i
i
“1430-Strnad-Racunanje” — 2010/8/23 — 8:58 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 28 (2000/2001)
Številka 1
Strani 48–51
Janez Strnad:
RAČUNANJE IN NOGOMET
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, kombinatorika,
EURO 2000, možni izidi.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/28/1430-Strnad-nogomet.pdf
c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Zanimivosti - Razvedrilo I
RAČUNANJE IN NOGOMET
Po nastopu Slovenija na zaključnem turnirju EURO 2000 bo t udi kak
bralec Preseka morda mislil, da je "nogomet najpomembnejša postranska
stvar na svetu". Tako lahko nogomet uporabimo kot pretvezo za nekaj
računov .
Na zaključnem tekmovanju, na katerem so pravila "določala vse od
opreme do igralnega sistema in po ložaja kamer na štadionu", je bilo 16
moštev razvrščenih na 4 skupine s po štirimi moštvi in vsako je igralo z
vsakim po eno tekmo . Moštvo je za dobljeno tekmo dobilo 3 točke, za
neodločeno 1 točko in za izgubljeno Otočk.
Vprašajmo se p o številu različnih mogočih izidov , če imamo vsa
moštva za enakovredna in se ne zanimamo za številske izide t ekem . Vpra-
šanje utegne biti za prave ljubitelje nogometa preveč neživljenjsko, a
mladim matematikom ponuja nekaj zanim ivosti iz kombinatorike .
Najprej se loti mo ene skupine z ti = 4 člani. Na tekmovanju, na
kat er em igra vsak par le enkrat, je te kem toliko kot parov: ~ n (n- 1 ) = 6.
Tekme ločimo na odločene in neodločene. Različne možnosti opredelimo
s številom odločenih t ekem z. Po vrsti imamo z = O (O odločen ih tekem,
6 - z = 6 neodločenih), z = 1, (1 odločena tekma, 5 neodločenih), .. . ,
z = 6 (6 odločenih, Oneodločenih) . Skupno število točk je 3z+2(6-z) =
= 12 + z, t or ej po vrsti 12, 13, . . . , 18.
S tablico ponazorimo, kako so igr ala moštva, a ne navedemo njihovih
Imen:
*
(AD)
(BD)
(CD)*
*
(AB ) (AC)
(BC)
*
(BA)
(CA) (CB)
(DA) (DB) (DC )
(BA) = O, če je (AB) = 3, in (BA) = 1, če je (AB) = 1. Zat o je dovo lj,
če si zapomnimo podat ke iz des nega zgornjega de la tablice ((AB) (AC)
(AD) (BC) (BD) (CD)).
Pri z = Oje šest neodločenih tekem in je (111111) ed ina možnost .
Pri z = 1 je šest možnosti (311111), (131111) , (113111), (1113 11),
(111131), (111113) in še šest možnosti, v kater ih trojko zamenjarno z O,
(011111) . . . , t or ej skupaj 12 možnosti.
Pri z = 2 se število možnosti tako poveča, da j ih ne navedemo, ampak
raj e o njih sklepamo. Podobno kot prej, začnemo s (331111) in nato obe
trojki razvrstimo na druga mesta.
Zanimivosti - Razvedrilo
Šest različnih reči lahko razvrstimo na 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6! različnih
načinov . Prvo reč namreč lahko postavimo na eno od 6 mest; ost ane pet
reči , od katerih lahko prvo post avim o na eno od 5 mest ; ost anejo št iri
reči ... Št evila neodvisnih možnosti po osnovnem izreku kombinatorike
množimo. Tako smo spoz na li p ermu tacije brez pon avljanja. V našem
primeru pa sta dve reči (3 in 3) med sebo j nerazločljivi in prav tako štiri
reči (1111). S tem, da pr vi dve reči premeščamo med seboj in šti ri druge
reči med seboj, ne dobimo novih možnosti . Tako je možnosti 6!/(4!2!) =
= 15. To so permutacije sponavljanjem .
