Cul Ca Zj?. a? m (U jhl . /7 . n n a / t t^»t'. L/tir. ;* f. La/,* C. ^-flčcn : y£?T e /t 1 y Apud Hieronymum Concordiam. mTd. lxxvii. Cum Licentia Superiorum. GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS M O N T I S ME CHANI CORVM LIBER- PRAESENTI OPE j ( ; j 1 I CONTENTA. “ L . . De Libra. De Vede. De Trochiea. De Axe in peritrodiio. De Cuneo. De Cochlea. to 24054 ? AD FRANCISOV M MARIAM II VRBINATVM AMPLISSIMVM DVCEM G V I D I V B A L D I E MARCHIONIBVS M O N T I S P R AE F A T I O. Vae res ( Amplissimb Prin¬ ce ps ) quae ad conciliandas hotni nibus facultates,vtilitas nempe, Sc nobilitas,plurirriumvalereconfue uerunt.illae adexornandam mecha mcamfacultatem,& eam pr« om¬ nibus alijs appetibilem reddendam confpirafle mihi videnturmam fi nobilitatem ( quod pleriq; modofaciunt) ortuipfometimur, occurrethinc Geometriajllinc vero Phiiica; quoriimgemina to complexunobiliffimaartiurnprodit mechani- ca.fi enimnobilitatem magis,tum ilrat« materi«, tiim argumentorum neceffitati (quod Ariftote- lesfateturaliquando) relatamvolumus,omnium proculdubio nobilifiimam perfpiciemus . qu« j 2 cjui- | quidem nonfolumgeometriam(vtPappustefta tur) abfoluit, &perficit; verum etiam Sc philtca- rum rerum imperium habet : quandoquidem quodcunq; Fabris,Archite<3is,Baiulis,Agricolis, Nautis,& quam plurimis alijs( repugnantibus na¬ tura legibus) opitulatur; idomne mechanicum eftimperium. quippequod aduerfus naturam vel eiufdem ^mulata leges exercet; funima id certe admiratione dignum; verifiimum tamen, Sc a quocunque liberaliter admiffum , qui pri- usab Ariftotele didicerit, omnia mechanica, timi problemata, timi theoremata ad rotundam maehinam reduci , atq; ideo illo niti principio, n5 minus fenfukquam rationi noto.Rotunda ma china eft mouentiflima J & qub maior, eo mouen- tior. Veriimhuic nobilitati adnexa eft fumma re rum ad vitam pertinentium vtilitas, quae propte- rea omnes alias adiuerlis artibus propagatas an- tecellit; quod alke facultates poft mundi genefim longa temporis intercapedine fuos explicarunt vfus; ifta vero Sc in ipfis mundi primordijs ita fuit hominibusnecelTaria,vtea fublata Sol de mun- do fublatus videretur. nam quacunq; neceffita- te Adx vita degeretur; Sc quamuis etiam cafis contečlis ftrarriine J & anguftis tugurijs, ac gurgu- ftijs cocli defenderet iniurias;fic Sc in corporis ve ftitu, licet ipfe nihil aliud fpečlaret.nift vt imbres, vt vt niues, vt ventos, vt Solem , vt frigus arceret; quodcunque tamen id fiiit, omne mechanicum fuit. neq; tamen huic facultati contingit, quod ventis folet, qui dim vndeoriuntur , ibi vehe- mentiffimi fint, ad longinqua tamen fračli,de- bilitatique perueniunt:(ed quod magnis flumini- bus crebriufaccidit,quce ciimin ipfo ortu parua fint, perpetuo tamen aučla, eoampliori ferun tur alueo , quo a fontibus fuis longius recefle- runt. Nam& temporisprogrelTumechanicafa cultas fub iugo sequum arationis laborem di- fpenfare, atque aratrum agris circumagere cx- pit. deinceps bigis, Sc qua drigisdocuit comea tus , merces, onera quadibet vehere , e finibus noftrifad finitimos populos exportare, Sc exil lis contraimportare adnos. praetereaciimiam res non tantumneceflitate, veriim etiam orna- tu , Sc commoditate metirentur , mechanicae fuitfubtilitatis, quod nauigiaremo impellere- mus; quod gubernaculo exiguo in extrema pup pi collocatoingentes triremium moles infle$e- remusjquod vnius fepe manu pro mukis fabro- rum manibus modo pondera lapidum, Sc tra- bium Faoris, Sc ArchitečHs fubleuaremus ; mo¬ do tollenonis fpecie aquas eputeisolitoribuse- xhauriremus. hinc etiam e liquidorum pnelis vi na,olea,vnguenta exprelTa, & quicquidliquo- ns rishabent , perfoluere domino compulfa.hinc magnasarborih&marmorummoles duobus in contrarias partes diftrahetibus večHbus diremp- fmius;hinc militi* in aggeribus extruendis, in conferenda manu, in opugnando, propugnan- doq; loca infinit* fere redundarunt vtilitates ; hinc demurn Lignatores,Lapicid*, Marmorarij Vinitores, Olearij, Vnguentarij,Ferrari), Auri fices, Metailici,Chirurgi,Tonfores,Piftores,Sar tores J omnesdeniq; opifices benefkiarij,tot,tan taq; vit* human* fuppeditarunt commoda.Eant nune noui logodedali quidam mechanicorum contemptores, pcrfriccnc frontem , fi quam ha- bentj &ignobilitatem, atque inutilitatem falfo criminari definant: quod ii Sc adhuc id mini m e velint, eos qu*fo in infčitia fua relinquamus: Ariftotelernque potius philofophorum cory- j ph*urn imitemur, cuius mechanici a mori s ardo remacutiffim*ill* mechanic*qu*ftiones pofte ris tradit* fatis declarant: qua quidem laude Platonem magnifice fuperauit ; qui (vt teftatur Plutarcus) Architam, Sc Eudoxum mechanic* vtilitatem impenfius colentes ab inftituto deter ruit; qubdnobiliffimamphilofophorumpoiTef- lioneminvulgus indicarent, ac publicarent; Sc velut arcana philofophi* myfteria proderent. resfane meo quidem iudicio profus vituperan- da, da, nififorte velimus tam nobilis difciplinsecon templationemquidem ociolam laudare;fručkim vero, čl vfum, artifq; finem improbare. fed prte omnibus mathematicis vnus Archimedes ore laudandus el1:pleniore,quem voluitDeus in me- chanicis velut ideam iingularem eiTe, quam om- nesearum ftudiofi ad imitandum fibi propone- rent. is enim Calefiem globum exiguo adrno- dum, fragilique vitreo orbe conclufum ita efin- ! xit,fimulatis afiris viuum natura opus , aciura poli motibus certis adeo prtefeferentibus ; vt temula natura manus tale de fe encomium lit promerita: fic manus naturam , vt natura ma- nuin ipfa immitata putetur. is polifpaftu manu leua , čl fola, quinquies rnillenum modiorum pondus attraxit. nauem in ficcum litus eductam, ac grauius oneratam folus machinis fuis ad fe perindepertraxit, ac fi in mari remis, velifue impulfamoueretur, qua Sl pofiea inlitore(quod omnes Sicilije viresnonpotuerunc) in mare de- duxit. ab ifto etiam ea extiterunt bellica tor- menta, quibus Syracufte aduerfus Marcellum ita defenfie funt , vt paffim eorum machinator Briareus, čl centimanus a Romanis appellare- tur. demumhac arte confifus eb proceffit au- dacitc, vt eam vocem natura legibus adeo re- pugnantem protulerit. Da mihi, vbi fiftarn, ter ramq; ramq; mouebo . quod tamen non modo nos večle tantiim fieri potuiiTe in prsefenti libro doce mus;verum etiam , &omnis antiquitas ( quod multis fortaffe mirabile videbitur ) id penitus credidifle mihi videtur ; qux Neptuno tri- dentem tanquam veciem attribuit ; cuius ope terrcCConcuiTor vbiq; nuncupatur a poetis. ad quod etiam afpiciens celeberrimus nofter poeta Neptunuminducitifta machinafyrtes, quoma- gis apparerent Troianis, fubleuantem. „ Lcuatipfctridenti „ & vaflas aperit fyrtes. Mechanici praeterea fuerunt Heron,Ctefibius» Sl Pappus,qui licet ad mechaniae apicermperin- de atq; Archimedes, euečH fortaffe minime lint; mechanicam tamen facultatem egregie percal- luerunt; talelq; fuerunt 3 &prsefertim P app us, vt eum meducem fequentem nemo (vtopinor) cul pauerit. quod& propterealibentiusieci, qubd ne latum quidem vnguem ab Archimedeis prin- cipijs Pappus recedat.ego enim in hac prscfertim facultate Archimedis veftigijs hxrere femper vo lui:& liceteius lucubrationes ad mechanicaper- tinen- I tinentesmultisab hinc annis paffim foleant do- člis defiderari: eruditiflimus tarnen libellus de x~ queponderantibusprse mambus hominu adhuc verfatur ,in quo tanquainincopiofifiimapoenu omnia fere mechanica dogmata repofita mihi vi- dentur;quem fane libellum/i aetatisnoftra? mathe matici fibi magis familiarem adhibuiiTent;reperif fentfane fentetias multas,quas modo ipfi firmas, Sc ratas efle docent; fubtiliffime , atque verifi iirne conuulfas , Sc labefačlatas. fed hoc vi- derint ipfi. ego enimad Pappum redeo,qui ad vfum mathematicarmn vbenorem , emulu- mentorumque accefiiones amplificandas peni- tus conuerfus , dequinque principibus machi- nis, Večle neoipe , Trochlea , Axe in peri- trochio , Cuneo , Sc Cochiea , multa egre- gie philofophatus eftdemonfl:rauitque quicquid in machinis , aut cogitari perite , aut acute dehniri , aut certo ftatui poteft, idomnequin- que illis infinita vi prseditis machinis referen¬ dum dTe . atque vtinam iniuria temporis ni- hil e tanti viri fcriptis abralilTet: nec enim tam denfa infcitice caJigo vniuerfum prope terra- rum orbem obtexiflet , neque tanta mechani cx facultatis eiTet ignoratio confecuta , vt ma- thematicaruin proceres exifiimarentur illi ,qui modb ineptiffima quadam diftinčlione , dira- I culta- cukates nonnullas , nec illas tamen fatis ar- duas , Sl obfcuras e medio tollunt. reperiun- tur enim aliqui, noftraq; artate emunčke naris mathematici , qui mechanicam , tuni mathe- matice feorfum , tiim phifice confiderari pof- fe affirmant ; ac fi aliquando , vel fine demon ftrationibus geometricis , vel fine vero motu res mechanicse confiderari poffint : quafane di- kinčHone(vt leuius cum illis agam)nihil aliud mi- hicomminifci videntur , quam vt dum fe,turu phificos , tiim mathematicos proferant, vtra- que ( quod aiunt) fell a excludantur . neque enim amplius mechanica, fi a machinis abkra hatur, Sl feiungatur , mechanica poteft appel lari. Emicuit tamen inter ifiras tenebras (quam- uis ali j quoque nonnulli fuerint pneclariffimi) Soliš inftarFedericus Commandinus,qui multis dočHffimis elucubrationibus amilTum mathema ticarum patrimonium non modo reftaurauit, verum etiam aučliiis, Sl locupletius effecit. erat enim fummus ike vir omnibus adeo facul- tatibus mathematicis ornatus, vt in eo Archi- tas, Eudoxus j Heron.EuclidesiTheon, Ari- ftarcus, Diophantus, Theodofius, Ptolemaeus Apollonius , Serenus , Pappus , quin Sl ip- femet- Archimedes ( fiquidem ipfius in Archi- medem fcripta Archimedis olent lucernam) re uixif- uixifle viderentur. &eccerepenteetenebris(vt confidimus) ac vinculis corporis in lucern , li- bertatemque produdus mathematicas alienif- fimo tenipore optimo, & pr^ftantifiimo patre orbatas.nos verbitaconfternatos reliquit, vt e- ius ddiderium vix longo lermone mitigare poiTe videamur . Ule tamen perpetuo in alia- runi mathsmaticarum explicationem verfans, mechanicam Faeultatem , aut penitus pratter- milit, aut modice attigit. Quapropter jnhoc ftudium ardentius ego incumberecsepi, nec me j vnquam peromne mathematum genus vagan j tem ea folicitudo deferuit ,* ecquid ex vno quoque decerpi, ac delibari poflit;quo adme chamcam expoliendam, & exornandani acco- modatior elTe polTem . Nune vero ciim mihi videar , noiiea quidem omnia, quaa ad mecha nicam pertinent, perlecille; fed eb vfq; tamen progreflus, vtijs, qui ex Pappo, ex Vitruuio, &ex alijs didicerint, quid fit-Vectis, quidTrO- chlea, quid Axis inperitrochio ,quid Cuneus , quid Cochlea ;quomodoq; vt pondera moueri poflint, aptari debeant; adhuc tamen acciden- tia permulta , qua? inter potentiam, Si pondus vectis virtutems in funt inftrumentis, perdifce- re cupiunt, opis aliquid adferre poflini; putaui tempusiampoftulare, vt prodirem; Si nauatte 2 in in ho c genere operae fpecimen aliquod darem. Venim quo facilius totius operiš fubkmctio ad faftigium fuumperduceretur, nOnnullaquo- que de libra fuerunt pertractanda , Si prsefer- tim dum vnico pondere alterum folum iphus brachium penitus deprimitur : qua in re mi- rum eft quaotas fecerint ruinas Iordanus (qui inter recentiores maximae fuit auctoritatis) Si alij; qui hanc rem fibi difcutiendam propofue runt. opus fane arduum, Si torfan viribus no- ftris imparaggrefsifumus;in eo tamen dignfvt noftros conatus , Si indukriam ad praeclaraten dentem bonorum omnium perpetuus applau- fus, approbatioq; comitetur; quodad kudium tam illukre , tam magnificum , tam laudabile contulimus quicquid habuimus virium . quod fane qualecunq; fit, tibi celeberrime P R r N c E P s nuncupandum cenfuimus ; cuius fane confilij, atq; inkituti nokri rationes mukaš reddere in promptu ek: Si primiim hsereditaria tibi in fa- miliam nokram promerita, quibus nos ita de- uictos habes; vtfacile intelligamus ad fortunas non modo nokras/verum Si ad fanguinem , Si vitam quoq; pro tua dignitate propendendam paratiffimos elTe debere . Pneterea illud non parui quoq; ponderis accedit , quod a pueri- tia literarum Omnium, fed praecipue mathe- matica- maticarum defiderio ita fueris incenfus , vt ni- fi iJlis adeptis vitam tibi acerbain, atq; infua- uem iiatueres . proinde in earum ftudio infi- xus primam aetatis partem in iJlis percipiendis exegifti > eamque fsepius vere principe dignam vocem protulifti, te propterea mathematicis prsefertim deleftari, quod iftce maxime ex do- meftico illo , Sl vmbratili vitae genere in Solem ( quod dicitur) Sl puluerem prodire pofsint:cu ius fanereituumflagrantifsimum ab ineunte seta te peritisemilitarisdefiderium, exploraturn in- diciurn poterat elfe, nifi nimisemendicatsemen- tis efiet ea proponere., qusea te fperari poilent; quando tupenitus adolefcens, egregiamulta fa cinoraproficere maturafti . Tu enimcumiam a fančliflimo Pontifice Pio V laluberrimcT Prin¬ cip um Chriftianorum coniun&ionis fundamen- ta iačta eflent, alacer admodum ad debellan- dos Chrifti hortes profe<5ius,folidiffimam,acve« rifiimam gloriam tibi comparafti.Tu quotiesde fumma rerum deliberatum dl , eas fententias dixifti , quse fumma m prudentiam cimi fumma animi excelfitate coniunčtam indicarent. omrnit- taminterim pleraq; alia illis temporibus egre- gie, viriliterque a te ge/la , ne tibi ipliea, qnx omnibus funt manifefta , palam facere videar : qux ciim onmia magna, &prxclara fint; mul- tb tamen a te m ai o ra , & pršeči ara expedant adhuc honiines. Vale interim prreftantiffmium orbis decus, & fi quando aliquid otij' načlus ■ fueris has meas vigiliolas afpicere ne dedi- gneris. . r*. - ) : - ■' - i« ■ ■ • .. V c . ' w-" : ' X 'I G V I D I VB A L Dl E marchionibvs j p• M O N T I ■ v. »■ - ---v £ r-\ - "t { ' ■ J •- • Kj Ij i J e J Ji C i J ' • > .! Iiw I c ' \ f •' M E C H A N I GO R V LIBER. ' 'Irt t: DEF I N I T I O N ES. E N T R V M grauitatis vniufcu- iufq; corporis eft pundum quod- dam intra politum ; a quo li gra- ueappenfum mente concipiatur, dum fertur,quiefcit;& feruat eam, quam in principio habebat poii- tionem: neq; in ipfa latfone circumuertitur. Hanc centri grauitatis definitionem Pappus Alexandrinus in octauo Mathematicarum colleetionum libro tradidit. Federicus vero Commandinus in libro de centro grauitatis folidorum idem centrum defcribendo ita explicauit. j Centrum grauitatis vniufcuiufq; folidte figu- j ne eft pun&uin illud intra politum, circa quod ! vndiq; partes tequalium momentorum confi- ftunt.fi enim pertale centrum ducatur plan um figuram quomodocunq; fecans Temper in par- ‘ tesaequeponderantes ipfam diuidet. COM- COMMVNES NOTI O N ES. i .. ... Si ab 2equepOnderantibussequeponderantiaau- ferancur J reliqua a?queponderabunt. sl Si aequeponderantibus sequeponderantia adib ciantur^tota fimul #queponderabunt. ■1 lil • * o r- j Quae eidema?queponderant, inter Ieaeque funt grauia. SVPPOSITIONES. . .i 'J L' J: i Vnius corporis vnum tantiim eft centrum gra¬ uitatis. II Vnius corporis centrum grauitatis femper in eodem eft fitu relpeflu fui corporis. lil Secundiim grauitatis centrum pondera deor« furn feruntur. DE DE LIBRA. E LIBRA- N TECIVA M de libra Termo ha beatur,vtres clarior elucefcat, lit libra A B reda linea; C D vero trudna, qux fecundum commu- nem confuetudinem horizonti leniper eftperpendicularis. pun- dum autem C immobile, drča quod vertitur li¬ bra j centrum librse vocetur. itidemque (quamuis tamen im- proprie)fiuefupra, liue infra libram fue rit conftitutum. C A vero,&CB,tum di ftantiae , tum librse I brachia nuncupen- tur. &fi a centro li¬ bra fupra, vel infra libram conftituto ipfi AB perpendicularisduca- tur,haecperpendiculum vocetur, quae libram AB fubftinebit; Si quocunque modo moueatur libra, ipfi Temper perpendicularisexiftet. A 2 LEiVL D -B A. 4 . cj, .E . V D 8 . Tertii. D E LII B R A L E M M A, Sit linea A B horizonti perpendicularis,& dia metro A B circulus defcribatur AEBD, cuius centrum C , Dico punčlum B infimum elTe lo- cum circumferentice circuli A E B D; punčium vero A fublimiorem; Si quaelibet punčia, vt D E sequaliter a punčk) A diftantia aequaliter effe deorfum; quae vero propius funtipfiAeis ,,qu£e magis diftant/ublimiora efle. Producatur A B vfq; ad mundi cen- tmm^uodfit F; deinde in circuli circum- ferentia cjuoduis accipiatur punftum G 5 connectanturq; F G F D FE. Quoniam n. B F minima eft omnium, quse a puncto F ad circumferentiam A E B D ducun- turjerit B F ipfa F G minor.quare punctum B propius erit puncto F 3 quam G. hacq; rationeoftendeturpunctum B quouisalio puncto circumferentise circuli A E D B mundi centro propius effe. erit igitur pun¬ ctum B circumferentiae circuli A E B D infimus loctis. Deinde quoniam A F per centrum dueta maior eft ipfa G Fj erit punctum A non folu ipfo G > verum etiam quouis alio puncto circumferentis circuli A E B D fiiblimius.Pr^terea quoniam D F F E funt sequales j puncta D E £qualiter mundi centro diftabunt. cum D F maior fit F G j erit pun¬ ctum D ipft A propius puncto G fublimius. qus omnia demon- ftrare oportebat. . PRO- DE LIBRA. 3 1 PROPOSITIO I. Si Pondus in eiuscentro grauitatis a reda fu- ftineatur linea, nunquam manebit, nifi eadem li ■ nea horizonti fuerit perpendicularis. Sit pondus A, cuius centrum gra uitatis B, quod a linea C B fufti- neatur. Dico pondus nunquam permanlurum, nili C B horizonti perpendicularis exiftat. (it pun¬ ctum C immobile ,quod vtpon dusluftineatur,necdfeefl:. &c cum plina um C fit immobile, fi pon¬ dus A mouebitur, punctum B cir culi circumferentiam defcribet, cuius femidiameter erit C B. qua re centro C, fpatio vero B C , cir- cuius defcribatur B F D E . fitq; primumBC horizonti perpendicularis, quaevfq; ad D produca- tur ; atq; punctumC fit infra punctum B. Quoniam enim pondus A {ecundum grauitatis centrum B deorfum mouetur; punctum B deor/um in centrum munai, quo naturaliter tendit, per re- ctam Iineam B D mouebitur: totum ergo pondus A eius cen¬ tro grauitatis B fuper rectam Iineam B C grauefcet. cum au- tem pondus a linea C B fiiftineatur , linea C B totum iiifti- nebit pondus A ; fuper quam deorlum moueii non poteh, cum abipfa prohibeatur: per defimtionem igitur centri grauitatis pun ctumB, pondulq; A in hocOtu manebunt.&quamquam B quo- cunq; aliopunctocii culi fit fublimius, ab hoctamen fitu deorlum per circuli circumferentiam nequaquam mouebitur. non enim ver- fus F magis,quam verfus E inclinabitur,cum ex vtrao; parte sequa- lis fit delcenfus $ neq; pondus A in vnam magis, quam inalteram partem propenlionem habeat: quod non accidit in quouis alio puncto circumferentiam circuli ( pramter D ) fit ponderis eiufdem Supp.%, buius. ♦ -.1 centrum _D E LIBRA centrum grauitatis, vt in F; cum ex puncto F verfiis D fit defcenius, at vero verfusB afcenlus . quarepun- ctumF deorfum mouebitur. Scquo niam per rectamlineamin centrum mundi moueri non poteft, cum a puncto Cimmobilipropter lineam C F prohibeaturj deorfum tamen ficuti eius natura poftulat , Temper mouebitur. &: cum infimus locusfit Djpercircumferentia F D mouebi tur, doneč in D perueniat, inquo Titu manebit,podu(q; immobile exi ftet.tumquia deorfum amplius moueri non potefl, cum ex pun¬ cto C fit appenfiim; tum etiam, quia in dus centro grauitatis fufti netur. Quando autem F erit in D,eritquoq; lineaFC in DC, fimulq; horizonti perpendicularis. pondus ergo nunquam mane bit,doneč linea C F horizonti perpendicularis non exiftat. quod oftendere oportebat. Exhoc eliti poteft, pondus quocunq; modo in dato punčk) fuftineatur, nunquam manere; ni fiquando a centro grauitatis ponderis ad idpun čtumdučh linea horizonti fit perpendicularis. Vt iifdem pofitis, e fuftineatur pondus a lineis C G C H . Dico fi dueta B C horizonti fit perpen¬ dicularis, pondus A manere.fi vero dueta C F non fit horizonti per¬ pendicularis , punctum F deorfum vfq; ad D moueri; in quo fitu pon¬ dus manebit, ductaq; CDhorizon ti perpendicularis exiftet. ouaeom- nia eadem ratione oftendeiitur. I' ■■ ' PRO- 4 I m BI L I B R A._ P RO P O S I T I O II. Libra horizonti a?quidiftans, cuius centrum fit fupra libram, ^qualia in extremitatibus^qua literq; aperpendiculo diftantiahabens pondera, fiab eiulmodi moueaturfitu , in eundem rurfus j reliefa, redibit; ibiq; manebit. Sit libra ABrecta li¬ nča horizonti sequidi- ftans , cuius centrum C fit iupral ibram;fitqjCD perpendiculu , quod ho¬ rizonti perpendiculare ent:atc;diftantia DA fit diftantise D B sequalis j fintq; in A Bpondera^- qualia , ouoru grauitatis centra fint iri A B puctis. Moueatur A B libra ab hocfitu,pura in EF,deinderelinquatur.dicolibramEF in A B ho rizonti sequidiftantem redire,ibiq; manere. Quoniam autem pun ctum C eft immobile,dum libra mouetur, punctum Dcirculi cir- cumferentiam delcribet,cuius femidiameter erit C D .quare cen- tro C, ipatio vero CD,circulus defcribatur DGH . Quoniam enim CD ipfi libra: femper eft perpendicularis,dumlibra erit in EF, lineaC D erit in CG,itavt C G fit ipfi E F perpendicula- ris. Cumautem A B bifariam a puncto D diuidatur, & pondera in A B fint a?qualia; erit magnitudinis ex ipfis A B compofitse cen ; trum grauitatis in medio,hoceft in D.&quado libra vnacum pon ; deribus erit in E F j erit magnitudinis ex vtrifčp E F compofitse cen trum grauitatis G. & quoniam C G horizonti non eft perpendi- cularisjmagnitudo exponderibus E F compofita in hoc fitu mi- nime perfiftet,(ed deorlum tecudumeius centrum grauitatis G per circumferentiam G D mouebitur; doneč C G horizonti fiat per- pendi- 4 primi J.t cbimedis de j mqueponde -! ranttbus. i. Hitim* D E L I B R A ! *. IIum. pendicularis ilcilifeefcdo- nec C G i n C D redeat. Quando anteni C G erit ia C D 3 linča E F, eum- i pfi CG lem per ad reetos * . , ,1 # . Ut angufoš^erit in AB; m quo fitu quoq; manebit.Ii bra ergo E F in A B hori¬ zonti sequidiftatem redi bir 3 ibiq; manebit. quod demonftrare oportebat. P R O P O S I T I O III. Librahorizonti a?quidiftanssequa!ia in extre- mitatibus , a?qualiterq; a perpendiculo diftan- tia habens pondera, centro interne collocato,in hoc fitu manebit.fi verbinde moueatUGdeor- fum reličta, fecundum partem decliuioremmo- uebitur. ' » •“ r * f ■' r • oii ■ m . Vi ■ oiu. . , - ;• Lntsvpčr Sit libra AB recta H- nea horizonti &quidi- ftans j cuius centrum C Ut infra libram ; perpen- diculumq;fit C D,quod horizonti perpendiculare erit; Sc diftantia A D fit diftantiae D B &qualis 5 fmtq; in A B pondera ajqualia, quorum grauita- tis centra fint in punctis AB. Dico primum libram A B in hoc fitu manere. Quoniam enim A B bifariam diuiditur a puneto D, Sc pondera in A B lunt ajqualia; erit punctum D centrum grauitatis magnitudinis ex vtrifq; DE LIBRA. f vtri/cj; AB ponderibuscompofita?. 5č CD libramiuftinens ho¬ rizonti eft perpendicularis , libra ergo ABinhocfitu manebit. moueatur autemlibra AB abhocfitu, puta inEF,deinderelinqua tur. dico libram E F ex parte F moueri. Quoniam igitur C D ipfi libra? Temper eft perpendicularis, dum libra erit in E Prerit CD in C G ipfi E F perpendicularis. &punctum G magnitudi- nisex E F compofita? centrom grauitatis erit; quod dum moue- tur,circulicircumferentiam deferibetDGH, cuius femidiameter CD j centrom C. Quoniam autem C G horizonti non eft per¬ pendicularis;, magnitudo ex E F ponderibus compofitain hoc fi- tuminimemanebit; ledfecundumeiusgrauitatis centrumG deor furnper circumferentiam G H mouebitur. libra ergo E F ex par teF deorium mouebitur, quod demonftrare oportebat. P R O P O S I T I O IIII. Libra horizonti a?quidiftans a?qualia in ex- tremitatibus, aequaliterq; a centro in ipfa libra collocato, diftantia habens pondera; fiue inde moueatur/iue minus ; vbicunq; reli da^mane bit. Sit libra rectalineaA Bhorizonti £equidiftans a cuius centrum C in ea- dem lit Jinea A B; diftan tia vero C A lit diftantise CBa?qualis: fintq; pon¬ dera in ABa?qualia,quo- rum centra grauitatis fint in puntis AB. Moueatur libra, vtin D E, ibique relinquatur. Dico primum libram D E non moueri, in eoquefitu manere. Quoniam enim pondera A B funt a?qualia; eritmagni- tudinis ex vtroq; pondere, videlicet A,& B compofita? centrum grauitatis C . quare idem pun&um C, 8c centrum libra?,& centru grauitatis totius ponderis erit. Quoniam autem centrum libne B C 3 dum 4- "Primi jLrcbim.de aquep. i .Huitts. _DE LIBRA C, dam libra A B vna cum ponderibus in D B mouetur , immobile re- manet, centrum quoq$ grauitatis, quod eftidem C, non mouebitur. nec igitur libra D E mouebi tur , per definitionem centri grauitatis, cum in ipfo fufpendatur. Idip- fumquoqj contingit libra in AB horizonti «qiiidiftante 5 vel in quocunq; alio fitu exiftente. Manebit ergo libra * vbi relinque- tur. quod demonftrare oportebat. Cum vero in iis, quse dieta funt, grauitatis tantum magnitudi num 3 qua; in extremitatibus libra; pofitse funt a;quales, abfq; li¬ bra; grauit ate coniiderauerimus; ouoniam tamen adhuc libram bra- chia funt a;qualia, idcirco idem libra;,eius grauitate confiderata, vna cum ponderibus, vel fine ponderibus eueniet. idem enim cen trum grauitatis fine ponderibus hbrse tantum grauitatis centrum erit. Simiiiter fi pondera in libra; extremitatibus appendantur, vt fierifolet, idem eueniet 5 dummodo ex fufpenfionum punctis ad centra grauitatumponderum dueta; linea; ( quocunq; modo mo- ueatur libra Jfiprotrahantur, in centrum mundi concurrant. vbi enim pondera hoc modo funt appenfa^ibi grauefeunt, acfiin iifi- dem punctis centra grauitatum haberent. prseterea, qusefequun- tur, eodem prorfus modo confiderarepoterimus. Quoniam autem huic determinationi vitima multa a nonnullis aliterfentientibus dieta officere videnturj idcirco in hacparte ali- quantulum immorarioportebit; & pro viribus^non folum pro- priamfententiam , fed Archimedemipfum,quiin haceademeffe fententia videtur, defendere conabor. nibus . Iordanus de Vonde- ribus. Hjeroni- mus C ar da ms de fub- filitate. 'blicolaus Tartalea de qu£fuis, Iifdem DE LIBRA. lifdem pofitis, duca- tur FGG ipfi AB, & horizonti perpendicula- ris; Sccentro C,Tpatio- que C A, circulus defcri batur A D F B E G. erunt puncta A D B E in circu li circumferentia; cum li¬ bra; brachia fint £qualia. & quoniam in vnam con ueniunt fententiam, alTe- rentesfcilicetlibramDE neq; in F G moueri, ne- qtie in DE manere,fed in AB horizonti ,£quidiftantem redire. bane eorum fententiam nullo modo confiftere pofTe oftendam. Non enim, te J fi quod aiant, euenerit, vel ideo erit, qu ia pondus D pondere E grauius fuerit , vel h pondera funt ^qualia., diftantia?, quibus funt polita,non erunt ^equales, hoc eft C D ipfi C E non erit a’qua!is, led maior. Quod autem pondera in DE fint aqualia,& diftantiaC D lit cequalisdi/tantice CE: hxc ex fuppofitione pa¬ tent. Sedquoniam dicunt pondus in D in eo fitu pondere in E grauius eflfe in altero fitu deorfum: dum pondera funt in DE, pun- ccumC non erit amplius centrum grauitatis ,nam nonmanent, fi exCfufpendantur ; Ted erit inlinea CD,extertia primi Archi- medisde^eoueponderantibus.non autem erit inlineaCE, cumpon dus D grauius fit pondere E . fit igitur in H, in quo fi lufpendan- tur j manebunt. Quoniam autem centrum grauitatis ponderum in AB connexorum eft punctum C5 ponderum vero in D E eft punctum H: dum igitur pondera A B mouentur in DE, centrum grauitatis G verlus D mouebitur, &ad D propius accedet ;quod eft impofsibileicumpondera eandem inter fe feferuent diftantiam. Vniufcuiufqj enimcorporis centrum grauitatis in eodem Temper eft fiturefpectu Tui corporis. & quamquam punctum C fit duo- rum corporum A B centrum grauitatis 5 quiatamen inter fefeitaa libra connexa funt, vt Temper eodem modo Te Te habeant; Ideo punctum C ita eorum erit centrum grauitatis ^ ac fi vna tantum 2 - Sup. Imius. B efTet DE LIBRA Mx 4. primi trebim, de iAecpep. Mx ?.primi virchmde >Acq*ep. I. Svppof. huiu*. Tartaleit fexta propo fitione oiia uilibri- eflet magnitudo, libra enim vna cum ponderir bus vnum tantum conti nuumefficit, cuius cen- trum grauitatis erit lem- perinmedio, nonigitur pondusinD pondere in Bell: grauius. Si autem dicerent centrum graui- tatis non in linea CD, fed in C E efte debere j ide m eueniet abfurdum. Amplius li pondus D deorlum mouebitur,pondus E jfurftimmouebit.pondus igitur gra¬ uius, qu:\mfit E,ineodemmetfitu ponderiD requeponderabit, Sc grauia insequalia xqualididantia pofita amueponderabunt. Adii- ciaturergoponderiE alicpaod graue , ita vt ipfi D contraponde- ret,fi ex C fufpendantur. fed cumfupra oftenlum fitpunctum C centrum efte grauitatis squalium ponderum in D E 5 fi igitur pon¬ dus E grauius iuerit pondere D , erit centrum grauitatis in linea CE.fitq; hoccentrumK . atper definitionem centri grauitatis, fi ponderaluipendantur ex K , manebunt. ergo fi ftilpendantur ex C, non manebunt,quodeft contra hypotefim : fed pondus Edeor lum mouebitur. quod fi ex C quoquefu(penlaa?queponderarent; vnius magnitudinis duo eftent centra grauitatis ; quod eft impofsi bile.Non igitur pondus in E grauius eo,quod eft in D,ipfi D ceque- ponderabit,cum ex puncto C fiat lufpenfio. Pondera ergo in D E a?qualia ex eorum grauitatis centra C fu{penfa,asqueponderabunt, manebuntque. quod demonftrare fuerat propofitum. Huic autem poftremo inconuenienti occurrunt dicentes, im- pofsibileefteaddereipfi E pondus adeominimum, quinadhucfi exC fulpendantur,pondus E Temper deorfiim verfiis G moueatur. quod nosfieri pofte ftippofuimus,atque fieri pofte credebamus. ex- ceftiimenimponderis D lupra pondus E, cum quantitatis ratio- nem habeat, non folum minimum eflfe, verum in infinitum diuidi pofte immaginabamur, quod quidemipfi, non folum minimum, led DE LIBRA. 7 fcd ne minimum quidem efie , cum reperiri non pofsit, hoc mo¬ do demonftrarenituntur. Exponantur eadem. apunctifque DE hori¬ zonti perpedicularesdu catur DHEKj atq; alius fit circulus L D M, cu- ius centru N, qui F DG in puncto D contingat, ipfiq>FDG fitaequalis: erit N C recta Iinea. Sc quontam angulusKEC angulo H DN eft tequa lis J anguIusq 5 C E G an¬ gulo N D M eh etiam sequalis; cum afemidiametris, £equalibusq; circumferentiis conti- neaturjerit reliquus mixtu(que angulusKEG reiiquo mixtoqud ! H D M aequalis. Sc quia fupponunt, quo minor eft angulus iinea horizonti perpendiculari^ & circumferentia contentus,eo pondus in eo fitu grauius effe. vt quo minor eft angulus H D, Sc circumfe rentia D G contentus angulo K E G, hoc eft angulo H D M; ita fe cundumhanc proportionem pondus in D grauius efle ponderein E. Proportio autem anguli M D H ad angulum H D G minor eft qua!ibetproportione,qu£ fit intermaiorem , Sc minorem quanti tatem: ergo proportio ponderum D E omnium proportionum mi nima erit.immo neq; erit fere proportioj cum fit omnium pro portionum minima. quod autem proportio M D H ad H D G fit omnium minima,exhac necefsitate oftendunt j quia M DHexce dit HD G angulo curuilineo M DG.,qui quidem angulus omnium angulorum rectilineorum minimus exiftit: ergo cum non poisit da ri angulus minor M D G,erit proportio M D H ad H D G omniu proportionum minima. qu3eratio inutilis valde videtureffe; quia quamquam angulus M D G fit omnibus rectilineis angulis minor, non idcirco fequitur,abfolute;,{irnpliciterq; omnium elfe anguloru minimuminam ducatur a puncto D Iinea D O ipfi N C perperidicu Iaris,hsec vtraiqj tanget circumferentias L D M F D G in puncto D. quia Ex li.ter- tli. ap. “Primi. ExiS.Ter tii. &> Suinti. Ex u. ter tit. Ex 18 . ter tii. D E LIBRA D. quia vero circumfe renti se funt sequales,erit angulus MDO mixtus angulo ODG mixto sequalis; alter ergo an gulus, vt O D G minor erit M DG,hoceftmi nor minimo. angulus deinde O G H minor erit a lgulo M D H;qua reODd ad angulum HDG minorem hab e bit proportione, quam M D H ad eundem HDG. dabitur crgo quoque proporrio mi¬ nor minima 3 quam in infinirum adhuc minorem ita oftende- mus. Dcfcribatur circulus D R, cuius centrum E,&siemidiame- terED.contingetcircumferentia D R circumferentiam D G in puncto D,liueamqueD O in puncto D j quare minor erit angu¬ lus RD G angulo ODG. fimiliter & angulus R D H angulo ODH. minorem igiturproportionemhabebitR DHad H D G, quam ODH ad HDG. Accipiatur deinde incer E C vtcun- que punctumP,ex quoin difiantia P D alia defcribatur circum- ferentia D qu.^ circumferentiam D R 3 circumferentiamque D G in puncto D continget ; & angulus Q D H minor erit angulo R D H: ergo Q D H ad H D G minorem habebit propor tionem, qnam RD H ad HDG. eodemque produs modo, (i inter P C aliud accipiatur punctum & interhoc &G aliud,&fic deinceps 3 infinitse delcribentur circumferentise inter D 0,5ccir cumferentiam D G$ exquibusproportionemin infinitum Temper minorem mueniemus . atque ideo proportionem ponderis in D ad pondus in E non adeo minorem eflfe fequitur, quin ad infini mm ipiaiemperminoremreperiri pofšit- &quia angulus M D G in infinitum diuidi poteft; exceffus quoque grauitatisD lupra E diuidiad infinitum p o ter it. Sed D E L I B R A. 8 Sed neque prstereundum eft,ipfos in demonftratio- ne angulum K E G maiorem efle angulo H D G,tanquam notum accepifle . quod eft quidem verum., fi DHE K inter fe {c fint žequidiftan.. tes. Quoniani autern ( vt ipfi quoque fupponunt ) H- nese D H E K in centrum mundi conueniunt j linex D H E K «quidiftantes nun quam erunt,&r angulus KEG angulo H D G non folum maior erit, fed minor . vt exempli gratia , producatur F G vlque ad centrum mun di ^ quod fit S ; connectan- turque D S ES. oftenden- dum eft angulum S E G mi norem efle angulo S D G- du catur a puneto E linea ET circulum DGEF contingens, abeo demque puneto ipfi D S ^quidiftans ducatur E V . Quoniam igi tur E V D S inter fe fe funt aequidiftantes:fimiliter E T DO squi diftantes: erit .angulus VET angulo S DOsequaIis. & angulus T E G angulo O D M eft aequalis 5 cum a lincis contingentibus, circumferentiifcjue asqualibus contineatur : totus ergo angulus VEG angulo S D M sequalis erit. Auferatur ab angulo S D M angulus curuilineusM D G;ab angulo autem VEG angulus au¬ feratur V ES 5 & angulus V ES rectilineus maior eft curuilineo M D G ; erit reliquus angulus SE G minor angulo S D G. Quare exipforum fuppofitionibus non folum pondus in D gra- uius erit pondere in E j verum e conuerfb , pondus in E ipfo D gfauius exiftet. Ratio- DE LIBRA Cardantts primo de fubtilitate. Ex i $ • ter tii. Cardantts. Cardantts. lordams propoftti 0 ne 4. Tartalea propofuio- ne 5 • Rationes tamen af ferunt,, quibus demon ftrare nituntur, libram D E in A B horizon¬ ti sequidiftantem ex necefsitate redire.Pri- mum quidem often- dunt, idem pondus grauius effe in A 3 quamin aliofitu,quem cequalitatis fitum no- minant , cum linea Q AB fit horizonti x- quidiftans. deindequo propius eft ipfi A , quouis alio remotiori grauius effe. Vt pondus in A grauius effe , quam in D; &in D, quam in L. fnnilkev in A grauius, quamin in N grauius, quam in M. Vnum tantum confiderando pondus in altero librse brachio ftirftim deorfumq; moto. Quia ( inquiunt ) polita trutina in CFj pondus in A longiuseft a trutina, quam in D : & in D longius, quamin L. ductis enim DO L P ipfi C F perpendicula- ribus , linea A C maior eft,quam DO , & D O ipla LP. quod idem euenit in punctis N M . deinde ex quo loco ( aiunt ) pon dus velociusmouetur,ibigrauius eftj velociusautem ex A, quam ab alio fitu mouetur 5 ergo in A grauius eft. Emili modo , quo propius eft ipE A , velocius quoque mouetur j ergo in D gra¬ uius erit,quam j in L . Alteradeindecaufa,quamexrectiori,&:obli quiorimotudeducunt, eft 5 quo pondus in arcubus sequalibus re- ctius delcendit, grauius effe videtur ; cum pondus liberum, atq; lolutum luapte natura recte moueatur j led in A rectius defcen dit j ergo in A grauius erit. hocq; oftendunt accipiendo arcum A N arcui L D jequalem ; a punctifq; N L lineas F G ( quam etiamdirectionis vocant ) asquidiftantes ducantur NR LQ,quas lineas A B DO lecent in QR; & a puncto N ipfi F G perpen dicularis ducatur NT. recteq; demonftrant L Q ipfi P O asqua lem effe, & N R ipfi C T; lineamq; N R ipla L Q maiorem effe. Quoniam autem defcenlui ponderisex A vfqj ad N per circum- ferentiam I DE LIBRA. 