PRESEK LETNIK 43 (2015/2016) ŠTEVILKA 2
<1 +
-> konstrukcija pravilnega sedemkotnika prečna flavta
pripravljamo se na tekmovanje iz znanja astronomije algoritem apriori in povezovalna
pravila
ISSN 0351-6652
9
9770351665326
9770351665326
matematični trenutki
Kupčkanje peska
-> Ustvarjanje skulptur iz mivke ni le zabavno, porodilo je tudi živahne in privlačne raziskave o obnašanju kupov peska. Ugotoviti bi namreč želeli, kako se podirajo in kako spreminjajo obliko računalniško ustvarjene sipine. Kupi peska se obnašajo po zelo enostavnih pravilih. Ko nasujemo nov pesek, se npr. kupčki, sestavljeni iz štirih kamenčkov, podrejo, prevrnjeni kamenčki pa se v vseh štirih smereh neba pridružijo najbližjim sosednjim kupčkom. Sosednji kupčki, ki so bili prej sestavljeni morda le iz treh kamenčkov, tako zrastejo, se podrejo, prispevajo kamenčke sosednjim kupčkom, ki spet zrastejo, se podrejo, razporedijo kamenčke sosednjim kupčkom in tako naprej brez konča. Kljub enostavnosti to pravilo vodi do neverjetno zapletenih fraktalskih vzorcev, ki jih ustvarjajo milijarde kamenčkov. Takšen model lahko ponazarja obnašanje različnih sistemov, od nevronskih mrež do gozdnih požarov.
Preprosto peskovniško pravilo, ki vodi v zelo zapleteno obnašanje, je primer samo organizirane kritičnosti, kar pomeni, da obstaja meja med popolnim kaosom in konstantnostjo. Zelo velike količine peska se ustalijo v stanju, ko je povprečni kupček velik le malo več kot dva kamenčka. Tudi v tem stanju pride do prevračanja, ki pa ga lahko do neke mere predvidimo. V primeru, ko je kamenčkov v kupčku več, pa lahko že dodatek enega samega kamenčka sproži plaz čelotnega sistema. Raziskovalči trenutno s pomočjo geometrije in parčialnih diferenčialnih enačb določajo lastnosti samo-organiziranih kritičnih sistemov. Razumevanje teh lastnosti bo pomagalo pri obvladovanju različnih področij, od finančnih trgov do vesolja in morda čelo do izvora življenja.
Za več informačij si preberite članek The amazing autotuning sandpile, ki gaje napisal Jordan Ellenberg in objavil aprila 2015 v reviji Nautilus. _ XXX
kolofon
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 43, šolsko leto 2015/2016, številka 2
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2015/2016 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1400 izvodov
© 2015 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1972
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov

2
PRESEK 43 (2015/2016) 2
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
FIZIKA 9-14 Prečna flavta (Tine Golež)
23-25
26-29
ASTRONOMIJA
Pripravljamo se na tekmovanje iz znanja
astronomije
(Andrej Guštin)
RAČUNALNIŠTVO
Algoritem Apriori in povezovalna pravila (Damjan Strnad)
Slika na naslovnici: 28. septembra je bil v jutranjih urah tudi iz Slovenije viden popolni Lunin mrk. Slika na naslovnici prikazuje tri faze mrka: delni mrk pred vstopom Lune v Zemljino senco, popolno fazo mrka in videz Lune nekaj minut po koncu popolne faze mrka. Posnetki so nastali v Braniku z apokromaticnimrefraktorjem 127/952 mm (f/7,5) in digitalnim fotoaparatom Pentax K5 II. Foto: Andrej Guštin
TEKMOVANJA
Kresnička
(Barbara Rovšek, Sašo Žigon, Gregor Torkar in Dušan Krnel) 14. tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol
-	področno tekmovanje
14. tekmovanje v znanju matematike za dijake pokličnih šol
-	državno tekmovanje
14. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol
-	državno tekmovanje
6. tekmovanje iz znanja astronomije
-	šolsko tekmovanje
6. tekmovanje iz znanja astronomije
-	državno tekmovanje
14. tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol regijsko tekmovanje
MATEMATIKA
Konstrukcija pravilnega sedemkotnika
Marjan Jerman
konstrukcije pravilnih večkotnikov
Grški geometri so znali, tako kot bi znal vsak od vas, brez težav samo s pomočjo ravnila in šestila narisati enakostranični trikotnik, kvadrat in pravilni šestkotnik. Precej več dela in premišljevanja so porabili za konstrukcijo pravilnega petkotnika, sedemkotnika pa nikakor niso uspeli narisati.
Da je bil njihov trud zaman, je šele v devetnajstem stoletju uspelo dokazati Pierru Wantzlu (18141848). ki je našel potrebne pogoje za konstrukcijo pravilnega n-kotnika. Carl Friedrich Gauss (17771855) pa je pokazal, da so ti pogoji tudi zadostni.
Pravilni n-kotnik je mogoce narisati samo s po-mocjo ravnila in šestila natanko tedaj, ko je število njegovih stranic n oblike
n = 2 • P1P2 ••• Pm; k G N u {0},
(1)
pri cemer so pt razlicna Fermatova praštevila. Fer-mato praštevilo je število oblike
■ p = 2(2t) + 1; t G N u {0},
ki je hkrati praštevilo. Pierre de Fermat (1601-1655) je domneval, da je vsako število te oblike praštevilo, a tega ni znal dokazati. Leonhard Euler (1707-1783) je njegovo domnevo ovrgel leta 1732, ko je pokazal, da je
2
(25) + 1 = 641
6700417.
Ker število 7 ni oblike (1), pravilnega sedemkotnika ni mogoce konstruirati. Splošen rezultat je posledica izreka iz teorije obsegov, ki pove naslednje: Ce je x nicla nerazcepnega polinoma z racionalnimi
koeficienti, ki ima stopnjo razlicno od 2r
m
N
{0}, daljice dolžine % ni mogoce narisati samo z ravnilom in šestilom.
Eden od najbolj pomembnih primerov je starogrški problem podvojitve kocke. Ta sprašuje, ali je mogoce konstruirati stranico kocke s prostornino 2. Število % = je nicla polinoma
■ p(%) = %3 - 2.
Ce bi bilo mogoce polinom p razcepiti na produkt polinomov manjše stopnje z racionalnimi koeficienti, bi bil vsaj eden od faktorjev linearni polinom. Tedaj bi imel polinom p vsaj eno racionalno niclo. Po znanih kriterijih so kandidati za racionalne nicle polinoma p ulomki, katerih števec deli prosti clen, imenovalec pa vodilni koeficient polinoma p. Ker nobeno od števil ±1, ±2 ni nicla polinoma p, smo pokazali, da je % nicla nerazcepnega polinoma stopnje 3 = 2m, zato problem podvojitve kocke ni rešljiv samo z ravnilom in šestilom.
Ker je vsak pravilni veckotnik vcrtan nekemu krogu, lahko problem konstrukcije pravilnega veckotni-ka prevedemo na iskanje zveze med dolžino stranice veckotnika in polmerom kroga.
Evklidova ideja za pravilni petkotnik
Idejo za zvezo med stranico pravilnega sedemkotni-ka in polmerom njegovega ocrtanega kroga lahko najdemo v genialnem Evklidovem izracunu dolžine stranice pravilnega desetkotnika, ki ne uporablja tri-gonometricnih funkcij. Ker je samo s šestilom mo-goce podvajati in razpolavljati kote, je pravilni deset-kotnik mogoce narisati natanko tedaj, ko je mogoce konstruirati pravilni petkotnik.
Naj bo pravilni desetkotnik s stranico %, vcrtan v krog s središcem O in polmerom r. Izberimo enega od desetih enakokrakih trikotnikov, ki imajo za osnovnico AB stranico desetkotnika, njegova kraka AO in BO pa sta polmera ocrtanega kroga.
4
PRESEK 43 (2015/2016) 1	36
MATEMATIKA
O
D'
x
A
C ^p \
\
\
\B
			\ / \ / \ /	x \\\ \M
A	O	x	D	
A
SLIKA 1.
Enakokraki trikotnik v desetkotniku
AB AO
x r
BC_ BA
r - x x
2 2 x = r2 - rx.
Smiselna je le pozitivna rešitev te kvadratne enacbe
' V§ - 1 ~
xr
2
Naj bo, recimo, r = 1. Število V§ lahko narišemo kot hipotenuzo pravokotnega trikotnika s stranicama 2 in 1. Od tega števila s šestilom odrežemo enoto
SLIKA 2.
Enakokraki trikotnik v štirinajstkotniku
Ker je vsota notranjih kotov v desetkotniku enaka 10n - 2n = 8n, je kot
p = ZABO = 280 = 2 n.
Na stranici OB (glej sliko 1) izberimo tako tocko C, da bo AC = AB = x. Tako je tudi ZACB = p. Kot ZAOB je enak 1o2n = ^n. Poglejmo si trikotnik OAC. Ker je zunanji kot trikotnika enak vsoti notranjih nepriležnih kotov, je
■	ZCAO = ZACB - ZAOC = §n - 5n = 5n.
Tako je ZOAC = ZAOC in trikotnik OAC je enako-krak. Zato je
■	OC = AC = AB = x.
Manjši trikotnik BCA ima enake kote kot vecji trikotnik ABO, zato sta si trikotnika podobna. Za razmerji osnovnice in kraka velja
Tako smo našli zvezo med stranico desetkotnika in polmerom njegovega očrtanega kroga:
1, nato pa daljico razpolovimo. Tako smo narisali stranico pravilnega desetkotnika, ki je vcrtan v krog s polmerom 1. Stranico pravilnega petkotnika dobimo tako, da kot AOB s šestilom podvojimo.
Pokazali smo, da lahko le z ravnilom in šestilom narišemo pravilni petkotnik.
Posplošitev ideje na sedemkotnik
Evklidovo idejo lahko uporabimo tudi za izracun dolžine stranice pravilnega štirinajstkotnika.
Enako kot prej izberimo enega od štirinajstih ena-kokrakih trikotnikov ABO z osnovnico AB = x in krakoma AO = BO = r (glej sliko 2). Na kraku OB izberimo tocko C, tako da bo AC = AB = x, na kraku O A pa tako tocko D, da bo tudi CD = x. Tokrat je
■	p = ZABO = 3 n = ZBCA,
ZCAB = n - 2p = 1 n in ZADC = ZDAC = p -ZCAB = In. Sedaj si poglejmo trikotnik ODC. Ker je zunanji kot enak vsoti notranjih nepriležnih kotov, je
■	ZOCD = ZADC - ZCOD = jn,
torej je trikotnik COD enakokrak. Zato je
■	OD = DC = CA = AB = x.
Ponovno sta podobna manjši trikotnik BCA in vecji trikotnik ABO, zato je
BC BA
BC x
AB AO
x r

