Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 UDK - UDC 620.179.12/.13:539.388.1 Izvirni znanstveni članek - Original scientific paper (1.01) Modeliranje naključnih termomehanskih napetostno-deformacijskih stanj Thermo-Mechanical Modelling of Stochastic Stress-Strain States Marko Nagode - Matija Fajdiga (Fakulteta za strojništvo, Ljubljana) Deformacijski postopek je najbolj razširjena metoda napovedovanja dobe trajanja dinamično obremenjenih delov na področju malociklične trdnosti. Uporablja se tako pri nizkih, srednjih kakor tudi visokih temperaturah, če je temperatura med obratovanjem nespremenljiva. Deformacijski postopek je računsko izjemno hiter in narekuje le uporabo analiz elastičnosti s končnimi elementi. Zaradi številnih prednosti, razširjenosti in potencialnih možnosti je bil prilagojen tako, da je uporaben tudi za spremenljive temperature. Napetostno-deformacijsko stanje je popisano s Prandtlovimi operatorji. Postopek temelji na stabilnih histereznih zankah, pri čemer lezenje ni upoštevano. Analiziran je tudi vpliv filtriranja konic sunkov. Narejena je primerjava izsledkov raziskav z rezultati meritev in Skeltonovim modelom. © 2006 Strojniški vestnik. Vse pravice pridržane. (Ključne besede: utrujanje termomehansko, enačbe konstitutivne, stanja napetostno-deformacijska, modeliranje) The isothermal strain-life approach is the most commonly used approach for determining fatigue damage, particularly in low-cycle fatigue. It is used for low, medium and high temperatures if the temperature remains constant during the test. Computationally, it is extremely fast and generally requires elastic finite-element analyses only. For this reason it has been adapted for variable temperatures. The local temperature-stress-strain behaviour is modelled with an operator of the Prandtl type. The hysteresis loops are supposed to be stabilized and no creep is considered. The consequences of reversal point filtering are analysed. Finally, the approach is compared to several thermo-mechanical fatigue tests and the Skelton model. © 2006 Journal of Mechanical Engineering. All rights reserved. (Keywords: thermomechanical fatigue, constitutive equations, stress strain states, modelling) 0 UVOD 0 INTRODUCTION Številni izdelki, npr. motorji z notranjim zgorevanjem, izpušni in hladilni sistemi, turbine, jedrski reaktorji, so v času uporabe obremenjeni z naključnimi termomehanskimi obremenitvami (TMU), ki lahko privedejo do utrujenostnih razpok [1]. Z razvojnega vidika je zato pomembna napoved dobe trajanja izdelka v razvojnih fazah pred preskušanjem prototipov oziroma izdelkov. Doba trajanja je odvisna predvsem od obremenitev, uporabljenih materialov, oblike izdelka in okoliščin. Za njeno dokazovanje se uporabljajo naslednji preizkusi ([2] in [3]): • deformacijsko nadzorovani malociklični preizkus (MCUP - LCF) pri nespremenljivi temperaturi, • termomehanski preizkus delov in izdelkov in • toplotni sunek. Many products, like internal combustion engines, exhaust and cooling systems, turbines, nuclear reactors, are subjected to stochastic thermo-mechanical fatigue (TMF) loading that can cause fatigue failures during their usage [1]. From the development perspective, fatigue-life prediction in the development phases before prototype or product testing is important. Fatigue life depends primarily on loads, applied materials, product geometry and environmental effects. Its approval is generally based on the following tests ([2] and [3]): • isothermal strain-controlled low-cycle fatigue (LCF) tests, • TMF tests on specimens and components, • thermal shock tests. 74 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 MCUP se izvajajo prednostno, ker so v primerjavi z drugimi preprostejši [4]. Poleg tega se opravljajo že več desetletij, postopek testiranja in zapisovanja rezultatov testiranj pa je standardiziran [2]. Obstajajo tudi baze podatkov o materialnih lastnostih, potrebnih za napoved dobe trajanja malociklično obremenjenih delov Končni cilj je razviti metodologijo napovedovanja dobe trajanja, ki bo omogočala zanesljive napovedi brez termomehanskih testiranj in testiranj s toplotnim sunkom. Področje je poglobljeno predstavljeno v [3] do [9]. V prispevku je obravnavan problem napovedovanja napetostno-deformacijskih stanj ob upoštevanju spremenljive temperature obratovanja. Predpostavimo, da je vpliv lezenja in prehodnih pojavov, npr. utrjevanja