Bojan Kuzma ZBIRKA NALOG IZ MATEMATIKE Urednica zbirke: Petruša Miholič (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 5) Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, Univerza na Primorskem Primorski inštitut za naravosloven in tehnične vede Koper Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije UNIVERZA NA PRIMORSKEM UNtVERSITA DEL LITORALE UNIVERSITY OF PRIMORSKA Titov trg 4, SI - 6000 Koper Tel.: + 386 5 611 75 00 Fax.: + 386 5 611 75 30 E-mail: info@upr.si h tt p :l/www. u p r. s i © TeMeNa, 2009 Vse pravice pridržane Koper, 2009 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.8)(079.1) KUZMA, Bojan Zbirka nalog iz matematike [Elektronski vir] / Bojan Kuzma. -El. knjiga. - Koper : Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, 2009. - (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike ; št. 5) Način dostopa (URL): http://temena.famnit.upr.si/files/files/zv_5_DS.pdf ISBN 978-961-92689-4-0 246643200 Zbirka nalog iz matematike Bojan Kuzma Koper, 2009 Kazalo 1 Predgovor 3 2 Kolokviji - kompleksna analiza 5 3 Kolokviji - diferencialne enačbe 9 4 Kolokviji - diskretna matematika 14 5 Kolokviji - linearna algebra 27 6 Izpiti - kompleksna analiza 42 7 Izpiti - diskretna matematika 73 8 Izpiti - numerične metode 86 9 Izpiti - linearna algebra 95 1 Predgovor Zaradi stalnih in ponavljajočih se zelja slušateljev po primerkih starih izpitnih vprašanj sem se odločil izdati zbirko vseh kolokvijev in izpitov pri predmetih kjer sem svojčas sam vodil vaje. V pričujoči zbirki so zbrane naloge iz raznovrstnih področij matematike, ki obsegajo linearno algebro, verjetnostni račun, kompleksno analizo diskretne strukture, ter numerične metode. Ta pisanost je poslediča dejstva, daje zbirka nastajala skozi več let, ko sem vodil vaje na Univerzi v Mariboru in kasneje na Univerzi v Ljubljani. Tudi termin predavanja učne snovi je bil na eni univerzi malče drugačen kot na drugi - tako so npr. v čurričulumu predmeta, ki v grobem ustreza kompleksni analizi, bila predvidena tudi poglavja iz verjetnosti ter poglavja iz diferenčialnih enačb. Pri urejanju zbirke sem se vseskozi soočal z vprasanjem h kateremu po-glvju naj uvrstim kaksen izpit oz. kolokvij, ko pa so na njem naloge iz tako raznovrstnih področij. Nazadnje sem se odločil za naslednji pristop: Tam, kjer je le ena naloga iz verjetnosti, preostale pa iz kompleksne analize, sem ga uvrstil v slednje poglavje. Ce so prevladovale diferenčialne enačbe, in je bila zraven se kaksna naloga iz kompleksne analize, pa sem ga uvrstil v poglavje o diferenčialnih enačbah. Na tem mestu bi rad dodal, da naloge niso moje. Večinoma sem jih črpal iz znanih zbirk nalog kot so (i) M. Usčumlič, P. Miličič: Zbirka zadataka iz vise matematike 1. Beograd. Naučna knjiga, 1984. (ii) B. G. Sergeevič, B. P. Demidovič (prevajaleč I. Uremovič): Zadači i rijeseni primjeri iz vise matematike s primjenom na tehničke nauke. Zagreb. Tehnička knjiga, 1978. (iii) M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladič: Reene naloge iz analize I. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, 1972. (iv) V. Batagelj: Diskretne strukture. 1 - naloge. Ljubljana, IMFM FNT, Oddelek za matematiko, 1979. (v) M. Dobovisek, B. Magajna: Naloge iz algebre 1. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1984. (v) M. Kolar, B. Zgrablič: Več kot nobena, a manj kot tisoč in ena resena naloga iz linearne algebre. Ljubljana, Pedagoška fakulteta, 1996. (vi) P. Mizori-Oblak, B. Krušic (avtor dodatnega besedila): Matematika za študente tehnike in naravoslovja, Del 1. Ljubljana, Fakulteta za strojništvo, 1997. (vii) P. Mizori-Oblak, Matematika za studente tehnike in naravoslovja, Del 2. Ljubljana, Fakulteta za strojnistvo, 1991. (viii) P. Mizori-Oblak, Matematika za studente tehnike in naravoslovja, Del 3. Ljubljana, Fakulteta za strojnistvo, 1986. Tu in tam pa se najde tudi kaksna izvirna naloga. Glede na raznovrstnost snovi sem bil dolgo časa v dilemi, v katerem vrstnem redu naj zbirko uredim. Odločil sem se za kronoloski razpored. Naj na koncu zazelim obilo veselja pri resevanju. 2 Kolokviji - kompleksna analiza 1. Dokazi, da za kompleksni stevili a, b velja: \a + b\< \l + ab\, (|a| < 1, |6| < 1)! Kdaj velja enačaj ? 2. Pri katerih x,y G R je funkcija u(x, y) := ln(x2 + y2) harmonicna? Poisci analiticno funkcijo f (z), za katero je Re f (z) = u(x,y), (z = x + iy) in je f (1) = 2. Za katere vrednosti z je ta funkcija realna? 3. Izracunaj integral -dz; /r zenz + z + enz + 1 kjer integriramo v pozitivni smeri po trikotniku z ogljisci 15 zi = - + 2?;, z2 = -8-h-?;, z3 = i + 2?; 38 4. Razvij funkcijo f( \ 2z 1 - 3z2 + 2z3 v Laurentovo vrsto (a) v okolici tocke 0 (b) v punktirani okolici tocke 1! V obeh primerih doloci tudi obmocje konvergence dobljenih vrst! 1. Dano je območje V := {z G C; \z - 1| < 1} \ {z G C; \z-±\<±}. (a) Poišči Mobiusovo preslikavo, ki D preslika na pas {z G C; 0 < Imz < n}. (b) Kam preslika omenjeni pas eksponentna funkcija z ^ ez? (č) Poisči konformno preslikavo, ki D preslika v enotski krog! 2. V kompleksni ravnini je dana premica Re z = 1. Dokazi, da se s stere-ografsko projekcijo preslika v kroznico. 3. Dana je funkcija ' ,T3(l+i)-y3(l-i) . /•:--:•: 0}. Poisči konformno preslikavo, ki ga slika na odprt enotski krog. 3. Poisči integral f dz /r sin z-2 kjer je r rob pozitivno orientiranega trikotnika z oglisči v točkah Ti(1, -1), T2(3, 4) in Ta(-1, 2). 4. Razvij funkčijo (z2 + 9)2 (z2 - 1) v Laurentovo vrsto na kolobarju 1 < |z| < 3. 3 Kolokviji - diferencialne enačbe 1. Funkcijo f (z) := zp-1e-z; (p > 0) integriramo po krivulji S, ki jo sestavlja daljica od r do R; krozni lok od R do Reia, daljica od Reia do re%a ter krožni lok od re%a do r. Denimo, da je R, r > 0 in |q'| < (a) Pokazi, da gre integral po velikem kroznem odseku proti 0, ko gre R —> oo. Pokazi, da gre integral po malem kroznem odseku proti nic, ko gre r — 0. (b) Preveri formulo r(p)= / eiap tp-1e-eiat dt 0 za |q'| < (c) Ali velja gornja formula tudi ce je a = n/2? 2. Poi s ci resitev diferencialno-diferencne enacbe y''(x) - y(x - 1) = x; (y(0) = y'(0) = 0) kjer y(x),y'(x) = 0 za x < 0. 3. Razvij funkcijo sin x po Laguerrovih polinomih Ln. (Nasvet: Najprej zapiši sinrr = —^f—, nato uporabi Rodriguesovo formulo. Ko n-krat parcialno integriras , prides do integrala, ki ga lahko s pomocjo formule iz naloge (1.b) izrazi s z r funkcijo.) 4. Na daljici AB dolz ine l si slucajno izberemo to cki M in N. Izracunaj verjetnost, da je razdalja med M in A manj s a od razdalje med N in B. 1. Resi parcialno diferencialno enacbo dU d2U U(x, 0) = 3 sin 2nx, U(0,t) = U(1,t) = 0; dt dt2 ' tu je x G [0,1] in t > 0. 2. Ali obstaja tak interval [a, b], na katerem so funkcije fi(t):=l, Mt):=3-2t, /Al) : II2 (a) ortogonalne? (b) ortonormirane? 3. Razvij funkcijo f (z) := v Laurentovo vrsto 2z 1 - 3z2 + 2z3 (a) v okolici tocke 0 (b) v punktirani okolici tocke 1! V obeh primerih doloci tudi obmocje konvergence dobljenih vrst! 1. Resi integralsko enacbo y(t) = t2 + / y(u) sin(t — u) du 0 2. Na 1000 metrsko progo sta padla dva leteča krožnika. Ker je Slo za nesrečo, je bil njun padec povsem slučajen in neodvisen drug od drugega. Kaksna je verjetnost, da je prvi krožnik padel bližje začetku proge kot drugi? 