P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 2 Strani 66-69, 65
Vilko Domajnko:
DESCARTESOVA GEOMETRIJSKA METODA REŠEVANJA KVADRATNIH ENACB
Ključne besede: matematika, enačbe, geometrija. Elektronska verzija:
http://www.presek.si/18/1032-Domajnko-Descartes.pdf
© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
DESCARTESOVA GEOMETRIJSKA METODA REŠEVANJA KVADRATNIH ENAČB
Leta 1637 je Rene Descartes {1596 - 1650) (slika l) izdal svojo znamenito Razpravo o metodi. Knjigi, ki obdeluje predvsem področje filozofije, so dodana tri posebna poglavja: Optika, Meteorji in Geometrija. Z matematičnega stališča je najpomembnejše tretje poglavje, to je 116 strani dolga razprava o geometriji, še več — to poglavje presega okvir Razprav, saj so matematiki danes skorajda enotnega mnenja, da gre začetke analitične geometrije iskati prav v Descartesovi Geometriji.
V začetnem poglavju Geometrije spregovori Descartes najprej o količinah in o njihoveme zapisu. Elegantno se uspe otresti dotakratne miselnosti, ki je biia 5e zmeraj dediščina starih Grkov, da če z x označimo neko Številsko vrednost, pomenita potem oznaki in x3 zmeraj le ploščino kvadrata s stranico dolžine x oziroma prostornino kocke z robom dolžine x. Descartes je količino definiral kot četrti člen v razmerju
1 : x = x : x2
Seveda lahko x1 enostavno konstruiramo po geometrijski poti, če le poznamo vrednost števila x (glej sliko 2).
Svojo revolucionarno zamisel je Descartes ponazori! na primeru geome-
stika 2
Slika 3
trijskega reševanja kvadratnih enačb. In ker je njegova metoda izvirna ter zanimiva, se seznanimo z njo nekoliko podrobneje.
Kvadratne enačbe je Descartes razdelil v tri različne tipe.
Enačba tipa
x2 ~ ax + b2 (a > 0)	(1)
V ravnini najprej načrtajmo pravokotni trikotnik /V i. M s katetama N L = = ^ in L M = b, kakor ka?e slika 3, zatem pa še krog s središčem v točki N in s polmerom A/I. Premica skozi točki N in M seče krožnico v točkah O in P. Descartes trdi, da je dolžina daljice OM rešitev zgornje kvadratne enačbe {l)„
Za dokaz trditve označimo O M = x. Potem je P M = x — a. Po izreku o Šopu premic, presekanem s krožnico, je
x(x — a) = b2 ali x2 = ax + b2
in dolžina daljice OM torej zares zadošča enačbi (l), S pomočjo Pitagorovega izreka pa ni težko izračunati njene dolžine
OM = ON + ~NM= ^+]/\a2 + b2
Descartesova geometrijska metoda da tudi drugo rešitev x2 ~ — P M. Ker pa je ta negativna in ker je Descartes v svoji razpravi obstoj negativnih števil dosledno ignoriral, je seveda ni omenil.
Enačba tipa
x2 = -ax-f b2 {a > 0)	(2)
Tudi v tem primeru bomo uporabili sliko 3. Odmislimo na njej oznake iz prejšnjega poglavja, naj bo sedaj raje x = PM. Očitno je potem iz istega razloga kot pri enačbi (1) x(x + a) = b7, druga rešitev enačbe (3) pa je znova negativna.
Za ilustracijo si sedaj oglejmo reševanje enačbe
X4 = -8x2 -f IS
V tem primeru je NL = 4 in LM = -/iS. Descartes svetuje, da na izdelani risbi označimo PM = x2. Ves problem se začne s konstrukcijo >/15, ki jo prepustimo bralcu, zaključi pa se v konstrukciji kvadratnega korena iz dolžine daljice PM, kar kaže slika 4.
\

v«
"V a
NL ~	4
LM =	/Ï5
PM =	P'M'
Wq =	1
M' R —	X -
Stika 4
Bralec naj enačbo reši tudi po znani algebraični poti in primerja dobljeno rešitev z dolžino daljice M' R, ki jo je izmeril na svoji risbi.
Enačba tipa
-
= ax - bl (a > 0)
(3)
Na poti do rešitve te enačbe Descartes spet začne s pravokotnim trikotnikom NLM, pri čemer sta dolžini katet NL = | in LM = b. V točki M postavi premico p, ki je pravokotna na premico skozi točki L in M, nato pa načrta krog s središčem v točki N in s polmerom NL. Krofnica seče premico p v točkah Q \n R (glej sliko 5).
anji:, iuJijuEis O, en lorrc qu'N Q fdiiclgilt jML, — — -.	IP	u:m;-r OMell{Uligtie chcittiiic Et ilJe i'cnp:::rc
CHccEcfortc
Siîka S
Que fi ksfyy 20 — a f -h bb, Se qo'y foit lâ quantité qu'ilfâactrouuer , fe £ut le mefese triangle rcâangle NL M, &de fa haieMNt'ofteNPefgale a NL, &îe relie P M cil y la racine cherch/e. De façon que iay y aa — j m H-- t^-r* * b Et tout de mcfiRc Îî i'a-uoii * a -»> fi, r M fexoit x. 3c ianroii
* a) if	f^jJ1*-*- ¿¿t &ainiî dci autrej.
Enfin fi i"ay
ir fait NL efgaje 4 i «, A£LM cigjle i. !t cômeileiûc, ptâj,au lieu de iojndte les poini M N, ie lire M QlR parallèle a L N. irdu centre N parL ayant defcnc vn cercle qui lacouppe lux pains Q 0c R, la Iij;nc cherchée % cft MQ-oubicMR, car en ce caj elle s'«»
Slika 6
Descartes trdi, da sta dolžini MQ in MR rešitvi enačbe (3),
Po izreku o Šopu premic, preseka nem s krožnico, je namreč M R MQ =
--2
= L M . Zaradi simetrične lege točk R in 0 glede na točko S pa velja
MQ + MR = 2 NL = a
te označimo MQ — x ali pa M R — x, dobimo {a — x)x = b7, torej x7 = ax — b7. V obeh primerih sta doliini MQ in MR zares rešitvi enačbe (3). Njuno numerično vrednost pa izračunamo takole
A4Q =~MŠ -'ŠČ} = -- \ -a7-b7 2 v 4
WR = ~MS + SQ= -+ \/-a2 - b7
2 v 4
Vrednost pod korenom \J\a7 — b7 je vsaj v principu lahko negativna, a pogled na risbo 5 nam pove, da ne more hiti b7 > ^a7.
Descartesje enaibe tipa
x2 = —ax - b7 (a > 0)
v svoji obravnavi kar izpustil, saj pri nobeni izbiri koeficientov a in b nimajo pozitivnih rešitev.
Na koncu velja omeniti, da predstavljeni izsek iz Descartesovege dela ni njegov najznačilnejši vzorec. Tokrat je bila lahkoumijivost te vsebine tista, ki je pisca spodbudile k pričujočemu članku.
In nenazadnje — tudi bralec naj za svoj kratek čas grafično poišče rešitve naslednjih enačb:
x2 - 2x - 8 = 0	x8 + 4x4 - 3 = 0
x2 + 3x - 8 = 0	x — 8 y/x + 8 = 0
Vilko Domajnko
Literatura:
1.	The Geometry of Rene Descartes, Dover Publications, New York, 1954
2.	Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968
Slika 1 René Descartes (1596-1650)