Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42, 1993, s. 155 - 198 
GDK 535:565 
PREIZKUS VELJAVNOSTI METOD RAZMIKA ZA 
OCENJEVANJE GOSTOTE IN TEMELJNICE SESTOJEV 
Vladimir PUHEK* 
Izvleček 
Članek obravnava metode ocenjevanja gostote in temeljnice sestojev na osnovi 
razmika med drevesi. Z modeliranjem in simulacijo je proučena veljavnost in 
uporabnost doslej znanih metod ocenjevanja števila dreves in temeljnice. Za 
preizkušnjo so uporabljeni posnetki različno gostih dejanskih sestojev ter modelni 
sestoji z naključno - Poissonovo in drugačno razmestitvijo enot. Posebna pozornost 
je posvečena vzorčni metodi stalnega števila dreves, ki je v gozdarstvu znana kot 
metoda 6 dreves in metoda 2x6 dreves. Obdelano je zlasti vprašanje pravega števila 
dreves v vzorcu ter obnašanje teh metod v pogojih nenaključne - gručaste in 
drugačne razmestitve dreves. 
Ključne besede: sestoj, razmestitev, razmik, gostota, Poissonov gozd, programiranje, 
modeliranje, simulacija, vzorčenje, vzorčne metode. 
A TEST OF V ALIDITY THE DISTANCE METHODS FOR 
ESTIMATION STAND DENSITY ANO BASAL AREA OF TREES 
Vladimir PUHEK* 
Abstract 
The article deals with the methods of forest stand's density and basal area 
assessment based on the spacing between trees. By means of models and 
simulation the validity and applicability of the methods for the assessing of the 
number of trees and basal area known up till now have been studied. In the test, 
the samples of differently dense stands and model stands of a random - Poisson's 
and different unit arrangement have been used. Special attention has been paid to 
a model method of a constant tree number, which has been known in forestry as 
the method of 6 trees and that of 2 x 6 trees. The question of the appropriate 
number of trees in a model and the applicability of these methods in the 
conditions of a random - group and other arrangement of trees has been dealt 
with. 
Key words: forest stand, arrangement, spacing, density, Poisson's forest, 
programming, modeling, simulation, sampling, sampling methods. 
• mag., dipl. ing., strokovni svetnik, Oddelek za gozdarstvo Biotehniške fakultete, 61 000 
Ljubljana, Večna pot 83, SLO 
156 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
KAZALO 
UVOD ....................................................................................... 157 
1 METODA DELA ................................................................... 157 
2 TEORETIČNE OSNOVE METODE RAZMIKA ............ 159 
3 VARIANCA RAZMIKOV .................................................... 166 
4 METODA RAZMIKA V GOZDARSTVU ....................... 172 
5 METODA 6 DREVES .......................................................... 180 
6 METODA 2x6 DREVES ....................................................... 185 
7 POVZETEK IN SKLEPI ...................................................... 190 
SUMMARY ............................................................................. 195 
VIRI .......................................................................................... 197 
UVOD 
157 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Že nekaj desetletij so v gozdarstvu v rabi različne reprezentančne metode, 
zlasti metode ocenjevanja gostote dreves in temeljnice sestojev. Pri tem ima 
svoje mesto tudi metoda razmikov, ki je predmet naše obravnave. 
S preizkušanjem vzorčnih metod s področja gozdne inventure smo se na 
našem oddelku pričeli intenzivneje ukvarjati pred dobrim desetletjem, to je 
v obdobju opuščanja klasične kontrolne metode in prehoda na 
reprezentančne inventurne metode. Kljub velikemu številu najrazličnejših 
preizkusov na modelih in na podatkih iz dejanskih sestojev, pa doslej 
rezultatov nismo objavljali, ampak se je vse skupaj končalo z internimi 
poročili in napotki za prakso. Verjetno bi pri tem tudi ostalo, če ne bi 
povsem po naključju dobil v roke knjige Spatial Data Analysis by Example 
(Upton, Fingleton 1985), v kateri je zbranih veliko dosedanjih raziskav in 
ugotovitev v zvezi z obliko in načinom razmestitve enot v rastlinskih 
populacijah. V tej knjigi so kompleksno nakazani problemi v zvezi z 
ugotavljanjem oblike in načina razmestitve. V tem sklopu je obdelana tudi 
metoda razmika, vendar precej drugače, kot je lewta obdelana v strokovni 
literaturi s področja gozdarstva. Gre namreč za nekatere bistvene razlike in 
nasprotja, ki jih bomo skušali prikazati v obliki primerjav in preizkusov na 
izbranih objektih. 
Težišče našega dela je bilo na preverjanju veljavnosti doslej znanih metod 
in algoritmov za ocenjevanje števila dreves in temeljnice na osnovi razmika 
med drevesi. Pri tem se nismo mogli povsem izogniti obravnavi zelo pestre 
problematike prostorske razmestitve dreves, kajti dosedanje ugotovitve 
raziskovalcev kažejo, da je učinkovitost ocenjevanja na osnovi razmika v 
veliki meri odvisna od oblike in načina razmestitve dreves v sestoju. 
1 METODA DELA 
Rezultati, ki so prikazani v tabelah, so bili dobljeni s simulacijo na 
posnetkih sestojev in na enako velikih, vzporednih modelnih sestojih z 
enako gostoto, vendar z naključno razmestitvijo dreves. Te modele smo 
uporabljali tako za primerjavo z dejanskimi sestoji, kakor tudi za 
158 
Zbornik gozdarstva i11 lesarstva, 42 
preverjanje teoretične veljavnosti nekaterih enačb za izračun števila dreves in 
temeljnice na osnovi razmika med drevesi. Posnetke sestojev smo s 
preslikavo - z večkratnim polaganjem osnovne ploskve v smeri x in y osi 
povečali na želeno velikost. Primer videza sestoja in izračun je prikazan na 
sliki 1. 
PoJsson (O· dkl 
Stevilo .točk• __ !!!! ... J:~!}}~-~!-~JJ .. }!! ..... stevilo_centrov: __ 3385 
Parameter 1\ a :a, 11 i k (kl 
(O·dk) 1. 2. 3. 4. 5, 6. 7. .8. 9. 
---·----•-------------------------------~----·----------------------ar• 3.711 5.535 6.912 8.078 9.053 9.972 10.808 11.587 12.312 
var 3.777 4.063 4.202 4.164 4.207 4,255 4,372 4.437 4.409 
min 0,10 0.92 1.32 
1
t:1~ 3.09 4.05 4.55 5.43 5,73 
m;x ll:ig lJ:VJ 1~:2g 17,44 l2:fl l!:ši lJ:Jf tl:13 tl:ib 
-------------------------------~------------------------------------Stevilo toek: vv pavsaudr'atu·. m
11
i
1
n„ 268 max 298 arex: 305.6 (312,5} 
k 20 max 59 arsy: 157.0 (160.0) 
Ocena .atevila taCk na ha 
A 181 133 184 183 185 184 184 184 184 
B 182 184 184 183 185 184 184 184 184 
Mk o 178 186 183 185 185 185 185 184 
M2k o 183 184 185 185 185 184 184 184 
Slika 1: Videz modelnega sestoja in izhodnih tabel pri ocenjevanju gostote 
sestoja 
Figure 1: A look on tl1e Poisson forest and results of the stand density estimation 
by the point-tree distance sampling method 
159 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Velikost tako povečanih sestojev je bila v največ primerih 20 ha, v 
nekaterih primerih pa samo nekaj ha, če je šlo za zelo goste sestoje. 
Delno smo se morali pri tem prilagoditi omejitvam glede velikosti matrik v 
TURBO PASCALU 5.5, v katerem so bili napisani vsi programi za izvedbo 
modeliranja in simulacije. Zaradi tega so bili objekti za oceno temeljnice 
manjši od objektov za oceno števila dreves, ker je bilo treba poleg 
koordinat dreves shranjevati tudi njihove premere. 
Za preslikavo osnovnih posnetkov smo se odločili zato, da bi še po 
določitvi robnega pasu ostala dovolj velika površina za izbiro točk ali dreves 
- centrov vzorčnih ploskev. Zaradi vpliva roba na velikost razmikov (robni 
efekt), je bilo namreč treba oblikovati robni pas, katerega širina je variirala 
v odvisnosti od gostote sestoja. Pri majhnih sestojih z majhno gostoto je bil 
delež roba lahko zelo velik, zato je bilo povečanje nujno, če smo hoteli 
dobiti reprezentativne rezultate. 
2 TEORETIČNE OSNOVE METODE RAZMIKA 
Osnova za metodo razmika je naključna - Poissonova razmestitev enot po 
površini, ki jo KEULS (1963) in nekateri drugi raziskovalci imenujejo kar 
Poissonov gozd. Tudi naravni, z nasemenitvijo nastali sestoji so po 
razmestitvi dreves blizu Poissonovemu gozdu in imajo vsaj v nekaterih 
razvojnih fazah značilnosti naključne razmestitve enot populacije. Zaradi 
najrazličnejših vplivov, ki so pri nastajanju nove populacije vedno prisotni, 
pa se dejanska razmestitev dreves razlikuje od naključne, zlasti glede 
pojavljanja skupin, ki jih pri naključni razmestitvi ni. Prav tako tu ni večjih 
"lukenj", ki so v naravnem gozdu pogost pojav, posebno v starejših sestojih. 
Za teoretično proučevanje oblike in načina razmestitve enot populacije je 
pomemben zlasti prvi razmik, to je razmik med naključno izbrano točko ali 
enoto in njenim najbližjim sosedom. Namreč, večina doslej znanih in 
uporabljanih testov za odkrivanje načina in oblike razmestitve enot 
(naključna, nenaključna, gručasta, enakomerna) temelji na razmerju teh dveh 
razmikov (če pustimo ob strani teste, ki temeljijo na razmerju števila 
površinic z O, 1, 2, ... n enotami in na razmerju med povprečjem in 
varianco tega števila). 
160 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Pri Poissonovi porazdelitvi enot je verjetnost, da bo na površini s polmerom 
x, pri gostoti µ,, n enot, dana z enačbo: 
(2.1) 
Če je povprečna gostota enot (število enot na enoto površine) pri naključni 
razmestitvi µ, in če razdaljo od neke naključno izbrane točke do njenega 
prvega soseda označimo z X, neko manjšo razdaljo pa z x, tako da je 
X>x, potem je verjetnost, da na površini nx2 ne bo nobene enote, enaka 
verjetnosti za n =0 po enačbi 2.1, ali: 
-111tx2 P(X>x)=e,.,. (2.2) 
Z odvodom vrednosti l-e•JJ,1tX2 dobimo gostoto relativnih frekvenc za X, ali: 
fx=2µ.1tx.e•µ,nx 2 (2.3) 
Z zamenjavo X2=U (po Uptonu in Fingletonu še z nekoliko žongliranja) 
pridemo do enačbe za gostoto relativnih frekvenc za U v obliki: 
(2.4) 
Več avtorjev je skoraj sočasno ugotovilo, da se vrednosti u porazdeljujejo v 
obliki hi-kvadrat porazdelitve z 2 stopinjama prostosti. Zaradi aditivnosti hi-
kvadrat porazdelitve in ob dejstvu, da so razdalje X 1, X2, X3, ... Xn 
neodvisne razdalje točka - prvi sosed ter z upoštevanjem, da je Uj=X\ 
(i=l,2,3, ... n), je tudi porazdelitev 2µ,ni::Uj hi-kvadrat porazdelitev. z dvema 
stopinjama prostosti. 
