II VXDIU ( II c. nkii-rlikktt. zn II 7l)K l» zc II7XI n 87 k X v 71. ä(i I- x«i >. voiu.vrzxum »v« >:>» »u,» «rrr.irr» --urnum^ > xlrsux»»: - 8k!I^< " is>>?. _ _ O-u' 10Z801 v 0 R 0 R1 ^Die vorbandsnen siobsnstelb^sn lo^aritbinisob - tri^onoiuetri- sobsn Dakeln lassen sieb in drei Klassen bringen. ^Vabrend ds! allen der erste Dbeil, wolobsr dis Do^aritbinen der natürliobsu talilen entbält, so risinliob dersslbs ist, uutsrsobsidsn sie sieli in dein 2weiten, tri^onoinetriseben Dbsil dadursb, dass die erste Hasse die Do^aritbinen der triAOnornstrissben Dinisu für dvn grössten Dbsil des (Quadranten nur für ^ede volle Ninuts Fivl>t, die Zweite kür ^ede 10*° Lesunde unä die dritte kür ^'sds einreine Lesunde. Oie ältesten siobenstsIIiASn DvAaritbrnentaksln geboren der ersten Klasse an, wie die von Lberwin, Dvndon 1705. Lis entliielt die Do^aritbineu der Xablon von 1 bis 101000 und neben den Linus, Dan^enten und Leeanten aueb deren Do^aiitbinsn von Ninuts ru Ilinute. Diese Datei bat bis KSAeu das Dude des vorigen Dabrbundsrts inebrere ^utla^en erlebt und naeb ilirsra Nüster sind bis auf die neueste Aeit unräblixe Do^arilbmentakeln bearbeitet, tbeils init DinweAlassunA der natürlieben Linus und Dan^enten, welobe wsni^ Aebrauobt werden, tbeils vsrinebrt uin andere mebr oder weniger nütrliebs Du^aben. Oardiner, weleber iin Dalne 1741 eine dritte -lutla^e der Lberwinseben Datei besorgte, bearbeitete ^leiebreitiA eine von 10 ru 10 Leeundon fortsebreitende Dafei, welobe als dis erste dieser ^rt, 1742 ru Dondon in Oross-tZuart srssbisn >). Dine rwvits ^.utla^e derselben ebenfalls in Oross-Huart, welobe urn dis Do^aritbinsn der Linus und DanAsnten kür ^odo sinrelns Lsounds bis 4 o vermebrt wurde srssbisn 1770 ru ^vi^non^). Kaob istrtoror wurden dis Dables 1) l^ble» ok üo^sriLins 2t ^»Kles triZynonielriseliö lafelv. 6erliv, 1799. 3) 1?ab!68 trjgononi^triciüLZ 66eimal68, ealeulseg par OK. öoräa. — -1. -- Vmlwoit-l, V Oie bisberi^en ^kus^abeu des loAaritbmiseb triAonometriseben Dandbuebs von Ve§a batten in dem tri^ouometrisebsn Dbeile das Intervall von 1 dünnte. Dio ASAönvärtiKo Learbeitun^ bat es sieb an^ele^en sein lassen, niebt allein dureb LintübrunA «les Intervalls von 10 Leeunden tür den Aan^eu (Quadranten der Datei eine böberv Ltelle an2uw eisen, sondern ibr aueb alle VorsüZe 2U siebern, velebe dureb Dorin und innere DinrielitunA erreiebbar tür ein erleielitertes ^utseblaAen der Dotzaritbmon nur irtzendvie beitragen können, oder doeli als solelie l)is ^'etsit erkannt sind. Ob^leieb bierdureb die Datei eine niebt unbedeutende DrveiterunA orlialten I>at, ist der Deri' Verleger doeli keineswegs gesonnen, den Dreis sn ändern, so dass die Vorzüge einer grössern Ausgabe sieli mit den Vor¬ teilen der ti-überen kleineren, dem geringeren kreise werden vereinigt bilden, wie es bei Verken dieser ^Vrt vvobl noeli nient vorgekommen ist. ^Vas die verbesserte bliuriebtuug der 'tatet selbst betrib't, so ist 2U erhabnen: 1. Die s/stematisebe Anordnung der Leiten ^edvr ^.b- tbeilung, welebe dabin sielt, dass venu einmal die riebtige Leite des Luebes autgeseblagen liegt, bei nur geringer Debung das ^ugo sieb unwillkübrlieb naeb der Ltelle riebtet, wo der verlangte Doga- ritbme su sueben ist. Denn niebts ersebwert den Debraueb einer Datei mebr, als unstätes Dmbersuvben. Dm dieses aut eine tür das ! Vuge wobltbuends ^rt rm erreieben, sind leiebt 2U untersobeidendv Daupt- und Dnter-^btbvilungen angebracbt, vvelebo dem ^uge den nötbigen Huliepunkt gewäbren. In dem ersten Dbsilo sind aut ^eder Leite vier solebe Rubepunkte, nämlieb aut der Leite links die den Labien 10, 20, 30 und 40 entspreebenden teilen, welebv in doppelte Dinivn eingeseblossen sind, aut der reebten Leite die Zeilen, w klebe den Zablen 60, 70, 80 und 90 entspre- eben. Dis Lwisebenliegenden, den Zablen 1 bis 9 gegenüber ste- benden Zeilen sind dann wiederum von drei /n drei dureb sebwaebe lläume gesondert. Im rrweiten Dbeile baben die Leiten 61 Zeilen. Da bierdureb tünt Dauptabtbeilungen eutsteben, so ist die dritte, welobe von oben oder von unten der Zabl 30 gegenüberstebt, noeb besonders dureb stärkere Dinien bervor^eboben; die Ilnter- ^btbeilunAsn sind dieselben geblieben. Iw dritten Dbeile endlieb sind die den vollen Ainuteu entspreebenden Zeilen in doppelte Di¬ nien einAksobiossen und die >e tüntle lllinute dureb stärkere Dinien kenntlieb z;emaebt. Diese DinriebtunA, vvelebo Zuerst bei der VI Voaironi. seeksstelk^en Kafol') versuelit vurde, ^oväkrl su^lviek den Vor- tkeil, dass bei auk- und nisderstei^endem Lr^umente, vik iw 2teu und 3ten kkoile, die Oinien 2U den Oakleu am linken und reekten Rande der 8oite immer dieselbe Oa^e kaben, velekes durek die bisker übliekon eintaoken Oorirontallinien niekt 2u erreieken ist. 2. Oie Ziffer. Os ist sekou öfter von Ilatkematikern und Astronomen die Lemerkuu^ Avwaekt vorden, dass dik in den Istrien Oeeenuieu 2lode Aevordeueu stark sekattirten und ^leiok koken Ädern, venn auck der Oruek iw Oan^en sivk Kesser aus- uiwwt, bei veitem niekt so Aut ^u lesen sind, als die älteren. Hierzu kommt, dass die neuere ÄLbr leiekt in den feineren kkei- lsn besekädi^t vird, so dass 1 und 4, 0, 6 und 9, 3, 5 und 8 kaum mekr ?u untersekeiden sind, ^uek ist es käuL^ der Kall, dass eine soleke stark sekattirte Oiäor, die okuekin durek ikre ! tiefe 8okvär2v sekou das ^uAv blendet, einen viel 2U ^orin^en veisseu Raum übri^ lässt, dass nämliok die Ädern sovokl unter ! sieb als auok den Oinien, v vleke die 8palten trennen viel 2U nakv steken. ^.lle diese Oebolstäude orsekvereu das ^ufsekla^en und ermüden das ^u^e. Os ist daker eine /^ider genommen, vvleke, nur äusserst veui§ sekattirt, siek der älteren Oorw wvkr näkert, Ikeilveiso über und unter die den Ilau^tkörjier einsekliessenden Rarallellinien kiuve^raAt, den veisseu Oiund uiekt ?u sekr be- deekt und deren Orösse veder r:u klein ist, uw von mittelmässig starkew ^.uge leiekt erkannt 2U verden noek rui gross uw die erforderlieke 2Ivnge in ein mässiges Oorwat briugeu rui können. Oer 8eknitt der i^idsr ist ekarakteristisek versckieden, so dass selbst bei geringen öeseküdigungou, die naeli lan^sw Oebrauekv niebt aus¬ bleiben, uiekt leiekt VerveekselunAen Lu befüreliten sind, ^.uf eine rveekwässiAe Vertkeilun^ des Raumes, den die Oidern und Oinien einnekwen, ist besonders Aeaektet und erst naek vielfaeken Ver- sueken uud wit LerüeksiektiAun^ aller den leiekten Oebrauek der 'Kafolu fördernden Owstände die Oorm der 8eiton test^estellt. 