3. S pomočjo razvoja v vrsto resi diferencialno enačbo xy" + 2y' + xy = 0 y(0) = 1, y'(0) = 0 4. Poisči tisto diferenciabilno funkcijo t(x), da bo povrsina telesa, nastalega z rotacijo funkcije y okoli abscisne osi minimalna. Pri tem naj y povezuje robni točki Ti(0,1) in T2(l, ^—). 2.6.1997 1. Resi parčialno diferenčialno enačbo nihanja strune dolzine l d2u d2u dx2 dt2 z začetnim odmikom u(x, 0) := sin ^f- in začetno hitrostjo §fU(x, 0) = 0. Struna je pritrjena na obeh krajisčih, torej je u(0,t) = u(l,t) = 0. 2. Naj bodo polinomi q0,ql,... ortogonalni na intervalu [-a, a] z utezjo p(x), ki je soda funkčija. Denimo se, da so ql(x), q3(x),... lihe funkčije spremenljivke x. (a) Pokaži, da so tn := tudi polinomi, in izračunaj njihovo stopnjo. (b) Pokazi, da so tn ortogonalni na intervalu [0,a2] z utezjo n(x) := 3. Naj bodo Pn Legendrovi polinomi stopnje n. (a) S pomočjo Rodriguesove formule in parcialnega integriranja pokazi, 4. Na neki prireditvi je bilo 5 moskih in 5 zensk. Poisči verjetnost, da se bodo posedli za ravno mizo tako, da dve osebi istega spola ne bosta sedeli skupaj. da je (b) Dokazi, da za sode n velja Pn(x) sin(nx) dx = 0 4 Kolokviji - diskretna matematika 13.12.1994 (a) Ali sta naslednja sklepa veljavna i. —P, P = q ii. p A q, —p ^ q = — q (b) Naj bodo A,B in C dane mnozice, za katere velja B C A in A H C = 0. Poisči vse resitve sistema A \ X = B, X \ A = C ! (c) Na mnozici N+ je definirana relacija podana z m ~ n = m2 — n2 je deljivo z 10. Ali je ~ simetrična? Ce je, določi ekvivalenčne razrede! (d) Naj bosta relaciji A in B tranzitivni. Ali je njun kompozitum, A o B vedno tranzitivna relacija? (Navodilo: dokazi, da je to res, ali pa najdi protiprimer.) 14.3.1995 (a) Dokazi, da sta intervala [0,r] in [r, to) enako mocna. S pomocjo tega dokazi tudi, da imata množici {(x,y) G R2; (x-y)2+(y-č)2 < R2} in {(x,y) G R2; (x-a)2+(y-P)2 > S2} enako moc. (Tu je a, P, 7, 5,R, S G R). (b) Naj bo R C A x B funkcija. i. Pokaži, da v splošnem R o R~l ni funkcija! ii. Pokaži, da je R o R-1 ekvivalencna relacija in doloci ekviva-lencne razrede! (c) Naj bo (M, V, A) omejena (tj. obstajata elementa 0 in 1), distributivna mreža. Oznacimo z M * množico vseh elementov iz M, ki imajo komplement. i. Dokazi, da je M * tudi mreza za isti operaciji! ii. Ce je M = DE L(60) = {a G N; a | 60}, doloci M *! (d) Naj za grupoid (A, *) velja sledece: (a * b) * b = a Va,b G A b * (b * a) = a Va,b G A Dokazi da tedaj za poljubna c,d G A obstaja natanko ena resitev enacbe c * x = d in natanko ena resitev enacbe y * c = d! 21.5.1995 (a) Na cikli cni grupi Z12 naj bo definirana preslikava h : Z12 — Z12 3 a — a . Dokazi, da je h homomorfizem, in doloci njegovo jedro, Ker f. Kateri znani grupi je izomorfna grupa Z12/ Ker f ? (b) Zapi s i polinom 1 + 2x + 5x2 + x4 kot produkt nerazcepnih faktorjev nad obsegom Z7! (c) Naj bo G enostaven graf na n tockah, v katerem ima vsaka tocka stopnjo k ali k + 1. Dokaz i, daje stevilo to ck stopnje k enako (k + 1)n — 2e; tu je e stevilo vseh povezav v grafu G. (d) Dokazi, da v vsakem enostavnem grafu G, za katerega je 5 > k, obstaja pot dol zine k. 1. KOLOKVIJ IZ DISKRETNIH STRUKTUR za VISJESOLCE (a) Na mnozici Z uvedemo relacijo R, podano s predpisom xRy x + 2y = 0 (mod 10) i. Ali je R refleksivna? ii. Ali je tranzitivna? iii. Ali je simetrična? iv. Ali je antisimetrična? v. Ali je asimetrična? (b) Dokazi, da je A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C). (c) Dana je mnozica A := {—5, ••• , 5} in funkciji f, g : A — A, podani s tabelo -2 —1 0 1 2 3 4 5 \ -3 3 0 2 —5 5 -1 3 / oz. -2 —1 0 1 2 3 4 5 \ 3 —15 —4 —3 —212/ ' Ali obstaja taksna funkcija h : A — A, da je f = h o g? Ce obstaja, koliko jih je? (d) Ali velja naslednji sklep? >Ce se bom učil, bom naredil izpit. Nisem se učil, torej izpita ne bom naredil.« (Navodilo: Napisi hipoteze, napisi sklep in preveri veljavnost. Vsak korak pri preverjanju veljavnosti mora biti utemeljen!) f: —5 —4 —3 — 2 4 0 — —5 —4 —3 — 5 -2 1 g (a) Na mnozici Z uvedemo relacijo R, podano s predpisom xRy x + 2y = 0 (mod 10) i. Ali je R refleksivna? ii. Ali je tranzitivna? iii. Ali je simetri c na? iv. Ali je antisimetri cna? v. Ali je asimetri cna? (b) Dokaz i, da je A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C). (c) Dana je funkcija f, f : R — R /1; x g Q x— 0; sicer Izracunaj naslednje mnoz ice: i. f f (N)) ii. f(f-1(N)) iii. ff([0,1])) iv. f(f-1(R\Q)) (d) Ali velja naslednji sklep? >Ce se bom ucil, bom naredil izpit. Nisem se ucil, torej izpita ne bom naredil.« Vsak korak pri preverjanju veljavnosti mora biti utemeljen! 22.12.1995 (a) Ali ima mnozica ttpim;P2,q2 := {(x,y) G r2; pi < x < qi & P2 < y < 52} (tu je p1 < q1 & p2 < q2) isto moc kot enotski kvadrat? (Nasvet: poisci bijekcijo med njima, in dokazi, da je predlagana funkcija res bijektivna, ali pa dokazi, da take funkcije ni.) (b) V mnozico DEL(30) vseh pozitivnih deliteljev stevila 30 uvedemo operaciji f in U s predpisoma: a f b := D(a,b) in a U b := v(a,b); tu je D najvecji skupni delitelj in v najmanjsi skupni veckratnik. Dokazi, daje struktura (DEL(30), f, U mreza. Ali je distributivna? Ali je komplementirana? (c) Na intervalu [0,1] je definirana operacija a + b a o b := ---. 1 + ab i. Dokazi, da je ([0,1], o) algebrska struktura (tj. operacija je notranja) ii. Dokazi, da obstaja enota iii. Ali obstaja absorbcijski element? iv. Ali je operacija asociativna? v. Ali je ([0,1], o) grupa? (d) Koliko elementov ima grupa G, generirana z elementoma a in b med katerima veljata relaciji a3 = b2 = e (ab)2 = a2b2 Kateri znani grupi je izomorfna? (Nasvet: spomni se, da obstajata le dve grupi take moci, kot jo ima G.) 2. KOLOKVIJ IZ DISKRETNIH STRUKTUR za višješolce 22.12.1995 (a) Koliko je vseh naravnih stevil med 1 in 10000, ki so deljiva z 14 in 18, pa niso deljiva s 3? (b) V mnozičo DEL(30) vseh pozitivnih deliteljev stevila 30 uvedemo operačiji f in U s predpisoma: a f b := D(a,b) in a U b := v(a,b); tu je D največji skupni delitelj in v najmanjsi skupni večkratnik. Dokazi, daje struktura (DEL(30), f, U mreza. Ali je distributivna? Ali je komplementirana? (č) Na intervalu [0,1] je definirana operačija a + b a o b := 1 + ab' i. Dokazi, da je ([0,1], o) algebrska struktura (tj. operačija je notranja) ii. Dokazi, da obstaja enota! iii. Ali obstaja absorbčijski element? iv. Ali je operačija asočiativna? v. Ali je ([0,1], o) grupa? (d) Določi vse podgrupe moči 3 od grupe Zl8. 3. KOLOKVIJ IZ DISKRETNIH STRUKTUR za višješolce 19.1.1996 (a) Poišči najmanjši podkolobar v C, ki vsebuje element \/—I. (b) Poisči permutacijo n G S3, da bo 12 3 \ = f 12 3,? 3 12/ 0 n y 2 3 1 (c) V kolobarju Z12 poišči vse rešitve enačbe (x — 11) (x + 4) = 2 (d) Koliko je vseh netrivialnih deliteljev niča v kolobarju Z30? 