev,
da bi bilo res odveč podrobneje razpravljati o njegovi ureditvi. Od izdaje
do izdaje je prǐslo do brušenja in širjenja, a zmeraj v malem obsegu in
postopoma. V 31. izdaji, ki jo dolgujemo K. Zahradńıčku, je kot posledica
novih učnih načrtov prǐslo do pomembnih sprememb, ki jih moram zdaj
komentirati.
Najprej se zadržimo pri formalni spremembi, ki zadeva ureditev knjige.
Močnikov učbenik vsebuje obsežno zbirko nalog, ki je v dozdaǰsnih izdajah
sledila knjigi kot dodatek. Ta zbirka nalog je bila privzeta tudi v novi
učbenik, vendar tako, da v vsakem posameznem poglavju po besedilu sledi
ustrezni del nalog. Bistvenih prednosti ali slabosti to ne bo povzročilo;
kar dobimo z lažjo razdelitvijo snovi – vaje so seveda pomembne, tako kot
teorija – izgubimo morda pri preglednosti. Uporabne naloge iz enačb prve
stopnje so razdeljene na različna področja, npr. naloge o delitvah, o mešanju,
obrestih, gibanju itd. To lahko brez težav sprejmemo.
Takoj na začetku učbenika je bila v dosedanjih izdajah obravnavana
znanstvena podlaga aritmetike. V novem učbeniku to manjka, skladno z
novimi učnimi načrti, ker so izkušnje pokazale, da ima taka utemeljitev brez
zadostnega izkustva z uporabo in nalogami malo uspeha in trajne vrednosti.
Tako knjiga začne takoj z vajami iz snovi, ki je bila na programu že na nižji
stopnji. Večji poudarek kot zdaj imajo neenačbe in vse, kar izvira iz njih.
V smislu novih učnih načrtov je, da pojem funkcije po možnosti obrav-
navamo že v srednji šoli in da ga šolarji usvojijo. To je bilo v novi izdaji
močno upoštevano, in sicer na način, ki zasluži priznanje. Začetek je po-
glavje z nalogami o določitvi točk s pravokotnimi koordinatami in z grafično
upodobitvijo funkcij, ki nastopajo v praksi. Ta zbirka nalog sledi poglavju
o nedoločeni enačbi prve stopnje. Pojem funkcije je razložen dalje s primeri
poteka logaritmične funkcije pri logaritmih in kvadratne funkcije pri teo-
102 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 103 — #4 i
i
i
i
i
i
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov
riji kvadratnih enačb, kar je dobra vaja za pozneǰsi splošni pojem funkcije,
potreben pri izpeljevanju odvoda.
Ne bi rad, da ostane brez omembe naslednje dejstvo. V vrsti s takimi
prikazi poteka funkcij najdemo tudi vpeljavo pojma imaginarnih števil in
njihove geometrične reprezentacije, ki izvira od Gaussa. Z dvakratnim mno-
ženjem z »rotacijskim faktorjem« naj bi iz enega poltraka nastal nasprotno
usmerjen poltrak, od koder se ta »rotacijski faktor« izkaže kot imaginarna
enota. Tak nastanek imaginarnega je tako izumetničen, da ga nikdar ne
smemo dati na vrh kot definicijo, saj zmeraj lahko šele a posteriori določene
multiplikativne lastnosti imaginarnih količin dobijo geometrijski pomen in
nikoli ne bi človek na ta pojem zadel na tak način. Geometrična interpreta-
cija imaginarnih količin je vendar uspešna šele na področju Teorije funkcij
ene kompleksne spremenljivke, ki je daleč od nivoja srednje šole; na tej sto-
pnji ne more povzročati drugega kot zmedo, saj poskuša doseči nekaj povsem
drugega, kot je dajanje geometričnega pomena funkcijske odvisnosti, na pri-
mer v analitični geometriji, pristop pa je zelo podoben. Po mojem mnenju
srednješolcu za definicijo povsem zadošča ohranjanje računskih zakonov, od
geometričnega pomena pa bi se na tej stopnji distanciral.
Geometrični potek logaritemske linije je predstavljen na dveh slikah v
9. razdelku, od koder nazorno pridemo tudi do upravičitve interpolacijskih
postopkov. Za dejstvo, da je upodobitev kvadratne funkcije in rešitev kva-
dratnih enačb v pouku za1 gotovo daleč ležečim področjem logaritmov, pa
ne morem najti upravičenosti; zgodovinski razvoj je potekal v obratnem vr-
stnem redu in zato bi moral tudi pedagoški proces potekati v drugačnem
vrstnem redu.
Če prvih 10 razdelkov staro snov prinaša v nekoliko drugačni, moder-
neǰsi predstavitvi, pa pomenijo 11., 12. in 13. poglavje resničen prirastek,
novo področje. Gre za vpeljavo limit in od tod odvodov in integrala. S temi
stvarmi naj bi poskusili na srednji šoli. Po sistematični obravnavi pojma
funkcije, kot je videti uresničena v knjigi, srednješolcu ne bo težko usvojiti
pojma odvoda; tako se odpre področje, ki velikemu deležu šolarjev resnično
ponuja nekaj zanimivega in razgled na matematične probleme izredno raz-
širi. Z na novo usvojenim omogočimo šolarju pregled nad potekom krivulj,
največjimi in najmanǰsimi vrednostmi funkcij itd.; stvarmi, ki so v knjigi
našle zelo enostavno in lahko razumljivo predstavitev. Dvanajsto poglavje
vsebuje integral, definiran z določitvijo ploščine z infinitezimalnimi trakovi.
Pokazano je, da je odvajanje nasprotna operacija, s čimer je dana možnost
izračuna integrala v mnogih primerih. Poglavju so dodane ustrezne naloge.
1Op. prevajalca: V osnutku pǐse pravzaprav »pred«, a gre tu gotovo za spodrsljaj.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 103
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 104 — #5 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
V učnih predpisih poglavje o integralu ni vključeno; po vpeljavi odvoda pa
se je tako bližnjim vprašanjem komaj mogoče izogniti, še toliko manj, ker
so že do zdaj v fiziki in geometriji jemali integracijo, čeprav v skriti in iz-
umetničeni obliki. Trinajsti razdelek je namenjen binomskemu stavku. S
postopkom razvoja po nedoločenih koeficientih je izpeljan ta stavek za pozi-
tivne eksponente z odvajanjem. Iz binomskega stavka je na običajen način
izpeljana vrsta za število e, s tem pa dobimo tudi možnost za odvajanje
logaritma. V tem poglavju najdemo tudi vrsto za logaritem, dobljeno z in-
tegracijo; s tem pa se zdi, da je zapolnjena vrzel v računanju logaritmov, ki
se ji je knjiga prej popolnoma izognila. Tako daleč pa bi pri pouku komajda
lahko prǐsli.
