i i “5-3-Batagelj-Sandokan” — 2010/5/11 — 14:41 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 5 (1977/1978) Številka 3 Strani 131–133 Vladimir Batagelj: SANDOKAN Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/5/5-3-Batagelj.pdf c© 1978 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. MATEMATIKA SAN D o KAN lel Najbr ž s t e že vsi sli šali z a Sand o kana, hrabrega , močn ega, plemen ite ga in očarljivega "Malajs kega tigra i z Mompracema", pi rat a in upornika proti ko l oni a l n i m gospodarjem iz angleške Vzhodn oindij ske družbe . Z a čel o s e je pr i na ših sosedih s televizijsko nanizanko. Na t o s mo dob ili Sandokana še v stripu , knjigi i n na poster ju . Ze l o priljub ljena je tud i Sandokan p lošča . Na svoj račun so prišla tudi uredništva časopisov (s tem sestav kom se jim pr idružuje tud i Pre se k) . Zadnjih nekaj mesecev pa nas na Sandokana spomi njajo odvržene Sando kan vrečice , ki " krasijo" t lak naših pločni kov in ulic . Nobena sk rivnost ni, da so bi le v vsa ki vrečici , ki stane "samo" 1 d inar , po tri samo lepilne Sandokan sličice . Obs ta ja vsega 400 različnih sli čic , ki s i j ih lahko nalepimo v poseben Sandokan album . Tega lahko kupimo , če i mamo srečo in ni tre- nutno razprodan , za 5 din v skoraj vsaki tr afiki , kjer se dobe tudi sličice. Prav zbiranje Sando kan sliči c je glavna tema tega s esta vka . Ti s ti , ki te sličice zbi r a t e (al i pa ste zbirali t e a l i podob - ne: ž ivali , lad je , pevce, avtomobile, zas t a ve , films ke i gr al - ce, športni ke , . . . ), ste najbrž opazil i , da j e spoče tka skoraj vsaka s ličica nov a . Kasneje pa se začno kopičiti s ličice, ki jih že imamo, in l e pored ko dobimo novo . Zbiralci ka j kma l u najdejo re š i t e v : razvije s e živahno menjavanje odvečnih sličic, ki pa bistveno ne prispeva k polnosti a lbu ma . Običajno sčasoma zbi rat eljs ka vnema popu sti in ostane nam s kora j poln album i n 131 kupček "enakih" sličic. Ker i ma Sandok an album tudi moj š es t l e t ni sin, s em s i pred č a ­ s om zastavil vpra š anj e : Ko l i ko s l i č ic je treb a ( v povp reč ju) kupiti , da bomo napolnili ce l a l bum? Prva zamisel, ka ko pr i t i do od gov ora na za stavlj eno vpr aš anj e , je bila računalniška simulacija kupova nj a s lič ic . Doblj eni od- govor j e bil ~ za to, da napolnimo prazen Sa ndo ka n album, je potrebno kupiti okrog 2700 Sa nd oka n sli či cal i 270 0/3 = 900 Sa ndo ka n vrečic oziroma porabit i 900 din = 90 jur jev ( za ta denar lahko kupimo štiri Sandokan knj ige) . Seveda pa v tem re- zultatu ni upoštevano menjavanje sli čic. Predpostavljal pa s em "poštenost" izdelovalca Sa nd oka n v reč ic: vsako sli čico je na - tisnil in dal v vreči ce v en akem številu. Pred kra tk im sem v neki knj i gi našel tud i teoreti čni od govor na zastavljeno vprašanje: Naj bo v albumu prostora za n raz- ličnih sličic in naj jih manjka še p sličic . Potem moramo za to, da bi album napolnili (v povprečju) kupiti še 1 1 1 1 N{n ,p ) = n . { 1 + "2" + "3" + "4 + o •• + p) sličic . Vsoto recipročnih vrednosti prvih p naravnih števil i- menujemo tudi harmonična vrsta in jo označimo s H . Torej p lahko prej šnji obrazec zapišemo krajše N(n ,p ) = n. H p Pri majhnih p vrednost H določimo kar neposredno po definici- p ji s seštevanjem. Pri večjih p pa velja na precej decimalnih mest natančno obrazec kjer je y = O. 57721 56649 01532 86060 651 2 ... Eulerjeva konstanta. Tako dobimo po tem obrazcu H I O na štiri mesta natančno. H IO O pa že kar na šest mest natančno. 132 l a nase namene pa bo zadostovala n a s l w l n j a tabela: Bra lec n a j peskuga sam n a j t i t e o r e t i f n e ocene za neznane k o l f - tfne v n a s l e d n j i h nalagah: I. K o l i k o Satldakan s l j t i c aloramo v povpretju kupt t f , da nspol- nimo praren Sandokan a1 bum? 2. Koljko Sandokan s l i t i c rnoramo u povpreGju k u p f t i , l a bomo d o b i l i 380 raxl i E n l h s l f E l c ? 3 . Y Sandokan albumu fmamo Ze 380 razlqtnih s ' l i t i c . K o l i k o j i h moramo v povpretju i e k u p i t i , da dobfrno 5e manjka joCih 20 sl iEic f n napolnimo album? 4 . Recimo, de gra v album 300 razliEnfh s l i t i c . Kol iko s l i t f c aoramo Y p o v p r e t j u k u b i t i , Qa ga napolnimo? 5. Kolfkokrat v povpratfu moramo ureEt koeko, da boma vrg19 vsake cffro vse3 enkrat?