23.1.1996 (a) Poišči najmanjši podkolobar v C, ki vsebuje element \/—I. (b) Ali obstaja permutacija n G S3, da bo ( 1 2 3 4 1 ◦ n2 = ( 1 2 3 4 1 ? y 3 1 2 4 y n y 2 3 1 4 y (c) Kateri znani grupi je izomorfna grupa (Z2 x Z4)/H , kjer je H edinka, generirana z elementom (1, 2) G (Z2 x Z4) ? (Nasvet: Najprej ugotovi, kolik sna je njena mo c, nato pa, kolik je red njenih elementov.) (d) Naj bosta G in njegov komplement, G med sabo izomorfna grafa na petih to ckah. i. Koliko povezav ima G? ii. Koliko je takih grafov, pri katerih dodatno zahtevamo, da imajo vse to cke stopnjo, manj so od 3? iii. Koliko je takih grafov, ki imajo vsaj eno to cko stopnje 3? iv. Koliko je takih grafov, ki imajo vsaj eno to cko stopnje 4? v. Nari si vse take paroma neizomorfne grafe G na 5 to ckah, ki so izomorfni svojemu komplementu. (Tj. G in G morata biti izomorfna.) 22.11.1996 (a) Dokazi, da lahko vsako izjavo napisemo samo s pomočjo izjavnih črk in znakov za implikačijo, negačijo ter oklepaja. (Nasvet: Vemo, da lahko vsako izjavo napisemo s pomočjo ko-njunkčije, disjunkčije in negačije. Izrazi omenjene operatorje s pomo čjo implikačije in negačije.) (b) Za mnozičo M vzemimo M := {00001,00002,..., 99999} ; M torej sestavljajo natanko vsa zaporedja čifer dol zine pet brez zaporedja '00000'. V mnozičo M uvedemo relačijo R z naslednjim predpisom: mRn natanko tedaj, ko lahko element m dobimo tako, da permutiramo čifre elementa n. Tako sta npr. z elementom 00123 G M v relačiji 30021, 01302, itd. i. Dokaz i, da je R ekvivalenčna relačija. ii. Koliko razli č nih ekvivalen č nih razredov dobimo? (č) Naj bo f : A ^ B funkcija in X, Y C A poljubni mnoziči. Dokazi, da je f (X\Y ) = f (X )\f (Y), ali pa najdi protiprimer, ko to ne dr zi. (d) Dokazi, da sta kvadrat [0,1] x [0,1] in pravokotnik, ki ga določajo oglisča Tl(1,1), T2(1, 4), T3(3, 4), mnoziči z isto močjo. (Nasvet: Poi s č i bijektivno funkčijo med gornjima mnozičama in dokazi, da je funkčija res bijekčija.) 24.1.1997 (a) Dokazi, da ima vsaka koncna Boolova algebra z vsaj dvema elementoma sodo mnogo elementov. (b) Poisci vse avtomorfizme simetricne grupe S3. (c) Koliko je vseh paroma neizomorfnih grafov na sestih tockah, kjer ima vsaka tocka stopnjo 1 ali 3? (d) V mnozico R+ vpeljemo operacijo o s pravilom: a o b := V a2 + b2. i. Ali je o asocoativna? ii. Ali obstaja nevtralni element? iii. Ali obstaja absorbcijski element? iv. Ali je (R+, o) grupa? 5.12.1997 (a) Ali velja sklep p V q ^ r A s, r V t ^ u = p u (b) Preveri, da za poljubne mnozice A, B, C velja (A \ B) \ C C A \ (B \ C). Ali velja tudi enačaj? Poisči potrebne in zadostne pogoje! (c) Dokazi, da ima rob kvadrata, ki ga določajo oglisča v točkah Ti(0, 0) in T2(0,1) in T3(1,1) isto moč kot rob trikotnika A0 z oglisči v točkah T1 (0, 0), T2(1, 0), T3 (0, 1). (d) Induktivna razreda I in P nad abecedo S := {a,b, (,), [, ]} sta podana na naslednji način: Bi a G P Pi X GP^ X GI P2 X G P, Y G I ^ XbY G I P3 X G I ^ (X) G P P4 X G I ^ [X ] G P Kateri od nizov a1. [ab([(ab(aba)])ba)] a2. ([aba]a)ba pripadajo razredu I? (Nasvet: Kaksna je zveza med stevilom a in stevilom b) 5 Kolokviji - linearna algebra 27.1.1998 (a) Izračunaj integrala a). 2t , f \Jsin x dt b). / -dx cos x (1 -1)(1+12) (Nasvet: V zadnji integral upelji primerno substitucijo.) (b) Poisči inverz matrike A :-- n i 3 i 1 1 3 4 5 Ki 1 5 V (č) Določi vsa stevila a, pri katerih ima sistem linearnih enačb 2ax + y + z = 0 x — 2ay = 0 ax + (1 — a)y + z = 0 neskončno mnogo resitev? Te resitve tudi izračunaj. (d) Vektorja a in b oklepata kot 60°; prvi meri 4 drugi pa 5 enot. Kaksna je dolžina vektorja 2a — b 1. KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE A 25.11.1997 (a) Poi s či enačbo ravnine, ki gre skozi to čko A(2, 0, -3), seka premičo ^^^ = c, y = — 1 pri x = 2, in oklepa z njo kot 30°. (35 to čk) (b) Dana sta vektorja a in b. Poi s či vse vektorje x, ki zado s čajo enačbi a x (x x b) = (a x x) xb in preveri, da je resitev res prava. (Navodilo: Upostevaj razli čne moz nosti glede vektorjev a in b, npr., da sta kolinearna, daje eden izmed njiju enak ni č, ter da sta linearno neodvisna. Mogo če ti bo v pomoč identiteta (x x y) x z = (x • z)y - (y • z)x) (35 to čk) (č) V trikotniku ABC je točka F razpolovi sče daljiče BC, točka E pa deli straničo AC v razmerju 2:1. Bodi S prese či s če daljič AF in BE. Izračunaj razmerje AS : SF, in primerjaj plosčini trikotnikov ABC in ASB! (30 to čk) 1. KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE B 25.11.1997 (a) Poi s ci enacbo ravnine, ki gre skozi to cko A(0, 2, -3), seka premico = z, x = — 1 pri y = 2, in oklepa z njo kot 30°. (35 to ck) (b) Dana sta vektorja a in 6. Poi s ci vse vektorje x, ki zado s cajo enacbi (x xb) x a = 6 x (a x x) in preveri, da je resitev res prava. (Navodilo: Upostevaj razli cne moz nosti glede vektorjev a in 6, npr., da sta kolinearna, daje eden izmed njiju enak ni c, ter da sta linearno neodvisna. Mogo ce ti bo v pomoc identiteta (x x y) x z = (x • z)y — (y • z)x) (35 to ck) (c) V trikotniku ABC je tocka F razpolovi sce daljice BC, tocka E pa deli stranico AC v razmerju 1 : 2. Bodi S prese ci s ce daljic AF in BE. Izracunaj razmerje AS : SF, in primerjaj ploscini trikotnikov ABC in ASE! (30 to ck) 2. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE (študij ob delu) 17.5.1999 (a) Poisči vse vrednosti parametra a, za katere ima sistem 2x + 3y + z = 1 y + 3z = 2 + a — 2x — (3 — a)y — (1 — a — a2)z = a2 + 4a — 1 več kot eno resitev. (10 točk) Pri vsakem takem parametru poisči tudi vse resitve ustreznega sistema. (10 točk) (b) Dani sta matriki B := f 2 4 ) C = f 3 0 Poisči vse resitve matrične enačbe XB = C. (10 točk) (c) Poisči lastne vrednosti matrike 001 A := 0 2 0 400 (10 točk) Pri vsaki lastni vrednosti poisči tudi bazo ustreznega lastnega pod-prostora. (10 točk) (d) Poisči odvod funkcije f(x) := lncos2(^2) — (10 točk) (e) Funkcijo f (x) := sin(2x) razvij v Taylorjev polinom reda 6.(10 točk) Oceni pri tem narejeno napako, če vemo, daje x G [—1,1].(10 točk) (f) Poisči dve pozitivni stevili, katerih vsota je 1, da bo njun produkt minimalen. (10 točk) (g) Integral f 2 2x sin(x ) dx izračunaj z uvedbo nove spremenljivke x2 = t. (10 točk) (h) Poišči volumen vrtenine, ki jo dobiš, če funkcijo y = cos(x2)] 0 < x < \A"/2 zarotiraš okoli ordinate (tj. y-osi). (10 točk) u 1. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE A 11.12.2000 (a) V trikotniku ABC tocka P deli stranico AC v razmerju 1 : 4, tocka Q pa stranico BC v razmerju 1 : 3. Naj bo S preseci sce daljic BP in AQ. Izrazi vektor C S z vektorjema a = AB in 6 = ——. (30 to ck) (b) i. Obravnavaj sistem v odvisnosti od parametra a, ter zapi si vse njegove re sitve: x + 2y — 3z = 5 x + 4y — z = —3 2x + 2y — (5 — 2a)z = 24 + 4a (20 to ck) ii. Re s i matri cno enac bo ATXA = B, pri cemer sta matriki A in B dani z A:= ( —2 ) . B := ( 4 8 , (20 to ck) (c) Premica p je dolo c ena s presekom ravnin z enac bama 3x + 2y + z = 10 ter x — 2y + z = 2. Zapi si njeno enacbo v parametri cni obliki in izra cunaj razdaljo od p do koordinatnega izhodi s ca. (30 to ck) 1. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE B 11.12.2000 (a) V trikotniku ABC točka M deli stranico AB v razmerju 1 : 4, točka N pa stranico BC v razmerju 2 : 3. Naj bo P presečisče daljic CM in AN. Izrazi vektor CP z vektorjema a = AB in b = AC. V kaksnem razmerju deli točka P daljico CM? (30 točk) (b) i. Obravnavaj sistem v odvisnosti od parametra b, ter zapisi vse njegove resitve: ii. Resi matrično enačbo CXCT = A, pri čemer sta matriki A in C dani z (c) Premica p je določena s presekom ravnin z enačbama x + 2y + 3z = 1 ter x — 2y + z = —1. Zapisi njeno enačbo v parametrični obliki in izračunaj razdaljo od p do koordinatnega izhodisča. (30 točk) x + 4y — (4 + 2b)z = —(9 + 4a) 2x + 6y — 4z = 2 2x — 6y + (7 + 2b)z = 4 + 4b (20 točk) (20 točk) 1. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE (Študij ob delu) 14.3.2001 (a) V trapezu ABC D je vektor -B dvakrat dalj s i kot vektor DC Naj bo S preseči sče obeh diagonal. Izrazi vektor AS s pomočjo vektorjev a := AB ter d := AD. (10 to čk) (b) Poi s či vektor te z i s čniče na T trikotnika z ogli s č i v to č kah T (1, 2, 3), T2(1, 3, 3) in T3(0,1, 2). (10 točk) (č) Poi s či to čko, na ravnini n : x + y - 2z = 6, ki je najbliz e koordinatnemu izhodi s ču. (10 to čk) (d) Poi s či vse vrednosti parametra a, za katere ima sistem x + 2y =1 -x + y + z = 2 3ax + (3 - 5a)z = 3 - 6a ve č kot eno re s itev. (10 to čk) Pri vsakem takem parametru poi s č i tudi vse resitve ustreznega sistema. (10 to čk) (e) Dani sta matriki B := 23 34 C := 31 00 Poi s či vse re s itve matri č ne ena čbe BX = C. (10 to čk) (f) Poi s či lastne vrednosti matrike 403 A := 1 0 1 -3 0 -2 (10 to čk) Pri vsaki lastni vrednosti poi s či tudi bazo ustreznega lastnega pod-prostora. (10 to čk) (g) Poi s č i kompozitum (f o f)(x), če je f (x) = x2 - 2x + 1. (10 točk) (h) Preveri, da je za vsako naravno s tevilo n izraz 5 • 4n - 2 vedno deljiv s 3. (10 to čk) 1. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE A 10.12.2001 (a) V pravilni stiristrani piramidi ABCDE naj bo T sredisče kvadrata ABCD, in S sredisče straniče AE. Preveri, da se daljiči ET in SC sekata. Nato izrazi vektor BY z vektorji a := AB, b := AD, c := ~aE (Y je presečisče ET in SC.) (35 točk) (b) Poišči pravokotno projekcijo premice = y = z na ravnino y + z = 0. (30 točk) (č) Poisči lastne vektorje in lastne vrednosti matrike '2 10 —3n 0 2 1 0 2 1 (35 točk) 1. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE B 10.12.2001 (a) V pravilni s tiristrani piramidi ABCDE naj bo M sredi s č e kvadrata ABCD, in S sredi sče stranice AE. Preveri, da se daljici EM in SC sekata in izrazi vektor AX z vektorji a := AB, b := AD, c := AE (X je prese či s če EM in SC.) (35 to čk) (b) Poišči pravokotno projekcijo premice x = y = na ravnino x + y = 0. (30 to čk) (č) Poi s či lastne vektorje in lastne vrednosti matrike —1 0 0 1 2 2 0 1 1, (35 to čk) 1. KOLOKVIJ IZ INZENIRSKE MATEMATIKE (Študij ob delu) 20.12.2001 (a) Naj bo ABC D pravilni tetraeder. Denimo, da je M sredisce ena-kostranicnega trikotnika ABC, in sta X ter Y razpolovisci da-ljic AD in BC. Naj bo S presecisce daljic DM ter XY. i. Izrazi vektor MD z vektorji a := AB, 6 := AC in c := AD. (5 tock) —> -> ii. Izrazi vektor XY z vektorji a, 6, c. (5 tock) iii. Izrazi vektor —S z vektorji a, 6 in c. (10 tock) (Nasvet: AM = |AY.) A a b (b) Poišči enačbo ravnine, ki vsebuje premico pi : = = -zj bi je vzporedna premici p2 : ^^ = f = f • (10 točk) (c) Poisci ploscino trikotnika z oglisci v tockah Ti(3, 3, —3), T2(3,1, 0) in T3(2,1, 0). (10 tock) (d) Poišči pravokotno projekcijo premice x = = z na ravnino x + z = 0. (20 točk) (e) Resi matrično enačbo A + 2X = BX, kjer je 1 2 3 3 0 1 A := 4 5 6 in B := 3 2 5 7 8 9 3 1 5 (f) Poisči vse resitve sistema 2x + 3y + z =1 y + 3z = 2 — 2x — y + 5z = 3 (30 točk) (20 točk) 1. KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE A 18.11.2002 (a) V trikotniku ABC je točka F razpolovi sče daljiče BC, točka E pa deli straničo AC v razmerju 2:1. Bodi S prese či s če daljič AF in BE. Izra čunaj razmerje AS : SF, in primerjaj plo s čini trikotnikov ABC in ASB! (35 to čk) (b) V standardni bazi je a = (1, 2, 0) in b = (1, 0,-1). Vektor c oklepa z ravnino S, v kateri lez ita a, b kot 0 = 30°. Poi s či njegovo dolzino, če ve s , daje volumen paralelepipida, ki ga razpenjajo a, b, c enak 1. (35 to čk) (č) Poi s č i enačbo premiče skozi točko T(1, 2, 0), ki pravokotno seka premico p : ^^ = 1 — y = —z. V kateri točki se premici sekata? (35 to čk) 1. KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE B 25.11.1997 (a) Poi s či ena čbo ravnine, ki gre skozi to čko A(0, 2, —3), seka premičo = z, x = — 1 pri y = 2, in oklepa z njo kot 30°. (35 to čk) (b) Dana sta vektorja a in b. Poi s či vse vektorje ki zado s čajo enačbi (x x b) x a = b x (a x x) in preveri, da je resitev res prava. (Navodilo: Upostevaj razli čne moz nosti glede vektorjev a in b, npr., da sta kolinearna, daje eden izmed njiju enak ni č, ter da sta linearno neodvisna. Mogo če ti bo v pomoč identiteta (x x y) x z = (x ■ z)y — (y ■ z)x) (35 to čk) (c) V trikotniku ABC je točka F razpolovi sče daljice BC, točka E pa deli stranico AC v razmerju 1 : 2. Bodi S prese či s če daljic AF in BE. Izra čunaj razmerje AS : SF, in primerjaj plo s čini trikotnikov ABC in ASE! (30 to čk) 6 Izpiti - kompleksna analiza 21.8.1994 1. Dokazi, da je f'11-]-dx = /27rSgnC ; (a,6,ce»,c/0 in c2-a2-b2 > 0) J 0 a čos x + b sin x + c ^Jc? — a2 — b2 2. Dana je funkcija f(z) := sin^2) • (a) Poisči vse njene singularnosti in residue v teh singularnostih! (b) Reši nalogo tudi za funkcije fv(z) := ^^; (u G Z) in preuči vedenje fv okoli točke z = to! 3. Enačbo y' = y z začetnim pogojem y(0) = 1 resujemo s pomočjo Euler-jeve osnovne metode. Tako izračunaj pribliZek za y(1) na 2 dečimalke! (Nasvet: interval [0,1] razdeli na n enakih podintervalov dolzine h in nato uporabi Eulerjevo metodo. Očeni, kako velik je lahko h, da bo napaka metode manjsa od npr. 4. dečimalk. Nato očeni se, na koliko mest lahko zaokrozujes delne rezultate. Mogoče ti bo pomagalo dejstvo, daje funkcija x i—► (1 + ^)'T naraščajoča za x > 0.) 4. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena z gostoto , \ f«1; x e li, 2) p(;r):= c o , * I ax; x G [2, 3) Določi parameter a, skičiraj njeno porazdelitveno funkčijo ter izračunaj matematično upanje in P(|X| < 2) ! 5. Izračunaj integral f1 čos x — čos 2x dx o x2 na 3 dečimalke natančno! (Nasvet: Najprej določi stevilo potrebnih korakov, da izračunas integral na 4 dečimalke. Nato izračunaj se na koliko dečimalk lahko zaokrozujes rezultate.) 1. Izracunaj /r(z3 + 8)-2 dz, kjer integriramo v negativni smeri po sklenjeni krivulji r podani z enacbo |z + 3i| = 2|z + 3| ! 2. Obmocje D := K (i, 1)\K (0,1) preslikaj povratno konformno na enotski krog ! 3. Izračunaj integral f* dt na 4 dečimalke. Vsak korak mora biti utemeljen ! (Nasvet: najprej doloci stevilo korakov, da bo napaka metode manj sa od npr. 5 decimalk, nato doloci se, na koliko decimalk lahko zaokroz ujes delne rezultate.) 4. Gostota verjetnosti slucajne spremenljivke X je podana z a 2 p(x) := Ax6|x|e-x (x G R). Dolo ci konstanto A, izra cunaj disperzijo ter matemeti cno upanje spremenljivke Xn G N ! 