IZ ZNANOSTI IN STROKE 
v UDK 528.236 .. 001. (497.12) 
DRZ I SIS M VNINS H 
PRAVOKOTNIH KOORDINAT 
(Predlog zasnove za R Slovenijo) 
Dr. Miroslav Peterca 
Ljubljana 
Prispelo za objavo: 24.5.1993 
Izvleček 
Za državni sistem ravninskih pravokotnih koordinat je 
predlagan sistem Gauss-Kruegerjevih koordinat, ki se 
geometrično naslanja na GKP razširjenemeridianske cone. 
Zaradi boljše izkoriščenosti koordinatnih zapisov je treba 
. spremeniti koordinatno izhodišče. Za povezavo z Evropo naj 
bi bil UTM (Universal 1ransverse Mercator). 
Ključne besede: Gauss-Kruegerjeva projekcija, sistem 
ravninskih pravokotnih koordinat, Slovenija, UTM, zasnova 
UVOD 
Termin „sistem ravninskih pravokotnih koordinat" vsebuje geodetsko-kartografsko projekcijo in sistem ravninskih pravokotnih koordinat, ki sloni na projekciji kot 
geometrični podlagi. Prispevek obravnava: 
• matično projekcijo in sistem ravninskih pravokotnih koordinat za območje R 
Slovenije in 
• sistem za povezavo matičnega sistema z Evropo. 
Geografski položaj R Slovenije v . 
Ce se za mejne meridiane in paralele vzamejo zunanji okvirji listov n<. 25, zavzema Slovenija naslednji geografski prostor: 
AW = 13°22'30" <{JN = 46°52'30" 
AE = 16°37'30" <ps = 45°22'30" 
AE-AW = 3°15' <{JN-4{)S = 1°30' 
Projekcijski položaj R Slovenije 
• Položaj v Gauss-Kruegerjevi projekciji: 
Srednji meridian sistema: 
Širina meridianske cone: 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2 
Ao = 15° 
3°15' 
· Ao-Aw· = AE-Ao = 1°37'30" 
• Položaj v sistemu UTM-ja (Universal 1ransverse Mercator): 
Srednji meridian sistema: 
Širina meridianske cone: 
ilo = 15° 
60 
Ao-,h = .1h-ilo = 3° 
kjer sta ,h = 12°, il.2 = 18° mejna meridiana šeststopinjske cone. 
Številka cone: 33 
MATIČNA PROJEKCIJA R SLOVENIJE IN 
PRAVOKOTNIH KOORDINAT 
SISTEM RAVNINSKIH 
atična projekcija za vsa geodetska računanja, katastrsko in topografsko 
izmero in kartografiranje celotnega območja R Slovenije je Gauss-Kruegerjeva 
projekcija meridianske cone 3°15' po geografski dolžini. Dejstvo, da je 
ilo-il w = AE-Ao = 1 °37'30", še omogoča, da se po redukciji merila 
(mo = 0,9999) na celem območju preslikave obdrži natančnost 1:10 000. 
ržavni sistem ravninskih pravokotnih koordinat je sistem Gauss-Kruegerjevih 
koordinat, ki geometrično sloni na Gauss-Kruegerjevi projekciji meridianske 
cone. Namenjen je za enolično definiranje položaja točk v ravnini na celem območju 
R Slovenije. Sistem tvorita dve koordinatni osi, ki se sekata pod pravim kotom v 
koordinatnem izhodišču. Vertikalna ali abscisna os (X os) je projekcija srednjega 
meridiana cone v GKP-ju. Horizontalna ali ordinatna os (Y os) je projekcija ekvatorja 
v GKP-ju ali po predloženi modifikaciji: os, ki je na geografski širini <po ;,= 0° 
paralelna projekciji ekvatorja. Geografske koordinate izhodišča so torej: 
Ao = 15°, il-ilo = 0°, <po = 0° 
ali po modifikaciji 
Ao = 15°, A-Ao = 0°, <po > 0°. 
Pravokotne koordinate izhodišča so: 
Yo = 0,0 m, pogojno 500 000 m 
Xo = O,Om. 
V nasprotju z geografskimi koordinatami <p in,l na elipsoidu je sistem ravninskih 
pravokotnih Gauss-Kruegerjevih koordinat izometričen in enak Descartesovemu 
koordinatnemu sistemu. 
PROJEKCIJSKI SISTEM ZA POVEZAVO Z EVROPO 
a povezavo lokacij na območju R Slovenije z Evropo naj se uporablja UTM 
sistem, ki vsebuje: 
• Prečno Mercatorjevo (Gauss-Kruegerjevo) projekcijo 6° meridianskih con in 
• UTM pravokotno koordinatno mrežo, ki sloni na Prečni Mercatorjevi 
projekciji kot geometrijski osnovi. 
Pripomba: Razumljivo, direktna povezava z Evropo ni možna brez predhodne 
povezave astronomsko-geodetskih mrež ali transformacije s pomočjo skupnih 
podatkov. 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2 
Splošne specifikacije za UTM 
Meje con: _UTM ~on_e so_omejene z meridianom n. 6° vzhodno ali zahodno od Greenwicha, kJer Jen- O, 1, 2 ... 30. 
