IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 2013 Letnik 60 6 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 6 • STR. 201-240 • NOVEMBER 2013 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, NOVEMBER 2013, letnik 60, številka 6, strani 201-240 Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-nančiranje domačih znanstvenih periodičnih publikačij. (g 2013 DMFA Slovenije - 1926 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek. OSNOVE KVANTNEGA RAČUNALNIŠTVA, 1. DEL MATIJA PRETNAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 68Q12, 81P68 Kvantno računalništvo skuSa z izkoriščanjem kvantnih pojavov, kakrSni sta superpo-zicija in prepletenost, učinkoviteje resevati računsko zahtevne probleme. V prvem delu si ogledamo postulate kvantne mehanike ter kvantno teleportacijo. THE BASICS OF QUANTUM COMPUTING, PART 1 Quantum computing uses quantum phenomena such as superposition and entanglement in order to efficiently solve computationally hard problems. The first part describes the quantum mechanics postulates and quantum teleportation. Uvod V svetu majhnih delcev ne veljajo več pravila klasične Newtonove mehanike, kot smo jih navajeni, temveč nastopijo nenavadna pravila kvantne mehanike. Po teh pravilih se delci obnasajo tako, kot bi bili na več koncih hkrati, vendar le toliko časa, dokler jim ne izmerimo položaja. Ko pa ga enkrat izmerimo, se obnasajo le v skladu z rezultatom meritve. Primer takega vedenja vidimo v poskusu z dvojno rezo (slika 1), v katerem streljamo fotone proti zaslonu z dvema ozkima rezama, za zaslonom pa postavimo senzor, ki meri, kam so prileteli fotoni, ki jim je uspelo priti mimo. □ □ 0 (a) (b) (c) Slika 1. Količina fotonov, ki jo izmerimo pri poskusu z dvojno režo ob (a) eni odprti reži, (b) obeh odprtih režah in (c) obeh odprtih režah in dodatnem senzorju, ki meri, kje je potoval foton. Ce eno od rež zapremo, največ zadetkov po pričakovanjih izmerimo za drugo rezo. Ce odpremo obe rezi, bi tako pričakovali dva vrhova, za vsako režo po enega. V resnici pa dobimo interferencni vzorec. Lahko bi si ga poskušali razložiti s tem, da fotoni na svoji poti motijo drug drugega, vendar dobimo tako sliko tudi, ce poskrbimo, da naenkrat streljamo samo en foton. Torej obe možni poti, po katerih bi lahko potoval foton, motita druga drugo. Se vec: ce postavimo dodaten senzor, s katerim posku samo ugotoviti, skozi katero režo je sel foton, interferenca ižgine, ža žaslonom pa ižmerimo vrhova, ki smo ju pričakovali prej. Kvantno racunalnistvo poskusa te neobicajne kvantne pojave izkoristiti za ucinkovitej se racunanje. S kvantnim racunalnistvom je pricel znani fizik Richard Feynman, ko je leta 1981 v svojem govoru [1] predlagal, da bi za simulacijo kvantnih sistemov uporabljali racunalnike, ki sami temeljijo na kvantnih nacelih. Kvantne sisteme bi sicer lahko simulirali tudi z obicajnimi racunalniki, a le, ce bi bili ti sistemi precej majhni, saj ze za sistem z nekaj sto delci potrebujemo racunalnik z vec pomnilnika, kot je delcev v vesolju. Kvantno racunalnistvo se je hitro raz s irilo se na druga podrocja, najve-cji razmah pa je dozivelo leta 1994, ko je Peter Shor predstavil ucinkovit algoritem za razcep na pra stevila [3]. Ta algoritem si bomo v drugem delu tudi natancneje ogledali. Ker sifriranje RSA, ki je danes eno najpogosteje uporabljanih, temelji ravno na tezavnosti takega razcepa, bi s kvantnimi racunalniki postalo neuporabno. No, do sedaj so zaradi tehnicnih omejitev leta 2001 razcepili stevilo 15, leta 2012 pa so uspeh ponovili se na stevilu 21, zato kvantni racunalniki za zdaj se ne pomenijo resne groznje. Za takrat, ko jo bodo, pa odgovore ze pripravlja kvantna kriptografija. Zakaj bi se lotili kvantnega racunalni stva? Ce pogledamo zadnjih 70 let razvoja racunalnistva, vidimo, da zlata doba kvantnega racunalnistva sele prihaja in da bo zanimivo biti zraven. Pa tudi ce zaradi nepremostljivih teh-nicnih omejitev ta doba nikoli ne pride, je kvantno racunalni stvo zanimivo ze zato, ker ponuja elegantno formulacijo fizikalno sicer zapletenih kvantnih pojavov. V prvem delu bomo to formulacijo predstavili ter si v njej ogledali enega bolj popularnih kvantnih pojavov: kvantno teleportacijo. V drugem delu pa se bomo osredotocili na kvantne algoritme. Vsem, ki jih kvantno racu-nalnistvo se posebej zanima, predlagam v branje [2]. Postulati kvantne mehanike Prostor stanj kvantnega sistema Vzemimo kvantni sistem s k locenimi stanji, ki jih imenujemo bazna in jih obicajno oznacimo z |0), |1),..., |k — 1). Poskus z dvojno rezo je primer kvantnega sistema z dvema baznima stanjema, ki ustrezata potema skozi prvo in drugo rezo. Pogosto uporabljan primer kvantnega sistema je tudi vodikov atom (slika 2), v katerem je elektron bodisi v osnovnem bodisi v enem od vzbujenih stanj. Energija atoma namreč ne more biti poljubna, temveč lahko zasede le točno določene vrednosti — pravimo, da je kvantizi-rana, od koder tudi izvira ime kvantne mehanike. /|0) i |2> Slika 2. Shema vodikovega atoma, v katerem je elektron v osnovnem stanju |0) ali pa v enem od vzbujenih stanj. S tem da omejimo največjo možno energijo elektrona, omejimo tudi Število stanj, ki jih lahko zaseda. Kvantna mehanika nam govori, da je sistem, ki je lahko v danih stanjih, lahko tudi v poljubni superpoziciji teh stanj, torej v več stanjih hkrati. Tako superpozičijo opisemo kar z linearno kombinačijo vseh stanj, v katerih se nahaja sistem. Postulat 1 (načelo superpozicije). Stanje kvantnega sistema, opišemo z enotskim vektorjem v prostoru stanj H, ki je kompleksni vektorski prostor s skalarnim produktom, v katerem bazna stanja |0), |1),..., \k — 1) tvorijo ortonormirano bazo. Skalarni produkt vektorjev \p) in v prostoru H pisemo kot (p\^), od koder izhaja tudi Diracov zapis, v katerem vektorje pisemo kot \p), kar beremo kot ket p. Ce v skalarnem produktu prvi vektor drzimo pri miru, drugega pa spreminjamo, dobimo dual vektorja \p). To je linearni funkčio-nal, ki vektor slika v kompleksno stevilo (p^). Dual zato označimo z (p\, kar beremo kot bra p. Stanje sistema z baznimi stanji \0), \1),..., \k — 1) torej opisemo z vektorjem k-1 'xj \ \P) = ^ a\j) = a°\0) + ai\1) + + ak-i\k — 1), j=° pri čemer so koefičienti a j, ki jim pravimo amplitude, kompleksna stevila, za katera velja Xj=°\aj\2 = 1. Absolutne vrednosti amplitud nam povedo delež posameznega stanja v superpoziciji, argumenti (torej kompleksni koti) amplitud, ki jih imenujemo faze, pa vplivajo na interferenco med stanji, na primer tisto iz poskusa z dvojno režo. Vcasih namesto Diracovega uporabljamo tudi običajni zapis, pri cemer za standardno bazo zaporedoma vzamemo bazna stanja |0), |1),..., \k — 1). Zgoraj omenjena stanja tako predstavimo z naslednjimi stolpci: 1 0 0 0 1 0 \ 0) = \ 1) = ... \ k—1) = \ f) 0 0 1 k-i j=0 ao a1 ak-i Spomnimo se, da je za \0) = o Pj\ j) skalarni produkt (c\0) enak j1 aj Pj, zato dual (f>\ predstavimo z vrstico [a0 a1 ••• ak_i]. Najbolj preprost kvantni sistem je kubit. To je sistem z dvema locenima stanjema \0) in \1). Primer kubita je vodikov atom, v katerem omejimo energijo tako, da lahko elektron doseze le prvo vzbujeno stanje. Tedaj je po nacelu superpozicije poljubno stanje kubita oblike ao\0) + a1\1), kjer velja \ao\2 + \ ai \ 2 = 1. Stvari postanejo zares zanimive, ko si ogledamo vec kubitov hkrati. Ker ima kubit bazni stanji \ 0) in \ 1), lahko v zdruzenem sistemu dveh kubitov locimo stiri bazna stanja, kijih oznacimo z \ 00), \ 01), \ 10) in \ 11). Toda po nacelu superpozicije je tak sistem lahko tudi v superpoziciji teh stanj, torej v enotskem vektorju oblike aoo \ 00) + aoi \ 01) + aio \ 10) + an \ 11). Za opis take strukture je kot nalasc tenzorski produkt. Za prostora H in H' je namrec njun produkt H ® H' vektorski prostor, sestavljen najprej iz vseh parov vektorjev \ f) G H in \ 0) G H', ki jih pisemo kot \ f) ® \ 0), nato pa se iz vseh linearnih kombinacij takih parov. Pri tem je operacija ® bilinearna, torej velja: A \ () \ 0) = \ () A \ 0) = A(\() \ 0)) ( \() + \ ()) \ 0) = \ () \ 0) + \ (') \ 0) \ () ( \0) + \ 0')) = \ () \ 0) + \ () \ 0'). Par \ f) ® \ 0) dostikrat napisemo tudi kot \ f)\ 0) ali celo kot \ (0), kar smo storili tudi zgoraj pri baznih stanjih sistema dveh kubitov. j Preverimo lahko, da s predpisom ( = (ao|0) + ai|1)) (^o|0) + = ao^o|00) + ao^i|01) + aiAj|10) + ai^i|11). (1) Stanjem, ki se dajo zapisati kot |<) ® pravimo produktna. Z ustreznimi spremembami lahko sistem spravimo v stanje, ki ni produk-tno. Takim stanjem pravimo prepletena. Posebno znan primer prepletenega stanja je Bellovo stanje |00) + ^111). Iz primerjave amplitud s splosnim produktnim stanjem (1) vidimo, da Bellovo stanje ne more biti produktno, saj bi sicer veljalo 0 = (aopi)(aifio) = (aopo)(aipi) = 2. Razvoj kvantnega sistema Kvantni sistem smo tako v celoti opisali, zdaj pa se lahko posvetimo njegovemu obnasanju. Z veČino delujočih kvantnih računalnikov upravljamo prek zunanjih vplivov, na primer z vklopom magnetnega polja ali z obsevanjem s fotoni. S tem spremenimo interakcije v sistemu, s čimer dosezemo, da se sistem začne razvijati proti zelenemu stanju. Natančneje obnasanje sistema opisemo s Sčhrodingerjevo enačbo, s katero pa se tokrat ne bomo ukvarjali, saj bo za nase potrebe dovolj ze njena poslediča, ki jo bomo privzeli za postulat. Postulat 3 (unitarnost razvoja). Za vsak razvoj izoliranega kvantnega sistema obstaja unitarna preslikava U, ki začetno stanje |)|'0) spremeni v |'0)|^>). Tretje vezje, v katerem kubita sploh ne vplivata drug na