3. Nan Ludet käuÜA in dem IriAonowetriseken kkeile neben den Orad en, Minuten und 8eeunden auek noek eine 8palte, veleke denselben Lo^en in ^vitwaass an^iebt; ebenso iw ersten kkvile noek eine oder ?vei 8xalten für die in Orade, Ninuten und 8e- eunden vervandelte einfaeke oder Lkbufaeke nebenstvkende Oakl, als 8ecunden ^edaekt. Oieses und ^eknliekes ist überall vermieden, t) üoxLritümoraia VI äscimslium aovL tsbul» 8ero!invnsis. Lsrlia, I85L. Vosvvai. VH da die doppelten und dreifaeden ^r^umente, welede in nautiselmu 'dadvllen oder an idror Ltelle sind, ans den eiufaeden Oebraued einer siodenstelli^en 'I'afel medr störend einwirkeu als von I^ut^en sind. DsAeALN ist im 1^" Umile am Dusse der I'afel die doppelte LoAenvorwandlunA des ^rAuments anAexedeu nebst , , sin x , t^ x , , den ImAkrltnmeu von —— und von IO 2u IO deeunden, von 0 dis 2 o 46' 40". Diese letzteren vermitteln den Ileder^anA von Do^ LoAkn 2u DvA Linus und DvA lan^, und sind in der Oeo- davsio von desonderm ^Vertde, wo mitunter lan^o lieednunAeu mit kleinen in der liebel in Leeunden aus^edrüekten Lo^en aus- 2niedren sind, dei weledeu aber vier oder tuns Deeimslstellvn der Leeunde Aowadrt werden sollen. 4. 2ur DrloiedterunA der Interpolation sind im ersten und dritten 'llieiie Diilerenrrtäfeleden dinnuAvtu^t. Älit Hülfe einer kleineren 2i6er ist es ermö^liedt, aued auf den ersten Leiten für Hede ver¬ dummende Differenz ein soledes 'laieleden 2U ^el>en. Diese 1a- feleden ^el>en die Dedntdeilo der ganzen DiöerenL ^onau an, so dass dured sueeessive Addition der Debntel, Hundertel und lau- sendtel der I'roportionaltdeil dis aut die letzte vidier ^eoau sied dereednet, weledes dei der ^owödnlieden DinriedtunA niedt der I' all ist. Die sedr däu6^ verkommende Dinriedtun^, wornaed das DiKerenntäfeloden für die ganrie Oo^ond, wo es plaeirt ist, odne Rüeksiedt, od die Diilereim um eine Dindeii grösser oder ^erinAer ist, r:ur ^nwendun^ kommt, musste als ungenau verworfen werden. ^Venn im dritten Umile die lafeledvn im ^nfan^o, d. d. von 5° an, we^en UanAsl an Raum nur für Differenzen, die um 10 Din- dviten verselneden sind, an^edraedt worden konnten, dann von 5 ru 5, von 3 2u 3 und endlied von 24 Orad an erst für Hede Differenz, so ist der Vortdoil, woledon sie dei der Interpolation ^ewädren, dood um so döder an^usedla^en als andere 1'afoln ^ar l^iedts dieten. 5. Dino dvsondero Aufmerksamkeit ist auf den riedti^en ^nsatr der siebenten DecimalstvIIo verwendet worden. Da der genaue ertli eines Dogaritdmen, wenn er niedt einer Farmen 2adl ^leied ist, nur dured unondlied viele Deeimalstellen ausAedrückt gedaedt werden kann, so betragen die auf die siebente Ltelle folgenden Deeimalstellen notdwendi^ medr oder weniger als fünf Lindeiten der aedten Ltelle. Im ersten Dalle muss die siebente Ltelle um sine Dindeit erdödt werden, im letzteren niedt, damit der I'afel- Z L N 8 s -> v s v a M S c: L L. x^nr 8 S r° v n; -- v 8 ic -S c- -v m 8 e 2 S c- P s v- cv 8 s. c» v- 0 L v L 8 v- 8 v v Ni v v -- v- v v v v Q v L v v M S' s- Z r- 0 v v k- -- k» n S d, S 0 V v v- v cr-r >- 0 O 0 cv S- N cO 2s^ L v S v c- V4 Ni 2 v V -O V N v 2 k- ev s- N L v v rx- L S' S- v cv: kv cv S c: o- cv cv O N v 02 S v cv S n; cn s s e v v cv V e S Z 8 s v r» s S S? < cv cv S v L L N v cv L L V- S S v k o cv v w 8' cv O N -2 S- c^ cv k- k» c- e ko cv cv c- cv V4 cv čr¬ ev v A § v cv s- cv cv c- cv v e- cv cv N cv v 0 S s» cv cv v nr v w O r- i7) v -Z a- d4 c: w v- cv crr; cv cn s- L cr^ cv ß kv cv cv c- cv c> cv cv cr- -2 k- r- S2 cv v cv n c- c- cv L? A- cv cv Z n o c- cv cr^ v cs cv v s cv D c- cr? ks M cv s- ks cv kv cv cv cv c- S cv cv Z ev v S- Z cv cv e- o" cv M cv 8 cv v ps" cv^ 8" S kv Z 8 cv crvr ev <74 S cv c- cs O 8 cv cv O 8 cv kV cv o cv k» kv a-r cv V N cv § O dO O) 8 8 v ks § o v, rr H O «2 § v 3 3 kV v re k- ds v' 3" nr ss 02 ev kv cK' cv L cv v s L) 3 N ko 8 cv H ev l>2 k- cv cv ff cv A: cv S 8 8 O vr s 3 d4 M -j nr -k! L»r 8 ev v s 3 s L n »- M Lc8 cv L - V ' nr cv^ cv cv " 8 cv 3. ci^ 2 kry »- § nr cv v - cv v °» ai; cv V Z-<2 v vs cv !7q 2! 2 « v 2 2 (7- L Z s L b n k- > ° .kV IV 8" n c- 2. k O t—>—« vc k2<74 L cv V v. 8' 0 w >7 Ni V-: V n; ks ro cv 2- c- 8 § O ev cv^ cv § OZ.' cc^ 2. cv Z'°2 a? v- K- 8 - Voawoar. IX sieb Lunäebst darbot , Leigte sieb naeb mebrfaeben Versueben ra Leitrsubend, weil seebs DiilereuLreiben in Ileebnung Lu kieken waren. Oie Interpolation Lwiseben die von 10 Lu 10 Leeunden gegebenen LsbnLiüerigen Oogaritbmen seinen misslieb, da die IIn- sieberbeit der letzten Ltelle bei den interpolirten Oablen noeb grösser werden musste. Os wurde daber der direeten Rereebnung der Vorzug gegeben, um so mebr, als diese bei sebieblieber Anordnung »in sebnellsten und siebersten rrum Oiele fübrte. Zuerst wurden für das gaime Intervall von 0 bis 5 Orad von 400 Lu 400 Leeunden die Oogaritbmen von und bere ebnet; die für diese Oune- tionvn naeb Rötenden von x fortlaufenden Reiben eonvergiren sebr sebnell, so dass man nur vier (Rieder derselben gebrauebt um den Oogaritbmus auf 14 Oeeimalstellen genau nu erbalten. und vier OiKerennreiben genügen nur Interpolation, lüaebdem diese dureb Oitberenren geprüft, und dureb Interpolation auf das Intervall von 100 Leeunden gebraebt waren, wurden die ersten 2ebn Ltellen weiter interpolirt bis auf das Intervall von 1 Lveunde, bierru die ! Oogaritbmen der Oablen addirt, wodureb sieb dis sämmtlieben Linus und 4'angenten bis auf ?ebu Ltellen ergaben. lüacbdew noeb diejenigen der auf solebs ^Veiso erbaltenen Oogaritbmen, welebe sieb auf 499, 500 und 501 endigten, wegen einer dureb die Interpolation entstandenen Onsieberbeit von 1H Oinbeiten auf weitere 3 Ltellen nacb dem ersteren auf 14 Ltellen entworfenen lableau dureb Interpolation bereebnet waren, wobei die vierLebn- ste lügen Oogaritbmen der natürlieben Oablen aus der Origg- > seben Oafel') 2ur Anwendung lcamen, war das Naterial verbanden, ! um jeden in die vorliegende Oafel auf^unebmenden Oogaritbmus mit aller Leliärte angeben 2U bönnen, unabbängig von anderwei¬ tigen Angaben. X'aelidein aber die siebente Oeeimalstslle fest- stand, wurden die vorbergebenden seebs Oeeimalstellen dureb Oif- ksrensen geprüft, und dadureb die Ileber^eugung ibrer Riebtigbeit gewonnen. Our Orlaugung eines mögliebst feblertreien Oruebes sind vor der Ltereotvpie drei Orobeabriüge gelesen und einer naeb den ! fertigen Olatten. Oie beiden ersten Orobedruebe wurden dureb Vergleiebung mit dem Uanuseript beriebtigt, der dritte dagegen dureb Differenzen geprüft um gegen Lebreibfvbler im Nanuseript I) II. Lriggii LrillunocicL logLrirümÜL. I.onilou 1624. X Voawoin. ßesiedert 2u sein. Oudlied ist die lotete Oeoimalstelle mit Oar- diuer, Ladda^e'), Oallet^) und timilweise mitOa^lor^) ver- ^lielien. 