THOMPSON (1956) je tudi za preostale razdalje, to je za razdalje od 
točke do k-tega soseda (k=1, 2, 3 ... n), pri Uk=X2k, pokazal, da je: 
(2.5) 
Po Thompsonu je porazdelitev 2µ,nUk hi-kvadrat porazdelitev z 2k 
stopinjami prostosti. Na temelju zgornjih enačb je Thompson prišel do 
enačb za srednje vrednosti razmikov k in sicer: 
EXk=k.(2k)!/(✓µ,.(2k.k!)2) 
in 
161 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
(2.6) 
{2.7) 
Z nekoliko drugačnim pristopom k odvodu enačbe (2.5) je EBERHARDT 
(1967) dobil izraz: 
E(l/X2k) =µ,n/(k-1) (2.8) 
Vse navedene enačbe se nanašajo na razdaljo X to je na razdaljo med 
naključno izbrano točko in njenim l., 2., 3., ... k-tim sosedom. Za 
naključno razmeščene enote - Poissonov gozd pa veljajo te enačbe tudi za 
razdalje med naključno izbrano enoto in njenim l., 2., 3., ... k-tim 
sosedom. (UPTON / FINGLETON 1985). 
V navedenih enačbah se pojavlja povprečje treh različnih vrednosti. V prvi 
enačbi (2.6) je povprečje linearnih vrednosti ali aritmetična sredina, v enačbi 
(2.7) .je povprečje kvadratov in v enačbi (2.8) povprečje reciprokov 
kvadratov. 
Iz enačb (2.6),(2.7) in (2.8) lahko izračunamo povprečno gostoto enot. Na 
temelju povprečja razmikov do k-tega soseda iz enačbe (2.6) dobimo: 
µ,=k.(2k)!/(EXk.(2k.k!)2)2 (2.9) 
Iz enačbe (2.7), na temelju povprečja kvadratov razmikov do k-tega soseda, 
dobimo: 
(2.10) 
Iz tretje enačbe (2.8), kjer imamo povprečje reciprokov kvadratov razmikov, 
dobimo: 
µ,=(k-l).E(l/X2k)/tr. (2.11) 
162 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Gostota µ, je tu podana kot N/P, to je število enot na enoto površine. Če 
vzamemo za P površino 1 ha v m2 in če je X=r, dobimo za število enot 
na 1 ha naslednje izraze: 
a) 
ali 
N=(l00.ak/rk)2, kjer je 
ak=k.(2k)!/(2k.k!)2, in rk=}:;rk/n 
(2.12) 
Nekoliko drugačno obliko enačbe, ki pa daje enake vrednosti konstante a, 
navaja tudi SLOBODA (1976) za varianto točka - l., 2., ... k-ti sosed. 
Neodvisno od drugih je do identične enačbe prišel tudi CEDILNIK . (1982, 
interni material). 
b) 
c) 
N= 10000.k/(rk-1t) 
(rk=1:r2wn) 
N = 10000.(k-1 ).rk/n 
( rk = 1:( l/r2k)/n) 
(2.13) 
(2.14) 
Vrednosti konstant, ki se pojavljajo v enačbah a, b in c so razvidne iz 
preglednice 1. 
V enačbi (2.14) se povprečje rk ne pojavlja v imenovalcu, ampak v števcu. 
Navidezno nepomembna razlika ima veliko praktično vrednost. S to enačbo, 
za razliko od drugih dveh, lahko prav zato izrčunamo povprečno gostoto 
kot povprečje posameznih ocen: 
(2.15) 
Dokaz: 
N 1 = 10000.(k-1)/n.1/r2kt 
N2= 10000.(k-1 )/nl/r2kz 
N3 = 10000.(k-1 )/n.1/r2k3 
Nn = 10000.(k-1 )/n.1/r2kn 
163 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Če sedaj delimo levo in desno stran s številom ocen (n), dobimo enačbo 
za povprečno gostoto: 
N = 10000.(k-1 )/n.(1/r2k) (2.16) 
Poleg dobre lastnosti, da omogoča izračun povprečne gostote iz posameznih 
ocen, je ta enačba zanimiva tudi zato, ker jo v gozdarski literaturi in v 
praksi najdemo v nekoliko spremenjeni obliki pri nekaterih načinih 
ocenjevanja gostote in temeljnice na osnovi razmika. 
Preglednica 1: Vrednosti konstant v nekaterih enačbah za izračun števila 
dreves na hektar 
Table 1: The values of co11staJJls i11 some equatio11s for sta11d deIJsity estimatio11 
(N/iJa) 
k ak 10000.a2k 10000.kht 10000.(k-1 )/1t 
(2.12) (2.13) (2.14) 
1 0.5 2500 3183.1 -
2 0.75 5625 6366.2 3183.l 
3 0.9375 8789.1 9549.3 6366.2 
4 1.09375 11962.9 12732.4 9549.3 
5 1.230469 15140.5 15915.5 12732.3 
6 1.353516 18320.1 19098.6 15915.5 
7 1.466309 21500.6 22281.7 19098.6 
8 l.571045 24681.8 25464.8 22281.7 
9 1.669235 27863.5 28647.9 25464.8 
164 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
V preglednici prikazane vrednosti konstant so teoretične vrednosti, ki veljajo 
za izračun gostote naključno razmeščenih enot. Glede na to, da se v praksi 
srečujemo predvsem z nenaključnimi razmestitvami, so navedene vrednosti 
zanimive le za primerjavo. 
Pri izračunu gostote imamo poleg konstant opravka še z zaporednim 
razmikom k, ki je pomemben pri ugotavljanju oblike in načina razmestitve 
enot populacije. Osnova za opredelitev je namreč razmerje med povprečnim 
razmikom, ugotovljenim po dveh variantah: točka - prvi sosed in enota-prvi 
sosed. Po dosedanjih ugotovitvah naj bi razmerje med tema dvema 
razmikoma nakazovalo tako način (naključni, nenaključni) kakor tudi obliko 
razmestitve enot (gručasta, enomerna). 
Po KERSHA WU (1973) naj bi v zvezi s prvima razmikoma točka • drevo 
in drevo • drevo veljalo tole: Če je povprečni razmik med naključno 
izbrano točko in njenim prvim sosedom enak razmiku med naključno 
izbranim drevesom in njegovim prvim sosedom, je razmestitev dreves 
naključna - Poissonova. Pri gručasti razmestitvi je to razmerje večje, pri 
drugačni pa manjše od ena. Z malo premisleka lahko ugotovimo, da je ta 
domneva pravilna. Denimo, da je razmestitev dreves povsem pravilna, bodisi 
v obliki kvadratne ali pravokotne mreže. Naključno izbrana točka bo 
največkrat nekje vmes med drevesi, zato bo razmik med točko in njenim 
prvim sosedom manjši od razmika med naključno izbranim drevesom in 
njegovim prvim sosedom. Kadar pa je razmestitev dreves gručasta, je največ 
razmikov od drevesa do prvega soseda majhnih, medtem ko so razmiki od 
naključno izbrane točke do njenega prvega soseda, zaradi neenakomerne 
gostote dreves, razmeroma veliki. Sicer pa preizkus, ki smo ga opravili na 
modelu z močno poudarjeno gručavostjo in na modelu s pravilno 
pravokotno razmestitvijo dreves, to domnevo potrjuje. 
Oglejmo si rezultate preizkusa, ki je bil opravljen pri gostoti 683 dreves na 
ha. To gostoto smo pri modelih izbrali zato, da smo lahko izvedli še 
nekatere druge primerjave z rezultati, dobljenimi iz dejanskega sestoja 
(Pokljuka), ki je imel enako gostoto. V preglednici 2 so za primerjavo 
podane še vrednosti razmikov, ki so bili dobljeni iz modela sestoja z 
naključno razmestitvijo dreves. 
165 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Preglednica 2: Povprečni razmiki rk glede na obliko in način razmestitve 
dreves (N/ha=683) 
Table 2: Mean values rk by booth distance methods at N/11a=683, according to the 
spatial pattern of trees (cluster, regular, random) 
Razmestitev dreves 
Razmik a) gručasta b) pravokotna c) naključna 
(k) (0-d) (d-d) (0-d) (d-d) (0-d) (d-d) 
1 3.768 0.581 1.469 3.640 1.936 1.910 
2 4.302 0.962 2.672 3.700 2.869 2.854 
3 4.695 1.353 3.487 3.979 3.588 3.574 
4 5.075 1.766 3.906 4.000 4.189 4.181 
5 5.445 2.218 4.739 5.393 4.710 4.708 
6 5.787 2.788 5.013 5.402 5.183 5.181 
7 6.161 3.425 5.439 5.440 5.610 5.619 
8 6.540 4.122 5.919 5.449 6.010 6.021 
9 6.943 4.938 6.294 7.300 6.389 6.400 
n 9172 8582 9196 8050 12760 12026 
Vrednosti pod a in b so dobljene iz modelnih sestojev s površino 15 ha, 
vrednosti pod c pa iz sestoja s površino 20 ha. Števila pod črto (n) so 
števila naključno izbranih centrov znotraj okvira izbora (pri varianti točka­
drevo) oziroma števila dreves znotraj tega okvira (pri varianti drevo-drevo). 
Z analizo povprečij iz preglednice 2 je mogoče priti do nekaterih sklepov. 