drugega, pa je Walsh-Hadamardovo vezje ~ (4) — H — — H — ki ga oznacimo tudi s H ® H, saj velja (H ® H)(^> ® = H^> ® H0. Ce H ® H uporabimo na baznem stanju |00), dobimo (H ® H)100) = H|0)® H|0) = (—2I0) + —211)) ® (—210) + —211)) = 2 (100) + 101) + 110) + |11)) oziroma superpozicijo vseh baznih stanj. Podobno lahko sestavimo tudi vezje H®n, ki je namesto iz dveh sestavljeno iz n vzporednih Hadamardovih vrat. To vezje bazno stanje 100 ■ ■ ■ 0) = |0n) slika v superpozicijo 1 2n/2 xe{o,i}n kjer x€{0 i}" oziroma dostikrat tudi kar ^x oznacuje vsoto po vseh 2n kombinacijah n bitov, torej po vseh baznih stanjih. Na teh treh primerih lahko opazimo pomembno lastnost vseh kvantnih vezij. Ker vsa vezja predstavljajo unitarne preslikave, se stevilo kubitov v kvantnem vezju ohranja. V tem se kvantna vezja razlikujejo od klasicnih, pri katerih se stevilo vhodov in izhodov lahko razlikuje: logicna vrata and recimo iz dveh vhodnih bitov izracunajo en izhodni bit. Zapletenejsim vezjem se bomo se posvetili, a ze zdaj vidimo, kje se skriva osnovna ideja kvantnega racunalnistva. Klasicni racunalnik dobi neki vhod in iz njega izracuna zeleni rezultat. Ce zelimo izracunati rezultat se za kak drug vhod, moramo postopek ponoviti. Pri kvantnemu racunalniku bi z vezjem (4) najprej ustvarili superpozicijo vseh moznih vhodov, nato pa bi iz njih s primernim kvantnim vezjem hkrati izracunali superpozicijo vseh moznih rezultatov. Meritve kvantnih stanj Zal je ta ideja prevec optimisticna, saj moramo, ce zelimo prebrati rezultate, stanje pomeriti. Tezava z meritvami kvantnih sistemov pa je v tem, da rezultati niso natancno doloceni, poleg tega pa z meritvijo sistem kolabira v izmerjeno stanje, s cimer celotno superpozicijo izgubimo. Postulat 4 (načelo meritve). Ce merimo sistem v stanju k=0 aj|j), z verjetnostjo |aj |2 izmerimo stanje |j), po meritvi pa je stanje sistema enako |j). Na primer, ce merimo sistem v stanju ^|0) — "211), bomo v treh cetrtinah primerov izmerili stanje |0), v preostali cetrtini pa bomo izmerili stanje |1). V obeh primerih pa bo stanje kolabiralo v izmerjeno stanje, zato bomo ob vseh nadaljnjih meritvah dobili enak odgovor. Kaj pa, ce bi pred meritvijo superpozicijo prenesli na neki drug kubit in si s tem naredili varnostno kopijo? Potrebovali bi torej vezje U, ki bi sprejelo kubit v stanju |^>) ter „prazen" kubit v stanju |0), vrnilo pa bi dva kubita, vsakega v stanju |^>). To zal ne gre. Izrek 1 (izrek o nepodvajanju). Ne obstaja unitarna preslikava U, za katero za vsako stanje enega kubita |^>) velja U(|^>) ® |0)) = |^>) ® |^>). Dokaz. Ker bi preslikava U podvajala vsa stanja, bi morala podvojiti tudi stanji |0) in |1). Torej bi veljalo U |00) = |00) in U110) = |11). 208 Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 6 Tedaj pa bi za splošno stanje |^>) = ao|0) + a^1) zaradi linearnosti U veljalo U(|p) ® |0)) = U(ao|00) + ai|10)) = ao|00) + ai|11), kar pa ni isto kot stanje |^>) ® |^>), ki smo ga Želeli. ■ Ta rezultat je izjemno pomemben v kvantni kriptografiji, ker izloci kakr-snokoli prisluskovanje. Ce bi prisluskovalec namrec zelel, da sogovornika ne bi opazila njegovih dejanj, bi moral njuno sporočilo podvojiti, preden bi ga izmeril. V zdruzenem sistemu meritev poteka podobno. Torej, če je sistem dveh kubitov v stanju 2100) + 2110) — ^111), bomo v četrtini primerov izmerili stanje |00), v četrtini stanje 110), v polovici pa stanje 111). Kaj pa, ce pomerimo le en kubit? V tem primeru stanje preostalih kubitov ni natanko doloceno, mora pa biti skladno z meritvijo. To najenostavneje vidimo, ce zdruzeno stanje zapisemo v obliki, v kateri vsakemu stanju prvega kubita pridruzimo superpozicijo vseh skladnih stanj drugega kubita: 2100) + 2110) — ^|11) = 210) ® |0) + f |1) ® 10) — |1) Ce pomerimo stanje prvega kubita, bomo v cetrtini primerov tako izmerili stanje |0), po meritvi pa bo stanje enako |00), saj stanji 110) in 111) nista skladni z meritvijo. V treh cetrtinah primerov pa izmerimo stanje |1), po meritvi pa je stanje zdruzenega sistema enako 110) — 111). Postulat 5 (meritev v združenem sistemu). Ce je združen sistem v stanju k=0 a j j) ® |Vj), kjer so vsi vektorji ) enotski, potem, pri meritvi prvega sistema z verjetnostjo |aj |2 izmerimo stanje |j), po meritvi pa je stanje združenega sistema enako |j) ® )■ Sistem v produktnem stanju |^>) ® |^), kjer je |^>) = ao|0) + a1|1), lahko zapisemo kot (ao|0) + ai|1)) = ao|0)|^) + ai|1)|^), zato posamezne meritve prvega sistema dobimo z enako verjetnostjo, kot bi jih v locenem sistemu, v obeh primerih pa drugi sistem ostane v stanju |^). V stanjih, ki niso produktna, tako kot v prejsnjem primeru, pa lahko z meritvijo enega kubita določimo tudi stanje drugega. Prav zato taka stanja imenujemo prepletena. Recimo, da meritev izvedemo na Bellovem stanju — 100) + — 111}. Vidimo, da je po kakrSnikoli meritvi enega od kubitov tudi drugi kubit v enakem stanju kot prvi. Ce pazimo, da ni zunanjih vplivov, se prepletenost ohrani tudi takrat, ko kubita fizično ločimo in odnesemo daleč narazen. In tudi sedaj bo v trenutku, ko pomerimo prvi kubit, drugi v natanko istem stanju. Videti je, da smo s tem krsili načela teorije relativnosti, saj informacija ne more potovati hitreje od svetlobe. To imenujemo tudi Einstein-Podolski-Rosenov oziroma EPR paradoks. Poenostavljeno ga lahko razresimo, če vidimo, da nimamo vpliva na rezultat meritve prvega kubita, zato same prepletenosti v resniči ne moremo uporabiti za prenos informačije. Kvantna teleportacija A vseeno si s prepletenostjo lahko pomagamo pri prenosu stanja prek velikih razdalj, kjer nam vezje (3) ne koristi. Ena moznost je, da kubit v zelenem stanju fizično odnesemo na čilj, vendar lahko stanje zaradi motenj med prenosom izgubimo. Drugo moznost ponuja kvantna teleportacija. Stanja kubita, ki ga označimo z A, bomo prenesli s pomočjo vnaprej pripravljenega prepletenega para kubitov v Bellovem stanju —|00) + —111). Ta dva kubita, ki ju označimo z B in C, ločimo in odnesemo na konča, med katerima zelimo prenesti stanje. V tem primeru nas motnje med prenosom ne skrbijo, saj lahko z vezjem (2) enostavno ustvarimo čel kup prepletenih parov. Začnemo torej v stanju (ao |0) + ai |1)) ® (-= 100) + -= |11)) = ^ |000) + - |011) + - |100) + - |111), končati pa zelimo tako, da bo kubit C v stanju a0|0) + ai|1). Groba ideja je, da kubit B dodatno prepletemo s kubitom A, nato pa z meritvami prvo prepletenost porusimo in ob tem stanje prenesemo na kubit C. To storimo tako, da uporabimo vrata cnot na kubitih A in B, s čimer sistem spravimo v stanje ^ |000) + - 1011) + - 1110) + - 1101), nato pa kubit B pomerimo: 1. Ce izmerimo, daje B v stanju |0), stanje kolabira v a0|000) + ai|101). Tako nam je uspelo med kubitoma A in C ustvariti ustrezno prepletenost, ki se je znebimo tako, da kubit A "razprsimo" s Hadamardovimi Na koncu pomerimo se A. Ce izmerimo |0), sistem kolabira v stanje ao|000) + ai|001) = |00) ® (ao|0) + ai|1)), kar je tocno to, kar smo Želeli. Ce pa izmerimo |1), sistem podobno kolabira v stanje 110) ® (a0|0) — a111)), kar lahko z uporabo vrat Z na kubitu C spet spravimo v iskano stanje. 2. Ce pa izmerimo, da je B v stanju |1), ravnamo podobno, le da kubit C poprej se negiramo. Celotno teleportacijo lahko predstavimo s shemo: V tej shemi simbola merilnika označujeta meritvi kubitov A in B. Odvisno od rezultata teh meritev na kubitu C po potrebi uporabimo se negacijo in fazna vrata Z. To pogojno uporabo označimo tako, kot jo pri vratih cnot, le da za kontrolo namesto kvantnega uporabimo klasicni bit, kar poudarimo z dvojno zico. Za kvantno teleportacijo moramo torej med obema koncema prenesti se informacijo o meritvi kubitov A in B. Ker je ta informacija klasicna, jo prenesemo brez vecjih tezav, na primer po elektronski po sti. Zaradi tega klasicnega prenosa smo prav tako omejeni s hitrostjo svetlobe, zato do EPR paradoksa v tem primeru ne pride. Tudi izreka o nepodvajanju nismo krsili, saj smo med prenosom z meritvami unicili stanje kubita A. [1] R. P. Feynman, Simulating Physics with Computers, Int. J. Theor. Phys. 21 (1982), 467-488. [2] P. Kaye, R. Laflamme in M. Mosca, An Introduction to Quantum Computing, Oxford University Press, Inc., New York, 2007. [3] P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum, Computer, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 26 (1997), 14841509. A |p> H —s-A LITERATURA VEGOVIH 140 DECIMALK KROŽNE KONSTANTE PETER LEGISA1 IN MARKO RAZPET2 1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani 2Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A50 V prispevku je na podlagi virov predstavljeno prizadevanje barona Jurija Vega v računanju stevila n na 140 decimalk. Pojasnjeno je tudi, zakaj njegove zadnje decimalke niso točne. VEGA'S 140 DIGITS OF THE CIRCULAR CONSTANT We present, using all available references, the effort of Baron Jurij Vega to compute number n to 140 digits. We explain why his last digits are wrong. Uvod Ce gledamo iz današnje perspektive, posebno velikega napredka v računanju števila pravilnih decimalk krožne konstante, to je števila n, do Isaaca Newtona (1643-1727) pravzaprav ni bilo. Kot kaze, je bil ravno Newton prvi, ki je opustil prezivelo arhimedsko metodo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov in je izračunal n na 15 decimalk natančno s stevilsko vrsto. V prispevku [8] je na kratko opisano, katero vrsto je Newton uporabil za računanje te znamenite matematične konstante, razmerja med obsegom in premerom kroga, in kako je do nje prisel. Da pa ne bi ponavljali tistega, kar ze pise v [8], rajsi nakazimo, kako pridemo do Newtonove vrste za n nekoliko drugače. Na dva načina izračunamo integral f1/4 ,- 1 f1/4 ,- I = v x — x2 dx = ~ v 1 — (1 — 2x)2 dx. J o 2 J 0 Najprej z vpeljavo nove integračijske spremenljivke u z relačijo 1 —2x = sin u dobimo 1 rn/2 1 rn/2 n \/3 I =- čos2 udu = - (1+čos2u) du = —---, 4 Jn/6 8 Jn/6 ( ) 24 32 , nato pa z razvojem v binomsko vrsto in z integračijo na intervalu [0,1/4] se = 1_ ^ (2n — 1)!! 