PRESEK 43 (2015/2016) 2
5
MATEMATIKA
—^ in BC = X2. Narišimo višini DD' in AA' trikotnikov COD in BCA. Zaradi vzporednosti višin je
OD OA
x r
OD' 2(OB - CB)
OA'
OB - 2 CB
r - r 2(r - X2)
r2 - x2 2r2 - x2'
Tako smo dobili kubično zvezo med stranico x pravilnega štirinajstkotnika in polmerom r njegovega očrtanega kroga:
2
■	2r2x - x3 = r - rx
V primeru, ko je r = 1, je treba rešiti kubično enačbo z racionalnimi koeficienti
■	p(x) = x3 - x2 - 2x + 1 = 0.
Enako kot v premisleku pri problemu o podvojitvi kocke vidimo, da -1 in 1 nista rešitvi te enačbe, zato je polinom p nerazčepen polinom stopnje tri in da-ljice dolžine x ni mogoče narisati le z ravnilom in šestilom.
Ker je mogoče pravilni sedemkotnik konstruirati natanko tedaj, ko lahko konstruiramo pravilni štiri -najstkotnik, smo tako pokazali, da pravilnega se-demkotnika ni mogoče narisati le z ravnilom in še-stilom.
Radovednega bralca vabimo, da enak trik z daljšo lomljeno črto z odseki dolžin x uporabi tudi v primeru osemnajstkotnika in pokaže, da sta stranica x in polmer r povezana z enačbo pete stopnje
■ x5 - rx4 - 4r2x3 + 3r3x2 + 3r4x - r = 0,
s pripadajočo nerazcepno enačbo
x5 - x4 - 4x3 + 3x2 + 3x - 1 = 0.
Zato ni mogoča niti konstrukčija pravilnega devet-kotnika.
Sedemkotnik v kompleksni ravnini
Kot zanimivost pokažimo, kako bi z modernim poznavanjem kompleksnih števil pokazali, da konstrukcija pravilnega sedemkotnika ni mogoča. Vse kompleksne rešitve enačbe
SLIKA 3.
Pravilni sedemkotnik kot rešitev enacbe z1 = 1
so števila oblike
■	zk = cos( 2rk) + i sin( ^ffc); k = 0,1, 2,... 6.
V kompleksni ravnini si jih lahko predstavljamo kot oglišča pravilnega sedemkotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 1, eno od oglišč pa ima v točki z0 = 1 + 0i (glej sliko 3). Ce bi znali narisati pravilni sedemkotnik, bi lahko narisali tudi pravokotno projekcijo števila z1 na realno os, torej realno točko cos( ^r) + 0i in njen dvakratnik x = 2 cos( ^r).
Enačbo (2) lahko razstavimo in dobimo
■	(z - 1) (z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0.
Realno rešitev z0 = 1 že poznamo, zato lahko enačbo delimo z z - 1. Ostale rešitve so ničle polinoma s simetričnimi koeficienti. Takšnih enačb se lotimo tako, da enačbo delimo s sredinskim členom z3:
11
1
z3 + z2 + z + 1 + - + —7 + ^- = 0.
z z2 z3
(3)
Ker rešitve ležijo na enotski krožniči, za vsako rešitev z velja
1 _ _ _ z zz
1
zato je z + -j = z + z = 2Re(z). Posebej, za prvo oglišče z1 velja
z1 - 1 = 0
(2)
z1 + iT = x.
6
PRESEK 43 (2015/2016) 1	38
MATEMATIKA
Sedaj lahko združimo sorodne simetrične člene in upoštevamo
1
1
z2 + -T = z + - - 2
in
1
1
1
■ z3 + —3" = (z + -) - 3(z + —). z3	z	z
Tako se enacba (3) v primeru z = zi glasi
x3 - 3% + x2 - 2 + x + 1 = x3 + x2 - 2% - 1 = 0. (4)
Enako kot prej vidimo, da -1 in 1 nista rešitvi enacbe (4). Zato je % rešitev nerazcepne enacbe stopnje 3 in daljice dolžine % ni mogoče narisati samo z ravnilom in šestilom.
Tako smo še na en nacin pokazali, da konstrukcija pravilnega sedemkotnika ni mogoca.
_XXX
Križne vsote
•J/ •i' Np
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v obarvanem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	4	15					
7						4	10
6			10		11 17		
	10			4 9			
		18					
			3				
XXX
Znate rešiti Leonardov problem o tetraedru?
•4/ -i' •i' Jurij Kovic
Opredelitev problema. Leonardo da Vinci je v enem svojih spisov brez dokaza navedel, da se težišče T pravilnega tetraedra ABCD nahaja na eni četrtini razdalje od težišča T' osnovne ploskve do vrha D tetraedra ([2], str. 235). Je to res? Kako bi to trditev dokazali ali ovrgli?
Rešitvi. Oglejmo si dve rešitvi tega problema: prva, algebraična, uporablja vektorje, ki so univerzalno računsko orodje za reševanje geometrijskih nalog, zelo uporabni pa so tudi v fiziki, kjer z njimi ponazarjajo sile. Druga rešitev, geometrijska, temelji na neposrednem uvidu.
Metoda 1. (povzeta po [1], str. 214-215). Težišče točkastih mas t1,...,tk v točkah A1,...,Ak je definirano takole: Izberimo izhodiščno točko O. Ce je t1 + ■ ■ ■ + tk * 0, potem obstaja točka P, za katero je
■	t1OA1 + ■ ■ ■ tkOAk = (t1 + ■ ■ ■ + tk)OP.
Ta točka P, ki ji pravimo težišče mas ti v točkah Ai, je neodvisna od izbora izhodišča O, kar vidimo, če za neko drugo izhodišče O' dobimo po istem postopku namesto P točko P', ki ustreza enačbi
■	t1O'A1 + ■■■ tkOAk = (t1 + ■■■ + tk)OrP'.
Potem z odštetjem druge enačbe od prve, upoštevaje OAi - OrAi = OO', dobimo
■	(t1 + ■■■ + tk)OO' = (t1 + ■■■ + tk)(OP - OrP'),
od koder po krajšanju s (t1 + ■ ■ ■ + tk) sledi O' P' = OP - OOjn zato OP' = OO' + O7P' = OP' + (OP -O O ) = O P in P = P .

z
z
PRESEK 43 (2015/2016) 1
39
MATEMATIKA
—^ Če postavimo izhodišče O v točko P, dobimo Zitiai = 0. Če sta točki le dve, potem je tiPAi = -t2PA2, tako da P leži na daljici AiA2 in jo deli v razmerju t2 : ti. Če je ti = t2, potem je P središčna točka daljice AiA2.
Pri trikotniku AiA2A3 imamo (ti + t2 + t3)OP = tiOAi + t2OA2 + t3OA3 = tiOAi + (t2 + t3)OQ, kjer je Q težišče mas t2 v A2 in t3 v A3. Tako lahko nadomestimo dve masi z eno dvojno v njunem težišču. Če je ti = t2 = t3( = i), potem je Q središče A2A3, in P deli daljičo AiQ v razmerju i : 2, kar sledi iz formule za težišče dveh mas (dokazane v prejšnjem odstavku), saj je tedaj tiOA = -2tiOQ.
Argumenta zdaj ni težko posplošiti na štiri enake mase v ogliščih tetraedra in videti, da težišče tetrae-dra deli višino skozi vrh D tetraedra v razmerju i : 3. Težišče tetraedra namreč leži na spojniči vrha tetraedra D (kjer je masa i) in težišča osnovne ploskve ABC (kjer je masa 3).
Metoda 2. Spomnimo se izreka, ki pove, kako se sekajo težiščniče v trikotniku. Sekajo se v isti točki in delijo druga drugo v razmerju i : 2. Ali znamo dokazati to vsaj za enakostranični trikotnik? V enako-straničnem trikotniku so težiščniče tudi višine. Zato lahko enakostranični trikotnik s ploščino av/2 razdelimo na tri trikotnike z isto osnovničo a in isto višino Torej je av/2 = 3ax/2 in x = v/3.
Analogen sklep je uporaben tudi za pravilni tetraeder. Njegovo prostornino izračunamo po formuli za prostornino piramide z osnovno ploskvijo O in višino v takole: O ■ v/3. A tetraeder lahko razdelimo na štiri skladne piramide z osnovno ploskvijo O in (zaenkrat še neznano) višino y, torej je V = O ■ v/3 = 4 ■ O ■ y/3in y = v/4. Preprosto, ali ne?
D
A
C
Analiza rešitev. Katera rešitev vam je bolj všeč? Prva zahteva kar nekaj spretnosti pri računanju z vektorji. Druga temelji na uvidu, da pravilni tetraeder razpade na štiri skladne piramide z vrhom v težišču P in je torej razdalja težišča od vsake od ploskev tetraedra enaka višini y vsake od teh piramid. To sledi iz simetrij tetraedra ABC D; rotacija za tretjino polnega kota okrog višine na ravnino trikotnika ABC skozi vrh D namreč preslika piramido ABPD v BCPD. Podobno vidimo, da so vse štiri piramide ABPD, BCPD, CAPD in ABCP skladne.
Literatura
[1]	H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1969.
[2]	M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York, 1972.
_ XXX
Križne vsote
Rešitev s strani 7

