i
i
“Suhadolc-matrike” — 2010/6/3 — 12:04 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 2–7
Anton Suhadolc:
MATRIKE KOT POSPLOŠITEV POJMA ŠTEVILA,
1. del
Ključne besede: matematika, linearna algebra, matrike, matrične
enačbe.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Suhadolc.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1""-,-/,,,,-'1/"'" 1CI" I"", .
MATR IKE KOT POSPLOSITEV POJMA STEVILA
1. del
Znaten del matematike predstavljajo matematične discipline, ki študirajo ra-
čunske operacije z različnimi matematičnimi količinami. Vsi poznamo npr.
naravna števila in računske operacije z njimi, pa tudi ulomke, realna števila,
nekateri celo kompleksna števila. Tu si bomo ogledali bolj nenavadno, a zelo
pomembno posplošitev števil - matrike - in računanje z njimi. Zaradi eno-
stavnosti se bomo omejili le na primer matrike dimenzije 2 x 2:
s, b, c, d so števila (1)
Matriko določa torej četverka števil, ki pa imajo točno določena mesta. Ime-
nujemo jih matrični elementi. Matrika A ima dve vrstici in dva stolpca. Npr.
prva vrstica je [a, bl, drugi stolpec pa[~l . Matrika je pripravna tabela, v kateri
lahko podamo množico podatkov. Take tabele srečamo v življenju vsak dan,
npr. pri športni stavi, pri objavi rezultatov šahovskega turnirja, pri preglednici
dnevnih temperatur itd. Vendar nas v tem sestavku ta stran matrik ne bo za-
nimala.
Za cilj si zastavimo, kako z matrikami računati. Najprej se vprašamo, kdaj
imamo dve matriki za enaki. Naravna se zdi definicija: dve matriki sta enaki,
če se ujemata v vseh istoležnih elementih. Bolj na dolgo: naj bo A matrika iz
enačbe (1) in
Matriki A in B sta enaki, v znakih A =B, če je a =e, b = t, c =gin d =h.
S seštevanjem matrik ne bo težav. Rekli bomo: matriki A in Bseštejemo
tako, da seštejemo istoležne matrične elemente. Vsota zgornjih matrik A in B
je torej
-
2
[
a + e b+fJ
A+B=
c+g d+h
Primer: Seštej mo matriki A in B, kjer je
(2)
1I2J
-2
Po navodilu (2) dobimo
A +8 = [_~ ~:]
Prav lahko se prepričamo, da za poljubni matriki A in 8 velja A + 8 = 8 + A .
Za vsoto treh matrik A, 8 in C pa velja (A + 8) + C = A + (8 + C). Pri številih
imamo tudi odlikovano števi lo o z lastnostjo: če o prištejemo k poljubnemu
drugemu številu, se to nič ne pozna: a + o = a. Ali obstaja tudi matrika s po-
dobno lastnostjo? Gotovo je že vsak sam uganil, katera matrika je to. Ozna-
čimo jo s simbolom O, vsi njeni elementi naj bodo o
V navodilu (2) za seštevanje vzemimo namesto matrike 8 matriko O in dobimo
A + O = A. Zato imenujemo matriko O matrično ničlo ali ničelno matriko.
Za matrike lahko definiramo tudi računsko operacijo množenje matrike
s številom. Naj bo k štev ilo, A pa matrika iz enačbe (1). Matrika kA naj bo
[
ka kb]
kA =
. ke kd
(3)
Dogovorimo se še, da naj pomeni Ak isto kot kA. Za produkt matrike s števi-
lom veljajo nekateri računski zakoni , podobni zakonom za računanje s števili:
klA +8) =kA +k8
1.A =A o.A =O
(k +h) A = kA +hA
(kh) A =k (hA)
(4)
Veljavnost vseh petih zakonov zlahka preverimo npr. tako, da za vsakega od
njih zapišemo desno in levo stran in upoštevamo definiciji seštevanja matrik
in množenja matrike s številom. Za zgled dokažimo npr. prvo pravilo . Leva
stran je
[
a +e
k(A+8) = k
e+g
b + f] = [k(a + e)
d+h k(e +g)
k(b + f) ]
k(d+h)
(5)
3
Desna stran prvega od pravil v enačbi (4) pa je
[
ka kb] [ke kf]
kA + k8 = +
ke kd _ kg kh
[
k a + ke kb + kf ]
(6)
ke +kg kd+kh
•
Če pri matričnih elementih zadnje matrike v enačbi (5) odpravimo oklepaje,
dobimo prav zadnjo matriko v enačbi (6). Pravilo je dokazano.
V posebnem lahko matriko A množimo tudi s številom -1: (-1 lA . Nava-
da je, da to matriko označimo kar z -A . Imenujemo jo k matriki Anasprotna
matrika. Ima zanimivo lastnost
A+(-l)A=O
kar zlahka preverimo . Matrika -A je uporabna tudi za definicijo razlike dveh
matrik . Razliko A - 8 definiramo takole:
A -8=A + (-8)
Zgornje navodilo, napisano na dolgo, da
A-8= [a-e
e-g
b-f]
d-h
Pri realnih številih znamo vedno rešiti linearno enačbo z eno neznanko
oblike a + x = b , kjer sta ain b dani števili. Rešitev enačbe je seveda x = b - a.