1 = 12 ^ (2n)!! (2n + 3)(2n — 1)4n+1 1 1 j (2n - 2)! 12 - 1)!n!(2n + 3)16n' Pri tem pomeni 1!! = 1,2!! = 2, (2n - 1)!! = 1 ■ 3 ■ ... ■ (2n - 1) in (2n)!! = 2 ■ 4 ■... ■ (2n) za vsako naravno število n > 1. Iz obeh izrazov za I najdemo nazadnje 3^3 ^ (2n - 2)! n = 2 +-----12 N -----. 4 (2n + 3)(n - 1)!n!16n Izpišimo nekaj členov vrste: -2 3^3 12 ( 1 1 1 5 n = V 80 + 1792 + 18432 + 720896 + ... Pri sodobni demonstraciji, kako računanje števila n poteka po enem od postopkov iz minulih stoletij, pride prav primeren računalniski program, ki zna računati s stevili na veliko desetiskih mest. Tak je na primer program Ma-thematica. Izidor Hafner je pripravil demonstracijo tudi za pravkar opisan Newtonov postopek in je na razpolago na svetovnem spletu pod naslovom [3]. Da lahko z njo raziskujemo, moramo kot uporabniki prej namestiti na računalnik Wolframov CDF player. Povedati je treba, da v Newtonovem času delo z vrstami se ni bilo teoretično prav posebno dognano. Dobro so obvladali le geometrijsko vrsto in druge z njo primerjali. Za potenčne vrste, kamor spada tudi binomska, pa so vedeli, da za dovolj majhne argumente konvergirajo. Kar smo zgoraj počeli z binomsko vrsto, je bilo korektno, če se skličujemo na znane lastnosti potenčnih vrst na konvergenčnem območju. Hitrej se in natančnejse računanje stevila n omogoča Gregoryjeva, tudi Leibnizeva, vrsta ^ x2n+1 arčtg x = ^(-1)n ^^, (1) n=0 ki konvergira, če je |x| < 1. Vrsto (1) so dolga leta uspesno uporabljali pri računanju stevila n na vedno več dečimalk in tako dosegali nove in nove rekorde. Vrsta (1) seveda konvergira tem hitreje, čim manj si je x. Vsota vrste pa se od delne vsote po absolutni vrednosti razlikuje manj, kot je absolutna vrednosta prvega člena, ki ni zajet v delni vsoti. Zato lahko očenimo, koliko členov moramo sesteti, da dobimo vsoto vrste s predpisano natančnostjo. Stevilo n dobimo iz vrste (1) za x = 1, na zalost pa dobljena vrsta zelo počasi konvergira, in sičer pogojno. Angleski matematik in astronom Abraham Sharp (1653-1742) je v vrsti (1) uporabil x = V3/3 in z dobljeno vrsto mu je leta 1699 uspelo najti 71 točnih decimalk števila n. Ze cez 7 let je bilo znanih njegovih 100 decimalk. Zasluga za to gre angleškemu matematiku in astronomu Johnu Machinu (1680-1751), kije uporabil formulo ki se imenuje po njem (izpeljava je na voljo na primer v [12, str. 399]). Velški matematik William Jones (1675-1749) je leta 1706 v delu [6, str. 243, 263], ki je neke vrste uvod v matematiko, opisal Machinov uspeh, predstavil vseh 100 decimalk stevila n in obenem predlagal, da se kroZno konstanto oznaci s n po prvi crki grske besede nspi^speia, kar pomeni obod, krog. Thomas Fantet de Lagny (1660-1734) je bil se bolj vztrajen in z isto vrsto kot Sharp leta 1719 izračunal stevilo n na 127 decimalk, dve leti kasneje pa je bil rezultat objavljen [7]. Kot kaze, se dolgo vrsto let z racunanjem stevila n nihce ni vec resno ukvarjal in kot najbolj si dotakratni rezultat so po matematicnih besedilih navajali objavljeni de Lagnyjev priblizek, ne vedoc, daje 113. decimalka, verjetno zaradi tiskarske napake, napacna. To ni nic cudnega, saj boljsega rezultata, s katerim bi primerjali de Lagnyjev dosezek, se ni bilo na razpolago. Sele Jurij Vega je kasneje nasel napako na 113. decimalki. Leonhard Euler (1707-1783) se pri vsem svojem obseznem delu ni prav veliko ukvarjal z racunanjem krozne konstante, izracunal je le 20 njenih decimalk leta 1755. Verjetno pa je s svojo avtoriteto in deli najbolj zasluzen za to, da jo se danes oznacujemo s n, kar je sicer prvi predlagal omenjeni Jones. Euler je tudi nasel vec formul Machinovega tipa: Te formule preverimo z uporabo adicijskega izreka in njegovih posledic za funkcijo tangens. Euler je razvil formulo za transformacijo konvergentne vrste (3) (6) S(x) = Y,(-1)nanX" ,n n=0 pri pozitivnih koeficientih an in pozitivnem x. Pri tem je večkrat uporabil diference koeficientov an. Ker je Eulerjeva izpeljava zamudna, si raje oglejmo transformacijo za vrsto (1), ki očitno sodi v ta primer, če iz nje izpostavimo x in vpeljemo novo spremenljivko t = x2. Krajso pot za Euler-jevo transformacijo vrste (1) najdemo v [1]. Poteka pa takole: V integralu rx dt arctgx = Jo r+2 naredimo substitucijo t = x\/1 — s in zapisemo dt = - xds 2vr—i' 1+12 = (1 + x2) 1 - x 1 + x2 S tem dobimo arctgx = dt x ds 1 +t2 1 + x2Jo (i - 1+X2S) Razvijemo v geometrijsko vrsto 1 1 1+x2 ^ V 1 + x2 n=0 in za |s| < 1 po zamenjavi sestevanja in integriranja dobimo . ,„2 arctg x = —2 ^ An 1 + x2 n=0 1 + x2 pri cemer je n1 sn ds An - r1 sn ds 1 rn/2 Lžrh-1 B(n+ 11/2) = i si"2n+1 ^ = (2n)!! /0 2^1—S JQ ™ ^ ^ (2n + 1)11' Pri tem je B oznaka za funkcijo beta. Nazadnje je pred nami Eulerjev razvoj: arctg x = x ^ (2n)!! / x2 xn £ 1 + x2 (2n + 1)!! V 1 + x2 n=0 (7) V njem vzamemo 011 = 1. Eulerjevo transformacijo (7) vrste (1) smo navedli zato, ker je napisana v pripombah Peterburske akademije znanosti k Vegovemu clanku. Eulerjeva formula (7) postane s tem ugodna, ker so izrazi za x2/(1 + x2) v njej za x G {1/2,1/3,1/7,2/11,3/79} zelo lepi za racunanje. Dobimo namrec ulomke 2/10,1/10, 2/1OO, 32/1000,144/100 000. Zahvaljujoc Izidorju Hafnerju imamo na svetovnem spletu (obiscite stran [2]) tudi demonstracijo racunanja stevila n po formulah (3), (4), (5) in (6), ki so predelane po (7). s 1 x 0 2 n x n s 2 X s Kako je Vega računal krožno konstanto? Baron Jurij Vega (1754-1802) je v svojih izračunih v taki vrsti združeval po dva in dva člena: arčtg x = V (^ - ^ = V (4n + 3) - (4n + 1)x2 x4ra+1 (8) g n\4n + 1 4n + 3J ^ (4n + 1)(4n + 3) ' () n=0 x ' n=0 v ' v ' Euler in Vega Se nista uporabljala indeksov v zaporedjih, zato sta koeficiente vrst zapisovala kar s črkami različnih oblik po abecedi. Vega je uporabil Huttonovo oziroma Eulerjevo formulo Mačhinovega tipa (4) in leta 1789 poslal Carski akademiji znanosti v Sankt Peterburg svoj izračun stevila n na 143 dečimalk z opisom postopka vred. Charles Hutton (1737-1823), angleski matematik, je predaval na vojaski akademiji, tako kot Vega. Hutton je formulo (4) razvil leta 1776, neodvisno od njega pa se Euler leta 1779. Za prvi člen v (4) dobimo po (8) stevilsko vrsto 1 s ^ (4n + 3) - (4n + 1)(1/3)^ ,^n+i n=0 ki jo se malo predelamo, da dobimo 8 arctg 1 = 8 V (4n - \4" + 1)(1/3) (1/3)4 3 (4n + 1)(4n + 3) (/) 1 „ A 32n + 26 8 arctg - = 8 ^ 3 n=o (4' + 1)(4n + 3)34n+3' Podobno se izraža drugi clen v (4): 4 1 = 8 ^ 96n + 73 4 arctg 7 = 8 n=0 (4n + i)(4n + 3)74ra+3 ' Označimo za n > 0: _ 96n + 73 _ 32n + 26 an = (4n + 1)(4n + 3)74™+3 ' ^n = (4n + 1)(4n + 3)34™+3 ' (9) Potem je (œ œ \ ^«n + EM ' (10) n=0 n=0 J Vega je nekaj členov an in zapisal po svoje, kot je razvidno iz dopisa Peterburski akademiji in iz besedila, ki ga je le-ta objavila. V tem dopisu je navedel se en postopek za izračun števila n po Eulerjevi formuli (6). V tem primeru je prvi člen zapisal tako, da je uporabil prvi način: 20 arctg - = 40^ an. n=0 Drugi člen v (6) pa je izrazil kot razliko dveh vrst, potem ko je v (1) vstavil x = 3/79: 3 vTO 1 ( 3\4n+1 ^ 1 ( 3\4n+3 8arčtg79 = ^4nr^l7^J - . n=0 n=0 Ce označimo za n > 0 1 ( 3\4n+1 r 1 ( 3\4n+3 Yn = "j-—T ™ , °n = --- I — I 4n + 1 V79^ 4n + ^79/ potem je izraz za n tak: n = 40 ^ an + 8 l ^ Yn - ^ ¿n ) . (11) n=0 n=0 n=0 Člene jn in Sn je Vega zapisal v njemu lastnem slogu, z neindeksiranimi črkami. Kaj je Vega poslal Peterburski akademiji? Besedilo, ki ga je Vega poslal leta 1789 v Sankt Peterburg, je napisano z zelo lepim rokopisom v nemsčini in je ohranjeno. Prevedeno v nas jezik pa zveni takole: Jurija Vega topniškega stotnika in profesorja matematike pri Cesarsko-kraljevskem avstrijskem topniškem korpusu „Izrašun dolžine polovice obsega" = n pri polmeru = 1 po formuli n = 8 a b H i^L) i 169 f_a) 1-3 V 343/ + 5-7 V74/ f 553 fe) + 649 21-23 V 74 / + 25-27 • + 265 9-11 c v 74) + + A b + -26 (_L\ I _58 (A\ I _90_ + 1-3 V27/ + 5-7 V81/ + 9-11 361 13-15 122 d (jl\ +J5L ( \74) + 17-19 V e fd_ ) ,74) + (81) + 13-15 V817 D ( c ) + 154 17-19 ( i ) + t + 21-23 V81/ + 25-27 186 218 Osnovo za to najdemo v drugem zvezku Matematičnih predavanj na str. 203 tega avtorja in tudi v njegovih Logaritemskih tabelah. Opomba 1. Pri določitvi stevk na 143. decimalnem mestu v posameznih členih navedenih vrst niso bili upoštevani nadaljnji ostanki. Zato pa je bil pri sestevanju členov na 143. decimalnem mestu dodan ustrezen ostanek, tako da je pri vrednosti za n 143. decimalka verjetno napačna le za nekaj enot, 140. dečimalka pa je ze povsem gotovo določena. Primerjava tu razvite vrednosti za n z njegovo vrednostjo, ki jo sičer najdemo v več spisih izračunano na 127 dečimalk, kaze na 113. kakor tudi na 127. dečimalnem mestu odstopanje, kar pri 113. dečimalki domnevno izvira iz tiskarske napake, ki seje razsirila povsod. Daje tukaj navedeni izračun s 140 dečimalnimi mesti povsem pravilen, je jasno od tod, ker so bili izračuni ponovljeni ob različnih časih in so se zmeraj ujemali; prav tako ga lahko zelo enostavno podvrzemo preverbi z naslednjo vrsto: 8 " =< A v H 1 169 ( A \ 1 _265 ( b \ 1 361 ( c \ 1 -- + 5-7 V2401/ + 9-11 V2401/ +13.15 lo4nW + 457 1 3 343 E (d 13-15 V 2401 / 1 17-19 V 2401 y + + 553 21-23 d ) + • a c e " % (3) +1 ) +1 ) (f) ) + V 79/ + 5 V 6241/ + 9 V 6241/ + 13 ^6241 j + 17 V 6241/ + b d f , h , k 1 (J9o.) +1 ) + ± ) + ± (J^) + X ) i. 3 V6241/ + 7 V6241/ +11 V6241/ +15 ^6241,/ + 19 V6241/ + Vega je za izpeljavo teh dveh vrst uporabil formuli (4) in (6). Kaj je objavila Peterburska akademija? Vega je bil prepričan, da je njegovih 140 decimalk točnih, v resnici pa je bilo točnih samo 126. Je pa odkril, da je 113. de Lagnyjeva decimalka 8, ne 5 1 pa 7, decimalke od 114. do 127. pa so pravilne. Strogi zapisovalci rekordov seveda de Lagnyju priznajo le 112 pravilnih decimalk. Zelo verjetno gre pri nesrečni 113. decimalki res le za napako pri prepisovanju, kar je ugotovil Ze Vega sam. Ruska akademija je z objavo zakasnila: namesto leta 1791 je Vegov n luc sveta v Rusiji ugledal sele leta 1795. Vegovo besedilo so prevedli v francoscino [10] in pri tem naredili nekaj napak. Tako so v naslovu zmotno polmer prevedli v premer. Prevod celotnega clanka v slovenscino pa je taksen: DOLOČITEV POLOVIČNEGA OBSEGA KROGA, KATEREGA PREMER JE = 1, IZRAŽENA NA 140 DECIMALK po M. GEORGE VEGA, predstavljena Akademiji 20. avgusta 1789. Akademija misli, da lahko opusti vstavljanje vsega dolgega in napornega računa, s katerim je avtor prišel do vrednosti za n, ali polovični obseg kroga, katerega polmer je = 1; zadožča, da prepižemo ti dve neskončni vrsti, ki se ju je posluZil in ki sta (*) n = 8 x < 361 ( 73. a + 169b + 265 c + 1-3 a + 5-7 b + 9-11 c + 13-15 d + 457 17-19 + 553 f + 649 + & 21-23^ 1 25-27g + & i _26 Ai _58 b i _9£_ c i 122 + 1-3 A + 5-7B + 9-11 C + 13-15J ?D + 154 17-19 I 6Q F ""1 O K 07 ^^ H- && E 2b23 1 25^27 kjer žrke a, b, c, d itd. A, B, C, D itd. oznažujejo naslednje ulomke: a= b = c = d= 1 343 a 7-343 b 7-343 c 7-343 & C. ali b = 74 A = 1 A = 27 B A B = ŠT C = B C = 81 D = C D 81 & C., (*) Ti dve vrsti sta izredno konvergentni, ampak tako stevci kot imenovalci ulomkov, ki jih sestavljajo, naredijo Števila neudobna za izračune. Pokojni g. Euler je dal v Članku, ki ga bomo vstavili v zvezek X nasih Aktov, dvojno vrsto, ki pravzaprav ni tako konvergentna kot tiste g. majorja Vege, zato pa je zakonitost, po kateri je sestavljena, mnogo bolj jasna, & ki bi, ker je mnogo bolj udobna, neskončno skrajsala delo tistemu, ki bi jo uporabil, da bi izračunal vrednost za n. Tu je ta dvojna vrsta: 3 + 2.4.6-8 28 [1 1 2 (\ 1 24 ()2 1 2-4-6 (\ 10 ^ + 3 V100/ + 3 5 V100/ + 3 5 7 V100/ 1 30336 [1 1 2 ( 144 \ , 24 ( 144 )2 , 2-4-6 + 100000 ^ + 3 \ 100000/ + 3 5 \100000/ + 3 5 7 3-5-7-9 \ 144 IM )4 + &c] 0 )3 + &c] n = od koder avtor izračuna naslednjo vrednost za 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 44767 21386 11733 13/. Vrsti, po katerih je bila najdena ta vrednost, sta dokazani v drugem delu Matematičnih lekcij istega avtorja (°), kakor tudi v njegovih logaritmicnih tabelah. Ko je določeval zadnje tri decimalke, ki sledijo 140., avtor sploh ni upošteval ostanka, ki bi ga bilo treba pristeti, da bi potisnil natančnost do 144. in naslednjih mest; namesto tega je dodal ostanek po oceni, zaradi česar se celo ta tri zadnja mesta ne bi smela razlikovati od resnicne vrednosti za vec kot nekaj enot. Ko smo primerjali to vrednost za n s tistimi, ki jih ze najdemo v vec spisih izrazeno do 127 decimalk, opazimo, da se avtorjeva vrednost razlikuje le na dveh mestih, in sicer na 113. in 127. mestu. Prva je namesto 3 (t) enaka 8 in druga namesto 6 enaka 4. Glede na to, daje avtor veckrat ponovil svoje izracune, je zelo prepricljivo, da 113. decimalka v stari vrednosti ne more biti kaj drugega kot tiskarska napaka, ki se je sirila iz enega spisa v drugega, se toliko bolj, ker se vsa nadaljnja mesta ujemajo v obeh izracunih. Ker je 127. mesto zadnje v starem izracunu, ga ne bi smeli jemati zares, enako kot zadnja tri mesta v sedanji vrednosti, ki gre do 143. decimalke, ki jih je avtor zato precrtal. Avtor na koncu doda se eno novo izrazavo vrednosti za n, katerega osmina je enaka vsoti naslednjih treh vrst: 5 ■ ( 73 A + 59 B + m C + ^ D + E + kc) +1 ■ (a + 5c + 9 e + Ig g + I7 i + & c.) -1 ■ ( 3 b + 1 d + £ f + 15 h + 19 k + k c) (°) G. Vega. Vorlesungen über die Mathematik, stran 203. (t) Pravilno 7 (pripomba avtorjev). 1 a 3 343 79 A A b 9a _ 7-343 _ 2401 6241 B c 9b 2401 6241 C d 9c _ 2401 6241 D e 9d 2401 6241 & c. & c. Pri tem črke A, B, C, D itd. in a, b, c, d itd. označujejo naslednje ulomke: b _ A _ A b — 9a _ 9a B 7 Q/1Q Q/im b fin A 1 792 D To je tudi konec Vegovega članka. V opombi pod črto (*) je izraz za n, v katerem je Euler uporabil izraz (6) in za oba clena (7). Videli smo Ze, da ima za x = 1/7 in x = 3/79 izraz x2/(1 + x2), ki nastopa v (7), lepi vrednosti, in sicer 2/100 in 144/100 000, s katerima ni tezko računati. Z dvojno vrsto so peterburski akademiki seveda mislili na vsoto dveh vrst. V prvem delu Vegovega dopisa Peterburski akademiji opazimo oznake a,b,c,... in A, B, C,..., ki pomenijo: a = 1/343 = 1/73, b = a/74 = 1/77, c = b/74 = 1/711, ..., A = 1/27 = 1/33, B = A/81 = 1/37, C = B/81 = 1/311, ... Crk j in J, kdo ve zakaj, pri tem ni uporabljal, črke u, v, U in V pa je uporabljal nedosledno. Vegove kaligrafske črke A, B, C,... so akademiki prepisali v navadne: A, B,C,... Tudi sicer uporaba istih črk z različnim pomenom v prvem in drugem delu ni najbolj posrečena. Cleni (9) so z Vegovimi a, b, c,... in A, B, C,... povezani takole: 73 169 265 a0 = a a1 = b, a2 = TT—rzr ^ ..., 1 ■ 3 5 ■ 7 9 ■ 11 26 58 90 A = F63 A' = 577 =991! C' ""' V opombi pod črto (*) je rečeno: zato pa je zakonitost, po kateri je sestavljena, mnogo bolj jasna (misljen je Eulerjev zapis členov). To ni čisto res. Stevči 73,169,265,... in 26, 58, 90.... v Vegovih oznakah ne sestavljajo zapletenih zaporedij, ampak preprosti aritmetični zaporedji {73 + 96n}^=0 oziroma {26 + 32n}£°=0. Kje se je Vega zmotil? Seveda nas po vsem tem najbolj zanima, kje je Vega naredil napako, ko je računal n po formuli (4) in zdruzeval po dva in dva člena obeh stevilskih vrst, daje bilo le 126 decimalk, objavljenih v [10], pravilnih. Vega je bil zelo zaverovan vase in je bil trdno prepričan, da jih je vseh 140 pravilnih. Računal je na 143 decimalk zaradi nujnih napak na zadnjih decimalkah. Pravilno je ocenil, da računanje na 143 decimalk zadoSča za točnost končnega rezultata na 140 decimalk. Na srečo so se ohranili izvirni Vegovi rokopisi v Sankt Peterburgu, da lahko spremljamo, kako je računanje potekalo. Danes pa lahko s Hafnerjevim prispevkom [4] rekonstruiramo račune in primerjamo celo posamezne stevke. 1. Ce bi Vega vse člene pravilno izračunal na 143 decimalk in jih pravilno sestel, potem bi njegov končni priblizek za n imel točnih 140 decimalk. 2. Faktorji, ki jih je označil z a,b,c,..., a', b', c',..., A, B, C,... A1, B', C',..., A", B'', C'',..., A''' in B''', so vsi izračunani točno. 3. Pri izračunu členov an, ki izvirajo iz razvoja stevila arctg(1/7) v vrsto, so tri napake, kot je razvidno iz zadnjih decimalk (podčrtane so vse od prve napačne do 143. decimalke): ai5 = 15139 : (61 ■ 63) - 19670 44692 87722 758 pravilno je - 19670 44692 87748 779 a28 = 2 761e' : (113 ■ 115) - 42931 91365 80104 272 pravilno je - 42931 91365 80104 273 «35 = 34 33m' : (141 ■ 143) - 45446 20351 37948 145 pravilno je - 45446 20351 37848 145 Največja napaka, ki je vplivala na končni rezultat, je pri členu a35 = 3433m' : (141 ■ 143), ki je izračunan natančno na 137 decimalk. Morda je ta napaka nastala pri prepisovanju. Vsota vseh izračunanih členov an je prav tako točna na 137 decimalk. Namenoma je tu pri računanju členov ohranjena Vegova oznaka : za deljenje. Danes bi raje uporabljali znak /. 4. Pri členih £n, ki jih je največ in ki izvirajo iz razvoja s tevila arctg(1/3) v vrsto, pa je kar pet napak: £19 = 634V : (77 ■ 79) - 61142 68618 67865 852 pravilno je - 61308 72268 19370 044 £21 = 698X : (85 ■ 87) - 22686 62420 75978 337 pravilno je - 22686 62420 75978 038 £31 = 1018H' : (125 ■ 127) - 26130 60835 14012 730 pravilno je - 26130 60835 14012 739 £32 = 10501 : (129 ■ 131) - 75889 04449 02759 167 pravilno je - 75889 04449 02759 168 £64 = 20 74R" : (257 ■ 259) - 83017 73790 19075 570 pravilno je - 83017 73790 19075 569 Bistvena napaka je pri členu £19 = 634V : (77 ■ 79), kije izračunan točno le na 127 decimalk. Isto velja za vsoto vseh izračunanih £n. 5. Ko nazadnje po (10) oba dela sestejemo in pomnoZimo z 8, dobimo točnih le 126 decimalk. Vegov izračun se konča z - 44767 21386 11733 136, če se ne bi motil, bi po [4] dobil - 46095 50582 23172 072, pravilne dečimalke stevila n - 46095 50582 23172 535. Toda Vega je najbrz sam ugotovil napako in leta 1794 v dodatku k svoji Popolni zakladnici logaritmov [11, str. 633] objavil stevilo n na 140 dečimalk, od katerih pa so zadnje s tiri spet napačne. Zakaj? 1. Izhajal je iz formule (6) in uporabil (11). Vsoto vseh izračunanih an je vzel kar iz prvega računa in dobil pravilnih 136 dečimalk 40-kratnika te vsote. 