     
P 47 (2019/2020) 24
MaRS 2019
S B
Med 28. julijem in 3. avgustom 2019 je na Po-
horju potekal štirinajsti zaporedni matematični ta-
bor za srednješolce MaRS (Matematično Razisko-
valno Srečanje). Udeležilo se ga je petindvajset
dijakinj in dijakov iz različnih srednjih šol iz vse
Slovenije. Za uspešno krmarjenje po vesolju je skr-
belo deset članov posadke: Simon Brezovnik, Klara
Drofenik, David Gajser, Žan Hafner Petrovski, Rok
Havlas, Petra Podlogar, Jakob Jurij Snoj, Jakob Sve-
tina, Tjaša Vrhovnik in Nejc Zajc, v oporo pa nam
je bil tudi Vid Kocijan.
SLIKA 1.
Lovci, levi in blondinke
Glavni del tabora je zaznamovalo projektno delo.
MaRSovci smo se na podlagi svojih interesov razde-
lili v skupine po dva oziroma tri člane, vsaki skupini
pa je bil dodeljen eden od mentorjev. Vsak mentor
je svoji skupini predstavil zanimiv matematični pro-
blem, s katerim smo se spopadali. V času bivanja na
MaRSu smo se naučili uporabljati program LATEX, ki
omogoča pregledno pisanje matematičnih besedil. S
SLIKA 2.
Del posadke na letošnjem MaRSu: Petra, Jakob Jurij, Jakob in
David.
pridobljenim znanjem smo v vsaki skupini do konca
tabora oblikovali kratek članek, v katerem smo pred-
stavili svoje matematične probleme. Letos so se di-
jaki pri projektih ukvarjali z: maRSovsko geometrijo,
konstruktibilnimi števili, eliptičnimi krivuljami, veri-
žnimi ulomki, Cayleyjevim izrekom, Polyevo teorijo,
centralnim limitnim izrekom, teorijo grafov in teo-
rijo odločanja.
V nadaljevanju predstavljamo nekaj nalog, ki smo
jih med našim raziskovanjem uspeli rešiti. Vabimo,
nadebudneže, da se z nekaterimi tudi sami spopa-
dejo. Za dodatno pomoč si lahko pomagate z našimi
članki, ki so objavljeni na spletni strani MaRS.dmfa.
si/projekti/.
Problem 1. Že stari Grki so vedeli, da se tako te-
žiščnice kot višine in simetrale kotov sekajo v eni
točki. Giovanni Ceva, italijanski matematik iz Uni-
verze v Pisi, je po raziskovanju trikotnikov objavil iz-
rek. Ta izrek je danes znan kot Cevov izrek, ki pravi,
da imajo daljice, ki povezujejo oglišča z nasprotnimi
stranicami trikotnika skupno presečišče le pod dolo-
čenim pogojem. Ali morda poznate ta pogoj?
     
P 47 (2019/2020) 2 5
SLIKA 3.
Del posadke na letošnjem MaRSu: Klara, Tjaša, Simon in Nejc.
SLIKA 4.
Delo v Tjašini projektni skupini
Problem 2. Trije matematiki potujejo po vesolju in
se ustavijo na planetu, na katerem je le drevo z oku-
snimi sadeži in prijazen vesoljec. Pred spanjem ma-
tematiki naberejo sadeže, jih zložijo na kup in se
odpravijo spat. Ob polnoči se zbudi prvi matematik,
razdeli sadeže na tri enake kupe, a ostane mu en sa-
dež, ki ga podari vesoljcu. En kup skrije, preostala
dva združi v enega, ga vrne nazaj ter se odpravi spat.
Ob enih se zbudi drugi in stori enako. Ob dveh tretji
in tudi on stori enako. Zjutraj vstanejo in razdelijo
preostale sadeže na tri enake dele, a jim spet ostane
en, ki ga podarijo vesoljcu. Kolikšno je najmanjše
število sadežev, s katerimi so začeli?
Problem 3. Predstavljajte si, da morate naenkrat
vreči 1000 kovancev. Zanima nas, kolikšna je ver-
jetnost, da pade grb med 750 in 800-krat. Nasvet za
reševanje tega problema je, da se najprej poučite o
centralnem limitnem izreku.