6.12.1994 1. Izračunaj f* ^^dx na pet decimalk natančno. (Nasvet: najprej očeni koliko členov je treba vzeti, da bo napaka metode manj sa od npr. 10-6, nato pa se, na koliko dečimalk moramo zaokro z evati delne rezultate, da bo rezultat to č en na pet dečimalk.) 2. Ugotovi vse mozne limite in red konvergenče zaporedja + (a + '2)xr ~ a 3^2 + 2(a + 2)xr + (2a + 1) : ■ ^ ■ ^ (r = o, 1, 2,...) (Nasvet: eden izmed korenov enačbe a + (1 + 2a)x + (2 + a)x2 + x3 = 0 je tudi x = -1.) 3. Kam se preslika območje D := {z G C; |z-3| < 3, |z-2| > 2, |z-5| > 1} pri preslikavi w(z) := 4. Slučajna spremenljivka X ima verjetnostsno gostoto podano z / \ I i i 4~ ^ ^ 0 p(x) := s :+x; _ • [0 x < 0 Določi konstanto a in izračunaj matemati čno upanje ter disperzijo spremenljivke X. 1. Izračunaj fr dz, kjer integriramo v negativni smeri po sklenjeni krivulji r podani z ena čbo |z + 3i| = 2|z + 3| ! 2. Območje D := K (i, 1)\K (0,1) preslikaj povratno konformno na enotski krog ! 3. Po osnovni Eulerjevi metodi resujemo diferencialno enačbo y' = yx; y(0) = 1. Z njeno pomo čjo izračunaj limito lim U + lVl + 4^ ri + ^-Ci + ^i n2 j \ n2 j \ n2 J V n2 J n—>00 4. Palico dolzine a slučajno prelomimo. Naj slučajna spremenljivka X meri dolz ino kraj sega izmed dobljenih delov. Izračunaj njeno porazdelitev in gostoto porazdelitve! 1. Bodi f holomorfna funkcija in a, P, 7, 6 G C kompleksne konstante. Ali je funkcija g(x) := a • Re f (x) + P • Re f (x) + i ^7 • Im f (x) + 6 • Im f (x) j analiti cna? 2. Naj bodo xn, yn G R s tevila, za katere je xn + Wn = (1 + iV3)" (ž2 = -1; n G N). Dokazi, da je ^n—lUn ~ Xnyn-1 = 2 \/3 3. Izra cunaj integral r 2n / (ecos 4 cos (sin t) — ie-cos 4 sin(sin t)) • (i cos t — sin t) dt Jo (Nasvet: Poizkusi ga preoblikovati na kompleksni integral) 4. Kam se preslika obmo cje {z G C; |z| < 2 & |z — 1| > 1} pri preslikavi 2 niz f(z) := e" ? 21.2.1995 1. Bodi f holomorfna funkčija in a, 3, Y G C kompleksne konstante. Kdaj je funkčija g(x) := a • Re f (x) + 3 • Im f (x) + • Re f (x) + Im f (x) analitična? 2. Poisči tako funkčijo 0, da bo resila enačbo r-x / čh(x — t)0(t) dt = x. o (Nasvet: Poiskusi z Laplačeovo transformačijo) 3. Kam se preslika območje {z G C; |z| < 2 & |z — 1| > 1} pri preslikavi 2 niz _ f(z) := e— ? 4. Janko in Metka se igrata igričo s kovančem, ki ga mečeta izmenoma. Pri tem tisti, ki je vrgel grb dobi en dodatni kovaneč, če pa je vrgel čifro, ne dobi ničesar. Igra se konča, ko ima eden izmed njiju n-kovančev več kot drugi. Izračunaj verjetnost, da zmaga Janko, če (a) Je prvi za čel Janko (b) Je prva za čela Metka! 1. Območje D := K (i, 1)\K (0,1) preslikaj povratno konformno na enotski krog ! 2. Dana je funkcija f(z) := sin^2) • (a) Poi s či vse njene singularnosti in residue v teh singularnostih! (b) Reši nalogo tudi za funkcije g (z) := in preuči vedenje g okoli to čke z = to! 3. Enačbo y' = y z začetnim pogojem y(0) = 1 re sujemo s pomočjo Euler-jeve osnovne metode. Tako izračunaj priblizek za y(1) na 2 decimalke! (Nasvet: interval [0,1] razdeli na n enakih podintervalov dolz ine h in nato uporabi Eulerjevo metodo. Oceni, kako velik je lahko h, da bo napaka metode manj s a od npr. 4. decimalk. Nato oceni s e, na koliko mest lahko zaokroz ujes delne rezultate. Mogoče ti bo pomagalo dejstvo, daje funkcija x i—► (1 + ^)'T naraščajoča za x > 0.) 4. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena z gostoto . , fa±; x G [1,2) P(x) := 1 * ^ ro ' I ax; x G [2, 3) Določi parameter a, skiciraj njeno porazdelitveno funkcijo ter izračunaj matematično upanje in P(|X| < 2) ! 5. Izra čunaj integral f1 cos x — cos 2x dx I o x2 na 3 decimalke natančno! (Nasvet: Najprej določi stevilo potrebnih korakov, da izračunas integral na 4 decimalke. Nato izra čunaj s e na koliko decimalk lahko zaokroz uje s rezultate. Najenostavneje gre s Taylorjevo formulo!) 6.6.1995 1. Poi s či vse funkčije $, da bo / x2 + y2 u(x,y) := $ ( - x realni del neke analiti čne funkčije f. Dolo či tudi f ! 2. Poi s či prvih pet, od ni č razli čnih členov pri razvoju funkčije f (x):= i0, -1 0. 2. Izračunaj fr 64y+1gy4+y7 dz, kjer integriramo v negativni smeri po sklenjeni krivulji r podani z enac bo |z + 3i| = 2|z + 3| ! 3. Dokaz i, da je y = xa[AJv(PxY) + (PxY)] splo s na re s itev diferencialne ena cbe x2y'' + (1 — 2a)xy' + [(Pyxy )2 + (a2 — v272)]y = 0. S pomocjo dokazanega zapi si splosno resitev Riccatijeve enacbe u' = u2 + 9x3 s pomo cjo Besselovih funkcij! (Nasvet: u = ~ 4. Dva igralca zaporedoma pobirata kroglice iz zare, v kateri je bilo v zacetku n belih in m crnih krogel. Zmaga tisti, ki prej potegne belo. Kolik sna je verjetnost, da zmaga tisti igralec, ki je igro za cel, ce kroglice vsaki c vrneta nazaj v z aro ? 18.6.1996 1. Dokazi, da za vsako analitično funkcijo f velja d2 d2 l/(AI2 + tttI/WI2 =4 |/'(~)l (- = * + dx2 dy2 2. Izra čunaj funkcijo 0(r) := (b J\z ' |z-(1+i)|=r v odvisnosti od parametra r. -(1+i)l=r 1 + z2 3. Za kak s ne dogodke A in B velja enakost P[A] = P[A\B] + P[A\B] ? Tu nam P[X] pomeni verjetnost dogodka X. (Nasvet: Upo s tevaj, da mora biti P [A] > P [AB].) 4. Hitrost telesa v točki T(x,y) je enaka razdalji med to točko in koordinatnim izhodi sčem. Poisči krivuljo, po kateri se mora gibati telo, da bo najhitreje pri s lo iz T1(1, 0) v T2(0, e). (Nasvet: V dobljeno Eulerjevo enačbo vstavi polarne koordinate x = r cos 0(r), y = r sin 0(r).) 2.7.1996 1. Izra čunaj integral C čos10x dx 2 + čos x 2. Poi s či inverzno Laplačeovo transformiranko od funkčije p - 1 (Nasvet: Pomagaj si s pravilom o odvajanju Laplačeove transformi-ranke.) 3. Na 1000 metrsko progo sta padla dva lete ča kro znika. Ker je slo za ne-sre čo, je bil njun padeč povsem sluč ajen in neodvisen drug od drugega. Kaks na je verjetnost, da je prvi kroz nik padel bli zje za četku proge kot drugi? 4. S pomočjo razvoja v vrsto resi diferenčialno enačbo xy'' + 2y' + xy = 0 y(0) = 1 /2, y'(0) = 0 2.7.1996 1. Izra čunaj integral P čos10x , / -dx 3 + čos x 2. Poi s či inverzno Laplačeovo transformiranko od funkčije p — 1 (Nasvet: Pomagaj si s pravilom o odvajanju Laplačeove transformi-ranke.) 3. Na enotski krog so padla tri zrnča peska. Kak s na je verjetnost, da oblikujejo trikotnik, v katerem so vsi koti manj si od 90°? (Nasvet: Z morebitnim vrte zem kroga lahko dose ze s, da je eno zrnče to čno na to č ki 1; ostala dva pa sta seveda s e naklju č na.) 4. S pomočjo razvoja v vrsto resi diferenčialno enačbo xy'' + 2y' + xy = 0 y(0) = 1, y'(0) = 0 2.9.1996 1. Izra cunaj integral f™ f sin x\ 3 i {—) dx] pomagaj si z 4 sin3 x = — sin 3x + ■ ■ ■. 2. Re si diferencialno-diferen cno enba cbo y'(x) = y(x — 1) + 1; y(0) = 0 (Nasvet: Pomagaj si z ^^ = 3. S pomocjo razvoja v vrsto okoli tocke 0 poisci resitev enacbe y'' + x2y = 1 + x + x2 y(0) = 0 in poi s ci konvergencni polmer dobljene vrste. 4. Kocka, ki ima pobarvane stranice, je razdeljena na 1000 enakih kockic; v notranjosti velike kocke ni nobene barve. Veliko kocko razdremo in na slepo izvle cemo eno malo kockico. Poi s ci verjetnost, da bo imela dve stranici pobarvani! 1. S pomo čjo Laplačeove transformiranke re s i parčialno diferenčialno enač bo du , du2 _ = (x,t>0) z začetnim pogojem u(x, 0) = 0 in robnim u(0, t) = u0. 