2. Clene Yn in 5n, ki izvirajo iz razvoja arčtg(3/79) v vrsto, je računal na 144 dečimalk, vsoto vseh izračunanih Yn je dobil natančno na 139 dečimalk, vsoto vseh izračunanih 5n pa natančno na 142 dečimalk. Ko je n izračunal po (11), je dobil 136 točnih dečimalk stevila n. - 46095 50582 26136 4112, če se ne bi motil, bi po [5] dobil - 46095 50582 23172 4568, pravilne dečimalke stevila n - 46095 50582 23172 5359. Zal pa nimamo na razpolago rokopisa, da bi lahko primerjali Vegove deči-malke z rekonstrukčijo, ki jo najdemo v [5]. Rezultat iz [11] so ponatisnili se 15 let po Vegovi smrti v njegovem učbeniku. Ker boljsega priblizka za n tisti čas se ni bilo, nihče pravzaprav ni vedel, katere dečimalke od 126. naprej so pravilne. Ker Vega ni izračunal stevila n po formulah (4) in (6) neodvisno, ampak je delni rezultat iz ene uporabil v drugi, se ne moremo strinjati s trditvijo, ki jo lahko preberemo na vec mestih, da je rezultat po eni formuli preveril z rezultatom po drugi. Kljub vsemu pa je bil njegov rezultat iz leta 1794 najboljsi objavljeni rezultat vse do leta 1841, ko je William Rutherford (1798-1871) objavil v [9] priblizek stevila n na 152 pravilnih decimalk. V zvezi s tem Rutherfordovim priblizkom se pogosto pojavlja tudi letnica 1824. Avtorjema je kljub trudu na podlagi dostopnih virov ni uspelo upravičiti. Morda je Rutherford res izračunal stevilo n leta 1824 in rezultat sele po 17 letih poslal v objavo. Upostevamo lahko samo datum objave. Preseneča pa dejstvo, da je v Montuclajevem delu, katerega izsek iz leta 1802 je objavljen v [8], zapisano stevilo n ravno tako na 152 pravilnih decimalk. Cudno je tudi to, da StraBnitzki leta 1844 v svojem dodatku takoj pod Dasejevo objavo stevila n na tocnih 200 decimalk sploh ne omenja Rutherforda, omenja pa na primer Vego. Avtorja se iskreno zahvaljujeta prof. Tomazu Pisanskemu, ki je za 250. obletnico Vegovega rojstva priskrbel kopije originalnih listov, ki jih je bil Vega leta 1789 poslal akademiji v Sankt Peterburgu. LITERATURA [1] P. Eymard in J-P. Lafon, The Number n, AMS, Providence, Rhode Island, 1999. [2] I. Hafner, Euler's Estimate of Pi, http://demonstrations.wolfram.com/EulersEstimateOfPi/, 2013. [3] I. Hafner, Newton's Pi Approximation, http://demonstrations.wolfram.com/NewtonsPiApproximation/, 2013. [4] I. Hafner, Vega's Calculation of Pi, http://demonstrations.wolfram.com/VegasCalculationOfPi/, 2013. [5] I. Hafner, Vega's Second Calculation of Pi, http://demonstrations.wolfram.com/VegasSecondCalculationOfPi/, 2013. [6] W. Jones, Synopsis Palmariorum Matheseos, London, 1706. [7] T. F. de Lagny, Sur la quadrature du cercle, & sur la mesure de tout arc, tout secteur, & tout segment donné, Histoire de l'Academie royale des sciences (1719), 135-145, Paris 1721. [8] M. Razpet, Vec kot 150 decimalk krožne konstante pred letom 1800, Obzornik za matematiko in fiziko 60 (2013), 129-136. [9] W. Rutherford, Computation of the ratio of the diameter of circle to its circumference to 208 places of figures, Philosophical transactions of the Royal Society of London, 1841, 281-283. [10] G. Vega, Détermination de la demi-circonférence d'un cercle, dont le diamètre = 1, exprimée en 140 ûgures décimales, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae IX (1791), Sankt Peterburg, 1795. [11] G. Vega, Thesaurus logarithmorum completus, Weidmann, Leipzig, 1794. [12] I. Vidav, Vižja matematika I, DMFA - zaloznistvo, Ljubljana, 2008. MERJENJE PREPUSTNOSTI PLASTIČNIH FOLIJ ZA SHRANJEVANJE HRANE NINA BIZJAK, FRANCI BAJD, MARJETA SENTJURC IN IGOR SERSA Institut Jožef Stefan PACS: 89.40.Dd Za shranjevanje hrane se pogosto uporablja embalažo iz plastične folije, ki preprečuje dostop kisika in tako zavira proces kvarjenja hrane. Kljub uporabi plastične folije je hrana lahko izpostavljena kisiku, ki prehaja tako skozi stene delno prepustne folije kot tudi skozi nekakovostno zvarjene spoje. Dinamika prodiranja kisika v vrečke, izdelane iz različnih tipov plastične folije, je bila spremljana z merjenjem parčialnega tlaka kisika z elektronsko paramagnetno resonančo. MEASUREMENTS OF OXYGEN PERMEABILITY IN PLASTIC BAGS FOR FOOD STORAGE Plastic bags are widely used for food storage, as they protect food from oxygenation and thus prevent its spoilage. Despite the use of this conservation technique, food may still be exposed to oxygen molecules, which may migrate through the plastic foil or its seals. Quality of various plastic foils for vacuum food conservation was tested by measuring dynamics of oxygen migration into bags made of the foils using electron paramagnetic resonance (EPR) of a material whose EPR signal is oxygen concentration sensitive. Uvod Naraščajoča uporaba pripravljene in shranjene hrane vodi v vedno večje zahteve po kvalitetnih embalažnih materialih, med katerimi so najpogostejše plastične folije. Z zavijanjem hrane v folijo želimo preprečiti oziroma upočasniti kvarjenje in ohraniti svežino. Glavni dejavniki, ki vplivajo na pročese kvarjenja hrane, so mikroorganizmi, vlaga, svetloba, temperatura in sestava atmosfere (zraka). Zrak je brez barve, vonja in okusa, zato na njegov pomen pri kvarjenju hrane pogosto pozabimo. Komponenta zraka, ki najbolj pospesi kvarjenje hrane, je kisik, ki vpliva predvsem na kvarjenje masčob, barvo hrane, vitamine, okus ter druge sestavine in lastnosti hrane. Kisik namreč ustvarja ugodne razmere za rast mikroorganizmov, vključen pa je tudi pri razgradnji komponent s pomočjo enčimov in povzročanju oksidativ-nega stresa [1]. Oksidativni stres je povezan z nastankom spojin reaktivno vezanega kisika, med katerimi so najpomembnejsi prosti radikali, ki sprozijo peroksidačjo lipidov in zarkost hrane. Obdelava hrane pred pakiranjem, kot je rezanje ali sekljanje, njeno občutljivost za delovanje prostih kisikovih radikalov se poveča [2]. Pomen pakiranja hrane v embalaZo, kot je folija, je med drugim ravno preprečevanje dostopa kisika. Plastična folija je tanka plast plastike, ki se lahko oprime mnogih gladkih povrsin in ostaja v tesnem stiku s povrsino brez uporabe dodatnih sredstev za lepljenje. Plastične mase za izdelavo folij imajo lahko različno sestavo in lastnosti, lahko so enoslojne ali večslojne [3]. S kombinačijo različnih plastičnih mas v večplastno kombinirano folijo lahko proizvajalči plastične embalaze danes načrtujejo material s povsem določenimi lastnostmi, kot so elastičnost, prosojnost, prepustnost za določene pline, trdnost, debelina in temperaturna občutljivost. V preteklosti so bile folije najpogosteje izdelane iz polivinilkloridov (PVC), ki pa lahko vsebujejo zdravju skodljive snovi [2]. Sodobne raziskave so usmerjene v iskanje novih materialov oziroma kombinačij materialov (npr. polietilen, polipropilen, najlon, SARAN), ki bi shranjevanje zivil optimizirali ter bili ob tem biorazgradljivi [4], pri čemer pa zahteve po nekaterih osnovnih lastnostih materiala ostajajo - med njimi je ena najpomembnejsih ravno čim manj sa prepustnost za kisik. V nasi raziskavi smo se osredotočili na učinkovitost plastičnih folij različnih proizvajalčev pri preprečevanju dostopa kisika do zivila. Priprava vzorcev V studiji so bili uporabljeni trije različni tipi komercialno dostopne plastične folije, in sičer folija za domačo uporabo debeline 100 ^m (A) in 50 ^m (B) ter profesionalna folija debeline nad 100 ^m (C), iz katerih so bile z uporabo varilnika folije izdelane plastične vrečke kvadratne oblike z dolzino straniče 41,2 ± 4,7 mm. V vrečke je bil dodan prah litijevega ftaločianida za spremljanje parcialnega tlaka kisika pO2, vrečke pa so bile v kontrolirani dusikovi atmosferi zavarjene v nadtlačne blaziniče. Uporabili smo dva različna varilnika folije (Reber, Italija; Hyundai, J. Koreja). Prepustnost plastičnih folij in kakovost varilnega spoja sta bila ovrednotena z dinamičnim spremljanjem parcialnega tlaka kisika pO2 z elektronsko paramagnetno resonančo (slika 1). Za vsak tip folije so bile opravljene vsaj tri ponovitve merjenja pO2. Elektronska paramagnetna resonanca Elektronska paramagnetna resonanča (EPR) je spektroskopska metoda, s katero proučujemo paramagnetne čentre v snovi in prek njih njihovo neposredno okoličo in dogajanje v njej. Paramagnetni čentri so atomi, ioni in molekule, pri katerih elektroni niso zdruzeni v pare z nasprotnim spi- Slika 1. Shema eksperimenta. V vrečke, nadtlacno napolnjene z dušikom, je med inku-bacijo na zraku preko sten in preko zvarov prehajal tudi kisik, ki se je vezal na kristal litijevega ftalocianida. Dinamika parcialnega tlaka kisika je bila spremljana z metodo EPR. nom (nesparjeni elektroni), zato je njihov skupni magnetni moment različen od nič. Paramagnetne snovi so bodisi Ze prisotne v snovi (prosti radikali, ioni prehodnih elementov) ali pa jih dodamo vzorcu in rabijo kot neke vrste sonda za opazovanje dogajanj v njihovi okolici. Ce damo tako snov v magnetno polje, magnetni moment nesparjenih elektronov interagira s tem poljem, kar ima za posledico, da se elektroni razporedijo v spinska stanja z različno energijo E = flgBms, kjer so fl Bohrov magneton (konstanta), g spektroskopski cepitveni tenzor, ki opisuje interakcijo med magnetnim momentom elektronov in magnetnim poljem in je odvisen od polozaja paramagnetne molekule glede na magnetno polje, ms projekcija spina glede na magnetno polje (za spin elektrona S = 1/2 je ms = 1/2 ali ms = -1/2) ter B magnetna poljska gostota. Z elektromagnetnim valovanjem z energijo, ki je enaka energijski razliki med spinskimi stanji (resonancni pogoj) hv = flgB (h je Planckova konstanta in v je frekvenca mikrovalov), povzrocimo prehode elektronov iz enega energijskega stanja v drugo, kar ima za posledico absorpcijo elektromagnetnih valov. Z metodo EPR pri konstantni frekvenci elektromagnetnega valovanja spreminjamo magnetno poljsko gostoto in merimo, kdaj pride do absorpcije in obliko absorpcijske krivulje, ki je odvisna od interakcije paramagnetnega centra z okolico (drugi paramagnetni ioni, elektricno polje, ki ga ustvarjajo okoliške molekule, jedra atomov v paramagnetnem centru, itd). Za meritve koncentracije kisika je pomembna širina