Na MaRSu smo se ukvarjali tudi z zanimivimi pro-
blemi iz teorije grafov, natančneje z igro Lopov in
policisti. Igralno polje igre je neusmerjen enostaven
graf (primer takega grafa prikazuje slika 5). Igra se
začne, ko prvi igralec določi vozlišča, ki jih bodo za-
sedli policisti. Nato drugi igralec določi vozlišče lo-
povu, s čimer se zaključi 0. krog. V vsakem nadalj-
njem krogu se najprej premaknejo policisti in nato
lopov. Policisti in lopov se lahko v vsakem krogu pre-
maknejo na sosednje vozlišče ali pa ta krog počivajo
(ostanejo na istem mestu). Za policiste velja tudi, da
se lahko naenkrat premakne poljubna podmnožica
policistov, prav tako pa lahko več policistov zasede
isto vozlišče. Igra se konča, ko policist zasede isto
vozlišče kot lopov. Če se to nikoli ne more zgoditi,
pravimo, da je zmagovalec lopov.
Problem 4. Najmanjše število policistov, ki jih po-
trebujemo, da na grafu zagotovo ujamemo lopova,
imenujemo policijsko število grafa. Poskusi poiskati
policijsko število grafa na sliki 5.
P
SLIKA 5.
Neusmerjen graf G, v smislu teorije grafov
     
P 47 (2019/2020) 26
Problem 5. Astronavt želi poleteti na MaRS, kamor
ga lahko pelje ena od treh vesoljskih ladij.
Prva bo odletela čez eno uro in potrebuje dve uri,
da pride do Lune. Tam bo z verjetnostjo 0,8 posta-
nek za gorivo, ki traja pet ur. Od Lune do MaRSa
gre vesoljska ladja lahko po dveh poteh. Prva je
daljša in traja 15 ur, druga pa krajša in traja 10
ur. Na krajši poti obstaja 0,3 verjetnost, da bodo
asteroidi, kar ladjo upočasni za 10 ur.
Druga vesoljska ladja bo odletela čez tri ure in po-
trebuje do Lune enako časa kot prva. Na Luni pa
bo imela postanek za gorivo z verjetnostjo 0,5, ki
bo trajal štiri ure. Od Lune naprej ima enake po-
goje kot prva.
Tretja vesoljska ladja bo odletela čez pet ur. Po-
stanek na Luni bo imela z verjetnostjo 0,1 in bo
trajal pet ur. Od Lune pa bo šla do MaRSa le po
krajši poti.
Na katero vesoljsko ladjo naj se astronavt vkrca, če
želi biti na MaRSu v čim krajšem času?
Tipičen maRSovski dan se je pričel z maRSovskim
zajtrkom in telovadbo. Ob dopoldnevih smo se ude-
ležili različnih delavnic. Dr. Primož Moravec s Fa-
kultete za matematiko in fiziko, univerze v Ljubljani
nam je v tridnevnem sklopu približal grupe. Spo-
znali smo definicijo grupe in nekaj osnovnih prime-
rov grup. Govorili smo tudi o preslikavah med gru-
pami, delovanju grup na množicah, orbitah in stabi-
lizatorjih ter si ogledali več zgledov. Vsak dan smo
MaRSovci dobili list z domačimi nalogami, kdor pa
jih je naveč pravilno rešil, je dobil nagrado.
Poleg zgoraj omenjenih delavnic so potekale tudi
delavnice iz programiranja in urejanja matematičnih
besedil. Nejc nas je naučil osnov programskega je-
zika Python ter uporabe programa Latex, s katerim
smo na koncu izdelali članke in predstavitve. Ob po-
poldnevih smo čas posvečali predvsem projektnem
delu.
Ob večerih smo bili deležni zanimivih predavanj
odličnih profesorjev. Prvi dan se nam je preko Sky-
pe-a iz Kalifornije oglasila gostja dr. Marinka Žitnik,
postdoktorska raziskovalka na Stanfordu. Predavala
je o umetni inteligenci in analizi velikih podatkov,
kar je tudi njeno raziskovalno področje. Razlagala
nam je o strojnem učenju, predstavitvi podatkov s
pomočjo omrežij in grafov ter razložila nekaj algo-
ritmov strojnega učenja. Razlago je popestrila s kon-
SLIKA 6.
Delavnica o grupah, ki jo je vodil dr. Moravec.
kretnimi primeri (npr. določanje potencialnih prija-
teljev na družbenih omrežjih, uporaba v medicini).