Močnikov učbenik aritmetike in algebre z zbirko nalog za 5. do 7.
razred realnih šol. Predelal Dr. Karl Zahradńıček, c. kr. šolski svetnik.
30. po novih učnih načrtih predelana izdaja. Dunaj 1910. (F. Tempsky),
306 str. 8◦. Cena speta K 4.– vezana K 4.50.
Natančna primerjava tega učbenika s knjigo za gimnazije in realne gim-
nazije, ki izvira od istega avtorja: Močnikova Aritmetika in Algebra je
pokazala, da sta do zadnjih 8 strani oba učbenika dobesedno ista. Za realne
šole namenjena knjiga je za 8 zadnjih strani (295–306) obsežneǰsa od tiste
za gimnazije. Teh zadnjih osem strani obravnava probleme rent in življenj-
skih zavarovanj na podlagi verjetnosti, izhajajočih iz tablic umrljivosti, ker
so tem temam v realnih šolah dali večjo pozornost. Knjiga vsebuje tabele
umrljivosti po Florencourtu za starost od 0–20 let in tiste, ki sta jih sesta-
vila Zillmer in Riem za leta 17–90. Uporaba tabel je razložena v številnih
nalogah.
Popolno ujemanje obeh učbenikov in učnih predpisov pomeni, da je po-
sebna obravnava te knjige odveč; vse povedano pri oceni gimnazijskega uč-
benika velja tudi za to knjigo. Po mojem mnenju bi resnično lahko 8 strani
dolgo zbirko nalog vključili v oba učbenika in bi tako imeli za vǐsje razrede
srednjih šol skupen učbenik,
Prof. Dr. Jos. Plemelj
Prevajalčev zaključni komentar
Kot lahko sami vidite, je bil Plemelj v nemščini pravi stilist.
V arhivu najdemo tudi Plemljevo pismo ministrstvu, v katerem se opra-
vičuje, da je založil knjige nekih drugih avtorjev, ki so mu jih poslali v oceno,
še toliko bolj, ker je njegova ocena negativna. Vendar je tudi v tem primeru
104 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Legisa” — 2018/11/30 — 12:55 — page 105 — #6 i
i
i
i
i
i
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov
Slika 2. Kompleksna ravnina.
na koncu oceno le oddal. Profesor Ivan Vidav mi je nekoč dejal, da Plemelj
ni bil človek z veliko energije. Po tem, kar sem videl, je bil navajen oddati
le res izpiljene izdelke. Tako morda laže razumemo tako zamudo.
Za tako Plemljevo vedenje pa je morda še en razlog. V Matematični
knjižnici najdemo izdaji omenjenih učbenikov iz leta 1911, torej verjetno
po Plemljevi recenziji. Plemljeva kritika v tej izdaji očitno ni bila upošte-
vana: kvadratna funkcija in enačba sta še zmeraj za eksponentno funkcijo
in logaritmom.
Prav tako je ostala vpeljava kompleksnih števil kot točk v ravnini, ki
gre v knjigi takole. Narǐsemo pravokotni koordinatni sistem. Točke na osi
x predstavljajo običajna števila: desno od izhodǐsča pozitivna, levo nega-
tivna (slika 2). Odsek OA′ dobimo iz odseka OA z vrtenjem za 180◦ okrog
izhodǐsča O ali z množenjem z −1. Če dvakrat zavrtimo OA okrog O za
iztegnjeni kot, dobimo spet nazaj OA – ali: dvakratno množenje z −1 nič ne
spremeni. Odsek OB dobimo iz a = OA z vrtenjem za 90 stopinj okrog O
ali z množenjem z (neznanim) faktorjem f . Če dvakrat zavrtimo OA okrog
O, dobimo OA′ = −a, torej af2 = −a in od tod f2 = −1 in f = ±
√
−1.
Označimo
√
−1 = i in i imenujemo imaginarna enota.
Plemelj v recenziji ne omenja, da učbenika vsebujeta tudi obsežno obrav-
navo kombinatorike. Le bežno omeni verjetnost. Knjigi pa vsebujeta kar
precej verjetnostnega računa.
Mimogrede, drugi učbenik vsebuje precej šokantno dejstvo. Iz Florenco-
urtovih tabel umrljivosti sledi, da takrat več kot četrtina novorojenih otrok
ni dočakala prve obletnice rojstva.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 105
i
i
“Mars” — 2018/12/6 — 10:49 — page 106 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
MaRS 2018
Med 5. in 11. avgustom je letos na Mariborskem Pohorju potekal trinajsti
tabor za srednješolce MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). Člani
posadke smo zase in za pred taborom še zelene Marsovce za letošnje zave-
tǐsče izbrali Center šolskih in obšolskih dejavnosti Planinka. Ta nam je 890
metrov nad morjem vsaj zvečer nudil oddih od mestne vročine. Zaradi no-
voustanovljenih projektov za nadarjene RaST in SKOZ je bilo oglaševanje
tabora učinkoviteǰse, srednješolcem pa smo lahko tabor nudili brezplačno.
Oboje je privedlo do večjega števila udeležencev, to pa do širjenja posadke.
Sestavljali smo jo dr. David Gajser (IMFM in II. gimnazija Maribor) kot
odgovorna oseba, vodja tabora Žan Hafner Petrovski (študent UL FMF),
drugi člani organizacijske posadke pa so bili Rok Havlas, Nina Štempelj,
Jakob Svetina, Jakob Jurij Snoj, Petra Podlogar (vsi študentje UL FMF),
Vid Kocijan (študent University of Oxford), Rok Gregorič (doktorski štu-
dent University of Texas at Austin), Klara Drofenik (študentka UL FMF in
UL FRI) ter David Popovič (študent University of Cambridge). Skupaj s
srednješolci nas je bilo kar 41.
Matematične teme, ki smo jih pripravili mentorji (člani posadke), so bile,
kot vsa leta doslej, rdeča nit tabora MaRS. Srednješolci so bili razdeljeni v
skupine po tri, raziskovalno delo vsake skupine pa je vodil en mentor. V
času tabora smo se s projekti ukvarjali nekaj manj kot 20 ur, v tem času
so se udeleženci spoznali s snovjo, ki presega učne načrte srednjih šol, z
Skupinska slika
106 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Mars” — 2018/12/6 — 10:49 — page 107 — #2 i
i
i
i
i
i
MaRS 2018
malo truda pa nudi prijeten občutek razširjanja matematičnega obzorja. V
večini primerov je potrebnega nekaj časa, da se novi pojmi v naših mislih
postavijo na pravo mesto, potem pa snov zares razumemo, še bolj učinkovito
pa je, če jo sami ubesedimo in umestimo v članek. Vsaka skupina je zato
o svoji temi napisala članek in pripravila predstavitev za starše in druge
obiskovalce zaključne prireditve. Da smo lahko članke korektno napisali,
smo se na posebni delavnici naučili osnov pisanja matematičnih izrazov v
programskem jeziku LATEX.