Izhodišče geografskih koordinat: A-Ao = 0°, <po = 0°, kjer je Ao geografska dolžina 
srednjega meridiana cone. 
Izhodišče pravokotnih koordinat: 
Yo = 0,0 m, pogojno 500 000 m 
Xo = 0,0 m, za severno hemisfero 
Širinske meje sistema: 84°N, 80°S 
Označevanje con: od 1-60, z začetkom 180° W 
Modul merila na srednjem meridianu: mo = 0,9996 
ENAČBE GAUSS-KRUEGERJEVE (PREČNE MERCATORJEVE) PROJEKCIJE 
ajbolj praktična oblika računalniško usmerjenih enačb je še vedno vrsta 
polinomskih aproksimacij. Čeprav se poskuša priti do tako imenovanih 
„zaprtih" enačb, ki bi bile za računalniško uporabo najbolj učinkovite, rezultati še 
niso zadovoljivi. Toko imenovana ameriška oblika enačb zagotavlja zahtevano 
stopnjo natančnosti za cono ±4° do srednjega meridiana. Pri uporabi ožjih con in na 
naših geografskih širinah se nekateri členi lahko izpustijo: 
X = mo {B - Bo + N tg <p [k/2 + (5 - T + 9C + 4c2) A 4/24 + 
+ (61- 58T + T2 + 600C- 330e'2) A6/720] } (1) 
y = moN [A + (1-T + C) A3/6 + (5 -18T + T2 + 72C- 58 e'2) A5/120] (2) 
m = mo [1 + (1 + C) k/2 + ~5 -- 4T + 42C + 13C2 - 28e'2) A 4/24 + 
+ (61 - 148T + 16r) A /720] '. (3) 
v katerih so: 
mo = modul merila na srednjem meridianu (0,9999 za GKP, 0,9996 za UTM) 
e'2 = e2/(1-e2) (4) 
N = a/(1- e2 sin2 <p)112 (5) 
A = (A-Ao) cos <p, zil inilo v radianih (6) 
T = ~J m 
C = e'2 cos2 <p (8) 
B = a [(1- e2/4- 3e4/64- 5e6/256- ... ) <p - (3e2/8 + 3e4/32 + 
+ 45e6/1024 + ... ) sin 2 <p + (15e4/256 + 45 e6/1024 + ... ) sin4 j-
- (35e6/3072 + ... ) sin 6 <p + ... ] (9) 
z j v radianih. 
B je razdalja vzdolž srednjega meridiana od ekvatorja do širine <p. 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2 
Bo je B izračunano za <po, širino paralele, ki seka srednji meridian..:t0 v izhodišču y inx 
koordinat. Izhodišče koordinat v Prečni Mercatorjevi projekciji namreč ne leži vedno 
na ekvatorju, temveč je prilagojeno območju preslikave. V primeru GKP-ja v naši 
sedanji rabi in šeststopinjskih UTM con je Bo = O. 
Enačba (3) za merilom se lahko napiše tudi kot funkcija od y in <p: 
m = mo [1 + (1 + e'2 cos2 <p) y2 / (2m/ N2)] (3a) 
Enačbe za obratno nalogo: 
<p = <pl - (N1 tg <p1/M1) [D2/2 - (5 + 3T1 + 10C1 - 4Ci2- 9 e'2) D4/24 + 
+ (61 + 90T1 + 298C1 + 45Ti2- 252e'2 - 3Ci2) D6/720] (10) 
A = Ao + [D - (1 + 2T1 + C1) D3/6 + (5 - 2C1 + 28T1 - 3Ci2 + 8e'2 + 
+ 24Ti2) D5/120]/cos <p1 (11) 
kjer je <p1 širina točke na srednjem meridianu, ki ima isto vrednost abscise x kot točka 
<p,A. Računa se po enačbi: 
<p1 = µ + (3e1/2 - 27 e//32 + ... ) sin 2 µ + (21ei2/16 - 55e14/32 - ... ) sin 4µ + 
+ (151e//96 + ... ) sin 6 µ (12) 
v kateri so 
e1 = [1 - (1 - e2)112] / [1 + (1 - e2)112] 
µ B/[a(l - e2/4- 3e4/64-5e6/256- ... )] 
kjer je 
(13) 
(14) 
B = Bo + x/mo (15) 
z Bo, izračunanim po enačbi (9) za dano <po. Če se izhodišče pravokotnih koordinat 
nahaja v točki <{Jo = 0°, Bo = O. 
e'2 = e2/(1-e2) (4) 
C1 = e'2 cos2 <p1 (16) 
T1 = tg2 <p1 (17) 
N1 = a/(1- e2 sin2 <pl)112 (18) 
M1 = a(l- e2)/(1- e2 sin2 <p1)312 (19) 
D = y/(N1mo) (20) 
Pripomba: širina <p1 se, razen po enačbi (12), z uvajanjem pomožne, t.i. rektificirane 
širineµ, lahko izračuna tudi po enačbi (9) za dani x. Postopek iteracije je opisan v viru 
(Borčič 1976). 
