i
i
“4-1-Suhadolc-naslov” — 2009/3/27 — 9:06 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 1
Strani 4–7
Anton Suhadolc:
MATEMATIČNE NEPAKE
Ključne besede: matematika, teorija števil, popularizacija matema-
tike, rekreacijska matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-1-Suhadolc.pdf
c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I I
MATEMATIKA
MATEMAT IčNE NEPAKE
Pozorni bralec je pri branju nas lova meni l, da se je pri tip-
kan j u vr i ni l a napaka . Pa ni tako! Preden pojasnimo, kaj je ne-
paka, napravimo nekaj zgledov.
Vsak učenec, ki že zna računati z ulomki, ve, da j e t al e n ačin
krajšanja
~=
32
ulomkov napačen:
1& 1
n 3
Tu smo na pr avil i
~~ = Ni. =
64 4 . Ni
napako . Og lejmo
1. J.! = 1.
4 '&4 4
si še raču n
(1 )
4
Pr i prvem ' računu smo postopa li pravilno, pri drugem računu
smo "krajšali " na nedopusten na čin, a glej, rezu ltat je kljub
temu pravi len! Taki računski napaki, ki vodi do pravilnega re-
zultata, bomo rekli ma t ema t i a na ne paka . Nepaka bomo rek li tudi
računu, pri katerem se to zgodi.
Og lejmo s i še nekaj pod obni h nepa k!
~ = 11 . 15 = 1.~ = 1.
660 11 .6060 4
na bolj "udo be n" način dobi mo isti rezultat
~ = ~ = 1.
6'&0 60 4
š e zanim ivejša je tale nepa ka
266 6 = 2.1 3 33 = .?
6565 5 .1 3 33 5
ali na zdaj dobro znani naCln
2'&6 6 2'& 6 =[~'j = 2'& = [2.131 = -?
6'ti65 610 5 _5 . 133 . '& 5 5. 13 5
" Sestavek je prirejen po članku R.A. Ca rma n , Mathematical Misteaks,
Mathematics Teacher, 1971 .
( 2 )
V ok le pa ji h so pomožni ra čuni, ki povedo, da r e s ve l ja jo vsi
enačaji.
Pr i nepa kah se ne ustra ši mo nit i kra jš a nj a z n ič lo, čeprav
nam ga v š ol i vztra jno prepovedujejo:
1 0 3 =~ = 1
206 2 .103 2
po udobnejši poti
.!.]l = .!1 = !
2\J. 6 26 2
dob imo "s e veda" ist i re zulta t .
Bodi dovo lj pr imerov us pe š ne ga, a prepoveda nega načina
krajšanja ul omkov . Postanimo s pe t mat emat iki i n se vprašajmo,
kaj ti či za t emi prim eri. Zastav imo si te le nal oge :
N alo g a 1 . Po išči vs e ulomke z dvomestnim števcem in i-
menova lcem, pr i katerih da " kr a j ša nj e " po vzoru pr imera (1) pra -
v il en rezultat !
Reš it e v. I s kane ulomke za pi š i mo v obl ik i ~~ ' kjer s o
a , b , e naravna števila med 1 in 9. "Kr a j š a nj e " po primeru (1)
zapišemo t a kole
ah = ~
h e e
Up oštev aje mestno vredn ost zapišemo t o ena čbo v obl i ki
10a + b ~
10b + e c
Ulomke odpra v i mo i n dobimo enačbo
9ac = b { 10a - c )
To je ena enačba za t r i nez nanke. Zan i ma j o nas seveda l e r e-
š itve, pr i katerih so a , b , c na r avna š t e vi l a me d 1 i n 9 .
E n a č b o r e š uj emo npr. tako le . Ker je l eva s tra n de lj iva z 9.
mora biti de sna tudi . Tu ločimo ve č mo žno s ti: ali j e fak to r b
delj iv z 9, a l i je b deljiv le s 3 , a l i pa j e faktor 10a - c de-
lj i v z 9. Vsako od teh možnosti obdela mo posebej .