2. Razvij 1 + z2(z - 1 )^z2 - 2z + 2 v Laurentovo vrsto okoli točke zo = 1 in določi območje konvergence. (Pri kvadratnem korenu vzamemo tisto vejo, za katero je \/I =1.) 3. Poi s č i mnozičo točk z, ki se pri preslikavi z + 2i w : z 2iz - 1 preslikajo na mnozičo {w; |w| = 1}. 4. Poi s či verjetnost, da bodo koreni kvadratne ena čbe x2 + 2ax + b (a) realni. (b) pozitivni. (Tu sta a in b realni stevili; |a| < n in |b| < m.) 21.1.1997 1. Funkciji f in g sta definirani z 1z /(-):= r z2 - 1 ^ y 1 - z Izračunaj integral / (eg(z) + f (z)) dz, J A kjer integriramo po trikotniku A z ogli s či v točkah 2 +t, i - t, -i - t; tu je t G R+. Kaj se zgodi pri t =1? 2. Dana je funkcija f(z) := sin^2)- Poišči vse njene singularnosti in residue v teh singularnostih! 3. Slučajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena z gostoto verjetnosti IV; a: e [1,2) p(x) := < ax; x G [2, 3) . 0 sičer Določi parameter a, skiciraj njeno porazdelitveno funkcijo ter izračunaj matemati č no upanje in P(X < 2) ! 4. S pomočjo Laplaceove transformacije re si diferencialno enačbo x - x =(2sh(t - 1); t > 1 (x(0) = x(0) = 0). 0; sičer 21.2.1995 1. Bodi f holomorfna funkčija in a, P, 7 G C kompleksne konstante. Kdaj je funkčija g(x) := a ■ Re f (x) + P ■ Im f (x) + ^7 ■ Re f (x) + Im f (x) j analiti čna? 2. S pomočjo Laplačeove transformačije resi diferenčialno enačbo x + 4x = t sin(2t); xx(0) = x(0) = 0. 3. Bodi a > 0. Razvij funkčijo f (x) := e ax po Laguerrovih polinomih (le—ti so ortogonalni na [0, to) z ute zjo e-x). 4. Kolikokrat poprečno moramo seči v zep, da bomo lahko stopili v stanovanje, če imamo v zepu k na pogled enakih ključev, od katerih pa je natanko eden pravi. Pri tem ključe ne vračamo nazaj. 1. Bodi a > 0 konstanta. Poi s c i ekstremalo funkcionala F(y) := / (y'2 — y2) dx; y(0) = y(a) = 0. Jo 1'. Dokazi, da za kompleksni stevili a,b velja: \a + b\< \l + ab\, (|a| < 1, |6| < 1)! Kdaj velja enacaj ? 2. Izracunaj integral -dz\ /r zenz + z + enz + 1 kjer integriramo v pozitivni smeri po trikotniku z oglisci 15 zi = - + 2?;, z2 = -8-n-?;, Z3 = I + 2?; 39 3. Poisci tako funkcijo 0, da bo resila enacbo r-x / ch(x — t)0(t) dt = 2x. o 4. Z metodo nedolocenih koeficientov poisci splosno resitev diferencialne enacbe y'" + x2y'' + 5xy' + 3y = 0. Doloci tudi konvergencni polmer dobljene vrste ! 6.6.1997 1. Poi s či vse funkčije $, da bo / x2 + y2 u(x, y) := $ ( - x realni del neke analiti čne funkčije f. Dolo či tudi f ! 2. Izra čunaj integral r2n čos x dx, (a > 1). J 0 (a — čos x)2 2'. Poi s č i prvih pet, od ni č razli čnih členov pri razvoju funkčije f (x):= l0' — 1 1? (Nasvet: Najprej obravnavaj primer, ko je vsaj ena re sitev kompleksna, nato pa s e, ko sta obe realni.) 3. S pomočjo razvoja v vrsto resi diferencialno enačbo (1 + x2)y'' + 10xy' + 20y = 0 v okolici to č ke 0. Poi s č i tudi konvergen čni polmer! 4. Poi s či povpre čno stevilo metov utez enega kovanca, da bo prvi č padel grb, če je verjetnost, da pade grb, enaka p. 1. S pomocjo Laplaceove transformacije resi sistem diferencialnih enacb x + y = t, x — y = e z zacetnimi pogoji x(0) = 3, x(0) = —2, y(0) = 0. 2. Naj bosta p in q realni stevili. Za katere vrednosti p, q ima enacba pz2 — qz + 1 = 0 resitve, za katere je |z| > 1? (Nasvet: Najprej obravnavaj primer, ko je vsaj ena resitev kompleksna, nato pa s e, ko sta obe realni.) 3. Izra cunaj integral / x sin ax /_oo x'2 + r2 dx (a, r > 0) 4. S pomocjo razvoja v vrsto resi diferencialno enacbo (1 + x2)y'' + 10xy' + 20y = 0 v okolici to c ke 0. Poi s c i tudi konvergen cni polmer! 5. Poi s ci povpre cno stevilo metov ute zenega kovanca, da bo prvi c padel grb, če je verjetnost, da pade grb, enaka P = 1. Izračunaj fr dz, kjer integriramo v negativni smeri po sklenjeni krivulji r podani z ena čbo |z + 3i| = 2|z + 3| ! 2. Poi s či resitev naslednje diferencialno-diferenčne enačbe: y'(x + 1) = y(x) + 1; y(0) = 0 3. S pomočjo funkcije r izračunaj integral /> 0. Razvij funkčijo f (x) := e ax po Laguerrovih polinomih (le—ti so ortogonalni na [0, to) z ute zjo e-x). 4. Kolikokrat poprečno moramo seči v zep, da bomo lahko stopili v stanovanje, če imamo v zepu k na pogled enakih ključev, od katerih pa je natanko eden pravi. Pri tem ključe ne vračamo nazaj. 1. Območje V := {z G C; >2, \z - y/2\ < v^} preslikaj konformno na zgornjo polravnino. 2. Dana je funkcija f(z) := sin^3)- Poišči vse njene singularnosti in residue v teh singularnostih! 3. Poi s či resitev diferenčialno-diferenčne enačbe y''(x) — y(x — 1) = x y(0) = y'(0) = 0 4. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena z gostoto , \ f«1; x e fi,2) ^H Jo J" I ax; x G [2, 3) Določi parameter a, skičiraj njeno porazdelitveno funkčijo ter izračunaj matemati č no upanje in P(X < 2) ! 3.6.1997 1. Bodi f = u + iv razčep analiti č ne funkčije na realni in imaginarni del. Denimo, da je u(x, y) - v(x, y) = x2 + * + - y(y + 2^). (z = x + iy) x2 + y2 Poi s či f. 2. Razvij funkčijo e x po Laguerrovih polinomih Ln. (Nasvet: Pomagaj si z Rodriguesovo formulo.) 3. Na daljiči dolz ine 1 slu č ajno izberemo tri to čke. Kak sna je verjetnost, da prva izbrana točka lezi med zadnjima dvema? 4. Izra čunaj inverzno Laplačeovo transformiranko od 1 F (p) := p3 + 1 1. Poi s ci konformno preslikavo, ki obmo cje D := {z G C; Im (z) > 0} \ {z G C; |z — i| < 1} povratno enoli cno preslika na enotski krog. 2. Re si parcialno diferencialno enacbo dU d2U U(x, 0) = 3 sin 2nx, U{0, t) = U(l,t) = 0; dt dx2' tu je x G [0,1] in t > 0 3. Integrala f d^ , f dx m o Jo Vx(l + x)5 izrazi s pomo cjo funkcije r. Drugi integral lahko tudi eksplicitno izracunas ! 4. Diskretna slucajna spremenljivka X ima gostoto verjetnosti P{X = k) = ^-; (A: = 0,1, 2,..., n) pri neki konstanti n. Izracunaj A ter doloci matematicno upanje in disperzijo X. Kak sna je verjetnost, da X zavzame le soda stevila? n 1. Funkciji f in g sta definirani z z2 - 1 1 + z Izračunaj integral f (eg(z) + f (z)) dz, A kjer integriramo po robu trikotnika A z ogli s či v točkah 1 +1, i -t, -i -t; tu je t > 0. Kaj se zgodi pri t = 1? 2. Razvij funkcijo f(x):=J°; -1 1 x - x = < v " ; x(0) = xč(0) = 0. 0; sičer 7.9.1998 1. Poi s ci konformno preslikavo, ki obmo cje D := {z e C; -5/8 n < arg(z - (1 + i)) < -n/4} preslika na prvi kvadrant kompleksne ravnine. (Tu je arg : C\{0} ^ 2. Re s i naslednji sistem integralskih enac b: 3. Poi s C i funkcijo f, da bo diferencialna enacba xy'' + f (x)y' + Ay = 0 generirala ortogonalne polinome na intervalu [0, to) z utežjo p(x) := x2e-x. Poi s c i tudi ustrezne lastne vrednosti. 4. Dva tanka vsako časovno enoto istoc asno ustrelita drug proti drugemu; prvi zadene z verjetnostjo p drugi pa s p2; 0 < pi,p2 < 1. Poi s c i poraz-delitveno funkcijo slucajne spremenljivke X, ki meri stevilo potrebnih strelov, da se dvoboj konca. Doloci tudi poprecen cas do koncanja. v(x) = 1 + 7 Izpiti - diskretna matematika 1. Za stevilo n(~ 3.14) je znano, daje transcendentno; to pomeni sledeče: Ce je p(x) := anxn + ara-1xra-1 + • • • + a0 polinom, in so an,..., ao čela stevila, potem p(n) = 0. (a) Poi s č i najmanj si podkolobar v R, ki vsebuje stevilo n. (b) Poi s či presek tega kolobarja s kolobarjem čelih stevil Z. 2. Poi s č i vse podgrupe v permutačijski grupi S3! 