6ardiuvr, weleder seine siedenstelliAeu do^aritlimeu edenfalls dured ^.ddürLUNA der LödnstolliAen naed Vlaed ^euom- men, ist sedr vorsieliti^ riu Wrke ^e^au^eu, um die siedeute 8telle riedti^ Lu srdalteu. ^Veun er iu der Vorrede Lu seiner Datei saAt, dass er die letzte 8tellv vou Vlaed vorder dured Oitfereimeu ^e- prüft uud viele Vedior deriedti^t dade, so muss dieses iu der Ddat mit vieler Omsiodt ^esededeu seiu, deuu die VerAleieduuA dat uur rwei Oälle ergeben, wo die letzte 8tello uiodt ^aur riodti^ Lu^eset-rt ist, näiulied: loZ 52943 und Io§ eos 24 ° 55' ZO", welede Lu 7238086 uud 9.9575404 auAOAedou, deido um eine Oinlmit der letriteu Ltells Lu ^ross sind. Oer genaue "VVertd dieser Oo^aritd- meu ist 7238085 4683559 uud 9.9575403 4999866. Diese 8orgfalt, welede sieli aued auf deu^eni^eu Umil ausdedut, weleder die Oo- Aaritdumu für ^ede Leeuude vou 0 dis 72 Niuuteu eutdält, sedeiut dei deu spätereu Ooardeiteru vou OoAaritdumu-lafelu uiodt die verdiente ^Vürdigun^ gefunden Lu dadeu, eudlied so^ar völlig iu Vor^essendeit ^eratdeu Lu seiu, wie tdoilweise aus deu /iu Sätzen erliellt, welelie dis späteren ^us^adeu dos Llardiuer erdaltou dadeu, tdeilweise daraus, dass uaod dem Orsolmiuou des Ilm- ssurus loAaritdiuorum, vvoriu wie sedou erwädut, nur wenige OoAaritdmeu des Via eie deriodti^t, die meisten unverändert ad- Fedruelct sind, die lleraus^eder vou tafeln sied diernacli rielitetou, entweder die Milm einer seliarfsu Xritid selmuoud oder verdlen- det dured die ^udündiAunA des Dreises von einem Oulcaten für ^ede fedlerdafte 8tolle, wädrend deine der früimren lafslu etwas ^ednlieiies gewagt datte. dlur Iiierdureli lässt es sied erklären, dass in neueren lafolu niedrere OvAaritlnueu auf den fedlerdaftou ^Vertli, wie er aus Vlaed sied er^iebt, Lurüekgefülirt sind, uuAe- aedtet solede im Oardinor rieliti^ sieden. Leispiele sind: 1. der log sin von 2 ° 29' 50", dessen genauer Vortd 8,6391970 5001389 ist, und dessen 7 te 8 teils von 6 a r d i n e r sedr riedti^ als 1 auKe- ^eden wird. Os aber in Vlaed und Ve a der LedustolliAe Oo- Aaritdms Lu 6391970 499 angegedeu ist, so ündet mau iu den ueus- reu 1'akeln uud auod im la^lor 0 als siedeute 8telle. 2. Oer 1) l'Ldlv of lobaritüias. üui,6ou 1826. 2) Tsbles portatives 6s logsriräiues. kari« 179S. kue<;v 1821. 3) Ules os logsritäius. Nonäon 1792. Votnvoiti. XL log taug von 5° 7'40" ist 8,9529682 4994086. via ob unä Vega baben 9529682 501. Oaräinsr giebt als 7ts Ltolls 2, äiv neue¬ ren Dasein inol. Datier äagegen 3. 3. Der log tang von 7 ° 23' 50" ist gloieb 9,1133684 5003401, also 5 äiv riobtigo siebente Ltelle. Vlaeb unä Vsga aber baben 1133684 499, wessb^b äiv neueren Dasein unä auob Da^Ior 4 angoben. 4. Der iog taug 7° 59' 0" ist 9,1468849 4989462 also 9 in siebenter Dnärntter. V o g a unä Vlaelr baben 1468849 501 unä äis neueren Dasein setzen 6 ab er 50 als letzte Lieben. 5. Der log siu von 20° 9' 0" ist 9,5371628 5003911, äagegen in Vlaolr un<1 Vvga 5371628 499. Oaräins" giobt 9, äie teueren 8 an 4er siebenten Ltelle. Die iin äabre 1770 2U Avignon veranstaltete Zweite ^.u6age äes Oaräinsr entbält äusser äen sämmtlieben Dogaritbmen 6er ersten ^.uüsgs, äie obne ^.bänäeruug ausgenommen wuräen >), äie log sin Mr ^eäe Leeunäs von 72' bis 4 Oraä, unä äie log taug tur ^eäe Le- eunäs rwisobsn 0 unä 4 Oraä. Die Dogaritbmen äioser Erweiterung baben niebt äen Oraä von Lebärte, wie äis aus äer älteren Datei nber- noininenen, wennglsiob ibnen eine Oenauigbeit niebt ab^uspreoben ist, belebe immer noeb äen späteren Dasein batte rium Nüster äienen bönnsn. Die Vsrgleiebung ergab nämlieb 22 um eine Diubeit sebler- batts Ltsllen unter 22032 Dogaritbmsn. Diese bei äen Ausgaben baben Orossc^nart - Dormat, weiebes tur äen Oebraueb etwas unbequem ist. ^.us äiesoin Ornnäe unä veil äis Oaräinersebsn Dasein anLn- gen seltener riu weräen, bearbeitete Oaiist eine neue logaritbmiseb- trigonomstrisobv Datei, wsiobo, in äer Otbein von itirmin Diäot gsäruebt, äis erste war, bei welolior äer DIattenäruob versnobt wuräs unä 2ur ^nwsnäung bam. äusser einer langen Einleitung über äis Lsreobnung unä ^nwenäung äer Dogsritbmen, äusser Dakelu äer natürlioben Linus unä Oosinus, Dan^entsn unä Oo- tanAonten, äen Xepersoben unä Lri^iseben Do^aritbmsn äer Labien aus 20 unä 60 Deoimalstellen, tanäen äis sämmtliebvn DoAaritbmsn äsr ^.viAnonsoben ^us^abs ävs Oaräi n er ^utnabme. Die letzteren vuräen noeb äabin elnveitert, äass äis IoA sin unä log lang von Leeunäs rm Leeunäs, velobe äis ^vignonsobe Ausgabe bereits bis 4 Oraä entbiolt, noeb um einen Oraä weiter bereobnst unä binLugelrigt wuräsn. Hierbei ist aber äer äureb Oaräiner vingstubrte Oraä von Osnauigbeit gäu^liob äusser ^obt gslasson. I) Linice vrucktekler, vvleds in äen 29 .lainen iNre-, 6vl>rauel>es entdeckt «Lre», viu-Zen bericktigt, voxegeil viele neue vraclvkelrler entsi^näen kinä. Voawoar. XU Dino Vergleiobung mit diesem Dboiie, weieber 6480 DogaDtbmvv ontbält, weiebe in den Ausgaben dos Oardiner niobt vorbvin- wvn, ergab 1368 Dogaritbmen, bei weioben die lotste 8toüs um eine Rinboit seblerbast angosetrt ist. Rndliob wurde noob die Lndsitfor sämmtliobor 36000 lmgarilbmoii der Zweiten ^btbeilung mit Datier, weieber binsiebtlieb der Oenauigicoit der ündsiKer gvwöbnlicb als Auster ausgestellt wird, vergiieben, uud ^ede Dif- serenr, weiebe sieb dabei ergab, oiuei besondern Dntersuebung unterwoDen. Ilioruaeb ergaben sieb 35 Düllo, iu weieben die lotste 8toile bei D'a^ior um eine Dinbeit unriebtig ist. Darunter sind 19 mit den seblorbaston Zugaben der Ausgabe Avignon übereinstimmend. Die Vorgleiebung der Dogaritbmen des ersten Dbeilos init der ttussorst sorgfältig bearbeiteten Datei von Dabbago, in welober ruerst Drundsätne über die Oonstruetiou von Dasein ausgestellt werden, ergab einen Dail, nämiieb den Dogaritbmus von 52943, welober wie bei Oardiner um eine Dinbeit 2u gross angesotst ist. Derselbe Rebler ist auob in Oallet, Datier, Delambre und andern Llteren Dasein, ollenbar weil alle die Angaben dos Oardiner obno weitere Disoussion abgesebrieben baben. Dio erste (lorieotur dieser Datei ist von dem Rogiorungs- Ovometer Herrn Dautensaeb gelesen morden, die rivoilv von dem Ltudiosus der l^aturwissensebaston Derrn Ooldsmmer, eine dritte Revision von mir naeb Ditseren^on. Daeb der Ltoreot^piv baben sieb in die Riatten-Revisionen getboilt dio Dorren Volb- mann, gegenwärtig /Astronom in 8an Dago und Roob, Ditttar in» Ministerium für Dandoi. LerDn. SüLMKLK. LINDLUDNO. Div 8ri^A'seirvn 8oALritIunen, ^vvieiiv Lis DrlviviitvrunASinittvi irsi ^.usfuiirun^ ^rLsserer numvrissiivr Rvsiiuun^sn Lusseiilivssiivii ^virrLuvirt vvrävn, sinä läx^iouvntsn 6sr 2siil 10, ävrvn ?cUenrsn ävn ruAviiöriAvn /^rriilsn Aiviolt sivci. 