V ponedeljek zvečer smo prisluhnili gostu dr. Bojanu
Moharju z Univerze Simon Fraser v Vancouveru v Ka-
nadi, prejemniku prestižnih matematičnih nagrad.
Spregovoril nam je o risanju grafov in prekrižnih šte-
vilih.
SLIKA 7.
Izsek iz predavanja dr. Bojana Moharja
Njegovo predavanje nas je močno pritegnilo. Ene-
ga od problemov, ki smo jih obravnavali na predava-
nju, objavljamo tudi tukaj.
     
P 47 (2019/2020) 2 7
Problem 6. Ali znaš narisati graf, ki ga prikazuje
slika 8, tako da se povezave tega grafa sekajo največ
enkrat?
K5
SLIKA 8.
Polni graf na petih vozliščih
V četrtek zvečer smo bili priča predavanju »Od-
prto – zaprto?« dr. Iztoka Baniča, profesorja na Fa-
kulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Ma-
riboru. Spoznavali smo odprte in zaprte množice ter
se seznanili s topologijo, pomembno matematično
vejo, ki je tudi predavateljevo raziskovalno podro-
čje. Njegovo predavanje nas je navdušilo, saj je bilo v
njem ves čas čutiti strast do matematike. Vsak dan je
bila MaRSovcem postavljena uganka dneva. Tisti, ki
je uganko prvi pravilno rešil, je prejel posebno MaR-
Sovsko nagrado. Objavljamo nekaj ugank, ki so vam
lahko v izziv naslednjih nekaj minut (ali ur).
Problem 7. Pet piratov je na svojem plenilskem po-
hodu našlo veliko skrinjo s 100 zlatniki. Pirati si
bodo ta zaklad razdelili tako, da bo delitev najprej
predlagal kapitan Andres. Če se bodo ostali strinjali
z njim, potrdijo njegov predlog, sicer ga zavrnejo.
Če se vsaj polovica piratov (šteje tudi glas kapitana)
strinja s predlogom, je predlog sprejet, sicer je zavr-
njen, kapitan mora v morje, nova kapitanka pa po-
stane piratka Beatrice. Za njo bi postal kapitan Car-
los, za njim Dominica, ostane še pirat Eduardo. Pirati
se strinjajo s predlogom le, če nikakor ne bodo mogli
dobiti več denarja; če pa bi v dveh primerih lahko do-
bili enako denarja, bodo izbrali možnost, pri kateri
bo umrlo več piratov. Noben kapitan ne bo predlagal
delitve, pri kateri bo umrl, če se temu lahko izogne.
Vsi kapitani so dobri logiki in vedo, da so to tudi
ostali, poleg tega pa en drugemu ne zaupajo, zato
ne sklepajo nikakršnih zavezništev med seboj. Ka-
kšno delitev mora predlagati Andres, da ostane živ,
in koliko zlata bo dobil?
Problem 8. Nezemljani so prišli na Zemljo, a žal
niso preveč miroljubni. Po nekajtedenskem potova-
nju in neokusni hrani, jim ljudje zelo dišimo, vendar
pa je proti njihovim načelom jesti inteligentna bitja,
zato skupini desetih ljudi predstavijo nalogo: posta-
vili jih bodo v vrsto od največjega do najmanjšega,
tako da vsak vidi le vse manjše od sebe. Obračanje
nazaj ni dovoljeno. Vsakemu bodo naključno dode-
lili belo ali črno kapo. Število belih ali črnih kap ni
znano. Vsak lahko reče le BELA ali ČRNA, vsaj de-
vet oseb pa mora uganiti barvo svoje kape. Ugibati
začne najvišji, potem so na vrsti vedno nižji člani
skupine. Na voljo imajo pet minut, da se dogovorijo,
kako preživeti. V primeru kakršnegakoli goljufanja,
umrejo vsi člani skupine. Vsak lahko reče le bela
ali črna, ničesar ne sme sporočati z načinom, kako
to besedo pove (npr. da bi podaljšal kakšen zlog ali
spremenil višino glasu). Kap tudi ne smejo sneti in
si jih ogledati.
