Preslikave na množicah operatorjev : doktorska disertacija

slovenski

doktorska dela

2014

adjacent subspaces   commutativity   complemented subspaces   delna urejenost   efekt   effect   hermitian matrix   hermitska matrika   Hilbert space   Hilbertov prostor   idempotent   komplementirani podprostori   komutativnost   lattice of closed subspaces   mreža zaprtih podprostorov   ohranjevalec   orthogonality   ortogonalnost   partial order   preserver   projection   projektor   real symmetric matrix   realna simetrična matrika   sled   sosednji podprostori   trace

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
(Obvezni izvod spletne publikacije)

V uvodnem poglavju predstavimo več znanih rezultatov s področja ohranjevalcev na prostorih matrik in operatorjev. V drugem poglavju dokažemo osnovni izrek afine geometrije in osnovni izrek projektivne geometrije. Če je ?$V$? končno razsežen realen ali kompleksen vektorski prostor dimenzije vsaj ?$2$?, potem osnovni izrek afine geometrije karakterizira bijektivne preslikave ?$V \to V$?, ki slikajo premice v premice (oziroma ohranjajo kolinearnost). Če je ?$V$? realen ali kompleksen vektorski prostor dimenzije vsaj ?$3$?, potem osnovni izrek projektivne geometrije karakterizira bijektivne preslikave na projektivnem prostoru nad njim, ki ohranjajo komplanarnost. Kot posledico zadnjega izreka dokažemo tudi Uhlhornov izrek. Ti trije izreki so naša glavna orodja pri reševanju problemov v kasnejših poglavjih. V naslednjem poglavju preučujemo probleme naslednjega tipa. Naj bo ?${\mathcal V}$? bodisi prostor vseh ?$n\times n$? hermitskih matrik bodisi prostor vseh ?$n \times n$? realnih simetričnih matrik bodisi množica efektov ali pa množica vseh projektorjev ranga ?$1$?. Bodi ?$c$? realno število. Karakteriziramo bijektivne preslikave ?$\phi : {\mathcal V} \to {\mathcal V}$?, ki zadoščajo pogoju ?${\rm sl} \left(AB\right) = c \iff {\rm sl} \left(\phi \left(A\right) \phi \left(B\right)\right) = c$? z nekaterimi dodatnimi omejitvami na ?$c$?, odvisnimi od množice ?${\mathcal V}$?. Naj bo ?$\mathcal H$? neskončno razsežen realen ali kompleksen Hilbertov prostor, ?$\mathcal{I_\infty (H)}$? pa množica omejenih linearnih idempotentnih operatorjev na ?$\mathcal{H}$? z neskončno razsežno sliko in neskončno razsežnim jedrom. V četrtem poglavju karakteriziramo tri tipe preslikav na ?$\mathcal{I_\infty (H)}$?: urejenostne avtomorfizme, bijektivne preslikave, ki ohranjajo pravokotnost v obe smeri in bijektivne preslikave, ki ohranjajo komutativnost v obe smeri. V zadnjem poglavju dodatno predpostavimo, da je ?$\mathcal{H}$? separabilen, z ?${\rm Lat}\mathcal{H}$? pa označimo mrežo njegovih zaprtih podprostorov. Opišemo pare bijektivnih preslikav ?$\phi$?, ?$\psi$? na ?${\rm Lat}\mathcal{H}$? z naslednjo lastnostjo: podprostora ?$U, V \in {\rm Lat}\mathcal{H}$? sta komplementirana natanko tedaj, ko isto velja za ?$\phi \left( U \right)$? in ?$\psi \left( V \right)$?. Dobljeni rezultat reformuliramo kot opis bijektivnih preslikav na množici idempotentov, ki ohranjajo enakost slik in jeder. Kot posledico navedemo nekatere znane strukturne izreke o preslikavah na idempotentih.

12.05.2023