






















         
P 47 (2019/2020) 4 29
Slika Lune
J̌ R
Pogosto vidimo sliko Lune, ki je svetla zgoraj,
čeprav je Sonce dosti niže na nebu, morda celo pod
obzorjem. Tak je bil videti zadnji krajec 4. januarja
2020 zjutraj ob 07:52, ko je Sonce ravno vzšlo nad
obzorje.
SLIKA 1.
Takrat je bil v ljubljanskem krajevnem krogelnem
koordinatnem sistemu (izhodišče v točki 46,03° N,
14,49° E) azimut Sonca A⊙ = 122,03°, njegova eleva-
cija pa ε⊙ = 1,17°, in azimut Lune A$ = 261,95° ter
elevacija ε$ = 23,53°1. (Te podatke in še kaj o po-
ložajih na nebu lahko dobite na www.suncalc.org/
in www.mooncalc.org/.2) Luna je bila torej po azi-
mutu za okrog 140° »pred Soncem« ter po višini za
22° »nad Soncem«.
Na spletnih astronomskih in fizikalnih forumih
pravijo, da je Luna osvetljena od zgoraj takrat, ko je
elevacija Sonca večja od elevacije Lune. Naš primer
pa je ravno obraten! Kako to?
Razložimo torej! Če je polobla Lune na jugoza-
hodnem delu neba videti osvetljena od zgoraj, po-
tem pri taki podobi nanjo vpada svetloba od Sonca
poševno navzdol, tako, kot je s puščico prikazano
na povečani sliki zadnjega krajca: nekoliko od zgo-
raj pravokotno v sredino osvetljene površine Lune
(slika 2).
Ker je vzhajajoče Sonce bolj na vzhodu in nizko
blizu obzorja, potem gredo pri taki podobi žarki od
Sonca najprej navzgor, celo nad elevacijo Lune in po-
tem nazaj navzdol do Lune. Očitno so ti žarki ukri-
vljene črte po nebu. Če pomislimo na to, da zelo
oddaljene podobe na nebu gledamo, kot bi bile pri-
kazane na nebesni polkrogli, potem so te ukrivljene
črte od Sonca do Lune loki na krogelnem »projekcij-
skem platnu« neba.
1Z azimutom označujemo smeri neba; to je kot po horizon-
talni ploskvi, štet od severa v smeri obračanja kazalcev na uri.
Tako ima smer proti vzhodu azimut 90°, smer proti jugu 180°
itd. Elevacija je kot, ki meri višino na nebesnem svodu. Elevacija
je torej od 0° za točke na obzorju do 90° za zenit.
2Večina navedenih virov s spleta je (žal) v angleščini – sem
in tja se najde kaj z vezi z našo obravnavo v slovenščini,
npr. o krivuljah, ploskvah ter o krivuljah na krogli ter nekate-
rih projekcijah na spletni stani meteorologa Marjana Divjaka:
diameter.si/scimath/ch16.htm#15. Seveda pa tudi v učbe-
nikih in drugih knjigah.
         
P 47 (2019/2020) 430
SLIKA 2.
SLIKA 3.
Ker se svetloba širi premočrtno, se zavemo, da
je ukrivljena pot le izgled ravne poti skozi prostor,
kot je projicirana na nebesno polkroglo – torej je lok
na površini krogle. Gre za perspektivno projekcijo3
ravne črte, kot jo vidimo iz svojega gledišča na sredi
dna nebesne polkrogle – podobno kot so videti ukri-
vljene sicer ravne sledi letal na nebu – te za razliko
od namišljenih žarkov lahko tudi zares vidimo.
3Razne projekcije spoznamo že v osnovi šoli. Perspektivno
projekcijo z enim očiščem v 9. razredu osnovne šoli pri likovnem
pouku, pravokotne in nekatere druge projekcije pa postopoma
pri tehniki (in manj pri geometriji), ko rišemo telesa ob pogle-
dih iz raznih smeri. Razne kartografske projekcije srečamo pri
geografiji.
Kakšna bi bila obratna projekcija – krožnega loka
v ravno črto? Krogelne površine ne moremo brez-
hibno predstaviti na ravni sliki, lahko pa brezhibno
razvijemo plašč valja na ravnino. Za ta primer je
Chris Jones4 pripravil animacijo postopne pretvorbe
krivega žarka na plašču stožca v ravno črto. Njegova
animacija kaže, kako se postopno deformira razvita
ploskev plašča valja in kako pri tem ukrivljena črta
med Soncem in Luno postaja vse bolj ravna. Le kli-
knite na chrisjones.id.au/MoonIllusion/ in ko
se animacija odpre, klinite še na prikaz, pa se vam
bo hitro posvetilo za kaj gre.
Pretvorbe krive črte s krogelne površine na ravno
ploskev ni mogoče brezhibno narisati – ker pač na
ravnini ne moremo brezhibno upodobiti ploskve kro-
gle. Obstajajo pa razne projekcije, ki jih poznamo
iz kartografije. Polarni predeli Zemlje so največkrat
narisani v polarni stereografski projekciji, pri kateri
je projekcijska ploskev tangentna ravnina ob enem
polu (ali tudi kaj odmaknjena od pola), izhodišče-
očišče pa točka na nasprotnem polu – torej je ta pro-
jekcija perspektivna. Pri njej poldnevniki, ki so sicer
na zemeljski krogli krogi, postanejo ravne črte iz sre-
dine karte navzven. Za naš primer opazovanja Lune
na nebu, ko nebo gledamo iz središča osnovne plo-
skve polkrogle, je še bolj ustrezna gnonomska karto-
grafska projekcija, kjer očišče ni na na nasprotnem
zemeljskem polu, ampak v sredini Zemlje. (Glej
npr. www.winwaed.com/blog/2010/01/11/polar-
maps-and-projections-part-1-overview/).
Da ne zaidemo predaleč od opisa slike Lune: tudi
Todd Lockwood5 je opazil, da je pogosto videti sve-
tel zgornji del Lune tudi kadar je Sonce nizko, ob ho-
rizontu ali celo pod njim. Njegovo razlago s pomočjo
ukrivljenega loka na krogli se zelo splača ogledati:
www.muddycolors.com/2011/06/todd-lockwood-
curvilinear-perspective-part-1/, pa tudi ne-
katera nadaljevanja, pri katerih razlaga, kako je tre-
4V Avstralijo preseljeni Anglež Chris Jones je predvsem raz-
iskovalec na področju prepoznavanja govora – a očitno zna
razložiti marsikaj, ne samo nenavadni izgled Lune na nebu:
chrisjones.id.au/MoonIllusion/
5Amerǐcan Todd Lockwood je predvsem ustvarjalec nenava-
dnih fantazijskih podob – glej še njegove druge spletne objave:
www.toddlockwood.com/, pri razlagah ukrivljenih perspektiv
pa nadomesti zadnjo enico z 2: namesto . . . -part-1/ torej . . . -
part-2/-
         