Podobno vprašanje si lahko zastavimo za matrike. Reši enačbo A + X = 8,
kjer sta A in 8 dani matriki. Odgovor je na dlani: X = 8 - A .
Pri vseh računskih operacijah, ki jih poznamo za števila, ne gre prenos
na matrike tako gladko. Tudi pri relacijah se zatakne. Za dani realni števili
a in b vedno velja ena od treh možnosti: ali je a < b, ali je a = b, ali je a > b.
Za matrike se ne da definirati relacija A > 8 tako, da bi ta relacija imela iste
lastnosti kot relacija a > b za realni števili . Seveda bi mogli poskusiti z očitno
idejo A >8, če je a > e, b > t, e >9 in d > h. Če vzamemo npr.
potem očitno ne velja niti A < 8 niti A = 8 niti A > 8. Zato zaenkrat opustimo
misel na to, kako bi primerjali dve matriki.
Doslej smo spoznali, da lahko seštejemo in odštejemo poljubni matriki,
pa tudi matrika znamo množiti s številom. Za te operacije veljajo "običajni"
računski zakoni. Števila se dajo med seboi tudi množiti, pa se vprašajmo, ali
4
se da definirati tudi produkt dveh matrik . Da se, pa še na različne načine. Izka-
zalo se je, da je v matematiki koristna predvsem tale definicija produkta dveh
matrik A in B, kjer pa moramo povedati, katera matrika je prvi in katera drugi
faktor v produktu.
[
ae +bg
AB=
ce +dg
af+ bh ]
cf + dh
(7)
Predpis za izračun produkta je dokaj zamotan. Opazimo pa tole: element
matrike AB, ki je v prv i vrstici in v prvem stolpcu, tj . ae + bg, izračunamo tako,
da elementa prve vrstice rnatrike A pomnožimo z istoležnima elementoma
prvega stolpca matrike B in produkta seštejemo . Podobno velja za ostale ele-
mente matr ike AB. Npr. element v drugi vrstici in v prvem stolpcu matrike AB
dob imo tako, da elementa druge vrstice matrike A pomnožimo zelementoma
prvega stolpca matrike B in produkta seštejemo.
Primer:
Produkt smo izračunali po navodilu (7). Izračunajmo za vajo še produkt matr ik
A in B v drugem vrstnem redu , torej BA.
Rezultat nas preseneti: BA ni enako AB! Tako smo spoznali, da množenje
matrik ni komutativno .
Če za dan i matriki A in B velja AB =BA , rečemo , da sta matriki A in B
zamen ljivi ali komutativni.
Naloga : Pom noži matriko A iz enačbe (1) z matriko O.
Kratek račun nam pokaže, da veljata enačbi A.O = O in O.A =O. Od tod spo-
znamo dvoje: matrika O se vede pri produktu tako kot število o pri množenju
števil in matrika O komutira z vsako matriko.
Spet smo radovedni. Ali komutira matrika A samo z matriko O? Odgovor
je ne. Matrika A kornutira npr. tudi sama s seboj: A.A = A.A. Pa si zadajmo
nalogo: poišči vse matrike, ki komutirajo z dano matriko A, kjer je
5
Če neka matrika X komutira zA, potem sevedavelja A.X = x.A. Pa naj bo
iskana matrika X
Izračunamo oba produkta A.X in X.A in dobimo
(8)
[
2x +z
A.X=
3z
2 Y +UJ
3u
[
2x
X.A =
2z
x + 3Y]
z + 3u
x, y poljubni števili
PO definiciji enakosti dveh matrik sledijo iz pogoja A.X = X.A štiri linearne
enačbe
2x+z=2x 3z=2z 2y+u=x+3y 3u=z+3u
Prva enačba pove z = O, prav to trdi tudi druga enačba . Tretjo prepišemo v
obliki u = x + y, četrta pa spet zahteva z = O. Rešitev zgornjega sistema enačb
je torej
z = O,U = x + y
Neznanki x in y sta poljubni števili. Zato ima matrična enačba A.X = X.A
neskončno mnogo rešitev, danih s formulo
X= [: :+Y]'
Zapišimo nekaj posebnih primerov matrike X. Pri x = 1 in y = Odobimo
(9)
pri izb iri x = 1 in y = 1 pa X =[~ ~] . Za x =O in y =Odobimo spet X =O.
Naloga: Poišči vse matrike, ki komutirajo z matriko A iz enačbe (1)!
Račun poteka podobno kot zgoraj. Z nekaj več truda se da pokazati, da ta
matrika Akomutira natanko s tistimi matrikami X, ki se dajo zapisati vobliki
X = kA + hI, kjer sta k in h poljubni števili.
Za produkt treh števil velja računski zakon (ab)e = a(be), tj. asociativnost
množenja . Enostaven, a daljši račun pokaže, da velja tudi za poljubne tri matri-
ke A , B in C asociativnostni zakon (AB)C = A (BC). Za računanje s števili velja
tudi distributivnostni zakon , tj. alb + e) = ab + ae. Tudi za množenje in sešte-
6