Pri enem izmed projektov so se ukvarjali z različnimi tipi neskončno-
sti. Pokazali so, da poleg števne neskončnosti obstaja še neskončno mnogo
drugih neskončnosti. Za občutek, kot primer množice s števno neskončno
elementi navedimo naravna števila. Pri nekem drugem projektu pa so raz-
mǐsljali o številu svojih prijateljev in kako to, da imamo ljudje v povprečju
manj prijateljev od svojih prijateljev. Ta fenomen se imenuje paradoks pri-
jateljstva, z znanjem o sredinah in teoriji grafov so ga tudi dokazali. Več o
projektih najdete na spletnem naslovu mars.dmfa.si/projekti/.
Osrednjo dvodnevno delavnico z naslovom »Kaj nam matematika lahko
pove o veselju do dela, študija, raziskovanja in kako lahko to doživimo?«
so v treh delih pripravili dr. Drago Bokal (UM FNM), dr. Janja Jerebic
(UM FOV) in sin Gregor Bokal. Ob prepletu matematike, psihologije in
računalnǐstva nam je dr. Drago Bokal predstavil matematično modeliranje,
verjetnostno metodo Monte Carlo in njene uporabe. Skupaj s sinom sta
nam predstavila svojo igro Čebelarski turnir. Naslednji dan nam je dr. Janja
Jerebic predavala še o teoriji grafov in se pri tem navezala na predstavljeno
igro.
Tri večere so nam popestrili gostujoči predavatelji. Prvi je nastopil dr.
Marjan Jerman, ki je pripravil predavanje o matematiki starih civilizacij.
Izvedeli smo, kakšne številske sisteme so uporabljali stari Egipčani in Babi-
lonci, kako so reševali enačbe in kaj so egipčanski ulomki. Sledilo je preda-
vanje Alejandre Ramos Rivera, ki nas je naučila osnov Ramseyjeve teorije
in tega, da je popoln nered nemogoč. Pokazala nam je primere iz teorije
grafov, kombinatorike in teorije števil. Zadnje večerno predavanje, ki ga
je pripravil dr. Jure Kalǐsnik, nam je utrlo pot v svet različnih geometrij.
Razlagal nam je o sferični geometriji in povedal, kako pojme, ki so nam v
evklidski geometriji naravni, definiramo tudi v splošneǰsih prostorih.
Da nam kljub vsakodnevni jutranji telovadbi med vesoljsko odpravo ne
bi propadlo telo, smo v sredo dopoldne odšli na pohod po Pohorju. Postanek
smo naredili pri zgornji postaji Pohorske vzpenjače, od koder smo imeli v
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 107
i
i
“Mars” — 2018/12/6 — 10:49 — page 108 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
sončnem vremenu lep razgled na Maribor. Za petkovo popoldne pa je bila
pripravljena tradicionalna Velika MaRSovska avantura. Poleg dijakov, ki
so nastopali v enakih skupinah kot pri projektih, se je avanture udeležilo
tudi nekaj skupin povabljenih bivših Marsovcev. Z navodili oboroženi so
se odpravili na pot in na kontrolnih točkah srečevali mentorje z različnimi
matematičnimi in praktičnimi nalogami.
Naš urnik je bil sicer naporen, a hkrati dovolj pester in misli spodbujajoč,
da je bilo vzdušje na taboru odlično. V prostem času smo se družili ob
različnih družabnih igrah, košarki in nogometu ali pa zgolj poležavali v
okolici doma. Zadnji večer sta po razglasitvi rezultatov avanture sledila še
piknik ter druženje dolgo v noč.
V imenu celotne ekipe se zahvaljujem vsem, ki so srečanje omogočili:
DMFA Slovenije, projekta RaST in SKOZ, ki ju sofinancirata Evropska
unija iz Evropskega socialnega sklada in Republika Slovenija, Mestna občina
Ljubljana, UL FMF, UM FNM, UP FAMNIT in Čokoladnica Carniola.
Žan Hafner Petrovski
Glasbenik se v zreli starosti prelevi v matematika
Američan Robert Peter Schneider (rojen 1971) je v mladih letih pustil uni-
verzo in si ustvaril uspešno kariero kot pop glasbenik in glasbeni producent.
Med tem delom se je okrog leta 2010 vrnil k študiju na Univerzi Kentucky
in leta 2012 ob usmeritvi v matematiko diplomiral. Že pred tem je eks-
perimentiral z novimi, originalnimi glasbenimi lestvicami in novimi načini
ustvarjanja elektronske glasbe. Star več kot štirideset let se je po diplomi
oglasil na Univerzi Emory, kjer je za njegove ambicije pokazal razumeva-
nje le nekaj let stareǰsi znani matematik (in triatlonec) Ken Ono. Morda
tudi zato, ker je Ken Ono sam najprej zasledoval športno kariero in se je
na univerzo vpisal z zamudo. (V Indiji profesorja Ona po [4] otroci radi
zamenjuejo z Jackiejem Chanom, mojstrom borilnih veščin in znano zvezdo
»karate« filmov.) Schneider je opustil glasbene nastope in – skoraj never-
jetno – maja 2018 z Onom kot mentorjem obranil disertacijo s področja
teorije števil. (Kot mentor študentom, ki so se po več letih vrnili dokončat
študij matematike, vem, kako težko jim je bilo opraviti manjkajoče obve-
znosti.) Schneider ima zdaj spodobno bibliografijo in je že nekaj mesecev
po doktoratu dobil mesto predavatelja na sosednji univerzi.
108 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Mars” — 2018/12/6 — 10:49 — page 109 — #4 i
i
i
i
i
i
Glasbenik se v zreli starosti prelevi v matematika
Intervju z njim lahko poslušate ali si naložite na priljubljenem amerǐskem
podkastu Undiscovered [1]. Pravzaprav so si posnetek Američani izposodili
od avstralske radijske serije Sum of All Parts [2].
Intervju govori tudi o Schneiderjevem občudovanju indijskega genija Sri-
nivasa Ajangarja Ramanudžana (1887–1920). Schneider je o njem sam ali
pa v sodelovanju napisal več člankov. Njegov mentor Ono je sodeloval pri
filmu Mož, ki je poznal neskončnost o Ramanudžanu. Med drugim zato, ker
je na njegovo odločitev za študij po [4] odločilno vplivalo pismo Ramanu-
džanove žene njegovemu očetu, japonsko-amerǐskemu matematiku. Vdova
se je očetu zahvalila za počastitev spomina na Ramanudžana. Pismo zelo
stare gospe je sicer zadržanega očeta ganilo do solz.