8inä nLnilieir L unči ir äiv IrvAaritiunen ävr Xrririvn unä L, so lini uran äiv 61sisluiut;vn 10- — unä 10" — 8 oävr io^ — n unä IvF L — d unči äiv 8v!rrv von cis n 8otvn?vn unči 8o^Lriticmvn leitet irivrsu» äre uLviiskviisnävu Oisiciiun^en ali -t - - lO't '-^ .VV, 10"-" — -^, 10-° —.V, 10°---i ^. ocier loALiitirmisvii ^vsvirrivirvit: 1ox ^8 — L -j- ir, io^ — L — ir, ioA — L s, io^l vorsus inLN sislit, ässs väin§t, äass 2Ü ^väer ^vZvirenvn 2säii ävr rinAviröritzv 8oALritinne init 8vioirt!§1r6it Avfunäsn rvvräen irann, unä 2U ^vävin ^vAvirvnvn Iiy^Lritiiinvn vvivävruin äie 2U§v- iröriAv ^rcici, n'visiiss 2» vernrittvln ävr Xvvvsir ävr 8o§Lritirinen- tntsln ist. ^us äivser lLrlciörunH- ävr 8oALritirmen, v-eiviic, für äen pra^tiseiivn 8veirnvr voilironnnvn ausroivirenä unä ülrornii mLass- »vironä ist, foi§t nun kvrnvr, äass XIV Lnn.errr«o. ALnro Labl ist. Von allen übrigen Lablen ist 6er Logaritbmus vino ganze Labi (6barabteristib oder Liennziöer) mit angebängtem Deeimslbimeb (Nantisse) und dieser Oeeimalbrueb bat die Ligen- tbümliebbeit, dass er nie vollständig liingeselirioben verden bann, voi! er obne Lndo fortgebt. (Ilüeblieber^veise kommen aber nur selten lälle vor, in ivelelien die Xenntniss von inelir als sieben Deeimalstellen dieses Li-uebss erforderlieb väre, in der Regel genügen sogar vier oder fünf Ltellen unr eine 2a/ti, Ae.;»e^ ck- en In der ersten mit H (nnmerus) übersebriebenen Lpalte sind ! die Webner einer vorbeie^ten fünf^iileriAon 2abl auf^usuoben und in der Horizontal - Heibe desselben bl dis bliner. Die vier letzten Äüern des ImHaritbmen sieben nun da, ^vo die Ilorizontalzoile, velebe den Webnern entspricbt, mit der Vertier' Oolumne der i Liner zusammentriül. Oie drei ersten LiMim des Lo^aritbmen sieben in der mit 0 übersebriebenen Oolumns und sind für sämwt- liobe silbern derselben Horizontalreibs Aomeinscbaftlicb. Lind diese drei Lillern niebt anAe^eben, so gelten die vo rb ergebend en, oder Lnmrliuxo. XV bat die erst« der vier letzten Liüero einen 8lric.il , so gelten als erste drei Nissern die, velobv in der nunäobst folAenden Leile steilen. Ls sei 2. B. der DoZaritbmo von 24818 2U »neben. Zinn Avbo LaA. 35 in der ersten Vertioal - (iolumno bis 2481 bereuter und nun boriüontal naeb reobts bis in die mit 8 iibersebriebeno 6olumno. liier bildet sieb die Lab! 7668. Diese vier letzten Widern verden mit den in der Oolnmne 0 ein drei teilen trüber «tobenden Lidern 394, velobs für in obrere Leiten dieselben blei¬ ben, Zusammen gelesen, vodurob inan 3947668 erbält. Die Xvnn- nidor, velobe in der Intel uiobt init anALAeben ist, ist dureb- Fsbends 4, daber der LoAaritbmus von 24818 — 4,3947668. Hätte man den ImAaritbinus von 24833 2U suobon, so würden die vier letzten Lidei-n 0292, veil die 0 init einein 8triebe verseilen ist mit den ersten drei 395 ?n verbinden sein, daber IvA 24833 — 4,3950292. Lat die vorAelvAte fnnt^iöeriAe Labi noeb Deoimal- stellon, so vird init diesem Doeimalbruob die Didorens der DoAa- ritbmen multiplieirt, und das Lroduet ru dein LoAaritbmus der Aaimon Labt addirt. ^Väre 2. D. die vorAvleAte Labt 24833,73, volebo Llvisebon den Fanden Labien 24833 und 24834 likAt, so vlürdo inan die DoAaritbmon dieser letzteren Lablon von einander absieben, also 0467 — 0292 — 175 und diese Ditierens mit 0,73 multiplieiren, vodureb man 128 erbält. Diese 128 sind alsdann noeb rin dem DoAaritbmon 4,3950292 mi addiren, so dass man 4,3950420 als den DoAaritbmon von 24833,73 erbält. Lur Lr- IkiobterunA dieser Nultiplioation sind tnr ^'odo der auf der aufAv- seblaAenen Leite des iiuobes vorbommenden Diberonrivn bleine lätoloben beiAeiüAt, v» «lebe in der mit Ib D. spsrles ^ro/-or/ioir«7es) übersebriebonen 8palte unter einander stoben. Diese lafeloben Aöben die Lebntol der AanLSn DitieronL an, voraus sieb dann leiebt aueb die iiundertel, lausendtsl ete. ergeben. In dein vor- Asle^ten Lalle bommt das mit 175 tibersobriebeno Läfelobon rur ^nvendunA, und man entnimmt aus demselben für 0,7 .... 122,5 - 0,03 . . . 5,25 Zusammen . . 127,75 vovon die Deeimaltboile ivsAAelassen verdon, mit LrböbunA ^edoeb der letzten Litker um eine Linbeit, venn der fortbleibende Deoimal- bruob mebr als 0,5 beträgt. ^.us den DoAaritbmen der fünbliberiAon Labien lassen sieb XVI Lnll.riruKO. I aber selil' lsiekt die aller Übrigen Zalileu Luden, 6» soleks nur ' iv der Kenn^iffer voll jenen versekieden sind. Dätte man 6. dell Dogaritkmen voll 24,83373 ru sueken, so würde wan den Dogaritkmen voll 24833,73 neknien, und davon den log 1000 ab- 2ieken. Da letzterer — 3 ist, so erkält nian log 24,83373 — 1,3950420. Lben so ist log 248337300 — log 24833,73 -j- log 10000 — 8,3950420. Ist dio gegebeoe Zakl ein äekter Druck, 2. L. 0,06103, so Ludet siok nut Dag. 108 der Dogaritkmv vor. > 61030 — 4,7855434 und wall liat alsdann log 0,06103 — r8ä8A8v — log 61030 — log 1000000 — 4,7855434 — 6. Dieser Doga- ! ritkins wird negativ — — 1,2144566, wofür jedoek der bequemeren Reekllung wegen 8,7855434— 10 gesekrieben wird, so dass die Nantisse als positive Zakl in die lleeknnug eingekt. Iw ^llge- ! meinen wird mau datier aus jeder vorgelcgten Zakl, entweder dureli ^nliängen voll KuIIen oder dureli ^bsondern der erstell fünf Ziffern, eine füntUfferige Zakl' bilden, da^u dell Dogaritkmen ill der Datei anfsueken, und dis Kennziffer uin eine Dinlieit ge¬ ringer nelilliell, als dis lVn^akl der Ziffern der vorgslegten ganzen Zakl beträgt. Die Kennziffer eines äeliten Lruelies wird erkalten, wenn inan die ^nriakl der naek dein Komma des Deeinialbruekes folgellden Kallen von 9 ab^iekt. 6e§eöea er» Dox«rr7/im«.