SLIKA 1.
B
	4						
7	3	4				4	10
6	1	5	10		11 17	3	8
	10	6	4		6	1	2
		18	6	3	9		
				1	2		
XXX
8
PRESEK 43 (2015/2016) 1	40
FIZIKA
Prečna flavta
^ ^ ^
Tine Golež
-> Prečna flavta me spremlja že iz osnovne šole. Tedaj sem jo uporabljal le kot glasbilo. V gimnaziji pa sem skušal zvok flavte razumeti tudi z vidika fizike, zato sem si zastavil več vprašanj. Na nekatera sem znal odgovoriti, druga pa so morala še malo počakati. A začinimo s kratkim uvodom o piščalih.
Pišcali
Gotovo ste že videli leseno škatlo, na kateri so glasbene vilice za šolsko uporabo. Tej škatli pravimo re-sonancna škatla (slika 1). Za fizika je tudi trup dragocene violine le »resonancna škatla«, Čeprav bi bil violinist nejevoljen ob takem poimenovanju ene izmed svojih največjih investicij, saj so dobra glasbila zelo draga. Vidimo torej, da poimenovanja v fiziki skušajo biti zelo splošna in z besedo ali dvema opišejo veliko različnih predmetov, ki imajo enake lastnosti. Tudi fizikalni izraz piščal zaobjame veliko različnih zvocil.
V fiziki govorimo o treh vrstah pišcali: odprta pi-šcal, zaprta pišcal in pišcal, ki je na eni strani odprta. V pišcalih niha stolpec zraka. Fizicne lastnosti (dolžina stolpca, temperatura ...) dolocajo, s katerimi frekvencami bo stolpec zraka nihal. Oglejmo si najprej pišcal, ki je na obeh straneh zaprta, saj nas najbolj spominja na nihanje strune, ki ga pred tem obravnavamo pri pouku. Pri struni je šlo za odmike (nihanje) delov strune v precni smeri, pri pišcali pa nihajo plasti zraka v vzdolžni smeri. Na koncu pišcali se zrak seveda ne more premakniti, saj je pišcal zaprta. Tam se vselej pojavi vozel pomika zraka, kot se pri struni v pritrdišcu vselej pojavi vozel (prec-nega) pomika strune. Na sredini pišcali pa plasti zraka najbolj izdatno nihajo.
SLIKA 1.
Podobnosti z nihanjem strune še ni konec. Tako kot struna niha z vec lastnimi nihanji hkrati, niha tudi stolpec zraka v pišcali. Zato je enaka tudi enac-ba za izracun teh frekvenc. Razlika je le v tem, da pri struni oznaka c pomeni hitrost potovanja motnje po struni (odvisna je od sile, ki napenja struno, mase strune in njene dolžine), pri pišcali pa c pomeni hitrost zvoka v zraku.
Primerjajmo zaporedne slike nihajoce strune in zraka, ki je zaprt v pišcali. Objavo slik, ki so zaslonski posnetki fizikalne simulacije, je dovolil avtor, gospod C. K. Ng.

PRESEK 43 (2015/2016) 2
9
FIZIKA
—^ Struno (zgoraj) in zrak (spodaj, gre za plasti zraka) začnemo opazovati, ko potujeta skozi ravnovesno lego. Ob skrajnem robu je s sivo označen del strune, ki je pritrjen, in pri zraku plast zraka ob zaprtju pi-ščali. Z rumeno je označen tisti del snovi (strune oz. zraka), ki najbolj niha in ga imenujemo hrbet (slika 2). Vse čase pri naslednjih slikah štejemo od tega trenutka naprej.
SLIKA 2.
Cez približno desetinko nihajnega časa deli snovi še niso dosegli največjega odmika. Struna niha navzgor, zgoščina v piščali nastaja na desni (slika 3).
SLIKA 4.
Slika 5 kaže, kje so deli strune in plasti zraka, ko je minilo malo več kot poloviča nihajnega časa. Bral-čem priporočamo ogled simulačije http://ngsir. netfi rms. com.
SLIKA 5.
SLIKA 3.
Cetrt nihaja je mimo in deli strune so dosegli največji odmik od ravnovesne lege (navzgor). Hkrati so plasti zraka dosegle največje odmike od ravnovesne lega v desno. Seveda so vse slike močno pretirane, saj so odmiki sičer bistveno manjši (slika 4).
Pri prvem lastnem načinu nihanja (t. j. stoječe valovanje, ki nastane z združitvijo dveh potujočih) je na struni opaziti polovičo valovne dolžine, prav tako v piščali. Pri struni imamo (na tretji sliki) hrib, do polne valovne dolžina manjka še dolina vala. Pri pi-ščali pa imamo razdaljo od sredine zgoščine do sredine razredčine. Ce bi to razdaljo podaljšali v levo še do naslednje zgoščine, bi imeli čelo valovno dolžino. Označimo dolžino strune (piščali) z b. Zaradi povedanega je valovna dolžina enaka 2b. Za vsa valovanja pa velja:
c = Av
Zato je:
c = 2bv
10
PRESEK 43 (2015/2016) 2
FIZIKA
In koncno:
c
Vl = 2b
Indeks l smo dodali, ker gre za osnovno frekvenco, saj je v igri osnovno lastno nihanje. Poglejmo, kolikšna je lastna frekvenca pri naslednjem lastnem nihanju. Tokrat je na struni (ali v pišcali) cela valovna dolžina.
Pri prvem višje harmonskem nihanju se na sredini strune pojavi vozel odmika, prav tako na sredini pi-šcali. Tisti delcek strune je ves cas pri miru, prav tako tista plast zraka v pišcali, kar kaže slika 6.
SLIKA 6.
SLIKA 7.
Ker je v pišcali tokrat cela valovna dolžina, velja zveza A = 2b. Zato je frekvenca drugega lastnega nihanja (ali prvega višje harmoničnega nihanja) enaka:
V2 =
b
Od prejšnje slike je minilo malo vec kot cetrtina nihajnega casa. Z rumeno oznacena tocka niha proti nasprotni skrajni legi, s sivo oznacena tocka (oz. crta pri pišcali) pa ves cas miruje (slika 7).
Poljubna frekvenca lastnega nihanja je enaka:
c
Vn = N 2bb
Kadar je na struni pet vozlov (vozlov na pritrdišcih ne štejemo), gre za peto lastno nihanje ali cetrto višje harmonsko nihanje strune (ali zraka v pišcali). Meritve kažejo, da potrzana struna in pišcali nihajo z vec lastnimi nihanji hkrati. Pravzaprav to zaznajo tudi ušesa, saj locijo zven glasbenih vilic (zveni le osnovna frekvenca) od zvoka inštrumenta, ki igra isti ton, kot ga oddajajo glasbene vilice. Tedaj poleg osnovne frekvence zvenijo še celoštevilski vec-kratniki osnovne frekvence.
Pri pišcali, ki je na obeh straneh odprta, bodo prav pri obeh odprtinah plasti zraka najbolj nihale. Na sredi pišcali pa se bo pojavil vozel; tam plasti zraka ne nihajo. A tudi tokrat je v pišcali tocno polovica valovne dolžine, zato so lastne frekvence take pišcali kar enake lastnim frekvencam pišcali, ki je na obeh straneh zaprta in smo jih ravnokar zapisali.
Oglejmo si še lastne nacine nihanja zraka v pišcali, ki je le na enem koncu odprta. Orglavci ji pravijo tudi pokrita pišcal. Na zaprtem koncu je seveda vozel pomika, medtem ko je na odprtem hrbet. Sedaj je v pišcali samo ena cetrtina valovne dolžine. V jeziku glasbe to pomeni, da bomo dobili za oktavo nižji ton tako, da bomo (obojestransko odprto) pi-šcal na enem koncu zaprli. A lastne frekvence tokrat niso vec celoštevilski veckratniki osnovne frekvence, pac pa le lihi veckratniki. Zvok take pišcali je nekoliko bolj zamolkel, saj v njem ni sodih veckratnikov osnovne frekvence. In kaj bi bila primerjava za tovrstno pišcal? Struna seveda ne, kar dobra primerjava pa bi bilo daljše ravnilo, ki ga z eno roko tišcimo ob mizo, z drugo pa zanihamo, da niha cez rob mize. Tudi pri takem ravnilu gre za nihanja s frekvencami, ki so lihi veckratniki osnovne frekvence.
Siva crta predstavlja zaprti del pišcali, kjer nastane vozel pomikov plasti zraka. Rumena crta pa kaže plast zraka tik ob ustju pišcali (slika 8). Tam plasti zraka najbolj izdatno nihajo, tlak se tam ne