Pivič, res je, da so pri naključni razmestitvi dreves povprečni razmiki do k-
tega drevesa enaki pri obeh variantah. Enaki so tudi razmikom, ki bi jih 
dobili po Thompsonovi enačbi. Od tod bi lahko sklepali, da je enačba 
pravilna. Drugič, pri gručasti razmestitvi dreves so povprečni razmiki pri 
varianti drevo • drevo veliko manjši od razmikov iz variante točka - drevo 
in so tudi veliko manjši od razmikov, ki jih dobimo pri naključni 
razmestitvi dreves. Razmiki pri varianti točka - drevo so na začetku veliko 
večji od razmikov pri naključni razmestitvi, kasneje, pri višjih vrednostih k, 
pa se razlika zmanjšuje, kar pomeni, da pojema vpliv gručavosti. Kako 
daleč sega vpliv gručavosti, je odvisno od velikosti gruč. Tretjič, rezultati 
simulacije na modelu s pravokotno razmestitvijo dreves potrjujejo prejšnjo 
domnevo, da so začetni razmiki pri varianti točka-drevo veliko manjši od 
razmikov pri varianti drevo - drevo (tu je pivi razmik enak manjši stranici 
166 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
pravokotnika). Zanimivo je še to, da se razmiki pri varianti točka-drevo s 
povečevanjem k približujejo vrednostim razmikov pri naključni razmestitvi 
dreves. To velja tudi za drugačne oblike razmestitve, kajti pri neki dovolj 
veliki oddaljenosti (dovolj veliki vrednosti k) bi se razmiki rk, ne glede na 
obliko m način razmestitve, med seboj izenačili. Edino za pravilno 
razmestitev dreves to povsem ne drži, kajti tu je lahko nekaj povprečnih 
razmikov enakih, tako da se povečujejo stopničasto. 
Na sliki 2 so prikazane teoretične velikosti razmikov pri naključni 
razmestitvi enot glede na gostoto sestoja (Niha) in glede na zaporedno 
številko razmika. Ta graf je dan kot pripomoček pri morebitnih grobih 
primerjavah, kadar nam natančne vrednosti razmikov niso potrebne. 
,cu 
25 
ZB 
15 
10 
5 
'. 1' sf -------=====:, 
\0 H:10 1s0 200 2s0 300 350 400 -1s0 s00 sse see 
Slika 2: Krivulje povprečnih vrednosti razmikov rk v odvisnosti od gostote 
sestoja 
Figure 2: Mean distance values rk for tbe Poisson forest according to the stand 
density (Niha) 
3. VARIANCA RAZMIKOV 
Teoretično 
izračunamo 
vrednost variance 
iz razmerja med 
razmikov cr2r1, 
kvadratično in 
cr2r2, cr2r3, 
aritmetično 
.... cr2rk 
sredino. 
lahko 
Velja 
167 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
namreč, da je povprečje kvadratov enako vsoti variance in kvadrata 
povprečja: 
in 
Z upoštevanjem enačb (2.6) in (2.7) dobimo: 
o-2rk = k/µ,.(1/1t-k.((2k)!)/(2k.k!)2) 2 
(3.1) 
(3.2) 
(3.3) 
Enačbo (3.3) lahko poenostavimo, če upoštevamo, da je kvadrat aritmetične 
sredine mogoče podati kot a2k/µ, 
(glej enačbo 2.6): 
Varianco prvih razmikov cr2r1 lahko izračunamo tudi iz enačbe: 
in 
ali 
cr2rt = (4-n)/(4µ,n) 
(3.5) 
(3.6) 
(3.7) 
V enačbi (3.4) je varianca izražena v obliki razmerja do gostote (N/P). 
Lahko pa jo prikažemo tudi v obliki deleža od kvadrata povprečnega 
razmika rk, če upoštevamo, da je 
Od tod dobimo varianco kot: 
(3.8) 
Po enačbi (3.8) izračunane vrednosti variance zaporednih razmikov glede na 
velikost razmika so prikazane grafično na sliki 3. 
168 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
v,,.,,., 
50 2 3 
45 
40 
35 
s 
39 
6 
25 
7 
28 B s 
15 
IB 
5 
B 
B s IB 15 2B 25 
pol111er(r) 
Slika 3: Variance zaporednih razmikov (cr\k) glede na velikost razmika rk 
Figure 3: T/1e ratio between rk and cr2r in tbe Poisson forest 
Če upoštevamo, da je µ = N/10000 in če v enačbah (3.4) in (3.8) 
izračunamo vrednost konstante po razmikih, dobimo za posamezne razmike 
(k) vrednosti, ki so navedene v preglednici 3. 
Preglednica 3:Teoretične vrednosti variance glede na gostoto N in razmik rk 
Table 3:Theoretical values of the cr2P accordiIJg to the stand density (Niha) and 'k 
k Varianca rk Varianca rk Koef. var 
(3.4) (3.8) (l00cr/r) 
l 683.0988/N 0.2732395*r21 52.3 
2 741.1975/N 0.1317685*r2„ 36.3 
3 760.2340/N 0.0864978*r21 29.4 
4 769.5043/N 0.0643243*r2 .1 25.4 
5 774.9605/N 0.0511837*r2,; 22.6 
6 778.5476/N 0.0424966*r2r-. 20.6 
7 781.0831/N 0.0363280*r2'7 19.1 
8 782.9714/N 0.0317223*r2R 17.8 
9 784.4281/N 0.0281528*r2o 16.8 
169 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Iz preglednice 3 je razvidno, da je varianca pri pivem razmiku nekoliko 
nižja kot pri preostalih. Druga značilnost je, da se od razmika do razmika 
rahlo povečuje. Delež variance od kvadrata razmika pa se od razmika do 
razmika zmanjšuje, kar najbolj nazorno kaže koeficient variacije. Z vidika 
praktične uporabe je pomembno še to, da se variabilnost od 6. razmika 
naprej le počasi zmanjšuje. Teoretična vrednost koeficienta variacije je 
odvisna samo od zaporednega razmika. 
Iz dane preglednice 3 in enačbe (3.4) lahko nadalje ugotovimo, da se 
varianca z gostoto enot zmanjšuje. Torej je tu razmerje med povprečno 
gostoto in varianco drugačen kot pri Poissonovi porazdelitvi površinic z O, 
1, 2, 3, ... n enotami. Tu je varianca števila enot po površinicah enaka 
povprečni gostoti enot. Razmerje med varianco in povprečjem je· tako mera 
za presojo o načinu in obliki razmestitve enot. Če je varianca večja od 
povprečja, je porazdelitev gručasta, v nasprotnem primeru pa enakomerna, 
ne v enem in ne v drugem primeru pa ni naključna. Poseben problem pri 
odkrivanju oblike je izbira prave velikosti površinice, kajti od tega je 
odvisna tako porazdelitev površinic kot tudi velikost variance. Glede na to, 
da je varianca razmikov pri majhni gostoti večja od aritmetične sredine 
razmikov, pri visoki gostoti pa manjša, bi bilo zanimivo izračunati, pri 
kakšni gostoti oziroma pri kolikšnem številu dreves na hektar sta varianca 
in sredina enaki. Enaki sta takrat, kadar je 
(3.9) 
Če iz te enačbe izrazimo gostoto µ, (µ=N/10000) oziroma število enot na 
hektar, dobimo: 
N = 10000((2k.k!)2.(1/n-a2k/(2k)!)2 (3.10) 
Z izračunom N po tej enačbi dobimo za posamezne razmike naslednje 
vrednosti: 
k 2 3 4 5 6 7 8 9 
N 186.6 97.7 65.8 49.5 39.7 · 33.1 28.4 4.8 22.1 
Izenačenje pri k= 1 lahko izračunamo tudi iz enačb (3.7) in (3.8): 
170 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
N(k=I) = 2500(4/n-1)2 (3.11) 
V preglednici 4 so rezultati preizkusa, ki smo ga opravili na modelih 
Poissonovega gozda s površino 20 ha po varianti točka - drevo. Število 
vzorcev - število naključno izbranih točk ali centrov (n) je bilo enako 
številu dreves znotraj okvira izbora (širina roba je variirala v odvisnosti od 
gostote sestoja). Preizkus smo izvedli zato, da bi preverili veljavnost enačbe 
(3.10) in ugotovili, v kolikšni meri so dobljene vrednosti lahko skladne s 
pričakovanimi. 
Preglednica 4: Preizkus koincidence povprečja in variance (rk=cr2r) na 
modelih gozda 
Table 4: The test of the coincidence bctween rk and <52 r (rk = cr:9 on the 
model of Poisson forcst 
k N N/ha n rk cr2rk 
1 3733 187 3385 3.711 3.777 
2 1953 98 1685 7.718 7.941 
3 1315 66 1073 11.374 11.184 
4 990 50 737 15.735 15.500 
5 793 40 554 19.158 17.412 
6 662 33 424 23.895 23.379 
7 568 28 357 29.119 27.823 
8 497 25 284 32.177 33.485 
9 442 22 220 35.708 28.771 
Dobljene vrednosti se dobro ujemajo s teoretičnimi, zlasti pri večji gostoti. 
Pri majhni gostoti je zaradi večje variabilnosti ravnotežje bolj labilno. Sicer 
pa dobimo pri vsakem ponovnem preizkusu nekoliko drugačne rezultate, kar 
je spričo naključnega izbora centrov povsem logično. Pri ponovljenih 
poskusih smo namreč dobili enkrat večjo skladnost pri enem, drugič pa pri 
nekem drugem razmiku. 
Zastavlja se vprašanje, kakšne so vrednosti variance razmikov pri že 
obravnavanih treh različnih oblikah razmestitve dreves? Odgovor na to 
vprašanje bomo skušali poiskati iz rezultatov že omenjene simulacije na 
171 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
modelnih sestojih, kajti hkrati z izračunom povprečnih razmikov smo 
izračunali tudi njihovo varianco. 
Preglednica 5: Varianca razmikov (cr2rk) glede na obliko in način 
razmestitve dreves 
Table 5: Tbe a 2r of the rk according to the spatial pattern of trees (cluster, 
regular, random) by booth distance metbods (point-tree, tree-tree) 
Razmestitev dreves 
Razmik a) _gručasta b) pravokotna c) naključna 
(k) (0-d) (d-d) (0-d) (d-d) (0-d) (d-d) 
1 4.947 0.489 0.307 0.002 1.039 0.999 
2 5.428 1.087 0.155 0.000 1.100 1.084 
3 5.798 1.986 0.133 0.002 1.138 1.115 
4 6.163 2.916 0.143 0.000 1.157 1.123 
5 6.509 3.985 0.152 0.002 1.157 1.139 
6 6.812 5.329 0.112 0.001 l.168 1.136 
7 7.042 6.228 0.087 0.000 1.154 l.137 
8 7.146 6.701 0.061 0.000 1.151 1.148 
9 7.212 6.248 0.070 0.000 1.164 1.162 
n 9172 8582 9196 8050 12760 12026 
Na nek način presenetljiva je zlasti velika varianca razmikov pri gručasti 
razmestitvi dreves in to pri obeh variantah. Z izjemo prvega razmika pri 
varianti drevo-drevo je povsod drugod večja od povprečnih razmikov (glej 
preglednico 2), čeprav bi pričakovali, da bo pri gostoti 683 dreves na 
hektar že veliko manjša od povprečja. 