Posebej zanimiv je dalǰsi Schneiderjev članek [3] o založeni Ramanudža-
novi beležnici, ki bi leta 1969 kmalu končala na ognju med drugo zapuščino
profesorja, ki naj bi ta material obelodanil, pa očitno ni vedel, kaj bi z njim.
Šele sedem let kasneje jo je po spletu naključij dobil v roke amerǐski mate-
matik George Andrews, ki je bil na kraǰsem obisku in je bil menda takrat
skoraj edini, ki je bil sposoben razumeti njeno pomembnost. Rezultati iz
beležnice (pravzaprav sešitih listov papirja), ki jih je bolni Ramanudžan na-
pisal zadnje leto svojega življenja, so bili še zmeraj tako originalni, da so
postali katalizator novih, pomembnih odkritij. Schneider v članku govori s
tremi matematiki, vpletenimi v zgodbo. Ti povejo, da je bil majhen delež
Ramanudžanovih rezultatov tudi napačen, a njegov vpogled je bil neverjeten
in daleč pred časom.
LITERATURA
[1] Undiscovered Podcast: Guest Episode: The Infinite God www.wnycstudios.org/
story/guest-episode-infinite-god, ogled 3. 12. 2018.
[2] Australian Broadcasting Corporation, Sum Of All Parts, www.abc.net.au/
radionational/programs/sum-of-all-parts/, ogled 3. 12. 2018.
[3] R. Schneider, Uncovering Ramanujan’s »lost« notebook: an oral history, Ramanujan
Journal, 2012, 22 str., www.mathcs.emory.edu/~rpschne/ram_hist.pdf, ogled 3. 12.
2018.
[4] R. Schneider in B. Phelan, Encounter with the infinite, The Believer, 2015,
believermag.com/encounter-with-the-infinite/, ogled 3. 12. 2018.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 109
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 110 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Kot že nekaj let zapored je v Blagoevgradu v Bolgariji tudi letos od 22. do
28. julija potekalo 25. tekmovanje študentov matematike. Iz Slovenije sta
se ga udeležili dve ekipi. Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani so zastopali Lenart Treven, Tea Štrekelj, Luka Lodrant in Nejc
Černe iz tretjega letnika ter Severin Mejak iz prvega letnika druge stopnje
študija. Fakulteto za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije
Univerze na Primorskem pa so zastopali študenti Arbër Avdullahu, Daniil
Baldouski in Ðorđe Mitrović. Vodji ekip sva bila Gregor Šega in Slobodan
Filipovski.
V dvodnevnem reševanju desetih nalog se je pomerilo 351 študentov,
razvrščenih v 70 ekip iz okrog 42 držav. Običajno univerzitetno ekipo se-
stavlja od tri do šest študentov, se pa na tekmovanje lahko prijavi vsak
študent, tudi če njegova univerza ne sodeluje. Letos je bilo takih študentov
kar precej, kar pomeni dodatno delo za vodje ekip. V ekipni razvrstitvi
so univerze rangirane po formuli »vsota najbolǰsih treh tekmovalcev plus
povprečje vseh«.
Naši ekipi sta bili tudi tokrat zelo uspešni. Drugo nagrado je osvojil
Lenart Treven, tretjo so osvojili Tea Štrekelj, Luka Lodrant, Severin Mejak,
Arbër Avdullahu in Daniil Baldouski. Pohvalo sta si zaslužila Nejc Černe
in Ðorđe Mitrović.
Ekipno smo dosegli petinštirideseto (ekipa Fakultete za matematiko in
fiziko) ter šestinpetdeseto mesto (ekipa Famnit).
Slika 1. Študenti Fakultete za matematiko in fiziko na izletu v samostan Rila.
110 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 111 — #2 i
i
i
i
i
i
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Slika 2. Študenti na začetku prvega tekmovalnega dne.
Študenti imajo po prihodu na mesto tekmovanja en dan počitka, v kate-
rem vodje ekip določijo tekmovalne naloge. Sledita dva tekmovalna dneva,
ko je vsak dan na razpolago pet ur za reševanje petih nalog. Popoldne in
pozno v noč pa sledi delo za vodje ekip, ki morajo oceniti študentske izdelke.
Po končanem drugem reševalnem dnevu je delo študentov opravljeno, tako
da običajno sledi en dan za oglede lokalnih znamenitosti, naslednji dan pa je
na vrsti podelitev nagrad. Vmes vodje ekip preverijo, ali so njihovi študenti
dobili res ustrezno število točk glede na to, koliko so rešili. Tako nekateri
študenti dobijo kakšno dodatno točko, včasih pa kdo kakšno točko tudi iz-
gubi. Vsota vseh sprememb števila točk študentov ene ekipe se šteje kot
uspeh vodje ekipe. Preǰsnja leta so uspešni vodje ekip lahko zbrali tudi 50
in več točk, letos pa je zmagovalec te kategorije dobil le 26 točk. Razlog
najverjetneje tiči v tem, da so popravljalci nalog svojo nalogo letos res kva-
litetno opravili. Splet naključij pa je tokrat v tem točkovanju avtorja zapisa
prinesel na odlično tretje mesto.
Študenti imajo od konca drugega tekmovalnega dne do podelitve nagrad
precej časa, ki ga delno porabijo tudi za druženje. Od športnih aktivnosti
naj omenim, da je hrvaška reprezentanca v finalu nogometnega prvenstva
proti združeni ekipi preostalega sveta močno izgubila. V družabnih igrah
so bili tradicionalno močni Nemci, tekma v vaterpolu pa je zaradi premalo
prijavljenih žal odpadla. Opazovanje popolnega luninega mrka je bilo le
delno uspešno, saj je luna večino časa mrknila za gostimi oblaki, kronanje
z bikovo glavo (v obliki lubenice) pa je bilo sicer izvedeno, a manj obiskano
kot v preteklih letih.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 111
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 112 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 3. Zapolnjen avditorij med podelitvijo nagrad.
Slika 4. Del ekipe Fakultete za matematiko in fiziko po podelitvi nagrad.