9 ferentiam A N maiorem portionem lineasFG pertranfit ( quod ipfivocant capere de directo ) quam defcenfus ex L in D percir cumrerentiamL D ; ciimdefcenfus AN lineam CTpertranfeat, defcenfus vero L D lineam P O; & C Tmaior eft P O j rectior erit defcenfus AN,quam defcenfus L D. grauius ergo erit pondus in A 3 quam in L 3 & in quouis alio fitu. eodemq$ prorlus modo oftendunt , quo propius eft ipfi A 3 grauius effe . Vt fint circumferentiae L D DA interfefe tequales,& a puncto j D ipfi A B perpendicularis ducatur DR j erit DR ipfi C O tequa 1 lis.lineam deinde DR ipfa LQ maioremefle demonftrant. di- cuntc; defčenfiim D A magis capere de directo defcenfu L D,ma ior enim eft linea CO,quam O P: quare pondus grauius erit in D , cjuitm in L. quodipfum euenit in punctis N M. Suppo- fitionem itaq;,qua libram DE in AB redire demonftrant 3 vt notam,manifeftamcj proferunt. Nempe Secundum fitum pon dus grauius effe, quantoin eodcm fitu minus obliquus eftdeicen fus. huiufq; reditus caufam eam eiledicuntj Quoniam fciLi cet defcenfus ponderis in D rectior eft aefcenfii ponderisin E, ciim minus capiat de directo pondus in E defcendendo, quam pon dus in D fimditer defcendendo. Vt fi arcus EV ftt ipfi D A sequalis , ducanturq; V H ET ipftFG perpendiculares 5 maior erit DR 3 quam TH. quare per fuppofttionem pondus in D ra tione fitus grauius erit pondere in E. pondus ergo in D., ciimftt grauius, deorfiim mouebiturj pondus vero in E fiirfum, doneč li bra DE in A B redeat. Alterahuius quoq, reditus ratio eft, ciim trutina ftipra libram eft in CF; linea C G eft meta. Sc quoniam angulus G C D m a I ior eft angulo GCE , Sc maior a meta angulus grauiusreddit pondus trutina igitur fuperius exiftente» grauius erit pondus m D , quam in E. idcirco D in A, & E in B redibit. His itaq; rationibus conanturoftenderelibram D E in AB re dire j quu meo quidem iuditio facile folui poiTunt. C 3 4. j Primi, j Iordanus jkppofitio- ne 4. ° J Iordanus \ prnpofitio j ne a. j Tartalea j propofitio ne 5. Cardanus . Pri m um DE LIBRA. Primum itaq; quan tura attinetad ratio- nes pondus in A gra uius effe , quam in a- Ho fitu oftendentes, quas ex longiori , Sc propinauiori diftatiaa lineaF G, Sc ex velo- ciori, & rcctiori mo tu apuncto A dedu- cuntg primum quidem non demonftrant, cur pondus ex A velocius moueatur, quam ex alio fitu . nec quia CA efi D O maior, & D O ip/a L P,propterea fequitur tanquam ex vera caufa,pon dus in A grauius effe, quam in D j&inp, quam in L. neq; enim intellectus quiefcit,nifi alia huius oftendatur caufa, cumpo tius H gnu m , quam vera caufa effe videatur . id ipfum quoo; al- teri rationi contintingit, quam ex rectiori& obIiquiori motu de« ducunt. Praeterea quascunq; ex velociori, Sc rcctiori motu rer- fuadentpondus in A grauius effe, quam in D; non ideo de¬ monftrant pondus in A , ouatenus eft in A , grauius effe pon dere in D, quatenus eft in D5 fed quatenus a punctis DA reče dit . Idcirco antequam vJterius progrediar , oftendam primum pondus, quo propius eft ipfis F G , minus grauitarej tlim qua- tenus in eo fitu , in quo reperitur, manet : tum quatenus ab eo recedit, ftmulq; falfum effe, pondus in A grauius effe, quam in alio fitu. F Producatur DE L I B_R A. Producatur F G vfq; ad mundi cen trum,quod fit S . & a puncto S circu- lum AFBG contingens ducatur.neq; enim linea a puncto S circulum con- tingere poteft in A j nam dueta A S triangulum A C S duos haberet angu los reetos, nempeS AC ACS, quod eft impofšibile. neq; fupra punctum A in circumferentia A F continget cir culum enim fecaret. tanget igitur in¬ fra, fitq; SO. connectanturdeinde S D SL, quae circumferentiam AOGin punctis K H fecent. & C k C H con iungantur.Et quoniam pondus^quanto propiuseft ipfiF, magis quoque inni- titur centro; vt pondus in D magis ver- fionis puncto C innititur tanquam centro 5 hoc eft in D magis fupra li- neam C D grauitat>quamfi eflfet in A fupra iineam C A 5 & adhuc magis in L fiipra Iineam C L ; Nam ciim tres anguli cuiufcunq; trianguli duobus re- ctis fint requales trianguli DCk aeauicruris angulus DCk minor fit anguloLCH jequicruris trianguli LCH : erunt reli- qui ad bafim fcilicet CD k C k D fimul fiimpti reliquis C L H CH L maiores. & horum dimidii 5 hoc eft angulus C D S angu loC L S maior erit. cum itaq; C L S fit minor* linea C L m a gis adhaerebit motui naturali ponderis in L prorfiis foluti.hoc eft Iineam L S, quam CD motui D S. pondus enim in L libe- berum,atq; folutumin centrum mundi per L S moueretur, pon- dusq; in D per D S. quoniam vero pondus in L totum fuper L S grauitat, in D vero fuper D S : pondus in L magis fupra Iineam C L grauitabit, quam exiftens in D fupra Iineam D C . ergo lineaC L pondus magis fuftentabit,quam'linea CD . Eodem- que modo, quo pondus propius fuerit ipfi F * magis ob hanc cau- fam a linea C L fuftineri eftendetur •femperenim angulus CLS C 2 minor 18 Tertii. DE LIBRA. minor eftet. quod etiam patet; quiafi finese C L,& L S in vnam coinciderent lineam 5 quod euenit in FCS;tunclinea C'F totum fuftineret pondus in F, im- mobilemq; redderet: neq; vilam pror- A fus grauitatem in circumferentia circu- li haberet. Idem ergo pondus propter fituum diuerfitatem grauius,leuiufq; erit. non autem quia ratione ficus interdum maiorem revera acquirat grauitatem, interdum vero amittat, cum eiufdem fit Temper grauitatis,vbicunque repenaturj led quia magis^minufiie in circumferen¬ tia grauitat,vt in D magis fupra circum ferentiam D A grauitat,quarn in L fupra circumferentiam L D. hoc eft, fi pon d us a circumferentiis,rectifq; lineis lii ftineatur; circumferentia A D magis fu ftinebit pondus in D , quam circumfe rentia D L pondere exiftente in L . mi nus enim coadiuuat C D ,quam C L. Pneterea quando pondus eft inL^fief- fet omninoliberum,penitufq; {blutum,deorfum perL S moueretur; nili a lineaC L prohiberetur,quse pondus in L vitra lineam L S per circumferentia L D moueri cogit;ipfumq; quodammodo impellif, impellendoq; pondus partim iuftentabit.nifi enim fuftineret, ipfiq; reniteretur , deorfum per lineam L S motieretur, non autem per circumferentiam L D . fimiliter CD ponderi in D renitimr, cum illud per circumferentiam D A moueri cogat. eodemq; modo exiftente pondere in A, linea CA pondus -vitra lineam AS per circumferentiam A O moueri compellet. eft enim angulus CAS acutus; cum angulus A C S fit rectus. linea; igitur CA CD ali qua ex„parte, non tamen ex £quo ponderi renituntur. & quotief cunque angulus in circumferentia circuli a lineis a centro mundi S centro C prodeuntibus , fuerit acutus; idem eue- nire fimiliter oftendemus. Quoniam autem mixtus angulus C L D 5 aequalis ir DE L I B R A . žequalis eft anguloC D A,-cum a femidiametris ,eademq; circumfe rentia contineantur j & angulus CLS angulo CDS eft minor; erit reliquus SL D reliquo S D A maior . quare circumferentia DA ,hoc eft defcenfus ponderis in D propior erit motni natu rali ponderis in D foluti,linea; fčilicet DS , quam circumferen tia I D linea; L S. minus igitur Jinea C D ponderi in D reniti-. tur, quam lineaCL. ponderi in L. lineaideo C D minus fuftinet, quam C L ; ponduifčjj magis liberum erit in D , quaminLt cumpondus naturalitermagisperDA moueatur,quam per L D- cjuare grauius erit in D, quam in L. fimiliter oftendemus C A minus luftinere, quam C D: pondufq; magis in A , quam in Dli berum, grauiufq; efte. Ex parte deinde inferiori ob eafdetm caufas, quo pondus propius fuerit ipft G, magisdetinebitur , vt in H raa gisa lineaC H ,qinm in K a Jinea C K. nam cum angulus CHS maior fitangulo C k S , ad rectitudinem magis appropinquabunt fe /e line se C H H S,quimC k k S; aiq; ob id pondus magis deti¬ nebitur a CH, qu trn a C k.(i enim CH H S invnam conuenirent lineam vteuenit pondereexiftenteinG; tune linea CGtotum Cu ftineret pondus in G , ira vt immobilis perlifteret . quo igitur minor erit angulus linea CH, Sedefcenfu ponderis folutijfciiicet H S contentus,eb minus quoq; eiulmodi linea pondus detinebit. &vbiminus detinebitur,ibi magis liberum, grauiufo; exiftet. Praetereali pondus in k liberum efifet, atq; lolutum , per lineam k S moueretur; a linea vero C k prohibetur, qua; cogit pondus citra lineam k S per circumferentiam k H moueri. ip/iim enim quodammodo retrahit, retrahendoq; {iiftinet.nifienimluftineret, pondus deorlum per rectam k S moueretur, non autemper cir cumferentiam k H. fimiliterCHpondusretinet, cum percircum ferentia H G mouer i compellat. Quonia autem angulus CHS ma¬ ior eft angulo C KS,deptissequaIibusangulisCHG CkH; erit reliquus S HG reliquo SKH maior. circumferen tia igitur k H ,hoc eft deicenlus ponderis in k,propior erit motui naturaii ponderis in k foluti, hoc eft lineae k S ,quam circumferentia H G linča; H S.mi nus idcirco detinet lineaC k, quam CH : cum pondus naturali- ter magis moueatur per k H, quam per H G . Emili ratione often- detur,quo minor erit angulus S k H ,lineamC k minus fuftinere. , : oxiften- DE LIBRA ! exiftenteigitur pondere inO,quu anga I lus SOC non folum minor eft angulo C KS, veram etiam omnium angulormn a putictis C S prodeuntium, verticemq; in circumferuntiaOk G habentium mi- nimusjeritanglus SOK,&angulo SkH, & eiufmodi omnium minimus. ergo de- fcenius ponderisinO propiorerit motui naturah ipfius in O foluti,quim in alio fitucircumterentiae O k G. lineaq; CO minus pondus iuftinebit , quam fi pon- dusin ououisalio fuerit fitu eiufdemcir cumferentise O G. fimiliter quoniam con tingenti^ angulus S O k,Sc angulo S DA, & S AO, ac quibufcunq$ fimilibus eft mi nor; eritdeicenius ponderis in O motui naturaii ipfius ponderis in O foluti pro- pior, quam in alio fitu circumferentiae O D F. Praete reaquoniam linea C O pon dus in O dum deorium mouetur, impelle- re non poteft ,=ita vt vitra lineam O S mo ueaturpcum lineaOScirculum nonfecet, fiedcontingat; angululq;SOC fitrectus,&:nonacutus; pondus, in Onihii iupralineamC Ograuitabit.neq;centroinnitetur.quem admodum in quouis alio punctoiupra O accideret .erit igitur pon dus in O magisob has caufias liberum^ ato; folutum in hoc fitu, quam in quouis alio circumferentke F O G. acidcirco in hoc, gramus er it, hoc eftmagis grauitabit, quam in alio fitu . Sc quo propius fuerit ipfi O remotiori grauius erit. lineaq; C O horizonti tequidiftans erit. non tamenpunctiC horizonti ( vt ipfi exifti- mant ) fed ponderis in O conftituti, cura ex centro grauitatis ponderis lummendus fit horizon. quse omnia demonftrare opoy- tebat. e , : '0 C:'!oi . D v Si autem DE LIBRA. 12 • Si autem libra; brachium ip/o C O fueric maiusputa quantitate CD; erit quoq; pondus in O grauius.circulusde- fcribatur OH, cuius centrum fit D, Te midiameterq; D O. tanget circulus OH circulum FOG in punctoO, Iineamq; OS, qu£ ponderis in O rectus, natura- Jifq; eltdefcenius, in eodem puncto con tinget. & quoniam angulus SOH mi- nor eft angulo SOG j crit defcenlus ponderis in O percircumferentiamOH motui naturali O S propior , quam per circumferentiam O G. magis ergo Ii- berum, atq; folutum, ac per confequens grauius erit in O , centro libra; exiften te in D, quam in C . fimiliter often- detur, quo maius fuerit brachium D 0 5 pondus in O adhuc grauius eife. £*n Ter i tiu Ex iS Ter tii. Si vero DE LIBRA B Si vero idem circulus A F B G, cuius centrom fit R, propius fuerit mundi centro S 5 circulumque a pun¬ cto S ducatur contingens S T 3 punc tu m T C vbi grauius eft pondus ) magis a puncto A diftabit, quam punctum O. ducantur enim a punctis O T ipfi C S perpendicularesOM TN; conne ctanturq3 centrum R in li- nea C S 3 3 ineaq; A R B ipfi A C B a?qui Cer. 3 fexti diftans.Quoniam igitur triangulaCOS RT S luntrectangula3 eritS CadCO, vtCOadCM. fimiliierSR ad RT, vt R T ad RN . ciim itaq3 fit RTip- £x 8 cjuinii fl CO xqualis t 8 s S C ipfa S R maior: 1 maiorem habebit proportionem S C ad C O, quam S R ad RT. quare ma iorem quoq3 proportionem habebit C O ad C M 5 quam RT ad R N. mi nor ergoeritCM,quam RN. fecetur igitur R N in P ^ ita vt R P fit ipfi C M cequalisj &a puncto P ipfis MONT seauidiftans ducatur PQ, qus circumferentiam AT fecet in Q: deniq3connectatur RQ . quoniam enim duteC O CM duabusRCNRP iiintasqua les } & angulus C MOanguloRPQ eft ^qualis 5 erit & angu- iusMCO angulo PRQ squalis. angulus autem MCA rectus reeto P R A eft tequalis 3 ergo reliquus O C A reliquo QR A tequalis,& circumferentia O A circumferentia Q A tequalis quo- cueerit. punctum idcirco T 3 quia magis a puncto A diftat, quam Q 3 magis quoq3 a puncto A diftabit ,quam punctum O. fimiliter oftendetur,qud propius fuerit circulus mundi centro, eun- dem magis diftare.atq3 ita vt priusdemonftrabiturpondus in cir cumferentiaT AF centro R inniti, in circumferentia vero T G a lineadetinerfi atq3 in puncto T grauius efte. Ex t o quin ti. 7 Sexti. 16 Tertii. Si autem ______ D> E L I B R A. Si autem punctum G eftet in ccntro mundi ; tune quo pondus propius fueritipfi G> grauius erit: &• vbicuno; po natur pondus prseterquam in ipio G,Temper centroCinni tetur,vt in K. nam dueta G k , efficiet hgec ( Teom- dumquam ht ponderis natu ralis motus ) vna cum libra: brachio k C angulum acu- tum . a:quicrurisenim trian- guli C k G ad bafim anguii adK>5c G funt Temper acuti. Conferantur autem inuicem h<£C duopondus videlicet in k , & pondusmD: erit pondus m k grauius ,qujm in D. nam iuncta D G 3 cum tres anguii cuiuTcunouc trianguli duobus fmt reSis a:qua!cs 3 & trianguli C D G atouicruris angulus DCG maior fit angulo k C G aequicruris trianguli CkG:erunt reliqui ad bafim an guli DGC GDČ fimul Timptireliuuis K G C GkC fimul Tumptis minores .horumq; diniidii^angulus Tcilicet CDG anguloCKG minor erit. quare cum pondus in k Tolutum naturaliter per KG moueatur, pondusq; in D per DG, tanquam per Tpatia, qnibus in centrum mundi Teruntur 5 linea C D, hoc eft libra: brachium magis adh^rebit motui naturali ponderis in D pror- Tus Toluti, linča: fcilicet D G 5 quam C K motui lecundiim k G efteeto. magis igitur luftinebit linea C D, quam C k . ac pro- ptereapondus in kex fuperius dictis grauius erit, quam in D. Pra.’terea quoniam pondus in K fi efTet omnino liberum,pror/uiq; Tolutum, deorlum per kGmoueretur; nifi a linea C kprohibere tur,quaj pondus vitra lineam KG per circumTerentiam K H mo- uericogit; linea C k pondus partim luftinebit 5 ipfiq; renitetur; cum iliud per circumferentiam k H moueri compellat . 8č quoniam angulus CDG minor eft angulo CkG^Se angulus CDk angulo CkH eft aequalis;'erit reliquusGDk reliquo G k H maior. circumferentia igitur k H motui naturali ponderis in k folutiji- D ncx DE LIBRA. 3 'J Tertii. 16 Sexti . 7 Tertii. ncx fcilicet KG propior erit, quam circumferentia D k fi¬ nese D G. quare linea CD ponderiin Dmagis renititur, quam linea C k ipfi ponde- ri in K, ergo pondus in k grauius erit, quam in D. Similiter oftendetur pondus, quo fuerit ipfi F propius, vt in L 3 minus grauitare: pro- pius vero ipfi G j vt in H, grauius effe. Si veto centrum mundi S eflet inter puncta C G; prim um quidem fimili- ter oftendetur pondus vbi cimq; pofitum centro C initi^vtinH.ductis enim H G H S , angulus ad bafimGHC sequicruiistri anguli C H G eft femper acutus:quare & SHC ip fo minor erit quoq; lem per acutus. ducatur au- tem a puncto S ipfi C S perpendicularis S k . di- co pondus grauius efie in k.,quam in alio fitu circumferentia F K G. S^quo propius fuerit ipfi F, vel G, minus grauitare. Accipiantur VerfusF puncta D L , connectanturq; IGLS DCDS, produ- canturq; L S DS k S FIS vlq;adcirculicircumferentiam in EM NO; connectanturq; C E,CM, CN, CO. Quoniamenim LE D M fe inuicem fecant in S; erit rectangulum L SE rectan- gulo DS M a?quale. quare vt L S ad D S ita erit S M adS E, maior autem eft E S, quamD S ; & SM ipfa SE. ergo i4 D E L I B R A. ergo L S SE fimul dumptae ipfis D S S M maiores erunt.eademq; ratione k N minorem efte DM oftendetur. rurfus quoniamre ctangulum O S H asqualeeft rectangulo k S N 5 ob eandem caufam HO maior erit k N . eodemq;pror(us modo k N omnibus a- liis per punctum S tranfeuntibus minorem eiTc demonftrabitur. & quoniam a^uicruriumtrianguIorumCLE D C M latera L C C E latenbus DCCM funt žequalia; bafis vero LE maior eft DM: erit anguJus L C E angulo D C M maior. quare ad babm anguliCLE CEL fimui lumpti angulis CDM CM D mi- nores erunt. & horum dimidii,angulus fcilicet C L S angulo CDS minorerit. ergo pondus in L magis fupra lineam LC, quam in D /upra D C grauitabit* magisque centro innitetur in L >quam in D. fimiliter oftendetur in D magis cčtroCinnitbouam in k.ergo ponds in k grauius erit,quam in in D,quam in L.eadeimp pror ius ratione quoniam k Nminor eftHO, erit angulus CK S an- guloCHS maior. quare pondus in H magis centro C innite- tur, quam in k. 8ehoc modo oftendetur , vbicunq; in circum- ferentia F D G fuerit pondus, minus in K centro C inniti, auam in alio fitu & quo prdpius fueri t ipfi F, vel G 5 magis inniti. dein- de quoniam angulus C k S maior eftCDS, & C D k atqualis eft C k H: erit reliquus S k H reliquo S D k minor. quare cir- cumferentia k H propior erit motui naturali recto ponderisinK foluti, line^ Fcilicet k S,quamcircumferentiaD k motui D S .&c ideo linea C D magis ipfi ponderi in D renititur 5 quam C K ponderi in k conftituto. haco; ratione oftendetur angulum S H G maiorem efte S k H: &c per conlequens lineam C H magis ponderi in H reniti, quam C K ponderi in K. fimiliter demon¬ ftrabitur lineam C L magis pondus fuftinere , quam C D : ob eaidemq; caulas oftendetur pondus in K minus fupralineam C k grauitare, quam in quouis alio fitu fuerit circumferentise F D G. &quopropius fuerit ipfi F,vel G, minus grauitare. grauius ergo erit in k, qudm in alio fitu: minufq; graueerit, quo propius fue- rit ipfi F, vel G. Ouinti. 2 S Trimu s D 2 Si l Huius. DE LIBRA. Si deniq; centrum C efifet in centro mundi., pondus vbicunque con- ftiturum manere mani- feftum eft.vtpofitopon dere in D, linča CDto- tum iuftinebit pondus; ciim ipfius ponderis in D horizonti iit perpendicu laris. pondus ergo ma nebit. Ouoniam autem in his hactenus demonftratis,nullam de gra uitate brachii librae mentionem fecirttus,idcirco fi brachii quoq; granitatemconfiderare voluerimus , centrum grauitatis magnitu dinis ex pondere,brachioq; compoiit^ inueniri potent, circulo rumq$ cireumferenti^ fecundum diftantiam a centro libram ad hoc ipium grauitatis centrum defcribentur,ac fi in ipfo ( vt reue ra eft ) pondus conftitutum fueric ; omnia^ficuti abiq; librtebra chii grauitate confiderata inuenimusj hoc quoq;modo eiusconfi derata grauitate reperiemus, J. ‘v.«. ' e ‘J -t it /j - .... . ’ l) " ■ » .'j i £[) i:J .. Ex di- Jifi 1 RA. Fx dictis igitur, confiderando li¬ bram , vt longe a mundi centro a- beft , quemadmodum ipfi fecere, fi- cuti etiam acru eft , apparet falfitas dicentium pondus in A grauius eflfe, quam in alio fitu. fimulq; falfum eflfe, quo pondus a linea F G magis diftat grauiuis eflfe. nam punctum O pro„ piuseft ipfi F G, quam punctum A. eft enim linea a puncto O ipfi F G perpendicularis ipfa C A minor.de- indeex puncto A pondus velocius mo ueri, quam ab alio fitu , eft quoque falfum. ex puncto enim O pondus ve¬ locius mouebitur j quam ex puncto A 5 čum in O fit magis Iiberum,atq$ folutum, quam in alio fitu:defcenfus que ex puncto O propiorfitmotuina- turali recto , quam quilibet alius de- Icenfus. Pmerea cum ex re- ctiori,&: oblicmiori delce lil oftendunt, pondusin A grauiur eflfe, quamin D5 & in D, quam in L; primum quidem fal liim exiftimant, fi pon dus aliquod collocatum fuerit in quocunq; circunferentisE, vt in D rectum eius defcenfum per rectam lineam D R ipfi F G parallelam,tam quam fecundum mo- Exi$Ter- tu. tum D E LIBRA iSTrimi. tum naturalem fieri de- bere; ficutiprius dictum eft . In quocunq; enim fitu pondus aliquod con ftituatur * G naturalem eiusad propium locum motionem fpectemus s ciim recta ad eum jfua- pte natura moueatur,fiip polita totius vniuerfifigu ra 3 eiulinodi erit ; vc femper fpatiu,per quod naturaliter mouetur, ra- tionem habere videatur lineas a circumferentia ad centrum productSE. non igitur natura les defcenfus recti cuiuslibet foluti ponderis per lineas fieri pof funt interfe feparallelas ; cum omnes in centrum mundi conue- niant. fiipponunt deinde ponderis ex D in A per rectam lineam verlus centrum mundi motum eiufdem elTe quantitatis,ac fi fuif fet ex O in C : ita vt punctum A ^qualiter a centro mundi lit diftans , vt C. quodeft etiam falfiim; nam punctum A magis a centro mundi diftat ^ quam C : maior enim eft linea a cen¬ tro mundi vfq; ad A, quam a centro mundi vfq; adO.cum li¬ nea a centro mundi vfq; ad A rectum fubtendat anguluma li- neis ACj 8ca punctoC ad centrum mundi contentum. exqui- bus non folum fuppofitio illa,qua libram D E in A B redire demon ftrant,venam etiam omnes fere ipforum demonftrationes ruunt. ni G fortaffe dixerint, lisec omniaproptermaximam a centro mun divfqj ad nos diftantiam adeo infenGbilia elfe , vt propter infen Gbilitatem tanquam verafupponi pofsinr.cum omnes quidealii,qui haec tractauerunt, tanquam nota fuppoluerint. prsefertirn quia lenfibilitas illa non efficit, quin defcenfus ponderis ex L in D ( vt eorum verbis vtar ) minus capiat de directo,quam defcen¬ fus DA. Gmiliter arcus DA magis de directo capiet,quam cir cumferentia EV. quocirca vera erit fiippoGtio; aliseq j demon¬ ftrationes in fuo robore permanebunt. Concedamus etiam pon dus DE LIBRA. 16 dusin A grauius efte,quam in alio fitu ; rectumq; ponderis de- fcenfiim per rectam lineam ipfi F G parallelam fieri debere; St quadibet puncta in Iineis horizonti a?quidiftantibus accepta x- qualitera centro mundi diftare: non tamen propterea fequetur ;> veram efte demonftrationem, qua inferunt pondus in A grauius eife j quamin alio fitu, vt in L. fi enim verum effet,quo pon dushoc modorectiusdefcendit, ibi grauius efte 5 fequereturetiam, quo idem pondus in £qualibus arcubus sequaliter recte' defcende ret 3 vt in iifdem locis squalem haberet grauitatem , quodfal fum efie ita demonftratur. Sint circumferentise AL A M inter fc fe atquales; St conne ctatur LMj quat AB fecetinX : erit L M ipfi F Gxquidiftans, ipfiq$ AB perpendicularis. &XM ipfi XL £equalis erit. fiigi turpondus ex L moueatur in A per circumferentiam L A,rectus eius motus erit fecundum lineam LX. fi vero moueatur ex A in M per circumferentiam A M , fecundum rectam eius motus erit X M. quare defcenfusex Lin A sequalis erit defcenfuiex A in M j tum ob circumferentias atquales, tum propter rectas Ii neas ipfi AB perpendiculares sequales. ergo idem pondus in L reque graue erit, vt in A , quod eft falfum. cum longe grauius fit in A , quam in L. Quamuis autem A M L Aa;qualiter fecundum ipfos de directo capiant 5 dicent fortafte, quia tamen principium defcenfus exL fčiiicet L D minus de directo capit, quam principium defcenfus ex A , fcilicet A N 3 pondus in A grauius erit , quam in L . nam cum circumferentia AN fit ipfi L D ( vt fupra pofitum eftj £equalis, qua?fecundum ipfos de directo capit CT j L D vero de directo capit P O. ideo pondus grauius erit in A, ouaminL. quodfi verum effet, iequereturidem pondus in eodem fitu diuer fo duntaxatmodo confideratumin habitudine ad eundem fitum, tum grauius , tumleuius efle. quod eft impofsibile . hoceft,fi defcenfum confideremus ponderis in L, quatenus ex L in A de- icendit, grauius erit, quamfi eiufdem ponderis defcenfum con¬ fideremus ex L in D tantum . neq} enimnegare poflunt ex eif- demmetdictis,quinddcenfusponderis ex L in A de directo ca piar LX, fine PC. defcenfus vero AM, quinfimiliter de directo Ex 3 Ter¬ ni. D E L I B R A capiat X M : cum ipfi quoq; hoc modo acci- piant, atc]5 ita accipe- re fit neceffe, fi enim li¬ bram DE in A B redire demonftrare volunt,com parando defcenfus pon- deris in D cum defcen- fu ponderis inE 3 neceffe eft j vt oftendant rectum defcenfum O C corre- fpondentem circumkren tiae D A maiorem effe re cto defcenfu T H circum ferentkeEV correfpondente. fi enim partem tantiim totius de¬ fcenfus cxD in A acciperent, vtD k; oftenderentq$ magis cape- rededirecco defcenfum D k ^ quam sequalis portio defcenfus ex puncto E. feqnetur pondus in Diecundum ipios grauiu« effepon dere in E; &vfq; ad k tantiim deorfum moueri: ita vt libra mo ta fit in k I. fimiliter fi libram KI in AB redire demonfirarevo Iunt accipiendo portionem defcenfus ex k in A 5 hoc eft k S; oftenderentq; k S magis de directo capere, quam exaduerfo se- qualis defcenfus ex puncto I: fimili modo fequetur pondus in k grauius effe ,quam inI; &vfqj ad S tantiim moueri. Se firurfiis oftenderent portionem defcenfus ex S in A } atq, ita deincepSj re cuioremeffe a;quali defcenfu ponderis oppofiti 5 femper fequetur libram SI ad AB propius accederejnuncpiamtamenin ABper- uenire demonftrabunt. fi igitur libram D E in A B redire demon ftrarevolunt, neceffe eft ^ vt defcenfum ponderis ex Din A dedi recrocapere quantiratem linea? ex puncto D ipfi AB ad rectos angulos dueta? accipiant. atq; ita,fi sequales defcenfus D A AN inuicem comparemus, qui a?qualiter de directo capient O C C T, eueniet idern pondus in Da?que graue effe,vt in A. fi vero por tiones tantiim ex D A accipiamus 5 grauius erit in A , qttam in D . ergo ex diuerfitate tantiim modi confiderandi, idempon dus,& grauius , & leuius effe continget. nonautem exipfa na- F tura DE LIBRA. 17 tura rei. Inluper ipforum fuppofitio non aflerit , pondus fecun dum fitum grauius efte , quanto ineodem fituminus obIiquum eft principium ipfius defcenfus. Suppofitio igitur fuperius alla ta , hoc eft , fecundumfitum pondus grauius efle»ouanto in eo demfitu minus obliquus eft defcenfus ; non fbJum ex his, quae diximus, vilo modo concedi poteft; fed quoniam huius oppofi tum oftendere quoq; non eft difficile : fcilicet idem pondus in a?qualibus circumferentiis, quo minus obIiquus eft defcenfus 3 J bi minus grauitare . Sint enim vt prius cir cumferentras AL A M in ter ie fe tequales 5 fitq; punctum L prope F. Sc connectatur LM , que ipfi A B perpendicularis erit. & L X ipii X M azoualis. deinde prope M inter MG quoduis accipiatur punctum P. fiatq; circumferentiaPO circumferentis AMs- qua!is. erit punctum O prope A. connectanturq; C L* C O, CM, C P, OP. &a puncto P ipfi O C perpendicularis ducatur P N. Sc quoniam cir cumfcrentia A M circumferentLe OP eft &qualis : erit angu- lus ACM a?qualis angulo O C P ; Sc angulus C X M rectus re- ctoC N P eft sequa!is : erit quoq; reliquus XMC trianguli MCX I reliquo N PC trianguli PCN sequalis . fed Sc latus CM lateri | C P eft £quale: ergo tnangulum MCX triangulo PC N ^quale | eritdatulq; M X lateri NPasquale. quare lineaP N ipfi L X sequa ! lis erit. ducatur pneterea a puncto O linea O T ipfi AC^qui j diftans , qua? N P fecetin V. atq; ipfi O T a puncto P perpendi | cularis ducatur, quaj quidem interOV cadere non poteft; nam j cum angulus O N Vlit rectusjeritOVN acutus . quare O V P obtufus erit . non igitur linea a puncto P ipfi OT intra O V E perpen- Ex 17 Ter tii. Ex 3 2 pri mi. 26 'Primi. Ex 13 Tri mi. ip Trimi. 47 Trimi. DE LIBRA. A\- 3 perpendicularis cadet. duo enim anguli vnius trianguli, vnus quidem rectus j alter vero ob- tuftiseftet. quodeftim pofisibile. cadet ergo in linea O T in parte V T . fitq; P T. erit P Tfecun dum ipfos rectus circum ferentise O P defcentus. Quoniam igitur angulus ON V eft rectus 5 erit linea O V ipla ON ma ior . quare O T ipla quoq; ON maiorexiftet. Cum itaq$ linea OP angulos fobten- datrcctos ON P OTP$ erit quadratum ex O P quadratis ex ON N P fimul fomptis ££quale.fimiliterquadratis ex OT TP fimulasquale. quare quadrata fimul ex ON N P quadratis ex O T T P fimul sequalia erunt. quadratum autem ex O T maius eft quadrato ex O N 5 dim linea O T fit ipla O N maior. ergo qua drauim ex N P maius erit quadrato ex T P . ac propterea linea T P minor erit linea P N, & linea L X. minus obIiquus igitur eft defčenlus arcus LA, quam arcus OP. ergo pondus inL,exip forum dictis, grauius erit, quam in O. quodexiis,qu£e fupradi ximuseft manifefte falfum 3 cum pondus in O grauius lit, quam in L. non igitur ex rectiori, & obliquiorimotu ita accepto col- Iigi poteft, lecundum (itum pondus grauius efte , quanto ineo dem litu minus obliquus eft defcenfos. Atqj hinc oritur omnis ferme ipforum error in hacre ^ atq; deceptio: namquamuis per accidens interdum ex falfis foouatur verum ,per fe tamen ex fal fis fal/umlequitur, quemadmodum ex veris iemper verum , nil idcirco mirum , fi dum falfa accipiunt; illifqj tanquam verilši- mis innituntur; falfifsima omnino colligunt, atq; concludunt. decipiuntur quinetiam, dum libra; contemplationem mathemati ce fimpliciter affummunt j ciim eius confideratio fit prorfosme- chanica: nec vilo modo abiq$ vero motu, ac ponderibus ( en- tibus _D ELI B R A ;_18 tibus omnind naturalibus ) de ipfa fermo haberi pofsit: Gne qui- bus eorum , qua: librae accidunt » vera: caulse reperiii nullo mo do pofsint« Prasterea fi adhucfiip pofitionem conceda- mus 5 a confideratione libra: longe recedunt ; dum eo pacto,vt libra DE in AB redire de- beatjdilcurnmt.iemper enim alterum pondus feorlum accipiunt, puta D, vel E; ac fi modo vnu modo alterum in libra conftitutum eftet, nec vilo modo ambo con- nexa;cuius tamen oppofitumomninofierioportetjneq; alterum fine altero recte confiderari poteft j cumdeipfis in libra confti- tutis fermo habeatur. cum enimdicunt, defčenfiim ponderisin D minus obliquum efie defčcnlu ponderis in E; erit pondus in Dper iuppofitionem graums pondere in E :quare cum fit graui- us, necefie eft deorliimmoueri, Iibramq; DE in A B rediretdi fcurlus ifte nullius prorius momenti eft. Primum quidem fem- per argumentantur , aefi pondera in D E delcenderedebeanr, vnius tantum fine alterius connexione confiderando defcenrum. poftremo tamen ob ponderum delcen/uum comparationem colli- | gentes inferunt, pondus in D deorftim moueri, & pondus in E iurfum, vtraq; fimul in libra inuicem connexa accipientes. ve- rum ex ii/demmet, quibus vtuntur, principiis ac demonftratio nibus , oppofitum eius,quod defendere conantur^facillimecol- ligipoteft. Nam ficomparetur defcenfus ponderis in D cum a- fcenfii ponderis in E, vt ductis EK D H ipfi AB perpendicula- ribus j cum angulusDCH fita:qualis angulo EC k ; angulus DHC rectus a:qualis eftrectoEkC; SdatusDC lareri CE a?aua le: crit triangulum C D H triangulo C E k ^quale J & latus D H la- E 2 teri 15 "Primi s 6 Primi. D E LIBRA. teri E k £quale. cum autem angulus D C A fitangulo ECB sequa- Iis: eric quoq; circum- ferentia DA cirferen- tise BE sequalis. dum itaq; pondus in D de- fcendit per circumfe- rentiam D A 3 pondus in E per circumferen- tiamEB ipfi D A se- qualem alcendit. & de- fcenfus poderis in D de directof more ipforu ) capiet D H ;a fcenius vero ponderis in E de directo capiet E k ip iiDH sequalem : er it itaq; defceniiis ponderis in Daicenfiii pon derisin E a;qualis. &qualis erit propenfiovnius ad motumdeor flim , tališ etiam erit refiftentia alterius ad motum fiirfum. re¬ fiftentia lcilicet violentise ponderis in E in afcenfu naturali po- tentia? ponderis in D in defčenfu contra nitendo apponimr; ciim {it ipfi asqualis. quo enim pondus in D naturali potentia deor iumveIociusdefcendit,e6 tardiuspondus in E violenter afcendit. quareneutrum ipforum alteripr£ponderabit,cum ab sequali non proueniat actio . Non igitur pondus in D pondus in E iurfum mouebit. fi enim moueret 5 neceffe elfet, pondus in D maiorem habere virtutem defcendendo ,quam pondus in E afcendendo 5 fed hsec funt a2qualia: ergo ponderamanebunt. & grauitas pon¬ deris in D grauitati ponderis inEsequalis erit.Prseterea quoniam {upponunt, quo pondus a linea directionisFG magis diitat, eo grauius eiTe rldcirco ductis quoq; a punctis DE ipfi F G perpen dicularibusDO EI$ fimili modo demonftrabitur j triangulum C D O triangulo C EI a?qualem e(fe: & Iineam D O ipfi EI sequa lem . tam igitur diftat a linea F G pondus in D, quam pondus in E . ex ipforum igitur rationibus, atq; luppofitionibus, pondera in D E sequegrauiaerunt . Ampliusquidprohibet ^ quin libram DE ex necefsitate in F G moueri fimiliratione oftendatur? Pri- mum p DE LIBRA. _ ___ _ '9 mumquidem ex eorummet demonftrationibus colligi poteft, a- fcenfum ponderis in E verfus B rectiorem effe afcenfu ponderis in D verfus F; hoc eft minus capere de directo afčenfum pori- deris in D in arcubus a?qualibus afcenfu ponderis in E. fuppona turergo fecundum fitum pondus leuius effe, quanto in eodemfi- tu minus rectus eft afccnfus: quse quidem fuppofitio, adeo ma- nifeftaeffevidetur, veluti ipforum altera. Quoniam igitur afcen. fus ponderis in E rectioreft afcenfu ponderis in Ds per lappofi- tionem pondus in D leuius erit ponderein E. ergo pondus in D furfuma pondere in E mouebitur, itavt libra in F G perue niat. atq; ita demonftraripoterit, libram DE in F G moueri. qua:quidem demonftratio inutilis eft prorfus , eafdemq; patitur diffkulcates. licet enim tanquam verum admittatur pondus in E afcendendo g l rauius effe pondere in D fimiliter afcendendo, non ramen ex hoc fequitur, pondus in E defcendendo grauius effe pondere in D afcendendo. Neutra igitur harum demon- ftrationum libram DE, vel in AB redire , vel in F G moue¬ ri , oftendentium, vera eft . PrfEterea fi ipforum fuppofitionem , eorumq; verborum vim recteperpendamus; alium certehabere fenfum confpiciemus.nam cumfemperfpatium, perquod naruraliter pondus mouetur, a cen tro grauitatisipfius ponderis ad centrum mundi, inftar rectse li- ne£ a centra graiqtatis ad centrum mundiproduct2e,fitfurnendumj tanto huiusmodi ponderis defcenfus, magis, minusue obliquus dicetur j quanto fecundum fpatium inftar pradictas linčaš defigna tunynagis,aut minus (naturalem tamen locum petens,femperq; magis ipfiappropinquans ) mouebitur 5 ita vttanto obliquiorde¬ fcenfus dicatur,quanto recedit ab eiufmodifpatio: rectiorvero, quanto ad idem accedit. Sc in hoc feniu fuppofitio illa nemini difhcultatem parere debet, adeo enim veritas eius confpicua eft; rationiq; confentatiea : vt nulla proius manifeftatione egere vi- deatur. Siitaq; l DE LIBRA Si itaq; pondus {olutiim in fitu D collocatum ad propium locum mo* ueri debeat j proculdubio pofito cen* tro mundi S ,perlineam D S mcue- bitur.fimiJiter pondus in E folutum perlineamES mouebitur. quarefi (vt rei veritas eft ) ponderis delcen- ^ /us magis * minufue obliquus dicetur /ecundum receftum, & accelfum ad fpatia per lineas D S ES defignata, iuxta naturales ipforum ad propria lo calationesj confpicuum eft, minus obliquum eftc defcen/um ipfius E per E G , quim ipfius D perDA: cum angulum S E G angulo S D A minoremeffelupra often/um fit. qua re in E pondus magis grauitabic, quimin D.quod eft penitusoppo- fitum eius, quod ipfi oftendere cona ti funt. Infurgent autem fortafle contra nos,fi igitur ( dicent ) pondus in E grauius eftpondere in D, libra DE inhoc fituminimeperfiftet,quodequidetueripropofuimus: 1 /edin F G mouebitur.quibus refpondemus,plurimumreferre,fiue i’ confideremus pondera,quatenus/iintinuicemdifiuncta,fiue quate nus/iintfibiinuicem connexa.alia eft enim ratio ponderis in E fine connexione ponderis in D, alia vero eiu/demalteriponderi con nexi; ita vt alterum fine alteromoueri non pofsit. nam ponde ris in E, quatenus eft fine alterius ponderis connexione , rectus naturalis de/cen/us eft perlineamES ; quatenus vero connexum eft ponderi in D, eius naturalis defcen/us non erit amplius per lineamES, fed per lineamipfiCS paralJelam. magnitudo enim ex ponderibus E D, & libra D Ecompofita,cuius grauitatis cen- trum eftC,finullibi /uftineatur, deor/um eo modo, quo reperi tur,/ecundum grauitatis centrumper rectam a centro grauita tis C ad centrum mundi S ductamnaturaliter mouebitur, doneč centrum | -—a-*- r ,l D E J LIBRA. 