<, ffre ^aAe/iörrAö Xn/i/. Ist ein Dogaritkmus gegeben und soll die rugekörige Zakl gesuekt werden, so sueke man Zuerst die drei ersten Ziffern der Nautisss in der mit 0 übersekriebenen Lpalte, alsüLun in den mit 0, 1, 2 ... übersekriebenen Oolumnen diejenigen vier Ziffern, weloks rumäekst kleiner sind als die des vorgelegten Dogaritkmen. Hierzu entnillimt man aus der Vertieal -Dolumne K, die auf derselben Zeile, wo die vier letzten Ziffern gefunden werden, stellenden vier ersten Ziffern der ZaKl und die Koptaakl der Vertiealspalte als fünfte. Ist s. 13. gegeben der Dogaritkinus 2,5833980, so Lu¬ det mau auf 8eite 62 den Dogaritkinus »833915, wsloker ?ur Zakl 38317 gekört. Die Differenz ^wisekell dieseni und dein näekst- tolgenden Dogaritkllien ist 113, die Differenz aber rnit dein gegebenen Dogaritkmen ist 65. Die auf die fünfte 8telle der gefundenen Zakl folgenden Ziffern werden nun gefunden, wenn inan 65 durek 113 dividirt, und awar eine 8telle, wenn dieser Druck 10mal, 2wei 8tellon, wenn er lOOrual, drei 8tellen, wenn er 1000mal genommen wird, klekr 8tellen 2U nekinen würde Limrnvrro XVll Civilis nütren, weil die dritte sekon unsieker ist. Diesv Division wird aber durvk das Ditkorenrtäleleken 113 erleiektert. Kimmt man aus demselben das xunäekst Kleiners Kiekuts! 56,5 wolskem 5 entsprießt und 2iekt dieses von 65 aß, wodurek man 8,5 erkält, so Fsßt msn mit dem Keknlacken klervon, also mit 85 nieder in dasselbe lateleken ein, erkält 7 als rweite Ltells mit der Diö'erens 85 — 79,1 — 5,9, mit dessen Kekntackom, also mit 59 man 2um Drittenmal einAekt, um nook 5 su entnekmon. Die auf die ersten tunt KiK'ern tollenden sind also 575 und die sämmt- lieken Kittern der rm suekenden Kaki 38317575. Da der AtzAsbone DoZaritkme aber die Denn eitler 2 Kat, so ist das Komma naek der dritten Eitler 2u setzen, dakor die Aesue.kto Kaki selbst — 383,17575. Die Okarakteristik könnte übrigens ^edo beliebige andere sein, das ^lufsuokon der Kaki würde dook immer dasselbe bleiben, und nur das Komma würde eine andere Ltelle erkalten. ^Väre 2. L. Avgeben der Dvgaritkmus 9.5833980, so würde die 7,u^eböilAL Kaki aus xokn Pitlern besteken. Da aber 7u der §o- ^obouen Nantisse nur die obigen aekt Billern der r:u suekenden Kaki Sekunden werden können, so müssen noek 2woi Kellen an- ^ekän^t werden, wodurek man 3831757500 erkält. ^Väre Aeroben 7,5833980 — 10 als Do^aritkms, so würde dis ruAeköriKS Kaki — 0,0038317575 sein. Dis Lereoknun^ dos Droportionaltkoils, welekv bei sini^er IlebunA und mit Dülls der Ditl'srsnxtäteleken leiekt im Kopte ^omaekt werden kann, so dass keine andere Kali! als die 2U suokendo wirkliok nesekrieben wird, stellt sieb dem- naek so: 6egeboner I/vAsritUmus . . . . br. 2skl z8z,l7 .... viffereuL äem Liktsreur - lAeloKea uz 5 . . ksrasr. 7 - - - - - -5 - Lesuelits 2Ll>I -- 585,17575 llesü^liek des Kooknens mit Dvtzaritkmen ist 2U bemerken, dass Kalls vorkommen können, in weloken von einem Do§aritk- mus wieder der Do^aritkmus su nekwen ist. Dat man 2. L. eins Kaki mit einem violrättsriAon Exponenten 2U potensireu oder dis ^Vursel 2U nokmen naek einem Exponenten, der aus vielen Killern LusammevAssetLt ist, so würde der DvAaritkmo der ^e^obensu Kak! mit einer andern grossen Kaki 2u multiplieiren vdor 2u divi- diren sein, welekes wieder am Kesten mit Dog-aritlimen ausAotükrt r,;bzzy8o r,5»ZZ9-5 bZ Zb.5 «5 79,- L XVIII IIl>'I.LlrNXO. vird. Ills erstes Reispivl möge die 2abl 23,90087 mit 1,1087023 potenrii-t vordem Oer Rogaritbme vor» 23,90087 ist — 1,3784137. Da derselbe mit 1,1087023 Lu multiplieiron ist, so nobwo man von beiden Jablon die Dogaritbmen, nämliob log i,Z784-Z7 °,iZ?Z7yS lox 1,108702z — O.O448149 lOZ 1,5282504 — 0,1841945 und LU der Lumme 0,1841945 suebv MSN die 2abl 1,5282504 auf, velebe der Dogaritbme der gesuebten Ostens ist. Oiess ist dabor -- 33,748186. Hätte wsn als Lveites Beispiel die 7,001705^ "Wursel vom 0,791 su nebmen, so vürde der Dogaritbme von 0,791 also 9,8981765 — 10 mit Wensin ^VurLtzlexPonenten LU dividiren sein. In diesem Ralle ist aber der Dividend eine DiäerenL, und es vird eintaeber, den negativen Dogaritbmus bersustellen und su dividiren, als den Uinuend und Lubtrabend ^eden besonders Lu dividiren und dureb Lubtraetion der (Quotienten einen Oafel-Dogaritbmus bersustellen. Oer negative Dogaritbmus aber ist — — 0,1018235, und man bat dabor log 0,10182z; — 9,0078480 — 10 log 7,00170; --- 0,8452058 log 0,0145417 --- 8,1626442 — 10 2u der Oiüerens 8,1626442 —10 ist die sugebörige Tiabl 0,0145427, velebos der Dogaritbmo der ^Vursel ist. Dieser ist aber negativ, vsil er dureb Division eines negativen Dogaritbmon dureb eine positive 2abl entstanden ist; daber ist der Oatel-Do- garitbms -- 10 — 0,0145427 — 10 -- 9,9854573 — 10 und die LUgebörigo 2abl — 0,9670687, volebes die verlangte ^Vursel ist. R^RRD II. Dm LU einem innsrbalb der ersten tuns Orade listenden Lo^en den log sinus oder log tang su orbalton, oder den log eo- sious oder log ootangente su einem innerbalb 85 und 90 Orad liegenden Logen, bedient man sieb gvvübnlleb der Rafol II, Rag. 188 bis Lag. 287. Dieselbe entbält auf der linlcvn Leite des aufgoseblagenon Rucbes die Dogaritbmon der Linus Lvisebon 0 und 5 Orad. Orade und Uinuten stoben oben, die Lobenden am linbon Rande. Diese Dogaritbmon sind Lugleieb die der Dosinus dos (lomploment - IVinbels, für velebon die Orado und Uinuten unten stoben und die Lobenden am reebton Rande. 80 knirsirvxo. XIX ist der !of sin io 11'46" navb Leite 210 — 8,3196173, velebvr fleiob^eidf LUeli der lof eos von 88° 48' 14" ist. Dio reebtv Leite des aukfoseblafsnsn Buebes sntiui.lt der fansi fleieber Din- riebtunf die Bofaritbinen der Banfenton, 2 viseli en 0 und 5 Drad bei absteifsndein ^.rfumonte, und die Bofaritbinen der Lotanfsn- ten riviseben 85 und 90 Orad bei auksteifendom ^rfumento. (?öAe-6K er». B0A6», Ae§Ac/r< ckssen I,oA sr» ocker LvA Mr ^sdo volle Leeunde sinä die lvf sin und lof tauf un- inittelbar anfsfeben. Lind Bbsile von Loeunden föfeben, so vird cler Broportionaltbeil auk dieselbe ^.rt bereebnet vio bei den Bofaritbmen der šablon. 2u dem Uncle vrird der der vollen 80- eunde des fOfebenen Bofens entspreebende Bofaritbins von dein kolfenden, der näobst kolfvnden Leeunde entsprs oben den abfv?o- Aen, oder dieser von Hensin, die Dilkorenr: init dein Lruobtbeil der Loounden inultiplioirt nnd das I'roduct ?u dein ersten Bofaritbinen addirt oder davon abfS20f8n, je naebdern die Dofaritbinon vaeb- sen oder abnebinsn. Das erstere ist liier l>ei absteifsndein ^.rfu- inente der Ball, das letztere bei aukstsifendein. r^Is Beispiel sei der lof sin von 2" 19' 49 "71 fesuobt. ^ukBaf. 234 Ludst inan Lunäobst den der vollen Lsennde entspreobonden lof sin — 8,6091653. Die Dilkerenr: init dein kolfsndsn Bofaritbrnon ist 518, velobo init 0,71 inultiplioirt 367,78 fiebt, vokür 368 ?u nelnnen ist. Dieser Bro- portionaltbeil rar dein vorigen DoAaritliineu addirt, Mislit 8,6092021 als den ^esuvliton loZ sin. Hs Lvsitss Beispiel inö^e der log eotg 86° 53' 11 ",374 Ae- suelit werden. Dis den ^esneliten BoZaritlnnen einseliliesssnden sind nasli Ba^. 251. 