ali mehčanja, neznaten. Napovedovanje napetostno-deformacijskih stanj torej temelji na stabilnih histereznih zankah in konstitutivnih enačbah elastoplastičnosti. Izmed razpoložljivih reoloških modelov ([9] do [11]) je bil izbran model vzporedno vezanih vzmeti in drsnikov [11], izražen s Prandtlovim modelom s temperaturno odvisnimi gostotami in temperaturno neodvisnimi drsnimi površinami. Model omogoča razširitev deformacijskega postopka na področje spremenljivih temperatur, pri čemer se velika hitrost računanja ne zmanjša. Napetostno nadzorovan in temperaturno preoblikovan reološki model je obravnavan v [12] in [13]. V primeru deformacijskega nadzora potrebujemo enakovreden, a drugačen model. V drugem poglavju so obravnavane temperaturno odvisne napetostno-deformacijske krivulje in ocenjevanja parametrov. V tretjem poglavju je prikazan razvoj temperaturno preoblikovanega in deformacijsko nadzorovanega modela vzmet - drsnik. V četrtem poglavju so analizirane posledice izločanja konic sunkov. V petem poglavju je opisano ujemanje novega modela z rezultati preizkusov in s Skeltonovim modelom, v zadnjem poglavju pa so podani pomembnejši sklepi. 1 TEMPERATURNO ODVISNE NAPETOSTNO-DEFORMACIJSKE KRIVULJE Ker večina materialov preide po nekem manjšem številu obremenitvenih ciklov v stabilno področje, se za napoved dobe trajanja navadno uporabijo materialne lastnosti, ki ustrezajo polovični dobi trajanja preskušanca. Temperaturni časovni poteki obremenitev so v splošnem naključni. V literaturi je mogoče najti napetostno-deformacijske krivulje za le nekaj različnih In terms of complexity, LCF tests are favoured because of their simplicity [4]. In addition, because they have been carried out for decades, the testing procedures and data recording is standardized [2]. There also exist databases with material properties required for the fatigue-life prediction of low-cycle loaded parts. The final goal is, therefore, to develop a methodology of fatigue-life prediction that will enable reliable estimations by avoiding expensive TMF and thermal shock tests. The methodology is discussed comprehensively in [3] to [9]. The present work is concerned with a cyclic stress-strain response prediction suitable for variable temperatures. Assuming that creep and transient effects, such as cyclic hardening and cyclic softening and their effect on damage accumulation are negligible, the hysteresis loops are supposed to be stabilized and the constitutive equations for elastoplasticity are applicable for stress-strain behaviour modelling. From among the available models ([9] to [11]), the strain-controlled spring-slider model [11] with temperature-dependent Prandtl densities and temperature-independent yield surfaces has been chosen. It enables the extension of the isothermal strain-life approach to non-isothermal problems by preserving a high computational speed. The stress-controlled and temperature-modified spring-slider model is explained in [12] and [13]. However, if the strain is controlled, an equivalent but distinct spring-slider is required. In Section 2 the temperature-dependent cyclic stress-strain curves and parameter assessment is discussed. In Section 3 the temperature-modified strain-controlled spring-slider model is developed. In the 4th section the consequences of reversal point filtering are analysed. In Section 5 the spring-slider model is compared to several TMF tests, and the final section lists the conclusions. 1 TEMPERATURE-DEPENDENT CYCLIC STRESS-STRAIN CURVES Most metals approach a cyclically stable state after a certain number of cycles. Cyclically stable or half-life material properties are usually used in fatigue analyses. Generally speaking, the temperature–time history is stochastic, but cyclic stress–strain curves for only a few distinct temperatures can be found in the literature. To Modeliranje naključnih termomehanskih - Thermo-Mechanical Modelling of Stochastic 75 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 temperatur. Napoved napetostno-deformacijskih stanj pri temperaturah, pri katerih napetostno-deformacijske krivulje ne obstajajo je mogoča z uporabo interpolacije, aproksimacije ali neparametričnih metod. Predvsem slednje so se v zadnjem času izkazale za najboljše. Za popis elastoplastičnih lastnosti gradiv se najpogosteje uporablja Ramberg-Osgoodova enačba [14]: e = g(s,T) obtain the material parameters that have not been measured, linear parameter interpolation, approximation or non-parametric methods can be used. The latter turned out to be the most appropriate recently. Elasto-plastic hardening solids are most frequently modelled by the Ramberg– Osgood relation [14]: E(T) yK'(T) 1n'(T) (1), kjer je E(T) modul elastičnosti, K’(T) in n’(T) pa sta utrjevalni koeficient in utrjevalni eksponent. Interpolacija je bila obravnavana v [12]. 