20 ‘centrum C in centrum S perueniat. libra igitur D E vrta cum pon deribus eomodo , quo reperitur, deorfum mouebitur,ita vt pun- ctumC perlineam C S moueatur, doneč Cin S, Iibraq; D E in H k perueniat; habeatq; libra in H k eandem , quam prius habe- bat pofitionem;hoc eft H k fit ipfi DE asquidiftans . connedantur igitur D H Ek.manifeftumeft,dumlibraDEinH k mouetur pun cta DE per lineas.DH Ek moueri,quippe exiftentibus interfe fe,ip%j C S xqualibus^ & gequidiftantibus. Quare pondera in DE, quatenus funtfsbiinuicemconnexa,fiipforumnaturalem mo tum fpectemus , non fecundum Hneas DS ES , fed fecundum LDH ME k ipfi C S asquidiftantes mouebuntur. ponderis Ve¬ rd in E liberi,ac foluti,naturalis propenfio erit per E S: ponderis autem in D fimiliter foluti erit per D S. ac propterea non eft incon- ueniens idem pondus modo in Eomodo in D, grauius effe in E, quaminD. fi vero pondera in E D fibi inuicem connexa,quate- nusq; funt connexaconfiderauerimus; erit ponderis in E natura- lis propenfio per lineam M E K : grauitas enim alterius ponde¬ ris in D efiicit, ne pondus in E per lineam ES grauitet * fed per E k. quod ipfum quoq; grauitas ponderis in E efficit, ne fcilicet pondus in D perrectam DS degrauet; fed fecundum DHivtra- que enim fe impediunt, ne ad propria locapermeent. Cumigi tur naturalis defcenfiis rectus ponderum in D E fit fecundum LDH ME K : erit fimliter rectus eorum afcenfus fecuudiim eaf demiineas H D L KEM . atq; afcenfus ponderis in E magis, mi nufue obliquus dicetur; quanto fecundum fpatium magis , mi« nufue iuxta lineam M k moucbitur .hocq; prorfus modo iuxta li neam L H fummendus eft tum defcenfus , tum afcenfus ponde¬ ris in D. fi itaq; pondus in E deorfum per E G moueretur; pon dus in D fiirfum per D F moueret. Sc quoniam angulus CEK sequalis eft angulo C D L , Sc angulus C E G angulo C D F iequa- lis; eritreliquus GE K re!iquo LDF sequalis. cum autem fup- pofitioilla, quse ait, fecundumfitumpondus grauius effe , quan- to ineodem fitu minus obliquus eft defcenfus; tanquam dara, atq; confpictia admittatur; proculdubio hsec quoq; accipienda erit; nempe, fecundum fitum pondus grauius effe , quanto in eo- dem fitu minus obliquus eft afcenfus. cum non minus manifefta* ^ rationiq; 3 3 Trmi. z$Tritni. I ] Trim:* DE LIBRA rationiq; fit confentanea. secjualis igitur e rit defcenfus ponderis in E afcenfui ponderis in D . eandem enim obliquitatem habet defcenfus ponderis in E 3 quam habet afčen- fus ponderis in D 5 & qualis erit propenfio vnius ad motum deorfum, tališ quoq; erit refiftentia alteriusad motum furfum.no ergo pondus in E pondusinD furfum mouebit.neq; pondus in Ddeorfum mouebitur,ita vt furfum moueat pondus in E. nam cu angulus C E B fit ipfi CD A sequa- lis , & Angulus C E M fit angulo CDHsequalis; erit reliquus MEB reIiquo H D A xq ualis. defcenfus igiturponderis in D afcenfuiponde ris in E žequalis erit. non ergo pon dus in D pondus in E furfiim moue bit. exquibus fequitur pOndera in D E, quatenus funt fibi inuicem con nexa,xque grauiaefife. Alia deinde ratio , li¬ bram fimiater DE in AB redire oftendens , cimi in- quiunt, exiftente trudna in C F metaeft CG- &quo- niam angulus D C G maior eft anguloECG; pondus in D grauius erit pondere inE j ergo libra D E in A B redibit: nihil meo iudicio concludit. figmentumq; hocde trudna^ meta po- tius omittendum, acfilen- tio DE LIBRA 21 | tio pmereundu e{fet,quam verbu vliti in eius confutatione fumsn j dum; cumfit prorfus voluntarium. necefsitas enim cur pondus in D ex maio^e angulo fit grauius; curq; maior angulus maioris fit caufa grauitatis; nufquam apparet. fi autem comparentur in¬ dicem anguli,cum angulus G C Dfit secjualis angulo FC E;(i angu 3us G C D.eft caufa grauitaris; quare angulus FCE fimiliter gra¬ uitatis non eft cauia/Huius autem rei eamin medium rationem afferrevidentur,quoniamCG eff meta,&CFtrutina.fi('inquiimt^ C G elfet trutina, & C F meta, tune angulus FCE grauitatis efifet caufa; non autem D C G ipfi requalis • quae quidem ratio imma- ginaria prorfus,ac voluntaria effe videtur. quid enim refert* fiue tru tinafkinCFj fiue inCGj ciim libra D E in eodem femper pun- eto C fuftineatur ? Vt autem &orum deceptio clarius appa- reat. Sit eadem libra A B , cu- ius medium C. fit deinde tora F G trutina* eaq;im mobilis exiftat; qua: libram A B in puneto C fuftineat. (h- moueaturq; libra in D E. & v - quoniam trutina eft > & fii- pra j & infra libram , quis nam angulus erit cauia gra¬ uitatis, ciim libra DE in eode femper puneto fuftineatur ? dicent forfarpfi trutina a potentia in F fuftiteneatur, tune C G erit tanquam meta , Sč angulus D C G grauitatis erit caufa . fi vero (iiftineatur in G tune FCE | erit caufa grauitatis 3 CF vero tanquam meta erit. cuius quidem rei nulla videtur effe caufa 3 nifl immaginaria. meta enim ( cuod aiunt J nullam prorfus vim attraetiuam, quandoq; ex maioris an- guliparte^uandop; exparte minoris habere videtur. Verumadua buspotentiisfuftineaturtrutina, in F fcilicetj&inG, quodprse ne cefsitate fieri poteft,velutifi potentia inFfitadeb debilis, vt ex fe ipfamedietatem tantumponderisfuftinerequ3eat:fitq; potentia in G ipfi potentia; in F a;qualisyvtra;q; aute fimul libram vna cumpon deribusfuftineant. tune quis nam angulus erit caufa grauitatis.ffion • F FCE, Cardanus. D E LIBRA. FCE , quia trudna eft in C F, & in F fuftinetur.neq; D C G , cum trutina flt in C G j, & in G quoq; fufti neatur j non igitur a n guli grauitatis caufa erunt. ergo neq; libra D E abhocfitu ob liane caulam mouebi- tur. Hanc autem eorum fententiam duplicitercon- firmare videntur.primum quidem afferunt A rifiotelem in qua?ftio j nihusmechanicishasduastantum qua?ftiones propoluide; eiulq; demonftrationes, tirni maiorft&i minori angulo,tum trutina?poli tioni inniti. Aflirmant deinde experieniiam hoc idem docere $ hoceft libram DE trutina exiftentcin CF, in AB horizonti ) a?quidiftantem redire. quando autem trutina eft in C G 5 in F G ; moueri. Verumneq; Anftoteles , neqj experientia huic eorum opinioni fauent, quin potius aduerfantur. quantum enim atti- net ad experientiam decipiuntur, ipla quidem eftperientia ma- nifeftum eft hoc accidere,quando libra? quoqj centrum ^ vel (u- pra ^ vel infra libram fuerit collocatum: non autem trutina dun taxat foprajVel infra exiftente,id contingere* Nam DE LIBRA. 22 Nam fi libra A B habeat centrum C iupra libram; lita; trutina ČD infra li¬ bram 5 moueaturq$ libra in E F 5 tune E F rurlus in AB horizonti a:quidiftantem redibif. fimiliter fi libra centrum C habeat infra li bram,fitqj trutina C D fu. pra libram , Se moueatur libra in E F ; pater libram ex parte F deorlum rocue ri j trutina iur ra libram e- xiftente.&in quocunq; a- liofitu fuerit trutina, idem femper eueniet. non igitur trutina,fed centrum libra: harum aiuerfitatum cau- {a erit. Animaduertendum eft itaq; in hac parte difficulter materialem libram conftitui pofle, qua: in vno tantum puneto fuftineatur ; quemadmodum mente concipimlis.brachiao; ab eiufmodi centro adeo a:qualia habeat, non folumin longitudine , verum etiam in latitudine,& profun ditate , vt omnes partes hinc inde ad vnguem amueponderent. hocenim materia difficilime patitur. quocirca fi centrum in ipfa libra efte confiderauerimus , ad fenfum confugiendum non eft: cum artificiliaad ftimmum illud perfectionis gradum ab artifice deduci minimepolsint. Inaliis vero experientia quidem appa- rcntiadocere poterit; proptereaquod, quamquam centrum l.ibrse fit femperpunctum,quando tamen fupra libram fuerit, parum re~ fert,fi libra in eo puneto adaminTim minime fuftineatur 3 quia cum fit femper lupralibram,idem femper eueniet. fimili quoq; medo quando eft infra libram: quod tamen non accidit centro in ipfa li¬ bra ešiftente. li enim ad vnguem femper in illo medio non fu- ftineatur,diuerfitatem efficiet 5 cum facillimum fit, centrum il¬ lud, 2 Hum. 5 Huius . DE LIBRA. lud, dum libra mouetur,proprium mutare fitum. Quod autem Ariftoteles duas tantum qu£ftiones propo- fuerit, cur fcilicet trudna fuperius exiftente, fi libra ncn fit horizonti a?quidiftans in xquilibrium , hoc eft horizonti sequi diftans redit: fi autem trudna deorfum fuerit conftituta, non reditjled adhuc fecundum partem depreftam mouetur: verum quidemeft. nontamen eius demonftrationes maion, & mino ri anguIo,pofitionique trudna; ( vtipfi dicunt ) innituntur. I11 hoc enim mentem philofophi afignantis rationem diuerlitatis j motuum libraeminime attingunt. tantum enim abeft philofo- j phum has diuerfitates in angulos referre, vt potius in caufa effe dicat magnitudinis alterius brachii libra; excefTum aperpendiculo, modo ex vna,modo ex altera parte contingentem. Vt trudna fuperius in CF exiltente> perpendicu lum erit F C G, quod fe¬ cundum ipfum in centrum mundi femper vergit ; quodquidem libram mo¬ tam in D E in partes di- uidit insequales;& maior pars eft verlus D: id au¬ tem, quod plus eft , deor fiim fertur ; ergo ex par¬ te D deorfum libra moue bitur * doneč in A B re- deat. fi vero trudna fit in C G deorfum , erit GCF perpendiculum, quod libram DE in partes ina;quales fimiliter diuidit: maior autem pars erit verftis E 5 quareex parte E deorfum libra mouebitur.quod vt rectein- telligatur,cum trutina eft fupra libram, librse quoq; centrum fu- pra libram efTe intelligendum eft ; & fi deorfum,centrum quoque deorfum: vt infra patebit. Aliter ipfa Ariftotelis demonftratio nihil concluderet. exiftente enim centro in ipfa libra,vt in Qquo- cunq; modo moueatur libra,nunquam perpendiculumF G libram^ nifi DE LIBRA. nifiin puncto C, &in partes diuidet asquales. quare Ariftotelis fententiaipftsnonfolumnonfauet 3 veriim etiam maxime aduer- fatur. quodnon fo!umex fecunda,& tertiahuius licjuet j verum quia exiftente centro lupra libram pondus eleuatum maiorem propterfitumacquiritgrauitatem. ex quo contingit redditus li¬ bra; ada;qiialem horizonti diftantiam. e contra vero , quando centrum eft infra libram. Qua; omnia hoc modo oftendentur j fupponendo ea,qu^ ftipra declarata funt. Idlicet pondus exquo loco.rectius defcendit,grauius fieri.& exquo rectiusafcenditjgra uiusquoq; reddi. Sit libra AB horizonti 2equidiftansjcuius centrum C lit iupra libram, perpen- diculumq; fitCD. fintq$in AB ponderum a;qualium centra grauitatis pofita.-mo taq;fit libra in E F. Dico pondus in E maiorem ha- beregrauitatem ,quam pon dusinF. 8č ob id libram E F inABredire. Produ catur primiim C D vfq; ad mundi centru, quod lit S.de inde ACCBECCFHS conectantur,a punctilqj E F ipfi H S a;quidiftantes du j canturE k GFL.Quoniam igi tur natur alis ddcenlusre ctus totius magnitudinis, librse fcilicet E F hc confti- tutse vna cum ponderibus, eft Ičundum grauitatis cen trum H per rectam H S; erit quoq; ponderum in E F ita pofsitorum defcenfus fecundum re- ctas Ek F L ipfi H S parallelas; ficuti lupra demonftrauimus. Defcen- 4 "Primi. Exl$ Ter rii . 2 p Trim:. DE LIBRA Defcenfiisigitur,&r afcen* fus ponderum in E F m a" gis, minufire obIiquus di- cetur {ecundum acceffum, &ireceffumiuxtalineas E k F L defignatum.Quonia au teduolatera A D DCduo bus lateribus B D D E funt £equalia;anguliq; ad D funt recti; erit latus A C lateri CB sequale. Sc cum pun- ctum Clitimmobilejdum puncta AB mouentur ;,cir culi circumferentiam delcri bent, cuius /emidiameter erit A C. quare centro C, circulus defcribatur AEBF. puncta AB E F in circuli circumferentia erunt. fed cum E F lit ipli A B cequa lis ; erit circumferentia EAF circumferentia AFB sequalis . quare dempta communi AF , erit circumferentiaE A circumferentia’ FBseqtia lis. Quoniam autem mixtus angulus CEA eft a?qualis mixto CFB; &HF B iploCFB eft maior ; angulus vero HEA ipio CEA minorj erit angulus HFB anguloHE A maior. aquibus fi auferantur anguli H F G H E k atquales; erit angulus G F B an gulo k E A maior. ergo defcenliis ponderis in E minus obliquus erit alcenfu ponderis in F. Sc quamquampondiis in E deicen dendo, Sc pondus in F afcendendo per circumferentias mouean tur aequales 5 quia tamen pondus in E ex hoc loco reifius deicen dit, quam pondus in F afcendit: idcirco naturalis potentia pon deris in E refiftentiam violentiae ponderis F (uperabit. quare maiorem grauitatem habebit pondus in E,quam pondus in F. ergo pondus inE deorfum, pondus vero in F lurfum.mouebitur: doneč | D E LJ^B R A. _24 doneč libra E F in AB redeat.quoddemonftrareoportebat. Huius autem effectus ratio ab Ari ftotele polita ,hicmanifefta in tueri poteft.fit enim punctumN vbi C S E F Fe inuicem fecant. & quoniam H E eft ipfi H F asqualis ; erit NE maior N F. li- i neaergo CS,quamperpendiculumvocat, libramEF in partesdi . uidet inaecuales.cum itaq; pars liF>rse N E fit maior N F 5 atq; id, c]uod plus eft, necefieeft, deorfum ferri: libra ergo EFexparteE deorfummouebitur, doneč in AB redeat. erit, quam in alio fitu circuli DHM. ergo magnitudo ex E F ponderibus,& libra EF compofita, cuius cent rum grauitatis eft in H, in hoc fitu magis grauitabit, quam in quocunq$ alio fitu Ex iis pr£terea,quaeha ctenus dieta funt inferre ii cet,libram E F velocius ab eo fitu in A B moueri; vnde linea E F in directum pro- traeta in centrum mundi perueniat.vt fit E F S recta linea . Sc quoniam C D C H, funt inter fe fe tequa les. fi igiturcentroC,Fpa tioq;CD, circulusdeficri. batur D FI M 5 erunt pun- cta D H in circuli circum- ferentia . Quoniam au¬ tem C H ipfi E F eftper- pendicularis; continget li¬ nea EHS circulum DHM inpuncto H. pondus igi¬ tur in H ( ficuti fupra de- monftrauimus ) grauius Ariflotelis ralio . circuli DE LIBRA circuli fuerit punctum H.. ab hoc igitur fitu velo- cius , quam a quocunq; alio mouebifur. & fi H propius fuerit ipfi D mi nus grauitabit 3 minufa; ab eo fitu mouebitur . femper enim defcenfus obJiquior eft,& minus re ctus. libra ergoEF velo ciusab hoc fitu mouebi¬ tur, quamab alio fitu . &č fi propius ad AB acce- det, inde minus mouebi tur. Deinde quo longius punctum H a puncto C diftabit , velocius moue- bitu,^quodn5 foIuexAri ftotelein prmcipio quseft- ionum mechanicarum, 5c ex iuperius dtctis patet; verifm etiamex iis, qua* infra in fexta propofitionedicemusjmanifeflumerit. libra igitur EF , ouo ma gisabeius centro diftabit, adftuc velocius mouebitur. i Sit D E L I B R A: 2 f Sit deinde libra A B , cuius centrum C fit infra li hram,- fintqj in AB pon derasequalia ; libraq; fit motainEF. Dicomaio- rem habere grauitatem pondus in F,quam pondus in E . atq; ideo libram EF deorfamex parteFmoue- ri. Producatur D C ex vtraq; parte vfčj; ad mun- di centrum S, &c vfq; ad O, lineaq; H S ducatur, cui -a punctis E F £equidi- ftantesducanturGEk F L; connectanturq; C E CF: atqj centro C,fpatioq; C E circ ulus defcribatur A E O BF. fimiliterdemonftra- bitur puncta ABEF in circuli circumferentia effe; delceniumq; libra^EFvna cum ponderibus rectum fe cundum lineam H S fierij ponderumq; in E F lecun dum lineas G K F L ipfi H S £quidiftantes. Quoniam autem a n gulusC F P aequalis eft angulo CEO: erit angulus HF P angulo HEO maior.angulus vero bfFL sequalis eft angulo H E G. a quibus igitur fi demantur anguli HFP HEO, erit angulus LFP angulo G EOminor. quare defcenfus ponderis in F rectior erit alcenfti ponderis in E, ergo naturalis potentia ponderis in F refiftentiam violentke ponderis in E fuperabit. & ideo ma- iorena habebit grauitatem pondus in F, quam pondus in E. Pondus igitur in F deorlum , pondus vero in E furfum mo- uebitur. Ariftotelis quoq;ratio hic perfpicua erit. fit enim punctum i£lX\/CIX. N vbi 29 "Primi . jLriflotelis iratio. D E L I B R A. 5X N vbi C O E F fe inuicem jfecantj erit NF maior NE. ScquoniamC O per pendiculum ( /ecundutn ipium J libram E F in par tes inžequales diuidit , Sc maior pars eft verfus F,hoc eft N F; libra E F ex par te F deorlum mouebitur; cum id, quod plus eft, deor fum feratur, Similiter , 6x dictis quoq; eliciemuslibramEF centrum habens infra li¬ bram j, quo magis a fitu A B diftabit Velocius mo ueri. centrum enim graui tatis H ,qub magis a pun- cto D diftat, eo volecius pondus exEF ponderibus., iibraq; E F compofitum mouebitur, doneč angulus CHS rectus euadat. ad- hucinluper velocius moue bitur,quo libram acentro C magis diftabit. Ex ipforum quinetiam rationibus, ac falfis fiipofitionibus iam declaratos libra: eftectus, ac motusdeducere, ac manifeftarelibet; vt quanta fic veritatis efficacia appareat, quippeex falfis etiam elucefcere contendit. O ; \ Exponan- D E L I B R A. 2 6 Exponantur eadem , fci licet fit circulus A E BF; libraque AB 3 cuius cen- trum C fit fiupra libram, moueatur in E F. dico pondus in E maiorem ibi habere grauitatem , quam pondus in F ;libramq; EF in A B redire. Ducantur a punctis E F ipfi A B perpendiculares E E F M, quas inter fe a^uidiftan- tes erunt; fitq; punctum N, Vbi AB EF fe inuicem fecant. Quoniam igitur angulusFNM eft £equalis anguloEN I, &an~ ' gulusF MN rectus rectoELN cequalis,ac reJiquus NFM reli- ! quo NEL eft etiam aequajis; erit triangulum N LE triangu lo NMF fimile. vtigitur NE adEL, itaNF ad FM ; &per mutando vt E N ad N F, ita EL ad F M. Ted cum fit HE ipfi Ff F atqualis , erit EN maior N F ; quare & E L maioreritFM. & quoniam dum pondus in E per circumferentiiam E A defcendit, pondus in F per circumferentiam F B ipfi circumferentra E A requalem afccndit; defcenfufq; ponderis in E de directo (vt ip¬ fi dicunt ) capit E L : afcenfiis vero ponderis in F de directo ca- pit F M ; minus de diredo capiet afcenfiis ponderis in F, quam defcenius ponderis in E. maiorem igitur grauitatem habebit pon dusin E, quam pondus in F. ProducaturCD ex vtraq;parte in O P , qux lineam E F in puneto S fecet. &quonšamf vt aiunt ) cuo magis pondus a li- nea directionisOP difiat, eo fit grauius; idcirco hocquoq;me dio pondus in £ maiorem habere grauitauitatem pondereinFo- ftendetur. Ducantur a punctis E F ipfi O P perpendiculares EQ F R. fimiii ratione oftendetur, triangulum Q_ E S triangulo R F S fimile efie; lineamq; EQ ipfa RF maiorem eflfe . pondus itaq; inEmagisalineaOPdiftabit a quam pondus in F ; ac propterea pondus in E maiorem habebit grauitatem pondere in F. ex quibus reditus libra E E in AB manifeftus apparet. 18 "Primi.' "Primi. i 2-p Trimu 4 Sexti. | 1 6 j^uintL G 2 Si DE LIBRA. fus.ponderis in E: quocircarefiftentiaviolenti> pondprisinJSlil perab it naiui alempropenlionemponderis in F.ergo pondus in E poiidere i.i Fgrauius erir, Producatur etiam C D ex ytraq; parte in O P ; ipficj; a punetiš E F perpendicularesdiicantur E Q FR. eodemprorius modo oPcendetur dineam EQ maioremefifeFR. pondus ided in E ma gis a lineadirectionisOP diEabit, quam pondus in F. maio- rem igitur grauitatemhabebit pondus in E , quam pondus in F. ex cjuibus fecjuitur, libram E F ex parte E deorlum moueri. Ariftoteles itaq; has duastantiim ousftiones propofuit ,ter~ tiamq; reliquit; fcilicet cum centrum librse in ipla eft libra: hanc autera ommilsitjVt notam , quemadmodum res valde notas pne- termittere lolet. nam cui dubium,fi pondus in eius centro gra uitatis fuftineatur 5 quin maneat ? Ea vero , quaeexiplius ienterj tia attul i mus, aliquis reprehendere polfet, nos integram eius fenten tiam minimeprotulilTeafiimans. nam cum in iecunda parcele cundže qu;eftionis proponit,cur libra, trudna deorlum conflituta, quandodeor ! um lato pondere quilpiam id amouet , non aleen dir,fedmanet . fed fi reete intelligitur, ‘maxime luffragatur. Si autem centrum \ibrx lit infra libram, tune pon¬ dus depreiTum maiorem haberegrauitatem eleuato iildem mediis oftendetur. ducantura punctisEF ip- fi A B perpendiculares EL I M. Emiliter demon ftra bitur E E maiorem elfe F M; 8č ob id delcenlus ponderisinF minus de dl reeto capiet,qu'im alcen- Sit _D, E L IBRA. 'Sit enim libra AB horizonti a?quidiftans, cuius centrum E fit infra libram. quia ve rb Ariftoteles libram, ficuti actu eft, confide J. rat , ideb neceiTe eft trutinam , vel alicjuid aliud infra centrum E collocare 3 vt E F C quod Cjuidem truti- na erir ) ita vt centrum E luftineat, fitq; per- pendiculumECD . &vtlibra AB ab hoc moucatur fitu ; dicit Ariftoteles, ponaturpondus in B , quodcum lit graue, libram ex parteB deorlum mouebit j putainG. ita vtpropter impedimen tum deorlum amplius mouerinon poterit. non enim dicit Ari ftoteles,moueatur libra ex parteB deorlum,quoulqj libueritjdein de relinquatur, vtnos diximus: fed prascipit ,vt in iplo B po. natur pondus, quod ex ipfius natura deorfum lemper mouebi- tur; doneč libra trutina?,liue alicui alii adhtereat. & quando B erit in G,eritlibra in G H ; in cmo fitu, ablato pondere, manebit .* ciim maior pars librae a perpendiculo fit verlusG, qua? eftDG, quam D H . nec deorlum amplius mouebitur; nam libra, vel trudna?,vel akeri cuipiam, quod centrum libra? luftineat, incum bet. lienimhuic non adha?reret, libra exparte G deorlum ex ipfius lententia mouereturj cum id,quod plus eft, fcilicetDGj | deorliimferri fit necelfe. Ca?terum quisadhucdicere poterit, fiparuum imponaturpon i dus in B, mouebitur quidem libra deorlum, non autem vlqj ad G . in quo fitu lecundum Ariftotelem , ablato pondere,mane- re deberet. quod experimento patet; cum in vna tantiim libra? extremitate , impofito onere,hocq; vel maiore, velminore, libra ! plus,minulueindinetur.Quodeft quidem verilfimum,centrolupra libram,non autem infra, neq$ in ipla libra collocato. Vt exempli gratia. Sit L DE LIBRA 6 TrimLAr cbim. de | #quep. i.Huitit. Sit libra horizonti x- quidiftans A B, cuius cen trum C fit fupra libram, perpendiculumq; C D ho rizonti perpendiculare , quod exparte D produca tur in H. Quoniam enim confiderata librse grauita- te,erit punctum D librse cent rum grauitatis.fiergo in B paruum imponatur pondus , cuius centru m grauitatis fit in puncto B j magnitudinis cx libra A B,& pondere in B compofit^ non erit amplius centrum grauitatisD; fed erit in lineaDB, vt in E :ita vt DEad EB fit, vt pondus in B ad gra- uitatemlibra: AB. Connectatur CE. Quoniam autem pun- ctum Ceft immobile, dum libra mouetur, punctum E circulicir cumferentiam E F G defcribet* cuius femidiameter C E, Sc cen¬ trum C .quiaveroC D horizonti eft perpendicularis, line a C E horizonti perpendicularis nequaquamerit. quare magnitudo ex A B , Sc pondere inB compofita minimeinhccfitu manebitjfed deorfum fecundum eius grauitatis centrum E per circumferen- tiam EFG mouebitur; doneč C E horizonti perpendicularis eua datjhoceft, doneč C E in C DFperueniat. atq; tune libra A B } mota erit in k L, in quo fitu libra vna cum pondere manebit. nec deorfum amplius mouebitur. Si vero inB ponatur pondus graui- us ; centrum grauitatis totius magnitudinis erit ipfi B propius,vt in M . Sctunclibra deorfum., doneciuncta CM in lineaC DHper ueniat, mouebitur. Exmaiore igitur,& minore pondere inB po lito, libra plus, minufueinclinabitur. ex quo fequitur pondus B quartacirculiparte minorem femper circumferentiam deferibe- re,cum angulus F C E fit femper acutus.nunquam enim punctum Bvfq; ad lineamCH perueniet, cum centrum grauitatis pondc- ris,& Jibrae fimul femper inter DB exiftat. quo tamenpondus inB grauius fiierit, maiorem quoq; circumferentiam deferibet. ep enim magis punctum B ad lineamC H accedet. Habeat DE LIBRA. 28 Habeac autem libra A B centrum C in ipfa ]ibra.,atq> in eius medio: erit C librae centrum quoq; grauitatis 5 a quoipfi AB ,horizontiq; perpendicularis ducaturFC G. ponatur deinde in B quoduis pondus; erit totius magnitudinis centrum gra- uitatis putain E 5 itavtCE ad EB fit, vt pondus in B ad librae grauitatem. &quoniam C E nonefthorizontiperpendicularis, libra AB , atq; pondus in B in hoc fiiununquam manebunt ; fed deorfum ex parte Bmouebun tur, doneč CE horizonti fiat perpendicularis. hoc eft doneč li¬ bra AB in F G perueniat. ex quo patet, quolibet pondus in B circuliquartam femper delcribere. K Sit autem cent rum C in¬ fra libram A B. fitq; DCE perpendiculum, fimiliter polito in B pondere , cen¬ trum grauitatis magnitudi nisex AB libra, & ponde re in B compofitann liriea DB erit; vtinFjitavt D F ad FB fit, vt pondus in B ad librae pondus. IungaturCF . St quoniam C D horizonti eft perpendicularis ; linea C F horizonti nequaquam perpendicula¬ ris exiftet. quare magnitudo ex A B lihrs. , ac pondere in B com polita in hoc fitu nunquam perfiftet; fed deorfum vmtfi aliquid impediat, mouebitur; doneč C F in DCEpcrueniat: in quo fitu libravnacumpondere manebit.Sc punctum B erit vt i(i Go atq; punctum A in H, Jibraq; GH non amplius centriilminha,fed fii pra ipfam habebit. quod idem femper eueniet, quamVis mini¬ mum imponatur pondus in B. ergo priulčjuam B perueniat ad G; necelfe eft libram,fiue trutiaae deorfum pofito, vel a licui alteri, DE LIBRA alteri,quod centrum C fti- ftineat, occurrere; ibiq; ad- hx*rere.ex hoc fequitur J pon dus in B vitra lineam D k 3 femper moueri ; ac circuli \ quarta maiorem femper dr cumferetiam defčribere: eft enim angulus FC E Temper obtu{us,cum anguIusDCF femper fit acutus. quo au- tem pondusin B fuerit leuius* maiorem tamen adhuc circumfe- rentiam dekribet. nam quo pondus in G leuius fuerit, eo ma- gis pondus in G eleuabitur $ libraq; G Hadfitum horizonti 32 qui diftantempropius accedct . quse pmnia ex iis , quse fupra dixi- mus, mmifcda fant. His demonftratis. Manifeftum eft, centrum libramcaujfam efte diuerlitatis effectuum in libra. atq; patetomnes Archimedis de 2equeponderantibus propolitiones ad hoc pertinentes in omni fitu veras efte. hoc eft fiue libra fit horizonti asquidiftans,fiuenon: dummodo centrum libra; in lpfa fit libra 5 quemadmodum ipfe confiderat. & quamquam libra brachia habeat ina;qualia,idem eue niet; eodemq; profus modo oftendetur, centrum libra diuerfimo decollocatumvarios producere effectus. fbfhlm P A- Sit enim libra A B hori¬ zonti sequidiftans;& in AB fmt pondera in^qua!ia,quo rum grauiratis centrum fit C : fufpendaturq;Iibra in eodem puncto C. & mo- j ueatur libra in DE . mani alio fitu nianere. T D E L I B R A. Sit autem centrum libra: AB fupra C iiiF; fitq; F C ipfi A B, & horizonti perpendicularis : &fi mo- ueatur libra in DE , linea C F mota erit in F G; quse cumnon lit horizonti per¬ pendicularis libra DE deorfum ex parte D moue bitur , doneč F G in FC redeat: atq, tune libra DE in A B erit * in qud hm quoq; manebit. Et h centrum libra: F fit infra libram 5 fitq; mota libra in D E ; plimam qui dem manifeftum eft li¬ bram in AB manere; in DE vero deorfum ex par te E rnoueri : cum linea F G nonfit horizonti per¬ pendicularis. 1 Huius. \.Huius. Ex his determinatis fi libra fit areuata, vel libra: brachiaangulum conftituant ; centru mq; diuerfimo de collocetur ( quamquam ha:c pro prie non fit libra ) varios tamen huius quoq; effectus oftenderepote rimus. Vt fit libra ACB, cuius centrum, circa quod vertitur,fitC. ductaq;::'AB , v’fi.t'a^ctisfiue.anguhts ff D A : mr. r:r> :‘:Z ACB fupra lineua -A B; £dn AB grauitatis centra ponderurri- ponantur., qua: inhoc fitu maneant. moueatur* deindd libra ab j p H hoc I Huiut . DE LIBRA. . ?aukH. i Jiocfitu , pura in ECF . Dico li¬ bram EC F inACBredire, to- tius magnitudinis ccntrum grauita tis inueniatur D. & CD iunga- tur. Quoniamenim ponderaAB rnanent, Jinea C D horizonti per- pendicularis erit . quando igitur libraerir in ECF, linea CD erit pura in CG ; qua?ciim nonfitho m.ontiperpendicularis; libraEC Fin ACB redibit. cuodidem eueniet,fi cent mm Cfupra libram conftituatur,vt inH. Si vero arcus , fiue angulus ACB , fit infralineam AB; eo dem modo libram ECF, cuius centrum, fiue fit in C, fiue in H, deorium ex paite F moueri o- fiendemus. Sit autem angulus ACB fiiora lineam AB ; ac libra? centrum fitH; lin^aqj CH libram fuftineat5 & moueatur libra in E KF: IibraEk F in ACBredibit. DO od H Si DE L I B R A. 1 ° Si vero centrum libfa? fit D, qiioeuhq$ modo moueatur libra $ vbi relinguetur;, manebit. Si deinde puncmm H fit infra Iineam A B$ ttiilt* libra E k F deorfum exparte F mouebitur. : uq : i I i ti . . »y Simi!iq; prorfus ratione , fi an gulus A C B lit infra Iineam A B$ fitq; libra centrum H; fuftineaturq; libralineaCH; fi libraabhoc mo ueaturfitu, deorfum ex parte pon- derisinferioris mouebitur. &ficen trum libra? fit D; vbirelinquetur, manebit. fi vero fit in K 5 fi ab eiu f modi moueatur fitu^in eundempro/usredibit. quse omnfa exiis, qua? in principio diximus , funt manifcfta. fimiliter fi centrum li hrže, vel in altero brachiorum , vel intra 3 vel extra vtcunq; po naturjeadem inueniemus. j —y • ' J U.f ,.>£ "i ŽUUHC-i i * , , _ 1 ! bn \k aubnon iv 5 - v *> ’ • i f t J \ C ' 'f\ *,W o >’> ■' - t-f v, o:;a3i2nnoD s: 2 Ji H 2 P R O- D E t l B a A. P R O P O S I T i Oi V. Duo pondera in libra appenfa,filibra inter haec ita diuidatur , vt partes ponderibus per- muratim refpondeant; tam in punčlis appenfis ponderabuntj quamfi vtraq; ex diuiiionis pun- do fufpendantur. J 7 Quinti. . Cor.A quin- ti - Sit A B libra, cuiu$ centrum C ; fintq; duo pondera BF ex pun ctis B G fufpenfa : diuidaturq; B G in H, ita vt B H ad H G eandem habeatproportionem, quam pondus E ad pondusF . Dico pondera E F tam in B G ponderare , quam fi vtraq; ex pun cto H fufpendantur . fiat A C ipfi C H a?qualis. Sc vt A C ad C G ^ ita fiat pondus E ad pondus L . fimilitervt A C ad C B, ita fiat pondus F ad pondus M. ponderaq; LMex puncto A fu fpendantur. Quoniamenim ACeft sequalis C H , erit BC ad CH vt pondus M ad pondus F . Sc quoniam maior cft BC, quam CH; erit Sc pondus M ipfoF maius . diuidatur igitur pon dus M in duas partes Q_R, fitq; pars Q ipfi F sequalis ; erit B C ad C H,vt R Q ad Q : Sc diuidendo ,vt B H ad H C , ita R ad Q. deindeconuertendo,vt C H adHB,itaQ ad R. Prxtereaquo- niam CH eft cequalis ipfi C A, erit H C ad C G , vt pondus | Ead pondus L: maior autem eft H C, quam C G ; erit Sc pon- o n c i _ D E L I B R A._31 dus H pondere L maius.diuidatur itaq; pondus E in duas partes NO /ta, vt pars O fit ipfi L teoualis , erit H C ad C G, vt to- tum NO ad O; Sc diuidendo, vt H G ad GC , ita N ad O : conuertendocjj vt C Gad GH, ita O ad N. Sc jterum com- ponendo , vt CHad HG , ita ON ad N. vt autem G H ad HB,itaeftF adO N. cjuare ex sequali, vt C H ad HB , ita F ad N. fedvtCH adHB ita eftQ adR: eritigitur Q adR,vt F ad N> &permutando ,vt Q ad F, ita Rad N. eft autem pars Q ipfi F '£qualis; quare&parsR ipfi N 2cqualiserit. Itac; cum pondus L fit ipfi O arquale, & pondus F ipfi Q etiam ?equale, atq; parsR ipfi N čequalis; erunt pondera L M ipfis E F ponderibus £equalia. &quoniam eft, vt A C ad C G, ita pondus E adpon- dus L; pondera E L tequeponderahunt. fimiliterquoniameft,vt A C ad C B, ita pundusF ad pondus M 5 pondera quoq; F M 2equeponderabunt. Pondera igitur L M ponderibus E F in BG appenfis tequeponderabunt. cum autem diftantia C A aeaualis fit diftantiteCH; fi igitur vtraq; pondera E F in H appendantur, pondera L M ipfis E F ponderibus in H appenfis asquepondera- bunt. jfedLM ipfis E F in GBquoq; cequeponderant seque igitur grauia erunt pondera E F in G B; vt in H appenfa. tam igi turponderabunt in B G> quam in H appenfa. 17 Ojiinti. C'or.4 quitt ti. 1 ? Quinti. 2 3 Qmnti. I 11 Qu)nti. x 6 Ouinti. 6 TrimiM cbim. de ntqueip. a Com.not. j huiws. 