8,7355695 und 8,7355307 nnd deren DiKe- ren2 ist 388. Nan rnultiplieire dalier diese letztere init 0,374, und snlitralnre das Broduet — 145 von dorn ersten dieser Bo^aritlunen, veil solelis kür steifendes ^rfuinsnt alinvlinien. Nan erlrält da¬ li er 8,7355550. Ist ein lof sin oder lof tauf fsfölien, und der LUfeliörife Bofen durolr die Bakel D. -in suelien, so ist das Ver- kaliren fenau dasselbe, als venu -in einem fefebensn Dofaritlunen die 2ald fesuelit vird. Nau snelit in der Bakel den näelrsllleino- ren oder näelistfrösssron Bofaritlnnen, naelidsm die Bofaritli- nien rnit dein Lofen vaebsen oder abnelunon, bildet die DiZerens 8 vis eben diesem und dein ftzfebenen Dofaritbinen und dividirt dieselbe dureb die faorie Di deren?. Ilierdureb erb ält man Brueb- tbeilo Leounden, vrelebs sur vollen Leeunde dos^enifvn Bofaritb- XX bnmrivimo. MM, von dem inan ausgegangen ist, biniiugotügt vorclen. Ls sei 8,5139150 als log eos gegeben. Oer näcbstgrössere Datei-Ovga- ritbme ist naeb Lag. 224. 8,5139642, dabor die OiLerens Mit dem gegebenen —492. ^'ird diese dureb dio ganre Oiü'eronir —645 dividirt, so erkält man 0,763, vslobo rrur vollen Leeunde 43 bin- rukommen. Oer gesuobte Logen ist datier 88° 7' 43 ",763. Ist eine Leebnung Mit kleinen innerbalb der ersten 30 Älinuten listenden Logen durob^utubren, Mit der Ledingung, dass die siebente OeeiMalstelle der Logaritbmen völlig sebark beibebalten verds, vis solebes in der böberen Osodaesie verlangt vird, so Müssen bei dem Ilebergange von Logen su log sin, log tang oder umgekebrt trink Oeeimalstellen der Leeunde in Leebnung gebraebt vordem Oie 2ln- vendung der Dakel II. vird alsdann sovobl vegon der bei Lerecb- nung der Lroportionaltbeile vorkommendon »rossen Llultiplicalio- nsn und Oivisionen als auob desbalb unbequem, dass rveite Oik- kerennen nu berüeksicbtigen sind, vesbalb die L.nvendung der Datei I. vorruräeben ist. Hin mit Hübe derselben einen log sin oder log tang ru Luden, nimmt man den Oogaritbmus des in 8s- cunden ausgedrüekten Logen und addirt daisu die am Lusss der Leiten angegebene Xabl 8 oder deren gemeinsebaktliebs rVn- tangs-iSern 4,685 sind. Ist :s. L. «u dem Logen 22' 57 ",7083 log sin und log tang -in sueben, so nimmt man naeb Lag. 13: i<>8 >Z77,7°8z 8 22' 58 1° 22 58 lo^ «>ini» lox 5-IZ9-Z7Z 4,6855716 4,685581z — 7.8247289 -- 7,8247586 vo bei der Interpolation der Xabi en 8 und 1' nur die ganzen 8ocundon in Letraebt kommen. VdLrs der Logen 137",77083 ge- goben, so vilrds man den log Logen ebenfalls naeb Oa^. 13 neb¬ ni en, die Xablon 8 und 1 aber naeb OaA. 2 mit dem Argument 2' 18". Nan vürde also baben: loa -87 ,77°^Z - -,1591578 8 2' 18' -- 4,6855748 1° rb' — 4,6855749 loz siaus — 6,8247521 log tsvA -- 6,8247522 Ist UMAvkebrt ru einem loA sin oder 1oA tan» der LUAoböriAe Lo- Aon Aosuebt, so entnebme man Zuerst aus laksl II. den miAebö- ri^en Ilo»on in ^anrien 8eeunden, und liieren dis Xabl 8 oder 1. Diese vird von dem ASAebsnen OoAaritbmen ab^enogen und ?n dem Rest die Xabl snigesnobt, velebv dann den verlangten Logen taxrrillnm. XXI in Leounäen ausärüokt. Ls 861 2. L. 7,1690522 als log tg.nA gs- geken. Raek Dag. 189 liegt äer ^ugekörige Dogen ^vviseken 5' 4" unä 5' 5". Die Laki 0' ist also nack Dag. 3 — 4,6855752, äaker loz tai>^.7,ibyll;rr I Z' 4' > > - 4,b8?575- u«st .2,4834770 ra^eköriZL Halil, . 304,4127 oäer .4^,4227 Dg kei äiesem Vertakren äie 211 kenut^enäen Lakien »ul svcei oäer gar ärei versekieäenen Leiten aut^usuelien sinä, so ist ?ur rVkkür^ung gut Dag. 575 eine Datei kvigetügt, voraus Kis 35 Mi- nuten alle Dekergänge riviseken 8, Dogen unä log sinus, ekon so ^viseken D, Dogen unä log tang aut eine leiektere ^Veise entnnm- inen veräon können. Lei grossen geoäaetiseken Reeknungen virä äieselke ans äem Ducke kerau »genommen, aut starkes Datier aut- ger:ogen, unä als Ilültstatel kenntet, so äass äusser äieser Datei nur äie Dogaritkmen äer Dogen gekrauekt iveräen. Derügiiek äer Lim-iektung äieser Datei ist ?u kemerken, äass äie Laki 8 — 4,6855749 Kis 1'39" unä log sin — 6,681 gilt. Von 1'40" resp. von 6,682 an gilt gieivk äie toigenäe 4,6855748. ^.iie ükrigen 8 entspreeken äen keigesststen Dogen unä log sin genau, so äass kei einein Dekergänge vorn Dogen oäer log sin mir Laki 8 äas- ^enigo 8 genommen virä, velekes äem gegekenen Dogen oäer log sin ain näeksten liegt. Dasseiks Verkäitniss ünäet kei 1 statt, so äass init ^usnakme von einigen äer letzten 8 unä D, veleko nin 10 Link eiten vaeksen, ^eäv Interpolation vegtallt, äa ein Diiek in äie Datei genügt, nm okne weiteres äas verlangte 8 oäer D aus ikr 2U entnekmev. D/1DDD III. Diese Datei entkäit tür jeäe 20knie Leeunäe äes i^uaäranten äie Dogaritkmsn äer 8inus, 6osinus, Daugenten unä 6otangenten. Von 0 Kis 45° stellen äie Oraäe am Xopto äer Datei, äie Minu¬ ten unä Leeunäen, kerieicknet äurek ' unä ", am linken Dancis unä es gilt äie Dekersekritt am Lopte. Von 45 Kis 90° stsken äie Oracle unten, Minuten unä 8eeunäen am reckten Danäe unä es gilt äie Dekersekritt am Lusse. Diese siok gegenüker steken- äen Argumente ergänzen siek 2u 90 Oraä, unä äie 8inus unä Dangenten, ä. k. äeren Dogaritkmen, eines ^Vinkels üker 45 Oraä sinä ekentalls äen 8inus unä Dangenten seines Oomplemvntwinkels . -.. XXII gegenübergestellt, weil ^ono von diesen und diese von ^'enen gleiob- roitig beriobungsweise die Oosinus und Ootangenten bilden. Oer 8)'mmotrie wegen stellt runäebst dem Argumente der Linus, dann die Oangonte, dünn die Ootangente und ruletrt der Oosinus, und da kür den Oomplementwinbel dieselben Dablon, aber in umgebobr- tsr Ordnung gölten, so stellt wieder dorn ^O-gumente runäobst der Linus, dann 'I'angente, Ootangente und Oosinus, wie es in den Oeborsobrikten am Ivnpko und Russe ru erselien ist. Oie Oilkoren- 2SN ^e rweier Oogaritbmen stellen beim Linus und Oosinus roobts neben demselben auk der ^wisobenreile, und sind mit d (dilkeren- tia) übersobriebeu, bei den 1'angenton und Ootangenten rwisoben diesen Leiten und ebenfalls auf der Xwisobonreilo mit d. e. (dik- kerentin eommunis) übersebrieben, veil diese OiKerenr kür beide gilt. Oie Linus und Oosinus sind kür den ganren Quadranten und die langentvn rwiseben 0 und 45 Lobte Rrüobo, deren Oogaritbmen also negativ. Oie OonnriKor derselben und die Nantisse sind ^'odoob überall positiv und so angesetrt, dass noeb —10 ru ergänrou ist. Lei denOangonton von 45 bis 90 Orad dagegen källt diese Orgänrung aus. <7eAeö6-r ei» I0r»4e/, k7esso>r K-rus fOoAarr7^MAS Oa nur kür ^ede reimte Leeunde der Linus unmittelbar auge- geben ist, so muss kür die Diner, Debntol und Hundertel interpo- lirt wordon. Dieses gesobiebt wie bei den Oogaritbmen der sauren Labien, indem der die Diner, Debntel und Hundertel bildende Oe- oimalbruob mit der Oiikerenr multiplioirt, und das Droduot rn dem den vollen Debnern entspreobenden Linus addirt wird. Os werde 2. B. der Linus von 18° 51'27",21 gesuobt. Oer Linus von 18° 51' 20" ist 9,5094491 und die Oilkerenr 616. ^Vird diese mit 0,721 multiplioirt, so erbalt man 444, wolobe ru 9,5094491 binrmgolegt i den verlangten log sin nämlieb 9,5094935 geben. Oie Loreobnung dieses Droduots wird, wenn man niobt lieber eine lakel der Dro- portionaltbeile') nebenbei benutzen will, durob die am Rande sie¬ benden Oilkerenrtäkelobsn erloiobkert, von weloben bier, da niobt kür Hede Oiöerenr ein solobos 'Oakeloben bat angobraobt worden bönnen, das von 614 genommen werden bann. Dieses läkeloben giobt kur 0,7 ... 