i
i
“617-Likar-Naredimo” — 2010/6/3 — 10:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 3
Strani 108–114
Andrej Likar:
NAREDIMO SI PLANIMETER
Ključne besede: matematika, fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/617-Likar.pdf
c© 1983 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NAREDIMO SI PLANIMETF.R
Prav gotovo znate izračunati pl oščino kvadrata, trikotnika,
kroga .. . Za ta ke "lepe" li ke imamo na voljo r a č u n s k e izraze,
ki povezujejo ploščino z dolžinami stranic, višin , s polmerom
... , ki j ih prav enostavno izmerimo. Pa znate izmeriti tud i plo-
ščino? šlo bi z milimetrsko mrežo, na pr imer (g lej s li ko 1). Na
l i k položimo prozornico z milimetrsko mrežo in preštejemo kvad-
ratke, ki ležijo znotraj li ka . Nekaj sitnosti je s kvadratki . na
robu l i ka , a tam ocenjujemo. Ce lik le ni pre več "čuden", dobi -
mo kar natančen rezulta t. Ploščino l a hko i zme r imo tud i tako, da
lik prerišemo na pap ir in ga s š ka r j ami i zr ežem o ter ste hta mo.
Nato stehtamo še lik, ki mu ploščino poznamo. Ce je papir homo-
gen, je razmerje mas obeh likov enako razmerju ploščin . Iz raz-
merja izračunamo neznano p loščino . Ce imate bujno domišljijo,
si l ahko iz mis l it e še kakš en nači n, S katerim bi mer ili plošč i ­
ne r avni ns kih li kov.
S I ika 1 . P lošči no l a h ko izmerimo t a ko , da na 1 i k po ložimo pro-
zornico z mi l i me t r s ko mrežo in seštejemo kvadratke, ki
so z notraj 1 i ka . V na šem primeru je ploščina lika 3520
mm 2 .
Geometri imajo napra vo, s katero igraje izmerijo p loščino po-
lj ubnem u ravni nske mu li ku. Te j napravi pravi jo p l a nime te~ . Na-
108
tančna izvedba takega instrumenta je na naslovnici.Planimeter spo -
minja na škarje, ker ima gibljiva kraka. Konec enega kraka je v
točki P vrtljivo vpet. Tej točki rečemo pol, kraku pa pol arn i
krak . Na koncu drugega kraka - pravimo mu obhodni k r ak - je po-
večevalno steklo z označeno obh odno točko O. S tem krakom drsi-
mo po krivulji, ki obdaja lik tako, da je obhodna točka ves čas
na krivulji . Ko prevozimo lik in pridemo spet v izhodiščno točko,
preberemo ploščino na kolescu K. To kolesce med obhodom delno
drsi, delno pa se kotali, saj je os, okrog katere je kolesce
gibljivo, vzporedna z obhodnim krakom.
Skala na kolescu je umerjena , da lahko preberemo ploščino obje-
tega lika kar v kvadratnih milimetrih. Pred odhodom moramo po-
staviti kolesce na O in tudi šteti polne obrate kolesca, ko me-
rimo like z večjo ploščino . števnik obratov je pri boljših in-
strumentih vgrajen. Navadno se ne trudimo, da bi postavili ko-
lesce na O, temveč ga odčitamo pred obhodom in po njem, razlika
pa pove ploščino lika (glej sliko 2).
a) b)
Slika 2. Lega kolesca pred obhodom (a) in po njem (b) . Številka
v desnem okencu se poveča za 1 , ko kolesce naredi cel
obrat okrog svoj e osi . Pred obhodom (a ) je odčitek
1255 delcev, po obhodu (b ) pa 3647 delcev. Raz] ika je
torej 2392 delcev. V zgornjem okencu vidimo .. da je dol
ž ina obhodnega kraka postavljena na dolžino 10,0. Pla-
n imeter je v tem primeru tako nastavljen, da pomeni 1
delec 10 mm 2 . Pl6ščina merjenega lika je torej 23920mm 2
109
Zakaj je zasuk kolesca kar sorazmeren s ploščino objetega
lika? Oglejmo si načelo, po katerem ta zanimiva naprava
deluje. Planimeter si nekoliko poenostavimo (glej sliko 3).