Variabilnost razmikov pri gručasti razmestitvi dreves je torej lahko veliko 
večja 'kot pri naključni razmestitvi. V našem primeru je šlo za primer 
pretirane gručavosti, zato je tudi variabilnost tako velika. 
Varianca razmikov pri pravilni razmestitvi dreves je pri varianti točka -
drevo majhna. Za razliko od drugih dveh oblik razmestitve se od prvega 
razmika naprej zmanjšuje. Varianca razmikov pri varianti drevo-drevo bi 
morala biti tu nič, drugačna vrednost je samo posledica zaokroževanja 
koordinat dreves. 
172 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
4. METODA RAZMIKA V GOZDARSTVU 
Metodo razmika v gozdarstvu bi lahko opredelili kot eno od številnih 
inventurnih metod. Razvita je bila z namenom, da bi z njo ocenjevali lesno 
zalogo sestojev na temelju ocene gostote ali pa temeljnice dreves. 
V gozdarstvu je že dolgo v rabi metoda prostorskega oziroma površinskega 
lociranja dreves. Zato ni čudno, da je v literaturi, ki obravnava oblike 
porazdelitve enot v populacijah, veliko primerov prav s področja gozdarstva. 
Vendar tega pred pojavom računalnikov ni bilo mogoče v celoti izkoristiti, 
saj je vsak preizkus zahteval veliko zamudnega računananja. Mogoče je tudi 
v tem vzrok, da so gozdarji pri obravnavi metode razmika izhajali iz 
drugačnih izhodišč, ki so bila včasih tudi teoretično dvomljiva. 
V strokovni literaturi s področja gozdarstva in v praksi je znanih več 
različnih variant metode razmika. KORF (1972) jih uvršča v dve skupini 
(slika 4). V prvo skupino uvršča vse tiste načine, ki temeljijo na 
ugotavljanju prvega razmika - r 1, pri čemer gre za: 
a) izmero razmikov med drevesi v liniji, 
b) izmero vseh razmikov med drevesi v obliki stranic trikotnikov, 
c) izmero razmikov od naključno izbranega drevesa do njegovega najbližjega 
soseda, 
d) izmero razmikov od naključno izbrane točke do najbližjega drevesa. 
V drugo skupino uvrsca Korf metode, ki temeljijo na korelaciji med 
povprečnim razmikom r in razmiki do k-tih dreves, pri čemer so razmiki 
merjeni: 
e) od naključno izbranega drevesa do k-tega soseda, 
f) od naključno izbrane točke do k-tega drevesa 
o 
o 
o 
o 
o o 
,4 1 
o o 
o o 0 , o 
1 
o o 
o 
o 
o o 
o 
o 
C 
o 0. o 00 o 
o o o 
o ·o o 
o o o o o 
o 
o o o o 
O o O Oo o 
o o l.!. 
-~··, o 
o o 
o o o 
o o o o o 
o o o o 0o o o o o o 
173 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
1 r. ' 
o o 
o o o o 
o o o o o o 
~o oE)o 
o o o o 
o o o o 
00 o o 00 0 00 o o 
o o { 
o o o o Slika 4: Načini ugotavljanja 
o o o gostote dreves na osnovi o 
o razmika r1 in rk o 
o o o Figure 4: Methods for estimating 
o o 
o o o sta11d de11sity 011 the dista11ce basis 
00 o o 0 (KOR.F 1972) 
Podobno opredelitev najdemo tudi pri drugih avtorjih. Po dosedanjih 
izkušnjah naj bi bila prva skupina metod bolj prikladna za rabo na 
posnetkih iz zraka, druga pa za neposredno rabo v gozdu. 
Za oceno števila dreves na enoto površine izhaja Korf iz osnovne enačbe 
za razmik r=✓(P/N) in od tod N=P/r2, ki pa vsebuje na račun zaporedne 
številke razmika in oblike razmestitve dreves še koeficient f, ali: 
(4.1) 
in za število dreves na 1 ha: 
(4.2) 
174 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Večina avtorjev je ugotavljala vrednost F za razmik r2 pri varianti drevo -
drevo, kar pomeni, da so ugotavljali povprečni razmik od centralnega 
drevesa do njegovega drugega najbližjega soseda. Vrednosti konstante F so 
prikazane v preglednici 7 za vsakega avtorja posebej. HAUSBURG (1962) 
je dobil pri r3 =4.5 m vrednost F= 10854. Pri tem polmeru naj bi bila 
vrednost F najvišja, za kar pa, kot bomo videli kasneje, ni pravega razloga. 
Priesol, ki ga navaja Korf med drugimi avtorji, definira srednji razmik· kot 
aritmetično sredino stranic mnogokotnika, ki tvorijo najkrajše razdalje do 
sosednjih dreves. S poizkusi je bilo ugotovljeno, da je tako dobljeni srednji 
razmik zelo blizu teoretičnemu trikotnemu razmiku. Med razmikom r3 in 
povprečnim razmikom pri trikotni razmestitvi dreves naj bi obstajala zelo 
tesna korelacija in sicer 0.992. 
To pomeni, da je mogoče oceniti povprečni razmik pri trikotni razmestitvi 
kar na temelju vrednosti r3. Po Priesolu naj bi za število dreves na 1 ha 
veljala enačba: 
N = 11554/r31.99885 (4.3) 
Oglejmo si, kaj bi dobili, če bi upoštevali pri izračunu števila dreves 
Thompsonovo enačbo N=(100*ak/rk)2 za r3: 
N (100*0.9375/r3)
2 = 8789/r23 (4.4) 
Razlika v velikosti konstante med enačbo (4.3) in enačbo (4.4) je očitna. 
Še bolj nazorno se kaže v preglednici 6, kjer je izračunano število dreves 
(varianta drevo - drevo) po eni in drugi enačbi pri različnih velikostih r3• 
Preglednica 6: Število dreves (N/ha) na temelju velikosti r3 
Table 6: Stand density estimates (Niha) according to tbe values of r3 
Avtor Razmik r3 (m) 
2 4 6 8 
Priesol ( 4.3) 2891 723 322 181 
Thompson ( 4.4) 2197 549 244 137 
175 
Puhek, V.: Preizkus ve/javnosti metod ... 
Ob tako velikih razlikah se zastavlja vprašanje, katera od enačb je prava? 
V nadaljevanju bomo skušali na to odgovoriti, na tem mestu pa naj 
povemo samo to, da ima Priesolova enačba pozitivno sistematično napako, 
medtem ko daje Thompsonova enačba pri nenaključno enakomerni 
razmestitvi dreves, po varianti drevo - drevo, nekoliko prenizke ocene. To 
je razvidno tudi iz preglednice 7, v kateri je izračunana gostota na osnovi 
rz, 
Preglednica 7: Število dreves (Niha) na temelju razmika r2 (varianta d-d) 
Table 7: Stand density estimates 011 the basis of r2 with tree-tree distance samp/ing 
method 
Razmik r2 (m) 
Avtor F 2 4 6 8 
Bauersachs 8500 2125 531 236 133 
Kohler 8464 2116 530 235 132 
Weck 7885 1971 493 219 123 
Essed 8200 2050 513 228 128 
Stohr 7960 1990 498 221 124 
Thomoson 5625 1406 352 156 88 
Oglejmo si še rezultate preizkusa ocenjevanja gostote na posnetkih sestojev, 
ki so prikazani v preglednici 8. Gostota teh sestojev je bila zelo različna, 
od 389 do 4995 dreves na hektar. 
176 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Preglednica 8: Ocene števila dreves na posnetkih gozdov z različno gostoto 
po varianti drevo-drevo 
Table 8: The stand density estimates by some authors on the true data from 
measured sta11ds accordillg to the value of r2 (tree-tree distance met/Jod) 
Ocena gostote (N/ha) 
Bauer- Thompson 
Sestoj N/ha r2 (m) n sachs Weck r2 r6 
B. reber 16 389 4.252 6805 470 436 311 371 
B. reber 17c 648 3.171 5516 845 784 559 617 
Pokliuka 53e 683 2.954 12081 974 904 645 657 
B. reber 17d 688 3.003 6030 943 874 624 671 
Sremska M. b 1055 2.501 11133 1359 1260 899 991 
B. reber 17a 1348 2.107 11882 1915 1776 1267 1277 
B. reber 17b 1432 2.020 10026 2083 1932 1379 1399 
Sremska M. a 4995 1.170 9734 7424 6887 4111 4774 
Sestoj Pokljuka je sestoj smreke, sestoji z Brezove rebri · so sestoji bukve, 
sestoj iz Sremske Mitrovice pa je sestoj hrasta doba, posnet dvakrat, v 
presledku 15 let. Drugih značilnosti teh sestojev tu ne bomo navajali, ker 
za prikazano primerjavo ocen niso pomembne. n je število vzorcev - število 
dreves znotraj okvira izbora. 
V preglednici 8 so ob Thompsonu izračunane gostote samo še po 
Bauersachsu in Wecku, ki imata največjo oziroma najmanjšo vrednost 
konstante. Ocene gostote po ostalih avtorjih (iz preglednice 7) bi bile nekje 
vmes, zato za primerjavo niso toliko zanimive. 
Iz dobljenih rezultatov je mogoče ugotoviti več zanimivih dejstev. Prvič, po 
Bauersachsu in po Wecku dobimo previsoko oceno gostote. Odstotek 
napake variira od sestoja do sestoja, vendar ne v odvisnosti od gostote, 
ampak verjetno v odvisnosti od stopnje razlike med dejansko in naključno 
razmestitvijo dreves. Drugič, Thompsonova enačba daje pri varianti drevo -
drevo prenizke ocene, vendar je razlika manjša kot pri drugih avtorjih. 
Tretjič, s primerjavo ocen, dobljenih na temelju r2 in r6, je mogoče z 
gotovostjo trditi, da je ocenjevanje gostote na temelju povprečnih razmikov 
177 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
do najbližjih sosedov (r2, r3, ••• ) v pogojih nenaključne. razmestitve dreves 
nezanesljivo. 
KRAMER (1982) navaja za število dreves splošno enačbo v obliki 
N=P/a2 (4.5) 
P v tej enačbi je površina 1 ha, medtem ko je a povprečna razdalja od 
točke do k-tega drevesa ali pa povprečna razdalja od drevesa do njegovega 
k-tega soseda. Glede na to sta navedeni dve enačbi za izračun a za k-to 
povprečno razdaljo in sicer: 
a) varianta točka drevo: 
(4.6) 
b) varianta drevo - drevo 
(4.7) 
Veljavnost teh enačb smo preizkusili na posnetku dejanskega sestoja z 
gostoto N/ha=683 (Pokljuka) in na modelu Poissonovega gozda z enako 
gostoto. Rezultati preizkusa so razvidni iz preglednice 9. 