c
14	PRESEK 43 (2015/2016) 2

FIZIKA
—^ spreminja. V taki pišcali imamo pri osnovnem lastnem nihanju le cetrt vala, saj je skrajno leva raz-redcina, skrajno desna pa plast, kjer ni prišlo do spremembe gostote; ta razdalja je le četrtina valovne dolžina.
SLIKA 8.
Tokrat velja A = 4b. Zato je frekvenca prvega lastnega nihanja enaka:
vi =
4b
Vrnimo se h glasbenim vilicam. Vemo, da je frekvenca 440 Hz. Ali je morda votlina resonancne škatle pod glasbenimi vilicami neke vrste pišcal, ki je na eni strani zaprta?
Vsekakor bi morala biti tudi lastna frekvenca te pi-šcali 440 Hz, ce naj služi kot resonator. Upoštevamo še, daje hitrost zvoka 340 m/s.
c
V1 = 4b
in od tod dobimo b = 19 cm. Votlina resonancne škatle pod glasbenimi vilicami je globoka le slabih 17 centimetrov. So se izdelovalci zmotili? Ne, a o tem malo pozneje.
Cenena škatla, ki je pod glasbenimi vilicami, omo-goca prav lep zvok (slika 1). A violinist mora zaigrati vec kot en sam ton. Violina mora biti sposobna resonance pri zelo razlicnih frekvencah in zato je tako po obliki, izdelavi ter seveda ceni neprimerljiva s škatlo, ki je pod glasbenimi vilicami.
Flavta
Sedaj smo razložili osnovne stvari o pišcalih in zato bomo razumeli, za kaj gre pri vprašanjih, ki so bila napovedana v uvodnih vrsticah. Zacnimo. Ali je precna flavta - fizikalno gledano - pišcal, ki je na obeh straneh odprta? Pri igranju flavte obstaja le
majhna reža med ustnicami in ustnikom. Smemo to režo zanemariti in obravnavati flavto kot pišcal, ki je na enem koncu zaprta? Pot do odgovora je nadvse preprosta. Poprosimo flavtista, da zaigra le na del flavte, ki mu pravimo glava. Kljucna bo sprememba zvoka, ko bomo pokrili konec cevi. Premislimo! Ce flavta deluje kot pišcal, ki je na enem koncu zaprta, potem bo po zaprtju drugega konca to postala pišcal, ki je na obeh straneh zaprta. Osnovna frekvenca se bo zato podvojila; v jeziku glasbe bi ugotovili, da gre za oktavo višji ton.
In še predpostavka, da flavta deluje kot pišcal, ki je na obeh straneh odprta. V tem primeru bi po zaprtju enega konca flavte to postala polodprta pišcal. Pricakovali bi, da se frekvenca prepolovi; glasbenik bi rekel, da se bo ton za oktavo znižal.
Razsodnik v fiziki je poskus. Flavtist naj najprej zaigra le na glavo flavte (del flavte, na katerem je ustnik), potem pa še na zaprto glavo flavte. Hitro prepoznamo, da se je ton znižal skoraj tocno za oktavo. Prva ugotovitev je kot na dlani: flavta deluje kot pišcal, ki je na obeh straneh odprta. A poskus, ki je odgovoril na eno vprašanje, je odprl drugo: zakaj se frekvenca ni natancno prepolovila, zakaj se je zvok znižal za malo manj kot oktavo.
Odgovora na to vprašanje ne omenjamo prav pogosto. V (šolski) fiziki se najveckrat zadovoljimo s »prvim približkom«, ki z bolj preprosto enacbo manj natancno opiše opazovani pojav. A tokrat povejmo, za kaj gre. Ucinek pišcali ni tak, kot je fizicna dolžina same cevi. Morda si predstavljamo, kot da zrak na koncu pišcali takoj po izstopu iz cevi ne »obcuti«, da je prišel na svobodo. V resnici pišcal deluje tako, kot da je cev malenkost daljša, približno za polovico polmera pišcali. Na zaprtem delu pišcali pa takega popravka ni.
In že lahko odgovorimo na vprašanje o velikosti resonancne škatle pod glasbenimi vilicami. Škatla je nekoliko krajša, saj je ucinek tako široke pišcali, kot bi lahko imenovali votlino v resonancni škatli, tak, kot da bi bila pišcal še nekako dva centimetra daljša.
Ogrevanje
Že v osnovni šoli sem vedel, da se stvari, ki jih se-grejemo, nekoliko podaljšajo. Pri igranju flavte pa se to ni ujemalo s tem, kar sem opažal. Vedel sem, da krajša cev pomeni višji ton in obratno. Po drugi
c
14
PRESEK 43 (2015/2016) 2
FIZIKA
strani pa sem opažal, da se dogaja ravno nasprotno. Ce je bila flavta še neogreta in sem zaigral izbrani ton, je ta po nekaj minutah igranja postal nekoliko višji; fizikalno bi rekli, da se je povečala frekvenca. Učinek je bil, kot da bi se cev skrčila in ne podaljšala. In to je že tretje vprašanje učenca flavte, ki razmišlja tudi fizikalno.
V glasbeni šoli so nas učili, da moramo flavto vselej najprej ogreti, potem pa se šele lotimo uglaševa-nja. Navadno je bilo potrebno nekoliko izvleči glavo flavte iz trupa flavte, morda za nekaj milimetrov, pa sta bila flavta in klavir uglašena. Cim bolj smo jo izvlekli, tem nižji je bil ton oz. manjša frekvenča. Ne znatno, za kak odstotek ali še manj.
Ugotovitev, da se s segrevanjem flavta nekoliko podaljša, je povsem točna. A podaljšek je zelo majhen, saj ne presega desetinke milimetra. V igri mora biti še nekaj, kar vpliva na višino intonačije, kot pravimo majhnim spremembam (glasbenega) tona. Odgovor na to vprašanje najdemo že v srednješolskih učbenikih. Hitrost zvoka je zelo odvisna od temperature. Ce vemo, kolikšna je hitrost zvoka (co) pri dani temperaturi (T0), potem hitrost pri poljubni temperaturi izračunamo kot
c = Co
Ne pozabimo, da je potrebno temperaturo vstaviti v kelvinih!
SLIKA 9.
http://tupian.baike.eom/11221/1.htm1
Očenimo, da je temperatura zraka v flavti ob začetku igranja kakih 25 °C, po nekaj minutah pa naraste na 30 °C. To pomeni, da se je hitrost povečala skoraj za odstotek. Flavta se je ob tem zanemarljivo malo podaljšala. Zaradi stalne dolžine in s tem valovne dolžine se spremeni frekvenča za enako vrednost kot hitrost. Ce je ton a zvenel na neogreti flavti s frekvenčo 440 Hz, bo na ogreti višji, saj bo zvenel s frekvenčo 443 Hz (pri omenjenih temperaturah). Uho je dokaj natančno in tolikšna razlika je hudo moteča. Ugotovili smo, da je za spremembo frekvenče odgovorna spremenjena hitrost in ne podaljšanje flavte. Hkrati pa smo še s fizikalnega vidika potrdili staro modrost, da je uglaševanje pihal (in trobil) smiselno šele tedaj, ko je inštrument ogret na delovno temperaturo.
Delovanje flavte
Težko je verjeti, da najdemo odgovor o delovanju flavte lahko tudi v - oblakih! No, ne za čelotno delovanje, pač pa za začetek nastanka tona. Oblaki na sliki so potovali po nebu, a so naleteli na oviro, pre-čej špičast gorski vrh. Niso se enakomerno razporedili okoli ovire, pač pa so nekaj časa večinoma potovali po levi, pa spet po desni in tako naprej (slika 9). Vrtinči, ki so poslediča izmeničnega »oblivanja« po levi in desni, nas ne zanimajo. Bistvena stvar je stalna menjava strani, po kateri mimo vrha gore potuje več zraka.
Natančno to se dogaja pri nastanku tona, ko igramo flavto. Zrak pihamo v ozkem čurku na rob ustnika. Tudi ta čurek zraka ne potuje po obeh straneh roba tako, da bi bil nekako polovično razpolovljen. Kar naprej se menja delež zraka, ki pristane v flavti oz. ki ga pihnemo mimo. Bistvena razlika med oblaki in pihanjem v flavto je seveda frekvenča. Medtem ko menjava odločilne smeri obhoda pri gori traja najbrž nekaj minut, se pri flavti lahko zamenja tudi tisočkrat na sekundo.
Sedaj smo spregovorili o podobnosti, a kako bi si razložili vzrok za stalno nihanje čurka zraka. Začnimo takole. V nekem trenutku malo več zraka zavije na eno stran. Tam se zaradi večje količine zraka hitrost zato zmanjša. Na drugi strani je hitrost ostala enaka. Toda kjer je manjša hitrost (in malenkost več zraka), je malo večji tlak. Zato se del zraka iz tega zastoja preusmeri na drugo stran. In zgodba se obrne.