3, Corn not. I huius. Sint autem pondera E F in C B appenfa; fitq; C librse centrum; Sc diuidaturCB in H , ita vt C H ad HB fit, vt pondus in F ad E. Dicopondera EF tam in C Bponderare,quaminpunctoH. fiat C A ipfi C H tequalis, Sc vt C A ad C B, ita fiat pondus F ad aliud D 3 quod appendatur in A. Quoniam enim C H eft tequa- lis P E L IB R A f- • \ H;v " . I. . I • v . c '• • ' ■ ’ l’-' - l J '* C 11 JV! • U c ./--■■ X C _ _JK _B lis CA, eritCHad CB, vtFad D; Sc maior quidem eflC B, cjiiam C H; idcirco DpondereF maius erit. Diuidatur ergo D in d uas partes G k,Etq; G ipfi F £qualis; erit vt BC adCH > ! t Omnti. vt G k ad G 5 & diuidendo , vt B H ad HC, ita K ad G 5 Sc ccnuer ror.4 quin tendo, vtCH adH B ,itaG ad k .Vt autemCH ad H B ,ita eft i *}' . t . F ad E . vt igitur G ad k, ita eft Fad E 5 Sc permutando vt G j 6 QttintL a dE :> itak ad E. funtautem GFseouaka j erunt & k E inter (e fesqua!ia. cum itaq; .pars GfitipfiF £qualis,&KipfiiE; erit totumC k ipfis E F ponderibussequale. Sc quoniam A C eFt ip~ fiCH žequa]isj fi igitur pondera E F ex puncto Hfuipendantur, pondus D iplss EF in H appenfis £queponderabit. led Sc ipfis ' £equeponderatinCB, hoceftFin B, &E in C ; c um (k vt A C adCB ,itaF ad D . pondus enim E ex centroiibrte C {ulpen- ium non efHcit^vt libra in alterutram moueatur partem. tam igi¬ tur grauia erunt pondera E F in CB, quam in H appenfa. t 1 Sit DEL I B R A. Sit deniq; libra AB , Si ex punctis A B {ufpcnfa fint pondera EF: fitq, centrum librse C intra pondera; diuidaturq; AB in D, ita vt A D ad D B (it, vt pondus F ad pondus E • Dico pon dera E F tam in AB ponderare,quamfivtraq;expunctoDiufpen dantur. fiat C G asqualis ipfi CD; & vt DCad CA, ita fiat pondus E ad aliud H; quod appendaturinD, vt autem G C ad C B,ita fiat pondus Fadaliud K;appendaturq; k inG.Quoniaenim j cfl:,vtBC ad C G,hoc eftadCD, ita pondus k ad F; erit Kma | ius' pondereF. quare diuidatur pondus k in L , & MN; fiatq; ! pars L ipfi F aequalis; erit vt BC ad G D , vt totum I M N ad j L; & diuidendo, vt B D ad DC, ita pars M N ad partemL. vt | igiturBDad DC, ita pars MN adF . vt autem AD ad DB, j ita F ad E: quare ex a2quali, vt A D ad Jp C', ita MN ad E. cum vero A D fit ipfa C D maior ; erit & pars M N pon dere E i maior : diuidatur ergo MN in duas partesMN , fitq; M a?qua j lis ipfi E. erit vt A D ad D C ,vt N M ad A4;& diuidendo,vt ! AC adCD, ita N ad M: conuei'tendoq;-vt DC ad:C A, ita M i ad N. vt autem D C ad C A , ita efi: JE ad H,; erit igitur M ad N vt E ad H; & permutando., vt M a d' F/, ita N ad H, fed ME funtinter fe £equalia, ertint NH inter Q fe quoq; 3equalia. Si quo- : mam itaeft A C ad C D, vt H ad E ; pondera H E asqueponde- : rabunt. fimiliter quoniam eflvtGCadCB,itaF adk,ponde- | ra etiam 17 Quinti. 23 Ojiinti. 17 Quinti. Cor. 4 quin ti 1 x Qujnti. 16 Ouinti. 6 Vrimijir chim. de *quep. DE LIBRA i Com.not. buius. i Com.not. buius. I $ Com.not. buius. ra etiam k F a^ueponderabiint. pondera igitur, £ k H F in li¬ bra A B , cuius cenrrum C,sequeponderabunt. cum aurem GC ipfiCD fitaequalis,& pondus H fit ipfiN £quale; pondera N H ^queponderabunt . & quoniam omnia a^ueponderant, demptis j H N ponderibus,quse a;queponderaht^ reliqua a;queponderabunt; hoceft pondera E F & pondus LM ex centro libra; C {ufpenfa. quiaverd pars L ipfiFeft: a;qualis,, & pars M ipfi E sequaiis ;erit totumL-M ipfis FE ponderibus fimul iumptis sequale. & cum I fit C G ipfiCD sequalis,fi igitur pondera E F ex puncfo Dfufpfen- i dantur,ponderaEFinDappenTaipfi L M žequeponderabunt.quare LM tam ipfis EF in AB appenfis £queponderatj quam inpun cto D appenfis. libra enim Tempereodem modo manet. Ponde¬ ra ergo E F tam in A B ponderabunt, quam in puncto D. quod demonftre oportebat. Haec autern omnia ( mechanice tamen ma- gis) aliter oftendemus . uno Sit I ■D E L I B R A. 3i. Sit'libra AB, cuius centrum Qfintq; Vt in pri m o cafu duo pon deraEF ex punctisBG fufppnfa:fitqj GH ad HB, vt pondus F ad pondiis E. Dicopondera E F tam in GB ponderare,quam fivtraq; ex diuifionis puncto H fufpendantur. Conftruantur ea dem, hoc eft fiat A C ipfi C H requahs , Sč ex puncto A duo ap- pendantur ponderaL M , ita vt pondus E ad pondus L } fit vt CA ad C G; vt anteni CB adCA, ita fit pondus M ad pondus F. ponderaL M ipfis E F in GB appenfis ( vtfupradictumeftj £equeponderabunt. SintdeindepunctaNO centra grauitatis pon derumEFj conne&anturq;GN BO ; iungaturqj NO,qua;tan- quam libra erit; qu£ eriam efficiat lineas G N BO interfe fesqui- diftantes effe ; a puncto® H horizonti perpendicularis ducatur HP, quae NO fecet in P , atq; ipfis G N BO fit a2quidiftans. deniq; connectatur GO-,qux H P fecet inR. Quoniam igitur HR eft Iateri BO trianguli G BO squidiftansj erit G H ad HB, vt GR ad RO. fimiiitčr quoniam RP eft Iateri G N trianguli OGN ^qurdiftans ; crit GR ad RO, vt N P ad PO . quare vt GHadHB, ita eft N P ad PO. vtautem GH ad HB, ita j eft pondus F ad pondusE 'j vt igiturNP adTO , ita eft pondus | Fad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magni- ] tudinisex vtrifčj; EFponderibus compofita?. Intelligantur itaq; ponderaEF itaefte a libra N O connexa, ac fi vna tantum eftet magnitudo ex vtrifo; E Fcompofita,in punctifcp BG appenfa. fi igitur ponderum fufpenfiones BG fo!uantur,manebunt pondera E F ex H P fufpenfa; ficuti in G B prius manebant.pondera vero EF in GB appenfa ipfis L M ponderibus£queponderant, & pondera 2 Sexti • 11 Quinti. 6 "Primi Ar ckim. de #quep' i Huius. I EF ex -J DE LIBRA. EF expuiKtoHfufpen{a j eandem habent conftitutionem ad li¬ bram A. B , quam in B G appenla : eadem ergo pondera E F ex H fufpenfaeifdem ponderibus L M žecjueponderabunt. asque igi- tur funt grauia pondera E F inGB» vtinHappenfa. Similiterdemonftrabitur,ponderaEFin quibu/cunq; aliisptm ctis appenfa tam poderare 3 quam fi vtraq; ex diuifionis puncto H Tu fpendantur. F enim ( vtfupra docuimus J in libra pondera inue- niantur } quibus ponderaE F asqueponderent ; eadem pondera E F ex H fufpenfaeifdem inuentisponderibusžequeponderabunt; cum punctum P fitfemper eorum centrum grauitatis H P homon ri perpendicularis. P R O- DE LIBRA. %6 ± _ P R O P O S I T I O. VI. Pondera sequalia in libra appenfaeam in gra uitateproportionernhabent; quam diftantice,ex quibus appenduntur. Sit libra B A C fulpenfa ex puncto A;& ftcetur A C vtcunq; in D: ex punctis autem D G appendantut sequalia pondera E F. Dico pondusF ad pondus Beam in gramtateproportionemha- bere, quam habet diftantia C A ad diftantiam A D. fiat enim vt CAad A D, ita pondus F ad aIiudpondiis,quodfit G. Dico pri m um pondera G F ex puncto C fulpenfa tantum ponderare,quan tum pondera EF ex punctisDC. SeceturDC bifariamin H,& exH appendantur vtrag; pondera E F . ponderabunt E F fimul iumpta in eo fitu , quantum ponderant in D C. ponatur B A j ^qualis AH , /eceturq; B A in K, ita vt fit K A £equa]is A D: j deinde ex puncto B appendatur pondus L duplom ponderis F, ! hoc eft squaleduobusponderibus E F , quodquidem sequeponde ; rabit ponderibus E F in H appenfiiSjhoceft appenfis in D C.Quonia I igitur,vtC Aad A D, ita eft pondus F ad pondus G; eritcompo nendo vt CA A D ad AD } hoc eft vt C k ad AD a ita ponde¬ ra F G ad pondus G. fed cura fit, vt C A ad AD , ita F pon¬ dus ad pondus G; eric conuertendo , vt D A ad A C, ita pondus G ad pondusF; &confequentiumdupla ,vt D A ad duplamipfius AC, ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc eft ad pondus L . QuarevtC k ad D A, ita pondera E F ad pondus G; &vt 5 Rum. 18 Quinti. j C or. 4 quin ti. I 2 AD ad i a 3 Qujnti. 7 Quinti. DE LIBRA. AD ad dupla ipfius ACfita pondus G ad pondus L;ergo ex a?quali, vrCkad dupla ipfius AC,ita pondera F Gad pondus JL.fed vtCk adduplam A C,ita dimidia C K,videlicet A H 5 hoc eft BA 3 ad A C. Vt igitur B A ad A C,ita F G pondera ad pondus L. Qua re exfexta eiufdem primi Archimedis, duo pondera F G expun cto C lufpenla tantumponderabunt, quantum pondus L ex B; hoceft quantum pondera E F expunctis D Clufpenfa.Itso; quo niamponderaFG tantiim ponderant,quantum pondera E F 5 lu- blatocommunipondereF, tam ponderabit pondus G inCap- pen(um 3 quam pondus E in D. ac propterea pondus F ad pon¬ dus E eam ingrauitate proportionem habet , quamhabetadpon dus G. Ted pondus FadG erat, vt C A ad AD : ergo Se F pon- dusad pondus E eam in grauitate proportionem habebit,quam ha betC A ad AD. quod demonftrareoportebat« Si vera in libra B A C pondera E F 3 a c žequalia ex punctis BC fufpendantur ;fi- militer dico pondus E ad pondus F eam in grauitate proportionem habere, quam habet diftantia C A ad di ftantiam A B. fiat A D ipfi A B atqualis, Se ex puncto D Tufpen- daturpondusG cequa!eponderiF; quod etiam ipfiEerit seouale. Se quoniam ADeft sequalis ipfiAB; ponderaFG atoueponde rabunt,eandemq; habebunt grauitatem. cum autem grauitas pon deris E ad grauitatem ponderisG fit,vtC A ad AD; erit graui tas ponderisE ad grauitatem ponderis F, vt C A ad A D, hoc eft C A ad A B . quod erat quoq; oftendendum . E A L I- DE LIBRA. A L I T E R. A fc H Sit libra B A C , cu- iuscentrumA jinpun- ctis vero B C pondera appendantur sequa]ia G F:litq; primum cen- trum A vtcunque inter B C. Dico pondus F a d pondus Geamingraui tate proportionemhabere, quam habet diftantiaCA ad diftan- tiam AB. fiatvtBA ad A C, ita pondus F ad aliudH , quodap pendaturinB : pondera HF ex A ^queponderabunt. fed cum pondera F G fint a?qualia, habebit pondus H ad pondus G ean- demproportionem,quam habet ad F. vt igitu rC Aad AB, ita eft H ad G. vt autem H adG , ita eft grauitas ipfivsH ad graui tatem ipfius G;cum in eodem puncto B fintappenfa.quare vt C A ad A B,ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. ciim au tem grauitas ponderis F in C appenfifit asqualis grauitati ponderis H in B 5 erit grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G, vt CA ad AB, videlicet vt diftantiaad diftantiam. quod demonftrare oportebat. Si vero libra B ACfecetur vtcunq; in D , & in D C ap¬ pendantur pondera aequaliaEF. Dico fimiliter ita efte gra¬ uitatem ponderis F ad grauitatem ponderis E, vtdiftantiaC Aad diftantiam AD. fiat A B 5equalis ipfi A D , & in B appendatur pondus G ^quale ponderi E, Se ponderi F. Quoniam enim AB eft asquaIisAD;pondera GE aequeponderabunt. fed cum grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G fit,vtC A ad AB , Sc graui tas ponderis E fit aequalis grauitati ponderis G; erit grauitas pon- derisF ad grauitatem ponderisE,vt CA adAB , hoc eft vtCA ad A D. qu od demonftrare oportebat. s 3) C O ROL- 6 "PrimiAr chim■ de atjuep. 7 guintt. Stater&r#- tio. j 1 6 Quinti. 6 Huius. DE LIBRA D C O R O L L A R I V M. Exhoc manifeftiuneft, quo pondus a centro libra? magis diftat, eo grauius elle ; & per confe- quens velocius moueri, Hinc praeterea ftaterse quoq; ratio facile often detur. Sit enim ftate rsefčapus A B y cu ius trudna (it in C j lite; ftaterai appendiculum E. appendatur in A pondus D,quod xqueponderetap pendiculoEin F appenfo. ahud quocp appendatur pondus G in A , cjuod etiam ; appendiculoE in B appenfo arejueponderct. Dico grauitatem f ponderisDad grauitatemponderis Gita effe,vt CF ad CB . Quoniam enim grauitas ponderis D eftxqualis grauitati ponde¬ ris E in F appenfi 3 &grauitas ponderis G efl: secjualis grauitati pon derisEin B ; eritgrauitas ponderis D ad grauitatem ponderis E in F; vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis E in B:&permu tando^vt grauitasponderis D ad grauitatem ponderis G,itagraui tasipfius E in F, ad grauitatem ipfius E in B; grauitas autem pon deris E inF ad grauitatem ponderisE in B eft, vtCF ad CBjvt igitur grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita eftCF adC B. fi ergo parsfcapi C B in partes diuidatur xquales, folo pondere E, &propius, & longius a puneto C pofito; ponderum grauitatesjcpice ex puneto A fufpendunturinter fc fe notx erunt. Vtfi DE L IB R A._ Vtfi diftantia CB tripla fit diftantise C F, erit quoq; grauitas ip- fius G grauitacis ip(ius D tripla.quod demonftrare oportebat. Alioquoq; modo ftatera vti poffumus * vt ponderum grauitates notx reddantur. Sitfcapus A B, cuius tru¬ dna fit in C 5 fitq; ftaters ap pendiculum E , quod appen- datur in A j fintque pon- dera D G ina?quaIia, ) CjUorum inter fe fe grauitat um propor- tiones qu3erimus : appenda- tur pondus DinB, itavtipfi 3 ! r L x> -j--- - ? - jr - Ea?queponderet. iimiliter pondus G appendatur in F , quod ei- dem ponderiE aequeponderet. dico Dad G itaeffe , vt C F ad C B. Quoniam enim pondcra D E segueponderant, erit D ad E, vt CA ad CB. cum autem pondera quoque GEarquepon- __ derent j erit pondus E ad pondus G, vt F C ad C A; quare ex a?qua li pondus D ad pondus G ita erit, vtC FadCB. quod oftende re quoqjoportebat. 6 Trimi^ir chim. de F R O- DE LIBR A _ P R O P O S I T I O VIL PROBLEMA. Quotcunque datis in libra ponderibus vbicunque appenfis , centrum librae inuenire ,, ex quo fi fulpendatur. libra , data pondera ma- neant, Sit libra A B , fintq; data quotcunque pondera C D E F G. accipiantur in libra vtcunque puncta A H k L B , ex quibus data pondera fpujfpendantur. Centrum libne inuenire oportet., ex quo fi fiat iufpenfio , data pondera maneant. Diuidatur m D E; L I B R A COROLLARIVM. e Ex hoc manifeftum eft/i ponderum C D E F G centra grauitatiseffentin AHKLB pun&is ; e£ fet punctum P magnitudinis ex omnibus C D EFG ponderibus compofitce centrum graui- tatis. Hoc enim ex definitione centri grauitatis patet, cum ponde- ra, fi ex puncto P fufpendantur 3 maneant. D E 38 DE V E C T E. L E M M A. S i. . .. . i JfcLJ INT quatuor magnitudines A BCD i iitq; AmaiorB J & Cma iorD . Dico A ad D maiorem habere proportionem ; quam habet B ad C. Quoniam enim A ad C maiorem habet pro¬ portionem, qua m B ad C 5 Sc A ad D maio¬ rem quoq; habet proportionem, quamhabet ad C: A igitur ad D maiorem habebit ,quam B adC. quod demonftrare oportebat. Ji -j č i P R O P O S I T I O I. Potentia fuftinens pondus vedi appenfum; eandemadipfum pondus proportionem habe- bit,quam vedis diflantiainter fulcimentumjac ponderis fufpeniioneniad diftantiam afulcimen to ad potentiam interiedam. K 2 Sit 8 Quinti. I DE V E C T E JL_ K C 33 7 \ Sit vectis A B, cuius fulcimcntum C; fitq; pondus D ex A (u- fpenfum AH, itavt AH fit Temper horizonti perpendicuiaiis: Uta; potentiafuftinens pondus in B. Dico potentiam in B ad pon , dusD ita efle,vt CA ad CB.fiat vt BC ad C A^ita pondus D 6 Vrimijtr adaliud pondus E, cjuippe quod fiin B appendatur; ipfi D asque ponderabit, exiftente C amborum grauitatis centro. quare poten tiaa!qualis ipfiE ibidem conftituta ipfi D cequeponderabit, vecte AB,eius fuicimentoin C collocato, hoc eft prohibebit, ne pon dus D deor/umvergat, quemadmodum prohibet pondus £ . Po tentia vero in Bad pondus Deandem habetproportionem,quam pondusE ad idem pondus D : ergo potentia inB ad pondus D erit,vt CAadCB ; hoc eft vectis diftantiaa fuicimento ad pon deris fufpendium ad diftantiam afulcimento adpotentiam.quod demonftrare oportebat. Hinc facile oftendi pote/L fulcimer)tumquo ponderi fuerit propius, minorem ad idein pon¬ dus fuftinendum requiripocentiam. chim. de pondus D fu ftinebit; exiftente vecte A B 5 eius vero fulcimento vfii F, quam fi fueritvbiC. fimiliterquoq;oftendetur, quo propius erit fulci- mentum ponderi D, adliuc femper minorem requiri potentiam ad iufiinendum pondus D. COROLLARIVM. Vode palam colligerelicet, exiftente A F ipfa F B minore, minorem quoq; requiri potentiam in ipfo B pondere D fuftinendo . a?quali vero aequalem. maiore vero maiorem. PROPOSITIO II. Aliomodo vedevti poisumus. 3 D A Sit vectis AB 5 cuius fulcimentum fitB,&: pondus C vtcunq$ in D inter AB appen- fum 5 fitq; poten tia in AluftinenspondusC. Dico vt BD ad B A 3 itaefle potentiam in A ad pondus C. appendatur in A pondus E £qualeipfi C j & vt AB ad B D, ita fiat pondus E ad aliudF. Sc quoniam ponderaC E funt inter fe fe xo J ualia J erit pondus C ad pondus F, vt AB ad BD. appendatur quoq; pondus F in A. SC quoniam pondus E ad pondus F eB,vt grauitas ipfius E adgra- uitatem ipfiusFj& pondusEadF eft,vt AB ad BD;vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F 3 itaefi: ABabBD. vt autem ABadBDjita eft grauitas ponderis E ad grauitatem ' io Quinti .j Infexta hu j im de libra | Ex 11 quin ! ti. j 6 Huim . j de libra. ponderis DE V E C T E ponderis C: quare gra uiras ponderis E ad grauitatem ponderis F ita erit, vt grauiras ponderis E ad gra- | uitatem ponderis C. Pondera igitur C F 3 3 A 5 J Ex 7 quin ti. Ex 9 quin- eandem habent grauitatem.Ponatur itaq; potentiain A (uftirtens pondusF j eritpotentia in A requalisipfi ponderi F. Se quoniam | pondusF in A appen{iimsequegraueeft, vt pondus C in D ap- peniungeandemproportionemhabebit potentia in A ad grauita- temponderis Fin A appenfij quam habet ad grauitatem ponde¬ ris C in D appenfi, Potentia vero in A ipfi F a?qualis (uftinet pondusF, ergopotentia ih A pondus quoa; C fiiflinebit . ltaq; cum potentia in A Cit ^oualis ponderi F , & pondus C ad pon¬ dus F Cit j vt AB ad BF) 5 eritpondusC ad potentiamin A, vt A B ad BD.& e conuerfo, vt BD ad BA „ ita potentia in A ad pondus C. potentia ergo ad pondus ira erit, vt diOantia Rilci- mentOjac ponderis fiilpenfioni intercepta ad diftantiam a fulci mentoad potentiam. quodoportebat demonftrare. ALITER. C or. ■ 4 quin i n. Sit ve^is AB ^cuius fulcimentum (it B,&: pondusF expuncto C {iifpen{umditq; vis in A fuftinens pondus E. Dico vt B Cad BA, itaefle potentiam in A ad pondusE. Producatur AB in C,& fiat BD aequalis BC;& ex puncto D appendatur pondus Fsequa le ponderi E; itemq; ex puncto A fufpendatur pondus G ita , vt pondus F ad pondus G eandem habeat proportionem,quam AB ad _D E; V E G T E._40 ad BA. ponderaF G atqueponderabunt.cum autem fit CB &qua lis BD j ponderamocf FE a?qualia a? q u ep o n d e rab im t. pondera verdFEG in libra,feu vecteD B A appenfa^ cuiusfulcimentum eftB no n atqueponderabunufedex parte A deorfumtendent.po natur itacpin Atantavis,vt pondera FE G jequeponderent ;erit potentia in A-fequalis ponderi G.pondera enim F E a?cpieponderaf, Sc višin A nihil aliud efficere debet,niftfuftinere podus G^ne defčen dat. & quoniam ponderaFEG,&potentiain A£equeponderant, demptis igitur F G ponderibus, quattequeponderant> reliqua atque ponderabuntjfcilicet potentia in A ponderi E 3 hoc eft potentia in ApondusE fuftinebit, iravt vectis AB maneat, vt priuserat. Cii m autem potent ia in A {it sequalis ponderi G ,&pondus Epon deri F asquale 5 habebit potentia in A ad pondusE eandem pro- portionem,quam habetBD,hoceft BC adBA. cuod demon- ftrareoportebat. COROLLARIVM I. Exhocetiam(vt prius) manifeftum eflie po- teft/iponatur pondus E propius fulcimento B, vc in H; minoreni potentiam in A fuftinere pof- fe iplbin pondus. Minorem enim proportionera habetHB adBA^ quam CBad BA. Sc qub propius pondus eritfulcimento,adhuc fempermino rem poffe potentiam fuftinere pondus E fimiliter oftendetur. COROLLARIVM II. Sequitur etiam potentiam in A femper mino rem efTe pondere E. Sumatur enim inter A B quoduis punctum C * femper BC minor erit B A. C O- 8,Quinti. DE V E C T E COROLLARIVM III. Ex hoc quč>q; elici poteft/i dnx fuerint poten tise„ vnain A, altera in B, & vtraq; fuftentet pondus E;potentiamin A ad potentiam in B ef- fe, vtBC adC A. E C A' Vectis enim BA fungi- tur officio duorumvectiii; Sc AB funt tanquam duo fulcimenta, hoc eft c^ian- do A B eft vectis,& poten tia fuftinens in A 5 erit eius fulcimentum B. Quando vero B A eft vectis, Sc potentia in B? erit Afulcimentum: Sc pondus femper ex punctoC remanet fii- fpenfiim. Sc quoniarr» potentia in A ad pondus E eft, vt BC ad BAj vt autern pondus E ad potentiam , quat eft inB , ita eft .iguinti. B A ad AC$ erit ex aequali, potentia in A ad potentiam in B,vc BC ad C A . Sc hoc modo facile etiam proportionem , quse in Quteftionibus Mechanicisqu;sftionevigefima nonaab Ariftotele ponitur, nouiflepoterimus. COROLLARIVM IIII. Eft etiam manifeftum, vtrafq;potentiasin A, Sc B fimuifumptas a?quales effe ponderiE. Pondus enim E ad potentiam in A eft,vtB A ad BC;& idem pondus E ad potentiam m Beft, vtBA ad AC;quare pondus Eadvtrafq; potentias in A 3 Sc B fimuifumptas eft 5 vtABad BC C A fimuljhoc eft ad B A. pondus igitur E vtrifq; potentiis fimul fumptis £quale erit. P R O- DE V E C T E 41 P R O P O S I T I O III. Alioquoq; modo večie vtipofsumus. D A Sit Vectis ABj cuius fukimentum B ; fttq; ex puncto A pondus C appen- fum j fitq; potentia in D vtcunq;.inter AB fiiftinens pon¬ dus C. DicovtAB adBD, ita efle potentiam in D ad pondus C. Appendatur ex puncto D pondus E a:qualeipfiC; & vtB D ad BA, ita fiat pon dusE ad aliudF. &cumponderaC E fmtinterfefea;qualiaj erit pondus C ad pondus F , vt BD ad B A . appendatur pondus F quoq; inD . & quomampondus E adipfumF eft, vtgrauitas ponderis E ad grauitatemponderis F; & pondus E ad pondus F eft, vt BDadB A: vtigitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita eft BD ad B A. vt autem B D ad B A, ita eft gra uitas ponderis E ad grauitatem ponderis C 5 quare grauitas ponde¬ ris E ad grauitatem ponderis F eandem habet proportionem, quam habet ad grauitatem ponderis C. pondera ergo C F eandem habent grauitatem. fitigitur potentia in D fiiftinens pondus F, eritpotentia inD ipfiponderi Fasqualis. &quoniam pondus F in D a£que graueeft, vt pondus C in A 5 habebit potentia in D eandem proportionem ad grauitatem ponderisF,quamhabetad grauitatem ponderis C. fed potentia in D pondus F iuftinetjpo- tentiaigitur in D pondus quoq; C fuftinebit:& pondus C ad po¬ tentiam inDita erit, vt pondusCad pondus F j &C adF eft,vt BDadB A 5 erit igitur pondus C ad potentiam inD, vtBD ad BA : Sč conuertendo,vt AB adBD, ita potentiain D ad pondus C. potentia ergo ad pondus eft,vtdiftantia a fuicimentoadpon derisfufpendium ad diftantiamafulcimentoad potentiam. quod demonftrare oportebat. \njextahu im de li¬ bra. 6 Huim de libra. p Quinti. 7 Ojtinti . ALI- DE V E C T E A L I T E R. S D_JK_A Z! Sic vectis AB, cuius fulcimentum B; &ex puncto A {it pon- dusC fufpenfum; fitq;potentia in D fiiftinens pondus C.Dico vt A B ad B D , ita effe potentiam in D ad pondus C. Produca tur AB in E ; fiatq; BE sequalis ipfiBA; & ex puncto Eappen datur pondus F sequale ponderi C 5 & vt B D ad B E, ita fiat pon dus Fadaliud G,quod ex puncto D /ufpendatur. pondera FG £equeponderabunt. & quoniam ABeft £equaiis BE, Sc pondera F C £equaliaj fimiliterponderaF C £queponderabunt. Pondera vero FG C {iifpenla in vectc E B A, cuius fulcimentum eftB,non squeponderabunt jfedex part e A deorfum tendent. Ponaturigi tur in Dtantavis, vt pondera FG C tequeponderent 5 erit po- tentiain D£equalis ponderi G : pondera enim F C £equeponde- rant^& potentiain D nil aliud efficere debet , nifi fuftinere pon¬ dus G ne defcendat. Sc quoniam pondera FGC : & potentiain D tequeponderant,demptis igitur F G ponderibus, quas tequepon derant;reliqua ^queponderabunt,fcilicet potentia in D ponderiC. hoceft potentiain D pondus C fuftinebit , ita vt vectis ABma- neat,vt prius. Sc cum potentiain D fitceaualis ponderi G, Sc pon¬ dus C £equale ponderi F j habebit potentiain D ad pondus C ean dem proportionem , quam EB hoc eft A B ad BD. quod de- monftrare oportebat. Ex hoc etiam patet,vt prius, fi coftituatur pon dusfulcimento Bpropius, vtin H;aminoripo¬ tentia pondus ipfum fubftineri debere. COROLL ARIVM I. Minor I_D EV E C T^E_ 42 ■ JMinorem enim proportionem habet HB ad BD,quam AB ad B D. &quo propius erit fulcimento., adhuc femper minorem re- quiri potcntiam. C O R O L L A R I V M II. Manifeftum quoq; e/^potentiam in D femper maiorem elTepondere C. Si enim inter A B iumatur cjuoduis punctum D, femper AB maior eritBD. Et aduertendum eft haiče , quas attulimus demonftrationes non folum ve^ibus horizonti asquidiftantibusverum etiam ve- ctibushorizontiinclinatis ad hasc omnia oftendenda commode aptaripoiTe. quodexiis, quae de libra diximus, patet. PROPOSITIO IIII. Si potentia pondus in ve 3 e appenfum mo- ueat; erit fpatium potentise mota? ad fpatium moti ponderis, vtdiftantiaa fulcimento ad po- tentiam ad diftantiam ab eodemadponderis fu fpenfionem. L 2 Sit DE V E C T E 15 Trimi. ! Ex 2 6 ter- tii. 1 6 Quinti.\ 23 OClaui Tappi. 11 Quinti. SitvectisAB, cuius fuk cimentum C j &rex punctoB fit pondus D fufpenfumjfitq; potentia in A mouens pon- dus D vecte AB. Dicoipa- tium potentia in A ad fpa- tium ponderis ita eiTe 5 vt C A adC B. Moueatur vectis A B, Se vt pondus D furfiim mo¬ ueatur jOportetB furfum mo ueri, A vero deorlum.Se quo- niamC eft punctum immobi lej idcirco dum A^Se B mo- uentur, circuloru circumferen tias defcribent.Moueatur igi- tur AB in E F j erunt A E BF circulorum circumferenti^ , quorum femidiametri funt CA CB. tota compleatur circumferentia AGE,&tota BHF j fintqj K H puncta 3 vbi A B, & E F circulum BHF fecant. Quoniam e- nimangulus BCF eft sequalis anguloHCkj erit circumferentia k H circumferentia BF squalis . cum autem circumferentia A E k H fint fub eodem angulo A C E , & circumferentia A E adto- tam circumferentiam A G E fit,vt anguIusACE ad quatuor re- ctosj vt autem idem angulus HCk adquatuorrectos,itaquoq; eft circumferentia H K ad totam circumferentiam H BK j erit cir cumferentia A E ad totam circumferentiam A G E, vt circumfe¬ rentia k H ad totam kFH. & permutando , vt circumferentia A E ad circumferentiam kH, hoc eft BF, ita tota circumferen¬ tia A GE ad totam circumferentiam BHF . tota vero circumfe rentia AGE icafehabetadtotamBH F.,vt diameter circuli AEG ad diametrum circuli BHF. Vtigitur circumferentia AEadcir cumferentiam BF, ita diameter circuli A GE ad diametrum cir culi BHF: vt autem diameter ad diariietrum , ita femidiameter ad iemidiametrum , hoc eft C A ad CB: quare vt circumferen¬ tia A E ad circumferentiam BF, ita CA adCF. circumferentia vero A E fpatium eft potentke motse , &c circumferentia BF eft jequalis DE V E C T E 43 A aegualis fpatio ponderis D moti . fpatium enimmotusponderis D femper aequale eft fpatio motus puncti B, cum in B fit appen fum : fpatium ergopotentiasmotsead fpatiummoti ponderis eft, vt C A ad C B 5 hoc eft vt diftantia a fulcimento ad potenriam ad diftantiam ab eodemad ponderis fufpenfionem ,quod demon ftrare oportebat. j Sit autem vectis A B, cu- iusfulcimentumB; potentia- que mouens in A; & pondus in C. dicofpatium potentise translata; ad fpatium transla ti ponderis ita eflfe, vt BA ad BC. Moueaturvectis, & vt pondus fiirfum attollatur, ne- ceflfe eft puncta C A iurfum moueri. Moueatur igiturA iurfum vfq; ad D 5 ficq; ve¬ ctis motus B D . eodemqj modo (vtprius dictum eft ) oftendemus puncta C A cir- culorum circumferentias de- fcribere,quorufemidiametri{unt B A BC.fimiliterq; oftendemus itaeflfeADad CE,vt femidiameter ABad femidiametrum BC. Eademq; ratione , fi potentia efifet in C , & pondus in A, oftendeturita eflfe C E ad A D, vt BC ad BA; hoc eftdiftan tia a fulcimento ad potentiam ad diftantiam ab eodem ad ponde ris fufpenfionem. quod oportebat demonftrare. COROLLARIVM. Ex hismanifeftumeft maiorem habere pro- portionem fpatium potentke mouentis ad fpa¬ tium ponderis moti, quam pondus ad eandem potentiam. Spatiumenim potentia: ad fpatium ponderis eandem habet, quam i 8 Qvinti. O _DE VE C T E_ quam pondus ad potentiam pondus liiftinentem $ potentia ve¬ ro fuftinensminor eft potentia mouente, quareminoremhabebit proportionem pondus ad potentiam ipfummouentem ,quamad potentiam ipium liiftinentem. fpatium igiturpotentise mouentis adlpatiumponderis maiorem habebit proportionem, quam pon¬ dus ad eandem potentiam« P R O P O S I T I O V. Potentia quomodocunq; vede pondus fufti- nensadipfum pondus eandem habebit propor¬ tionem,quam diftantia a fulcimento adpundum, vbi a centro grauitatis ponderis horizonti dueta perpendicularis vedem fecat, intercepta, ad diftantiaminter fulcimentum, & potentiam. Sitvectis AB horizonti aequi- diftans,cuius ful cimentumNjftt deinde pondus A C, cuius cen- trum grauitatis ftt D, quod pri nium fit infra ve ctemjpondus ve ro lic ex punctis AOlufpenfum; & a puneto D horizonti,&ipfi A B perpendicularis ducatur D E. ft vero aliifint quoq; vectes AFAG, quorum fulcimenta fint H K j pondu{q$ A C in vecte A G ex punctis AQ litappenfum ; invecte autem AF in punctis A P : Iineaq; DE producta lecet ' A F in L, & A G in M. aico potentiam in JR pondus A C ftiftinen temad ipfutn pondus eamhabereproportionem,quamhabet ki ad D E V E C T E 44 • • “ * ad k F; & potentiam in B ad pondus eam habere,quamNE ad NB; &potentiam‘in G adponduseam, quam HM adHG. j Quoniam enim DL horizonti eft perpendicularis,pondus AC i vbicunc; in linea D Lfuerit appenfum, eodemmodo,quo reperi- tur , manebit. quare in vecte AB fi fufpenfiones,qu£ funt ad A O foluantur, pondus A C in L appenfum eodem modo manebit,fi- čuti nune manet; hoc eft fublato puncto A, Sdinea 0^0, eodem modo pondus in E appenfum manebit, vt ab ipfis A O pun¬ ctis fuftmebatur;excommentaiioFedericiCommandini infextam Archimedis propofione de quadratura parabola?, & ex prima huius de libra.Itacj; quoniam pondus ACeandem ad libramhabet confti tutionem,fiue in A O fuftineatur,fiue ex puncto E lit appenfum; eadem potentia in B idem pondus AC, fiue in E, fiue in AO fufpenfiim fiiftinebit. potentia vero in B fuftinens pondus AC in E appenfum ad ipfum pondus ita fe habet, vtN E ad NB ; po¬ tentia igitur in B fuftinens pondus A C ex punctis A O fu/pen fumad ipfum pondus itaerit, vt N E adN B. Non aliter often detur pondus AC ex puncto L fufpenfum manere, ficuti a pun ctis A P fiiftinetur;potentiamq; in F ad ipfum pondus itaefte,vt k L ad K F.In vecte vero A G pondus A C in M appenfum ita mane re,vt a punctis AQ fuftinetur ; potentiamq; in G ad pondus A C ita efte, vt HM ad H G; hoc- eft vt diftantiaa fulcimento adpunctum , vbia centro grauitatis ponderis horizonti dueta perpendicularis vectem fecat,ad diftantiam a fulcimento ad poten tiam.quod demonftrare oportebat. Si autem FBG eftent vectium fulcimenta, potentkeq; effent inKNH pondus fuftinentes,fimili modo oftendetur ita effepo tentiaminH ad pondus, vt GMadGH; &potentiam in Nad pondus,vt BE ad B N 5 ac potentiam in k ad pondus, vt FL ad F k. Et fi 1 Huius. DE V E C T E Etfivectes AB A F A G habeant fulcimenta in A, pondus fit NOj deinde ab ei us centro grauitatis D ducatur ipfi A B a Sč horizonti perpedicularis D M E L j fmtq; po tentise in F B G: fimiliter oftende- tur ita eftepoten- tiam in G pondus N O fuftinentem ad ipfum pondus , vt AM ad A G 5 ac potentiam in B,vt A E ad AB $ & potentiam inF* vt AL ad A F. Sit deinde vectis AB ho rizonti a?qui- diftans »cuius fulcimentum D 5 &fit BE pondus, cuius centrum gau i tatis fit F fu~ pra Vectem: a punctoq;Fho rizontij&ipfi A B ducatur FH; pondufq; a puncto B,&PQ fuftineatur. Sintdeindealiive- ctesBLB M,quorum fulcimenta fint N OjlineaqjF H productafe- cetBM in k, Sc BL in G 5 pondus autem in vecte B L inpun- ctis B P fuftineatur 5 in vecte autem B M a puncto B,& P R. Di- co potentiam in L pondus BE vecte BL fuftinentem ad ipfiim pondus eam habere proportionem ^ quam N G ad N L 3 & po¬ tentiam DEV E \C T E 4f tentiam in A ad pondus eam habere, quam D H ad D A 5 poten tiamcjjinM ad pondus eam, quam O k ad O M . Quoniam e- oim a centrograuitatis F ductaeft k Fhorizontiperpendicularis, ex quocunq; puneto lineje k F iuftineatur pondus j manebit 5 vt nune fehabet. fi lgiturfoftineatur in H, manebit vt prius jfcili- cet (iiblato puneto B, &P Q, qu^ pondus luftinent pondus BE manebit, (kuti ab ipiis fuftinebatur.quare invecte AB grauefcet in H, 8 č ad vectem eandemhabebit conftitutionem,quam prius j idcircoerit, acfiin H eiTetappenfum.eadem igitur potentiaidem pondus BE, hiie in H,fine in B,& Q fuffultum,{uftinebit.Potentia ve ro inAfuftinens pondusBEvecte AB in H appenfiim ad iphim pondus eandem habet proportionem, quam D H ad D A $ eadem ergo potentiain A iiiftinens pondus B E in punctis BQ fuftenta tum ad iplum pondus erit 3 vtDHadDA. Similiter oftende« tur pondus B E fiin G fu{tineatur,manere ; ficuti a punctis 33 P fiiftinebatur:& in puneto k 3 vt a punctis B R. quare potentia in L fuftinens pondus BEad ipfum pondus ita erit,vt N G adNL. potentiaveio in M ad pondus, vtO K adOMj hocefcvt diftan tia a fulcimento ad punctum, vbi a ce-Oiro grauitatis ponderis ho rizonti dueta perpendicularis vectem fecat, ad diftantiam a fulci¬ mento ad potentiam . quod demonftrare quoq; oportebat. Si vero LAM eflfent fulcimenta,& potentiam in.NDO* brni j liter oftendeturita eiTe potentiam inN ad pondus, vt L G ad L N j & potentiam in D, vt AHad ADj & potentiam inO,vt M k ad MO« I M Etfi 1 Hum de libra. 1 Hum. DE V E C T E Etfi vectes B A B L B M habeant fulcimenta in B,& pondus fupra vecte lit NO 5 Sc abeius centro grauitatis F ducatur ipfi A B, Sc horizonti perpendi cularis FE)EG j fint que potentiž in L A M ; fimiliter o- ftendetur ita elfepo tentiam in L pon¬ dus fuftmentem adipjfum pondus, vt BDadBL ;& potentiam in A ad pondus, vt BE ad B A, atq; potentiam in M , vt BG ad B M . Sit deniq; vectis AB ho rizonti .xqui- diftans, cuius fulcimentum C, & pondus DEhabeatce trum grauita¬ tis F in iplo vecte A B 5 fintq; deniq; alii vectes G H JvL 3 quo- rumfulcimenta fint MN; pondusq; in vecte G H luftineatur a punctis GO; in vecte autem AB a punctis A P; & in uecte K L a punctis KQ;& centrum grauitatis F fit quoq; in utroq; uecte G H k L ; fintq; potentia; in H BL. Dico potentiam in H ad pondus ita effe, ut N F ad N H ; Sc potentiam in Bad pondus, ut C F ad C B ; ac potentiam in L ad pondus,utMF ad M L . Quo- niam enim F centrum eft grauitatis ponderis DE,fi igitur in F ,7 - .. fuftinea j_D E r V ; E ;c T E_4£ fiufiineatur, pondus DE manebit ficutprius,per deffinitionem cen trigrauitstis; erito; acfiin F effetappenliim; atq; in vecteeodem modo manebit, fiue a punctis A P, fiue a puncto F luftineatur. quod idemin vectibus GH k L eueniet;(cilicetpondus eodem mo cio manere, fine in F , fiueinGO, vel in k (^Iuftineatur. eadern igitur potentia inB idem pondus DE,vel in F,vel in AP appenlum iuftinebit : & quando appenlum e/F in F ad ip/iim pon¬ dus eft, vtCF adG B , ergo potentia fiuftinens pondus DE in A P appenfumad ipfum pondus erit, vtCF adCB .eodemq; mo do potentia in K ad pondus in GO appenfum itaerit,vtNF ad N H. potentiaq; in L ad pondus in kQj»ppenfum erit, vt MF ad M L. quod oftenderequoc; oportebat. Sivero H B L effentfulcimenta,&; potentia; elfent inNCMjfi- militeroftendetur potentiam in N ad pondus ita effe , vtHF ad | HN; & potentiam in C,vtBF ad BG , & potentiam in M, vt j LFadLM. Et fi vec.tes BA BC BDhabeat fiil cimentainB, fin ta; pondcrainEF GH kL, ita vt eorum centra M N O gra- s uitatisfint in vecti i bus ; fintq; poten- tia; in C A D: fimi liter oilendetur po tentiam in C ad pondus EFitaeffe, vt BM ad BC , & potentiam in A ad pondus GH , vt B N ad B A, potentiam^; in D ad pondus K L, vt B O ad B D. M 2 P R O 4 Trimi. D E V E C T E PROPOSITIO VI. Sit AB refla linea,cui ad angulos fit redos A D,qua? exparte A producatur vtcunq; vfq; ad C;connečlaturq; CB,qua?ex parteB quoq; producatur vfq;adE. ducantur deinde a pun- člo B vtcunq; inter AB BElinea?BF BGipft A B 3?quales; a punčKfq; F G ipfis perpendicula- res ducantur F H GKj quae Sl inter ie fe, Sl ipfi A D conftituantur x- quales, ac fi B A A D mota? fint in BF F H, Sl in B G GK;con- nečtanturq; CH CK, quae lineas B F B G in punctis M N Ie~ cent. Dico B N mi- norem elTe B M , Sl B M ipfa B A. Connectantur B D B H BK . &quoniam dux linese D A AB duabus H F FB funt £quales , & angulus D A B rectus recto H F B eft etiam xqualis jerunt relicjui anguli reliquis anguiis a?qua- les,& HB ipfi DBascjualis. fimiJiter oftendetur triangu- lum Bk G triangulo BFIF aequalem effe. quare centroB, intcr- tiallo 47 _D E V E C T E ualloquidemvna ipfarum circulus defcribatur DH1E , quili- neasCH CKfecet in punctis OP; connectanturq; OB PB. Quoniam igitur punctum k propius eft ipfiE,cjuam H,- eritlinea C k maior ipfa C H, & C P ipfa C O minor: ergo P K ipfa O H maior erit. Qnoniam autem triangulum B k P a?quicrure latera B k B P lateribus B H B O trianguli B H O quam potentia in A pondus BD. 8equč> pondus magiseleuabitur;iemperoftendetur minorem adhuc potentiam pondus (uftinere ; cumlineaPC mi nor fit lineaC M . fit deinde vectisin QR , & pondus in QJ>, cuiuscentru grauitatis fit O.dico maiorem requiripotčntiam in R ad fuftinendupondusQS,quamin A ad pondus B D.ducatur a cen tro grauitatis O linea OT horizonti perpendicularis. & quo : niam H L OTj,fiexparte L, atq; T producantur , in centrum mundi conuenient; erit C T maiorCL : eft autem CA ipfi CR squalisj habebit ergo T C ad C R maiorem proportionem,quam L C adC A . Maior igitur erit potentia in R fuftinens pondus QS, quam in A fuftinensBD. fimiliteroftendetur; qud vectis ^ um RQ magisavectc AB diftabit deorfiim vergens, femper maio¬ rem potentiam requiri ad fiiftinendum pondustdiftantia enim C V longior eft CT. Quo igitur pondus a fitu horizontiasquidiftan temagiseleuabitur a minori femper potentia pondusfuftinebitur; quo vero magis deprimeturjmaiori/vtfiiftineaturjegebit potentia. j quoddemonftrareoportebat. Hinc facile elicitur potentiam in A adpoten- tiamin E ita elTe,vtCL ad CM. Nam ita eft L C adC A, vt potentia in A ad pondus; vt au- tem C A ^ hoc eft C E ad C M, ita eft pondus ad potentiam in E ;• quare ex asquali potentia in A ad potentiam in E ita erit, vt C L adCM . . : • Similiq; ratione non folum oftendetur, potentiam in A ad po¬ tentiam in R ita efte, vt C L ad C T; Fed & potentiam quoq; in E ad potentiam in R ita efte, vt C M ad C T. & ita in reliquis. zzOuinti. N Sit D E VE GTE Sit deinde vectis AB horizonti axjuidiftans, cuiusfulcimen« tum B; Se centrum grauitatis H ponderis C D ftt ftipra vectem ; moueaturq; vectis in BE , pondufo; in F G. dico minorem po¬ tentiam in E fuftinere pondus F G vecte EB , quam potentiain Apondus C D vecte A B. Ht k centrum grauitatis ponderis FG, Se a centris grauitatum H k i p forum horizontibusperpendicu- 6 H . u us ‘i I lares ducantur H L kM.Quoniam cnimf exiuprademonftratis ) ^ ' B M minor eft B L, Se B E ipft B A aequa!is; minorem habebit 5 Huitts. proportionem B M ad B E , quam B L ad B A . fed vt B M ad BE,ita potentiain E fuftinen s pondus FGadipfum pondus; Se vt B L ad BA s ita potentia in A ad pondus CDjminorem habebit proportionem potentia in E ad pdndus F G, quam poten tiain A ad pondus C D . Ergo potentia in E minor erit poten¬ tiain A. fimiliter oftendetur,qud magis pondus eleuabitur, Tem¬ per minorem potentiam pondus liiftinere. Sit autenl vectis in BO, & pondus inPC^, cuiuscenrtum grauitatis ftt R. dicomaio rem potentiam in O requiriad fuftinendum pondus P Q vecte BO, quam pondus C D vecte B A. ducatura puneto R horizonti per- pendicularis RS. 8e quoniam B S maior eft B L , habebit B S ad BO maiorem proportionem, qiiam BLad B A ;quare maior erit potentia in O iuftinens pondus PQ, quam potentia in A fufti nens pondus C D. Se hac modo ofteadetur* ouo vectis B O ma gisa vecte ABdeorfum tendens diftabit,(emper maiorem ponderi io Quinti. 