3. Iz grafa K5 odstranimo poljubno povezavo. Ali je ravninski? V koliko potezah ga lahko nari s emo, ne da bi odmaknili svin č nik od papirja? 4. Na mnoz iči N U {0} je definirana relačija R s predpisom (a,b) G R = 61(a + 3b)|. Ali je R ekvivalenčna? Ali je relačija delne urejenosti? 1. Napi si vse elemente mnozice A3, ki jo sestavljajo natanko vse sode permutacije grupe S3. Dokaz i, da je A3 podgrupa edinka v S3. Kateri znani grupi je izomorfna S3/A3? 2. Poi s ci vsa naravna stevila n, za katera je graf Kn Eulerjev. Za katere n ima Kn Eulerjev sprehod, pa nima Eulerjevega obhoda? Vsak korak mora biti utemeljen! 3. V mrez i (A, n, U) velja pri vsakem a G A enakost a U x = a U y. Dokazi, da je tedaj nujno x = y. 4. Naj bo preslikava f : A ^ A bijekcija. Za vsak a G A lahko definiramo mno zico T (a) := {f n(a); n G Z} = {..., (f-1 ◦ f-1)(a), f-1(a), f (a), (f o f )(a), (f o f o f )(a),...}. Dokazi, da velja sledec sklep: Ce je T (a) n T (b) = 0, potem je T (a) = T (b). 1. Napi si grupi S (a) in S ki sta generirani s permutacijama in dokaz i, da sta izomorfni. 2. Poi s či vsa naravna stevila n, za katera je graf Kn Eulerjev. Za katere n ima Kn Eulerjev sprehod, pa nima Eulerjevega obhoda? Vsak korak mora biti utemeljen! 3. V mrez i (A, n, U) velja pri vsakem a G A enakost a n x = a f y. Dokazi, da je tedaj nujno x = y. 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 oz. 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 4. Dokazi, da za poljubne mnozice A, B, C velja slede ča enakost: (A\B)\C =(A\C )\B. 1. V mnozičo N = N+ U {0} uvedemo dvomestno operačijo *: a * b := |a — b|. (a) Ali je operačija * asočiativna? (b) Ali obstaja enota v (N, *)? (č) Ali ima vsak element iz (N, *) svoj inverz? (d) Ali je (N, *) izomorfna standardni strukturi (N, +) z navadnim se stevanjem? 2. Naj bodo A,B in C dane mnoziče, za katere velja B C A in A n C = 0. Poi s či vse re sitve sistema A \ X = B, X \ A = C ! 3. Poi s či vse izomorfizme med grupama Z6 in Z2 x Z3. 4. Ana in Branka sta na večerjo povabile 10 prijateljev. V tem dvanajst članskem drustvu se vsak pozna vsaj s sestimi drugimi osebami. Dokaz i, da se lahko posedejo za okroglo mizo na tak nač in, da bo vsak poznal svoja dva soseda! (Nasvet: Graf je Hamiltonov, če je 5 > 1. Ali sta naslednja sklepa veljavna (a) P = q (b) p A q, —p q = — q 2. Ana in Branka sta na vecerjo povabile 10 prijateljev. V tem dvanajst clanskem drustvu se vsak pozna vsaj s sestimi drugimi osebami. Dokaz i, da se lahko posedejo za okroglo mizo na tak nac in, da bo vsak poznal svoja dva soseda! (Nasvet: Graf je Hamiltonov, če je 5 > 3. Na mnoz ici N+ je definirana relacija podana z m ~ n = m2 - n2 je deljivo z 10. Ali je ~ simetri cna? Ce je, dolo ci ekvivalencne razrede! 4. Permutacija n e S12 je dolocena s predpisom n : i ^ (i mod 12) + 1. Ali je permutacija n7 soda ali liha? 1. Naj bosta A, B mnoz ici in f : A — B ter g : B — A funkciji, za kateri je fg = IdA. Ali je tedaj nujno tudi gf = IdB? 2. Napi si mnozico A vseh podgrup od C2 x C2. V mnozico A vpeljemo relacijo "je podmnozica od". Ali je A v tej relaciji mrez a? Ce je, ali je distributivna oz. komplementirana? 3. Naj mno z ice A, B, C zado s c ajo relaciji A = B n C. (a) Ali velja A x A = (B x B) n (C x C)? (b) Ali velja A x A = (B x C) n (C x B)? 4. Najmanj koliko barv je potrebno, da pobarvamo tocke grafa (a) K33 (b) K5 20.6.1997 1. Naj bo n > 0 neko naravno s tevilo. V mnoz ico Nn uvedemo leksiko-grafsko relacijo ^ na podoben način, kot so urejene besede v slovarju, Pokaz i, da ima vsaka neprazna podmno z ica Nn minimalen element! 2. Bodi Z30 kolobar vseh ostankov pri deljenju s 30 in S := {1, 3, 5,15} C Z30. V mno z ico A := Z30 x S vpeljemo relacijo ~ s predpisom: (a, b) ~ (c, d) ^^ 3 s G S : (ad - bc)s = 0 G Z30. Ali je ~ ekvivalen č na relacija? 3. Poi s či n1997, kjer je n G S9 podana z 4. V grafu G naj ima vsaka točka stopnjo vsaj 3. Pokazi, da G vsebuje vsaj en čikel! torej (i1, i2 •••,in) =< (jljV-.Jn) def če je im > jm za nek m, potem obstaja k < m, da je ik < jk 123456789 841269537 29.8.1997 1. Koliko je vseh bijekčij iz mno z iče s sedmimi elementi N7 vase, ki ohranjajo element 5? Ali te bijekčije z operačijo „kompozitum„ tvorijo grupo? 2. Naj bosta a, b > 0 dve realni stevili. Mnoz ičo točk Pa,b := {(x,y) G R2; 0 < x < a, 0 < y < b} imenujemo pravokotnih. Pokaz i, daje mno z iča pravokotnikov A := {Pa,b; a, b > 0} mrez a za relačijo C; tj. ,,je vsebovan v". Dolo č i tudi infimum in supre-mum poljubnih dveh elementov mno ziče A. 3. Poi s č i najmanj si podkolobar v C, ki vsebuje stevilo a := (1 + i) 4. Ali lahko graf na sliki pobarvamo s tremi barvami tako, da bosta to čki T1 in T2 razli čne barve? 29.8.1997 1. Koliko je vseh bijekcij iz mno z ice s sedmimi elementi N7 vase, ki ohranjajo element 5? Ali te bijekcije z operacijo „kompozitum„ tvorijo grupo? 2. Naj bosta a, b > 0 dve realni stevili. Mnoz ico tock Pa,b := {(x,y) G R2; 0 < x < a, 0 < y < b} imenujemo pravokotnih. Pokaz i, daje mno z ica pravokotnikov A := {Pa,b; a, b > 0} mrez a za relacijo C; tj. ,,je vsebovan v". Dolo c i tudi infimum in supre-mum poljubnih dveh elementov mno zice A. 3. Poi s c i najmanj si podkolobar v C, ki vsebuje stevilo a := (1 + i) 4. Ali lahko graf na sliki pobarvamo s tremi barvami tako, da bosta to cki T1 in T2 razli cne barve? 1. Bodi M2(R) kolobar vseh 2 x 2 matrik z realnimi koeficienti. Vanj uvedemo relacijo R s predpisom (A,B) R (C, D), ce je AD = BC. (Pazi na vrstni red mnoz enja!). Ali je R ekvivalencna relacija? V posebnem: ali je refleksivna? Ali je simetri cna? 2. Naj bo G povezan graf. Pokazi, da obstaja v G taka tocka v, da je G\{v} se vedno povezan. (Nasvet: Vzemi najdalj so pot v G in bodi v zacetna tocka te poti.) 3. V polgrupi (A, o) naj bosta za vsaka a, b e A resljivi enacbi ax = b ter ya = b. Pokaz i, da je A grupa. 4. Naj mno z ice A, B, C zado s c ajo relaciji A = B U C. (a) Kdaj velja A x A = (B x B) U (C x C)? (b) Kdaj velja A x A = (B x C) U (C x B)? 8 Izpiti - numeriCne metode 1. Dolo č i koeficiente v kvadratni formuli r 2n f (x) sin x dx = A f (0) + B f (n) + C f (2n) + R 0 in nato izračunaj /02n ln(1 + x2) sinxdx. Oceni napako. 2. Re s ujemo sistem enač b x - y =1 1^1x - y =2^1 Ocenite relativno napako v re s itvi, če v prvi ena čbi desno stran nadomestimo z 11! 3. Poi s čite vse realne korene ena čbe 2-6 ex = x3 - 41 x na 5 dečimalk natan čno. 1. Matriko A razčepi na produkt A = L • U in nato s pomo čjo razčepa re s i sistem Ax = b. 1 3 —1 1 A = 3 2 4 b = — 1 —1 4 10 2 2. Poi s či realne korene enačbe 5x — 5 + sin x = 0 na 4 dečimalke natančno. 3. Na osnovi podatkov X 10 11 1'2 V 10 1'5 1'9 izra čunaj y'(T1) in očeni napako! 1. Na osnovi podatkov Xi 0 06 1'2 rs 2'4 30 Vi 0 0'59 195 0'95 0'59 0 (a) Dolocite prve tri ortogonalne polinome na mrezi ekvidistantnih to ck x»; i = 0,1,..., 5. (b) Za funkcijo f iz tabele konstruirajte aproksimacijski polinom p(x) druge stopnje. (c) Izracunajte /Q3 p(x) dx eksaktno! (d) Izra cunajte /Q3 f (x) dx po trapezni formuli tako, da upo s tevate vse vrednosti v tabeli. 