Še en zanimiv podatek je treba omeniti. Na pobudo nekaterih vodij
ekip je predsednik tekmovanja na zaključni prireditvi tekmovalce vprašal,
kdo od njih ne študira matematike. Namreč, bila je postavljena hipoteza,
da vedno več dobrih matematikov izbere študij kakega drugega področja. O
razlogih za to seveda lahko poteka razprava. Odziv je bil presenetljiv: več
kot tretjina udeležencev je dvignila roko. Seveda bi bilo zanimivo videti,
kako so se ti tekmovalci odrezali. Na prvi pogled nič slabše, tako da je
verjetno to res trend. Kar pomeni, da se bodo morale matematične fakultete
še bolj potruditi za svoje (bodoče) študente.
Oglejmo si še štiri naloge s tekmovanja ter nekaj njihovih rešitev. Začeli
bomo z malce težjo nalogo, nato pa rešili še dve razmeroma lahki.
112 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 113 — #4 i
i
i
i
i
i
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Pri zmerno težki nalogi omenimo nekaj ozadja. Iz analize se spomnimo
Lagrangeevega izreka: za dovolj lepo funkcijo na intervalu [a, b] obstaja
točka c, da velja f(b) − f(a) = (b − a)f ′(c). Vprašamo se lahko, za katere
funkcije je točka c določena kot neka funkcija krajǐsč a in b. Komu je morda
poznan primer, ko je c aritmetična sredina, torej c = a+b2 , omenjena naloga
pa je spraševala po funkcijah, kjer je c geometrična sredina. Tako dobimo
nalogo, ki je mešanica diferencialne in funkcijske enačbe:
Naloga 1. Poǐsčite vse funkcije f , za katere velja
f(b)− f(a) = (b− a)f ′
(√
ab
)
za vse a, b > 0.
Rešitev. Verjetno hitro opazimo, da linearne funkcije ustrezajo pogoju.
Morda malo presenetljivo pa to niso vse. Do še več ustreznih funkcij pridemo
z odvajanjem izraza iz naloge. Če smo malo bolj spretni, za a in b izberemo
novi spremenljivki, kot recimo a = ex+h, b = ex−h ali pa b = c2a−1, lahko pa
kar zgornji izraz odvajamo po a (ker je leva stran izraza odvedljiva, je tudi
desna, tak argument uporabimo tudi za obstoj vǐsjih odvodov). Dobimo
−f ′(a) = −f ′
(√
ab
)
+ (b− a)f ′′
(√
ab
) √b
2
√
a
.
Če v dobljeni izraz vstavimo a = b, dobimo −f ′(a) = −f ′(a) (torej nič
novega). A dobljeni izraz lahko še enkrat odvajamo (po a):
− f ′′(a) = −f ′′
(√
ab
) √b
2
√
a
− f ′′
(√
ab
) √b
2
√
a
+
(b− a)f ′′′
(√
ab
) b
4a
− (b− a)f ′′
(√
ab
) √b
4
√
a3
,
oziroma
f ′′(a) = f ′′
(√
ab
) √b√
a
− (b− a)f ′′′
(√
ab
) b
4a
+ (b− a)f ′′
(√
ab
) √b
4
√
a3
.
Spet vstavimo a = b, da dobimo f ′′(a) = f ′′(a), oziroma še vedno nič
novega. A ne obupamo in zgornji (že kar malo neprijazen) izraz odvajamo
še enkrat.
f ′′′(a) = f ′′′
(√
ab
) b
2a
− f ′′
(√
ab
) √b
2
√
a3
+ f ′′′
(√
ab
) b
4a
−
(b− a)f ′′′′
(√
ab
) b√b
8a
√
a
+ (b− a)f ′′′
(√
ab
) b
4a2
−
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 113
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 114 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
f ′′
(√
ab
) √b
4
√
a3
+ (b− a)f ′′′
(√
ab
) b
8a2
− (b− a)f ′′
(√
ab
) 3√b
8
√
a5
.
Sedaj že znamo, vstavimo a = b in dobimo
f ′′′(a) =
1
2
f ′′′(a)− 1
2a
f ′′(a) +
1
4
f ′′′(a)− 1
4a
f ′′(a)
oziroma
1
4
f ′′′(a) =
−3
4a
f ′′(a) ,
kar pa je nekaj novega, namreč diferencialna enačba. Zapǐsemo jo v bolj
pregledni obliki
f ′′′(x)
f ′′(x)
=
−3
x
,
od koder z enim integriranjem dobimo f ′′(x) = Dx−3. Po še dveh integrira-
njih dobimo, da mora biti funkcija f oblike f(x) = Ax +Bx+C. Hitro lahko
preverimo, da vse take funkcije ustrezajo pogoju iz naloge. Poleg linearnega
dela, ki smo ga lahko uganili, nastopa torej še funkcija 1x .
Seveda smo navajeni, da ima kakšna naloga več rešitev. Tole je reši-
tev brez odvajanja: namesto a in b vstavimo pare (2x, 2/x), (2/x, x/2) in
(2x, x/2):
f(2x)− f(2/x) = (2x− 2/x)f ′(2) ,
f(2/x)− f(x/2) = (2/x− x/2)f ′(1) ,
f(2x)− f(x/2) = 3/2xf ′(x) .
Ko prvi dve enačbi seštejemo, dobimo na levi strani isto kot v tretji, torej
velja
(2x− 2/x)f ′(2) + (2/x− x/2)f ′(1) = 3/2xf ′(x) ,
kar pomeni, da za ustrezni konstanti A, B velja
f ′(x) = − A
x2
+B ,
od koder z enim integralom dobimo
f(x) =
A
x
+Bx+ C .
Obstaja seveda še več možnosti, ena (med študenti dokaj pogosta) je
bila, da uganemo triparametrično družino rešitev in dokažemo, da ne obstaja
nobena druga. To recimo naredimo tako, da funkciji f , ki ustreza pogoju,
114 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 115 — #6 i
i
i
i
i
i
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
prǐstejemo tako linearno kombinacijo bazičnih funkcij, da dobimo funkcijo
g(x), za katero velja
g(x) = f(x) +
A
x
+Bx+ C , g(1) = g(2) = g(3) = 0 .
od tod lahko pokažemo (z uporabo pogoja iz naloge), da mora biti g kon-
stantno enaka 0.
Opomba. Bralec, ki ga še vedno zanima, katere funkcije dobimo, če za
srednjo točko vzamemo aritmetično sredino krajǐsč, bo z zgoraj opisanimi
metodami lahko našel rešitev. Kaj pa za harmonično sredino?
Dovolj diferencialnih in funkcijskih enačb, poglejmo si še nekaj res lahke
algebre.
Naloga 2. Naj bo k naravno število. Koliko najmanj mora biti n, da
bo v Rn obstajalo k vektorjev v1, v2, . . . , vk, za katere bo veljalo, da sta vi
in vj ortogonalna, če je |i− j| > 1?