6 Huius. fuftinendo D E V F, C T E fuftinendo requiri potentiam. Hincquoq;Vtfuprapatetpontentiamin A ad potentiam inE ef fe, vt B L ad B M ; potentiamq; in A ad potentiam in O j vt BL ad B S. atque potentiam in E ad potentiam in O , vt BM ad B S. Pnetereafi in B aliaintelligatur potentia, itavtdua? fint poten tise pondus fiiftinentes; minor erit potentia in B fuftinens pon¬ dus P Q vecte B O , quam pondus C D vecte B A . ex aduerio au tem maior requiritur potentia in Badfuftinendum pondus FGve cte B E 3 quam pondus C D vecte AB. dueta enim k N ipfi E B perpendicularis, eritEN ipfi A L sequalis: quare EM ipfa LA maior erit. ergo maiorem habehit proportionem EM ad E^G quam LA ad A ZB j Sc LA ad A B maiorem * quam S O ad O B ; qu£ funt proportiones potentia ad pondus. Similiter oftendetur potentiam in 2? pondus vecte A^fufti- nentemad potentiam in eodem [uneto^? vecte E7? fuftinentem elTe, vt L A ad EM; ad potentiam autem in B pondus vecteOB fiaftinentem ita effe , vt AL ad O S. quae vero vectibus E B OB iuriinent interfefe eflej vt EM ad OS. Deinde vtiniis, quar luperiusdietafimt,demonftrabimus po¬ tentiam iri-Bad,potentiam in E eamhabere proportionem, quam ' E M ad M potentiam in B ad potentiam in A ita effe, vt AL ad L B, potentiamq; in B ad potentiam in O a vt O S ad S B . Sit autem vectis A B horizonti ^quidiftans, citius fulcimentum 'B , grauitatifq; cent ru m H ponderis A C Gt fupra vectem: moueaturq; ve ctis inB E , ac pondus iti E E, potentiaq; in G. fimiiiter vtfiinra often- a detur potentiam in G | pondus E F fuiftinen- tetn minorem eife potentia in D pondus A C fiiftinente. cum enim 8 Quinti. 5 Hum. 3 Cor. | a Hum. D E VEGfE enim minor fitBMipfa B L 5 minorem habebit proportionem MB ad BG,quamLB adBD. atqj hoc modo often- detur, quo pondus ve- cte magis efeuabitur, mi norem Temper ad pon¬ dus fuftinendum requi- ri potentiam. Simili- ter fi moueatur vectis in BO, potenriaq; fu- ftinens in N, oftendetur potentiam in N maiorem eflfe potentia in D. maiorem enim habet proportionem S B ad B N , quam L B adBD . oftendetur etiam, quo magis pondus deprimetur; ma¬ iorem femperf' vt luftineatur ) requiri potentiam. quod demon ftrare oportebat. Hinc quoqs liquetpotentiasm G D N interfefe ita eiTejVC B M ad B L 3 atq; vt B L ad BS, deniq5 vt B M ad BS. C O R O L L A R i v M. Exhis manifeilum eft, fipotentia vectefur- fummoueat pondus , cuius centrum grauitatis Tit fupra vedem, quo magis pondus eleuabitur; Temper minorem potentiam requiri vt pondus moueatur. Vbi enim potentia pondus fuftinens eft temper minor , crit quoq$ potentia iptum mouens temper minor. Ex iis Ex iis etiam demonftrabitur,fi centrum grauitatis eiufdem pon deris,fiue propinquiuš, fiue remofius fuerit a. vecte A B horizon¬ ti xquidiftante , eandem potentiam in 'A pondus nihilominus luftinere: vtfi centrum grauitatis H ponderis BD longius abfit a vecte B A quam centrum grauitatis N ponderis P V j dum- modo dueta apuneto Hperpendicularis H L horizont j,vcčtiq; A B tranfeat per N; fitq; pondus P V ponderi B D a:qualej erit turo pondus BD, trim pondus P V , ac fi-ambo in L ef- fent appenia ; atque funt a?qualia , cum loco vili us ponderis ac- cipiantur, eadem igitur potentia in A foiftinens pondus BD, pondus quoq; P V foftinebit. Vecte a^tem E F, quo centrum j grauitatis longius merit a vecte, eo facilius potentia idem pom j dusfuftineb.it: vt fi centrum grauitatis k ponderis F G longius fit a vecte EF, quam centrum grauitatisX ponderis Y Z, itata men vx dueta a puneto kvectiFE perpendicularis tranfeat per X; fitq; pondus F G ponderi Y Z sequale; & a punctis kX ip- i forum horizontibus perpendiculares ducantur K M Xp; eritC 9 maiorCMj aepropterea pondus F G in vecte erit, ac fi in M ef I fot appenfum, & pondus Y Z, ac fi in 9 eftet appenfom. quo- mam DE V E G T E 8 Ouinti. niam autem maiorem habet proportionem Cp ad CE , cjiiam ! CM adCE , maior potentia in E (uftinebit pondus YZ, ouam j FG. In vecte autem QR e conuer/o demonftrabitur * fcilicet cjuo centrum grauitatis eiufdem ponderis fit longius a vecte, eo maiorem efle potentiam pondus fuftinentem. maior enim eft C Tj quam CIj &obid maiorem habebit proportionem C T ad CR , quam CI ad CR. Similirerdemonftrabiturj fi pondus intra potentiam j Sc fulcimentum fuerit collocatum ; vel poten¬ tia intra fulcimentumj Sc pondus • Quod idem etiam potentias eueniet mouenti. vbi enimminor potentia fuftinet pondus j ibi minor potentia mouebit; Sc vbi maior in fuftinendo,ibi maior cjuoq; in mouendo recjuiretur. RROPOSITIO Vlili. Potentia pondus fuftinens infra vedem ho¬ rizonti aequidiftantem ipfius centrom grauitatis habens j _ DE V EC T E ^_f 5 habens , quo magis ab hoc Titu večle pondus ele j uabitur maiori Temper potentia, vtTuftineatur, egebit. Ti vero deprimetur, minori. Sit vectis A B horizonti £quidiftans > cuius fulcimentum C; fitq; pondus A Dj cuius centrum grauitatis L fit infra vectem j fitq; potentia in B luftinens pondus AD : moueatur deinde ve¬ ctis in F G, & pondus in F H . Dico primiim maiorem requiri potentiam in G ad fiiftinendum pondus F H Vecte F G , quam iitpotentia in B ponaere exiftente A D vecte autem A B. fit M grauitatis centrum ponderis F H , & a punctis L M ipforum ho- rizontibus perpendiculares ducantur L k M N: ipfi vero F G per- pendicularis ducaiur M S, qu^ cequalis erit L K, & CK ipfi C S erit etiam sequalis. Quoniamigitur C N maior eft C k , habe- bit N C adCG maiorem proportionem, quam C k adCB;po tentiauero in B ad pondus A D eandem habet, quam k C adCB: Sc vt potentia in G ad pondus FH, ita eft N C ad C G ; ergo maioremhabebit proportionem potentia in G ad pondus F H, quam potentia in B ad pondus A D . maior igitur eft potentia in Gipfa potentia in B. fi Vero vectis fit in OP, Sc pondus in OQ; erit potentia m B maior, quam in P. eodcm enim mo¬ do oftendetur CR minoremeifeC k , Sc CR ad C P minorem 7 Huius. ■ 8 Ounnti. 5 Huius. io Quinti 7 Huius. O habere DE V E C T E habere proportionem, quam C k adCB ; & ob id potentiamia B maioremefTepotentiainP. Sc hoc modooftendetur quoma- gis afitu A B pondus eleuabitur, femper maiorem potentiam ad pondusiuftinendum requin. e contra vero fi deprimetur. quod demonftrare oportebat. Hinc quoq; facile elici poteft potentiasinPBG interfefeita effe,vtCR ad Ckj &vtC k ad C NjatcpvtCN ad CR. Sit deinde vectis AB horizonti2equidiftans,cuius fulcimentum B; pondufq; C D habeat centrum grauitatis O infra vectem ; fitq; potencia in A fiiftinens pondus C D. Moueatur deinde vectis in ~BE BF, _D E V E C T E_f4 BE B F 3 ponduiq; transferatur in G H k L • Dico maiorem re- qiiiri potentiam inE , vt pondus firftineatur, quam in A ; & ma ioreminA, quam inF, ducantura centris grauitatum horizon- tibus perpendiculares N M OP QR , quse ex parte N O Q protracts in centrum mundi conuenient. fimiliter vt /upra often deturBM maiore efle BP^Se BPmaioremBR;8eBM ad B E ma¬ iorem habereproportionem,qaamBP ad B A; Se BPad B A ma¬ iorem , quam BR ad BF : & propterhoc potentiam in E maio¬ rem efle potentia in A 5 Se potentiam in A maiorem potentia in F. Sequo vectismagis a fitu AB eleuabitur, {empei'oflendetur, maiorem requiri potentiam ponderi {iiftinendo . fi vero depri- metur^minorem. Hincpatetetiam potentias in E A Finter teteitaefle/vt BMad BP j&vt BPadBRj acvt BM adBR. I rfluper fi in B altera fit potentia,ita vt dua; fint potentia pondus fiiflinentes,maiore opuseft potentiam B pondus k L iuftinente vecte B F, quam pondus C D vecte A B. 8e adhuc maiore vecte AB , quam vecteBE. maiorem enim habet proportionem RF ad FB, quamPA ad ABjSePA ad A B maiorem habet, quam EMadEB. Similiterqj oftendetur potentias in B pondus vectibus fuftinen- tes inter { e te ita efle, vt E M ad A P 5 Se ut A P ad FR 5 atque ut E M ad F R . Preeterea “potentia in Bad potentiam in F ita erit, ut RF ad RB; Se potentia in Bad potentiam in A , ut PAad PBj Se po¬ tentia in B ad potentiam in E, ut E M ad M B. f O 2 Sit — - ---- —-— - - - - - -- -— 7 Hum. J Cor. 2 Hum. _DE V E C T E Sit autem vectis AB horizontisequi- diftans, cuius fulci- mentum B $ Sz pon¬ dus A C j cuius cen- trum grauitatis fit in¬ fra vectem: fitq; po- tentia in D pondus | /iiftines; moueaturq$ vectis in B E B F, Sc potentia in G H: fi- militer oftendetur po tentiam in G maiorem efte debere potentia in D; Sz potentiamin Dmaiorem potentia in H. maiorem enim proportionem hahet KBad BG; quamBEadBD$ SzBL. ad BD maiorem * quam MB adBH. Szhoc modo oftendetur .,qu6 vectis magis a fitu A B eieuabitur, adhuc femper maiorem effe debere potentiam pon dusiuftinentem. quo autem magis deprimeturj minorem.quod demonftrareoportebat. Similiterinhis potentia in GDH interiefeita erunt, vt BK ad B L Sz vt B L ad B M 5 deniq$ vt B k ad B M. C O R O L L A R I V M, Ex his pa tet etiam, fi potentia vede furfum moueat pondus, cuius centrum grauitatis fit in¬ fra vedem;quo magis pondus eleuabitur,fem per maiorem requiri potentiani,vt pondus mo ueatur. Nam fi potentia pondus ftiftinens iemper eftmaior : erit quoq, potentia mouens femper maior. Et his D E V E C T E n Ethisetiamfacile elicietur,fi centrum grauitatis eiufdem pon¬ deris, fiue propius, fiueremotius fuerit a vecte AB horizonti te- quidiftanre; eandem potentiamin B pondus luftinere. vt fi cen¬ trum grauitatis L ponderis ADfit remotiusa vecte B A j quam centrum grauitatis N ponderis P V; dummodo dueta a puneto L perpendicularis L Khorizontfivectiq; A B tranfeatper N : fimili- ter vt mpra^cedentioftendetur,eandem potentiam inBj&pondus AD,& pondus P V fiiftinere. In vecte aute E F,qud centru grauitatis Iongius aberit a vecte, eo maion opus erit potentia ponderi /lifti- nendo. vt centrum grauitatis M ponderis F H remotius fit a ue cteEFj quamS centrum grauitatis ponderis X Z'j ducanturapun ctisM S horizontibus perpendicularesM J SG; erit CI maior CG: ac propterea maioreffe debet potentia in E pondus FH (u ftinens,quam pondus XZ. Contrauero in uecteOR. oftende tur 3 quo fcilicet centrum grauitatis eiuidemponderis Iongius ab lita ueete , a minori potentia pondus fiiftineri. minor enim eft ' CY , quam C T. Sirnih quoq; modo demonftrabitur , fi pondus fit intra potentiam , Sc fulcimentum 5 uel potentia intra fulci- mentum,8e pondus. Quod idem potentiae eueniet mouenti; vbi DE V E C T E__ vbi enim miiior potentia fuftinet pondus, ibi minor potentia fflo- uebir. & vbi maior potentia in fuftinendo j ibi cpio^j maior in mo ueudo adeiit. P R O P O S I T I O X. Potentia pondus fuftinens in ipfo vede cen- trum grauitatis habens, quomodocunq; vede transferatur pondus; eadem femper, vc iuftinea- tur j potentia opus erit. Sit vectis A B horizonti ^cjufdiftans , cuius fulcimentum C. j F vero centrum grauitatis ponderis in iplolit vecte. Moueatur j deinde uectis in F G, H k;&r centrum grauiratis inLM. dicoean ! , dem potentiam in kB G idemmet Temper fuftinere pondus. Ouomam enim pondus in uecte AB perindefe habet, ac fi eflet appenfum in E; Se in uecte G F , ac fi elTet appenliimin L5& in uecte H k , ac fi in M eflfet appenlum ; diftantiže uero C L C E C M lunt iater Te le semiales; nec non CK C B C G inter le x- cjualesjerit potentia in B ad pondus, ut C E ad CBj atcjue poten tia m D E V E C T^E_ 5 -6 tiain k ad pondus , ut C M ad C k ; & potentia in G ad pondus, vt C L ad C G. eadem igitur potentia in kB G idem translatum pondus fuftinebit. quoddemonftrareoportebaf. Similiteroftendetur, fi pondus eflfet intra potentiam, &: fulci- mentum; vel potentia inter fulcimentum, & pondus. quod idem potentia mouenti eueuiet. R R O P O S I T I O XI. Si vedis diftantia interfuldmentum 5 & poten tiam ad diftantiam fulcimento , pundoq;,vbi a centro grauitatis ponderis horizonti duda perpendicularis vectern fecat, interiectam ma- iorem habuerit proportionem , quam pondus ad potentiam s pondus vtiq; a potentia moue- bitur . A D L '\ E Sit vectis AB, ex punccoq; A fufpenda tur pondus C; hoc eft punctum A Temper (it punctum, vbiperpcn dicularis a grauitatis centro ponderis du¬ eta vectem fecat;fitq; potentia in B ac fulcimentum fitDj& DB ad DA maiorem habeat proportionem,quam pondus C ad potentiam in B. Di- co pondus Ca potentia in B moueri. fiat vtBDadDA, ita pondus E ad potentiam in B j atq; pondus E quoq; appendatur in A: patet potentiam in B aequeponderare ipfi E 5 hoc eft pon¬ dus E fuftinere. & quoniamBD ad DA maiorem habet pro¬ portionem ,quam Cad potentiam in B5 & vt B D ad D A , ita eft 1 Hum. j • »oj Quinti. 2 Huius. ’ lo Quiuti. DE V E C T E eft ponclus E ad po- tentiam: igitur E ad potentiam maiorem habebit proportio- nem , quim pondus C ad eandem poten¬ tiam. quare pondus £ maius erit ponde- re C.& cum potentia ipfi E 5equeponderet, potentia igitur ipfi C nonsequeponderabit,(ed (iiauideorftim verget. pondus igitur C a potentia in B mouebitur vecte AB , cuius fulcimentum elb D. z\ E Si vero fit vectis AB , Sc fulcimentum A , pondufq;C in D app c n (um , & potentia in B j & B A ad A D maio¬ rem babeat proportionem 3 quam pondus C ad poten¬ tiam inB. dico pondus C a potentia in B moueri. fiatvtBA ad AD; ita pondus E ad poten tiaminB: &li E appendatur inD„ potentia inB pondus E fufti nebit. fcd cum B A ad A D maiorem habeat proportionem , quam pondus C ad potentiam in B; & vt B A ad AD, ita eft pondus E ad potentiam in B : pondus igitur E ad potentiam , qua?eft in B, maiorem habebit proportionem, qu.im pondus C ad eandem potentiam. & ideo pondus E maius erit pondere C. potentia vero inBiuftinet pondus E ; ergo potentia in B pondus C minus pondere E in D appenfum mouebit vecte AB, cuius fulci mentum eft A. Sit D E V E C T E f 7 B n Sit rurfus vectis AB j cuius fulcimen A_ ? _ tu A pondus C in ZT\ B (it appenfum; fitq; potentia in D •• Sc DA ad AB maio- rem hab e at propor¬ tionem, quam pon¬ dus C ad potentiam j qute eft in D. dico pondus C a potentia in D moueri. fiat vt D A ad A B 3 ita pondus E ad potentiam in D j &fitpondus E ex punctoB fufpenfum : potentia in D pondus E fuftinebit . fed D A ad AB maiorem habet proportionem, quam C ad potentiam in D; & vt D A adAB,ita eft pondusE ad potentiam in D 5 pondus igitur E ad potentiam, quas eft in D * maiorem habebit proportionem j quam pondus C ad eandem po tentiam. quarepondus E maius eft pondereC . Sc cum poten¬ tia in D pondus E fuftineat, potentia igitur in D pondus Cin B appenfum vecte A B , cuius fuicirnentum eft A ^ mouebit. quod demonftrare oportebat. A L I T E R. E O Sit vectis A B,& pondus C in A ap¬ penfum Sc poten¬ tia in B;fitque flilci- mentum D*.& DB ad D A maiorem habeat proportionem , quam pondus C ad po tentiam inB. dico pondus Č a potentia in B moueri. fiat BE ad E A jVt pondus C ad potentiam, eritpunctum E inter B D.opor tet enim B E ad E A minorem habere proportionem quam DB ad D A,&ideo BE minor erit BD. &quoniam potentia in B fu ftinet pondus C in A appenfum ueete A B,cuiusfulcimentuE;minor igitur potentia in Bj quam data, idem pondus fuftinebitfulcimen to D.data ergo potentia in B pondus C mouebit ueete ABj cuius fuicirnentum eft D. 1 Hum. P Sit 8 quinti. s Huius. j i Cor. 2 Huius. 8 Qumti. 3 Huius. l Cor. 3 Huius. DE V E C T E D B Sit deindevectis A B, & fulci meiitum A , & pondus C in D 4- appen{um J fitqjpotentiainB j & '> ABad A D maioremhabeat pro- portionem, quam pondus C ad potentiam in B. dico pondus C ii potentia in B moueri. Fiat A B ad AE, vt pondus C ad pot en tiamjerit fimiliter punctum E inter BD. necefTeeft enim A E maioremeflfe A D. & (i pondus C effet in E appenfum, potentia I inB illud/uftineret. minorautem potentia inB,quamdata,{ur i- net pondus C in D appen/umjdata ergo potentia inB pondus C in D appenium vecte A B, cuius fulcimentum eft A,mouebit. Sit rurlus vectis A B, cu ius fulcimentum A, &r pon A - - 0 --— E dus C in B fit appenfum , Pitq; potentia in D j Sc D A ad AB maiorem habeat proportionem, quam pondus C ad potentiam in D. dico pon¬ dus C a potentia in D moueri. fiat Vt pondus C ad potentiam, ita D A ad AEjerit A E maior AB 5 cum maior Ft proportio DAad AB,quam DA ad A E*. & fi pondus C appendaturin E, patet potentiam in D iuftinere pondus C in E appenium. mi¬ norautem potentia, qu m data , ftiftinet idem pondus C in B ; data igitur potentia in D pondus Č in B appenfum mouebit ve¬ cte A B, cuius fulcimentum e/l A . quod oportebat demon- Brare. P R O P O S I T I O XII. PROBLEMA. Datumponcfus a data potentia dato večle moueri. Sit DE V E C T E r s 3, B D Q Sit pondus A vt centum, potentia vero mouens fit vt decem; fitq; datus večfisBC. oportet potentiam * qu:e eft decem pondus A centum vecte BC mouere. Diuidatur BC in D,ita vt CD ad DB eandem habeat proportionem 3 quam habet centum ad decem,hoc eft decem ad vnum; etenim fi D fieret fulcimentum, conftat potentiam vt decem in C £equeponderare ponderi A in B appenfo: hoc eft pondus A fuftinere. accipiatur interBDquod uis punctum E , & fiat E fulcimentum. Quoniam enim maior eft proportioCE adE B , quamCD ad DB ; maiorem habebit proportionem C E ad EB> quam pondus A ad potentiam decem itiC: potentia igitur decem in C pondus A centum in B appen¬ fum vecte B C, cuius fulcimentum fit E, mouebit. Si vero fit vectis BC , & fulcimen- 3 e C tum B.diuidaturCB in D, ita vt CBad BD eandem habeat proportionem, qua habet centum ad decem :Sdi pondus A in D fiifpendatur,& po¬ tentia in C, potentia vt decem in C pondus A in D appenfum fu ftinebit. accipiatur inter D B quoduis punctum E, ponaturq; pon dus A in E 5 & ciim fit maior proportio CB ad BE, quam BC ad BD; maiorem habebit proportionem CB ad BE , quam pondus A centum ad potentiam decem. potentia igitur decem in C pondus A centum in E appenfum mouebit vecte BC a cu ius fulcimentum eft B, quod facere oportebat. 3 E AT i Hiiius. ; Lemma huius. 1 1 Huius. 2 Huius. 8 Quinti. i z Huius. P 2 Hoc 2 C or. ' 3 Hiiius * I 5 Hiiius • 8 Quinti- j x __D EVE C T E Hoc autem fieri non po- teft exifientevecteBC,cuius fulcimentum fit B,&pondus ^ ^ A'centum in C appenfunv.po 6 " | natur enim potentia fuftinens pondus A vtcunq; interB C, vt in D, Temper potentia ma iorerit pondere A.quareopor tet datam potentiam maiorem eflfe pondere A. fit igitur poten- tiadatavt centum quinquaginta. diuidaturBCin D, itavt CB ad B D fit , vt centum quinquaginta ad centumjhoc eft tria ad duo: 8efi ponatur potentia in D , patet potentiam in D iuftinere pon- dus A in C appeplum . accipiatur itaqj inter D C quoduis pum ctum E j, ponaturqj potentia mouens in E 5 & cummaiorfitpro- portioEB ad BC, quam DB ad BC; habebit E B ad BC maio j remproportionem, quam pondus A ad potentiam in E . poten ! tia igitur vt centum quioquaginta in E pondus A centum in C ! appenftim vecte BC, cuius fulcimentum eftB, mouebit. quod j facereoportebat * C O R O L L A R I V M, Hinc nianifeftum eftfi data potentia fit dato pondere maior; hoc fieri polTe , fiue ita exiften te vede, vt eius fulcimentum fit inter pondus, & potentiam ; fiue pondus inter fulcimentum, & potentiam habente; fiue demum potentia in¬ ter pondus, & fulcimentum conftituta. Sin autem data potentia minor, vel a?qualis dato pondere fucrit; palam quoq; eft id lpfum dumtaxat alTequi polTe vecte ita exiftente, vt eius fulcimentum fit inter pondus, & pontentiam; vel D E V Ev C T E fp vel pondus intra fulcimentum 3 & potentiam habente. P R O P O S I T 1 O XIII. PROBLEMA. Quotcunq; datis in vede ponderibus vbicun- queappenfis, cuius fulcimentum fit quoq; da¬ tum , potentiam inuenire, qux in dato pundo data pondera fuftineat. 3 > K X, g- H E Sintdata pondera A BC in vecteDEj cuius fulcimentum F, vbicuna; in punctis D G H appenfa :_collocandaq; fit potentia in punctoE. potentiam inuenireoportet quat in E data pondera ABCvecteDE fuftineat. diuidatur D Gin k ^ itavtD kad KG fit^vt pondus B ad pondus Ajdeindediuidatur kHinL,ita vtkL ad L H, fit vt pondus C ad pondera B A ; atq; vt F E ad F L, ita fiant pondera ABC fimul ad potentiam, quteponatur in E. di- co potentiam in E data pondera ABC in DGH appenfa vecte DE, cuius fulcimentum eftF, fufi:inere.Quoniam enimfiponde ra ABC fimul effent in L appenfa , potentia in E data pondera in L appenfa fiiftineretjpondera vero ABC tam in Lponderant, quam fi C in H, & B A fimul in K effent appenfa 5 & AB in k tam 1 Huius. S Huius. de libra. pon- DE V E C T E £i i a Huius. ponderant,quam fi A in D, &B in G appenfa eflent; crgopo- tentia in E data pondera A B C in D G H appenfa vecte D E, cu~ ius fulcimentum eft F j, fuftinebit. Si autem potentia in quouis alio punctovectis DE p'pra;terquam in F ) conftituenda effet, vt in k $ EacvtFk adFL 3 ita pondera ABC ad potentiam: fi- miiiterdemonftrabimuspotentiamin k pondera ABC in pun- ctis D G H appenfa fuftinere. quod facere oportebat. A Ex hac,& ex quinta huius j fi pondera ABC fint in vecte DE quomodocunq; pofita; oporteatq; potencam inuenire^uae in E data pondera fiiftinere debeat : ducantur a centris grauita- tum ponderum ABC horizontibus perpendiculares } qii£ vc- ctemDE inDGH punctis fecent 5 caeteraq$eodernmodofiant: Manifeftum eft,potentiam in E, vel in K data pondera fuftinere. idemenim eft, ac fi pondera in DG H effent appenfa* P R O- DE V E C T E 60 P R O P O S I T I O XIIII. « .. •' . Ji J - . ' N / : PROBLEMA. / *■ Data quotcunq; poodera in dato vede vbi- cunq;&quomodocunq;pofita a data potentia moueri. JL 3 C Sit datusvectisDE,& (int data pondera vtin praecedenti co rollarioj f»tqj A vt centom 3 B vt quinquaginta , C vt triginta 3 dataq; potentia fitvt triginta . exponantur eadem,inueniaturq; punctum L 5 deindediuidaturLE in F, itavt FE ad F L fit , vt centom oetoginta ad triginta hoc eftiexad vnum: & li F Feret fulcimentum, potentia vt triginta. inEfuftinetet pondera ABC. accipiatur igitur inter L F qooduis punctum M , fiatq$ M folci- mentum : manifeftum eft potentiam in E vt triginta pondera ABC vt centom oetoginta vecte DE mouere . quod facere oportebat. Hoc autemvniuerse aflequi minimepotenrnus,ftin extremita- tevectis fulcimentum dlet, vt in D$quiaproportioD£,ad DL hoc eft proportio ponderum ABC ad potentiam , qu£ pondera fuftineredebeat, fempereft data. quod multo qooqj minusfieri poflet, fi ponenda eifet potentia inter D L. 13 Huius . j 11 Hum. P R O- i DE V E C T E P R O P O S I T 1 O XV. PROBLEMA. Quia vero dum pondera vefle mouentur, j vectisquoq; grauitatemhabet, cuius nulla ha- denus mentio fa&aeft : idcirco primum quo- modoinueniaturpotentia, qucein dato puncto datum večlem , cuius fulcimentum (it quoq; da¬ tum, fuftineat, oftendamus. D 'E K 3 A ^ 0 M Sit datus vectis AB , cuius fulcimentum lit datum C ; fitq; punctum D, in quocollocanda fit potentia, qux vectem AB fii ftinere debeat, ita vt immobilis perfiftat. ducatur a puncto C lineaCEhorizonti perpendicularis, quas vectem A B in duas di- uidat partes A E E F, iitq; partis A E centrum grauitatis G, & partis EF centrum grauitatis H,- a punctisque G H horizon- tibus perpendiculares ducantur G k H L , quee lineam A F in punctis K L /ecent.quoniam enim vectis A B a linea C E in duas diuiditur partes A E E F ; ideo vectis A B nihil aliud erit nifi duo pondera A E E F in vecte, fiue libra A F pofita ; cuius fu- ipenfio, fiue fulcimentum eft C. quare pondera A E EFitaerunt pofita, ac fi in k L eflfent appenfa . diuidatur ergokL in M, ita vt l’MadML 3 fit vt grauitas partis EF ad gnuitatempar- tis A E; & vt C A ad C M, ita fiat grauitas totius vectis A B ad potentiam, quae fi collocetur in D ( dummodo DA horizonti perpen - D E V E C T E. 61 U -—... t ___- , ---- I perpendicularis exiftat ) vecti a;queponderabit; hoc eft vectem j AB deorfum premendo Fuftinebit. quod inuenireoportebat. Si veropotentiainpuncto B ponendaeftet . fiat vt C F adCM itapondus ABad potentiam. fimili modo oftendetur poten, tiam mB vectem ABfiiftinerc.fimiliterqjdemonftrabiturinquo- cunqj aliofitu ( pmerquam in e Jponenda fuerit potentia, vtin N.fiat enim vtC O adCM, ita AB ad potentiam 5 qux Ti pona- turin N j vectem AB fuftinebit. Adiiciatur autem pondus in vecte appenfum, fiue pofitum; vt iisdem pofitis fit pondus P in A appenfum; potentiacp fit ponenda inB, ita vt vectem A B vna cum pondere P fufiineat. Diuidatur A M in Q,ita vtAQ ad QMfit, ut grauitas ue- ctis AB adgrauitatem ponderisP j deinde ut C F ad C Q,ita fiat grauitas AB, & Pfimulad potentiam ;> quseponatur in B : patet potentiam in B uectem A B una cum pondere P fuftinere. Si ue- ro efifetC A adC M,vt A B ad Pjefletpunctum C eorum centrum grauitatis,& ideo vectis AB vna cum pondere P abfq;potentia in B manebit. fedfi ponderum grauitatis centrum eftet interC F, vt in O 5 fiatvt C F ad C O , ita AB&P fimulad potentiam, quse in B,Sevectem A B,&pondus P fuftinebit. Q Simili- 3 Hum . 13 Hum. Exfexta l Arcb.de \ tequep. DE V E C T E Similiter oftendetur,fi pluraeflentpondera in vecte AB ubi- cunq;,& quomodocuno; po Cita. Infuper ex his non /o/um,ut indecimaquarta huius docuimus, quomodo iciljcer data pondera ubicunq; in uectepofita datapoten tiadato uecte rnotierepolEimus, eodem modo grauitate uectis confiderataidemfacerepoterimus j uerum etiam accidentia reli- qua^quaefupraab/qj uectis grauitatisconfideratione demonfhra- ta (unt; ftmili modo uectis grauitate confiderata vna cum ponde ribus, uel fine ponderibus o/tendentur, -0U v L i i / < DE • <;> ; l ^ 6z DE TROCHLEA. R O C H L E AE inftrumento pon dus multipliciter moueri poteft; quia vero in omnibus eft eadem ratio: ideo (vt res euidentior ap- pareat) in iis, qux dicenda fant, intelligatur pondus furfum ad re člos horizontis piano angulos hoc modo Tem¬ per moueri. z Sit DE TROCHLEA Sit pondus A , quod ipfi ho rizontis piano fur{um ad rectos angulos fit attoljendum j & vt fieri folct, trochlea duos habens orbiculos ^ quorum axiculi fint in B C , fuperne appendatur; trochlea vero duos fimiliter ha bens orbiculos, cjuorum axicu- iifint in DEjponderi alligetur: acper omnes vtriu(q; trochlea orbiculos circunducacur du:fa- rius funis,cjuem in altero eius ex tremo,pura in F, oportet efTe religatum. potentia autem mo uens ponaiur in G , qu;e dum defccndid j pbndus A fumitti ex aduerfo attolletur 5 opiemadmo dum Pappus in oct auo libro M a thematicarum collectionum af- feritj nec no.11 Vitruuius in ded mo de ArchitecturajScalii. s ri) \ E r v: oB' (S v, VJ jr b Quomodo autem hoc trochlea inftrumen- tum reducaturad večlem; cur magnum pondus ab exigua virtute, Si quomodo, quantoq; in tem poremoueatur,- cur funis in vno capite debeat elfe religatus; quodq, fuperioris, inferiorisque trochlearfueritofficium; & quomodo omnis in numeris _D E TV R O C H L E A._ 6^_ numeris data proportio incer potentiam, & pon dusinueniri pofsit; dicaraus. L E M M A. :' r j' .j j \ Dr? cj £ m U r «1 ( v 1 Sint rečhe lineae AB CD parallelae, qua? in punflis A C circuIumACE contingant, cuius centrumF:& F A F C conne&antur. Dico A F C rečiam lineam. elfe. DucaturFE ipfis A B C D a?quidiftans. & quoniam AB, & F E funt parallela;, Sc angulus B A F eit rectus , erit Sc A F E re- ctus. eodemq; modoCFE rectus erit. li¬ nča igitur A F C recta eft. quod erat de- monftrandum. P R O P O S I T I O L ‘Si funis trochleae fuperne appenfe orbiculo circunducatur, alterumq; eius extrenium pon- deri alligetur, altero interim a potentia pondus fuftinente apprehenfo : erit potentia ponderi aequalis. Sit 18 Tertii. 19 'Primi. l^Trimi. DE TROCHLEA I Huius. de libra, gradeči¬ mi* 13 Tcrtii. ■Er 2 8 Tri mi* 1 i Trimi. trebim .de 0 a:queponderabunt. difiantia enim C G a?qualis eft diftantia; k F; axiculufq; GH K rmmobilis gerit vicem centri j ftue fulcimenti. immobili igitur manente axicu- lo, Ti ponatur inFpotentiaftiftinenspondusin C appenium; erit potentiain F ipfi ponderi 32qualis . quod erat oftendendum. Et cum idem prorfus fit,fiueaxiculus circumuertatur , fiue mi¬ nus; liceat propterea iniis, quae dicenda iunt, loco axiculi cen¬ trum tantum accipere.. PROPOSITIO II. i Si funis orbiculo trochlese ponderi alligatse I circimiducatUGaltero eius extremo alicubi reli-! gačo , alcero uero apotentia pondusfuftinente apprehenfb; erit potejatiaponderis iubdupla. Sit. J •r D E T R O C H t E A; Sit pondus A;fit B CD orbiculus trochlea? pon- deri A alligate, cuius cen trum E ; funisdeindeFB CDG circa orbiculum voluatur, qui religetur in F; litq; potentia in G lil ftinens pondus A. dico potentiam in G /ubdu- plam efte ponderis A.fint fimes F B G D puncti E horizonti perpendicula- res, qui interfefe secjui- diftantes erunt;tangantq; funes F B G D circulum BCD in B D punctis. connectatur B D;erit BD per centrum E dueta, iphufque centri horizonti a?quidiftans . Cum autem poten¬ tia in G trochlea pondus Aa iiiftinere debeat, funemex altero ex- tremoreligačum efteoportet ^putain F ; ita vt F a?qualiter laltem potentia? in G refiftat, alioquin potentia in Gnullatenus pondus luftinerepoftet. Et . quoniam potentia fune fuftinet orbiculum, quireliquam trochlea; partem, cui appenlum eft ponatis , luftinet axiculo; grauitabit hasc trochleae pars in axiculo,hocelt incentro E. quare pondus A in eodem quoq> centro E ponderabif , ac li in E eftet appenlum. polita igitur potentia , qu& in G, vbi D (idemenim prorhis eft ) erit BD tanouam vectis , * cuius fuldi mentumeritB, pondus in E appenium, & potentia in D. con uenienter enim fulcimenti rationem iplum B liibire poteft , exi ftente fune F B immobili. ca?terum hoc pofterius magis eluceicet. Quoniam autem potentia ad pondus eandem habet proportio- nem 3 quam BE ad BD ; & BEin liibdupla eft proportione adBD:potentiaigitur in G ponderis A fubdupla erit. quod de- monftrare oportebat. 6 Vndecimi Fx prače- de M. 2 1luim de vefte. R Hoc / DE T R O C H L E A. 6 6 ) q G- - - 00*11 i •. - f •• •' * • •, Veluti f?t pondus H pon deri A sequale 3 cui religacus (it funis k L5 potentiaq; ml iuftineat pondus H; erit potentia in L feorlum ponderi H, &: ponderi A necjualis j fe d poten tia in G fubdupla eft ponderis A 3 quare potentia in G fubdupla erit po tenfia?,qu£ eft in L. & hoc modo in huiulcemodi reliquis omnibus pro portio inueniri poterit. S .1 'Tf V IC COROLLARIVM. II. Manifeftum eft etiarn ; fi dux fuerint poten- tiae vnain G , alterain F,pondus A (uftinentes; vtrafq; ftmul ponderi A acquales efte: & vnam quamque fuftinere diinidiurri ponderis A. Hocautemex tertio 3 8č quarto corollario fecundse huius in | tractatude vecte patet. •j - r,f ’ \ £■.: ■ 7 > Jr. H f ' - COROLLARIVM III. Illud quoq; prceterea innotefcit, cur fciiicetfu nisex altero religatuselTedebeatextremo. 