429,8, dann kür 0,02 ... 12,3 und kür 0,001... 0,6 Zusammen also 442,7. Oa aber 616 die OiKerenr ist, so ist noeb 0,721 mit 2 ru multiplioiren — 1,4 und ru dem vorigen ru addi- 1) ürsiuLer, Utol äer kroportionsltbeile. üorliu 1843 bei üercinanc! Oiimmier. Lmi-rrrvim. XXIll ron, vodurob man den Droxortionaltbsil 444 erkält. In gleicbor 'Weiss bätto man das auf der linken Leite siebende läfeleben 617 benutzen können, daraus 444,9 erkalten, vmvon noob 0,721 rual 1 also 0,7 abriurieben govosen värv, so dass das Resultat sieb ebenso ergeben bätte. einem Ae^eLenen epiLen IDinbe/ die bbnAen/e ««KAsne^en. Dio Dogaritbmen der langenten sind ebenso, vio die der Li¬ nus, vou 0 Kis 90 Orad beständig iiu 'Waebsen bogriilon, so dass der Droxortionaltbeil ebenfalls addirt vird. Dio Rereobnung dos- selben vird genau ebenso vno beim Linus, durok Nultiplioation der ganzen Diöeren^ mit dem aus den Kunern, Zebnteln und Hun¬ derteln der Leeunden r:u formirondon Deeimalbruobe ausgefübrt, ^vobei in Xrmangolung kesserer Ilülfsmittel die Diilorenstätelobvn benutzt werden können. ^VIs Reisxiol möge der Dogaritbmus der tangente von 56 o 22' 3",89 gesuobt verden. ^.ufDag. 491 erkält inan sunäobst die den vollen Zöllnern von Leeunden ents^reekende langende — 0,1770234. Vie Didbronr: mit der folgenden langente, lvsleko vegon des aufstoigenden Arguments üker jener stekt, ist 457. Nan gekt daker mit 0,389 in das mit 457 übersebriebeno läfeleben ein, entnimmt aus demselben naek der Heike 137,1, 36,6 und 4,1, Zusammen also 177,8, volur in runder Zakl 178 genom¬ men Yverdon. Diese 178 su jenen 0,1770234 bin^ugslegt gekon 0,1770412 als die gesuokte langente. Dierboi darf bemerkt >verdon, dass ein einigermasssen geübter Reobnor die Leroebnung der Droportionaltbeile mögliobst Kur2 ak- maekt und namentliek keine der im letzten Roisxiel angefübrton Zablen, mit ^.usnakmo des 2U suekenden Dogaritbmen ^virklieb binsebreibt. Derselbe vertabrt vielmekr vis folgt: blaobdem die Leite dos Ruckes, also kior Dag. 491 aufgosoklagen, vu'rd mit einem Dinger der linken Hand der log tang von 56" 22' 0" angemorkt. Din Lliek lekrt, dass 457 die Differenz ist (ein geübter Roebner siebt gleiob^eitig, dass dieses in der 1'bat die Difleroim der beiden über einander stoben den Dogaritbmon ist, um sieb gegen einen otvaigon Druokfeblor 2U sebüt^on). Wäbrend nun der Dinger der linken bland rubig liegen bleibt, vird aus dem mit 457 übersebriobonen läfeloben mit dem Argumente 0,389 Zuerst 4,1 für die lotete Zif¬ fer 9 entnommen, diese im Xo^fo 2u 36,6 velebo der 8 entspre- oben, addirt, maobt 40,7, diese ondliob ^u 137,1 velebo der 3 ont- sproebon, biimuaddirt, velobes ebenfalls dureli den blossen ^nbliok XXIV bixi-ri-rurro. der 2ablsn leiebt aust'übrbar ist, §eben 178. Taebdsm aut diese "Weiss der Droportionaltbeil im Topfe ausAsreebnet, vird derselbe, indem nun das ^.uAv sieb auf die letzten wittern 0234 dos Do§a- ritbmen, bei velebem der Dinier rubt, riebtet, ebenfalls im Topfe binruaddirt, vodureb man 0412 als die vier letzten Ädern des rm suebenden Do^aritbmen erbält. Diese werden sndlieb mit den ersten Ädern 0,177 Zusammen gelesen, und in das Tsebnunxs - 8ebema, vo der DoZaritbmus Zebrauebt vird, eintzesebrieben. Diese Topf- rsobnunx vird dadnreb sebr erleiebtert, dass man sieb anAevöbnt, die bleinon, immer nur aus 2vei Lummanden bestebsndvn Lummen von der Dlnbsn rmr Tsebtsn 2U bilden, so dass man -mietet aueb dis vier letzten Widern des DoZaritbrnen in dieser Ordnung im Topfs bat, und im Ltands ist, den Fanden aus scbt wittern beste- bsnden DoZaritbmen ebenfalls von der Dinben nur Teebtsn binsn- sebroibsn. Das Dosen der Lummen und Diderensen von Do^aritb- msn von linbs naeb reebts, venn dis Lummandsn über einander stöben, xevLbrt übsrbaupt beim Teebnen ssbr viels Vortbeilv, so- vobl desbalb, veil es bequemer ist von der Dinlren r-ur Teebtsn 2U sebrsibon, als aueb veil man mit einer so Aslsssnen 2abl, dis bänÜA niebt veitsr ^sbrauebt vird, obns sie bin^usebrsiben, in dis 'Datei sinFeben bann, um den entsprsebenden LoAsn 2U sntnebmen. einem LeFeöenen s^i/sen ITin^e/ AS s/rrZ^e Ikr-rLeZ. Ds sinä ?wei källe ru uutersekeiäen, venu ru äem gegebenen Dogaritkmus einer trigonometriseken Innie äer sugekörige spitze Minkei aus äer lakel genommen weräeu soll, 6er eine, wenn äie Dogaritkmsn mit äem Dogen wacksen, äer anäere, wenn sie ab- nekmen. Im ersteren Kalle, weleker bei äen 8inussen unä 1'au- genten stattKnäet, suoke man äen näekstkleineren Dogaritkmen auf, suktrakire soleken von äem gegebenen unä äiviäire äiesv Di Keren?, äurck äie ganse Di Keren?, weleke ?wiscken Kem näekst kleineren unK näekst grösseren Dogaritkmen stattLnäet. Dieser Druck in Decimaltkeile verwanäelt giekt Kann, wenn äas Oomma um eine Ltelle weiter ?ur Reckten gerückt wirä, Kie Danken unä Druek- tkeile von 8eeunäen, weleke mit äen vollen Xeknsrn von 8eouo- ävn äes lakel-Dogaritkmen, von äem man ausgegangen ist, Zusam¬ men gelesen weräen. Die Division kann mit Hülle äer DiLerso?