Polarni in obhodni krak sta gibljivo speta v točk i K, po-
larni pa je vrtljivo vpet v polu P. Kolesce bomo namestili
tako, da se vrti okrog obhodnega kraka, papirja pa naj se
dotika ravno pod točko K. Na ta način se izognemo vrtenju
kolesca, kadar premikamo le obhodni krak. V resnici ta o-
mejitev ni pomembna, le razlago nam olajša.
51 ika 3. Poenostavljen plani meter .
Najprej si oglejmo, kolikš no razdaljo prekotali kol e s ce ,
ko se točka K premakne za kra tk o- ra zdaljo ~8 . S slike 4
vidimo, da bo kolesce prekotalilo le pot ~y = ~8 cos ~,
vmes pa bo ves čas še drselo. Pokažimo, da s tem instru-
mentom lahko izmerimo ploščino zelo ozkemu liku, ki ga 0-
110
B
obluulni krak
A
5 1 ika 4 . Ko lesce pr ek o t a l i po t ~ y , p red r s a p a p o t ~ X , k o se t o č ­
ka K p r e ma k n e za ~ s i z t o č k e A v ' t o č k o B.
5 1 i k a 5 . 5 p la n i met ro m l a h k o i z meri mo p l o š č in o z e l o o z kem u l i -
ku, ki g a ome j u je t a kr ožn ic i s s r e di š če m v polu .
mej ujeta krožni ci s sred iščem v polu (glej s liko 5). S ioč­
ko O obhodimo lik od točke S do SI in nato po spodnji krož-
nici nazaj v s . Ko potujemo po zgornji krožni ci od s do
SI , prepotuje t očka K razdaljo p ~~JI / 1 80 . Kot {} je namreč
skoraj ves čas enak, kot ~ pa se spremeni od začetnega ~z
do kon čn e qa e j, , torej za. M . Točka K opiše de l krožni ce s pol-
111
me rom, ki j e enak do lž in i polarn ega kraka . V bližin i točke
SI se s ic e r kot ~ prav ma lo spre meni , ka r pa zane mari mo,
ke r j e obrRvnavani lik zelo ozek . Ko l esce zab e l e ž i raz da -
lj o tll<j>II / 18 0 . c o s ~, ker deloma drsi . Iz Pit agor ove ga izreka
za p oč r ta n t rik otni k na s li ki 5 dobimo:
1'12 = ( Zsi n~) 2 + ( t - Zcos l1' ) 2
( Ne kat e ri mor da pozn a te t o e n a č b o kot kos i nusov i z r e k. )
Vidimo , da velja
t cos ~
Ko gr emo od S I na za j k S , s e ko l e s ce s pet kotali , a t o pot v
ob ra t no smer. Podobno kot zgora j je nj kqov za s uk
li = 1. [ 1I ( Z 2 +t 2 ) 11 1' 22 ]
Y2 Z 360 ll<j> - ~ ll<j>
l e da s eda j names to 1' 1 p i še ~o 1'2 ' t ore j man j ši radij, ker dr -
s i mo po s podnj i kr ožni ci . Ko t ll<j> j e seve da e na k, s a j pr i demo
s pe t v za četno t o č k o , kj e r se obhod kon ča. Ko l esc e poka že raz -
l i ko poti
lly = li II 1 [ Il (1' 1
2 - l' l ) ]Y2 - Y I = T 360 ll.<j>
V okl e pa j u hi tro sp ozna mo p lošč ino na še ga lik a, saJ J e l e-t a
r azl ika med p loščinama krož ni h i z s e kov s kotom ll<j> . Ko lesce t o-
rej pr ekota l i pot , ki j e so ra zm e r na s · p lošč ino obkro žen ega li -
ka . Iz zad nje en ač be s l ed i
IIp = Zll y
Pol ju ben li k se daj r azr e žemo na ozke pas ove , za ka tere smo
pokazal i, da j i m s pl anime t rom l a hko iz mer imo p lošč i no (g le j
s l iko 6 ) . Seda j me ri mo plošč ino vsakem u l iku pos e be j , kol es -
ce pa s e š t ev a de lne p lošč i n e . Obkro žat i mor amo ve dno v i s t em
s mis l u , r ecim o v smer i , nasp r otni s mer i urin ega ka za l ca, pri
112
ne za-
smeri. Oba 'obhoda sku -
,. %: · ·c
u ni treba delati.