3 Huiw. i Hum . ___D T R O C H L E A P R O P O S I T I O III. Si vtrifq; duarum trochlearum fingulis or- biculis, quarum altera fuperne, alte ra vero in- ferne conftituta, ponderiq; alligata fuerit, cir cunducatur funis; altero eius extremo alic.ubi religato, altero vero a potentia pondus fufti- nente detento; erit potentia ponderis fiibdu¬ pla . Sit pondus Ajfic BCD orbiculus troch!e£ pon deri A alligatte, cuius centrum K 5 EFG vero fit trochlea; furfum appenfie > cuius centrum H. deinde L B C DM E F G N funis circa orbicu- los ducatnr,quireligetur in L j fitq; potentia in N fuftineas pondus A. dico potentiam in N fubduplamefleponderis A. fi enim potentia fu ftinens pondus A vbi M collocata foret, eftet I vtiq; potentiain M fubdupla ponderis A. po- tenti^veroin M a?qualis eft vis in N. efte- nim ac fi potentia in M dimidium ponderis A fine trochlea fuftineret, cui sequeponderat pondus in N ponderis A dimidio a:quale. quare vis in N sequaiis dimidio ponderis A ipfum A fiiftinebit. Potentia igitur in Nfufti nens pondus A fubdupla eft ipfiusA. quod demonftrare oportebat. Si DE TRO C H L E A. Si vero vt in fecunda figura fit fu nis BCDEFGHkL orbiculis cir cumuolutus, ik religacus in B ; poten tiaq; in L pondus A fuftineat: erit potentia in L fimiliter ponderis fiibdu pla. orbiculus enim trochlea* fiipe- rioiis, ipfaque trochlea penitus funt inutiles : 8t idem elt 3 acli funis reli gatus efiet in F , & potentia in L fu IHneret pondus fola trochlea ponderi alligata,qu£ potentia ponderis A often fa efUiibdupla. ^7 C O ROLLARIVM. Ex his fequitur, fiduse fint potentia in B L; vtrafq; inter fe fe sequales efTe. Vtraq;enim feorfumeft ipfius A fiibdupla. PRO- DE T R O C H L E A P R O P O S I T I O IIII. Sit vedis AB, cuius fulcimentimi fit A; qui bifariam diuidatur in D: fitq; pondus C in D appenfum; duaeq; iint potentiat cequales in BD j pondus C fuftinentes.Dico unainquainq; poten tiam in B D ponderis C fuEtriplam ciTc. D Al E. G- Quoniam enim altera potentia eft in D colloca 35 - ta^Se pondus C in eodem puncto D eft appenfum j potentia in D partem < ponderis C fuftinebit ip- fi potentia D a?qualem. quare potentia in B partem fuftinebit reliquam,qute pars dupla erit ipfius potentbe inB$ cum pondus ad potentiarn eandem habcat proportionem, quam A B ad A D: & potentia? in BO funt asqua- les 5 ergo potentia in Bduplam fuftinebit partem eius, cuam fiifti net potentia in D. diuidatur ergo pondus C in duas partes,qua rum vna fit reliqute dupla ; quod fiet,fi in tres partes a?quales EFG diniferimus: tune enim F G dupla erit ipftus E. Itaa; potentia in D partem Efuftinebit, & potentiarn in BreIiquasFG. vtreq; igiturinterfefe a?quales potentia in BD ftmul totum ftiftinebunt pondus C. & quoniam potentia in D partem E fuftinet, qua? ter tia eft pars ponderis C, ipfiq; eft a;qualis; erit potentia in D fub tripla ponderis C. &c cum potentia in Biuftineat partes FG,qua rum potentia in B eft fiibduplajerit in B potentia vni partium F G, puta G a?qualis . G vero tertia eft pars ponderis C5 potentia igitur inB {ubtripla erit ponderis C. Vnaquseq; ergo potentia in BD lubtriplaeft ponderis C. quod demonftrare oportebat. Etfi 1 D E T R O C H L E A. 68 Et fi duo effent vectes A B E F bifariam in G D diuif%quorum fulcimenta elfent A F , Sc pondus C in E) G vtriq; vecti appen- fum j ita tamen vt in ytroqs-5sequaIirer ponderet j dua:q; eflent a?quales potentias in B G : cadem produ? ratione oflendetur, vnamquamq; potentiam in B, & G ponderis C iubtriplam edc. : i d i ■ i il o a , ■ A ; 6 . / i h; : oc ! P R O P O S I T I O V. : . ‘ $}* j ■ j . » > ... . ji i i - ..JI . ' r*. "jC\ ; • . L ^ ;‘U r. ^ L\.:\ , Si vtrifq;duarumtrochleam fingulis orbiculis, quarutn akera fuperne,akera vero inferne corifti tuta, ponderiq; alligatafuerit, circumducaturfii n is; altero eius extremo inferiori trochleae reli- gato, altero vero a potentiapondus fukinentč detento: erit potentia ponderis fubtripla. ita lit vt d F adD Cj&vtBE adBAGta eft D F ad D C; erit potentia in A ad partem ponderis , qucd fuftinet, vt poten¬ tia in C ad jpfius ponderis ,quod fuftinet, partem j & potentia: in AC. lunt £equales j a:quales igitur erunt partes ponderis G j qu.se a potentiis luftinentiir. quare vnaqu£q; potentia in A C di- midium iuftincbit ponderis Gr Potentia vero in A fiibdupla eft pon deris 3 quod fuftinet: ergo potentia in A dimidio dimidii, hpc eft qtiartae portioniponderis G aequalis erit; ideoq; fubquadrupla erit ponderis G . neq; aliter demonftrabitur potentiam in C lub- quadruplam efle eiuldem ponderis G. quod demonftrare opor- tebat. S 2 Si ■2 Hum* de vefte> D E T R O C H L E A Si vero tres fint vectes AB CD E F bifar)’aip di- uifi in G H k, quorum fulci ment-a fint B D F$ Sc pot\du$ . L eodem modo in GHK appenfli^O;finjq; tres poten { tise in ACE sequalespondus „ fiiftinentes ; fimiliter often detur vnamquamque po- tentiam fubfexcuplam effe. ponderisL. atq; hoc jordi; * ne fi quatuor effent vectes, &quatuor potentise 5 erit Vnaqu^q; potentiafuboctuplaponderis. atqj ita deinceps in infinitum. ni 3cmr.o tr-i ■ PROPOSITIO VIL quaru altera fuperne vnico duntaxat,altera vero infer- neduobusauteminfignita orbiculis, ponderiq; alligata confHtutafuerit/unis circumpOnatur;al teroeius extremo alicubi religato,altero vero a potentia pondusfulfrnenteretencojeritpotentia isfubquadrupia. DE T R O S H L 7 l iii ni i xj :ob Sit pondus A; lint tre^orb j^Ii ,jquoi*um; centra BC D; orbiculufčp, cuius ceatrum D, fittrochlese fumim appenfa&|'qtio|uqi'fverq funt ceatra BC, fint trochle^ponften A alli E F G H k L N O P per ofnnes circumducatur orbiculos ,quireligeturin E 5 fitq; viš in P fuftinens pondus A, dico, pp tentrahf in P fubouadruplam efte ponderis" A. diičantur ki GF ON;per rotularum centra, & horizonti a;quidiftantes, quaj (ex iis, qua? dieta funtJtanquam vectes erunt. & quoniampioptervečfem J fine libram k L; cuius fulcimentum, ftue centrum eft in me dio,tam fuftinet funis k G, quam L N,cum inneutram partem fiat motu s. nec non propter vectem G F, e cuius medio ve/uti fu fpenfum dependet onus; fi duas eifent in G F potenti^e,leu in H E( eft enim par vtriufq; . fitus ratio, vt iamfepius dictum eft ) e Rent Vtiq; huiufmodi potentia; inuicem sequales. quare ita fuftinet funis H G,vt E F. fimiliter oftendetur funem P O tam fiiftinere, ,quam L N: quare funes PO k G E F L N seoua liter fuftinent . sequaliter igitur funis POfii ftinet, vt k G . fi ergo dua; intelligantur ef ie potentia; in OG,feumP'H, quodidem eft, pondus nihilomi nus iuftinentes ,quemadmodum funes fuftinent ,£equales vtiq; ef fent;& G F ON duorum vectium vires gerent 5 quorum fulci menta erunt F N , & pondus A inBC medio vectium appenfum. & quoniam omnes funes £equaliter fuftinent > tam fuftinebuat duoPO L N, quam duo KG E F ; tam igitur fuftiiiebit vectis ON, quam vectis GF. quare in Vtroq; vecte ON G F sequali ter pondus poderabit.erit ergo vnaquxq; potentia in PH fubquadru pla ponderis A. & cum funis K G potentia;loco fumatur, quippe quihaud fecus fuftinet,quam P Operit potentia in P fuftinens pon¬ dus A ipfius ponderis fubquadrupla.quod demonftrare oportebat. COROI 1 Hum. Ex 3 Cor. i Hum. 6 Hum , I D E T R O G H L E Al C O R O L L A R 1 V M I. XI minimo unij Sulu: <7 < > jh ICO Hinc manifeftum eft vnumqueiTiq; funem E F G K; L N OP gtiaftafti fiiftinere partem pon- deris A. d mirno ' ■ Jl mu C O R O L L A R I V M II. Patetetiam orbiculum , cuius centrum C, non minus eo, cuius centrum eft B, fuftinere. A L I T E R. om .fii -;o rr:.02 o:: ■ Adhuc iifdempofitis jft duaseftfent poten tix a?quales pondus A fuftinentes, vna in O ExqHuiiif akerainCj eiTet vnaqu A na in _D E TR O C H LEA._72 tia in P H ipfius A fubquadrup!a.Potentia igitur in P fuftinens pon dus A ipfius ponderis A fubquadrupla erit - quod erac often- dendum, Si vero funis religetur in H, & fecundum quatuor adhuc circumuoluatur orbiculosj per uematq; ad P. fimiliter often deturpotentiamin P iubqua- druplam efle ponderis A. idem enimeft, acfi funis re- ligatus eifct in L , potentiaq; foftineret pondus fune tribus tantum orbiculis circumdu- cto , quorum centra effent B CQ . orbiculus enim cuius centrum D eft poenitus inu- tilis. V IA im; A'A ' i. A W »- - :■ '• J j V>' < P RO- DE TROGHLEA I P R O P O S I T I O VIII. Sint duo vetes A B C D bifariam diuifi in E F, quorum fulcimenta fint A C , & pondus G in pundis E F vtriq; vedi fit appenfum, ita vt ex j vtroq; cequaliter ponderet; trefq, fint potentia? a?quales in B D E pondus G (uftinentes. Dico vnamquaniq; feorfum ex didis potentiis fub- quintuplam eiTe ponderis G. 2 Huim. de veffe. in 6 Huius Quoniam enim pondus G appenfum eft in E F, & t res funt potentia; in E B D cequa les i ideo potent ia in E partem tantiim ponderis G fiiftinebit ipfi potentia; in E a;qualem; potentia; vero inB D partem fuftinebunt reliquam; & pars, cuam fiiftinet B , erit iplius dupla j pars autem, quatn fu itinet D j erit fimiliter ipfius D dupla ; propter proportionem BA adAEj&OC ad CF. Cumitaq; potentia; inB D fint sequa les , eruntfex iis , qu,^fupra dictum eftJpartes ponderis G, qua; a potentiis B D fuftincntur,interfe fe aequales ; & vnaqua;q; du pl a eius partis , qua;a potentiain E fuftinetur. diuidatur er- go pondus G intres partes, quarum dua; fint inter fe fe a?quales> nec non vnaquseq; feorfum alterius tertias partis dupla. quod fiet, fi in quinq; partes a;quales HKLMN diuidatur ; .pars enim compofita ex duabuspartibus k-L dupla eft partis H; pars quoq; MN eiufdem partis El eft fimiliter dupla. quare & pars k L parti M N erit iequalis . Suftineat autem potentia in E par tem ET$ & potentia inB partes K L 5 potentia vero in D partes B A 'D fr D 1L K M 'M A4n > ji 'I DE T R O C H L E A. 7 3 M N: tresigitur potentkesequa!es in B DEcotumfaftinebunt pon dus G j .& vnaquseq; potentia in B D dupiumluftinebit eius,quod fuftrnet potentia in E. Cum itaq; potentia in E paiterri H fufti- neat, qu?equinta eft pars ponderis G , ipficj, fit £equalis; eritpo tentia in E fubquintupla ponderis G. 8č quoniam potentia in B partes k I fuftinet,qu;£quidemdupke funt potentia B,& par tis H; erit quoa; potentia in B ipfi H cequalis : quare fubquintupla erit ponderis G . Non aliter oftendetur potentiam in D fubouintu- plam efte ponderis G. vnaquaeq; igitur potentia in BDE fubquin- tupla eft ponderis G. quoddemonftrareoportebat. G- 3 zT C ZT E A~ H 3 ) K Si vero fint tres vectes A B CD E F bifariam diuifi in GHk, quorum fulcimenta fint ACE j & pondus L eo dem modo in G H k fit ap- penfum; quatuorq; fint po- tentke £equales in BDFG pondus L fuftinentes; fimili modo oftendetur Vnam- quamq; potentiam in B D F G fubfeptuplam eflfe. ponde ris L.Sc fi quatuor eifent vectes,& quinq; potentke asquales pon¬ dus {uftinentes; eodem quoqj modo oftendetur vnamquamq; potentiam iubnonuplam efle ponderis. atq; ita deinceps. p r o p o s i t i o vini. Si quatuor duaruni trochlearum binis orbi- culis , quarum altera fuperne , altera vero in- ferne , ponderiq; alligata , difpofita fuerit, cir cumducatur funis; altero eius extrenio inferiori tro- 8 Hum. DET RJ)_C H LEA _ trochlese religato, altero vero a potentiapon- dus fuftinente retento : erit potentia ponderis fubquintupla. Sit pondus A ^ cui alligatafit trochleaduos habens orbiculos > quorum centra ftnt BC; iltcj4 trochlea ftirftim appenla duos alios ha¬ bens orbiculos,quorum centra fmt D E^funiicj; per omnes circumducaturorbiculos, cjui tro- chleae inferiori religetur in F j fitque poten tia in G fuftinens pondus A. dico poten- tiam in G fubquintup]am effe ponderis A. ducanturHk L M per centra BC horizon¬ ti a^cjuidiftantes, quas eodem modo ,quo fu- pra dictum eft, effe tanquam vectes oftende- mus , quorum fulcimenta k M 3 & pondus A ex medio vtriufq; vectisB Cfufpenfum,&tres potentia in LHC pondus fuftinentes , quas Emili modo sequales effe demonftrabimusjfii nes enim idem cfficiunt, ac fi effent potentia?. Se quoniam pondus a?qualiter ex vtroq:; ve- cteHK L M ponderat, quodquidem often- deturquoque, vt in praecedentibus demon- ftratum eft : erit vnaqua?q; potentia, tum in L,Teu in G, quod idem eft; tum in H, atq; in C,hoceft inF j fiibquintupla ponderis A. Potentia ergo in G fuft inens pondus A ipfius A ftfbquintupla erit. quodoftendere opor* j tebat. Sive- D E T R O C H L E A. 74 Si verofunisinF adhuc de- feraturcirca alium orbiculum, cuiuscentrum N, quireligetur in O; fimiliter duplici medio fvt in ieptima huius ) demon ftrabiturpotentiam in G pon- dus A iuftinentem iubfexcu piameiTe ponderis A.Primum cjuidem ex tribus vectibus LM H k F P , tjuorum fulcimenta funt M k P j & pondus in me diovectium appenfiim ; Smeš potentiarin LHF£equaIespon dus fuftinetes.deinde ex poten tiis in LHN,quarumvnaqua;q; fubquintupla eflfet pondeiis A. effentenim ambse limul poten tiae in LFI fubdupta fexquialte rx ipfius ponderisjpotetia vero in F fubdccupla elTet,cum fit ip lius N fubdupla: led duaequin tx cum decima dimidium ef ficiunt, quod P per terna diui datur, fexta pars ponderis re fpondebit vnicuiq; potentice in LHF. ex quibus patet poten tiam in G fubfexcuplam effe ponderis A. Pmiliterq; demon fhabitur vnumquemque orbi culum aequalem fuftinere por- tionem. £x 6 buirts * Ex Skkim T 2 Quod DE TROCHLEA Ex 8 Hitim Quod ii p vt in tertia figura funis in O protrahatur j per a]iumq;circumducatur orbi- culum j cuius centrum Q; qui deindein R trochleas relige- tur inferiorij eritpotentiain G ponderis fubfeptupla. atq; ita in infinitum procedendo proportio potentite ad pon- dus quotcunq; fubmulti- plex inueniri poterit. dein- de femper oftendetur vt in pra?cedentibus fi potentia pondus fiiftinens fuerit, vel fubquadrupla, vel fubquitu- pla, vel quouis alio modo fe habebitad pondus; fimiliter vnumquemque funem , vel quartam , vel quintam , vel quamuis aliam partem fufti- nere ponderis, quemadmo- dum potentia ipfa ; funes e- nim idern efhciunt ^ acfi tot effent potentia : orbiculi ve ro, acfi tot effent vectes. sl COROLLARIVM Exhis manifeftum eft orbiculos trochlea^cui eft alligatum pondus,efficere, vt pondus rriino- re (udi- _D E T R O C H L E A. 7 f re fuftineaturpotentia, quam fitipfumpondus; quod quidem trochlea? fuperioris orbiculinon efficiunt. Nouiflfe tamen oportet, quod ( vt fieri folct J inferioris tro ‘ chle^e orbiculusjcuius centrum N 3 minor eife debet eo, cuius cen trum C; hic autem minor adhuc eo, cuius centrum B; acdenio; fi plures fuerint orbiculi in trochlea inferiori ponderi alligata., fem per cseteris maior eflfe debet ,quiannexo ponderieft propinquior. oppofito autem modo difponendi funt in trochlea (uperiori. quod fieri confueuit, ne funes inuicem complicentur 5 nam quantiim ad orbiculos attinet , fiue magni fuerint,fiue parni, nihil refert; cumfemper idem fequatur. Prsetereanotandum eft,quod etiam ex dictis faciie patet, fi funis, fiue religetur in R trochlea? inferiori, fiue inS,maximam inde oriri differentiam inter potentiam,& pondus: nam firelige tur in S, erit potentia in G ponderis fublexcupla. fi vero inR, fiibfeptupla. quod trochlea? iuperiori non contingit , quia fiue religetur funis fvt in pra?cedenti figura ) in T , fiue in O; fem per potentia in G fublexcupla erit ipfius ponderis. Poft ha?c confiderandum eft, quonam modo vis moueat pon dus;necnon potentia? mouentis,ponderiiq; moti ipatium, atque tempus . P R O P O S I T I O X. Si funis orbiculo trochlea furfum appenfe fueritcircumuolutus,cuius altero extremofit al ligatum pondus; alteri autem mouens collocata fit potentia : mouebit ha?c vede horizonti Tem¬ per a?quidiftante. Sit Hum. DE TROGHLEA Sit pondus A , fit orbiculus trochle^ fur fum appenfe ’ cuius. centrum K j fit deinde funisHBCDEF al igatus ponderi A in H, orbiculoq; circumdu&us 5 fitq; trochlcaitaiu L appenfa & nullum alium habeat motam prteter Iiberam orbiculi circa axem verfionem; fitq;potentiainF mouens pondus A. Dico potentiam in F femper mouere pondus A vecte horizonti £quidiftante . ducatur BKE horizonti £quidiftans; fintq; BE puncta,vbi funesBH , 8eEF circulumtangunt;erit BkE vectis j cuius fulcimentum eft in eius medio k. ficutiupra oftenfiim eft. dum icaq;. vis in F deorfum tendit verfus M , vectis E B mouebitur, ciim totus orbiculus moueatur, hoc eftcircumuertatur.dumigitur F eft in M , fit punctum E ve ctis v/q; ad I motum j B autem vfq; ad C , ira vt vectis fit in CI . fiat deinde N M sequalis ipfi FE : & quando punctum E erit inl j tnnc funis punctum,quod erat in E, erit in N: quod au temerat in B erit in C5 ita vt dueta CI per centrum K tranfeat. dum autem B eft in C , fit punctum H in G 3 eritq; B H ipfi CBG cequalis; cum fit idem funis . 8e quoniam dum E F tendit in N M ,adhuc femper remanetE F M horizonti perpendicularis, circulumcp tangens inpuncto E 5 ita vt dueta a puneto E per cen trum k, fit femper horizonti tequidiftans. quodidemeuenic funi BG,& puneto B. dum igitur circulus, fiueorbiculus circumuer titur j femper mouetur vectis E B , femperq; adhuc remanet alius vectis inEB. fiquidem ex ipfius rot ulx natura, in qua femper dum mouetur,remanet diameter ex Bin E vectis vicem ge ritjeuenit 5 vt recedente vna femper altera fticcedat; eiufmodi durantecircumductione: atq; ita fit ,vt potentia femper moueat pondus vecte EB horizonti sequidiftante. quod demonftrare opor- tebat. Iifdem DE T R O C H L E A. 7 6 lifHem pofitis , (patium potentia: pondus mouentis eft a:quale ipatio eiufdem ponderis moti. Quoniam enim oftenfum eft .> dum Feft in M,pondus A,hoc eft punctum H eife in G5 Sc cum funis HBC DE F fit a?qualis GBCDENFM, eftenim idemfunis; dempto igitur communi GBCDENFj eritHG ipfi F M aequalis. /imiliterq; oftende- tur , defcenfum F iemper a?qualem efteaičenfui H. ergo /patium potentia sequale eft /patio ponderis . quod erat demonftran- dum. P rceterea potentia idem pondus per a:quale fpatium in aequali tempore mouet, tam fune hoc modo orbiculo trochlea: furfum appenfe circumuoluto , quam line trochlea : dummo- do iplius potentia: lationes in velocitate fint 1 Iifdem DE T R O C H L E A lildem pofitis fit aliud pondus P asquale ponderi A, cui alligatus fit funis T Q horizoti perpedicularis* et fit TQ ipfi HB £equalis; moueat que potetiain Qj)6dus P furfum ad rectos angulos horizont j,quem admodum mouetur pondus A.di co per sequale fpatium in eodem temporepotentiam in Q pondus P, & potcntiam in F pondus A mouere. quod idem eft, ac fi eflet idem pondus in sequali tempore motum^ficutpropofiiimus. Pro- ducatur FF in S., & T Q in Rj fiantqj QR F S non folum inter Fe/e, venim etiamipfi BH sequa les. Cum autem TQ, QR fint ipfis HB FS sequales,&visinQ moueat pondus P perrectam T QR} vis autem in F moueat A per rectam H B , Sc velocitates Lili !!n r - motuum vtriu{q; potentisefint asquales 5 tune in eodem tempore potentiain Q erit inR, Sepotentia in F eritin S 3 ciim lpatiafint aequalia. led dum potentia in Q eft in R' j pondus P, hoc eft punctum T erit in Q 5 cum T Q fit ipfi Q R a:qualis . & dum po tenna in F eft inS 3 pondus A,hoc eft punctumH erit inBjfed ipatium T Q 2equale eft ipatioH B , potentia ergo in F Q #quali ter mota; pondera PA £qualiapera:qualia ipatia in eodem tempo re mouebunt. quod erat demonftrandum P R O P O S I T I O XI. Si funis orbiculo trochlea? ponderi alligatse fuerit circumuolutus, qui in altero eius extre- mo DE TROCHLEA. 77 mo alicubireligetur, altero autem a potentia mouente pondusapprcehenfo; vede femperho rizonti a?quiftante potentia mouebit. Sit pondus A j Sit orbiculus CED trodhlea; ponderiAalli- gat 32 ex k fitq$ K H ad rectos angulos horizonti, ita vt pon¬ dus temper trochlea; motum,fi- ue fu rtu m , fiuedeorlumfactum iequatur j (itq; orbiculi centrum K; & funis orbiculocircumuo- lutusfit BCDEF , qui relige- tur in B,itavt in B immobilis maneatj&fit potentia in F mo- uenspondus A.dico potentia m inFiempermouerepodus A ve ctehorizonti asquidiftante. fint BC EFinter/efe,ipfiq; k H se- quidiftantes,& eiufdem k H ho rizonti perpendiculares,tangen tefq; circulii CED in ECpuctisj et connectatur EC,qu^ percen trum k tranfibit , horizontiq; ž£qaidiftans erit $ ficutipriusdi ctum eft . Quoniam enim or biculus CED circa eius cen trum K vertiturj ideo dum vis in F trahic iurfum punctum E , deberet punctum C defcende re j ac trahere deorlum B 5 fed fu nisin B eft immobilis, & BC delcederenon poteft ; qtiare dum potentia in F trahit fiirfum E» totus orbiculus furfiimmouebiturj ac percon(equenstotatrochlea, & pondus; Sc E k C erittanquam bum vectisjCuiusfulcimentumeritC ; eft enim punctum Cpropter B C fereimmobile, potentia vero mouens vectem eft in F fune EF^ Ex i bum V &pon- ! DE TROCHLEA 5 c pondus in k appenfum. qu6dfipunctumC ornnino fue rit immobile ^ moueaturq; ve 'ctis EC inNC 5 & diuidatur N C bifariam in L : erunt C L L N ipfis C k K E sequales, quare fi vectis E C eftet in C N, punctum k eflet in L j & fi du catur L M horizonti perpendi cularis , quae fit etiam sequalis k H 5 effet pondus A , hoc eft punctum H in M. fedquoniam potentia in F dum tendit fur- fum mouendo orbiculum , feni per moueturfuper rectam EFG, qux femper eft quoq; xc]uidi ftans B C 5 necefife erit orbicu luni trochlea: femper inter li¬ nčaš E G B C efife: & centrum k , cum fit in niedio ^ fliper rectam linearn H k T femper moueri. itaq;ducatur per L li nea P T L Q horizont i, & E C a?quidiftans, qu^e fecct H k pro- ductamin T centro T ,lpa tio veroTQ,circulus defcriba turQRPS,qui£equaIis erit circuloCEDj&puncta P Qtangentfu nes p£ BCinP Q punctis. rectangulum enim eft PECC^Sc PT TQ ipfis E K k C funt £equales. deinde per T ducatur R TS diameterdrculiPQS£quidiftansipfiISiC; fiatque TO.Tqua lis k H . dum autem centrum k motilni erit v.i3 cum DE TROCHLEA. 79 cum {it 3!qualis X Y;ergo Z ipfius H O dupla erit.Itacj; dum poten ticeerunt inGYjpondera A V erunt in OZ. in eodem autem tempore erunt potentia; in GY , ipfarum enim velocitates mo tuum fant aecjuales j quare vis in F pondus A in eodem tempore mouebitper dimidium fpatium eius., per quod raouetur a poten tia in X pondus V: & pondera fant sequalia j Potentia ergo idem pondus in secjuali tempore per dimidium Fpatium mouebit trochleacp hocmodo ponderi alligata, quamfine trochlea ; dum modo potentiasmotuum velocitates fint ascpales. quod erat de- monflrandum. P R O P O S I T I O XII. Si funis circapluresreuoluatur orbiculos.al- tero eius extremo alicubi religato , akero au¬ tem a potentia pondusmouentedetento 5 poten tia večkbus° horizonti Temper #quidiftantibus mouebit. • ir. o v rmcb; - • l Vj l l .-1 L %. J j r? Z } t.iu J; ji.i&JA aJ i. »a r ;ny t<' •' D ?ll J p* :> • 7 1;,; ršijOf • i j j r n i‘» 1 d n o 11 d - i : r* ■ . -> j J^ '■/ P.P. •. r> „ rj _, y ' - L v‘ — V .->< ! . [A £ * -4J.> * r i : 3&sin30it rr . .v si. LJ\'l is ji. j i ; •r'un 3: : ".rua et.ujl n :: i ::ubnoq?i 3 u r : rriiiUnssocj , hjj faaicFo •*aODa v 'A: ijmh.u.Lfab C3i : i i y/;\(. moupPl11 37 C -Jh. e •• fmnofaaKhorrrc-i Ol .Z V-UV a I X Sit DE TROCHLEA i s Et io Huim. 1 1 huim. io Huim. G Sit pondus A , fit orbiculus C E D tro- chlece ponderi alligata? ex k S ad rectos an gulos horizonti ; ita vt pondus femper eius motum furfiim >ac deorfum factum fequa- tur. fitdeinde orbiculus circa centrum L trochlea furfiim appenfa? ; fitq; fiinis circa orbiculos reuolutus BCDEHMNO, qui religatus fit in B ; fitq; vis in O mouens pondus A mouendo le deorfum per O P . dico potentiam in O femper mouere pon¬ dus A vectibus horizonti femper sequidi- ftantibus . ducatur N H per centrum L ho rizonti £quidiftansqux erit Vectis orbi- culi,cuius centrum eft L. ducatur deinde E C per centrum k {/milite r horizonti sequi diftans, qu« etiam erit vectis orbiculi, cu- ius centrum eft k. Moueatur potentia in O deorfum, quas dum deorfum mouetur,ve ctemNH mouebit; St dum vectis moue- tur, N deorfum mouebitur a H vero fur- fiim, vti fupra dictum eft. dum autem H moueturfurfiim, mouet etiam furflim Ei St vectem E C, cuius fulcimentum eft C, fed fulcimentum C non poteft mouere deor¬ fum Bjideo orbiculus 3 cuius centrum K,fiir fum mouebitur* St per confequens trochlea ^ St pondus Ajvtin praecedenti dictum eft. &quoniam ob eandem caufam in pnece- dentibus afsignatam inHNj&r E C femper remanent vectes hori zontiaequidiftantes 5 potentiaergo mouens pondus A femper eum mouebit vectibus horizonti a?quidiftantibus . quod erat o- ftendendum. Et fi funis circa plures fit reuolutus orbiculos; fimiliter oftende- tur , potentiam mouerepondus vectibus horizonti femper &qui- diftantibus : St vectes orbiculorum trochlea fuperioris femper eftejVtHN^uorumfulcimentaeruntfemper inmedio: vectes au¬ tem orbiculorum trochleae inferioris femper exiftere ,vt E C; quo- rum DE TROCHLEA. So Iifdem poiitis, ipatium potentiat duplum eit Sit motum centrumKvfq; adcentrum R;& orbiculus fitFTG. deindeper centrum R ducatur GF ipfi EC a?quidiftans : tangent funesEH C B orbiculum in G F punctis. fiat deniq; RQ sequa lis K S . dum igitur k erit in R; pondus A, fcilicet punctum S erit in Sc dum ccnrrumorbiculi eft in R 3 fit potentiainOmota in P. Sc quoniam funis BCDEFIMNOefi: sequalis funi B F T GHMN P; eft enim idemfunis;& FTGa?qualis eftC DE;dem ptis igitur communibusB F, & G Pl M NO, erit reliquus O P ip fis FC EG fimulfiimptis^qua]is:&percon/equens duplus kR* 6čQS. &cumOP fit ipatiumpotentise SQ Ipatium pon deris moti; erit Ipatium potentke duplum fpatii ponderis. quod erat oftendendum. tempore per dimidium Ipatium mouebit fune circaduos orbiculos reuoluto , quorum vnus ; fittrochlese fuperioris , alter vero fit trochleae ! ponderi alhgata?; quam fine trochleis: dumrno- rum fulcimenta erunt in extremitatibus vectium. Iifdem DE TROCHLEA Iifdemnamq; pofitis,fitpon dus V squale ipd A, cui alliga- tiisfitfunisXp;fitq; potetiainX mouenspodus V;qusdum pon dus mouet, perueniat in Y: fiant que XY Z 9 ipfiOP squales; erit Z 9 dupla Q S . & fi vtriuf- que potentis velocitates mo- tuumfint squales j patet pon- dus V dupJum pertranfire ipa- ti um in eodem tempore eius, quod pertranfit pondus A.in eo dem enim tempore potentiain X peruenit ad Y, & potentia ia Oad Pponderaq$Omiliter in, ZQ. (pod erat demonftrarv dum. P R O P O S I TI O XIII. Fune circa fingulos duarum trochlearum orbiculos, quarumaltera fuperne, alteraverb inferne , ponderiq; alligata fuerit , reuoluto; akero etiam eius extremo inferiori trochlesere- ligato DE TROCHLEA. 81 ligata, alteroautema mouente potentia deten- to: erit decurilnn trahentis potentia? fpatium,nio ti pondens fpatii triplum. Sit pondus A3 fit B C D orbiculus tro chleat ponderi A ex EQ fufpenfo alligatse; fitq; o rbiculi centrum E 5 fitdeindeFGH orbiculus trochleatfurfum appenfie, cuius centrum k 5 funis LFGH DCBM circa cmnes reuolutus orbiculos , tro- chlesq; inferiori in L reiigatus : fitqj in M potentia mouens. dico fpatium de- curfiim a potentia in M 3 dum mouet pon dus 5 triplum efte fpatii moti ponderis A. Moueatur potentia in M vfq; adNj& centrum E fit motumvfq; ad O 5 & L vf que ad P 3 atq; pondus A, hoc eft pun- ctumQ vfq$ ad R; orbiculidčp motus,fit T S V . ducantur per E O linete S T BD horizonti ;equidiftaiites , quae inter fe fe quoq; sequidiftaritcs erunt. cuoniam au tem dum E eft in O, punctum Q eft in R; erit E Q £qualis O B. 3 & E G ipfi QjK žequalis3 fimiliter L Q atqualis erit PR, SeLPipfi QR a?qualis. tres igitur QR E O L P inter fe fe atquales erunt3 quibus etiamfunt£qualesBS DT-&quoniamfu nisLFGH DCBM £quaIiseftfuniPF G H T V S N, cum fit idem funis 3 & qui circa femicirculum TV S eft £qualis funi circa femicirculum BCD ,• demptis igi tur commimibus P F G H T ’ & S M 3 erit reliquus M N tribus BS L P D T fimul fumptis sequalis. B S vero L P D T fimul trfpli funt EO, &c ex confequenti QR. X fpa- D E T R O^: H L E A , j fpatium igitur M N translatse potentise fpatii Q R ponderis mo ! titriplum erit. quoderat demonftrandum. Tempus quoq; huiusmotusmanifeftum efheadem enim po i tentiain £quali tempore fpatio fecundum tripium ampliori fine j huiufmodi trochleis idem pondus mouebit, quam cum eifdem j hoc modo accomodatis . fpatium ponderis fine trochleis moti 2equale eft fpatio potentias. &hoc modo in omnibus inueuiemus j tempus. P R O P O S I T I O XIIIL Fu'ne circa tres diiarum trochlearum orbicu los, quarum altera fuperne vnico dumtaxat, al tera vero inferne , duobus autern infignita or- biculis,ponderique alligata fuerit , reuoluto; altero eiuseftremo alieubi religato^altero autern a potentia pondus mouente detentoreritdecur- fum trahentis potentiae ipatium moti ponderis fpatii quadruplum. Sit DE TROCHLEA. 82 A 'r Ti' O H Sit pondus A fint duo orbiculij,quoni cc tra k I trochlese ponderialligata? k «$ ita vt pondus motum trochlea; furfum, & deorfutn femper fequatur:fit deinde orbiculusjcuius cen trum L, trochlea: furfum appenfe in Ji ; fitq; funis circaomnes orbiculos circumuolutus BC DEFGHZMNO,religarufq;inB; po tentiainO mouens pondus A. dicofpatium, quod mouendo pertranfit potentia in O, qua- druplum eflfe Ipatiimotiponderis A. mouean turorbiculi trocbleasponderi aHigatas; &rdum | centrum k eftinR, centrum Hit in S, & pon • dus A,hoceftpunctum« in /2» : eruntIS kR j inter fe fe £equales , itemq$ klipG RS e« rit aequalis. oibiculi enim inter fe fe eandem femper feruantdiftantiam j &c k « ipfi Rp> £- qualis erit. ducantur per orbiculorum centra lineceFHQTEC VXNZ horizonti sequi diftantesj quae tangent funes in FHQTEC VXNZ punctis 3 &:interfefe quoq; asquidi ftanteserunt: &EO CT VN XZ non fo luminterfefe^fedetiamipfiš 1 S KR Kih sequa leserunt. & dum centra k I funt in RS, po tentiain Ofit mora in P. & quoniam funis BCDEFGfd Z M NO eftžequalisfuniBTp Q F G H X Y V P^eft enim ide funis,Se funes cir caTpQ XYV femicircuIosfunta;qua!esfunibus^ qui funtcirca CDE ZMN; Demptis igitur communibus BT, QFGHX, SeVOjeritOP ?equalis ipfis VNXZ CT QEfimuI fumptis. quatuor vero V N ZX CT QE funt interfe fe£quales ,&fimul quadrupla; kR,&«jl; quare O P quadrupla erit ipfius « P>. fpa tium igitur potentia quaai uplum eft fpatii ponderis . quod erat oftendendum. Et fi funis in P circa alium adhuereuoluatur orbiculumverfus potentiaque mouendofedeorfiim moueat furfum pondus j fimi liter oftendeturfpatiumpotentkequadrupIum effefpatii ponderis. X 2 Si DE TROCHLEA Si vero funis inB circumuoluatur al teriorbicuIo,quideinde trochlea? in- 9 Hum. ] feriori religetur ; erit potentia in O fiiftinens pondus A fubquintuplapon deris. & fi in O (it potentia mouens pondus A ; fimiliter demonftrabitur fpatium potentia? in O quintuplumef fe fpatii ponderis A. Etfifunisita circa orbiculos apte- tur, vt potentia in O fiiftinens pon¬ dus fit ponderis fuhfextupla j & loco potentia fuftinentis ponaturin O po¬ tentia mouens pondus.-eodem modo oftendetur fpatium potentia? fextu- plum effe fpatii ponderis moti. 8e fic procedendo in infinitum proportiones ipatii potentia ad fpatium ponderis moti quotcunqj multiplices inuenien- tur. COROLLARIVM I. Ex hi s manifeftum eft ita fe habere pondus ad potentiam ipfum fuftinentem, ficuti fpatium potentia mouentisad fpatium ponderis moti. Vtfi pondus A quintuplum fit potentia? in O pondus A fufti- nentis; erit & fpatium O P potentia? pondus mouentis quintuplum fpatii ponderis moti. COROL _DE T R O C H L E A. S 3 C O R O L L A R I V M II. e Patetetiamper ea, quae dičtafunt, orbiculos trochlea^ quae ponderi eft alligata, efficere; vta moto pondere minus, quam a trahente poten- tia defcribatur fpatium;maioriq; tempore datum sequalelpatium defcribi, quam fine illis. quod quidem orbiculi trochleae fuperioris no n effi- ciunt. Multiplici oftenfa ponderisad potentiam proportione, iam ex aduerfo potenti^ ad pondus proportio mu]tiplexoftendatur. PROPOSITIO XV. Sifunisorbiculo trochleac a potentia furfum detentaefuerit circumuolutus; altero eiusextre- mo alicubi religato, alteri vero pondere appen fo 3 dupla eritponderispotentia. DE TROGHLEA 3 JJuius. de veffe . Sittrochleahabens orbiculum 3 cuius centrum A;& lit pondus B alligatum fti ni CDEFGj qui circa orbiculum fit re- uolutus, ac tandem religatus in G : fitq; potentiainH fuftinens pondus. dicopo tentiamin H duplamefte ponderisB. du caturDFper centru A horizonti asquidi ftans.quoniaigiturpotentia in H fuftinet trochlea,qujefuftinet orbiculum eius cetro A, quipondus luftinet ;eritpotentia fufti nens orbiculu,ac fi in A coftituta efletjipfa ergo in A exiftente , pondere vero in D appenfo 3 funiq; C D religato j erit D F tanquamvectis j cuius fulcimentum erit F, pondus in D, &: potcntia in A. po~ tentia vero ad pondus eft , vt DF ad adF A, & DF duplaeft ipfiusF A ; Po- tentia igitur in A , ftue in H 3 quodidem eft, ponderisB dupla erit. quod demonftrare opoitebat. Prseterea confiderandum occurrit, cum h^c omnia maneant, idemeftevnicoexiftentefuneCDEFGhoc modoorbiculo cicum uoluto, acfi duo eftent funesC D F Gin vectefiue libra D F al- ligati. AL1TER. Iifdem pofitis, fi in G appenfum effet pondus k a!quale pon- deri B, pondera B k xqueponderabunt in libra D F,cuius centrum A. potentiaveroin H fuftinens pondera B k eftipfls fimul fum ptis atqualis, &ponderaBK ipfiusBfunt dupla; potentia ergo in j H ponderisB dupla erit. &quoniamfunis religatus in Gnihila- j liud efficit, nifi quod pondus B fiiftinet, ne defcendat; quod idem ■ efficit pondus k in G appenfum: potentia igitur in H fuftinens pondus B,fune religato in G , dupla eft ponderis B. quod de- monftrare oportebat. P R O- D E T R O C H L E A. 84 P R O P O S I TI O XVI. Iifdempofitisfi in H fit potentia mouens pon dus, mouebit hxc eadem vecte horizonti lem- peratquidiftante Hoc etiam (Tcut in fuperioribus dictum eft ) oftendetur. moueatur enim orbiculus furfiim, pofitionemq; habeat M N O, cuius centrum L: &per L ducatnrM L Oipfi D F, fk horizonti£quidiftans . & quoniam funes tangunt circulumMON in punctis MO; ideo cum potentia in A, Teu in H j quod idem eft^moueat pondus B in D appenfiim vede DF, cuiusfulcimentumeftF; Temper adhucremanebit alins vectis 3 vt MO hori zonti squidiftans, ita vt femper potentia moueat pondus vecte horizonti £equidiftan te , cuius fulcimentum eft temper in linea OG, & pondus inMCj potentiaq; in cen tro orbiculi. Iifdem pofitis/patium ponderis moti duplum eft ipatii potentke mouentis. Sit DET R OG H L E A Sit motus orbiculus a centro A vfq; ad centrum L$ Sc pondus B, ho c eft punctumC, in eodem tem- porefitmotumin P j Sc potentia in Hvfcj; adKj erit AH lpfi L K sequa lis, Sc A L ipfi H k. Sc quoniam fu ni s C D E F G eft atqualis funi P M NOG j idem enim eft fiinis , Sc fu nis circa femicirculum MN O te- qualis eft funi circa femicirculum DBF j demptis igitur communi- bus DP FQ j erit PC £qualis D M F Ofimul fumptis, qui funes funt dupli ipfius AL, & confequen- ter ipfius H k . fpatium ergo pon deris moti C P duplum eft fpatii o H k potentia. quod oportebat de- monftrare. COROLLARIVM Exhoc manifeftum eft , idem pondus trahi ab eadem potentia in a?quali tempore per du- plumfpatiumtrochlea hoc modo accommoda ta, quam fine trochleajdummodo ipfius poten tix lationes in velocitate fintaequales. Spatium enim ponderis moti fine trochlea aequale eft fpatio potentia. Si DE T R O C H L E Al 8f H, D B ■■r M Si autem funis in G ckca aiium reuoluatur orbiculum, cuius centrum k 3 fitq; liuiuimo diorbiculi trochl e a deorfum affixa, qua; nul lum aiium habeat motum, nifi liberam orbi culi circaaxem reuolutionem; funifq3 relige tur in M 3 eric potentia in H fuftinens pondus B fimiliter ipfius ponderis dupla. cjuod qui demmanifeftum eft, cum idem prorfiisfit, fiue funis fit religatus in M,fiue in G. orbicu Jus enim,cuius centrum k,nihilefiicit;penituf que inutilis eft. Si vero fit potentia in M fuftinens pon dus B, & trochlea fuperior fitfurfum appen fa 5 erit potentia in M a;qualis ponderi B. Quoniam enim potentia in G fuftinens pondus B sequalis eft ponderiB, & ipfi po tentias in G aequalis eft potentia in L 5 eft enim G L Vectis, cuius fulcimentum eft k; Sc diftantia G k diftantise k L eft sequalis; erit igitur potentia in L,fiuef quod idem eft^ in M, ponderiB arqualis. Huiuftnodiautem motus fitvectibusDF LG, quorum fulci menta funt kA,& pondus in D, Sc potentia in F. fedin vecte L G potentia eft in L, pondus vero, ac fi effet in G. Si deindein M fit potentiamouens pondus, transferaturq;po tentiain N, pondus autem motumfuerit vfq; ad O 3 erit M N fpatium potentia asquale fpatio C O ponderis. Cum enim funis M LGFDC a?qualis fit funiNLGFDO. eft enim idem funis; dempto communi MLGFDO3 erit fpatium M N potentia; x~ quale fpatio C O ponderis. Etfi funis in M circa plures reuoluatur orbiculos ,fempererit potentia altero eius extremo pondus fuftinens sequalis ipfi ponderi. fpatiaq; ponderis , atq; potentia; moucntis femper oftendentur squalia. PRO» 1 Huius. i$ Huius. Inprdce- denti. DE TROCHLEA P R O P O S I T I O XVII. * Si vtrifq; d nar um trochlearum fingulis orbicu lis, quaruin vnafupernea potentia fuftineatur, altera vero inferne, ibiq; affixa , conftituta fue- rit, funis circumducatur; altero cius extremo fu perioritrochleae religato , alteri vero pondere appenfo;tripla erit ponderis potentia. Sit orbiculus, cuius centrum A , tro- chlese inferne dffix& $ &c fit funis B C D EFGnon/oIum huic orbiculocirctmiuo Jutus, verum etiam orbiculo trochletefu- perioris, cuius centrum k j fitq; funis in B fuperiori trochlese religatusjSc in G fit ap penium pondus H 5 potentiaq; in L fufti neat pondus H . dico potentiam in L tri- plam effe ponderis H. fi enim dive effent potentie pondus H iuftidentes , vna in I K, altera in B , erunt vtneq; fimul triplce ponderisH /potentiaenim in k duplaeft ponderis H, & potentia in B ipfi ponderi cequalis. & nuoniam fola potentia in L vtrifcj; fcilicet potentia: in KB effsequa- lis. fuftinet enim potentia in Lj tum po¬ tentiam in K , tum potentiam in B 5 idem que efhcit potentia in L, acfi duše effent potentia:, vna in k j altera in B: Tri- plaigitur erit potentia in L ponderis H. quod demonftrare oportebat. Si D E J R O C H L E A. 8 6 Si autemin L lit potentia mouens pondus. di co Ipatium ponderis moti triplum efle ipatii po- tentiae mota?. Moueatur centrum or- biculiKviq; ad M ; cuius quidem motu s ipatium motse potentia fpatio eft a2qualej fi čuti jfupra dictum j eft: & quando k erit in M, j B erit in N ,■ & N B aetjuahs ! erit M kjSedum k eft in M, j fttpondus H ^ hoc eft pun j ctum G motuminOj&per M K ducantur E F P Q ho rizonti a;quidiftantes ; erit vnaqu 3 eq 5 EP B N F Q ip fi K M sequalis. & quoniam funis B C DE F G £equalis eft Funi N C D P Q O 5 idem enim eft funis 5 & fu¬ nis circa femicirculum ER Fsequalis eft funi circa fe- micirculum PSQ^dem- ptis igitur communihus BCDE,&FO,eritOG tribus Q F N B P E ftmul fumptis seoualis. led QF N B P E fimul triplae funt M k j hoc eft fpatii poten- tiae mota; ; fpatium ergo GO ponderis H moti tri¬ plum eft Ipatii potentias mota;. quod oftendere oportebat. In prtič e- dcnti. P R O- _DET R O C H L E A P R O P O S I T I O XVIII. Si vtriufq; duarum trochlearum binisorbicu lis, quarum alterafuperne a potentia iuftineatur, alteraverb inferne, ibiq;annexa, collocata fue- rit, funis circumnečhtur ; altero eius extremo alicubi,nonautem fuperiori trochlea: rdigato, alteri vero pondere appenfo ; quadrupla erit ponderis potentia. Sit trochlea inferior,duos habcns orbiculos, quorum centra A Bj fitque trochlea ftiperior duosfimiliterhabens orbiculos, quorum cen- traCD;funifq;EFGHKLMNOPftt cir- ca omnes orbiculos reuolutus, qui lit religatus inE;& inP appendatur pondus Q;(itq; po¬ tentia in R. dicopotentiam in Rquadruplam effe ponderis Q. Cum enimfi dua^ intelligan tur potentia, vnain k, alterain D , potentia 1 6miliš, in k iiiftinens pondus Q fune k L M NO P x- qualiseritponderi j erunt duasfimul potentia^ vna in D ^ alterain k pondus Q luftinentes., tripla: eiuftlem ponderis. Potentia vero in C dupla eft potentise in k , &r per confequens pon j deris Qjidem enim eft,acfiin k appenlum ef 15 Huius ^ et P on dus asquale ponderi cuius dupla eft I potentia in Cj duše igitur potentia in DCqua- druplse lunt ponderis Q. & cum potentia in R orbiculis fuftineat pondus Q,erit potetiain R, ac h duseeftcnt potentia,vna in D, altera inC, &: vtrasq; fimulpondus CKIiftinerent.ergo po¬ tentia in R quadrupla eft ponderis quod oportebat demonftrare. COROL- DE T R O C H L E A. 87 ~C OR O L L A R I V M Ex quopatet, fifunis fueritreiigatusinG J & circa orbiculos,quorum centra funt B C D reuo- lutus; potentiani in R pondus luftinenterri firnili¬ ter ponderis Qc|uadruplam eile.orbicubs enim, cuius centrom A, nihil efticit. Si autem in R lit potentia mouens pondus. dico fpatium ponderis moti quadrupium eiTe lpacii j potentne. • MoueanturcentraCD orhiculorumv/q; ad S Tj erunt ex fuperius dictis C S DT Nado potentia ^qualiaj&:perCSDT ducantur H k VX NO YZ horizontia^cjuidiflantesj&du centra C D funt in S T, ht pondus Q 5 hoc eft G H K L M NO P seoualis eh funi E F G V X L M Y Z 9 j cum fit ide m funis : &fu.nes circa Si DE TROCHLEA Si autem funis fit rc- ligatus in H trochlea? iu perioi i, & potentia in R fuftineat pondus Q j e- l it potentia in R ponde risQquintupla. & fi in R fit potentia mouens pondus jeritfpatium pon deris moti quintuplum ipatii potentia?. quas om- nia fimili modo often- dentur, {icut in prsce- dentibus demonltra - tum eft. 4 DE TROCHLEA. 