14	PRESEK 43 (2015/2016) 2

FIZIKA
—^ Frekvenca zvoka, ki nastaja na robu ustnika, v katerega pihamo zrak pri flavti, je odvisna tako od hitrosti curka zraka kot tudi od oddaljenosti ustnic od roba ustnika. Brez kakšne posebne misli na fiziko, le iz poskusov in uciteljevih nasvetov, to ucenci flavte hitro spoznajo. Za višje tone poskrbijo tako, da ustvarijo nekoliko hitrejši curek zraka in se z ustnicami malo približajo robu ustnika. Po nekaj letih šolanja znajo oboje zares natančno uravnavati, tako da z razmeroma malo »sape« (za lep ton ni potrebno veliko pihati, a do tega spoznanja se pride z vajo) igrajo flavto z lepim tonom. Seveda je v igri tudi spreminjanje napetosti ustnic in s tem odprtine, skozi katero pihamo zrak.
Celotna flavta deluje kot neke vrste povratni mehanizem. Lastna frekvenca stolpca zraka (in njeni celoštevilski veckratniki) v flavti je tisto, kar slišimo kot zvok flavte. Hkrati pa ravno to nihanje zraka povratno vpliva na frekvenco preusmerjanja zracnega curka ob robu ustnika, ki jo nekako stabilizira. A ko želi flavtist zaigrati drug ton, bo to stabilnost pokvaril ter »naciljal« novo frekvenco in to novo mu bo spet pomagal obdržati nihajoci zrak v flavti. Nekaj podobnega se dogaja pri vožnji kolesa. Vsi znamo kolesariti brez rok. Za stabilnost poskrbita kolesi. Potem se nekoliko nagnemo in zavijemo. In spet nam kolesi poskrbita za stabilnost.
Še to in ono
Gotovo je v vsakem razredu vsaj en ucenec ali dijak, ki igra precno flavto. Res bi bilo škoda, da pouka ne bi popestrili z nekaj realisticne fizike. Seveda je podroben opis fizike flavte tema, ki po zahtevnosti sodi v doktorske disertacije iz fizike; v šoli se pac zadovoljimo s približnimi razlagami.
Energija, ki jo flavta oddaja v obliki zvoka, je komaj odstotek energije, ki jo ima zrak (kineticna energija), ki ga pihamo. Tak izkoristek ni nic tragicnega, saj so naša ušesa zelo obcutljiva za zvok. Ce hocemo igrati bolj glasno, moramo povecati kolicino zraka, ki ga pihamo, kar najveckrat pomeni tudi vecjo hitrost. A vecja hitrost bi pomenila tudi vecjo frekvenco (in malenkost višji ton), kar pa preprecimo s tem, da z rahlim zasukom flavte zmanjšamo razdaljo med ustnicami in robom ustnika. Zato moramo za igranje flavte imeti dober posluh, da ustrezno popravljamo sicer majhne spremembe intonacije.
Pri kljunasti flavti je bolj nerodno. Kanal zraka je ves cas enako oddaljen od roba, na katerem niha curek zraka. Tudi zato je precna flavta prevzela mesto sicer v baroku zelo razširjene kljunaste flavte. Novejša stilna obdobja so zahtevala vecje razlike v glasnosti posameznih delov skladb, kar je bilo na precni flavti mogoce doseci, ne da bi se znatno spremenila intonacija.
O eni stvari pa nismo spregovorili, a ta je najbrž vsem jasna. Dolžino stolpca zraka, ki niha v flavti, spreminjamo tako, da z zaklopkami pokrijemo luknje v flavti in tako je odlocilna le dolžina flavte do prve odprtine. A teh odprtin je manj, kot lahko zaigramo tonov. Zato na koncu omenimo še prepiho-vanje. Kar veliko prijemov na flavti je takih, ko z nekoliko mocnejšim pihanjem ob nespremenjeni postavitvi prstov zazveni za oktavo višji ton.
Sedaj nekoliko razumemo delovanje precne flavte. Morda pri prvem naslednjem poslušanju ali igranju nekoliko pomislite na to, kar ste ob branju tega clan-ka spoznali. Potem se pa spet prepustite le tistemu posebnemu užitku, ki nam ga zmore nuditi samo glasba.
_ XXX
Križne vsote
vU
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v obarvanem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	8	13			
16			12		
14				,2	
		9			17
			9		
			14		
XXX
14
PRESEK 43 (2015/2016) 2
TEKMOVANJA
Kresnička
nU sU vU
Barbara Rovšek, Sa š o Žicon, Gregor Torkar in Duš an Krnel
-> V šolskem letu 2015/2016 bo v organizaciji DMFA Slovenije potekalo drugo tekmovanje iz znanja naravoslovja za ucence od 1. do 7. razreda, Kresnička. Že lani so pri eksperimentiranju in kasneje tekmovanju sodelovali učenci s polovice vseh slovenskih osnovnih šol, in želimo si, da bi jih letos privabili še vec. Tako množicna udeležba že v prvi sezoni nam postavlja visoka merila. Upamo, da bomo izpolnili pricakovanja sodelujocih: za zace-tek z dovolj zanimivimi poskusi. Dva poskusa (od skupno 12 za vse skupine) predstavljamo v tej številki Preseka. Vse poskuse najdete v razpisu tekmovanja na spletni strani https://www.dmfa.si/ NaOS/Razpi s.html.
6. in 7. razred /1. poskus - Natega
Pripomočki: vecja posoda, vecji kozarec, manjši (ožji) kozarec, plastična cev (dolžina približno 1 m, premer odprtine približno 6 mm), merilo, štoparica, alkoholni flomaster, trajno-elasticni kit (ali selotejp ali plastelin), podstavki (prucka, zabojcek)
Priporocilo. Poskus opravljaj v kuhinji, kopalnici ali na vrtu, kjer ne narediš prevec škode, ce vodo poli-ješ. Na slikah je voda obarvana, da se bolje vidi.
1. V posodo nalij vodo skoraj do vrha in jo postavi na podstavek (zabojcek, prucko). V posodo potopi najprej samo eno krajišce cevke. To krajišce odprto drži pod vodo, da vanj ne zaide zrak. Potem previdno in postopoma potapljaj cevko po dolžini tako, da jo povsem napolniš z vodo.
SLIKA 1.
Pripomočki za poskus
18
ro__
> d OJ m

PRESEK 43 (2015/2016) 2
15
TEKMOVANJA
cevki voda (in ni v njej no



18
PRESEK 43 (2015/2016) 2
te km o vanj a
6. Na majhnem ozkem kozarcu z alkoholnim flo-mastrom oznaci višino, do katere ga boš po cevki polnil z vodo iz posode. Meri cas, v katerem se kozarec napolni do oznake, v odvisnosti od višine, na kateri je krajišce cevke, kjer voda izteka. Razmisli, glede na kaj boš meril višino krajišca cevke.
Razmisli, preizkusi, poišci, vprašaj ...
■	Ali voda iz cevke izteka pri poljubni višini, na kateri je odprto krajišce cevke? Kako visoko je lahko odprto krajišce, da voda izteka? Kdaj se tok prekine?
Kateri pogoji morajo biti izpolnjeni, da lahko voda po cevki izteka iz posode? Kako visoko je lahko krajišce cevke, ki vodo iz posode zajema? Ali lahko posodo izprazniš?
Ali na iztekanje vode po cevki vpliva to, kako visoko se mora voda po cevki vzpeti (cez hrib)?
■	Nariši graf, ki kaže, kako je cas, v katerem z natego po cevki napolniš kozarec, odvisen od višine, na kateri je odprto krajišce cevke. Običajno v koordinatnem sistemu prikažemo kolicino, ki jo (neodvisno) spreminjamo, na vodoravni osi, in drugo kolicino, ki je od te odvisna, na navpicni osi. Kateri dve kolicini sta to v tem primeru?
Krajišce cevke, iz katerega voda izteka, namesti v kozarec tako, da bo voda iztekala pri dnu kozarca, kot kaže slika. Opazuj, kako zdaj poteka pretakanje. Je kaj drugace kot prej? Meriš lahko tudi cas, v katerem se kozarec napolni do oznake - kot pri prejšnjem poskusu (ko si risal graf).
Vodo pretakaj z natego med posodo in kozarcem, ki stojita na istem podstavku (dno kozarca in dno posode sta na isti višini). Krajišce cevke, iz katerega voda v kozarcu izteka, naj bo pri dnu kozarca. Kdaj se pretakanje ustavi? Kako bi z natego lahko pretocil vec vode?
Krajišce cevke, iz katerega voda izteka, namesti v kozarec tako, da bo na zacetku pretakanja nad gladino vode v kozarcu in kasneje, ko se gladina vode v kozarcu dvigne, pod gladino vode. Lege nobenega od krajišc cevke med pretakanjem ne spreminjaj. Kdaj se pretakanje ustavi?
Kdaj in kje je v uporabi tak postopek pretakanja kapljevin, kot si ga spoznal pri tem poskusu?
www.obzornik.si

PRESEK 43 (2015/2016) 1
19
TEKMOVANJA
6. in 7. razred / 3. poskus - Pokovka
Pripomocki: kozarec ali skledica, 200 g koruznih zrn za pokovko, kuhinjska tehtnica, jeklena ponev (s pokrovom), (prenosni) elektricni kuhalnik, kuhal-nica, skleda, metrski trak, risalni žebljicek.
SLIKA 2.
Pripomočki za poskus
Opozorilo. Poskuse na štedilniku opravljaj v prisotnosti odrasle osebe. Pazi, da se ne dotakneš vroce ponve in kuhalne plošce. Pazljivo rokuj tudi z risalnim žebljickom. Pri poskusu ne smeš uporabiti ponve, prevlecene z neoprijemljivo plastjo (teflon), ker to plast s segrevanjem na previsoko temperaturo uniciš.
1. Odmeri 50 g koruznih zrn za pokovko. Lahko tudi manj (ali vec), odvisno od velikosti posode, ki jo boš uporabil za pripravo pokovke.
2. Koruzna zrna stresi v ponev, ponev postavi na štedilnik. Med mešanjem koruzna zrna segrevaj. Ko se prvo zrno razpoci, posodo pokrij in med stresa-njem posode pocakaj, da se razpocijo še ostala zrna.
3. Ko je pokovka narejena, vso pretresi v skledo in jo ponovno stehtaj.
4. Drugo porcijo pokovke pripraviš v odprti ponvi. Stresi v ponev toliko koruznih zrn, da z njimi prekri-ješ dno ponve (kot na sliki 2). Če imaš prenosni kuhalnik, ga postavi na tla na sredini kuhinje. Če prenosnega kuhalnika nimaš, odstrani predmete v okolici štedilnika, na delovnem pultu zraven štedilnika naj bo prazen prostor.
20
PRESEK 43 (2015/2016)2
TEKMOVANJA
5. Koruzna zrna segrevaj na kuhalniku v odprti ponvi in opazuj dogajanje. Posodo narahlo stresaj (premikaj jo sem in tja po kuhalni ploskvi), da se zrna ne oprimejo dna (in tam ne zažgejo). Zrna, ki ob razpoku odletijo iz ponve, pusti tam, kjer pristanejo. Ko koruzna zrna prenehajo pokati, izključi kuhalnik in z njega odstrani ponev.
6. Počakaj, da se kuhalnik ohladi. Potem previdno umakni še kuhalnik in pri tem pazi, da ne spremeniš lege razpočenih zrn pokovke.
1. V nadaljevanju boš preštel zrna, ki so med kuhanjem skočila iz ponve in pristala različno daleč. Razdaljo r meriš od točke, kjer je bila pri kuhanju sredina ponve (oziroma kuhalne plošče). Kot primer je na sliki prikazan pas, omejen z dvema krožničama, v katerem so zrna, ki so v daljavo skočila več kot R1 = 20 cm in manj kot R2 = 30 cm.
8. Razdeli področje, kjer ležijo razpočena zrna koruze, na koncentrične pasove s širino 10 cm in s središčem v točki, kjer je bila pri kuhanju sredina kuhalne ploskve. Način, kaka boš to naredil, izberi sam. Zberi zrna, ki ležijo v posameznem pasu, ter jih preštej. Število zrn vpiši v razpredelnico.
9. Nariši stolpčni diagram (histogram), ki kaže porazdelitev zrn pokovke po doseženih razdaljah r. Na vodoravno os nanašaš r in na navpično N.
	pas, kjer je r	število zrn N	
	manj kot 20 cm		
	med 20 cm in 30 cm		
	med 30 cm in 40 cm		
	med 40 cm in 50 cm		
	med 50 cm in 60 cm		
	med 60 cm in 70 cm		
	med 70 cm in 80 cm		
	med 80 cm in 90 cm		
	več kot 90 cm		
->
21	PRESEK 43 (2015/2016) 2