Rešitev. Izberimo najprej n tako, da velja 2n+ 1 ≤ k. Zaradi pogoja v
nalogi bi moralo biti n+ 1 vektorjev v1, v3, . . . , v2n+1 paroma ortogonalnih,
to pa v Rn ni mogoče. Torej mora biti 2n ≥ k, oziroma n ≥ dk2e.
Sedaj je naša naloga, da za n = dk2e najdemo vektorje, ki ustrezajo
pogoju iz naloge. To so recimo podvojeni bazni vektorji, torej e1, e1, e2,
e2, . . ., en, en, in ker jih je 2dk2e ≥ k, vidimo, da obstaja k vektorjev, ki
ustrezajo pogoju.
Opomba. Naloga se kar zakomplicira, če v pogoj zapǐsemo, da morata
biti vektorja vi in vj ortogonalna natanko takrat, ko je |i− j| > 1. Vabljeni
k reševanju!
Poglejmo še lahko analitično nalogo:
Naloga 3. Za zaporedji pozitivnih števil (an)
∞
n=1 in (bn)
∞
n=1 dokažite
ekvivalenco naslednjih dveh trditev:
1. Obstaja zaporedje pozitivnih števil (cn)
∞
n=1, za katero konvergirata vrsti∑∞
n=1
an
cn
in
∑∞
n=1
cn
bn
.
2. Vrsta
∑∞
n=1
√
an
bn
konvergira.
Namig. Ker je naloga res lahka, le dva majhna namiga, za vsako smer
dokaza eden. Tako bi bilo zanimivo pogledati zaporedje cn =
√
anbn. In pa,
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 115
i
i
“Sega” — 2018/12/6 — 10:54 — page 116 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 5. Ekipa FMF pred slavnostno otvoritvijo.
velja
√
an
bn
=
√
an
cn
cn
bn
. Spomnimo pa se tudi razmerja med aritmetično in
geometrično sredino,
√
ab ≤ a+b2 .
Za konec pa še najtežja naloga letošnjega tekmovanja. Rešil (za vseh
deset točk) jo je le en tekmovalec. Če vam bo delala preglavice in vam
nikakor ne bo uspelo dobiti rezultata −π log 2, dva namiga. Prvi je ta, da
lahko uporabite simetrijo in seštevate le po pozitivnih (oziroma nenegativ-
nih) a, b. Drugi namig pa je ta, da dvojno vsoto
∑∞
a=0
∑∞
b=1
(−1)a+b
a2+b2
sešteje
Mathematica.
Naloga 4. Za R > 1 definiramo množico DR = {(a, b) ∈ Z2; 0 <
a2 + b2 < R}. Izračunajte
lim
R→∞
∑
(a,b)∈DR
(−1)a+b
a2 + b2
.
Kogar zanima uradna rešitev te naloge ali pa bi se rad poskusil v reše-
vanju še kakšne naloge s tekmovanja, si jih lahko ogleda na internetni strani
tekmovanja www.imc-math.org.uk. Tam si lahko ogleda tudi zgodovino
tega tekmovanja, vse naloge, ki so bile zastavljene v zadnjih 25 letih, ter
tudi vse rezultate. Podatki o udeležbi, ki se tičejo ekipe FMF, so naslednji:
v 25 tekmovanjih smo sodelovali 24-krat, skupaj smo zbrali 103 nastope, v
katerih smo dosegli 7 prvih, 39 drugih in 37 tretjih nagrad, 19 pohval in eno
potrdilo.
Gregor Šega
116 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Kovic” — 2018/12/6 — 10:57 — page 117 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, Sec-
ond Edition, 2014, Merchant Books, 208 strani.
Že Aristotel je učil, da pri vsakem doka-
zovanju potrebujemo določen nabor ak-
siomov (trditev, ki jih ne dokazujemo,
ampak privzamemo kot resnične), saj
bi se, če bi hoteli dokazati prav vse,
dokazovanje nikoli ne končalo, ampak
bi se nadaljevalo v neskončnost. Ta
njegova misel je pomembno vplivala ta-
ko na filozofijo (tako je npr. filozof Spi-
noza svojo Etiko napisal v obliki ak-
siomatskega sistema) kot tudi na logiko
in matematiko.
Čeprav je Evklidova aksiomatska
obravnava geometrije predstavljala mo-
del za vse nadaljnje matematične teori-
je, ki praviloma vsaj v svoji zreli fazi
stremijo k zgledni aksiomatski predstavitvi, se je potreba po bolǰsem razume-
vanju in učvrstitvi samih temeljev matematike, ki je deloma nastopila že ob
odkritju neevklidskih geometrij, v polni meri izkristalizirala šele po odkritju
paradoksov v teoriji množic (in to ne samo v t. i. naivni Cantorjevi teoriji,
ampak celo v Fregejevem aksiomatskem sistemu).1
Eden od tistih, ki so se problema eliminacije paradoksov v teoriji množic
lotili najtemeljiteje, je bil znani britanski filozof, logik, matematik, pisec,
družbeni kritik in Nobelov nagrajenec Bertrand Russell (1872–1970), ki je
skupaj z Alfredom Northom Whiteheadom napisal obsežno delo Principia
1Pojem osnov matematike (angl. foundations of mathematics) je v začetku 20. stoletja
pomenil nekaj drugega kot danes. Po prvotni optimistični zamisli Hilberta in njegovih
somǐsljenikov naj bi se namreč dalo celotno matematiko zgraditi na peščici neprotislovnih
aksiomov, iz katerih naj bi po zakonih logike sledila bodisi resničnost bodisi neresničnost
vsake matematične trditve. Da tega cilja ni mogoče uresničiti, je pokazalo šele delo avstrij-
skega logika Kurta Gödla. Odtlej od aksiomatskih sistemov v matematiki ne pričakujemo
več »popolnosti« (v smislu dokazljivosti ali ovrgljivosti vsake trditve, izrazljive s pojmi
danega aksiomatskega sistema), ampak samo še konsistentnost (neprotislovnost).
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 117
i
i
“Kovic” — 2018/12/6 — 10:57 — page 118 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Mathematica (1903), v kateri zagovarja osnovno tezo logicizma, po kateri
naj bi se dalo vso matematiko izpeljati iz logike. Verjetno ni treba posebej
poudarjati, da je knjiga, ki po nekaj sto straneh zapletenih formul (med
drugim) dokaže, da je 1 + 1 = 2, vse prej kot lahko branje. Russell je
vsekakor hotel biti razumljiv tudi širši javnosti.