88 Si vero potentia in R fubftineatpon- dus Q trochlea tres orbiculos habente, quorum centrafint ABC j Sc fit alia tro chlea inferne aflixa duos 3 vel tres orbicu¬ los habens,qtiorum centra DEF, fitq; funis circa omnes orbiculos reuolutus 3 fi- ue in G , fiue in H religatus \ fimiliter oftendetur potentiam in R fexcuplam effe ponderis Q. Ec fiinR fit potentia mouens ponduS;, oftendetur fpatium pon deris moti fexcuplum effe fpatii poten- tix. Etfi funis fit religatus in K trochlea* fuperiori, & in R fit potentia pondus fuftinens 5 firnili modo oftendetur poten tiam in R feptuplam efte ponderis Q. Etfi in R fit potentia mouens , often deturfpatium ponderis Q feptuplumeffe fpatii potentia: . atq; ita in infinitum omnis potentia: ad pondus multiplex proportio inueniripoterit. fempercp °~ ftendetur,ita elfe pondus ad potentiam jpfum fuftinentem, ficuti fpatium poten tise pondus mouentisad fpatium ponde¬ ris moti. Vectium autem ipforum orbiculorum motusin his fit hoc modo,vide!icet Vectes orbiculorum trochlea fuperioris mouen tur , vtidictum eft indecima fextahuius; i hocefthabentfulcimentum in extremita tejpotentiam in meaio, pondus in altera extremitate appenfum.ve ctes vero trochlea inferioris habent fulcimentum in medio 3 pon dus, Sc potentiam in extremitatibus. n G COROL- de trochlea COROLLARIVM Manifeftum eft in hi s, orbiculos trochleae fu : periorisefficere, vt pondus moucacur maiori potentia, quam fitipfum pondus, & per maius fpatium potentiae fpatio, & per sequale tempo- re minori; quod quidem orbiculi trochlea in- ferioris non efficiunt. Alio quoq ; modo hanc potentiarad pondus multiplicem propor tionem inuenire poflfumus. PROPOSITIO XVIIII. Sivtriuiq; duarum trochlearumfingulisorbi culis, quarum altera fuperne appenfa, altera ve¬ ro inferne afuftinente potentia rentenca fuerit, funis circumuoluatur;alteroeiusextremo alicu bi religato, alteri auteni pondere appenfo j du¬ pla eritponderispotentia. DE ,TR O C H L E A. 89 I 1 f # Sit orbiculus trochlea; fiiperne appenfa;,cu ius centrum(it Aj&BCDfittrochlea; infe riorisj fit deindefunis EBCDFGHL reli- gatusin E 5 &in L fit appenfum pondus Mj fitq; potentia in N fuftinens pondus M . dico potentiam in N duplam eflfe ponderis M . Cum enim ftipra oftenfum fit potentiam in L, qua; pondus^ exempligratia, O fufti- neat in N appenfum, fiubduplam eflfe eiufdem ponderis; potentia igiturin N ponderi Oa;- qualis pondus M potentia; in L a;quale fufti ; nebit; ponderifq; M duplaerit. ouod demon ftrareoportebat. ALITER. Iifidem pofitis. Quoniam potentia in F 3 feuinD,quod idem eft , a;qualis eft ponde¬ ri Mj&BDeft vectis , cuius fulcimentum eftB»& po -ntiain N eft, ac fi eflfetin me- dio vectis , ilz- pondus a;quale ipfi M, ac fi ef- fet in D propter funem F D j quod idem eft, acfi BCD eflfetorbiculustrochlea;fupe rioris^ pondusq; appenfumeflfetinfuneDF, ficut in decimaquinta 5 & decimafexta dictum eft j ergo potentia in N dupla eft ponderis M . quoderat oftendendum. Si autem in N fit potentia mouens pondus M , erit fpatium ponderis M duplum fpatii potentia in N. quod ex duodecima huius manifeftum eft fpatium enim puncti L deorfum ten- dentis duplum eft fpatft N ftirfum; eritigitur e conuerfio fpatium potentia; in N deorfum tendentisdimidiumfaptii ponderis M fur fum moti. Sicut autem ex tertia,quinta »feptima huius,&c. colligi poflfunt ponderis O rationes quotcunq; multiplices ipfius potentia; in L, eode quoq*, modo oftendipoteruntpotentisein N pondus fuftinen tis ponderis M quotcunq; multiplices. Atqj ita ex decimatertia Z deci- DE TROCHLEA decimaquarta rationes often dentur quotcunq; muldpbces fpatii ponderis M ad fpatium potentia? mouentis in N confti tuta?. Poterit quoq; ex decimafe ptima decirnaoctauahuiusmul tiplex inueniri proportio,quam habet potentia pondus iiifli nens a d ipfum pondus ; licut proportio potentia? in N ad pon dus M ex decimaquinta,&? deci mafexta oftendebatur: inuenie. turq; ita eiTe pondus ad poten tiam pondus /udinentem,vt fpa dum potentia? mouentis adipa dum ponderis, Vectium motus in his fit boe modo,videlicet vectesor biculorum trocblea? inferioris mouentur, vt vectis B D, quae mouetur, aefi B e(fet fulcimen tum,& pondus in D, & poten tia in medio . Vectes vero or biculorum trochleaefuperiorismouentur, vt FH, cuiusfulcimen tum eftin medio , pondus in H, &: potentia in F. COROLLARIVM, Ex hoc manifeftum eft , orbiculos trochlese inferioris in his efficere , vt pondus maiori po¬ tentia DE T R O C H L E A. _90, { • tentia moueatur , quam (it ipfum pondus, & per maius fpatium fpatio potentitc, St mi nori tempereper tequale. quodquidem orbiculifu perioris trochlecenon efficiunt. •; 1 * - a n . Cognitis proportionibus multiplicibus , iam ad {uperparticu lares accedendum ek. P R O P O S I T I O XX. Si vtriufq; duarum trochlearum fingulis or- biculis,quarurn altera fuperne a potentia fufti- neatur, altera veroinferne, ponderiq;aliigata, cSilituta fuerit,funis reuoluatur;altero eius extre mo alieuibi, akero vero inferiori trochle^e reli gato; pondus potentia: fefquialterum erit. 1 2 Sit DE TROCHLEA C or. 5 bit¬ im. im. Sit ABC orbiculus trochleas iuperioris , Sc DEF trochleasinferio- ris ponderi G alligatae; Ete j funis H A B C D E F k circa orbiculos re- uolutus ,quifit religatus in K, & in H trochleae inferiori; f>tqj potentia in L furtinens pondus G. dico ponduspoten fefquia]terum eflfe. Quoniam enim vterque funis CD AH tertiatn iuftinet partem ponde- ris G j erit vnaqusq; po tentiainD H lubtripla ponderis G j quibus fi- mul afiumptis eft ajqua- Er.ishu- K s potentiain JL: potentia enim inL dupla eftpotentia;in D ,Sč eius,qua;eft inH. quare potentia in L fiibiefquia]tera eft ponde- risG. pondus ergo G ad pontentiam in Left vt tria ad duo$ hoc eft iefquialterum. quod demonftrare oportebat. Si DE TROCHLEA. Si autem in L fit potentiamouenspondus. Dico fpacmmpotentke fpatii ponderis fefquial- teruin elTe. Iifdem pofitis, perueniat orbi- culus ABC vfq,- ad M NO ,6 c DEF ad PQR j & H in S j & pondus G vfq; ad T. Et cjuoniam fimisH ABC DEFK eft a?qualis funi SMNOPQRk 5 cum f;t idem funis ; 6e funes circa fernicir culos ABC M NO funt interfe fe a?quales 5 qui vero funt circa DEF PQRfimiliter inter fe x- quales; Demptis igitur AS C P RK communibus^ erunt duoCO MA tribus DP H S FR aequa- les. fed vterq; CO AM feorfum efta?qualis fpatio potentia? mota?. quare dno CO MA, fimulfpatii potentia? dupli erunt: trefq; D P H S FR fimuf fimilimodo fpatii ponderis moti tripli erunt. dimidia vero pars, hoc eft fpatium poten tia? mota? ad tertiam, ad fpatium fcilicet ponderis motiitafe habet, ji 7 vt duplum dimidii ad duplum ter- tii 5 hoc eft , vt totum adduas ter tias, quod eft vt tria ad duo. fpatium ergo potentia? in L fpa¬ tii ponderis Gmoti fefquialterum eft. quod oftendere opor- tebat. PRO- DE TROGHLEA P R O P O S I T I O XXI. Si tribus daarum trochlearurn orbiculis, qua rumakeravniustantutnorbiculi fuperne a po- tentia fukineatur, altera vero duorum inferne, ponderiq, alligara , collocata fuerit, funis cir- cumuoluatur; altero eius extremo aSicubi,akero autem fuperiori irochleae re!igato:ponduspoten ti3efefquitertium erit. Sit pondns A trochlea; infeviori afiga« tlim 3 qu.e duos habeat orbiculos , cjuorum centrafint BC; fuperiorq; trochlea orbicu- lum habeat, cuius centrum D; & fit funis EFGHkLMN circaomnes orbiculosre uolutus jCjiii religatus fit inN, & in E tro chlese fuperiori ; fitque potentia in O fuftinens pondns A . dico pondus po- cor. r fe- tentiae fefquitertium elTe. Qnoniam enim f ttrna bu- V nufquifq; funis N M H G E F K L quar- tamfuftinentpartem ponderis A,8eom ics (imul totum fuftinent pondus j tres H G E F k L fimul tres fiiftinebunt partes pon¬ deris A. quare pondus A ad hos omnes fimul erit, vt quatuor ad tria : & cum po- tentia inOidem efficiat^quodHG E F k L fimul efiiciunt ; omnes enim (uftinet 5 erit po tentia in O tribus fimul H G E F k L x- atralis j & ob id pondus A ad potentiam in O erit j vt quatuor ad tria 5 hoc eft fdqui tertium. quod demonftrareoportebat. ms. Si DE T R O C H L E A. 9 2 Si vero in O {it potentia mouens pondus A. Dico fpatium potentiam in O decurfum fpatii pon deris A moti. fefquitertiurn eiTe. lifdem pofitis, fit centrum B motum in P ; Se C vfq; ad Q; Se D in R; Se E in S eodem tempore:& per centra ducantur ML 9Z FG TV Hk XYhorizont i, Se inter fe fe£equidiftantes.Similiter, vtin prsecedenteoftendetur tres SE Y k quatuor T G V F Z L 9 M ^quales efte. 8e quoniam tres XH SE Yk fimul tr iplx funt fpatii potentia:, quatuor vero TG V F Z L 9 M fimul quadruplae funt fpatii pon deris moti; erit fpatium potentia: ad fpa¬ tium ponderis, vt tertia pars ad quartam. fedtertia pars ad quartam eft, vt tres ter tisad tres quartas, hoceft, vt totum ad tresquartas; quod eft, vt quatuor ad tria. fpatium ergo potentia: fpatii ponderis mo ti fefquitertium eft . quod erat demon- ftrandum. Si vero funisin E per alium circumuol natur orbiculum , qui deinde trochlese in feriori religetur ; fimiliter oftendetur pro portionem ponderiš ad potentia in O pon dus fiiftinentem fefquiquartam efle. quod fi in O fit potentia mouens pondus, often deturfpatium potentia: fpatii ponderis fef quiquartum efte. Šefic ininfinitum proce dendo quamcunq; fiiperparticularem pro portionem ponderis ad potentiam inuenie mus;femperqj reperiemus,ita efte pondus ad potentiam pondus fuftinentem , vt fpa¬ tium potentia: mouentis ad fpatium ponde- ris moti. Motus DE TROCHLEA Motusvero vectium fit hoc mo do j videlicet vectis M L fulci- mentum eft M, cum funis fit re Jigatus in N , & pondus in me- dio 3 & potentia in L. quia ve¬ ro punctum L tendit furfum,quod a fune K L mouetur,idcircoKfur- ium mouebitur, & vectis H K ful cimentum eritH, pondus acfief fent in k , Sc potentia in m edio; veiiis autem F G fulcimentum erit G,pondusinmcdioj & poten tia in F. punctum enim F iurfuni mouetur a fune E F. Pmerea G in orbiculo deorfum tendit, quia H quoque in eius orbiculo deorlum mouetur. PRO- j D E T R O C H L E A. 93 P R O P O S I TI O XXII. Si vtrifque duarum trochlearum fingulis orbiculis, quarum altera fuperne k potentia fuftineatur , altera vero inferne, ponderiq; alli- gata, collocata fuerit,circuniducatur funis;ab tero eius extremo alicubi, altero autem fuperio ri trochlese religato. eritpotentia ponderis fef qui altera. Sit orbiculus ABC trochle^ponderi Dal ligatx ; & EFG trochlea; iuperioris , cuius centrum Hjfitdeinde funis kABCEFGL circa orbiculos reuolutus, Se religatus in LjSe £ in k trochlea; fuperiori ; fitq; potentia in M fuftinens pondus D. dico potentiam ponde ris iefquialreram efife. Quoniam enim poten tiain E fuftinens pondus Dfubduplaeftpon derisD, potentia; vero in E dupla eft poten tiain H j erit potentia in Hponderi Dxqua lis; Se cum potentia in K fubdupla fit ponde ris D; erunt vtr«q; fimul potentia; in H k fef quialterae ponderis D. Itaq; cum potentia in Mduabus potentiis in H k fimulfumptis fit £equalis , quemadmodum in fuperioribus o- ftenfum eft; erit potentia in M fefčjuialtera ponderis D. quodoportebatdemonftrare. Si vero in M fit potentia mouens pondus, fimiliter vt in prsecedentibu$oftendetur,fpa tium ponderis fpatii potentia; fefquialterum e (Te . M H 1 5 >Hu~ im. DE TROCHLEA Etfifunis in K per alium circumuoluatur orbicnlum j cuius centrum fii N 5 quidein- de trochle« inferiori religetur m O 5 & po¬ tentia in M fuftineat pondus D. dicopro- portionem potenti« ad pondus defquiter- tiam e (Te. Quoniam enim potentia in E fuftinens pondus D fune ECB AKl J Q fubtripla eft ipfius D j ipfius autemE dupla eft potentia in H; erit potentia in HfuMeftjuialterapon deri.s D. fimili quoq; modo auoniampo tentia itiO,qu« eft,ac fi dlet in centro or biculi A BC, iubtriplaeft ponderis D j ip- ; liusautemO dupla eft potentia in N 5 erit quoq; potentia in N fubfe(quialtera ponde¬ ris D.quareduae fimul potentia? in H N pon dus D iuperant tertiaparte, fe fe hab.entq; ad D in ratione fe(quitertia: & etim potentia in M duabus (it potentiis in H N fimul (um ptis aequalisA, (uperabit itidem potentia in M pondus D tertia parte . ergo proportio potentia in M ad pondus D feiquitertia eft.quod demonftrare oportebaf. Siautem in M fit potentia mouens pon- dus,fimili modooftendeturfpatiurn ponderis Dipatii potentia in M fefquitertium eife. Etfifunis in O per alium circumuoluatur orbiculum , qui tro- chle« fuperiori deinde religetur 5 eodem modo demonftrabinius proportionem potentia in M pondus iiiftinentis ad pondus fd- quiquartam efte. & fi in M fit potentia mouens , fimiliter often- detur fpatium ponderis ipatii potenci« fefquiquartum efte. pro- cedendoc; hoc modo in infinitum quamcunq; proportionem potenci« ad pondus fuperparticularem inueniemus j femperque oftende- _DE T R O C H L E A._ pj. oftendemus potentiam pondus luftinentem ita eflfe ad pondus, vt fpatium ponderis ad Ipatium potentias pondus mouentis. Motus vero vectis EGe^acfiG effet fulcimentum ^ ciitn funis (it religatus m L ; pondus acli in E eflet appenfum ,8č po- tenfiaia medio. Vectis vero C A fulcimentum eftA pondus in medio, Sc potentia in C. & K fulcimentum eft vectis P k, pon¬ dus in P 3 & potentia in mcdio. quas omnia ficut in prajceden- ti oftendentur. P R O P O S I T I O XXIII. Si vtrifq; duarum trochlearum fingulis or- biculis,quarum altera fuperne a potentia fuili- neatur, altera vero inferne, ponderiq;alligata, coiHtutafueri^circumferaturfunis; vtroq; eius extremo alicuibGnon autem trochleisreligato; sequalis erit ponderi potentia. A a 2 Sit DE TROCHLEA 2 Huim. Ex 15 hit¬ im. j 1 1 Huim. 16 Huim. Sitorbiculus trochleas ftiperioris ABC, cuius centrumDjSrEFG trochleas ponderi H alligata?,cu» ius centrum k j Se fit funis LEF GABCM circaorbiculos reuo. lutus, religatufcp in L M 3 fitq$ potentia in N fuftinens pondus H. dico potentiam in N xqua lem effe ponderi H. Accipiatur quoduis punctum O in AG. Se quoniam G in O eftet potentia fu ftinens pondus H,iuhdupla eflet ponderis H , & potentise ia O dupla eft ea, quas eft in D ^ fiue fcpiod idem eft ) in N j er it po tentiain N ponderi H sequalis. quod demonftrare oportebat. © Etfi in N fit potentia mouens pondus. Dico fpatium potentia in N aequaiem elTefpatiopon derisHmoti. Quoniamenim Ipatium puncti O moti, duplum eft,tuna (patii ponderis H moti, tumfpatii potentia in N motse 5 erit ipatium potentia in N ipatio ponderis Hsequale. lifdem DE TROCHLEA. 9 ALITER. Iifdem pofitis., transfera tur centium orb^uli ABC viq;adP; orbiculufq; pofi tionem habeat QR S j dein deeodem tempere orbiculus EFGfitinT.VX , cuius cen trum (it Y; & pondus perue nerit in Z. ducantur per or biculorum centra linese GE T X AC QS horizonti £qui diftantes. ficut in aliis demonftratum fuit j d uo fu- nes A CS duobus XG T E 2equales erunt 5 /ed A Q CSfimuldupIifuntfpatii po tentia? motaš; &duoXG TE fimuHunt fimiliter dupli lpa tii ponderis; erit igitur fpatiu potentias fpatio ponderis as- quale. quod demonftrareo- portebat. Quod DE T R O C H L E A Quod etiamfivtraq$trochlea duos habuerit orbiculos , quorum centra flot A B C D j ftmifq; per omnes cir cumuoluaturj qui in L M religeturj fimiliter oftendetur potentiam in N aequalem efte ponderi H. vnaquseqj enim potentia in E F fuftinens pon- dus fubquadrupla eft ponderis; &po tenti^ in C D duplse funt earum , quasfiunt in E F 5 erit vnaquseq; po¬ tentia in C D fubdupla ponderis H. quare potentia in C D fimulfumpt^e ponderi H erunt ^quales. &rquo- niam potentia in N duabus in C D pontentiis eft £equalis ; erit potentia in N ponderi H a?qualis. Et fi in N fit potentia moiiens^ fi mili modo oftendetur, Ipatium po- tentise asquale efte fpatio ponderis. < Siautem vtraq; trochlea tres,vel quatuor, vel quotcunq; habeat orbi- culos;femper oftendetur potetiam in N a?qualem elfe ponderi H ; Sč fpa tium potentia pondus mouentis x~ quale efte fpatio ponderis moti. Vectium autem motus hocpacto fe habent; orbiculorum qui dem trochlese fuperiorisjVeluti AC inpnecedentifigurafulcimen turn eft C, pondus vero in Aappenfumj& potentia in D medio. Vectes autem orbiculorum trochlea inferioris ita mouenturj vt ip fius GE fulcimentum fit E, pondus in medio appenfum j & po tentia in G. PRO- DE TROCHLEA. y 6 P R O P O S I T 1 O XXIII!. Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua rumaltera vnius dumtaxat orbiculi fuperne a potentia fuftineatur, aJtera vero duorum infer- n'e , ponderiq, alligara fuerit condituta , cir- cundetar funis; vtroq; eiusextremo alicubi/ed non fuperiori rrochlea? reiigato: dupium erit pondus potentia. Sint A B centra orbiculorum trochlese ponderiC alljgata?* Dve lofit centrum orbiculi t rodile« fu perioris ; fit deinde run is. per om nes orbiculos cireumuolutus, reli gatufq; in E F 5 & fit potentia in Gfuftinens pondus C. dico pon dusC dupium eife potentia? in G. Quoniam enim fi in H k du« ef- fent potentia? pondus iuftinentes duobusfunibus orbiculis trochle« inferioris tantum circumuolutis, ef fet vticp vtracjj potentia in k H /ub ouadrupla ponderis C5 led poten¬ tia in G «qualis eft potentiis in Hk fimul lumptis ; vniufcuiukj; enim potenti« in H, & k dupla efi : erit potentia in G fubdupla ponderis C. pondusergo potentia?dupium erit . quod demontirate opor- tebat. v Ex 7 huius JEat 15 lu- irn. Et fi DE TROCHLEA Etiiin G lit potentia mouens pondus. Dico fpatiumpotentiaeduplumefle Ipatii ponderis. Iifdem pofitis , fint moti orbiculi, fimiliter demonftrabitur ambos illos L M NOsequaIes efle quatuor P Q R S T V X Y.fedLM NO fimul dupli funt fpatii po tentia; in G motse *, & quatuor PQ RS TV XY fimul quadruplifiint fpatii ponderis moti.fpa tium igitur potentia ad fpatium ponderis eft tan quam fubduplum ad fub quadruplum. erit ergo potentia fpatium pon¬ deris fpatii duplum. C Hinc DE T R O C H LEA. 97 Hinc autem confiderandum eft quomodo fiat motus ; quia 5 cum funis fic religatur in F, vectis NO in primafigura habebitful- cimentumO , pondusinmedio, & potentia in N. fimiliter quo- niam funis efi; religatus in E,ve ctis PQ habebit fulcimentu P,& pondus in medio , & potentia in Q . idcirco partes orbiculorum in N , & Q furfiim mouebuntur; orbiculi ergo nonin eandera,fed in contranas mouebuntur partes, videlicet vnus dextrofiim,aker fi- niftrorfum. Sc quoniam potentia* in N Q ea:dem funt,qua:luntin LM; potentia: igitur in LM$. quales {urfum mouebuntur. ve ctis igitur L M inneutrammoue bitur partem. quare neq; orbicu lus circumuertetur. Itaq; L M erit tanquam libra, cuius centrum D , ponderaque appenfa in L M sequalia quarta: partiponderisC; vnuiquifqj enim funis L N M Q quartam (uftinet partem ponderisC . mouebiturergo totusorbi cuius, cuius centi um D 3 (uriumjfed noncircumuertetur. 0 . Bb Etfi DE TROCHLEA /ic\ Ec fifunis iaF circa alios duos voluatur orbicuios, cjuorum cen¬ tra fint H K , qui deinde religetur in L ; eric proportio ponderis ad potentiam fefiquialtera. Si enim quatuor eflfent potentise Ex 9 huim in M N 01* eflfet vnaqu£equod qui- dem mirum efle videtur.videlicet. 2 Dd CCROL- £x 2 2 hit¬ im. Exeadem. In 26 bu- im . DE TROGHLEA ' " ! \ .v ■ r » ■ ■ ~ } \ ■ '' \ '< •' : v , t ; fc •, •. / .. £ 1 • c O R O L L A R I V M. I. . . ■ -n;>b:■■ y.;c ’.= niirn^ , Exhis manifeftum efte, Quamlibet datamin numeris proportionem interpondus, St poten tiam ; & inter fpatiuni pondens moti, & lpatium potentkemotaejinfinitismodis trochleis inuenb ri pofle, C O R O L L A R I V M II. | | e j , r; ■ • ; ' . ^. i ; r, ■) . / / .... - v . w, . ... ... - ° n:...' ff • : •:( Ex didtis etiam manifeftum eft, quo pondus faciliusmouetur/eb quoq; ternpus maius efte; 0 quo yerb difficilius, eb minus efte , & e con- uerfo. D E io£ DE A X E I N PERITR.OCHIO. -A e • 'J' i’ -A-. ABRICAM, &c5ftructionemhu- ius inftrumenti Pappus in octauo mathematicarum collectionum ' * kJ ■ libro docet ; axemq; vocat A B, tympanurn vero C D circa idem centrum;& fcytalas in foramini- bus tympani E F G H Si c. ita vt potentia , D d 2 qux DE A X E I N qux femper in fcytalis eft, vt in F, dum circurm uertittympanum J & aKem/urfum moueatpon- dus K axiappenfum funeLM circa axemreuo luto.Nobis igiturreftatjVtoftendanius^cur ma- gnapondera ab exiguavirtute,quoueetianimo do hocinftrumento moueantur; ternporis quin eciani j fpatiiq; mouentis jnuicem potentio^ac moti ponderis rationem aperiamus; huiufinodi- cjUeinftrumenti vfum ad vectem reducamus, rn o**oj r * ■ * - \ . • ' ...... P R O- P E R I T R O C H I O. 107 P R O P O S I T I O I. Potentia pondus fuftinensaxe in peritrochio ad pondus eandem habetproportionem, quani femidiametcr axis ad femidiametrum tympani yna cum fcytala, Sit diameter axis AB, cuiuscentrum Cjfit diameter fympani PCEcirca idemcentrum;fmtq; AB DE ineademrecta Jinea; fint deinde fcytal« in foraminibus tvmpani D F G H & c.inter fe (e xc]ualesj atq; a:que diftantes 5 fitqj F£ horizonti sequidiftans$ pondus DE A X E I N 6. 'Primi ^Archim. de &qucpon. Cor. 4 . quinti • pondus autcm K in fune B L circa axem volubili Ut appenfum. &: potcntia in F fuftineat pondus K. Dico potentiam in F ad po ndus k itafehabere.* vt C B adCF . fiat vt C F ad C B * j ta pondus k ad aliud M, quodappendaturinF. & quoniam pondera M k appenfafunt in F B; erit FB tanquam vectis, ime libra; quia ve roCeftpunctum immobile,circa quod axis 3 tympanusqj reuol- uunturj erit C fulcimentum vectisF B; vel libra; centrum. cum autemitafitCF adCB, vt k ad M, pondera k M. aequeponde- rabunt. Potentia igiturin Fluftinens pondus k,nedeorfum ver- gat, ponderi Kaequeponderabit j ip(lq; M'aequa1iserit.idem enim praeftat potentia , quod pondus M. pondus igitur K ad poten tiam in F erit , vt C F ad CB j & conuertendo , potentia ad pondus erit^vtCB adCF 3 hoceft 3 femidiameter axisadiemi diametrum PERITRO.CHIO. io S diametrumtympani vna cum fcytala DF, Similiter etiam often' detur, fipotentia pondus TuftinensfueritihQ. tune enim fufti- neretvedeCQj&ad pondus eam haberet proportionem ;,quam h^betCB ad CQ- Videlicet Temidiameter axis ad Temidiame- trum tympani vna cum fcytala EQ^ quod demoaftrare opor- tebat. C O R O L L A R I V M. Manifeftum eft potentiam Temper minorem elTepondere. Semidiameter enim axis Temper /emidiametro tympani mi¬ noreft. & potentiaeo minoreft pondere,qudiemidiameteraxis minoreft iemidiametrotympanivna cum/cytala. quarequdlon gioreft CF > vel C Q j & quo breuioreft C B, minor adhuc lem per potentia in F , vel in Q pondus k fuftinebit. qub enim minor e!t C B , eo minorem habebit proportionem Temidiameter axis adTemidiametrum tvmpani vnacum fcytala. Hoc autem loco confiderandumoccurrit, quod fl in alia Tehta¬ la appendaturpondus,vtin Tj fuftinens pondus k jita nempe,vt pondus in T appenfum , pondusq; k circa axem conftitutum maneant*, erit pondus in Tgrauius pondere M in F appenfo. iungatur enimT B, & a punctoC horizonti perpendicularis du- catur C I, qu£ lineam T B fecct in I ; tandemq; connectatur TC, qure sequalis erit CF. Quoniam autem pondera appenfa Tuntia TB, perinde lefiehabebunt, ac fiin punctisTBipforum centra grauitatum haberent 3 vtantea dictum eft. Sz quia ma- nent, erit punctumlfexprima huius de libra ) 3 mborum fimul grauitatis centrum 5 cum fit Cl horizonti perpendicularis. led otioniam angulusBCI eft rectus , erit BlCaciituSj lineaq^BI ipfa BC maiorerit. quare angulus CIT eritobtufus ; atq; ideo lineaCT ipfaTI maior erit- Cum autem CT maior fit TI , & IB maior B C 5 maiorem habebit proportionem T C ad CB* qu:\m T I adl B 3 & conuertendo, minorem habebit pro- 1 HuuIuj: devette. Ex 19 pri - mi . Ex 13 pri¬ mi . . pomo« DE A X E I N 6. "Primi jirchim.de ■ /equepon> \o.Quinti. € portionem BCad C Tj hoc eft ad CF, quam BI ad I T ; vt cx vigefima fexta quinti elementorum ( iux'taCommandini cditio- nem ) patet. Quoniam vero punctum I eft ponderum in TB exiftentium centrum grauitatis jerit pondus in T adpondusinB, vt BI ad IT. pondus vero in F ad idem pondus in B eft, vt BC ad CF; maiorem igitur proportionem habebit pondus in Tad pondus in B , quam pondus in F ad idem pondus inB. ergo grauius erit pondus inT, quam pondus iti F. Si vero Ioco ponderis in T animata potentia ftiftinens pon¬ dus k conftituatur 5 quaeita degrauetfej, ac fi in centrum mundi tendere vellet; quemadmodum fuapte natura efficit pondus in 1' appenium; erithcsc eadem ponderiin T appenfo cequalis ; alio- quinnonfuftineret j qucequidem ipfapotentia in F collocata ma ior j_ P E R I T l O G H I O._io? šor eiit. ficuti enim le le habet pondus in T ad pondus in F , ita [ & potentia in T ad potentiamin F; cum potentia; lint ponderi I bus jcquales. ver um u vnaquseq; potentia leorliim lumpta, tam in F, quaminF luftinenspondus fecunducircuferentiamTHFN moueri le vellet, velutiapprehenla manu lcytala; tune eademmet potentia^vel in F^vel in Tconftituta idern pondus k luftinere po Iteritj ciim Temper in cuiuTcunq; extremitate Tcytala» ponatur , ab eodemcentroC jequidiftans fuerit, ac lecundum eandemcircum ferentiam ab eodem centro.^qualiter lemper dittantem perpenlio nem habeat. neq; enim ( licutipondus ) proprionutumagis in centrumferri exoptat, qu m circulariter moueri j cumvtrunq;,leu quemlibet alium motum nulio prorlus relpiciat diferimine. pro- i ptereanon eodem modo reslelehabetjfiuepondera, fiue animatae j potentia; iiTdem locis eodem munere abeundo Tuerint conftituta; . Potentia autem mouet pondus vecte FB, videlicet dum po tentia in Fcircumuertit tympanum, circumuertit etiam axem; Se F B fittamquam vectis, cuius fulcimentum C , potentia mouens in F j & podusin B appenliim.&dum punctum F peruenit in N* punctum H eritin F, & punctum B erit in O; ita vc dueta NO tranfeatper C$ eodemqj tempore pondus k motum erit inP,ita vt O B P lit a;qu:dis ipli B L , ciim lit idem funis. Deinde ex quarta huius de vecte facile eliciemus Ipatium po- tenti^mouentis ad Ipatium ponderis moti ita efte^ vt femidiame ter tympanicum lčytala ad lemidiametrum axis,hoceft , vu CF ad C B, ciim circumferentiaFN adBO,lit vtCF adC B. Sč quo niam BL 3 eft a;qualis OB P, dempta communiBP ,erit OBip li P L ^qualis. quareF N Ipatium potentia; ad P L Ipatium pom deris erit, vt CF ad CB, videlicet lemidiameter tympani cum fcytala ad lemidiametrum axis. Quod idemoftendetur, poten¬ tia vel inQ , vel in qualibet alia fcytala exiftente , vt in S. cum enim l'cyrala; fint fibi inuicem a;quales, atq; ^qualiter diftantes, vbicunq; lit potentia a;quali mota velocitate Temper £quali tem- porea;quale Ipatiumpertranlibit>hoceftexQin R, vel exSinT eodem tempore mouebitur,quo ex F in N. Tedqu6 temporepo tentiaex Fin N mouetur,eodemmetprorliis pondus k ex L in P quoq; mouetur$vbicunq; igitur lit potentia,erit Ipatium poten- Ex 4 huius de vefte. DE A X E IN t\x ad fpatium ponderis moti 3 'vtC F ad CB , hoc eft femidia- meter tympanicumfcytala, ad femidiametrum axis. C O R O L L A R I V M. I. Ex hi s manifefturn eft, ita eife pondus ad po- tentiam pondus fuftinentem, vt fpatium poten- tiae mouentis ad fpatium ponderis moti. COROL- IIO P E R I T R O C H I O. C O R O L L A R I v M II. Manifeftum eft etiam, maiorem femper ha- bereproportionem fpatiumpotentiae mouentis ad fpatium ponderis moti, quam pondus ad ean dem potentiam. r ■* Prseterea quo circulus F HNcirca fcptalas efl: maior, eo quoq; in pondere mouendo maiusfumeturtempus; dummodo potentia ^quali moueatur velocitare. tempulcjj eo maius erit, quo diame ter vnius diametro alterius eft maior. circulorum enim circumfe- rentiaeita fehabent ,vt diametri. Curn vero ex trigefimalexta quarti libriPappi Mathematicarum collectionum , duoruminse qualium circulorum acquales circumferentiasinuenire polšimus; idco tempus quoq; portionum circulorum inaequalium hoc modo inueniemus. econuerfoautem, quo maior erit axis circumferen tiacitius pondus lurium mouebitur. maior enim pars funis BL in vnacircumuerfione completacirca circulum ABO reuoluitur , quam li minor elfet ; cum funis circumuolutus lit circumferen- tise circuli^equalis jcirca quemreuoluitur. f COROLLAR V M. Exhismanifeftum eft,qub facilius pondus mo uetur,tempus quoq; eo maius elTe ;& qub di£ ficiiius , eo tempus minuseiTe.&econuerfo. 