178 
Zbornik gozdarstva 1i1 lesarstva, 42 
Preglednica 9: Oce,na gostote po enačbi ( 4.5) za sestoj Pokljuka in za 
Poissonov gozd (N/ha=683) 
Table 9: The stand density estimation (Niha) by equation (4.5) for the true 
(Pokljuka) and Poisson forest (a: point-tree, b: tree-tree distance method) 
Razmik Pokliuka Poisson 
k varianta rk cr2rk N rk cr2rk N 
1 a 1.863 0.959 459 1.936 1.039 425 
b 1.974 0.829 1225 1.910 0.999 1309 
2 a 2.817 0.995 602 2.869 1.100 580 
b 2.954 0.749 912 2.854 1.084 977 
3 a 3.543 0.969 634 3.588 1.138 618 
b 3.685 0.766 820 3.574 1.115 872 
4 a 4.143 0.951 649 4.189 1.157 635 
b 4.243 0.737 796 4.181 1.123 819 
5 a 4.671 0.930 657 4.710 1.157 646 
b 4.788 0.784 764 4.708 1.139 790 
6 a 5.156 0.915 659 5.183 1.168 652 
b 5.281 0.773 742 5.181 1.136 771 
7 a 5.597 0.892 660 5.610 1.154 657 
b 5.715 0.853 731 5.619 1.137 756 
8 a · 6.010 0.905 661 6.010 1.151 661 
b 6.124 0.841 721 6.021 1.148 746 
9 a 6.382 0.922 664 6.389 1.164 663 
b 6.493 0.904 717 6.400 1.162 738 
Po prvi varianti dobimo prenizko, po drugi pa previsoko oceno. V pogojih 
naključne razmestitve dreves navedeni enačbi ne dajeta pravilnih ocen 
gostote, iz česar lahko sklepamo, da teoretično nista veljavni. Pač pa 
dobimo točno oceno gostote, če namesto aritmetične sredine uporabimo 
kvadratično sredino in namesto k ± 0.5 dreves v obeh primerih k dreves 
ali: 
(4.8) 
Če po tej enačbi izračunamo gostoto pri k=6 za varianto drevo-drevo na 
modelu Poissonovega gozda (r=S.181 in cr2 =1.l36), dobimo vrednost N=683. 
Ocena gostote je torej enaka dejanski gostoti, kar pa ni nič nenavadnega, 
179 
Puhek, V.: Preizkus . veljavnosti metod ... 
saj je to v bistvu enačba (2.13), ki daje, vsaj za Poissonov gozd, pravilno 
oceno gostote. 
KOHLER (1951) je za izračun gostote uporabil povprečje dveh razmikov in 
sicer razmik do drugega in razmik do tretjega drevesa pri metodi drevo -
drevo. Število dreves na 1 ha naj bi bilo potem: 
N = 10000/r2 
(r=(Lrzfn+Lr:Jn)/2) 
(4.9) 
Preizkusimo še to enačbo na podatkih iz Poissonovega gozda z gostoto 683 
dreves na 1 ha: 
Poisson, varianta drevo - drevo: 
in 
r2=2.854 (N/ha=691) 
r3=3.574 (N/ha=688) 
N = 10000/r2 = (100/3.214)2 = 968 
Ocena je previsoka, kar kaže, da tudi ta enačba v pogojih naključne 
razmestitve enot ne daje pravilnih ocen. Poglejmo, kaj bi dobili, če bi tudi 
tu uporabili enačbo (2.13) in upoštevali povprečje kvadratov obeh razmikov: 
cr2r2=L084, (2.854
2+ 1.084)=9.229 
cr2r3=1.115, (3.5742+ 1.115)=13.888, in 
N = 10000.(2+3)/2/(rcr2) = 25000/(n.l 1.5585) = 688 
180 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Ta ocena se le malo razlikuje od dejanske gostote. Je nekoliko previsoka, 
to pa zato, ker sta že individualni oceni nekoliko previsoki. Kaže, da je 
treba pri uporabi povprečja dveh razmikov jemati povprečje kvadratov 
razmikov in ne povprečja linearnih vrednosti. 
5. METODA 6 DREVES 
Metoda 6 dreves je metoda izbranega števila dreves (v splošnem metoda k 
dreves). Razvil jo je Prodan (1968) kot metodo za hitro in enostavno 
ocenjevanje temeljnice sestojev. 
Osnova za oceno temeljnice na posameznem stojišču je polmer kroga, ki je 
doloc~en z razmikom od središča do šestega - središču najbolj oddaljenega 
drevesa (slika 5). 
o o 
o o o o 
o o o 
~ o o 
0~ 
o 
o 
o o 
o o o o Slika 5: Metoda 6 dreves 
o o o 00 o Figure 5: The six trees sample method o 
Znotraj tega kroga s polmerom r6 naj bi bilo 5+0.5 dreves oziroma 
njihovih temeljnic. Oceno temeljnice na 1 ha pa dobimo potem kot: 
(5.1) 
181 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Oceno za povprečno temeljnico dreves dobimo kot povprečje posameznih 
ocen: 
(5.2) 
Če bi po tej metodi ocenjevali namesto temeljnice število dreves na 1 ha, 
bi dobili enačbo: 
(55000/(n:r26) 1 + 55000/(n:r
2
6)z+55000/(n:r26)J + ... 
(5.3) 
Če si sedaj ogledamo Eberhrardtovo enačbo (2.8) oziroma enačbo (2.16), 
zlahka ugotovimo, da je enačba (5.3) drugačna samo v tem, da računa s 
(k-0.5) dreves in ne s (k-1 ), kar pri metodi 6 dreves pomeni 5.5 namesto 
5 dreves. Enaka je tudi enačbi, ki jo navaja IDRNER (1978), namreč: 
N :::: ~(55000/(nr26))/n (5.4) 
Z upoštevanjem Eberhardtove enačbe (2.16) bi bila enačba za oceno 
povprečnega števila dreves na 1 ha pri metodi 6 dreves takale: 
in po Prodanu (Hirnerju): 
N = 55000/n:.L(1/r26)/n (5.6) 
Eberhardtovo in Prodanovo enačbo srno preizkusili na modelih Poissonovega 
gozda in na posnetkih dejanskih sestojev po varianti točka - drevo pri 
različni gostoti dreves. Gre za iste sestoje, kot so v preglednici 8, s tem da 
je ponekod dodan še modelni - Poissonov gozd. 
Iz rezultatov preizkusa v preglednici 10 je mogoče sklepati, da daje 
Eberhardtova enačba v primerjavi s Prodanovo boljše ocene. Pri izračunu 
števila dreves po metodi 6 dreves bi morali upoštevati 5 in ne 5.5 dreves. 
182 
Zbornik gozdarstva iI1 lesarstva, 42 
Metoda v dosedanji verziji ima pozitivno sistematično napako, ki znaša v 
Poissonovem gozdu 100*5.5/5=11 %, medtem ko je ta napaka v sestojih z 
nenaključno razmestitvijo dreves manjša. Nasprotno pa dobimo po 
Eberhardtu pri naključni razmestitvi pravilne, pri nenaključni pa nekoliko 
prenizke ocene. 
Preglednica 10: Ocene števila dreves po Prodanu in po Eberhardtu (točka­
drevo, k=6) 
Table 10: The sta11d de11sity estimatio11s by the poi11t-trce distance metbod on thc 
basis of r6 (kz=6) 
Ocena Niha 
Sestoj Niha Prodan Eberhardt 
(k-0.5) dif % (k-1) dif % 
B. reber 16 389 410 + 6.2 373 - 4.1 
B. reber 17c 648 688 + 6.2 625 - 3.5 
Pokljuka 53e 683 732 + 7.2 665 • 2.6 
Poisson 683 750 + 9.8 682 - 0.1 
B. reber 17d 688 746 + 8.4 678 - 1.5 
Sremska M. b 1055 1130 + 7.1 1027 - 2.7 
B. reber 17a 1348 1452 + 7.7 1320 - 2.1 
Poisson 1348 1488 +10.4 1353 + 0.4 
B. reber 17b 1432 1556 + 8.7 1415 - 1.2 
Sremska M. a 4995 5337 + 6.8 4852 - 2.9 
Poisson 4995 5476 + 9.6 4978 - 0.3 
Razlika med oceno in pravo vrednostjo je tem večja, čim bolj ima sestoj 
pravilno razmestitev dreves. To bi lahko sklepali iz rezultatov preizkusa na 
modelu s pravilno (pravokotno) razmestitvijo, ki so prikazani v preglednici 
11. Za primerjavo so tu prikazani še rezultati ocenjevanja na modelu z 
močno poudarjeno gručasto razmestitvijo dreves. Gre za dve povsem 
nasprotni obliki razmestitve, zato so rezultati še toliko bolj zanimivi. 
183 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Preglednica 11: Ocene števila dreves po Eberhardtu v modelnih sestojih z 
ekstremno različno razmestitvijo dreves (N/ha=683) 
Table 11: T/Je stand density estimations (N/ha=683) by Eber/Jardt on t/Je models 
of two opposite nonrandom spatial pattems (regular, cluster) 
Oblika razmestitve 
Razmik pravokotna (mreža) gručasta 
k Niha dif % N/ha dif % 
2 476 - 30.3 967 + 41.6 
3 542 - 20.6 1127 + 65.0 
4 646 - 5.4 1192 + 74.5 
5 578 - 15.4 1181 + 72.9 
6 642 · 6.0 1175 + 72.0 
7 651 • 4.7 1127 + 65.0 
8 639 - 6.4 1062 + 55.5 
9 646 - 5.4 974 + 42.6 
Razlike med ocenjenim m dejanskim številom dreves so velike. Bolj kot 
sama velikost razlik pa je zanimivo to, da je pri pravilni razmestitvi dreves 
napaka v oceni negativna in da se od razmika do razmika naglo zmanjšuje, 
medtem ko je pri gručasti razmestitvi pozitivna in se do razmika, ki bi bil 
za prakso še zanimiv, ne zmanjša. Glede na to bi lahko sklepali, da 
metoda izbranega števila dreves v primeru gručaste razmestitve dreves ne 
pride v poštev. 
Po rezultatih, navedenih v preglednici 11, bi lahko sklepali, da je 
razmestitev dreves v sestojih iz preglednice 10 nekje vmes med naključno in 
enakomerno. 
Če ob tem upoštevamo še dejstvo, da povsem pravilnih oblik razmestitve v 
naravnih sestojih ni, potem bi morala biti napaka ocene po Eberhardtovi 
enačbi za k=6 v povprečju manjša od -6 %. 
Pri gručasti razmestitvi dreves tudi enačba N=10000.k/(n:(r2k+cr2rk)) ne daje 
dobrih ocen. Zaradi velike variabilnosti razmikov je vsota r2k+cr\k 
prevelika, ocena pa zato prenizka. 