I . če je b de ljiv z 9, mora bi ti b =9 ; po kra jša nju z 9 dobi
enačba (2) obl i ko ac = 10a - c , ali a = c / { 10 - c )
Za c vzamemo zapo redoma š t e vi l a od 1 do 9 in opazujemo , a li
je a iz zgo rnje formule na r avno š tevilo med 1 i n 9 . Oobi mo tel e
rešit ve :
c = 5 ,a = 1;c B, a 4 ; c 9, a 9. Prvi rešitvi da -
5
19 49 t re tj a re šitev da nezanim ivo nepa ko
99
s ta ne pa ki in ,
95 98 99
II. b je deljiv s amo s 3 ; torej je b = 3 a l i b = 6 . če je
b 6, dobi mo iz e n ačb e (2 ) 3ae = 20a 2e, a l i
2 e
a
20 - 3c
S posk ušanjem kot v pr imeru I. dobimo rešitve e = 1, a = 1;
c = S, a = 2; o = 6, a = 6 . Prvi dve da sta nepa ki 16 in 26
66 64 65tretja da spet ne za nimi vo nep ako
66
če pa je b = 3, moremo zap i sati enačbo ( 2) v ob liki
c
a =
10 - 3e
Ta i ma eno samo r eš i t e v e 3, a 3 , ki da ne za nimiv o nepa-
ko 33
33
III. č e b ni de lji v s 3, mo ra 'bit i v enačb i (2) dr ug i faktor,
10a - c , de ljiv z 9 . Za pi š emo ga v oblik i 10a - c = 9k, k je
na ravno število .
Spet iz računamo a:
c + 9ka = - --
10
Ta e načba ima 9 reš itev : e = 1, k = 1 ; e = 2, k = 2;
. . . ; e = 9, k = 9 . Iz enačb e ( 2) sledi ae
Dobimo 9 nez ani mivih nepa k
11 22 99, .. . ,
11 22 99
bk , torej b = ae /k .
Naloga
16- ,
64
1 ima torej reši tve :
~ , ~ , ~ in še 9 ne za nimiv ih r ešitev .
95 65 98
Zadajmo si še kako nalo go podobne vrste!
Poišči vse nepake oblike
a ~ c _ ae
d~ - d e ( 3 )
Težko je poiskati vs e re šitve ena čbe (3 ) . Zato s i zad a j mo laž jo
nalogo:
N a lo g a 2 . Poi šči vse re šitve enačbe ( 3 ) , kj er s o s eve-
da a , b , e , d , e na ravna š tev i l a med 1 in 9, pr i č e m e r s ta š t e -
vec in imenoval ec na lev i strani enačbe (3) l1 -kratnika š t e vc a
i n imenoval ca ul omka na desni s trani e na čbe ( 3 ).
6
N a 1 o g a 3 .  P o l S t t  v s e  nepake o b l i k e  
HaTogo 3 J e  presenetljivo lahko r e $ I t i  i n  Ima mnogo r e S l t e v .  
# a 1 o g a 4 .  Pof fEi  v s e  nrpake o b t l k e  
a h a  ah 
Z T T = h a p 3  
( 5 )  
Tu r i  nroremn pamagat1 x t e  rnanlmi re5 l tvaml  na lage  I .  Yneml- 
16 mo npr. napako - i n  f o  skurajmo r a z i f r i t i  do r e J f t v e  anaEbe 
(5 ) :  
64 
I ( 
l b 6  1 6 1  
P - l -  ' !  
6 b 4  64 4 I ! 
U p o i t e v a j e  mestne v r e d n o s t i  dobimo 
4(100 + 106 + 6 )  = 600 + 10b + 4 
EnaCbo uredEmo i n  dobimo 30b = 180, torej b = 6 .  Dobf l i  smo 
nepaka 
I E 6 - k;:\ 1 -- -.I- 
6 S 4  4 
49 Po f s t i  pot4 skuSqj  p n i s k a t i  9z nepak 2, 2fCq i n  - raSitve 
eaaEbc ( 5 ) .  95 65 98 
S k u f a j  tudf re%iti nalogo 2 , pri natogf  3 pa paiJEt pc- 
g o j ,  k4 mu moraja z a d o J t a t l  5 t e v i l a  a ,  a ,  d ,  8 ,  da Se enaEba ( 4 )  
.re91 j i v a l  
Na j  bo za danes d o v o l j  nepak. PrthodngiE sJ bomo o g l e d a l i  , 
nekaj  nepak drugatn ih  t i p o v .