Čeprav je od prve izdaje knjižice Introduction to Mathematical Philos-
ophy (maja 1919) minilo že skoraj sto let, je Russellova poljudna, širšemu
občinstvu namenjena knjižica o osnovah matematike (digitalizirana in natis-
njena kot faksimile druge izdaje iz aprila 1920) še vedno vredna branja, tako
zaradi vsebine same kot tudi po svoji miselni globini, jezikovni izbrušenosti
in strukturni organizaciji besedila (čeprav po sedanjih standardih strogosti
v matematiki ni povsem zadovoljiva, kar priznava tudi avtor sam, ki celo
opozarja na posamezna vprašanja, ki v tistem času še niso bila zadovoljivo
razrešena). Po eni strani osvetljuje, razlaga in analizira nekatere najos-
novneǰse matematične koncepte (kot so npr. število, indukcija, relacije, ure-
jenost, limita, zveznost, ipd.), po drugi strani pa je dragocen zgodovinski
dokument časa, v katerem je bila napisana. Prav v začetku XX. stoletja je
bilo namreč vprašanje osnov matematike, tudi zaradi paradoksov, odkritih
npr. v teoriji množic, zelo aktualno. Enega od njih, t. i. Russellov paradoks2,
je odkril prav avtor te knjižice, ki velja (poleg Fregeja in Wittgensteina) tudi
za enega od utemeljiteljev analitične filozofije. Po drugi strani pa je bilo to
obdobje vzpona matematične logike, iz katere so nekateri matematiki in filo-
zofi želeli izpeljati vso klasično matematiko (potem ko je bilo dognano, da je
vso klasično matematiko mogoče izpeljati iz teorije naravnih števil, katere
aksiomatizacijo je okrog leta 1900 podal italijanski matematik in historični
lingvist Giuseppe Peano (1858–1932).
Russell je v delu Uvod v filozofijo matematike (ki ga je napisal med
šestmesečnim prestajanjem zaporne kazni zaradi svojih mirovnǐskih nazorov)
zasledoval cilj, predstaviti nekatere osnovne matematične pojme v kar se
da netehničnem, tudi laikom razumljivem jeziku, hkrati pa na podobno
razumljiv in enostaven način predstaviti tudi nekaj osnovnih konceptov in
rezultatov matematične logike. Knjižica je bila po eni strani namenjena filo-
zofom (ki naj bi se končno naučili, kaj pojmi, kot so npr. zveznost, relacije
in neskončnost, pomenijo matematikom, ki jih pri svojem delu nenehno
2Russell naj bi ga odkril ob prebiranju Cantorjevega »diagonalizacijskega argumenta«
in ga uporabil za dokaz nekonsistentnosti Fregejevega aksiomatskega sistema.
118 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Kovic” — 2018/12/6 — 10:57 — page 119 — #3 i
i
i
i
i
i
Introduction to Mathematical Philosophy
uporabljajo), po drugi strani pa matematikom (ki dotlej niso imeli poseb-
nega posluha za matematično logiko ter za filozofski vidik oziroma logične
osnove matematike.)3
Da bi dobili neko okvirno prvo predstavo o načinu Russellovega razmǐs-
ljanja in pisanja, na kratko povzemimo vsebino prvih dveh poglavij, v ka-
terih poskuša odgovoriti na tipično filozofsko vprašanje: Kaj je število?
oziroma si postavi za cilj definirati število z nekimi še bolj temeljnimi (logič-
nimi) koncepti. V tem osredotočanju na pojem števila oziroma na sam izvor
matematične misli (ne pozabimo, da je npr. starogrški matematik in filo-
zof Pitagora naravna števila imel ne samo za osnovo matematike, ampak
celo vsega reda v vesolju oziroma kozmosu), ki se morda zdi sodobnemu
ustvarjalnemu matematiku (angl. working mathematician), ki ga zanimajo
predvsem daljne posledice aksiomov (dokazovanje težkih izrekov, izpeljava
zapletenih formul, izumljanje naprednih računskih metod, ipd.) precej brez-
plodno vprašanje, Russell najde izvor izčǐsčevanja misli in odkrivanja novih
obzorij. Matematikova orodja posrečeno primerja s teleskopom, filozofova
oziroma logikova z mikroskopom: Kot potrebujemo dve vrsti instrumentov,
teleskop in mikroskop, za povečanje naših moči videnja, tako potrebujemo
dve vrsti instrumentov za povečanje naših logičnih moči, ene, da nas peljejo
naprej k vǐsji matematiki, druge, da nas peljejo k logičnim temeljem stvari,
ki jih v matematiki radi jemljemo za samoumevne.
Za izhodǐsče svoje raziskave izbere zaporedje števil 0, 1, 2, 3, . . . Pravi, da
je to zaporedje mogoče izbrati za izhodǐsče filozofskega analiziranja osnovnih
pojmov matematike in njihovega izpeljevanja iz še preprosteǰsih prvin šele
na razmeroma visoki stopnji civilizacije. Tako na primer stari Grki in Rim-
ljani niso poznali števila 0. Odkritje, da je tudi 1 število, prav tako ni
bilo lahko. Na neki zgodneǰsi stopnji civilizacije bi bilo treba razmǐsljanje
o osnovah matematike začeti s čim še preprosteǰsim. Vsekakor pa je za-
poredje 0, 1, 2, 3, . . . zelo pomembno, in sicer iz naslednjih dveh razlogov: 1)
vso tradicionalno matematiko, vključno z analitično geometrijo, je mogoče
prevesti na trditve o naravnih številih, 2) teorijo naravnih števil je mogoče
aksiomatizirati s petimi Peanovimi aksiomi in tremi Peanovimi osnovnimi
pojmi: »0«, »število« in »naslednik« (to je bila, kot pravi Russell, skrajna
3Matematikom tudi danes ni lahko pojasniti, zakaj je proučevanje osnov matematike
pomembno. Morda se je odnos matematikov v zvezi z osnovami matematike vendarle
začel spreminjati tudi po zaslugi noveǰsih uspehov s področja avtomatskega dokazovanja
izrekov s pomočjo računalnikov, ki temelji prav na aksiomatizaciji posameznih teorij.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 119
i
i
“Kovic” — 2018/12/6 — 10:57 — page 120 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
izpolnitev programa »aritmetizacije« matematike). Za razliko od forma-
listov (npr. Hilberta), ki jih sama narava entitet, ki zadoščajo Peanovim
aksiomom, ni zanimala (tem aksiomom zadoščajo vse »progresije«, torej
vsa neskončna zaporedja brez ponovljenih členov, torej tudi npr. 101, 102,
103, 104, . . . ali pa 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . ), Russell poudarja, da ne smemo
pozabiti, da so naravna števila namenjena ne le dokazovanju izrekov o njih,
ampak tudi tako preprosti operaciji, kot je štetje. To misel sijajno izrazi
takole: Hočemo imeti deset prstov in dve očesi in en nos. Sistem, v katerem
»1« pomeni 100, in »2« pomeni 101, in tako dalje, je morda čisto v redu za
čisto matematiko, vendar ne bi ustrezal našemu vsakodnevnemu življenju.