Nato eno od trojk zamenjamo z O, kar da (031111) , in dobimo
6!/(1!l!4!) = 30 možnosti. Nazadnje še preostalo trojko 3 zamenjamo
z Oin za (001111) dobimo še 15 možnosti. Tako imamo v celot i 15 + 30+
+ 15 = 60 možnosti.
Pri z = 3 začnemo s (333111), ko je 6!/(3!3!) = 20 možnosti. Eno
trojko zamenjamo z Oin dobimo (330111), kar da 6!/ (2!3!) = 60 možnosti .
Prav toliko možnosti je za (003111) in to liko kot na začetku za (000111).
Skupaj je to rej 20 + 60 + 60 + 20 = 160 možnosti.
Smo že pri z = 4. Začnemo s (333311) , ko je 6!/(2!4!) = 15 možnosti.
Zamenjamo eno od trojk z O, kar da (033311) , in imamo 6!/ (1!2!3!) = 60
možnost i. Zamenj amo še eno od t rojk z O, kar da (003311), in imamo
6!/(2!2!2!) = 90 možnosti. Tako nadaljujemo in pridemo še do (000311) s
60 in do (000011) s 15 možnostmi. Skupaj je to rej 15 + 60 + 90 + 60 +
+ 15 = 240 možnosti .
Pri z = 5 začnemo s (333331), ko je 6!/ (1!5!) = 6 možnos ti. Zame-
njamo eno trojko z O, kar da (033331), in imamo 6!/ (1!1!4!) = 30 možnosti.
Zamenj amo še eno trojko z O, kar da (003331) , in imamo 6!/(1!2!3!) = 60
možnosti. Zamenj am o še eno trojko z O, dobimo (000331) in imamo prav
tako 60 možnosti. Zam enjamo še eno t rojko z O, dobimo (000031) in
imamo 30 možnosti. Zamenj amo še zadnjo t rojko, dobimo (000001) in
imamo, kot na začetku , 6 možnosti . Vseh možnosti je 6 + 30 + 60 + 60 +
+ 30 + 6 = 192.
Preost ane le še z = 6, ko začnemo s (333333) z eno možnostj o. Sledijo
(033333) s 6 , (003333) s 15 in (000333) z 20 možnostmi. Zaradi (000033) ,
(000003) in (000000) dobimo še enkrat pr vi dve števili in je vseh možnosti
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64.
Naštete možnosti se izključujejo , zato jih seštejemo: 1 + 12 + 60 +
+ 160 + 240 + 192 + 64 = 729. Rezult at preskusimo. Vsaka od šest ih
tekem ima za dano moštvo t ri mogoče izide : zmago, neodločeno ali poraz .
Tekem je 6, zato je vseh možnosti v skupini 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 36 = 729.
Nazadnje smo izračunali variacije s ponavljanjem.
Zanimivosti - Razvedrilo I
Skup ine so neod visne druga od druge in vsako možnost iz kake sku-
pine lahko sestavimo z vsako možnostjo iz drugih skupin. Zato števila
pomnožimo in pri št irih skupinah dobimo 729 ·729 ·729 ·729 = 36.4 = 324 ,
približno 2,8243 . 1011 možnosti .
Skupina A: 5 odločenih , skupna vsota točk 17
·1 ·2 ·3 ·4 L
Portugalska 1· * 3 3 3 9
Romunija 2· O * 3 1 4
Anglija 3· O O * 3 3
Nemčija 4· O 1 O * 1
Skupina B: 5 odločenih, skupna vsota točk 17
·1 ·2 ·3 ·4 L
Italij a 1· * 3 3 3 9
Turčija 2· O * 3 1 4
B elgija 3· O O * 3 3
Švedska 4· O 1 O * 1
Skupina C: 4 odločene , skupna vsota točk 16
·1 ·2 ·3 ·4 L
Španija 1· * 3 O 3 6
Jugoslavija 2· O * 3 1 4
Norveška 3· 3 O * 1 4
Slovenija 4· O 1 1 * 2
Skupina D: 6 odločenih , skupna vsota točk 18
·1 ·2 ·3 ·4 L
Nizozemska 1· * 3 3 3 9
Francija 2· O * 3 3 6
Češka 3· O O * 3 3
Dan ska 4· O O O * O
Po t em ko so moštva v skup inah igrala vsako z vsakim , sta se v
nadaljnje tekmovanje uvrstil i po dve najboljši moštvi iz vsake skupine.