2 MODELIRANJE NAPETOSTNO-DEFORMACIJSKIH STANJ V [12] je bilo dokazano, da Masingov model in spominski modeli niso veljavni, če se temperatura med obremenitvenim potekom spreminja Masing je izsledke svojih raziskav utemeljil z reološkim modelom vzmet -drsnik in predpostavil, da so parametri modela neodvisni odčasa [11]. Da bi odpravili omejitve omenjenih modelov, je bil model vzmet - drsnik temperaturno spremenjen ([12] in [13]). Model v sedanji obliki je primeren za modeliranje elastoplastičnih lastnosti gradiv in nelinearnega kinematičnega utrjevanja pri sočasnem nadzoru napetosti. Če je deformacija nadzorna spremenljivka je na sliki 1 prikazan primernejši model za modeliranje napetostno-deformacijskih stanj. Iz ravnotežja na segmentu vzmet - drsnik je mogoče izraziti celotno deformacijo e: e = eqj+ eaj. Deformacija drsnika |e | ne more nikoli preseči navidezne drsne deformacije qj. Deformacija vzmeti where E(T) is Young’s modulus and K’(T) and n’(T) are the cyclic hardening coefficient and the cyclic hardening exponent respectively. Parameter interpolation has been dealt with in [12]. 2 STRESS-STRAIN-TEMPERATURE BEHAVIOUR It has been shown in [12] that the Masing and Memory models are not valid if the temperature varies during the cycle. Masing based his finding on the rheological spring-slider model and assumed that the model parameters are time independent [11]. Therefore, the spring-slider model has been adapted for variable temperatures ([12] and [13]). The model developed so far is capable of modelling elasto-plastic hardening solids and non-linear kinematic hardening under stress control. If the strain is controlled, the rheological spring-slider model depicted in Fig. 1 proves to be more convenient. From the equilibrium in a single spring-slider segment, the total strain e is obtained e = eqj + eaj, where the slider strain |eqj can never exceed the fictive yield strain qj . The spring strain can now be expressed as: e$= e-sign(e-e^min{qj,|e-e^ |} (2) sj f _t_e(t) eaj(t)f-paj(T) eqj(t)f qj te ia0(T)- Ea1(T) r D q0 D nuni nntaniiiitaš q1 aj(T) fs an(T) qnqq Sl. 1. Reoloski model vzmet - drsnik Fig. 1. Rheological spring-slider model 76 Nagode M. - Fajdiga M. Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 ustreza operatorju ohlapa s splošno začetno and corresponds exactly to the play operator with vrednostjo ([15] do [17]): the general initial value ([15] to [17]): eaj(ti) = max{e(ti)-qj, min{e(ti) + qj,eqj(ti-1)}} (3) za 0 < t1 < t2 < ¦¦ ¦ < t . Trenutna deformacija eaj(ti) for 0 < t1 < t2 < ¦¦ ¦ < t . Thus, the current strain state je odvisna od deformacije v predhodnem trenutku eaj (ti) depends on the previous state eaj (ti 1) called ej (ti1), imenovanem spominska točka. the memory point. Presumably there is no residual Predpostavimo, da zaostalih deformacij ni. Odtod strain initially, so eaj (0) = 0 and sj (0) = 0. The stress izhaja eaj(0) = 0 in sj(0) = 0. Napetost v odseku in the spring-slider segment is then: vzmet - drsnik je tedaj: Ti=T(ti) in a j (Ti) je Prandtlova gostota. S where Ti=T(ti) and a (Ti) is the Prandtl density. seštevanjem napetosti po posameznih odsekih je Adding the spring-slider stresses results in the total mogoče izraziti celotno napetost s Prandtlovimi stress in the form known as the operator of the operatorji ([15] do [17]): Prandtl type ([15] to [17]): s(ti) = nq aj(T)eaj(ti) (5) s temperaturno odvisnimi gostotami. Ker je operator with temperature-dependent Prandtl densities. The rege, definiran v en. (3), neodvisen od časa in play operator given in Eq. (3) is independent of time temperature, ga je treba spremeniti tako, da bo and temperature. Therefore, it is modified to assure zagotavljal ravnotežje v odseku vzmet - drsnik tudi equilibrium in the spring-slider. pri spremenljivih temperaturah. Let us presume that at ti-1 the spring-slider Če je v trenutku ti-1 j-ti odsek v ravnotežju, segment j is in equilibrium and multiply Eq. (3) by