TEKMOVANJA
—^ 10. Ponovi poskus še enkrat (od koraka 4 do 9), le da tokrat predhodno lupine vseh zrn koruze preluknjaš z risalnim žebljičkom.
Razmisli, preizkusi, poišči, vprašaj ...
Zakaj se koruzna zrna ob segrevanju razpočijo in poskočijo?
Primerjaj grafa, ki prikazujeta rezultate poskusa v obeh primerih, ko koruznih zrn nisi naluknjal in ko sijih. Pojasni opažene razlike.
Kaj se je v zrnu spremenilo, ko si v lupino izvrtal luknjico?
Cez noč namoči koruzno zrno in ga vzdolžno pre-reži. Oglej si notranjo zgradbo zrna.
Nekaj zrn namoči za daljši čas. Opazuj, kaj se z zrnom dogaja.
Kaj je naloga (funkčija) zrn pri koruzi?
Kako nastane koruzno zrno?
Na internetu, v knjigi ali učbeniku poišči razlago o zgradbi koruznega zrna.
Zakaj pred pečenjem zarežemo v ovojničo kostanjevih semen (kostanjev)?
Katere hranilne snovi prevladujejo v založnem tkivu koruznega zrna, beljakovine, lipidi, ogljikovi hidrati ali vitamini in minerali? Katero tkivo imenujemo založno?
_ XXX
www.obzornik.si
Barvni sudoku
sU vU
V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil.
3
v
O
a
3
m
>
a.
<
m
S
			6				1
8			2	4			
	7			2	6		
			8	3			
		3	7			2	
4						3	
2				6			8
	4					7	
Z	7	S	l	E	8	4	9
8	17	E	6	l	L	S	2
9	3	L	L	S	Z	8	4
17	2	8	S	7	3	9	l
L	L	17	3	8	9	Z	S
S	8	6	2	17	l	7	E
E	9	L	4	2	S	l	8
1	S	Z	8	6	17	E	L
							
XXX
22
PRESEK 43 (2015/2016) 2
astronomija
Pripravljamo se na tekmovanje iz znanja astronomije
nU vU NU
Andrej Guštin
-> Tokrat predstavljamo nekaj nalog, ki bodo dobrodošle pri delu v astronomskih krožkih, pri izbirnih astronomskih predmetih in pri pripravah na tekmovanje iz znanja astronomije.
Opazovanje Sonca
Pripomocki: ura, svincnika, ravnilo, kotomer - geo-trikotnik.
List papirja položi vodoravno. Nanj navpicno postavi svincnik in natancno nariši njegovo senco. Zapiši tocen cas opazovanja oz. risanja sence. Na podlagi risbe izracunaj in na sliki oznaci smer sever-jug.
Zemljepisno širino in dolžino svojega opazovali-šca poišci sam.
Namig: Morda potrebuješ še casovno enacbo. Opazovanje Lune
Luno na sliki 1 opazuj z dvogledom ali majhnim teleskopom. Na karto Lune:
■	vriši potek terminatorja na Luni, napiši smeri neba,
■	s križcem oznaci južni pol Lune,
■	obkroži položaj kraterja Tycho.
Mednarodna vesoljska postaja
Astronoma, ki sta drug od drugega oddaljena 24 km in na isti zemljepisni dolžini (v Sloveniji), sta posnela
SLIKA 1.
prelet Mednarodne vesoljske postaje (ISS), ki je na fotografijah (v negativu) vidna kot temna sled med zvezdami.
Oznaci ozvezdja na sliki 2.
Izracunaj polmer orbite in obhodni cas ISS.
■	Oceni teoreticno kotno velikost dolžine sledi ISS na sliki 3 in jo primerjaj s posneto dolžino sledi. Cas osvetlitve slike je 120 sekund.
Pri racunanju predpostavi:
■	Orbita ISS je krožna.
■	Kotna velikost slike je približno 35° x 30°. Kameri nista zaceli snemati povsem socasno.
■	Cas osvetlitve slike 2 je 120 sekund.