Ta moštva so igrala na izločanj e , se pravi, da je po vsaki tekmi šlo v
naslednji krog le mošt vo, ki je zmagalo. Neodločenega izida ni bilo več . V
I Zanimivosti - Razvedrilo
vsaki od osmih tekem osmine finala sta bili dve možnosti , skupaj 28 = 64
možnosti , pri št irih te kmah četrt finala je bilo 24 = 16 možnosti , v dveh
tekmah polfinala še 22 = 4 možnosti in v finalu še 2. Pri t ekmovanju na
izločanje jih je bilo to rej vsega 215 = 32768. Ob te m se zavemo , da je bilo
izbiranj e moštev v drugem delu tekmovanja pri igranju na izločanj e pr ecej
učinkovitej še kot pri igranju v skupinah. Tak način so najbrž izbrali , da bi
bilo tekmovanje čim bo lj privlačno , ob tem pa časovno omejeno . Nazadnje
zmnožimo možnosti iz ob eh delov tekmovanj a in dobimo 324. 215 , to
je približno 9,2547 . 1015 , možnost i. Kdo bi si mislil, da bi bilo toliko
možnosti , če bila moštva enakovredna!
S podobnim prijemo m, ki ga spoz najo dij aki pri matem atiki v sred-
nji šoli, se, na primer , srečajo pri fiziki št udentje drugega letnika fizike,
ko v okviru kvantne statist ične mehanike razvrščaj o delce v mn ožici na
enodelčna stanja .
Iz previdnosti dodaj mo še misel o zakonih nar ave in pravilih pri
špo rtu, ki bi ju rad tu in t am kdo vzporejal. O pr avilih pri šport u se
navadno dogovorij o v okviru mednarodne zveze tako, da dogaj anje opa-
zovalce čim bolj pritegne, da je pr eprosto določiti vrstni red , in podobno.
Pri nogometu je bil pr ed časom v veljavi dogovor , da do bi zmagovalec
2 točki in ne treh. Z novim dogovorom so najbrž dali vedet i, da velja
le zmaga in je neodločen izid pr avzaprav izhod v sili. Zakoni narave so
nekaj čisto drugega. Raziskovalec po svoji presoji res vpelje kako količino
in jo izmeri , a pri zakonih , ki navadno povzem aj o zveze med količinami,
ima zadnjo besedo preskus. Če se nap oved zakona ne ujema z merj enji ,
je t reba zakon zavreči ali pr edelati. Velja sa mo zakon , ki se sklada z
opazovanji in merjenji.
Nekateri sociologi, ki so z družboslovnega vidika razglabljali o fiziki ,
so mn enja , da fiziki ustvarjajo zakone podobno kot mednarodna zveza
pr avila za šport . Toda glede tega se močno mot ijo. O tem nas pre-
pričajo med drugim fiziki , ki so jih izidi poskusov pr ipravili do tega ,
da so spremenili svoje začetno stališče . Rob er t Andr ews Millikan je
podprl z merj enji Einsteinovo enačbo za kineti čno energ ijo elekt ronov pri
fotoefektu na kovini , čeprav na začetku zanjo ne bi dal počenega groša .
Max Planck je nazadnje privzel, da črno telo s sevanj em izmenjuje energijo
le v obrokih , čeprav je to nasprotovalo tedanjemu mnenju. Zato ne gre
iskati podobnosti med zakoni fizike in pravili pri špo rt u, čeprav z zgledi
iz šport a poskušamo pritegni ti zanimanje učencev in dij akov za fiziko.
Janez Strn ad