absorpcijske crte, na katero vpliva cas, ki ga elektroni preživijo v visjem energijskem stanju (relaksacijski cas). Cim daljsi je relaksacijski cas, ožja je absorpcijska crta. EPR oksimetrija temelji na dejstvu, da je kisik paramagneten (v osnovnem stanju tvorita nesparjena elektrona kisika tripletno stanje s spinom S = 1). V vzorec dodamo kak paramagnetni marker, občutljiv za kisik, v nasem primeru litijev ftalocianid, katerega absorpcijsko krivuljo merimo. Kisik ucinkuje na paramagnetni marker, med njima pride do izmenjalnih interakcij, elektroni se hitreje vracajo v osnovno stanje in absorpcijska crta paramagnetnega centra se raz siri. Sirina crte je sorazmerna koncentraciji kisika v vzorcu (slika 2) AB = AB0 + KC. Pri tem so AB izmerjena s irina crte, AB0 s irina crte brez prisotnosti kisika, K konstanta, ki pomeni verjetnost, da bo prislo pri trku med parama-gnetnim markerjem in kisikom do relaksacije, ter C koncentracija kisika v vzorcu. Koncentracijo kisika v vzorcu izracunamo s pomocjo umeritvene krivulje med s irino crte in znano koncentracijo kisika v vzorcu. Ker je zveza linearna, je umeritvena krivulja za litijev ftalocianid podana z enacbo AB(mT) = 0.0059 + 3,9 x 10-4 x pO2(mmHg). Ker je koncentracija kisika v vzorcu odvisna od topnosti, ki je v heterogenih vzorcih lahko razlicna, podajamo kolicino kisika v vzorcih s parcialnim tlakom (pO2). Koncentracija kisika je enaka produktu med parcialnim tlakom kisika in njegovo topnostjo. Rezultati in diskusija Na sliki 3 je prikazan casovni potek parcialnega tlaka kisika pO2 za tri raz-licne tipe plasticnih folij: za srednje debelo (100 ^m, A), tanjso (50 ^m, B) in debelej so folijo (> 100 ^m, C). S slike se nazorno vidi, da se je delez kisika v prvotno dusikovi notranji atmosferi v vrecki postopno poveceval v vseh vzorcih. Pri tanjsih folijah (A,B), kjer je parcialni tlak kisika dosegel maksimalno vrednost (med 170 in 200 mmHg) ze po 5 dneh od izdelave plasticnih vreck, je bila dinamika prehajanja kisika hitrej sa kot pri debelej sih folijah (C). Pri slednjih parcialni tlak kisika ni dosegel koncne vrednosti niti Slika 2. EPR spektra litijevega ftalocianida pri dveh različnih koncentracijah O2 (levo) in umeritvena krivulja za litijev ftalocianid (desno). po 40 dneh od izdelave. Dinamika prodiranja kisika v notranjost zavarjene vrečke je bila odvisna tudi od izbire varilnika folije; največja razlika med obema varilnikoma se je pokazala pri vrečkah iz debelejSe folije, kjer je bila dinamika narasčanja parcialnega tlaka kisika počasnejsa pri uporabi profesionalnega varilnika folije (A1, B1, C1) kot pri uporabi neprofesionalnega varilnika (A2, B2, C2). Časovni potek narasčanja parcialnega tlaka kisika v zavarjeni vrečki dobro opisuje modelna funkčija, pO2 (t) = pO2,max (1 - e-i/T) , kjer sta pO2,max maksimalna vrednost parcialnega tlaka kisika in t karakteristični čas dinamike prodiranja kisika v notranjost zavarjene vrečke. Črte na sliki 3 prikazujejo modelno funkčijo pri optimalnih parametrih prileganja. Razloga za narasčanje parcialnega tlaka kisika pO2 v notranjosti zavarjene vrečke sta dva, in sičer tako mozno prehajanje zraka skozi povrsino folije v notranjost vrečke kot tudi bolj verjetno prehajanje zraka v notranjost vrečke skozi nekakovostno zvarjene spoje. Pri tanjsih vrečkah je bilo prehajanje kisika desetkrat hitrejse kot pri kakovostnejsi debelejsi vrečki, saj je pri debelejsih vrečkah verjetnost za prehajanje zraka skozi samo folijo manjsa kot pri tanjsih vrečkah, predvsem pa debelina folije vpliva na kakovost spoja. Ker varjenje vrečk poteka z lokalnim pregrevanjem folije, je kakovost spoja lahko prečej boljsa pri debelejsih vrečkah. Pri tanjsih folijah čezmerno pregrevanje lahko povzroči razpad varjene folije na mestu varjenja na dva dela, kakovost spoja pa se zaradi tega znatno zmanjsa, kar se kaze na znatno krajsih karakterističnih časih prodiranja zraka v notranjost nekakovostno zavarjene vrečke. Pri vrečkah iz tanjse folije sta bila karakteristična časa v območju nekaj deset ur, pri vrečkah iz debelejse folije pa je 250 -i—r 200 „ 150 O) X E — 100 50 0 —i-1-1-1-1-1-1-1-1-1- 0 200 400 600 800 1000 t [h] Slika 3. Časovni potek parcialnega tlaka kisika v zaprtih plastičnih vrečkah, zvarjenih iz treh različnih tipov folij. bil karakteristični čas znatno večji (slika 4). Pri pakiranju Živil bodo ta zasedala različne prostornine in tudi površina vrečke ne bo vedno enaka. Tadva parametra namreč odločilno vplivata na dinamiko prodiranja kisika v embalažo in s tem tudi določata trajanje Živila. Vzemimo, da pri pakiranju zaseda živilo prostornino V in da ga obdaja folija s povrsino S. Prehajanje kisika skozi folijo podaja enačba dN Sj ~dt = SjN' kjer je razlika gostote tokov molekul kisika v embalazo in iz nje jN sorazmerna razliki končentračij kisika zunaj embalaze co in v embalazi c, jN = jo ( 1 - — co Tu je jo največja gostota toka kisika v embalazo, ki je dosezena na začetku, ko v embalazi se ni kisika. Privzamemo lahko tudi, daje končentračija kisika zunaj embalaze co ves čas konstantna, medtem ko se končentračija kisika v embalazi c spreminja. Obe enačbi lahko sedaj zdruzimo in se upostevamo, da je končentračija kisika v embalazi enaka c = N/V, ter tako dobimo Slika 4. Vrednosti karakterističnega casa t. empirično enačbo za spreminjanje koncentracije kisika v embalaži katere rešitev je enaka dc S f c jt = vM 1 - c0 c(t) = col 1 - e -o . Očitno ta rezultat ustreza zgoraj zapisani modelni funkciji in lahko vidimo tudi, da je parameter t enak T = Vco S jo Torej je očitno res, da na dinamiko prodiranja kisika v embalazo poleg lastnosti embalaze, ki jih podaja parameter jo, močno vpliva tudi razmerje med volumnom in povrsino embalaze V/S. Dinamika prodiranja kisika v embalazo pa je vseeno nekoliko drugačna od te, ki jo podaja zgornja enačba, če je v embalazi tudi zapakirano zivilo. Zivilo bo namreč porabilo praktično ves prepusčen kisk za kemijske reakčije, ki bodo po večini vodile do njegovega propada. Torej lahko predpostavimo, da je v embalaži z živilom ves cas koncentracija kisika enaka nic (c = 0), tako da je jN = jo, ter da obstaja za vsako živilo neka zgornja meja količine kisika, ki jo to se lahko porabi, preden se pokvari. Denimo, da je ta meja enaka Nmax oziroma njej pripadajoča ustrezna koncentracija je enaka cmax = Nmax/V. Ta koncentracija bo v zivilu dosezena po casu _ Nmax _ j0 Stmax cmax — V — V ' Iz te zveze sledi, daje maksimalni cas trajanja vakuumsko pakiranega zivila dolocen z enacbo , _ V cmax _ cmax tmax — "77 : — t • S Jo co Trajanje zivila tako doloca razmerje med zgoraj dolocenim karakteristicnim casom t ter razmerjem med koncentracijo v zivilu porabljenega kisika, ki je vodila do njegovega pokvarjenja, ter koncentracijo kisika v okoliskem zraku. Izpeljana enacba izhaja iz predpostavke, da so zvari folije idealni in torej kisik ne prehaja skoznje. Ta predpostavka pa v praksi ni nikoli dobro izpolnjena, saj je prehajanje kisika skozi zvare mocno odvisno od primernosti folij za varjenje in kvalitete varilnika folij. Sklep V študiji smo z uporabo EPR preverili spreminjanje parcialnega tlaka kisika pO2 v notranjosti vreck, ki so bile v kontrolirani duš ikovi atmosferi zavarjene iz različnih tipov plastičnih folij. Glavna ugotovitev studije je, da se sicer parcialni tlak kisika sčasoma poveča prav v vseh tako zavarjenih vrečkah za shranjevanje zivil, je pa ta dinamika močno odvisna od debeline folije kot tudi od tipa varilnika folije. Prehajanje zraka v notranjost zavarjene vrečke poteka predvsem skozi zavarjene spoje, ti pa so mnogo kakovostnej s i pri debelejsih vrečkah. Z izbiro primerno debelih folij in profesionalnih varilnikov folij, ki omogočajo varjenje bolj tesnih spojev, bo hrana ostala kakovostna dlje časa, kar je tudi namen shranjevanja zivil s tovrstno tehniko pakiranja. LITERATURA [1] K. J. Davies, Oxidative stress: the paradox of aerobic life, Biochem. Soc. Symp. 61 (1995), 1-31. [2] P.-W. S. Chum et al., Method of packaging food products, U. S. Patent 5427807 (1995). [3] B. Rucman, Spremembe vsebnosti antioksidantov v pakiranem sveže narezanem zelju, diplomsko delo, Univerza v Ljubljani (2008). [4] M. Kim in A. L. Pometto, Food Packaging Potential of Some Novel Degradable Starch-Polyethylene Plastics, J. Food. Prot. 57 (1994), 1007-1012. NOVE KNJIGE Tine Golež, Prizemljitev infinitezimalnega računa, Zavod sv. Stanislava, Ljubljana 2012, 64 str. Ta zanimiva knjiga razširja vsebine, predstavljene v avtorjevem članku [1] v tej reviji in v nekaterih drugih objavah. Prinaša ilustracijo uporabe matematičnih orodij, kot so vrste, odvod in integral na primerih iz fizike. Marsikaj je „prizemljeno" v smislu, da sloni na eksperimentalnih podatkih, pridobljenih z enostavnimi ali bolj zapletenimi meritvami. Začne z nihalom, spremljanim z ultrazvočnim sledni-kom, priključenim na računalnik. Slednik belezi v kratkih časovnih presledkih lego nihala in narise ustrezne točke. Program v računalniku lahko nu-merično izračuna hitrost in po-spesek nihala, dijaki pa lahko iz natiskane upodobitve gibanja določijo parametre in enačbo sinusnega nihanja, jo odvajajo in primerjajo z računalnisko dobljenimi slikami. Malo bolj zahtevna je obravnava odskakovanja zoge. Zelo dobra je obravnava oblike kokosjega jajča. Naj povem, da imajo taki računi očitno tudi praktično vrednost. V nedavno v slovensčino prevedeni knjigi [2] je navedenih nekaj člankov na to temo, objavljenih v resnih revijah (v agronomski Poultry Science in v ornitoloski reviji Auk). Jajča so bolj ali manj