184 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Himer in Kramer navavajata za oceno povprečnega števila dreves na osnovi 
r6 enačbo: 
(5.7) 
Po tej enačbi bi dobili točno oceno gostote, če bi namesto 5+0.5 dreves 
upoštevali 6 dreves. Uporablja namreč k:vadratično sredino, za katero smo 
že prej ugotovili, da je njena uporaba pravilna. Dejansko gre tu za tehtano 
aritmetično sredino, v kateri so uteži kvadrati polmerov do 6. drevesa. 
Za oceno temeljnice po tej metodi je v enačbi (5.1) upoštevana temeljnica 
5+0.5 dreves. Glede na ugotovitev, da je treba pri oceni števila dreves 
jemati 5 dreves, bi morali analogno tudi pri oceni temeljnice jemati samo 
temeljnico 5 dreves. Vendar je bilo treba pravilnost te domneve preveriti, 
prav tako tudi veljavnost enačbe za izračun povprečne temeljnice na 1 ha: 
(5.8) 
Rezultati preizkusa so prikazani v preglednici 12. Preizkus je bil izveden na 
podatkih sestoja Pokljuka. Teoretično veljavnost enačbe (5.8) pa smo 
preizkusili še na modelu Poissonovega gozda, ki smo mu dodelili enako 
strukturo dreves po premerih, kot jih je imel sestoj Pokljuka. V preglednici 
so poleg temeljnic prikazane še ocene števila dreves, da bi lahko ugotavljali 
morebitno zvezo med natančnostjo ocene temeljnice in natančnostjo ocene 
števila dreves. 
Preglednica 12: Ocena temeljnice (G/ha) po enačbi (5.8) (N/ha=683, 
G/ha=56.5 m2) 
Table 12: The estimation of basal arca (Giba) for tbc trne valuc 56.5 m2 by 
equation (5.8) 
Sestoj Razmik (k) 
2 3 4 5 6 7 8 9 
Pokljuka 
N/ha 649 664 670 669 672 673 677 679 
G/ha 53.9 55.1 55.4 55.5 55.6 55.7 56.0 56.3 
Poisson 
N/ha 677 683 679 679 676 677 684 681 
G/ha 54.4 55.8 55.6 55.9 55.8 55.8 56.3 56.2 
185 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Ocene so v splošnem nekoliko prenizke, vendar smo pri ponovitvah poskusa 
dobili tudi previsoke, tako da je mogoče trditi, da daje enačba (5.8) dobre 
ocene gostote in da nima sistematične napake. 
S primerjavo ocen za število dreves in temeljnico pa lahko ugotovimo, da 
ob dobri oceni števila tudi ocena temeljnice ne more biti slaba. 
6. METODA 2x6 DREVES 
Metodo 2x6 dreves je razvil HOČEVAR (1984) kot alternativno metodo 
prej opisani metodi 6 dreves, ki je dajala previsoke ocene, zlasti pri 
gručasti razmestitvi dreves. 
o o I 
o o ..... ~. o 
o , .. •·····'·········1 ~-····~··...... o 
/ o, \ o 
i ~ 
' ' ! o :
0 i o o 1 
\ i 
\ o / o ·•. ... ·•.. o ...... o 
o 
o o 
.... •······ 
o 
o o 
o 
o 
o 
o 
Slika 6: Metoda 2x6 dreves 
Figure 6: The two six trees sample 
method 
Pri metodi 2x6 dreves gre za izbor 2x6 dreves na dveh polkrožnih ploskvah 
z istim centrom. Polmera ploskev sta določena z razdaljo od centra do 
mejnega, po oddaljenosti 6. drevesa. Za razliko od metode 6 dreves imamo 
tu dva vzorca - dve oceni za število dreves in za temeljnico. 
Metode 2x6 dreves ni mogoče uvrstiti v nobeno od znanih variant metod 
razmika. Tu ni jasno, katero po vrsti bi bilo drevo, ki določa polmer 
polkroga, če bi namesto polkroga vzeli cel krog. Ta nejasnost velja za oba 
polkroga, le s to razliko, da za mejno drevo na manjšem polkrogu lahko 
trdimo, da po oddaljenosti ne more biti dlje kot 12., medtem ko za mejno 
drevo na večjem polkrogu še tega ne moremo trditi. Kljub tej navidezni 
186 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
nejasnosti je metoda teoretično neoporečna, kar bomo skušali potrditi s 
konkretnimi primeri. 
Za oceno temeljnice na 1 ha z varianto 2xk dreves naj bi veljala enačba: 
(6.1) 
in 
G0 = 10000/(nr\0 /2).((nd
2
10/4+ ... +(nd\k-l)D/4)) = 
(6.2) 
in končno, za povprečno vrednost velja enačba: 
(6.3) 
Veljavnost navedenih enačb smo preizkusili na istih podatkih, kot veljavnost 
enačb za metodo lxk dreves. Rezultati so podani v preglednici 13. Ocene 
se v glavnem skladajo z ocenami, dobljenimi po metodi lxk dreves. 
Preglednica 13: Ocene števila dreves in temeljnice po metodi 2xk dreves 
(N/ha=683,G=56.5 m2) 
Table 13: Tbe stand density and basal area estimations witb tbe 2xk trees sample 
met/Jod 
Sestoj Razmik (k) 
2 3 4 5 6 7 8 9 
Pokljuka 
N/ha 661 655 657 667 668 669 671 672 
G/ha 54.6 54.3 54.3 55.0 55.3 55.4 55.5 55.7 
Poisson 
Niha 682 677 682 679 682 685 683 682 
G/ha 55.5 55.5 56.2 56.1 56.2 56.5 56.3 56.2 
187 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Pri izračunu števila dreves in temeljnice na 1 ha je bilo upoštevanih 2(k-1) 
dreves. Glede na zelo dobre ocene števila in temeljnice pri naključni 
razmestitvi dreves bi se dalo sklepati, da metoda 2xk dreves ob uporabi 
enačb (6.3) in (6.8) nima sistematične napake. 
Analogno enačbi (6.3) bi tudi povprečno oceno gostote dreves na 1 ha na 
stojišču dobili kot povprečje ocen z obeh polkrogov: 
= 20000.(k-l)/(xr\J 
N0 = 10000.(k-l)/(nr2kD/2) = 
= 20000.(k-l)/(xr2ko) 
= 10000.(k-1 )/n.(1/r\L + 1/r\0)) 
Oceno gostote za sestoj dobimo kot povprečje vseh ocen: 
ali 
Za metodo 2x6 dreves tako velja: 
ali 
(6.4) 
(6.5) 
(6.6) 
(6.7) 
(6.8) 
(6.9) 
(6.10) 
Ocena števila dreves po enačbi (6.9) je prikazana v preglednici 13. V 
pogojih naključne razmestitve dreves dobimo po tej enačbi pravilne ocene. 
188 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
V literaturi (ROČEV AR 1984) je za oceno temeljnice dreves na 1 ha pri 
varianti 2x6 dreves navedena tudi tale enačba: 
(6.11) 
kjer je 
in 
S preizkusom smo dobili po tej enačbi prenizke ocene temeljnice, kar je 
razvidno iz preglednice 14, in to kljub temu, da je v enačbi upoštevana 
temeljnica 5 +0.5 dreves. 
Preglednica 14: Ocena temeljnice (G/ha) po enačbi (6.11) (G/ha=56.5 m2) 
Table 14: The basal area estimation by equation (6.11) 
Sestoj Razmik (k) 
2 3 4 5 6 7 8 9 
Pokljuka 39.5 46.8 49.2 50.9 52.0 52.5 53.1 53.6 
Poisson 37.1 44.8 48.2 so.o 51.3 52.2 52.7 53.0 
Razlike med ocenjeno in dejansko temeljnico so velike zlasti na začetku 
(pri k=2, 3, 4, .. ), kasneje se zmanjšajo, tako da pri neki dovolj veliki 
vrednosti k najbrž povsem izginejo. Z vidika praktične uporabe pa to 
"zapoznelo" približevanje ni več pomembno, kajti zaradi težavnega določanja 
k-tega drevesa se moramo zadovoljiti z majhnim številom dreves, to je z 
nižjo vrednostjo k. 
Analogno enačbi ( 6.11) za oceno temeljnice bi za oceno števila dreves na 1 
ha po metodi 2x6 dreves dobili enačbo: 
N = 110000/(nr26L +nr260)/2) (6.12) 
189 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Preizkus na modelu Poissonovega gozda je pokazal, da daje ta enačba 
prenizke ocene in to kljub temu, da upošteva preveliko število dreves (11 
namesto 10). Napaka enačbe je namreč v tem, da ne upošteva dveh 
ločenih vzorcev, temveč jemlje za površino vzorca povprečje površin obeh 
vzorcev. Tako je v tej enačbi upoštevano povprečje kvadratov polmerov 
namesto povprečja reciprokov kvadratov polmerov. 
Glede na izide preizkušenj metode izbranega števila dreves lahko sklepamo, 
da nobena od variant nima sistematične napake (biasa), če le upoštevamo 
prave enačbe in pravo število dreves. Pri naključni razmestitvi dreves dajeta 
obe varianti enako dobre ocene števila in temeljnice dreves. Kljub temu, da 
sta obe varianti enako dobri, pa ima metoda 2xk dreves prednost, ker nam 
daje, zaradi večjega števila dreves, zanesljivejšo oceno strukture sestoja po 
debelini in po drevesnih vrstah. Poleg· tega pa je tu število vzorcev 
podvojeno, kar tudi vpliva na kakovost ocenjevanja, zlasti še v razmerah 
nenaključne razmestitve dreves, ki jo v gospodarjenih gozdovih srečujemo 
povsod. 
Iz opravljenih preizkušenj je nadalje razvidno, da se zanesljivost ocen z 
zaporedim razmikom (k) povečuje, zlasiti na začetku. Pri vrednosti k<4 so 
ocene zaradi velike variabilnosti razmika (glej koeficient vanac1Je v 
preglednici 3 nezanesljive. Sicer pa je ta ugotovitev že dolgo znana in v 
praksi upoštevana, posebno v novejšem času. Kolikor bolj se nek sestoj po 
razmestitvi dreves oddaljuje od naključne razmestitve, tem kasneje - pri 
višjih vrednostih k, dobimo dobre ocene števila in temeljnice. Ocene, 
dobljene na temelju prvih razmikov, so lahko povsem neuporabne. To še 
zlasti velja za ocene gostote iz gručaste razmestitve, kar potrjuje preizkus, 
prikazan v preglednici 15. 
