i
i
“1137-Lavric-paralelogram” — 2010/7/14 — 14:31 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 3
Strani 146–150
Boris Lavrǐc:
PARALELOGRAMSKO PRAVILO
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1137-Lavric.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/
;)., - '- /;)crneo
'" ICI,';1"",
PARALELOGRAMSKO PRAVILO
Načrtajmo paralelogram ABCO z diagonalama AC, BOin iz oglišč C, O
spustimo višini CM, ON na nosiiko stranice AB. Pravokotna trikotnika
AN O in B MOsta skladna, iz slike tedaj preberemo enakosti
9 = lANI = IBMI.
h = IONI = ICMI·
a = lABI = IC01.
b = IBCI = lADI·
Zaznamujmo še
e = lACI, f = IBOI .
A
Pitagorov izrek za trikotnika AMC in B N O nam da enakosti
Seštejmo ju, upoštevajmo, da je ena od daljic AM in B N dolga a + 9 , druga
pa la - 91. in dobimo
Od tod zaradi enakosti 9 2 + h2 = b2 za pravokotni trikotnik AN O takoj sledi
paralelogramska pravilo
Kratko in elegantno lahko to pravilo dokažemo s pomočjo vektorjev, kar
pa prepustimo tistim , ki te vsaj nekoliko poznajo .
Oglejmo si zdaj splošnejši primer. Vzemimo štiri točke A, B, C in
O v prostoru. Dolžine stranic AB, BC , CD in DA štirikotnika ABCO
zaznamujmo zaporedoma za, b, c, d, dolžini diagonal AC, BO pa z e in f .
147
Dokažimo, da velja neenakost
(1)
in razmislimo, za katere štirikotnike ABCO se (1) prelevi v enakost .
Nad stranicama AB in BC zgradimo paralelogram ABC01 , nad strani-
cama CD in DA pa paralelogram ABICD. Iz zvez
sledi
B
(Oglej si vzporedni premik B Bl .), zato je tudi B ODl Bl paralelogram.
Označimo
zapišimo paralelogramsko pravilo za naštete paralelograme
e2 + 181012 =2(c2 + d2)
e2 + IBOl 12 =2(a2 + b2 )
IB101
2 + IBOl 12 =2(x2 + f2)
in od vsote prvih dveh enakosti odštejmo tretjo . Po preureditvi dobimo zvezo
ki dokazuje neenakost (1) .
Enačaj nastopi v (1) seveda le tedaj , ko je x = 0, torej ko 8 sovpada
z Bl in O z Dl. To se zgodi natanko takrat, kadar ABCO sovpada z
ABI C O in je potemtakem paralelogram z diagonalama AC in BO. Od tod
sledi naslednji rezultat.
148
IZREK 1. V štirikotniku A8CO velja neenakost
Enačaj je dosežen tedaj in le tedaj, kadar je A8CD paralelogram z
diagonalama AC in 8 D.
Prostorska posplošitev paralelograma je paralelepiped. To telo omeju-
jejo trije pa ri sklad nih vzpored nih paralelogramov , ki se sti kajo v dvanajstih
robovih in osmih ogliščih . Paralelepiped ima šti ri telesne diagonale . Je morda
vsota kvadratov njihovih dolžin enaka vsoti kvadratov dolžin vseh njegovih
robov?
Odgovorimo na to vprašanje v splošnejšem okv iru . Vzemimo osem točk
v prostoru , razvrstimo jih v zaporedje in označimo z
Nekatere daljice , ki vežejo pare teh točk. imenujmo "ro bovi", nekatere pa
"t elesne diagonale" . Dolžine "ro bov" zaznamujmo z
IA1 A 21 = al , IA2 A 31 = a2. IA3A41 = a3, IA4A 11 = aa ,
181 8 21 = bl, 182831 = b2 . 183841 = b3, 184811 = b4.
IA 1811 = CI , IA 28 21= c2 . IA38 31 = c3 , IA 48 41= C4 .
149
"telesne diagonale" pa naj menjo
Dokažimo , da velja
IZREK 2. Točke Al, A2, A3, A4 , 81, 82 , 83, 84 v prostoru izpolnju-
jejo neenakost
~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~+~~4+4+4+4·
Enačaj je dosežen natanko takrat. kadar je AlA2A3A48l828384 pa-
ralelepiped s telesnimi diagonalami Al 8 3• A284• A38l In A4 82.
Dokaz. Seštejmo neenakosti, ki jim po izreku 1 ustrezajo štirikotniki
Brž ko dobljeno neenakost poenostavimo, najdemo oceno iz izreka 2. Le je
AlA2A3A481828384 paralelepiped s telesnimi diagonalami A183 , A284 ,
A381 in A4 82, so vsi štirje obravnavani štirikotniki paralelogrami , zato tedaj
v neenakosti izreka 2 velja enačaj.
Predpostavimo zdaj , da je v tej neenakosti dosežen enačaj. S pomočjo
izreka 1 vidimo, da so potem štir ikotniki (2) paralelogrami . Ker imata tudi
osmerici točk
iste "robove" in "telesne diagonale" kot prvotna osmerica , so tudi
paralelogrami. Od tod sledi, da je AlA2A3A4 81828384 paralelepiped s
telesnim i diagonalami A183, A284 , A38l in A482 , dokaz izreka pa je s
tem končan .
Sklenimo članek z nalogam i.
1. S pomočjo paralelogramskega pravila izrazi dolžine težiščnic trikotnika z
dolžinami njegovih stranic.
. 2. W t a j  v dani paralelapiped 'F 
tetrasdw 7 kot kaie slika. Do- 
h%, da jt vsoka kvadratow dol- 
Zitin robov paraltlepipeda P 
enaka woti kvadratov deltin 
robov tetraedra 7. 
I 
3. lzrazi razdaljo mtd srcdiL&rna nasprati lefefih robov tetratdra z dolfi- , 
nami njtgovih robov. Podobno izrazi k dolZine t d i f i i c  tetracdra. 
Teili&isa tetraedra vefe njegovo ogliRt s t J i E t m  nasproti l t f d e  stra- 
nice. 
Bark Levtic 9