PRESEK 43 (2015/2016) 1
23
astronomija

SLIKA 2.
Izračunaj oddaljenost galaksije IC 342 na podlagi diagramov odvisnosti period od magnitude 20 ke-feid iz galaksije IC 342 (sliki 4 in 5) in predpostavko za zvezo perioda-izsev kefeid (P je perioda):
{Mr ) = -2'9i Min)- 0 = -4
m ) = -3,°°(iog(£) - ^ = -4,
04
06
kjer sta (Mr) in (M/) srednji vrednosti absolutne magnitude v filtrih R in I kefeid v galaksiji IC 342.
SLIKA 3.
Naloga
Meritve magnitud dveh zvezd v ozvezdju Kasiopeja z ozkopasovnimi filtri BVRIJHKLMN so podane v tabeli i. Zelo verjetno na svetlobo obeh zvezd vpliva samo ekstinkčija difuzne medzvezdne snovi. Predpostavimo, da so bile meritve narejene nad ozračjem.
■	Iz podatkov v tabelah i do 5 za obe zvezdi nariši grafa Ex-v/Eb-v v odvisnosti od i/Ax za filtre B, V, R, I, J, H, K, L, M, N. Skozi točke ročno nariši najbolj prilegajočo se krivuljo. (Bodi pozoren, da je Exv/Ebv - konst, ko gre i/AX 0). Indeks X je spektralno območje posameznega filtra. EB-V je barvni presežek.
■	Z grafi, ki si jih dobil v prejšnji točki, očeni RV in Rr za vsako od zvezd.
■ Rv = Av/Eb-v in Rr = Ar/Er-i
(AV je absorbčija v spektralnem območju V). S temi rezultati izračunaj še oddaljenost spiralne galaksije IC 342 v Kasiopeji, ko jo zastira Rimska Cesta. Upoštevaj tudi, da je difuzna medzvezdna snov v galaksiji IC 342 podobna tisti v naši Galaksiji.
21.5
22,0
22,5
(R)
23.0
23,5
24,0
24,5
1.2
1.6 1,8 log P (dnevi)
2.0
SLIKA 4.
(R) je srednja vrednost navidezne magnitude v filtru R.
21.0
(I)
22.0
22.5
23.0
23.5
1.6	1.S
log P (dnevi)
SLIKA 5.
(I) je srednja vrednost navidezne magnitude v filtru I.
24
PRESEK 43 (2015/2016) 1	24
ASTRONOMIJA
Zvezda		MK tip	B mag	V mag	R mag	I mag	J mag	H mag	K mag	L mag	M mag	N mag
HD 4817		K3Iab	8,08	6,18	4,73	3,64	2,76	1,86	1,54	1,32	1,59	-
HD 11092		K4II	8,66	6,57	-	-	3,10	2,14	1,63	1,41	1,65	1,44
TABELA 1.
BVRIJHKLMN fotometrične meritve dveh zvezd v Kasiopeji
		(B-V)0 mag		
		II	lab/la	
F0		-	0,15	
G0		0,73	0,82	
K0		1,06	1,18	
K3		1,40	1,42	
K4		1,42	1,50	
TABELA 2.
Srednje vrednosti indeksa (B-V)0 za izbrane spektralne tipe zvezd in iz-sevne razrede
		(V-R)0 mag	(V -I)0 mag	(V-J)0 mag	(V -H)0 mag	(V -K)0 mag	(V -L)0 mag	(V -M)0 mag	(V -N)0 mag	
F0		0,20	0,31	0,36	0,51	0,60	0,64	0,65	0,82	
G0		0,55	0,95	1,14	1,52	1,71	1,72	1,72	1,98	
K0		0,95	1,59	2,01	2,64	2,80	2,87	2,79	3,13	
K3		1,13	1,96	2,41	3,14	3,25	3,39	3,25	3,63	
K4		1,20	2,13	2,59	3,37	3,44	3,62	3,46	3,84	
TABELA 3.
Srednje vrednosti različnih infrardečih barvnih indeksov za nekatere tipe nadorjakinj
		(V-R)0 mag	(V -I)0 mag	(V-J)0 mag	(V -H)0 mag	(V -K)0 mag	(V -L)0 mag	(V -M)0 mag	(V -N)0 mag	
K0		0,60	1,03	1,23	1,72	1,94	1,97	1,90	1,92	
K3		0,86	1,39	1,84	2,40	2,69	2,82	2,70	2,73	
K4		0,96	1,61	2,16	2,77	3,05	3,22	3,08	3,02	
TABELA 4.
Srednje vrednosti različnih infrardečih barvnih indeksov za nekatere tipe orjakinj
	B	V	R	I	J	H	K	L	M	N
Af /nm	450	555	670	870	1200	1620	2200	3500	5000	9000
TABELA 5.
Srednja vrednost valovne dolžine izbranih fotometričnih filtrov
_XXX
PRESEK 43 (2015/2016) 2
25
raC unalni stvo
Algoritem Apriori in povezovalna pravila
Damjan Strnao
-> Morda ste se kdaj vprašali, na kakšen nacin trgovci uporabijo znanje o nakupovalnih navadah strank za izboljšanje kakovosti svoje ponudbe, posledično pa tudi za dvig prometa. Ko na blagajni v trgovini plačate za nakup, se seznam artiklov v vaši košarici zabeleži kot transakcija (transaction). Z zbiranjem transakcij si trgovec ustvari obsežno bazo nakupovalnih navad svojih kupcev, s pomocjo t. i. kartic zvestobe pa jih lahko vodi celo za vsako gospodinjstvo posebej. Poznavanje nakupovalnih navad lahko trgovec s pridom uporabi za oblikovanje akcijskih ponudb, ki bodo bolj verjetno pritegnile kupce. Prav tako lahko artikle, ki jih stranke pogosto kupujejo v paketu, trgovec na policah postavi blizu skupaj, kar bo strankam olajšalo nakup in hkrati pospešilo prodajo. V tem prispevku bomo opisali algoritem oz. metodo, s pomocjo katere lahko trgovec iz zbirke transakcij izlušci tovrstne koristne informacije. Opisani postopki so uporabni tudi pri ugotavljanju navad uporabnikov v drugih situacijah, ki omogocajo beleženje neke vrste transakcij (npr. hranjenje br-skalnih navad uporabnikov svetovnega spleta za prikazovanje reklam).
Oznacimo s T seznam vseh zabeleženih transakcij. Posamezna transakcija Ti G T,i = l,...,m, je množica postavk (items), t. j. Ti = {x1, x2,..., xni} za xi G X, kjer je X = {xi; i = 1 ...n} množica vseh možnih postavk. V primeru nakupovalne košarice je npr. postavka posamezen tip kupljenega artikla (dva ali vec enakih artiklov štejemo kot eno postavko). Prvi korak, ki ga lahko izvedemo pri obdelavi T, je is-
kanje pogostih množic postavk (frequent itemsets), t. j. stvari, ki jih pogosto kupujemo skupaj. Pogostost neke množice postavk S je določena kot delež transakcij v T, pri katerih S nastopa kot podmnožica. Tak delež imenujemo relativna podpora (relative support) množice postavk in ga bomo označevali z rS. Formalno bi to lahko zapisali kot
rs =
\Ts I |T|
kjer je TS = {Ti G T\S c Ti}. Vrednost v števcu je velikost množice TS in se imenuje podpora (support) za množico postavk S.
Množica postavk je pogosta, ce je njena podpora enaka ali vecja od dolocene vnaprej postavljene meje rmin G (0,1). Pojasnimo to s preprostim zgledom, v katerem množico vseh postavk X sestavlja pet artiklov, ki jih bomo označevali s crkami od a do e (bralec si lahko predstavlja, da a pomeni ananas, b banane itd.). Podana naj bo naslednja zbirka T desetih transakcij:
Transakcija	a	b	c	d	e
Ti	x	x			x
Tz	x	x	x		
t3		x	x		x
T4		x			
Ts	x	x		x	x
Te	x		x		
Tj			x	x	
Tg		x			x
Tg	x		x		x
Tio	x	x			x
V tabeli oznaka 'x' v dolocenem stolpcu in vrstici pomeni, da je pripadajoci artikel prisoten v ustrezni transakciji. Tako lahko npr. transakcijo T1 zapišemo kot T1 = {a, b, e}.
26
PRESEK 43 (2015/2016) 1	26
racunalniš tvo
Iskanje pogostih množic postavk z grobim pristopom bi pomenilo pregledovanje vseh nepraznih pod-množic množice X. Za množico postavk S = {a,b,c} bi tako ugotovili, da je njena relativna podpora enaka ria,b,c} = 0-1, saj se artikli a, b in c skupaj nahajajo samo v eni (T2) izmed desetih transakcij. V nadaljevanju bomo zaradi preglednosti množice postavk zapisovali v strnjeni obliki, npr. abd = {a, b, d}.
Število nepraznih množic postavk pri n postavkah je enako 2n-1 (t.j. moc potencne množice P(X) brez 0), zato je časovna zahtevnost grobega pristopa eksponentna. V zgornjem primeru s petimi postavkami je grobi pristop še izvedljiv, v realnih situacijah z vec 100 ali 1000 artikli pa bi bilo pregledovanje celotne potencne množice prakticno neobvladljivo. Algoritem Apriori je preprosta izboljšava grobega pristopa, ki potrebno število pregledanih množic postavk zmanjša z upoštevanjem naslednjega dvodelnega pravila:
Pravilo Apriori a) Vse podmnožice pogoste množice postavk so pogoste in b) nobena nadmnožica ne-pogoste množice postavk ni pogosta.
Oznacimo z F seznam vseh pogostih množic postavk, ki jih algoritem Apriori poišce. Za vsako množico postavk bomo vodili tudi njeno relativno podporo, zato bodo elementi seznama F pari oblike (S,rS). Delovanje algoritma povzema naslednja psevdokoda:
Algoritem 1 Apriori(T, X, rmin)
1:	F = 0 # inicializiraj prazen seznam pogostih množic postavk
2:	D0 = {0}	# inicializiraj delovni seznam množic postavk
3:	J = 0	# števec iteracij
4:	ponavljaj
5: J = J + 1
6: DJ = {Q U{x}|Q G DJ-1 A X G X\Q} 7: odstrani iz Dj vse množice S,
za katere velja 3y G S : S\{y} ( DJ-1 8: izracunaj relativno podporo množicam postavk v Dj 9: odstrani iz Dj vse množice S,
za katere velja rS < rmin 10: F = F U Dj 11: dokler Dj * 0 12: vrni F
Algoritem za svoje delovanje uporablja delovni seznam D, v katerem hrani pogoste množice postavk, najdene v zadnjem koraku. Za lažje sledenje algoritmu bomo z Di oznacevali stanje delovnega seznama po izvedbi i-te iteracije zanke. V prvi itera-ciji algoritem Apriori poišce pogoste množice posameznih postavk in jih v kasnejših iteracijah razširja. Pri vsakem nadaljevanju iskanja algoritem upošteva prvi del prej zapisanega pravila v koraku 7, kjer obdrži samo tiste razširjene množice postavk, ki ne vsebujejo nobene nepogoste podmnožice. Drugi del pravila algoritem upošteva v koraku 9, kjer iz nadaljnje obravnave izloci vse nepogoste množice postavk, saj tudi nobena njihova nadmnožica ne more biti pogosta.
Delovanje algoritma demonstrirajmo na prejšnjem primeru za rmin = 0-3. Po zacetni inicializaciji algoritem med izvajanjem prvega cikla zanke tvori naslednje množice postavk z njihovimi relativnimi podporami:
S	a	bc	de
rS	0.6	0.7 0.5	0.2 0.6
Množico postavk {d} algoritem v koraku 9 odstrani, ker nima zadostne podpore, tako da ob zakljucku prve zanke velja
■ D1 = {a, b, c, e} in
F = {(a, 0-6), (b, 0-7), (c, 0-5), (e, 0-6)}-
V naslednji iteraciji algoritma v koraku 6 vsako od množic postavk iz D1 razširimo na vse možne na-cine z eno dodatno postavko. Iz tako dobljenega delovnega seznama D2 sproti izlocimo podvojene množice postavk (npr. {a} U {b} in {b} U {a}), v koraku 7 pa še tiste, katerih podmnožice niso v D1 (vse kombinacije s postavko d). Po izracunu relativne podpore dobimo
S	ab	ac	ae	bc	be	ce
rS	0.4	0.3	0.4	0.2	0.5	0.2
Zaradi prenizke podpore tokrat izlocimo množici postavk bc in ce, tako da je stanje seznamov po za-kljucku druge iteracije algoritma naslednje:
■ D2 = {ab,ac,ae,be}
F = {(a, 0-6), (b, 0-7), (c, 0-5), (e, 0-6), (ab, 0-4), (ac, 0-3), (ae, 0-4), (be, 0-5)}-

PRESEK 43 (2015/2016) 1
27
racunalni stvo

V tretji iteračiji algoritma Apriori računamo podporo samo še za množičo postavk abe, saj je edina, katere vse podmnožiče so v D2. Z relativno podporo rabe = 0.3 množiča postavk abe izpolnjuje pogoj za obstoj v seznamu D3. V četrti iteračiji algoritma pogoja v koraku 7 ne izpolni več nobena razširitev množiče postavk abe in algoritem se zaključi. Končni seznam pogostih množič postavk je tako
■ F = Ha, 0.6), (b, 0.7), (c, 0.5), (e, 0.6), (ab, 0.4), {ac, 0.3), (ae, 0.4), (be, 0.5), (abe, 0.3)}.
Delovanje algoritma lahko ponazorimo tudi grafično z drevesom, kakršno je za naš primer prikazano na sliki 1. Algoritem Apriori začne v korenu in drevo razvija po nivojih. Vsa vozlišča, obarvana s sivo, predstavljajo nepogoste množiče postavk, ki se odstranijo v koraku 9. Izmed vozlišč sinov vsakega vozlišča starša so zaradi preglednosti prikazana samo tista, ki jih ne odstranimo v koraku 7.
Računska zahtevnost algoritma Apriori je v najslabšem primeru še vedno eksponentna, vendar v realnih primerih število pogostih množič postavk z nivoji drevesa hitro upada, zato je praktična časovna zahtevnost običajno prečej manjša.
Pridobitev seznama pogostih množič postavk je ponavadi samo prvi korak do praktične uporabe teh informačij. Iz pogoste množiče postavk Zi G F lahko izpeljemo eno ali več povezovalnih pravil (assoči-ation rules) oblike Pi j : X-,

Yt j, kjer Xi j
c Zi in
Yij = Zi\Xij. Veljavnost posameznega pravila Pij izražamo z zaupanjem (čonfidenče) ci j, ki se izračuna po naslednji enačbi:
Ci j = CXij ~Yij =
rZi rXij '
{ a 0 . 6 }		{b, 0.7}	{c, 0.5}	{d, 0.2}	{ e 0 . 6 }
					