ga
Plo-
da~ega. l~ka, pa
dviganja kolesca .
taka kot prej:
po zgornji
s edn j sq a zqo r aj, pa ravno v n rothi
pa.i ,seveda hepremakneta k ol esc a,
Vse mučno delo odpade,ostane le
lahko obkrož imo ~rez pr~stavljanja
ščina merJenega 1ikl jQ potemtakem
p
•
S l i k a 6. Pol ju b e n 1 i k r a z de l i mo n a
p a s o v e , k i 50 ome j e n i 5
ko n ce n t ri č n imi k rogi.
Ta k i m pasovom l a hk o lz rn e
r imo p lošČ i no 5 p la n imet ro m.
Hitro se da pokazati, da del 'uje "pl anijce t e r tako, kot smo o-
pisali, četudi kolesce kje venda,r
je njegova os vzporedna obhodnim krakom. na
ovitku ima kolesce kar č od točke K.
Plan imeter s i po vzo rc u na ov i tku l ah ko izd el at e sami . Namesto
1upe uporabi te kar konico, s katero buste obkroža l i li ke . Z ma -
l o s pre t nost i boste uspe li t udi z montažo kol e sca , kjer mor at e
paziti l e na to, da je njegova os vzpor ed na z obhodnim krakc m.
Za pol spet uporab ite konico , polarn i krak pa na polu obte ž ite,
113
da bo po l res trdno pripe t, a vrt ljiv. Kraka se mora ta me hko
prem ikat i. Pi ši t e nam , fp vam je uspe lo i n nam pp iš ite svoj p l~
ni met e r . Napiš ite tudi, kakšno n at an č n o st ste doseg l i z njim .
To na jl a že pre veri te na li ki h , ki j i m p lošč i no že pozna te . Na
konc u vi dite preg ledn ico, kjer so ~o leg i me ri l i š tev i lo IT tako,
da so s pl a n i me t r orn , k i ga vidi te na ov i tku, i zme rili pl o š č i no
kroga s po lmerom 10cm.
PRE GLEDN ICA - MERJENJ E 5TEV I LA IT S PL ANIME TROM
Meri 1ec l l ega kol es ca Pi [cmZ ] ~ [cm] Pi -(e n de lec = 10 mmZ ) -;:;L = IT . LlIT i = IT i - ITr i 1Ipred po
. ob hodom obhodu .
Matjaž 7255 10412 315,7 10 , OO 5 3 ,154 - 0,001
Da ni l o 423 3592 316,9 10 , OO 3, 169 O, O14
Dar ko 6757 9917 316, O 10, OO 3, 160 0,005
Bogda n 4236 7392 315,6 10, O15 3, 147 - 0,008
Rafae l 3593 6756 316 ,3 10 ,02 3, 150 - O, OO 5
Ma tej 4584 7745 316, 1 10 , OO 3 , 16 1 0 ,006
Fr an c 2809 596 4 315,5 10 , O1 3, 149 - 0,006
Andrej 8069 11228 315,9 10, O15 3, 150 - 0,005
ff "" 3 , 1551Mi1"" 0,006
Vsi mer i lc i s o me r il i p lošč ino i n polm er i s t e ga kroga.
P o p r e čn a vr edn ost za š t e v i 1o IT i z t eh mer it e v j e 3, 155, odmi k
od p op r e č j a pa 6, 10 - 3 , Na natančnos t merit ve sk l epa mo i z
\LI
IT
IT 1'" 2 , 10- 3 l i O n Ol._ a l, L lo ,
Ke r so vse meri t ve nekoliko nad pra vo vred nostjo za š tev i lo IT,
je verj e tn o, da i mamo opravka s s istema tsko napako ( napako me -
r i l nega pr ibo ra),
An dre .] Li ka r
114