190 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Preglednica 15: Ocene gostote (N/ha=389) iz gručaste razmestitve po 
varianti točka - drevo 
Table 15: The stand density estimations (N/ha=389) by the non-random spatial 
pattern (cluster) with the poin - tree distance method 
Razmik rk crzrk Thompson M1k M2k 
k teor dei teor dei (2.12) (2.13) (2.16) (6.7) 
1 2.54 5.12 1.76 8.86 95 91 - -
2 3.80 5.69 1.91 9.39 174 152 639 678 
3 4.75 6.22 1.95 10.09 228 196 723 699 
4 5.55 6.66 1.98 10.63 270 232 764 737 
5 6.24 7.11 1.99 10.85 299 259 770 736 
6 6.86 7.59 2.00 11.22 318 278 748 703 
7 7.43 8.04 2.01 11.53 333 293 708 657 
8 7.97 8.51 2.01 11.38 341 304 655 608 
9 8.46 9.04 2.02 11.23 341 308 597 558 
Razlike med dejanskim in teoretičnim razmikom so velike le pri začetnih 
razmikih, medtem ko so razlike med dejansko in teoretično varianco velike 
pri vseh razmikih. 
Ocene · po obeh Thompsonovih enačbah so prenizke, ocene po obeh 
metodah k dreves pa previsoke in za prakso povsem neuporabne. 
7 POVZETEK IN SKLEPI 
Metoda razmika je na področju dendrometrije že dolgo znana kot ena od 
inventurnih vzorčnih metod. V praksi ni tako razširjena kot nekatere druge 
metode, čeprav je njena uporaba enostavna in hitra. V preteklosti je bilo 
razvitih več različnih variant te metode, do danes pa so se obdržale samo 
nekatere od njih. Zanimivo je, da so se prve pojavile variante ocenjevanja 
števila dreves na osnovi povprečnih razmikov do prvih dveh ali treh 
najbližjih sosedov. Danes vemo, da so tako dobljene ocene nezanesljive, ker 
so najbolj odvisne od načina in oblike razmestitve dreves. 
191 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Ena od zanimivejših značilnosti v zvezi z razmiki pri naključni razmestitvi 
enot je razmerje med varianco in· srednjo vrednostjo razmika. Razmerje 
med povprečnim razmikom in varianco razmika ni konstantno, ampak se 
spreminja z gostoto. Pri majhni gostoti je varianca veliko večja od 
povprečja, s povečevanjem gostote se zmanjšuje, nakar se pri neki določeni 
gostoti izenači s povprečjem, potem pa je njena vrednost manjša od 
povprečja. Koeficient variacije se od razmika do razmika zmanjšuje; sprva 
hitro, od 6. razmika naprej pa počasi. 
Druga značilnost v zvezi z varianco razmikov je, da je varianca znotraj ene 
gostote skoraj enaka pri vseh zaporednih številkah razmikov. Izjema je 
samo l. razmik, kjer je nekoliko nižja. 
Pri nenaključni razmestitvi dreves je razmerje med razmikom in varianco 
odvisno od oblike razmestitve dreves. Kakšno je lahk;o to razmerje, je 
razvidno iz obravnavanih primerov. Prva razlika je že v povprečni velikosti 
l. razmika pri varianti drevo • drevo. Zaradi velikih dimenzij dreves je 
varaibilnost prvega razmika navzdol omejena, kar ima za posledico, da je 
povprečje prvih razmikov večje od pričakovanega. V Poissonovem gozdu, 
kjer so enote brez dimenzije, je variabilnost prvega razmika navzdol 
neomejena. Drugi vzrok za razlike je vpliv gručaste razmestitve, ki se kaže 
v zmanjšanih razmikih do najbližjih sosedov, manjša od pričakovane pa je 
tudi varianca. Učinek enakomerne • mrežaste razmestitve dreves na prve 
razmike in na varianco pa je prav nasproten. Prvi razmiki so tu večji od 
pričakovanih, medtem ko je varianca razmikov majhna. 
Stopnja ujemanja ocen z dejanskimi vrednostmi ni odvisna od gostote 
sestoja, temveč bolj od velikosti razlike med dejansko in naključno 
razmestitvijo dreves. Kolikor bolj poudarjena je gručavost, toliko slabše 
ocene so. Stopnjo gručavosti ali stopnjo različnosti dejanske razmestitve 
dreves od naključne • Poissonove razmestitve bi se dalo ugotoviti s 
hkratnim snemanjem razdalj od izbranega stojišča do l. in k.ctega drevesa 
in s snemanjem razdalj od stojišču najbližjega drevesa do njegovega l. in k-
tega soseda. Iz razmerja velikosti teh razmikov in njihovih varianc bi se 
verjetno dalo dobro opredeliti obliko razmestitve dreves in nato popraviti 
dobljene ocene. Seveda je to zgolj domneva, ki jo bo treba še preveriti na 
konkretnih primerih. 
192 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Enačbe, dobljene iz osnovne enačbe za Poissonovo porazdelitev, so temeljne 
enačbe in odpravljajo vse dosedanje nejasnosti v zvezi z razmikom kot 
mero za ocenjevanje gostote in temeljnice dreves. Zanimivo pa je, da 
večina avtorjev s področja gozdarstva teh enačb sploh ne omenja, če pa jih 
že, jih omenjajo nekako mimogrede, medtem ko namenjajo drugim, zvečine 
napačnim enačbam, veliko pozornosti. Sicer je res, da tudi te enačbe v 
pogojih nenaključne razmestitve dreves povsem ne držijo, vendar imajo, za 
razliko od drugih, trdno teoretično podlago. 
V preteklosti je bilo veliko razprav o tem, katera srednja vrednost je za 
izračun povprečne ocene prava. Iz osnovnih treh enačb (2.6, 2.7, in 2.8) je 
jasno razvidno, da je treba pri uporabi enačbe (2.12) vzeti aritmetično 
sredino, pri uporabi enačbe (2.13) kvadratično sredino in pri uporabi enačbe 
(2.14) povprečje reciprokov kvadratov izbranega razmika. Ta enačba je tudi 
edina, po kateri je mogoče dobiti oceno povprečne gostote iz posameznih 
ocen, (N = (N 1 + N2 + N3 + + Nn)/n ), kajti pri preostalih dveh dobimo 
povprečno oceno le na temelju povprečnega razmika. V praksi je problem 
izbire prave srednje vrednosti povezan še s heterogenostjo sestojev, tako da 
je za dobro oceno potrebna tudi predhodna stratifikacija sestoja. Poseben 
problem, ki je pravzaprav vzrok za napake pri uporabi metode razmika, je 
problem števila dreves znotraj kroga z izbranim polmerom r. Prvič, mejno 
drevo, ki je v večini primerov upoštevano s polovično vrednostjo, je treba 
upoštevati bodisi v celoti (v enačbi 2.12 in 2.13), ali pa ga v celoti izpustiti 
(v enačbi 2.14). Dosedanje upoštevanje 0.5 mejnega drevesa nima nikakršne 
teoretične osnove. Ni v zvezi niti z obliko razmestitve niti z gostoto, ampak 
je samo proizvod napačnega sklepanja, da spada v ploskev vse tisto, kar je 
znotraj polmera kroga. S teoretične plati ta polovica drevesa ni toliko 
pomembna, ker se njegov vpliv od razmika do razmika zmanjšuje. Povsem 
drugače pa je pri praktični uporabi, kajti tu je učinek povsem konkreten. 
Pri metodi 6 dreves povzroča pozitivno sistematično napako, ki znaša v 
povprečju 11 % (100*5.5/5). Tu ne gre več za eno od nepristranskih cenilk 
gostote, kajti napaka ostaja, pa četudi število ocen večamo čez vse meje. 
Drugič, iz ugotovitve, da so v pogojih naključne razmestitve enot razmiki 
od točke do k-tega soseda enaki razmikom od drevesa do njegovega k-tega 
soseda, izhaja, da je gostota odvisna samo od povprečja k-tega razmika (če 
pri tem ne upoštevamo oblike razmestitve). Torej je popolnoma vseeno, če 
je v centru kroga drevo ali pa samo točka. 
193 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Varianti točka - drevo in drevo - drevo sta si torej povsem identični in 
morata imeti za izračun števila dreves isto enačbo. V pogojih naključne 
razmestitve enot in neomejenega variiranja razmikov dajeta enake rezultate. 
Pri nenaključni razmestitvi in večjih dimenzijah enot, kar ima za posledico 
omejitev variiranja razmikov navzdol, daje varianta drevo - drevo v 
splošnem prenizke ocene. Razlika je posebno očitna prav pri ocenah na 
temelju prvega razmika. 
Varianta drevo - drevo je slaba tudi v primeru gručaste razmestitve dreves. 
Če je izbrano število dreves (k) manjše ali enako povprečnemu številu 
dreves v gruc1, so povprečni polmeri r(k) premajhni, ocena pa zato 
previsoka, v primeru izrazitejše gručavosti pa sploh neuporabna. Edini izhod 
v takšnih razmerah je povečanje števila dreves v vzorcu. Iz prikazanih 
preizkusov je razvidno, da so ocene pri višjih k-jih dobre tudi v primeru, 
da je razmestitev dreves gručasta. Drevesa v gruči so tesno skupaj, zato se 
jim medsebojne razdalje zmanjšajo, medtem ko ostanejo drevesa zunaj gruče 
na svojem mestu in obdržijo razdaljo do centralnega drevesa nespremenjeno. 
Skratka, na položaj teh dreves grupiranje ostalih dreves ne vpliva. 
Uporaba metode razmika v pogojih gručaste razmestitve dreves je v 
splošnem tvegana, pa naj gre za varianto drevo - drevo ali pa za varianto 
točka - drevo. Po prvi dobimo previsoko, po drugi pa celo prenizko oceno, 
kajti v nasprotju z varianto drevo - drevo so povprečni razmiki pri varianti 
točka - drevo v primeru gručaste razmestitve večji kot pri naključni 
razmestitvi, kar ima za posledico prenizko oceno. Še večja je razlika pri 
varianci. Ta je pri gručasti razmestitvi zelo velika in od razmika do razm 
ika celo narašča. Po Thompsonovi enačbi dobimo zato prenizke ocene. Za 
metodo lxk in 2xk dreves to ne velja, tu so ocene pri obeh variantah 
previsoke. Vzrok za to so posamezne izredno visoke ocene v primerih, ko 
naletimo z vzorcem na gručo. Ocena iz tega vzorca, pa naj gre za število 
dreves ali za temeljnico, je lahko tako visoka, da je ni mogoče popraviti, 
četudi bi bile ocene iz ostalih vzorcev prenizke. Treba je namreč upoštevati, 
da pri metodi izbranega števila dreves nimamo praznih vzorcev, pa tudi ne 
ekstremno nizkih ocen, tako da so možnosti izravnave omejene. Če ob tem 
upoštevamo še dejstvo, da je število vzorcev običajno majhno ( en do dva 
vzorca na ha), so pojavi pozitivnih napak metode razumljivi. 