23 0 fiatu libri Tappi. Ec 2 P RO- DE A X E IN P R O P O S I T I O II. PROBLEMA. Datum pondus a data potentia axe in peritro- chiomoueri. Sit datum pondus fexagin ta j potentia vero vtdeceni. exponatur ouaedam recta li¬ nča A B, quas diuidatur in C, ita vt A C ad CB eandern habeat proportionem, quam fexaginta ad decem. Sefi C B axis j femidiametereffet,CA femidiametertympani cum fcytalis; Ter pr&cr;? Ff 2 Inhoc DE C V N E O r A D K K 3 In hoc exempfo, confiderando cuneum inftar vectis mouen- tem^manifeftum eft, cuneum BCD pondus AEFG vecte C D mouere; ita vt D fit fulcimentum, & pondus in E. non autem ve cte B D, cuius fulcimentum H, 8c pondus in D. Vt autem res clarior reddatur, alio vtamur exemplo. cjue pondus AEFG, ^ \ quod nullum alium “ A K;N: habeat motum, nifi furfum, & deorfum ad rectos angulos horizontijita vt dueta IG k fubiecto piano, ipfique AB perpendicularis , punctum G fit fem per in Iinea I G k . & quoniam dum cuneus percutitur in C B, to ! tus fliper AB vlterius progreditur; pondus AEFG eleuabiturex j Sit planum hori¬ zonti *ecjuidifl:ans tranfiensper AB; fit cuneus C A B, cuius latus AB fit femper inflibiecto planojfit- lis, cpi£ __D E C V N E O._iijr iis,quaefupra diximus. Moueatur cuneus ita, vt E tandem per- ueniatin C,Sc pofitio cunei ABCfitMNO , Sc pobtiopon- deris A E F G fit P M Q \, Sc G fit in I. Quoniam itaq; dum cu neus fliper lineam B O mouetur, pondus A E F G furfum moue tur a linea A C. Sc dum cuneus ABC vlterius progreditur, fem perpondus A E F G magis a latere cunei A C eleuaturtpondus igi tur AEFG fuperplanum cunei AC mouebitur $ quod quidem nihilaliudeft, nifi planum horizontiinclinatum, cuiusinchnatio eft angulus B A C . Hic motus facile ad libram, vectemo; reducitur. quod enim fuper planum horizonti inclinatum mouetur ex nona Pappi octa- uilibri Mathematicarum collectionum reducitur ad libram, ea- demenim eft ratio, ftue manente cuneo , vt pondus fuper cunei latus moueatur 5 fine eodem etiammoto, pondus adhuc/uperip fius latus moueatur j tamquam fliper planum horizonti incli¬ natum. Ea vero, quse fcinduntur , quomodo tam- quam fuper plana horizonti inclinata mouean- tur, oftendamus. Sit cuneus ABC, Sc A B ipd B C £qua- lis. Diuidatur A C M bifariam in D, conne- ctaturq;BD. fttdein- delineaEF , per quam tranfeat planum hori zonti sequidiftansj fitq; B D in eadem linea E F; Sc dum cuneus percuti tur, dumq; mouetur ver lus E, femper BD fitin linea E F . quod vero fčindendum eft fit GHLM , intra quod fit pars cunei k BI. manifeftum eft, dum _DE C V N E O dum cuneus uerfus E mouetur, partem k G verfus N mouerij& par tem HI uerfus O.per cutiatur cuneus, ita vt A C fit in linea NO5 tune k erit in A ^ I in C t& k ex fuperius di (čas motum erit fuper k A j & I fliper IC ? quare dum cuneus mo uetur, pars KG fliper B A latuscuneimouebitur,&parsI H fliper latus BC . pars jgitur k Gfiiperpianum mouetur horizonti incli- natum, cuius indinatio eft angulus FB A. fimiliter I H moue¬ tur fliper pJanumBC in angulo FBG. Partesergo eius, quod fcinditur fuper plana horizonti inclinata rriouebuntur. & quam- cjuamplanum BC fit fiibhorizonte3 pars ramenIH luper-IC mo uetur,tamquamli BC eftetfiiprahorizonte in angulo DBC.partes enim eius quod finditur ^ eoaem tempore ? ab eadem potentia mo- uentur 5 eadem ergoerit ratiq motus partis Iac partis K G- fi¬ militer eadem eft ratio, fiue EF fit horizonti £quidiftans 3 fine horizonti perpendicularis,vel alio modo. neceffeeft enim poten tiam cuneum mouentem eandemefTe , cum c£tera eadem rema neant. eadem igitur erit ratio ? Pofthascconliderandum eft , qute nam fint ea , qua? efficiunt, vt aliquod faciliqs naoueatur , fiue fcindatur. ouse quidem duo funt.' Pri-mum, quod efficit, vt aliquodfacile fcin datur, quod etiam ad eiTentiam cunei magis per- tinet, eft angulus ad verticem cunei;quo enim minor eft angulus.eo facilius mouet, acfcindit. Slnt DE C V N E O. 11 6 A a c SintduocuneiABC DEF^Sc angulus ABC ad verticem minor fitangulo D E F. dico aIiquod facilius moueri 3 fiue fcindi a cu neo ABC, quam a DE F. diuidantur A C D F bifariam in G H puncds; connectan- turq;BG , & EH . Quoniam enim partes eius, quod fcinditur a cuneo ABC 3 iu» per planum horizonti inclinatum mouen- tur , cuius inclinatio elF G B A : quar ve¬ ro a cuneo DE F , fuper planum horizonti inclinatum mouentur , cuius inclinatio eft H E D 5 Se angulus GB A minor eft angulo BED; cum C B A minor lit D E F : Se ex nona Pappi octaui libri mathe maticarumcollectionumj quod moueturfuper planum A B faci- lius mouebitui-j 8ea minore potentia quam iuper ED; Quod ergo fcinditur a cuneo ABC facilius 3 Sc a minore potentia fcin detur,quam acuneoDEF . fimiliteroftendetur,quo magis an¬ gulus ad verticem cunei erit acutus, eč> facilius aliquodmouerh ac fcindi. quod demonftrare oportebat. Sit Poftunius etiam hoc alia ratione oftendere confiderandocuneum, vt vedibus fibi inuicera aduedis mouet, ficuti fecundo modo didum eft. hoc autem prius oftendere oportet. _D E C_V_N E O Sit vectis A B , cuius fulcimentum fitB immobile; quod autem mouen- dum eft, fit C DE F rectangulum ita accommodatum , vt deorfum ex par te FEmouerinon pofsit 3 Se punctuni Efit immobile, Se tamquam centrum; ita vt punctum D moueatur per cir- cumferentiam circuli D H , cuius cen¬ trum fitE. & C percircumferentiani C L , ita vt iuncta C E fit eius femi diameter . tangat infuper CDEF ve ctem A B in C , atq; vectis A B moueat pondus C DE F, Sc po tentia mouens fit in A 3 fulcimentum B } Sc pondus in C . fit deinde alius vectis M C N* qui etiam moueat CDEF, cuius ful cimentum immobile fit N; potentia mouens in M, Sc pondus fimiliter in C ; fitq; C N aequalisipfi CB , & CM ipfi C A; al ternarimq; moueatur pondus CDEF vectibus A B MN. dico CDEF facilius ab eadem potentia moueri vecte AB, quam ve • cte M N. . Fiat centrum B, Se interuallo BC circumferentia defcribatur CO. fimihter centroN, interuallo quidemNC, circumferen tia defcribatur C P. Quoniam enim dum vectis A B mouet C D EF 3 punctum vetis C mouetur fuper circumferentia m C O; cum fit B fulcimentum, & centrum immobile. fimiliter dum vectis MN mouet CD E F, punctum C mouetur per circumferentiam C P ; dum igitur vectis A B mouet C D £ F 3 conatur mouere pun ctum C ponderis fliper circumfofrentiam^ O ; quod c uidem effi cere non poteft : quia C mouetur fuper circumferentiam C L. qua rein motu vectis AB fecundumpartem ipfirefpondentem,acmo tu ponderis fecundumC facto 3 contingit repugnantia quaedam; in diuerfas enim partes mouentur. fimiliter dum vectis M N mo uetC DEF 3 conatur mouere C fuper circumferentiam GP;at- que ideo in hoc etiam vtroq; motu fimilis oritur repugnantia. 1 quoniam autem circumferentia C O propior eft circumferentia |CL, quam fit C P; hoc eft propior eft motni 3 quem facit pun- i ctum C ponderisjideo minor erit repugnantiaintermotum vectis AB, Sc DE C V N E O. ”7 ABj&motum C ponderis.,quam inter motum vectis M motumeiuldemC. quod etiam patet, fi inteJJigatur C F hori¬ zonti perpendicularis, tune enim circumferentia C P magis ten dit deorlum, quam C O 5 & C L tendit iurfum. & ideo minor fit re pugnantia inter vectem A B,&motum C,quam inter vecte M N,.& motumC-.fedvbiminorrepugnantia ibi maior facilitas. ergofaci liusmouebiturCDEF vecteAB,quamVecte MN. quod demon ftrare oportebat. COROLLARIVM. Ex hoc nianifeftum eft , quo minor eft am gulus a linea C F , vel C E, vel C D contentus; hoc eft, quo minor eft angulus B C F, vel BCE, vel etiam B C D, eo lacilius pondus moueri. quod quidem eodem modo oftendetur. Quod autem propofitum eft , fic demon- ftrabimus. ' Sintcunei ABC DE F j & angulus ABC mi- nor fit angulo DEF a Sc AB BC DE EFfintia ter Te Te aequales. Sintd<£ inde quatuor pondera se- qualia G H IL NO QR rectangula ; fintq; L M j, M X h k FI in eadem recta linea: fimiliter RS PO in recta linea ; erunt G K IM parallelse, & N P parallelse . fit IB G pars cuneiintra ponderaGH I L; & cu nei pars QEN intra pondera NO QR; fintque IB BG QE EN inter Te fe žequales. dico pondera G H IL facilius ab eadem B Ex >8 pri¬ mi. Gg poten- 2 Sexti. Hxr<) pri - mi. 2 8 Trimi, _D E C V N E O potentia moueri cuneo ABC , quam pondera NO QR cuneo D E F. Diuidantur A C D F bifariam in T V , iungan tura; T B V E, erunt an- guliad T^SrV recti.con nectarur IG, quar fecet BT inX . Quomam e- nimlB eft atqualisBG, Sr B A aequalis BC; erit IA ipfi G C j sequalis . quarevt BI adl A, itaeftBG adGC. parallela igitur j eft IG ipu A C. ac propterea anguli ad X funt recti: fed & an guli X G k X IM funt recti, rectangulum enim eft G M ; cuare TBarquidiftans eftipfls G k IM. angulus igitur TBC arqua- Itseft anguloBGK, & TB A ipfi BIM arcualis. fimiliter demon ftrabimus angulum VEF arqualem eiTe E N P,Sr V E DarquaJem EQS. cum autem angulus ABC minor fit angulo DEF; erit & angulus T B C minor VEN, quare & B G k minor E N P. Emili modoBIM minorEQS. quoniam autem cuneus ABC duobus mouet vectibus AB BC, quorum Fulcimenta funt in B; Sč pondera in G 1: fimiliter cuneus D E F duobus vectibus mouet DE EF, quorum fulcimenta funt in E; Sr pondera inN Q: per prarcedentem pondera G H IL facilius vectibus AB BCmo- uebuntur , quam pondera N O QR vectibus DE E F. ponde- raergoGH I L facilius cuneo ABC mouebuntur,quamponde- raNO QRcuneoDEF, Sr qtiia eadem eft ratio in mouendo, atq;infcindendo; faciliusidcirco aliquod cuneo ABC fcindetur quamcuneo DEF. fimiliterq; oftendetur, quominor eft angu lus ad verticem cunei,eo facilius aliquod moueri, velfcindi.quod demonftrare oportebat, Pmerea quae mouentura cuneo DEF,per maiora mouentur fpatia; quam ea , qurea cuneo ABC. nam vt D F fit intra QN, Sr ACfit intra IG 5 ncceffe eft , vt QN per fpatia moueantur j maiora; fcilicet vnumdextrorfiim, alter finiftrorfum ,quam IG; \ cum D F maior fit A C; dummodo totus cuneus intra pondera in- j grediatur. _D E C V _N E O. _ 118 grediatur. a potentia vero facilius eodem tempore mouetur ali- cpiod per minus fpatium, quam per maius; dummodo castera,c ; ui- bus fit motus j fint sequalia:fi ergo eodem tempore A C D F in IG QN perueniat, cum Al C G DQ F N fint interfefc£qua les j facilius a potentia mouebuntur GI cuneo A BC,quam QN cuneo DE F. quarefaciliusponderaGH IL a potentia mouebun tur cuneo A BC,quamponderaNO QR cuneo DEF . limiliter- queoftendetur,qu6angu!usad verticcm cunei minor efifet, eo fa cihus pondera moueri, vel leindi. Secundum, quod efficit ; vt aliquod facilius fcindatur,eft percufsio;quacuneus mouetur, čc mouet; hoc eft percutitur, ac fcindit. Sit cuneus A ,quod[cinditurB,quod percutit C; quod quidem, vel ex le iplo, vel a regente, atq; ipfummouente poten tia percutit atq; mouet. li quidem ex fe iplb , Primum quo grauius erit, eo maior fiet percufsio . quinetiam , quo Iongiorfuerit diftantiainter A C, maior itidem fiet percufsio.graue enim vnum- quodq; dum mouetur ; grauitatis ma- gis a(Tumitmotum , quam quiefcens: 6č adhuc magis quo longius mouetur. Gg z Si DE C V N E O Si vero C ab aliqua moueatur po tentia,vt fiper manubriumD E mo ueatur;primiimqub grauius erit C, deindequ61ongiuserit DE,eo ma- iorfietpercufsio. fi enim ponatur po tentiamouens in E, eritCmagis di ftans a.centro & ideo citius mouebi tur. vt in qu:eftionibus Mechanicis late monftrat Ariftoteles; necnon ex iis, qua? in tractatu de libra di- ctafuere,paterepoteft, quo magis pondus Ca centrodiftat,eo grauiusreddi .qtiodip{umetiam va . Jidiori peJIet impulfu virtute in E potentiore exiftente. Hocvero iecundum eft 5 quodefficit, vthocinftrumento ma- gnamoueantur 3 fcindanturq;pondera . percufsioenim vis eft ua lidifsimajVt ex decimanona quasftionu Mechanicarum Ariftotelis patet. fi enim fupra cuneum maximum imponatur onusj tune cu~ neusnihil fere efftciet, prasfertim ictus comparatione. quodfiad huc ipfi cuneo vectem , velcochleam, vel quoduisaliud huiufmo j di aptetur inftrumentum ad cuneum ponderiintimius propellen- dum,nullius fere momenti prše ictu continget effectus. cuius qui- dem DEC V N E O. dem rei inditio efle poteft fi fuerit corpus A lapidcu, ex cjuo alicjuameius partem detrahere qui(piam voluerit,pu ta partem anguli B ; tune rnalleo ferreo ab{q; alio inftrumento percutiendo inB, facilea!iquam anguli B partem franget. quod quidem nullo alio inftrumento percufsionis munerecarente, nift maxi ma cum difficultate efHcerepoteritjftue fuerit vectis,fiue cochlea, Gue quoduis aliud huiuftnodi. quare percufsio in caula eft, quo magna fcindantur pondera. cum autem iola percufsio tantam vim habeatjft ei aIiquod adiiciamus inftru mentum ad mouendum, fcindendumq; accomodatum, admiran da profeeto videbimus. Inftrumentum huiuf modicuneus eft, inquo duof quantum ad ip- ftus formam attinet ) confideranda occurrunt. Alterumeft, cuneum ad fufcipiendam,fiiftinen damq; percufsionem aptifsimum elTe j alterum eft quod proptereius inaltera parte iubtilita- tem facile intracorporaingreditur, vt manife fte patet. Cuneus ergo cum percufsione ipfius eflicit,vtin mouendis, fcindendifqj ponderi- bus fere miracula cernamus. Ad DE C V N E O Ad huiufmodi facultatis inftrumentum, ea quoque omnia commode referripoilunt, quae percufsione,fme itnpulfu incidunt , diuidunt, perforant, huiulmodiq; aliaobeunt munera. vt enfes,gladii, mucrones.fecures, & fimilia. Terra quoq; ad hoc reducetur ; dentes enim percu- tiunt, cuneiq; inftar exiftunt. C O C H L E A. A P P V S in eodem oflauo libro multa pertractans de cochlea.do cetquomodo conficienda lit; Si j quomodo magna huiufmodi in- l liram e n to tnoueantnr pondera; nec n on alia theoremata ad eius cognitionem valde vtilia. Quoniam autem in- ter oetera pollicetur , fe oftendere velle , co- chleam nihil aliud eile prseter alTumptum cu- neum perculsionis expertem vecte motionem facientem; hoc autem in lpfo ddideratur; pro- ptereaidipfutn ollendere conabimur, nec non | eiufdem cochlecead večlem,libramq; reductio- nem: vt iplius tandem completa habeatur co- gmtio. A r Sit DE C O C H L E A Sit cuneus A BC, qui circa cylindrum D E circumuoluatunfitc; IGH cuneus circacylindrumreuolutus, cuiusvertexliti. fit de- inde cyJindruscum circumpofitocuneo ita accomodatus, vt ab(q; vlloimpedimeto manubrio kF eius axi annexo circumuerti poisir. fitq; L MN O, quodfcindendumeft; quod etiam ex parte MN fit immobile j vt in iis , quge fcinduntur,fieri folet : 8c fit vertex I intra R S. circumuertatur k F,Sc perueniat ad k P;dum autem k F circumuertitur, circumuertitur etiam totus cylindrusDE, Sc cu¬ neus IG H : quare dum K F erit in k F, vertex I non er it amplius intra R S, fed cuneipars alia , vt T V: fed T V maior eft, qu 'in RS; femper enim pars cuneij quasmagis avertice diftat, maior eftea,qua;ipfi eft propinouior: vt igiturTV fit intra R S, opor- tet, vt R cedat, moueaturq; verfus X, Sc S verfus Z , vt faciunt ea,qua: fcinduntur . totum ergo L M N O fcindetur. fimiliter que demonftrabimus,dum manubrium k P erit in k Q, tune GH elTe intra RS: Sc vt G H fit intra R S, necefte eft 3 vt R fit in X, Sc S in Z ; ita vt XZ fit a?qualis G H; femperq; L M N O amplius j fcindetur. ficigitur patet,dum k F circumuertitur,femper R moue ri verfus X,atq; S verfus Z:8cR femper fuperi TG moue rij S au tem fuper IV H ,hoc eft fuperlatera cunei circacylindrum circum uoluti. P R O- DE C O C H L E A. izi PROPOSIO I. Cimcus hoc modocirca cylindrum accommd- datus, nihil eftaliud; nificochleaduas habenshe lices in vnic o punčioinuicem coniunctas. Sit cuneus A B C jSc AB ipfi B C £equalis. diuidatur I A C bifariamin D 3 iunga turq; B D;erit BD ipb AC perpendicularis ; 5čAD ipfi DC sequalis 5 triangu- Jumq; A B D triangulo C BD^quaIe. fiant deinde triangula rectangulaEF G HI k non folum intcr le, Verum etiam vtriq; ADB &CDB a?qualia. fitq; cy lindrusLMNO, cuius perimeterfita?qualis vtriq; FG k I. 5«: L M N O lit parallelogrammum per axem . fiatq; M P a:qiialis FE; Sc P N 2 equa!is HI . ponaturq; HI in N P, circumtiolua- j turq; triangulum HI k circa cyIindrUm; Sc fecundirm k H fielix defcribaturNQjP , vt Pappus quoq; docet in octauo libro propo litione vigefima quarta. fimiliterponatur EF in M P , circum- uoluaturo; triangulum EFG circa cylindrum ; defcribaturq; pcr EGhelixPRM. cumitaq;PM P N fint a:quales EF RI,erit MN sequalis ipfi AC, Sc cumhelices PRM PQN fint aequales iineisEG H k ; helices igituripfis AB BC a;qualeserunt. cu¬ neus ergo ABC totuscircumuolutuseritcircacylindrumLMNO. Hh mci- DE C O C H L E A L T 0 . O incidantur deinde helices, vtdocetPappus fecundum latitudinem curiei; &hoc . • ' S modo cuneus vna cum cy lindro nihil aliud erit , quam cochleaduas habens helices PR M P QN cir ca cylindrum L N invnico punctoP inuicem comun K ctas.quod demonftrare o- portebat. COROLL ARI VM. M ? N Hincmanifeftum elTepoteft, quomodo heli¬ ces in ipfacochleadefcribipofsint. Quomodo autem pondera fuper helices co- chlese moueantur, o ftend arnus. Sit (velutipriusj cuneus IGH circacyIindrumDEreuoIutus, cuius vertcxfitl . apteturq; cylindrus ita , vt libere vna cum fuo ' axecircumuertatur. {iiitqj duo pondera MN cuiufcunq$ figura ! voluerimus a ita t amen aptata, vt moueri n on pofsint, nifi luper ! \ rectam D.E C O C H L E A. 122 rectam lineam L O, quse axi cylindri fit tequidiffans. fintq; M N iuxta cunei vercicem I. Circumuertatur K F, Sc perueniat ad k P: dum autem k F eritin k P, tune TV erit hitra pondera MN j fi- cutfupra diximus. M igitur verfiis L mouebitur, Sc N verlus O. fimiliteroftendetur, dum k P eritin K tune G H eflfeintra pon¬ dera M N j & M erit in X, Sc N in Z; ita vt X Z lit a’qualis G H . quaredum k F circumuertitur, femper pondusN mouetur verfiis O, Sc fuper beličem IR S j M vero fuper aliam helicem . Similiterlicochlea plureshabeat hz- Iices, vt in fecunda figura 3 pondus A y dum cochlea circumuertitur,femper lu¬ per helices BCD EFG mouebitur j dummodo pondus /Vaptetur ita vt mo- ueri non pofsit, nifi fuper rectam HI ipli cylindro requidiftantem . eodem enim modo 3 quo fuper primam mouetur heh cem , moueturetiam fupra fecundam, Sc tertiam, Sc esetera. quotcunq; enim fuerint helices, nihil aliud funt ,quam latus cunei circaidem cylindrum iterum atqj iterum circumuolutum. Sc fiue co¬ chlea fuerit horizonti perpendicularis, fiue horizonti aequidifl:ans , velalio mo¬ do codocata nihil refert : femper enim cademeritratio. Hh 2. Si DE C O C H L E A Si vero (vt in tertia figura ) fupra cochleam imponatur a!iquod, VtB,quodquidemtylumvocant,itaaccommodatum, vt inferio riparte helices habeac concauas ipfi cochlese appofite admodum congruentes $ perfpicuum latis eflfepoterit, ipfum B, dum coclhea circumuertitur, fuper helices cochleas eo prorflis 'modo moueri; quo pondus iuxtaprimam figura mouebatundummodo tylum ap- tetur 3 vt docet Pappus in octauo libro 3 ita fcilicet vt tantuman- te, retroue axi cylindri sequidiftans moueatur. ■p Et fi loco tyli, quod helices habet concauas in parte inferiori, con ftituatur ,vtin quarta figura, cylindrus concauus vt D, & in eius concauaiupeificie defcribanturhelices , incidanturq; ita,vt apte i i. • N cum D E C O C H L E A. -- - * - , - . 125 cum cochlea congruant (eodem enim modo defcribentur helices infuperficie concaua cylindri, ficuti fit in conuexa ) fi deinde co¬ chlea in;luispolisfirmecur 5 fcilicet in fuo axe^circumuertaturc;5 patet Dad motum circumuerfionis cochleae quemmadmodum ty lummoueri. necnonfiDinE F firmetur,itavtimmobiIis ma neat, dum circunauertitur cochlea 5 fuper helices cylindri D , ad motum fuse circumuerfionis dextrorfum , vel finiftrorfum factse; tuminaiteriorem, tuminpofteriorempartem mousbitur. cvlin- drusautem D hoc modo accomodatus vulgo mater, fiue cochlese ' fsemina nuncupatur. Si autem cochleas ( vt in quinta figura ) tymparnem C dentibus obliquis dentatum apponatur, vt docet Pappus m eodem octauo li¬ bro ; veletiam rectis;ita tamenconftructis,vt facilecum cochlea conueniant: fimiliter mamfeftum eft ad motum cochlece circumuer ti etiam tympanumC. eodemq; modotympani dentes fliper hc Iices cochlesemoueri. Sc lisec dicitur cochlea infinita , quia Sc co chlea, §ctympanum dumcircumuertuntur,femper eodem modo fefe habent. Hsec DE C O C H L E A • _ ____________ _ _ Hatc diximus, vt manifeftumfit cochleam in mouendopondere cunei munere abfq; percufsionefungi. IJIud enim rcmouec d loco, vbi erat; puemadmodum cuneus remouet ea,quae mouet,ac fcindit. : omniaenimhčEc dcochlea mouentur,ficuti pondus A in fecun- da figura, % M in prima. Quonum autem duplicirationemouentem cuneum confideraii poiVe oliendimus, videlicet vt mouet vectibus,, vel vt eftplanum horizonti inclinatum, dupliciter quoq; cochleam confiderabimusj čcprimum vt Vectibus mouet, vtin prima figura circumuertatur b F j & perueniar in K P 3 tune , ficut dictum eft , T V erit intra pom d?ra M N. & ficut confideramus vectes in cuneo, eodem cuoq; 1 modo eos confiderare poffumus in cochlea hoc paeto. erit fcilicet | 1V H vectis,cuius fulcimentum I,Sc pondus in V.fimiliterl T G ve c is,cu!us fulcimentum I, Sc pondus in T. potentias vero mo- uentes G H eiTe deberent; fed flcuri in cuneo potentia mouens eftpercufsio, quae mouet cuneum; idcircoerit, ubi potentia mo¬ uet cochleam; fcilicet in P manubrio k P. cochlea enim fine per- ' cufsione mouetur. Hiec autem confideratio propter vectes infle- xosimpropriaforfitan effevidebitur ; Quocircafiid, quod moue tur a cochlea, fiipra planumhorizonti inclinatum moueri intelli j gatur; erit quidemhuiufmodi confideratio ( cum ipfiquoq; cuneo I conueniat J figune ipfius cochlea magis conformis. P R O- 124 DE C O C H L E A, P R O P O S I T I O II. Si fueritcochlea AB helices habens cequales C D E F G .. Dico has nihil aliud elle pneter pla num horizonti inclinatum circa cylindrum re- uolutum. Sit cochleaAB horizonti perpendicularis duas habens helices CDEFG. exponatur HI £qualis GC, qu;e bifariam diui- daturin k; erunt H k ki non folum inter fe fe , verum etiam ipfis G E E C Gequales, Sc ipfi Hlad rectos angulos ducatur LI > & per L I intelligaturplanum horizonti a?quidiftans j Iitq;LI du pIaperimetrocylindri AB, qu;e bifariam diuidatur in M ; erunt IM ML cylindri perimetro a?quales. connectaturH L 3 Sc a pun cto M dttcaturM NipfiHI£quidiftans,coniungaturq;KN. quo niam enim limilia funt inter fe fe triangula HiL NML, cum .Jexti> N M lit DE C O C H L E A NM fitatquidiftansH I; erit LI ad IH , vt L M ad MN : & permurando vtl L ad L M jitaHI ad N M. fedl L dupla eft ipfius I M j ergo&H I dupla erit MN. Ted eft etiam dupla ipfius ki, quare k I N M inierle tequales erunt. &quoniam anguli ad M I funt recti; erit k M parallelogrammum rectangulum, & k N &qua liseritIM. quareKN perimetro cylindri AB a’qualistrit. pona turitaq; HI in G C,erit H k in G E.circumuoluaturdeindetrian gulum H k N circa cylindrum A B, defcribet H N helicen G F E; cum NK perimetro cy!indnfttaequalis; Sc punctum N erit in E; Se MN in C E. Sequia M L sequalis eft perimetro cylindri ; cir- cumuoluaturrurftis triangulumN M L circa cvlindrum A B, N L defcribet helicen-E D C. quare tota L H nuas defcribet helices CDEFG. patet igitur has helices cochlere nihil aliud efle,ni- fi planu m horizonti inclinatum; cuius inclinatio eft angulus H LI circa cylindrum circumuolutum , fupra auod pondusmouetur. quoddemonftrare oportebat. Quomodoautem hocad libram reducatur mnnifeftum eft cx nona octaui libri eiufdem Pappi. Poftquam _D E_.C O C H L E A._ uf Poftquam vidimus quomodo pondera huiufmodi moueantur inftrumento; nuncconfiderandum eft,qusenam fint ea, qii£ effi ciunt, vt pondera faciJe moueantur: hascautemduo lilnt. Primum quidem, quod efficit,vt facilepon- dus moueatur, quod etiam ad eflentiani cochlete magis pertinere videtur ; eft helix circa co~ chleam. vt fi circa datain cochleam AB dux fint helices in^quaies C D A E F G, fitq; A C mi nor E G. Dico idempondusfaciliusfuper hcli cen CD A moueri, quam fuperEFG. Compleaturcuneus A D C H I,hoc eft de - fcribatur helix C HI žequalis C D A,& ver- tex cunei lit C. fimili ter compleaturcuneus G F EK L , cuius ver- tex E. exponaturde- inderecta linea MN, quaj lit ipfi AC#qua* lis,cui ad rectos angu los ducatur N P,qti£ fit asqualis perimetro cy- lindriAB : 8c conne- ctaturP M ; erit P M, per ea ,qu£ dieta funt, ipfi C D A requalis . producatur deinde M NinO, fiatq; ON x~ qualis M N, coniunga turqj OP j erit OP M cuneus cuneo ADCHI sequalis. fimili- I i terqj I UuM» i Hum. DE C O C H L E A 4 Trim:. terq; exponatur cu- neus S T Q aequalis cu neo G F E kL;erit TR ipfi P N, & perimc- tro cylindri^qualisj8^ Q R asqualis G E , cum autem GE ma¬ jor fit A Cjerit &RQ maior MN. fecetur RQ inV;fiatq; RV jpfi M N jequalis, čc coniungatur T V; erit triangulum TVRtri- angulo M P N xquale: duše enim TR RV duabus P N N M funt ;čquales , 6 c anguli, quos continent, funt a;quales ^ nempe recti; angulus igitur RTV j angulo N P M aequalis erit. quarc angulus M P N minor eft angu« lo QTR j 8c horum dupli,angulusfcilicet M PO minorangulo QTS. quoniam autem cuneus,qui angulum ad verticemmino rem habet, facilius mouet ^acfcindit* quam qui habet maiorem; cuneus ergo M P O facilius mouebit, quam Q T S. facilius igitur pondusa cuneo ADCH1 mouebitur, quam a cuneo GFE k L. pondus ergo fuper helicenC D A facilius mouebitur, quam fuper E F G. eodemqj modo oftendetur., quo minor erit A. C > eo faci- ilius pondus moueri. quoddemonftrareoportcbat. ALITER. D E .C O C H L E A. iz6 A L I T E Pv. Sit dara cochlea AB duashabenshelices£quaIesCDEFG; fit deindealiušcylindrus*£ ipfi AB a?qualis,inquofumma'turOPip fi CG a?qualis; diuidaturq; OP intrespartes £quales OR RT TP,8e tres defcribanturhelices OQRSTVP 3 erit vnaqtižeq; OR RT TP minorCE,&EG:tertiaenimpars minorcftdimidia. dico idempondusfaciliusfuperhelicesO QR S TVP moueri^uamfu perCDEFG. exponaturHIL triangulum orthogonium,itavt HI fit ipfi C G 2 equalis, Sc I L duplo perimetri cy!indri A B aequa ' Iis,&:per L I intelligatur planum horizonti sequiftans ; erit H L j sequalisC D E F G ; H L1 inclinationisanguluserit.exponatur Ex 1 hu fimiliterA^Z triangulum orthogonium, ita vt X Z ipfi OPfitse- quaJis, quse etiam sequalis erit C G , &: H 1; fitq; Z Y cylindri pe¬ li metro tripla , eritX Y asqualisOQRST V P. diuidatur Z Yin I i 2 tres DE C O C H L E A 51 Trim. tres partesa’qualesin}'o^eritvnaqu3eq;Z7< jiY perimetro cy lindri «£ asqualis,qu 2 eetiaperimetro cylindri A Bseauales erunrj Sc perconfequensipfisI M,Sč ML.connectatur Xt/l .Sc quoniam duše HI I L duabus XZ Zdi funta?quales,& angulus HI L rc- ctus£qualis cft anguloXZ^ recto; erit triangulum HI L trian- gyloXZc/i sequalej & angulus H LI angulo X circumuolutum ; Sc helices C DE F G nihil funt j aliud, quam planumH L horizonti indinatum in angulo H LI cir ca cylindrum AB circumuolutum jfacilius ergo pondus fuper he¬ lices _D E C O C H L E A. 127 licesOQRSTVP mouebitur, quamfuperhelicesCDEFG. Si autem O P diuidatur in quatuor partes ^quales, defcribantur- qtic circa«j2> quatuorhelices;adhuc facilius pondus mouebitur fu- perhas quatuor, quam fuper tres OQRS T V P. & quo plures erunthelices, eo facilius pondus mouebitur, quod demonftrare oportebat. Tempus vero huius motus facile patet , helices enim C D E F G funt 2 equales H L $ helices vero OQRSTVP funt tequales XY: fed XY maioreft HL$ ideofiatYe ipfiHL?equalis : fsigi tur duo pondera fuper lineas L H Y X moueantur , 6c veloci- tatesmotuumfjnt&’quales,citiuspertranfibit quod mouetur fliper LH,quamquodfuperYY mouetur.ineodem enim tempore erunt in H t. quare tempus eius, quod mouetur fuper helices OQRS T V P, maius erit eo,quod efl menfura eius, quod mouetur fuper C DE F G.& quo plures erunt helices, eo maius erit tempus. cum au tem data: fint linese HI XZ, & IL Z Y:datx enim funt cochleae AB «/2>;&anguliadI Z rectidati$erit HL data. fimiliter &XY data erit.quare&:harumproportiodataerit, temporum igitur propor tio eorum, qu£ Fuper helices mouentur data erit, : .... , : i Alterum, quod efficit, vt pondera facile mo- | ueanrur, funt fcytalaG autmanubria, quibusco- | chleacircumuertitur. Ex 18 Vri- mi. .Ea-48 pri¬ mi . 1 Datorum c '7 Exfextet primi ioan- nis de Mori¬ te rego de triangulis . DE C O C H L E A » Cor. i buius deveffe. Sit cochlea habens helices ABC D, qu£ etiam fcytalas ha- beat E F G H foraminibus cochlea impofitas . fit infra helices cylindrus MN,inquo non fine incifaehelices; & circa cylindrum. funis circumuoluatur trahens pondus O, quod ad motum fcytala rumEF G H moueatur, ac h ergatannftrumento traheretur.du catur (perea qua;prius dieta funt de axe inperitrochio J L k fcy take;equalis, axiq; cylindri perpendicularis j eumej fecans in I: patetquolongiorfitL I, Sc quobreuiorfitI k, pondus Ofacilius moueri. eft autem animaduertendum, quod dum cochlea mouet pondus,fimenteconcipiatur 3 qu6d locotrahendi pondus O fiine, pondus iuper helices A BC D moueat ; pondus quoq; in It, quod hcR,fiiper helices etiam facilius mouebit.eft enim LKvectis,cuius fulcimentum eft I: cum circa axem cochlea circumuertatur; po- tentia mouens in L ; Sc pondus in k. facilius enim mouetur pon | dus vecteL k, quam fine vecte ; quia L I femper maior eft I k. Intelli- D E C O C H L E A. 128 de vefie. Intelligatur itaq; manente cochlea pondus R moueri a potentia in L vecte L k fuper helicen C k : vel quod idem eft, ficut etiam fupradiximus, h pondus R apteturitaa vt moueri non po/sir, m fi iuper rectam P Q axi cylindri £quidiftantem; circumuertaturq; coehlea, potentia exiftente in L 5 mouebitur pondus R fuper he¬ licen C D eodem modo 3 ac fi a vecte L k moueretur. idem enim eftdiue pondus manente cochlea (uper helicen moueatur; fiuehe Iix circumuertatur ^ ita vt pondus fuper ipfam moueatur. cum ah eadem potentia in L moueatur, fimiliter oftendetur^uo Ion gior fit LI, adhuc pondusfacilius femper moueri.a minori enim \ x T ^ potentia moueretur. quod erat propofitum. Tempus quoq; huius motusmanifeftum e/l } quo enim longior eft L I, eo tempus maiuserit: dummodo potentia*motuum hnc in velocitatesquales j ncuti dictum eft de axeinperitrochio. C O R O L L A R I v M. Ex his manifeftumeft. quo plures funtheli- ces ; & qab iongiores funt fcytalx,fiuemanu- bria, pondus ipfum facilius quidem,tardius au tem moueri* Virtusdeniq; mouentis, atq; in fcytalis con- ftitutse potentia , hinc manifefta fiet. Sit DE C O C H L E A Ex i buiiis de vctfc. Sit datum A eentum ; fit planum horizonti inclinatum C D in angulo D C 1£. intieniatur ex eadem nona Pappi quanta vi pondus AiuperCD mouetur; qu;e fit decem. exponatur cochlea L M heliceshabens GHIK&c. in angulo EC D; per ea, qu?e dieta funt, potentia decem pondus A fliper helices G H I k mouebit.fi autem hac cochlea volumus pondus A mouere , & potentia mo- uensfitvtduo. ducatur N P axi cochlese perpendicularis 3 axem fccans in O; fiatq;PO ad ON,vt vnum ac^uiVujvhoceftduoad decem. Quoniamenim potentia mouens pondus A in P 3 ideft fliper helices eft vt decem cui potentia: refiftit, & ^qualis eft po tentia in N vt duo; eft enim N P vcctis , cuiusfulcimentum eft O. potentia ergovt duo in N pondus A fuper helices |cochle£ mouebit. efficiantur igitur fcytalse j fiue manubria, quse vfq; ad N perueniant DE C O C H L E A. 12? perueniantjmanifeftumefbpotentiamvt duoinhis pondus cen¬ tum cochlea L M moucrc. Si igiturfit cochlea QR helices habens in angulo D C E, &: cir- ca ipfam fit cius mater S, qua: fi pependerit centum, adiiciatur S T manubriumquoddam,fiuefcytala; itavt T in eadem proportio- ne diftet ab axe cylindri, vt N O P; patct potentiam vt duo in T mouere S fiiper helices cochleas. nihilenimaiiud efl S 3 nifi pon¬ dus fliper helices cochlese motum. fimiliter fi S fit imraobilis,cir- cumuertaturq; cochlea manubrio,fiue fcytala QX in eadem pro- portione confecta 5 faeritq; cochlea centum pondo ( quod qui- dem * vel ex fe ipfa, vel cum pondere V cochlea appenfo vel cum pondereY cochlea; fiiper impofito centum pependerit^ manife- fium cft potentiam vt duo in X mouere cochleam QR fuperhe liccs intra matricem cochleae incifas. atqj ita in aliis,quse cochleae inftrumento mouenturj proportionem potentis ad pondus inue- niemus. COROLLARIVM. Ex hoc manifeftum eft, quomodo datum pon dus a data potentia cochlea moueatur. K k Illud DE C O C H L E A IlJud qnoq; prsetcreahocloco obfcruandumoccurritj quopIu- res erunt matricis cochiesehelices,eo minus in pondere mouen- do cochleam pati. fi enimmatrixvnicamduntaxac helicen pofle deritjtuncpondus vt centrum a fola cochleae fuftinebitur helice; fi vero plures , in plures quoque , ac totidem cochleae heli. cesponderis grauitas diftribuetur; vtfi quatuorcontineathelices, tune quatuor vieifsim cochleathelices vniuerfo ponderi fuftinendo ineumbent 5 fiquidem vnaqii£que:quartam totiusponderis portio- nem fuftentabic. quod fi adhuc plures contineat helices, ponderis quoqjtotius in plures , atqueideominores portiones fiet diftri- butio. Ofien- DE C O C H L E A, 130 Oftenfumeftigitur pondus a cochleamoueri tamquam a cuneo percufsionis experte: loco e- nim percufsionis mouet vede^hocelifcytala, fi- ue manubrio. His demonftratis liquet, quomodo datu pon- duša data potentia moueripolsit. quod fivečle hoc affequi volumusipoflumus &dato vede da tum pondus data potentia mouere.quod quidem in nullis ex aliis fieri poiTe abfolutccontingiffiue fit cochlea/iue axis in peritrochio.fiue trochlea. nonenimdatistrochleis, neq;dato axe in peri- trochio J neq; data cochlea, datum pondus a data potentia moueri poteft,cum potentia in his Tem¬ per fit determinatarfi igitur potetia, quse pondus mouere debeat,hac minor fit data J nunquam pon dus mouebit.poflumus tamen dato axe,& tympa- noabfq;fcytalis datum pondus data potetia mo¬ uere ; curri icytalas conftruere pofsimusjta vt fe- midiameter tympani dati vna cumJongitudine fcytakeadaxis femidiametruin data habeat. pro- portionem. quod idem cochlea? contingerepo teft, fcilicet datum pondus data cochleafinema nubrio.vel fcytala, data potentia mouere * co- gnitaenim potentia , quae pondus fuper helices moueat, poflumus manubrium, fiue fcytalam ita — T T —f Ij . . . .. .- ....—--l K k 2 conftru« D E C O C H L E A_j tonftruere 3 vt data potentia in fcytala eandem | vira haheat, quampofentiapondus fuper heličes riiouens.cum autem hocdatis trochleis riulio mo do fieri pofsit.datum tamen pondus data poten¬ tia trochleis infinitis modis mouere pofiumus. datum vero pondus data potentia cunei inftru- mento mouerejioc minime fieri pofie clafura ef fe videtur; non enim data potentia datum pon¬ dus fuper planum horizonti inclinatum mouere potefi: ,neq; datum pondus a data potentia moue bitur vectibus fibi inuice aduerfis^uemmadmo- dum in cuneo iniunt; cimi in vedibus cunei pro- pria,veraq; vectis proportio feruari non pofsit. vedium enim fuicimenta non funt immobilia, cum totus cuneus moueatur. Poterit deinde quis ftrueremachinas ■, atq; eas ex pluribus componere; vt ex trochleis, & fuc- culis, vel ergatis ,pluribu(ue dentatis tympanis, uel quocunq; alio modo;&: ex ijs, quae diximus;fa čile inter pondus, & potentiam proportionem inuenire. F I N I S. '--.IJOt ' -On ' • , >"C ; • •’ ,. v .> * i„. •• .4 . • • .. - J - mt .. < ■■ s • •• j .j ' . ' i r ... m one; : r^: r n ?; urm: ■' Locorum alicjuot, quse inter imprimendum deprauata funt, emendatior lectio. Tagiria t ,b, verfu 19 ,^EB D f $ , a, 6,ipfi f 7,6,9,0 D H f 9,b,\9>cotingit 5 i')>a, 24 ,grauius^ retto^ 21,a,26,fuflinsanir f 23, b,8,B D DC% 3 1 » 9 >totum G K f 3 ^,a, 2 ^.,ponderaF G f 38, b, 27,maior 6, M> graui f 50,6,1 2 pondus f $4,a,7,cjudtn f 6i, a,6,pr£ttrquamin E f 65 ,<*, 3 3 ,quam f 8i,a,i,ligato f 85, b, 22 , vtriq; 5 91 > «> l 4 » dextrorfum f 98,6,20,«^ f 1 10,b } inpoJiill.Lemma in pr ima f 1 2 2,a,8,zr 1 7 ,helicen f 1 2. 3, 6, 1 5, in G H f 114, b , 17 , manifefium f 127,4,« pojtil. Monteregio f 127,6, inpofiii ex Con REGISTRVM. ^ ^.ABCDEFGHIKlMNOPQ^RS TVX Y Z, Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk. Omnes duerni. P I S A V R I Apud Hieronymum Concordiam. M. D. LXXVII. z . . ' . . . . - ' O JO. . ■.. b j.hui^h.-i-.Tr .■ t - :.-i . T . v c,>/ - ,w« ? f :■ « ■■ < . . . . .... _ ■' »S« ■ "1 1 . -‘V : ' . ■- : «*' ... ( fZi ■ . V £ J & ' o ^ r:ioW.0Ct..f ■ >n : -\ i.-'- ; Ci -8 - Uvv:' t' ' -.i' L 5 ? ;y5> ' J ■ ■ ; „y -c' ■ - ' : ■ ..-.f ; . ■ ,d t Ol I j ■ i <§«£$ ~ c j s. ; . L ■ViV.r.^i .d - ! i' ? ■ ' - ' t ‘ 1 ■ ■\ 1 v'-' ; * ' L p