i
i
“410-Milosevic-Kostrevc” — 2010/5/19 — 9:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 1
Strani 7–8
Dragoljub M. Miloševíc, prevod Ljubo Kostrevc:
ZANIMIVI PROBLEMI O KOCKI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/7/410-Milosevic-Kostrevc.pdf
c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZANHlIVI PROBLHlI o KOCKI
Naj bo kocka dolga p cm (p E N) . Pobarvajmo kocko, nato pa jo
ra zre žimo na kubične centimetr e .
Tako dobimo različno pobarva ne kockice:
a) 8 s treh strani pobarvanih kockic
b) 12(p-2) z dveh strani pobarvanih kockic
c) 6( p-2) 2 z eno pobarvano ploskvijo in
d) (p-2)3 nepobarvanih kockic.
Dokažimo nekaj trditev:
Trditev 1 : če ni nepobarvanih kockic, potem so vse kockice
pobarvane s treh strani .
Dokaz :
Trd itev 2
Dokaz :
Nepoba rvanih kockic ni, torej (p-2) 3 = O oz .
p = 2 . Skupno število kockic (p 3) je potem ena-
ko 8. Ker je število s treh strani pobarvanih koc-
kic vedno 8 , je s tem trditev dokazana.
število nepobarvanih kockic ne more biti enako šte
vilu z dveh strani pobarvanih kockic.
če bi veljalo nasprotno, bi imeli
(p -2) 3 = 12( p-2) oz. (p -2) 2 12 za p ~ 2
Trd itev 3
Dokaz:
Trd itev 4
Tega pa ne mo remo izpolnit i , ker ni naravnega šte-
vila, katerega kvadrat bi bil 12 .
če je število nepobar vanih kockic k krat ( k E N)
manjše od števila z dveh strani pobarvanih kockic,
pot em je k = 3 al i k=12.
Iz predpostavke sledi : k (p - 2 )3 = 12(p- 2) oz.
(p_2)2 = 12/ k za p t- 2
Ker je 12/ k kvadrat naravnega števila, lahko ima k
le vrednosti 3 ali 12.
če je število z ene stran i pobarvanih kockic rn
krat (rn E N) ve čje od š t ev i l a nepobarvanih kockic,
potem je rn eden od delitel jev števila 6 .
7
Imamr, 6(p-2)z = m(p-2)S oz. 
p-2 = 6 / m  ra p # 2 . 
Ker s t a  r i n  p naravnl  S t e v i l i ,  mara n d e l i t i  5te- 
v i l o  6. 
i i , " I  - A , , 
Ral oge I I 
I I. Ha$ bo s t e v f l o  z erne &;ant p o b a t n n i h  kosk ic  I k r a t  [ 6 t I . ~ - i Y l ! ; ~ l * t ~ ~ ~  . s n )  vei i je  ad i t e v i , l a  z dreh s t ran4 pobarvanih kocktc. bo& 
L I f $, da j e  sktlpno l t e v i l o  kock ic  enako kubu $drnetjhl:I~tevfla.j~-- 
Z. s t e v i l o  z ene s t r a n l  pobarvanih koekic j e  enako JtevfTu 
+YCL s trant  pobarvanlh kockic.  K o l l k o  kack lc  j r ' n k p a ~ a r v a ;  . -  - 
n i h?  . 1 1  -. i b; 
3, Baj bo P t e v i l o  nepobarvanih kack lc  s k r a t  k, i d? 'vl  8 , .  
' i t e v i l a  z dveh s t r a n i  pobarvanih kocklc. 
I i i I  
a} DoloEi vos vrednus't i  r a  a, iii SO aanjge oil 3001 
b)  DolaEi J t e v i l o  kockic.  k i  i m j o  'pobarvano samo .eno-plo:  -- -- 
kev. Ee ima s n a j n a n j h  v rednos t l  
4. DoknEl: S t e v l l o  kockfc, kf frnajo pobaPVhbo s a m  eno (dvef~ 
ptoskev, ne @ore b t t i  8. , I 
5. Dpkaf I: Ee j e  g t e v i l o  nepobarvanih kockic 'ra ' 8 ~ ' ' v e ~ j e  ~4 
S t e v i l a  z ene s t r s n i  pobarvanlh kaekic, potem j e  skupno-i '  
v i l o  kockPc enako 1331. A. -. 
1 5. BokaZi: Ce j e  i t e v i l o  z ene s t r a n i  pobarvaelh kpck ic  nl k t i 
[n s 1) manjOe ad i t e v i l a  z dveh s t r a n f  pobarvanih kockfg-,. 
- - .  1 potem ~e s = 2. 
D~agoZjub M. 'jdC~okcr#%d I' 
prevedel ~jubo d(ostreoe