DOPUSTNA ŠIRINA GAUSS-KRUEGER.JEVE CONE IN DEFORMACIJE 
Pod pogojimo = 0,9999 in d :5 0,0001, se za geografske širine R Slovenije dobijo naslednje dopustne vrednostU -..:to: 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2 
45°22'30" 46°00'00" 46°52'30" 
A-ilo 1°37'43" 1°38'49" 1°40'25" 
Iz tabele je razvidno, da se v coni 3°15' po geografski dolžini obdrži natančnost 
1 : 10 000. Na novih mejnih meridianih ;t -;\,o = ± 1 °37'30" se za iste širine dobijo 
naslednje vrednosti merila m oziroma relativnih deformacij g_: 
<p 45°22'30" 46°00'00" 46°52'30" 
m 1,000099', 1,000095 1,000088 
d 1: 10100 1: 10500 1: 11400 
MODIFICIRANJE PRAVOKOTNIH KOORDINAT 
a bi dosegli večjo smotrnost zapisov ravninskih pravokotnih koordinat, je možna 
ena od naslednjih modifikacij: 
a) Ker so na ozemlju R Slovenije vse <p > 45°, se izhodišče sistema za izpisovanje 
RPK-ja iz točke-10, <po = 0°, prestavi v točko Ao, <po = 45°. Abscise se ne štejejo od 
ekvatorja, temveč od točke, v kateri paralela <po = 45° seka projekcijo srednjega 
meridiana. Abscise se računajo po enačbi (1 ), v kateri je Bo dolžina srednjega 
meridiana od ekvatorja do širine <po = 45°. Prehod iz starih (prej izračunanih) v nove 
abscise se izvaja po enačbi 
X - = Xt - moBo, 
kjer je Xt stara abscisa, m0Bo pa izračunana konstanta. 
b) Ker so v sedanjem sistemu vse abscise v R Sloveniji večje od 5 000 000 metrov, se 
začetek sistema prestavi v točko na srednjem meridianu, za katero je , 
Bo = 5 000 000/mo, 
kar ustreza velikosti Bo za <po z 45°09'. S to vrednostjo Bo se računajo abscise po 
enačbi (1) in rešuje obratna naloga v enačbi (15). Prehod iz starih v nove abscise se 
opravi po enačbi (21 ), v kateri je 
moBo = 5 000 000. 
Modifikacija a) se prakticira v 22 državah ZDA, ki kot geodetsko in topografsko projekcijo uporabljajo TM (GKP) in na njej sloneč sistem pravokotnih UTM 
koordinat. Toko na primer za Arizono <po = 31°00', Georgio 30°00', Idaho 41°40' 
itd. Čeprav je bila modifikacija a) že predložena tudi za R Slovenijo (Peterca 1989), 
pa zaradi zelo enostavnega prehoda iz sedanjega v modificirani sistem 
Gauss-Kruegerjevih koordinat R Sloveniji bolj ustreza modifikacija b ). Ker vrednost 
moBo v a) ni okroglo število, se v primeru b) vse že izračunane abscise zmanjšajo 
za 5 000 000 metrov. Za razliko oda) ta sprememba ne spreminja položaja sedanjih 
trigonometričnih sekcij in delitve na liste od 1:10 000 do 1:500, za katere so okvirji 
listov linije pravokotne mreže. Razen tega so v ZDA leta 1950 začeli z uvajanjem 
popolnoma novega sistema in namesto Polikonične projekcije uvedli uporabo TM in 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2 
Lambertove konformne konične projekcije ter na teh projekcijah zasnovane sisteme 
ravninskih koordinat. Pri nas pa ne gre za spremembo sistema, ampak samo za 
njegovo modificiranje. Ker bi bilo celotno območje R Slovenije samo v enem 
koordinatnem sistemu oziroma eni Gauss-Kruegerjevi coni, bi se pri izpisovanju 
vrednosti ordinat izpustila številka 5, ki je dosedaj označevala številko cone. 
Pirimerr označevanja Gauss-Kruegerjevih koordinat 
Stari način: y = 5 576 979,6 Novi način: 
X = 6 132 590,1 
Opis pravokotne mreže na topografskih kartah: 
Stari način: 55 77 51 33 
Novi način: 5 77 133 
Viri: 
576 979,6 
132 590,1 
Barčic, B., 1976, Gauss-Kruegerjeva projekcija meridijanskih cona, Zagreb, 38-39. 
Newton, S.D., 1985, Computer Programs far Common Map Projections, U.S. Geological Slfrvey 
Bulletin 1642, 23-33. 
Peterca, M et al., 1974, Kartografija, Beograd, 213-223. 
Peterca, M, 1989, Transfer podatkov med kartami in načrti različnih kartografskih preslikav s 
posebnim oziram na SR Slovenijo, Informacijski sistem v geodetski službi, 21, 30-31, 38. 
Snyder, 1P., 1982, Map Projections Used by the U.S. Geological Survey, Geological Survey Bulletin 
1532, 53-69. 
Recenzija: Ana Kokalj 
prof dr. Branko Rojc 
Geodetski vestnik 37 (1993) 2