Problem 9. Tvoj bogat, malce poseben stric je umrl
in napisal oporoko. Imaš še 99 drugih sorodnikov,
vendar pa si bil ti edini, ki se je rad družil s stricem
in prisluhnil njegovim zgodbam. Stric je želel vse
svoje premoženje zapustiti tebi, vendar pa je vedel,
da bi bili vsi ostali sorodniki v tem primeru zelo je-
zni, zato je oporoko zapisal kot uganko, pri tem pa
dodal, če vsi skupaj sodelujete in odkrijete rešitev
uganke, si njegovo premoženje enakomerno razde-
lite. Če pa kdo ugotovi rešitev uganke sam, lahko
sam poskusi odpreti sef. Če mu uspe, je vse premo-
ženje njegovo, če se zmoti, ne dobi ničesar. Na bra-
nju oporoke je odvetnik vsakemu sorodniku izročil
ključ s številko od 1 do 100. Potem ste vsi skupaj
odšli v skrito sobo, kjer je stric postavil 100 ošte-
vilčenih omaric. Odvetnik je dal nadaljnja stričeva
navodila. Ključ s številko 1 odpre vse omarice, ključ
s številko 2 zapre vsako drugo omarico, ključ s šte-
vilko 3 spremeni stanje vsake tretje omarice (zaprte
odpre, odprte zapre), ključ s številko 4 spremeni sta-
nje vsake četrte omarice itd. Kodo sefa dobiš tako,
da sešteješ vsa števila na omaricah, ki ostanejo od-
prta ob koncu odklepanja. Kakšna je koda?
     
P 47 (2019/2020) 28
Da pa so člani posadke poskrbeli tudi za našo fi-
zično kondicijo, smo bili na taboru deležni različnih
športnih dejavnosti, na primer igranja košarke in no-
gometa, družabnega programa in izletov. Tako smo
se MaRSovci v sredo odpravili na maRSovski izlet do
hotela Bellevue, kjer smo uživali ob razgledu na ce-
loten Maribor in uživali ob kartanju in razvajanju s
sladoledom.
V četrtek je sledila še maRSovska pustolovščina,
ki nas je vodila po poti mimo Framskega slapu. Na
pustolovščini so nas čakale različne spretnostne in
miselne uganke, v nekaterih pa se lahko preizkusite
tudi sami.
Problem 10. Poskusite najti napako v spodnjem do-
kazu. Dokaz, da slon tehta toliko kot komar:
x . . . slonova masa,
y . . . komarjeva masa.
Recimo, da je vsota obeh tež enaka 2v . Potem velja
x +y = 2v,
−y = x − 2v ; x = −y + 2v.
Pomnožimo prvo enačbo z x in drugo z −y ter ize-
načimo:
x2 − 2vx = y2 − 2vy.
Prištejemo v2:
x2 − 2vx + v2 = y2 − 2vy + v2,
(x − v)2 = (y − v)2,
x − v = y − v,
x = y.
Problem 11. V vrsto postavite osem kovancev tako,
da si sledijo v zaporedju: cifra – mož – cifra – mož –
cifra – mož – cifra - mož. Vaša naloga je preurediti
vrstni red kovancev tako, da bodo vse cifre na eni in
vsi možje na drugi strani. Kovance je dovoljeno pre-
mikati le v trojicah, in sicer tako, da hkrati zagrabite
po tri sosednje in jih prestavite na začetek ali konec
vrste, ne da bi pri tem njihov vrstni red zamenjali.
Poskusite rečiti problem v čtirih potezah.
Vsak večer smo se MaRSovci pomerili v igranju
družabnih iger, ki so kdaj pa kdaj trajale tudi po-
zno v noč. Na voljo smo imeli več kot 30 različnih
vrst družabnih iger, tako da je bil izbor res težek.
Večeri so ponujali tudi priložnost za spletanje novih
prijateljstev in uživanje v sproščenem vzdušju.
Zadnji večer smo imeli tradicionalni maRSovski pi-
knik. Prišli so stari MaRSovci, tako da smo skupaj
pojedli kakšno dobroto iz žara in delili spomine na
pretekla maRSovska potovanja.
Da smo naše potovanje zaključili v stilu, smo glav-
ne ugotovitve svojega raziskovalnega dela predsta-
vili tudi našim staršem in ostalim MaRSovcem.
Kot vsako leto je tudi letos tabor prehitro minil in
komaj čakamo prihodnje leto, da skupaj spet vedo-
željno poletimo v vesolje!
SLIKA 9.
Ena od skupin na Klarini kontrolni točki četrtkove pustolovščine
SLIKA 10.
Predstavitev projeka ene od skupin
×××