Izvor
Univerza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije
(Obvezni izvod spletne publikacije)
Opis
Označimo vozlišča polnega grafa K_v s celimi števili iz množice {0, 1, …, v - 1} in definirajmo dolžino l povezave med različnima vozliščema, označenima z x in y, kot l(x, y) = min(|y - x|, v - |y - x|). Realizacija multimnožice L velikosti v - 1 je Hamiltonova pot v grafu K_v, katere oznake povezav tvorijo množico L. Buratti–Horak–Rosova (BHR) domneva pravi, da realizacija multimnožice L obstaja natanko tedaj, ko za vsak delitelj d števila v število veˇckratnikov števila d v L ni večje od v - d. Vpeljemo “mrežaste grafe” kot uporabno orodje za konstrukcijo posebnih vrst realizacij, imenovanih “linearne realizacije”, zlasti kadar ima obravnavana multimnožica nosilec velikosti 3. S tem dokažemo številne nove primere BHR-domneve, med drugim za multimnožice oblike {1^a, x^b, y^c}, kadar velja a ? x + y - ?, kjer je ? število sodih elementov v množici {x, y}, ter za vse multimnožice naslednjih oblik pri dovolj velikem v, če velja gcd(v, y) = 1 za vsak y ? L: • {1^a, 2^b, x^c}, razen morda kadar je a ? {1, 2} in je x liho število, • {1^a, x^b, (x + 1)^c}. S tem pokažemo, da obstaja neskončno mnogo množic U velikosti 3, za katere obstaja neskončno mnogo vrednosti v, pri katerih BHR-domneva velja za vsako multimnožico z nosilcem U . Poleg tega pokažemo, da BHR-domneva velja za {1^a, x^b, (x + 1)^c}, kadar je x ? {7, 9, 10} in gcd(v, x) = gcd(v, x + 1) = 1.