194 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
Drug vzrok za slabše ocene pri varianti drevo-drevo v dejanskem sestoju so 
po vsej verjetnosti luknje, ki so posledica izpada posameznih dreves. Učinek 
lukenj je pri varianti drevo - drevo večji kot pri varianti točka - drevo, 
kajti pri slednji se lahko zgodi, da je naključno izbrani center kroga nekje 
v luknji, s čimer se zmanjša povprečje prvih razmikov, medtem ko pri 
varianti drevo - drevo te možnosti ni. 
Glede na prikazane ugotovitve bi bilo bolje, če bi v praksi uporabljali samo 
varianto točka - drevo. Ker ni toliko občutljiva na obliko razmestitve, bi 
bila uporabna tudi v sestojih z nakazano gručasto strukturo, posebno če 
upoštevamo, da je sestojev z izrazitejšo gručasto strukturo malo (v glavnem 
panjevski sestoji listavcev in sestoji na zgornji gozdni meji). 
Pri metodi izbranega števila dreves bi morali razmisliti o izbiri večjega 
števila dreves, na primer 8 ali celo 10 dreves. V preteklosti smo se temu 
izogibali iz povsem praktičnega razloga - težavnega ugotavljanja k-tega 
drevesa. Danes, ko imamo na voljo nove pripomočke za merjenje polmerov 
(ultrazvočni daljinomer), bi se laže odločili za metodo z večjim številom 
dreves in s ten dobili zanesljive ocene tudi tam, kjer je razmestitev dreves 
daleč od naključne. 
Metoda razmika se ni tako razširila kot nekatere druge metode vzorčenja. 
Kljub temu menimo, da je za prakso še vedno zanimiva. S tem prispevkom 
smo skušali odpraviti nekatere dosedanje dvome glede njene teoretične 
veljavnosti in jo predstaviti kot metodo, s katero lahko dobimo, če jo 
uporabljamo pravilno, dobre ocene števila in temeljnice dreves. Kakšna pa 
je njena dejanska uporabnost v različnih sestojnih razmerah, bo treba šele 
ugotoviti. Rezultati, prikazani v tem prispevku, so še vedno nepopolni. 
Dobljeni so iz modelnih in iz enodobnih sestojev. Kakšne bi dobili iz 
prebiralnih in iz sestojev prehodnih oblik, bo treba šele ugotoviti z analizo 
novih primerov. Pri tem pa se ne bo mogoče izogniti teoretični obravnavi 
problema. Glede na dejstvo, da razmestitev dreves v nobenem primeru ni 
povsem enaka naključni razmestitvi, lahko sklepamo, da je tudi porazdelitev 
površinic z O, 1, 2, ... n enotami tu drugačna od teoretične - Poissonove 
porazdelitve. 
195 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
Na koncu še nekaj besed o smislu modeliranja in simulacije pri preverjanju 
veljavnosti in natančnosti vzorčnih metod. Razlogov za to je več. Prvič, 
računalnik nam omogoča, da izberemo poljubno število vzorcev, česar si na 
terenu ne moremo privoščiti. Drugič, vzorčenje te vrste je brez napak 
izvedbe, ki so pri terenskem delu vedno prisotne in ki lahko v precejšnji 
meri vplivajo na rezultate ocenjevanja ali preverjanja. Tretjič, če želimo 
izvesti primerjave med dejanskim in Poissonovim gozdom, druge možnosti 
mimo modeliranja in simulacije sploh nimamo. Metoda modeliranja in 
simulacije nam omogoča preverjanje veljavnosti teoretično postavljenih 
algoritmov v različnih razmerah. Seveda pa je treba imeti za to dobro 
osnovo - posnetke dejanskih sestojev, kajti brez tega opisano početje nima 
praktične vrednosti. 
Pri računalniški preizkušnji metod na modelih m posnetkih dejanske 
razmestitve enot je koristno, da je potek posameznih faz grafično 
predstavljen. Na sliki je jasno vidna razmestitev točk, širina roba, lokacija 
naključno izbranih centrov in druge značilnosti poteka. Ne nazadnje lahko 
tako prej odkrijemo morebitne napake v programu. Grafično ponazarjanje 
poteka sicer nekoliko zmanjšuje hitrost simulacije, vendar je, vsaj v fazi 
preverjanja programa, zelo koristno. 
SUMMARY 
The distance method, as a one of different methods for detecting the 
shape and pattern of spatial locations the plants, is known as a point-
plant and plant-plant method, respectively. In forestry, the methods were 
developed in the first instance in order to estimate the stand density and 
total volume of wood. The fact, that the estimation procedure was affected 
by the pattern of the trees, led foresters to be concerned with methods of 
describing pattem and detecting non-random ones. 
By the random distributions, mean distances between randomly chosen point 
and its neighbours are equal to the mean distances between randomly 
chosen plant and its neighbours. On the contrary, in the real population of 
plants, the pattern is non-random and mean distance between randomly 
chosen point and its first neighbour is not equal to the mean distance 
196 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
between randomly cbosen plant and its first neighbour. In the forest, for 
example, because of large dimensions of trees, tbe small values of the first 
tree-tree distance are rare and mean distance greater than expected and it 
is also greater tban tbe poinMree distance. On tbe otber band, by the 
pattern of cluster or by contagious distributions, the first point-plant and 
plant-plant mean distance are bootb small because of tbe effect of 
cJustering. 
One of interesting characteristics, according to tbe distance approacb, is tbe 
ratio between variance and mean. This ratio is not constant but depends 
on tbe stand density. By low density tbe variance is greater tban mean, 
but witb increasing tbe density tbe variance decreases. By higb density tbe 
variance is much smaller than tbe mean. The density, by wbicb tbe 
variance is equal to tbe mean, depends on the i-tb distance. One of 
interesting cbaracteristics is also, that the variance inside same density is 
equal for ali neighbours, namely, for k=l,2,3, .... ,n. 
In the recent forestry investigations according to tbe distance metbod 
approacb, many equations are used to estimate stand density and basal 
area of the trees. Many investigations are taken about the question, wbich 
mean is valid and bow many trees to take in one sample. On tbe otber 
hand, tbe question, bow many trees to take in account by bootb distance 
metbods, was ignored and number of the trees automatically accepted as 
(k-0.5) for point-plant method and (k+0.5) trees by plant-plant metbod, 
respectively. According to tbe equations (2.6), (2.7) and (2.8), it is quite 
cJear, tbat tbe count of the balf tree is not valid and bas no theoretical 
reason. It results from a wrong conclusion, that tbe sample consists of ali 
trees or their basal area inside tbe sample circle. In fact, the border tree, 
that's tbe k-th, must be accepted in sample as a wbole by using tbe 
equation (2.12) and (2.13), or rejected by using tbe equation (2.14). 
From a tbeoretical viewpoint, tbis half tree bas a little important because 
of its decreasing effect by increasing k. But in practice, tbis balf tree bas 
quite decided value and means tbe positive error or bias of tbe distance 
method. For example, by tbe six trees sample method, using 5+0.5 instead 
of 5 trees, the estimates have systematic error of 11 per cent (100*5.5/5). 
197 
Puhek, V.: Preizkus veljavnosti metod ... 
It is clear, that this error increase quickly with decreasing value of k and 
may cause the method unusable. 
By the cluster distribution, as a one of non-random spatial pattern, using 
the distance methods to estimate stand density or basal area of trees is 
risk, no matter if we use the point-tree and tree-tree method, respectively. 
Mean value of rk is, if the k is smaller than the mean number of trees 
within the cluster, by tree-tree distance method smaller and by po,int-tree 
distance method greater than in the Poisson forest. Because of this, the 
estimates by Thompson's equation are too high or too Iow. The six trees 
and two six trees methods also give suspiciously high estimates. Namely, 
because of the fact, that there are no empty samples, every "fall" into the 
cluster, cause a great positive error. 
According to the results of tests on the models and true-measured forests, 
we suggest only the point-tree distance method. In the non-random spatial 
patterns, this method gives better estimates than the tree-tree method, 
which depends much more on the pattern of non-randomness. Por giving 
good estimates, we must tend to use greater value of k, especially in the 
stands, whose spatial pattern of trees is far from random. 
VIRI 
COX T. F. / Lewis T., 1976. A conditioned distance ratio method for analyzing 
spatial pattern. • Biometrika 63, s. 483 - 491. 
COX T. F., 1981. Retlexive nearest neighbours. - Biometrics 37, s. 367 • 370. 
EBERHARDT, L. L., 1967. Some developments in 'distance sampling'. - Biometrics 
23, s. 207 • 216. 
HIRNER, V., 1978. Theoretische uberlegungen zur sechs Baum • stichsprobe und 
deren Praktische Anwendungsmoglichkeiten. - Disertacija, Forstwiss. Fak. Univ. 
Freiburg i. B., 109 s. 
HOČEVAR, M., 1989. Razvoj in uporaba inventurne vzorčne metode 2x6 dreves. • 
Zbornik gozdarstva in lesarstva 34, s. 21 - 50. 
KERSHAW, K. A., 1973. Quantitative and Dynamic Plant Ecology. • McMaster 
University, Ontario. 
198 
Zbornik gozdarstva in lesarstva, 42 
KORF, V a kolektiv., 1972. Dendrometrie. - Statni zemedelske nakladatelstvi, 
Praha. 
KRAMER, H. / Akca, A., 1982. Leitfaden filr Dendrometrie und 
Bestandesinvenlur. - J. D. Sauliinder's Verlag, Frankfurt am Main. 
LIPSCHUTZ, S., 1974. Probability. - McGraw - Hill, Inc., New York. 
PERRY, J. N. / Mead, R., 1979. On the Power of tbe Index of Dispersion Test 
to Detect Spatial Pattern. - Biometrics 35, s. 613 - 622. 
POLLARD, J. H., 1971. On distance estimators of density in randomly distributed 
forests. - Biometrics 27, s. 991 - 1002. 
PRODAN, M., 1968. Punktstichprobe fiir die Forsteinrichtung. - Der Forst - und 
Holzwirt 1968, s. 225 - 226. 
SKELLAM, J. G., 1952. Spatial pattern. - Biometrika 39, s. 346 - 362. 
Sloboda, B., 1976. Mathematische und stochastische Modelle zur Beschreibung der 
Statik und Dynamik von Baumen und Bestanden. - Habilitationsschrift, Freiburg. 
THOMPSON, H. R., 1956. Distribution of distance to nth nearest neighbour in a 
population of randomly distributed individuals. - Ecology 37, s. 391 - 394. 
UPTON, Grabam J. G. / Fingleton, B. 1985. Spatial Data Analysis by Example. -
John Wiley & Sons, Chicester.