{ab 0.4} {aC 0.3}		{ ae 0 . 4 }	{bc, 0.2}	{be 0.5}	{ce, 0.2}
Pogosto določimo prag zaupanja cmin G (0 , 1) in obdržimo samo pravila s ci j > cmin. Takim pravilom rečemo, da so zanesljiva (strong). S povezovalnim pravilom P in pripadajočim zaupanjem c izražamo verjetnost, da se bo v seznamu, ki že vsebuje mno-žičo postavk X, pojavila tudi množiča postavk Y, npr. da bo kupeč ob artiklih X kupil še artikle Y. S pomočjo takšnih pravil lahko trgoveč oblikuje politiko akčijskih čen (npr. zniža čeno samo artiklom X, ker pričakuje, da bo kupeč potem kupil še neznižane artikle Y) ali postavitev artiklov na poličah (npr. postavi artikle Y blizu artiklov X, da vzpodbudi večji nakup).
Izčrpno iskanje vseh zanesljivih povezovalnih pravil lahko optimiziramo s preprosto izboljšavo. Ko izpeljujemo povezovalna pravila iz pogoste množiče postavk Z, pričnemo z maksimalno podmnožičo X. Ce po izračunu zaupanja ugotovimo, da cX—Y < cmin, potem lahko iz nadaljnje obravnave izločimo vse podmnožiče od X. Za vsak W c X namreč velja rw > rX in posledično cw—z\w ^ cx—z\x.
Poiščimo zanesljiva povezovalna pravila za naš primer, če je cmin = 0.75:
■	P1 : a — b z zaupanjem c1 = 06 = 0.67
■	P2 : b — a z zaupanjem c2 = 07 = 0.57
0 3
■	P3 : a — c z zaupanjem c3 = 0g = 0.5
0 3
■	P4 : c — a z zaupanjem c4 = 05 = 0.6
■	P5 : a — e z zaupanjem c5 = 06 = 0.67
■	P6 : e — a z zaupanjem c6 = 06 = 0.67
■	P7 : b — e z zaupanjem c7 = 07 = 0.71
■	P8 : e — b z zaupanjem c8 = 06 = 0.83
■	P9 : ab — e z zaupanjem c9 = 0f = 0.75
■	P10 : ae — b z zaupanjem c10 = °4 = 0.75
0.4 0.3
■	P11 : be — a z zaupanjem c11 = 05 = 0.6
■	P12 : a — be z zaupanjem c12 = 06 = 0.5
Od vseh izpeljanih pravil bi obdržali samo pravila P8, P9 in P10. Zaupanja za pravili b — ae in e — ab nismo računali, potem ko smo ugotovili, da c11 < cmin.
Literatura
{abe, 0.3}
SLIKA 1.
Grafična ponazoritev delovanja algoritma Apriori
[1] M. J. Zaki in W. Meira Jr., Data Mining and Analysis: Fundamental Concepts and Algorithms, Cambridge University Press, 2014.
_ XXX
28
PRESEK 43 (2015/2016) 1	28
RAZVEDRILO
Zbirke nalog s tekmovanj
Vsako šolsko leto na šolah potekajo različna tekmovanja v znanju matematike in fizike. Za lažjo pripravo vam ponujamo nekaj zbirk tekmovalnih nalog z rešitvami, ki so na voljo pri DMFA-založništvu.
Matjaž Željko:
REŠENE NALOGE IZ MATEMATIKE S SREDNJEŠOLSKIH TEKMOVANJ
Izb. in drž. tekm. 1997-2006
142 strani, format 14 x 20 cm 12,49 EUR
Ciril Dominko in Bojan Golli
REŠENE NALOGE IZ FIZIKE Z DRŽAVNIH TEKMOVANJ - 4. del
Državna tekmovanja 1999-2013
408 strani, format 14 x 20 cm 25,00 EUR
Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi narocite s popustom:
http://www.dmfa-za1oznistvo.si/tekmovanja/
Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.
vU sU vU
RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE
presek 43/1
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke 43. letnika Preseka je Čestitamo mladim astronomom. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Špela Škof iz Medvod, Klara Golubic iz Celja in Justina Pavlišic iz Črnomlja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
16	PRESEK 43 (2015/2016) 
29
RAZVEDRILO
Odsev
vU sU nU
Aleš Mohoriš
-> Na tokratni naravoslovni fotografiji opazimo poleg Sonca še niz svetlejših lis po diagonali. Svetle lise so posledica odseva sončne svetlobe na lecah, ki sestavljajo objektiv.
Svetloba po snovi potuje z manjšo hitrostjo kot v vakuumu. Žarki so v homogeni snovi ravni. Ko svetloba doseže drugo prozorno snov, se deloma vanjo lomi, del pa se je na mejni ploskvi odbije: npr. na meji med zrakom in steklom z lomnim kvočientom 1,5 se npr. pri pravokotnem vpadu odbije 4% energije, ostalo pa gre skozi. Med prehodom skozi steklo svetloba prečka dve mejni ploskvi in odbije se približno 8% vpadne svetlobe. Odbita svetloba je šibkejša od vpadne in odboj svetlobe na prozornem telesu imenujemo tudi odsev.
Odseva običajno ne opazimo, ker je odbita svetloba šibkejša od svetlobe, ki prehaja skozi telo od zadaj. Odseva ne opazimo, ko podnevi zremo skozi okno. Soba je temnejša od okoliče. Drugače je ponoči, ko je okoliča temna. Odsev opazimo, če v sobi prižgemo luč. Odsev njene svetlobe je močnejši od svetlobe iz okoliče in v steklu opazimo zrčalno podobo sobe. Na sliki 2 sta po diagonali zlepljeni dve fotografiji pogleda skozi okno moje jedilniče. Fotografiji sta bili narejeni zvečer, takoj druga za drugo. Nad diagonalo je posnetek narejen iz zatemnjene sobe, pod diagonalo pa iz sobe s prižgano lučjo. Nad diagonalo vidimo zunanjost, pod njo pa stene sobe
in kamero na stativu. Ce bi podoben posnetek naredi podnevi, ne bi opazili razlike, saj je dnevna svetloba iz zunanjosti močnejša od odsevane svetlobe luči v sobi.
Z odbojem svetlobe na meji med steklom in zrakom lahko pojasnimo tudi svetle lise na diagonali fotografije na naslovniči. Najprej si oglejmo, kako nastane slika Sonča pri preslikavi z zbiralno lečo. Zaradi lažjega risanja obravnavamo plan-konveksno lečo. Sonče je tako daleč stran, da njegova slika nastane v goriščni ravnini objektiva. Enega od žarkov kaže slika 3 zgoraj. Vpadni žarek je narisan zeleno. Po vpadu na lečo se žarek zlomi in je narisan rdeče. Ta žarek se na zadnji strani leče delno odbije (rjavi žarek), delno pa lomi (vijolični žarek). Slika 3 spodaj kaže vzporedni snop žarkov, ki se lomijo na leči. Žarki se po lomu ne sekajo v eni točki, saj prehajajo skozi krogelno lečo, ki ima krogelno napako (sferna aberačija). Žarki se na zaslonu sekajo v nekoliko raz-potegnjeni lisi, ki ima obliko kometa in jo imenujemo koma. Koma je izrazita zato, ker žarki vstopajo na lečo pod velikim kotom. Rep kome je šibek in ga na fotografiji Sonča ne opazimo. Žarek narisan z rjavo se na sprednji ploskvi leče ponovno lomi in delno odbije (narisan modro). Modri žarek se na zadnji strani leče lomi in rumeni žarki, ki ustrezajo dvojemu odsevu na leči, se sekajo na podoben način kot vijolični žarki. Odsevni žarki se običajno ne sekajo v goriščni ravnini (odvisno od lastnosti leče in vpadnega kota), zato na zaslonu dajo neostro sliko Sonča, ki pa jo
SLIKA 1.
Fotografija Sonca, na kateri so svetlejše lise na diagonali odsevi Sonca na lecah objektiva.

16
PRESEK 43 (2015/2016) 30
RAZVEDRILO

SLIKA 2.
V eno sliko zlepljeni fotografiji pogleda skozi šipo v mraku: nad diagonalo posnetek iz zatemnjene sobe, pod diagonalo posnetek iz osvetljene sobe. Na zgornjem delu vidimo zunanjost, na spodnjem pa zrcalno sliko notranjosti sobe, ki nastane zaradi odseva svetlobe na sprednji in zadnji ploskvi šipe.
Lomni kvocient n: svetloba potuje v snovi s hitrostjo n-krat manjšo kot v vakuumu.
Odbojni zakon: vpadni in odbojni žarek ležita v ravnini skupaj z vpadno pravokotnico in oklepata z njo enaka kota.
Lomni zakon: razmerje sinusa vpadnega kota in sinusa lomnega kota je enako razmerju lomnega kvocienta lomne snovi n2 in lomnega kvocienta vpadne snovi n1.
Odbojnost R je razmerje med gostoto odbitega in vpadnega svetlobnega toka.
Prepustnost je enaka 1 - R, ce je absorpcija zanemarljiva. Odbojnost je odvisna od lomnih kvocientov vpadne in lomne snovi ter od vpadnega kota. Pri pravokotnem vpadu je odbojnost enaka
R
n2 - n1 n2 + n1
2
SLIKA 3.
Zgoraj: Potek žarka (zelena), ki se lomi na leci (rdeca in vijolična) in prispeva k sliki, ter odseva (rjava in modra). Spodaj: Snop vzporednih vpadnih žarkov se seka približno v točki na zaslonu, ki je zaradi krogelne napake razpotegnjena v komo. Odsevani žarki (rumena) se sekajo pred slikovno ravnino in dajo na zaslonu večjo liso z neostrimi robovi.
zaslonka objektiva obicajno zasenci in na fotografiji opazimo senco zenicne odprtine. Žarkovna slika je narisana v ravnini, ki seka leco v temenu. Žarki, ki vpadajo v to ravnino pod kotom, se po lomu ne sekajo. Zato se odsevi svetlega telesa na fotografiji nanizajo po diagonali, ki tece skozi sredino slike.
Pojav odseva lec pri fotografiji moti in ga odpravimo s primernimi sencniki, ki jih namestimo na objektiv. V nekaterih racunalniško generiranih slikah odsev dodajo med procesiranjem slike zato, da ustvarijo vtis, da so posnetki narejeni s kamero.
_ XXX
www.presek.si

16	PRESEK 43 (2015/2016) 
31
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru z vec kot 6 milijoni tekmovalcev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne šole do cetrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logicno mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv.
EVROPSKI
MATEMATIČNI
KENGURU

2002-2004
10,99 EUR
18,74 EUR
14,50 EUR
Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižnici izšle že 4 knjige Matematicnega kenguruja.
•	Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo),
•	Evropski matematični kenguru 2002-2004,
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011.
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite:
http://www.dmfa-zalozni stvo.si/
Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.
RAZVEDRILO
■is ■i' ■i'
Nagradna križanka
16
16	PRESEK 43 (2015/2016) 	16
RAZVEDRILO
-> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 1. decembra 2015, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
XXX
16	PRESEK 43 (2015/2016) 
17