vrtenine, tako da nas zanima presek jajča z ravnino skozi os rotačijske simetrije. Knjiga za obliko tega preseka vzame krivuljo z enačbo: y2(1 — cx) a2 ' b2(1 + cx) x Tu je 2a daljša os jajca. Ta formula je nekoliko bolj zapletena od podobne v [2], a na prvi pogled tudi bolj primerna za kokošje jajce. Knjiga pokaZe, kako z GeoGebro in s premikanjem drsnikov - se pravi z rocno spretnostjo - določimo parametra b, c modificirane elipse, ki se kar najbolje prilega eksperimentalnim podatkom. Kot ilustracijo ekstremov knjiga obravnava maksimalni dometa topa -igračke, ki strelja na visjo ali nizjo ravnino od tiste, na katero je postavljen (brez upostevanja zračnega upora). Imamo tudi računanje optimalne debeline izolacije hise, primer iz elektrostatike, optimalno obremenitev sončne celice ... Zanimivo je, da avtor mnoge enačbe zelo hitro izpelje z zdravo pametjo ali „ugane" s primerjavo dimenzij - in večkrat sele nato uporabi standardne izpeljave iz fizikalnih zakonov. Prav tako avtor izračuna kinetično energijo vrteče se palice tako, da jo razdeli na veliko stevilo kosčkov, sesteje posamezne prispevke in nazadnje pozene stevilo kosčkov v neskončnost - kar je ilustracija definicije integrala. Podoben pristop je uporabljen se na nekaj mestih, seveda pa je dodana tudi mnogo kraj sa pot z integriranjem. Zapletenej s a sta padanje kroglice v detergentu in strel z zračno pusko v vodo. Tu je bila uporabljena hitroslikovna kamera. Z digitalno tehniko so tovrstne kamere, včasih rezervirane za najbolje opremljene laboratorije, postale dostopne običajnemu zepu (če nimamo prevelikih zahtev glede ločljivosti). Podatke s slik je treba vnesti v ustrezen program - avtor uporablja program LoggerPro (zastonj za 30 dni) - ki podatke ponazori. Fizika nam da enačbe gibanja, v katerih pa ne poznamo nujno nekaterih parametrov. Z metodo, imenovano regresija, ki je vgrajena v program, lahko določimo vrednosti teh parametrov, pri katerih rezultati najmanj odstopajo od eksperimentalnih podatkov (po kriteriju najmanj s ih kvadratov). Od tod lahko določimo viskoznost detergenta v prvem primeru in koeficient c upora izstrelka v vodi v drugem primeru. Knjizica je dobro in skrbno napisana in bo prisla prav vsem profesorjem fizike ter za fiziko in matematiko nadarjenim dijakom zadnjega letnika gimnazije. Priporočam jo vsem, ki bi radi zaposlili in motivirali take dijake. LITERATURA [1] T. Golez, Infinitezimalni račun med matematiko in fiziko - nove povezave, ki jih omogoča sodobni merilni sistem, Obzornik mat. fiz. 54 (2007), 194-201. [2] J. A. Adam, Matematični sprehodi v naravo, DMFA - zaloZnistvo, Ljubljana, 2012, str. 266. Peter Legisa VESTI STROKOVNO SREČANJE IN 65. OBČNI ZBOR DMFA, BLED, 15. IN 16. 11. 2013 Zaradi 140. letnice rojstva dr. Josipa Plemlja smo se odločili, da strokovno srečanje in občni zbor priredimo na Bledu v hotelu Golf. Vremenska napoved ni bila obetavna, saj je bil napovedan sneg do niZin. Na srečo se je meja sneZenja dvignila in po deZevnem petku je v soboto posijalo celo sonce; kot naročeno za popoldanski sprehod okrog jezera. Strokovni del za učitelje je potekal v dveh oziroma treh sekčijah, vzporedno pa je potekalo tudi 15. slovensko srečanje o uporabi fizike. Vseh udelezenčev strokovnega srečanja je bilo okrog 120, na srečanju o uporabi fizike pa okrog 80. Povzetke in razporede predavanj smo ze v začetku novembra objavili na domači strani drustva. Prav tako je bil pred srečanjem objavljen tudi urnik. Ker so povzetki predavanj objavljeni tudi v biltenu strokovnega srečanja, navajamo le predavatelje in naslove predavanj v enakem vrstnem redu, kot so se zvrstili: Petek, 15. novembra 2013 Fizika: • Nada Razpet: Sprehodi ob vodi • Tomaz Kranjč: Blejsko jezero in Štefanov problem • Janez Strnad: Kaj slisimo pri Dopplerjevem pojavu? • Andrej Likar: Izbrani sprehodi v naravo • Peter Sekolonik: Obračanje in stabilizacija satelitov • Andrej Rutar: Kako in zakaj naj se učitelj fizike ukvarja tudi z astronomijo • Boris Kham: Toplotni tok s Sonca • Dunja Fabjan: V pričakovanju kometa C/2012 S1 (ISON) • Andrej Gustin: Analiza olimpijskega uspeha mladih astronomov • Barbara Rovsek: Analiza primerov izbirnih nalog s tekmovanj za Stefa-nova priznanja in malo statistike • Robert Repnik, Matič Laneger: Analiza eksperimentalnih nalog z drčav-nih tekmovanj iz fizike za osnovnočsolce Matematiki so dopoldan delali v eni, popoldan pa so se razdelili v dve skupini. Matematika A + B, dopoldan: • Štefko Miklavic: Cayleyevi grafi (vabljeno predavanje) • Barbara Boldin: Matematični modeli v biologiji: zgodba D'Ancone in Volterre • Izidor Hafner: Demonstracije pri pouku matematike • Marko Razpet: Krivulje, pridobljene iz vijačnice Matematika A, popoldan: • Marina Rugelj: Namesto tipkovnice in mičke - lesene palice in kamni (vabljeno predavanje) • Darjo Felda: Iz kota v kot • Zlatan Magajna, Amalija Zakelj: Pridobivanje znanja v homogenih in v heterogenih učnih skupinah • Milena Strnad: Geometrija narave - prelom v razvoju matematike 20. stoletja • Izidor Hafner, Marko Razpet: Jurij Vega in 140 decimalk krožne konstante • Milan Hladnik: Josip Plemelj in pravilni sedemkotnik Matematika B, popoldan: • Matija Lokar: Sanje o e-učbeniku • Matija Lokar: MOOC in učitelj matematike • Tomaz Kosir, Klara Pugelj in Ales Toman: Predstavitev tekmovanja iz finančne matematike Po odmoru je sledil 65. obcni zbor. V prvem delu je dr. Anton Suhadolc spregovoril o zivljenju in delu dr. Josipa Plemlja. Večerni program: • Andrej Gustin s sodelavci: Astronomska delavnica Vreme astronomom (tudi letos) ni bilo naklonjeno, zato so se namesto opazovanju nočnega neba posvetili trenutno aktualnim dogodkom. Podrobneje so predstavili komete, njihove lastnosti, orbite itd. Posebej so se posvetili kometu ISON, ki naj bi konec novembra in v začetku decembra postal zelo svetel in razseŠzen. Prikazali so metode opazovanj in fotografiranja kometov in specificnost opazovanj kometa ISON. • Janez Zerovnik, Blaž Zmazek, Darka Hvastija, Tatjana Levstek: Matematika na maturi - ob polnoletnosti splošne mature (delavnica). Po kratkem zgodovinskem povzetku je sledila razprava o matematiki na maturi. • Nada Razpet: Geometrija z deššico in lonškom (delavnica) Udelezenci so risali geometrijske konstrukcije z descico in lončkom (risanje simetral daljic, simetral kotov, pravokotnice na dano premico, konstrukcija enakostranicnega trikotnika in romba). S prepogibanjem papirja formata A4 pa so ustvarili enakostranicni trikotnik, enakokraki trikotnik, deltoid in pravilni sestkotnik. Vse tri delavnice so bile dobro obiskane, delo smo koncali okrog 21.30. Ker je bil odziv dober, bomo delavnice v vecernem delu pripravljali tudi v prihodnje. Sobota, 16. novembra 2013 Najprej smo imeli skupni del: • Dragan Stevanovic: Kompleksni grafi in omrešja • Ales Mohoric: Fizikalni zgledi, ujeti z objektivom kamere (vabljeno predavanje) Nato smo nadaljevali v dveh sekcijah. Fizika: • Karel Smigoc: Zgodba o Arhimedu in zlati carjevi kroni • Tine Golez: Udarjena palica • Tine Golez: Numerišno reševanje diferencialne enašbe Matematika: • Majda Skrinar Majdic: Matematišni maratoni na GESS Trbovlje (vabljeno predavanje) Tema je bila za ucitelje zanimiva in ob koncu predavanja se je razvila zivahna razprava. Spremljevalne dejavnosti: Aktivna studentska sekcija je pripravila sprehod „Okoli Blejskega jezera z resevanjem nalog" in voden ogled Plemljeve spominske sobe. Izidor Hafner, Peter Legisa, Tomaz Pisanski in Marko Razpet so pripravili poster z naslovom Baron Jurij Vega in krožna konstanta. Na ogled je v Matematicni knjiznici v Ljubljani. 62. obcni zbor DMFA Ker je bilo ob 17.00 prisotnih manj kot polovica članov DMFA Slovenije, se je občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije pričel ob 17.30. V delovno predsedstvo so bili izvoljeni: predsednik Mitja Rosina, člana JoZica Dolensek ter Peter Venčelj, zapisnikar Janez Krusič, overovatelja zapisnika Milan Hladnik in Matjaz Zaversnik. Mitja Rosina je poročal o strokovni ekskurziji v Gradeč in o načrtovanem svetovnem letu svetlobe 2015. Slovenski prispevek k mednarodnemu letu svetlobe (in s tem k popularizačiji fizike) bo odvisen od razpolozljivih finančnih sredstev. Kontaktna oseba za Slovenijo je Marko Zgonik, pomagata mu Irena Drevensek - Olenik ter Igor Poberaj (vsi FMF). DMFA Slovenije kot kolektivni član EPS prejema 200 izvodov revije Eu-rophysičs News. Razdeljujemo jo članom, po en izvod posiljamo slovenskim gimnazijam, nekaj izvodov pa je se na voljo (zeljo po prejemanju revije sporočite na e-naslov tajnik@dmfa.si). Vse, ki jih zanimajo drustvene strokovne ekskurzije, prosimo za njihove e-naslove zaradi tekočega obvesčanja in za predloge naslednjih ekskurzij (poslati na mitja.rosina@fmf.uni-lj.si). Bostjan Kuzman je poročal o slovenskem sodelovanju pri akčiji Matematika planeta Zemlja v letu 2013 (MPE2013). Poročal je tudi o načrtih za drustveno podelitev nagrad najboljsim udelezenčem tekmovanj v organiza-čiji DMFA Slovenije za solsko leto 2013/2014. Prireditev bo v Cankarjevem domu, verjetno 24. maja 2014. zdruzena bo z 10. obletničo veriznega eksperimenta, povezali bi jo lahko tudi z mednarodnim letom svetlobe. Bostjan Kuzman je predlagal, da upravni odbor DMFA Slovenije do marča 2014 pripravi prenovo organizačije poletnih sol ter raziskovalnih dni (odprtost, partičipačija, sočasnost med počitničami ...). Zimski izobrazevalni seminar „Matematika in umetnost", bo naslednje leto 14. in 15. marča (dan stevila n). Strokovno srečanje in 66. občni zbor Drustva matematikov fizikov