pomnožimo en. (3) z aj (Ti -1) (sl. 2). Odtod izhaja: aj (Ti-1) (Fig. 2). This yields: s j (ti-1) = max{(e (ti-1) - qj)aj (Ti -1),min{(e (ti -1) + qj)aj (Ti -1), sj (ti-2)}} (6), kjer velja s (ti-2) = s (ti-1). Če se v koraku [ti -1, ti] where the memory point s (ti-2) = s (ti-1). If the spremenita temperatura ali deformacija, se meje temperature or strain change in the interval [ti 1,ti], operatorja ohlapa premaknejo in: then the boundaries of the play operator move and: sj (ti) = max{(e(ti ) - qj)aj (Ti),min{(e(ti) + qj)aj (Ti), sj (ti -1)}} Če nato enačbo delimo z aj (Ti), dobimo: If the equation is divided by aj (Ti), then: ej(ti ) = maxLti)-q,min|e(ti) + qj , aj(Ti)}J (7) spominska točka i memory point (e(ti-1) - qj)aj(Ti-1) sj(ti-1) (e(ti-1) + qj)aj(Ti-1) ' meje \ l ~\ * boundaries sj(ti) Sl. 2. Ravnotežje v modelu vzmet - drsnik Fig.2. Equilibrium in the spring-slider model Modeliranje naključnih termomehanskih - Thermo-Mechanical Modelling of Stochastic 77 Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 in nazadnje: and finally: eaj (ti ) = max e (ti )-qj, min e (ti ) + qj , aj(Ti) e«j (t) (8), kjer je sj (ti -1) = aj (Ti-1)e (ti-1). Z enačbama (8) in (5) je mogoče modelirati napetostno-deformacijska stanja tudi v primeru naključno spreminjajočih se temperatur, saj temperaturno spremenjen operator ohlapa vedno zagotavlja ravnotežje v vseh odsekih vzmet - drsnik. Ker so ponovitvene napetostno-deformacijske krivulje znane, je Prandtlove gostote mogoče izračunati vnaprej. Naj bo n +1 navideznih drsnih deformacij enakomerno razporejenih med ničelno in največjo pričakovano amplitudo deformacije (sl. 3). Za vsako navidezno drsno deformacijo qj v območju j = 0,K,n in vsako temperaturo Tk v območju k = 0,K, nT je z en. (1) mogoče izračunati deformacije ej(Tk) in napetosti sj (Tk). Prandtlove gostote izračunamo tako, da v en. (5) vstavimo napetosti: as sj(ti-1) = aj(Ti-1)e (ti-1). When Eq. (8) is inserted into Eq. (5), the temperature-dependent stress-strain behaviour can be modelled, since the temperature-modified play operator guarantees the equilibrium in the spring-slider segments at any time and temperature. As the temperature-dependent cyclic stress-strain curves are known, the Prandtl densities can be precalculated. Let us disperse nq +1 fictive yield strains equidistantly between the zero strain and the maximum expected strain amplitude (Fig. 3). Thus, for each fictive yield strain qj in the range j = 0,K,nq and each temperature Tk in the range k = 0,K,nT, the strain ej(Tk) and the stress sj (Tk) can be determined from Eq. (1). By inserting qj and sj (Tk) into Eq. (5) the Prandtl densities are obtained: aj(Tk) = —(sj+1(Tk)-2sj(Tk) + sj kjer je s-1 (Tk) = s0 (Tk) = 0, širina razreda navidezne drsne deformacije pa je Dq. Prandtlove gostote je pametno izračunati vnaprej, jih shraniti v preglednico rešitev ter šele nato modelirati napetostno-deformacijska stanja z enačbama (8) in (5). Tako ohranimo veliko hitrost računanja. 1(Tk)) j=0,K,n k = 0,K,nT (9), where s- 1(Tk) = s0(Tk) = 0 and the fictive yield strain class width is Dq. The Prandtl densities can be precalculated and stored in a table before the stress-strain-temperature trajectory modelling using Eqs. (8) and (5) starts. In this way a high computational speed is preserved. sj(T0) j(TntT) - YJ'-V Tk] / t? /) T ntT ' Dq <--------—»• q0 q1 q2 qj Sl. 3. Temperaturno odvisne napetostno-deformacijske krivulje Fig. 3. Temperature dependent cyclic stress-strain curves 78 Nagode M. - Fajdiga M. e Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 52(2006)2, 74-84 3 POSLEDICE IZLOČANJA KONIC SUNKOV Če so materialne lastnosti časovno neodvisne, temperature pa nespremenljive, lahko poteke obremenitev pred začetkom modeliranja napetostno-deformacijskih stanj zgostimo in tako izločimo le zaporedje konic sunkov brez časovne komponente. Poteke obremenitev pregledujemo sproti in izločamo vse točke, ki niso lokalni ekstremi ter obremenitvene cikle, ki ne prispevajo k zbiranju poškodb [17]. Ker se z zgoščevanjem poteki močno skrajšajo, je deformacijski postopek numerično bistveno hitrejši od zahtevnejših postopkov in se zato tudi pogosto uporablja. Če se temperatura med posameznimi konicami sunkov spreminja, lega naslednje konice ni več odvisna le od lege predhodne konice, ampak tudi od prehoda med njima. Slika 4 prikazuje vpliv spreminjanja temperature na krivuljo