P 47 (2019/2020) 4 31
ba upodobiti prizore iz 3D sveta, da tudi na sliki
na ravnem papriju ali platnu izgledajo tridimenzio-
nalni.
Poskusimo še mi malo poračunati. Za to moramo
vedeti, kako sta povezana krogelni koordinatni
sistem (A, ε, l) in kartezični koordinatni sistem
(x,y, z), ki imata isto izhodišče O. Iz kroglenega
koordinatnega sistema (A, ε, l) v kartezični koordi-
antni sistem (x,y, z) je pretvorba: x = l cos ε cosA,
y = l cos ε sinA in z = l sin ε.
Za kar najmanj dela izberimo čas točno ob vzhodu
sonca, ko je elevacija Sonca ε glede na lokalno rav-
nino nič in zato višina z nad to ravnino tudi nič. Če
izberemo glavno os x naše obravnave od izhodišča
O, kjer stojimo, točno proti Soncu, je Sonce na tej
osi in oddaljeno (zaokroženo) LS = 147 milijonov
kilometrov. Torej so njegove koordinate x,y, z =
(147 milijonov km,0,0). Smerni kot Lune štet po
ravnini opazovanja od smeri osi x je enak A′$ =
139°, elevacija Lune ε$ = 25°, za njeno oddaljenost
od izhodišča vzamemo l$ = 400 000 km. Po krat-
kem računu dobimo za Luno njene kartezične koor-
dinate (zaokroženo na tisoč km) x$ = −274 000 km,
y$ = −239 000 km in z$ = 169 000 km. Razda-
lja od Lune do Sonca je za nekaj stotisoč kilome-
trov daljša, kot od izhodišča: DLS = 147,274 mili-
jona kilometrov, kar je v primerjavi s 147 milijoni
kilometrov le malo več – samo za desetinko promila
več. Po tej daljici se pomaknimo v točko T toliko
proti Soncu, da je koordinata te točke x enaka nič:
to pomeni za ∆ = 274/147274 = 0,00186 celotne
razdalje do Sonca. Ob tem se zmanjšata tudi ko-
ordinati y in z na (1 − ∆) = 0,99814 vrednosti pri
Luni. Torej je yT = (1 − ∆)y$ = −238555 km in
zT = (1−∆)h$ = 168685 km. Ko poznamo višino zT
točke T in njeno razdaljo od izhodišča do nje dTO =√
0+y2T + z2T = 292 170 km, hitro izračunamo eleva-
cijo iz sin εT = zT/dTO in dobimo εT = 35,3° – kar
precej več od elevacije Lune. Na sliki je to prikazano
v izometrični predstavitvi, pri kateri kaže os y v de-
sno in os z navzgor (dolžine so vse v istem merilu,
smeri in koti pa niso pravi).
V zvezi z računom: ali smo v tej točki T blizu
največji elevaciji? Ali je morda najvišja elevacija na
tej daljici morda kaj bliže Luni ali morda kaj dlje od
Lune? Razmislite!
O
T
$
x
od Lune
proti
Soncu
od izhodišča O
proti
Soncu
SLIKA 4.
Os x od izhodišča O; razdalja do Sonca je
DOS = 147,00 milijona kilometrov, od Lune do Sonca je
malce dlje: DLS = 147,274 milijona kilometrov.
Koordinate Lune glede na izhodišče so x$ = −274 tisoč km,
y$ = −239 tisoč km, z$ = 169 tisoč km in elevacija ε$ = 25°.
Koordinate točke T na daljici od Lune do Sonca glede izhodišča
O pa so xT = 0, yT = −238,6 tisoč km, zT = 168,7 tisoč km in
elevacija εT = 35,3°.
Za konec. Morda bi morali tisti, ki po spletnih foru-
mih pravijo, da je Luna osvetljena od zgoraj samo,
kadar je elevacija Sonca večja od elevacije Lune, opo-
zoriti, da pri tem mislijo na dejansko višino nad rav-
nino opazovanja, da pa podoba na nebu včasih iz-
gleda tudi drugače.
×××
www.dmfa.si
www.obzornik.si
www.presek.si