     
P 49 (2021/2022) 3 9
Matematični adventni
koledar 2021
M M̌, J P  M R̌
V mesecu decembru se je tudi letos odvilo tradi-
cionalno spletno tekmovanje Matematični adven-
tni koledar, ki ga organiziramo na UP FAMNIT (Uni-
verza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, na-
ravoslovje in informacijske tehnologije) že od leta
2015. Tekmovanje je namenjeno učenkam in učen-
cem zaključnih razredov osnovne šole in vseh le-
tnikov srednje šole, poteka pa tako, da v mesecu
decembru na spletu vsake tri dni objavimo novo
nalogo, za katero imajo reševalci 24 ur časa. Na-
men nalog je vzpodbuditi zanimanje za matema-
tiko ter reševalkam in reševalcem pokazati zani-
mive probleme, ki pa včasih zahtevajo daljši raz-
mislek. Bralce in bralke Preseka vabimo, da pre-
izkusijo svoje možgane in tudi sami rešijo nekaj
letošnjih nalog.
8. in 9. razred
1. naloga. Določi števko a, za katero bo število 17 ·
16a+ 171 · 716 deljivo z 12.
2. naloga. Rok in Nika igrata naslednjo igro na lo-
gičnih izrazih, ki vsebujejo izjavne spremenljivke A,
B, C in D. Najprej Rok izbere eno od spremenljivk in
jo postavi na resnično, nato Nika izbere eno izmed
še neizbranih in jo postavi na neresnično, nato spet
Rok izbere eno izmed še neizbranih in jo postavi na
resnično, preostala spremenljivka pa se postavi na
neresnično. Če je celotni izraz resničen, je zmagal
Rok, če je neresničen, je zmagala Nika. Za vsako for-
mulo se izkaže, da ima eden od igralcev zmagovalno
strategijo; če jo igra, zmaga ne glede na to, kako igra
njegov nasprotnik. Za vsako od naslednjih formul
določi, kdo ima zmagovalno strategijo:
A∧ (B ∨ C)∧D,
(A∨ B)∧ (A∨ C)∧D,
(A∨ B)∧ (C ∨D)∧D.
3. naloga. Fantje imajo tabor 240 m oddaljen od
ravne glavne ceste, dekleta pa imajo tabor ob glavni
cesti 400 m od tabora fantov. Ob glavni cesti želimo
postaviti kuhinjo, ki naj bo od obeh taborov enako
oddaljena. Kolikšna naj bo ta oddaljenost v metrih?
1. in 2. letnik
1. naloga. Turingov stroj je namišljena naprava, ki
ima glavo in raven trak s celicami, ki se razteza levo
in desno v neskončnost. Glava se pomika po traku
levo in desno, ko miruje, pa je vselej na neki celici.
V vsaki celici je lahko zapisana ničla ali enica, glava
stroja pa je lahko v treh možnih stanjih, A, B in C .
Stroj obratuje tako, da glava najprej prebere vsebino
celice, na kateri se nahaja, nakar glede na njeno sta-
nje in prebrano vsebino najprej v celico, na kateri
se nahaja, zapiše novo vsebino, nato pa se pomakne
za eno celico levo ali desno, preide v novo stanje in
nadaljuje z naslednjim korakom. Stanje glave in pre-
brana vsebina celice pa lahko narekujeta tudi, da se
stroj ustavi. Kaj stroj naredi, je natančno določeno
s stanjem glave in vsebino celice. Razen primera, ko
je glava v stanju C , prebere pa ničlo, je popolnoma
znano, kaj stroj naredi, v omenjenem primeru pa je
znano le, da se glava pomakne levo (in da se stroj ne
ustavi):
     
P 49 (2021/2022) 310
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
1 STOJ 0, desno, C 1, levo, A
0 1, desno, B 1, levo, B ?, levo, ?
A B C
Na začetku so na traku zapisane same ničle, stroj
pa je v stanju A. Prvih nekaj korakov stroja je prika-
zanih spodaj. Dopolni, kaj mora narediti glava, ki v
stanju C prebere ničlo, če naj se stroj nekoč ustavi,
število pomikov glave pa je največje možno. Prvih
nekaj korakov:
A
0
B
1 0
B
1 1
C
0 1
A
0 1
B
1 1
C
1 0 0
2. naloga. Populacijo testiramo s presejalnim te-
stom – hitrim antigenskim testom. V populaciji ima-
mo zdrave in obolele, rezultat testiranja pa je lahko
pozitiven ali negativen. Naj bo a delež ljudi v popu-
laciji, ki so bolni in so imeli pozitivni test, b delež
ljudi, ki so zdravi in so imeli pozitivni test, c delež
ljudi, ki so bolni in so imeli negativni test, ter d delež
ljudi, ki so zdravi in so imeli negativni test. Količina
a
a+c se imenuje občutljivost, količina
d
d+b pa specifič-
nost. Naj bo občutljivost testa 95%, specifičnost 98%
in naj število bolnih pozitivnih predstavlja 40% vseh
pozitivnih. Kolikšen je delež obolelih v populaciji?
3. naloga. Naj ima ABCD kvadrat s stranicami AB,
BC , CD in DA ploščino 25. Naj bo M tista točka na
stranici AB, pri kateri je dvakratnik dolžine stranice
AM enak dolžini stranice BM . Naj bo F presečišče
premice skozi D in M s premico skozi B in C . Naj
bo E točka na sredi daljice DF . Kolikšna je razdalja
med točkama A in E? Odgovor zapiši zaokrožen na
dve decimalki. Uporabi decimalno vejico.
3. in 4. letnik
1. naloga. Določi največje celo število k, pri kate-
rem 3k deli 103
2021 − 1.
2. naloga. Poišči 10-mestno število s samimi različ-
nimi števkami abcdefghij, za katerega velja:
a je deljivo z 1.
ab je deljivo z 2.
abc je deljivo s 3.
abcd je deljivo s 4.
abcde je deljivo s 5.
abcdef je deljivo s 6.
abcdefg je deljivo s 7.
abcdefgh je deljivo z 8.
abcdefghi je deljivo z 9.
abcdefghij je deljivo z 10.
3. naloga. Anja je na tablo napisala vsa števila od 1
do 300. Zanimajo jo vse neurejene trojice teh števil,
pri katerih je vsota števil deljiva s 3 in števila niso
nujno različna. Koliko takih trojic bi Anja lahko se-
stavila?
×××