2. Poi s cite vse korene enacbe sin(x +1) — ln x = — T5 na pet decimalk natan c no. 3. Izpeljite kvadraturno formulo, ki je eksaktna za polinome cim vi sje stopnje: 7t T f(x) cos xdx = A /(-f) + B /(0) + C (f) J-f- 7t Nato izračunajte JQ2 dx. Izpit IZ numeriCne matematike 1.9.1997 1. (a) Dolo č ite prve tri ortogonalne polinome na mre z i s estih ekvidistan-tnih to čk xj = a + ih; i = 0,1,..., 5. (b) Za funkcijo f, ki v to č kah mrez e po vrsti zavzame vrednosti y0, y1,..., y5 konstruirajte aproksimacijski polinom p(x) druge stopnje. (c) Poi s čite polinom p(x) za tabelo Xi 0 06 1"2 rs 2'4 30 Vi 0 0'59 195 0'95 0'59 0 (d) Izračunajte /03 p(x) dx eksaktno! (e) Izra čunajte /03 f (x) dx po trapezni formuli tako, da upo s tevate vse vrednosti v tabeli. 2. Robni problem y" — \fxy = 0, y(0) = 0, y( 1) = 1 rešite z diferenčno metodo. Za h vzemite 0^25. 3. Izpeljite kvadraturno formulo, ki je eksaktna za polinome čim vi sje stopnje: 7t f (x) cosxdx = Af (xi) + f (x2) + f (x3)] 7t Nato izračunajte JQ2 dx. — 7T 2 15.9.1997 1. Poi s cite vse korene enac be x ln x = 1 z navadno iteracijo in Newtonovo metodo. Primerjajte obe metodi s stalisca stevila korakov potrebnih za natan c nost 10-5. 2. Izpeljite kvadraturno formulo oblike stopnje: rx2 f (x) dx = Ayo + Byi + Cy2 + ' xo Nato izračunajte f* -^L. za h = 01. 3. Za tabelo X 1 1'5 2 2'5 3 V 3 1'9 1'5 1'3 1"2 Poiščite aproksimacijsko funkcijo oblike g(x) := a + ^ po metodi najmanj s ih kvadratov. Izracunajte tudi vsoto kvadratov odstopanj. 15.9.1997 1. Poi s čite najmanj s a pozitivna korena enačbe x čos x = 0^2 z navadno ite-račijo in Newtonovo metodo. Primerjajte obe metodi s stalisča stevila korakov potrebnih za natančnost 10-5. 2. Izpeljite kvadraturno formulo oblike stopnje: fX 2 f (x) dx = Ayo + Byi + Cy2 + Dy' + R 'xo Nato izračunajte f* za h = 0'1, ocenite napako in jo primerjajte z 2+x dejansko. 3. Za tabelo X 1 1'5 2 2'5 3 V 3 1'9 1'5 1'3 1"2 Poiščite aproksimacijsko funkcijo oblike g(x) := a + \ po metodi najmanj s ih kvadratov. Izračunajte tudi vsoto kvadratov odstopanj. 3.2.1998 1. Izpeljite kvadraturno formulo C h / f(x)dx = Af(l) + Bf(h) + R. Jo (a) Na osnovi te formule izpeljite se formulo za izracun integrala f (x) dx 7r j (b) Izračunajte J04 -^r pri delitvi integracijskega intervala na 1, 2, 5 podintervalov. (c) Ocenite napako vsakega od pribliz kov in jo primerjajte z dejansko. (d) Primerjajte to integracijsko pravilo s trapeznim in Simpsonovim. 2. Resujemo sistem linearnih enacb Ax = b, kjer za matriko A = {aj velja, da je a^ = 0 za i — j > 1. (a) Zapi site eno tako matriko reda 5. (b) Algoritem za Gaussovo eliminacijo predelajte za re sevanje takega sistema. (c) Pre stejte potrebne operacije (deljenja in mnozenja). (d) Izracunajte LU razcep matrike reda 4, katere elementi so „... /^T-n ' J 1 ' 10; i — j> 1 9 Izpiti - linearna algebra POPRAVNI KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE 26.1.1999 1. Dolo č i kot med vektorjema a in 6, č e je a = c + d, 6 = 2c - d, ||d~|| = ||2c||, ||c x d~j| (Nasvet: Uporabi identiteto ||c x d||2 + (c ■ d)2 = ||c||2 1 c • d .) -15 -10 -5 -5 30 20 10 10 -30 -20 -10 -10 v 15 10 5 5 2. Poišči presečišče premice p : ^ = = c in ravnine II : x+y+z = 6. Določi tudi kot pod katerim premiča prebode ravnino. 3. Poi s či bazo prostora Ker A n Im A, kjer je A: 4. Poi s či matriko preslikave v R2, ki to č ko najprej zavrti za 60° v pozitivni smeri okoli koordinatnega izhodi s ča, nato pa jo se prezrčali prek premiče y = 3x. Ali je ta matrika enaka matriki, ki jo dobimo, če vrstni red operačij zamenjamo? 5. Poi s či razdaljo med polinomom p(t) := t2 in podprostorom V, dolo čenim z V := {a + 6t; a, 6 G R} če je skalarni produkt definiran z (p, q) := / xp(x)q(x) dx o POPRAVNI KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE 16.4.1999 1. Dana sta vektorja m = ~a — b — ~c in it = ~a — b — |~c , pri čemer poznamo dolžine vektorjev: |"č?| = |6| = l, |~č?| = \/2, ter kote med njimi: Z(~a, b ) = Z( b , ~c) = Z(~a, ~c) = Vektorja m in "n razpenjata paralelogram. Poi s c i njegovo ploscino. (Nasvet: Poisci dolz ini obeh stranic in kot med njima.) 2. Ravnina n gre skozi to c ko T(3, 4,1) in je vzporedna premicama: x — 1 y — 2 z y — 3 z + 1 p : - =- = -, m q : x = - =-. 1 2 -12 H 2 3 Poi s c i enacbo ravnine n, ter ugotovi, kam se preslika tocka S(1, —2,1) pri zrcaljenju cez n. Izracunaj se razdaljo premice p od ravnine n. 3. Linearni preslikavi A, B : R3 ^ R3 sta podani s predpisoma: A(x,y,z) = (x - y,y - z, z - x), B(x,y,z) = (x - 2y,y - 2z, z - 2x). Naj bo C = (A - B)A. (a) Zapi si matrike preslikav A, B in C glede na standardno bazo prostora R3! (b) Poi s ci bazo prostorov Ker A H Ker B in Im A + Im C. 4. Poi s ci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike 001 A = 0 2 0 400 5. Poi s ci pravokotno projekcijo polinomoma p(t) := t2 na podprostor V, dolo cen z V := {a + b(t - t2); a,b G R} ce je skalarni produkt definiran z (p, q) := / p(x)q(x) dx o POPRAVNI KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE 6.9.1999 1. Dan je trapez ABC D, pri katerem sta osnovnici v zvezi CD = | AB, za kraka pa velja: AD = BC = \AB. Simetrala kota z vrhom v točki A seka dalj ico DC v točki X. Preveri, če je AB ■ AD = | AB2. Nato poišči razmerje DX : XC. 2. Pri danih prostorskih vektorjih a, 6 poi s či vse resitve enačbe x + xx a = 6 (Nasvet: enačbo pomnozi skalarno in vektorsko s primernim vektorjem. Mogoče ti bo v pomoč identiteta (x x y) x z = (x ■ z)y — (yy ■ z)x) 3. Poi s či pravokotno projekcijo premice p : x + y — z =1, x + z = 2 na ravnino n: x — y + z = 3. 4. Poi s či lastne vrednosti matrike A := 200 0 2 —1 1 1 0 Pri vsaki lastni vrednosti poi s či tudi vse linearno neodvisne lastne vektorje. 5. Poi s či pravokotno projekcijo polinomoma p(t) := t2 na podprostor V, dolo čen z V := {a + 6(t — t2); a, 6 G R} če je skalarni produkt definiran z (p, q) := / p(x)q(x) dx 0 POPRAVNI KOLOKVIJ IZ LINEARNE ALGEBRE 25.10.1999 1. Dan je trikotnik ABC z dolzinami stranic |AB| = 3, |AC| = 4 in \BC\ = 5. Točka X deli daljico AB v razmerju 1:1, točka Y pa daljico AC v razmerju 1 : 2. Bodi Z presečišče premic CX in BY. Izrazi vektor AZ z vektorjema AB in BC. 2. Dani sta ravnini ni ' 2x + 2y + z = 3 in n2 : x + 2y + 2z = 6 Poi s ci ena cbo premice, ki je od obeh ravnin oddaljena za tri enote. (Re sitev je vec !) 3. Naj bo P3 prostor vseh polinomov stopnje najve c 3. Na njem sta dana linearna funkcionala F, G : P3 — R s predpisom F : p — p(1) in G : p — p'(1) Poi s ci bazo preseka njunih jeder. 4. Bodi Z preslikava, ki to cko prezrcali preko premice y = — 3x, V pa preslikava, ki to cko zavrti za 45° v pozitivni smeri okoli koordinantnega izhodi s ca. Poi s ci matriko za preslikavo U := Z o V v standardni bazi, nato pa s e preveri, da je U tudi zrcaljenje. Okoli katere premice? (Nasvet: Preveri, da ima U lastni vrednosti ±1 in da sta ustrezna lastna vektorja pravokotna) 5. V vektorskem prostoru R4 s standardnim skalarnim produktom poi s ci ortogonalno projekcijo vektorja a = (1, 2, 3, 4) na prostor V := {(x, y, z, k); x + y = 2z — k}