- täkelcken ausgckükrt weräeu. Ds sei s. D. log- sin — 9,8725738 gegeben. Dor näckstkleinere log sin ist naek Dag. 540 — 9,8725654 wolekem äer Dogen 480 13' 10" entsprickt. Die DiKeren? äieses unä äes gegebenen Dogaritlimeu ist 84 unä äie gamro DiKerons 188- Din klick aut äas mit 188 ükersckriekene Di6ercn?täkelckvn reigt nun, äass in 84 4 ^ekntkeile entkalten sinä, weil naek ävm- selken 75,2 äie näekst kleinere 2akl ist. Meräen äives 75,2 von 84 sdgerogou, so kleiden 8,8, weleke naek äemseldvn läkelcken 4 Ilunäortel geben, weil 7,5 äas näekst kleinere Hunäertel ist unä es Kleiden uock 1,3, wolekem noek 7 lauseuätel entspreekeo. Der ^an?e Deeimaldruck ist äaker 0,447, woraus man äurek VerselruiNZ äes Oomma 4,47 8oeunäon, äaker kür äen verlangten Dogen 48" 13' 14",47 erkält. Ist 2U äer gansen Dilleren? kein läkeleken angegeben, so kann äas ?u einer anäern kleineren oäer grösseren 2akl dvreek- netv denutst weräen, wenn nur äer Mäkler äes ausnureeknvnäev Di-uekcs edonkalls um einen aliquoten 'I'koil verkleinert oäer ver- x grüsssrt wirä. Ist nämliek äer Druek gegeden unä will man äas XXVI kmr.srrrmo. kür dis 2akl H y kereckuete läkeleken anhenden, so nekme man x stritt R dis 2akl R uud ^eke hiermit in das läkeleken «in. Ist 2. B. lo^ tanA — 9,2632000 ^e^eken, so ist der näekstkleinsre Lakel-OoAaritkme 9,2631240 und man Kat die Oi6eren2 760 durek 1188 uv dividiren. ^Vill man kiei'2U das 'täkelekeu 1180 anhen- deu, so hird man statt 760 ivit 760 — 8 . 7^^ — 760 — 5 — 755 io dasselke sin^sken müssen, hvmit man 0,640 erkält, ^vk ßleieks ^Veise könnte man das läkeleken 1190 anhenden, Henn man su- vor 760 um 2 . 7^°^ oder um 1 verArösserte. Nan Hürde also mit 761 vin^eken und dasselke Resultat 0,640 erkalten. Oer 2U Io§ tanF — 9,2632000 nuAeköriße Bo^en ist daker 10° 23' 16",40. l^okmen die Oo^aritlimen ak, vis es kei der OotanZente unAe20A0v Horden, und 2U dem ukriAkIeikenden spit2vn resp. der Linus, Oo¬ sinus oder Linus genommen hird. Oie Oosinus sind im 2heiten und dritten Quadranten negativ, helekes ekenkalls durek ein dem OoAaritkmvn anAekäuAtes n anxedeiitet hird. Bei lan^enten und OotanAenten, hsleke im 2heiten und vierten Quadranten negativ sind, Ludet diesolke Vm-heckselunA statt, veun 1 und 3 Reekte- Winlrel akxe20Fen sind. Diese Verkältnisso sind in naeksteken- dom l'äkeleken ükersiektliek 2U8ammen§68tellt, ho 2 ein Kinkel im ersten (Quadranten vorstellt, also 90 -k 2 im 2heiten, 180 4- 2 im dritten und 270 4- 2 im vierten Quadranten lie^t. LumLlruim. XXVII ^us diesem läfeleken ist umgekekrt ru erseken, dass ru ^edvr gegebenen trigonometrisekeu Linie, wenn das ^sieben unbekannt ist, innvrkalb der ersten vier (Quadranten vier versekiedene Logen gekun- dvn werden können, und rwei wenn das Xeieksn gegeben ist. Ist 2. L. ein Logaritkmus Oosinus mit angekängtem n gegeben, so dass also der Oosinus negativ ist, so Iranu inan diesen in der Rubrik der Oosinus aufsuvken und dein rugekörigen spitren Winkel 180 Orad kinrufügen, oder rnan kann ibn in der Rubrik der Linus aufsueken und dein rugekörigen spitzen IVinkel 270" Aulogen. Loll ein Logen dureb eine trigonometriseke Runetion vollständig bostiinint sein, so muss neben dein sieben derselben noeb das 2eioken einer ru demselben Rogen gsbörigen beliebigen andern trigonoinetriseben Runction init gegeben sein, weleke beide Runetionen aber niebt tang und eotang sein dürfen, oder man inuss aus andern Um¬ ständen wissen, in welekem (Quadranten der Logen liegt. (1e- wöknliek werden die trigonoinetriseben Reebnungen so eiugeriek- tet, dass inan nur Lsstiuiiuung eines Rogens sobliesslieb die Lo- garitbinen Zweier 2aklen erkält, welebe dem Linus und Oosinus proportional sind, nebst deren 2eieken, so dass kein Xweilel über den (Quadranten übrig bleibt. Lind näinliok die Logariikmen von a »in und a eos ^V. gegeben, so ist die OiSerenr beider log tang -ü, und liegt iin ersten oder dritten (Quadranten, wenn sin und eos entweder beide positiv oder beide negativ, so dass tang positiv ist; oder liegt iin Zweiten oder vierten (Quadranten, ;e nackdem sin positiv und eos negativ, oder sin negativ und eos positiv, tang also negativ ist. Ina ersteren Ralle gebt man also in die Oolumne der Langenten ein, entniinint den rugv- körigen spitren Winkel als den gesuvkten, oder addirt noeb 180" kinru; iin letrteren dagegen in die Oolumne der Ootangvnten, entniinint den rugekörigen spitzen Winkel uud addirt 90 oder 270 Orad. Lobald gefunden, erkält inan durck Lubtraetion von sin von der ersten, oder von eos von der Zweiten ^akl noek den log a daru, klack stek ende Lei spiele mögen dies nabor erläutern. XXVIII kumrrrmro. Iu äiesou Leispivleu ist s als eiuv positive Audi »u^esvlivu. 8ol! » ue^ativ Aeuommeu veräeu , so Luäert sied um 180°. Die tauA 2V, velolie uur Lis ^r^umeut irenut^t virä, um äen Do§eu aus äer Iskol su euiuotuueu, liLtte m äer livolluuuA uieüt l>r«u- elieu triu^eselirivbeo 2u veräeu. 2ur LestimmuuA voo a ist äer siu oävr äer eos benutzt, je useliäem äer eine oäer suävrv äer grössere ist, oäer vss ässsolbs ist, äio iu äer Oolumuv reeiits, mit eos üderselirivbvu stelieuäe 2ulil, veil liier äio Di^vreuren lcleiuer siuä, äer Droporlioualtlivil also leieliter su irereoliueu ist. Der sus äissor Oolumuv Avuomwvne Do^aritlimv virä äauu vou äem grösseren äer beiäeu s »iu uuä s eos /t »d^e^oxeu, um s 2u erllslteu. ? L L I. 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N»II,LLI: RLk-ir^onoil. ornc kLk'irLO'i'io«. 287 r>L8 II. Ooi'.itiM'io^ xiik l'LMLLLl'IT«. Rxk-nxo-i-io». vLir RLk'irxoi'io^. vor, III. Ooirirrv'rivn rim VxirouLi'LirS'r^v l^li-rri.nnn llnvnao-rion -4- Oonnno-rro« Txrnn II. reetion kür inneres Thermometer, veleli« mit üem lirgumente t—t' nnek Leite 564 genommen vircl. LIIHI..R.LH -<-OvLIi. rv». iLLLItOLILrLU. S7S OLL kLrLLcuon. 573 b74 Basis der natürliebsn Bogaritbinsn.e — 2.7181818 Modul der Briggiselicu Bogaritbraen.m — 0.454194; kadiu» des Lreises in Leeunden ..1 --- 206164.8 „ „ „ „ Minuten i -- 5457.7468 „ ,, „ „ Vradsn 1 - 572957b llmsang des Lreises in Leeunden 1196000 „ „ „ „ Minuten iiboo „ „ „ 6raden. 560 „ „ ,, siir den Burelunesser — I . X — 5.74159165 Binienslonen uator I Ltruve in — 46.0481 -1-0.0002841 n---20.0650 —0.000086 t 'Bägliebe Braseession -- 0'.15759 (1^56) Aberration naek Bslsnibre 20'.255 „ „ Struve 20'4451 Mutation „ v. Binden»» 8'.97707 „ „ Beters 9'2251 , Sokioso der Lelipkik Peters ^18^ 25 27 54 ^2-°'^« Bas Biebt gsbrauobt, urn von der i narb Belarnbre 495.198 Leeunden 2.6950215 Lonne iur Brde iu gelangen i ,. Struve 497.827 „ 2.6970785 . l „ velanibre 41955 O. Meilen. 4.6225781 Besebmndigkeit des Biclites j Struve 41545 ., 4.6185209 Massen (Beliebte) der Blaneteu, die Masse der Sonn« — 1 gesstst. Mereur — ' (Bucke) 4865-51 Venu- - - (Be Vertier) 590002 Brde — -(Be Verrier) 55495° lilars — — ', (Burekliardt) 2680657 dupiter Saturn Branns Xsptun I I047I79 I 5501.6 I 24905 I 18780 (Kessel) (Kessel) (Bamont) (Beirce) Mond — -— der Brdinasse. (Hansen) 79.667 ^nr'ebungskrakt der Lonne, ! b in 'l'beilen des Badill- 0.0172021 8.2555814—12 niel> Baus- ik in Leeunden 5548.18761 z.5500066 b7b SSSSSS22774 Ur»nckenbN!-xiscks Lucliäruckerei unä VeilLASLnstült Q. IN. b l !.. kerlin - 8ckönei>er§. ^lüklenstr. d->