in astronomov Slovenije bosta najverjetneje oktobra 2014 v Cerknem. Z izbiro Cerkna bi obelezili dvestoto obletničo rojstva slovenskega matematika, pedagoga in pisča matematičnih učbenikov viteza Franča Močnika (1814-1892). Ugotovili smo, da je prestavitev občnega zbora na popoldanski čas ugodna, zato bomo tudi v prihodnje imeli občne zbore ze v petek popoldan. Nada Razpet in Janez Krusic http://www.obzornik.si/ LETNO KAZALO Obzornik za matematiko in fiziko 60 (2013) številke 1-6, strani 1-240 Članki — Articles Reseto za iskanje prastevilskih dvojčkov (Srečko Lampret) ..........................1-3 Ponceletove krivulje (Mirko Dobovisek) ................................................................4-14 Sončno obsevanje in klimatske spremembe po Milankovicevem modelu (Žiga Šmit) ..............................................................................................................15-23 Luneburgova leča (Marko Razpet) ..........................................................................41-50 Sagnacov pojav (Janez Strnad) ................................................................................51-58 Konfiguracijski prostori in topoloska kompleksnost (Aleksandra Franc) ................................................................................................81-91 Stereosnemanje: principi dvousesne zaznave zvoka (Daniel Svensek) ....................................................................................................92-101 Rimsko dominantno stevilo (Polona Pavlic, Janez Žerovnik) ......................121-128 Vec kot 150 decimalk krozne konstante pred letom 1800 (Marko Razpet) ......................................................................................................129-136 Na poti do novega Kelvina (Janez Strnad) ..........................................................137-142 Josip Plemelj in pravilni sedemkotnik (Milan Hladnik) ..................................161-172 k-numericni zaklad matrike (Mirko Dobovisek) ................................................173-182 Osnove kvantnega racunalnistva, 1. del (Matija Pretnar) ..............................201-211 Vegovih 140 decimalk kroŽzne konstante (Peter LegiŽsa in Marko Razpet) ........................................................................................................212-224 Merjenje prepustnosti plasticnih folij za shranjevanje hrane (Nina Bizjak, Franci Bajd, Marjeta Žentjurc in Igor Serea) ..................225-232 Sola — School O toplotnih strojih (Janez Strnad) ........................................................................24-30 Entropija in nered (Andrej Likar) ..........................................................................31-34 Neverjetna verjetnost (Darjo Felda) ......................................................................59-70 O metu krogle in metu kladiva (Janez Strnad) ..................................................102-109 Kaj obsega srednjesolska fizika? (Ales Mohoric) ..............................................143-149 Ucitelj in raziskovalec (Ales Mohoric) ....................................................................183-187 http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Pisma bralcev — Letters Koliko je enkrat manj kot 100? (Peter Prelog) ..................................................120-XI Se o matematičnem izrazju v učbenikih (Marjan Hribar) ..............................195-196 Odziv na pismo Petra Preloga (Irena Swanson) ................................................197-198 Vesti — News Zoisove nagrade in priznanja 2012 (Ales Mohorič) ..........................................38-39 Matematične novice (Peter Legisa) ........................................................................40-III Devetnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Gregor Sega) ..........................................................................................................74-77 Obvestilo (Andrej Likar) ............................................................................................77 Kodeks ravnanja Evropskega matematičnega drustva (Peter Legisa) ... 78-80 Matematični raziskovalni tabor MARS 2013 ......................................................80 Vabilo (Andrej Likar) ..................................................................................................VII Bistroumi 2013 - srečanje najuspesnejsih mladih matematikov, fizikov in astronomov (Bostjan Kuzman) ....................................................114-117 Skupna mednarodna konferenča matematičnih drustev Katalonije, Slovaske, Avstrije, Ceske in Slovenije CSASC 2013 (Bostjan Kuzman) ................................................................................................118-119 V spomin in poklon Mariji Munda (1932-2012) (Majda Saus) ....................119 Strokovna ekskurzija v Gradeč/Graz ....................................................................XI Profesor Peter Gosar - devetdesetletnik (Peter Prelovsek in Rasa Pirč) ..........................................................................155-156 MARS 2013 (David Gajser) ......................................................................................157-159 ACAT poletna sola iz računske topologije (Aleksandra Franč) ....................160-XV Dvajseto mednarodno tekmovanje studentov matematike (Marjan Jerman) ....................................................................................................188-193 Interaktivne table in pouk matematike (Jurij Kovič) ......................................194 Strokovno srečanje in 65. občni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Krusič) ........................................................................235-238 Letno kazalo .......................................................... 239-XXIII Novi člani v letu 2013 ..................................................................................................XXIII http://www.obzornik.si/ http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Nove knjige — New books Fukagawa Hidetoshi, Tony Rothman: Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry (Jurij Kovic) .......................... 35-37 Luke Hodgkin, A history of mathematics, From Mesopotamia to Modernity (Jurij Kovic) ........................................ 71-73 Timothy Gowers, Matematika, Zelo kratek uvod (Jurij Kovic) ......... 110-112 Ulf Leonhardt, Thomas Philbin, Geometry and light - The Science of Invisibility (Marko Razpet) ......................... 112-113 Shai Simonson, Rediscovering Mathematics - You Do the Math (Marko Razpet) ................................................... 150-151 Vasile Berinde: Exploring, Investigating and Discovering in Mathematics (Jurij Kovic) ...................................... 152-154 Theodore G. Faticoni: The Mathematics of Infinity, A Guide to Great Ideas (Jurij Kovic) ....................................... 199-IXX Tine GoleZ, Prizemljitev infinitezimalnega računa (Peter Legisa) ..................................................... 233-234 NOVI CLANI DRUŠTVA V LETU 20131 V letu 2013 se je v Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije včlanilo 13 novih članov: 2397. Matej Babič 2398. Rok Brence 2399. Denis Brojan 2400. Ana Špela Hodnik 2401. BlaZka Hunski 2402. Karin Kastelic 2403. Boris Kham 2404. Luka Komel 2405. Srečko Lampret 2406. Šiva Petkovsek 2407. Joao Pita Costa 2408. Tadeja Pucko 2409. Irena Zeme 1Novi clani DMFA Slovenije za leto 2012 so bili objavljeni v Obzorniku za matematiko in fiziko 59 (2012) 6, stran XXIII. OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, NOVEMBER 2013 Letnik 60, številka 6 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Osnove kvantnega računalništva, 1. del (Matija Pretnar) .............. 201-211 Vegovih 140 decimalk krožne konstante (Peter Legiša in Marko Razpet) ......................................................................................................212-224 Merjenje prepustnostiplastičnih folij za shranjevanje hrane (Nina Bizjak, FranciBajd, Marjeta Šentjurc in Igor Serša) ..................225-232 Nove knjige Tine Golež, Prizemljitev infinitezimalnega računa (Peter Legiša) .................................................... 233-234 Vesti Strokovno srečanje in 65. občnizbor DMFA (Nada Razpet in Janez Krušič) ......................................................................235-238 Letno kazalo ......................................................... 239-XXIII Novičlaniv letu 2013 ................................................................................................XXIII CONTENTS Articles Pages The Basics of Quantum Computing, part 1 (Matija Pretnar) ......................201-211 Vega's 140 digits of the circular constant (Peter Legisa and Marko Razpet) ......................................................................................................212-224 Measurements of oxygen permeability in plastic bags for food storage (Nina Bizjak, FranciBajd, Marjeta Sentjurc in Igor Sersa) . 225-232 New books ....................................................................................................................233-234 News ................................................................................................................................235-XXIII Na naslovnici: Na levi: doprsnikip Jurija Vege na pročelju Gimnazije Jurija Vege v Idriji(Foto: Marko Razpet); na desni: fotokopija prve stranirokopisa, kiga je Jurij Vega 1789 poslal akademijiv Sankt Peterburg.