P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 23 (1995/1996) Številka 6 Strani 340-342
Matej Mencinger:
KONSTRUKCIJA ZAPOREDJA X2, X3, ...
Ključne besede: matematika, geometrija, Talesov izrek, višinski izrek, geometrijska sredina.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1278-Mencinger.pdf
© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KONSTRUKCIJA ZAPOREDJA z2,
O konstrukciji geometrijske sredine števil je bilo v Preseku1 že veliko napisanega. Najpreprostejša je konstrukcija s pomočjo višinskega in Tafeso-vega izreka.
Višinski izrek pravi, da je v pravokotnem trikotniku kvadrat višine enak produktu pravokotnih projekcij katet, na hipotenuzo (glej sliko 1).
Slika l.
Taicsov izrek pa nam pove, daje poljubni obodni kot nad premerom pravi (slika 2).
T/""**
A r	S ''	B
Slika 2.
Konstrukcija geometrijske sredine števil x in t/je sledeča (glej sliko 3):
•	Nad daljico AB dolžine x + y, ki jo točka N razdeli na daljici z dolžinama x in y (AN = x in NB — y), narišemo krožnico s premerom AB = x + y,
•	Presečišče te krožnice s pravokotnico na daljico AB v točki N označimo s C.
1 Glej Neža Mramor: Malo geometrijske sredine, Presek, letnik 22, št. 1, 5-4-61 in Uroš Milutinovic: Kaj so sredine in kako jih uporabljamo, Presek, letnik 20, št. 6, 332-342.
Slika 3.
Daljica NC je geometrijska sredina števil x in y. Posebni primer, ko je y = 1, nam da konstrukcijo števila \fz = \/x • 1.
Kvadrat števila x konstruiramo še enostavneje; uporabimo le višinski izrek. Konstrukcija poteka v dveh korakih (glej sliko 4):
•	Načrtamo pravokotni trikotnik s katetama NC in NB dolžine x in 1.
•	Točka ,4 naj bo presečišče nosilke daljice NB in pravokotnice na daljico CB v točki C,
Ce za trikotnik ABC uporabimo višinski izrek, dobimo AN ~ x2.
C
Slika 4.
Konstrukcijo lahko ponovimo na daljici AN, tako da daljica AN prevzame vlogo daljice NC, in dobimo število (t2)2 — z4. Na ta način lahko dobimo tudi Števila a:a, a:16,.., (slika 5).
Slika 5.
Toda kako konstruirati število ¿e3? Rešitev je na dlani, saj je x3 geometrijska sredina števil x2 in x4 (Vx2 ■ x4 = — x3). V naslovu smo obljubili konstrukcijo zaporedja x2, x3y z4,... Pa poglejmo, kako daleč smo že: narisati znamo že števila x2, x3, x4 pa x&, x16, x33,...in,če dobro premislimo, tudi r6, x12,..saj je xG = (x3)2, x12 = (a:6)2,.. ♦ Prve tri {in nekatere nadaljnje) člene željenega zaporedja že imamo, razmislimo še splošno!
Recimo, da smo uspeli konstruirati Števila x2i	xn. Ali lahko
konstruiramo število
Ce je n liho število, je naravno število; ustrezno potenco že imamo, zato lahko dobimo xn+1 s kvadriranjem števila .
Če pa je n sodo, je naravno število, zato lahko x1lJr2 dobimo s
kvadriranjem števila , xn+l pa nato konstruiramo kot geometrijsko sredino števil xn in xn+2.
Bralec naj sam ugotovi, kako bi konstruirali z™1! "Opremljen" še s to konstrukcijo bo znal konstruirati števila xm, m £ Wj (saj za vsako naravno število n velja x~n — (ar")-"1),
Matej Mencinger