Nato nadaljuje z natančno jezikovno in miselno analizo pojma števila
ter nazadnje predstavi definicijo števila s pomočjo preprosteǰsih konceptov
logike, kar je podvig, ki ga je prvi izpeljal nemški filozof, logik in matematik
Gottlob Frege (1848–1925), katerega delo je bilo sodobnikom razmeroma
neznano, kasneǰsim generacijam logikov in filozofov pa sta ga predstavila
šele Russell in Peano. Nazadnje definira število kot razred množic, ki imajo
vse enako število elementov. To pa ni krožna definicija, čeprav se na prvi
pogled tako zdi, saj pojem enako število elementov definira brez uporabe
pojma števila, z uporabo (današnjim) matematikom dobro znanega načela
bijektivne korespondence.4
Na podoben način obravnava še druge matematične pojme in jih reducira
na logične pojme na način, ki je današnjemu študentu matematike precej
domač, pred 100 leti pa je bilo takšno razmǐsljanje precej novo in napredno.
Med številnimi zanimivostmi v knjigi je treba omeniti npr. vsaj še Rus-
sellovo argumentiranje, da je ustaljeno prepričanje matematikov, da v za-
poredju številskih množic N,Z,Q,R,C, vsaka naslednja množica vsebuje
preǰsnjo, (vsaj s filozofskega stalǐsča) zgrešeno: če pustimo ob strani dejstvo,
da se da vsako od množic naravno vložiti v naslednjo, pri čemer se običajni
računski zakoni ohranjajo, gre namreč v vseh teh primerih za, konceptu-
alno gledano, povsem različne entitete! Tako je npr. število, po Russellu,
razred (ekvipolentnih) množic, medtem ko je ulomek a/b, kot ga interpretira
oziroma definira on, v bistvu relacija, torej nekaj čisto drugega kot naravno
število.
4Danes uveljavljena vpeljava naravnih števil s pojmi teorije množic ne sledi Russellovi
poti, ki pa je, čeprav jo doživljamo kot zastarelo, vsekakor zanimiva vsaj zgodovinsko.
Vsekakor si je Russell prizadeval, da bi njegova definicija kar se da ustrezala naši intuitivni
predstavi o tem, kaj so naravna števila.
120 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3
i
i
“Kovic” — 2018/12/6 — 10:57 — page 121 — #5 i
i
i
i
i
i
Introduction to Mathematical Philosophy
Če se morda zdijo omenjena vprašanja nepotrebno dlakocepstvo, ki ga
matematikom ni treba poznati, pa je vendarle treba pripomniti, da v knji-
žici Russell obravnava nekatere teme, ki so, ne le za logike in filozofe, ampak
tudi za matematike, še vedno aktualne, npr. teorijo dedukcije. In čeprav je
matematična logika od časov Russella močno napredovala, se je vselej dobro
vračati k izvorom in izvornim delom, saj nam dostikrat tudi tavanja pio-
nirjev posameznih raziskovalnih področij pomagajo bolje razumeti sodobno
raziskovalno delo na istem področju. Zato bi priporočil vsakemu matema-
tiku, da v življenju prebere vsaj eno delo o filozofiji matematike, in če ne
ve, za katero bi se odločil, ne bo zgrešil, če poseže po Russellovem Uvodu v
filozofijo matematike. Kot drugo, prav tako izvrstno, alternativo pa pred-
lagam Russellov Esej o osnovah geometrije (1897), v katerem kot pravi
Kantovec razpreda o tem, katera geometrija mora biti umu vrojena, da se
tako izvrstno prilega naši izkušnji prostora. Obe knjižici lahko matematiku
močno razširita obzorja, in to je vedno dobro. Branje takšnega filozofskega
teksta, četudi o osnovah matematike, nas namreč dobesedno vrže iz naše
cone udobja: na nobeno vprašanje ni nikoli dokončno odgovorjeno, zastav-
ljajo pa se nova in nova. Za matematika, ki si želi jasnih in natančnih
pojmov in rezultatov, je branje takšnega dela lahko zelo naporna izkušnja.
Med lastnostmi, ki jih pri Russellu kot mislecu, poleg njegove razgleda-
nosti in sposobnosti, da se ni podrejal mnenju večine, še posebej cenim,
je njegova nedogmatičnost oziroma pripravljenost priznati, da se morda v
svojih razmǐsljanjih tudi moti. Njegov moto je bil: Nikoli ne bi umrl zaradi
svojih prepričanj, kajti morda se motim. V predgovoru k drugi izdaji (iz
leta 1937) knjige Principles of mathematics (prva izdaja 1903) je celo pros-
todušno zapisal, da ima to njegovo delo le še zgodovinsko vrednost in da
so se nekatere trditve v njem izkazale za zmotne.5 Prav tako nikoli ni
imel težav s priznanjem, da je njegov najbolǰsi učenec Ludwig Wittgenstein
(1889–1951) mnogo bolj genialen od njega. Ali takšno širino prinese študij
filozofije (Sokrat je bil najmodreǰsi, ker je vedel vsaj to, da nič ne ve), ali
pa je nekaterim umom vrojena, je vprašanje, o katerem lahko vsak bralec
razmisli sam.
Jurij Kovič
5Res je Russellovo delo v marsičem že zastarelo in preseženo. Tako npr. aksiomatika
teorije množic v sistemu ZFC (tako imenovana po avtorjih Zermelu in Fraenkelu, vključu-
joč aksiom izbire) ne potrebuje njegove »teorije tipov« oziroma hierarhije razredov.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2018/12/5 — 6:49 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2018
Letnik 65, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Pravokotniki na krivulji (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–88
Plavanje v mikroskopskem svetu (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–99
Iz zgodovine
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov (Peter Legiša) . . . . 100–105
Vesti
MaRS 2018 (Žan Hafner Petrovski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–108
Glasbenik se v zreli starosti prelevi v matematika (Peter Legiša) . . . . . . 108–109
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–116
Knjige
Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy
(Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–XI
CONTENTS
Articles Pages
Rectangles on a curve (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–88
Swimming in the Microscopic World (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–99
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–105
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–116
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–XI
Na naslovnici: Umetni plavalec potuje po krožnem mikrofluidičnem kanalčku. Po-
ganja ga zunanje magnetno polje, plavalec pa sam najde pot skozi kanal. Premer
posamezne kroglice je 2,7 mikrometra, za en krog pa plavalec potrebuje nekaj
minut (glej članek na straneh 89–99). Foto: Natan Osterman